Re: [obm-l] Problema estranho
Bora lá... Pelo que a galera já demonstrou, o resultado vale se todos os números da sequência forem racionais. Agora, falta cobrir os irracionais. Considere - real eps>0 - inteiro m>0 - inteiros p_1, p_2, ... p_(2n+1) tais que, para todo i, vale |p_i-mx_i| < eps. A ideia é que se eps for bem pequenininho, os p_i e os x_i terão a mesma propriedade (se tirar um, dá para rachar ao meio). De fato, fixando i: soma(j <> i)(a_ij * m* x_j) = 0 , para alguma combinação de a_ij em {-1,+1} (tente imaginar uma balança: se o número x_j está no prato direito, usamos -1; caso contrário, +1). Ou também soma(j <> i)(a_ij * (m* x_j-p_j)) = - soma(j <> i)(a_ij * p_j) Passa o módulo: | soma(j <> i)(a_ij * p_j) | = | soma(j <> i)(a_ij * (m* x_j-p_j)) | <= 2n * eps Mas olha só, o | soma(j <> i)(a_ij * p_j) | é um inteiro positivo arbitrariamente pequeno! Isso na minha terra tem um nome: ZERO! LOGO, como os ilustres colegas da lista mostraram, todos esse p_i devem ser iguais. LOGO, para todo K grandão existem inteiros n_K e p_K tais que |p_K - n_K * x_i| <= 1/K Como pelo menos um dos caras é irracional, é fácil ver que n_K pode ser arbitrariamente grande. Mas 2/N > |n_K| * max |x_i-x_j|, e isso implica max |x_i-x_j| = 0. That's it! Em 15 de julho de 2017 20:21, Anderson Torres escreveu: > Uma ideia pode ser tentar aproximar os reais para racionais e usar o > argumento das potências, não? > > Em 11 de julho de 2017 18:21, Matheus Secco escreveu: >> Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você >> já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais >> admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais. >> >> Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira >> escreveu: >>> >>> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um >>> jeito de usar isso para o caso geral... >>> >>> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do >>> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma >>> certa constante a todos eles. >>> >>> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos >>> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg. >>> >>> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos >>> eles, menos qualquer um deles, é um número par. >>> >>> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento, >>> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos >>> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então >>> some 1 de novo, repita e enxágue. >>> >>> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo >>> até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando >>> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor >>> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em >>> tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1. >>> >>> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são >>> todos 0, ou todos 1. >>> >>> ---///--- >>> >>> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de >>> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos >>> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros >>> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para >>> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos >>> "comensuráveis" e daí matar o problema. >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> >>> >>> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali : Uma prova por indução me parece o melhor caminho. O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver o problema assim que puder. Abraços, Nowras. Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo escreveu: > > > Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de > qualquer forma obrigado > > > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa > > escreveu: > > > > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos > > n=1 > > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado > > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não > > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre > > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. > > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos > > repetidos). > > > > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos > > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a > > soma > > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, > > dá mais trabalho. > > > > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo
Re: [obm-l] Problema estranho
Uma ideia pode ser tentar aproximar os reais para racionais e usar o argumento das potências, não? Em 11 de julho de 2017 18:21, Matheus Secco escreveu: > Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você > já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais > admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais. > > Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira > escreveu: >> >> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um >> jeito de usar isso para o caso geral... >> >> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do >> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma >> certa constante a todos eles. >> >> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos >> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg. >> >> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos >> eles, menos qualquer um deles, é um número par. >> >> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento, >> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos >> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então >> some 1 de novo, repita e enxágue. >> >> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo >> até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando >> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor >> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em >> tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1. >> >> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são >> todos 0, ou todos 1. >> >> ---///--- >> >> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de >> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos >> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros >> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para >> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos >> "comensuráveis" e daí matar o problema. >> >> Abraço, Ralph. >> >> >> >> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali : >>> >>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho. >>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar >>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver >>> o problema assim que puder. >>> >>> Abraços, Nowras. >>> >>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo >>> escreveu: Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de qualquer forma obrigado > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa > escreveu: > > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos > n=1 > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos > repetidos). > > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a > soma > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, > dá mais trabalho. > > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo > : >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim >> ( passei muito tempo nela já kkk): >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números >> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em >> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um >> desses dois conjuntos de n elementos são iguais. >> Prove que todos os elementos de A são iguais." >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> = > > > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da li
Re: [obm-l] Problema estranho
Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais. Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira escreveu: > Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um > jeito de usar isso para o caso geral... > > A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do > conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma > certa constante a todos eles. > > Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos > eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg. > > Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos > eles, menos qualquer um deles, é um número par. > > Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento, > **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos > pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então > some 1 de novo, repita e enxágue. > > Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo > até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando > x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor > absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, > em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1. > > Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são > todos 0, ou todos 1. > > ---///--- > > Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de > desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos > eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros > (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para > mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos > "comensuráveis" e daí matar o problema. > > Abraço, Ralph. > > > > 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali : > >> Uma prova por indução me parece o melhor caminho. >> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar >> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver >> o problema assim que puder. >> >> Abraços, Nowras. >> >> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo >> escreveu: >> >>> >>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de >>> qualquer forma obrigado >>> >>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >>> bernardo...@gmail.com> escreveu: >>> > >>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos >>> n=1 >>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado >>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não >>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre >>> > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. >>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos >>> > repetidos). >>> > >>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos >>> > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a >>> soma >>> > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, >>> > dá mais trabalho. >>> > >>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo >> >: >>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim >>> ( passei muito tempo nela já kkk): >>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números >>> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em >>> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um >>> desses dois conjuntos de n elementos são iguais. >>> >> Prove que todos os elementos de A são iguais." >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >>> >> >>> >> >>> = >>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >> >>> = >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> = >>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> > >>> = >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ===
Re: [obm-l] Problema estranho
Ah, melhor ainda: depois que seus números forem inteiros, some uma certa constante a todos eles de forma que um deles seja 0. Agora divida por 2, quantas vezes você quiser (eles vão ser sempre todos pares pelo argumento de paridade anterior!). Então são todos inteiros divisíveis por poências arbitrariamente grandes de 2 Pode isso, Arnaldo? Bom, pode, mas só tem um jeito -- são todos 0. 2017-07-11 18:01 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um > jeito de usar isso para o caso geral... > > A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do > conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma > certa constante a todos eles. > > Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos > eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg. > > Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos > eles, menos qualquer um deles, é um número par. > > Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento, > **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos > pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então > some 1 de novo, repita e enxágue. > > Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo > até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando > x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor > absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, > em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1. > > Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são > todos 0, ou todos 1. > > ---///--- > > Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de > desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos > eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros > (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para > mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos > "comensuráveis" e daí matar o problema. > > Abraço, Ralph. > > > > 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali : > >> Uma prova por indução me parece o melhor caminho. >> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar >> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver >> o problema assim que puder. >> >> Abraços, Nowras. >> >> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo >> escreveu: >> >>> >>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de >>> qualquer forma obrigado >>> >>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >>> bernardo...@gmail.com> escreveu: >>> > >>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos >>> n=1 >>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado >>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não >>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre >>> > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. >>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos >>> > repetidos). >>> > >>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos >>> > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a >>> soma >>> > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, >>> > dá mais trabalho. >>> > >>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo >> >: >>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim >>> ( passei muito tempo nela já kkk): >>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números >>> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em >>> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um >>> desses dois conjuntos de n elementos são iguais. >>> >> Prove que todos os elementos de A são iguais." >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >>> >> >>> >> >>> = >>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >> >>> = >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> = >>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> > ===
Re: [obm-l] Problema estranho
Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um jeito de usar isso para o caso geral... A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma certa constante a todos eles. Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg. Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos eles, menos qualquer um deles, é um número par. Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento, **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então some 1 de novo, repita e enxágue. Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo até até até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1. Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são todos 0, ou todos 1. ---///--- Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos "comensuráveis" e daí matar o problema. Abraço, Ralph. 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali : > Uma prova por indução me parece o melhor caminho. > O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar > provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver > o problema assim que puder. > > Abraços, Nowras. > > Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo > escreveu: > >> >> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de >> qualquer forma obrigado >> >> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> bernardo...@gmail.com> escreveu: >> > >> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1 >> > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado >> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não >> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre >> > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. >> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos >> > repetidos). >> > >> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos >> > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a soma >> > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, >> > dá mais trabalho. >> > >> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo : >> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim >> ( passei muito tempo nela já kkk): >> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, >> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois >> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses >> dois conjuntos de n elementos são iguais. >> >> Prove que todos os elementos de A são iguais." >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> = >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> >> = >> > >> > >> > >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> = >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > >> = >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se es
Re: [obm-l] Problema estranho
Uma prova por indução me parece o melhor caminho. O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver o problema assim que puder. Abraços, Nowras. Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo escreveu: > > Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de > qualquer forma obrigado > > > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > > > > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1 > > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado > > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não > > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre > > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. > > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos > > repetidos). > > > > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos > > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a soma > > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, > > dá mais trabalho. > > > > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo : > >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( > passei muito tempo nela já kkk): > >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, > não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: > >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois > conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses > dois conjuntos de n elementos são iguais. > >> Prove que todos os elementos de A são iguais." > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > = > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > = > > > > > > > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa mas de qualquer forma obrigado > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa > escreveu: > > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1 > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos > repetidos). > > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos > a_1, a_2, é possÄ©vel separar em dois grupos de um elemento, com a soma > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, > dá mais trabalho. > > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo : >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( >> passei muito tempo nela já kkk): >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, >> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois >> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses >> dois conjuntos de n elementos são iguais. >> Prove que todos os elementos de A são iguais." >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema estranho
Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1 e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma. (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos repetidos). Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a soma igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2, dá mais trabalho. 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo : > Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei > muito tempo nela já kkk): > " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não > necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: > - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois > conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses dois > conjuntos de n elementos são iguais. >Prove que todos os elementos de A são iguais." > > > > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema estranho
Olá, Francisco! Eu também pensei nisso, mas vou consultar o site que o Bruno indicou... Muito obrigado e um abraço! Luiz On Jul 8, 2017 9:13 PM, "Francisco Barreto" wrote: > > On Sat, 8 Jul 2017 at 20:21 Otávio Araújo > wrote: > >> >> O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo >> meu. assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um >> multiconjunto, essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo? >> >> Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi >> escreveu: >> >> Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números >> repetidos. O correto seria Multiconjunto: https://pt.wikipedia.org/wiki/ >> Multiconjunto >> >> Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >> Luiz, arrisco dizer que pode, mas é equivalente a {1,2,3}. Alguem me > corrija se eu estiver errado, por favor. > >> Olá, Otávio! >>> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas >>> quero aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a >>> faculdade: pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único? >>> Um abraço! >>> >> > Luiz >>> >>> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" >>> wrote: >>> >>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( >>> passei muito tempo nela já kkk): >>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, >>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois >>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses >>> dois conjuntos de n elementos são iguais. >>>   Prove que todos os elementos de A são iguais." >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>  acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
Olá, Bruno! Muito obrigado pelo esclarecimento! Um abraço! Luiz On Jul 8, 2017 8:01 PM, "Bruno Visnadi" wrote: > Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos. > O correto seria Multiconjunto: https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto > > Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: > >> Olá, Otávio! >> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero >> aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade: >> pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único? >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" >> wrote: >> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( >> passei muito tempo nela já kkk): >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não >> necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois >> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses >> dois conjuntos de n elementos são iguais. >>Prove que todos os elementos de A são iguais." >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
On Sat, 8 Jul 2017 at 20:21 Otávio Araújo wrote: > > O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo > meu. assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um > multiconjunto, essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo? > > Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi > escreveu: > > Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números > repetidos. O correto seria Multiconjunto: > https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto > > Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: > > Luiz, arrisco dizer que pode, mas é equivalente a {1,2,3}. Alguem me corrija se eu estiver errado, por favor. > Olá, Otávio! >> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas >> quero aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a >> faculdade: pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único? >> Um abraço! >> > Luiz >> >> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" >> wrote: >> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( >> passei muito tempo nela já kkk): >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, >> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois >> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses >> dois conjuntos de n elementos são iguais. >>   Prove que todos os elementos de A são iguais." >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
On Sat, 8 Jul 2017 at 17:35 Otávio Araújo wrote: > Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei > muito tempo nela já kkk): > " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não > necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: > - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois > conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses > dois conjuntos de n elementos são iguais. >Prove que todos os elementos de A são iguais." > > > > Pegue o conjunto de 2n elementos, ordene de tal forma que você pega pares, > o menor e o maior, o segundo menor e o segundo maior. Vai colocando um elemento de cada par em uma urna distinta. Minha primeira fungada no problema seria lembrar da soma dos n primeiros termos de uma sequencia. Espero que faça sentido. Fui > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo meu. assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um multiconjunto, essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo? > Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi > escreveu: > > Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos. > O correto seria Multiconjunto: https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto > > Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: >> Olá, Otávio! >> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero >> aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade: >> pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único? >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" wrote: >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( >> passei muito tempo nela já kkk): >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, >> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois >> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses >> dois conjuntos de n elementos são iguais. >>   Prove que todos os elementos de A são iguais." >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos. O correto seria Multiconjunto: https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues escreveu: > Olá, Otávio! > Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero > aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade: > pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único? > Um abraço! > Luiz > > On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" wrote: > > Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei > muito tempo nela já kkk): > " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não > necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: > - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois > conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses > dois conjuntos de n elementos são iguais. >Prove que todos os elementos de A são iguais." > > > > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema estranho
Olá, Otávio! Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade: pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único? Um abraço! Luiz On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo" wrote: Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei muito tempo nela já kkk): " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses dois conjuntos de n elementos são iguais. Prove que todos os elementos de A são iguais." -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema estranho
Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei muito tempo nela já kkk): " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade: - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses dois conjuntos de n elementos são iguais. Prove que todos os elementos de A são iguais." -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] problema estranho
O que vc tem que mostrar é que = 0 para todo x E para todo y. Uma maneira de fazer isso é trocar v por x+y, depois por x+iy e ver o que aparece :) From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] problema estranho Date: Sat, 7 May 2011 20:08:20 + Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio <(T-T*)(vp),vp> = 0 =>( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado > Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 > Subject: Re: [obm-l] problema estranho > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/5/7 Samuel Wainer : > > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > > Mostrar que se pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* > > (adjunto) > > > > Se = para todo v em V > > portanto = 0 para todo v em V > > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V > Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é > ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a > mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) > passear. > > Acontece que tem mais informação do que só isso, justamente > por ligar v e a sua imagem. > > Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que > está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você > pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores > próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio > associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, > = = lambda* = lambda *||u||^2. Se = > 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui > que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é > nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se > você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) > > Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que > mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se > ||v|| = 1, você tem que pertence ao intervalo delimitado pelos > menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que Au> = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, > quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata > sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." > > O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por > auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é > importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é > "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda > consegue diagonalizar sobre C. > > > Pois daí T = T* > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
Re: [obm-l] problema estranho
Vamos continuar o seu raciocínio. Seja b(z) o conjugado do número complexo z. Sabemos que vale = para u,v em V. Se fizermos u=v temos ==b()= e obtemos que =0 para todo v em V, esta é a parte do seu raciocínio. Faça B=T-T*, e queremos verificar que B=0 observe primeiro que B*=(T-T*)*=-B. E sabemos que =0 para todo v em V. Suponha que v=u+w então 0===+ e daí =-=<-Bw,u>=, para todo u,w em V. Por outro lado como = para todo u, w em V. Comparando as duas igualdades temos que é real para todo u e w em V. E daí = para todo u,w em V e faça w=iBu, i é o número complexo. e temos -||Bu||^2=||Bu||^2, logo Bu=0 para todo u em V. E portanto B=0=T-T* e temos T=T*. [] Jones 2011/5/7 Samuel Wainer > Olá, > Obrigado pelo esclarecimento, > mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu > operador não tem vetor próprio diferente de zero? > Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v > em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio <(T-T*)(vp),vp> = 0 =>( T - T*)(vp) = > 0. > Estou um pouco perdido. > Obrigado > > > Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 > > Subject: Re: [obm-l] problema estranho > > From: bernardo...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > 2011/5/7 Samuel Wainer : > > > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > > > Mostrar que se pertencce aos reais para todo v em V, então T = > T* > > > (adjunto) > > > > > > Se = para todo v em V > > > portanto = 0 para todo v em V > > > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v > em V > > Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é > > ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a > > mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) > > passear. > > > > Acontece que tem mais informação do que só isso, justamente > > por ligar v e a sua imagem. > > > > Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que > > está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você > > pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores > > próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio > > associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, > > = = lambda* = lambda *||u||^2. Se = > > 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui > > que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é > > nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se > > você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) > > > > Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que > > mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se > > ||v|| = 1, você tem que pertence ao intervalo delimitado pelos > > menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que > Au> = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, > > quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata > > sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." > > > > O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por > > auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é > > importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é > > "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda > > consegue diagonalizar sobre C. > > > > > Pois daí T = T* > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > = >
RE: [obm-l] problema estranho
Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio <(T-T*)(vp),vp> = 0 =>( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado > Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 > Subject: Re: [obm-l] problema estranho > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/5/7 Samuel Wainer : > > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > > Mostrar que se pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* > > (adjunto) > > > > Se = para todo v em V > > portanto = 0 para todo v em V > > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V > Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é > ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a > mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) > passear. > > Acontece que tem mais informação do que só isso, justamente > por ligar v e a sua imagem. > > Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que > está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você > pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores > próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio > associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, > = = lambda* = lambda *||u||^2. Se = > 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui > que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é > nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se > você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) > > Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que > mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se > ||v|| = 1, você tem que pertence ao intervalo delimitado pelos > menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que Au> = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, > quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata > sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." > > O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por > auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é > importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é > "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda > consegue diagonalizar sobre C. > > > Pois daí T = T* > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
Re: [obm-l] problema estranho
2011/5/7 Samuel Wainer : > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > Mostrar que se pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* > (adjunto) > > Se = para todo v em V > portanto = 0 para todo v em V > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear. Acontece que tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, = = lambda* = lambda *||u||^2. Se = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. > Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] problema estranho
Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V Mostrar que se pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se = para todo v em V portanto = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Pois daí T = T*
RES: [obm-l] Problema estranho..
Augurios, Eu tb achava que naum tinha solucao da maneira que o professor passou... Eu cheguei em uma solucao igual e dai resolvi colocar em discussao na lista pra ver se alguem tinha alguma ideia diferente que talvez resolvese o problema... A todos que ajudaram meu mto obrigado.. []s Cloves Jr -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Angelo Barone Netto Enviada em: quinta-feira, 25 de março de 2004 16:45 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Problema estranho.. Caro Cloves Jr <[EMAIL PROTECTED]>: Claro que se a soma dos elementos de cada fila e 12 a soma dos nove elementos da matriz e 36. Por outro lado, se os nove elemntos sao naturais sua soma e, no minimo, 0+1+2+3+4+5+6+7+8=36, os naturais tem que incluir o zero (nada mais natural) e sao necessariamente os que figuram na linha acima. Existem poucas matrizes que satisfazem isto (calcule seu 3), uma delas e 048 561 723. Augurios. Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema estranho..
Caro Cloves Jr <[EMAIL PROTECTED]>: Claro que se a soma dos elementos de cada fila e 12 a soma dos nove elementos da matriz e 36. Por outro lado, se os nove elemntos sao naturais sua soma e, no minimo, 0+1+2+3+4+5+6+7+8=36, os naturais tem que incluir o zero (nada mais natural) e sao necessariamente os que figuram na linha acima. Existem poucas matrizes que satisfazem isto (calcule seu 3), uma delas e 048 561 723. Augurios. Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema estranho..
Aliás, é um problema interessante. Eu sei que para qualque matriz N x N com n ímpar é possível montar a tal da matriz. A formulação tradicional é para os Naturais SEM o zero, e a soma das linhas ou colunas seria sempre igual a N * ( N^2 + 1) / 2. (No caso da 3x3, a soma seria 15) Agora, quando N é par... -Original Message- From: Artur Costa Steiner [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 6:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Problema estranho.. Eh, aih dah. Mas se vc seguir a convencao usual de que o 0 nao eh natural, entao o problema eh impossivel. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "'[EMAIL PROTECTED]'" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RE: [obm-l] Problema estranho.. Data: 23/03/04 23:53 Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim: 0 8 4 7 3 2 5 1 6 Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem advinha? -Original Message- From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] Problema estranho.. Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592 <http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592&img=21> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema estranho..
Eh, aih dah. Mas se vc seguir a convencao usual de que o 0 nao eh natural, entao o problema eh impossivel. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "'[EMAIL PROTECTED]'" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RE: [obm-l] Problema estranho.. Data: 23/03/04 23:53 Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim: 0 8 4 7 3 2 5 1 6 Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem advinha? -Original Message- From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] Problema estranho.. Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592 <http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592&img=21> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema estranho..
De fato, eh impossivel. As suas condicoes implicam que cada termo da matriz seja de, no maximo, 9. Se um termo a_i_j for maior que 9, entao, como os termos sao naturais distintos 2 a 2, na linha dele havera, no caso mais favoravel, os numeros 1 e 2 e a soma serah maior que 12. Assim, o conjunto viavel do qual voce pode escolher termos para a matriz eh {1, 29}. Como naum pode haver repeticao e a matriz eh 3 x 3, os 9 numeros serao escolhidos uma unica vez. Na linha em que houver o 9, os outros dois numeros serao necessariamente 1 e 2. Nenhuma outra escolha (a menos de ordem) eh possivel. Mas isto impossibilita que, na coluna do 9, tenhamos soma 12 (a soma serah maior). Logo, o problema nao tem solucao. Artur --- Cloves Jr <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas > discussoes por estar ainda > no primeiro ano da facu mas estou precisando da > ajuda de vcs... > > Eu sei que eh um problema basico mas eu naum > consegui resolver: > > Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal > que a soma de cada linha > e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser > repetidos e todos são > naturais. > > Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir > resolver por favor > gostaria de saber como... > > []s > > Cloves Jr > ICQ: 148686592 > > __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema estranho..
Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim: 0 8 4 7 3 2 5 1 6 Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem advinha? -Original Message- From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] Problema estranho.. Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592 <http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592&img=21> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema estranho..
Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592