Aproveitando, gostaria conferisse para mim essa solucao: Por inducao, para matriz n-1 x n-1, simetrica, com 0<a(j,j)<=1, e som(i=1 ate i=n-1)|a(i,j)| < 2a(j,j) (se só se Sj = som(i=1 ate i=n-1, i!=j)|a(i,j)| < a(j,j) ), temos que 0<det(A)<=1.(caso n-1=1 é obvio). seja agora a matriz A n x n. Por Chio aplicado em a(1,1), temos detA=a(1,1)xdet B (n-1 x n-1), sendo b(i,j)= a(i+1,j+1) - a(1,j+1)*a(1,i+1). na primeira linha de B temos: b(1,1)=a(2,2)-a(1,2)^2, como 0<=|a(1,2)|<S2<a(2,2)<1 implica 1>=b(1,1)>0. temos que som(i=2 ate i=n-1)|b(i,1)| <= som(i=3 ate i=n-1)|a(i,2)| + |a(1,2)| * som(i=3 ate i=n-1)|a(i,1)| < a(2,2) - |a(1,2)| +|a(1,2)|*( a(1,1) - |a(1,2)| ) = a(2,2) - a(1,2)^2 - |a(1,2)|( 1-a(1,1) )<=a(2,2) - a(1,2)^2=b(1,1). Temos o resultado analogo em todas linhas. Como b(i,j)=b(j,i), entao B satisfaz a hipostese de inducao, logo 0<det B<=1 logo 0<detA=detB*a(1,1)<=a(1,1)<=1. CQD.
Falow, Carlos )----- Original Message ----- From: "Humberto Naves" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, October 23, 2002 6:30 PM Subject: Re: [obm-l] OBM-u > Oi Shine, > > Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é diagonalizável, > logo det A é o produto dos auto-valores de A. > Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos. Suponha, > por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não nulo, tal > que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa transposto. > Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi = Somatório com > j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij > * vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é menor > que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um > absurdo > pois m < 0. > Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da > matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade das > médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja: > 0 < det A <= 1. > > Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e pensei > que a solução oficial seria por projetiva. > > Falow, Humberto > --- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá amigos da lista!! > > > > Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002... > > > > Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem > > legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o > > problema 3 mais fácil que o 2. > > > > Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante > > adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em > > particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo > > esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também > > é adequado. > > > > O segundo dia tinha problemas bem interessantes > > também. No 5, eu resolvi com a definição a_n = > > \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi > > um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma > > estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) > > > \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde > > aparecem k e's. > > > > O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a > > substituição trigonométrica de cara... depois de > > encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas > > raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei > > bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em > > algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer > > jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e > > finalmente resolvi com a substituição trigonométrica. > > > > Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive > > umas idéias neles que parecem que vão para a frente. > > > > []'s > > Shine > > > > __________________________________________________ > > Do you Yahoo!? > > Y! Web Hosting - Let the expert host your web site > > http://webhosting.yahoo.com/ > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > ========================================================================= > > _______________________________________________________________________ > Yahoo! GeoCities > Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. > http://br.geocities.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================