> Questão 2.
> Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
> módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o
> determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1.
Se A for tal matriz podemos calcular sua norma 2 de uma maneira não mto
complicada:
||.|| == norma 2 induzida da matriz
||A|| = sup{||Ax|| , com ||x|| = 1}
os elementos da matriz são todos menores ou iguais a 1 em módulo, com a
igualdade valendo para toda a diagonal, isso nos dá a noção intuitiva que
||A|| = 1
sendo A = U.SIGMA.V', uma decomposição SVD de A, temos que a primeira
entrada da matriz diagonal SIGMA é 1, como os valores da diagonal estão
dispostos de maneira decrescente e det|A| = det|SIGMA| <= 1.
O enunciado parece ignorar a matriz I, pois basta tomá-la n x n, tem todos
os elementos da diagonal iguais a 1 e a soma dos módulos dos elementos das
linhas é 1 <= 2. det|I| = 1
Bastaria provar que o determinante não é negativo... por enquanto eu não
tenho idéias.
> Questão 4.
> Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).
de cara vemos
-2 <= x <= 2
elevando ao quadrado e passando os que fica fora de uma raiz para o lado
esquerdo e assim consecutivamente caímos num polinômio de grau 8 (acho) daí
tem que ver uma maneira de obter as raízes dele, é um trabalho chato...
queria ver se alguém conhece uma solução elegante e direta.
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