Oi Humberto e demais amigos da lista!! Tudo bem?
Puxa, eu tive a idéia de considerar o produto dos auto-valores também, mas como demorei muito no caso n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei não tendo tempo para finalizar a idéia... eu pensei na existência de um auto-vetor positivo, mas acabei não conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do problema. No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunferência. Mas o que não sabia era que dava para fazer uma transformação de modo que as elipses virem uma circunferência e uma elipse cuja reta suporte de um eixo passa pelo centro da circunferência. Aí ficava mais fácil. Mas, pelo que soube, existe uma solução projetiva (né Luciano? ;) ). []'s Shine --- Humberto Naves <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi Shine, > > Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é diagonalizável, logo det A é o produto dos auto-valores de A. > Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos. Suponha, por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não nulo, tal que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa transposto. Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. > Como m * vi = Somatório com j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij * vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é menor que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um absurdo pois m < 0. > Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade das médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja: > 0 < det A <= 1. > Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e pensei que a solução oficial seria por projetiva. __________________________________________________ Do you Yahoo!? Y! Web Hosting - Let the expert host your web site http://webhosting.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================