Legal!

A minha foi diferente (e menos elegante, pois usou trigonometria e bastante
álgebra).
Com a sua notação, teremos:
tan(PCB) = 1-x
tan(QCD) = 1-y
x+y+raiz(x^2+y^2) = 2

A ideia é determinar PCB+QCD = 90 - PCQ.

Usando a fórmula de tan(a+b) e após algumas simplificações, obtemos
tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-xy)

x+y+raiz(x^2+y^2) = 2 ==> x^2+y^2 = (2-x-y)^2 ==> xy = 2x+2y-2 ==>

tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-2x-2y+2) = 1 ==> PCB+QCD = 45 = 90 - PCQ ==>
PCQ = 45.

***

Agora, não é óbvio que o círculo de centro C e raio 1 tangencia todos os
segmentos PQ tais que APQ tem perímetro 2.
Como você teve esta ideia?

[]s,
Claudio.


2018-04-02 11:02 GMT-03:00 Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com>:

> Bom dia caros colegas.
>
> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
> circuito ABCD ).
>
> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>
> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB
> em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>
> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>
> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>
> Abraço.
>
> Cláudio.
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Douglas Oliveira de Lima
> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>
>
>
> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>
>
>
> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os
> lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.
>
>
>
> Um abraço
>
>
>
> Douglas Oliveira.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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>  Livre
> de vírus. www.avast.com
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