[obm-l] Re: [obm-l] o 0 (zero) é natural ou não é?
On Mon, Mar 15, 2004 at 03:10:27PM +, Daniel Campos Potsch Regufe wrote:
> Atenção matemáticos de plantão!
> Eu sempre aprendi na minha vida q o número 0 ( zero ) era natural, até q um
> dia um professor meu de geometria analítica na turma IME-ITA provou pra
> todos por indução q o mesmo não era natural ...
> ai ficou a minha duvida... é ou não é???
Vamos devagar:
(0) A questão se 0 é ou não natural é uma questão de *definição*.
A idéia de "provar por indução" uma coisa destas é profundamente equivocada
e espero para o nosso bem que o seu professor tenha sido incompreendido.
(1) Os dois conjuntos {0, 1, 2, 3, ... } e {1, 2, 3, 4, ... } são importantes.
Assim não é imediatamente óbvio que uma definição seja "melhor" que a outra.
(2) Não há consenso entre matemáticos sobre qual das duas definições
adotar. A confusão é histórica e geográfica. Peano uma vez publicou
os seus célebres axiomas começando com 0 e outra vez começando com 1
(não me lembro mais qual dos dois veio primeiro). Na França (um país
centralista sob vários aspectos) 0 é natural, mas lá 0 também é positivo
então o exemplo talvez não seja dos melhores.
(3) Se pensarmos que a palavra "natural" deve ter conotações históricas,
penderemos para dizer que 0 não é natural. Afinal o número 0 só foi
"descoberto" relativamente tarde: nosso calendário nem tem ano 0
(..., 3 AC, 2 AC, 1 AC, 1 AD, 2 AD, 3 AD, ...). Mas cuidado:
o número 1 também foi descoberto muito depois de 2 e 3:
algém vai propor que 1 também não seja natural?
(4) Se pensarmos que a palavra "natural" deve ter conotações lógicas,
penderemos para dizer que 0 é natural. O conceito mais fundamental de
número natural deve ser o de cardinal finito e 0 certamente é um cardinal
finito (a idéia de uma teoria dos conjuntos sem {} é ridícula demais
para ser discutida). Os naturais são casos particulares de ordinais
e olhando para os ordinais fica bem claro que 0 deve estar lá;
a construção de Von Neumann também só funciona começando no 0
(0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0,1} = {{}.{{}}}, 3 = {0,1,2} = ...).
Se o nosso calendário *tivesse* ano 0 teríamos sido poupados da
discussão idiota se o milênio vira de 1999 para 2000 ou de 2000 para 2001.
(5) Se você estiver escrevendo e desejar ser compreendido por todos,
ou *explique* o que você quer dizer com "natural" ou *evite completamente*
a palavra e fale de inteiros positivos ou inteiros não negativos.
Eu acho ridículo em uma prova penalizar um estudante pq ele teve
um professor que deu a definição diferente.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] não estou recebendo todas as msg !!!
On Mon, Mar 15, 2004 at 04:10:26PM -0300, Daniel Silva Braz wrote: > Prof. Nicolau, > Acho que não estou recebendo todas as msg da lista..o > que acontece? será que estamos com problemas no > servidor? ou quem sabe no meu email... Problemas deste tipo não devem ser enviados para a lista, devem ser enviados para mim. Isto vale para qualquer resposta que alguém queira dar para esta mensagem. Até que alguém me dê alguma evidência em contrário, eu diria que isto deve ser um problema da sua conta. Seria estranho que o servidor funcionasse direito com a maioria das contas mas não com a sua. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Porisma de Poncelet
On Mon, Mar 15, 2004 at 07:45:46PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Eu ouvi falar que, durante a semana olimpica, o Luciano demonstrou o porisma > de Poncelet de uma forma elementar. Essa informacao procede? E, em caso > afirmativo, foi o porisma geral ou apenas o caso de um triangulo inscrito > num circulo e circunscrito a outro? > > Se foi o caso geral, eu gostaria muito de ver a demonstracao. Não sei nada sobre a aula do Luciano. Eu sei que existem demonstrações elementares e não muito difíceis do caso n=3. É bem claro que também existem demonstrações elementares mais longas para qualquer n dado mas tanto quanto eu saiba não existe nenhuma demonstração realmente elementar do caso geral. Se o Luciano deu *alguma* demonstração do caso geral na semana olímpica eu também gostaria muito de ver. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] manual de resolucoes do elon
On Tue, Mar 16, 2004 at 04:10:08AM -0300, Rafael wrote: > Aliás, já notou como todos > aqueles que dizem que algo é imediato ou evidente jamais o fazem ao > defenderem, por exemplo, a tese de doutorado? É curioso... Desculpe, mas quantas teses de doutorado você já leu? Você tem todo o direito de achar que o livro de análise do Elon poderia ser mais mastigadinho em alguns lugares, mas dizer que o recurso de omitir passos dizendo que algo é "imediato" é *menos* usado em uma tese de doutorado do que no livro do Elon é pura desinformação. Em artigos de pesquisa então nem se fala... Aliás, eu não sou fã de todos os livros do Elon mas o livro de análise do projeto Euclides, volume 1, é muito bom. E dentro daquilo que o autor se propõe a fazer, as explicações são bem completas, o livro é muito organizado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] word problems
On Tue, Mar 16, 2004 at 02:26:54AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Como resolver estes 3 word-problems ? Eu não sou contra usar algumas palavras em inglês ou alguma outra língua estrangeira em certas circunstâncias, mas "word-problems"? Um "word-problem" para mim é o seguinte: Seja G o grupo gerado por a, b, ..., d com as relações xxx, yyy, ..., zzz. Diga se o grupo é trivial (ou finito, ou isomorfo a ...). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Livro de lógica
On Tue, Mar 16, 2004 at 11:23:37AM -0300, Daniel Silva Braz wrote: > Alguém ai conhece um livro bom de lógica?? > ..algo mais "profundo" que o do Alencar e mais > "simbólico" que o Copi.. Eu não conheço estes livros que você citou, então talvez o que eu vá dizer seja totalmente inapropriado, mas eu gosto muito do "Handbook of mathematical logic". É uma coleção de artigos escritos cada um por um especialista da área. O nome do editor é Barwise. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O JOGO DE VINTE-E-UM!
On Tue, Mar 16, 2004 at 09:47:33AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá, pessoal! > > > No jogo de vinte-e-um, cada jogador recebe duas cartas para iniciar e procura > então fazer um total numérico de 21 da seguinte maneira: as cartas de 2 a 10 > valem seu próprio valor, cada figura vale 10 e um ás pode valer 1 ou 11, > dependendo da preferência do jogador. O jogador pode tomar mais cartas, > procurando chegar tão perto de 21 quanto possível, sem ultrapassar para não > perder o jogo. Suponha o leitor que recebeu um 4 e um 9. Se a pessoa que dá > as cartas tira-as de um único baralho de 52 cartas, e o 4 e o 9 são as únicas > cartas dadas cujo valor você conhece, você deve tirar outra carta? Em outras > palavras, qual é a probabilidade de, tirando outra carta, não ultrapassar 21? Do baralho de 52 cartas você vê duas (um 4 e um 9) e não vê as outras 50. A próxima carta, que está ali na mesa de costas para você, tem igual probabilidade de ser qualquer uma das outras 50. Você somou até agora 13 pontos. Se você tirar A, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 você não passa de 21 pontos. Há 31 cartas com estes valores (sem contar o 4 que já está na sua mão), assim a probabilidade de *não* estourar é 31/50. O seu problema não nos dá dados suficientes para concluir se isto significa que ele "deve" tirar outra carta. Para tirar uma conclusão destas a partir de uma probabilidade, você precisa dizer o que acontece em cada caso. Por exemplo, você poderia ter dito: "se o jogador tirar menos de 21 pontos ele não perde nem ganha nada, se ele tirar exatamente 21 ele ganha 100 reais, se ele passar de 21 ele deve pagar 50 reais; o apostador quer maximizar o valor esperado de quanto ele vai ganhar". []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] word problems
On Tue, Mar 16, 2004 at 02:26:54AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > 1) Os empregados de um determinadosetor de uma empresa foram convocados pra > votar uma proposta de aumento de salarios. Esse setor possui empregados dos > niveis I, II, III e na votacao não ocorreu nenhuma abstencao: > > 40% dos empregados do nivel I foram a favor, > 84% dosde nivel II votou a favor e > 80% dos de nivel III foram a favor. > > A soma dosvotos favoraveis foi de 80% do total de votantes. Qual o numero de > empregados em cada nivel ? É impossível determinar. Sejam n1, n2 e n3 os números de empregados em cada nível. Sabemos que 40*n1/100 = 2*n1/5 é inteiro, assim n1 é múltiplo de 5. Sabemos que 84*n2/100 = 21*n2/25 é inteiro, assim n2 é múltiplo de 25. Sabemos que 80*n3/100 = 4*n3/5 é inteiro, assim n3 é múltiplo de 5. Sabemos finalmente que (2*n1/5) + (21*n2/25) + (4*n3/5) = 4*(n1+n2+n3)/5 ou seja, 10 n1 + 21 n2 + 20 n3 = 20 n1 + 20 n2 + 20 n3 ou n2 = 10 n1. E isso é tudo. Assim a solução geral é n1 = 5*a, n2 = 50*a, n3 = 5*b onde a e b são inteiros positivos arbitrários. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O JOGO DE VINTE-E-UM!
On Tue, Mar 16, 2004 at 12:07:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Talvez uma versao interessante seja supor que o apostador para se a > probabilidade dele estourar ao pedir mais uma carta for maior do que 50%. > > Assim, apos tirar 4 e 9, ele ainda deve pedir mais uma carta, jah que a > probabilidade de estourar eh de apenas 38%. > > Se ele tirar 9, 10 ou figura, entao ele estoura. > Dentre as 31 cartas restantes, quais as que vao fazer ele parar? > > Essa analise pode ser feita a partir do inicio do jogo e, baseada nela, uma > estrategia totalmente deterministica pode ser elaborada para se jogar 21. Se > nao me engano, eh possivel provar que, sob hipoteses realistas, a estrategia > tem um valor esperado positivo. Ou seja, 21 eh um jogo de cassino > (provavelmente o unico) onde a banca pode ficar em desvantagem. Você sabe exatamente quais são as regras do jogo de cassino? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 03:32:43PM -0300, David M. Cardoso wrote:
>
> Dada a função:
> f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n)
>
> Preciso encontrar g(n) tal que:
> g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n)
>
> Quem é g(n) ?
Vou usar
SOMA_{1 <= i <= n} i = n(n+1)/2
SOMA_{1 <= i <= n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
g(n) = (1/2)* SOMA_{1 <= i <= n} (n+1-i)(n+i)
= (1/2) * SOMA (n^2 + n - in + in + i - i^2)
= (1/2) * (n^3 + n^2 + (n(n+1)/2) - (n(n+1)(2n+1)/3))
e agora é só simplificar.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 04:17:57PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> Nicolau C. Saldanha wrote:
> > SOMA_{1 <= i <= n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
>
> Aqui é n(n+1)(2n+1)/6 né ?
>
> Esse capítulo do Concrete eu conheço de trás pra frente heh.
Você tem toda a razão. Desculpe pelo erro bobo. []s, N.
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Re: [obm-l] Polinomios e bijecoes em Z_p
On Tue, Mar 16, 2004 at 03:53:38PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Oi, pessoal: > > Preciso de ajuda com o problema de se determinar quando um polinomio de > coeficientes inteiros eh uma bijecao em Z_p (Z_p: corpo dos inteiros mod p) ... > Minha pergunta: alem de f(x) = (ax + b)^n, com (a,p) = 1 e (n,p-1) = 1, > existem outros polinomios que sao bijecoes em Z_p? Claro que sim. Por interpolação (que já foi discutida o bastante quando falávamos de seqüências) *qualquer* função de Z/(p) em Z/(p) é dada por um polinômio de grau menor do que p. Ou seja, temos p! polinômios de grau < p que dão bijeções de Z/(p) em Z/(p) e a sua expressão dá menos do que p^3 polinômios. Para p >= 7 temos que p! é bem maior do que p^3. Mesmo para p = 5 existem polinômios que são bijeções e não são da forma que você descreveu. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíada brasileira
On Wed, Mar 17, 2004 at 06:37:41AM -0300, Fabio Henrique wrote: > A Olimpíada Brasileira de Matemática para ensino médio e fundamental já tem > data? Como posso fazer para inscrever os alunos do colégio onde trabalho? Já tem data sim. Está tudo na home page da OBM, www.obm.org.br. Para inscrever a sua escola, ou para qq outra pergunta deste tipo, entre em contato com a nossa secretária, a Nelly, em <[EMAIL PROTECTED]>. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOCORRO!
On Wed, Mar 17, 2004 at 03:16:07AM -0300, Julio Cesar wrote: > Escreve-se a sucessão dos números inteiros sem separar os algarismos > (12345678910111213...). Que algarismo ocupará a 33357ª posição? Vou interpretar que o 1 ocupa a 1a posição, o 2 a 2a e o 3 a 3a. Se você tiver em mente algo um pouco diferente é só dar uma ajustada. Vamos primeiro descobrir quais posições correspondem a números de 1 algarismo, 2 algarismos, 3 algarismos, ... Temos 9 números de 1 algarismo que ocupam as nove posições de 1 a 9. Temos 90 números de 2 algarismos (de 10 a 99) que ocupam as 180 = 2*90 posições de 10 a 189 = 10 + 180 - 1. Temos 900 números de 3 algarismos (100 a 999) que ocupam as 2700 = 3*900 posições de 190 a 2889 = 190 + 2700 - 1. Temos 9000 números de 4 algarismos (1000 a ) que ocupam as 36000 = 4*9000 posições de 2890 a 38889. Assim o algarismo que você quer faz parte de um número de 4 algarismos. Para os números de 4 algarismos, o 1000 ocupa as posições de 2890 a 2893, o 1001 ocupa as posições de 2894 a 2897, ... Generalizando, o n ocupa as posições de 4n - 1110 a 4n - 1107. Você está interessado na posição 33357, assim devemos ter 4n - 1110 <= 33357 <= 4n - 1107 ou seja, 34464 <= 4n <= 34467 donde n = 8616. Como 33357 = 4*8616 - 1107 o algarismo que você quer é o último de 8616, que é, obviamente, 6. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Indecidibilidade(O que sao PA e ZFC?)
desculpem a demora em responder...
On Fri, Mar 05, 2004 at 02:55:31PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
> O que sao PA e ZFC?
PA = Aritmética de Peano.
São os axiomas de Peano, mas não exatamente da forma como você
provavelmete já viu. O que aparece, para citar o primeiro exemplo
que me vem na cabeça, no livro de Análise, vol 1, do Elon (proj Euclides)
é um sistema de axiomas que supõe que você já sabe anteriormente
o que é um conjunto (ou que você estudou teoria dos conjuntos antes,
ou que você tem uma idéia intuitiva do que seja teoria dos conjuntos
e aceita tomar isso como ponto de partida). Isso é satisfatório
para um livro de análise mas não é satisfatório se você for estudar lógica.
A razão crucial para isso é que o último axioma é, a menos de pequenas
mudanças:
Para todo *subconjunto* X de N, se:
* 0 pertence a X,
* para todo n, se n partence a X então s(n) também pertence a X,
então X = N.
Aqui s(n) denota o sucessor de n, mais conhecido como n+1.
Isto não é uma frase sobre números naturais, é uma frase sobre conjuntos.
Mais tecnicamente, isto não é uma frase em lógica de primeira ordem
numa linguagem em que os únicos objetos são os números naturais.
A mesma coisa vale para os axiomas de corpo ordenado completo que você
encontra no mesmo livro. Os axiomas de corpo ordenado estão em lógica
de primeira ordem (só falam de números, ou, mais importante, só *quantificam*
sobre números). O último axioma, que diz que o corpo ordenado é completo,
foge deste padrão:
Para todo *subconjunto* X de R, se X é não vazio e limitado,
então existe um número m [o supremo de X] com as seguintes propriedades:
* para todo x, se x pertence a X então x <= m;
* para todo eps > 0 existe x em X com x > m - eps.
Novamente quantificamos sobre conjuntos.
Recapitulando, então, quando um lógico fala de PA ele não topa tomar
como intuitivamente entendida uma teoria tão forte quanto a teoria
dos conjuntos. Seria meio contraditório: na teoria dos conjuntos podemos
construir os naturais: 0 = {}, 1 = {0}, 2 = {0,1}, ... Então não precisamos
propriamente de axiomas novos, estamos estudando um objeto construido
muito explicitamente e cujas propriedades podem ser demonstradas (espera-se)
a partir dos axiomas da teoria dos conjuntos.
Depois de toda esta longa explicação do que PA não é, finalmente
uma explicação do que PA é. A linguagem tem os símbolos:
0, s, +, *, =
além da lógica de primeira ordem usual:
não, e, ou, para todo, existe
e parêntesis, claro. (Se ... então ...) e (... se e somente se ...)
podem ser reescritos usando 'não', 'e' e 'ou'. Mais adiante vou usar
um 'implica', mas você pode entender isso como uma abreviação.
Não é preciso um axioma que diga
0 é um natural.
Primeiro, pq falta a palavra "natural". Aliás, falta até a palavra "é".
Segundo, pq *todo* objeto nesta teoria vai ser um natural. Os axiomas serão
mais ou menos o que você deve esperar:
(para todo n)(não (s(n) = 0))
(para todo n)((n = 0) ou (existe m)(s(m) = n))
e por aí vai. Você precisa de axiomas para explicar como funcionam + e *:
(para todo n)(n + 0 = n)
(para todo n)(para todo m)(n + s(m) = s(n + m))
(para todo n)(n * 0 = 0)
(para todo n)(para todo m)(n * s(m) = (n * m) + n)
Não vou tentar dar a lista completa dos axiomas, acho que você pegou a idéia.
Finalmente, o "quinto" axioma de Peano (indução), não é *um* axioma,
é uma família infinita de axiomas. Para cada frase f(n) com uma variável
livre n temos um axioma diferente:
((f(0)) e ((para todo n)(f(n) implica f(s(n) implica
((para todo n)(f(n)))
A primeira reação pode ser a de que esta linguagem é pobre demais.
Como vamos dizer, por exemplo, que n é primo? Assim:
(para todo l)(para todo m)(l*m = n implica ((l = 1) ou (m = 1)))
onde 1 é uma abreviação para s(0). Como vamos dizer que n é uma potência
de 2? Assim:
(para todo l)(para todo m)(l*m = n implica ((m é primo) então (m = 2)))
onde 'm é primo' é uma abreviação para a primeira frase e, obviamente,
2 é uma abreviação para ss0. É bem mais difícil dizer que n é uma potência
de 6, mas o fato é que é possível dizer um monte de coisas em PA.
A variante do teorema de Ramsey que eu mencionei na outra mensagem
pode ser *enunciada* em PA mas não pode ser *demonstrada*. Uma idéia
é que a função cresce rápido demais para ser capturada por esta linguagem.
Outro ponto de vista é que na demonstração falamos (talvez sem sentir)
de conjuntos infinitos.
ZFC são os axiomas usuais da teoria dos conjuntos, mas esta mensagem
já está longa demais.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Mas o que acontece se a ordem for diferente?
>
> Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
> irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
> 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então:
> x <# y <==> x < y (ordem usual)
> 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
>
> Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou
> dois racionais são comparados da forma usual.
>
> Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}. Cada
> elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por exemplo,
> por cada racional). Pergunta: Qual o supremo de A?
Não tem supremo, claro.
Mas o que você fez foi um pouco violento demais. Você definiu uma ordem
que não respeita as operações + e *: dessa forma, a única coisa que sobra
é a cardinalidade e você pode botar um monte de ordens completamente
diferentes nos reais. Você pode, por exemplo, fazer com que R fique
bem ordenado (todo subconjunto não vazio tem mínimo).
No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
é a usual. Isto também acontece para o conjunto dos reais algébricos mas
não acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma outra
ordem (além da definida pela inclusão em R) que também satisfaz os axiomas
de corpo ordenado, e acho que vocês não terão dificuldade em encontrá-la.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 04:26:21PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> > No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
> > é a usual.
> Ou seja, com qualquer outra ordem, você não consegue obter um conjunto P
> fechado em relação a + e *?
> É fácil demonstrar isso?
A definição que eu tenho em mente é a seguinte:
o corpo deve ser a união disjunta de P, {0} e -P = {-p, p em P}.
Com esta definição é bem claro que todo quadrado não nulo deve
pertencer a P. Ora, em R todo número positivo é um quadrado.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 06:18:24PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me > intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele > definidas? A demonstracao de Cantor baseia-se em expansoes decimais dos > reais, mas para chegarmos em expansoes decimais acabamos utilizando ordem. A > outra demonstracao que conheco, e que parece agardar mais aos topologistas, > eh consequencia do fato de que intervalos fechados de limites finitos sao > compactos e do fato de que todo elemento de R eh ponto de acumulacao do > mesmo. Mas isto depende da topologoa definida em R. (subconjuntos perfeitos > de espacos Euclidianos nao sao numeraveis - o que eh consequencia de uma > conclusao mais geral - espacos de Hausdorff compactos que nao possuam pontos > isolados nao sao numeraveis) > > Este eh outro ponto que sempre me intrigou, embora varios matematicos de > inquetionavel conhecimento jah me tenham dito que ser ou nao ser numeravel > eh uma das poucas caracteristicas intrinsecas de um conjunto e que maum > depende de topologia; mas de qualquer forma depende de ordem, naum? Não, o fato de um conjunto ser ou não enumerável realmente não depende nem de ordem, nem de topologia, nem de qualquer estrutura algébrica que o conjunto possa vir a ter. A demonstração disso é simples: um conjunto infinito X é enumerável se existir uma bijeção entre X e N. Ora, como não se exige nada desta bijeção (não se exige continuidade, por exemplo) a existência ou não dela não tem nada a ver com estruturas que o conjunto X tenha ou não tenha. O que certamente confunde você é o fato de que para *demonstrarmos* que R é não enumerável usarmos topologia, ordem ou expansões decimais. Mas veja bem, precisamos saber *alguma* coisa sobre um conjunto para termos uma chance de provarmos se ele é ou não enumerável. Se dissermos: estou pensando em um conjunto X que não tem nenhuma topologia, nenhuma ordem e nenhuma estrutura algébrica que eu conheça; diga-me agora, este conjunto é enumerável? A resposta será obviamente: não sei, você não me deu dados para responder a pergunta! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 05:48:33PM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 17.03.04 18:18, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me > > intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele > > definidas? > > Q eh um corpo ordenado (com a mesma ordem que R) e eh enumeravel. Logo, a > ordem pode nao ser relevante, mas o fato de R ser completo deve ser crucial. O fato de R ser completo é usado na demonstração. Se é isso que você quer dizer com "crucial", muito bem. Mas existem subcorpos X contidos em R com a mesma cardinalidade de R e não completos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Wed, Mar 17, 2004 at 08:43:39PM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 17.03.04 20:26, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > O fato de R ser completo é usado na demonstração. Se é isso que você > > quer dizer com "crucial", muito bem. Mas existem subcorpos X contidos > > em R com a mesma cardinalidade de R e não completos. > > Interessante. Quais seriam estes subcorpos? Extensoes transcendentes de Q? > Tais como Q(Pi)? Ou precisamos adjuntar uma infinidade de numeros > transcendentes a Q? Você precisa adjuntar um conjunto *não enumerável* de transcendentes, senão o corpo continua enumerável. > Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Wed, Mar 17, 2004 at 10:14:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: > >> Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? > > > > Realmente, esta é a dificuldade. > > > Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar > a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui > a uns 250 anos... Não sei de que "caso geral" você está falando. Para demonstrar que existe um corpo de cardinalidade igual à de R estritamente contido em R, não é preciso esperar 250 anos não, mas eu não tinha tempo para explicar na hora. Aliás, nem agora; uma boa explicação é um pouco longa. Mas pense um pouco. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Iezzi de novo...
> > Isso quer dizer não se deve mandar esse tipo de msg > > para a lista?? > Nao, a lista é livre. > Eu só acho mais adequado. Só para reforçar, a minha opinião parece ser a mesma do Fabio. Esta lista foi criada para discutir coisas relacionadas com olimpíadas de matemática. Um problema de matemática não-olímpica não é considerado propriamente off-topic, mas existem outras listas que talvez sejam mais adequadas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Thu, Mar 18, 2004 at 06:03:51PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Eu me referia ao seguinte problema: dado um conjunto nao enumeravel A de
> reais, decidir se Q[A] = R ou nao.
>
> Por exemplo, se A eh um intervalo ou o conjunto de Cantor usual, entao Q[A]
> = R.
>
> Pro outro caso, eu pensei em Q(D) (D = conjunto dos numeros diofantinos)
>
> Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida > 0. Logo nao eh
> enumeravel.
Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
dos diofantinos tem medida zero.
> Se x estah em D, entao existe um inteiro positivo N tal que:
> n > N ==> |p/q - x| > 1/q^n, quaisquer que sejam os inteiros p, q com q > 0.
>
> Isso quer dizer que todo numero algebrico eh diofantino.
>
> Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
> que o o inverso de um diofantino tambem o seja.
Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
temos que tanto y quanto z são diofantinos.
Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] PRISMATÓIDE!
On Thu, Mar 18, 2004 at 09:31:24PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Um poliedro tem duas faces paralelas, chamadas de bases. Essas bases são > quadrados, mas os lados de uma não são paralelos aos lados da outra. Todas as > outras faces, chamadas de faces laterais, são triângulos. Conhecendo os lados > das bases e a distância entre os planos das bases, é possível calcular o > volume desse poliedro? Não. Eu conheço este sólido com o nome de prismóide e o volume dele é dado por V = 1/6 (A0 + 4 A1 + A2)h, onde AO e A2 são as áreas das bases, h é a altura e A1 é a área da base média, a interseção do sólido com um plano paralelo às bases e equidistante delas. No seu caso a única coisa que você sabe é que a base média é um octógono com lados alternadamente iguais a l0/2 e l2/2 (onde l0 e l2 são os lados dos quadrados) e ângulos alternadamente iguais a alfa e beta. Pelos seus dados conhecemos A0, A2, h, l0 e l2 mas como não conhecemos os ângulos alfa e beta não temos como determinar A1. > Se fizermos uma translação de uma das bases em um > plano paralelo à outra, o volume se modifica? Não, isto segue do que eu falei acima. > Se uma das bases, mantendo-se > em seu plano, girar em torno de seu centro, o volume se modifica? Sim, novamente isto segue do que eu falei acima. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Fri, Mar 19, 2004 at 08:33:41AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> on 18.03.04 21:12, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> >> Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida > 0. Logo nao eh
> >> enumeravel.
> >
> > Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
> > dos diofantinos tem medida zero.
> >
> Posso dizer que um conjunto tem medida zero se ele estah contido numa uniao
> de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos eh arbitrariamente pequena
> (que nem na demonstracao de que um conjunto enumeravel tem medida nula, onde
> colocamos o elemento x_k dentro um intervalo de comprimento
> epsilon/2^(k+1))?
Sim.
> Onde encontro uma demonstracao de que L tem medida nula?
Não sei, mas é bem fácil. Tome bolinhas centradas nos racionais p/q,
0 < p < q, com raio q^(-n): seja a_n a soma do comprimento destes intervalos.
Claramente a_n < SOMA_{q > 1} (q-1)*q^(-n) e não é difícil provar daí que
lim_{n -> infinito} a_n = 0.
> >> Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
> >> que o o inverso de um diofantino tambem o seja.
> >
> > Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
> > De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
> > têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
> >
> Vou pesquisar uma demonstracao disso. Imagino que qualquer bom livro de
> teoria da medida (sobre a qual nao sei nada) contenha uma.
Olhe para os complementos: são dois conjuntos de medida zero.
Assim a união dos complementos também tem medida zero.
Mas a união dos complementos é o complemento da interseção.
> > Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
> > temos que tanto y quanto z são diofantinos.
> >
> > Aliás também é verdade que todo número é uma soma
> > de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
> > medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
> >
> E tambem vou pensar mais sobre a existencia de um subcorpo proprio e
> nao-enumeravel de R. Alias, eh possivel exibir um exemplo, ou existe apenas
> uma prova de que algum existe?
Boa pergunta. A prova que eu conheço usa o axioma da escolha.
Não sei se existe um exemplo explícito.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Fri, Mar 19, 2004 at 10:18:12AM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > Vi isso agora...Mas ta um pouco perto...Talvez os > numeros diofantinos sirvam, ne? > --- Claudio Buffara > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on > 18.03.04 17:37, Johann Peter Gustav Lejeune > > Dirichlet at > > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > Claro, todos os transcedentes!! > > > > > Nao. Pi e 1 - Pi sao transcendentes mas sua > > soma nao eh. Dirichlet e Claudio, eu não entendo do que vocês estão falando. O Dirichlet está procurando um exemplo de que? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha...
On Tue, Mar 23, 2004 at 01:53:36AM -0300, Fabiano Sant'Ana wrote: > desculpe a burrice, mas o que é fatoração unica :P > > (ué, 1 é divisivel por 1 e por ele mesmo :P hehehe) > > Fabiano Sant'Ana wrote: > > > > > o que é um primo absoluto? > > > 1,2,3,5,7? > > > > Vale lembrar 1 não é primo; se fosse, não haveria > > fatoração única dos naturais. De acordo com qualquer referência moderna, 1 não é primo. Mas se você olhar em livros bem antigos, você encontrará alguns em que 1 é definido como primo. Há na biblioteca do Impa uma tabelas de primos (chuto que sejam do início do século 20) e elas incluem o 1 como primo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matriz Inversivel
On Wed, Mar 24, 2004 at 12:30:01PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Oi, pessoal:
>
> Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A
> (2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel?
>
> A eh tal que:
> A(i,i) = 1
> A(i,i+1) = -1
> A(i,i+2) = 1
> para 1 <= i <= 2005 (mod 2005)
> e
> A(i,j) = 0 em todos os outros casos.
>
> OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh:
> 1 -1
> 0 1
Acho que ou eu não entendi o enunciado ou a obs está errada.
Pelo que entendi, a matriz seria, trocando N = 2005 por N = 12,
igual a (1 = +, -1 = -, 0 = .):
+-+.
.+-+
..+-+...
...+-+..
+-+.
.+-+
..+-+...
...+-+..
+-+.
.+-+
+.+-
-+.+
Então aquele bloquinho seria o canto superior direito de A^t.
Vamos representar um vetor (a_0,a_1,...,a_{N-1}) por
a_0 + a_1 X + ... + a_{N-1} X^{N-1}.
Vamos convencionar que X^N = 1, ou seja, vamos trabalhar em
Q^2005 = Q[X]/(X^N - 1) = Q + Q[z5] + Q[z401] + Q[z2005]
onde zk = exp(2 pi i/k).
A matriz A equivale a multiplicar por 1 - X^{-1} + X^{-2} =
X^{-2} (X - w) (X - w') onde w = z6 e w' = z6^(-1)
são raízes primitivas de ordem 6 da unidade.
Ora, como 6 e N = 2005 são primos entre si
segue que X - w e X - w' são inversíveis em (Q[X]/(X^N - 1))[w]
(pois são inversíveis em Q[w], Q[z5][w], Q[z401][w], Q[z2005][w]).
[]s, N.
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Re: [obm-l] Numeros construtiveis
On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir > de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel > com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. > > Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja > raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a > alguma potencia de 2 eh construtivel? NÃO. Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polinômio é irredutível e tem duas raízes reais aproximadamente iguais a -1.139037348 e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equação p(x) = 0 temos: > solve(p,x); bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35 /1/2\1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1+ 36 %2| 1/6 3%1+ 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / /1/2\1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1+ 36 %2| 1/6 3%1- 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / / 1/2\1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1+ 36 %2| - 1/6 3%1+ 1/6 || , |1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / / 1/2\1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1+ 36 %2| - 1/6 3%1- 1/6 || |1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / 1/2 1/31/2 2/3 -4 (206 + 6 1401 )+ (206 + 6 1401 )- 20 %1 := --- 1/2 1/3 (206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 1/3 %2 := 3(206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 2/3 %3 := %1(206 + 6 1401 ) 1/2 1/3 1/2 %4 := (206 + 6 1401 )%1 Observe que isto está cheio de raízes cúbicas. O grupo de Galois de p é S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4], onde x1, x2, x3, x4 são as raízes de p, tem dimensão 24 como Q-espaço vetorial. A demonstração que você viu prova que qualquer número construtível com régua e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimensão é uma potência de 2. A condição se-e-somente-se correta aliás é esta. Dado um número algébrico x, seja K o corpo gerado por Q, x e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimensão de K sobre Q. Então x é construtível se e somente f(n) é potência de 2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Virus
A lista tem recebido um monte de virus com remetentes forjados variados, como vocês todos provavelmente já perceberam. Vocês já ouviram isso mil vezes antes, mas não rodem o attachment executável (especialmente válido para quem estiver usando um destes clientes Windows que fazem um monte de coisas automaticamente). Estou mandando esta mensagem principalmente para dizer que o majordomo agora deve estar preparado para filtrar este vírus específico. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Sat, Mar 27, 2004 at 01:27:51PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
> Algum feliz proprietario de um Maple ou similar poderia me dar os valores dos
> somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1 ate n.
> Antecipadamente grato.
> Morgado
> OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as respostas.
Outros já responderam a pergunta do Morgado, então eu vou responder
a pergunta que o Morgado *não* fez, que é como calcular estas coisas *sem*
usar o Maple. Estou quase copiando a seção 6.5 do Matemática Concreta,
de Graham, Knuth e Patashnik que fala de números de Bernoulli.
Escreva S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m.
Não é difícil provar que
S_m(n) = (1/(m+1)) SOMA_{0 <= k <= m} binomial(m+1,k) B_k n^{m+1-k}
onde B_k são os números de Bernoulli, com valores iguais a
1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ...
e que podem ser definidos por
z/(e^z - 1) = SOMA_{n >= 0} B_n z^n/n!.
Usando a fórmula para S_m, não é difícil montar uma tabela de coeficientes.
S_0(n) = n
S_1(n) = 1/2 n^2 - 1/2 n
S_2(n) = 1/3 n^3 - 1/2 n^2 + 1/6 n
S_3(n) = 1/4 n^4 - 1/2 n^3 + 1/4 n^2 + 0 n
S_4(n) = 1/5 n^5 - 1/2 n^4 + 1/3 n^3 + 0 n^2 - 1/30 n
S_5(n) = 1/6 n^6 - 1/2 n^5 + 5/12 n^4 + 0 n^3 - 1/12 n^2 + 0 n
Em cada coluna, os coeficientes são dados por uma fórmula bem simples:
uma constante misteriosa (o número de Bernoulli) vezes um binomial.
Por exemplo, o coeficiente de n^(m+1) é 1/(m+1), o de n^m é -1/2,
o de n^(m-1) é (1/(m+1)) binomial(m+1,2) B_2 = m/12, o de n^(m-2) é 0,
o de n^(m-3) é (1/(m+1)) binomial(m+1,4) B_4 = -m(m-1)(m-2)/720
e o de n^(m-4) é 0. Ajuda muito saber que B_n = 0 para n ímpar e maior que 1.
Mas o fato é que esta tabela triangular nos dá a cada passo o novo B_n,
basta usar o fato óbvio que S_m(1) = 0 para m > 0.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Tue, Mar 30, 2004 at 03:43:22PM -0300, Daniel Silva Braz wrote: > Prof. Nicolau, > por acaso este livro que vc cita é este?? > > Matemática Concreta: Fundamentos para a Ciência da > Computação DONALD E. KNUTH OREN PATASHNIK ET AL. > RONALD L. GRAHAM O que eu tenho é em inglês, mas sim, é o próprio. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Tue, Mar 30, 2004 at 03:58:06PM -0300, Rafael wrote: > A fórmula que você citou não seria a fórmula de Faulhaber? > > http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html Eu não conhecia este nome, mas acabo de olhar a página que você indicou e sim, é basicamente a mesma fórmula. > Além disso, os sinais dos termos na "segunda coluna", ou muito me engano, ou > são *positivos*: Você deve estar somando até n inclusive. O livro que eu citei, na seção que eu citei, soma até n *exclusive*, conforme eu defini na mensagem: >> Escreva S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Wed, Mar 31, 2004 at 12:10:11AM -0300, Rafael wrote:
> É verdade, Nicolau, para o proposto, não houve qualquer erro. Entretanto,
> lendo com mais atenção, surgiram-me duas perguntas:
>
> 1) Qual é a "vantagem" de se calcular a soma até n (exclusive)?
Os números de Bernoulli usuais são os que aparecem na minha outra mensagem.
Ou seja, a fórmula fica mais coerente com a definição usual de B_n
com a soma até n *exclusive*.
A fórmula fica mais simples mesmo se tomarmos
f_m(n) = (0^m + 2*1^m + 2*2^m + ... + 2*(n-1)^m + n^m)/2
Neste caso o polinômio fica sendo par ou ímpar dependendo
se n for ímpar ou par, respectivamente.
> 2) Sobre a definição proposta: S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m, em sua
> mensagem anterior, é considerado que S_0(n) = n. Isso só é verdade, de
> acordo com a definição, se 0^0 = 1, o que é uma convenção. Lembro-me de já
> ter lido que nem sempre é possível afirmar isso, ou melhor, que somente uma
> função analítica permite a conclusão, em geral, de que 0^0 = 1. O mesmo
> seria válido para: 0/0, 0*oo, oo/oo, 1^oo, oo - oo. Você poderia explicar e
> dar detalhes sobre isso?
Você pode dizer que 0^0 = 1 é uma convenção, como você pode dizer que 0! = 1
é uma convenção. Para mim não é não, é um caso particular tanto da definição
combinatória de a^b para a e b naturais (a^b é o número de funções de B em A
onde |A| = a e |B| = b) quanto da definição recursiva (a^0 = 1,
a^(b+1) = a*(a^b)). Mas o fato é que 0^0 = 1 é uma "convenção" universal,
tanto quanto eu saiba.
Você parece estar falando em limites em parte do seu texto. Não é verdade
que se lim_{x -> 0} f(x) = 0 e lim_{x -> 0} g(x) = 0 então sempre
lim_{x -> 0} ((f(x))^(g(x))) = 1, nem se f e g forem analíticas.
[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Wed, Mar 31, 2004 at 12:32:10AM -0300, Rafael wrote:
> Na verdade, quando escrevi: "O mesmo seria válido para: 0/0, 0*oo, oo/oo,
> 1^oo, oo - oo.", referia-me à indeterminação dessas expressões, assim como
> acontece com 0^0.
Justamente, este conceito de indeterminação não faz sentido para uma conta
simples, mas faz sentido para limites. Assim, o fato de sabermos que
lim_{x -> 0} f(x) = lim_{x -> 0} g(x) = 0 é insuficiente para *determinar*
o valor de lim_{x -> 0} f(x)/g(x).
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz
On Wed, Mar 31, 2004 at 05:55:48AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: > Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em > qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se > lembrar e nao for muito complicado (no momento naum > estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh > muito trivial), seria possivel alinhavar a > demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P > eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0? > > Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas > no caso geral eh mais complicado. Se o corpo for o dos reais ou complexos, o conjunto das matrizes com espectro simples (nenhum autovalor repetido) forma um aberto denso e todas estas são diagonalizáveis. Ora, a identidade p_A(A) = 0, devidamente expandida, vira q(a11, a12, ..., ann) = 0 onde q é um certo polinômio de coeficientes inteiros. Se este polinômio se anula num aberto denso é pq ele é identicamente 0. Isto prova que p_A(A) = 0 para qualquer matriz e qualquer corpo de coeficientes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Vírus na lista
On Wed, Mar 31, 2004 at 03:18:00PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > Duas coisas: 1)Existem virus que podem ser passados sem livre e espontanea > vontade, bastando um e-mail para tal.Pense nisso antes de citar supostos > "engraçadinhos enviadores de virus". Na verdade eu diria que é da própria definição de vírus o fato dele ser passado "sem livre e espontanea vontade". Reclamar que um "engraçadinho" mandou um vírus é muito pior do que isso: os vírus falsificam o remetente e aquele nome que aparece no cabeçário em geral não tem absolutamente nada a ver com nada. E por falar em nada a ver com nada, vírus é off-topic. Repito abaixo as instruções que todo mundo deveria ter lido. Em tempo, desde a hora do almoço apareceram 74 mensagens na caixa das mensagens rejeitadas pelo majordomo (agora são 16:38). []s, N. == ... Com relação a virus de computador: * Algumas precauções básicas são tomadas pelo majordomo, o programa que administra a lista. Entre elas: . só podem ir para a lista mensagens que (aparentemente) venham de um membro da lista, . são proibidas mensagens com attachments grandes. Estas precauções de fato fazem vir parar na minha caixa de correio várias mensagens suspeitas por dia. A maioria é spam; algumas são enviadas por pessoas inocentes mas que não prestaram muita atenção às instruções da lista e mandam figuras enormes ou attachments *.doc; algumas provavelmente são vírus (eu jogo fora sem tentar descobrir). * A responsabilidade de defender o seu computador é do usuário. Ele pode usar antivírus, clientes de e-mail mais inteligentes, sistemas operacionais mais seguros, ler o e-mail num cybercafe, usar um computador sem disco rígido ou simplesmente reinstalar tudo toda vez que aparecer um vírus. O problema e a opção são dele (ou seja, de vocês). * Esta lista não tem como objetivo discutir segurança de computadores, existem outras para isso. Limitem-se a um aviso objetivo quando um virus de fato for enviado pela lista. * Em nenhum caso nem eu nem a OBM somos responsáveis por qualquer dano causado por um vírus ou similar mesmo que tenha passado pela lista. Ao usar a lista você está implicitamente concordando com estas regras. ... == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livro sobre participantes dos USA na IMO
ughton Mifflin, 244 pp., $24 - End forwarded message - ===== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Tue, Apr 06, 2004 at 01:09:13PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
> >Você parece estar falando em limites em parte do seu texto. Não é verdade
> >que se lim_{x -> 0} f(x) = 0 e lim_{x -> 0} g(x) = 0 então sempre
> >lim_{x -> 0} ((f(x))^(g(x))) = 1, nem se f e g forem analíticas.
>
> Bem, se f e g sao analiticas nao-constantes numa vizinhanca de 0 e se anulam
> em 0 (e f e' nao-negativa numa vizinhanca de 0) entao vale
> lim_{x -> 0} ((f(x))^(g(x))) = 1.
Sim, você tem razão. Deve ser isto que o Rafael tinha em mente.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Wed, Apr 07, 2004 at 03:27:00AM -0300, Rafael wrote:
> Perdoe-me, Nicolau, por não ter respondido tão imediatamente à sua mensagem.
> Muito obrigado pelos seus comentários e, agora, pelos do Gugu e do Angelo.
>
> Talvez, a minha falta de perícia no assunto tenha me feito compreender algo
> errado do que li, mas pode ser que o autor não tenha sido tão feliz na
> explicação como vocês foram.
>
> Vejam:
>
> http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/zerozero/zero.htm
Sem poder dizer que alguma coisa na página que você indicou esteja
propriamente errada, eu francamente não acho que o autor tenha sido,
como você disse, muito feliz. Ele menciona (corretamente) que se
lim_{x -> a} f(x) = 0
lim_{x -> a} g(x) = 0
então nada podemos afirmar sobre o limite
lim_{x -> a} (f(x))^(g(x))
Mas isto não significa que 0^0 não esteja definido, conforme já discutimos,
e eu acho que o texto gera uma certa confusão neste sentido.
Quanto ao resultado que o Gugu enunciou, segue um enunciado e uma demonstração.
Sejam f e g funções analíticas definidas em vizinhanças de raio r de 0
com f(0) = g(0) = 0. Suponha que f(x) > 0 para 0 < x < r.
Para 0 < x < r, defina h(x) = f(x)^g(x) = exp(g(x) log(f(x))).
A função f admite uma série de Taylor, donde existe um natural n
e constantes positivas C1 e C2 tais que 0 < x < r -> C1 x^n < f(x) < C2 x^n.
Assim 0 < x < r -> a1 + n log(x) < log(f(x)) < a2 + n log(x) onde ai = log(Ci).
Em particular, existe a tal que 0 < x < r -> |log(f(x))| < a + n |log(x)|.
Por outro lado como g é analítica, existe uma constante positiva B
tal que 0 < x < r -> |g(x)| < B |x|. Assim, para 0 < x < r temos
|g(x) log(f(x))| < aB |x| + nB |x| |log(x)|
Como lim_{x -> 0} x log(x) = 0, segue que
lim_{x -> 0} g(x) log(f(x)) = 0 donde lim_{x->0} h(x) = 1.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Problema com dados (Probabilidade/Estatistica)
On Wed, Apr 14, 2004 at 02:51:38PM -0300, niski wrote: > Olá pessoal. Me deparei com o seguinte problema: > > "Um dado é lançado continuamente até a soma total dos resultados exceder > 300. Qual é a probabilidade de que pelo menos 80 "jogadas" foram > necessarias?" Reformule assim: jogue um dado 79 nove vezes e some os totais para obter N. Qual a probabilidade de que N seja menor ou igual a 300? Deve ser claro que os dois problemas são equivalentes: se N > 300 então 79 ou menos lançamentos bastam; se N <= 300 então pelo menos 80 lançamentos foram necessários. O problema como eu reformulei é bem clássico e tem uma resposta exata um pouco complicada usando binomiais. Você também pode expandir P(x) = ((x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)/6)^79 = (x(x^6-1)/(6(x-1)))^79 e somar todos os coeficientes até x^300: o maple faz isso bem rápido e dá 10835396965848857850943684826836822700195664221569494129355 pp := --- 11489834763761384679233055381265290523938128408024803442688 ou aproximadamente .9430420183. Se você não puder ou não desejar usar um computador e um programa desses mas aceitar usar uma calculadora e uma resposta aproximada, você pode ver que o valor médio de N é 79*7/2 = 553/2 = 276.5 e que a variância é 79*35/12 = 2765/12 = 230.417 donde o desvio padrão é aproximadamente 15.17948177. Podemos tomar por corte 300.5 donde estamos interessados em estimar a probabilidade de não ficarmos mais do que (300.5 - 276.5)/15.17948177 ~= 1.581081645 desvios padrão acima da média. Calculando 2*erf(1.581081645)-1 obtemos .949294768, um erro relativamente pequeno. Se ao invés de 300.5 tomássemos 300, a resposta seria .942865028, por algum motivo ainda melhor. Calculando a probabilidade exata para 299 e 301 temos .9350831505 e .9502146325, respectivamente. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida
On Fri, Apr 16, 2004 at 12:17:15AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: > Não resisto a tentaçao de dar uma opiniao antipatica. Nao adianta, em materia > de notaçao, usar uma boa notaçao se os outros nao a usam. O mundo todo, > principalmente por causa das calculadoras, usa ln para logaritmo natural. > Uma das experiencias mais sofridas da minha vida foi ler um livro de > Estatística de um professor da USP que usava siglas próprias; muito lógicas, > mas proprias: cada vez que aparecia um EMV (estimador de máxima > verossimilhança)ou um V (vies) eu travava por algum tempo. Claro, todo mundo > usa MLE (maximum likelihood estimator) e B (bias). Eu concordo com a idéia geral apresentada pelo Morgado: inventar uma notação estranha só atrapalha. Mas acho que este não é o caso se estamos falando de usar log para o logaritmo na base e. O livro do Ahlfors de Análise Complexa usa log para o logaritmo na base e sem nem uma palavra sobre outras notações ou outras bases (nem aparece no livro ocasião para calcular logs em outras bases). Admito que o exemplo foi tomado unicamente pq o livro estava em cima da minha mesa (estou dando um curso de análise complexa). Peça ao maple para calcular log(2.0) e ele retorna .6931471806, que é, claro, o logaritmo na base e. Também admito que não testei em outros programas similares. Ou seja, discordo completamente da frase "o mundo todo ... usa ln para logaritmo natural": acho que este é mais um caso em que simplesmente não existe uma notação que "o mundo todo usa". Se você desejar ser compreendido, *explique* a sua notação. Sempre que eu dou um curso eu aviso que estou acostumado a usar log para o logaritmo na base e pois sei que os alunos podem ter aprendido na escola que log significa logaritmo na base 10. Isto é especialmente verdade se você estiver redigindo uma prova: neste caso acho que é obrigação da banca se explicar. Da mesma forma, se aparecer em uma prova o conjunto dos números naturais, é obrigação da banca explicar se eles acham que 0 é natural ou não. As notações log_e e log_10 têm a vantagem de serem autoexplicativas. Uma outra questão (relacionada) é se devemos ensinar log_10 como sendo algo mais importante do que, digamos, log_2. Eu acho que não. Acho desnecessário mencionar aplicações da função log_e; a função log_2 também tem algumas aplicações, especialmente em matemática discreta. Para a função log_10 as aplicações todas dependem de usarmos a base 10, e mesmo assim não são muitas. Se não contarmos as tabelas de logaritmo, claro, mas também paramos de ensinar os alunos a usarem a régua de cálculo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida
On Fri, Apr 16, 2004 at 01:50:18PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Fri, Apr 16, 2004 at 12:17:15AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: > > de notaçao, usar uma boa notaçao se os outros nao a usam. O mundo todo, > > principalmente por causa das calculadoras, usa ln para logaritmo natural. > > Eu concordo com a idéia geral apresentada pelo Morgado: inventar uma notação > estranha só atrapalha. Mas acho que este não é o caso se estamos falando > de usar log para o logaritmo na base e. O livro do Ahlfors de Análise Complexa > usa log para o logaritmo na base e sem nem uma palavra sobre outras notações > ou outras bases (nem aparece no livro ocasião para calcular logs em outras > bases). Admito que o exemplo foi tomado unicamente pq o livro estava em cima > da minha mesa (estou dando um curso de análise complexa). Peça ao maple > para calcular log(2.0) e ele retorna .6931471806, que é, claro, o logaritmo > na base e. Também admito que não testei em outros programas similares. > > Ou seja, discordo completamente da frase "o mundo todo ... usa ln para > logaritmo natural": acho que este é mais um caso em que simplesmente > não existe uma notação que "o mundo todo usa". Eu deveria ter mandado isso na outra mensagem, mas não resisto. Isto é o que a minha máquina linux retorna quando faço "man log": EXP(3) Linux Programmer's Manual EXP(3) NAME exp, log, log10, pow - exponential, logarithmic and power functions SYNOPSIS #include double exp(double x); double log(double x); double log10(double x); double pow(double x, double y); DESCRIPTION The exp() function returns the value of e (the base of natural logarithms) raised to the power of x. The log() function returns the natural logarithm of x. The log10() function returns the base-10 logarithm of x. The pow() function returns the value of x raised to the power of y. Ou seja, C também usa log para logaritmo na base e. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O assunto virus eh off-topic
On Fri, Mar 19, 2004 at 09:17:49PM -0300, Fabiano Sant'Ana wrote: > ISSO NÃO É UM VIRUS! > - Original Message - > From: Maurizio > To: Recipient list suppressed > Sent: Monday, April 19, 2004 8:11 PM > Subject: [obm-l] Virus por listas de contato > > > Oia... > Eu achei o ícone do ursinho muito legal mas deletei ele... > Não sei o que faz essa coisa mas acho melhor tirar... > Ele se instala na pasta do windows/system32 Devo lembrar ainda mais uma vez que o assunto virus é totalmente off-topic. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] GEOMETRIA
On Wed, Apr 21, 2004 at 10:09:33AM -0300, Fellipe Rossi wrote: > Pessoal, sou novo na lista e não sei até que ponto posso estar postando > anexos. No caso desta questão é impossível descrever a resolução sem uma > figura, então eu publiquei em um website. Gostaria de saber se da próxima vez > posso postar como anexo. Figuras podem ser mandadas como attach desde que não ultrapassem o tamanho máximo da mensagem (uns 2 bytes). Por isso é bom usar formatos com algum tipo de compressão, como *.jpeg, *.png ou *.gif; o formato *.bmp em geral produz arquivos enormes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RSA
On Wed, Apr 21, 2004 at 02:15:38PM -0300, Domingos Jr. wrote: > Tenho certeza de que apresentando idéias você será levado a sério, mesmo que > essas idéias estejam erradas. Todo mundo aqui já postou coisa errada, exceto > o Nicolau, o Gugu, o... ah, esses caras não contam. Se você olhar os arquivos verá que eu já publiquei uma quantidade enorme de erros bobos. Alguns eu mesmo acho quando a mensagem volta, outros alguém acha, outros provavelmente estão enterrados nos arquivos e nunca ninguém achou. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstracoes no ensino medio
On Wed, May 12, 2004 at 10:26:25AM -0300, Fellipe Rossi wrote: > A verdade é que o que vende livros e conquista novos alunos não é o > crescimento acadêmico, são os resultados. > As pessoas escolhem fazer esse ou aquele curso ou colégio porque "ele aprova > mais do q os outros no vestibular". E os cursos bitolam os alunos com > fórmulas e teoremas que estes nem sabem de onde surgiram, mas que dão > resultados num concurso. Estamos ficando um pouco off-topic, mas eu discordo das generalizações feitas pelo Fellipe. Alguns cursos talvez "bitolem" os alunos, mas eu conheço cursos que não têm em absoluto este procedimento. Isto de sair decorando fórmulas só dá resultados a curtíssimo prazo e mesmo assim só se o concurso for muito mal feito. Acho que é bem claro que quando a aluno decora sem entender ele esquece logo e mesmo enquanto lembra do que decorou ele só sabe fazer exatamente aquele problema decorado; qualquer mudança, por menor que seja, já desmonta o aluno. Finalmente, eu acho que a existência de uma competição como o vestibular ajuda a melhorar o ensino: não existindo esta pressão, mais escolas e mais alunos se acomodariam na mediocridade. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Abobrinhas e ataques pessoais (era: Demonstracoes no ensino medio)
On Mon, May 10, 2004 at 11:53:51PM -0300, Leandro Lacorte Recova wrote: > Voce nao pode ver a materia por esse angulo, e muita ingenuidade sua. Essas > materias servem pra despertar o futuro professor a desenvolver tecnicas de > transmitir uma demonstracao. Todos sabem que voce sabe tudo do 2o grau e que > voce tem um QI altissimo, sempre foi o numero 1, mas nao esqueca, com esse > tipo de arrogancia que voce tem, muitos diretores de cursinhos ou colegios > nao o contratariam. Alias, os alunos mesmos iriam pedir a sua demissao junto > ao diretor de uma escola caso voce desse uma dessas respostas que voce > apresenta na lista. > > Voce e uma pessoa muito imatura carissimo Anderson. Você, Leandro, começou dizendo que concordava comigo mas emendou para dizer outras coisas: talvez eu não tenha sido muito claro. Eu só estava dizendo que um curso na graduação com conteúdo de ensino médio pode ser necessário, útil mesmo para os bons alunos e até mais difícil do que o curso típico de cálculo. Eu não tentei fazer psicanálise do Dirichlet e se eu tivesse alguma inclinação para este tipo de coisa a lista ainda seria o lugar errado. Como moderador, eu devo pedir a você, Leandro, que debata sem fazer ataques pessoas como este de dizer que o Anderson (Dirichlet) é imaturo. On Mon, May 10, 2004 at 11:53:51PM -0300, Gabriel Reina wrote: > Olha Dirichlet, é melhor você ficar só no "Ezatas"... > O cara aí te desmontou. Quebrou as pernas, Zé! > Depois dessa aí, dá para cuspir e sair nadando! Oi Gabriel, acho que você é a mesma pessoa que escreveu: > Entrei nessa lista há poucos dias, atraído pela possibilidade > de ver boa matemática em ação, e eventualmente esclarecer > dúvidas em análise funcional. > > Porém, depois de mensagens como a que o amigo 234 > respondeu, fico em dúvida quanto à credibilidade dessa lista. > > Temos um cara (o que usa MUITO injustamente a alcunha de > Dirichlet) que só responde abobrinha e nunca resolve um > exercício, um outro cara que acha que consegue conversar > a respeito de relatividade como se estivesse num boteco com > amigos, outro que manda oitenta mensagens por dia a respeito > de integrais, e figuras menos marcantes, mas ainda assim risíveis. > > Em poucos dias por aqui, vi alguém enunciando a conjectura de > Goldbach como se este fosse oriundo de um sanatório, um > indivíduo querendo ficar craque em integrais mas não conseguindo > resolver o problema da melancia, e por aí vai. > > Sinceramente, acho que vocês podem fazer melhor que isso se > estudarem bastante e se dignarem a manter a boca fechada. É verdade que algumas mensagens do Dirichlet têm muita abobrinha e só muito pouca matemática mas esta sua mensagem teve muita abobrinha e o que não era abobrinha era coisa pior. Acho que você deveria reler o que você mesmo escreveu e refletir. Reflita bastante. Quando você tiver vontade de mandar outra mensagem igual a esta, reflita de novo, releia o que você escreveu e espere a vontade passar. []s, N. ===== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma certa confusao
On Fri, May 07, 2004 at 12:14:11PM -0300, Will wrote:
>
> Arthur, se tiver como buscar para nós um destes exemplos ou então, se você
> lembrar, apontar uma bibliografia, seria ótimo :-)
>
> Me refiro a funções tal que " restricoes de f a todas as retas que passem
> por um ponto x sejam continuas mas que f, entretanto, naum seja continua em
> x."
Seja h uma função contínua, igual a 0 fora do intervalo [0,1] com h(1/2) = 1.
Seja A = {(x,y) | x > 0, x^2 < y < 2x^2}, o ângulo entre duas parábolas.
Note que A é um conjunto aberto contido no primeiro quadrante.
Defina f(x,y) = h((y-x^2)/x^2) se (x,y) pertence a A e
f(x,y) = 0 caso contrário. Em perticular, f(0,0) = 0.
A função f é claramente contínua fora do ponto (0,0).
Por outro lado f é obviamente descontínua em (0,0) pois
lim_{t -> 0, t > 0} f(t,3t^2/2} = 1.
A interseção de qualquer reta passando pela origem com a região A é
*ou* vazia *ou* um intervalo aberto cujo fecho não inclui o ponto (0,0).
Assim a restrição de f a qualquer reta (passando pela origem ou não)
é contínua.
[]s, N.
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Re: [obm-l] derivadas parciais
On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: ... > Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) > pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: > f(y) - f(x) = = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). > onde: > grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; > f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. > > Como U eh convexo, c pertence a U. > Logo, |f_i(c)| <= M. ... O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. Seja f: R -> R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). Seja y = 2 pi e x = 0. Temos f(y) - f(x) = 0. Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o qual f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) O que o teorema do valor médio diz é que existe t tal que |f(y) - f(x)| <= |f'(t)| |(y - x)| o que aliás é verdade para qualquer t. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstracoes no ensino medio
On Sun, May 09, 2004 at 11:01:26PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > So uma coisa que talvez seja util voces saberem: na faculdade a turma de > matematica aqui da USP-Sao Carlos tem aula de MEB (Matematica do Ensino > Basico). Curioso, eu perguntei o que sec aprende nessa matera e a resposta > foi um belo de um " Tudo o que se ve no Ensino Medio, com demonstraçoes! ". > Isto nao e estupido? Eu sou professor na PUC, e garanto a você que a quase totalidade dos alunos, mesmo os melhores, tem muito a aprender com um curso destes. Para tomar um exemplo bem concreto: o conceito de mdc e as formas de calculá-lo são matéria de primário mas acho que nem um por cento dos calouros saberia descrever o algoritmo de Euclides com demonstração. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Notification
On Thu, Apr 29, 2004 at 05:17:25PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Por que ? Meu computador nao esta com problemas ? Achei estranho eu ter > recebido um e-mail de notificacao sendo que o remetente era meu mesmo ?! Acho que eu criar um programa para enviar semanalmente para a lista o aviso de que o assunto virus é completamente off-topic. == ... Com relação a virus de computador: * Algumas precauções básicas são tomadas pelo majordomo, o programa que administra a lista. Entre elas: . só podem ir para a lista mensagens que (aparentemente) venham de um membro da lista, . são proibidas mensagens com attachments grandes. Estas precauções de fato fazem vir parar na minha caixa de correio várias mensagens suspeitas por dia. A maioria é spam; algumas são enviadas por pessoas inocentes mas que não prestaram muita atenção às instruções da lista e mandam figuras enormes ou attachments *.doc; algumas provavelmente são vírus (eu jogo fora sem tentar descobrir). * A responsabilidade de defender o seu computador é do usuário. Ele pode usar antivírus, clientes de e-mail mais inteligentes, sistemas operacionais mais seguros, ler o e-mail num cybercafe, usar um computador sem disco rígido ou simplesmente reinstalar tudo toda vez que aparecer um vírus. O problema e a opção são dele (ou seja, de vocês). * Esta lista não tem como objetivo discutir segurança de computadores, existem outras para isso. Limitem-se a um aviso objetivo quando um virus de fato for enviado pela lista. * Em nenhum caso nem eu nem a OBM somos responsáveis por qualquer dano causado por um vírus ou similar mesmo que tenha passado pela lista. Ao usar a lista você está implicitamente concordando com estas regras. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] medias
On Mon, May 03, 2004 at 07:32:24AM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 03.05.04 02:09, DafnhÅ? Thot at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Olá, eu estou com um problema, eu naum consigo provar > > que a media aritimética de três numeros eh maior que a > > media geométrica, caso alguém possa me ajudar pelo > > menos alguém deve saber algum site que tenha esta > > demonstração... obrigado > > > Mas isso nao eh verdade. Por exemplo: > (1+1+1)/3 = (1*1*1)^(1/3) = 1 > ou > ((-1) + (-8) + (-27))/3 = -12 < -6 = ((-1)*(-8)*(-27))^(1/3) > > O resultado preciso eh: a media aritmetica de 3 numeros reais nao-negativos > eh maior ou igual a media geometrica e a igualdade vale se e somente se os > tres numeros sao iguais. > > Sugestao: fatore x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz. Vou completar a dica do Claudio pq não sei se é tão fácil assim: x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) Por outro lado x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = ((x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2)/2. Outra possibilidade é escrever a desigualdade assim: log((x+y+z)/3) >= (log(x) + log(y) + log(z))/3 Isto segue do fato do gráfico da função log ter sempre a concavidade para baixo. Ainda outra possibilidade é a seguinte. Você parece conhecer o resultado para dois números: (x+y)/2 >= sqrt(xy) Daí é fácil tirar o resultado análogo para quatro números: (x1+x2+x3+x4)/4 = (((x1+x2)/2) + ((x3+x4)/2))/2 >= >= (sqrt(x1x2) + sqrt(x3x4))/2 >= >= sqrt(sqrt(x1x2) sqrt(x3x4)) = (x1x2x3x4)^(1/4) e analogamente para 8, 16, 32, 64, ..., 2^n números. Ora, tanto a média aritmética quanto a média geométrica de três números y1, y2, y3 são muito bem aproximadas por uma média de 2^n números: tome m cópias de y1, m cópias de y2 e m+-1 cópias de y3 onde 2^n = 3m+-1. Se para alguma tripla de números a média geométrica fosse maior do que a aritmética, estes erros poderiam ser tomados como sendo bem menores do que a diferença entre as médias, gerando uma contradição. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sobre a rpm e Integral
On Mon, May 03, 2004 at 11:44:04AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: > O Prof. Elon jamais disse que a técnica é falha, até porque ela não é. O que > ele disse é que ela é uma técnica muito ruim para resolver sistemas > "grandes", pois exige um número muito grande de operações. > > E sobre uma prova que estava na rpm, o Prof. Elon comenta que a técnica de > > Cramer pra determinação de um sistema é falha. Eu fiz a demonstração que > > estava no livro, olhei atentamente, analisei, mas, mesmo assim, não achei o > > motivo pelo qual essa técnica é falha. Seria um erro conceitual? Ao responder uma mensagem, joguem fora o que não for relacionado, por favor. Cramer é ineficiente para sistemas grandes mas Cramer também não é muito bom para o aluno de ensino médio que quer resolver sistemas 3x3 ou 4x4 manualmente. Fazer eliminação gaussiana é mais rápido (mesmo nos casos pequenos) e é um processo auto-evidente, que não precisa que o aluno saiba nada sobre determinantes ou matrizes. E quando o sistema for impossível ou indeterminado eliminação gaussiana indica isso direitinho ao invés de produzir um misterioso 0/0. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
On Mon, May 03, 2004 at 01:59:25PM -0300, Vinícius Botelho wrote: > Alguém sabe onde encontrar a fórmula de união de N conjuntos? (como, para > N=2, temos que n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A inter B)) O que você quer chama-se de regra ou princípio ou fórmula da união e interseção. Você deve tomar todas as interseções de qualquer número de conjuntos da família e somar com sinal, sendo o sinal dado por (-1)^(j+1) onde j é o número de conjuntos da família que foram tomados. Usando a sua notação: n(A1 U A2 U A3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) - n(A1 inter A2) - n(A1 inter A3) - n(A2 inter A3) + n(A1 inter A2 inter A3). n(A1 U A2 U A3 U A4) = n(A1) + n(A2) + n(A3) + n(A4) - n(A1 inter A2) - n(A1 inter A3) - n(A1 inter A4) - n(A2 inter A3) - n(A2 inter A4) - n(A3 inter A4) + n(A1 inter A2 inter A3) + n(A1 inter A2 inter A4) + n(A1 inter A3 inter A4) + n(A2 inter A3 inter A4) - n(A1 inter A2 inter A3 inter A4). n(A1 U A2 U ... U Ak) = n(A1) + n(A2) + ... + n(Ak) - - n(A1 inter A2) - ... - n(Ai1 inter Ai2) - ... + n(A1 inter A2 inter A3) + ... + (-1)^(j+1) n(Ai1 inter Ai2 inter ... inter Aij) + ... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] olimpíada_cearense-2003
On Thu, Apr 22, 2004 at 11:06:55AM -0300, Claudio Buffara wrote: > A mensagem do Nicolau menciona uma estrategia para o homem que eh a de > correr sempre na direcao do ponto diametralmente oposto aquele onde estah o > cachorro. Só esclarecendo: esta é uma estratégia mas NÃO é a estratégia ideal para o homem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíada Cearense 2003-max
On Thu, Apr 22, 2004 at 11:59:12PM -0300, Max wrote: > Esse problema, caiu na olimpíada cearense de matemática(2003), e ao que > parece, pelo que tive de informações não foi anulado. Vou procurar ter > certeza se realmente tinha alguma coisa errada. Pois seus cáç culos são > bastantes convicentes. > > Problema 4 - Um homem acha-se no centro de um círculo. A periferia deste > círculo é delimitada por uma cerca, que separa o homem de um cachorro. > Admitindo que o cachorro só pode correr ao longo da cerca: > > Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo > cão se as velocidades máximas possíveis de serem desenvolvidas pelo > cachorro e pelo homem estiverem entre si na relação 4:1. > > Determine as relações entre as velocidades máximas do cachorro e do > homem para as quais o homem pode escapar. O problema está correto e já foi discutido nesta lista em janeiro deste ano. Eu mesmo enviei uma solução deste problema para a lista: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg17838.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200401/msg00387.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Feiticeira de Gauss, Geometria hiperbólica e Riemanianna
On Mon, Apr 26, 2004 at 12:53:00PM -0300, Alan Pellejero wrote: > Pessoal, desculpem-me se este assunto for off-topic, na verdade eu nem sei o > que não é off-topic, mas eu gostaria de saber o que é a feiticeira de gauss. Acho que a reclamação do Claudio não foi no sentido de que a sua mensagem fosse off-topic, foi no sentido de dizer que a pergunta já tinha sido respondida. As perguntas abaixo não são off-topic mas exigem livros inteiros para responder. Vou dar respostas sumárias. > Gostaria de saber também o seguinte: > > se a geometria euclidiana é projetada no plano, onde é projetada a > riemanianna e a hiperbólica??? Esta pergunta não faz sentido. > Ouvi tambeém comentários sobre uma outra geometria que fazia a projeção num > plano que parece uma "cela de cavalo"... O plano hiperbólico tem curvatura negativa; a sela de cavalo também tem; as semelhanças param mais ou menos por aí. > Por que tantas geomeetrias??? Por que são úteis. Existem tantas geometrias quanto os mátemáticos são capazes de inventar e as mais úteis ficam famosas. > Existem outras além dessas? Muitas. > Por que Einstein precisou da riemanianna pra formular a teoria da > relatividade??? Acho que para responder esta pergunta você precisa primeiro estudar os dois assuntos, não? Existem um monte de livros bons. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia
On Mon, Apr 26, 2004 at 01:32:49PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote:
> Se uma sequencia de funcoes monótonas converge
> simplesmente para uma funçao continua num intervalo I,
> entao a convergencia é uniforme em cada parte compacta
> de I.
Suponha sem perda de generalidade que I = [0,1] e vamos provar
a convergência uniforme em [0,1].
Sejam f, f0, f1, ..., fn, ... funções, f contínua, fn não decrescentes
e suponha que para todo x em [0,1] temos lim_{n -> infty} fn(x) = f(x).
Dado eps > 0, seja M um inteiro positivo tal que
|x - x'| < 1/M implica |f(x) - f(x')| < eps/2.
Considere os pontos 0/M, 1/M, ..., k/M, ..., M/M = 1.
Seja N tal que n > N implica |fn(k/M) - f(k/M)| < eps/2.
Dado um x em [0,1] qualquer, escreva k/M <= x <= (k+1)/M.
Temos |f(x) - f(k/M)| < eps/2 e |fn(k/M) - f(k/M)| < eps/2
donde |f(x) - fn(k/M)| < eps. Analogamente |f(x) - fn((k+1)/M)| < eps.
Como fn(k/M) <= fn(x) <= fn((k+1)/M) temos |f(x) - fn(x)| < eps.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Problemas da sexta série (0.5 off-topic)
On Wed, Apr 28, 2004 at 11:02:25AM -0300, Alan Pellejero wrote: > 01) Uma melancia de massa 10 kg contém 99% de água. Após deixá-la aberta por > algum tempo, um agricultor verificou que um pouco de água havia evaporado, > deixando-a com 98% de água. Após a evaporação, se a pesássemos, qual valor, > em kg, para a massa encontraríamos? Este problema cai praticamente todo ano na primeira fase da OBM com leves mudanças de enunciado. Teve uma vez, por exemplo, que envolvia uma partida de futebol em que parte da torcida de um time saia no meio pq estava perdendo de 4x0. Se a melancia pesa 10 kg e é 99% água, então temos 9.9 kg de água e 0.1 kg de outras coisas. Estas outras coisas não evaporam donde continuavam lá quando tinham passado a representar 2% da massa da melancia. A melancia pesava portanto 5 kg ao final do problema. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
On Wed, May 05, 2004 at 12:51:40PM -0700, Artur Costa Steiner wrote: > Oi Nicolau, > Aquele problema que circulou na lista me causou > algumas dúvidas. Se você tiver tempo, gostaria de > ajuda, pois estas questões não são cobertas no livro > do Apostol nem do do Bartle (e acho que nem no do > Rudin). > > Aquele teorema do valor médio ao qual você se referiu, > bem como aquele mais particular para funcões de R^n -> > R, exige que f seja diferenciável ou exige apenas que > as derivadas direcionais de f existam em um conjunto > contendo o segmento que une a a b? (acho que esta > última condição basta, certo?) Certo. Basta considerar a restrição da função ao segmento e usar o TVM usual. > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu > estou tentando provar isso, mas não estou certo. Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho tão interessante; vou pensar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise I
On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco medeiros wrote:
> Não existe uma função real (i.e., de R em R) contínua que transforme
> todo número racional num irracional e vice-versa.
Isto é uma aplicação do teorema de Baire.
Teorema de Baire: a união de uma família enumerável de subconjuntos
fechados de interior vazio de R também tem interior vazio.
Suponha por absurdo que exista f como acima.
Para cada racional x, seja Ax = {x} e Bx = f^{-1}(Ax).
O conjunto Ax obviamente é fechado de interior vazio.
O conjunto Bx é fechado pois é a imagem inversa de um fechado
por uma função contínua e tem interior vazio pois está contido
nos irracionais. Mas a união de todos os Ax e Bx é R, pois dado
um real y, se y for racional temos y em Ay e se y for irracional
temos y em B(f(y)). Isto contradiz o teorema de Baire, absurdo.
A demonstração do teorema de Baire não é difícil, pode ser encontrada
em bons livros de análise ou nos arquivos desta lista.
Existe uma versão mais geral do teorema de Baire que fala de outros
espaços além de R.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Livro de eq Diferenciais...[OFF-TOPIC]
On Wed, May 19, 2004 at 01:34:16PM -0300, niski wrote: > De fato os livros do impa tem qualidade internacional. Mas sao poucos, > muito, mas muito, muito muito muito muito, mas muito muito mesmo, > exagerdamente muito, muitissimo muito poucos titulos publicados em > relacao ao que o pais precisa. > Só para ilustrar, vá na amazon e procure por livros com a palavra > Stochastic. Vai apresentar 7886 livros (Lembre-se que poderia ter > procurado tb por Random...somando teriamos um numero ainda maior). Faça > o mesmo na livraria cultura e digite Estocástico. Functional analysis > na amazon retorna milhares. No Brasil só vi livro disso escrito pelo > Chaim Samuel Honig. Nao sei se o impa tb produziu algum livro a > respeito. O fato que é o mercado de livros desse porte no brasil é > ridiculo, poucos livros nacionais e os importados tem taxa proibitiva, > acho que a propriedade intelectual é algo muito importante e deve ser > respeitada, mas dada as condicoes, a minha opiniao é que devemos > arregaçar a manga e estudar mesmo que na "ilegalidade" já que nao temos > apoio algum de ninguem. Não vou comentar sobre o tema principal deste thread, que aliás é declaradamente off-topic. Quero só lembrar que a defesa de práticas ilegais nesta lista pode gerar complicações para o funcionamento da lista ou para pessoas que não têm nada a ver com a ilegalidade sendo cometida. Tudo isso vale independentemente da lei ser justa ou não. Se alguém desejar lutar por mudanças na legislação o lugar não é aqui e a maneira não é esta. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OS NÚMEROS DO ACASO!
On Tue, May 25, 2004 at 11:18:00PM -0300, Fellipe Rossi wrote: > "PASMEM! O jogo do par ou ímpar é, sem sombra de dúvidas, favorável a C. > Abraços!" > > Por quê? > > Rossi Talvez outros adivinhem melhor do que eu, mas eu não tenho a menor idéia de quem o o que seja este "C." que estaria sendo favorecido. Meu melhor palpite é que estamos falando daquele raciocínio (completamente errado) que diz que PAR tem probabilidade maior do que ÍMPAR de ganhar, pois para PAR há duas possibilidades (os dois jogadores jogam números pares; os dois jogadores jogam números ímpares) enquenato para ÍMPAR só há uma possibilidade (os dois jogadores escolhem números de paridades diferentes). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] determinantes
On Mon, May 24, 2004 at 11:46:37PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Pegando um gancho:
>
> De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu
> nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que
> ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo,
> mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario
> utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino
> Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho*
> da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem
> *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao !
> Ironicamente falando :-)
Muita gente mandou respostas boas (enquanto eu estava ocupado demais
para responder) explicando algumas das aplicações mais clássicas e
conhecidas destes tópicos. Eu queria dizer que se você procurar nos
arquivos da lista encontrará várias outras mais surpreendentes.
Determinantes, por exemplo, são usados em alguns problemas de combinatória.
Para contar de quantas maneiras é possível cobrir um tabuleiro quadriculado
com dominós (retângulos 2x1 ou 1x2) você pode fazer o seguinte
(este método é devido a Kasteleyn).
Primeiro pinte as casas alternadamente de vermelho e azul.
Numere as casas de cada cor; se o número de casas vermelhas
for diferente do número de casas azuis então é impossível
cobrir o tabuleiro e o problema acabou. Senão monte uma matriz nxn A
onde cada linha corresponde a um quadrado vermelho e cada coluna
a um quadrado azul. Se os quadrados vermelho-i e azul-j não forem
vizinhos então a_{ij} = 0. Se eles forem vizinhos na vertical
ou em uma linha horizontal par então a_{ij} = 1. Se eles forem
vizinhos em uma linha horizontal ímpar então a_{ij} = -1.
Agora det A é o número de maneiras de cobrir o tabuleiro.
Vamos ver um exemplo, o quadrado 4x4. Numere os quadrados assim:
[1] (1) [2] (2)
(3) [3] (4) [4]
[5] (5) [6] (6)
(7) [7] (8) [8]
Aqui usamos [] para vermelho e () para azul.
A matriz A é
[ 1 0 1 0 0 0 0 0 ]
[ 1 1 0 1 0 0 0 0 ]
[ 1 0 -1 -1 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 -1 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 1 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 1 1 0 1 ]
[ 0 0 0 0 1 0 -1 -1 ]
[ 0 0 0 0 0 1 0 -1 ]
e det(A) = 36.
Já apareceram nesta lista um monte de problemas de geometria plana resolvidos
com o uso de números complexos. E para resolver a equação de grau 3 você
precisa de complexos, mesmo se os coeficientes e raízes forem todos reais;
esta, aliás, foi a razão histórica para "inventarem" números complexos.
[]s, N.
=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OS NÚMEROS DO ACASO!
> Dois jogadores, L e C, mostram, simultâneamente, 2 ou 3 dedos. Se a soma > de dedos mostrados é par, então L ganha tal soma de C; se a soma é impar, > então L perde esta soma para C. A quem o jogo é favorável? Digamos que L joga 2 com probabilidade p e 3 com probabilidade (1-p) e que C joga 2 com probabilidade q e 3 com probabilidade (1-q). Então o ganho médio de L é 4pq - 5p(1-q) - 5(1-p)q + 6(1-p)(1-q) = 20pq - 11p - 11q + 6 = = ((20 q - 11)(20 p - 11) - 1)/20. Assim a melhor estratégia para cada um é tomar p = q = 11/20 e o ganho médio de L será -1/20 (e o jogo favorece C). De fato, se L percebe que C tomou q < 11/20 (resp. q > 11/20) ele pode fazer p < 11/20 (resp. p > 11/20) e ganhar mais do que -1/20. Analogamente, se C percebe que L tomou p < 11/20 (resp. p > 11/20) ele pode fazer q > 11/20 (resp. q < 11/20) e fazer com que L ganhe menos do que -1/20. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cramer vs Eliminacao
On Wed, May 26, 2004 at 03:44:34PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Oi, pessoal: > > Multiplicaoes e divisoes sao operacoes muito mais demoradas numa CPU do que > somas e subtracoes. Assim, para se determinar a eficiencia de um dado > algoritmo, eh usual que se estime apenas o numero de multiplicaoes e/ou > divisoes que ele requer. > > Pra ter uma ideia do quanto a regra de Cramer eh ineficiente pra se resolver > sistemas lineares, calcule o seguinte: > > 1) Quantas multiplicacoes e/ou divisoes sao necessarias para se resolver um > sistema linear n x n (suposto consistente)? > > 2) Qual o numero maximo de multiplicacoes e/ou divisoes necessarias para se > resolver o mesmo sistema via eliminacao gaussiana (escalonamento)? É difícil fazer esta comparação direito se não soubermos qual algoritmo vai ser usado para calcular os determinantes na fórmula de Cramer. Uma boa maneira de calcular determinantes é justamente fazer eliminação gaussiana na matriz, e neste caso Cramer fica sendo quase exatamente n vezes mais lento do que usar diretamente eliminação gaussiana no sistema. Existem algoritmos mais lentos para calcular o determinante (por exemplo: olhar para todas as permutações ou expandir recursivamente por linhas ou colunas) mas eu não acho que seja justo medir a eficiência de Cramer usando um algoritmo ineficiente para calcular o determinante. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cone Sul - Problema 6
On Wed, May 26, 2004 at 04:41:47PM -0400, Qwert Smith wrote: > A questao me interessou, mas nao acho ki tenho capacidade pra ela... entao > ponho aki e > comeco pelo obvio, pra ver se alguem se abilita... > > Questao > = > Sejam m, n inteiros positivos. Em um tabuleiro m × n, quadriculado em > quadradinhos de > lado 1, considere todos os caminhos que vão do vértice superior direito ao > inferior > esquerdo, percorrendo as linhas do quadriculado exclusivamente nas direções > < e v. > (para esquerda e para baixo) > Define-se a área de um caminho como sendo a quantidade de quadradinhos do > tabuleiro > que há abaixo desse caminho. Seja p um primo tal que rp(m) + rp(n) ≥p, > onde rp(m) > representa o resto da divisão de m por p e rp(n) representa o resto da > divisão de n por p. > Em quantos caminhos a área é um múltiplo de p? Quem desejar aprender mais sobre esta questão deve estudar q-binomiais; veja por exemplo o primeiro capítulo deste livrinho de colóquio: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/q/index.html ... > 2- Qual a regra (se existe, formal ou nao) pra se corrigir provas desse > tipo? Não existe regra formal. A banca deve pesar o mérito de resultados parciais, conjecturas, idéias que não foram levadas a cabo... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cone Sul - Problema 6
On Thu, May 27, 2004 at 05:48:36PM -0300, Domingos Jr. wrote: > > Quem desejar aprender mais sobre esta questão deve estudar q-binomiais; > > veja por exemplo o primeiro capítulo deste livrinho de colóquio: > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/q/index.html > > > Nicolau, há uma versão PDF ou PS deste paper? Sim, ambas; basta olhar em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_OS_NÚMEROS_DO_ACASO!
On Thu, May 27, 2004 at 03:23:59PM -0300, Chicao Valadares wrote: > Se este for o simples par ou impar que eu conheço,cada > um colocava sua mao na frente(uma mao)e contava-se a > soma dos dedos das duas maos.Quem tivesse escolhido > par e a soma tivesse dado par, ganhava.Bem , para mim > era obvio que quem escolhesse par tinha mais chances, > simplesmente pq o zero era possivel e o resultado que > interessava era a soma, portanto havia 11 numeros > possiveis para a soma = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 e > desses 6 eram par e 5 eram impares.A coisa ficava > igual se tirassemos o zero. O seu raciocínio é incorreto por mais de um motivo. Se os dois jogadores escolherem com igual probabilidade (1/6) entre 0, 1, 2, 3, 4 e 5 então é verdade que a soma pode ser qualquer inteiro entre 0 e 10, mas eles não têm igual probabilidade, as probabilidades são dadas por: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 e se você somar as probabilidades para par e ímpar vai ver que dá exatamente 1/2 para cada um. Mais há um outro erro que torna o raciocínio acima bastante irrelevante. Digamos que pelas regras você só pudesse escolher um número primo menor do que 100. Se os dois jogadores escolherem um número ao acaso com igual probabilidade, quase certamente teremos ímpar+ímpar=par. Mas se nós dois jogarmos juntos, eu ganhar com ímpar e eu perceber que você está jogando desta maneira então eu passarei a jogar 2 todas as vezes e portanto passarei a ganhar quase todas as vezes. Ou seja: escolher entre os números com igual probabilidade é má estratégia e não se deve supor que um bom jogador proceda desta maneira. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cone Sul - Problema 6
On Fri, May 28, 2004 at 06:32:43PM -0300, Domingos Jr. wrote: > Olá! > Faltou liberar acesso externo! > > Forbidden > You don't have permission to access /~nicolau/publ/papers/ on this server. Não exatamente. É que eu escrevi um endereço errado, deveria ser http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/ Os arquivos estão dentro de um diretório "papers" mas se você pedir direto pelo diretório você recebe a mensagem de erro que você viu. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [off-topic] Eureka: acesso restrito???
On Sat, Jun 05, 2004 at 04:41:16PM -0300, Eduardo de Melo Beltrão wrote: > Olá pessoal, > O assunto é verdadeiramente off-topic, mas gostaria de saber se é verdade ou > não. > Um amigo meu ligou para Secretaria da OBM solicitando alguns números > anteriores da Eureka e ficou sabendo que a tal revista não é mais remetida > para estados brasileiros exceto Rio de Janeiro e São Paulo. > Gostaria de saber se realmente é verdade o que ele disse, e se for, alguém > saberia o motivo? > Antes de mais nada, desculpem pelo assunto pouco familiar com a lista. Para este tipo de pergunta, você deve escrever para a secretaria da OBM: [EMAIL PROTECTED] Mas eu posso te adiantar que a informação que você recebeu *não* está correta: a OBM é nacional e nunca houve tratamento diferente entre estados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann
On Sun, Jun 06, 2004 at 11:43:46AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma fórmula para descrever onde estão os
> primos. Envolve um certo grupo de números, que se encontram inseridos em um
> plano, e que correspondem a soluções que tornam uma equação igual a zero. São
> os zeros da função Zeta. Traduzindo a hipótese para a forma didática,
> sabemos que os números primos se encontram imersos no U = N, e quem se dispor
> a ceder uma organização desses números, estará em parte contribuindo para a
> validação da equação,ou para demonstração de falhas na mesma. Sabemos que a
> equação já foi testada até 10 elev 23 e que a mesma pareceu eficiente,
> atendendo a função. Alguém consegue ceder uma explicação mais didática para
> tal função?? Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se
> divide por 1 e por ele mesmo. Abraço para a lista.
Antes de mais nada acho muito inadequado você pedir "uma explicação
mais didática". A razão pela qual você pode ter dificuldades em
entender o enunciado da hipótese de Riemann não é a falta de didática
de quem explica, é o fato do assunto ser difícil e exigir um monte
de prérequisitos que você talvez não tenha.
Mas se você estiver pedindo uma formulação elementar para a hipótese
de Riemann eu posso ajudar. Defina a função de Möbius:
m(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos e
m(n) = 0 se n for múltiplo do quadrado de algum primo.
Assim, por exemplo,
m(1) = 1, m(2) = -1, m(3) = -1, m(4) = 0, m(5) = -1, m(6) = 1, ...,
m(349823904823) = 1 (pois 349823904823 = 605933 * 577331), ...,
m(3492348923094823904823) = 0 (pois é múltiplo de 3^2), ...,
m(3492523452348923094823904823) = 1
(pois 3492523452348923094823904823 = (3)*(71)*(443)*(571)*(2818643)*(22997457245249)
), ...
Defina f(n) = m(1) + m(2) + ... + m(n). Assim, por exemplo,
m(6) = 1 - 1 - 1 + 0 - 1 + 1 = -1.
Seja s > 1/2. A hipótese de Riemann diz que
lim_{n -> infinito} f(n)/n^s = 0.
Tem mais coisa no livro "Primos de Mersenne...";
há uma versão online do livro na minha home page (www.mat.puc-rio.br/~nicolau)
e você pode comprar o livro (em papel) pelo Impa (www.impa.br).
[]s, N.
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann
On Tue, Jun 08, 2004 at 10:33:11PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Não vejo pq o meu pedido foi visto como inadequado. Além da sua explicação > ser bonita, pode ser q a minha seja mais lógica e elementar, além de > objetiva. Os matemáticos deste país devem prestar muita atenção no exemplo q > estão dando. Parabéns pela sua visão. Talvez eu tenha interpretado mal a palavra "didática". Entendi que você estava sugerindo que você não entendia as explicações que tinha visto pq alguém não tinha didática suficiente; como eu mencionei, não é o caso, o assunto é difícil mesmo. Talvez eu deva justificar um pouco a minha reação. Já vi inúmeras vezes pedidos como: "Explique, em 2 minutos, o que diz a conjectura de Poincaré. A sua explicação deve ser clara para um aluno de ciclo básico. Se você não conseguir é pq você está com má vontade." Isto me lembra vagamente as questões de uma piada chamada o "exame final", ou o cartum em que um repórter pergunta a um candidato: "Como você responde à alegação de que suas respostas são sempre frasesinhas espertinhas e superficiais? Você tem 30 segundos." []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
On Wed, Jun 09, 2004 at 02:18:17PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
> Pessoal,
>
> Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de
> saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio
> Fermat provou sua validade quando 4|n.
>
> Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado:
>
> A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x, y,
> z), com x, y, z E N, se n > 2.
Supondo que para você N signifique {1,2,3,...} então sim, isto é um teorema.
A comunidade matemática tem uma demonstração realmente muito engenhosa
deste resultado mas ela não caberia na margem de tamanho das mensagens
permitidas nesta lista (2 caracteres).
[]s, N.
PS: Desculpem, não resisti.
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Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
On Thu, Jun 10, 2004 at 12:08:57AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio > Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness > Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Está tudo certo; o segundo artigo tem o Richard Taylor como coautor, que foi aluno do Wiles e colega meu de doutorado em Princeton. Apenas talvez seja melhor dizer não que Wiles provou, mas que Wiles *completou* a demonstração do teorema. Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos anteriores, inclusive muitos bastante recentes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fórmula para ordenar números primos
On Thu, Jun 10, 2004 at 11:36:03AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Dada a fórmula X. Através dela, podemos ordenar todos os números primos numa > sequencia lógica e completamente controlada. Podemos prever e dizer com > exatidão, onde se encontram os primos e quantos números naturais "pulamos" > para encontrá-los. Essa dada fórmula tem alguma importância ??? Eu sugiro que você leia a primeira seção do capítulo 3 do meu livro com Gugu sobre primos de Mersenne. Está na minha home page e pode ser comprado pelo Impa. http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/mersenne []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PRESTEM ATENÇÃO NO QUE ESCREVEM
On Thu, Jun 10, 2004 at 04:48:57PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não >> vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos >> números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos >> anteriores, inclusive muitos bastante recentes. > > Meu caro Nicolau, será q o nosso jovem não entenderá nada mesmo?? Vc não > acha q só pelo simples fato de participar da lista, ele não é um jovem com um > diferencial?? Nós não podemos pensar assim. Se não, onde vão parar os > gênios??? Para entender o artigo do Wiles não basta ser "um jovem com um diferencial", é preciso conhecer os pré-requisitos, que são bem consideráveis. De qualquer forma eu não estou impedindo ninguém de ler nada, só estou dando um conselho que ele ou você têm todo o direito de ignorar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
On Thu, Jun 10, 2004 at 10:03:24PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? > Formato: pdf > Tamanho: 864 Kb Você não tem uma home page onde possa deixar o seu arquivo? Se não tiver pode enviar para mim e eu incluo ele nos arquivos da lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O SONHO NÃO ACABOU!
On Mon, Jun 14, 2004 at 08:38:15PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Companheiros! Enquanto não sai a minha indicação para a medalha Fields,... Eu sei que isto foi dito jocosamente, mas a medalha Fields é para matemáticos relativamente jovens (até 40 anos). O que o Atiyah acaba de ganhar é o prêmio Abel, um prêmio novo que pretende ser o análogo a um Nobel. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Opinão do Nicolau e do grupo !!!!!!!
On Mon, Jun 14, 2004 at 10:34:05PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Meu caro Nicolau, peço sua opinião sobre meu último e-mail enviado ao grupo. > Se refere à uma fórmula q encontra qq número primo, na sequencia dos números > naturais e estuda o comportamento dos mesmos. O e-mail está na lista. Qq > dúvida, é só me mandar um e-mail. Existem várias fórmulas conhecidas que fazem este tipo de coisa mas elas são complicadas demais para terem maior utilidade prática ou teórica. Eu recomendo que você leia a primeira seção do capítulo 3 do livro do Gugu e meu, "Primos de Mersenne...", disponível para compra pelo IMPA (mas também está na minha home page) e contraste o que você fez com o que está lá. Fora isso, eu gostaria de ver alguma coisa para poder opinar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula para ordenar números primos
On Thu, Jun 10, 2004 at 12:26:30PM -0700, Leandro Lacorte Recova wrote: > Tem como fazer o download desse livro sem ter que ir pagina por pagina ? Sim, você pode baixar o livro todo como um arquivo *.ps ou *.pdf a partir da página de publicações. Ou você pode baixar a versão *.html aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne-html.tar.gz []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
On Mon, Jun 14, 2004 at 11:20:52AM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Thu, Jun 10, 2004 at 10:03:24PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? > > Formato: pdf > > Tamanho: 864 Kb > > Você não tem uma home page onde possa deixar o seu arquivo? > Se não tiver pode enviar para mim e eu incluo ele nos arquivos > da lista. Ok, o arquivo que você me mandou está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/Wiles.pdf Para quem estiver confuso: este arquivo é um dos artigos do Wiles. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ordenação de números primos
On Mon, Jun 14, 2004 at 10:28:48PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Acho q os membros da lista não entenderam o q eu quis dizer no meu último
> e-mail. Tenho já uma fórmula q encontra qq número primo numa sequencia de
> números naturais além de ordenar, podemos prever seu comportamento. Quero
> saber do grupo, q relação essa forma teria com a Hipótese de Riemann??? Qndo
> terminar meu trabalho, colocarei a disposição dos interessados o trabalho
> completo. Quero ter uma opinião do grupo
O Gugu está me dizendo o seguinte:
Seja L2(x) = integral (2 até x) (dx/ln(x)).
Seja Pi(x) o número de primos menores ou iguais a x.
A Hipótese de Riemann é equivalente a dizer que, para todo C > 1/2,
lim_{x -> infinito} |Pi(x) - L2(x)|/(x^C) = 0.
[]s, N.
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[obm-l] O problema das pesagens
On Thu, Jun 17, 2004 at 10:21:53AM -0300, Vania Ioott wrote: > Muuito obrigada! > Vania Ioott wrote: > > > Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com peso diferente. Usando uma > > balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero saber qual delas > > tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. > > Aff, mais difícil do que parece inicialmente: Já responderam, mas se você procurar nos arquivos da lista deve encontrar a versão geral: Dadas n bolinhas com uma diferente das outras, determine f(n), o número mínimo necessário de pesagens em uma balança de dois pratos para determinar qual é a que tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. e a variação: Dadas n bolinhas com uma diferente das outras, determine g(n), o número mínimo necessário de pesagens em uma balança de dois pratos para determinar qual é a que tem peso diferente (sem necessariamente determinar se esta é mais leve ou mais pesada que as outras). A resposta é f(n) = teto(log3(2n+2)) e g(n) = teto(log3(2n)). Aqui log3(x) significa logaritmo na base 3 de x e teto(x) é o menor inteiro maior ou igual a x. Em particular, com 13 bolinhas ainda é possível determinar qual é a diferente mas é impossível garantir que você sempre saiba se ela é mais pesada ou mais leve. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema das pesagens
On Wed, Jun 16, 2004 at 08:46:07PM -0300, Guilherme Carlos Moreira e Silva wrote: > tem um jeito de descobrir se o lado que sobe à que tem uma bola mais leve das > demais ou se à a que desce que tem uma mais pesada? > > Maurizio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Pese 3 de cada lado e deixe 6 de lado > Se igualar a diferente està num das 6 > Pese 2 a 2 dessas 6 > se der igual a bola diferente està numa das outras 2 guardadas > agora dessas 2 restantes, pegue uma e compare com qualquer uma das > outras bolas q sabe q tem peso padrao > se der igual a bola diferente à a que nao pesou ainda, mas nao achei > forma de descobrir se esta à mais ou menos pesada que as outras. De fato ï possïvel mostrar que a primeira jogada no problema das pesagens com 12 moedas *deve* ser com 4 moedas em cada prato se vocï pretender responder em 3 pesagens. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
On Sat, Jun 19, 2004 at 07:25:47PM -0300, claudio.buffara wrote: > Serah que nao podemos achar inteiros a e b tais que o homomorfismo: > F: Z[t] -> Q(raiz(2)) dado por F(p(t)) = p((a+b*raiz(2))/3) > tem como imagem Z[raiz(2),1/3]? > > Se pudermos, entao Ker(F) = (9x^2 - 6ax + a^2 - 2b^2) serah o ideal procurado. Basta tomar a = 0 e b = 1. Ou seja, Z[sqrt(2)/3] = Z[sqrt(2), 1/3]. De fato, basta mostrar que sqrt(2)/3 pertence a Z[sqrt(2), 1/3] (fácil) sqrt(2) pertence a Z[sqrt(2)/3] (fácil) 1/3 pertence a Z[sqrt(2)/3] (1/3 = 1 - 3*(sqrt(2)/3)^2). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cadê o administrador da lista?
On Mon, Jun 21, 2004 at 10:37:12AM -0300, João Luís Gomes Guimarães wrote: > Perdoem-me pelo off topic, mas é realmente importante. É que escrevi, no > sábado, para o moderador da lista a respeito de um spam que recebi utilizando > essa lista, e como não obtive resposta, fiquei pensando se ele recebeu. Por > favor, escreva-me, ok? O administrador da lista sou eu. Participar de listas de discussão torna o seu e-mail mais visível para os spammers. Eu mesmo recebo toneladas de spam e sinto muito que você também esteja recebendo. Escreva por for da lista, svp. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade
On Tue, Jun 22, 2004 at 12:47:27AM -0300, Bruno França dos Reis wrote: > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- > Hash: SHA1 > > On Tuesday 22 June 2004 00:01, Eduardo Soares wrote: > > Em um programa de Tv um expectador possui o direito de escolher uma entre 3 > > portas. apenas 1 está premiada. o candidato escolhe 1 e o apresentador > > descarta 1 das que sobrou . qual a maior probabilidade do candidato ganhar > > o premio mudando de porta ou permanecendo com a que ele está? > > Sendo a primeira escolha boa, o que pode acontecer de apenas uma única forma, > a troca será ruim. Sendo a primeira escolha ruim, o que pode acontecer de > duas formas, a troca será boa. Logo, a probabilidade de o candidato ganhar > trocando de porta é 2/3, mantendo sua escolha, tem apenas 1/3. A maior > probabilidade é *mudando* de porta portanto. Resposta correta. A resposta errada comum é dizer que as probabilidades são iguais. Este é o famoso (infame?) problema do bode, também conhecido como Monty Hall. Já foi discutido nesta lista, na Eureka, na RPM e em quase qualquer outro lugar onde se fale de matemática. Forte concorrente a segundo problema que mais aparece por aqui (o primeiro lugar disparado é se 0.999... é ou não igual a 1). Se você procurar por Monty Hall no Google encontrará um monte de histórias. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] n^i
On Sun, Jun 20, 2004 at 11:50:09PM -0300, Eduardo Henrique Leitner wrote:
> alguém pode me dizer qual é o sentido de elevar algum numero à unidade
> imaginária?
>
> n^i??
>
> se nao ouver sentido, daonde surgiu esses teoremas:
>
> cos (theta) = {e^[i(theta)] + e^[-i(theta)]}/2
>
> sen (theta) = {e^[i(theta)] - e^[-i(theta)]}/(2i)
A função exponencial e^z é definida para qualquer número complexo z = a+bi
como e^z = e^a cos b + i e^a sen b. Esta definição é a única usual,
ela preserva várias propriedades importantas da exponencial,
entre elas e^(z+w) = e^z e^w e é também a única que respeita vários
conjuntos razoáveis de propriedades. Por exemplo, esta é a única forma
de estender a exponencial real para obter uma função derivável no sentido
de variáveis complexas. Você também pode usar a série de Taylor para
obter esta definição de exponencial complexa, ou dizer que exp é a única
função f derivável nos complexos satisfazendo f(0) = 1 e f'(z) = f(z)
para todo z.
Se a base for outro número real positivo c, definimos c^z = exp(z log(c))
onde este log é tomado na base e. Para responder especificamente a sua
pergunta, definimos
n^i = cos(log(n)) + i sen(log(n)).
[]s, N.
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] semi-off: numeros aleatórios
On Tue, Jun 22, 2004 at 11:41:25PM -0300, Guilherme wrote: > Vale lembrar que mesmo as fontes de rádio captadas da Terra vêm de > fontes não aleatórias. Estou para ver números REALMENTE aleatórios > (talvez o decaimento de substâncias radioativas). Estas afirmações são bastante discutíveis. Será que não existe nenhum efeito quântico envolvido nestas fontes de rádio? Se houver, estes bits talvez sejam tão "realmente" aleatórias quanto os que vêm do decaimento de substâncias radioativas, não? Outro semi-off: o Sergio Volchan escreveu um excelente artigo sobre números aleatórios na Monthly: Volchan, Sérgio B., What is a Random Sequence?, American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 1 January 2002, pp 46-63 []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Correção
On Fri, Jun 25, 2004 at 01:44:34PM -0300, claudio.buffara wrote: > > A questão certa é : Prove q o numero ( n^n^n^n - n^n^n ) é divisivel por > > 1989. > É pra provar que isso vale para todo n inteiro positivo? > > Espero que não, pois 2^2^2^2 = 2^2^4 = 2^16 = 65536 e 2^2^2 = 2^4 = 16. > Mas 65536 - 16 = 65520 não é divisível por 1989. Por outro lado, n^n^n^n - n^n^n é sempre divisível por 65520, como pode ser demonstrado facilmente usando congruências. Também é verdade que n^n^n^n^n^n - n^n^n^n^n é sempre divisível por 1989. (Aqui "sempre" significa, é claro, para todo n positivo). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ARROGÂNCIA DA LÓGICA!
On Fri, Jun 25, 2004 at 08:20:48PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > OK! Rafael, Guilherme e demais colegas! Meu problema favorito para mostrar a > arrogância da lógica é um copo de óleo ao lado de um copo de vinagre. Pegue > uma colher de óleo e misture no copo de vinagre. A seguir, pegue uma colher > da mistura e coloque de novo no copo de óleo. A pergunta é se agora temos > mais óleo no copo de vinagre ou mais vinagre no copo de óleo. A lógica se > apressa em apontar que uma troca de óleo puro por uma mistura deve deixar > mais óleo no copo de vinagre. Mas a lógica está completamente errada. No > entanto, muita gente inteligente vai sustentar com extraordinária certeza > esta conclusão que foi atingida pela lógica. Edward de Bono sofisticou o > problema com a seguinte indagação. Desta forma o copo que continha > inicialmente apenas óleo, ficou com mais óleo ou de vinagre com mais óleo? Eu discordo completamente de que isso deva ser chamado de "arrogância da lógica". Pode ser arrogância de alguns indivíduos, talvez. Mas é incorreto dizer que "a lógica está errada". De qq maneira a resposta que você provavelmente conhece é a seguinte. As quantias são obviamente iguais, pois os volumes totais foram preservados assim o que há de óleo no vinagre corresponde exatamente (em volume) ao que há de vinagre no óleo. Ora, este raciocínio está quase certo mas não exatamente certo: não existe lei de conservação dos volumes e ao misturarmos, digamos, 0.01 litros de óleo a 1.00 litros de vinagre teremos aproximadamente 1.01 litros de mistura, mas certamente não exatamente 1.01 litros. > A propósito, alguém já tem a resolução do volume que restou da esfera após o > furo cilíndrico de 6 cm de altura? A área de uma seção horizontal é um polinômio de grau 2 que, surpreendentemente ou não, independe do raio da bola original. Assim, por Cavalieri, o volume pedido é o volume de uma bola de raio 3 cm. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] pesquisa (TOTALMENTE OFF-TÓPIC)
On Mon, Jun 28, 2004 at 02:25:27AM -0300, Osvaldo wrote: > Osvaldo Mello Sponquiado, 19 anos, estudante de > engenharia elétrica, me apaixonei pela matemática > quando li " O homem que calculava ", na sexta série do > ensino fundamental. > > > Em 25 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > saulo, 26 anos, engenheiro aeronautico, comecei a > gostar de matematica desde > > que eu comecei a estudar matematica, 8 anos. > > >Olá a todos! > > > Estou no segundo ano de faculdade de matemática e > farei um projeto sobre o > > desenvolvimento matemático de pessoas que "ao acaso" > começaram a começar a > > gostar de matemática, como aconteceu comigo. > > > Se não for incomodar, gostaria que me auxiliassem > respondendo às seguintes > > questões: Como moderador da lista, gostaria de pedir que as respostas a esta pesquisa sejam enviadas diretamente ao organizador; ele pode mandar os resultados depois para a lista mas acho claro que não há necessidade de que todos nós vejamos cada "voto". []s, N. ===== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinômio_Errata
On Tue, Jun 29, 2004 at 11:56:26AM -0300, Lista OBM wrote: > Faltou a palavra abaixo em vermelho Nem todo mundo usa o mesmo programa para ler e-mail. Eu, por exemplo, sï vejo o Subject em vermelho. Se vocï desejar que todos leiam a sua mensagem, use sinais como > ou ^ para marcar o texto, por favor. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Decisão
On Tue, Jun 29, 2004 at 02:30:59PM +, Daniel Regufe wrote:
> Afinal ... vcs nao finalizaram a resposta
>
> Qual q vcs marcariam nessa questão jah q ele nao deu o campo q quer q seja
> trabalhado...
>
> De a imagem de f(x) = 1/x
> A) R - {o}
> B) Nao podemos afirmar
>
> Quero saber se quando ele nao diz nada sobre o campo, eu posso falar q eh
> nos reais ... ??
>
> Gostaria de suas opiniões pois isso deu um rolo no meu curso e quero tirar
> a prova concreta daqui.!
Para mim isto é uma questão mal formulada.
Se eu estivesse na banca não aceitaria esta questão com este enunciado.
Se eu estivesse prestando a prova (como aluno) eu marcaria a opção (A)
mas achando que a questão deveria mesmo ser anulada.
Aliás, o que você quer dizer com "campo"? Será que você está traduzindo
"field" para "campo"? Se for isso, não é usual, o usual é "corpo".
E de qualquer maneira, quam disse que há um corpo em jogo?
[]s, N.
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Re: [obm-l] PARADOXO DO EXAME!
On Sat, Jul 03, 2004 at 09:32:40AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > O diretor de uma escola anuncia aos seus alunos que haverá um exame inesperado > na semana seguinte, isto é, em qualquer dia entre segunda-feira e sexta-feira. > Os estudantes, que parecem constituírem um grupo invulgarmente sofisticado, > assinalam ao diretor que, a menos que ele transgrida os termos do seu próprio > aviso e não pretenda realizar um exame inesperado, algum dia da semana > seguinte, tal exame não pode ter lugar. Este é um paradoxo bem interessante e há vários bons artigos escritos sobre ele, inclusive um numa Monthly. A explicação mais simples (para mim) começa perguntando exatamente o que significa a palavra "inesperado", ou, nas outras versões que eu já vi do paradoxo, o que significa "surpresa". Se a palavra for tomada no sentido comum então teríamos que levar em conta a possibilidade dos alunos esquecerem o aviso, ou a possibilidade deles serem neuróticos e todo dia acharem que o exame é *hoje*, e por aí vai, e o raciocínio dos alunos não se aplica. O raciocínio supõe alunos idealizados que acreditam totalmente no diretor e que tiram todas as conclusões lógicas corretas e apenas estas, e que a prova será surpresa se estes estudantes idealizados, no dia da prova, não tiverem dados suficientes para provar que a prova será *hoje*. Ora, para formalizarmos esta idéia do estudante idealizado precisamos definir formalmente "surpresa" (ou definir o que é que o estudante não deduz) e o nó está em que o raciocínio do estudante usa como dado essencial que o diretor disse que a prova será surpresa. Ou seja, não podemos definir surpresa sem antes termos uma definição de surpresa. Este paradoxo a meu ver é análogo àquele em que definimos N como: o menor natural que não pode ser definido em menos de 100 caracteres. Ora, como só há um número finito de frases com menos de 100 caracteres há obviamente muitos naturais que não podem ser definidos por tais frases e portanto há um menor deles, então N parece estar muito bem definido e, aí reside o paradoxo, parece ter sido definido em menos de 100 caracteres. A resposta (ou pelo menos, uma resposta) é que "pode ser definido" não é um conceito tão bem definido quanto parece a primeira vista. O conceito de "surpresa" também não está tão bem definido quanto parece. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Classificação de Grupos
On Sat, Jul 03, 2004 at 03:33:16PM -0300, Lista OBM wrote:
> estou com dificuldades em classificar todos os grupos de ordem atï 11.
> Gostaria de saber se alguïm poderia me ajudar.
Alïm de um grupo cïclico de cada ordem, temos Z/(2) + Z/(2),
Z/(4) + Z/(2), Z/(2) + Z/(2) + Z/(2), Z/(3) + Z/(3),
os grupo diedrais de ordens 6, 8 e 10 e o grupo {+-1,+-i,+-j,+-k}
dos quatïrnios. Nïo ï muito difïcil provar que estes sïo os ïnicos.
ï mais interessante classificar os grupos de ordem 12: hï 5 deles.
[]s, N.
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Re: [obm-l] sequencia
On Mon, Jul 05, 2004 at 11:16:38PM -0300, claudio.buffara wrote:
> > Alguem se habilita a descobrir o proximo termo da sequencia?
> > 1 . 11 . 21 . 1211 . 111221 . ?
> >
> >
> Com relacao a sequencia acima, repito aqui dois problemas nao muito dificeis
> que propuz ha algum tempo e que nao deram o menor ibope na epoca:
>
> 1. Prove que qualquer termo da sequencia usa apenas os algarismos 1, 2 ou 3 e
> que, em cada termo, ha no maximo 3 algarismos adjacentes iguais.
Outro problema mais difícil é o seguinte: seja a_n o número de algarismos
do n-ésimo termo da seqüência: a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 2, a_4 = 4, ...
Calcule lim_{n -> infinito} (a_n)^(1/n).
Você pode encontrar as referências a partir da Enciclopaedia of Integer
Sequences:
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A005150
[]s, N.
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Re: [obm-l] AJUDA
On Mon, Jul 05, 2004 at 09:16:51AM -0300, Andre wrote: > Quando fazemos a seguinte operação: > > *123 + 132 + 213 + 231 + 312 +321 = 177600 (soma de todos os nº de 3 > algarismos distintos formados com 1,2,3) Deve haver um erro de digitação aqui: 123 + 132 + 213 + 231 + 312 +321 = 1332. > *Agora fazendo soma de PA dá o mesmo resultado, onde a1=123 e a6=321 Acho que você está observando que a média entre todos os números 123, 132, ..., 321 é 222, a mesma que a média entre o menor e o maior número. > POR QUE ISSO ACONTECE? Basta fazer a média casa a casa: na casa das centenas, por exemplo, aparecem os algarismos 1, 2 e 3 com igual freqüência, logo a média é 2. O mesmo acontece com a casa das dezenas e das unidades. > OBS: Podemos expandir essa soma, ex: 1,2,3,4 ou 5,6,7,8,9 ... basta que os > nº estejam em sequência. Se os números não estiverem em seqüência ainda vale um raciocínio parecido, o único que não ocorre é que a média seja a média dos extremos. Ou melhor, ainda temos a média dos extremos desde que a seqüência tenha uma simetria central. Por exemplo, se tomarmos os algarismos 1, 4, 5, 8 então a média dos 24 números 1458, 1485, ..., 8541 é a média entre 1458 e 8541. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
