Re: [obm-l] iberoamericana
Olá novamente Klaus,
acho que consegui uma solucao por geometria.. peco que me corrijam
caso esteja errada...:)
Sejam O, A, M os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da
circunferencia pedida.
O ponto X é encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos
segmentos MN e MA.
1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.
2) Trace a reta que passa por X e é perpendicular a OA.
3) Chame o ponto da interseccao de P.
Vamos chamar OP = b, PA = a, OA = k, XP = d, XA = XM = R.
O triangulo XPA é retangulo em P, logo: R^2 = a^2 + d^2 (i)
O triangulo XPO é retangulo em P, logo: c^2 = d^2 + b^2 (ii)
O triangulo XOM é retangulo em O, logo: R^2 = c^2 + r^2 (iii)
Substituindo (ii) em (iii), temos: R^2 = d^2 + b^2 + r^2 (iv)
Fazendo (iv) - (i), temos: a^2 = b^2 + r^2.
Mas, sabemos que a + b = k.
Assim: (k-b)^2 = b^2 + r^2 k^2 - 2kb + b^2 = b^2 + r^2 ... 2kb = k^2 - r^2
b = (k^2 - r^2)/(2k)
veja que k é o tamanho do segmento OA (constante, pois A é fixo).
Deste modo, o comprimento "b" é constante. Consequentemente, "a" é constante.
Isto é: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio "r", a reta
que passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, N e
A) e é perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos
constantes (isto é, nao variam com a escolha de M).
Deste modo, X só pode se situar nesta reta (para todo valor de M).
Assim, o lugar geometrico é uma reta (que esta determinada).
Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta que divide o
segmento OA em "b" e "a" e é perpendicular ao segmento. Quando ligamos
X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento exatamente
em "b" e "a" para qualquer posicao de M.
Deste modo, X sempre pertence a esta reta.
Acho que a explicacao nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande
outra mensagem.
abracos,
Salhab
On 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá Klaus,
ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..
se eu conseguir pode deixar que eu mando..
tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Ola Marcelo,
> será q vc num consegue algum modo de fazer usando
> geometria sintética?
> vlw.
>
>
> - Mensagem original
> De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
> Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
>
>
> Olá,
> pensei em uma abordagem usando vetores..
> vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> vetores M e A..
> como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> x = produto vetorial
> . = produto escalar
>
> V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> portanto, esta reta já esta determinada..
>
> V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> 0.. este é um ponto da demana de MN
> portanto, esta reta tambem já esta determinada..
>
> temos que encontrar X, tal que:
> X = (A+M)/2 + s*V1
> X = t*V2
>
> X é o centro da circunferencia pedida..
> (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> fazendo o produto escalar por M, temos:
> [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
>
> assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
>
> vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
> um
> > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
> o
> > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> > quando M varia.
> >
> > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
> porém
> > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
>
>
> Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Saida Lateral
Olá Rafael, vc esqueceu que o segundo termo é: An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) e nao: An+1 = ( (4*An) - 1 ) se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) se An==2(MOD 3) [note que o correto eh dividir por 3] abracos, Salhab On 7/11/07, rgc <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi Essa sequencia não só termina para todo M. Ela sempre tem 2 termos. Suponha que M==1 mod 3. Então podemos escrever M=3k+1. Logo A2= 4*(3k+1)-1=(12k+3)==0 mod 3. Suponha que M==2 mod 3. Então podemos escrever M=3k+2. Logo A2= 2*(3k+2)-1=(6k+3)==0 mod 3. Assim, sempre termina no segundo termo. - Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Tuesday, July 10, 2007 5:03 PM Subject: [obm-l] Saida Lateral > Ola Pessoal ! > > Considerem a seguinte questao : > > A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 > e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte > sequencia : > > A1 = M > > An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) > An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) > > Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. > > Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre > termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? > > OBS : usei "==" para significar "E CONGRUO A" > > Um Abracao a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1604,101007 > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Saida Lateral
Oi Essa sequencia não só termina para todo M. Ela sempre tem 2 termos. Suponha que M==1 mod 3. Então podemos escrever M=3k+1. Logo A2= 4*(3k+1)-1=(12k+3)==0 mod 3. Suponha que M==2 mod 3. Então podemos escrever M=3k+2. Logo A2= 2*(3k+2)-1=(6k+3)==0 mod 3. Assim, sempre termina no segundo termo. - Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Tuesday, July 10, 2007 5:03 PM Subject: [obm-l] Saida Lateral Ola Pessoal ! Considerem a seguinte questao : A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte sequencia : A1 = M An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? OBS : usei "==" para significar "E CONGRUO A" Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,1604,101007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] iberoamericana
Olá Nehab,
eita eita.. obrigado novamente pela correcao :)
acho que é a 3a vez q erro seguido aqui na lista.. hehe
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi, Marcelo Salhab,
O centro do círculo circunscrito está no encontro das mediatrizes e não nas
medianas.
Nehab
At 04:23 10/7/2007, you wrote:
Ola novamente,
fiz um programinha em MATLAB pra plotar todos esses pontos..
e adivinha? uma reta mesmo!
segue abaixo o programa, basta colocar num m-file.
function teste()
A = [ 10 10 0 ];
r = 2;
ang = linspace(0, 2*pi, 1000);
k = [ 0 0 1 ];
for i = 1:100
M = [ r*cos(ang(i)) r*sin(ang(i)) 0 ];
s = (dot(A, M) + dot(M, M))/(2*dot(cross(A, k), M));
X = (A+M)/2 + s*cross(M-A, k);
ptos(i) = X(1) + j*X(2);
end
plot(ptos, 'x');
mas ainda nao achei meu erro nos calculos..
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
bom...
fazendo as contas, cheguei em:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
isto é... nada! ehehe
acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
mas tb nao sei o que sera..
[usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
esta errado]
[agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
da... mas ja fechei..]
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá,
> pensei em uma abordagem usando vetores..
> vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> vetores M e A..
> como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> x = produto vetorial
> . = produto escalar
>
> V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> portanto, esta reta já esta determinada..
>
> V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> 0.. este é um ponto da demana de MN
> portanto, esta reta tambem já esta determinada..
>
> temos que encontrar X, tal que:
> X = (A+M)/2 + s*V1
> X = t*V2
>
> X é o centro da circunferencia pedida..
> (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> fazendo o produto escalar por M, temos:
> [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
>
> assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
>
> vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja
M um
> > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M.
Determinar o
> > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e
N
> > quando M varia.
> >
> > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
porém
> > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] iberoamericana
Olá Klaus,
ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..
se eu conseguir pode deixar que eu mando..
tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Marcelo,
será q vc num consegue algum modo de fazer usando
geometria sintética?
vlw.
- Mensagem original
De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
Olá,
pensei em uma abordagem usando vetores..
vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
vetores M e A..
como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
x = produto vetorial
. = produto escalar
V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
(A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
portanto, esta reta já esta determinada..
V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
0.. este é um ponto da demana de MN
portanto, esta reta tambem já esta determinada..
temos que encontrar X, tal que:
X = (A+M)/2 + s*V1
X = t*V2
X é o centro da circunferencia pedida..
(A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
fazendo o produto escalar por M, temos:
[(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
[A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
abracos,
Salhab
On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
um
> ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
o
> lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> quando M varia.
>
> ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
porém
> deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Material sobre álgebra de proposições
Obrigado ! - Original Message - From: Jônatas To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 10, 2007 11:53 AM Subject: Re: [obm-l] Material sobre álgebra de proposições Acho o livro Iniciação à Lógica Matemática de Edgar de Alencar Filho muito bom. Ele tem vários exercicios e exemplos. Jônatas. Em 09/07/07, RAFAEL <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, pessoal ! Acabei de estudar a teoria sobre lógica de proposições, argumentos dedutivos, silogismos e por aà vai ... Gostaria, agora, de algum materia e/ou site com MUITOS exercÃcios resolvidos para eu fixar os conceitos. Alguém poderia me ajudar ?
Re: [obm-l] Saida Lateral
vcs da lista já repararam que eu não paro pra ler direito? ¬¬ Em 10/07/07, Lucas Prado Melo<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: É falsa, se M = 2, então temos (2*2-1)/3 = 1 e então continua 1, 1, 1, 1 ... indefinidamente Em 10/07/07, Paulo Santa Rita<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola Pessoal ! > > Considerem a seguinte questao : > > A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 > e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte > sequencia : > > A1 = M > > An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) > An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) > > Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. > > Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre > termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? > > OBS : usei "==" para significar "E CONGRUO A" > > Um Abracao a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1604,101007 > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Saida Lateral
É falsa, se M = 2, então temos (2*2-1)/3 = 1 e então continua 1, 1, 1, 1 ... indefinidamente Em 10/07/07, Paulo Santa Rita<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Pessoal ! Considerem a seguinte questao : A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte sequencia : A1 = M An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? OBS : usei "==" para significar "E CONGRUO A" Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,1604,101007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] iberoamericana
Oi, Marcelo Salhab,
O centro do círculo circunscrito está no encontro das mediatrizes e
não nas medianas.
Nehab
At 04:23 10/7/2007, you wrote:
Ola novamente,
fiz um programinha em MATLAB pra plotar todos esses pontos..
e adivinha? uma reta mesmo!
segue abaixo o programa, basta colocar num m-file.
function teste()
A = [ 10 10 0 ];
r = 2;
ang = linspace(0, 2*pi, 1000);
k = [ 0 0 1 ];
for i = 1:100
M = [ r*cos(ang(i)) r*sin(ang(i)) 0 ];
s = (dot(A, M) + dot(M, M))/(2*dot(cross(A, k), M));
X = (A+M)/2 + s*cross(M-A, k);
ptos(i) = X(1) + j*X(2);
end
plot(ptos, 'x');
mas ainda nao achei meu erro nos calculos..
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
bom...
fazendo as contas, cheguei em:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
isto é... nada! ehehe
acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
mas tb nao sei o que sera..
[usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
esta errado]
[agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
da... mas ja fechei..]
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá,
> pensei em uma abordagem usando vetores..
> vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> vetores M e A..
> como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> x = produto vetorial
> . = produto escalar
>
> V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> portanto, esta reta já esta determinada..
>
> V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> 0.. este é um ponto da demana de MN
> portanto, esta reta tambem já esta determinada..
>
> temos que encontrar X, tal que:
> X = (A+M)/2 + s*V1
> X = t*V2
>
> X é o centro da circunferencia pedida..
> (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> fazendo o produto escalar por M, temos:
> [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
>
> assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
>
> vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a
ela. Seja M um
> > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M.
Determinar o
> > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam
por A, M e N
> > quando M varia.
> >
> > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei
analiticamente, porém
> > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Analise combinatoria - quantas comissoes?
On Tue, Jul 10, 2007 at 04:28:10PM -0300, Paulo Santa Rita wrote: > Ola Carissimo Prof Nicolau edemais colegas desta lista ... OBM-L, > Em primeiro lugar me permita explicar o teor da sua critica aos > nossosleitores para que todos possam entender... > 1) ESCLARECIMENTO DA CRITICA > Considerem duas pessoas - Isaac e Vitor - e um "ano" de 3 dias. Umvetor do > tipo (DIA1,DIA2,DIA3) vai representar o "ano". Como podemocorrer os > aniversarios destas 2 pessoas ao longo deste "ano" ? Assim: > (Isaac, Vitor, 0) , (Vitor, Isaac, 0)(Isaac, 0, Vitor) , (Vitor, 0, > Isaac)(0, Isaac, Vitor) , ((0, Vitor, Isaac) > (Isaac e Vitor, 0, 0), (0, Isaac e Vitor, 0) e ( 0, 0, Isaac e Vitor) > Considerando equiprovavel as possibilidades, a probababilidade de cadauma > seria 1/9, obvio. Entretanto, considerando que as possibilidade > de(Isaac,Vitor,0) e (Vitor, Isaac,0) corresponde A MESMA SOLUCAO (1,1,0)da > equacao : > X1 + X2 + X3 = 2 > Segue que a probabilidade da solucao (1,1,0) e o dobro, isto e, e 2/9.Acho > que deixei claro a CRITICA CRITERIOSA que o Carissimo ProfNicolau faz. Até aqui tudo bem, isto é exatamente o que eu tentei dizer. > 2) COMO EU LI O PROBLEMA > As solucoes (Isaac, Vitor,0) e (Vitor,Isaac,0) sao diferente porqueeles > nasceram em dias diferentes. Mas, suponha que eles nasceram nomesmo dia. Um > poderia ter nascido antes do outro. Neste caso : > (Isaac e Vitor,0,0) e (Vitor e Isaac,0,0) seriam diferente, pois, > naprimeira 3-upla, Isaac nasceu antes do Vitor, o contrario tendoocorrido > na segunda 3-upla. Portanto, a solucao (2,0,0) tambemrepresentaria duas > possibilidades. > Portanto, eu considerei INTENCIONALMENTE irrelevante a diferenca deordem, > o que implica considerar equiprovaveis as diversas solucoes de > X1 + X2 + ... + X365 = 200 Não acho convincente esta sua leitura do problema. Não vejo como a presença ou ausência da hora de nascimento na certidão de nascimento possa afetar a resposta do problema. Para mim o problema pode ser reformulado assim: Considere um dado com N = 365 faces. Jogue o dado M = 200 vezes e tabule quantas vezes A[i] sai a resposta i. Tome m = max A[i]. Qual a probabilidade de que A[1] = m? Ou equivalentemente: Obtenha a lista A como acima. Ordene a lista A, tome seu máximo m e conte quantas vezes aparece o valor m; chamemos este número de Y. Qual a esperança da variável aleatória Y? Escrevi um programa maple para simular esta última versão do problema: jojo := proc(N,M) local i, j, roll, A, As, m, Y: roll := rand(1..N): A := array(1..N,sparse): for i to M do j := roll(): A[j] := A[j] + 1: od: As := sort(convert(A,list)): m := As[-1]: Y := 1: for j from 2 to M do if (As[-j] < m) then break: else Y := Y+1: fi: od: return(Y); end; a := array(1..25000): for i to 25000 do a[i] := jojo(365,200): od: (Aqui espere um pouco até o computador/programa rodar esta coisa 25000 vezes) pp := 0: for i to 25000 do pp := pp + q^a[i]: od: sort(pp); 41383635 332815 14 13 12 2 q + q + q + q + 5 q + q + q + 7 q + 20 q + 68 q 11109 8 7 6 5 + 159 q + 375 q + 685 q + 1092 q + 1605 q + 1788 q + 1837 q 4 3 2 + 1505 q + 1553 q + 3656 q + 10638 q (Note que temos um máximo local em Y = 5. Pelos exemplos que eu vi isto ocorre quando o máximo é 3. O máximo global em Y = 1 corresponde a um máximo mais alto.) pd := diff(pp,q): subs(q=1,pd); 81750 evalf(%/25000); 3.27000 Bom, esta é a resposta aproximada. Ou melhor, a resposta é isso dividido por 365. > 3) COMO ATENDER A EXIGENCIA DA CRITICA > Considerando que a ordem dos nascimento em um mesmo dia saoirrelevantes e > atendendo somente a diferencas de dias, como computar onumero de > possibilidades para uma particular solucao numerica ? > Vou mostrar isso atraves de um exemplo. > Considere a solucao : (5,4,3,1,1,1,0,0) de X1 + X2 + ...+ X8 = 15. Aquantas > possibilidades ela corresponde ? Facil : do total de 15pessoas escolho 5 > para colocar na primeira posicao, BI(15,5). Sobram10 pessoas, das quais > escolho 4 para colocar na segunda posicao,BI(10,4). Sobram 6 pessoas, das > quais escolho 3 para colocar naterceira posicao, BI(6,3). A seguir permuto > as tres posicoescorrespondem aos 1's. Isso da : > T=Bi(15,5) * Bi(10,4) * Bi(6,3) * 3! > Como vemos, e facil fazer a computacao. O problema ( que ja etrabalhoso ) > vai apenas ficar mais trabalhoso. Eu gosto muito depensar, mas detesto > fazer calculos. Acho que isto que você está esboçando é correto para valores menores de M e N mas para os valores dados no problema é incrivelmente trabalhoso. > 4) ESTENDENDO O PROBLEMA > Usando o mesmo contexto e considerando as solucoes de > X1 + X2 + ... + X365 = 200 > equiprovaveis ( considere nascimentos de 200 coelhos albinos ) qual > aprobabilidade que num determinado d
[obm-l] Saida Lateral
Ola Pessoal ! Considerem a seguinte questao : A questao seguinte e interessante :seja M um natural impar maior que 1 e NAO DIVISIVEL por 3. A partir deste M vamos construir a seguinte sequencia : A1 = M An+1 = ( (4*An) - 1 ) / 3 se An==1(MOD 3) An+1 = ( (2*An) - 1 ) / 3 se An==2(MOD 3) Se para algum n surgir An==0(MOD 3) a sequencia termina. Eu afirmo que qualquer que seja o M de partida a sequencia sempre termina. Esta minha afirmacao e verdadeira ou falsa ? OBS : usei "==" para significar "E CONGRUO A" Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,1604,101007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise combinatoria - quantas comissoes?
Ola Carissimo Prof Nicolau edemais colegas desta lista ... OBM-L,
Em primeiro lugar me permita explicar o teor da sua critica aos nossosleitores
para que todos possam entender...
1) ESCLARECIMENTO DA CRITICA
Considerem duas pessoas - Isaac e Vitor - e um "ano" de 3 dias. Umvetor do tipo (DIA1,DIA2,DIA3)
vai representar o "ano". Como podemocorrer os aniversarios destas 2 pessoas ao longo deste
"ano" ? Assim:
(Isaac, Vitor, 0) , (Vitor, Isaac, 0)(Isaac, 0, Vitor) , (Vitor, 0, Isaac)(0,
Isaac, Vitor) , ((0, Vitor, Isaac)
(Isaac e Vitor, 0, 0), (0, Isaac e Vitor, 0) e ( 0, 0, Isaac e Vitor)
Considerando equiprovavel as possibilidades, a probababilidade de cadauma seria
1/9, obvio. Entretanto, considerando que as possibilidade de(Isaac,Vitor,0) e
(Vitor, Isaac,0) corresponde A MESMA SOLUCAO (1,1,0)da equacao :
X1 + X2 + X3 = 2
Segue que a probabilidade da solucao (1,1,0) e o dobro, isto e, e 2/9.Acho que
deixei claro a CRITICA CRITERIOSA que o Carissimo ProfNicolau faz.
2) COMO EU LI O PROBLEMA
As solucoes (Isaac, Vitor,0) e (Vitor,Isaac,0) sao diferente porqueeles
nasceram em dias diferentes. Mas, suponha que eles nasceram nomesmo dia. Um
poderia ter nascido antes do outro. Neste caso :
(Isaac e Vitor,0,0) e (Vitor e Isaac,0,0) seriam diferente, pois, naprimeira
3-upla, Isaac nasceu antes do Vitor, o contrario tendoocorrido na segunda
3-upla. Portanto, a solucao (2,0,0) tambemrepresentaria duas possibilidades.
Portanto, eu considerei INTENCIONALMENTE irrelevante a diferenca deordem, o
que implica considerar equiprovaveis as diversas solucoes de
X1 + X2 + ... + X365 = 200
3) COMO ATENDER A EXIGENCIA DA CRITICA
Considerando que a ordem dos nascimento em um mesmo dia saoirrelevantes e
atendendo somente a diferencas de dias, como computar onumero de possibilidades
para uma particular solucao numerica ?
Vou mostrar isso atraves de um exemplo.
Considere a solucao : (5,4,3,1,1,1,0,0) de X1 + X2 + ...+ X8 = 15. Aquantas
possibilidades ela corresponde ? Facil : do total de 15pessoas escolho 5 para
colocar na primeira posicao, BI(15,5). Sobram10 pessoas, das quais escolho 4
para colocar na segunda posicao,BI(10,4). Sobram 6 pessoas, das quais escolho 3
para colocar naterceira posicao, BI(6,3). A seguir permuto as tres
posicoescorrespondem aos 1's. Isso da :
T=Bi(15,5) * Bi(10,4) * Bi(6,3) * 3!
Como vemos, e facil fazer a computacao. O problema ( que ja etrabalhoso ) vai
apenas ficar mais trabalhoso. Eu gosto muito depensar, mas detesto fazer
calculos.
4) ESTENDENDO O PROBLEMA
Usando o mesmo contexto e considerando as solucoes de
X1 + X2 + ... + X365 = 200
equiprovaveis ( considere nascimentos de 200 coelhos albinos ) qual aprobabilidade que
num determinado dia "d" NAO SEJA EXTREMO, isto e,nao seja maximo e nem seja
minimo ?
Um AbracaoPaulo Santa Rita3,0F1A,100707
Em 10/07/07, Nicolau C. Saldanha<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:> Oi Paulo,>> Desculpe-me por criticar uma solução incompleta,> mas se eu bem entendi a sua solução acho
que você erra> ao considerar equiprováveis as várias soluções de X1 + ... + X365 = 200.>> Para não nos perdermos, aqui vai de novo o problema original:>> > Imagine-se
num grupo de 200 pessoas, e imagine que todos os anos tenham 365> > dias (isto é: ignore a existência de anos bissextos). Seja f: {dias} -> N> > tal que f(d) = número de
aniversariantes no dia d. Seja d_0 o dia de seu> > aniversário. Qual é a probabilidade de que f(d_0) seja um máximo da> > função f?>> Vamos trocar os números: são duas
pessoas e o "ano" tem 3 dias.> Temos as possibilidades:> (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)> mas elas *não* são equiprováveis!> As três primeiras
têm probabilidade 1/9 cada> e as três últimas probabilidade 2/9 cada.> Entendo que o "você" do problema não é membro do!
grupo de pessoas.> A probabilidade de que f(d_0) seja um máximo nada mais é do que a prob> de que X1 seja máximo que é de 5/9, correspondente aos casos (2,0,0),> (1,1,0) e (1,0,1). Observe que nestes dois últimos
casos f(d_0) é> um máximo empatado com outro máximo.>> Isto coincide com a sua solução?>> []s, N.>> On Mon, Jul 09, 2007 at 04:50:46PM -0300, Paulo Santa Rita wrote:> > Ola
Pessoal,> >> > Tentarei fazer um esboco melhor. Os detalhes voces preenchem. Como> > estou escrevendo ao mesmo tempo que faco outras coisas, pode haver> > algum erro de calculo, corrijam por favor.
Para facilitar o> > entendimento da minha solucao vou resolver previamente uma outra> > questao. Considere a equacao :> >> > X1 + X2 + X3 = 12> >> > Quantas solucoes inteiras e
não-negativas tem esta equacao tais que> > para todo i=1,2,3 tenhamos Xi =< 7 ? Facil. Seja Yi= 7 – Xi, i=1,2,3.> > Segue que Xi = 7 – Yi. Daqui :> >> > (7-Y1) + (7-Y2) + ( 7-Y3) = 12 => Y1 +
Y2 + Y3 = 9> >!
> E facil encontrar quantas solucoes inteiras e não negati!
vas tem esta> > ultima equacao. Existe ate uma formulazinha que da o valor direto. E> > igualmente facil perceber que a toda solucao desta ultima equacao> > cor
Res: [obm-l] iberoamericana
Ola Marcelo,
será q vc num consegue algum modo de fazer usando
geometria sintética?
vlw.
- Mensagem original
De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
Olá,
pensei em uma abordagem usando vetores..
vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
vetores M e A..
como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
x = produto vetorial
. = produto escalar
V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
(A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
portanto, esta reta já esta determinada..
V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
0.. este é um ponto da demana de MN
portanto, esta reta tambem já esta determinada..
temos que encontrar X, tal que:
X = (A+M)/2 + s*V1
X = t*V2
X é o centro da circunferencia pedida..
(A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
fazendo o produto escalar por M, temos:
[(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
[A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
abracos,
Salhab
On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um
> ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o
> lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> quando M varia.
>
> ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente, porém
> deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê.
http://www.flickr.com.br/
Re: [obm-l] Analise combinatoria - quantas comissoes?
Oi Paulo,
Desculpe-me por criticar uma solução incompleta,
mas se eu bem entendi a sua solução acho que você erra
ao considerar equiprováveis as várias soluções de X1 + ... + X365 = 200.
Para não nos perdermos, aqui vai de novo o problema original:
> Imagine-se num grupo de 200 pessoas, e imagine que todos os anos tenham 365
> dias (isto é: ignore a existência de anos bissextos). Seja f: {dias} -> N
> tal que f(d) = número de aniversariantes no dia d. Seja d_0 o dia de seu
> aniversário. Qual é a probabilidade de que f(d_0) seja um máximo da
> função f?
Vamos trocar os números: são duas pessoas e o "ano" tem 3 dias.
Temos as possibilidades:
(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)
mas elas *não* são equiprováveis!
As três primeiras têm probabilidade 1/9 cada
e as três últimas probabilidade 2/9 cada.
Entendo que o "você" do problema não é membro do grupo de pessoas.
A probabilidade de que f(d_0) seja um máximo nada mais é do que a prob
de que X1 seja máximo que é de 5/9, correspondente aos casos (2,0,0),
(1,1,0) e (1,0,1). Observe que nestes dois últimos casos f(d_0) é
um máximo empatado com outro máximo.
Isto coincide com a sua solução?
[]s, N.
On Mon, Jul 09, 2007 at 04:50:46PM -0300, Paulo Santa Rita wrote:
> Ola Pessoal,
>
> Tentarei fazer um esboco melhor. Os detalhes voces preenchem. Como
> estou escrevendo ao mesmo tempo que faco outras coisas, pode haver
> algum erro de calculo, corrijam por favor. Para facilitar o
> entendimento da minha solucao vou resolver previamente uma outra
> questao. Considere a equacao :
>
> X1 + X2 + X3 = 12
>
> Quantas solucoes inteiras e não-negativas tem esta equacao tais que
> para todo i=1,2,3 tenhamos Xi =< 7 ? Facil. Seja Yi= 7 – Xi, i=1,2,3.
> Segue que Xi = 7 – Yi. Daqui :
>
> (7-Y1) + (7-Y2) + ( 7-Y3) = 12 => Y1 + Y2 + Y3 = 9
>
> E facil encontrar quantas solucoes inteiras e não negativas tem esta
> ultima equacao. Existe ate uma formulazinha que da o valor direto. E
> igualmente facil perceber que a toda solucao desta ultima equacao
> corresponde uma, e somente uma, solucao para a equacao original.
> Assim, a questao original esta respondida e e facilmente generalizavel
> para um numero arbitrario de incognitas ...
>
> Voltando ao problema original, seja Xi o numero de pessoas que fazem
> aniversario no dia i, i podendo variar no intervalo 1 =< i =< 365.
> Assim, qualquer configuracao possivel pode ser imaginada como uma
> solucao inteira não-negativa da equacao :
>
> X1 + X2 + ... + X365 = 200
>
> Queremos saber em quantas destas solucoes o valor de Xi e maximo. Seja
> Xi um valor arbitrario A tal que 1 =< a =< 200. Entao :
>
> Xi = A => X1 + X2 + ... + A + ... + X365 = 200
> X1 + X2 + ... + Xi-1 + Xi+1 + ... + X365 = 200 – A
>
> Procuramos as solucoes inteiras e não negativas desta ultima equacao
> para as quais tenhamos Xk =< A, coisa que já aprendemos a fazer la em
> cima. Fazendo "A" variar de 1 ate 200 e somando tudo chegamos ao total
> de solucoes nas quais no dia "i" ocorreu um maximo. Seja T este total.
> Agora, achamos o total de solucoes inteiras e não-negativas da equacao
> :
>
> X1 + X2 + ... + X365 = 200
>
> Seja V o total de solucoes. A probabilidade procurada e T/V.
>
> FIM DO PRIMEIRO ESBOCO
>
>
>
>
> Para que o problema fique consistente, vou supor que apenas 7 homens e
> 4 mulheres são simultameamente fluentes em frances e Phd em
> Matematica. O total de comissoes possivel e, obviamente :
>
> T = BINOM(53,10) * BINOM(47,10)
>
> 1) NO MAXIMO 7 PESSOAS SAO FLUENTES EM FRANCES
>
> Deste total vou retirar todas as comissoes nas quais no maximo 7
> pessoas são fluentes em frances. Para ver como e possivel fazer isso,
> considere o par (H,M) onde H+M = 7, H e o total de homens e M o total
> de mulheres fluentes em frances :
>
> (H1,M1)=(7,0)=>U1= BINOM(28,3)*BINOM(25,7)*BINOM(43,10)
> (H1,M1)=(6,1)=>U2=BINOM(28,4)*BINOM(25,6)*BINOM(43,9)*BINOM(4,1)
> ...
> (H1,M1)=(3,4)=>U5= ... ( complete aqui)
>
> Agora consideramos o caso em que H+M = 6. Seguira um montao de
> calculos. Depois consideramos o caso em que H+M=5 e assim
> sucessicamente. No final calculamos o somatorio de todos os Ui
>
> 2) NO MAXIMO 10 PESSOAS SAO PHD EM MATEMATICA
>
> (H2,M2)=(10,0) => V1=BINOM(37,10)*BINOM(26,10)
> (H2,M2)=(9,1)=> V2=BINOM(21,1)*BINOM(32,9)*BINOM(21,1)*BINOM(26,9)
> ... (complete aqui)
>
> e aqui fazemos um raciocinio absolutamente semelhante ao caso acima.
> No final calculamos o somatorio de todos os Vi
>
> A unica pergunta não obvia e a seguinte : quantas comissoes existem
> tais que, simultaneamente, existam no maximo 7 pessoas fluentes em
> frances e no maximo 10 pessoas com Ph"D" em Matematica ? Se existe
> alguma inteligencia neste problema ela esta aqui. O resto que vimos
> acima e trivial e truculento.
>
> Se a resposta a pergunta e "nao", entao a resposta ao nosso problema e :
>
> R = T – somatorio Ui - somatorio Vi
>
> Se a resposta for "sim", seja W o total de comiss
Re: [obm-l] Material sobre álgebra de proposições
Acho o livro Iniciação à Lógica Matemática de Edgar de Alencar Filho muito bom. Ele tem vários exercicios e exemplos. Jônatas. Em 09/07/07, RAFAEL <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, pessoal ! Acabei de estudar a teoria sobre lógica de proposições, argumentos dedutivos, silogismos e por aà vai ... Gostaria, agora, de algum materia e/ou site com MUITOS exercÃcios resolvidos para eu fixar os conceitos. Alguém poderia me ajudar ?
Re: [obm-l] iberoamericana
et.. deve ser o horario! :)
X*xa + Y*ya = -(r^2 - ||A||^2)/2
logo, X e Y estao em uma reta... cuja equacao é:
X*xa + Y*ya = (||A||^2 - r^2)/2
portanto, o lugar geometrico procurado é uma reta..
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
coloquei no programa um teste, e verifiquei que:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
esta correto..
tambem esta correto (geometricamente eh bem facil ver) que: Y/X =
-cotg(a), onde a é o angulo do vetor M com o eixo X..
as expressoes completas sao:
X = ym/2 * (r^2 - ||A||^2)/(ya*xm - xa*ym)
Y = -xm/2 * (r^2 - ||A||^2/(ya*xm - xa*ym)
nao consegui mostrar que X e Y estao em uma reta...
mas acho que rapidamente alguem aqui da lista vai mostrar... :)
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> bom...
> fazendo as contas, cheguei em:
> X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
> onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
>
> isto é... nada! ehehe
> acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
> mas tb nao sei o que sera..
> [usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
> esta errado]
> [agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
> da... mas ja fechei..]
>
> abracos,
> Salhab
>
>
>
> On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Olá,
> > pensei em uma abordagem usando vetores..
> > vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> > vetores M e A..
> > como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> > encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> > M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> > x = produto vetorial
> > . = produto escalar
> >
> > V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> > (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> > portanto, esta reta já esta determinada..
> >
> > V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> > 0.. este é um ponto da demana de MN
> > portanto, esta reta tambem já esta determinada..
> >
> > temos que encontrar X, tal que:
> > X = (A+M)/2 + s*V1
> > X = t*V2
> >
> > X é o centro da circunferencia pedida..
> > (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> > fazendo o produto escalar por M, temos:
> > [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> > [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> > s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
> >
> > assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> > agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
> >
> > vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
> >
> > abracos,
> > Salhab
> >
> >
> > On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > >
> > > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
um
> > > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
o
> > > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> > > quando M varia.
> > >
> > > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
porém
> > > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
> >
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] iberoamericana
coloquei no programa um teste, e verifiquei que:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
esta correto..
tambem esta correto (geometricamente eh bem facil ver) que: Y/X =
-cotg(a), onde a é o angulo do vetor M com o eixo X..
as expressoes completas sao:
X = ym/2 * (r^2 - ||A||^2)/(ya*xm - xa*ym)
Y = -xm/2 * (r^2 - ||A||^2/(ya*xm - xa*ym)
nao consegui mostrar que X e Y estao em uma reta...
mas acho que rapidamente alguem aqui da lista vai mostrar... :)
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
bom...
fazendo as contas, cheguei em:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
isto é... nada! ehehe
acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
mas tb nao sei o que sera..
[usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
esta errado]
[agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
da... mas ja fechei..]
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá,
> pensei em uma abordagem usando vetores..
> vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> vetores M e A..
> como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> x = produto vetorial
> . = produto escalar
>
> V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> portanto, esta reta já esta determinada..
>
> V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> 0.. este é um ponto da demana de MN
> portanto, esta reta tambem já esta determinada..
>
> temos que encontrar X, tal que:
> X = (A+M)/2 + s*V1
> X = t*V2
>
> X é o centro da circunferencia pedida..
> (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> fazendo o produto escalar por M, temos:
> [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
>
> assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
>
> vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um
> > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o
> > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> > quando M varia.
> >
> > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente, porém
> > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] iberoamericana
Ola novamente,
fiz um programinha em MATLAB pra plotar todos esses pontos..
e adivinha? uma reta mesmo!
segue abaixo o programa, basta colocar num m-file.
function teste()
A = [ 10 10 0 ];
r = 2;
ang = linspace(0, 2*pi, 1000);
k = [ 0 0 1 ];
for i = 1:100
M = [ r*cos(ang(i)) r*sin(ang(i)) 0 ];
s = (dot(A, M) + dot(M, M))/(2*dot(cross(A, k), M));
X = (A+M)/2 + s*cross(M-A, k);
ptos(i) = X(1) + j*X(2);
end
plot(ptos, 'x');
mas ainda nao achei meu erro nos calculos..
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
bom...
fazendo as contas, cheguei em:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
isto é... nada! ehehe
acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
mas tb nao sei o que sera..
[usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
esta errado]
[agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
da... mas ja fechei..]
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá,
> pensei em uma abordagem usando vetores..
> vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> vetores M e A..
> como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> x = produto vetorial
> . = produto escalar
>
> V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> portanto, esta reta já esta determinada..
>
> V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> 0.. este é um ponto da demana de MN
> portanto, esta reta tambem já esta determinada..
>
> temos que encontrar X, tal que:
> X = (A+M)/2 + s*V1
> X = t*V2
>
> X é o centro da circunferencia pedida..
> (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> fazendo o produto escalar por M, temos:
> [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
>
> assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
>
> vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um
> > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o
> > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> > quando M varia.
> >
> > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente, porém
> > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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