[obm-l] Integral em termos de funções elementares

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Nicolau e amigos da lista.

  Como eu provo que a integral indefinida:

  integral  e^{-x^2} dx 


não pode ser expressa em termos de funções elementares?
Acho que esse problema já pode ter sido resolvido aqui, mas
não achei a mensagem.


Obrigado.
Ronaldo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] matemática na mídia

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Samuel.
   Algoritmos de criptografia se baseiam basicamente em duas técnicas.
   A primeira delas
se baseia na dificuldade de fatorar números com fatores  primos grandes.
 A segunda delas se baseia no uso em uma função muitos para um como a
função módulo.
 Para ilustrar um pouco isso vou dar dois exemplos:

1)  Dado:

p =47 e q =71

  Então:

n= pq = 3337

  Note que fatorar o número 3337, com algoritmos tradicionais
é computacionalmente caro.  Se Alguém
tentar essa fatoração na mão usando os algoritmos
existentes vai demorar.


2)   A operação de módulo não é reversível se você não conhece o número
pelo qual
está dividindo para extrair o módulo.
Exemplo:
 789 654 476 421 234  mod 123  = 105

   Note que você não consegue obter o número 123 com 105 e  789 654 476
421 234 .
  Isto é, a operação inversa não é possível.

Para maiores detalhes do funcionamento do algoritmo RSA, achei essa página
da UFSCar:

  http://www.dc.ufscar.br/~roberto_lopes/rsa.php

  Achei também um paper na página do Nicolau muito legal sobre aspectos
computacionais
de números primos.  Vou ler depois quando tiver um tempinho:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node22.html

  Esse artigo da revista ciência hoje também me pareceu bastante
interessante.  É
sobre computação quântica e pode interessar a quem gosta do assunto:

   http://ich.unito.com.br/controlPanel/materia/view/1894

  Eu particularmente acho esse assunto fascinante.

[]s a todos.


samuel barbosa wrote:
http://www.dw-world.de/dw/article/0,2144,2235122,00.html 



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Re: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

[Ronaldo Luiz Alonso]

claudio.buffara wrote:

R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e 
nao-degenerados.
Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) sao 
disjuntos e em quantidade nao-enumeravel.
Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos 
compactos disjuntos e nao-degenerados.
No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos 
(tome um racional em cada um deles).
Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de R^2 
em R.

  
  Gostei da prova porque é bastante intuitiva.  Você deve conhecer as 
curvas de

Peano.  Elas foram uma tentativa de achar
uma função contínua e bijetiva de R em R^2 (você provou neste exemplo 
que não existe
uma injetiva de um intervalo de R em R^2). 
   Não existe obviamente uma função bijetiva de um intervalo de R em um 
retângulo de R^2
porque o infiinito de R^2 é maior que o de R (um tem cardinalidade c^2 e 
outro tem cardinalidade
c, respectivamente).Vi uma prova uma vez desse fato no livro de 
topologia do Lipschutz .
Dá uma olhada neste link computacional que usa uma função recursiva para 
desenhar esse tipo de
curva.  


http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/generate/peano.html


O argumento acima e facilmente generalizavel para o caso geral proposto pelo 
Artur.

***

Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma 
bijecao continua.
Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?
  
  Comecei imaginando por exemplo uma bijeção de [0,1] em [0,1].  O que 
vale para essa
bijeção entre esses dois intervalos deve valer para outros.  Podemos 
identificar  cada

elemento de [0,1] com uma sequencia infinita:
 
0.c_1 c_2 c_3 c_4 ...   <==>  s = {c_1,c_2,c_3,...}


onde os c_i são números de 0 a 9.  

  Podemos facilmente concluir assim que trocando elementos da sequencia 
(ex: c_1 por c_4, etc)
podemos obter uma bijeção, mas ela não será contínua.  Para ser 
contínua, pontos vizinhos
tem que ser levado em pontos vizinhos, então só poderemos trocar pontos 
finais da sequência.


  Caso contrário, não poderemos sempre encontrar sempre qualquer
eps> 0 tal que se  |x-x_1| < delta então   | f(x) - f(x_1)| < eps.

  Cada permutação de elementos da sequência gera uma outra sequência. 
Assim  formando
um conjunto de permutações com os n primeiro elementos da sequência 
original obtemos
n! funções (não necessáriamente contínuas).  De fato podemos notar que a 
única função contínua
é a identidade   porque não temos ainda a permutação que inverte todos 
os elementos porque nosso

n ainda é finito.
   Agora supomos que n vá para o infiinito.  Teremos n! funções e duas 
que são contínuas
a identidade e a que inverte todos os elementos.  Bom... não sei se isso 
convence mas acho

que a resposta a pergunta do Cláudio é SIM.

[]s
 Ronaldo.



[]s,
Claudio.



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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Manuel:


Não, não existe não. Toda derivada definida em um intervalo
aberto, limitado
ou não, é o limite de uma sequencia de funcoes continuas. Há um
teorema da
Analise/Topologia que diz que, se g eh o limite de uma sequencia
de funcoes
continuas definidas  num espaco de Baire e com valores em R, entao o
conjunto das descontinuidades de g eh magro na classificacao de
Baire, o que
implica que tenha interior vazio. Logo, o conjunto das
descontinuidades de
uma derivada tem sempre interior vazio e, portanto, nunca eh denso.



Isso está errado, Q (o conjunto dos números racionais) é  magro, tem 
interior vazio,
como qualquer subconjunto enumerável  de R, e é mais ou menos trivial 
o fato de Q

ser denso em R.

Densidade não tem nada a ver, absolutamente nada, nada mesmo, nem com 
o conceito de magro, nem com o conceito de conjunto de medida zero!




  Você (ou alguém da lista) pode dar um exemplo de um subconjunto magro 
não enumerável
denso em outro conjunto e com medida de Lebesgue zero?   Assim que for 
a biblioteca

vou dar uma olhada no livro (eu conheci o professor Hönig).

   Ronaldo.


Já que você citou o teorema de Baire, sugiro olhar o capítulo 3 do 
livro ¨Aplicações da Topologia à Análise" de Hönig, C. S. (Projeto 
Euclides), lá existe muito material sobre este assunto.


Manuel Garcia




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Re: [obm-l] Espaco dual

[Ronaldo Luiz Alonso]

Artur Costa Steiner wrote:

Foi-me pedido que provasse uma afirmacao, mas eu, possivelmente por falta de 
conhecimento, estou perdido, talvez alguem possa ao menos dar uma orientacao:


Provar que o dual do espaço das sequências em F que convergem para zero é 
isometricamente isomorfo ao espaço das sequencias absolutamente convergentes em 
F' (o espaco dual de F).

  
   Talvez isometria e isomorfismo sejam coisas distintas neste caso.  
Isometria preserva
distâncias e isomorfismo preserva estruturas (no caso o problema deve 
estar se referindo

a estrutura de espaço vetorial). Mas não sei se uma coisa implica na outra.

Uma das formas de provar isso talvez seja construir explicitamente
esse isomorfismo a partir de   S={ {s_i}, tal que s_i ->0 quando i-> oo}  e
depois encontrar como as distâncias são preservadas.



Aqui, F eh um espaco vetorial. O dual de um espaco vetorial Feh o espaco 
vetorial formado pelas funcoes lineares de F sobre os reais, nao eh isso?

  

   A definição é:
O espaço dual de um espaço vetorial V é o espaço formado pelas 
transformações de V

em R se o corpo for o corpo dos reais.Esse espaço é chamado de  V*.
 Os elementos desse espaço são chamados de funcionais lineares
e mapeiam vetores em escalares (acho que é isso).   Se for o corpo dos 
complexos
então as os funcionais mapeiam elementos de V em complexos.   Os 
elementos de

V são vetores covariantes e os de V* são chamados de vetores contravariantes
ou 1-formas.

 Concretamente se interpretarmos **R^n como espaço de colunas de n 
números reais
seu espaço dual é o espaço de vetores linha  contendo n números reais. 
Essas linhas
agem em vetores de R^n como funcionais lineares com a operação de 
multiplicação de
matrizes.  



Ronaldo.

Isometricamente isomorfo é um pleonasmo, nao eh? isomorfo jah pressupoe 
isomorfismo. Mas o enunciado estava assim.

Artur



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Re: [obm-l] Função Lipschitz em um su bintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Não entendi nada. Já a primeira desigualdade é falsa: se max(f) = 0
então não temos |f(x)-f(a)| < max(f), talvez você queira dizer
que |f(x)-f(a)| < max(f) - min(f). A segunda desigualdade também não
faz sentido: |x-a| assume o valor 0 para x=a e se max(f) for 1 (digamos)
não existirá nenhum k para o qual max(f) < k |x-a| para todo x em I.
Aliás não vejo onde você está usando a hipótese de f ser derivável
exceto para concluir que f é contínua. Ora, é bem sabido que existem
funções contínuas que não são Lipschitz em nenhum intervalo.
  

  Exato, entendi.  De fato, devo admitir que
os argumentos que eu usei  (ou tentei usar) não fazem sentido neste 
caso e não levam

a nenhuma demonstração. Estou precisando melhor meu conhecimento
desses tópicos (estudar mais).
  Participar desta lista é muito bom porque me ajuda a

perceber os meus pontos fracos, que são muitos
em diversas áreas, principamente em análise.   Apesar de eu estar 
estudando física
computacional a compreensão da matemática, mesmo da mais abstrata, é 
muito importante

para o desenvolvimento futuro das teorias atuais.

Obrigado pelos comentários.
Ronaldo.



[]s, N.

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Re: [obm-l] Função Lipschitz em um su bintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0
onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido.
Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável.
Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores
arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum
subintervalo cujo fecho inclua 0.
  
 Mas o teorema diz que existe um intervalo, não necessariamente esse 
subintervalo

deve incluir zero (ou o fecho dele inclua zero) ...




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Re: [obm-l] Função Lipschitz em um su bintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Não entendi o seu argumento mas é certamente falso que diferenciabilidade
implique em Lipschitz local em uma vizinhança de um ponto de máximo.
  

 Não em um ponto de máximo.
   Eu disse que se a função
é diferenciável em [a,b] ela é contínua em [a,b] então ela alcança um 
valor máximo e um
valor mínimo no intervalo [a,b].  Pelos cálculos apresentados é sempre 
possível achar a constante

de Lipschitz k em termos desses dois valores:

Seja max{f} o  maximo da função no intervalo I.  
Então:|f(x) - f(a)|< max{f}

  Deve existir k real tal que
max{f}  < k |x-a| para   todo x em I.

Para ver isso seja x_inf o menor
valor de x no intervalo I e x_sup o maior valor.

Então para qualquer x e qualquer a no intervalo I temos

 |x-a| < x_sup - x_inf.(comprimento de I)

   Se fizermos k =  max{f}/(x_sup - x_inf) então :

  |f(x) - f(a)| < max{f} =   max{f}/(x_sup - x_inf) * (x_sup - x_inf)
<= max{f}/(x_sup - x_inf) * |x-a|  <= k * |x-a|

   Bem, agora não sei onde os argumentos acima estão errados ...
:)

[]s

Ronaldo.


Considere f(x) = x^2 ( -2 + cos(g(x^(-2, f(0) = 0, onde g é suave
de crescimento rápido. O ponto x = 0 é máximo global estrito mas f não
é Lipschitz em nenhum intervalo com 0 no fecho.

[]s, N.
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Re: [obm-l] Função Lipschitz em um su bintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Artur Costa Steiner wrote:

A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e 
talvez seja mesmo):
  
 Na questão anterior errei. Basta considerar só o valor máximo de f 
para provar a condição

de Lipschitz.

Ronaldo.
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Re: [obm-l] Função Lipschitz em um su bintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso]

A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e 
talvez seja mesmo):

Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. Existe, 
então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

  Acho que vc pode tentar algo do tipo:

  Se f é diferenciável ela é contínua e 
então f atinge um valor máximo e mínimo no 
intervalo I e além disso  para todo delta > 0
  existe eps > 0 tal que |x-a| < delta 
   ==> |f(x) - f(a)| < eps para todo ponto a no intervalo I 
 sendo que essa é a famosa condição lim (x->a) f(x) = f(a).
   
 Sejam max{f} e min{f} os valores maximo e mínimo da função no
intervalo I. 
   Então:   min{f}<  |f(x) - f(a)|< max{f}  ==>

0 <  |f(x) - f(a)| - min{f} < max{f}-min{f}  ==>
 |f(x) - f(a)| < max{f}-2*min{f}

 Como isso vale para todo a no intervalo I então esse número é fixo
então deve ser possível "comprimir o intervalo"  I de forma que 
max{f}-2*min{f} < k |x-a|  todo x em I.  Para ver isso seja x_inf o menor

valor de x no intervalo I e x_sup o maior valor. Então para qualquer x
e qualquer a no intervalo |x-a| < x_sup - x_inf.   
   Se fizermos k =  (max{f}-2*min{f})/(x_sup - x_inf) então


 
  |f(x) - f(a)| < max{f}-2*min{f} = 
   (max{f}-2*min{f})/(x_sup - x_inf) *(x_sup - x_inf)
 <= (max{f}-2*min{f})/(x_sup - x_inf) * |x-a| 
<= k * |x-a|


 Hmmm... será que eu demonstrei?  Basta tomar k = (max{f}-2*min{f}),
claro que os extremos não podem ser considerados e temos que considerar
um subintervalo de I.

Critiquem por favor ;)

Ronaldo.

 





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] (ITA - 92) MATRIZES - questão 10

[Ronaldo Luiz Alonso]

Bruno França dos Reis wrote:

Olá

Seja A a matriz na base canonica de um operador linear T. Assim, como 
detA = 0, temos que 0 é autovalor de T,

   Acho que dá pra enxergar isso detalhadamente como
detA = 0  ==>
   det (A - 0.I) = 0  ==>
0 é autovalor de T  ==>
  existe x não zero tal que Ax = 0 * x = 0 (vetor zero) ==>
   x pertence a ker T ==>
dim kerT > 0.

 É comum omitir detalhes em demonstrações, principalmente depois de
ter ganho muita experiência. 


  Mais eu ainda não entendi ainda como vc concluiu que
este v é uma matriz coluna da matriz A. 
[]

Ronaldo.


Assim, existe um vetor v tal que Tv = 0, ie, existe uma matriz coluna 
tal que AX = 0 (essa matriz coluna é a representação daquele mesmo 
vetor v). 

Olá Bruno.  Como você prova
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] ObmU 2006 - Questao 5

[Ronaldo Luiz Alonso]

Igor Castro wrote:

Necessária, mas é suficiente?

  Boa pergunta, provavelmente não, mas isso aparentemente
  não interfere na solução. O que eu acho que pode estar errado
são algumas conclusões:

   A sequência de argumentação é
 série com termo 1/f(n) converge, ==>
1/f(n) < 1/n para todo n  ==>
f(n) > n  ==>
   f^{-1}[f(n)] > f^{-1}(n) ==>
n  > f^{-1}(n)   ==> (dividindo por n^2)
1/n > f^{-1}(n)/n^2  ==>
  Série com termo  f^{-1}(n)/n^2  converge o caminho pode
ser revertido evidentemente.

   O que pode estar errado nas linhas acima?
Fiquei pensando nisso depois que resolvi. 
   Vc pode dizer que se a série com termo 1/f(n) converge, então

1/f(n) < 1/n para todo n ?
   Outra coisa: 

f(n) > n  ==> f^{-1}[f(n)] > f^{-1}(n)  


Não seria

f(n) > n  ==> f^{-1}[f(n)] < f^{-1}(n)  


Já que f^{-1} é descrescente porque f é crescente?
 Acho que alguém deve ter resolvido diferente. 
Daí podemos achar um possível erro na minha solução.

Abraço.


 
On 10/31/06, *Ronaldo Luiz Alonso* <[EMAIL PROTECTED] 
<mailto:[EMAIL PROTECTED]>> wrote:


Igor Castro wrote:
> Alguem poderia mostrar como fez essa questao
> O link pra prova é:
> http://www.obm.org.br/provas/obm2006/2Fase_Nivelu_2006.pdf
Eu começaria notando que 1/f(n) < 1/n é uma condição necessária para a
convergência e
que f^(-1)/n^2 < 1/n também (pelo teste da comparação)

   Assim se a primeira série converge f(n) > n e se a segunda série
converge f^(-1)(n)/n < 1 ==>
   f^(-1)(n) < n.  ==>  (aplicando f dos dois lados)
n < f(n)  (porque f é crescente).

Então se a primeira converge a segunda converge e vice versa.

  Será que eu esqueci alguma coisa???

Abraço
Ronaldo.
=

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
<http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html>
=





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=

Re: [obm-l] ObmU 2006 - Questao 5

[Ronaldo Luiz Alonso]

Igor Castro wrote:

Alguem poderia mostrar como fez essa questao
O link pra prova é: 
http://www.obm.org.br/provas/obm2006/2Fase_Nivelu_2006.pdf
Eu começaria notando que 1/f(n) < 1/n é uma condição necessária para a 
convergência e

que f^(-1)/n^2 < 1/n também (pelo teste da comparação)

   Assim se a primeira série converge f(n) > n e se a segunda série
converge f^(-1)(n)/n < 1 ==> 
   f^(-1)(n) < n.  ==>  (aplicando f dos dois lados)

n < f(n)  (porque f é crescente).

Então se a primeira converge a segunda converge e vice versa. 


  Será que eu esqueci alguma coisa???
 
Abraço

Ronaldo.
=
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Re: [obm-l] (ITA - 92) MATRIZES - questão 10

[Ronaldo Luiz Alonso]

Zeca Mattos wrote:

Seja A E M_(3x3) tal que detA = 0. Considere as afirmações:
I. Existe X E M_(3x1) não nula tal que AX é identicamente nula.
II. Para todo Y E M_3x1), existe X E M_(3x1), tal que AX = Y
III. Sabendo que A[ 1 0 0 ] = [5 1 2] obs: ambas matrizes são 3x1 
(verticais)
então a primeira linha da transposta de A é [5 1 2] obs: essa é mesmo 
matriz 1x3 (horizontal)


A III é verdadeira porque quando você mulitplica por
[1 0 0] você obtem um vetor coluna
que vira linha quando vc faz a transposta.

A I é verdadeira porque se uma matriz tem determinate zero uma fila 
(linha ou coluna)
é combinação linear das outras filas (linhas ou colunas).   Para ver 
exatamente porque

isso aconteça escreva os elementos de
x_1 = a x_2 + b x_3 ou qualquer combinação e
multiplique primeiro essa matriz por
x_1, depois por x_2 e depois por x_3. 
Uma dessas multiplicações irá dar zero.


 Neste caso, é mais fácil pensar em matrizes 2x2 primeiro e depois 
generalizar o

procedimento (vestibular exige rapidez).

Abraço
Ronaldo.






NOTAÇÃO:
M_(axb) = Matriz com a linhas e b colunas
A E M = A pertence a M
 
 
Resp.: apenas II é falsa
 
 
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda,

Zeca
P.S.: Acho que o e-mail yahoo tá com algum problema, pois já enviei 
essa questão mas ela não foi retransmitida para a lista (ou 
talvez para o meu e-mail)



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Re: [obm-l] (ITA - 97) FUNÇÕES - questã o 2

[Ronaldo Luiz Alonso]

Zeca Mattos wrote:

Seja n E N com n > 1 fixado. Considere o conjunto:
A = {p/q: p,q E Z e 0 < q < n}
Definimos f:R->R por f(x) = [cos(n!pix)]^2n
Se f(A) denota a imagem do conjunto A pela função f, então:

  É mais fácil pensar com números, primeiro e generalizar depois.
   Faça n = 5 por exemplo.
 q =1,2,3,4  ==>  A = {p, p/2, p/3, p/4}

   f(A) = { [cos((5!). pi) . p)]^10,  [cos((5!/2). pi . p)]^10,

[cos((5!/3). pi) . p)]^10, [cos((5!/4). pi . p)]^10}
 
 Agora note que  n!/q é inteiro se q
porque p é inteiro.  Temos então que n! * p/q = k em Z.  E portanto
  [cos(n!pix)] = +1 ou -1

   Como tal expressão está elevada a um expoente par que
no caso é 2n o resultado só pode ser 1.

  Veja que esta questão faz o candidato pensar logicamente.  Ela não 
envolve

nenhum tipo de conta, só argumentação :)

Abraço
Ronaldo.


 
*Resp.: F(A) = {1}*
 
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda,

Zeca


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[obm-l] Complexidade em Geometria.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá a todos.

O professor Nicolau em uma mensagem a tempos atrás citou a tese
de uma aluna da PUC (Silvana Marini) em que ela discutia o
"teorema de Napoleão".   Um aspecto interessante nesta tese
(que ainda estou lendo) é a possibilidade
aparentemente teórica de provar qualquer teorema em geometria com métodos
automáticos.Eu achei esses links interessantes:

http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/complexidade/html/cap01.html
 http://www.uesc.br/arbelos/arquivo/sm/2002/pl.01.pdf
http://wslc.math.ist.utl.pt/ftp/pub/DionisioFM/04-DGM-dlogisa.pdf

  Gostaria de perguntar se existe alguém que conhece e sabe usar esses 
provadores.
   Há alguns programas na rede que fazem isso e estou tentando aprender 
a usar,

mas se houver alguém  que já é usuario desses programas seria ótimo.

Obrigado
Ronaldo.
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[obm-l] Identidade Gaussina.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Alguém sabe provar a seguinte 
identidade Gaussiana ?? (eu confesso que não tentei
mas parece bastante desafiador): 

 exp{1/2 } = {det A}^{-1/2} integral {prod {i=1}^{m} d phi_i /2*pi } * exp {-1/2  + }


aqui: 

 n = (n_1,...,n^m)  phi=(phi_1,...,phi_m) e
<...,...>  é o produto escalar em R^m.


P.S.I, 200.158.199.254, sent you this email using www.Fake-Mailer.com This email is fake.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Fun��o Gamma.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Ojesed:

Pelo Matlab a resposta seria:
 
x*(pi*2^(1/2)-gamma(1/4,-x^4)*gamma(3/4))
-
4*gamma(3/4)*(-x^4)^(1/4)
 

Deve ter algum problema com:

gamma(1/4,-x^4)

pois que eu me lembre a função gamma é uma função
de 1 variável apenas...
P.S.I, 200.153.238.168, sent you this email using www.Fake-Mailer.com This email is fake.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz de Binomiais

[Ronaldo Luiz Alonso]

Cláudio eu suspeitaria, em princípio que 

deva existir uma relação de recorrência entre os 

cofatores dessa matriz para você achar uma relação 
de inversão
que se manifeste de forma 
simples. 
 
 Vc conhece alguma relação
de recorrência simples?
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Monday, May 22, 2006 1:54 PM
  Subject: [obm-l] Matriz de 
Binomiais
  
  Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = 
  (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?
   
  Obs: Naturalmente, vale a convenção: r > s ==> Binom(s,r) = 
0.
   
  ***
   
  Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
  SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
  com 1 <= r <= n.
   
  []s,
  Claudio.
   

[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2

[Ronaldo Luiz Alonso]

Tem que usar série de Fourier. 
     Essa identidade aí é o 
valor da série de Fourier de cossenos
de uma função em um ponto (qual ponto seria 
esse?).
  Note que a série de Fourier para uma função 
periódica é dada por:
 
   f(x) = a_0/2 +  soma (n=1  
... +inf) [ a_n cos nwx  + b_n sen nwx]
 
a_0/2  = x^2/4   ( note que a_0 é a 
média da função no período T)
 
a_n = 1/n^2   (veja a fórmula de a_n e 
integre):
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
 
Acho que agora você mata :)
 
[]s.
 
 
  

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 3:19 PM
  Subject: [obm-l] Somatório de 
  cos(nx)/n^2
  
  Olá,
  alguem saberia como demonstrar a seguinte 
  igualdade:
   
  Somatório ( n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = 
  (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6
   
  Abraços,
  Salhab

[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2

[Ronaldo Luiz Alonso]

Ah... na mensagem anterior eu esqueci de dizer: 
 w = 2*pi/T e  vale 1
nesse caso assim, o período T da função (ímpar) que 
vc vai calcular a série
 tem que obedecer : T = 1/2*pi.
 
 Outra coisa errada que eu falei a_0 = 
pi^2/6   (a_0 é constante!!).
 

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 3:19 PM
  Subject: [obm-l] Somatório de 
  cos(nx)/n^2
  
  Olá,
  alguem saberia como demonstrar a seguinte 
  igualdade:
   
  Somatório ( n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = 
  (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6
   
  Abraços,
  Salhab

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Claudio escreveu:
 
>Se k < e*raiz(2), os gráficos não se intersectam e se k > 
e*raiz(2), eles se intersectam em dois pontos.
 
eu acredito que uma maneira mais complicada 

de achar k seria resolvendo a equação do segundo 
grau que veio da minha
idéia anterior (expansão por série de 
Taylor):
 
 x = e^(4x)/ k^2 
x = 1/k^2 + (1/k^2) (4x) ( 1 + 
2x)
  k^2 x = 1 + 
4x(1+2x)
   k^2 x = 1 + 4x + 8x^2
   8x^2 +4x + 1 -k^2 = 0  

 
 
e achando k de tal modo que a equação tenha 
um
única raiz positiva   (delta 
=0). 
     Se delta >0 ela tem 
duas raizes e os valores de k são valores aproximados
de e*raiz(2).
 
 
    Porém acho que a idéia de que a equação tem a mesma 
dinâmica do mapa logístico
está totalmente errada pois eu não tenho algo do tipo  y = ny(1-y) 
...
   
    Enfim viagens fazem parte da matemática ...
 
[]s.

[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma
solução?


Essa aí é uma questão de sistemas dinâmicos discretos (vulga teoria do 
caos).

Note que podemos escrever:

2x = ln k + (1/2) ln x
 x = (ln k)/2  + (1/4) ln x

Agora  ela está na forma:

  x = f(x)
com f(x) = (ln k)/2 + (1/4) ln x

Ou então:

  e^(4x ) = k^2 x
  e^(4x)/ k^2 = x
  x = g(x) com g(x) =  e^(4x)/ k^2

Vamos nesta g(x) que parece ser mais amigável.
 Podemos escrever:

e^(4x) = 1 + (4x) + (4x)^2/2  (por Taylor).
  = 1 + (4x) ( 1 + 2x)

logo:

e^(4x)/k^2 = 1/k^2 + (1/k^2) (4x) ( 1 + 2x)
 g(x) =  1/k^2 + (1/k^2) (4x) ( 1 + 2x)

 colocando y = 2x

 g(y/2)= 1/k^2 + (1/k^2) 2y(1+y)
 g(y/2) = 1/k^2 + (2/k^2) y(1+y)
g(y/2) - 1/k^2 = (2/k^2) y(1+y)

colocando agora (2/k^2) = n  e  g(y/2) - 1/k^2 = h(y)

temos:

  h(y) = n y (1+y)

Colocando z = -y temos:

w(z) =  h(-z) = -n z (1-z)

colocando -n = m temos finalmente (ufa!):

 w(z) = mz(1-z)

Voilá !   w(z)  é chamada de EQUAÇÃO LOGÍSTICA, que é
famosa na teoria do Caos.   Ela admite uma única solução
(ponto fixo) quando 0< m < m*onde m* é o parâmetro
correspondente à primeira bifucarcação:

http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

   Tudo que você tem a fazer agora é trocar as variáveis, voltar e resolver
az inequações/equações acima.
  Espero não ter errado nenhuma conta.
Abraços!

Ronaldo.







Um abraço a todos
Bernardo





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Rotação em torno d e um eixo arbitrário.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Ojesed: Obrigado, funcionou !!  
 
Baixei o código em JAVA que tinha
nesta página, fiz uma versão em C++ e 
anexei ao meu fonte.
 
   Assim se algum dia algum
programador da lista precisar é só pedir que 
eu 
forneço o fonte.  Essa história de rotação em 
torno
de um eixo tem
a ver com quartenions (que foram uma 
criação
de Hamilton).   Para quem tiver 
curiosidade basta olhar:
 
http://www.cs.utexas.edu/users/fussell/courses/cs384g/quaternions.pdf
 
    
 
 
 
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Ojesed Mirror 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, May 11, 2006 11:18 
  PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Rotação em 
  torno de um eixo arbitrário.
  
  boa sorte...
  
- Original Message - 
From: 
Ronaldo Luiz 
Alonso 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, May 11, 2006 8:58 
PM
Subject: [obm-l] Rotação em torno de um 
eixo arbitrário.

Achei... mas é  confuso ...:
 
http://www.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/ArbitraryAxisRotation.html



No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
Edition.Version: 7.1.392 / Virus Database: 268.5.6/337 - Release Date: 
11/5/2006

[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo

[Ronaldo Luiz Alonso]

-> 
u (x) v  =  c_11 [e_1 (x) e^1] +  c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] 
+

c_22 [e_2 (x) e^2]
-> 
Esse (x) entre os vetores e_1 e e^1, e_1 e e^2, etc significa qual

operação entre vetores?
Pode dar um exemplo?


  Esse (x) denota produto direto tensorial.  Andei pesquisando um pouco
e descobri que produto direto tensorial não é a mesma coisa que produto
direto.

   Um espaço produto ( obtido por produto direto de espaços)
  nada mais é do que um produto cartesiano de espaços, que por sua vez
pode   ser equipado com uma métrica que induz uma topologia
(topologia produto):

http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product

   Por exemplo:   Se você pegar duas cópias de R por exemplo, uma
com base e_1 e outra com base e_2 e fizer um produto direto (comum)
vai obter um espaço com base (e_1,e_2).   Note que a dimensão é
a soma das dimensões.  O espaço obtido
dessa forma é o mesmo que você obteria se fizesse a soma direta
dos  dois espaços.

  Agora, o produto direto*tensorial*  é diferente.  A dimensão no
caso, é o *produto* das dimensões:

http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceTensorProduct.html


  Quando você multiplica tensorialmente dois espaços vetoriais
você gera um novo espaço vetorial, cuja base consiste de elementos
da forma  e_i (x) e^j   (note que o subscrito é usado para vetores linha
e o superscrito para vetores coluna).  O número de elemnentos da
nova base, é claro, é igual à dimensão do espaço produto gerado.

http://planetmath.org/encyclopedia/TensorProductClassical.html



Os c_ij são obtido de qual maneira usual?


  São obtidos da mesma forma que vc obteria se multiplicasse dois
polinômios.   Vou tentar construir um exemplo:

v = a^1 e_1 + a^2 e_2
w = a_1 e^1 + a_2 e^2

  Aqui você pode pensar em v como um
vetor coluna e w como um vetor linha.
 O que acontece quando vc multiplica um
vetor coluna (covariante -- subscritos) por um vetor linha
(contravariante -- superscritos) ?  Vc obtém uma matriz (tensor):

v (x) w = [ a_1 ] [a^1 a^2]  = [ a^1a_1   a_1a^2  ]
  [ a_2 ] [ a^2a_2   a^2a_2  ]

Agora veja:  A entidade que vc obteve não é mais um
vetor e a dimensão dessa entidade é 4.  Isto é vc pode
escrever:
[ a^1a_1   a_1a^2  ]   =  a^1a_1[1  0]  + a_1a^2[0 1]  +
[ a^2a_2   a^2a_2 ]   [ 0 0][ 0 0]

a^2a_2 [0  0]  + a^2a^2  [0  0]
   [ 1 0]   [ 0 1]


ou, mais resumidamente:
   v (x) u = a^1a_1 e_1(x)e^1 +  a_1a^2 e^1(x)e_2 +
 a^2a_1 e_1(x)e^1  +  a^2a_2 e^2(x)e_2

 v (x)u  =  somatório_{ij}  a_i a^j  e ^i  _j

onde e^i _j = e^i (x) e_j  é a base do tensor (também chamado
de delta de Kroenecker).  Veja que neste exemplo,
cada delta de Kroenecker
é uma 'matriz'  em que todos números são zero, exceto um dos
números (que é 1).  Note que v  é um tensor de rank (1,0)
isto é, um vetor coluna e w é um tensor de rank (0,1), isto é,
um vetor linha.  O resultado é um tensor de rank (1,1), isto é
uma matriz bidimensional.


http://planetmath.org/encyclopedia/CharacteristicArray.html

  Agora, fique esperto, pois nosso amigo Einstein, costuma suprimir as 
somatórias

quando vc faz a soma sobre um mesmo índice.

http://mathworld.wolfram.com/EinsteinSummation.html

  Note que é possível generalizar  essa idéia para n dimensões.
Como vc sabe delta_{ij}  em dimensão 2 poderia ser escrita
como:

delta_{ij} = [1 0]
  [0 1]  isto é, se i=j o elemento vale 1, senão vale 0.

  E se fosse
delta_{ijk} ? Primeiro seria uma matriz
tridimensional.   Onde estariam os números 1 ?
Ora, onde i=j=k ou seja, na diagonal principal da
matrix 3x3.
Agora como seria delta_{ij}^{k} ?  Note que agora temos
um cubo e um cubo tem 3 diagonais principais. Em qual
delas estariam os números 1?



Realmente não entendi.


 Um exemplo realtivamente fácil de entender são as formas quadráticas
que são definidas a partir de  tensores também  mas que
no final das contas dão valores escalares:

http://mathworld.wolfram.com/QuadraticForm.html

 Um elipsóide, por exemplo, pode ser definido a partir de uma
forma quadrática:

 http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid

(tá em deutch, mas a idéia matemática e as equações dá para entender).
   Note que a forma geométrica do elipsóide é *independente*
do sistema de coordenadas escolhido.  Isso é uma característica de objetos
definidos a partir de tensores.
   Mas existe um sistema de coordenadas no qual a matriz é diagonal.
 Outras quádricas podem ser definidas por formas quadráticas e de
fato suas formas são invariantes por transformações de coordenadas.

   Hmmm o que isso tem a ver com mecânica ?
Euler consegue descrever a rotação de um corpo rígido arbitrário
usando uma coisa chamada Elipsóide de Inércia.
 Como vc deve saber, o momento de inérci

[obm-l] Rotação em torno de um eixo arbitrário.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Achei... mas é  confuso ...:
 
http://www.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/ArbitraryAxisRotation.html

[obm-l] Rotação em torno de um vetor arbitrário.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá pessoal, desculpem minha ignorância ... 

ou digamos falta de paciência.
 
Como é mesmo uma matriz de rotação em torno de um 
vetor
 arbitrário de componentes  (a,b,c) em R^3 ?
 
Eu sei... eu sei... é uma coisa básica de Álgebra 
Linear mas 
to apanhando feio para fazer um programa de 
computação gráfica que gira
a ligação covalente de uma molécula !  
Ahrrr!!
 
[]s

[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Parábola e elipse

[Ronaldo Luiz Alonso]

E se, digamos, você aumentar também, de forma 
proporcional, a soma das distâncias?

  - Original Message - 
  From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, May 11, 2006 1:36 
PM
  Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Parábola e 
  elipse
  
  Nao. 
  Elipse eh o lugar geometrico dos pontos de um plano cujas somas das distancias 
  a dois pontos fixos, os focos, eh constante. Uma elipse eh sempre uma curva 
  limitada.
  Parabola eh o lugar geometrico dos pontos de um plano que equidistam de 
  uma reta e de um ponto fixo, o foco. A parabola eh uma curva 
  ilimitada.
   
  Se 
  vc mantiver fixo um dos focos de uma eliose e fizer o outro deslizar para 
  infinito, vc vai achatando a elipse. Nunac vai se aproximar de uma 
  parabola.
   
  Artur
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Josimar Moreira 
RochaEnviada em: quinta-feira, 11 de maio de 2006 
12:38Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 
Parábola e elipseÉ correto dizer que a parábola é 
uma elipse com um dos focos no infinito?


Abra 
sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
anti-spam realmente eficaz. 

Fw: [obm-l] Ajuda Urgente em derivadas!!!!!!!!!!

[Ronaldo Luiz Alonso]

Use a regra da cadeia para derivadas 
parciais:
 
dw/da  = (dw/dx)(dx/da) + 
(dw/dy)(dy/da)
dw/dr =  (dw/dx)(dx/dr) 
+(dw/dy)(dy/dr)
 
logo temos:
 
   dw/da = (dw/dx) (-r sen a) + (dw/dy) 
(r cos a)
   dw/dr = (dw/dx)  cos a  + 
(dw/dy) sen a
 
Isso aí é um sisteminha.  Vc coloca dw/da = 
s , dw/dr = t
dw/dx = p  e dw/dy = q e aí ele 
fica:
 
   s = p (-r*sen a) + q (r cos 
a) 
   t =  p (cos a)  + q (sen 
a).
 
É só calcular agora p que é o que vc quer em função 
de s e t.
 
Acho que é isso.
[]s a todos.
 

[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Não entendi como fazer o produto externo entre vetores de dimensão 2.
Geralmente o produto externo, ou vetorial, entre dois vetores de
dimensão 3 é feito calculando o seguinte determinante:

[  i j k ]
[ a1  a2   a3]
[ b1  b2   b3]


Eu me confundi com os termos.
  O produto externo na realidade é aquilo
que chamamos de "produto vetorial".
O produto interno é o também chamado "produto escalar".
   No caso o produto a que eu estou me referindo não é nem escalar
nem vetorial.  É um produto direto.  Você simplesmente multiplica 
diretamente

os vetores e suas componentes.  O resultado é um vetor em um novo espaço
(espaço produto).  Se os dois vetores tem dimensão dois, então o produto 
direto
deles terá dimensão 4 e a base deste espaço de dimensão 4 será o produto 
direto

das bases dos espaços de dimensão 2.




De acordo com a teoria de tensores, ordem 2 é o mesmo que rank 2. Um
tensor de rank 0 é um escalar, rank 1 um vetor, rank 2 uma matriz e
rank 3 um cubo. Assim, um tensor de ordem 2 tem nove componentes.
Se eu não estiver certo me corrija.


Tá certo.  Num espaço de dimensão 2 um tensor de ordem 2 tem 4 
componentes e num

espaço de dimensão 3 tem 9.





Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).


Não entendi. Poderia ser mais elucidativo.



  Se a matriz do tensor é simétrica então os elementos da diagonal são
iguais e portanto linearmente dependentes.

Como eu disse, eu não entendo muito de tensores.  Eles sempre foram um 
enigma para mim :).

[]s.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Acho que esse material pode ajudar melhor:


http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf

Notice that the effect of multiplying the unit vector by the scalar is to 
change the magnitude fromunity to something else, but to leave the direction 
unchanged. Suppose we wished to alter both the magnitude and the direction 
of a given vector. Multiplication by a scalar is no longer sufficient. 
Forming the cross product with another vector is also not sufficient, unless 
we wish to limit the change in direction to right angles. We must find and 
use another kind of mathematical 'entity.'







- Original Message - 
From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Sunday, May 07, 2006 8:25 PM
Subject: [obm-l] Mecânica do Contínuo



Olá pessoal da lista!!!

Peguei uma lista de exercícios de um professor de Mecânica do Contínuo
e estou colocando aqui.

1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão

2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?

3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[  01,2   2,1]
[ 0,3  1,5   0,1]
[  01,4   0,9]

4. No espaço 2d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um quadrado unitário
em coordenadas cartesianas.

a) {Eij} = [  00,1]
 [ 0,1   0  ]
b) {Eij} = [ -0,1 0]
 [ 0   -0,05]
c) {Eij} = [00,08]
 [ 0,08  0,05 ]

5. No espaço 3d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um cubo unitário em
coordenadas cartesianas.

a) {Eij} = [  00   0 ]
 [  0  0,1   0]
 [  0  0  -0,1]
b) {Eij} = [  00,08   0]
 [0,08   0  0]
 [  0  0 0]

Estou sem base para resolver estes exercícios. Quem tiver
conhecimentos nessa área e puder ajudar ficarei muito grato.

Agradeço a atenção de todos,

Abraços!!!

--
Henrique
"Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar."
"There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach."
"O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais." - Piaget
"The confident individual try more, err more, learn more." - Piaget

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Hmmm será que eu me arrisco a responder essas questões?

Vou apenas tentar ajudar.  Primeiro um tensor é
como se fosse um produto de vetores (só que esses vetores
pertencem a espaços diferentes) e por isso até hoje nunca vi algo que
pudesse representar um tensor graficamente.
  Imagine por exemplo o sistema de coordenadas no plano com os vetores
e_1, e_2.  Um vetor teria a forma
u = a_1e_1 + a_2e_2

Imagine agora o sistema de coordenadas na esfera, com os vetores
e^1, e^2.  Um vetor teria a forma
  v = b_1 e^1 + b_2e^2

Vc poderia fazer o produto externo desses dois vetores e obter:

u (x) v  =  c_11 [e_1 (x) e^1] +  c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] + 
c_22 [e_2 (x) e^2]


Note que vc obteve uma entidade cuja
base é { [e_1 (x) e^1] , [e_1 (x) e^2], [e_2 (x) e^1],  [e_2 (x) e^2] }.
onde (x) denota o produto externo. Os c_ij sao obtidos da maneira usual.

  Da mesma forma que ocorre quando mudamos o sistema de bases de um vetor e 
as
componentes desse se transformam, quando mudamos a base de um tensor, as 
componentes

desse tensor também sofrem transformação.

Uma coisa a notar é que somente usamos tensor, quando a relação entre 
dois vetores
é anisotrópica, isto é,  suponha que o módulo da  aceleração (vetor) dependa 
da
direção da força (ângulo phi) e que o módulo da foça por sua vez, dependa da 
direção da aceleração (ângulo psi).   A relação entre as duas 
componentes depende da direção e a representação

vetorial delas não é adequada:

http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor



1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão


Uma componente invariante é aquela que não muda quando mudamos o sistema de 
coordenadas.

Um tensor de ordem 2 tem 4 componentes.


2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?


Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).


3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[  01,2   2,1]
[ 0,3  1,5   0,1]
[  01,4   0,9]


O que é um desviador?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas

[Ronaldo Luiz Alonso]

Tá certo.  Quando vc "integra parcialmente" em 
y 
tem que considerar que funções de x 
são constantes e daí você precisa de duas 
equações. 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Eduardo Wilner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, May 04, 2006 9:45 
PM
  Subject: Re: RES: [obm-l] Funcoes 
  complexas
      Acho que não é.    
      Também é necessário que du/dx = dv/dy =  -2x, e 
  como voce colocou temos du/dx=0. Como as derivadas 
  são parciais,   u = -2y + y^2 + w(x)  e   du/dx = 
  dw/dx = -2x   => w = -x^2+C   => u = y^2 - 2y  
  - x^2 + C.Sugestão; Não postar problemas diferentes com títulos 
  iguais. Se o assunto for o mesmo, como neste caso, pode-se colocar como itens 
  de uma mesma postagem. Ou Funções complexas I, Funções complexas II, 
  etc. Abraços  Wilner
   --Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]nome de Ronaldo Luiz 
AlonsoEnviada em: quinta-feira, 4 de maio de 2006 15:29Para: 
obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Funcoes 
complexas>> 1º) A parte imaginária de uma função 
holomorfa é 2x(1-y). Calcule a parte> real.Se função uma 
função é holomorfa então suas componentes satisfazemas equações de 
Cauchy-Riemman.As equações são as 
seguintes:http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann_equationsVeja 
f(x + iy) = u + iv neste caso v = 2x(1-y)dv/dx = - du/dy (segunda 
equação)2(1-y) = -du/dy- 2(1-y)dy = duu = integral de 
(-2+2y)dyu = -2y+y^2Acho que é 
isso.>>> 
=> 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> 
=> 
=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
  
  
  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre 
  seu aparelho agora!

[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas

[Ronaldo Luiz Alonso]

Favor quem puder me responder agradeço

1º) Usando os valores principais de z^i, (z=re^îø), escreva z^i na forma
u(r,ø) + iv(r,ø)e mostre que u=u(r,ø) e v=v(r,ø) são funções harmônicas.


 Para quem não sabe, funções harmônicas são aquelas que satisfazem a 
equação

diferencial de Laplace:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

  Neste caso temos que mostrar que  f(r,phi) -->( u,v)
  d^2 u/dr^2  + d^2 u/d phi^2 = 0
  d^2 v/dr^2 +  d^2 v/d phi^2 = 0

  Deixo as contas para a moçada.
Ronaldo.






=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas

[Ronaldo Luiz Alonso]

Favor quem puder me responder agradeço
1º) Seja f: C-->C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, 
f(z+w)

= f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua.


 É só provar que ela é diferenciável em z =0.  Se ela for diferenciável 
(holomorfa)

em z =0 então ela é contínua.  certo?








=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Funcoes complexas

[Ronaldo Luiz Alonso]

1º) A parte imaginária de uma função holomorfa é 2x(1-y). Calcule a parte
real.


  Se função uma função é holomorfa então suas componentes satisfazem
as equações de Cauchy-Riemman.
  As equações são as seguintes:

  http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann_equations

  Veja   f(x + iy) = u + ivneste caso v = 2x(1-y)

   dv/dx = - du/dy  (segunda equação)
   2(1-y) = -du/dy
  - 2(1-y)dy = du
u = integral de (-2+2y)dy
u = -2y+y^2

   Acho que é isso.









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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Papers Originais.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Para as pessoas interessadas em ler os trabalhos 
originais de matemáticos,
A wikipedia costuma colocar na seção de referência 
algumas citações à  papers orginiais.
 
Aqui vai um exemplo de como acessar, digamos um paper de Poincaré:
 
1) Digite Jules Henri Poincaré no 
Google.
2) Clique na resultado da pesquisa retornado que 
contém a palavra "Wikipedia"
3) Vá para a parte de baixo da página 
(references).
4) Clique no link em azul (o paper será 
baixado). Salve o paper.
 
   Suponha agora que você queira 
pesquisar em um paper que está sendo
citado no paper que você salvou:
 
1)  Selecione nome a referência completa do 
paper que você está interessado.
 
Ex:
 
Lorentz, H. A. 
(1904) "Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less Than 
That of Light", Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 
669-78.
 
Cole isso no Google.  
 
2) Irá aparecer a janela "Google 
Acadêmico".
   Clique em um dos links (neste caso 
aparece um livro com uma coleção de papers).
 
 Muitas vezes (não todas, é possível obter os 
originais).

Re: [obm-l] numero de partidas de xadrez

[Ronaldo Luiz Alonso]

Eu acho que, formulado desta forma,  ha infinitas possibilidades.  Eh
verdade que, pelas regras, se um dos jogadores ficar  soh com o rei, entao 
o

adversario tem, no maximo, 50 lances para dar xeque mate. Mas, mesmo assim
acho que eh possivel fazer jogadas ciclicas, de modo que o numero de 
lances

necessario para decidir uma partida eh, ainda assim, ilimitado. Isto eh,
cada partida termina em um numero finito de lances, mas para todo M>0 
existe

uma partida que termina em mais de M lances.

Este problema eh quase intratavel, certo?


  Na prática  acredito que não, pois verificamos que
os jogos quase sempre terminam.




Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Representação gráfica de um tensor.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Os vetores tem uma representação gráfica como uma 
seta.
E os tensores?  
Tem jeito de representar um tensor 
graficamente?
 
PS: Até hoje tensor para mim é um enigma. 
:)
Ronaldo Luiz Alonso

[obm-l] Re: [obm-l] módulo de uma grande vetorial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Isso. 
O conceito é o mesmo.
  Por exemplo em R (conjunto dos 
reais)  | -2| = 2. 
     -2 é um vetor unidimensional 
(imagine-o como uma "seta" saindo da origem 0
e indo até -2).   2 é o módulo deste vetor (comprimento da 
"seta").

  - Original Message - 
  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 28, 2006 2:25 
PM
  Subject: [obm-l] módulo de uma grande 
  vetorial
  Muitas vezes em física quando se fala do 
  valor numerico das grandezas vetorias costuma-se chamala de módulo. Quando me 
  refiro ao valor numerico de uma grandeza por módulo em física é o mesmo 
  conceito da matemática só seu valor positivo, 
  comprimento desse vetor ?? 

Re: [obm-l] Calculo Variacional

[Ronaldo Luiz Alonso]

Bruno, vc conhece a wikipedia?  Dá uma 
olhada  :
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations
 
Pessoas como eu que passam o dia todo no 
computador,  geralmente não vão à biblioteca 
(pois gasta-se muito tempo para caminhar até lá -- 
risos).  Eu costumo pegar material online, ver
as referências e depois de ter uma noção 
básica das idéias, baixar os papers originais e ler no 
próprio computador.
 
    E no 
computador hoje,  dá para acessar  *quase*  
tudo
que já foi publicado (até papers originais da 
década de 50, escrito pelos próprios criadores
da teoria).   
  
     Que tal ler os papers de 
Poincaré, Lagrange, Galois, Dirac, Feynman ?  Acho que é muito 
mais
poderoso adotar esse enfoque.  Principalmente 
para quem tem mais familiaridade e abstração
como você e outras pessoas ilustres.  Claro 
que isso é só uma sugestão.
 
   
    No caso do cálculo variacional, 
talvez fosse interessante ler alguns papers de Euler e depois
papers de Arnold, Kolmogorov, Moser.  Esse 
tipo enfoque é bom, pois
desenvolve aquilo que é essencial em quem pratica 
matemática:  A PESQUISA.
 
  Olhe por exemplo a página do professor 
Nicolau ou de algum outro cientista:   Tá cheia de 
papers!
Como será que eles conseguiram ter tanta 
imaginação?  Foi lendo, pesquisando e discutindo com 
as pessoas. Não tem outro jeito.  Vc precisa 
de uma massa crítica de conhecimento inicial
para poder produzir conhecimento novo.
 
    Claro que só ler 
também  não basta.  
   É preciso também praticar alguns 
poucos exercíos.
 
  Eu particularmente gosto de ler os papers 
originais (mesmo não sendo tão criativo 
e rápido no pensamento) pois essas pessoas (geniais)  são as melhores que existem para 
ensinar,
 e geralmente bons autores de 
livros
(provavelmente algumas pessoas desta lista num 
futuro próximo ) são bons justamente por
terem lido  os papers originais e terem 
tido contato com as pessoas que os publicaram.
 
   Por incrível que pareça, ter contato 
com pessoas geniais, mesmo apenas lendo o que elas escrevem,
 contamina o espírito de quem tem vontade de aprender e crescer.  E a pessoa entusiasta de 
fato se 
torna cheia de poder, tão logo ela se 
aplique.
  
     Eu acredito 
muito nisso.
   
   Se a imaginação é livre ela é 
feita para voar e temos que dar asas à ela.    
 
[]s.
 
- Original Message - 

  From: 
  Bruno França dos 
  Reis 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 28, 2006 1:54 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Calculo 
  Variacional
  Obrigado, Celso e Ronaldo!O que eu quero é ver mecânica 
  analítica. Estou com o livro do Nivaldo A. Lemos. Alguém conhece? É bom para 
  começar?Bruno
  On 4/28/06, Ronaldo 
  Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
  

Bruno dá uma olhada neste também:
 

Calculus of Variations I: The Lagrangian 
Formalismby Mariano Giaquinta, Stefan 
Hildebrandt  -  Sample pages from the Google Books Partner 
Program
 
São dois volumes: O primeiro trata de funcionais e Equações de Euler 
Lagrange e o segundo trata do formalismo Hamiltoniano.
Acho esses são mais completos para estudar.
 
[]s.


- 
Original Message - 
From: 
Bruno França dos Reis 

To: 
OBM 
Sent: 
Thursday, April 27, 2006 7:15 PM
Subject: 
[obm-l] Calculo Variacional

Oi, 
gente.Alguém aí tem alguma indicação de livro bom de Cálculo 
Variacional? Eu nunca estudei isso antes, e precisaria de algo de bem fácil 
compreensão.Obrigado,Bruno-- Bruno França 
dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 
-- 
  Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 
  12626000e^(pi*i)+1=0 

Re: [obm-l] Calculo Variacional

[Ronaldo Luiz Alonso]

Bruno dá uma olhada neste também:
 

Calculus of Variations 
I: The Lagrangian Formalismby Mariano Giaquinta, 
Stefan Hildebrandt  -  Sample pages from the Google Books Partner Program
 
São dois volumes: O primeiro trata de funcionais e Equações 
de Euler Lagrange e o segundo trata do formalismo Hamiltoniano.
Acho esses são mais completos para estudar.
 
[]s.

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno França dos 
  Reis 
  To: OBM 
  Sent: Thursday, April 27, 2006 7:15 
  PM
  Subject: [obm-l] Calculo 
Variacional
  Oi, gente.Alguém aí tem alguma indicação de livro bom de 
  Cálculo Variacional? Eu nunca estudei isso antes, e precisaria de algo de bem 
  fácil compreensão.Obrigado,Bruno-- Bruno 
  França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
  icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 

Re: [obm-l] Algebra

[Ronaldo Luiz Alonso]

Vejamos:
    a^2 - b^2 = 7
    (a+b)(a-b) = 7
 
Vamos por exclusão: 
   a-b não pode ser 0 
   a-b não pode ser 3 (pois 3 não divide 
7)
  a-b não pode ser 4 (pois 4 não divide 
7)
  a-b não pode ser 7  
   aqui é interessante: se  a = 7+b 
e substituindo acima temos que:
( 7+b+b) 7 = 7
 (7+2b) = 1
   2b = -6 ==> 
b=-3  que não é natural
Resposta B.

  - Original Message - 
  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, April 27, 2006 8:38 
  PM
  Subject: [obm-l] Algebra
  Os números naturais a e b, com a>b, são tais que a^2-b^2=7. 
  O valor de a-b é:a)0 b)1 c)3 d)4 e)7 

Re: [obm-l] Calculo Variacional

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Bruno!
    Cara, eu andei estudando um 
montão de livros de cálculo variacional durante meu doutorado,
só que não lembro direito onde comecei Nem sou 
especialista nisso para te indicar um bom livro.
  
  Suponho que provavelmente você esteja querendo algo
simples e intuitivo para ter um primeiro contato 
como o assunto e não algo com muito rigor matemático.
   Vou indicar um 
livro que eu achei interessante, mas que não foi o mais simples que eu 
li:
 

Energy Principles and Variational 
Methods in Applied Mechanicsby J. N. 
Reddy  -  Sample pages from the Google Books Partner Program
  
Esse aí mostra um bocado de exemplos de aplicação e 
é bom, pois daí vc não fica só na matemática pura :)
Espero ter ajudado.
Ronaldo.
 

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno França dos 
  Reis 
  To: OBM 
  Sent: Thursday, April 27, 2006 7:15 
  PM
  Subject: [obm-l] Calculo 
Variacional
  Oi, gente.Alguém aí tem alguma indicação de livro bom de 
  Cálculo Variacional? Eu nunca estudei isso antes, e precisaria de algo de bem 
  fácil compreensão.Obrigado,Bruno-- Bruno 
  França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
  icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Provar: Conjunto fechado, limitad o e NÃO compacto

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Arthur:


Se V for o espaco vetorial topologico composto pelas
sequencias de reais, hah uma prova simples: seja e_n a
sequencia de reais na qual o n-gesimo termo eh 1 eos
demais sao todos nulos. Entao, {e_n} eh uma sequencia
(sequencia de sequencias)na bola unitaria fechada de
V.  Se m<>n, entao e_m - e_n eh a sequencia com 1 na
posicao m, -1 na posicao n e zero em todas as demais,
de modo que ||e_m - e_n|| = 1. Assim, nenhuma
subsequencia de e_n eh Cauchy e, portanto, nenhuma
subsequencia eh convergente.


 Acredito que esse tipo de espaço, proporciona um exemplo bastante não 
natural.

Como seria  geométricamente um tal conjunto?

   Enquanto estava lendo a 
demonstração
acima, imaginei o seguinte:  Cada uma dos elementos da seqüência (de 
sequencias) poderia ser
identificado com um ponto em R^{infinito} (pois temos infinitas 
coordenadas).
   Como todos os e_i possuem pelo menos uma coordenada não nula na bola 
unitária em R^{infinito}
e essa coordenada é 1 à medida que percorremos o índice i vamos adicionando 
um ponto à
superfície desta bola (que diga-se de passagem não se parece com uma bola e 
sim com um hipercubo

de dimensão infinita).

 O que acontece (intuitivamente falando) é que apesar do conjunto ser 
fechado e limitado, a forma como a norma é definida e
o fato da dimensão do espaço ser definida, conseguem juntos dispersar os 
elementos de uma sequência de Cauchy
(não conseguimos ||x_m - x_n|| < eps  para m,n > N). 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar: Conjunto fechado , limitado e NÃO compacto

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Daniel:


Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k)  ...


... Vc não quiz dizer elementos de A?  Não?

Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode cobrir A, e então A não é 
compacto.
Com pequenas alterações, esse resultado vale para todo espaço real de 
dimensão

infinita: a bola unitária nunca é compacta.


 Certo. Bonita demonstração.



[]s,
Daniel



'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300
'>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e N
'>' ÃO compacto
'>'From: "alencar1980" <[EMAIL PROTECTED]>
'>'To: "obm-l" 
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'Pessoal,
'>'
'>'Será que alguém poderia me ajudar a provar que o conjunto "A" abaixo
é fechado,
'>'limitado e não-compacto.
'>'
'>'Considere o conjunto
'>'
'>'{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n}  é não-nulo}
'>'
'>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais} {|x_{n}|}.
'>'
'>'Obs.: Na definição acima n pertence aos naturais. Por exemplo, 
(1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...)

'>'pertence ao conjunto acima.
'>'
'>'Mostre que
'>'
'>'A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas não-compacto.
'>'
'>'Obrigado por qualquer ajuda.
'>'
'>'[]'s




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Encontrar vértices d e um quadrado.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Sem dúvida é uma solução mais 
simples, rápida e elegante ... 
O pessoal da lista deve ter percebido que às vezes 
eu
me perco nos 
próprios pensamentos ...também gosto de mostrar
exemplos práticos de aplicação das coisas  e 
muitas vezes acabo complicando coisas
simples -- 
desculpem se parecer  pedante... 
isso não intencional...  
Obrigado
Ronaldo.

  - Original Message - 
  From: 
  Fernando Lukas Miglorancia 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 26, 2006 9:29 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Encontrar vértices de um quadrado.
  
  Bom dia,
   no meu modesto ponto de ver, talvez seja melhor 
  pensarmos nas somas e diferenças entre Z0 e Z1 para então construírmos Z2 e Z3 
  do que utilizarmos o produto. Também podemos "girar um complexo de 90graus" 
  multiplicando-o por ´i´, o que equivaleria a trocar o par ( a,b) por  
  (-b, a). Espero poder ter ajudado, 
   
      
  Fernando
   
  Em 25/04/06, Ronaldo 
  Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

  >> 
Favor quem pode me responder este Problema.>> Suponha que Z0 e 
Z1 pertencente aos Complexos, são dois vértices de um > 
quadrado.> Encontre os outros dois vértices, em todos os casos 
possiveis.   Se Z0  e Z1 forem vértices 
consecutivos, então Z2 tal que Z2 x Z0 = 0 éum outro vértice.-Z2 
também é.A mesma coisa com Z1, ou seja, Z3 tal que Z3 x Z1 = 0 é outro 
vértice. -Z1 também é.Veja quex aqui denota o produto escalar de 
vetores.Os complexos tem que ser encarados como vetores em R2 para isso 
funcionar,isto é (a,b) x (c,d) = ac + bdHá outros 
casos?   Sim, quando Z0 e Z1 não forem consecutivos, isto é, 
pertencerem a uma das diagonais. Aí a 
solução não é tão imediata ...Mas são meus 
centavos ... de qualquer maneira.[] 
s>>>>>>>> 
= 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> 
= 
>=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] Re: [obm-l] Encontrar vértices de um quadrado.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Favor quem pode me responder este Problema.

Suponha que Z0 e Z1 pertencente aos Complexos, são dois vértices de um 
quadrado.

Encontre os outros dois vértices, em todos os casos possiveis.


   Se Z0  e Z1 forem vértices consecutivos, então Z2 tal que Z2 x Z0 = 0 é 
um outro vértice.

-Z2 também é.
 A mesma coisa com Z1, ou seja, Z3 tal que Z3 x Z1 = 0 é outro vértice.
-Z1 também é.
Veja que
 x aqui denota o produto escalar de vetores.
 Os complexos tem que ser encarados como vetores em R2 para isso funcionar,
isto é (a,b) x (c,d) = ac + bd

 Há outros casos?
   Sim, quando Z0 e Z1 não forem consecutivos, isto é, pertencerem a uma
das diagonais.
 Aí a solução não é tão imediata ...
Mas são meus centavos ... de qualquer maneira.
[] s











=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagando na solução ).

[Ronaldo Luiz Alonso]

o que é trivial já que p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p pela desigualdade do 
rearranjo.


  Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que
 uma das formas de demonstrá-la
seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais.

  p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p
 p^2 (p-q) + q^2(q-p) >= 0
p^2 (p-q) >= q^2(p-q)

Exemplo:

Supondo p== q temos igualdade
OK pass
 Supondo  p > q , p>0, q>0  temos
   p^2 > q^2
OK ... pass
  Supondo q> p , p>0, q>0 ==> p-q < 0 e
p^2 > q^2 (trocando o sinal).
OK... pass
   Os outros casos
(p>0,q<0  com p>q ), (p<0, q>0 com p>q ), (p<0,q<0 com p>q )
(p>0,q<0 com p0 com pNeste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos 
conhecidos.

Exemplo:   Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr.
7(p+q+r)(pq+qr+rp) <= 2(p+q+r)^3 + 9pqr

Note que 2 = 2.1 foi expandido.

 Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo
poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber
exatamente *o que* expandir.  É exatamente aí que entra o desafio, o 
sentimento e

a criatividade.


  Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu 
doutorado em análise.
  Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras 
como na linguagem Prolog.

  Para quem não conhece Prolog:   http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog

  Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem 
responder questões mais ou menos
simples via aplicação de regras.  Mas há um problema:  Cada axioma/hipótese 
do teorema é uma regra e

cada teorema no banco de dados do programa é uma regra.

   Se fôssemos usar a força bruta e aplicar
todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória 
de sentenças e dificilmente
chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema 
chegando em regras atômicas que

por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras.

Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de
computador... como nesse exercício.






=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Auto Vetores

[Ronaldo Luiz Alonso]

É para formar uma base ortonormal e expressar as 
soluções nesta base.
Confira no livro do Shankar: Principles of Quantum 
Mechanics.

  - Original Message - 
  From: 
  Celso Souza 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, April 13, 2006 11:29 
  AM
  Subject: [obm-l] Auto Vetores
  
  Senhores,
   
   
     Minha dúvida é meio boba, mas fiquei encafifado com isso 
  hoje.
   
     Quando fiz álgebra linear, em 1996, não me lembro MUITO bem 
  de como a professora nos explicou o método para se encontrar os auto-vetores 
  (putz ... fazem 10 anos ...), mas logo depois, quando fui trabalhar com 
  mecânica quântica, o pessoal da física SEMPRE coloca os autovetores com módulo 
  unitário.
   
     A pergunta é: Porque colocar o módulo unitário? Para se 
  formar uma base ortonormal? O importante não é somente a direção do 
  autovetor?
   
     Fiquei pensando no porquê disso. Se alguém puder me dar uma 
  explicação, eu agradeço !
   
  Celso
  
  
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  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
  anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] Matriz

[Ronaldo Luiz Alonso]

O traço de uma matriz (quando ela é a representação 
de um tensor) dá o máximo stress permitido: 

In the case of a fluid, Pascal's law shows that 
the hydrostatic stress is the same in all directions, at least to a first 
approximation, so can be captured by the scalar quantity pressure. Thus, in the case of 
a solid, the hydrostatic (or isostatic) pressure p is defined as one 
third of the trace of the 
tensor, i.e., the mean of the diagonal terms.
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_%28physics%29

  - Original Message - 
  From: 
  Júnior 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 12, 2006 11:02 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Matriz
  Alexandre, traço é a soma dos elementos da diagonal principal. 
  Já tipo de uma matriz nunca ouvi 
falar.Júnior.

Re: [obm-l] Livro Geometria Plana e Espacial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Oi Bruna.  Eu acho que vc pode pegar os livros 
da 
 
---
coleção Fundamentos de Matemática Elementar.  

---
 
Acho que o volume 10 é o de geometria.
Pode pegar também o 
---
Manuel Jairo Bezerra: Questões de 
matemática.---
 
São livros ótimos de ensino médio :)  Eu 
resolvi todos os problemas
de geometria desse último.
 
Precisando é só perguntar.

  - Original Message - 
  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 12, 2006 11:39 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria 
  Plana e Espacial
  mais esses não são livros para professores ??eu estou no 
  Ensino Médio ainda.Bjos.

Re: [obm-l] Matriz

[Ronaldo Luiz Alonso]

Traço de uma matriz é a soma dos elementos da 
diagonal principal.
 
Exemplo 
 [ 1 2 3 ]
A= [4 5 6 ]
 [7 8 9]
 
tr A = 15.
 

  - Original Message - 
  From: 
  Alexandre Bastos 
  To: OBM 
  Sent: Wednesday, April 12, 2006 10:36 
  AM
  Subject: [obm-l] Matriz
  
  Bom dia, amigos.
   
  Alguém pode me explicar o que são tipo e traço de 
  matriz?
   
  Desde já, obrigado.
   
  Alexandre Bastos
  
  
  Abra 
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  anti-spam realmente eficaz. 

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Um conjunto A de funcoes analiticas, duas a duas distintas,  definidas em 
C ( C e o conjunto dos numeros complexos )  tal que para cada z 
pertencente a C fixado,  o conjunto { f(z), f variando em A}  seja 
enumeravel.


Pergunto : A e um conjunto enumeravel ?

E respondo propondo um exercicio :
Prove que se a HIPOTESE DO CONTINUO e falsa, entao qualquer A sera sempre 
um conjunto enumeravel. Se, porem, a HIPOTESE DO CONTINUO e verdadeira, 
entao existe ao menos um conjunto A não enumeravel.


 Parece uma afirmação legal.   Se a imagem da função é um conjunto 
enumerável então #f(C) = ALEPH0 e a função tem
que ter um número infinito de descontinuidades se a hipótese for verdadeira. 
Logo a quantidade o número de funções
é enumerável e por conseguinte A é enumerável. Se for falsa, é possível 
produzir um conjunto entre ALEPH0 e c e portanto o

número de tais funcões é não enumerável.

Um vazio de afinidades parece ser algo diferente de um vazio de 
cardinalidade. Existiria assim dois conjuntos vazios. Para um dado 
conjunto, existiria o seu numero cardinal e o conjunto das afinidades de 
seus elementos. Exemplo :


conjunto A ={joao,maria}
Afinidades associadas a A ={{ mesma idade, mesma cor, mesma altura }}

conjunto B={pedro,marta}
Afinidades associadas a B = {{ }}( sem afinidades )



Parece interessante.  Os conjuntos neste caso são definidos por propriedades 
intrínsecas

que definem seus elementos
que poderiam ser propriedades topológicas (por exemplo).

No caso do conjunto {joao, maria}
os elementos guardam entre si uma relação de equivalência topológica (mesma 
idade, mesma cor,
mesma altura).  No caso dos naturais e racionais a propriedade topológica 
seria que qualquer ponto
pode ser isolado de outro ponto por uma bola aberta (ou que poderíamos ser 
capazes de

identificar os elementos desse conjunto, "pescando-os com uma agulha")

   No caso dos reais essa propriedade topológica não é verificada: Não é 
sempre possível "pegar

um número real com uma agulha na reta", o que faz com que o conjunto
seja não enumerável.  Mas não é tão simples.  Existem outras propriedades 
(afinidades) que não estamos

identificando nos reais que dizem respeito à cardinalidade desses conjuntos?


Seria necessario agora construir um conjunto de axiomas que regulassem a 
relacao entre estas duas categorias de conjuntos : os conjuntos e suas 
afinidades.  Mas e certo que poderiamos passar a interpretar 
combinatoriamente :


BINOM(N,0)=2


Tah... mas as afinidades formam um conjunto.  O que dizer então da afinidade 
do conjunto de afinidades?





Esta mensagem toca em assuntos dificeis e importantes, mas e absolutamente 
despretensiosa



  É assim que as coisas começam.  Sempre tiramos coisas úteis, por mais 
besta e idiota que a discussão pareça.
Geralmente na cantina do instituto é que surgem as grandes idéias.   Confira 
o link:


http://ctjovem.mct.gov.br/index.php?action=/content/view&cod_objeto=14986

Abraço a todos.
Gandhi. 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Anal. Comb. do ITA

[Ronaldo Luiz Alonso]

Sugestao: Note que
     c(n,2) = n*(n-1)/2  
dá o número de diagonais (combinações c/ 2 pontos).
    c(n,3) = n(n-1)(n-2) /6  dá 
o número total de triângulos. (T)
 
    Qual é o número de triangulos 
que tem dois lados do polígono? (A)
 -- considere os lados 
consecutivos.
    Qual é o número de triangulos 
que tem um lado do polígono? (B)
    -- considere os lados não 
consecutivos.
 
(faça um desenho que ajuda).   

P triangulossem nenhum lado do poligono 
=  T - A - B.
No caso do problema apenas UM polígono 
satisfaz a condição    P = 
2n.    
  
   Acho que é isso.  Alguém deve 
resolver ... :)

  - Original Message - 
  From: 
  gustavo 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, April 10, 2006 10:35 
  PM
  Subject: [obm-l] Anal. Comb. do ITA
  
  Quem puder ajudar ,agradeço desde já 
  !!
   
  (ITA)Considere (P) um polígono regular de n 
  lados. Suponha que os vértices de (P) determinam 2n triângulos , cujos lados 
  não são lados de (P). O Valor de n é ?    SOL 
  8

Re: [obm-l] Determinar imagem

[Ronaldo Luiz Alonso]

Qual é o domínio?  
Quando você especifica uma função, tem que dizer o 
domínio e o contradomínio... senão não dá 
para achar a imagem.
 
Pelo que eu li a tempos atrás (li isso em um livro 
de topologia geral) 
 
a função f:[0,1] --> C tal que f(x) = 2x é 

diferente de f: R --> tal que f(x) = 2x,  
apesar delas terem a mesma fórmula analítica ...
 
Acho que precisa ser mais explícito para poder ter 
um algoritmo computacional (ou mesmo uma técnica
algébrica)  ...  Matemáticos que me 
corrijam, por favor.
 
Gandhi.

   
  - Original Message - 
  From: 
  Miguel 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 07, 2006 2:56 
PM
  Subject: [obm-l] Determinar imagem
  
  Olá a todos.
  Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? 
  tipo:
  (1) f(x) = raiz(x(x - 2))    
  (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3)
  Desde já, agradeço.
   
  
  
  Abra 
  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
  anti-spam realmente eficaz. 

[obm-l] Re: [obm-l] Definição de paralelas

[Ronaldo Luiz Alonso]

Alguém aqui já ouviu que "paralalelas são retas que se
cruzam no infinito"?


Já, claro.  Na geometria plana é assim que funciona.Há apenas
um ponto de cruzamento no infinito.  Vale a pena conferir:

http://mathworld.wolfram.com/Non-EuclideanGeometry.html


Na elíptica é diferente, não existe nenhum ponto de cruzamento.
Veja o livro de David Hilbert (geometry and imagination:  tá no google,
é só digitar as palavras chaves acima e ler).
O seguinte link explica bem o conceito:

http://mathworld.wolfram.com/EllipticGeometry.html

Na hiperbólica existem infinitas paralelas a uma reta dada:

http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicGeometry.html

Hope I clarify things :)
Gandhi. 


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Materiais IMPA Online para Ensino Médio

[Ronaldo Luiz Alonso]

Ei Gabriel, acho vc me 
conhece!!  
 
  A gente fez um curso de álgebra junto 
(com o professor Daniel Levcovitz) ano passado 

(ou retrasado) no ICMC.  Tudo bem contigo?  
 
Essa lista aqui é boa para discutir problemas de 

matemática avançada de nível universitário. 
Estou
trabalhando no LSI/EP-USP agora.
 
Vamos continuar esse  papo em off .  Grande Abraço!!

  - Original Message - 
  From: 
  Gabriel 
  Ponce 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, April 04, 2006 2:22 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Materiais IMPA 
  Online para Ensino Médio
  
  Em 04/04/06, Ronaldo 
  Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

  

Achei isso legal (recebi no site do 
ICMC):
 
http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/index.htm 
oI VC É DO ICMC? 

[obm-l] Materiais IMPA Online para Ensino Médio

[Ronaldo Luiz Alonso]

Achei isso legal (recebi no site do 
ICMC):
 
http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/index.htm

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida fatorial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Qualquer valor diferente de "um" atribuído por "convenção" estaria negando 
a definição de fatorial.


SE considerarmos  a interpretação de fatorial
como número de bijeções de um conjunto com n
elementos em um conjunto com n elementos
e SE considerarmos a definição de números
binomiais em termos de fatorial como usualmente
nos são apresentadas, aí podemos dizer que o que
vc escreveu está correto. Não há como trocar
a definição sem causar conflitos.

Mas todas essas definições são, de fato, convenções.
Então a definição 0! = 1 também (do mesmo jeito)
é uma convenção.
Não consigo ver como não seria com o que
nos foi apresentado até agora  ...




Ojesed.

- Original Message - 
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Monday, April 03, 2006 4:19 PM
Subject: Re: [obm-l] dúvida fatorial


On Mon, Apr 03, 2006 at 09:49:58AM -0300, reginaldo.monteiro wrote:

Alguém saberia me informar por que 0! = 1?


Alguém já respondeu corretamente que isto é uma convenção,
mas acho que há mais para ser dito.

A interpretação combinatória para n! é que este é o número
de permutações de um conjunto A com n elementos. Recapitulando,
uma permutação de A é uma função bijetora f:A->A, ou,
equivalentemente, um subconjunto F de AxA (o gráfico de f)
tal que, para todo a em A:
* existe um único b em A tal que (a,b) pertence a F;
* existe um único c em A tal que (c,a) pertence a F.

Com esta definição, se A = 0 (vazio) então F = 0 é o gráfico
de uma bijeção f:A->A, a função vazia. As condições para verificar
que f é bijetora são satisfeitas por vacuidade. É bem claro
que esta é a única permutação de A, donde 0!=1.

[]s, N.
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Re: [obm-l] exemplo de uma sequencia

[Ronaldo Luiz Alonso]

Um palpite:
Acredito que a seq.  1/(n*log n) deve ser a seq. que vc
está procurando não?  Sei que (soma 1/n^2) converge e que (soma 1/n) 
diverge.  Acho que vale a pena examinar

a seq. 1/(n*log n).

- Original Message - 
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Monday, April 03, 2006 6:02 PM
Subject: [obm-l] exemplo de uma sequencia



Alguem tem um exemplo de uma sequencia a_n, monotonicamente decrescente e
com termos nao negativos, tal que lim n * a_n = 0 mas Soma(n>=1) a_n
divirja? lim n* a_n =0 eh uma condicao necessaria para convergencia de
Soma(n>=1) a_n mas nao suficiente.

Artur
=
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Re: [obm-l] Volume incliando de cilindro.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Um tonel, sem tampa, 
cheio de água tem 10dm de altura e 5 dm de raio da base. Inclinando o tonel de 
45º, o volume de água derramada é, aproximadamente: 

 
 
Vejamos:  Com um ângulo de 45 graus a 
algura da água
derramada (quando o cilindro está inclinado é 
igual ao
diâmetro da base)  para vc entender o que 
eue estou
falando é só pegar um copo cilíndrico com água na 
cozinha
e incliná-lo 45 graus.
 
Neste caso basta dividir o volume do cilindro de 
altura
5dm por dois para saber a qtde de água 
derramada:
 
pi*25 * 5 = 125*pi = 392 dm cúbicos.
 
Bem... vou deixar o pessoal pensar o caso em que 
o
ângulo é 60 graus...
 
 

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Eu havia imaginado vagamente (a tempos atrás)
tudo o que o professor Paulo
colocou nesta mensagem (Show de Bola).
  Só que não tinha exemplos concretos nem clareza
de idéias e também nem citações suficientes
para explicitá-las como as que foram por ele colocadas.

   A moral disso tudo é que devemos sempre
QUESTIONAR aquilo que nos é ensinado e da maneira
como é ensidado, pois podemos frequentemente nos
deparar com situações práticas onde a teoria precisa
ser ligeiramente adaptada e/ou a interpretação IPSIS
LITERIS da teoria pode tornar inviável a sua aplicação.
 O caso das geometrias não euclidianas são um exemplo
prático deste caso.


"WHAT I CAN'T CREATE I CAN'T UNDERSTAND"
-- RICHARD FEYNMAN.



- Original Message - 
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Monday, April 03, 2006 12:29 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial



Ola Reginaldo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( estou escrevendo sem acentos )

Porque e conveniente ... Este postulado ( 0!=1 ) e consistente com outras 
crencas e as implicacoes dele sao uteis na pratica. De fato :


1) ACREDITANDO que a FUNCAO GAMA e a generalizacao do conceito de 
fatorial, e possivel DEDUZIR este postulado.
2) Admitindo este postulado, calculos combinatorios com numeros binomiais 
ficam mais faceis, sinteticos e concordam com a nossa PRATICA habitual de 
contar.


Entretanto :

3) Nao existe nenhuma prova ou razao apoditica de que a funcao gama seja A 
GENERALIZACAO do conceito de fatorial. Muito provavelmente ela e UMA 
GENERALIZACAO, sem nenhuma vantagem logica sobre outras potencialmente 
possiveis ( e potencialmente interessantes ! )
4) Em Matematica, o fato da pratica confirmar a teoria nao e uma razao 
definitiva para nao modificarmos esta teoria. Basta lembrar do nascimento 
das Geometrias nao-euclidianas ...


Quando voce olha para um numero binomial BINOM(N,P) e o define assim :

BINOM(N,P) = N! / ( P! * (N-P)! )

Voce, em verdade, esta ADMITINDO PREVIAMENTE A DEFINICAO DE FATORIAL e 
definindo uma funcao a duas variaveis com certas restricoes. Mas voce 
tambem poderia fazer assim :


Defino :

BINOM(N,0)=1 onde N=0,1,2,...
BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,...

Neste caso voce vai obter OS MESMOS RESULTADOS sem lancar mao de uma 
definicao previa de fatorial. Mas, o que nos impede de definir :


BINOM(N,0)=2 onde N=0,1,2, ...
BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,...

No primeiro caso voce obtem o bem conhecido TRIANGULO DE PASCAL, que 
chamaremos doravante de PASCAL. No segundo caso, um "PASCAL DOBRADO" ou 
2*PASCAL :


2
2 2
2 4 2
2 6 6 2
...

E no entanto, o 2*PASCAL mantem formalmente as mesmas propriedades basicas 
( Ex : Teorema das Colunas ) do triangulo tradicional, conforme se ve 
facilmente ...


Quanto vale 0! no 2*PASCAL ?

BINOM(N,0) = 2 = N! / (0! * (N-0)! ) => 0!=1/2

Veja que agora temos maior liberdade. Nao somos mais escravos da 
postulacao 0!=1


Evidentemente, no 2*PASCAL,  nao podemos mais interpretar BINOM(N,P) como 
o numero de combinacoes com P elementos que podemos formar se dispormos de 
N elementos. Bom, isso e decisivo ? E o noumeno sagrado que nao se pode 
tocar ? Sera que o 2*PASCAL nao nos permite fazer interpretacoes 
igualmente interessantes ?


Para um K*PASCAL, defino : NIC=1/0! . Assim, o triangulo de pascal e o 
1*PASCAL=PASCAL com NIC=1. Para cada real NIC ha um triangulo bem 
determinado com potenciais interpretacoes nao menos interessantes.


Finalmente, me permito uma digressao. Pode-se definir a sequencia de 
fibonaci pelo triangulo de pascal. Basta partir da coluna zero e "subir" 
em diagonal, somando os numeros binomiais. Obteremos assim esta sequencia 
tao conhecida.


( Veja : Um ensaio sobre a beleza na Matematica - Huntley - Editora Univ. 
de Brasilia )


Se fizermos NIC=fi, fi = LIM f(n+1)/f(n) onde f(n) e o enesimo termo da 
sequencia de fibonaci, qual e o "triangulo tipo Pascal" correspondente ?


Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1225,030406





  From: reginaldo.monteiro
  To: obm-l
  Sent: Monday, April 03, 2006 9:49 AM
  Subject: [obm-l] dúvida fatorial


  Bom dia,

  Alguém saberia me informar por que 0! = 1?

  Obrigado

  Reginaldo


_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] dúvida fatorial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Dá uma olhada nisso:
 
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
 
Talvez sane sua dúvida :)

  - Original Message - 
  From: 
  reginaldo.monteiro 
  To: obm-l 
  Sent: Monday, April 03, 2006 9:49 
AM
  Subject: [obm-l] dúvida fatorial
  
  Bom dia,
  Alguém saberia me informar por que 0! = 1?
  Obrigado
  Reginaldo

Re: [obm-l] geometria espacial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Boa tarde, gostaria de uma ajuda para o 
problema.
 
A base de cilindro reto é uma elipse de eixo 
maior 3,5 cm e eixo menor 2 cm. Se a altura mede 10 cm, 
calcular:
 
 
a) área da base.
 
S=pi*a*b
a = semieixo maior
b = semieixo menor
S = 3,5 * 2 * pi = 7*pi
 
 
b) área lateral.
 
Vc precisa saber o comprimento da elipse para calcular a área 
lateral.
Supondo que o comprimento da elipse é L então a área lateral será:
 
A = L*10
 
O problem maior está  em calcular L !!! Isso envolve uma integral 
elíptica.
Mas deve ter um jeito mais fácil que não estou ainda visualizando.
 
c) volume.
 
V = S*h = 7*pi*10 = 70*pi.
 
 
 
grato
 
Aron.

Re: [obm-l] derivada

[Ronaldo Luiz Alonso]

Estva pensando agora pouco que dá para fazer 
isso
com o cilindro, que é simétrico em relação a z, 
pois
neste caso dá para dividí-lo em cilindros 
elementares
e expressar o volume como dV 
= S(r).dr.  
   No caso de um cone acho que 

não dá para fazer o mesmo, pois a área lateral não 
seria
somente função de r, mas de r e h (sendo h a altura 
do
cone).  Tá certo isso?

  - Original Message - 
  From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 31, 2006 4:59 
PM
  Subject: RES: [obm-l] derivada
  
  Eu 
  acho que depende do solido, mesmo que haja simetria com relacao a um eixo. Eh 
  valido se, para calcular o volume de um solido em funcao de uma de suas 
  medidas r, for póssivel dividi-lo em solidos elementares tais que, para cada 
  um deles, possamos ter dV = S dr, onde S eh a area lateral. Isso esta bem 
  explicado em livros da cadeira usualmente chamada de Callculo,  como 
  o classico do Kaplan.
   
  Artur 
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Ronaldo Luiz 
AlonsoEnviada em: sexta-feira, 31 de março de 2006 
16:09Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] 
derivada
Dá para generalizar para outros 
sólidos?
Podemos afirmar que isso deve valer 
para
 tudo que é simétrico em
relação a um eixo ?

  - Original Message - 
  From: 
  Artur Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 31, 2006 3:17 
  PM
  Subject: RES: [obm-l] derivada
  
  Eh sim. Pelo seguinte:
  Sabemos que a superficie de uma esfera de raio r eh 4*pi * r^2. Se 
  quisermos calcular o volume de uma esfera de raio R, podemos dividi-la em 
  coroas esfericas elementares, cada uma com volume dV = 4*pi*r^2 dr. 
  Integrando, fazeno r variar de de 0 a R, obtemos a conhecida formula V = 
  4/3 * pi * R^3. Consequencia do teorema fundamental do Calculo 
  Integral.
  Por um raciocinio semelhante, vemos que o comprimento de um 
  circulo, 2*pi*r eh a derivada de sua area pi*r^2.
  Artur
  
-Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome 
de Tio Cabri stEnviada em: sexta-feira, 31 de março de 
2006 13:10Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: 
[obm-l] derivada
Boa noite, gostaria de uma ajuda com 
uma dúvida.
 
A derivada do volume de uma esfera é a 
superfície, certo?
 
Por quê? Existe outras relações como 
essas?
 
Obrigado

Re: [obm-l] derivada

[Ronaldo Luiz Alonso]

Dá para generalizar para outros 
sólidos?
Podemos afirmar que isso deve valer 
para
 tudo que é simétrico em
relação a um eixo ?

  - Original Message - 
  From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 31, 2006 3:17 
PM
  Subject: RES: [obm-l] derivada
  
  Eh 
  sim. Pelo seguinte:
  Sabemos que a superficie de uma esfera de raio r eh 4*pi * r^2. Se 
  quisermos calcular o volume de uma esfera de raio R, podemos dividi-la em 
  coroas esfericas elementares, cada uma com volume dV = 4*pi*r^2 dr. 
  Integrando, fazeno r variar de de 0 a R, obtemos a conhecida formula V = 4/3 * 
  pi * R^3. Consequencia do teorema fundamental do Calculo 
  Integral.
  Por 
  um raciocinio semelhante, vemos que o comprimento de um circulo, 2*pi*r eh a 
  derivada de sua area pi*r^2.
  Artur
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Tio Cabri 
stEnviada em: sexta-feira, 31 de março de 2006 
13:10Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 
derivada
Boa noite, gostaria de uma ajuda com uma 
dúvida.
 
A derivada do volume de uma esfera é a 
superfície, certo?
 
Por quê? Existe outras relações como 
essas?
 
Obrigado

Re: [obm-l] derivada

[Ronaldo Luiz Alonso]

Acho que isso é mera coincidência (acho, não tenho 

certeza). 
   Provavelmente (provavelmente em 
matemática é uma
palavra estúpida, mas vamos lá) se deve ao 
fato
de que entre os sólidos de mesmo volume a 
esfera
é a que tem a menor superfície. para 
(a>0,b>0,c>0)
e x>0 y>0 z>0; y(a) =b z(a) = c 
temos 
 
V 
(a,b,c) =
   int_{0}^{a} 
int_{0}^{y_(a)} int_{z(a)}^{z_(a)}  dV
   =
   int_{0}^{a} 
int_{0}^{b} int_{0}^{c}  dxdydz 
faça 
 
dV/dx = 0
dV/dy = 0
dV/dz = 0
 
sujeito à condição V(a,b,c) = Constante (use 
multiplicador
de Lagrange).   
 
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Tio 
  Cabri st 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 31, 2006 1:10 
PM
  Subject: [obm-l] derivada
  
  Boa noite, gostaria de uma ajuda com uma 
  dúvida.
   
  A derivada do volume de uma esfera é a 
  superfície, certo?
   
  Por quê? Existe outras relações como 
  essas?
   
  Obrigado

Re: [obm-l] Questao de mdc

[Ronaldo Luiz Alonso]

O máximo divisor comum não pode ser 
zero.
Se for 1 então m-n e m+n são primos entre 
si.
 
Podemos sem perda de generalidade supor m>n, já 
que m-n é natural.
 
gcd(m,n) < n 
 
já que m e n são 
primos entre si.
 
gcd(m+n,m-n) <= m-n  (já que m-n é o menor 
número). e m-n <= n 
 
==> 
 
m <= 2n logo m não pode ser divisível por dois, 
o que implica que gcd(m+n,m-n) = 1 
já que m e n são primos entre si.   
RESPOSTA B.
 
Tá certo isso???
 
Obrigado Ronaldo
 
o resto abaixo é viagem
 
..
 
Supondo que gcd(m+n,m-n) = m-n então 
temos:
 
(m+n)/(m-n) = (m+n)/2  / (m-n)/2 = 

 
 

  - Original Message - 
  From: 
  RONALD 
  MARTINS 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, March 29, 2006 12:27 
  PM
  Subject: [obm-l] Questao de mdc
  
  Alguem tem uma boa solução? 
  Se m e n são numeros naturais primos entre si, então o maximo divisor comum 
  entre (m + n) e (m - n), também naturais,:
  a) é sempre 0.
  b) é sempre 1.
  c) é sempre 2.
  d) só pode ser 1 ou 2.
  e) pode ser qualquer inteiro. 
   
  Abraço a todos.
  Ronald.Instruções para entrar na lista, sair da 
  lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  

Re: [obm-l] Pergunte

[Ronaldo Luiz Alonso]

,> Boa noite pessoal tenho algumas perguntas a fazer


a)Todos os numeros naturais n que satisfazem
n3 + 100 < n2 + 10:000.


Essa aqui é um pouco difícil.
Sugestão: Tente analisar a expressão n3 - n2 < 9900




b) Determine os numeros racionais r que satisfazem
(4r - 2) /(r + 5) < (5r + 2)/(3r - 5)


(4r -2)(3r-5) < (r+5)(5r+2)
12r^2 - 22r +10 < 5r^2 + 27r +10
7r^2 - 49r <0

Bem... note que r não pode ser 5/3



c)Monstre que em toda P.A. qualquer termo (a partir do segundo) é a
media aritmetica entre seu anterior e seu posterior; isto é,
an = (an-1) + (an+1) / 2


É só usar a definição de an.




d) Demonstre que em uma P.G. qualquer termo (a partir do segundo) é a
média geometrica entre seu anterior e seu posterior; isto é,
a^2n= an-1an+1.

e) Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de
razao 6, os tres ultimos uma P.G. e o primeiro numero e igual ao
quarto. Determine-os.

f) Seja n um n¶umero inteiro entre 1 e 11. Para que valores de n a funcao
1/n e um numero decimal finito? Justifique.





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] errata:numeros primos=>fisica quantica!!!

[Ronaldo Luiz Alonso]

Sim, mas o artigo não fala nada sobre como essa 
conexão 
é feita .   Onde entra a função zeta de 
Riemann?  Eles
dizem que conseguem uma fórmula para prever todos 

os primos em sequência.  A pergunta é como 
?...

  - Original Message - 
  From: 
  diego andres 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 28, 2006 10:36 
  PM
  Subject: [obm-l] errata:numeros 
  primos=>fisica quantica!!!
  me desculpem pessoal eu mandei o link errado mais o certo 
  é:http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php?utm_source=seedmag-main=rss&page=3
  
  
  Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big 
  Brother Brasil.

Re: [obm-l] T. Numeros

[Ronaldo Luiz Alonso]

Todo inteiro, ou todo inteiro maior que 
5?
Para todos os inteiros menores que 5 basta tomar 
os
primeiros cubos iguais a zero:
 
1 = 0^3 + 0^3 + 0^3 + 0^3 + 1^3 , etc 
...
 
Para inteiros maiores que 5, deve haver algum 
truque que 
permita concluir que se n se escreve como soma 
de cubos
então n+1 também se escreve como a soma de 
cubos.
Daía a prova sai por indução.
 

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 17, 2006 11:57 
  PM
  Subject: [obm-l] T. Numeros
  
  Mostre que todo inteiro pode ser escrito como soma de 5 
  cubos.
  
  
  Yahoo! doce lar. Faça 
  do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Questoes

[Ronaldo Luiz Alonso]

Na realidade eu estava olhando e descobri que tb 
digitei errado na realidade era 1 + 2/x + 1/x^ 2 haha..
Do jeito q vc colocou eh ainda mais 
f'acil:
 
x^2+2 + 1/x^2 = 3
x^2 + 1/x^2 = 2
 
chame x^2 = a
 
a + 1/a = 2
a^2 + 1 = 2a
a^2 -2a + 1 = 0 e portanto a = 1 eh a unica 
raiz.
 
logo x = 1.
 
Assim x^3 + 1/x^3 = 2 ...
Do jeito que eu resolvi estava errado.
 
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  estudante silva 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, March 27, 2006 12:05 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Questoes
  Olá Ronaldo,Desculpe-me mas digitei errado essa 
  questão, ela é na verdade (x+1/x)^2=3, vc saberia como fazer dessa 
  forma?Muito obrigado assim mesmo pela solução.[]'s
  On 3/27/06, Ronaldo 
  Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
  

(1+1/x)^2 = 1 + 1/x + 1/x^2 
=3
multiplica por x^2 e fica
x^2 + x + 1 = 3
x^2 + x -2 =0
delta = 1 + 8 = 9
x = -1 +3/2 = 1 logo  o valor x^3 + 1/x^3 
e'  2.
Deve ter um jeito mais 
f'acil.

 

  - 
  Original Message - 
  From: 
  estudante silva 
  
  To: 
  obm-l@mat.puc-rio.br 
  
  Sent: 
  Monday, March 27, 2006 10:52 AM
  Subject: 
  [obm-l] Questoes
  Alguém poderia me ajudar com as seguintes questões, estou 
  tentando fazê-las mas nao estou conseguindo, sempre encontro deltas 
  negativos...1 - Sendo (1 + 1/x)^2 = 3 determine o valor de x^3 + 
  1/x^3.2 - Sabendo-se que a + b = 13 e a^2 + b^2 = 39, calcule o valor 
  de a.3 - Sendo a + 1/a = 3/5, determine a^3 + 
1/a^3.

Re: [obm-l] Questoes

[Ronaldo Luiz Alonso]

(1+1/x)^2 = 1 + 1/x + 1/x^2 =3
multiplica por x^2 e fica
x^2 + x + 1 = 3
x^2 + x -2 =0
delta = 1 + 8 = 9
x = -1 +3/2 = 1 logo  o valor x^3 + 1/x^3 
e'  2.
Deve ter um jeito mais f'acil.
 

  - Original Message - 
  From: 
  estudante silva 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, March 27, 2006 10:52 
  AM
  Subject: [obm-l] Questoes
  Alguém poderia me ajudar com as seguintes questões, estou 
  tentando fazê-las mas nao estou conseguindo, sempre encontro deltas 
  negativos...1 - Sendo (1 + 1/x)^2 = 3 determine o valor de x^3 + 
  1/x^3.2 - Sabendo-se que a + b = 13 e a^2 + b^2 = 39, calcule o valor de 
  a.3 - Sendo a + 1/a = 3/5, determine a^3 + 
1/a^3.

Re: [obm-l] R-project

[Ronaldo Luiz Alonso]

usa  a função rand ( ), que gera um número pseudo-aleatório entre 0 e 1. 
Daí você começa na origem e faz

deslocamentos aleatórios em x,y e z.

x_{n+1} = x_{n}+ rand ( );
y_{n+1} = y_{n}+ rand ( );
z_{n+1} = z_{n}+ rand ( );


- Original Message - 
From: "fabiodjalma" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Sunday, March 26, 2006 10:24 PM
Subject: [obm-l] R-project



Alguém sabe simular um passeio aleatório em R?
Obrigado.
Fabio





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] demostração por absurdo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Qual a justificativa lógica para a demonstração por absurdo, sabendo que
muitos confundem com a contrapositiva: p=>q = ~q=>~p


  Eu acredito que são duas coisas diferentes.

Em teoremas de se (e não de se e somente se)
Se p é verdadeiro então q é verdadeiro.
mas se p for falso não implica que q seja falso.
porém se q for fals então q será falso.

Exemplo:
Proposição: Em uma série convergente o termo a_n tende para zero.
p = a série é convergente.
q = o termo a_n tende para zero.

~p = a série não é convergente.
q = o termo a_n tende para zero.

Exemplo desta situção: Série harmônica.

~q = o termo a_n não tende para zero.
~q ==> ~p, isto é, a série não converge.

Na demostração por absurdo supomos que determinadas hipóteses são 
verdadeiras

e que nesta situação o teorema é verdadeiro.  Note que o teorema poderia ser
verdadeiro mesmo na ausência de TODAS as hipóteses.  O que se prova na 
demonstração
por absurdo é que uma destas hipóteses é REQUERIDA para não entrar em 
contradição

com outro teorema ou fato.  Para essa hipótese temos
implicação  ~q ==> ~p.  As demais hipóteses podem ser requeridas ou podem 
servirem
apenas para "complicar".  Não sei se essa é uma justificativa.  Será que 
poderíamos ter
teoremas verdadeiros (que na verdade fossem falsos por entrarem em 
contradição com
fatos ainda não descobertos) que fossem considerados verdadeiros apenas pela 
ausência

de contradição com coisas ainda não descobertas?

 Eu acredito que isso é a mesma coisa que perguntar: vc já fez mal para 
alguém sem saber?
Se vc responder que não pode estar mentindo (porque vc pode ter feito mal e 
não saber).
  Se vc responder que sim vc pode estar mentindo também (como você sabe 
que fez mal se você não

sabe que fez mal) ?
Na ausência de informação você supõe que não fez mal, pois não há crime 
sem lei que o defina

e não há pena sem prévia cominação legal (artigo 1 do código penal).

Acho que confundi mais do que esclareci, mas serve para filosofar a 
respeito.
Ronaldo L. Alonso. 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Perfeito Raul :)  Meu colega de trabalho 
coreano 
fez um programa em C que confirma sua 
previsão.
[]s

  - Original Message - 
  From: 
  Raul 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 21, 2006 6:50 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] quadrados 
  perfeitos
  
      Pensei na seguinte 
  solução:
      Para que o algarismo das 
  unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser 
  ímpar.Podemos representar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a 
  é natural e b é ímpar entre 1 e 9. 
      (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + 
  b^2
      Vamos verificar a paridade do 
  algarismo da dezena:
      - veja que o primeiro termo é 
  multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena.
      - veja que o segundo termo é 
  um número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par 
  para dezena.
      - veja que b^2 é o quadrado de 
  um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só 
  pode contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da 
  dezena ser par.
  
      Concluímos que todo número 
  ímpar elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há 
  dois números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos 
  ímpares: 1 e 3. 
   
      Abraços,
   
              
  Raul
  
- Original Message - 
From: 
Ronaldo Luiz 
Alonso 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46 
PM
Subject: Re: [obm-l] quadrados 
perfeitos

Esse problema é bastante difícil.  

Consultando os arquivos, verifiquei que não 
houve resposta.
Vou tentar esboçar alguns caminhos para 
solução.
 
Primeiro note que o ÚLTIMO algarismo do 
número é impar.
 
Então para algarismos de 1 número temos 
que
-->1
-->9 
são os únicos 
números ímpares que satisfazem 
esse critério. 
 
Ao pesquisar algarismos com dois números, 
verificamos que eles não
existem.  OU SEJA não existem algarismos 
de 2 números com quadrado perfeito
composto apenas por algarismos ímpares.  
Vamos tentar entender porque:
 
(10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy  + 
y^2
 
onde x e y são dígitos
veja que temos 3 dígitos de modo que para o 
número ter 2 dígitos temos  que x = 0.
Neste caso resta apenas y^2.  Examinando 
todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos
que não há nenhum número nestas 
condições.
 
Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o 
raciocínio acima.
Tentaremos verificar todos os números de 3 
dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares.
 
(10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 
10(10x_1 +x_2) + y^2
    
= 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ 
y_2^2
    
= 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2  + y_2^2)
 
Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado 
perfeito de dois números então tem que ter os dois 
algarismos ímpares, o que não é possível.  
Também não podem ser de um número pois a combinação
dá par.  Então concluímos que x_2^2 + 
y_2^2 tem 3 números...
 
   Não sei se dá para ir adiante com 
essas idéias.  
Prefiro deixar as pessoas mais especialistas 
como Yuzo Shine criticarem-nas.
 
Ronaldo L . Alonso
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Felipe Sardinha 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] quadrados 
  perfeitos
  
  Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns 
  dias dos emails da lista.
  E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este 
  problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul 
  <[EMAIL PROTECTED]> 
  escreveu:
  



    Boa noite!
 
    Encontrar todos os 
números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas 
algarismos ímpares.
 
    Agradeço 
soluções.
    
        
        Raul
 
  
  
  Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big 
  Brother Brasil.



No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.2.6/287 - Release Date: 
21/3/2006

Re: [obm-l] Geometria espacial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Tudo bem...
Mas precisa justificar ...  Será que esse arranjo de pontos
maximiza o número de pontos que podem ser colocados dentro do cubo?
H não tenho tanta certeza...



- Original Message - 
From: "João Gilberto Ponciano Pereira" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:59 PM
Subject: RE: [obm-l] Geometria espacial



Estava pensando numa forma mais simples...

Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5

Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu 
interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5


-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Behalf Of Ronaldo Luiz Alonso
Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:22 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial


Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática.
  Vou apenas esboçar como faz ...
  Parece que não mas esse é um problema de química.
   Troque "cubo unitário" por "célula unitária" e pontos por "átomos"
   Quem não sober o que é cela unitária digite "célula unitária" no 
Google.


   Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão 
em

em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado.
 Neste caso temos que colocar o maior número de pontos
possíveis dentro deste  reticulado.
  O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais.
Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais

Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema
existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices
que estão no interior de uma  esfera de raio 1/5.

Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :)

- Original Message - 
From: "Dymitri Cardoso Leão" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM
Subject: [obm-l] Geometria espacial



* Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo
unitário. Prove que,
entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma
esfera de raio 1/5.

Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor
resolver?

_
Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Prove that 22/7 > pi.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Tem uma outra muito boa pi = 355/113.

  - Original Message - 
  From: 
  Manuel Garcia 

  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:37 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Prove that 22/7 > 
  pi.
  Boa tarde22/7 é a *famosa* aproximação usada por 
  Arquimedes para \pi.Além da maneira exposta, pode-se obter esse 
  resultado usando fatos absolutamente elementares de frações contínuas (ou 
  "continuadas" como parece que alguns modernosos gostam de chamar), uma vez que 
  22/7 aparece naturalmente ao expandir \pi em frações contínuas (é a segunda 
  reduzida). Mais detalhes podem ser obtidos no livro"Continued 
  fractions" de Beskin, N., Editora Mir (coleção Little math. 
  library)Esse livro é muito bom e elementar, totalmente acessível a 
  estudantes do segundo grau. (deve haver alguma trradução horrorosa 
  para castelhano ou, uma pior ainda, para português)Manuel 
  Garcia
  On 3/21/06, Luís 
  Lopes < 
  [EMAIL PROTECTED]> wrote:
  Sauda,c~oes,Achei 
esta mensagem interessante. Um abraço,Luís>From: 
"Nikolaos Dergiades" <[EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]>To: 
< 
[EMAIL PROTECTED]>>Subject: RE: [EMHL] Prove that 
22/7 > pi>Date: Sun, 19 Mar 2006 22:33:33 
+0200>>Dear friends,>M. T. ZED wrote:>> 
> Prove that 22/7 > pi. > > Help me 
please.>>We have>4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 
4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)>or in the interval ( 0, 1)>4/(x^2+1) 
<  x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4>and by integration from 
0 to 1 we get pi < 22/7. >Does anybody knows a geometric or a 
simpler proof?>>Best regards>Nikos 
DergiadesEscrevax^4(1-x)^4 = x^4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) 
.Agora some e subtraia termos para obter múltiplos de x^2 +1: 
x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 = x^8 + 6x^6 + x^4 - 4x^5(x^2 + 
1)= (x^6-4x^5)(x^2 + 1) + 5x^6 + x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4)(x^2+1) - 
4x^4= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2)(x^2 + 1) + 4x^2= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 
- 4x^2 + 4)(x^2 + 1) - 4 Transpondo e dividindo por x^2 + 1, 
vem:4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - 
x^4(1-x)^4/(x^2+1)  qed=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Geometria espacial

[Ronaldo Luiz Alonso]

Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática.
  Vou apenas esboçar como faz ...
  Parece que não mas esse é um problema de química.
   Troque "cubo unitário" por "célula unitária" e pontos por "átomos"
   Quem não sober o que é cela unitária digite "célula unitária" no Google.

   Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em
em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado.
 Neste caso temos que colocar o maior número de pontos
possíveis dentro deste  reticulado.
  O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais.
Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais

Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema
existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices
que estão no interior de uma  esfera de raio 1/5.

Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :)

- Original Message - 
From: "Dymitri Cardoso Leão" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM
Subject: [obm-l] Geometria espacial



* Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo
unitário. Prove que,
entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma
esfera de raio 1/5.

Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor
resolver?

_
Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Esse problema é bastante difícil.  

Consultando os arquivos, verifiquei que não houve 
resposta.
Vou tentar esboçar alguns caminhos para 
solução.
 
Primeiro note que o ÚLTIMO algarismo do número 
é impar.
 
Então para algarismos de 1 número temos 
que
-->1
-->9 
são os únicos 
números ímpares que satisfazem esse critério. 
 
Ao pesquisar algarismos com dois números, 
verificamos que eles não
existem.  OU SEJA não existem algarismos de 2 
números com quadrado perfeito
composto apenas por algarismos ímpares.  Vamos 
tentar entender porque:
 
(10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy  + 
y^2
 
onde x e y são dígitos
veja que temos 3 dígitos de modo que para o número 
ter 2 dígitos temos  que x = 0.
Neste caso resta apenas y^2.  Examinando todos 
os quadrados perfeitos até 100 descobrimos
que não há nenhum número nestas 
condições.
 
Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio 
acima.
Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos 
que tem quadrado perfeito composto por ímpares.
 
(10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 
+x_2) + y^2
    
= 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ 
y_2^2
    
= 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2  + y_2^2)
 
Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito 
de dois números então tem que ter os dois 
algarismos ímpares, o que não é possível.  
Também não podem ser de um número pois a combinação
dá par.  Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 
tem 3 números...
 
   Não sei se dá para ir adiante com 
essas idéias.  
Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como 
Yuzo Shine criticarem-nas.
 
Ronaldo L . Alonso
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Felipe Sardinha 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] quadrados 
  perfeitos
  
  Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias 
  dos emails da lista.
  E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este 
  problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul <[EMAIL PROTECTED]> 
  escreveu:
  



    Boa noite!
 
    Encontrar todos os números 
naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos 
ímpares.
 
    Agradeço 
soluções.
    
        
        Raul
 
  
  
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  Brother Brasil.

[obm-l] Corpos de Galois (Aplicação em Telecomunicaçõe s).

[Ronaldo Luiz Alonso]

http://www.ant.uni-bremen.de/teaching/kc/kc1/slides/kc1_kap3/
 
Olha que interessante: Os corpos de Galois são 
usados em projetos de
 codificadores para celulares.
 
Não sabia que teoria dos grupos tinha aplicação em 
telecomunicações...
 
Ronaldo.

Re: [obm-l] geometria plana

[Ronaldo Luiz Alonso]

Quem poder 
ajuda  agradeço
 
1 -  Defina a região limitada por um poligono
 
Parece simples mas não é.
    Imagine que vc tem 5 pontos com um aproximadamente no 
centro
dos 5.  Vc tem 4 possibilidades para polígonos não é mesmo?
   Como definir então, dentre esses 4 aquele que é de seu 
interesse, 
isto é que tem a região limitada que vc quer?
  
  Uma das maneiras é usar inequações!  
   ax+by > m por exemplo para cada par de dois pontos.
   Qual a aplicação disso?  Bem... Isso tem aplicação em 
biofísica para determinação 
da fase em estrutura de proteínas.
   Sabemos por exemplo que a densidade eletrônica de uma molécula 
não pode ser negativa.
 
   Isso leva a uma série de inequações que restringem bastante o 
espaço de busca pela 
solução.   Para maiores informações sobre o problema da fase 
consulte os papers de  Hauptman & Karle
(Herbert Hauptman  esteve no Brasil no final do ano passado).
 
http://nobelprize.org/chemistry/laureates/1985/karle-lecture.pdf
(o Kara não saber nada!! hahah).
 
 
2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada 
vértice , então a região é convexa ? 
 
 
Acredito que não.  Mas não tenho certeza.
 Em uma região convexa vc teoricamente poderia ligar quaisquer 
pontos
sem sair do polígono.  Será que sempre é possível fazer isso em um 
polígono estrelado?
O que me intriga é o significado da expressão: "relativa a cada vértice". O 
que ela significa?
Vc pode ter polígonos estrelados encaixados um dentro do outro neste 
caso?
 
 
3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo com 
um ponto do exterior , intersepita um  dos lados do triãngulo
 
 
Use a seguinte propriedade de funções:  Se f(x) <0 para x0 para  x>b então existe um ponto (por
continuidade) entre a e b tal que f(x) = 0.
 
 
4 - discuta a 3º na circunferência .

  - Original Message - 
  From: 
  mentebrilhante brilhante 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, March 20, 2006 12:30 
  AM
  Subject: [obm-l] geometria plana
  
  Quem poder ajuda  agradeço
   
  1 -  Defina a região limitada por um poligono
   
  2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada 
  vértice , então a região é convexa ? 
   
  3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo com 
  um ponto do exterior , intersepita um  dos lados do triãngulo
   
  4 - discuta a 3º na circunferência .
  
  
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Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Agora pouco passou uma idéia aparentemente boa pela minha cabeça:

Se você por um ponto fora da esfera traçar três retas tangentes 'a ela
então vc terá "quase"  um tetraedro.

  O que é interessante neste caso é que os triângulos formados quando 
ligamos
o centro da esfera aos pontos de tangência das retas, temos triângulos 
retângulos.
Isso significa que o raio da esfera tem que satisfazer restrições.  Notar 
agora que a hipotenusa
destes triângulos é a mesma (donde tiramos três relações).  Acho que é 
possível
calcular r^2 em função dos lados do triângulo se considerarmos mais 3 
ângulos sólidos

semelhantes a esse nos outros vértices.

   Não sei se expressei bem a minha idéia.
Ronaldo Luiz Alonso

- Original Message - 
From: "Angelo Barone Netto" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Thursday, March 16, 2006 7:23 PM
Subject: Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo


As retas suportes de duas alturas de um mesmo tetraedro podem ser 
reversas.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Nesta página acho que está a solução.
   http://www.mathematische-basteleien.de/tetrahedron.htm

  - Original Message - 
  From: 
  Erick Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 16, 2006 1:46 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Esfera inscrita em 
  tetraedo
  
  Ronaldo, a esfera está "inscrita" no tetraedo, e não "circunscrita", 
  como vc supôs. 
  Em 14/03/06, Eduardo 
  Wilner <[EMAIL PROTECTED]> 
  escreveu: 
  Inscrita 
ou circunscrita?Erick Nascimento < 
[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 


  Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ 
  as faces de um tetraedo e L1, L2, L3, L4, L5 e  L6 os 
  comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ e YZ, respectivamente. 
  Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer 
  ajuda será bem 
vinda.Obrigado.Erick 


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Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Ok. Ok.  Acho que isso pode 
ajudar:
 
 http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
 
Se o tetraedro não for regular vc pode calcular o 
valor das alturas dele dividindo
a área de cada uma das bases pelo 
volume.  
   
Neste página tem uma fórmula para o 
volume de um tetraedro usando
um determinante.
  A pergunta é:  
As alturas se encontram todas em um ponto?  
 Se sim então esse ponto é 
equidistante das faces?
 Se for, acredito 
que  o problema está resolvido.
 
Ronaldo Luiz Alonso.
 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Erick Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 16, 2006 1:46 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Esfera inscrita em 
  tetraedo
  
  Ronaldo, a esfera está "inscrita" no tetraedo, e não "circunscrita", 
  como vc supôs. 
  Em 14/03/06, Eduardo 
  Wilner <[EMAIL PROTECTED]> 
  escreveu: 
  Inscrita 
ou circunscrita?Erick Nascimento < 
[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 


  Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ 
  as faces de um tetraedo e L1, L2, L3, L4, L5 e  L6 os 
  comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ e YZ, respectivamente. 
  Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer 
  ajuda será bem 
vinda.Obrigado.Erick 


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Re: [obm-l] derivada de produtos

[Ronaldo Luiz Alonso]

>se forem 
independentes, não faz sendito falar em "derivada" ( mas há alguns outros 
operadores 
>interessantes )
    Só esclarecendo a frase acima 
(que tem um sentido bastante amplo) para o pessoal:
    A rigor não podemos falar em 
derivada da mesma forma que falamos de funções de R em R, digamos.
    Precisamos especificar uma 
direção pois temos mais de uma variável independente
 (neste caso entra o conceito de derivada 
direcional -- da qual as derivadas PARCIAIS são casos 
particulares). 
    Na minha contas supus a derivada 
na direção do
eixo x (derivada parcial de f(x) em relação a 
x).
[]s
Ronaldo.
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 16, 2006 12:19 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] derivada de 
  produtos
  y 
  e z são funções de x, ou variaveis independentes ?se forem 
  independentes, não faz sendito falar em "derivada" ( mas há alguns outros 
  operadores interessantes )se forem funções de x, basta usar a regra do 
  produto, e a da cadeia ...regra do produto:d(xy)/dt = y(dx/dt) 
  + x(dy/dt)da cadeiadx/dt = (dx/dw)*(dw/dt)compreensões 
  intuitivas dessas formulas são relativamente fáceis , mas não as sei 
  demonstrarTiago Machado <[EMAIL PROTECTED]> 
  escreveu:
  Como 
posso obter a derivada de uma função tal como: f(x) = 
  2xycos(z).?
  
  
  Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale 
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Re: [obm-l] derivada de produtos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Depende em relação a quem vc vai 
derivar...
Suponha que seja em relação a x.
 
Há várias formas, todas elas dando o mesmo 
resultado.
f(x) = g(x).h(x).
 
Tome g(x) = x e h(x) = 2 y cos z.
 
Note que h(x) não depende de x e pode ser 
considerado constante.
Desta forma
f´(x) = 2ycosz.
 
Não sei se resolvi sua dúvida ...
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Tiago Machado 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 16, 2006 11:11 
  AM
  Subject: [obm-l] derivada de 
  produtos
  Como posso obter a derivada de uma função tal como: 
  f(x) = 2xycos(z).?

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em funções

[Ronaldo Luiz Alonso]

Algumas pequenas contribuições na (2) [tem um 
pessoal muito eficiente aqui que
vai matar a charada rapidinho :)].

 
2) Dada a sequencia : a_n = ((-1)^n). (2n+1)/ (n+1) , n 
pertence os naturais.
Se  " a_n0  é o maior valor dentre os 75 primeiros termos da 
sequencia acima, determine " n0".
 
Note que essa sequência alterna.  
Significa que a_n0 tem que ser positivo para ser o maior  (pois n 
pertence aos naturais).  
Logo n0 é par.  Será que esse n0 existe?  Parece que a_{n+2} 
> a_{n} para todo n par.
 
b)Calcule o valor do seu limite.caso ela seja divergente explique porque 
não converge.
 
 

Note que o limite da sequencia quando n -> oo é 2, que a sequencia 
começa com 1 e que a
sequencia |a_n|  é crescente. Porém devido a alternância de sinais a 
sequencia convergiria para
dois limites -2 e 2.   Como uma sequencia não pode convergir para 
dois limites em um espaço
completo (é isso?). Então ela não converge.   Esse é um exemplo 
de sequencia limitada mas não
convergente.
 
c)Faça o mesmo que em b para a sequencia j_n = |a_n|
 
Agora converge para 2, pois podemos achar eps >0 
tal que  |a_n - 2| < 0 quando n > N (precisa achar N em
função de eps).

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, March 15, 2006 10:03 
  PM
  Subject: [obm-l] Ajuda em funções
  
  Peço ajuda nas seguintes questões:
   
  1) Seja G : R --> R  ond G é a função maior inteiro menor ou 
  igual a x. 
   
  Defina J(x)= G( |x-2| )
   
  Determine: g(0) , g(-3/5) e g(pi).
   
   
  2) Dada a sequencia : a_n = (-1)^n). (2n+1)/ (n+1) , n 
  pertence os naturais.
  Se  " a indice n0  é o maior valor dentre os 75 primeiros 
  termos da sequencia acima, determine " n índice zero".
   
  b)Calcule o valor do seu limite.caso ela seja divergente explique porque 
  não converge.
   
  c)Faça o mesmo que em b para a sequencia j_n = |a_n|
   
   
  Desde já agradeço a ajuda de vocês.
   
  Bruno Mostly
   
  __Faça ligações para 
  outros computadores com o novo Yahoo! Messenger 
  http://br.beta.messenger.yahoo.com/ 

[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade dos paletós.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Deve ser assim (eu acredito).
Suponha que o primeiro homem pegue um 
paletó.
 
A probabilidade de que ele pegue o próprio paletó é 
1/n.
 
Se ele pegar o próprio paletó a probabilidade de 
pelo menos um 
dos homens consiga seu próprio paletó é 1, já que 
esse cara foi muito sortudo !! ;)
   Senão há n-1 homens e n-1 
paletós.
Porém note o seguinte:   
     Pelo menos um dos homens 
restantes irá 
com certeza pegar  paletó errado (por que)? 

 
   Continuamos esse raciocínio até que 
sobre somente um homem.
 
Será que o último paletó que restou para ele é 
o seu?  Pergunta: Essa é a menor
probabilidade de que pelo menos um dos homens 
consiga seu próprio paletó?
Justifique.
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Eder 
  Albuquerque 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, March 15, 2006 4:14 
  PM
  Subject: [obm-l] Probabilidade
  
  Pessoal, tô com dúvidas nesta:
   
  Suponha que n homens, numa festa, atirem seus paletós no 
  guarda-roupas. Os paletós são misturados e cada um deles deverá selecionar 
  aleatoriamente um paletó. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos 
  homens selecione o seu prórpio paletó.
   
  Se alguém puder me mostrar como faz, agradeço.
   
  Eder
   
   
  
  
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Re: [obm-l] confuso

[Ronaldo Luiz Alonso]

Tá, fica x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r
 
então temos que:
 
 (x+2r) + (x+3r) + (x+4r) = 5 [ 
x+(x+r)]
Acho que é isso.
 
Fazendo as contas:
  3x +9r = 10x+5r
   7x = 4r
    x = (4/7  r)
 
O menor valor de r inteiro para x ser inteiro é 7 e 
para este valor x vale 4, logo a menor
quantia que o professor vai desembolsar 
é:
x + x+r + x+2r+ x+3r+ x+4r = 5x + 10r = 90 
reais.
Vi que teve gente que respondeu antes, mas fez do 
mesmo jeito.
Que povo rápido haha...
Ronaldo.
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Eduardo Soares 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 14, 2006 3:15 
  PM
  Subject: [obm-l] confuso
  
  
  Esse 
  achei confuso...
  UFPE- 
  Um professor resolveu presentear seus   cinco melhores alunos com livros 
  de valores equivalentes a quantias diferentes. Os valores dos livros recebidos 
  pelos alunos devem estar em progressão aritmética e a soma dos três maiores 
  deve ser cinco vezes o total recebido pelos outros dois. Se cada um deve 
  receber um livro de valor equivalente a uma quantidade inteira de reais, qual 
  a menor quantia (positiva) que o professor vai desembolsar na compra dos 
  livros?  
  
  
  Copa 2006: Já está na hora de saber o que é ‘Freundschaftsspiel’ Clique aqui: 
  = 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  = 

[obm-l] Re: [obm-l] Integral em coordenadas esféricas, dif ícil !

[Ronaldo Luiz Alonso]

hmmm.
Não é só trocar z por z = sen (phi)
  dz = cos(phi)d phi
  e os limites de integração [0,1] por [0,pi/2] ?

Acho que isso é a única coisa que muda quando se passa de coordenadas 
cilíndricas para coordenadas
esféricas (claro que isso deve depender do eixo em que vc está definindo a 
angulo phi).


Saudações
Ronaldo.

- Original Message - 
From: <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Cc: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, March 13, 2006 10:55 PM
Subject: [obm-l] Integral em coordenadas esféricas, difícil !



Olá pessoal boa noite.

Não é pra resolver a integral, não. É somente para passar de coordenadas 
cilíndricas, nas quais ela está escrita para coordenadas esféricas. Se 
alguém puder dar uma mãozinha agradeço muito, obrigadão.


É uma integral tripla: int [0,2pi] int [0,1] int [r^2,sqr(2-r^2)] r^2 cos 
(theta) dz dr d(theta).


Um abraço, Marcelo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois
não houve respostas:


Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ...
   Estou c/ pouco tempo agora.
Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa 
significativa

eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes).

[]s 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo

[Ronaldo Luiz Alonso]

Note: 4 pontos no espaço determinam uma esfera (um 
tetraedro tem 4 vértices)
Como eu sei a equação da esfera com 4 pontos 
?
x_0,y_0,z_0
x_1,y_1,z_1
x_2,y_2,z_2
x_3,y_3,z_3 ?
 
Ora, basta lembrar a equação da 
esfera.
As incógnitas são x_c,y_c,z_c e r (raio da 
esfera).
 
A eq. geral da circunferência é: 
(x-x_c )^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = 
r^2.
 
Ficou mais fácil certo?  Errado.
Se vc não eliminar os termos cruzados acima o 
sistema fica de difícil solução.
Mas se vc conseguir colocar o tetraedro na origem 
do sistema cartesiano dá para tornar
o sistema linear (fazendo x^2 = p, por 
exemplo).
  O problema se reduz então a achar um ponto 
equidistante de 4 pontos dados no espaço.
reciprocamente: Achar um ponto equidistante de 3 
pontos dados no plano.
Sugestão: Tente chegar a um sistema linear em duas 
dimensões e extenda os resulados para três...
 
 
 
Abraços.
Ronaldo Luiz Alonso
 

  - Original Message - 
  From: 
  Erick Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 11, 2006 2:57 
  PM
  Subject: [obm-l] Esfera inscrita em 
  tetraedo
  
  Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as 
  faces de um tetraedo e L1, L2, L3, L4, L5 e  L6 os comprimentos 
  das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ e YZ, respectivamente. Qual é o raio da 
  esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem 
  vinda.Obrigado.Erick 

[obm-l] Re: [obm-l] Livro de equações diferenciais ordin árias

[Ronaldo Luiz Alonso]

Esses aí já são ótimos.
Olha só os autores:
 
Stephen Smale.
George D. Birkoff
Vladmir I. Arnold
Jorge Stomayer ...
 
Só gente crânio !!!
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Afonso Sabino 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, March 12, 2006 8:08 
PM
  Subject: [obm-l] Livro de equações 
  diferenciais ordinárias
  
  Olá
   
  Gostaria obter recomendações de livro(s) de equações diferenciais 
  ordinárias no nível de mestrado/doutorado. Estou mandando a bibliografia dos 
  cursos do impa e da unicamp para ajudar, mas podem ser outros livros 
  também:
  IMPA
  ARNOLD, V. - Équations Differentialles Ordinaires. Moscou, Ed. Mir, 
  1974.HIRSCH, M., SMALE, S. - Differential Equations, Dynamical Systems and 
  Linear Algebra. New York, Academic Press, 1974.PONTRYAGIN, L. S. - 
  Ordinary Differential Equations. Reading, Mass., Addison-Wesley, 
  1969.SOTOMAYOR, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Rio de 
  Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1979.
   
  Unicamp
  G. Birhoff, G. C. Rota. Ordinary Differencial Equations. 
  Blaisdell, 1969.M. W. Hirsh, S. Smale. Differencial Equations, 
  Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, 1974.J. 
  Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto 
  Euclides, IMPA, CNPq, 1985
   
  Agradeço por qualquer ajuda.
  
  
   
  
  Yahoo! 
  Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 

[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Para provar que dois conjuntos são iguais (A==B), 
vc tem
que provar :
 
1) A cont B  e
2) B cont A
 
Prove que todo elemento de X inter (Y * Z) está contido 
em (X inter Y) 
* (X inter Z) e vice versa.  Para isso
aplique a definição de *.
 
  Deixo os detalhes para vc (o computador 
consegue fazer
prova disso automáticamente, pois operações 
com
conjuntos são isomórficas a operações com álgebra 
booleana) ...
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Michele 
  Calefe 
  To: OBM 
  Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 
AM
  Subject: [obm-l] exercício - 
  conjuntos
  
  Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa 
  prova do IME, de 87.
   
  Dados dois conjuntos A e B, define-se:
  A*B=(A-B)U(B-A)
   
  Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos
  =
   
  inter=intersecção
   
  obrigada,
   
  michele 
  
  
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  o discador agora!

[obm-l] Re: [obm-l] Equação

[Ronaldo Luiz Alonso]

Basta colocar a equção na forma
x = 3^x / 4
 
daí você coloca:
 
x_{n+1} = 3^{x_n} /4
 
Se  0
será única pois
a exponencial não assume valores 
negativos.
 
Ronaldo, Luiz, Alonso ou Gandhi (como quiserem 
;-))

  - Original Message - 
  From: 
  Júnior 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, March 12, 2006 12:13 
  PM
  Subject: [obm-l] Equação
  Como resolver 3^x - 4x = 0 
?Júnior.

Re: [obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA

[Ronaldo Luiz Alonso]

Bem... eu acredito que isso não tenha aplicação apenas
na dupla hélice de DNA,
mas também na descrição do enovelamento do RNA e
no enovelamento de proteínas.

O DNA e folhas-beta em proteínas seriam casos
particulares pois os pares de bases (resp. aminoácidos)
são complementares.  Poderíamos começar estudando
hélices alpha em proteínas (que ocorrem também em
outros tipos de polímeros) e tentar daí estender as
conclusões.

Estou aguardando seu contato para conversarmos
em off.
Vc é brasileiro?
De que cidade você é?

Acho que se a gente trabalhar junto pode publicar
alguma coisa significativa em uma revista do tipo
science ou nature.

[]s



From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Saturday, March 11, 2006 6:42 PM
Subject: RE: [obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA



Ola Alonso ( Ou te chamo de Gandi ? )

Estou respondendo agora apenas para voce saber que imprime  a sua mensagem 
e vou passar o fim-de-semana estudando-a. Vou te escrever em off sobre as 
minhas impressoes.


O que me parece incrivel e que voce partiu de um problema basicamente de 
biologia e chegou a Matematica e mais especificamente a seq de fibonaci. 
Eu parti desta e cheguei a algumas conclusoes insanas que so parecem ter 
aplicacao nas helices do DNA em biologia.


Parece que descobrimos um ponto de convergencia ... Te escrevo em off mais 
adiante.


Um Abracao
Paulo Santa Rita
7,1845,110306



From: "Ronaldo Luiz Alonso" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: 
Subject: [obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA
Date: Fri, 10 Mar 2006 16:37:52 -0300

Paulo Santa Rita wrote:


Ola Alonso ( voce e o Gandi ? ),


 Sim.



E o que o leva a supor que a relacao existe ? Voce quer falar mais sobre 
isso ? Eu tenho uma ideia de como as coisas funcionam ...


  É uma longa história ...   Mas ela pode ser resumida em poucas palavras 
como:


O DNA é um código.  Existe somente uma teoria da codificação (que surgiu
dos trabalhos de Jean Jackes Hadamard).  Logo esta teoria matemática
da codificação seria a única capaz de explicar como a sequência de 
aminoácios de uma
cadeia polipetídica codifica a forma geométrica de uma molécula de 
proteína (que

por sua fez determina sua função biológica).


   Em 2003 comecei os estudos em biologia molecular.  Minha intenção era
fazer um doutorado interdisciplinar.   Então li o livro de J. Watson e F. 
Crick --

Molecular Biology of the Gene.  Fui aos poucos aprendendo como as coisas
funcionavam dentro da célula.   O que eu queria era atacar questões
profundas como "por que ocorre o envelhecimento celular ?".   Antes dos
cientistas descobrirem que a restrição calórica  atrasava o 
envelhecimento, os cientistas

não tinham a menor noção de como fazer isso.
  Porém, a partir desta descoberta, um entendimento dos efeitos da RC 
poderia

trazer luz ao problema:

 http://www.ronaldoalonso.hpg.ig.com.br/cr/mol_biol_all.htm


 Descobri então que a montagem da proteína era um processo 
construtivo e
resolvi fazer uma animação em flash disso (pois estava estudando para um 
concurso

público na época):

 http://www.ronaldoalonso.hpg.ig.com.br/flash/ProtSynthFla.htm

 Fiquei imaginando então que o computador poderia calcular os ângulos 
phi_i e psi_i da

cadeia de aminoácidos, dada a sequência deles.   Mas ao conversar com
alguns cientistas da USP de São Carlos (Richard Garrat e Igor Policarpov) 
eles

disseram para mim que  isso não era possível pois não havia poder
computacional suficiente para tal.

   Na verdade eles estavam falando de um problema um pouco mais complexo 
que
era o problema do dobramento de proteínas (protein folding) que era 
NP-completo.


  Proteínas biológicas são estáveis em seu mínimo global de energia de 
Gibbs na
temperatura biológica.  Do ponto de vista teórico, isso implica que 
podemos

estudar o dobramento sem auxílio de nenhuma maquinária celular:

http://www.physics.ubc.ca/~steve/pubs.html

(Plotkin and Onuchic: Understanding protein folding with energy landscape 
theory I e II).


  De fato eles conseguem fazer isso cm proteínas pequenas usando 
supercomputadores

da NASA.

  Comecei a estudar  alguma coisa sobre dinâmica simbólica
e fractais. O professor André Carlos Ponce de León Carvalho do ICMC 
então
me apresentou o professor Zhao, que seria meu futuro orientador, por 
estudar

redes complexas e sistemas dinâmicos.

Por acaso passei na sala dele e lá havia um livro:  Symbolic
Dynamics and Coding   - Lind and Marcus.

  Percebi então que essa teoria (dinâmica simbólica)
vinha da teoria do caos em sistemas dissipativos (Bao-Lin et al) e tentava 
descrever
o movimento de pontos em conjuntos invariantes de uma transformação em 
tais sistemas (ex de transformação dissipativa:  mapa logístico -- Ex. de 
conjunto invariante: conjunto de Cantor) homeomorfos a sequências 
infinitas de símbolos.


 A montagem da proteína pelo ribossomo gastava 1 ATP por aminoácido, 
da mesma

forma que o 

[obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA

[Ronaldo Luiz Alonso]

ipeptídica 
enquanto
ela está sendo montada está relacionada com um código simbólico (shift 
space).


CONCLUSÃO/CONJECTURA:  O código por detrás do DNA tem
ALGUMA RELAÇÃO com o código simbólico da função potencial de uma proteína!!!

Como provar essa conjectura ???
Ela é verdadeira??


Há mais razões para supor que sim. Ou seja, que ela é.

Imagine vc que se conseguíssemos uma forma fechada para a partir do código 
fazer

a predição dos ângulos, não precisaríamos mais de cristalógrafos ...

O DNA é produto da evolução e as proteínas foram selecionadas pela evolução
para terem um único mínimo global.

Poderíamos prever genomas inteiros e proderíamos entender (com os 
computadores

de hoje) tudo que ocorre no interior de células humanas.

  Temos o genoma cocluído em 2000, mas não temos o proteoma...
  E com os métodos atuais, está muito longe disso.
  Demora-se em média 6 meses para se cristalizar uma proteína, mais 6 meses 
para fazer o
medicamento que ataca o sítio ativo desta proteína e mais 1 ano de testes 
...


  O genoma humano tem cerca de 120.000 (?) proteínas.  Sendo que para a 
grande

maioria delas, sabemos muito pouco a respeito.

Lógico que não dá para explicar tudo em um e-mail...
Mas o assunto parece ser fascinante (e o caminho para solução aparentemente
possível)...

Ronaldo Luiz Alonso.


|




Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1523,100306



From: "Ronaldo Luiz Alonso" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: 
Subject: [obm-l] Paper sobre Fibonacci e Árvores (Agora Sim, espero).
Date: Fri, 10 Mar 2006 15:00:34 -0300

Bem esses aqui devem abrir:

http://www.ct-botanical-society.org/newsletter/phyllotaxy.html
http://www.maa.org/scripts/WA.EXE?A2=ind9801&L=math-history-list&T=0&O=D&P=2427

A demonstração rigorosa, todavia é encontrada no paper de Atela and Goulé 
(será que vai

abrir?):

http://maven.smith.edu/~phyllo/Assets/pdf/dsforplantpattern.pdf

Ele é a base da conjectura que estou tentando provar acerca do DNA. Isto é 
como os
ângulos torsionais de um polipeptídeo estão realcionados com a sequência 
de bases?


_
Copa 2006: Juiz @#$%*&!? e mais frases para seu MSN Messenger 
http://copa.br.msn.com/extra/frases/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Paper sobre Fibonacci e Árvores (Agora Sim, espero ).

[Ronaldo Luiz Alonso]

Bem esses aqui devem abrir:
 
http://www.ct-botanical-society.org/newsletter/phyllotaxy.html
http://www.maa.org/scripts/WA.EXE?A2=ind9801&L=math-history-list&T=0&O=D&P=2427
 
A demonstração rigorosa, todavia é encontrada no 
paper de Atela and Goulé (será que vai
abrir?):
 
http://maven.smith.edu/~phyllo/Assets/pdf/dsforplantpattern.pdf
 
Ele é a base da conjectura que estou tentando 
provar acerca do DNA. Isto é como os
ângulos torsionais de um polipeptídeo estão 
realcionados com a sequência de bases?