Oi Shine,
Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é diagonalizável,
logo det A é o produto dos auto-valores de A.
Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos. Suponha,
por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não nulo, tal
que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa transposto.
Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi = Somatório com
j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é menor
que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
absurdo
pois m < 0.
Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da
matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade das
médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja:
0 < det A <= 1.
Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e pensei
que a solução oficial seria por projetiva.
Falow, Humberto
--- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá amigos da lista!!
>
> Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
>
> Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> problema 3 mais fácil que o 2.
>
> Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
> adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
> particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
> é adequado.
>
> O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
> \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
> estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> aparecem k e's.
>
> O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
> substituição trigonométrica de cara... depois de
> encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
> raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
> bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
> algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer
> jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
> finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
>
> Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
>
> []'s
> Shine
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