Pensei na seguinte solução usando congruência de triângulos
1. Pela condição do perímetro podemos deduzir que PQ=PB+QD
2. Estique o segemento AB até o ponto T tal que BT=QD, então os triângulos
TBC e QCD são congruentes pelo caso L.A.L.; e portanto concluimos que
CT=CQ. Notemos também que PT=PQ
3. Calculemos o ângulo TCQ. Este é igual a TCB+BCQ, mas como TCB=QCD (pela
congruência do ponto 2), então TCQ=QCD+BCQ=90
4. Finalmente notemos que os triângulos TCP e PCQ são congruentes pelo caso
L.L.L, e portanto os ângulos TCP e PCQ são iguais, e como ambos somam 90,
cada um deve ser 45
Julio
2018-04-02 16:36 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
> Tudo bem.
> Mas minha dúvida é outra: como/por que você pensou em usar a
> circunferência centrada em C e passando por B e D?
>
> Este é um dos temas que mais me interessa em matemática: de onde vêm as
> idéias não óbvias?
> Inspiração divina?
> Experiência ("já vi algo parecido antes")?
> Muita transpiração?
>
> Pois, neste problema, após chamar AP de x e AQ de y, minha primeira
> tentativa foi usar Pitágoras para determinar CP e CQ e daí usar a lei dos
> cossenos pra determinar o ângulo PCQ. Caí num emaranhado algébrico.
> Daí, me ocorreu a ideia de calcular PCQ como sendo 90 - (PCB + QCD) e, ao
> fazer isso, percebi que tan(PCB) = 1-x, etc... Com um pouco de
> trigonometria e álgebra, cheguei à resposta.
>
> Mas, a meu ver, a solução mais elegante é a que usa o círculo. Só que não
> é óbvio, a priori, que aquele círculo ajuda.
>
> Mesmo levando em conta que, pelo enunciado, o ângulo PCQ provavelmente
> deve ter medida invariante, independentemente de AP e AQ, ainda assim não é
> óbvio (pelo menos pra mim) que o círculo mata o problema. Por outro lado,
> se o ângulo PCQ tem medida invariante, então tomando o caso extremo P = B e
> Q = A (portanto, o triângulo APQ é degenerado) constatamos facilmente que
> PCQ (no caso, ACB) deve medir 45 graus.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-04-02 16:13 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Da para fazer uma prova por absurdo.
>> Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a
>> tangente e vai chegar em um absurdo.
>>
>> Abraco
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia caros colegas.
>>>
>>> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
>>> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
>>> circuito ABCD ).
>>>
>>> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>>>
>>> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e
>>> AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
>>> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
>>> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
>>> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
>>> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
>>> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
>>> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>>>
>>> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
>>> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>>>
>>> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>>>
>>> Abraço.
>>>
>>> Cláudio.
>>>
>>>
>>>
>>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>>> nome de *Douglas Oliveira de Lima
>>> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
>>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>>> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>>>
>>>
>>>
>>> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
>>> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>>>
>>>
>>>
>>> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre
>>> os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
>>> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ.
>>>
>>>
>>>
>>> Um abraço
>>>
>>>
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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