[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo
Excelente, foi de grande ajuda. Muito obrigado ! Em dom, 12 de jan de 2020 20:42, Pedro Cardoso escreveu: > O problema é resolvível no contexto do ensino médio porque uma das > equações vão ser retas. > Talvez tenha um jeito ainda mais fácil de resolver, mas essa foi a solução > que encontrei: > > Por √x ser crescente, o máximo de > √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) > é a raíz do máximo de > 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9. > Seja > 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9 = p > Então > (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9 = p > (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9/4 = p - 27/4 > (4a-2b - 3/2)² = p -27/4 > O que dá duas retas: > 2a-b = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e > 2a-b = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 > E queremos encontrar o maior valor de p tal que pelo menos uma dessas > retas toque a equação dada. > > Para simplificar, recomendo por > k = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e > k' = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 > > Dessa forma, se encontrarmos o maior valor de k tal que 2a-b = k toca a > equação dada, podemos encontrar também o maior valor de p tal que a > primeira reta toca a equação dada. > Analogamente, se encontrarmos o *menor* valor de *k'* tal que 2a - b = k' > toca a equação, encontramos o maior valor de p tal que a *segunda* reta > toca a equação dada. Aqui fica invertido pois tem um "-" na raíz com o p. > > A partir daqui já é possível resolver substituindo 2a-b = k restrição e > encontrando o vértice de uma equação do segundo grau, mas para continuar, > vou aplicar a substituição > > a=x+y > b=x-y > > temos que > 17(a²+b²) -30ab - 16 = 0 fica > 34(x²+y²)-30(x²-y²)-16 = 0 > 4x² + 64y² - 16 = 0 > x² + 16y² - 4 = 0 > > E 2a - b = k fica > 2(x + y) - (x - y) = k > x + 3y = k > x = k - 3y > > Substituindo, temos > (k-3y)² + 16y² - 4 = 0 > k² - 6ky + 25y² - 4 = 0 > 25y² - 6ky + k²-4 = 0 > Essa quadrática em y tem discriminante > Δ = 36k² - 25(4k² - 16) > Δ = 36k² - 100k² + 400 > Δ = 400 - 64k² > > Quando Δ>0, a reta toca a equação em mais de 1 ponto. Quando Δ=0, a reta > é tangente à equação (isso ocorrerá quando k for máximo ou mínimo), e > quando Δ<0, a reta não toca a equação. > > Pondo Δ=0, temos > 25 - 4k² = 0 > k = 5/2 e > k = -5/2 > > Assim, encontramos o maior valor para k: k = √(25/4) > e o menor valor para k': k' = -√(25/4). Isso nos dá as equações > > 5 = √(p -27/4) + 3/2e > -5 = -√(p -27/4) + 3/2 > Que não são difíceis de resolver e dão, respectivamente > p = 19 e > p = 49 > > Como disse no começo, o resultado é a raíz desse máximo, ou seja, √49 = > *7*. > Como o resultado foi muito bonito, suspeito que há um jeito muito mais > simples de resolver, mas não o encontrei. > A saber, esse máximo ocorre quando > a = -1,9 > b = -1,3 > > Espero que tenha sido útil > Pedro Cardoso > > Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:09, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Oi, Gilberto: >> >> Que mal eu pergunte, de onde veio este problema? >> E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem >> usar cálculo)? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo >> wrote: >> >>> Se a e b são números que satisfazem a equação : >>> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0 >>> Determinar o máximo de : >>> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) >>> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei >>> oq utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando >>> ideias. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo
O problema é resolvível no contexto do ensino médio porque uma das equações vão ser retas. Talvez tenha um jeito ainda mais fácil de resolver, mas essa foi a solução que encontrei: Por √x ser crescente, o máximo de √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) é a raíz do máximo de 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9. Seja 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9 = p Então (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9 = p (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9/4 = p - 27/4 (4a-2b - 3/2)² = p -27/4 O que dá duas retas: 2a-b = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e 2a-b = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 E queremos encontrar o maior valor de p tal que pelo menos uma dessas retas toque a equação dada. Para simplificar, recomendo por k = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e k' = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 Dessa forma, se encontrarmos o maior valor de k tal que 2a-b = k toca a equação dada, podemos encontrar também o maior valor de p tal que a primeira reta toca a equação dada. Analogamente, se encontrarmos o *menor* valor de *k'* tal que 2a - b = k' toca a equação, encontramos o maior valor de p tal que a *segunda* reta toca a equação dada. Aqui fica invertido pois tem um "-" na raíz com o p. A partir daqui já é possível resolver substituindo 2a-b = k restrição e encontrando o vértice de uma equação do segundo grau, mas para continuar, vou aplicar a substituição a=x+y b=x-y temos que 17(a²+b²) -30ab - 16 = 0 fica 34(x²+y²)-30(x²-y²)-16 = 0 4x² + 64y² - 16 = 0 x² + 16y² - 4 = 0 E 2a - b = k fica 2(x + y) - (x - y) = k x + 3y = k x = k - 3y Substituindo, temos (k-3y)² + 16y² - 4 = 0 k² - 6ky + 25y² - 4 = 0 25y² - 6ky + k²-4 = 0 Essa quadrática em y tem discriminante Δ = 36k² - 25(4k² - 16) Δ = 36k² - 100k² + 400 Δ = 400 - 64k² Quando Δ>0, a reta toca a equação em mais de 1 ponto. Quando Δ=0, a reta é tangente à equação (isso ocorrerá quando k for máximo ou mínimo), e quando Δ<0, a reta não toca a equação. Pondo Δ=0, temos 25 - 4k² = 0 k = 5/2 e k = -5/2 Assim, encontramos o maior valor para k: k = √(25/4) e o menor valor para k': k' = -√(25/4). Isso nos dá as equações 5 = √(p -27/4) + 3/2e -5 = -√(p -27/4) + 3/2 Que não são difíceis de resolver e dão, respectivamente p = 19 e p = 49 Como disse no começo, o resultado é a raíz desse máximo, ou seja, √49 = *7*. Como o resultado foi muito bonito, suspeito que há um jeito muito mais simples de resolver, mas não o encontrei. A saber, esse máximo ocorre quando a = -1,9 b = -1,3 Espero que tenha sido útil Pedro Cardoso Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:09, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Oi, Gilberto: > > Que mal eu pergunte, de onde veio este problema? > E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar > cálculo)? > > []s, > Claudio. > > > On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo > wrote: > >> Se a e b são números que satisfazem a equação : >> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0 >> Determinar o máximo de : >> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) >> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei oq >> utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo
Olá Cláudio, eu sinceramente não faço ideia foi mandada em um dos grupos que faço parte e achei interessante. Mandei com essa restrição pois é só curiosidade mesmo de como seria uma saída sem usar técnicas de ensino superior. Em dom, 12 de jan de 2020 19:09, Claudio Buffara escreveu: > Oi, Gilberto: > > Que mal eu pergunte, de onde veio este problema? > E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar > cálculo)? > > []s, > Claudio. > > > On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo > wrote: > >> Se a e b são números que satisfazem a equação : >> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0 >> Determinar o máximo de : >> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) >> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei oq >> utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo
Oi, Gilberto: Que mal eu pergunte, de onde veio este problema? E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar cálculo)? []s, Claudio. On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo wrote: > Se a e b são números que satisfazem a equação : > 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0 > Determinar o máximo de : > √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) > Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei oq > utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Olá, Pedro! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Gostei muito dessa forma de pensar no problema. Vou fazer o que você indicou. Um abraço! Luiz On Sun, Nov 3, 2019, 8:00 AM Pedro José wrote: > Bom dia! > Eu coloquei só o resultado do cálculo. > Note que, para cada jogo de pontos, há três pontos. Os dois da extremidade > possuem sinais diversos na primeira derivada. Significa que entre eles a > derivada se anula porque é contínua. > > Como o cos(x) apresenta picos de Pi/2 em Pi/2. Você pode fazer uma tabela > com pontos defasados em 0,5 e verificar quando ocorre uma variação de sinal > na derivada. Aí entre esses pontos tem um que anula a derivada. > Pode-se fazer um segmento de reta e ver onde se anula. Nesse ponto calcula > de novo o valor da derivada e dececide entre que pontos estão. Até que o > intervalo fique nem pequeno ou o valor da derivada bem próximo de zero. > Mas pode usar pesquisa binária que é mais simples. Calcula a média dos "x" > e o valor da derivada na média. Depois define entre que pontos se anula. > > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 2 de nov de 2019 21:20, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Boa noite! >> Tudo bem? >> Muito obrigado pelas informações! >> Vou aguardar seus cálculos! >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Sat, Nov 2, 2019, 6:02 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Quando se fala em o máximo e o mínimo. Entendo como sendo globais, ou >>> vão acontecer nas extremidades ou em algum máximo e mínimo local, que >>> também será global. >>> >>> f(-12) = 0,453 >>> f(-3) = -0,475 >>> >>> Não se está pedindo qual o máximo ou mínimo. Se fosse isso dever-se-ia >>> usar algum método numérico. >>> Mas a função é contínua nesse intervalo, se ela for monótona esses >>> seriam o máximo e mínimo. >>> >>> Mas se não for ou o máximo e mínimo ocorrerá nas extremidades ou em >>> algum ponto de derivada zero. Mas está garantido que exista tanto máximo >>> quanto mínimo. >>> >>> Os intervalos, aos quais o 0 pertence também não tem pois a Lim f(x) >>> quando x --> 0+ não existe, tende a 00 e quando tende a )- também não >>> existe, tende a -oo. >>> >>> E o último intervalo certamente terá um máximo. Mas não um mínimo pois a >>> primeira parcela de f(x), é monótona decrescente e tende a zero quando >>> x-->oo e a segundo oscila periodicamente. >>> >>> Vamos supor que o mínimo ocorra em xo ==> 1/xo + sen(xo). Agora pegando >>> o menor valor de x1 com x1> xo e sen (x1) =1 temos que f(x1) = 1/x1 + >>> sen(x1) >>> >>> onde 1/x1 <1/xo e sen(x1)<=sen(xo) ==> f(x1) < f(xo), absurdo. Não >>> existe mínimo. >>> >>> A resposta certa é a a) >>> >>> Vou tentar achá-los por método numérico e dou uma "garibada" na resposta. >>> >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> Em sáb., 2 de nov. de 2019 às 16:28, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> Olá, Esdras! Olá, Rodrigo! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos quais existam mínimos ou máximos locais. Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não está presente... Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com certeza, máximos e mínimos locais... Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. Abraços! Luiz On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo wrote: > Luiz, > > Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e > menos infinito, respetivamente. > > À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no > domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > > f(x) e f(xmin) < f(x). > > Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém > o zero. > > On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Bom dia! >> Estou tentando resolver o seguinte problema: >> >> É dada a função: >> >> f(x)=(1/x)+sen(x) >> >> Pergunta-se: >> >> Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o >> mínimo desta função? >> >> a) [-12;-3] >> b) (-2;-1) >> c) [-pi;pi] >> d) [pi;2pi] >> e) [5;+ infinito) >> >> Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. >> Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. >> Não sei como resolver a equação f'(x)=0. >> Acho que estamos lidando com números complexos. >> Intervalos fechados fazem parte da solução? >> Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. >> Estou confuso. >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se
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Bom dia! Eu coloquei só o resultado do cálculo. Note que, para cada jogo de pontos, há três pontos. Os dois da extremidade possuem sinais diversos na primeira derivada. Significa que entre eles a derivada se anula porque é contínua. Como o cos(x) apresenta picos de Pi/2 em Pi/2. Você pode fazer uma tabela com pontos defasados em 0,5 e verificar quando ocorre uma variação de sinal na derivada. Aí entre esses pontos tem um que anula a derivada. Pode-se fazer um segmento de reta e ver onde se anula. Nesse ponto calcula de novo o valor da derivada e dececide entre que pontos estão. Até que o intervalo fique nem pequeno ou o valor da derivada bem próximo de zero. Mas pode usar pesquisa binária que é mais simples. Calcula a média dos "x" e o valor da derivada na média. Depois define entre que pontos se anula. Saudações, PJMS Em sáb, 2 de nov de 2019 21:20, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, Pedro! > Boa noite! > Tudo bem? > Muito obrigado pelas informações! > Vou aguardar seus cálculos! > Um abraço! > Luiz > > On Sat, Nov 2, 2019, 6:02 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> >> Quando se fala em o máximo e o mínimo. Entendo como sendo globais, ou vão >> acontecer nas extremidades ou em algum máximo e mínimo local, que também >> será global. >> >> f(-12) = 0,453 >> f(-3) = -0,475 >> >> Não se está pedindo qual o máximo ou mínimo. Se fosse isso dever-se-ia >> usar algum método numérico. >> Mas a função é contínua nesse intervalo, se ela for monótona esses seriam >> o máximo e mínimo. >> >> Mas se não for ou o máximo e mínimo ocorrerá nas extremidades ou em algum >> ponto de derivada zero. Mas está garantido que exista tanto máximo quanto >> mínimo. >> >> Os intervalos, aos quais o 0 pertence também não tem pois a Lim f(x) >> quando x --> 0+ não existe, tende a 00 e quando tende a )- também não >> existe, tende a -oo. >> >> E o último intervalo certamente terá um máximo. Mas não um mínimo pois a >> primeira parcela de f(x), é monótona decrescente e tende a zero quando >> x-->oo e a segundo oscila periodicamente. >> >> Vamos supor que o mínimo ocorra em xo ==> 1/xo + sen(xo). Agora pegando o >> menor valor de x1 com x1> xo e sen (x1) =1 temos que f(x1) = 1/x1 + sen(x1) >> >> onde 1/x1 <1/xo e sen(x1)<=sen(xo) ==> f(x1) < f(xo), absurdo. Não existe >> mínimo. >> >> A resposta certa é a a) >> >> Vou tentar achá-los por método numérico e dou uma "garibada" na resposta. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> Em sáb., 2 de nov. de 2019 às 16:28, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, Esdras! >>> Olá, Rodrigo! >>> Tudo bem? >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... >>> Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos >>> quais existam mínimos ou máximos locais. >>> Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não >>> está presente... >>> Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com >>> certeza, máximos e mínimos locais... >>> Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. >>> Abraços! >>> Luiz >>> >>> On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo >>> wrote: >>> Luiz, Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e menos infinito, respetivamente. À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > f(x) e f(xmin) < f(x). Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o zero. On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > Bom dia! > Estou tentando resolver o seguinte problema: > > É dada a função: > > f(x)=(1/x)+sen(x) > > Pergunta-se: > > Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o > mínimo desta função? > > a) [-12;-3] > b) (-2;-1) > c) [-pi;pi] > d) [pi;2pi] > e) [5;+ infinito) > > Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. > Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. > Não sei como resolver a equação f'(x)=0. > Acho que estamos lidando com números complexos. > Intervalos fechados fazem parte da solução? > Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. > Estou confuso. > Alguém pode me ajudar? > Muito obrigado e um abraço! > Luiz > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de peri
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Olá, Pedro! Boa noite! Tudo bem? Muito obrigado pelas informações! Vou aguardar seus cálculos! Um abraço! Luiz On Sat, Nov 2, 2019, 6:02 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > > Quando se fala em o máximo e o mínimo. Entendo como sendo globais, ou vão > acontecer nas extremidades ou em algum máximo e mínimo local, que também > será global. > > f(-12) = 0,453 > f(-3) = -0,475 > > Não se está pedindo qual o máximo ou mínimo. Se fosse isso dever-se-ia > usar algum método numérico. > Mas a função é contínua nesse intervalo, se ela for monótona esses seriam > o máximo e mínimo. > > Mas se não for ou o máximo e mínimo ocorrerá nas extremidades ou em algum > ponto de derivada zero. Mas está garantido que exista tanto máximo quanto > mínimo. > > Os intervalos, aos quais o 0 pertence também não tem pois a Lim f(x) > quando x --> 0+ não existe, tende a 00 e quando tende a )- também não > existe, tende a -oo. > > E o último intervalo certamente terá um máximo. Mas não um mínimo pois a > primeira parcela de f(x), é monótona decrescente e tende a zero quando > x-->oo e a segundo oscila periodicamente. > > Vamos supor que o mínimo ocorra em xo ==> 1/xo + sen(xo). Agora pegando o > menor valor de x1 com x1> xo e sen (x1) =1 temos que f(x1) = 1/x1 + sen(x1) > > onde 1/x1 <1/xo e sen(x1)<=sen(xo) ==> f(x1) < f(xo), absurdo. Não existe > mínimo. > > A resposta certa é a a) > > Vou tentar achá-los por método numérico e dou uma "garibada" na resposta. > > Saudações, > PJMS. > > > > > > > > > > > Em sáb., 2 de nov. de 2019 às 16:28, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Esdras! >> Olá, Rodrigo! >> Tudo bem? >> Muito obrigado pela ajuda! >> Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... >> Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos >> quais existam mínimos ou máximos locais. >> Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não >> está presente... >> Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com >> certeza, máximos e mínimos locais... >> Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. >> Abraços! >> Luiz >> >> On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo >> wrote: >> >>> Luiz, >>> >>> Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e >>> menos infinito, respetivamente. >>> >>> À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no >>> domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > >>> f(x) e f(xmin) < f(x). >>> >>> Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o >>> zero. >>> >>> On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues >>> wrote: >>> Olá, pessoal! Bom dia! Estou tentando resolver o seguinte problema: É dada a função: f(x)=(1/x)+sen(x) Pergunta-se: Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o mínimo desta função? a) [-12;-3] b) (-2;-1) c) [-pi;pi] d) [pi;2pi] e) [5;+ infinito) Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. Não sei como resolver a equação f'(x)=0. Acho que estamos lidando com números complexos. Intervalos fechados fazem parte da solução? Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. Estou confuso. Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Boa tarde! Quando se fala em o máximo e o mínimo. Entendo como sendo globais, ou vão acontecer nas extremidades ou em algum máximo e mínimo local, que também será global. f(-12) = 0,453 f(-3) = -0,475 Não se está pedindo qual o máximo ou mínimo. Se fosse isso dever-se-ia usar algum método numérico. Mas a função é contínua nesse intervalo, se ela for monótona esses seriam o máximo e mínimo. Mas se não for ou o máximo e mínimo ocorrerá nas extremidades ou em algum ponto de derivada zero. Mas está garantido que exista tanto máximo quanto mínimo. Os intervalos, aos quais o 0 pertence também não tem pois a Lim f(x) quando x --> 0+ não existe, tende a 00 e quando tende a )- também não existe, tende a -oo. E o último intervalo certamente terá um máximo. Mas não um mínimo pois a primeira parcela de f(x), é monótona decrescente e tende a zero quando x-->oo e a segundo oscila periodicamente. Vamos supor que o mínimo ocorra em xo ==> 1/xo + sen(xo). Agora pegando o menor valor de x1 com x1> xo e sen (x1) =1 temos que f(x1) = 1/x1 + sen(x1) onde 1/x1 <1/xo e sen(x1)<=sen(xo) ==> f(x1) < f(xo), absurdo. Não existe mínimo. A resposta certa é a a) Vou tentar achá-los por método numérico e dou uma "garibada" na resposta. Saudações, PJMS. Em sáb., 2 de nov. de 2019 às 16:28, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, Esdras! > Olá, Rodrigo! > Tudo bem? > Muito obrigado pela ajuda! > Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... > Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos > quais existam mínimos ou máximos locais. > Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não > está presente... > Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com > certeza, máximos e mínimos locais... > Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. > Abraços! > Luiz > > On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo > wrote: > >> Luiz, >> >> Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e >> menos infinito, respetivamente. >> >> À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no >> domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > >> f(x) e f(xmin) < f(x). >> >> Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o >> zero. >> >> On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues >> wrote: >> >>> Olá, pessoal! >>> Bom dia! >>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>> >>> É dada a função: >>> >>> f(x)=(1/x)+sen(x) >>> >>> Pergunta-se: >>> >>> Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o >>> mínimo desta função? >>> >>> a) [-12;-3] >>> b) (-2;-1) >>> c) [-pi;pi] >>> d) [pi;2pi] >>> e) [5;+ infinito) >>> >>> Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. >>> Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. >>> Não sei como resolver a equação f'(x)=0. >>> Acho que estamos lidando com números complexos. >>> Intervalos fechados fazem parte da solução? >>> Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. >>> Estou confuso. >>> Alguém pode me ajudar? >>> Muito obrigado e um abraço! >>> Luiz >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Olá, Esdras! Olá, Rodrigo! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos quais existam mínimos ou máximos locais. Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não está presente... Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com certeza, máximos e mínimos locais... Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. Abraços! Luiz On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo wrote: > Luiz, > > Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e menos > infinito, respetivamente. > > À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no domínio > da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > f(x) e > f(xmin) < f(x). > > Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o > zero. > > On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues > wrote: > >> Olá, pessoal! >> Bom dia! >> Estou tentando resolver o seguinte problema: >> >> É dada a função: >> >> f(x)=(1/x)+sen(x) >> >> Pergunta-se: >> >> Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o >> mínimo desta função? >> >> a) [-12;-3] >> b) (-2;-1) >> c) [-pi;pi] >> d) [pi;2pi] >> e) [5;+ infinito) >> >> Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. >> Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. >> Não sei como resolver a equação f'(x)=0. >> Acho que estamos lidando com números complexos. >> Intervalos fechados fazem parte da solução? >> Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. >> Estou confuso. >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Luiz, Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e menos infinito, respetivamente. À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > f(x) e f(xmin) < f(x). Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o zero. On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues wrote: > Olá, pessoal! > Bom dia! > Estou tentando resolver o seguinte problema: > > É dada a função: > > f(x)=(1/x)+sen(x) > > Pergunta-se: > > Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o mínimo > desta função? > > a) [-12;-3] > b) (-2;-1) > c) [-pi;pi] > d) [pi;2pi] > e) [5;+ infinito) > > Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. > Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. > Não sei como resolver a equação f'(x)=0. > Acho que estamos lidando com números complexos. > Intervalos fechados fazem parte da solução? > Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. > Estou confuso. > Alguém pode me ajudar? > Muito obrigado e um abraço! > Luiz > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
O máximo e o mínimo dessa função dependem do domínio onde ela está
definida, por exemplo, se ela está definida em R-{0}, ela não tem máximo
nem mínimo. Isso interpretando que a questão quer literalmente o valor
máximo de f. Se interpretar que ela quer o valor de x para o qual f(x) é
máximo ou mínimo, dá problema tb, pois se por exemplo vc coloca o domínio
de f como o intervalo [n, infinito), nesse sentido máximo e mínimo vão ser
ao menos n, que é um número arbitrário. Pra mim, a questão não tem solução.
Em sáb, 2 de nov de 2019 13:53, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:
> Olá, pessoal!
> Bom dia!
> Estou tentando resolver o seguinte problema:
>
> É dada a função:
>
> f(x)=(1/x)+sen(x)
>
> Pergunta-se:
>
> Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o mínimo
> desta função?
>
> a) [-12;-3]
> b) (-2;-1)
> c) [-pi;pi]
> d) [pi;2pi]
> e) [5;+ infinito)
>
> Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0.
> Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função.
> Não sei como resolver a equação f'(x)=0.
> Acho que estamos lidando com números complexos.
> Intervalos fechados fazem parte da solução?
> Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada.
> Estou confuso.
> Alguém pode me ajudar?
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo absoluto de f(x) =( 5x -1) / (x^2 + 1)
Muito obrigado, Ralph! Muito obrigado, Carlos Victor! Abraços do Pedro Chaves -- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de Ralph Teixeira Enviado: domingo, 13 de dezembro de 2015 23:28 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo absoluto de f(x) =( 5x -1) / (x^2 + 1) Vamos encontrar a imagem de f(x). Para tanto, escreva f(x)=k, isto eh: 5x-1=k(x^2+1) k.x^2-5x+(k+1)=0 Esta equacao tem raiz real em x se, e somente se, 25-4.k.(k+1)>=0, isto eh, k^2-k-25/4<=0. Ou seja, se [-1-raiz(26)]/2<=k<=[-1+raiz(26)]/2. Entao o maximo da funcao eh [raiz(26)-1]/2 (e o minimo eh o outro numero ali). De fato, mostramos que a imagem eh o intervalo entre aquelas duas raizes feias. Abraco, Ralph. 2015-12-13 22:07 GMT-02:00 Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>: Caros Colegas, Como provar, sem recorrer a limites nem a derivadas, que existe o máximo absoluto da função f(x) = (5x - 1) / (x^2 + 1), definida para todo x real? Abraços do Pedro Chaves --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo absoluto de f(x) =( 5x -1) / (x^2 + 1)
Oi Pedro, observe inicialmente que o campo de definição é o conjunto dos reais. Chame y = (5x-1)/(x^2+1) e monte uma equação do segundo grau em x. Faça o delta maior do que ou igual a zero. Abraços Carlos Victor Em 13/12/2015 22:07, Pedro Chaves escreveu: > Caros Colegas, > > Como provar, sem recorrer a limites nem a derivadas, que existe o máximo > absoluto da função f(x) = (5x - 1) / (x^2 + 1), definida para todo x real? > > Abraços do Pedro Chaves > --- > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo absoluto de f(x) =( 5x -1) / (x^2 + 1)
Vamos encontrar a imagem de f(x). Para tanto, escreva f(x)=k, isto eh: 5x-1=k(x^2+1) k.x^2-5x+(k+1)=0 Esta equacao tem raiz real em x se, e somente se, 25-4.k.(k+1)>=0, isto eh, k^2-k-25/4<=0. Ou seja, se [-1-raiz(26)]/2<=k<=[-1+raiz(26)]/2. Entao o maximo da funcao eh [raiz(26)-1]/2 (e o minimo eh o outro numero ali). De fato, mostramos que a imagem eh o intervalo entre aquelas duas raizes feias. Abraco, Ralph. 2015-12-13 22:07 GMT-02:00 Pedro Chaves : > Caros Colegas, > > Como provar, sem recorrer a limites nem a derivadas, que existe o máximo > absoluto da função f(x) = (5x - 1) / (x^2 + 1), definida para todo x real? > > Abraços do Pedro Chaves > --- > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Contagem
Ralph e Bernardo, considerem uma sequencia válida com "três alternados" toda aquela em que não houver : I) um grupo de 4 consecutivos de mesmo sexo II) dois grupos com menos de quatro consecutivos(2 ou 3) de mesmo sexo Em 10 de junho de 2014 20:17, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2014-06-10 18:12 GMT-03:00 jamil silva : > > Ralph, considere "alternado" como " = "não consecutivo" > > HHMMH tem dois ou três H's "alternados" ? Eu diria que há três H's que > não são consecutivos, mas talvez você queira que "contar um H" anule > imediatamente os H's vizinhos, A MENOS que haja 4 H's em seguida. > > E para ajudar você: ninguém entendeu direito as suas definições, > porque elas são muito pouco precisas. Você sabe responder a pergunta > acima, e fazer exemplos como abaixo, mas a gente não está no seu > cérebro para fazer igual... Eu recomendo que você nos dê um ALGORITMO > para decidir se uma dada sequência é válida ou não. Com isso, ninguém > mais vai te chatear para saber se entendeu certo o que você quer, e é > essa a maior vantagem da matemática, já descoberta por Platão: uma > definição completa é o primeiro passo para o diálogo ! > > Exemplo de algoritmo: > - Considere primeiro a letra M. > - Se houver 5 M's consecutivos, a disposição é inválida > - Senão, considere todos os grupos de M's consecutivos. Se houver 4 > grupos (necessariamente disjuntos), a disposição é inválida > > - Repita isso usando a letra H em vez de M > - Se você chegou até aqui, é que a fileira é válida. > > - Agora, repita isso em todas as fileiras > > > > > Exemplos: > > > > H M H M H > > > > H H M H > > > > H M H H > > > > H H M M H > > > > H H M M M H > > > > H H H M M M H > > > > > > > > > > Em 10 de junho de 2014 17:42, Ralph Teixeira > escreveu: > > > >> De novo, você vai ter que dizer explicitamente o que quer dizer por > >> "alternadas". > >> > >> Acho que o significado mais formal de "alternada" significa UM sim, UM > >> não, UM sim, UM não... Mas as pessoas usam esta palavra com outros > >> significados -- o mais comum é "não necessariamente consecutivas". > >> Então HHMH teria 3 homens em posições alternadas -- é assim que você > >> quer? > >> > >> 2014-06-10 16:42 GMT-03:00 jamil silva : > >> > Você foi designado para organizar uma sala de reuniões de forma que > haja > >> > em > >> > cada fileira, > >> > > >> > um máximo de quatro pessoas do mesmo sexo em cadeiras vizinhas, ou > três, > >> > em > >> > cadeiras > >> > > >> > alternadas. As fileiras podem ter o mesmo número de pessoas, desde > que a > >> > disposição > >> > > >> > entre os sexos seja diferente. Qual o número máximo de pessoas que > você > >> > poderá acomodar, > >> > > >> > nestas condições ? > >> > > >> > > >> > -- > >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> > acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > = > >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > = > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Contagem
2014-06-10 18:12 GMT-03:00 jamil silva : > Ralph, considere "alternado" como " = "não consecutivo" HHMMH tem dois ou três H's "alternados" ? Eu diria que há três H's que não são consecutivos, mas talvez você queira que "contar um H" anule imediatamente os H's vizinhos, A MENOS que haja 4 H's em seguida. E para ajudar você: ninguém entendeu direito as suas definições, porque elas são muito pouco precisas. Você sabe responder a pergunta acima, e fazer exemplos como abaixo, mas a gente não está no seu cérebro para fazer igual... Eu recomendo que você nos dê um ALGORITMO para decidir se uma dada sequência é válida ou não. Com isso, ninguém mais vai te chatear para saber se entendeu certo o que você quer, e é essa a maior vantagem da matemática, já descoberta por Platão: uma definição completa é o primeiro passo para o diálogo ! Exemplo de algoritmo: - Considere primeiro a letra M. - Se houver 5 M's consecutivos, a disposição é inválida - Senão, considere todos os grupos de M's consecutivos. Se houver 4 grupos (necessariamente disjuntos), a disposição é inválida - Repita isso usando a letra H em vez de M - Se você chegou até aqui, é que a fileira é válida. - Agora, repita isso em todas as fileiras > Exemplos: > > H M H M H > > H H M H > > H M H H > > H H M M H > > H H M M M H > > H H H M M M H > > > > > Em 10 de junho de 2014 17:42, Ralph Teixeira escreveu: > >> De novo, você vai ter que dizer explicitamente o que quer dizer por >> "alternadas". >> >> Acho que o significado mais formal de "alternada" significa UM sim, UM >> não, UM sim, UM não... Mas as pessoas usam esta palavra com outros >> significados -- o mais comum é "não necessariamente consecutivas". >> Então HHMH teria 3 homens em posições alternadas -- é assim que você >> quer? >> >> 2014-06-10 16:42 GMT-03:00 jamil silva : >> > Você foi designado para organizar uma sala de reuniões de forma que haja >> > em >> > cada fileira, >> > >> > um máximo de quatro pessoas do mesmo sexo em cadeiras vizinhas, ou três, >> > em >> > cadeiras >> > >> > alternadas. As fileiras podem ter o mesmo número de pessoas, desde que a >> > disposição >> > >> > entre os sexos seja diferente. Qual o número máximo de pessoas que você >> > poderá acomodar, >> > >> > nestas condições ? >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Contagem
Ralph, considere "alternado" como " = "não consecutivo" Exemplos: H M H M H H H M H H M H H H H M M H H H M M M H H H H M M M H Em 10 de junho de 2014 17:42, Ralph Teixeira escreveu: > De novo, você vai ter que dizer explicitamente o que quer dizer por > "alternadas". > > Acho que o significado mais formal de "alternada" significa UM sim, UM > não, UM sim, UM não... Mas as pessoas usam esta palavra com outros > significados -- o mais comum é "não necessariamente consecutivas". > Então HHMH teria 3 homens em posições alternadas -- é assim que você > quer? > > 2014-06-10 16:42 GMT-03:00 jamil silva : > > Você foi designado para organizar uma sala de reuniões de forma que haja > em > > cada fileira, > > > > um máximo de quatro pessoas do mesmo sexo em cadeiras vizinhas, ou três, > em > > cadeiras > > > > alternadas. As fileiras podem ter o mesmo número de pessoas, desde que a > > disposição > > > > entre os sexos seja diferente. Qual o número máximo de pessoas que você > > poderá acomodar, > > > > nestas condições ? > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Contagem
De novo, você vai ter que dizer explicitamente o que quer dizer por "alternadas". Acho que o significado mais formal de "alternada" significa UM sim, UM não, UM sim, UM não... Mas as pessoas usam esta palavra com outros significados -- o mais comum é "não necessariamente consecutivas". Então HHMH teria 3 homens em posições alternadas -- é assim que você quer? 2014-06-10 16:42 GMT-03:00 jamil silva : > Você foi designado para organizar uma sala de reuniões de forma que haja em > cada fileira, > > um máximo de quatro pessoas do mesmo sexo em cadeiras vizinhas, ou três, em > cadeiras > > alternadas. As fileiras podem ter o mesmo número de pessoas, desde que a > disposição > > entre os sexos seja diferente. Qual o número máximo de pessoas que você > poderá acomodar, > > nestas condições ? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
