from:"Nicolau"

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2011-11-11 Por tôpico Nicolau

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2011-11-08 Por tôpico Nicolau


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2010-07-27 Por tôpico nicolau


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2010-06-11 Por tôpico nicolau

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высылается только наложенн. платежом по почте России.
Для этого необходимо сообщить ФИО получателя полностью,
точный адрес и почтовый индекс, куда придет извещение
на электронную почту: fis...@video-shops.ru

Каждый диск в боксах, с полиграфией. Наши коллекции можно ДАРИТЬ!

Оплачивать при получении на почте России,
На всякий случай укажите, пожалуйста, Ваш телефон для связи.

Наши гарантии: Все диски проверяются на брак.
То есть отправка бракованных и пустых dvd невозможна.
С качеством все отлично. в норме.
Каждый диск в боксах с полиграфией.

прилагается информация о записи к каждому DVD.

Отправляется наложенным платежом.
Через 1-2 недели Вам придет извещение о поступлении
ценной бандероли. На извещении будет цена, адрес почты,
С этим извещением нужно прийти в это отделение почты.
там Вам найдут бандероль с коллекцией.

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Список материалов:

1. Изготовление джиг-приманок. Выпуск 1
2. Изготовление джиг-приманок. Выпуск 2
3. Джиг-спиннинг. Техника и тактика ловли. Часть 1
4. Зимняя рыбалка
5. Ловля форели
6. Ловля на попперы спиннингом
7. Ловля на незацепляйки
8. Ловля на ультралайт
9. Мягкие приманки из пластика
10. Воблеры. Часть 1
11. Вращающиеся блесны
12. Колеблющиеся блесны
13. Джиговый кивок для спиннинга
14. Вольфрамовые вертушки
15. Спиннинговые удилища. Выбор. Эксплуатация. Ремонт.
16. Безынерционные катушки. Выбор. Эксплуатация. Ремонт.
17. Плетеные лески для спиннинга. Выбор. Эксплуатация.
18. Ночная ловля судака на джиг осенью
19. Спутниковые навигаторы GPS
20. Ловля на балансиры
21. Безмотыльные мормышки
22. Зимние блесны для ловли со дна
23. Джиг-спиннинг. Техника и тактика ловли. Часть 2
24. Воблеры. Часть 2
25. Мультипликаторные и инерционные катушки. Выбор. Эксплуатация.
26. Ловля окуня на вертушки
27. Ловля окуня на джиг-приманки
28. Джиг-спиннинг на водохранилище
29. Лодочные электромоторы и аккумуляторы. Выбор. Эксплуатация.
30. Ловля щуки на воблеры и джиг-приманки
31. Ловля щуки на вертушки и колебалки
32. Ловля судака и берша спиннингом
33. Троллинг на реке
34. Эхолоты. Выбор. Эксплуатация.
35. Зимой на безмотылку. Снасть, техника и тактика ловли
36. Зимой на вертикалку. Блесны, снасть, техника и тактика ловли
37. Зимой на донные блесны. Снасть, техника и тактика ловли
38. Лодки и моторы. Выбор и эксплуатация
39. Фидер и пикер на стоячем водоеме с берега
40. Фидер и пикер на реке с берега и с лодки
41. Прикормки
42. Маховая удочка
43. Рыболовные узлы
44. Матчевая удочка
45. Троллинг с даунриггером
46. Зимой за окунем
47. Зимой за щукой
48. Ловля логавля на спиннинг
49. Экипировка рыболова
50. Дроп-шот и поводковые оснастки
51. Комбинированные приманки для спиннинга
52. Растительные насадки
53. Болонская удочка
54. Отвесное блеснение с лодки
55. Зимние судаковые приманки

ВНИМАНИЕ: цены и условия подробно изложены выше.

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[obm-l] Учебная рыбная ловля

2010-06-09 Por tôpico nicolau

Приветствую вас

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[obm-l] Английский язык. Доступно и легко

2010-02-27 Por tôpico nicolau

Привет

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английский язык легко и быстро.

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оплата и получение в кассе почты России.
Отправляется наложенным платежом первым классом.
Стоимость - 3200 рублей.

Оплата при получении в кассе почты россии.

И, на всякий случай, укажите Ваш конт. телефон.

Гарантия: все носители перед отправлением
проверяются на читаемость, на брака.
Благодаря этому отправка брака или чистых DVD сведена к минимуму.
Просим не беспокоиться и за качество, здесь все ОК.
Каждый диск в своей качественной упаковке,

прилагается информация о записи к каждому носителю.

Что такое НАЛОЖЕННЫЙ ПЛАТЕЖ?
Через 6-14 дней после отправки на Ваш адрес
поступит извещение о приходе ценной бандероли 1 класса.
На нем будет указана цена, адрес почтового отделения,
куда нужно прийти.
С этим извещением Вы приходите в это почтовое отделение.
там Вам Находят бандероль с дисками,
далее Вы оплачиваете при получении в кассе почты РФ.

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[obm-l] Хотите быстро овладеть английским языком?

2010-02-27 Por tôpico nicolau

Доброго времени суток

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[obm-l] Английский без проблем

2010-02-26 Por tôpico nicolau

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2010-02-15 Por tôpico nicolau

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[obm-l] Английский без проблем

2010-02-12 Por tôpico nicolau

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[obm-l] Английский без проблем

2010-02-11 Por tôpico nicolau

Приветствую вас

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[obm-l] Передача Главная Дорога

2010-02-09 Por tôpico nicolau


Приветствуем,

У нас есть замечательная подборка коллекция - АВТО:

** ПЕРЕДАЧА НТВ ГЛАВНАЯ ДОРОГА 2006-2009 **

Главная дорога╩ ≈ первая на телевидении 
программа обо всем, что происходит на дорогах.
Это полчаса полезной информации не только для автолюбителей, 
но и для пешеходов. В постоянной рубрике ╚Испытано на себе╩ 
зрителей ждут наглядные советы, как вести себя в сложных 
ситуациях на дорогах.
Показать всю важность соблюдения ПДД и сделать российские 
дороги безопаснее ≈ цель программы и ее ведущих!



Также прилагается бесплатно диск АВТОПОДСТАВЫ
Рассказывается о том какими всевозможными способами могут
пользоваться мошенники, так или иначе связав свой метод с Вашим АВТО!

Стоимость для Вас на 22 дисках коллекции
ГЛАВНАЯ ДОРОГА + диск автоподставы = 3900 рублей.

Это 159 выпусков передачи, под 70 часов видео! + автоподставы!

отправляются налож. платежом почтой РФ 
Для заказа сообщите ФИО, aдрес и 
почтовый индекс на адрес: glav...@moviesdvds.ru


Каждый диск в DVD-боксах с полиграфией. Наши диски можно ДАРИТЬ!

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[obm-l] Главная Дорога на ДВД

2010-02-03 Por tôpico nicolau


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2010-02-03 Por tôpico nicolau


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[obm-l] Передача Главная Дорога

2010-02-01 Por tôpico nicolau


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[obm-l] ФИЛЬМЫ катастрофы на 26 ДВД

2010-01-29 Por tôpico nicolau

День добрый

У нас сейчас появилась в наличии коллекция

ФИЛЬМЫ-КАТАСТРОФЫ - 46 фильмов

Такие как: Пocлезавтра, Титаник, Явление, Торнадо в Нью-Йорке,
Астероид и т.д.

Все фильмы в этoй коллекции очень интересны,
смотрятся на oднoм дыхании. Сценарий примерно таков:
Все начинается с мелких проблем, потом данные проблемы все
заметнее, далее собирается конгресс ученых и властей
и делается вывод что планете Земля (городу, стране, материку)
осталось существовать недолго и начинается борьба со стихией
успешная или не очень

26 DVD дисков, в превосходном качестве!
Цена коллекции всего 4100 рублей

Доставка налож. платежом почтой РФ
Для заказа сообщите ФИО, aдрес и
индекс на адрес: katastrsc...@shopsdvd.ru

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ГАРАНТИРУЕМ: каждый диск перед отправкой Вам
проверяется на наличие брака.
Поэтому, отправка бракованных и тем более дисков без записи невозможна.
Просим Вас также не волноваться за качество, тут все в норме.
Каждый DVD в боксах с полиграфией. Наши коллекции можно дарить.

прилагается информация о записи к каждому диску.

Отправка НАЛОЖЕННЫМ ПЛАТЕЖОМ.
Через 7-14 дней после отправки Вам на адрес
приходит извещение о приходе ценной бандероли 1 класса.
На извещении будет указана цена, адрес почтового отделения,
С этим извещением нужно прийти в это отделение почты Рф.
там Вам найдут бандероль с заказанной коллекцией.

далее Вы оплачиваете при получении в кассе.

Список

1. 11 сентября, отчет комиссии конгресса
2. Абсолютный ноль
3. Ад в поднебесье
4. Апокалипсис последний день
5. Астероид
6. Аэропорт
7. Воздушная скорость
8. Волна убийца
9. Вторжение
10. Вулкан
11. Гибель Титаника
12. Гремучие змеи
13. День когда Земля остановилась
14. Дни разрушений
15. Землетрясение
16. Земля под ударом
17. Катастрофы века
18. Конец света BBC
19. Лавина
20. Линия разлома
21. Монстр
22. Опасная зона
23. Паника в Нью-Йорке
24. Париж 2010 Великое наводнение
25. Перевал Кассандры
26. Пик Данте
27. Последние дни
28. Послезавтра
29. Призраки бездны. Титаник
30. Приключения Посейдона 1972
31. Провал
32. С точки зрения науки. Внимание, цунами
33. Слепота
34. Смерч
35. Солнечный удар
36. Супер шторм
37. Тайна астероида
38. Титаник
39. Торнадо в Нью-Йорке
40. У твоего порога
41. Хозяин
42. Цунами
43. Экспедиция в преисподнюю
44. Эпицентр
45. Явление
46. Ядро Земли

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2010-01-27 Por tôpico nicolau


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2009-09-20 Por tôpico Nicolau

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2009-09-19 Por tôpico Nicolau

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2009-09-18 Por tôpico Nicolau


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2009-09-16 Por tôpico Nicolau

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2009-09-15 Por tôpico Nicolau

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2009-09-09 Por tôpico Nicolau

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[obm-l] Desafio de Matematica da PUC-Rio

2009-08-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Caros,

Peço a permissão de vocês para divulgar uma atividade relacionada a
olimpíadas de matemática.

A PUC-Rio está realizando pelo segunda vez o seu Desafio de Matemática.

O Desafio é uma prova no estilo olimpíadas, que busca alunos de alto calibre
e com forte motivação para a matemática, aplicada aos alunos inscritos no
vestibular para o Centro Técnico Cientifico  da PUC-Rio (o CTC engloba
engenharias e ciências exatas, inclusive matemática). Os melhores colocados
no Desafio receberão bolsas integrais para cursar o Bacharelado em
matemática da PUC-Rio. Há também, independentemente do Desafio de
Matemática, Desafios de Física e Química com perfis similares.

A prova e o gabarito do Desafio de Matemática 2008 estão disponíveis em
http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/desafio08/.

Ao longo da graduação os alunos do nosso Bacharelado têm amplas
oportunidades de participar de projetos remunerados de Iniciação Científica
e de monitorias, e também de fazer intercâmbios com universidades no
exterior.

O Bacharelado do DMat (Departamento de Matemática da PUC-Rio)
consistentemente recebe conceitos máximos nas diversas avaliações às quais é
submetido (e.g., conceito *A* na CAPES e *Cinco Estrelas* no Guia do
Estudante). Trata-se de um curso relativamente rápido (com tempo esperado de
conclusão de sete períodos, sendo que muitos alunos conseguem concluí-lo em
apenas seis períodos), com estrutura flexivel, e de alto nível acadêmico.
Historicamente o Bacharelado do DMat atrai turmas pequenas de excelentes
alunos. O campus da PUC-Rio é facilmente acessível e bem-localizado; ele
fica a 20 minutos de onibus do IMPA.

Mais informações sobre o Bacharelado do DMat podem ser encontradas na página

http://www.mat.puc-rio.br/pagina.php?id=graduacao

Para poder participar do(s) Desafio(s) o aluno deve se inscrever ateh o dia
11 de setembro no vestibular do CTC da PUC-Rio, vide
http://www.puc-rio.br/vestibular/

Em breve será lancado o site dos Desafios 2009 da PUC-Rio.

atenciosamente,

Nicolau Saldanha http://www.mat.puc-rio.br/pagina.php?id=docentes_nsaldanha

Flavio Abdenur http://www.mat.puc-rio.br/pagina.php?id=docentes_fabdenur

Coordenadores do Bacharelado em Matematica
PUC-Rio

[obm-l] Let Accai Berry imporve your health.

2009-07-24 Por tôpico nicolau

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[obm-l] You've received a greeting ecard

2009-07-20 Por tôpico nicolau


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[obm-l] Discover the magical powers of the Acai Fruit.

2009-07-13 Por tôpico nicolau


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[obm-l] Acai Berry will help you score in life , Get your trial now.

2009-06-08 Por tôpico nicolau

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[obm-l] Acai Berry diet will change your life , get your free sample now.

2009-06-08 Por tôpico nicolau

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2009-06-07 Por tôpico nicolau


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2009-05-31 Por tôpico nicolau



  
  
 

  

  

  


  

  
  
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2009-05-18 Por tôpico nicolau

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2009-05-18 Por tôpico nicolau


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2009-05-18 Por tôpico nicolau


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Re: [obm-l] Off-Topic: Software ou Calculadora Online

2008-05-02 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Há muitas calculadoras de precisão arbitrária freeware na internet.
Porcure no google por Arbitrary precision calculator.

Algumas:

calc:
http://isthe.com/chongo/tech/comp/calc/

dc; esta faz parte de muitos sistemas operacionais parentes de Unix e Linux:
http://socrates.if.usp.br/doc/dc/dc.html

Esta aqui é em java. Se o seu browser colaborar, dá para usar de lá
sem instalar nada:
http://people.cis.ksu.edu/~rhowell/calculator/

2008/4/24 Ulysses Coelho de Souza Jr. [EMAIL PROTECTED]:


 Olá a todos,

 Estou procurando um software (preferencialmente freeware) ou site para o
 seguinte objetivo:

 Desejo visualizar todos os dígitos do número 871^(79).

 Sei que o Mathematica tem (ou tinha) essa funcionalidade, mas não o tenho
 instalado no pc.

 Grato de antemão a quem puder ajudar.

 Um abraço,

 Ulysses.

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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Indicação de livros (Cálculo numérico e Equações diferenciais)

2008-03-26 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Reforçando o que outros disseram: recomendar ou criticar livros está dentro
do propósito desta lista,
anunciar não está e negociar compra e venda menos ainda. Por favor tratem
disso em particular.

Nicolau (administrador da lista, ainda que atualmente sem muito tempo para
acompanhar o que nela acontece)

2008/3/26 Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED]:

 Paulo,

 Quanto você quer neste livros? Os do Piskonov, Apostol e Pacitti.

 Joao Victor


 On 3/26/08, Paulo - Uniredes [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
   Oi Cesar,
 
  Para cálculo I e II, eu recomendo o Piskunov:
  http://www.traca.com.br/seboslivrosusados.cgi?mod=LV62211origem=resultadodetalhada
  Eu tenho os volumes I e II em espanhol no meu sebo. São muito legais. O
  volume II é ótimo em equações diferenciais. A obra, em 2 volumes, foi usada
  na UFRJ.
 
  Tem também o do Tom M. Apostol em português...:
 
  http://www.livrariadafisica.com.br/produto_detalhe.asp?id_produto=19209
 
  Estudei pelo Apostol e a qualidade é muito boa. Apesar de eu ser meio
  burro (Só passei em cálculo I após fazer um curso de verão na UFRJ. Muito
  legal...mas meu negócio é redes de computadores).
 
  Faço preço camarada nos 3 livros. Camarada mesmo !
 
 
  []s
 
 
  ---
  Paulo C. Santos (PC)
  e-mail: [EMAIL PROTECTED]
  Homepage: http://uniredes.org
  Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729
  
  MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED]
 
   --
  *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em
  nome de *César Santos
  *Enviada em:* terça-feira, 25 de março de 2008 16:10
  *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
  *Assunto:* [obm-l] Indicação de livros (Cálculo numérico e Equações
  diferenciais)
 
 
  Poderiam me indicar bons livros de cálculo numérico e de equações
  diferencias acessíveis para iniciante?
 
  --
  Abra sua conta no Yahoo! 
  Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/,
  o único sem limite de espaço para armazenamento!

Re: [obm-l] Números algébricos

2008-02-19 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Temos que sen(x graus) é algébrico para todo x racional.

De fato, z = exp(2 pi i p/q) é algébrico para quaisquer inteiros p, q (q  0)
pois z satisfaz a equação z^q = 1.
Analogamente o conjugado conj(z) de z também é algébrico.
Temos a = sen(2 pi p/q) = (z - conj(z))/(2i).
Supondo que você saiba que a soma e o produto de números algébricos
também é algébrico temos que a é algébrico, que é o que você queria.

N.

On Feb 18, 2008 8:22 PM, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Olá amigos...


 Quais são os valores  naturais de x para os quais  senx°  é um número
 algébrico?

 Cgomes


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Re: [obm-l] Um tema recorrente.

2008-02-01 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

2008/1/16 Fernando A Candeias [EMAIL PROTECTED]:



 Caros colegas de lista.



 Seriam os números aleatórios os principais responsáveis pela não
 enumerabilidade do conjunto dos números reais?



 Em agosto do ano passado coloquei essa pergunta na lista, formulada de modo
 um pouco diferente, mas em essência, a mesma. O assunto despertou a atenção
 de alguns colegas, e as sugestões de leitura que recebi do Santa Rita e do
 Nicolau, quanto aos números não computáveis, números de Cantor, normais e
 outros temas se revelaram de grande utilidade.

 Quando formulei a questão tinha a impressão de que a resposta seria
 positiva, mas no decorrer da troca de mensagens mudei de opinião.

 Entretanto outros argumentos a que tive acesso no decorrer de minha busca
 parecem indicar que as seqüências aleatórias infinitas são, não só os
 principais atores, mas na verdade os únicos responsáveis pela cardinalidade
 do conjunto dos reais.

 Submeto ao crivo dos colegas um estudo denominado Teorias da Aleatoriedade
 de Carlos A.P. Campani e Paulo Baluth Menezes, da UFRGS que pode ser
 localizado na rede em:

  http://www.inf.ufrgs.br/~revista/docs/rita11/rita_v11_n2_p75a98.pdf.

Oi Fernando, quando você mandou esta pergunta da outra vez eu respondi que NÃO,
que existe um conjunto com a cardinalidade de R de números não aleatórios.
Na ocasião você não propos, se eu bem me lembro, uma definição do que seria
um número aleatório então o meu argumento talvez tenha ficado vago.
Mas agora que você deu esta referência vou enunciar um exemplo rigoroso.

Seja t: N - N (a função torre binária) definida recursivamente por
t(0) = 0, t(n+1) = 2^t(n)
de tal forma que t(1) = 1, t(2) = 2, t(3) = 4, t(4) = 16, t(5) =
65536, t(6) = 2^65536, ...
Para cada seqüência s: N - {0,1} defina x_s = SOMA_{k = 0} s(k) 2^(-1-t(k)).
Analogamente, para cada s consideramos a seqüência ss onde
ss(t(k)) = s(k) e ss(k) = 0 se não existir j com t(j) = k.
Exemplo: seja s = 011001001...
Temos x_s = 2^(-2) + 2^(-3) + 2^(-65537) + 2^(-1-t(8)) + ... e
ss = 01100.01010
onde o terceiro 1 aparece na posição 65536 e o quarto na posição t(8).

Sejam Kx e Ks os conjuntos de todos os x_s e ss conforme definidos
acima, respectivamente.
Afirmamos que o conjunto Kx é um conjunto de Cantor (i.e., é
homeomorfo ao conjunto de Cantor usual)
e tem portanto a cardinalidade de R; claramente Ks tem a mesma
cardinalidade de Kx.
Afirmamos ainda que nenhuma seq binária ss em Ks é aleatória no
sentido da Def 2, pg 79 (Kollektiv).
Afirmamos ainda que Ks é um conjunto efetivo nulo (no sentida da Def 4, pg 83)
donde nenhuma seq ss em Ks é aleatória no sentido da Def 5, pg 84.

A afirmação sobre Kx ser um conjunto de Cantor é fácil: basta compor a
correspondência s - x_s
com a inversa da correspondência clássica s - (2/3) * SOMA_{k = 0}
s(k) 3^(-k).
A afirmação sobre cardinalidade segue daí pois é um fato bem sabido
que a cardinalidade
de conjunto de Cantor usual é igual à de R.

Quanto à Def 2, é bem fácil ver que ss viola o item 1 pois lim
(SOMA_{0 = i = n-1} ss(i))/n = 0.

Quanto à Def 4, o algoritmo é o seguinte. Dado epsilon  0, tome n tal
que 2^(n-t(n))  epsilon
(é bem fácil ver que existe tal n e até obter algum tipo de fórmula
para n em termos de epsilon).
As strings binárias serão em número 2^n e terão comprimento t(n).
As posições t(0), t(1), t(2)., ..., t(n-1) assumem todos os valores possíveis;
as demais posições são sempre iguais a 0.

[]s, N.

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Re: [obm-l] Mostrar que sequenciais subaditivas convergem

2007-12-26 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Não sei se entendi bem, não ficou claro qual o domínio de seq, i.e.,
para quais valores de n está definido x_n.

Será que é {0,1,2,3,...}? Ou talvez {1,2,3,...}? Em qualquer um dos
dois casos a seq x_n = 3+n é subaditiva, não?
Temos x_(m+n) = 3+m+n  x_m + x_n = 6+m+n. Mas lim (x_n)/n = 1 e
infimo x_n = 3 se 0 pertencer ao domínio ou 4 caso contrário.
De qualquer forma não vale a conclusão.

N.

On Dec 19, 2007 1:37 PM, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Acho este interessante:

 Seja x_n uma sequencias de números positivos tais que, para todos m e n, 
 tenhamos

 x_(m + n) = x_m + x_n. Tais sequencia sao denominadas de subaditivas.

 Mostre que lim (x_n)/n = infimo x_n

 Artur

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Re: [obm-l] Número de Polígonos Regulares (estrelados inclusive) não Semelhantes

2007-12-26 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Basta escolher de quantos em quantos vértices pular.
Você pode pular 1 (para obter o único polígono convexo regular), 5, 7,
11, 13, 17, 19 ou 23.
Assim, temos 8 opções.
Em geral, temos phi(n)/2 polígonos regulares com n vértices (onde phi
é a função de Euler).

N.

On Dec 22, 2007 3:12 AM, Ulysses Coelho de Souza Jr. [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Olá,

 Quantos polígonos regulares não semelhantes existem com 48 lados?



 Abraços.


 Ulysses Coelho de Souza.

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Re: [obm-l] Um problema de cônicas

2007-12-13 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Dec 6, 2007 4:06 PM, João Pedro de Gusmão Silva
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Amigos me ajudem nos seguintes exercícios:

 1) Por um ponto J exterior a uma elipse tracemos as retas tangentes à
 elipse, JM e JN, onde M e N são os pontos de tangência.  Seja P o ponto
 médio de MN, mostre que a reta JP passa pelo centro dessa cônica.

Aplique uma transformação afim para transformar a elipse em um círculo.
Note que retas tangentes são levadas em retas tangentes, centro em centro
e ponto médio em ponto médio. Note também que para um círculo o problema
é trivial.

 2) Análogo ao anterior para hipérbole.

Dá para provar por argumentos abstratos que se a coisa dá certo para toda
elipse deve necessariamente dar certo para uma hipérbole também.
Mas acho que o mais fácil é fazer por analítica. Aplique uma transformação
afim para que a hipérbole seja xy = 1.

Se o ponto J = (a,b) estiver no primeiro quadrante devemos ter ab  1.
Aplique transformação  linear da forma diagonal(c,1/c) para ver que
você pode supor que o ponto J tenha a forma (d,d), 0  d  1.
O resultado segue por simetria em relação à reta y=x.

Se o ponto J estiver no segundo quadrante a transformação linear
diz que podemos supor J = (-d,d) e agora o resultado segue
por simetria em relação à reta y=-x.

O terceiro quadrante é análogo ao primeiro e o quarto é análogo
ao segundo.

Se o ponto J estiver em um dos eixos a situação é um pouco degenerada
pois uma das tangentes vira uma assíntota e o correspondente ponto
de tangência foge para infinito. Mesmo assim dá certo.

 3) O aconteceria se a cônica fosse uma parábola?

 A reta JP fica paralela ao eixo da parábola.

N.

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Re: [obm-l] Resultado da OBM

2007-12-11 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Deve sair hoje no final da tarde. N.

On Dec 7, 2007 12:42 PM, Fernando Oliveira [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Leitores da lista,

 Me parece que li em algum lugar uma data para a divulgação dos resultados da
 OBM de 2008. Estou ficando doido ou há mesmo uma estimativa para a
 divulgação?

 --
 Fernando Oliveira

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Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

2007-11-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Nov 28, 2007 9:15 PM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1)

 Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o 
 limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça!

Não entendo pq ou onde você acha que eu supus que o limite exista.
Recapitulando a demonstração:

Provamos que a_n = A phi^n + B phib^n, A diferente de 0 (acho que isto
está claro, não?).
Provamos que lim a_n/phi^n = A (ou mais precisamente, que o limite
existe e é igual a A).
Calculamos o limite assim:
lim a_(n+1)/a_n = phi * (lim a_(n+1)/phi^(n+1))/(lim a_n/phi^n) (isto
é, se os limites do lado direito existirem e o denominador for não
nulo então o
limite do lado esquerdo tb existe e tem o valor indicado)
lim a_(n+1)/a_n = phi*A/A = phi (pois já provamos que os limites da eq
anterior existem e são ambos iguais a phi).

Assim provamos que o limite existe ao mesmo tempo que calculamos o
limite. Esta é a forma mais simples e usual de calcular um limite.

N.

=
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Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

2007-11-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:

 Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode 
 ser generalizado):

 a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar)  obs: 
 com +- quero dizer + ou -
 Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma 
 observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é 
 verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1), 
 chegando à seguinte expressão:


Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que

[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,

a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)


 (an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]

 Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0, e 
 (an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão 
 áurea.

 Usando a própria definição da sequência:

 (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1

 (an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==

 == (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2 
 ==

 == (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==

 == (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==

 == (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 == (an-1)^2 
 = (an-2)*(an) +- 5

 comparando-se a expressão original com esta,
 (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
 (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5

 ou mais geralmente:

 (ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n

 provando por indução sobre n

 Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:

 LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito

 LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito

 LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO

 NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0

 Assim a prova está completa!


Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.

Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.

N.

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Re: [obm-l] Notação matemática em ASCII

2007-11-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

A regra geral é usar notação autoevidente, evitando símbolos especiais
e notações
que nem todo mundo conhece (como TeX). A página que você indicou tem
uma filosofia
bem parecida.

Aliás, ttachments são permitidos apenas para figuras simples.

N.

On Nov 29, 2007 1:28 PM, albert richerd carnier guedes
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 A lista não têm uma tabela de notação padrão para matemática via email ?
 É que eu sinto falta de uma padronização por que cada email que recebo é
 uma notação diferente e as vezes levo uma hora só para entender o que
 está escrito.
 Uma tabela que eu conheço e gosto muito é esta aqui

 http://www.karlscalculus.org/email.html

 o que vocês acham ? Alguém têm uma outra ?
 http://www.karlscalculus.org/email.html


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Re: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

2007-11-28 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Não entendi.

A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente).

Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe
o limite lim a_(n+1)/a_n.
Se for isso, segue facilmente da fórmula

a_n = A phi^n + B phib^n

onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2.

Como phi  1 e -1  phib  0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 +
(B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0.
Assim  lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi.

On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou 
 sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 
 1,3,4,7,11,18...)

 Dei uma prova de convergência feia  a partir da sequência de lucas (mas o 
 mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra)

 Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não 
 prova a convergência da sequência

 ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões 
 an/an-1converge para um limite L, então quando n-- infinito, an/an-1 -- L

 na verdade, no limite an/an-1 = L,  como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + 
 an-1)/an = 1+an-1/an ==  L = 1 + 1/L == L^2 - L - 1 = 0 == L = (1 +ou- 
 5^1/2)/2,

 desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no 
 caso negativo L seria  1)

 Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência 
 mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço)


   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
 armazenamento!
 http://br.mail.yahoo.com/

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Re: [obm-l] Cônicas

2007-11-26 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Nov 24, 2007 4:36 PM, Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Colegas,

 Como se demonstra que interseção de um plano com um cone é uma elipse,
 parábola ou hipérbole? Tenho visto nos livros apenas a declaração disto mas
 não o caminho.

Suponho que você aceite usar geometria analítica e que você saiba que cônicas
têm equações de grau 2 (e esta é uma das caracterizações mais
importantes de cônicas).
Uma forma então é observar que, tendo o cone a equação de 2o grau x^2+y^2=z^2,
a interseção por um plano parametrizado por x=au+bv+c, y = du+ev+f, z = gu+hv+i
é dada pela equação de 2o grau (au+bv+c)^2+(du+ev+f)^2=(gu+hv+i)^2,
logo uma cônica.

N.

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Re: [obm-l] registro

2007-11-14 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Não. A profissão de matemático não é regulamentada e as propostas
de fazer este tipo de coisa foram recebidas com indiferença ou até
hostilidade pelos matemáticos.

N.

On Nov 11, 2007 8:02 PM, carry bit [EMAIL PROTECTED] wrote:
 queria saber se existe algum conselho de matemáticos, assim como exite para
 engenheiros (crea)?
 obrigado.

 carry_bit



  
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Re: [obm-l] Off topic...

2007-11-09 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Quando isto acontecer, verifique nos arquivos:

http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200711/maillist.html

On Nov 9, 2007 12:38 AM, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Desculpem a insistência com os testes,

 Colegas tem recebido minhas mensagens, mas eu . não !!!  Por isto
 mais um teste para eu tentar descobrir o mistério...

 Nehab
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Re: [obm-l] Bijeção

2007-11-09 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Nov 9, 2007 8:30 PM, Victor Magri [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá amigos,

 Gostaria de saber como se pode estabelecer uma bijeção entre o
 conjunto dos números naturais e racionais postivos

Seja N = {0,1,2,3,...}, N* = {1,2,3,...}.
Primeiro defina uma bijeção f:N-Z.
Por exemplo, f(n) = n/2 se n for par e -(n+1)/2 se n for ímpar.
Agora defina g: N* - Q+ por g(2^e2*3^e3*...*p^ep*...) =
2^f(e2)*3^f(e3)*...*p^f(ep)*...
Assim g(60) = g(2^2*3^1*5^1) = 2^f(2)*3^f(1)*5^f(1) = 2^1*3^(-1)*5^(-1) = 2/15.

N.

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Re: [obm-l] trigonometria

2007-11-08 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Nov 7, 2007 5:07 PM, Graciliano Antonio Damazo
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio:

 1) prove  que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º

Seja z = exp(pi i/18) = cos(10 graus) + i sen(10 graus).

Temos
i tan(10 graus) = (z-z^(-1))/(z+z^(-1))
i tan(20 graus) = (z^2-z^(-2))/(z^2+z^(-2))
i tan(30 graus) = (z^3-z^(-3))/(z^3+z^(-3))
i tan(40 graus) = (z^4-z^(-4))/(z^4+z^(-4))

donde basta verificar que
(z-z^(-1))(z^2+z^(-2))(z^3+z^(-3))(z^4+z^(-4)) +
(z+z^(-1))(z^2-z^(-2))(z^3-z^(-3))(z^4-z^(-4)) = 0.

Para isso basta expandir o lado esquerdo que dá
2*(z-1)*(z+1)*(z^2+1)*(z^4+1)*(z^12-z^6+1)/z^10.

Assim basta verificar que z^12-z^6+1 = 0.
Mas z^12-z^6+1 = (z^18+1)/((z^2+1)*(z^4-z^2+1)) = 0.

N.

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[obm-l] Re: Ajuda com uma demosnstração

2007-11-08 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Há algum tempo Artur Steiner mandou o problema abaixo para esta lista:

 Provar isto parece ser interessante (f^k significa a k-gésima derivada de f).

 Seja f:R -- R. Suponhamos que, para algum inteiro positivo n,
 f^(n+1) exista em R e que  f e f^(n+1) sejam ambas limitadas em R.
 Para todo inteiro positivo k = n temos, entao, que f^k eh limiatada em R.

Dizemos que uma função contínua g: R - R é *grande* se para todo M  0
existir x tal que |f(t)|  M para todo t no intervalo [x,x+M].

Lema 1: Se f0 é contínua e limitada e sua primitiva f1 (i.e., f1´ =
f0) é ilimitada
então f1 é grande.

Dem: Suponha sem perda de generalidade que |f0(t)| = 1 para todo t.
Se f1 é ilimitada então para todo M existe x tal que |f1(x)|  3M.
Como |f1'(t)| = 1 isto significa que |f(t)|  M para todo t no
intervalo [x,x+M].

Lema 2: Se f0 é grande então sua primitiva f1 é grande.

Dem: Seja M  1. Seja x tal que |f0(t)|  4M para todo t em [x,x+4M].
Como f0 é contínua podemos supor sem perda que f0(t)  4M para todo t
no intervalo.
Suponha ainda que f1(x+2M) = 0 (o caso = é análogo).
Pelo TVM f1(x+3M) = 4M^2 donde |f1(t)|  M para todo t em [x+3M,x+4M].

Agora voltamos ao problema.
Comece com f^(n+1) que é limitada e considere as funções
f^(n), f^(n-1), ..., f^(1), f = f^(0).
Pelos lemas, se alguma delas for ilimitada será grande e todas a partir daí
serão grandes também. Como por hipótese f não é grande então todas são
limitadas.

N.

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Re: [obm-l] Combinatória

2007-11-08 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

   2) Distribuindo aletoriamente os sinais +' ou - a frente dos
 números 1, 2, 3, ..., 2007, quantas configurações há tal que o resultado
 final seja 0(zero).

Acho muito improvável que haja uma expressão simples para a resposta
deste problema.
Veja um pouco sobre a generalização deste problema (trocando 2007 por n) aqui:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A058377

Outra expressão para a probabilidade 2^(-n)*a[n] é

(1/(2*pi)) integral_0^(2 pi) cos(t) cos(2t) cos(3t) ... cos(nt) dt

Para ver isso, escreva cos(kt) = (z^k + z^(-k))/2 onde z = exp(it).
A probabilidade (ou número de combinações dividido por 2^n) é,
conforme o Paulo Santa Rita explicou, o coeficiente independente
que é obtido integrando e dividindo por 2 pi.

Esta expressão permite estimar a probabilidade pois longe de 0 e pi
o produto fica muito próximo de 0.
Para t perto de 0, fazendo
cos t ~= 1 - t^2/2 ~=  exp(-t^2/2) e portanto cos(kt) ~= exp(-k^2 t^2/2)
temos
cos(t) cos(2t) cos(3t) ... cos(nt) ~= exp(-(1^2 + .. + n^2)t^2/2) ~=
exp(-(n^3/3) t^2/2)
Ora, sabemos que integral exp(-a t^2/2) = sqrt(2 pi/a) donde a parte da integral
perto de 0 é aproximadamente sqrt(6 pi/n^3).
Se n(n+1)/2 for ímpar a integral perto de pi cancela com esta para dar 0
mas se n(n+1) for par a integral perto de pi dá igual donde a probabilidade
dá aproximadamente sqrt(24 pi/n^3)/2 pi = sqrt(6/(pi*n^3)).

Para n=63 usei o maple para calcular a probabilidade exata e para a
fórmula acima.
As resopstas foram 0.002711775516 (primeiro calculando a probabilidade exata
e depois fazendo o quocente aproximado) e 0.002763693420 (pela fórmula).
Para n = 83 obtive 0.001801463390 e 0.001827610102, respectivamente.
Para n = 2007 o maple não conseguiria fazer a conta exata (pelo menos
não da forma
como eu programei) mas a fórmula dá 0.1537020394;
deve estar bem perto da resposta certa.

N.

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Re: [obm-l] idade-Difícil

2007-11-03 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

O arquivo da lista na minha home page pessoal está sendo desativado.
Veja
ww.mat.puc-rio.br/~obmlistas

On Nov 1, 2007 9:43 PM, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote:

 On 11/1/01, Pedro [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Amigos da lista, vocês poderiam resolver de maneira mais simples
  possível?Não sei resolver.Desde já obrigado
 
  A soma das idades de Eduardo e João é de 70 anos.
 
  Eduardo tem o dobro de anos que João tinha quando Eduardo tinha a metade da
  idade que João terá quando João tenha o triplo da idade que Eduardo tinha
  quando Eduardo tinha o dobro da idade do João naquela época. Quantos anos
  têm atualmente Eduardo e João?

 Acho que você mesmo já havia enviado esse problema anos atrás.

 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200201/msg00038.html

 --
 Henrique

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Re: [obm-l] idade-Difícil

2007-11-03 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Nov 3, 2007 1:00 PM, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote:
 O arquivo da lista na minha home page pessoal está sendo desativado.
 Veja
 ww.mat.puc-rio.br/~obmlistas

www.mat.puc-rio.br/~obmlistas

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Re: [obm-l] Questões da OBM

2007-10-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
 PROBLEMA 2

 A seqüência de algarismos

 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, …



 é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual
 ao último algarismo da soma dos quatro anteriores.

 a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência?

 b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem
 novamente na seqüência?

O Shine já respondeu, vou mostrar como determinar quando aparecem os
algarismos 1,2,3,4.

Antes de mais nada podemos trabalhar independentemente módulo 2 e módulo 5.
Módulo 2 a seqüência é
1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,...
ou seja, tem período 5.

Módulo 5 a seqüência começa assim:
1,2,3,4,0,4,2,0,...
e pode parecer intimidador procurar o período. Se considerarmos uma seq definida
pela mesma regra mas com a[0] = 1, a[1] = a[2] = a[3] = 0 teremos o seguinte:
[00] 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 3, 0
[10] 4, 1, 3, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 1
[20] 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 0
[30] 3, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 4
[40] 1, 3, 0, 3, 2, 3, 3, 1, 4, 1
[50] 4, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4
[60] 3, 1, 1, 4, 4, 0, 4, 2, 0, 1
[70] 2, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0
[80] 0, 0, 3, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3
donde a[78+n] = 3*a[n] e portanto a[312+n] = 3^4*a[n] = a[n].

Assim o período é 5*312 = 1560.

N.

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Re: [obm-l] Questões da OBM

2007-10-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Relendo a minha própria mensagem achei que não tinha ficado claro
pq os períodos das duas seqs módulo 5 seriam iguais.

Observe a seq da outra mensagem:

 Se considerarmos uma seq definida
 pela mesma regra mas com a[0] = 1, a[1] = a[2] = a[3] = 0 teremos o seguinte:
 [00] 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 3, 0
 [10] 4, 1, 3, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 1
 [20] 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 0
 [30] 3, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 4
 [40] 1, 3, 0, 3, 2, 3, 3, 1, 4, 1
 [50] 4, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4
 [60] 3, 1, 1, 4, 4, 0, 4, 2, 0, 1
 [70] 2, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0
 [80] 0, 0, 3, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3
 donde a[78+n] = 3*a[n] e portanto a[312+n] = 3^4*a[n] = a[n].

Note que a[38] = 2, a[39] = 4, a[40] = 1, a[41] = 3 donde
a[116] = 3*2 = 1, a[117] = 3*4 = 2, a[118] = 3*1 = 3, a[119] = 3*3 = 4
donde a seq do problema é uma mera defasagem da seq a[n].

N.

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Re: [obm-l] 2^t=t^2

2007-10-23 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On 10/22/07, rodrigo carlos silva de lima [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Que regras artificiais e desinteressamtes?
 eu não acho nada de errado em ter uma boa idéia também, mas nesse
 problema gostaria de ver soluções sem chute de valores

Acho artificial e desinteressante probir chute de valores e métodos numéricos
como plotar o gráfico de f(x) = x^2*2^(-x). Segue o gráfico em attach.
É bem claro pela figura que temos três soluções para f(x) = 1,
uma entre -1 e 0, uma perto de 2 e outra perto de 4.
Acho artificial proibir a idéia vamos testar se x=2 ou x=4 dão certo.
Depois de feitas as conjecturas corretas é bem fácil demonstrar o que falta
(por exemplo, derivando f para verificar onde ela cresce/decresce).

 o que eu tentei fazer... (usando que n é par)

É bem fácil verificar que a função f acima é positiva e estritamente decrescente
a partir de x=4 donde 0  f(x)  1 para x  4 e portanto x^2  2^x.
Assim acho o seu argumento muito restrito (pois você supôe x inteiro)
e desnecessariamente complicado.

N.
attachment: grafico.gif

Re: [obm-l] O VALOR DE LOG

2007-10-23 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On 10/23/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote:

 (UFPB-72) Sabendo que log sen (a\2) = - 1 e log cos (a\2) = - 6 .
 O valor de log (1 – cos a)\(1 + cos a) é igual a:

Temos que spor que os logs são na base b (a ser determinado) senão a resposta
é anulem a questão.

sen(a/2) = b^(-1)
cos(a/2) = b^(-6)

Assim sen^2(a/2) + cos^2(a/2) = b^(-2) + b^(-12) = 1
donde b ~= 1.133666191.

Suponde generosamente que seja isso o que a banca tem em mente,
1 - cos(a) = 2 sen^2(a/2) = 2 b^(-2)
1 + cos(a) = 2 cos^2(a/2) = 2 b^(-12)
(1 – cos a)\(1 + cos a)  = b^10
log (1 – cos a)\(1 + cos a) = 10

 a) 8.b) 10. c) 9.d) 7.   e) Nenhuma das anteriores.

Opção (b) (mas note a observação acima).

N.

=
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Re: [obm-l] 2^t=t^2

2007-10-22 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On 10/22/07, rodrigo carlos silva de lima [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Resolva para
 t inteiro, sem usar metodos númericos nem chutar as soluçoes corretas,
 tem que ser deduzida :), acho que já devem estar meio cansados dessa
 questão xD
 mas queria ver uma solução simples e bonita, que vocês devem ser
 capazes de fazer
 2^t=t^2 (não vale chegar de cara e por os valores 2 e 4 )

Acho estas regras artificiais e desinteressantes.
Não há nada de errado em ter uma boa idéia.

N.

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Re: [obm-l] Análise Combinatória

2007-10-21 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Para facilitar a vida de quem não tiver nenhum destes livros:
o número de soluções inteiras *positivas* de
y_1 + .. + y_k = n é binomial(n-1,k-1).
Para ver isso, imagine n asteriscos enfileirados assim (n = 12):
* * * * * * * * * * * *
Para descrever uma solução, introduzimos linhas divisórias nos espaços.
Assim, a solução y_1 = 5, y_2 = 3, y_3 = 4 (k = 4) fica assim:
* * * * *|* * *|* * * *
(y_1 *s até o primeiro |, mais y_2 até o segundo, ...).
Ora, temos n-1 espaços e devemos selecionar k-1 deles para serem
preenchidos e isto pode ser feito de binomial(n-1,k-1) formas
(esta é a descrição mais básica de números binomiais).

Para contar as soluções *não negativas* de
x_1 + x_2 + ... + x_k = n
faça y_i = x_i + 1 donde
y_1 + y_2 + ... + y_k = n-k.
Ou seja, o número de soluções é binomial(n-k-1,k-1).

N.


On 10/21/07, Antonio Neto [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Bem, como ninguém respondeu, aí vai: o que você quer é saber o número de
 soluções da equação x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12, onde cada x_i é um inteiro
 não negativo. A resposta é Bin(15, 3) = 455, se não errei nada. A sugestão
 clássica é consultar o livro do Morgado, editado pelo IMPA. Para os mais
 velhinhos, como eu e alguns outros (não vou citar para não melindrá-los), o
 Prelúdio à Análise Combinatória, do Arago, Poppe e Raimundo. Abraços, olavo.

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Re: [obm-l] sudoku

2007-10-20 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Acho que este problema já foi discutido aqui.
A menos das 24 permutações das etiquetas podemos supor que
começamos assim:

12 ..
34 ..

.. ..
.. ..

A menos de 2x2 trocas de linhas/colunas podemos supor que continuamos
assim:

12 34
34 ..

2. ..
4. ..

O que permite escrevermos

12 34
34 ..

2. 4.
4. ..

A partir daqui parece necessário quebrar em casos.
Preenchendo a segunda linha das duas formas possíveis:

12 34
34 12

2a 4b
4b 2a

(onde a=1, b=3 ou vice versa)

12 34
34 21
21 43
43 12

Donde o número procurado é 24*2^2*3 = 288.

Para o tabuleiro usual (9x9) a resposta é 6670903752021072936960.

Veja os links abaixo para uma discussão do problema para outros
tamanhos de tabuleiro:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A107739
http://www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/sudoku/sudoku.pdf

On 10/19/07, raylson raylson [EMAIL PROTECTED] wrote:

  De quantas formas é possivel se preencher um sudoku 4x4?

 
 Encontre o que você procura com mais eficiência! Instale já a Barra de
 Ferramentas com Windows Desktop Search! É GRÁTIS!

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Re: [obm-l] [obm-l] Horário das Provas

2007-10-18 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Estamos atentos a esta situação, o aluno poderá fazer as duas provas.
Uma possibilidade é que o aluno faça a OBM de manhã aqui na Gávea,
perto da PUC, e que faça o vestibular no horário normal. Aguardem confirmação.

N.


On 10/17/07, Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá,

 queria esclarecer uma dúvida a respeito do horário de realização da terceira
 fase da obm. Segundo o site da OBM, quem for do nível 3 (não importa os
 outros níveis para este caso) realizará a prova no Sábado 27 e Domingo 28
 de outubro às 14 horas (horário de Brasília).

 Acontece que quem for prestar vestibular para a PUC, inclusive querendo
 fazer matemática ou engenharia, terá provas dia 28, das 15H às 19H. Alguma
 pode ser feita ou o estudante, nesse caso, terá de optar por uma das provas?

 Grato,

 Pedro Lazéra Cardoso.

 _
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Re: [obm-l] Seqüência recursiva

2007-10-17 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Obrigado a todos pelos comentários elogiosos feitos a minha solução.
Quanto a de onde saíram estas matrizes, o que eu posso dizer é que a esta altura
para mim isto é uma idéia velha, que eu já vi ser aplicada um monte de vezes.
Uma função da forma f(z) = (az+b)/(cz+d) é conhecida como função de Möbius
e a composição de funções de Möbius é feita por multiplicação de matrizes.

[]s, N.

 Exatamente!  Nicolau deve ter  observado alguma relação de
 correspondência, ou seja,
 algum morfismo entre essas duas áreas.  Esse tipo de visão é típica de
 pessoas com
 pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi exatamente como
 ele faz
 essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói esses
 morfismos...  É surpreendente
 e interessante, de qualquer forma.

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Re: [obm-l] Seqüênci a recursiva

2007-10-15 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades em
 resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
 
  
 
 Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1  3 e
 x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural. 

[Omitindo o resto do enunciado]

Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
mas como você pediu o termo geral aqui vai.

Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).

[]s, N.
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Re: [obm-l] Convergência /divergência de sére

2007-10-11 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Tue, Oct 02, 2007 at 06:43:47PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
 On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
  O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
  
  Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?
 
 A série diverge.

Naquela outra mensagem mandei uma solução correta porém nem elementar
nem autocontida. Vou tentar desta vez dar uma solução elementar e 
autocontida.

Lema:

Para todo n vale a desigualdade abaixo:

sin((n-1)^2) + sin(n^2) + sin((n+1)^2)  -3 + C, C = 10^(-4).

Obs: Este não é nem de longe a melhor estimativa para C.

Dem:

Suponha por absurdo o contrário. Temos

sin((n-1)^2), sin(n^2), sin((n+1)^2)  -1+C

Seja D = arccos(1-C)  2*10^(-2).

Temos

 2 k1 pi - D  (n-1)^2 - 3 pi/2  2 k1 pi + D(I)
 2 k2 pi - D  n^2 - 3 pi/2  2 k2 pi + D(II)
 2 k3 pi - D  (n+1)^2 - 3 pi/2  2 k3 pi + D(III)

Multiplicando (II) por -2 temos

-4 k2 pi - 2D  - 2 n^2 + 6 pi/2  -4 k2 pi + 2D.  (IV)

Observe que (n-1)^2 - 2 n^2 + (n+1)^2 = 2.

e somando (I), (III) e (IV) temos

 2 (k1 - 2 k2 + k3) pi - 4D  2  2 (k1 - 2 k2 + k3) pi + 4D (V)

Fazendo k = k1 - 2 k2 + k3 e dividindo (V) por 2 pi temos

k - 2D/pi  1/pi  k + 2D/pi

o que é um absurdo.

qed

Agora junte os termos da série de 3 em 3:

(1+sin((3k+1)^2))/sqrt(3k+1) +
(1+sin((3k+2)^2))/sqrt(3k+2) +
(1+sin((3k+3)^2))/sqrt(3k+3) 
( 3 + sin((3k+1)^2) + sin((3k+2)^2) + sin((3k+3)^2) )/sqrt(3k+3)  
C/sqrt(3k+3)

reduzindo o problema a uma série bem conhecida.

[]s, N.



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Re: [obm-l] Convergência /divergência de sére

2007-10-04 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Oct 04, 2007 at 05:07:25PM -0300, Carlos Nehab wrote:
   Meus  neuronios devem estar de mau hunor, pois continuo não enxergando
   de  que forma a existencia de  infinitos n's  tais que sen (n^2)  0
   justificaria a divergencia da serie dada.

A existência de infinitos nś para os quais sen(n^2)  0 de fato
não implica na divergência da série. A afirmação que eu fiz baseada
na distribuição uniforme de n^2 módulo 2pi (distribuição uniforme esta
que não foi demonstrada) é bem mais forte:
vale sen(n^2)  0 para a metade dos n's, i.e.,
lim_n #{mn tq sen(m^2)  0}/n = 1/2.

Temos SOMA_{n=(2^k)..(2^(k+1)-1)} 1/sqrt(n) = 2^((k-1)/2).
Se valer sen(n^2) para pelo menos 1/4 destes valores de n
(o que segue do limite acima para k grande) temos
SOMA_{n=(2^k)..(2^(k+1)-1)} (1 + sin(n^2))/sqrt(n) = 2^((k-5)/2).
Assim a soma num intervalo destes fica arbitrariamente grande
e a série diverge.

Aliás, da outra vez fiquei devendo uma referência para aqueles
teoremas todos sobre seqs unif distribuidas. Aqui vai:

Kuipers, L. and Niederreiter, H., Uniform distribution of sequences,
Pure and Applied Mathematics, Wiley-Interscience, New York (1974).




On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:


O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de

Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?


=
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Re: [obm-l] Convergência /divergência de sére

2007-10-02 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
 O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
 
 Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?

A série diverge.

O fato difícil aqui é provar que sin(n^2)  0 para muitos valores de n.
De fato, sin(n^2)  0 para aproximadamente a metade dos valores de n,
i.e., se a_n = #{m  n | sin(m^2)  0} então lim a_n/n = 1/2.
Isto não é muito surpreendente mas não acho que exista demonstração
muito fácil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido módulo 2pi.

Uma seq a_n de reais é uniformemente distribuida módulo T se
para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I|
onde b_n = #{m  n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}.

O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T.

Seja a_n uma seq.
Dado N, defina b_n = SOMA_{mn} exp(2*pi*i*N*a_m/T)
(aqui i = sqrt(-1)).
Então a_n é unif distr módulo T se e somente se
lim b_n/n = 0 (para todo N).

É um fato bem conhecido que se c/T é irracional então a seq
cn é uniformemente distribuida módulo T
(isto segue facilmente do teorema acima).
Um fato bem menos conhecido é que se p é um polinômio com
coeficiente líder c e c/T é irracional então a seq p(n)
é unif distribuida módulo T.
O segundo fato segue do primeiro por indução usando o seguinte teorema
(a demonstração não é difícil usando o primeiro teo).

Seja a_n uma seq e T  0.
Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n 
seja unif distr módulo T.
Então a_n é unif distr módulo T.

Acho que é bem mais difícil decidir
se a série abaixo converge (condicionalmente):

Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n)) 

[]s, N.
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Re: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE

2007-09-28 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Sep 27, 2007 at 04:59:55PM -0300, Tio Cabri st wrote:
 Tem alguém nessa lista que está de saca... e esse não sou eu.

Como moderador desta lista devo dizer o seguinte:

(1) Achei a mensagem original realmente off-topic
(pelos motivos que o Nehab explicitou).

(2) Eh possivel (e muito facil) mandar mensagens por fora da lista
para pessoas que voce conhece atraves da lista.

(3) A temperatura das mensagens do Tio Cabri estah subindo perigosamente.

Por isso pediria ao Tio Cabri que esfriasse a cabeca e fizesse
a sua enquete sobre opinioes quanto a qualidade de cursinhos
de outra forma.

Obrigado pela compreensao,

Nicolau

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Re: [obm-l] Limite e derivada

2007-09-12 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Tue, Sep 11, 2007 at 02:43:54PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
 Suponhamos que f:R -- R seja derivável em a e sejam u e v funcões definidas
 em uma vizinhança I de 0 tais que  u(x) -- 0 e v(x) -- 0 quando x -- 0   e
 tais que  u -v nao se anule em I - {0}.  Podemos então afirmar que 
  
 lim ( x -- a) (f(a + u(x))  -  f(a + v(x))/(u(x) - v(x))  =  f'(a)? 

Se eu bem entendi a pergunta, a resposta é NÃO.

Considere f(x) = x^2 cos(exp(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0.
Claramente f'(0) = 0. Tome u(x) = x e exp((v(x))^(-2)) = pi + exp(x^(-2)).
Então o limite não existe.

É isto que você queria?

N.
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[obm-l] Problema de funçõe s do Artur

2007-08-31 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Aug 23, 2007 at 01:47:08PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
 Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente.
 Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n -- oo)  [f(1) +
 f(2)+  f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do
 carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral
 infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada
 inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a
 integral existe em qualquer intervalo compacto.
 
 Suponhamos agora que, para cada x = 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por
 f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x  0 e constante
 em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n -- oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -
 Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g
 estah bem definida. Se x1,
 
 g(x) = lim (n -- oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] 
  e , se x=1
 
 g(1) = lim (n -- oo)  [1/1 + 1/2 .1/nx - ln(n)] , que é a famosa
 constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5
 
 Se x 1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que 
 
 g(x) =  lim (n -- oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x
 -1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé
 analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta
 real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2
 
 Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que 
  g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui.

Escreva

g(s) = SOMA_{n=1}^{infinito} h_n(s),
h_n(s) = 1/n^s - (int_n^(n+1) dt/t^s)
   = n^(-s) - (int_n^(n+1) t^(-s) dt)
   = exp(-s log n) - (int_n^(n+1) exp(-s log t) dt).

Assim g fica escrita como uma série de funções.
Note que a função t^(-s) é decrescente em t logo

0 = h_n(s) = n^(-s) - (n+1)^(-s)

e um argumento telescópico prova a convergência da série para s  0.
Para verificar que g é derivável devemos estimar as derivadas h_n'(s):

h_n'(s) = H(s,n) - int_n^(n+1) H(s,t) dt,
H(s,t) = - log t exp(-s log t).

A derivada parcial de H em relação a t é

H_t(s,t) = (s log t - 1) exp(-s log t) / t

donde H_t(s,t)  0 para t  exp(1/s).
Ou seja, em qualquer intervalo compacto contido em (0,infinito)
existe um N a partir do qual

H(s,n) - H(s,n+1) = h_n'(s) = 0

e novamente por um argumento telescópico a série SOMA h_n'(s)
converge uniforme e absolutamente para uma função contínua
que será g'(s).

Mas o melhor mesmo é provar que a sua função g é *inteira*.
Considere a fórmula que você provou para s  1: g(s) = Z(s) - 1/(s-1).
Ora, é sabido que a função zeta tem uma única singularidade em C:
um polo simples em s=1. Ao subtrair 1/(s-1), você obteve uma função
inteira g_1(s) = Z(s) - 1/(s-1). O que você quer provar portanto
é que o limite que você usou para definir g continua convergindo para
o valor correto g_1(s) para s no intervalo (0,1].
Tudo isso pode ser feito estimando as funções h_n(s) acima
em vizinhanças compactas apropriadas de reais x em (0,infinito).

Note finalmente que o ponto s = 0  não pode ser tratado desta
forma e tenho quase certeza que o seu limite original dá a resposta errada.

[]s, N.



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Re: [obm-l] Integral Gaussiana

2007-08-22 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Wed, Aug 22, 2007 at 12:34:39PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:
 Oi, Shine,
 
 Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício 
 clássico?   Já procurei no passado outros caminhos, inclusive 
 utilizando séries, mas não fui bem sucedido.

Eu não sou o Shine, mas vou responder.

Calcular esta integral é equivalente a calcular
(-1/2)! = Gamma(1/2) = sqrt(pi)
onde Gamma é a função Gamma de Euler, ou seja, definimos 

a! = int_0^infty t^a e^(-t) dt

De fato, fazendo a substituição s^2 = t temos

int_0^infty e^(-s^2) ds = (1/2) int_0^infty t^(-1/2) e^(-t) dt = (1/2)!

Para provar que (-1/2)! = sqrt(pi) podemos usar o seguinte limite:

a! = lim_(n - infty) n^a * n!/(a+1)(a+2)...(a+n)

Este limite é conseqüência da convexidade de log(Gamma(x)).

Assim,

(-1/2)! = lim_(n - infty) n!/(sqrt(n)*(1/2)*(3/2)*...*((2n-1)/2))
= lim_(n - infty) 2^(2n)*(n!)^2/(sqrt(n)*(2n)!)

Agora usamos Stirling:

n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)

para obter

(-1/2)! = lim_(n - infty)
2^(2n)*n^(2n)*e^(-2n)*2*pi*n/sqrt(n)*(2n)^(2n)*e^(-2n)*sqrt(2*pi*n)
= sqrt(pi)

Bem, a outra solução ainda é mais simples...

[]s, N.

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Re: [obm-l] [off-topic] Pic aretagem no ensino da matemática v2.0

2007-08-17 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Aug 16, 2007 at 07:05:45PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Aos frequentadores da lista,
 
 Este tipo de coisa também me deixa absolutamente indignado.
 
 Agora, papo sério.. ao invés de ficarmos só vendo e achando
 ruim, será que não conseguimos fazer uma petição online,
 talvez com as pessoas da lista.. e mandarmos pra alguém que
 tenha condições de ir ao ar desmascarar o tal sujeito?
 
 Acho que como as redes de televisão aqui são sensacionalistas,
 iriam adorar alguém contradizendo outra pessoa que foi ao ar.
 
 O que vocês acham?

Concordo totalmente. Acabo de escrever para o João Lucas, presidente da SBM.
Acho que o ideal é que isto fosse feito institucionalmente.

[]s, N.
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Re: [obm-l] númer o irracional

2007-08-13 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Sat, Aug 11, 2007 at 06:19:00PM +0300, Francisco wrote:
 Como mostro que 3^(3^(1/2)) é um número irracional?

Sabemos que 3^(1/2) é algébrico e irracional.
Devemos agora usar o teorema abaixo:

Teorema de Gelfond-Schneider:
Se a e b são algébricos, a diferente de 0 e 1, b irracional
então a^b não é algébrico.

Tomando a = 3 e b = 3^(1/2) temos que 3^(3^(1/2)) não é algébrico
e em particular é irracional.

O teorema acima é bem difícil e está demonstrado no
livro Irrational Numbers de Ivan Niven (publicado pela MAA).

Aliás, um número real ou complexo z é algébrico se existir um polinômio
não identicamente nulo p de coeficientes racionais tal que p(z) = 0.

Se você estiver perguntando se existe uma demonstração *fácil*
de que 3^(3^(1/2)) é irracional eu não sei. Meu palpite é que não
e se alguém tiver uma demonstração fácil eu teria curiosidade de ver.

N.


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Re: [obm-l] Re: [obm-l] BET ONEIRA e a média harmônica....

2007-08-13 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Mon, Aug 13, 2007 at 09:53:47AM -0300, Fernando A Candeias wrote:
 Uma vez manisfestei estranheza  quanto a ausência de qualquer referência aos
 númeroos aleatários, em clássicos de análise  que tratam da teoria do número
 real.* * Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são
 os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais.
 Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como
 também os  transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua
 descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma
 abordagem para esses números fora do  cálculo das probablidades?

De fato, só uma quantidade enumerável de reais podem ser caracterizados
por uma expressão finita. Está muito longe de ser verdade, entretanto,
que os demais sejam em qualquer sentido razoável aleatórios.
Por exemplo, há uma quantidade não enumerável de reais cuja expansão
decimal inclui apenas os algarismos 3 e 7 (digamos). Se a_n for o número
de algarismos 3 dentre os n primeiros algarismos, há uma quantidade não
enumerável de reais para os quais lim sup a_n/n = 1, lim inf a_n/n = 0.
Acho que estes não podem ser chamados de aleatórios.

Talvez você esteja interessado no conceito de números normais.

[]s, N.
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=

Re: [obm-l] livros e consol idação da lista

2007-07-18 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Wed, Jul 18, 2007 at 09:43:06AM -0300, ralonso wrote:
 No contexto da mensagem propaganda significa propaganda da
 pirataria. A informação
 de como obter material para estudo não é off-topic.

De fato, esta era a minha intenção: dizer que você *NÃO* deve
enviar para a lista mensagens como Dê uma olhada no site x
que lá tem um monte de livros de matemática escaneados se as
cópias forem piratas. Divulgação de sites onde há livros de matemática
que podem ser legalmente baixados é muito bem vinda.
Se um membro da lista escrever um livro e mandar para cá um anúncio
simples isto também está ok. Uma pergunta sobre onde conseguir o livro
tal também está ok. Por outro lado considero abusivos anúncios de compra
e venda de livros.

[]s, N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] livros e consol idação da lista

2007-07-17 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Tue, Jul 17, 2007 at 03:35:31PM -0300, Julio Sousa wrote:
 Mensagem do professor Nicolau em um ´tópico anterior...
 
 Confirmando e esclarecendo...
 
 *Por favor não façam propaganda nem apologia da pirataria na lista.
 Se você fizer uma cópia pirata o problema é seu, dos autores
 e do governo. Mas se você fizer isso na lista o problema passa
 a ser também meu, da PUC e da OBM.
 
 A discussão sobre se a lei é justa ou sábia é off-topic.
 
 Obrigado*

Mantenho tudo o que eu escrevi mas confesso que não entendi
exatamente pq eu fui citado. Não me pareceu que ninguém neste
thread (pace os puristas de nosso idioma) estivesse planejando
piratear nada. Talvez tenha entendido mal.

Em todo caso, se alguém tiver ânimo para fazer um livro baseado
em mensagens desta lista terá todo o meu apoio. Eu sugeriria
(isto é apenas uma sugestão) que este livro fosse publicado
com a licença GNU FDL (veja http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
ou outra licença livre que dê a qualquer um o direito de baixar
sua cópia pela internet e redistribuir versões modificadas.

N.

 On 7/17/07, ralonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Na página teorema te o e-mail dele:
   http://www.teorema.mat.br
 
 Rodolfo Braz wrote:
 
 Ralonso, como faço pra entrar em contato com o Yuri Lima? Abraço!
 
 *ralonso [EMAIL PROTECTED]* escreveu:
 
  Seria fantástico. Mas é necessário alguém com bastante tempo e 
  paciência
 para fazer isso (pegar cada mensagem interessante,
 ordenar problemas por assuntos e converter os problemas mais interessantes
 
 em TEX ).
 
 Eu certamente compraria um livro desses. Parece que o Yuri Lima está
 vendendo um livro com questões de matemática olímpica e que está usando
 esse
 material para treinar pessoas para olimpíadas ( pelo menos foi o que ele
 me disse no útimo
 e-mail que me enviou). Acho que vc pode tentar entrar em contato com ele
 para
 comprar.
 
 Claro que se alguém fizer uma compilação de arquivos e problemas dessa
 lista
 não pode deixar de esquecer de pagar a parcela de direitos autorais para
 as pessoas que publicaram soluções que, no caso, constariam do livro.
 
 Abraços.
 
 
 fabio fortes wrote:
 
  Existe algum livros com questões comentadas do Ime e
  do ITA? Vocês tem alguma dica de raciocínio lógico
  além do É divertido resolver problemas?
  Uma outra questão é se houve ou existe a intenção de
  consolidar esta lista, transformando-a em um livro de
  questões comentadas por exemplo;
  Obrigado
 
 
 
 
 
  Take the Internet to Go: Yahoo!Go puts the Internet in your pocket:
 mail, news, photos  more.
  http://mobile.yahoo.com/go?refer=1GNXIC
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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 Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba 
 maishttp://www.flickr.com.br/
 .
 
 
 
 
 -- 
 Atenciosamente
 Júlio Sousa
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Re: [obm-l] O sapo, a escada e a moeda (probabilidade)

2007-07-12 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Mon, Jul 02, 2007 at 03:53:32PM -0300, Rogerio Ponce wrote:
 Durante o mes de julho, um super-sapo, infinitamente rapido, desceu,
 sequencialmente, todos os degraus de uma escadaria infinita. Somente ao
 final da viagem ele se deu conta que, ao atender o celular no dia 15, ele
 deixou cair sua moeda da sorte em algum degrau.
 
 Entao, pediu a um primo extremamente minucioso, que faria o mesmo percurso
 durante o mes de agosto, que ele tentasse encontrar a moeda.
 
 Sabe-se que o primo, ainda mais veloz, desce escadas empregando
 aleatoriamente 2 tipos de pulos: - saltos longos para a frente, (quando
 avanca diretamente do degrau N para o degrau N+2), - e saltos curtos
 para tras (quando retrocede do degrau N para o degrau N-1).
 
 Como os 2 tipos sao equiprovaveis, o primo realmente desce a escadaria, com
 taxa media de 1 degrau a cada 2 saltos. 
 
 Sabendo-se tambem que seu primo somente examina os degraus em que pisa, qual
 e' a probabilidade de que a moeda seja encontrada?

Gostei muito deste problema. A probabilidade de que a moeda seja encontrada
é 1 - phi^(-4) = (-5 + 3 sqrt(5))/2 ~= 0.854101966 onde phi = (1+sqrt(5))/2.

Acho que é melhor começar considerando um problema relacionado.
Suponha que no tempo 0 o primo encontra-se no degrau k  0.
Seja a_k a probabilidade de que o primo *não* volte a pisar no degrau 0.
Vamos calcular a_k.

Podemos considerar que a_0 = 0. Por teoremas de probabilidade
(lei dos grandes números, teorema central do limite ou algo do gênero)
sabemos que lim_(k - + infinito) a_k = 1.
Considerando o primeiro pulo, temos ainda
a_k = (a_(k-1) + a_(k+2))/2 para k  0.
Para resolver esta equação de diferenças considere a equação
l^3 - 2 l + 1 = 0, que tem raízes 1, phi^(-1) ~= 0.6 e -phi ~= -1.6.
Assim a_k = C_1 + C_2 phi^(-k) + C_3 (-phi)^k.
Pelas condições acima temos C_3 = 0 donde a_k = 1 - phi^(-k).
Em particular a_1 = 1 - phi^(-1) = phi^(-2) ~= 0.4.

Outro problema preliminar relacionado:
no tempo t = 0 o primo está na posição k  0.
Seja b_k a probabilidade de que o primeiro degrau = 0 a ser pisado
seja o degrau 0. Note que ele atingirá degraus = 0 com probabilidade 1
e que o primeiro a ser pisado pode ser o degrau 0 ou o degrau 1.
Vamos calcular b_k.

Podemos considerar que b_0 = 1, b_1 = 0.
Temos ainda 0 = b_k = 1 para todo k  0.
Novamente considerando o primeiro pulo temos
b_k = (b_(k-1) + b_(k+2))/2 para k  0.
Novamente temos b_k = C_4 + C_5 phi^(-k) + C_6 (-phi)^k.
Pelas condições acima temos C_5 = 0 donde b_k = phi^(-1) + (-phi)^(k-2).
Em particular lim_(k - - infinito) b_k = phi^(-1) ~= 0.6.

Vamos agora considerar o problema original.
Suponha sem perda de generalidade que a moeda caiu no degrau 0.
É melhor calcular a probabilidade de que o primo *não* encontre
a moeda, ou seja, de que ele nunca pise no degrau 0.

Vamos observar o primeiro instante em que o primo pisa em degraus = 0.
Pelo que vimos sobre b_k (lim_(k - - infinito) b_k = phi^(-1)),
com probabilidade phi^(-1) ele pisa no 0 e acha a moeda;
com probabilidade phi^(-2) ele pisa no 1 e não acha a moeda ainda.
Para que ele de fato nunca encontre a moeda deve ocorrer o segundo
caso e o primo a partir do degrau 1 não deve voltar a pisar no degrau 0.
Pelo que vimos sobre a_k (a_1 = phi^(-2)), isto ocorre com probabilidade
phi^(-2) e portanto a probabilidade de que a moeda não seja encontrada
é phi^(-4).

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Analise combinatoria - quantas comissoes?

2007-07-10 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

 a resposta e nao. Para ver isso claramente, consideremos :
 
 A - homens que so dominam matematica
 B-homens que so dominam frances
 C- homens que dominam frances e matematica
 
 D-mulheres que so dominam frances
 E-mulheres que so dominam matematica
 F- mulheres que dominam frances e matematica.
 
 Queremos solucoes que :
 
 A+B+C =10
 D+E+F=10
 B+C+D+F = 7   ( no maximo 7 pessoas dominam frances )
 A+C+E+F = 10 ( no maximo 10 phD em matematica )
 
 somando as duas ultimas equacoes ( e considerando o valor das duas 
 primeiras ) :
 
 20 + C + F = 17 ... ABSURDO ! Pois C =0 e F = 0
 
 Assim, a resposta ao nosso problema e :
 
 R = T – somatorio Ui  -  somatorio Vi
 
 FIM DO SEGUNDO ESBOCO
 
 A todos, com os melhores
 votos de paz profunda, sou
 Paulo Santa Rita
 2,1604,090707
 
 
 Em 09/07/07, Paulo Santa Rita[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Ola Artur e demais colegas
 desta lista ... OBM-L,
 
 O primeiro problema ( das comissoes com 10 homens e 10 mulheres ) me
 parece impossivel por combinatoria ou por qualquer outro metodo
 simplesmente porque e inconsistente : 21 +  25 + 12 = 57  53 ... O
 mesmo para as mulheres ! Se nao fosse essa limitacao e facil fazer por
 combinatoria.
 
 Quanto ao segundo, e trivial. Vou apenas esbocar a solucao. Por favor,
 complete os detalhes :
 
 X1, X2, ..., X365 sao os dias do ano. As solucoes inteiras nao negativas de
 
 X1 + X2 + ... + X365 = 200
 
 podem ser vistas como as imagens da funcao f que voce cita. Assim, a
 titulo de exemplo, a solucao (200,0,0,...,0) significa que todas as
 pessoas fizeram aniversario no primeiro dia do ano. O numero de
 solucoes inteiras e nao-negativas da equacao acima e bem conhecido.
 
 Fixando-se, a titulo de exemplificacao, na variavel X1, precisamos
 determinar em quantas solucoes ela tem o valor maximo . Assim :
 
 Formato : (200,0,0,...,0) - 1 solucao
 Formato : (199,1,0,...,0) - 364 solucoes
 formato : (198,1,1,0,...,0) - binom(264,2) - solucoes
 
 Agora e so ir decendo ate 100, pois e impossivel algu outro dia ter
 mais que 100 aniversariantes dado que ha somente 200 pessoas.
 
 ABAIXO DE 100 :
 
 Solucoes com 99 na posicao 1 mas que ocupam 3 lugares, tipo
 (99,99,2,...,0) tambem satirsfazem as condicoes impostas. Isso da um
 total de binom(364,2), solucoes som 99 na posicao 1 e que ocupam 4
 lugares, tipo (99,98,1,1,0,0,...,0) tambem satisfazem e assim
 sucessivamente.
 
 Fixado um Numero  100 basta considerar os casos em que os dias nos
 quais nao ocorre aniversario impossibilita ocorrer um maximo em outro
 local diferente do primeiro.
 
 Agora retiramos do total de solucoes de X1 + X2 + ...+X365=200 as
 solucoes que tem maximo em X1 ( na primeira posicao ) isso da a
 probabilidade para o dia 1. Por simetria, vale para qualquer dia.
 
 O primeiro problema tambem e simples, mas trabalhoso. O total de comissoes 
 e :
 
 T = BINOM(53,10)*BINOM(47,10)
 
 Agora basta retirar do total acima as comissoes impossiveis, tipo,
 todas aquelas nas quais no maximo 7 pessoas sao fluentes em frances (
 facil de calcular ) e assim sucessivamente
 
 Um Abracao pra todos
 Paulo Santa Rita
 2,1201,090707
 
 
 
 
 
 Em 02/07/07, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Eu resolvi este problema montando equacoes nas variaveis envolvidas e 
 recorrendo a um algorimo de programacao inteira. Talvez haja uma solucao 
 por analise combinatoria, mas me pareceu complicado.
 
  Numa empresa ha 100 funcionarios, 53 homens, 47 mulheres.  Dentre os 
 homens, 21 sao fluentes em Frances mas nao sabem Matematica, 25 tem Phd em 
 matematica mas nao falam Frances e 12 sao fluentes em Frances e tem Phd em 
 Matematica. Dentre as mulheres, 26 sao fluentes em Frances mas nao sabem 
 matematica, 17 tem PHD em matematica mas nao falam Frances e 9 sao 
 fluentes em Frances e tem Phd em matematica.
 
  O gerente quer formar uma comissao de 20 pessoas com os seguinte 
 critérios:
 
  Tem que haver 10 homens e 10 mulheres.
  Pelo menos 8 pessoas tem que ser fluentes em Frances.
  Pelo menos 11 pessoas tem que ter Phd em matematica.
 
  Atendendo a tais criterios, quantas comissoes podem ser formadas?
 
  Artur
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  =
 
 
 
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Re: [obm-l] Analise combinatoria - quantas comissoes?

2007-07-10 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Tue, Jul 10, 2007 at 04:28:10PM -0300, Paulo Santa Rita wrote:
 Ola Carissimo Prof Nicolau edemais colegas desta lista ... OBM-L,
 Em primeiro lugar me permita explicar o teor da sua critica aos 
 nossosleitores para que todos possam entender...
 1) ESCLARECIMENTO DA CRITICA
 Considerem duas pessoas - Isaac e Vitor - e um ano de 3 dias. Umvetor do 
 tipo (DIA1,DIA2,DIA3) vai representar o ano. Como podemocorrer os 
 aniversarios destas 2 pessoas ao longo deste ano ? Assim:
 (Isaac, Vitor, 0) , (Vitor, Isaac, 0)(Isaac, 0, Vitor) , (Vitor, 0, 
 Isaac)(0, Isaac, Vitor) , ((0, Vitor, Isaac)
 (Isaac e Vitor, 0, 0), (0, Isaac e Vitor, 0) e ( 0, 0, Isaac e Vitor)
 Considerando equiprovavel as possibilidades, a probababilidade de cadauma 
 seria 1/9, obvio. Entretanto, considerando que as possibilidade 
 de(Isaac,Vitor,0) e (Vitor, Isaac,0) corresponde A MESMA SOLUCAO (1,1,0)da 
 equacao :
 X1 + X2 + X3 = 2
 Segue que a probabilidade da solucao (1,1,0) e o dobro, isto e, e 2/9.Acho 
 que deixei claro   a CRITICA CRITERIOSA que o Carissimo ProfNicolau faz.

Até aqui tudo bem, isto é exatamente o que eu tentei dizer.

 2) COMO EU LI O PROBLEMA
 As solucoes (Isaac, Vitor,0) e (Vitor,Isaac,0) sao diferente porqueeles 
 nasceram em dias diferentes. Mas, suponha que eles nasceram nomesmo dia. Um 
 poderia ter nascido antes do outro. Neste caso :
 (Isaac e Vitor,0,0) e (Vitor e Isaac,0,0) seriam diferente, pois, 
 naprimeira 3-upla, Isaac nasceu antes do Vitor, o contrario tendoocorrido 
 na segunda 3-upla. Portanto, a solucao (2,0,0) tambemrepresentaria duas 
 possibilidades.
 Portanto, eu considerei INTENCIONALMENTE irrelevante  a diferenca deordem, 
 o que implica considerar equiprovaveis as diversas solucoes de
 X1 + X2 + ... + X365 = 200

Não acho convincente esta sua leitura do problema. 
Não vejo como a presença ou ausência da hora de nascimento
na certidão de nascimento possa afetar a resposta do problema.

Para mim o problema pode ser reformulado assim:

Considere um dado com N = 365 faces.
Jogue o dado M = 200 vezes e tabule quantas vezes A[i] sai a resposta i.
Tome m = max A[i]. Qual a probabilidade de que A[1] = m?

Ou equivalentemente:

Obtenha a lista A como acima.
Ordene a lista A, tome seu máximo m e conte quantas vezes aparece o valor m;
chamemos este número de Y.
Qual a esperança da variável aleatória Y?

Escrevi um programa maple para simular esta última versão do problema:

jojo := proc(N,M) local i, j, roll, A, As, m, Y:
roll := rand(1..N):
A := array(1..N,sparse):
for i to M do j := roll(): A[j] := A[j] + 1: od:
As := sort(convert(A,list)):
m := As[-1]: Y := 1:
for j from 2 to M do
if (As[-j]  m) then break: else Y := Y+1: fi: od:
return(Y); end;

a := array(1..25000): for i to 25000 do a[i] := jojo(365,200): od: 

(Aqui espere um pouco até o computador/programa rodar esta coisa 25000 vezes)

pp := 0: for i to 25000 do pp := pp + q^a[i]: od: sort(pp);

   41383635  332815  14   13   12
2 q   + q   + q   + q   + 5 q   + q   + q   + 7 q   + 20 q   + 68 q

11109 8 7 6 5
 + 159 q   + 375 q   + 685 q  + 1092 q  + 1605 q  + 1788 q  + 1837 q

 4 3 2
 + 1505 q  + 1553 q  + 3656 q  + 10638 q

(Note que temos um máximo local em Y = 5.
Pelos exemplos que eu vi isto ocorre quando o máximo é 3.
O máximo global em Y = 1 corresponde a um máximo mais alto.)

pd := diff(pp,q): subs(q=1,pd);

81750

evalf(%/25000);
  3.27000


Bom, esta é a resposta aproximada. Ou melhor, a resposta é isso
dividido por 365.



 3) COMO ATENDER A EXIGENCIA DA CRITICA
 Considerando que a ordem dos nascimento em um mesmo dia saoirrelevantes e 
 atendendo somente a diferencas de dias, como computar onumero de 
 possibilidades para uma particular solucao numerica ?
 Vou mostrar isso atraves de um exemplo.
 Considere a solucao : (5,4,3,1,1,1,0,0) de X1 + X2 + ...+ X8 = 15. Aquantas 
 possibilidades ela corresponde ? Facil : do total de 15pessoas escolho 5 
 para colocar na primeira posicao, BI(15,5). Sobram10 pessoas, das quais 
 escolho 4 para colocar na segunda posicao,BI(10,4). Sobram 6 pessoas, das 
 quais escolho 3 para colocar naterceira posicao, BI(6,3). A seguir permuto 
 as tres posicoescorrespondem aos 1's. Isso da :
 T=Bi(15,5) * Bi(10,4) * Bi(6,3) * 3!
 Como vemos, e facil fazer a computacao. O problema ( que ja etrabalhoso ) 
 vai apenas ficar mais trabalhoso. Eu gosto muito depensar, mas detesto 
 fazer calculos.

Acho que isto que você está esboçando é correto para valores menores de M e N
mas para os valores dados no problema é incrivelmente trabalhoso.

 4) ESTENDENDO O PROBLEMA
 Usando o mesmo contexto e considerando as solucoes de
 X1 + X2 + ... + X365 = 200
 equiprovaveis ( considere nascimentos de 200 coelhos albinos ) qual 
 aprobabilidade que num determinado dia d NAO SEJA EXTREMO, isto e,nao 
 seja maximo e nem

Re: Res: [obm-l] russia 1999

2007-07-02 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

Normalmente eu não mando mensagens só para agradecer, 
mas eu acho que realmente devo agradecer ao Mauricio
pela paciência que ele teve em explicar a minha solução
enquanto eu não estava por aqui! Valeu!

[]s, N.

On Mon, Jul 02, 2007 at 04:08:22AM -0700, Klaus Ferraz wrote:
 Agora sim. Entendi. Idéia que o Nicolau usou realmente foi bastante 
 artificial!
 Bom, valeu Mauricio, desculpe o incômodo.
 Um abraço.
 
 
 - Mensagem original 
 De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Enviadas: Domingo, 1 de Julho de 2007 11:14:58
 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999
 
 
 Tome inicialmente t = -1/2 e a = 1/2. Temos, pela desigualdade que o
 Nicolau enunciou, que:
 
 c(-1,1/2)  c(-1, 0)  c(-1/2, 0)
...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE S: [obm-l] dúvida sobre Limite

2007-07-02 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Fri, Jun 29, 2007 at 11:44:35AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
 Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series
 de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez
 este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as
 chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise
 Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns
 capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo
 menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em
 representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. 

A definição via série é de fato muito boa para estender a definição
de exp para os complexos, mas definitivamente não é esta a única forma
de proceder, veja abaixo. Se é a melhor forma é questão de opinião.

 Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que,
 embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo
 trigonometrico ou por cateto oposto sobre hipotenusa, como aprendi no
 antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque
 a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na
 realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das
 funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade
 |sen(x)| =  |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente
 provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a
 menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. 

Sob um ponto de vista lógico, as considerações são válidas mas exageradas:
você de fato precisa de integral (no mínimo) para definir o comprimento
de uma curva qualquer. No caso em questão, entretanto, estamos calculando
o comprimento apenas de segmentos de reta e de círculo. Isto pode ser feito
sem integral.

Outro ponto de vista importante é o pedagógico. É rotina apresentar na escola
de maneira informal conceitos que para uma apresentação formal exigem 
matemática muito além do que os alunos conhecem. Comprimento de uma curva
e área de uma região são bons exemplos.

 Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos
 complexos?

A definição via EDO é perfeitamente adequada para exponencial de complexos e
matrizes: ela é a definição de exponencial de uma álgebra de Lie g
para o grupo de Lie associado G: se
f: R - G, f(0) = e, f'(t) = f(t) h (onde h é um elemento de g)
então f(t) = exp(t h).

 As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos
 reais, certo?

A definição via inverso do log funciona perfeitamente bem para complexos:
integre a função holomorfa f(z) = 1/z (em um aberto simplesmente conexo
que não contenha a origem) para obter a funçao holomorfa g(z) = log(z).
A inversa de g é a restrição da exponencial a algum aberto e prolongamento
analítico estende a exponencial para todo o plano complexo.

Para a definição elementar, veja abaixo.

 No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a
 funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em
 pelo menos 1 elemento de R?

Não. Para todo a  1 existe uma única função crescente f: R - R com
f(0) = 1, f(1) = a, f(x+y) = f(x)*f(y). Talvez você não tenha atentado para
a hipótese (elementar, i.e., dentro da matemática que um estudante de
ensino médio conhece) de f ser crescente.

A hipótese de f ser crescente de fato não faz sentido para os complexos.
Acho que a trilha mais fiel à construção elementar seria provar que f
é real analítica e tomar seu prolongamento analítico para o plano complexo.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] d úvida sobre Limite

2007-06-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
 Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x +
 x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes
 dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio
 e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em
 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0  =1.

É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta
(a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial.
A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de
f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs).
Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln)
e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$
(definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a  1
existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo
f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x
(definição elementar).

Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial,
pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou
a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial
ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido.

[]s, N.
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Re: [obm-l] Desafio - Aná lise Real

2007-06-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote:
 Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e
 suponha que existe k  0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n|  k para
 todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência  (c_n) definida por c_n =
 a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. 
 
 Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.

As seqüências a_k e b_k são limitadas:
suponha que |a_k|, |b_k|  B para todo k. 

Dado e  0 seja N1 tal que n  N1 - |b_(N1+1)|+...+|b_n|  e/(2B).
Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|.
Seja N2 tal que n  N2 - |a_n|  e/(2C).

Tome N = N1+N2 e n  N.
 |c_n| = |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + 
  |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1|

Na primeira linha temos |a_k|  B.
Temos n+1-N1  N2 donde na segunda linha temos |a_k|  e/(2C).
Assim

 |c_n| = B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) +
  (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|)
Be/(2B) + Ce/(2C) = e

concluindo a demonstração.

[]s, N.

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Re: [obm-l] russia 1999

2007-06-29 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote:
  (Russia-1999)  Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos
  r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2).

Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta
que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)).
Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema.
Devemos ter c(t-a,t)  c(t-a,t+a)  c(t,t+a) se a  0.
Assim
c(-1,0)  c(-1/2,0)  c(-1/4,0)  c(-1/8,0)  ... 
...  c(0,1/8)  c(0,1/4)  c(0,1/2)  c(0,1).
Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo.

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Re: [obm-l] Duvida

2007-06-26 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Jun 21, 2007 at 11:47:19PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:
 Oi, Nicolau (e demais colegas envolvidos com este problema)...
 
 Ah se eu tivesse como qualidade uma pequena dose que fosse do seu 
 pragmatismo...!!!
...
 Mas quando eu percebi que tinha que fazer aquelas contas desisti 
 deste caminho, pois fui menos pragmático (um dos grandes defeitos que 
 tenho) e pensei:  e se o enunciado pedisse  a^2001+b^2001+c^2001?   O 
 que eu faria?  

Oi Nehab, 

Antes de mais nada obrigado pelos elogios.

Mas a sua observa��o me fez pensar mais no problema original:

  Se a, b e c s�o n�meros complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e
  a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.

Pensando nos seus coment�rios cheguei na seguinte variante da solu��o.
Ela � �tima se voc� tiver uma calculadora.

J� vimos que a, b, c s�o as ra�zes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
N�o � dif�cil ver que este polin�mio tem uma �nica raiz real a que est�
entre 1 e 2 e com um pouco de trabalho obtemos a ~= 1.8392868.
Como o produto das tr�s ra�zes � -1, b e c s�o complexos conjugados
de m�dulo menor do que 1. Assim, para n grande temos
a^n + b^n + c^n ~= a^n ~= (1.8392868)^n.
Esta aproxima��o meio porca � suficiente para obtermos
a^21 + b^21 + c^21 ~= 361109.18
e como a resposta � obviamente inteira concluimos corretamente que
a^21 + b^21 + c^21 ~= 361109.

[]s, N.




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Re: [obm-l] Derivada simples.

2007-06-22 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Fri, Jun 22, 2007 at 09:15:21AM -0300, giovani ferrera wrote:
 
 Como resolver essa?
   Um arame de 60 metros de comprimentos vai ser cortado em dois pedaços. 
 Com um deve-se fazer um círculo e com o outro um triangulo equilatero. 
 Onde devemos cortar o arame de modo que a soma das áreas do circulo e do 
 triangulo seja:
 a) maxima
 b) minima
 Vê se é isso: Derirar a soma das areas em funçao do lado do triangulo e 
 depois igualar a zero para que a area do circulo seja macima. Agora quanto 
 a area minima nao faço idéia.

Mais ou menos... derivar e igualar a zero dá candidatos a máximo ou mínimo.
Outros candidatos são os extremos (não corte o arame e faça um grande
círculo ou um grande triângulo).

Fazendo as contas você deverá encontrar um candidato além dos extremos
e calculando a área para estes três casos você deverá constatar que
a área máxima corresponde a um grande círculo e a área mínima corresponde
ao único candidato no interior do intervalo.

Aliás, o problema de contornar a maior área possível com um comprimento
dado tem como solução um grande círculo mesmo se permitirmos qualquer
curva plana. Este resultado é conhecido como o problema de Dido.
Dido é a lendária fundadora de Cartago e ela usou este algoritmo
para demarcar os limites da cidade. Gugu e eu escrevemos um artigo
para a revista Matemática Universitária sobre este tema:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/dido.pdf

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Re: [obm-l] Dúvida

2007-06-21 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote:
 Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:
 
 Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e  
 a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.

Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc.
Temos
(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 
1 = 3 + 2X
X = -1

(ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc
-1 = Y + 3Z

(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc
-1 = 7 + 3Y + 6Z

Y = -4, Z = 1

Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n:

p_1  = 1
p_2  = 3
p_3  = 7
p_4  = 11
p_5  = 21
p_6  = 39
p_7  = 71
p_8  = 131
p_9  = 241
p_10 = 443
p_11 = 815
p_12 = 1499
p_13 = 2757
p_14 = 5071
p_15 = 9327
p_16 = 17155
p_17 = 31553
p_18 = 58035
p_19 = 106743
p_20 = 196331
p_21 = 361109

Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109.

Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c
podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]]
cujos autovalores são a,b,c.

[001]
N = [101]
[011]

Temos

  [011]
N^2 = [012]
  [112]

  [124]
N^4 = [236]
  [247]

  [24 7]
N^5 = [3611]
  [4713]

   [44 81149]
N^10 = [68125230]
   [81149274]

   [1951335890 66012]
N^20 = [3012255403101902]
   [3589066012121415]

   [35890 66012121415]
N^21 = [55403101902187427]
   [66012121415223317]

Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
matrizes anteriores.

Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
(e chegamos na mesma resposta).

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Re: [obm-l] Dúvida

2007-06-21 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Jun 21, 2007 at 02:20:54PM -0300, ralonso wrote:
  Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
  Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
  p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n
 
 Olá Professor Nicolau.  Como você consegui enxergar que
   p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ?  Suponho que você está
 considerando que p(n) = x^n e   x^3  = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) =
 x^3 + x^2 + x.   Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois
 x pode ser a, b ou c.  A confusão surge porque  x tem que ser o mesmo nos dois
 lados da equação.  Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor
 essa passagem.

Temos
a^3 = a^2 + a + 1 donde a^(n+3) = a^(n+2) + a^(n+1) + a^n
b^3 = b^2 + b + 1 donde b^(n+3) = b^(n+2) + b^(n+1) + b^n
c^3 = a^2 + a + 1 donde c^(n+3) = c^(n+2) + c^(n+1) + c^n

Somando,

a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3) = (a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2)) +
  + (a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)) + (a^n + b^n + c^n)

que é o mesmo que

p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n

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Re: [obm-l] Teoria de Corpos

2007-06-14 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Thu, Jun 14, 2007 at 08:35:39AM -0300, Paulo Santa Rita wrote:
 Ola Matheus e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,
 
 Fui lá na pagina e (re)descobri os enderecos corretos. Sao dois livros
 onde existem muitas questoes resolvidas. Eis os links :
 
 http://www.im.ufrj.br/~amilcar/algebra.pdf
 http://www.im.ufrj.br/~amilcar/math594fs.pdf

Na verdade o segundo endereço é

http://www.im.ufrj.br/~amilcar/math594fS.pdf

(com S maiúsculo) mas o melhor mesmo é usar a versão mais
fresca que está na home page do Milne:

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594fa.pdf

Aliás há um monte de outras coisas legais (nos dois sentidos!)
na página do Milne.

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