Legal! A minha foi diferente (e menos elegante, pois usou trigonometria e bastante álgebra). Com a sua notação, teremos: tan(PCB) = 1-x tan(QCD) = 1-y x+y+raiz(x^2+y^2) = 2
A ideia é determinar PCB+QCD = 90 - PCQ. Usando a fórmula de tan(a+b) e após algumas simplificações, obtemos tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-xy) x+y+raiz(x^2+y^2) = 2 ==> x^2+y^2 = (2-x-y)^2 ==> xy = 2x+2y-2 ==> tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-2x-2y+2) = 1 ==> PCB+QCD = 45 = 90 - PCQ ==> PCQ = 45. *** Agora, não é óbvio que o círculo de centro C e raio 1 tangencia todos os segmentos PQ tais que APQ tem perímetro 2. Como você teve esta ideia? []s, Claudio. 2018-04-02 11:02 GMT-03:00 Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com>: > Bom dia caros colegas. > > Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, > segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o > circuito ABCD ). > > Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. > > Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB > em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao > quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P > ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = > PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se > consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o > mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à > circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. > > Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ > e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. > > Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. > > Abraço. > > Cláudio. > > > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Douglas Oliveira de Lima > *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* [obm-l] Geometria plana > > > > Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma > questão do coelhinho da páscoa que achei legal. > > > > 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os > lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ > seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. > > > > Um abraço > > > > Douglas Oliveira. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient> > Livre > de vírus. www.avast.com > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient>. > <#m_8113871720371556026_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
