Tudo bem.
Mas minha dúvida é outra: como/por que você pensou em usar a circunferência
centrada em C e passando por B e D?
Este é um dos temas que mais me interessa em matemática: de onde vêm as
idéias não óbvias?
Inspiração divina?
Experiência ("já vi algo parecido antes")?
Muita transpiração?
Pois, neste problema, após chamar AP de x e AQ de y, minha primeira
tentativa foi usar Pitágoras para determinar CP e CQ e daí usar a lei dos
cossenos pra determinar o ângulo PCQ. Caí num emaranhado algébrico.
Daí, me ocorreu a ideia de calcular PCQ como sendo 90 - (PCB + QCD) e, ao
fazer isso, percebi que tan(PCB) = 1-x, etc... Com um pouco de
trigonometria e álgebra, cheguei à resposta.
Mas, a meu ver, a solução mais elegante é a que usa o círculo. Só que não é
óbvio, a priori, que aquele círculo ajuda.
Mesmo levando em conta que, pelo enunciado, o ângulo PCQ provavelmente deve
ter medida invariante, independentemente de AP e AQ, ainda assim não é
óbvio (pelo menos pra mim) que o círculo mata o problema. Por outro lado,
se o ângulo PCQ tem medida invariante, então tomando o caso extremo P = B e
Q = A (portanto, o triângulo APQ é degenerado) constatamos facilmente que
PCQ (no caso, ACB) deve medir 45 graus.
[]s,
Claudio.
2018-04-02 16:13 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:
> Da para fazer uma prova por absurdo.
> Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a
> tangente e vai chegar em um absurdo.
>
> Abraco
> Douglas Oliveira.
>
> Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com>
> escreveu:
>
>> Bom dia caros colegas.
>>
>> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
>> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
>> circuito ABCD ).
>>
>> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>>
>> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e
>> AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
>> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
>> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
>> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
>> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
>> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
>> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>>
>> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
>> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>>
>> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>>
>> Abraço.
>>
>> Cláudio.
>>
>>
>>
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>> nome de *Douglas Oliveira de Lima
>> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>>
>>
>>
>> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
>> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>>
>>
>>
>> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre
>> os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
>> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ.
>>
>>
>>
>> Um abraço
>>
>>
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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