[obm-l] OFF TOPIC - Livro Latex

[niski]

Olá pessoal. Estou vendendo  o livro *A Guide to LATEX: Document 
Preparation for Beginners and Advanced Users (3rd Edition)*
do Helmut Kopka e Patrick W. Daly   
(http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0201398257/ref=pd_bxgy_img_2/102-8491156-1225752?v=glance&s=books)

O livro esta semi novo, é estou vendendo por R$85,00.

Quem quiser basta entrar em contato comigo by mail.
Obrigado a todos
 


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[obm-l] Teste

[Eduardo]

É só um teste para verificar se, ao configurar o Word como
editor de e-mail, as expressões em “equation”  também são legíveis.

 

 



 

 








oledata.mso
Description: Binary data

[obm-l]

[basketboy_igor]

1° - Adquiri um exeplar de um livro de matemáatica da 
editora Mir ( Selected Problems in Elementary 
Mathematics, Arithmetic and Albegra), digamos, por um 
lapso de sorte parou nas minhas mãos.
Aproveitando a sorte, fui estudá-lo e empaquei na 
seguinte questão envolvendo números complexos e gráfico:
"Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that 
1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that 
if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the 
complex plane by the vertices of a convex n-gon then the 
number Z is represented by a point lying inside that n-
gon."
P.S. Prefiri deixar em inglês p/ não sofrer erros de 
contextualiazão na tradução.
Como eu não compreendi a solução vinda com com o livro, 
gostaria de saber se existe uma solução concebível.

2° - Alguém poderia me informar se existe um exemplar de 
geometria plana e espacial da editora Mir? E se conhece, 
onde poderia comprar ou encomendar?














"Cogito ergo sum. (I think; therefore I am.)"
- Rene Descartes (Renatus Cartesius)


"Quod erat demonstrandum". (Que se devia demonstrar em 
Latim)

 
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Re: [obm-l] triângulo

[Felipe Gastaldo]

Prezado amigo fael para este problema uma possivel
solução seria:
Tendo o lado BC e o AC e o angulo beta pela lei dos
cossenos vem que: AC*2=BC*2+BA*2-2.CB.BA.cosbeta
sendo o AB o lado que queremos achar então fica:
49=64+AB*2-2.8.AB.1/2 dai sai que AB=3 ou AB=5
enatão para AB= 3 tem-se:
S=BC.AB.senbeta/2, então S=6. raiz de (3) m*2
ou para AB=5 tem-se 
com o mesmo raciocinio
S`= 10. raiz de (3) m*2
Espero que entenda
um abraço
Felipão



 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Olá pessoal,
> 
> Veja esta questão:
> 
> (MAUÁ-SP)
> 
> No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta=
> ABC=60º. Determine a área do 
> triângulo.
> 
> resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2
> 
> Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC.
> Eu tentei aplicar a lei da 
> área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor
> de BA. Sendo assim eu 
> tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo
> 7/sen60º =BA/sen C daí 
> aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu
> tentei aplicar a lei dos 
> cossenos para achar   
> o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para
> depois calcular o sen C pela 
> relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não
> dá para aplicar a lei dos 
> cossenos, pois não é dado BA. A partir disso
> entra-se num ciclo vicioso. Será 
> que não está faltando nem um dado?
>  

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[obm-l] ajuda

[Paz2001terra]

Duas equipes disputam entre si uma série de jogos em que não pode ocorrer empate e as duas equipes têm as mesmas chances de vitória. A primeira equipe que conseguir duas vitórias seguidas ou três vitórias alternadas vence a série de jogos. Qual a probabilidade de uma equipe vencer a série de jogos com duas vitórias seguidas?

RES: [obm-l] Problema 02

[Eduardo]

Verifique esta "solução", ou pelo menos o início...

Bem, a posição do garoto quando a garota sobe na roda gigante e quando desce
é a mesma..., se a garota deu 20 voltas o garoto deu 20 voltas mais a
diferença inicial, de 6 cadeiras...o resto é conta.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco
ferreira
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 21:18
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Problema 02

Um casal de namorados foi a um parque de diversões. A
roda-gigante tem 10 cadeiras e 8 m de raio. O garoto,
que foi o primeiro a entrar, sentou-se na cadeira
número 1. A garota sentou-se na cadeira número 7 e
desceu depois de dar 20 voltas completas. Quantos
metros o garoto percorreu, do instante em que subiu no
brinquedo até o momento em que a garota desceu?
pi: 3,14

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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Artur Costa Steiner]

> Caro Artur,

> 

> 

> Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que
f'(z) nao

> seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3
tem por

> derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh
minimo da

> derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a
origem. Acho

> que a prova esta correta.

> 

> 

> Abraco,

> 

> Salvador

 

OK, de
fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente me confundi na
sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? 

 

Eu
conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como
contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x<>0, e 0 se x=0. (não sei
como que ele sacou esta função). 
Verificamos que f’(0)=0. Verificamos também que f é positiva para
x>0 e negativa para x<0, do que deduzimos que não existem x e y que
satisfaçam à condicão procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em
qualquer vizinhança de 0 f’ assume valores positivos e negativos, de modo
que f’(0)=0 não é ponto extremo de f’. 

 

Um abraço

Artur

[obm-l] Problema 02

[elton francisco ferreira]

Um casal de namorados foi a um parque de diversões. A
roda-gigante tem 10 cadeiras e 8 m de raio. O garoto,
que foi o primeiro a entrar, sentou-se na cadeira
número 1. A garota sentou-se na cadeira número 7 e
desceu depois de dar 20 voltas completas. Quantos
metros o garoto percorreu, do instante em que subiu no
brinquedo até o momento em que a garota desceu? 
pi: 3,14

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RE: [obm-l] um probleminha

[leandro]

Elton,

Eu pensei assim: Quando cada uma das pessoas senta na gangorra, temos
associado um Torque devido ao peso do Pablo e o Torque associado ao peso
de Rosa. Para haver equilibrio, o torque resultante deve ser nulo.
Portanto,

T1 - Torque associado ao peso de Pablo
T2 - Torque assosciado ao peso de Rosa. 

P1 - Peso de Pablo => P1 = m1.g
P2 - Peso de Rosa=> P2 = m2.g 

D1 = distancia de Pablo ao centro
D2 = Distancia de Rosa do Centro. 

g - Aceleracao da gravidade. 

T1=T2
P1.d = P2.d
M1.g.d1 = m2.g.d2

D2 = m1d1/me = 1.28m.

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of elton francisco
ferreira
Sent: Thursday, February 06, 2003 9:30 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] um probleminha

olá pessoal da OBM-l

  não consigo achar nem um desses resultados das
alternativas o mais próximo q conseguí foi 1,22. Será
q vcs podem me ajudar?!



Pablo tem 64 kg de massa e Rosa 80 Kg. Numa gangorra
pablo senta-se a 1,6m do centro de apoio. Para que a
gangorra fique em equilíbrio, a que distancia do
centro Rosa deve sentar-se?

1,65
1,30
1,28
1,00



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[obm-l] Problema 01

[elton francisco ferreira]

A circunferencia de um relógio mede 37,68. Qual é a
mdida do menor arco formado pelos ponteiros de um
relógio as 4h? e do arco maior?

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[obm-l] Uma Proposta

[Eduardo]

Não 
sei com quem, ou comoé possível criar uma lista paralela? 

 
Não 
que seja ruim esclarecer alguns tópicos de Vestibular ou concurso. Eu não me 
incomodo (mesmo) em participar de uma lista onde hajam exercícios de 
vestibular (mesmo por que conheço uns...), além disso, dou aula em 
cursinhos...mas me parece que o proposito aqui é outro, trata-se de uma lista 
com exercícios bem mais sofisticados...e eu gostei muito 
disto
 
Não 
sei se é certo haver alguns tipos de colocações que possam subestimar, existem 
matemáticos de altíssimo nível aqui, alguns, inclusive, já me deram aula ou 
palestra; um colega da lista a pouco enviou um mail sentindo-se muito malnão 
que tenha sido efetivamente subestimado, mas por não estar acostumado com frases 
do tipo, "facilmente demonstrável"...Sei lá...poderia haver alguns níveis de 
lista, a pessoa ingressaria naquela que julgasse ser a sua. Tem muita gente que 
ingressa aqui com nível médio de escola pública... e tá muito afim de aprender, 
tem gente aqui que se esforça muito para responder dúvidas, sem ganhar 
absolutamente nada...tem muita gente com boa vontade aqui...recebi uma resposta 
muito boa sobre uma construção geométrica que não saía, depois de ver resolvida 
pareceu-me elementar...mas só depois de ver resolvida. Devemos entender que a 
matemática pode e deve ser pra todos, este fórum, tem em sua abertura, uma frase 
"esta lista se destina aos interessados em matemática - professores e 
alunos"...
 
Estamos realmente colaborando para que não haja represamento de 
conhecimento?
 
Acabei 
de ingressar, mas senti um certo "calor" em algumas respostas dadas ou 
colocações posso estar errado, como disse, acabei de ingressar na 
lista.
 
Abraços 
 
Edu.
 

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Eduardo Casagrande 
  StabelEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
  19:22Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Re: 
  [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo
  É uma piada do Morgado!
  Na lista tem aparecido muitas e muitas questões 
  de vestibulares e concursos com gabarito incorreto...
  
- Original Message - 
From: 
Eduardo 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 
PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: 
[obm-l] triângulo

Caro Morgado,
 
Não entendi...
 
 
Abraços
 
Edu

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. 
  MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
  16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  Re: [obm-l] RES: [obm-l] triânguloSo para comentar 
  que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote:
  

Olá,
 
Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema 
dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado 
AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 
1/2absenB com os dois valores encontrados 
anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em 
  nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada 
  em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  Re: [obm-l] triângulo
  
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 

  
Olá pessoal, Veja 
esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 
7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. 
resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem 
tudo no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce 
acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a 
area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os 
outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo 
citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ 
S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu 
tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º 
=BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu 
tentei aplicar a lei dos cossenos para achar    o cos 
C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C 
pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para 
aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso 
entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um 
dado? 
  
  
  Busca Yahoo! O 
  serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
  encontra.

Re: [obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias

[Domingos Jr.]

não vai ao menos nos dizer qual é a solução do 
Tengan?

  - Original Message - 
  From: 
  Johann Peter Gustav Lejeune 
  Dirichlet 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 12:40 
  PM
  Subject: [obm-l] Como se leva algo as 
  ultimas consequencias
  
  Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu na IMO 
  de Cuba.
  Seja f(x)=x²+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x vai de zero 
  ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2.
  Uma soluçao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra como ser 
  destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima 
  consequencia.
  TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
  CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
  Fields Medal(John Charles Fields)
  
  
  Busca Yahoo! O serviço de 
  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
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[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo Casagrande Stabel]

É uma piada do Morgado!
Na lista tem aparecido muitas e muitas questões de 
vestibulares e concursos com gabarito incorreto...

  - Original Message - 
  From: 
  Eduardo 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 
  PM
  Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: 
  [obm-l] triângulo
  
  Caro 
  Morgado,
   
  Não 
  entendi...
   
   
  Abraços
   
  Edu
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. 
MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
Re: [obm-l] RES: [obm-l] triânguloSo para comentar que, 
surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote:

  
  Olá,
   
  Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema 
  dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, 
  vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 
  1/2absenB com os dois valores encontrados 
  anteriormente.
   
  Espero ter ajudado.
   
  Edu
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em 
nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: 
sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
Re: [obm-l] triângulo

 [EMAIL PROTECTED] wrote: 

  Olá pessoal, Veja 
  esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 
  7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. 
  resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
  Deixa eu ver...ce tem tudo 
  no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o 
  seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce 
  precisa de um angulo que e 180 menos todos os 
  outros.Cabou!!!"!!
  Obs: O triângulo citado 
  é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ 
  S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu 
  tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen 
  C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei 
  aplicar a lei dos cossenos para achar    o cos C, pois é 
  dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao 
  fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos 
  cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo 
  vicioso. Será que não está faltando nem um dado? 



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[obm-l] Re: [obm-l] funções contínuas, monótonas, patológicas...

[Eduardo Casagrande Stabel]

From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>
> Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um
assunto,
> ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente,
> tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre
com
> uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para
definir
> o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não
teria
> a conotação pejorativa de uma pizza.
>
> Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas
> comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto
> perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um
> dogmático "... e isso é facilmente demonstrável".

Desta lista participam muitos matemáticos de alto nível, e muitas pessoas
que tem grande experiência com problemas de matemática. É natural que
existam jargões comuns do meio matemático. E os mais comuns são "trivial",
"fácil de mostrar", "é elementar", que algumas vezes (nos piores casos)
substituem um trecho em que o escritor não sabe resolver o problema mesmo
;), ou - o mais geral - é um recurso de linguagem para evitar longas
explicações. O ruim dessa história, é que quem não tem o costume de ler
textos escritos por matemáticos, fica chateado quando não entende um trecho
desses. Eu também, no começo, ficava um pouco indignado, você pode ver isso
no histórico da lista. Uma coisa é certa: você vai ter que se acostumar com
esse tipo de frase, pois todo mundo fala. Se você quer fazer a matemática um
pouco mais acessível a todos os iniciantes, nunca pegue a mania de dizer
essas frases, o prejuizo será na quantidade de texto que você vai ter de
escrever.

> Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no
> início desta mensagem.
>
> Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era
> algo do tipo "Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e
f(b)>f(a),
> então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em
> [a,b]".
>
> O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria
> que a proposição é obviamente verdadeira.

E surpreendentemente ela é falsa! Nem tão surpreendente para os matemáticos
e aprendizes mais experientes, que já se depararam com coisas mais malucas.

> Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente
> crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que
aprendi
> como sendo monótona crescente.

Existem vários sinônimos. Acho que a regra é

* monótona crescente, crescente ou estritamente crescente = "x < y implica
f(x) < f(y)"
* não decrescente = "x < y implica f(x) <= f(y)"

> No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira
> não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também
> diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua.
> Não responderam.

Essa foi uma sugestão para CORRIGIR aquela proposição. Eu, particularmente,
não tentei corrigi-la para uma outra proposição, mas tentei mostrar que ela
é falsa. Outros disseram explicitamente exemplos, eu só dei uma sugestão de
algo que li no livro do Ralph Boas, mas que talvez não fale desse problema.

Se você pergunta o que é Função Contínua, não deve estar acostumado com
muitos outros conceitos e resultados que se relacionam a esse assunto. Eu
recomendo que você estude um livro de Análise Real, como o do Elon Lages
Lima. O conceito de função contínua num ponto c de seu domínio é o seguinte:

* para todo e>0 existe um d>0 tal que |c-x| Apresentaram um contra-exemplo - uma função "patológica" - para provar que
a
> proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar
que
> a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam
> sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função
patológica,
> sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui.

Eu não tenho certeza se a figura que é gerada no plano é sempre um fractal
(de dimensão não inteira). Outra pessoa teria de explicar, me falta
conhecimento... mas eu *acho* que tem a ver sim. É como a costa de um
continente, não importa o quanto você aproxima ela é sempre serrilhada, com
indas e vindas, apesar de  ser contínua...

> O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a
> observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo
> diferença alguma entre f(x) e g(x).

Você deve estar se referindo a mensagem

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200302/msg00053.html

do Nicolau. Ele dá um esboço de demonstração, eu não sei também como
preencher os detalhes. O Nicolau, assim como outros da lista, é um
pesquisador ocupado e não necessariamente vai ficar destrinchando todos os
detalhes do que diz. Tente ser compreensivo.

> O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para
o
> décimo andar de um edifício sem ter que subir qual

RES: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

O 
problema é que a probabilidade de um evento depende também do que você **sabe** 
sobre o evento. Quando eu ensino probabilidade, eu faço a seguinte experiência 
em sala: eu jogo 2 moedas ao alto, e escondo-as atrás das minhas mãos; eu vejo 
ambas, deixo UM aluno (João) ver uma delas, e os outros alunos não vêm o 
resultado.
 
Aí eu 
pergunto: qual é a probabilidade de ter dado duas Caras? (Suponha que os 
lançamentos são "aleatórios" e a moeda é "justa".)
 
Pro 
aluno que não vê nada, a probabilidade é 1/4. Para João, é outras coisa (1/2 ou 
0, dependendo do que deu). Para mim, é 0 ou 1, já que eu sei o que aconteceu. 
Estamos falando do mesmo evento, mas as "probabilidades" são distintas! Aliás, 
do meu jeito de pensar, não é que **a** probabilidade "mudou" -- a pergunta é 
que mudou.
 
Então, 
se **você** espiar dentro da caixinha, a probabilidade da primeira bala ser ANIS 
**para MIM** continua sendo 1/5, mas para você possivelmente 
mudou. Não é tanto que a probabilidade depende da distribuição de 
balas lá dentro, mas ela depende de SABER a distribuição de balas lá 
dentro.
 
Em 
suma:
 
-- 
A probabilidade depende da distribuição dentro do 
pacote?
-- 
Depende, nós vamos olhar? Se sim, depende. Senão, a probabilidade de 1/5 já 
considera o nosso desconhecimento da distribuição dentro do 
pacote.
 
    Abraço,
    
Ralph

[obm-l] problema selecionados

[Daniel Pini]

Olá queria muito saber se alguém aqui desta lista 
conseguiu resolver todos os exercícios do livro Problemas Selecionados de 
Matemática. Porque eu realmente os acho muito difíceis e trabalhosos. 
Daniel.

[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo]

Caro 
Morgado,
 
Não 
entendi...
 
 
Abraços
 
Edu

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. 
  MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
  16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] RES: 
  [obm-l] triânguloSo para comentar que, 
  surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote:
  

Olá,
 
Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos 
co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai 
cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com 
os dois valores encontrados anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em 
  nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: 
  sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  Re: [obm-l] triângulo
  
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Olá pessoal, Veja 
esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, 
BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 
6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no 
triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno 
de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa 
de um angulo que e 180 menos todos os 
outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é 
um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen 
alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a 
lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra 
incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos 
para achar    o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, 
para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 
(x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A 
partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem 
um dado? 
  
  
  Busca Yahoo! O serviço 
  de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

Re: [obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ?

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Duda:

Pra mim, você tem toda a razão. O teorema só vale em geral quando A tem
autovalores distintos (logo, auto-espaços de dimensão 1)- como você mostrou
com seu contra-exemplo -  e o autor deveria ter explicitado esta hipótese ao
invés de tê-la assumido "por conveniência".

É duro ter que se preocupar com estas gafes em livros supostamente
didáticos.

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, February 07, 2003 2:24 PM
Subject: [obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ?


Caros da lista!

Um resultado do livro "Linear Algebra" do Gilbert Strang diz

"If AB=BA, then this matrices share the same eigenvectors. The key step is
to notice that Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Thus x and Bx are eigenvectors
sharing the same L, and if we assume for convenience that the eigenvalues of
A are distinct -- the eigenspace are all one dimensional -- then Bx must be
a multiple of x. In other words x is an eigenvector of B as well as A, wich
completes the proof."

[Se AB=BA, então as duas matrizes possuem os mesmo autovetores. O ponto é
reparar que Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Portanto x e Bx são autovetores
compartilhando o mesmo autovalor L, e se nós assumirmos por conveniência que
os autovalores de A são distintos -- os autoespaços associados são todos
unidimensionais -- então Bx deve ser um múltiplo de x. Em outras palavras, x
é um autovetor de B, o que completa a prova."

Este "por conveniência" deveria ter sido dito como uma das hipóteses, afinal
sem ela o resultado não é correto, pois se

A = [ 1 0 ]
   [ 0 1 ]

B = [ 1 1 ]
   [ 1 1 ]

então AB=BA e para

v =[ 2 ]
 [ 1 ]

tem-se Av = v, mas

Bv = [ 3 ]
[ 3 ]

e v não é autovetor de B.

Onde esta meu erro de interpretação?

Abraço.
Duda.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] Loteria Matematica II

[Paulo Santa Rita]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,


1) A dificuldade do problema e precisamente exibir uma AGMP. E verdade que 
uma AGMP tera exatamente 56 cartoes ( neste caso ). De maneira geral, se P e 
primo e sao sorteados P numeros de {1,2,...,P^2} o total de cartoes de uma 
AGMP sera de P*(P+1), desde que cada cartao tenha exatmente P dezenas ( eu 
nao coloquei as coisas assim para que tudo ficasse mais facil ).

2) Eu conheco tres caminhos para se montar uma AGMP : usando numeros 
binomiais, planos afins ou matrizes. Em verdade, se P e primo, toda potencia 
de P (P^N) permite uma AGMP. A forma matricial e uma generalizacao do 
processo de transposicao de matrizes. Penso que este e o caminho mais 
acessivel pra voce.

Sugestao ( ";" = fim de linha. Modelo : [linha 1 ; linha 2] )

[1,2 ; 3,4],[1,3 ; 2;4],[1,4 ; 2;3]
E uma AGMP para P = 2. Construa AGMP's para P=3,5,... e procure descobrir a 
lei de formacao. E uma generalizacao do processo de transposicao de 
matrizes.

3)Uma "aposta" pode ser um cartao ou varios. O total de triplos que uma 
pessoa acerta e a soma dos acertos de cada um de seus cartoes. Ganha o 
primeiro premio que acertar mais triplos e nao quem tenha o cartao 
individual que acertou mais triplos.

Exemplo :

Joao, 1 cartao : acertou 3 triplos
jose, 2 cartoes : 2 triplos certos no primeiro cartao, 2 triplos certos no 
segundo cartao. Total : 4 triplos.
Vencedor : Jose.

4) A quantidade de triplos apostados de uma AGMP e constante. Existem uma 
quantidade enorme de AGMP's

5) Em verdade, as AGMP's sao estruturas de grande beleza ... considere que 
UM DUPLO e um PEIXE PEQUENO. Uma AGMP seria, assim, uma rede que pega todos 
os duplos, isto e, todos os peixes pequenos, qualquer que seja o sorteio que 
algum *GMM bolar ... E possivel extender essas AGMP's de forma que um 
conjunto de AGMP's se torna uma rede de outra categoria que apanha todos os 
triplos. Um conjunto dessas ultimas pega todos as quadras e assim 
sucessivamente ...

Se voce considerar que um DUPLO e UMA COMUNICACAO e um CARTAO DE APOSTAS e 
uma equipe de pessoas, uma AGMP seria uma rede de comunicacao na qual cada 
duas pessoas estariam juntas uma unica vez em determinada equipe e qualquer 
duas pessoas estiveram ou estarao juntas, tudo isso acontecendo uma unica 
vez ... Quer dizer, voce pode aplicar isso em treinamento, telecomunicacoes 
etc.

Eu nunca li na literatura Matematica alguem falando sobre AGMP's. Eu 
descobri estas coisas ha muito tempo atras, generalizando o conceito de 
transposicao de matrizes, de forma a incluir nesta generalizacao o processo 
de Linnus Pauling para determinacao dos niveis energeticos dos eletrons em 
Mecanica Quantica.

Eu acho que isso e suficiente para voce perceber com que estrutura 
maravilhosa voce esta lidando : basta ter olhos adeguadas pra ver ...

Bom, eu vou ficando por aqui. O meu chefe quer uma planilha simploria pra 
controlar os bug's de hardware.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1712,070203


From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao )
Date: Fri, 7 Feb 2003 16:26:27 -0200

Caro Paulo:

Fiz algumas coisas com relação a este seu problema. Gostaria de 
comentários.
>
>Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de
>{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
>exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes 
desejar
>sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
>aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
>pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>
>1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de 
ganhar
>o primeiro premio
>2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
>

PARTE 1:
Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número
em comum.
Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar
contido em no máximo 1 cartão.

Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade
(agmp).

Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números.
Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M.

O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176.

Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176  ==>  M <= 56.

Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões.

Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não
consegui construir uma.



PARTE 2:
Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é
C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores
também é igual a 35.

Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma
agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos.

Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o
cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior 
soma
dos números de triplos vencedores em cada

[obm-l] RES: [obm-l] Construçao de (a^4 + b^4)^(1/4)

[Eduardo]

Title: Help



Muito 
Obrigado,
 
Tomei 
a liberdade de enviar (recortei e colei) sua resolução para um outro grupo de 
matemática que participo.
 
Eu 
estava resolvendo com tales e relações métricas, mas tive problemase a 
construção não saiu.
 
Abraços
 
Edu 

Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia

[Salvador Addas Zanata]

Um jeito de analisar esses problemas eh o seguinte:


tire o log(2^x*3^y)=xlog(2)+ylog(3).


Ai, da irracionalidade de log(2) e log(3), segue que


log((2^a*3^b)/(2^c*2^d))=(a-c)log(2)+(b-c)log(3), pode ser feita tao
pequena quanto voce quiser, assim a razao dos 2 numeros fica tao proxima
de 1 quanto voce quiser...


Abraco,

Salvador


On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:

> Caro Ricardo:
> 
> Não entendi direito o que você quis dizer.
> 
> Por acaso seria: suponha que os números da forma 2^x * 3^y são colocados em ordem 
>crescente. Então existem termos consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais 
>que um dos números | a - c |  ou  | b - d | é tão grande quanto se queira?
> 
> Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de matemática de R)?
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> 
>   - Original Message - 
>   From: RICARDO CHAVES 
>   To: [EMAIL PROTECTED] 
>   Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PM
>   Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
> 
> 
>   Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o troço tinha 
>termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias.
> 
>   >From: "Cláudio \(Prática\)" 
> 
>   >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
>   >To: 
>   >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia 
>   >Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 
>   > 
>   >Caro Matteus: 
>   > 
>   >Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele 
>   >produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos 
>   >eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,. 
>   > 
>   >Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem 
>   >mais difícil do que eu imaginava. 
>   > 
>   >Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência 
>   >será: 
>   > 
>   >N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 
>   >a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 
>   >6 3 
>   >b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 
>   >0 2 
>   > 
>   >Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem 
>   >crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. 
>   > 
>   >Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente 
>   >ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se 
>   >estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida 
>   >toma o número natural seguinte, e assim por diante. 
>   > 
>   >Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. 
>   > 
>   >Um abraço, 
>   >Claudio 
>   > 
>   >- Original Message - 
>   >From: "Cláudio (Prática)" 
>   >To: 
>   >Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM 
>   >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia 
>   > 
>   > 
>   >Caro Matteus: 
>   > 
>   >O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * 
>   >5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A 
>   >ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) ) 
>   > 
>   >"Input" N 
>   >a = 0 
>   >b = 0 
>   >c = 0 
>   >K = 1 
>   >(***) X(K) = 1 
>   >P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c 
>   >Flag = 1 
>   >Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = 
>   >2 ) 
>   >Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = 
>   >3 ) 
>   >Se Flag = 1 então a = a+1 
>   >Se Flag = 2 então b = b+1 
>   >Se Flag = 3 então c = c+1 
>   >K = K+1 
>   >Se K <= N então Retorna para (***) 
>   >Fim 
>   > 
>   >Espero que isso ajude. 
>   > 
>   >Um abraço, 
>   >Claudio. 
>   > 
>   >- Original Message - 
>   >From: "matteus barreto" 
>   >To: 
>   >Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM 
>   >Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia 
>   > 
>   > 
>   > 
>   >Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma 
>   >fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se 
>   >encontrar o k-esimo numero da sequencia: 
>   > 
>   > 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os 
>   >números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c 
>   >pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. 
>   >Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. 
>   > 
>   >___ 
>   >Busca Yahoo! 
>   >O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
>   >encontra. 
>   >http://br.busca.yahoo.com/ 
>   >= 
>   >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>   >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>   >O administrador desta lista é 
>   >= 
>   > 
>   >= 
>   >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>   >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>   >O administrador desta lista é 
>   >===

Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_séries

[Bruno Lima]

Foi mal; viajei; é que eu realmente havia pensado que 0<=x[k] e independentemente a[k]<=1. 
Com certeza essa explicação do Eduardo resolveu todo o problema.
 Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


A notação 0<=x[k],a[k]<=1 não é das melhores, eu concordo. A minha interpretação é que as duas seqüências, tanto x[k] quando a[k], estão no intervalo [0 , 1]. É claro que se pode interpreta somente 0 <= x[k] e também a[k] <= 1, e aí seu contra-exemplo estaria perfeito. Já se você interpretar como eu interpretei, a seqüência x[k] fica 1, 2, 3, ... que fica fora do intervalo [0 , 1]. Mas é uma questão de notação, pela internet fica difícil de escrever fórmulas.
 
Quando você escreveu "x[k]=k a[k]=1/(ck)" eu não entendi se o k e o a[k] estavam se multiplicando ou não. Foi por isso que escrevi "Se o exemplo do Bruno é o que segue... então...". Só um problema da internet, nada mais.
 
Abração!

- Original Message - 
From: Bruno Lima 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 07, 2003 2:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_séries

Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e que 1. 
 Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 




Caros Bruno Lima e Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno é
 
x[k] = k
a[k] = 1/(ck)
 
então ele não está bom pois não satisfaz a condição 0<=x[k],a[k]<=1.
 
Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um contra exemplo é o seguinte.
 
x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpar
a[k] = 0    se k é PAR e 1 se k é ímpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] = 0 converge
lim a[k] não existe
 
Abraço,
Eduardo.

From: Bruno Lima 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM
Subject: Re: [obm-l] séries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck) 
 [EMAIL PROTECTED] wrote: 
seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.é possível afirmar que lim ak = 0 ?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são feitos, eles nascem---Gabriel Haeserwww.gabas.cjb.net---Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=


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Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Ricardo:
 
Não entendi direito o que você quis 
dizer.
 
Por acaso seria: suponha que os números da forma 
2^x * 3^y são colocados em ordem crescente. Então existem termos consecutivos - 
digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c |  ou  
| b - d | é tão grande quanto se queira?
 
Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de 
matemática de R)?
 
Um abraço,
Claudio.
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  RICARDO CHAVES 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da 
  sequencia
  
  
  
  Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o 
  troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de 
  ideias.
  >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
  >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
  >To: <[EMAIL PROTECTED]>
  >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia 
  >Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 
  > 
  >Caro Matteus: 
  > 
  >Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está 
  furado. Ele 
  >produz uma sequência crescente de números da forma desejada, 
  mas não todos 
  >eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,. 
  > 
  >Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão 
  de que é bem 
  >mais difícil do que eu imaginava. 
  > 
  >Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, 
  a sequência 
  >será: 
  > 
  >N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 
  >a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 
  >6 3 
  >b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 
  >0 2 
  > 
  >Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N 
  em ordem 
  >crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. 
  > 
  >Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo 
  extremamente 
  >ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 
  3 e 5 e, se 
  >estes forem os únicos fatores, adiciona este número à 
  sequência. Em seguida 
  >toma o número natural seguinte, e assim por diante. 
  > 
  >Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. 
  > 
  >Um abraço, 
  >Claudio 
  > 
  >- Original Message - 
  >From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]>
  >To: <[EMAIL PROTECTED]>
  >Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM 
  >Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia 
  > 
  > 
  >Caro Matteus: 
  > 
  >O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 
  2^0 * 3^0 * 
  >5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 
  5^c. A 
  >ordenação é a usual (m < n <==> X(m) < X(n) ) 
  > 
  >"Input" N 
  >a = 0 
  >b = 0 
  >c = 0 
  >K = 1 
  >(***) X(K) = 1 
  >P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c 
  >Flag = 1 
  >Se P > 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e 
  Flag = 
  >2 ) 
  >Se P > 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e 
  Flag = 
  >3 ) 
  >Se Flag = 1 então a = a+1 
  >Se Flag = 2 então b = b+1 
  >Se Flag = 3 então c = c+1 
  >K = K+1 
  >Se K <= N então Retorna para (***) 
  >Fim 
  > 
  >Espero que isso ajude. 
  > 
  >Um abraço, 
  >Claudio. 
  > 
  >- Original Message - 
  >From: "matteus barreto" <[EMAIL PROTECTED]>
  >To: <[EMAIL PROTECTED]>
  >Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM 
  >Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia 
  > 
  > 
  > 
  >Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma 
  >fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se 
  >encontrar o k-esimo numero da sequencia: 
  > 
  > 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os 
  >números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c 
  >pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. 
  >Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais 
  concludentes. 
  > 
  >___ 

  >Busca Yahoo! 
  >O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar 
  o Yahoo! 
  >encontra. 
  >http://br.busca.yahoo.com/ 
  >= 

  >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em 
  >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
  >= 

  > 
  >= 

  >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em 
  >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
  >= 

  > 
  >= 

  >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em 
  >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
  >= 

  
  
  MSN Hotmail, o maior webmail do Bra

Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
  
  
 
  
 
  Olá,
 
   
 
  Bem,  primeiramente você pode aplicar o teorema
dos co-senos a fim de descobrir o lado  não informado, ou seja, o lado AB,
vai cair numa equação do segundo grau de  raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB
com os dois valores encontrados  anteriormente.
 
   
 
  Espero  ter ajudado.
 
   
 
  Edu
 
 
-Mensagem original-
De:[EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Johann PeterGustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de2003 12:17
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l]triângulo


   

 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 

  Olá pessoal, 
  
Veja esta  questão: 
  
(MAUÁ-SP) 
  
No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m,  beta= ABC=60º. Determine a
área do triângulo. 
  
resp: 6raiz*(3) ou  10*raiz(3) m^2 
  
 
  Deixa eu ver...ce tem
tudo no  triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce
acha o seno de B  pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a
area ce precisa de um  angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
 
  
Obs: O triângulo citado é um  triângulo de base BC. Eu tentei aplicar
a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2],  mas não é dado o valor de BA. Sendo
assim eu tentei aplicar a lei dos senos  para achar BA fazendo 7/sen60º
=BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen  C. A partir disso eu tentei
aplicar a lei dos cossenos para achar     
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois  calcular o sen
C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá  para aplicar
a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se  num
ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?

   

   
   Busca Yahoo!

O serviço debusca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
 encontra.

Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao )

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Paulo:

Fiz algumas coisas com relação a este seu problema. Gostaria de comentários.
>
>Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de
>{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
>exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar
>sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
>aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
>pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>
>1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
>o primeiro premio
>2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
>

PARTE 1:
Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número
em comum.
Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar
contido em no máximo 1 cartão.

Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade
(agmp).

Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números.
Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M.

O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176.

Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176  ==>  M <= 56.

Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões.

Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não
consegui construir uma.



PARTE 2:
Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é
C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores
também é igual a 35.

Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma
agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos.

Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o
cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior soma
dos números de triplos vencedores em cada cartão apostado. Por exemplo,
suponha que os 7 números sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador
tenha jogado três cartões:
{1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33}
Então devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3},
{1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cartão, {4,5,6} no segundo e {1,6,7}
no terceiro) ou apenas tomar o seu cartão com o maior número de triplos
vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou
apenas 4 triplos?

De qualquer forma, a probabilidade desejada não é a de se acertar um
determinado número de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que
qualquer outro jogador. Esta probabilidade deverá depender das apostas
feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma
aposta (não gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cartões possíveis,
então, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro prêmio é menor do que seria
se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cartão.


Um abraço,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

[obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo]

Olá,
 
Bem, 
primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado 
não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de 
raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados 
anteriormente.
 
Espero 
ter ajudado.
 
Edu

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter 
  Gustav Lejeune DirichletEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 
  2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] 
  triângulo
   
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Olá pessoal, Veja esta 
questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, 
beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 
10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no 
triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B 
pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um 
angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é um 
triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], 
mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos 
para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen 
C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar 
   o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois 
calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá 
para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se 
num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? 
  
  
  
  Busca Yahoo! O serviço de 
  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

[obm-l] Construçao de (a^4 + b^4)^(1/4)

[Cláudio \(Prática\)]

Title: Help



a^4 + b^4 = 
a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2 - 2*a^2*b^2 =
(a^2 + b^2)^2 - [a*b*raiz(2)]^2 =
[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ]*[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ]
 
Assim:
 (a^4 + b^4)^(1/4) = 
raiz[ raiz(a^4 + b^4) ] =
raiz( raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ] * raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) 
]  ) =
raiz ( x * y )
onde: 
x = raiz[ a^2 + b^2 + a*b*raiz(2) ] 
e
y = raiz[ a^2 + b^2 - a*b*raiz(2) ]  
 
Construção de x:
Construa um triângulo de lados a e b e ângulo compreendido igual a 135 
graus. Pela lei dos cossenos, x é o comprimento do lado oposto àquele 
ângulo.
 

Construção de y:
Construa um triângulo de lados a e b e ângulo compreendido igual a 45 
graus. Pela lei dos cossenos, y é o comprimento do lado oposto àquele 
ângulo.
 
Depois, basta construir a média geométrica de x e y = altura de um 
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede x+y, a partir do ponto distante x de 
uma das extremidades desta hipotenusa.
 
Para construir o ângulo de 45 graus basta construir um quadrado de 
lado a, uma de suas diagonais, e marcar uma distância igual a b nesta diagonal, 
a partir do ponto onde ela encontra o lado a. O de 135 graus é o 
suplementar.
 
Um abraço,
Claudio.
 

[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_séries

[Eduardo Casagrande Stabel]

A notação 0<=x[k],a[k]<=1 não é das melhores, eu concordo. A minha 
interpretação é que as duas seqüências, tanto x[k] quando a[k], estão no 
intervalo [0 , 1]. É claro que se pode interpreta somente 0 <= x[k] e também 
a[k] <= 1, e aí seu contra-exemplo estaria perfeito. Já se você interpretar 
como eu interpretei, a seqüência x[k] fica 1, 2, 3, ... que fica fora do 
intervalo [0 , 1]. Mas é uma questão de notação, pela internet fica difícil de 
escrever fórmulas.
 
Quando você escreveu "x[k]=k a[k]=1/(ck)" eu não entendi se o k e o a[k] estavam se 
multiplicando ou não. Foi por isso que escrevi "Se o exemplo do Bruno é o que 
segue... então...". Só um problema da internet, nada mais.
 
Abração!

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Lima 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 2:03 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] 
  Re:_[obm-l]_séries
  
  Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e 
  que 1. 
   Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 

  



Caros Bruno Lima e Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno é
 
x[k] = k
a[k] = 1/(ck)
 
então ele não está bom pois não satisfaz a 
condição 0<=x[k],a[k]<=1.
 
Mas o resultado está certo, o teorema é falso. 
Um contra exemplo é o seguinte.
 
x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é 
ímpar
a[k] = 0    se k é PAR e 1 se k 
é ímpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] = 0 converge
lim a[k] não existe
 
Abraço,
Eduardo.

  From: 
  Bruno 
  Lima 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] séries
  
  Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck) 
   [EMAIL PROTECTED] 
  wrote: 
  seja 
0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.se somatório de x[k], para 
k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo 
converge.é possível afirmar que lim ak = 0 
?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são 
feitos, eles 
nascem---Gabriel 
Haeserwww.gabas.cjb.net--Use 
o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - 
http://www.radaruol.com.br=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO 
administrador desta lista é 
<[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  Busca 
  Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que 
  você pensar o Yahoo! encontra.
  
  
  Busca Yahoo! O serviço de 
  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

[obm-l] funções contínuas, monótonas, patológicas...

[Jose Francisco Guimaraes Costa]

Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um assunto,
ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente,
tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre com
uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para definir
o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não teria
a conotação pejorativa de uma pizza.

Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas
comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto
perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um
dogmático "... e isso é facilmente demonstrável".

Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no
início desta mensagem.

Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era
algo do tipo "Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e f(b)>f(a),
então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em
[a,b]".

O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria
que a proposição é obviamente verdadeira.

Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente
crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que aprendi
como sendo monótona crescente.

No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira
não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também
diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua.
Não responderam.

Apresentaram um contra-exemplo - uma função "patológica" - para provar que a
proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar que
a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam
sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função patológica,
sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui.

O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a
observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo
diferença alguma entre f(x) e g(x).

O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para o
décimo andar de um edifício sem ter que subir qualquer lance de escadas. Ou,
já que "não é difícil demonstrar que g não é monótona em nenhum intervalo",
apresentar essa demonstração que, em não sendo difícil, deverei ser capaz de
entendê-la.

Antecipada e profundamente grato,

JF

- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação


> On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote:
> > Caro Artur:
> >
> > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em
toda a
> > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente
dado
> > por uma série de funções:
> >
> >  infinito
> > f(x)  =  SOMA  12^n * cos( Pi * x / 2^n )
> >   n = 0
>
> Acho que você queria dizer o seguinte
>
> f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n)
>
> Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria
>
> g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n)
>
> É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos
> (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n
> os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g
> não é monótona em nenhum intervalo.
>
(...)
>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] problema

[Leahpar Xarm]

370,4Km=370400m=200*1852=200* "nós"
dividindo o percurso pela velocidade tem-se o tempo: 20h
 elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Se o nó é igual a uma milha marítima por hora e umamilha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo umaembarcação com velocidade constante de 10 nós gastapara percorrer 370,4 Km?___Busca Yahoo!O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internethttp://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! 
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.

Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_séries

[Bruno Lima]

Onde que ele nao satisfaz a condicao ? Eu nao escrevi, mas c maior e que 1.
 Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> wrote:




Caros Bruno Lima e Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno é
 
x[k] = k
a[k] = 1/(ck)
 
então ele não está bom pois não satisfaz a condição 0<=x[k],a[k]<=1.
 
Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um contra exemplo é o seguinte.
 
x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpar
a[k] = 0    se k é PAR e 1 se k é ímpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] = 0 converge
lim a[k] não existe
 
Abraço,
Eduardo.

From: Bruno Lima 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 PM
Subject: Re: [obm-l] séries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck) 
 [EMAIL PROTECTED] wrote: 
seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.é possível afirmar que lim ak = 0 ?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são feitos, eles nascem---Gabriel Haeserwww.gabas.cjb.net---Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=


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[obm-l] Re: [obm-l] séries

[Cláudio \(Prática\)]

Caros Bruno e Gabriel:
 
x(k) = k > 1, para k > 1, enquanto que uma 
das premissas é 0 <= x(k) <= 1.
Logo, o contra-exemplo não vale.
 
**
 
Suponha que as premissas sejam válidas e que lim 
a(k) = L, com L <> 0.
 
Como 0 <= a(k) <= 1, teremos que L > 
0.
 
Em particular, existirá um número real 
positivo A (tome, por exemplo, A = L/2) tal que para todo k suficientemente 
grande, a(k) > A.
 
Mas, nesse caso, para todo k suficientemente 
grande, a(k)*x(k) > A*x(k) ==> SOMA a(k)*x(k) diverge ==> 
contradição.
 
Logo, se a(k) converge, tem de ser para 
0.
 
**
Por outro lado é possível que as premissas 
sejam válidas e que a(k) seja divergente.
 
Tome a(k) = 0 se (k+1) não for quadrado perfeito e 
a(k) = 1 se (k+1) for um quadrado perfeito.
Claramente, a(k) diverge.
 
Tome x(k) = 1/(k+1)
 
Então:
0 <= a(k),x(k) <=1
 
infinito  
infinito
SOMA  x(k)  =  SOMA 
1/(k+1)   diverge
 k = 
0    
k = 0
 
infinito 
infinito
SOMA  a(k)*x(k)  =  SOMA 1/n^2 = 
Pi^2/6 
 k = 
0   
n = 1
 
(a(k)*x(k) é a subsequência de x(k) que contém os 
recíprocos dos quadrados perfeitos)
 

 
Logo, a conclusão deve ser que, dadas as premissas, 
se a(k) converge, então lim a(k) = 0, mas pode ser que a(k) seja 
divergente.
 
 
Um abraço,
Claudio.
 
 
 
 
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Lima 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 1:18 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] séries
  
  Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck) 
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 

  seja 0<=x[k],a[k]<=1 
sequencias.se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.e 
somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.é possível afirmar 
que lim ak = 0 ?"Mathematicus nascitur, non 
fit"Matemáticos não são feitos, eles 
nascem---Gabriel 
Haeserwww.gabas.cjb.net---Use 
o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - 
http://www.radaruol.com.br=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador 
desta lista é 
<[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
  Busca Yahoo! O serviço de 
  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

Re: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

Epa! O angulo dado nao eh C e sim B.

Leahpar Xarm wrote:

  Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma
de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados
do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos: 
  [(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2 
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  Olá pessoal, 

Veja esta questão: 

(MAUÁ-SP) 

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área
do triângulo. 

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei
da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim
eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen
C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a
lei dos cossenos para achar    
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela
relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei
dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso.
Será que não está faltando nem um dado? 
  
  
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata]

Caro Claudio,


Observe a minha mensagem. Basta que a derivada de f em z nao seja nem
maximo, nem minimo da derivada de f em I para que o que voce quer valha.

x^3 tem derivada 3x^2, cujo minimo global eh no zero, assim qualquer
intervalo que contenha o zero nao pode ter essa propriedade.


Abraco,

Salvador



On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:

> Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de
> f(x) = raiz(x) em [0,1].
> Continue mandando...
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> - Original Message -
> From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
> Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
> 
> 
> >> -Original Message-
> >> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> >> [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
> >> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
> >> To: [EMAIL PROTECTED]
> >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
> >>
> >> Caro Artur:
> >>
> >> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
> >dos
> >> "se
> >> e somente se") eu me deparei com uma dúvida:
> >>
> >> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
> >> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
> >> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
> >> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
> >
> >Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
> >ponto z=0 . É fácil verificar que se y<00 e
> >jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
> >teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.
> >
> >PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
> >Abraços
> >Artur
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
> 

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[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Olá- Construção Geométrica

[Eduardo]

Muito Obrigado.


Edu



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[obm-l] Probleminha bonito

[Salvador Addas Zanata]

Imagine 2 cidades, A e B, tais que existem 2 caminhos ligando elas. 

Joao e Maria saem da cidade A, cada um por um caminho, com um barbante de
comprimento 2 com uma extremidade amarrada no pulso de cada um deles. E
eles conseguem chegar ate a cidade B, sem quebrar o barbante. Sejam agora
2 carrocas que podem ser representadas por cilindros verticais de raio 1,
uma em A e a outra em B. Eh possivel que a primeira carroca va de A pra B,
a segunda de B pra A, cada uma por uma estrada, sem se chocarem?


Esse probleminha esta na 1 pagina do livro do Arnold de equacoes
diferenciais. Mas obviamente, a sua solucao eh elementar.


Abraco,

Salvador

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Cláudio \(Prática\)]

Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de
f(x) = raiz(x) em [0,1].
Continue mandando...

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável


>> -Original Message-
>> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
>> [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
>> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
>> To: [EMAIL PROTECTED]
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
>>
>> Caro Artur:
>>
>> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
>dos
>> "se
>> e somente se") eu me deparei com uma dúvida:
>>
>> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
>> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
>> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
>> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
>
>Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
>ponto z=0 . É fácil verificar que se y<00 e
>jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
>teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.
>
>PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
>Abraços
>Artur


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Re: [obm-l] triângulo

[Leahpar Xarm]

Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos:
[(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar    o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! 
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[obm-l] Re: [obm-l] Olá- Construção Geométrica

[Eduardo Casagrande Stabel]

Chará, bem vindo à lista!

Eu recomendo dois exercícios antes.

EXERC1. Dados dois segmentos de comprimenos A e B, construir o segmento de
medida AB.

EXERC2. Dados um segmento de comprimento A, construir o segmento de medida
A^(1/2).

Caso você não consiga (eles são fáceis, acredite!), dê uma olhada em

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=HV8982CC18.12&+lang=en&+module=to
ol%2Fgeometry%2Frulecomp.en

Eduardo.

From: "Eduardo" <[EMAIL PROTECTED]>
> Olá, pessoas
>
> Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema:
>
> Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4
>
> Se alguém puder me ajudar...
>
> abraços
>
> Edu


=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] séries

[Eduardo Casagrande Stabel]

Caros Bruno Lima e Ghaeser!
 
Se o exemplo do Bruno é
 
x[k] = k
a[k] = 1/(ck)
 
então ele não está bom pois não satisfaz a condição 
0<=x[k],a[k]<=1.
 
Mas o resultado está certo, o teorema é falso. Um 
contra exemplo é o seguinte.
 
x[k] = 1/k se k é PAR e 0 se k é ímpar
a[k] = 0    se k é PAR e 1 se k é 
ímpar
 
sum x[k] diverge
sum x[k]a[k] = 0 converge
lim a[k] não existe
 
Abraço,
Eduardo.

  From: 
  Bruno 
  Lima 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 12:18 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] séries
  
  Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck) 
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 

  seja 
0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.se somatório de x[k], para 
k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo 
converge.é possível afirmar que lim ak = 0 
?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são 
feitos, eles nascem---Gabriel 
Haeserwww.gabas.cjb.net--Use 
o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - 
http://www.radaruol.com.br=Instruções 
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emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador 
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<[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
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[obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu na IMO de Cuba.
Seja f(x)=x²+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x vai de zero ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2.
Uma soluçao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra como ser destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima consequencia.TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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Re: [obm-l] Olá- Construção Geomé trica

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem,acho melhor dar a soluçao,nao?Bem,podemos supor WLOG que b=1(e so fazer uma regua assim).Se voce sabe tirar raiz quadrada sabe elevar ao quadrado.E fim.so que a construçao do quadrado e facil e nao respondo.
 Eduardo Wagner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Caro Edu:Este eh o problema 89 do livro da Olimpiada Brasileirade Matematica, 1a a 8a.Adquira este livro. Voce vai ver a solucao detalhadadesta problema e vai conhecer muitos outros problemasinteressantes. Entre em contato com a secretaria daOBM pelo e-mail <[EMAIL PROTECTED]>ou pelo telefone25295077.-->From: "Eduardo" <[EMAIL PROTECTED]>>To: <[EMAIL PROTECTED]>>Subject: [obm-l] Olá-- Construção Geométrica>Date: Thu, Feb 6, 2003, 9:29 PM>> Olá, pessoas>> Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema:>> Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4>> Se alguém puder me ajudar...>> abraços>> Edu> ---> Outgoing mail is certified Virus Free.> Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).> Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003>> ___> Busca Yahoo!> O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!encontra.> http://br.busca.yahoo.com/>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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[obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ?

[Eduardo Casagrande Stabel]

Caros da lista!

Um resultado do livro "Linear Algebra" do Gilbert Strang diz

"If AB=BA, then this matrices share the same eigenvectors. The key step is
to notice that Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Thus x and Bx are eigenvectors
sharing the same L, and if we assume for convenience that the eigenvalues of
A are distinct -- the eigenspace are all one dimensional -- then Bx must be
a multiple of x. In other words x is an eigenvector of B as well as A, wich
completes the proof."

[Se AB=BA, então as duas matrizes possuem os mesmo autovetores. O ponto é
reparar que Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Portanto x e Bx são autovetores
compartilhando o mesmo autovalor L, e se nós assumirmos por conveniência que
os autovalores de A são distintos -- os autoespaços associados são todos
unidimensionais -- então Bx deve ser um múltiplo de x. Em outras palavras, x
é um autovetor de B, o que completa a prova."

Este "por conveniência" deveria ter sido dito como uma das hipóteses, afinal
sem ela o resultado não é correto, pois se

A = [ 1 0 ]
   [ 0 1 ]

B = [ 1 1 ]
   [ 1 1 ]

então AB=BA e para

v =[ 2 ]
 [ 1 ]

tem-se Av = v, mas

Bv = [ 3 ]
[ 3 ]

e v não é autovetor de B.

Onde esta meu erro de interpretação?

Abraço.
Duda.

=
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=

Re: [obm-l] séries

[Bruno Lima]

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k  a[k]=1/(ck)
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.é possível afirmar que lim ak = 0 ?"Mathematicus nascitur, non fit"Matemáticos não são feitos, eles nascem---Gabriel Haeserwww.gabas.cjb.net---Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! 
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Re: [obm-l] triângulo

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

 
 [EMAIL PROTECTED] wrote:

Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar    o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! 
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Re: [obm-l] trigonometria

[A. C. Morgado]

1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)
= 1-sen^2(x) + sen^4(x) . Para
dar a resposta do seu gabarito essa expressão deveria valer 1, ou seja, 
sen^2(x) deveria
ser igual a  sen^4(x). 
Seu gabarito está, como sempre, errado.

[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal, 
 
Como resolver esta: 
 
(UNESP) A expressão [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) é equivalente
a: 
 
resp: cos^2(x) 

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata]

Caro Artur,


Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z) nao
seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem por
derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da
derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho
que a prova esta correta.


Abraco,

Salvador


On Thu, 6 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote:

> >> Oi Claudio,
> >>
> >> Seja I=[a,b] e z em I.
> >>
> >> Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
> >> IxI da seguinte forma:
> >>
> >> Se x<>y, nao ha problema.
> >>
> >> Se x=y, G(x,x)=f'(x).
> >>
> >>
> >>
> >> Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel,  G(x,x)=f'(x) e
> >> G(x,y)=G(y,x).
> >>
> >> Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}.
> >>
> >> Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:
> >>
> >> 1) G(x0,y0) >>
> >> 2) x0>y0 e x1>y1.
> >>
> >>
> >> Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta
> nao
> >> cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que
> voce
> >> quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.
> >>
> >>
> >> Abraco,
> >>
> >> Salvador
> >
> >Há algum engano aí , Salvador. Considere como contra exemplo f(x) = x^3
> >no ponto 0. Verificamos facilmente que a condição procurada jamais é
> >atendida. Certo?
> >
> >Um abraço
> >Artur
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
> 

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=

Re: [obm-l] Determinantes

[Cláudio \(Prática\)]

Acabei de ler o e-mail do Prof. Morgado, que diz (corretamente) que o
determinante tem ordem n+1 (e não n) e com a diagonal secundária cheia de n!
(e não 1's).

Logo, por favor desconsiderem o meu e-mail e usem o dele.

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, February 07, 2003 1:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Determinantes


> Item b)
> Estou supondo que F^(k)(x) é a k-ésima derivada de F(x).
> F(x) é um polinômio mônico de grau n.
> Assim, F^(n)(x) = 1 e se k > n, então F^(k)(x) = 0.
> Então este determinante tem a diagonal secundária composta de 1's e todos
os
> termos abaixo dela iguais a zero.
> Logo, DET = (-1)^(n*(n-1)/2) * 1^n = (-1)^(n*(n-1)/2)..
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> - Original Message -
> From: <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Thursday, February 06, 2003 9:06 AM
> Subject: [obm-l] Determinantes
>
>
> Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?
>
>   1)  F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
>   a) |F(0)  F(1)  F(2) ...  F(n)  |
>|F(1)  F(2)  F(3) ...  F(n+1)|
>|..  |
>|F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |
>
>   b)|F(a) F´(a)  F"(a) ... F^(n)(a)  |
>|F´(a)F"(a)  F´´´(a) ...   F^(n+1)(a)|
>|..  |
>|F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |
>
>   2)  Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
>| 2 0 4 |
>| 5 2 7 |
>| 2 5 5 |
>
> é divisível por 17.
>
>
>   Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
>   Editorial MIR ? Moscou.
>   ATT. João Carlos.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Fw: [obm-l] Determinantes

[Cláudio \(Prática\)]

Só pra retificar:
 
Valem todos os comentários abaixo, só que no item 
(a), o determinante tem ordem n+1. 
Logo vale (-1)^(n(n+1)/2) * 
(n!)^(n+1).
 
Um abraço,
Claudio.
 
- Original Message - 
From: Cláudio (Prática) 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 07, 2003 1:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Determinantes

Caro Leahpar Xarm:
 
Num determinante de ordem n, se todos os elementos 
acima ou abaixo da diagonal secundária forem iguais a zero, então o valor do 
determinante será igual a:
(-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos da diagonal 
secundária.
 
O termo (-1)^(n(n-1)/2) é a paridade da 
permutação:
1    2    
 3    ...   n-2   n-1   
n
n   n-1  
n-2  
3  2    1
 
Esta permutação tem n(n-1)/2 transposições, logo, 
sua paridade é (-1)^(n(n-1)/2).
 
Você pode ver isso ao reparar que a fim de 
transformar esta permutação na identidade, você precisa aplicar todas as 
transposições de elementos de {1,2,3,...,n}, e o número destas é igual a C(n,2) 
= n(n-1)/2.
 
Assim, o valor do determinante que tem n! na 
diagonal secundária e todos os termos acima dela iguais a 0 é:
(-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n.
 
Um abraço,
Claudio.
 

  - Original Message - 
  From: 
  Leahpar 
  Xarm 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, February 06, 2003 10:49 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Determinantes
  
  Acabo de chegar a uma conclusão de outra linha de raciocínio errado, 
  corrigindo: 
  aplicando Teorema de Jacobi: 
  n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] *  ... * n(-1)^1+n 
  então (n!)^n * (-1)^n(n+1) = (n!)^n 
  n(n+1) será sempre par logo (-1)^par=1 
  Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso.  
   [EMAIL PROTECTED] 
  wrote: 
  Queridos 
amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?1) F(x) = 
x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:a) |F(0) F(1) F(2) ... 
F(n) ||F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)||.. 
||F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) 
||F´(a) F"(a) F´´´(a) ... 
F^(n+1)(a)||.. ||F^(n)(a) 
F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |2) Os números 204, 527 e 255 são 
divisíveis por 17. Demonstrar que| 2 0 4 || 5 2 7 || 2 5 5 
|é divisível por 17.Fonte: Problemas de Álgebra Superior 
? D. Faddieev, I. Sominski ?Editorial MIR ? Moscou.ATT. João 
Carlos.=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador 
desta lista é 
<[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
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  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

Re: [obm-l] Determinantes

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Leahpar Xarm:
 
Num determinante de ordem n, se todos os elementos 
acima ou abaixo da diagonal secundária forem iguais a zero, então o valor do 
determinante será igual a:
(-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos da diagonal 
secundária.
 
O termo (-1)^(n(n-1)/2) é a paridade da 
permutação:
1    2    
 3    ...   n-2   n-1   
n
n   n-1  
n-2  
3  2    1
 
Esta permutação tem n(n-1)/2 transposições, logo, 
sua paridade é (-1)^(n(n-1)/2).
 
Você pode ver isso ao reparar que a fim de 
transformar esta permutação na identidade, você precisa aplicar todas as 
transposições de elementos de {1,2,3,...,n}, e o número destas é igual a C(n,2) 
= n(n-1)/2.
 
Assim, o valor do determinante que tem n! na 
diagonal secundária e todos os termos acima dela iguais a 0 é:
(-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n.
 
Um abraço,
Claudio.
 

  - Original Message - 
  From: 
  Leahpar 
  Xarm 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, February 06, 2003 10:49 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Determinantes
  
  Acabo de chegar a uma conclusão de outra linha de raciocínio errado, 
  corrigindo: 
  aplicando Teorema de Jacobi: 
  n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] *  ... * n(-1)^1+n 
  então (n!)^n * (-1)^n(n+1) = (n!)^n 
  n(n+1) será sempre par logo (-1)^par=1 
  Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso.  
   [EMAIL PROTECTED] 
  wrote: 
  Queridos 
amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?1) F(x) = 
x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:a) |F(0) F(1) F(2) ... 
F(n) ||F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)||.. 
||F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) 
||F´(a) F"(a) F´´´(a) ... 
F^(n+1)(a)||.. ||F^(n)(a) 
F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |2) Os números 204, 527 e 255 são 
divisíveis por 17. Demonstrar que| 2 0 4 || 5 2 7 || 2 5 5 
|é divisível por 17.Fonte: Problemas de Álgebra Superior 
? D. Faddieev, I. Sominski ?Editorial MIR ? Moscou.ATT. João 
Carlos.=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador 
desta lista é 
<[EMAIL PROTECTED]>=
  
  
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Re: [obm-l] Determinantes

[Cláudio \(Prática\)]

Item b)
Estou supondo que F^(k)(x) é a k-ésima derivada de F(x).
F(x) é um polinômio mônico de grau n.
Assim, F^(n)(x) = 1 e se k > n, então F^(k)(x) = 0.
Então este determinante tem a diagonal secundária composta de 1's e todos os
termos abaixo dela iguais a zero.
Logo, DET = (-1)^(n*(n-1)/2) * 1^n = (-1)^(n*(n-1)/2)..

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, February 06, 2003 9:06 AM
Subject: [obm-l] Determinantes


Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?

  1)  F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
  a) |F(0)  F(1)  F(2) ...  F(n)  |
   |F(1)  F(2)  F(3) ...  F(n+1)|
   |..  |
   |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |

  b)|F(a) F´(a)  F"(a) ... F^(n)(a)  |
   |F´(a)F"(a)  F´´´(a) ...   F^(n+1)(a)|
   |..  |
   |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |

  2)  Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
   | 2 0 4 |
   | 5 2 7 |
   | 2 5 5 |

é divisível por 17.


  Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
  Editorial MIR ? Moscou.
  ATT. João Carlos.


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[obm-l] séries

[ghaeser]

seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.

se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.

e somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.

é possível afirmar que lim ak = 0 ?



"Mathematicus nascitur, non fit"
Matemáticos não são feitos, eles nascem
---
Gabriel Haeser
www.gabas.cjb.net


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[obm-l] triângulo

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?

[obm-l] trigonometria

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Como resolver esta:

(UNESP) A expressão [1-2sen^2(x) + sen^4(x) + sen^2(x)]*cos^2 (x) é equivalente a:

resp: cos^2(x) 

Re: [obm-l] problema

[Tertuliano Carneiro]

Olá!

Do enunciado, um nó equivale a 1,852 km/h. Isso é
tudo.



 --- elton francisco ferreira
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Se o nó é
igual a uma milha marítima por hora e uma
> milha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo uma
> embarcação com velocidade constante de 10 nós gasta
> para percorrer 370,4 Km?
> 
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Re: [obm-l] problema

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

1) Por favor, quilometro se abrevia km, com k minusculo.
2) 1 no = 1,852 km/h
10 nos = 18,52 km/h
A resposta eh 370,4/18,52= 20 horas


Em Fri, 7 Feb 2003 08:19:37 -0300 (ART), elton francisco ferreira 
<[EMAIL PROTECTED]> disse:

> Se o nó é igual a uma milha marítima por hora e uma
> milha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo uma
> embarcação com velocidade constante de 10 nós gasta
> para percorrer 370,4 Km?
> 
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Re: [obm-l] função

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Y = k* (X^2), onde k eh a constante de proporcionalidade. Substituindo X por -60 e Y 
por 30, encontramos k = 1/120.
Quando X = 6, o valor de Y eh Y = (1/120)* 36 = 0,3.
Nao ha resposta nas opçoes oferecidas.
De onde veio o problema? Fasciculo da Nova Cultural?
Morgado



Em Fri, 7 Feb 2003 07:40:25 -0300 (ART), elton francisco ferreira 
<[EMAIL PROTECTED]> disse:

>  --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > X2 eh X ao
> quadrado? sim
> > 
> > Em Thu, 6 Feb 2003 14:19:42 -0300 (ART), elton
> > francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>
> > disse:
> > 
> > > Uma função Y=f(x) é tal que Y é diretamente
> > > proporcional a X2 e Y=30 quando X= -60. Qual o
> > valor
> > > de f(6)?
> > > 
> > > 45
> > > 36
> > > 30
> > > 23
> > > 
> > >
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[obm-l] problema

[elton francisco ferreira]

Se o nó é igual a uma milha marítima por hora e uma
milha marítima é igual a 1852 m; quanto tempo uma
embarcação com velocidade constante de 10 nós gasta
para percorrer 370,4 Km?

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Re: [obm-l] função

[elton francisco ferreira]

 --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > X2 eh X ao
quadrado? sim
> 
> Em Thu, 6 Feb 2003 14:19:42 -0300 (ART), elton
> francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>
> disse:
> 
> > Uma função Y=f(x) é tal que Y é diretamente
> > proporcional a X2 e Y=30 quando X= -60. Qual o
> valor
> > de f(6)?
> > 
> > 45
> > 36
> > 30
> > 23
> > 
> >
>
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> procura na Internet
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> >
>
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Re: [obm-l] Determinantes

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

b) F eh um polinomio de grau n com coeficiente do termo de maior grau igual a 1. 
Entao, sua derivada de ordem n vale n! e as derivadas de ordens superiores valem zero. 
A matriz fica com a diagonal secundaria com todos os elementos iguais a n! e a banda 
de baixo nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh 
[(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2].


Em Thu,  6 Feb 2003 23:22:14 -0200 (EDT), Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
<[EMAIL PROTECTED]> disse:

> 
> O determinante de uma matriz quadrada em que uma das bandas da diagonal eh nula eh 
>igual ao produto dos elementos da diagonal; O determinante de uma matriz quadrada de 
>ordem n em que uma das bandas da outra diagonal (no meu tempo de aluno dizia-se 
>diagonal secundaria) eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal 
>multiplicado por (-1)^[n(n-1)/2]
> Na parte a, a diagonal secundaria tem todos os elementos iguais a n! e a banda de 
>cima eh nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh 
>[(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2]
> 
> 
> Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm <[EMAIL PROTECTED]> 
>disse:
> 
> > 
> > Por enquanto o item a.
> > 
> >  
> > 
> > Resolução :
> > 
> > Observe que:
> > 
> > F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja)
> > 
> > F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n!
> > 
> > Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se:
> > 
> > | 0   0  0..  n !  |
> > 
> > | 0   0  0 ..   (n+1)!   | 
> > 
> > | ..   ..   ..   .   |
> > 
> > | 0 0!  n!  .. (2n-2)!   |
> > 
> > | 0n!(n+1)!  (2n-1)!   |
> > 
> > | n!  (n+1)!   (n+2)!   (2n)! |
> > 
> >  Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0.
> > 
> > Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e 
>reduzir até onde der. Temos assim
> > 
> > n! * A(1,n) e sucessivamente
> > 
> > eu cheguei nisto
> > 
> > n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] } n![(-1)^1+n]
> > 
> > que dá:
> > 
> >  [(-1)^(2n+n)]*n(n!)
> > 
> >  
> >  [EMAIL PROTECTED] wrote:Queridos amigos, como resolver as questões 
>que seguem abaixo?
> > 
> > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
> > a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) |
> > |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
> > |.. |
> > |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |
> > 
> > b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) |
> > |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)|
> > |.. |
> > |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |
> > 
> > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
> > | 2 0 4 |
> > | 5 2 7 |
> > | 2 5 5 |
> > 
> > é divisível por 17.
> > 
> > 
> > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
> > Editorial MIR ? Moscou.
> > ATT. João Carlos.
> > 
> > 
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é 
> > =
> > 
> > 
> > -
> > Busca Yahoo! 
> > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 

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