[obm-l] Vagas para Graduados na USP

[ralonso]

Inscrição e Seleção de Graduados - 2008

De acordo com o Estatuto da USP, poderá ser concedida matrícula, nos
cursos da USP, a portadores de diploma de curso superior devidamente
registrado. A matrícula poderá ser deferida para o primeiro período
letivo do curso, se resultarem vagas após a matrícula de alunos
classificados em concurso vestibular e após o atendimento das
transferências regimentais. A critério da Comissão de Graduação, poderá
ser deferida para outros períodos letivos do curso, se resultarem vagas
após a matrícula dos alunos regulares e o atendimento das transferências
regimentais, estando os alunos sujeitos às adaptações curriculares
necessárias. (Informações Acadêmicas - 2007).

Número de vagas :
Bacharelado em Matemática: 16
Bacharelado em Estatística: não há vagas
Bacharelado em Matemática Aplicada: 06
Bacharelado em Matemática Aplicada e Computacional: 01
Bacharelado em Ciência da Computação: 04
Licenciatura em Matemática - diurno: 07
Licenciatura em Matemática - noturno: 32

Inscrição: 08 e 09 de janeiro de 2008, na Secretaria da Comissão de
Graduação - sala 13 do Bloco B do IME. Documentos necessários: cópia de
diploma, devidamente registrado, e do histórico escolar, ementa das
disciplinas cursadas. Candidatos graduados em curso do IME ou de outra
unidade da USP poderão apresentar apenas atestado de conclusão de curso.

Critérios de Seleção:

1. Bacharelado em Matemática: serão selecionados para entrevista os
candidatos que obtiverem nota maior ou igual a 5,0 (cinco) na prova de
Cálculo Diferencial e Integral. Candidatos graduados pela USP não estão
dispensados da prova. A classificação final dos candidatos será feita
levando-se em conta a nota atribuída na prova, a entrevista e o
currículo do candidato.
Programa da prova de Cálculo Diferencial e Integral: Funções
polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas;
função composta e função inversa. Limites: propriedades algébricas,
cálculo de limites, Teorema do Confronto. Continuidade. Derivadas:
definição, interpretações geométricas, regras de derivação, regra da
cadeia, derivada da função inversa e derivação implícita. Aplicações.
Máximos e mínimos, Teorema do Valor Médio. Gráficos. Aplicações. Fórmula
de Taylor e aproximações de funções. Regras de L'Hospital. Aplicações.
Integral de Riemann. Técnicas de integração. Aplicações: cálculos de
volumes de revolução, comprimento de curvas, trabalho, densidade e
massa.
Referências Bibliográficas: 1)* *J. Stewart, “Cálculo”, vol. I, 4a. ed.,
Pioneira. 2) H. L. Guidorizzi, “Um Curso de Cálculo”, vol. I e II, ed.
LTC, 2002.

2. Bacharelado em Estatística: serão selecionados  os candidatos que
obtiverem nota maior ou igual a 5,0 (cinco) em prova de Introdução à
Probabilidade e Estatística. Candidatos graduados pela USP não estão
dispensados da prova. A classificação dos candidatos será feita pela
nota atribuída na prova e análise do currículo. No caso de empate a
classificação será feita com base em uma entrevista.
Programa da prova de Introdução à Probabilidade e Estatística:  1.
Estatística Descritiva, 2.  Probabilidades,
3. Variáveis Aleatórias Discretas. Principais modelos: Uniforme,
Bernoulli, Binomial, Geométrica, Poisson e Hipergeométrica, 4. Variáveis
Aleatórias Discretas Bidimensionais, 5. Variáveis Aleatórias Contínuas,
6. Estimação Pontual e por intervalo, 7. Testes de Hipóteses para média
e proporção, 8. Testes de Qui-quadrado, 9. Testes de Comparação de
Médias, 10. Regressão e Correlação.

3. Bacharelados em Matemática Aplicada e  Matemática Aplicada e
Computacional: serão selecionados os  candidatos que obtiverem nota
maior ou igual a 5,0 (cinco) na prova de Cálculo de Funções de uma
Variável. Candidatos graduados pela USP não estão dispensados da prova.
A classificação dos candidatos será feita pela nota atribuída na prova.
No caso de empate a classificação será feita com base na análise do
currículo ou entrevista.
Programa da prova de Cálculo de Funções de uma Variável: Funções
polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas;
função composta e função inversa. Limites: noção intuitiva e definição,
propriedades algébricas, Teorema do Confronto. Continuidade. Derivadas:
definição, interpretações geométricas, regras de derivação, regra da
cadeia, derivada da função inversa e derivação implícita. Aplicações.
Máximos e mínimos, Teorema do Valor Médio. Gráficos. Aplicações. Fórmula
de Taylor e aproximações de funções. Regras de L'Hospital. Aplicações.
Integral de Riemann. Integral definida e indefinida. Técnicas de
integração. Teorema fundamental de cálculo. Aplicações: cálculo de áreas
e volumes, trabalho, densidade e massa.

4. Bacharelado em Ciência da Computação: serão selecionados os
candidatos que obtiverem nota maior ou igual a 7,0 (sete) na prova de
Introdução à Computação. Candidatos graduados pela USP não estão
dispensados da prova. A classificação dos candidatos será feita pela
nota atribuída na prova. No caso de empate a classificação

Re: [obm-l] Produto finito

[ralonso]

Acho que dah para fazer por indução e formar uma equação
de diferenças, mas ainda, para ser sincero não pensei com calma,
veja:

P = ( 1 + 1^2 )( 1 + 2^2 )( 1 + 3^2 )... ( 1 + N^2 )

P_1  = ( 1 + 1^2 )
P_2  = ( 1 + 1^2 )( 1 + 2^2 )
 = (1 + 2^2) +  1^2 (1+2^2)
  = (1 + n^2) + (n-1)^2 P_n/P_(n-1)

Assim P_n = (1 + n^2) + (n-1)^2 P_n / P_(n-1)
O grande problema neste caso é que essa equação de diferenças é
meio complicada de resolver para achar P_n :)



"[EMAIL PROTECTED]" wrote:

> Rogerio Ponce escreveu:
>
>> Ola' Albert,
>> voce deve ter se enganado com alguma coisa no texto.
>> Do jeito que esta' , o produto e'  sempre zero.
>>
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>>
>>
>> Em 27/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]>
>> escreveu:
>>
>> > Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
>> > Alguém sabe qual é o valor do produto finito
>> >
>> > P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - N^2 )em função de N.
>> >
>> > Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e (N+1)!N!.
>> >
>> > Agradeço qualquer sugestão.
>> > =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> > =
>> >
>> >
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>>
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] geometria diferencial

[ralonso]

Vc quer dizer os arcos geodésicos ou as geodésicas?
A geodésica é definida como a curva que tem derivada covariante zero.
Neste caso não sei se dá para dizer tudo a respeito da superfície.
Tem que olhar as equações de Gauss.  Além disso existem três tipos de curvatura
para uma superfície, tem que ficar claro na questão
a qual delas vc está se referindo.

[]s
Ronaldo.

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Estou com duvida na seguinte questão:
> Verdadeiro ou falso, justifique sua resposta?
> Se os circulos geodesicos tem curvatura geodesica constante então a 
> superficie tem curvatura constante. E a reciproca??
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Produto finito

[ralonso]

Sugestão
P = ( 1 - 1^2 )!( 1 - 2^2 )!( 1 -3^2 )!... ( 1 - N^2 )!
   = (-1)^N  (1^2 -1) ! (2^2 - 1) ! ... (N^2 -1) !
   = (-1)^N [ (1 - 1) (1+1)] ! [ (2-1) (2+1) ] ! ...[(n+1)(n-1)]!

continuando com diferentes expressões equivalentes deve haver uma saída.

Carlos Nehab wrote:

> Oi, Albert (e Ponce)
>
> Faltou aplicar o fatorial em cada parcela do produtório...
> Nehab
>
> Rogerio Ponce escreveu:
>
>> Ola' Albert,
>> voce deve ter se enganado com alguma coisa no texto.
>> Do jeito que esta' , o produto e'  sempre zero.
>>
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>>
>>
>> Em 27/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]>
>> escreveu:
>>
>> > Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
>> > Alguém sabe qual é o valor do produto finito
>> >
>> > P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - N^2 )em função de N.
>> >
>> > Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e (N+1)!N!.
>> >
>> > Agradeço qualquer sugestão.
>> > =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> > =
>> >
>> >
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[ralonso]

qual link?

Artur Costa Steiner wrote:

> Neste limk há uma provaArtur
>
>  -Mensagem original-
>  De: [EMAIL PROTECTED]
>  [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo
>  Cientista
>  Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema
>  de FERMAT
>
>  Salhab, realmente houve uma falha
>
>  o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...
>
>  seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n ==
>  x mod p
>
>  seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k =
>  w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p
>  que pode ser reescrito como w == r mod p
>
>  w == r mod p implica w^p == r^p mod p
>
>
>
>  w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq
>  só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por
>  p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...)
>
>
>  - Mensagem original 
>  De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58
>  Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
>
>  Olá Rodrigo,
>
>  não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ...
>
>  de onde veio o 0?
>
>  abraços,
>  Salhab
>
>
>  On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista <
>  [EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>   Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista,
>   e gostaria de saber se uma demonstração que dei
>   para o pequeno teorema de fermat está equivocada
>   ou não, conforme segue:
>
>   o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não
>   sabemos...
>
>   escreverei n == x mod p, assim n == x mod p
>   implica n^p == x^p mod p (das propriedades de
>   congruência)
>
>   n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das
>   propriedades de congruência)
>
>   se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p
>   == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência)
>
>   assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p ==
>   n mod p como queríamos demonstrar
>
>
>Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem
>   limite de espaço para armazenamento!
>   http://br.mail.yahoo.com/
>
>
>   
> 
>
>   Instruções para entrar na lista, sair da lista e
>   usar a lista em
>   http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
>   
> 
>
>
>
>
>  -
>  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço
>  para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Dúvida para determinar área entre duas funções

[ralonso]

1) Ache os pontos de interseção das duas curvas que vou chamar de a e
b
2) use uma integral dupla
int_{a} ^{b} int_{4*x-x^2}^{ x^(-1)} 1 dx dy

Estou em treinamento  agora ...
se ninguém responder depois eu resolvo com detalhes.
[]s
Ronaldo.


Rubens Kamimura wrote:

> Caro Ronaldo, olá!
>
> 1.Boa tarde;
>
> 2.Gostaria de saber se poderia nos indicar uma saída para
> solucionar a questão abaixo:
>
> 3.calcular a área entre duas funções f(x) = 4*x-x^2 e g(x) =
> x^-1;
>
> sds fraternais;
>
> 上�　ルベンース
>
> Rubens
>

[obm-l] Grafos, topologia e combinatória

[ralonso]

Olá Pessoal.
Estou com a seguintes dúvidas:
 1)Quantos grafos conexos se pode formar com n pontos ? Ou talvez
quantos grafos se pode formar com n pontos?
  2)  Será que existe uma fórmula fechada para isso ?
  3)  Se existir, existe um procedimento ou algoritmo computacional para
gerar todos eles?

  Eu estava pensando em fazer um programa para isso para testar
alguns algoritmos
particionamento de grafos e detecção de comunidades,
mas não consegui   pois existem grafos que são  análogos a outros se
desconsiderarmos os rótulos dos vértices e eles são gerados de forma
duplicada.

[]s
Ronaldo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Dúvida

[ralonso]

Olá Rubens.  Pode ser que vc tenha colocado questões
muito difíceis ou então questões que ja' foram respondidas
anteriormente,
suponho.  Vc pode tentar fazer uma pesquisa destas questões na lista
ou então fazer um re-post delas.

[]s
Ronaldo.
Rubens Kamimura wrote:

> Senhores,
>
> 1. Boa tarde;
>
> 2. O que acontece neste FORUM?..., pois não obtive resposta às minhas
> indagações?
>
> Sds,
>
> Rubens
>
> Discente em matemática
>

Re: [obm-l] Primeira dúvida

[ralonso]

verdade. Na mensagem anterior há um erro:
i^i = cosh pi - sinh pi

Maurício Collares wrote:

> Como i = e^(i*pi/2), temos que i^i é igual a (e^(i*pi/2))^i =
> e^(-1*pi/2) = 1/e^(pi/2) = 0,207879576.
>
> --
> Abraços,
> Maurício
>
> On Nov 11, 2007 10:48 PM, Sérgio Martins da Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Primeira dúvida

[ralonso]

Não tenho certeza, do que  vou fazer, mas formalmente,
sem considerar a validade das expressões, teríamos algo como:

z^p = |z|^p (cos p t  + i sen p t)

trocando p por i :

z^i = |z|^i (cos i t + i sen i t)

t = arctan( y/x)  como y = 0 e x = -1
t = pi, logo trocando z por i:

 i ^i = |i| ^i  (cos ( pi * i ) + i sen (pi* i))
  =  (cos (pi* i ) + i sen (pi * i))
  =  ( e^(pi * i * i) + e^(- pi * i *i ) )/2 + i ( e^(pi* i * i) -
e^(-pi*i*i) )/ 2*i
  =  (e^(-pi) + e^(pi)) /2   + i ( e^(-pi) - e^( pi)) /2i
  =  cosh (pi)  + senh (pi)(*)

note que nesta última passagem houve cancelamento do i e
obtivemos um número real como resultado.

cosh (x ) = cosseno hiperbólico de x
sinh(x) = seno hiperbólico de x
Para ver as definições de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico
consulte a wikipedia.
Mesmo assim acho que o que foi feito acima deve ter algum erro.

[]s
Ronaldo.

Sérgio Martins da Silva wrote:

> Caros participantes da lista, Gosto de matemática e estou chegando
> agora à lista. Eis minha primeira dúvida: Quanto é i ^ i ? Significa
> alguma coisa?
>
> Sérgio

Re: [obm-l] Combinatória

[ralonso]

>Oi Nicolau.>Você tem razão, parece que não existem atalhos para o
problema 2).>Na verdade a colocação da expressão "outra versão" entre as
perguntas 1) e 2) dá á  impressão de uma
>vinculação entre elas que, se existe, esta longe de ser óbvia, como
sugerido.>Do primeiro problema, onde se pede  para determinar o número
de partições de  C={1,2,.2007} em dois
>subconjuntos disjuntos com mesma soma,  pode-se concluir que, uma vez
determinado esse número estará
>determinado  um número igual  de zeros obtido   a partir do enunciado
do problema 2), porém sem maiores
>considerações de natureza probabilísticas, como detalhei no problema
1).>E assim estaria resolvido também o problema 2).>O fato, porém  é
que, infelizmente,  a recíproca não é verdadeira. Pois quando uma das
distrubuições
>aleatorias dos + e - conduz a uma configuração de  soma zero, o
conjunto de referência desta soma  já não
>será mais o original, o conjunto C, que  teria sido desfigurado pelas
variações fortuitas até o evento da
>ocorrencia da soma zero. Não teríamos obtido  então  uma partição de C
em dois conjuntos disjuntos, de
>soma igual, mas sim de um outro conjunto diferente.
   Exato.  Quando comecei a resolver eu imaginei dois subconjuntos
disjuntos de soma igual, porém
analisando a solução do Paulo Santa Rita e os comentários do professor
Nicolau,
verifiquei que havia me enganado, e que, como o paper que postei aqui
mostra, não existe
uma expressão simples para solução do problema.

Ronaldo.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade

[ralonso]

Olá Paulo,  Fernando e demais colegas:
A solução e as observações do Paulo acerca do problema são realmente
brilhantes. Quando li a questão, inicialmente não imaginei resolver como
um problema de partiçoes de inteiros, embra  me pareça que
ser a solução do Paulo seja  a única forma correta neste caso,
pelo que andei analisando.

Problemas de partições de inteiro são problemas bastante estudados.
A primeira vez que me deparei com essas questões foi lendo o seguinte paper:

http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf

  Nele o leitor pode constatar que existe uma fórmula bastante interessante que
dá o número de partições exato de qualquer inteiro n. Essa fórmula está
na página 14 do paper acima.

Abraços a todos.



Paulo Santa Rita wrote:

> Ola Fernando e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Eu so respondi por dois motivos :
>
> 1) Tornar claro a ligacao do problema com o tema das particoes tanto
> para facilitar a solucao de alguem que venha a ter interesse pela
> questao como para colocar em pauta aqui na lista este tema da teoria
> dos numeros ( particoes ), muito pouco abordado.
>
> 2) O tipo de problema me levou a imaginar que voce fosse um
> pesquisador na area de  Computacao e estava querendo testar a
> eficiencia de algum sistema de codificacao de mensagem tal que tomando
> dois subconjuntos disjuntos B e C  de A={1, 2, ..., N }, N nao tao
> grande,  com mesma soma dos elementos, ao transmitir a mensagem
> codificada com B um outro usuario facilmente encontraria C e
> decodificaria, enquanto que uma pessoa estranha nao-autorizada - tendo
> inteceptado a mensagem - dado a grande quantidade de possibilidades,
> teria muita dificuldade numa decodificacao nao-autorizada.
>
> O caso 2) seria interessante se fosse viavel para N "nao tao grande",
> pois significaria um aperfeicoamento em relacao ao que se faz
> rotineiramente hoje ( numero primo "grande" ). Entretanto, vejo que
> imaginei errado ... Como voce diz que isto e apenas um problema
> olimpico, eu procuraria uma solucao bem elementar, por exemplo :
>
> 1) E claro que existe UMA UNICA solucao de COMPRIMENTO MINIMO,
> nomeadamente, comecando com uma PA decrescente de primeiro termo 2007
> e razao -1. Talvez seja necessario acrescentar um menor termo que nao
> faca parte da PA. Chamarei esse cara de N. Mas ela tera a forma :
>
> N + ( (P) + (P+1) + (P+2) + ...+ 2007) =1007514
>
> 2) E claro que vai haver uma solucao de COMPRIMENTO MAXIMO, com a forma :
>
> 1 + 2 + ... + Q + N = 1007514
>
> 3) Classificando-se as solucoes pelos comprimentos talvez fique mais
> facil encontra-las.
>
> Nao pensei no problema, mas fica a sugestao
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 4,0B23,070B07
>
> Em 07/11/07, fccores<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Prezado Paulo Santa Rita,
> >
> >   Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do
> > problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos
> > favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este
> > que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise
> > combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca
> > de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro.
> >  Estudei, inclusive um outro problema correlato:
> >
> >  "Determinar o coeficiente de x^k, 0= > ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]."
> >
> >  Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira
> > explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava
> > (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um
> > problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei
> > algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele
> > coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova.
> >
> >  Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem  e
> > parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da
> > qual sou um leitor assíduo.
> >
> >  Fernando Córes
> >
> >
> > > Ola Fernando e demais
> > > colegas desta lista ... OBM-L,
> > >
> > > Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio
> > > previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas
> > > podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em
> > > dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos
> > > elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular
> > > este enunciado.
> > >
> > > Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras
> > > distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde :
> > >
> > > 1) B intersecao C = Conjunto Vazio
> > > 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C
> > >
> > > Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que
> > > a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028
> > > / 2 = 1007514. E 

Re: [obm-l] Probabilidade

[ralonso]

fccores wrote:

> Escreve-se em um quadro negro
> os primeiros  2007 números naturais: 1, 2, 3, ..., 2007. A frente de
> cada um se escreve o sinal + ou - de forma ordenada, da esquerda para
> direita. Para decidir cada sinal é jogada uma moeda: se sai cara
> escreve- se + (mais), se sai coroa escreve -se - (menos). Uma vez
> escritos os 2007 sinais efetua - se a soma da expressão resultante.
> Determinar a probabilidade de que o resultado seja 0.
>
>

Esse parece interessante.  É um problema de combinatória.
A dica é notar em que situações a soma dá zero.  Usando
a idéia de Gauss:

  012  3 4  ...   1003
2007  2006  20052004   2003 ...1004
---
2007  2007  2007  20072007... 2007

Vemos abaixo uma situação em que a soma dá zero:

-  0- 12  3   -  4  ...   -1003
- 2007  -2006  20052004   - 2003 ...   - 1004
---
-2007  -2007  2007  2007-2007... -2007

Quantas dessas situações existem?

Basta agora dividir esse número pelo número total de possibilidades
de escolhas de sinais mais e menos.
[]
Ronaldo.

Re: [obm-l] 2^k=k^2

[ralonso]

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> On Nov 2, 2007 1:55 PM, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> >  Oi, Lenadro,
> >
> >  Dê uma olhada em
> >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200611/msg00093.html
>
>

Oi Nicolau:


> Se x fosse algébrico irracional então y = 2^x seria transcendente
> pois algébrico diferente de 0 e 1 elevado a algébrico irracional dá
> transcendente.
> Por outro lado y = x^2 é algébrico, absurdo.
>
> Claro que isso não exclui em princípio a possibilidade de x admitir
> uma expressão
> relativamente simples em termos de funções elementares (exp, log, sin, cos, 
> ...)
> mas acho extremamente improvável que isto ocorra.
>

  Você acha improvável porque 2^x admite representação em termos de série
de potências ? E que não deveria haver uma composição destas representações em
séries que levasse à solução da equação em termos de funções
elementares (sin, cos, exp, ln, etc) ?
Esse tópico parece interessante.  Euler conseguiu provar
que e^{ix} = cos x + i sen x usando representações em séries de potências, 
assim uma

equação do tipo e^x = -1 admite muitas soluções para x imáginário (inclusive
negativo).
  Pensei no seguinte:

x^2 = 2^x
2 ln x = x ln 2
  ln x = x (ln 2/ 2)
x = e^(x ln 2 /2 )
x ^{2/ln 2} = e^x = 1 + x + x^2/2 + ...+ infinitos termos

 ==>

   1 + x - x ^{2/ln 2}   + x^2/2 + ...  = 0
   ou
  f(x) = 0
com f(x) =  1 + x - x ^{2/ln 2}   + x^2/2 + ... = 0

o problema parece ser que o expoente de x é irracional do lado esquerdo de modo
que deveriam haver infinitas composições de funções g_i (x) para que a função
resultante
fosse f(x).  Em outras palavras, se

  g_1 * g_2 *... *g_n  = f(x)

então n--> oo.  Se existisse n a solução seria:

x = g_n^{-1} o ... o  g_2^{-1} o g_1^{-1}(0)

onde g_i^{-1} denota a inversa de g_i.
Seria este o caminho para uma prova formal
deste fato ?

Ronaldo.

>
> N.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] CÍRCULOS DIRETORES

[ralonso]

Acho que esse material deve ajudar:
http://majorando.com/arquivos/conicaspensi.pdf

[]s
Ronaldo.
arkon wrote:

> OI, CARLOS NEHAB,
>
> DESCULPA SE O OFENDI DE ALGUMA MANEIRA, MAS DE QUALQUER FORMA MUITO
> OBRIGADO PELO SEU COMENTÁRIO.
>
>
>
> ABRAÇOS
>
>
>
> Oi, Akon,
>
> Veja o que você perguntou:
>
> Qual a quantidade de ... "uma coisa que você não sabe o que é" !!!
> Não vai adantar nada eu dizer 1, 2, 3, 4, 5, 6, ou infinito.  Você
> primeiro precisa aprender o que é círculo diretor, para depois fazer
> sentido você perguntar quantos são.  E aí você perceberá que não
> precisava fazer a pergunta...
>
> Abraços,
> Nehab
>
> arkon escreveu:
>
>> >
>>
>> Alguém pode, por favor, responder esta:
>>
>> (UFPB-65) Numa hipérbole existem quantos círculos diretores?
>>
>> DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
>
> ==
> == Instruções
> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] VALOR DA DERIVADA

[ralonso]

Alternativa A.  Essa é a interpretação geométrica da derivada em um
sistema
cartesiano bidimensional.

arkon wrote:

>
> Alguém pode, por favor, responder esta: "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
>
> (UFPB-65) O valor da derivada num ponto de uma curva é igual:
>
> a) Ao coeficiente angular da tangente à curva no ponto.
>
> b) Ao coeficiente angular da normal a curva no ponto.
>
> c) Ao coeficiente angular da reta que une o ponto da curva a origem
> dos eixos.
>
> d) Nada acima é verdadeiro.
>
> DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
>

Re: [obm-l] Seqüência recursiva

[ralonso]

Me lembro de ter aprendido isso em um curso de análise complexa,
onde estudavamos funções de Möbius e tinha me esquecido deste detalhe:

"Uma função da forma f(z) = (az+b)/(cz+d) é conhecida como função de Möbius
e a composição de funções de Möbius é feita por multiplicação de matrizes."

   Fica como exercício a demonstração deste fato mencionado
pelo Nicolau.Desculpe minha ignorância no tema, mas existe alguma relação
das funções de Möbius usadas em análise complexa com a função  de Möbius
clássica usada em teoria dos números?

  http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_function

Vi algo sobre álgebras de incidência mas ainda não tive tempo para estudar
melhor o assunto.  Sou apenas um analista de sistemas que
gosta de matemática ...  Mas  o assunto é extremamente
interessante, vale a pena ler a respeito.

[]s


"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> Obrigado a todos pelos comentários elogiosos feitos a minha solução.
> Quanto a de onde saíram estas matrizes, o que eu posso dizer é que a esta 
> altura
> para mim isto é uma idéia velha, que eu já vi ser aplicada um monte de vezes.
> Uma função da forma f(z) = (az+b)/(cz+d) é conhecida como função de Möbius
> e a composição de funções de Möbius é feita por multiplicação de matrizes.
>
> []s, N.
>
> > Exatamente!  Nicolau deve ter  observado alguma relação de
> > correspondência, ou seja,
> > algum "morfismo" entre essas duas áreas.  Esse tipo de visão é típica de
> > pessoas com
> > pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi exatamente como
> > ele faz
> > essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói esses
> > "morfismos"...  É surpreendente
> > e interessante, de qualquer forma.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Seqüência recursiva

[ralonso]

Carlos Nehab wrote:

> Oi, Alonso,
>
> O que eu argumentei (e talvez não tenha sido claro) é sobre o
> "processo mental" que levou à solução usando matrizes.
> Ainda acho que a solução apresentada foi conseqüência da percepção de
> que polinômios característicos usados na solução das recorrências,
> solução tipica para elas, podem ser "olhados" em outro domínio de
> conhecimento - e ai se deu a mudança de paradigma - o uso do polinômio
> característico no universo das transformações linares...
>
> Mas é claro só mesmo o Nicolau para responder a isto: ou seja, como as
> coisas rolaram em seus "neurônios"... (e me surprenderá se ele
> responder como "rolaram" suas sinapses para bolar a referida
> solução...:-)
>

   Exatamente!  Nicolau deve ter  observado alguma relação de
correspondência, ou seja,
algum "morfismo" entre essas duas áreas.  Esse tipo de visão é típica de
pessoas com
pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi exatamente
como ele faz
essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói esses
"morfismos"...  É surpreendente
e interessante, de qualquer forma.

[]s/

>
> Quanto à segunda parte de seu email, não há o que discutir:
> naturalmente a questão relevante não é calcular o limite (que quase
> sempre é facílimo).  O problema é mostrar que ele existe, como eu acho
> que foi o que você pontuou..
>
> Abração,
> Nehab
>
> ralonso escreveu:
>
>> Olá Nehab:
>>   Dei uma olhada no documento, mas o "pulo do gato" é mesmo o
>> uso
>> de matrizes.  Em relação a frações contínuas basta notar que
>> lim (n--> oo)  x_{n+1} = lim (n-->oo)  x_n  =  x.
>>   Assim x = 4 - 3/x,  ==>  x^2 -4x + 3 = 0.
>>x = 1 ou x=3.  Agora
>> precisa-se analisar a estabilidade nestes dois pontos.  Um deles
>> é um atrator.  Note que resolver a equação
>> é também uma forma de resolver alguns limites de forma
>> mais simplificada.
>> []s
>>
>> Carlos Nehab wrote:
>>
>> > Oi, Alonso,
>> >
>> > Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...
>> >
>> > O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução muito
>> > bonita e seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando
>> > matrizes) para resolver recorrências.
>> > (veja no final de
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
>> >
>> > Quanto a sua pergunta, as "equações de diferenças" podem ser usadas
>> > mas acho "bala de canhão" para este particular exercício.Se
>> > você tiver alguma familiaridade com Frações Contínuas...  Veja:
>> >
>> > A recorrência dada indica que  x_n =   4 -   3 / (4  -  3 / (4 -
>> > 3/ .)) ,
>> >
>> > que é uma fração contínua onde se você escrever  x_n = p_n/q_n
>> > (que é usual no estudo das frações contínuas e foi um dos truques
>> > usados pelo Nicolau), você obtém:
>> > p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n   (1)   e
>> > q_n+1 = p_n(2)
>> >
>> > Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver estas
>> > recorrências, mas não a original, que é feiosa.  "Olhando" para x_n
>> > como p_n/q_n se eliminou a "deconfortável" parcela   1/x_n da
>> > recorrência original.   Ou seja, as recorrências  para p_n e q_n
>> > são banais.
>> >
>> > Se você substituir (2) em (1)  o problema acabou... Você obtém
>> > p_n+1 = 4.p_n  - 3.p_n-1, cuja solução é simples, e cujo polinômio
>> > característico coincide com o usado pelo Nicolau, embora com o
>> > "olhar" dele nas matrizes...
>> >
>> > O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento - se eu
>> > estiver equivocado ele me corrigirá...) é ter este outro "olhar" do
>> > polinômio característico para os zilhões de exercícios que usam
>> > recorrência.
>> >
>> > Se quiser dê uma olhada
>> > em www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc você verá dezenas
>> > de relações de recorrências e seus truques... (mas sem o fecho do
>> > problema com matrizes).
>> >
>> > Abraços,
>> > Nehab
>> >
>> >
>> >>  Olá Nicolau.
>> >>
>> >>  "Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
>> >>
>> >>  Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
>> >>  ao racional p/q.   Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
>> >>  usando concei

Re: [obm-l] Seqüência recursiva

[ralonso]

Olá Nehab:
  Dei uma olhada no documento, mas o "pulo do gato" é mesmo o uso
de matrizes.  Em relação a frações contínuas basta notar que
lim (n--> oo)  x_{n+1} = lim (n-->oo)  x_n  =  x.
  Assim x = 4 - 3/x,  ==>  x^2 -4x + 3 = 0.
   x = 1 ou x=3.  Agora
precisa-se analisar a estabilidade nestes dois pontos.  Um deles
é um atrator.  Note que resolver a equação
é também uma forma de resolver alguns limites de forma
mais simplificada.
[]s

Carlos Nehab wrote:

> Oi, Alonso,
>
> Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...
>
> O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução muito bonita e
> seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando matrizes) para
> resolver recorrências.
> (veja no final de
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
>
> Quanto a sua pergunta, as "equações de diferenças" podem ser usadas
> mas acho "bala de canhão" para este particular exercício.Se você
> tiver alguma familiaridade com Frações Contínuas...  Veja:
>
> A recorrência dada indica que  x_n =   4 -   3 / (4  -  3 / (4 -  3/
> .)) ,
>
> que é uma fração contínua onde se você escrever  x_n = p_n/q_n  (que é
> usual no estudo das frações contínuas e foi um dos truques usados pelo
> Nicolau), você obtém:
> p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n   (1)   e
> q_n+1 = p_n(2)
>
> Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver estas
> recorrências, mas não a original, que é feiosa.  "Olhando" para x_n
> como p_n/q_n se eliminou a "deconfortável" parcela   1/x_n da
> recorrência original.   Ou seja, as recorrências  para p_n e q_n são
> banais.
>
> Se você substituir (2) em (1)  o problema acabou... Você obtém  p_n+1
> = 4.p_n  - 3.p_n-1, cuja solução é simples, e cujo polinômio
> característico coincide com o usado pelo Nicolau, embora com o "olhar"
> dele nas matrizes...
>
> O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento - se eu
> estiver equivocado ele me corrigirá...) é ter este outro "olhar" do
> polinômio característico para os zilhões de exercícios que usam
> recorrência.
>
> Se quiser dê uma olhada
> em www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc você verá dezenas de
> relações de recorrências e seus truques... (mas sem o fecho do
> problema com matrizes).
>
> Abraços,
> Nehab
>
>
>> Olá Nicolau.
>>
>> "Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
>>
>> Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
>> ao racional p/q.   Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
>> usando conceitos de equações de diferenças?  Aparentemente
>> daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
>>
>>  x_n *  x_{n+1} = 4 x_n - 3
>>
>> com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo
>>
>> y y' = 4 y - 3 .
>>
>>
>>
>> "Nicolau C. Saldanha" wrote:
>>
>> > On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, [EMAIL PROTECTED]
>> > wrote:
>> > > Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo
>> > dificuldades em
>> > > resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
>> > >
>> > >
>> > >
>> > > Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 > 3 e
>> > > x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
>> >
>> > [Omitindo o resto do enunciado]
>> >
>> > Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
>> > mas como você pediu o termo geral aqui vai.
>> >
>> > Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
>> > Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
>> > Assim devemos calcular A^n.
>> > Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
>> > Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
>> > Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
>> > A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
>> > = (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
>> > Assim
>> > x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
>> >
>> > []s, N.
>> > ===
>> > =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >
>> > 
>>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] Seqüência recursiva

[ralonso]

Olá Nicolau.

"Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."

Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q.   Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças?  Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças

 x_n *  x_{n+1} = 4 x_n - 3

com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo

y y' = 4 y - 3 .



"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades em
> > resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
> >
> >
> >
> > Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 > 3 e
> > x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
>
> [Omitindo o resto do enunciado]
>
> Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
> mas como você pediu o termo geral aqui vai.
>
> Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
> Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
> Assim devemos calcular A^n.
> Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
> Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
> Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
> A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
> = (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
> Assim
> x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] Raizes cúbicas de primos

[ralonso]

Acho que vale a pena tentar uma prova por absurdo.
Os fatos são:

x^3 = p1
y^3 = p2
z^3 = p3

Suponha que y = x+r, z= x+2r
p1, p2 e p3 tem que estar em função somente
de x e r  e deve valer:

p1/p2 é irredutível
p2/p3 é irredutível
p3/p1 é irredutível.

  Alguma dessas frações deve contrariar o fato de um
dos números ser primo. Já tentou assim?

Artur Costa Steiner wrote:

> Estou tentando demonstrar a afirmacao abaixo, mas ainda nao consegui. Alguem 
> teria alguma sugestao?
>
> Se x < y < z forem raizes cubicas de primos positivos, entao x, y e z nao 
> estao em progressao aritmetica.
>
> Abracos
> Artur
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Ajuda sobre n-cilindros, shifts.

[ralonso]

Digite "Symbolic Dyanamics" ou "topological Dynamics" no google.
Um outro livro muito bom é o livro, "Dynamical Systems, Symbolic
Dynamics
and Chaos".  Não me lembro muito bem o autor.  Mas
é um livro muito
usado em curso de sistemas dinâmicos.
carry_bit wrote:



Olá
a todos da obm-l, gostaria de receber alguma referência ou algum
material que contenha exemplos de cilindros (seqüência com um
número finito de símbolos) já que não tenho
acesso à bibliotecas.




Seja.
Um elemento de X é x
=.
Considerando os cilindros 







Mostre
que o conjunto dos cilindros é uma semi-álgebra.



Obrigado,
Carry bit.

Re: [obm-l] Número de divisores

[ralonso]

Deve ser algo que envolva combinatória de primos
da fatoração do número ou soma de números obtidos
por análise combinatória.  Pense por exemplo no número fatorado:
 2^3 * 5 * 7^2

As combinações (divisores) são:
2
2^2
2^3
5
7
7^2

2*5
2^2 * 5
...

Não sei se existe uma fórmula fechada, mas
creio que deva existir.
Abraço.

Ronaldo.

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Oi gente! Entrei na lista recentemente e queria saber,
> Existe alguma fórmula para calcular o número de divisores de um
> número?De 2004, por exemplo.. Agradeço desde já.Abraços.

Re: [obm-l] Dois problemas

[ralonso]

Olá Aline.  Acho que neste caso o problema está mais na definição do que

sejam "sólidos semelhantes".

Eu usaria coordenadas polares para fazer essa
definição.
Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido através do outro pela
aplicação de uma
homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante.
   Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele parametrizado por
r, theta e phi,  a transformação seria uma transformação de R^3 em R^3
que
 levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão de
semelhança.
 O volume seria uma integral tripla em r, theta e phi.

   V = int int int   r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)


V' = int int int   n r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)

 note que o raio r é função de theta e phi e não e esses ângulos não
são afetados pela transformação de escala.  Agora se vc escrever em
coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será

z(theta,phi) =   r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) =  r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) =  r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)

e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será:

z(theta,phi) =   n r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) =  n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) =  n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)


  diferencie x, y e z em relação a theta e phi e resolva o sistema.  Vc
vai achar
dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx.  O volume do sólido em
coordenadas
cartesianas será

   V =   int int int  f(x,y,z) dxdydz

e do sólido transformado será:

V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz

Vc chegará a conclusão que V'  = n^3 V.A esfera e o cubo são casos
particulares deste caso geral.

---
Tem um outro problema:
  Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é a que
possui a menor superfície.
Esse eu ainda não consegui fazer.
Parece bem difícil.
---


Agora só para descontrair:
O que é um urso polar?
Resposta:  É um urso cartesiano após a troca de coordenadas (muito boa!)

Abraços
Ronaldo.
==




ALINE Marconcin wrote:

>
>
> Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria
> muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez...
>
> Mostrar que:
>
> 1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao
> cubo da razão de semelhança.
>
> 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes.
>
> Desde de já muito obrigada.
>
>
> ---
> MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser.
> Clique aqui.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] Dois problemas

[ralonso]

Olá Aline.  Acho que neste caso o problema está mais na definição do que

sejam "sólidos semelhantes".

Eu usaria coordenadas polares para fazer essa
definição.
Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido através do outro pela
aplicação de uma
homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante.
   Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele parametrizado por
r, theta e phi,  a transformação seria uma transformação de R^3 em R^3
que
 levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão de
semelhança.
 O volume seria uma integral tripla em r, theta e phi.

   V = int int int   r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)


V' = int int int   n r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)

 note que o raio r é função de theta e phi e não e esses ângulos não
são afetados pela transformação de escala.  Agora se vc escrever em
coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será

z(theta,phi) =   r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) =  r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) =  r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)

e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será:

z(theta,phi) =   n r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) =  n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) =  n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)


  diferencie x, y e z em relação a theta e phi e resolva o sistema.  Vc
vai achar
dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx.  O volume do sólido em
coordenadas
cartesianas será

   V =   int int int  f(x,y,z) dxdydz

e do sólido transformado será:

V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz

Vc chegará a conclusão que V'  = n^3 V.A esfera e o cubo são casos
particulares deste caso geral.

---
Tem um outro problema:
  Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é a que
possui a menor superfície.
Esse eu ainda não consegui fazer.
Parece bem difícil.
---

ALINE Marconcin wrote:

>
>
> Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria
> muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez...
>
> Mostrar que:
>
> 1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao
> cubo da razão de semelhança.
>
> 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes.
>
> Desde de já muito obrigada.
>
>
> ---
> MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser.
> Clique aqui.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

Re: [obm-l] Derivada parcial

[ralonso]

Olá Giovani, derivar em relação a quem? Em que direção?

giovani ferrera wrote:

>Ola... por favor, como derivar essa?
>z = xe^(x - y) + ye^(x + y).
>
> _
> Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar
> as novidades-grátis. Saiba mais:
> http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Variedade Conexa

[ralonso]

Se o caminho tem que ser diferenciável, basta pensar recursivamente com
as mesmas idéias para o caso não diferenciável:  A linha é infinitamente

pequena logo se ela faz uma curva semi-fechada, como as curvas de Peano,

basta que os cantos sejam suaves.  As regiões entre as curvas podem ser
amplificadas com "lentes de aumento arbitrariamente grandes" (já que a
linha
é arbitrariamente fina). Apenas temos uma mudança de escala.  Não vejo
problema nenhum na restrição de diferenciabilidade: A linha obtida vai
ser
infinita do mesmo jeito ...

Francisco wrote:

> Alguém poderia ajudar no problema abaixo:
>
> Problema: Se M é uma variedade conexa então quaisquer dois pontos de M
> podem ser concectados por caminho C infinito.
>
> A idéia inicial foi: dado que M é conexa, então M é conexa por
> caminhos e assim existe sequência de caminhos C (infinito) que ligam
> quaisquer dois pontos de M. O problema está na concatenação deste
> caminhos, pois pode haver 'bicos'. Como tornar suave este 'bicos' ? Se
> este caminhos forem poligonais: intuitivamente, o que podemos fazer é
> aumentar a quantidade de pontos (que está entre os dois pontos dados)
> cada vez mais (tender para o infinito) e assim obter um caminho C
> (infinito).
> Não sei se a idéia é boa, mas não consegui pensar noutra forma de usar
> a conexidade de da variedade M. Além, não consigo formalizar a última
> intuição.
>
> Obrigado desde já pela ajuda de vocês.
>
> Francisco.
>
> ---
> Receba GRÁTIS as últimas novidades do esporte direto no seu Messenger!
> Assine já!

Re: [obm-l] Preparação para Olimpíadas

[ralonso]

Oi Bruna. Não tem mágica nenhuma não. É tudo uma questão
de treino e persistênca.
   Com o tempo vc vai ganhando experiência e sua intuição e técnicas
para
resolver problemas vai ficando cada vez mais forte.
Se vc for dedicada e treinar bastante vai ficar boa sim, pode ter
certeza.
  Mas tem que treinar sempre e sem parar.
  Claro que eu não sou a melhor pessoa
para dar conselhos pois sou meio preguiçoso, mas tem gente aqui muito
fera.

PS: Lembre-se sempre:  enquanto vc está assistindo TV tem um japonês
estudando :) :)
[]s


Bruna Carvalho wrote:

> Olá meninos. Bom dia para vocês.
> Queria pedir uma ajudinha para vocês, eu estou no primeiro ano do
> ensino médio, e quero muito participar de olimpíadas de matemática,
> mas eu moro em uma cidadezinha do interior e aqui não tem nenhum tipo
> de treinamento ou coisa parecida para olimpíadas, nem por parte do meu
> colégio.
> Eu pego provas da OBM mas me sinto tão "burra", aquelas questões tão
> lindas, com resoluções "magicas", que  você até pensa "nunca eu iria
> pensar em fazer isso", parece que as pessoas que conseguem responder
> aquelas questões são de outro mundo.
> Sei que não sou nenhuma "gênia" mas sou muito esforçada e mais
> importante AMO a matemática.
> queria a ajuda de vocês em como poderia me preparar sozinha.
> espero não estar atrapalhando vocês.
> --
> Bjos,
> Bruna

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral Gaussiana

[ralonso]

Olá Carlos.  Como vc deve saber dá para resolver
essa integral de forma  clássica, isto é, resolvendo
a integral indefinida por partes ou
substituição porque aparece o termo e^(-x^2).
Se existir outra solução certamente
ela utilizará séries ou algum outro artifício como
o mostrado na Wikipedia.
[]s
Ronaldo.

Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:

> Oi, Shine,
>
> Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício
> clássico?   Já procurei no passado outros caminhos, inclusive
> utilizando séries, mas não fui bem sucedido.
>
> Abraços,
> Nehab
>
> At 10:56 22/8/2007, you wrote:
>
>> Oi Henrique,
>>
>> Você pode consultar a Wikipedia, em
>>   http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
>> para uma solução (ligeiramente) mais detalhada.
>>
>> De qualquer forma, você tem que estudar coordenadas
>> polares (em especial, por que dx dy = r dr dtheta)
>> para entender essa solução em particular.
>>
>> []'s
>> Shine
>>
>> --- Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>
>> > Olá!
>> >
>> > Encontrei em um livro uma integral que o autor chama
>> > de integral Gaussiana.
>> > Não achei a solução muito clara. Alguém poderia me
>> > explicar com ela foi
>> > obtida?
>> >
>> > Mostrar que:
>> >
>> > int_-inf_inf {e^[(-a/2)*x^2]} dx = [(2*pi)/a]^(1/2)
>> >
>> > A solução do livro é:
>> >
>> > Primeiro ele chama a integral de I e eleva ao
>> > quadrado ambos os lados:
>> >
>> > I^2 = int_-inf_inf int_-inf_inf {e^[(-a/2)*x^2 +
>> > (-a/2)*y^2] dx.dy
>> > I^2 = int_-inf_inf int_0_2*pi {e^[(-a/2)*r^2]}
>> > r.dr.dtheta
>> > I^2 = pi * int_0_inf {e^[(-a/2)*u]} du
>> > I^2 = (2*pi)/a
>> > I = [(2*pi)/a]^(1/2)
>> >
>> > Ele considera x = r.cos(theta), y = r.sen(theta) e u
>> > = r^2
>> >
>> > Em livros de cálculo, qual seria a parte de
>> > integrais que eu deveria estudar
>> > para obter o conhecimento utilizado nessa solução?
>> >
>> > Obrigado!
>> >
>> > --
>> > Henrique
>> >
>>
>>
>>
>>
>> 
>>
>> Park yourself in front of a world of choices in alternative
>> vehicles. Visit the Yahoo! Auto Green Center.
>> http://autos.yahoo.com/green_center/
>>
>> 
>>
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>
>> 
>

Re: [obm-l] Conjuntos

[ralonso]

Certamente :)

Marcus wrote:

> Alguém sabe me dizer o que significa Ac ÇBcÇ Cc, quando eu utilizo
> três conjuntos, isso quer dizer complementar em relação ao universo?
>
> Marcus Aurélio
>

Re: [obm-l] [off-topic] Picaretagem no ensino da matemática v2.0

[ralonso]

Estou dentro.

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> On Thu, Aug 16, 2007 at 07:05:45PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > Aos frequentadores da lista,
> >
> > Este tipo de coisa também me deixa absolutamente indignado.
> >
> > Agora, papo sério.. ao invés de ficarmos só vendo e achando
> > ruim, será que não conseguimos fazer uma petição online,
> > talvez com as pessoas da lista.. e mandarmos pra alguém que
> > tenha condições de ir ao ar desmascarar o tal sujeito?
> >
> > Acho que como as redes de televisão aqui são sensacionalistas,
> > iriam adorar alguém contradizendo outra pessoa que foi ao ar.
> >
> > O que vocês acham?
>
> Concordo totalmente. Acabo de escrever para o João Lucas, presidente da SBM.
> Acho que o ideal é que isto fosse feito institucionalmente.
>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Dragoes e passarinhos (Logica)

[ralonso]

Olá Ponce e Leandro (parece que a solução
do Leandro está correda).
   Se a coruja tivesse esperado 15 segundos,
aí todo mundo teria virado passarinho, certo?
   Após a última informação em t=10 é a vez de D
tirar as suas conclusões, que demoram 4 segundos.
[]s
Ronaldo.

Rogerio Ponce wrote:

> Ola' Leandro, Ronaldo, Qwerty, Sergio, e demais colegas,
> estamos quase la'!
> Ainda falta...mas, e se Franz espirrase por 15 segundos?
>  (vamos responder `as 2 questoes: 10 segundos e 15 segundos de
> espirros!)
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> [EMAIL PROTECTED] escreveu:
>
>   Olá pessoal,
>
>  Eu entendo isso da seguinte forma:
>
>  Vamos pensar como se fossemos um dos dragões.
>  Cada um de nós vê pelo menos 2 dragões de olhos verdes.
>
>  Com isso, podemos concluir o seguinte: ou são 4 dragões de
>  olhos verdes, ou são 3 de olhos verdes e 1 de olhos marrons.
>
>  De fato, se tivéssemos 2 de olhos marrons (ou mais), então
>  um dos dragões que não tem olhos marrons não estaria vendo
>  2 dragões de olhos verdes.. estaria vendo no máximo 1.
>
>  Bom.. é claro que Amadeus conclui isso em t=1, B. em t=2,
>  C. em t=3 e D. em t=4.
>
>  Em t=4, Amadeus vê que ninguém se transformou em passarinho,
>
>  e em t=5 conclui que então ninguém viu 1 olho marrom, pois
>  se
>  alguém tivesse visto um olho marrom que não é o seu, poderia
>
>  concluir que portanto tem olhos verdes (já que não podem
>  existir 2 marrons).
>  Assim, Amadeus vira passarinho.
>  Amadeus precisava esperar por t=4 para ter certeza, é claro,
>  de que
>  todos os dragões já tinham tirado suas conclusões iniciais.
>  (Ou seja, que não tinham visto olhos marrons em ninguém).
>
>  Em t=7, vem a vez de B tirar suas conclusões. Sim, somente
>  em
>  t = 7, pois Amadeus virou passarinho em t=5, e diz no texto
>  que
>  ele conclui as coisas depois de receber a última informação.
>
>  Ele vê que Amadeus virou passarinho, portanto Amadeus ou bem
>
>  viu 1 olho marrom, ou então concluiu que eram todos verdes.
>  Mas se fosse o caso de Amadeus ter visto 1 olho marrom, ele
>  já teria
>  concluído em t=1 que o dele é verde, pois não se podem ter 2
>  marrons.
>  Assim, o que aconteceu foi que Amadeus concluiu que todos
>  são verdes.
>  Portanto B. conclui que o seu próprio é verde, e vira
>  passarinho.
>
>  Como B. virou passarinho em t=7, leva 3 segundos para C. se
>  dar
>  conta da situação, e em t=10, C. conclui que também tem
>  olhos
>  verdes, pelo mesmo argumento de antes sobre A., e vira
>  passarinho.
>
>  Assim, a coruja vê 3 dragões e 1 passarinho.
>
>  Abraço,
>
>  - Leandro A. L.
>
> Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] Dragoes e passarinhos (Logica)

[ralonso]

Rogerio Ponce wrote:

> Ola' Ronaldo,
> Sera' que Amadeus pode concluir que tem olhos verdes?
> Ao irem para o "ensolarado jardim", cada dragao certamente via a cor
> dos outros olhos.
> Franz havia dito que cada dragao estaria vendo pelo menos 2 com olhos
> verdes, e Amadeus estava vendo nao apenas 2, mas 3 dragoes com olhos
> verdes!
>

É verdade.  Tinha esquecido desse detalhe: "ensolarado jardim".
   Mas não entendi o argumento. Se ele via 3 ele também via pelo menos
2.
Se houvesse alguém que não tivesse olho verde, na história cada um
veria *somente* 2.  Logo necessariamente todos tem olhos verdes
e isso desencadeia o processamento que
descrevi na mensagem anterior.



> Sera' que alguem vira passarinho nesssa historia ???
>

   Acho que sim.
   Alguém conseguiu enxergar algum sofisma ???
 Fiquei um tempão pensando sobre isso...
Abraço.


>
> Grande abraco,
> Rogerio Ponce
>
>
> ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>   Rogerio Ponce wrote:
>
> > Ola' pessoal,Amadeus, Bertrand, Claude e Debret eram
> > dragoes de olhos verdes (sim, existem dragoes de olhos
> > verdes!) que viviam nos poroes de um velho castelo.
> > Eles sabiam que a maioria dos dragoes tinha olhos marrons,
> > mas estes quatro, por viverem nas sombras, nao faziam
> > ideia da cor dos proprios olhos.Jamais conversavam entre
> > si, mas cada um se julgava o mais "burrinho" dentre os
> > quatro, embora tivesse a certeza de ser considerado o mais
> > inteligente.
> > O fato e' que Amadeus era capaz de tirar todas as
> > conclusoes possiveis exatamente 1 segundo apos receber a
> > ultima informacao, enquanto Bertrand gastava 2 segundos,
> > Claude levava 3 segundos e Debret precisava de 4
> > segundos.Um dia, Franz - a coruja - chamou-os ao
> > ensolarado jardim externo, e anunciou o ultimo feitico do
> > festival de magicos:
> >  "Todo dragao que deduzir que tem olhos verdes
> > imediatamente se transformara' em passarinho."
> > E acrescentou em seguida:
> >  "O surpreendente e' que, neste instante, cada um de voces
> > esta' vendo pelo menos 2 dragoes com olhos verdes."
>
>   Se nenhum dragão deduzir que tem olhos verdes então
>  ninguém todos continuarão
>  no mesmo estado de "ser dragão".  Para que haja mudança de
>  estado, isto é, para que um dragão
>  vire passarinho, é necessário que algum dos dragões deduza
>  que tem olhos verdes. Essa dedução
>  ocorre por causa da própria frase da coruja, que implica que
>  alguém tem olho verde:
>"...cada um de voces ..."   Veja, se não fosse esse
>  "..cada um de vocês .. " qualquer dragão, poderia incorrer
>  em erro, concluindo que tem olhos verdes.  Essa
>  possibilidade não existe, logo a conclusão
>  de que alguém tem olho verde é certa.  Mas essa dedução não
>  pode contrariar o
>  princípio do dragão mais rápido.
> Logo o primeiro que acertadamente conclui que
>  tem olhos verdes é o Amadeus e  se torna passarinho após 1
>  segundo (assumindo que
>  o racicínio de todos é instantâneo)..
>  Ok.  Restaram 3 dragões e cada um deles conforme Fraz,
>  a coruja dissera, enxerga dois dragões de olhos verdes.  A
>  coruja vê 3 dragões, e portanto ela
>  também vê pelo menos dois dragões.  Isso está consistente
>  com a profecia da coruja.
> Agora certamente, como os dragões estão se "enxergando"
>  existem mais três dragões que
>  tem olho verde na história (porque?).
>Todo mundo vai concluir no final das contas que tem
>  olho verde, porque
>  cada um dos três dragões restantes enxerga dois com olhos
>  verdes.
>   Dois segundos depois Bertrand conclui, da mesma forma
>  que Amadeus,
>  que ele possui olhos verdes, pois se isso não acontecesse,
>  contrariaria a hipótese de
>  Bertrand ser o mais rápido dentre os restantes e também
>  contrariaria a hipótese de haverem
>  mais três dragões com olhos esverdeados.  Bertrand vira
>  passarinho.
>  Se passaram 3 segundos até então.  Temos dois dragões e
>  dois passarinhos. Um segundo
>  depois (4 segundos)  Claude conclui que possui olhos verdes
>  e mais um segundo depois (5 segundos)
>  Debret conclui que tem olho verde e vira passarinho.
>
>
>
> >
> > Falou isso, e espirrou por 10 segundos. Quando finalmente
> > reabriu os olhos, o que Franz encontrou?
>
>
> Conclusão depois de 10 segundos todos os Dragões viraram
>  passarinho e Franz vê
>  quatro passarinhos.Está correto?
>  []s
>  Ronaldo
>
>
> >
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
>
> Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] Dragoes e passarinhos (Logica)

[ralonso]

Rogerio Ponce wrote:

> Ola' pessoal,
>
> Amadeus, Bertrand, Claude e Debret eram dragoes de olhos verdes (sim,
> existem dragoes de olhos verdes!) que viviam nos poroes de um velho
> castelo.
> Eles sabiam que a maioria dos dragoes tinha olhos marrons, mas estes
> quatro, por viverem nas sombras, nao faziam ideia da cor dos proprios
> olhos.
>
> Jamais conversavam entre si, mas cada um se julgava o mais "burrinho"
> dentre os quatro, embora tivesse a certeza de ser considerado o mais
> inteligente.
> O fato e' que Amadeus era capaz de tirar todas as conclusoes possiveis
> exatamente 1 segundo apos receber a ultima informacao, enquanto
> Bertrand gastava 2 segundos, Claude levava 3 segundos e Debret
> precisava de 4 segundos.
>
> Um dia, Franz - a coruja - chamou-os ao ensolarado jardim externo, e
> anunciou o ultimo feitico do festival de magicos:
>  "Todo dragao que deduzir que tem olhos verdes imediatamente se
> transformara' em passarinho."
> E acrescentou em seguida:
>  "O surpreendente e' que, neste instante, cada um de voces esta' vendo
> pelo menos 2 dragoes com olhos verdes."
>

 Se nenhum dragão deduzir que tem olhos verdes então ninguém todos
continuarão
no mesmo estado de "ser dragão".  Para que haja mudança de estado, isto
é, para que um dragão
vire passarinho, é necessário que algum dos dragões deduza que tem olhos
verdes. Essa dedução
ocorre por causa da própria frase da coruja, que implica que alguém tem
olho verde:
  "...cada um de voces ..."

   Veja, se não fosse esse "..cada um de vocês .. " qualquer dragão,
poderia incorrer
em erro, concluindo que tem olhos verdes.  Essa possibilidade não
existe, logo a conclusão
de que alguém tem olho verde é certa.  Mas essa dedução não  pode
contrariar o
princípio do dragão mais rápido.
   Logo o primeiro que acertadamente conclui que
tem olhos verdes é o Amadeus e  se torna passarinho após 1 segundo
(assumindo que
o racicínio de todos é instantâneo)..
Ok.  Restaram 3 dragões e cada um deles conforme Fraz,
a coruja dissera, enxerga dois dragões de olhos verdes.  A coruja vê 3
dragões, e portanto ela
também vê pelo menos dois dragões.  Isso está consistente com a profecia
da coruja.
   Agora certamente, como os dragões estão se "enxergando" existem mais
três dragões que
tem olho verde na história (porque?).
  Todo mundo vai concluir no final das contas que tem olho verde,
porque
cada um dos três dragões restantes enxerga dois com olhos verdes.
 Dois segundos depois Bertrand conclui, da mesma forma que Amadeus,

que ele possui olhos verdes, pois se isso não acontecesse, contrariaria
a hipótese de
Bertrand ser o mais rápido dentre os restantes e também contrariaria a
hipótese de haverem
mais três dragões com olhos esverdeados.  Bertrand vira passarinho.
Se passaram 3 segundos até então.  Temos dois dragões e dois
passarinhos. Um segundo
depois (4 segundos)  Claude conclui que possui olhos verdes e mais um
segundo depois (5 segundos)
Debret conclui que tem olho verde e vira passarinho.



>
> Falou isso, e espirrou por 10 segundos. Quando finalmente reabriu os
> olhos, o que Franz encontrou?

   Conclusão depois de 10 segundos todos os Dragões viraram passarinho e
Franz vê
quatro passarinhos.

Está correto?
[]s
Ronaldo


>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
>
> Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] criação e formalismo

[ralonso]

Olá johnson suas perguntas são muito profundas para
serem respondidas sem ficar off-topic demais, mas vamos lá.

johnson nascimento wrote:
1)  "Qual a diferença entre a criação matematica e a logica formal?"

 Eu diria que nenhuma se pensarmos classicamente, isto é,
determinísticamente.
Se pensarmos quânticamente, haveria muita diferença pois a criação
matemática
não seria realizável por máquinas, como as que conhecemos atualmente.
Isso
me parece mais razoável, pois como os processos eletroquímicos
do cérebro são quânticos, teremos probabilidade de escolha.  Daí a
criatividade não admitiria modelo matemático preciso.

   Explicando melhor:
Primeiramente, lembre-se que você tem 5 sentidos e capta o mundo
através deles.  Para isso você usa áreas do cérebro para fazer um
pré-processamento.  O córtex visual primário para pré-processar a visão,

o córtex auditivo primário que também faz um pré-processamento, etc.
Esse pré-processamento é submetido a áreas secundárias (córtex
auditivo
secundário que detecta timbre, córtex visual secundário que detecta
forma, cor,
movimento e orientação).
 Finalmente os sinais chegam à àreas superiores do cérebro
que fazem processamento adicional até chegarmos a informações em nível
semântico e lógico.  Neste ponto, nossa percepção, respondendo sua
pergunta,
nos diz erroneamente que podemos mapear os objetos matemáticos para
símbolos e raciocínos sobre estes, como David Hilbert queria fazer e
como o paper que citei sobre prova de teoremas de Sylow
que enviei, está mostrando.
  Mas se você considerar que o cérebro como um computador
biológico, então o processamento das áreas primárias TAMBÉM PODERIA SER
MAPEADO
para símbolos, assim como o processamento das áreas superiores.
 Logo o mapeamento  para símbolos não é uma exclusividade das áreas
de pensamento
superior do córtex que supostamente produzem a matemática.
   No caso da suposição do cérebro ser um computador biológico, vc
também está supondo que ele possui um processo intrínseco de criação a
partir da realidade
física apresentada para ele, que a priori não conhecemos, pois se
conhecêssemos
poderíamos automatizar e daí produzir matemática de forma automática, o
que
de fato, não acontece.
  Note que partimos da realidade física e  que sem ela nada poderia
existir (A cóclea, por exemplo, que surpreendentemente está
diretamente acoplada ao nervo auditivo faz uma decomposição de Fourier
da onda recebida).





2) "E possivel (acretio eu e acho mais bonito esse metodo) criar uma
serie de raciocinios validos atravez de simbolos e, e neles atribuir
objetos primitivos e analizar os segmentos de raciocionos validos a essa
classe de objetos? "

 Claro.O paper que mostrei faz isso.A computação também é
exatamente isso.

[]s
Ronaldo Luiz Alonso.


>
> A minha duvida esta no tocante a criação matematica, ou seja a
> possibilidade metodicamente valida de fazer matematica nova. Muito
> Obrigado a todos :)Flickr agora em português. Você clica, todo mundo
> vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] Prova formal dos Teoremas de Sylow usando Isabelle.

[ralonso]

opss... esqueci que estou dentro da fundação ...
Enviei o paper para seu e-mail...
[]s

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Devo estar fazendo besteira, porque só consegui
> ver o abstract...
>
> Cai no site springerlink.com e lá ou pede login
> ou pede pra você comprar o texto completo.
>
> - Leandro.

[obm-l] Prova formal dos Teoremas de Sylow usando Isabelle.

[ralonso]

Para as pessoas interessadas achei esse paper interessante:


http://portal.acm.org/citation.cfm?id=594135.594268&dl=GUIDE&dl=GUIDE&CFID=31274872&CFTOKEN=72229214




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

Demetrio Freitas wrote:

> O Leandro tem muita razão quando diz que é necessário
> cuidado neste tipo de raciocínio. Conceitos familiares
> de cálculo e análise parecem ter utilidade restrita em
> questões de transcendência ou mesmo irracionalidade.
>
> Eu não conheço a prova de Lindemann. Na verdade, eu a
> vi uma vez e quase tudo o que me lembro é que não a
> entendi...
>
> --- ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> >Como você mesmo disse:
> >
> > "Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
> > Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de
> > potência, e
> > no entanto 0 está longe de ser transcendente.
> >
> > Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser
> > solução de
> > uma equação que envolva uma série, ou a expansão em
> > séries
> > de uma função."
> >
>
> Sem dúvida. Mas note que um número ser raiz de um
> polinômio de grau N não é suficiente para dizer que
> tal número seja algébrico de grau N. É necessário
> também que o polinômio seja irredutível. Logo, o fato
> de funções analíticas (ou suas expansões em séries de
> potências) possuírem valores racionais ou algébricos
> em alguns pontos não serve, por si só, como
> contra-exemplo para a idéia inicial.

>

...
(ver texto da mensagem anterior).
...


>

> (3) - Ok, então os r[n] são algébricos de grau
> crescente. Porém, não convergem para um número
> transcendente. Convergem para r = (2*k+1 +
> sqrt(4*k+1))/2, que é claramente algébrico
>

Olá Demétrio!
Linda contra-prova.  Agora se você notar bem, seu exemplo foi
construir um polinômio de grau tendendo ao infinito
sempre atendendo ao critério de irredutibilidade
Eiseinstein, porém construído de uma forma um
tanto quanto artificial (usando uma sequência iterativa de polinômios
para definí-lo).

  Vc consegui assim uma sequência de algébricos que
não tende a um transcendente.  Tende para um algébrico.

Agora atente para o detalhe: A sequência de soluções (raízes) deste 
polinômio
sempre pode ser definida por números escritos em termos de radicais!
  Para polinômios de grau >= 5 essas soluções nem sempre podem ser definidas
em termos de radicais.   Então vem a minha idéia de associar grupos
a essas construções.  A pergunta que fica no ar é quando uma
sequência de números algébricos tende a um número transcendente.
   A transcendência, então, precisa ser melhor categorizada matemáticamente
e isso exige um rigor.  A teoria dos grupos está aí para nos ajudar.
   Eu confesso que também não entendi completamente
a prova de Lindemann.  Mas ela pode oferecer uma resposta a essa profunda
pergunta.

[]s
Ronaldo.





>
> []´s Demétrio
>
>   Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em 
> http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais

[ralonso]

> A minha pergunta é qual software eu posso usar prar editar e estudar
> axiomas e teoremas (sistemas dedutivos)
> Um abração e muito obrigado ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular.
> Saiba mais.

O Software chama-se Isabelle e usa, se eu não me engano,
lógica de segunda ordem.
   Digite as palavras chaves "Isabelle proof theorem" no
google and have fun!

Ronaldo Luiz Alonso.

Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais

[ralonso]

1) "Deixa eu ver se entendi, uma teoria A tem os axiomas (a1, a2,
a3...,an) e uma seria de teoremas (Ta1,Ta2...,Tan) ela é
consistente pois seus axiomas nao tem contradição(ou seja todos esses
teoremas são deduzidos desses axiomas)."

  Pelo que entendo, uma coisa é conistência dos axiomas e outra é da
teoria.  Entende-se
que consistência a da teoria decorre da consistência
dos axiomas (ausência de veracidade e falsidade simultâneas, por
caminhos diferentes, de qualquer
teorma deduzido a partir deles).
   Essa não possa ser demonstrada, segundo Göedel, usando o próprio
conjunto (a1, a2, a3...,an).
A pergunta é:

   Porque a consistência dos axiomas não pode ser demonstrada a partir
deles mesmos?

 Porque o conjunto de axiomas, de qualquer teoria matemática
consistente é SEMPRE incompleto e
sendo incompleto não é capaz de decidir tudo (inclusive sua própria
consistência).
 Sendo assim existirá sempre um teorema decorrente destes axiomas
onde não será possível decidir
sua veracidade ou falsidade, a partir do conjunto de axiomas  (a1, a2,
a3...,an)  .
Esse teorema é dito indecidível no conjunto de axiomas  (a1, a2,
a3...,an).  Pode ser que ele seja decidível
no conjunto (a1, a2, a3...,an) U (b1,b2,...bn).

  Até aqui dizemos que os axiomas são consistentes porque não levam a um

teorema Ta_p   (1http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais

[ralonso]

Olá Johnson, só respondendo suas perguntas:

johnson nascimento wrote:
 1) "Se a matemática é consistente, sua consistência não pode ser
provada dentro da própria matemática" Entao ela sera provada onde?"

Resposta:  A consistência da matemática com um todo não pode ser
provada.2) "Se a matemática é consistente ela é incompleta" Ou seja, nao
podemos decidir entre sua afirmação ou negação qual é verdadeira, isso
significa que devemos recorrer a intuição?"

Resposta:  Depende do problema, como tentei explicar no e-mail anterior.
Einstein fazia, como Galileu os
"gedankenexperimenten"
 3) "Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode
nao ter consistencia se nos nao podemos prova-lo."

Resposta: A aritmética  é *consistente* e incompleta e vc consegue
provar.
 Consistente porque não existe contradição dentro dela.
   É incompleta porque a consistência da aritmética não pode ser provada
dentro da *própria* aritmética, isto é, usando
tão somente os axiomas da aritmética para provar a consistência deles.
Isso, segundo Göedel é impossível.   É preciso uma teoria MAIS
ABRANGENTE que englobe a artimética, o que implica que temos que
acrescentar
mais axiomas à aritmética para que possamos provar a consistência dos
axiomas dela.  Eu tinha um exemplo concreto
mas não me lembro agora.
   Mas, note bem: Não adianta acrescentar mais axiomas.
Quando você acrescentou novos axiomas à aritmética criou, digamos, a
teoria
X que não é mais a aritmética, e sim uma extensão dela: a aritmética
mais os axiomas que vc acrescentou

Fazendo isso vc conseguiu provar a consistência dos axiomas da
aritmética (e como consequência
a consistência da aritmética) usando para isso sua teoria X, mas a
teoria X que você usou
para provar a consistência da aritmética, apesar de ser consistente (!),
continua sendo incompleta !!!

   E não adianta colocar mais axiomas na teoria X, cirando a teoria Y
para provar a consistência de X, vc sempre
cai no mesmo problema, a teoria Y pode até ser consistente, mas continua
incompleta e assim por diante
é a matemática 

Espero ter jogado alguma luz nesta questão... ou ... deixado ela mais
obscura??? Bem... mesmo tendo escrito
algo errado, alguém vai corrigir.  Minha intenção tentou ser boa...

Abraços!Ronaldo Luiz Alonso


>
>
>
>
>
>   Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode nao
> ter consistencia se nos nao podemos prova-lo.   Muito Obrigado menbros
> da lista e felicidades a todos ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu
> celular. Saiba mais.

Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais

[ralonso]

   Há várias mensagens do professor Nicolau na lista explicando com
detalhes o que significa
incompletude e inconsistência.   Se eu tentar explicar detalhadamente
acho que vou confundir mais do que
explicar como já tentei fazer outras vezes, mesmo porque não tenho a
profundidade que acho
necessária no assunto (que requer um estudo minuncioso e longo).Vc
deve fazer uma
pesquisa no Google e nos  arquivos da lista.

  Basicamente o que Göedel quis dizer é que não podemos ter em
matemática
um sistema de axiomas completo (com todos os axiomas
para decidir a veracidade e a falsidade de qualquer proposição ou
teorema).

Se um tal sistema de axiomas existisse (um sistema de axiomas dito
"completo")  ele
necessáriamente seria inconsistente (chegaríamos a veracidade de um
teorema por um caminho
e a falsidade do mesmo teorema por outro).
   Se o sistema for incompleto (não tiver "todos os axiomas") ele poderá
ser consistente (não
apresentar por diferentes caminhos a afirmação e a negação de um mesmo
teorema).
 Ora, sabemos que na matemática não temos a prova de veracidade de
um teorema por um
caminho e aprova da falsidade do mesmo por outro :)  Assim a matemática
é consistente, MAS
incompleta ! E sempre será!

 Veja, isso não é ruim, e não é a derrota da matemática. Isso
é bom, porque mudando um axioma, desde que é claro ele seja independente
dos demais,
(como o quinto axioma de Euclides é dos demais axiomas da geometria
plana), podemos construir
diferentes lógicas, todas elas rigorosas, que se adequam a diferentes
tipos de problemas ou a um
mesmo problema em específico. O teorema
de Göedel é, dessa forma talvez, a maior demonstração de poder de fogo
da matemática.

   E é também o maior desafio dos físicos achar os melhores axiomas e
sistemas que descrevem o mundo em que vivemos.

   Vejamos um exemplo:
  A física newtoniana é baseada na geometria plana
de Euclides e
  o grupo de transformações do espaço e do tempo é o
grupo de Galileu.

   A física relativística é baseada na geometria
hiperbólica e o grupo
 de transformações do espaço e do tempo é o grupo de
Poincaré.

  Por que a segunda lógica foi preferida à primeira?
  Físicos dizem que é porque Deus quis.
Segundo eles, se a lógica não não fosse essa, muitos
fenômenos
que observamos no dia a dia, como um simples acender de fósforo não
aconteceriam da forma
que acontecem.   Einstein acreditava que fazer essas perguntas era como
conversar com
o Criador, pois apenas a experiência é capaz de revelar a lógica correta
(pois existem muitas
lógicas e todas rigorosas).

   Assim, sendo pode ser que a física relativística não contenha todos
os axiomas necessários à real
compreensão do mundo e que alguns deles precisam ser identificados
mudados para que ganhemos uma compreensão
completa de como o universo é como ele é.

Ronaldo Luiz Alonso

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:

> Bem, eu conheço pouco sobre esta área mais nebulosa, mas o que Godel
> quis dizer é que,se a matemática é consistente, é necessário algo mais
> poderoso que a matemática para provartal consistência.Eu costumo
> pensar no postulado de Euclides-Playfair , o das paralelas.Este
> postulado é indecidível, ou seja, é necessário um raciocínio superiora
> ele para provar que ele é ou não verdadeiro.Bem, este negócio de "como
> algo pode ter consistencia se nos nao podemos prova-lo",é como
> (paralelo meio tosco, é verdade) soltar um suspeito de um crime por
> falta de provas.Em 02/08/07, johnson nascimento
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  Ola amigos !Eu depois de me desenpenhar muito em matematica
>  aplicada a 1 ano atras venho me intenressando por
>  fundamentação matematica. Compreendi perfeitamente o
>  programa de Hilbert mais nao compreendi o teorema de
>  Godel. O que realmente Godel quer diser com; "Se a
>  matemática é consistente, sua consistência não pode ser
>  provada dentro da própria matemática" Entao ela sera provada
>  onde? "Se a matemática é consistente ela é incompleta" Ou
>  seja, nao podemos decidir entre sua afirmação ou negação
>  qual é verdadeira, isso significa que devemos recorrer a
>  intuição? Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender
>  como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos
>  prova-lo. Por favor eu gostaria de um exemplo dentro das
>  teorias formalizadas existentes pra poder compreender esse
>  tipo de conceito. Muito Obrigado menbros da lista e
>  felicidades a todos ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular.
>  Saiba mais.
>
>
>
>
> --
> Ideas are bulletproof.
>
> V

Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

Pelo que me lembro a prova de Liouville (sobre a transcendência de pi)
constrói
inicialmente uma equação polinomial com grau n que teria como solução
pi.
Ele então prova que tal equação não existiria pois n deveria ser
infinito.  Isso como
vc está dizendo parece ser diferente de considerar uma série de
potências.
   Como você mesmo disse:

"Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e
no entanto 0 está longe de ser transcendente.

Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de
uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries
de uma função."

 Podemos dizer que existem infinitos x para os quais  sen(x) = 0, ou
seja isso não
define um número transcendente, mas um conjunto de números da forma
2*k*pi com
k em Z, dos quais com exceção de um todos são transcendentes.   O
problema parece
ser decidir quando a solução de uma "equação de grau infinito"  oferece
um número transcendente.

   É essa tarefa, que eu concordo, não é trivial.  Provavelmente teremos
que construir grupos associados,
como fez Galois para o caso finito.  Neste caso daria para provar que
e+pi é transcendente.  Bastaria
construir uma "equação de grau infinito"  que oferecesse e+pi como
solução e ter um teorema de
apoio que mostrasse que essa solução é transcendente.

Ronaldo Luiz Alonso.


[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Olá,
>
> É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência.
>
> Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio.
> Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau
> infinito.
>
> Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se
> referindo
> à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente..
>
> No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1.
> Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
> Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e
> no entanto 0 está longe de ser transcendente.
>
> Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de
> uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries
> de uma função.
>
> Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está
> se referindo.
> O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos
> números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações
> racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou "polinômios
> infinitos".
> Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais.
>
> Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma
> tarefa trivial.. especialmente a primeira.
> Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente
> por Schneider, que diz o seguinte:
>
> TEOREMA (Gelfond & Schneider):
> * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não
>
> é racional, então X^Y é transcendente.
>
> Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente,
> bem como 2^sqrt(2).
> Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil.
> Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational
> Numbers".
>
> Abraço,
>
> - Leandro.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

Aí vai o link.

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~freitas/pi.pdf

Só precisa saber alemão  Eu não sei .. Só entendo a matemática ... e
bem pouco ...

[]s


[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Desculpem o erro ao enunciar o Teorema.
>
> Não é "..B não é racional.." e sim Y não é racional.
>
> - Leandro.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

eu também errei.  A prova de que pi é transcendente, a que me refiro, é
devida à Lindemann, não a Liouville!
Foi mal :)

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Desculpem o erro ao enunciar o Teorema.
>
> Não é "..B não é racional.." e sim Y não é racional.
>
> - Leandro.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Indicação de livros

[ralonso]

Boyce-Diprima pra começar.  Muito legal.
Depois o livro do Arnold.

geo3d wrote:

> Olá pessoal da lista boa tarde.
>
> Gostaria de receber algumas indicações de livros sobre equações
> diferenciais, em qualquer língua. Qual ou quais vocês indicariam ?
>
> Obrigado, um abraço, Marcelo.

=
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Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional

[ralonso]

Não acho que seja tão difícil ver que a séries com números arbitrariamente
grandes no denominador convergem para irracionais.

A idéia que segue se aplica a qualquer série convergente com a seguinte
propriedade: Se no denominador teremos termos arbitrariamente grandes, com
fatores primos arbitrariamente grandes então a fração resultante da soma até 
N_0, não
conseguirá se "estabilizar" pois existirá um N>N_0 com um primo no denominador
maior do que o maior primo no denominador existente para N_0.
Sendo matemáticamente mais preciso, seja S_0 o maior número
primo no denominador para soma até N_0.  Então haverá N>N_0 para o qual
existirá S>S_0.

 O caso em questão é um pouco mais complexo porque k é um inteiro, o que 
significa que
o número de fatores primos é constante.

 Soma (n= 1, N ) 1/[k^(p(n)]

   Agora vamos observar o seguinte a respeito de p(n), que parece ser apenas um 
"complicador" para o
problema.  Temos a hipótese do termo líder ser positivo.   Isso é só para 
garantir a convergência.  Note
também que o grau é maior que 2.  Como n > 1 e p(n) é avaliado para números 
inteiros, é claro que
a série vai convergir porque 1/[k^p(n)] > 1/[k^2] para k>2  (desprezando o 
primeiro termo).

   Para ver que o número é irracional consideramos o último termo da soma.   
Ele será da forma:

 1/  (p_1)^a (p_2)^b ... (p_t)^z onde p_1,p_2,p_3 ... são primos da 
decomposição de k.  Supomos
então que exista uma fração R/S  que seja a soma da série.  Note que as 
potências a, b,..., z  aumentam
conforme aumentamos n. S, o denominador então deverá ter a maior de todas 
as potências de cada
um dos fatores.   Ora isso não é possível pois para n+1 obteremos valores 
maiores para alguma das
potências a,b,...,z.   Donde concluímos que o resultado deve ser irracional.

Essa é uma prova *qualitativa*  precisa de mais rigor, eu reconheço.

Ronaldo Luiz Alonso



Artur Costa Steiner wrote:

> Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por 
> aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas 
> apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar.
>
> Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau >= 2, com coeficientes 
> inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série 
> Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional.
>
> Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que 
> o limite eh irracional.
>
> Abracos
> Artur
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

Olá Demetrio!

Perguntas:
1-  É adequado pensar em um número transcendente como
um algébrico de grau infinito?

Olá Demetrio! Quase isso.   As idéias a que me refiro abaixo para provar
que e+pi é transcendente e portanto irracional fariam uso disso.   Por exemplo 
pi/4 seria a solução
da equação de grau infinito tg (x) = 1 (enxergando tg (x) como uma série de 
potências).
Mas isso requereria mais rigor matemático.
O que seria solução de uma equação de grau infinito ???

2-  Em caso de resposta afirmativa para a primeira
pergunta (eu acho que sim), alguém conhece alguma
prova de transcendência baseada nesta idéia?

Sim, a prova de Liouville.

Ronaldo Luiz Alonso

Demetrio Freitas wrote:

> O  grau algébrico de um número (algébrico) N  é o grau
> do polinômio mônico irredutível de coeficientes
> racionais onde N aparece como raiz.
>
> http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumberMinimalPolynomial.html
> http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number
>
>
>
> []´s Demetrio
>
> --- ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> > É verdade me enganei. Bem lembrado: A soma de um
> > algebrico com um
> > transcendente é transcendente e o produto de um
> > algebrico
> > não nulo por um transcendente é transcendente.
> >
> > Na verdade o que eu enunciei é "apenas" uma
> > conjectura.   Acho que é
> > possível demostrá-la, usando as
> > idéias de Liouville para provar a transcendência de
> > pi e e.
> >
> > Vou ver se encontro algum tempo para discutir e
> > expor a prova de
> > Liouvile e fazer comentários aqui na lista.
> > Se alguém demonstrar vai ficar famoso.
> >
> > Abraços
> > Ronaldo.
> >
> >
> > Artur Costa Steiner wrote:
> >
> > >  Nao, a soma e o produto de de dois transcendentes
> > nao tem que ser
> > > transcendente. por exemplo, pi e 1 - pi sao
> > transcendentes mas a soma
> > > eh 1, inteiro. pi e 1/pi sao transcendentes, mas o
> > prduto eh 1. A soma
> > > de um transcendente com um algebrico eh
> > trancendente e o produto de um
> > > transcendente por um algebrico nao nulo eh
> > transcendenteArtur
> > >
> > >  -Mensagem original-
> > >  De: [EMAIL PROTECTED]
> > >  [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> > ralonso
> > >  Enviada em: sexta-feira, 3 de agosto de 2007
> > 09:15
> > >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >  Assunto: Re: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2
> > +a ) eh
> > >  irracional
> > >
> > >  Ora pi + e é irracional, pois ambos são
> > transcendentes.
> > >  Se eu não me engano a soma e o produto de
> > dois
> > >  transcendentes é transcendente,
> > >  logo são irracionais.
> > >
> > >  Bruno França dos Reis wrote:
> > >
> > > > Eu aposto, com probabilidade de acerto igual
> > a 1, que pi +
> > > > e é irracional! Truco!
> > > > 2007/8/2, [EMAIL PROTECTED]
> > <[EMAIL PROTECTED]>:
> > > >
> > > >  De fato, o Bruno tem razão, e existem
> > exemplos
> > > >  ainda menos artificiais.
> > > >
> > > >  Se x e y são dois números irracionais,
> > não há
> > > >  como decidir, a priori, se x + y,
> > > >  x/y ou xy são ou não irracionais, casos
> > simples
> > > >  à parte.
> > > >
> > > >  Não se sabe nem mesmo se 'pi + e' é
> > irracional,
> > > >  segundo o mathworld:
> > > >
> > > >  http://mathworld.wolfram.com/Pi.html.
> > > >
> > > >  Abraço,
> > > >
> > > >  - Leandro.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > > Bruno França dos Reis
> > > > email: bfreis - gmail.com
> > > > gpg-key:
> > > >
> >
> http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> > > >
> > > > icq: 12626000
> > > >
> > > > e^(pi*i)+1=0
> > >
> >
>
>   Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em 
> http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] (OFF) Nome de Alguns dos Grandes Professores doPaís

[ralonso]

Eu tinha escrito um e-mail enorme citando um monte de gente que
participa aqui, mas o descartei pois
pois achei também melhor deixar para o professor Nicolau responder --
Ele tem a lista completa, eu corria o
risco de citar alguém de forma indevida (muitos participam anonimamente
para resguardar a privacidade)
ou poderia  esquecer de algum
nome e a pessoa se sentir esquecida. Procurar as essas pessoas é um
passo importante
para crescer na matemática e tb no nível pessoal pois elas já buscaram
esse
crescimento e o estão conseguindo dia após dia.  Elas certamente devem
ser a inspiração de todos.

Grande abraço!
Ronaldo Luiz Alonso

Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:

> I João!  Caramba  !!!
>
> Passo a bola pro Nicolau, pois certamente ele poderá fornecer dicas de
> Instituições relacionadas à OBM que desenvolvem este tipo de trabalho
> sem interesse comercial...  Sei que há uma série de atividades ligadas
> à olimpiadas, mas  esperemos o Nicolau responder...   l
>
> Grande abraço,
> Nehab
>
> At 16:21 3/8/2007, you wrote:
>
>
>> Nehab, Ponce:
>>
>> Quais são todos professores residentes nos grandes centros que
>> preparam
>> jovens brasileiros para as Olimpíadas de Matemática, e que sejam
>> também
>> partícipes desta bela lista?
>> Desejo-lhes fazer ousada e nobre solicitação.
>>
>> Fraternalmente, João
>>
>>
>> =
>> ===
>>
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>
>> 
>

Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

É verdade me enganei. Bem lembrado: A soma de um algebrico com um
transcendente é transcendente e o produto de um algebrico
não nulo por um transcendente é transcendente.

Na verdade o que eu enunciei é "apenas" uma conjectura.   Acho que é
possível demostrá-la, usando as
idéias de Liouville para provar a transcendência de pi e e.

Vou ver se encontro algum tempo para discutir e expor a prova de
Liouvile e fazer comentários aqui na lista.
Se alguém demonstrar vai ficar famoso.

Abraços
Ronaldo.


Artur Costa Steiner wrote:

>  Nao, a soma e o produto de de dois transcendentes nao tem que ser
> transcendente. por exemplo, pi e 1 - pi sao transcendentes mas a soma
> eh 1, inteiro. pi e 1/pi sao transcendentes, mas o prduto eh 1. A soma
> de um transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um
> transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendenteArtur
>
>  -Mensagem original-
>  De: [EMAIL PROTECTED]
>      [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso
>  Enviada em: sexta-feira, 3 de agosto de 2007 09:15
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: Re: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh
>  irracional
>
>  Ora pi + e é irracional, pois ambos são transcendentes.
>  Se eu não me engano a soma e o produto de dois
>  transcendentes é transcendente,
>  logo são irracionais.
>
>  Bruno França dos Reis wrote:
>
> > Eu aposto, com probabilidade de acerto igual a 1, que pi +
> > e é irracional! Truco!
> > 2007/8/2, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>:
> >
> >  De fato, o Bruno tem razão, e existem exemplos
> >  ainda menos artificiais.
> >
> >  Se x e y são dois números irracionais, não há
> >  como decidir, a priori, se x + y,
> >  x/y ou xy são ou não irracionais, casos simples
> >  à parte.
> >
> >  Não se sabe nem mesmo se 'pi + e' é irracional,
> >  segundo o mathworld:
> >
> >  http://mathworld.wolfram.com/Pi.html.
> >
> >  Abraço,
> >
> >  - Leandro.
> >
> >
> >
> >
> > --
> > Bruno França dos Reis
> > email: bfreis - gmail.com
> > gpg-key:
> > http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> >
> > icq: 12626000
> >
> > e^(pi*i)+1=0
>

Re: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso]

Ora pi + e é irracional, pois ambos são transcendentes.
Se eu não me engano a soma e o produto de dois transcendentes é
transcendente,
logo são irracionais.

Bruno França dos Reis wrote:

> Eu aposto, com probabilidade de acerto igual a 1, que pi + e é
> irracional! Truco!
>  2007/8/2, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>  De fato, o Bruno tem razão, e existem exemplos ainda menos
>  artificiais.
>
>  Se x e y são dois números irracionais, não há como decidir,
>  a priori, se x + y,
>  x/y ou xy são ou não irracionais, casos simples à parte.
>
>  Não se sabe nem mesmo se 'pi + e' é irracional, segundo o
>  mathworld:
>
>  http://mathworld.wolfram.com/Pi.html.
>
>  Abraço,
>
>  - Leandro.
>
>
>
>
> --
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com
> gpg-key:
> http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
>
> e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Funcao composta

[ralonso]

Baseados na proca que o Bruno deu para aquela problema, temos uma
conclusao geral:Teorema de França: (Bruno Franca):Se, para uma funcao
g:R-->R, houver apenas 1 único par (a, b) (ou(b,a), dah na mesma), com a
e b distintos, tais que f(a) = b e f(b) = a, entao nao existe nenhuma
funcao f:R--> R tal que g = f o f. E isso ai nao , eh?
 É sim. Acho que dá para estender essa conclusão.
Se para g:R --> R houver p-tuplas (a_1,...,a_p)  tais que f (a_1) =
a_2,
..., f(a_(n-1)) = a_n  então  não existe nenhuma função f:R --> R tal
que
g = f o f ...o f  ,  (p conposições de f).

Ronaldo.

Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996

[ralonso]

  Não :).  Eu pergunto quais as condições p(x) deve satisfazer para que
f(f(x)) = p(x) exista para todo x.

Bruno França dos Reis wrote:

> Ronaldo, vc pergunta se, dado um polinômio p qualquer, existe f: R ->
> R tal que f(f(x)) = p(x) para todo x? Não. Contra-exemplo: p(x) = x^2
> - 1996 :) Bruno.
>  2007/8/2, ralonso <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>  Certo. Pela demonstração do Bruno, aparentemente a
>  complicação aparece por
>  causa da existência de duas raízes da função p(x) à direita
>  da igualdade f(f(x))=  p(x)
>
>   No caso x**2 tem apenas  uma raiz (x=0).
>  Está certa esta conjectura?
> O resultado vale para qualquer polinômio p(x)?
>
>  Em outras palavras, dado um polinômio p(x) qualquer
>  existe f(f(x)) = p(x) ?
>
>Taí mais um problema para pensar.
>  Ronaldo.
>
>  Rogerio Ponce wrote:
>
> > Ola' RAlonso e colegas da lista,
> >  uma solucao para f(f(x)) = x**2
> >  e'  f(x)=x**sqrt(2)
> >
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> > PS: as antigas mensagens que trataram do mesmo problema
> > comecam em
> >
> > http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg11987.html
> >
> >
> >
> > ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> >  ...  E se fosse f(f(x)) = x^2 ?
> >Será que conseguimos repetir um  raciocínio
> >  parecido com o acima para provar que tal função
> >  não existe?
> >   Artur Costa Steiner wrote:
> >
> >  > Boa tardeHá alguns anos circulou aqui o
> >  > seguinte problema, aliás nada fácil:Mostre que
> >  > não existe nenhuma função f:R --> R tal que sua
> >  > composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 -
> >  > 1996. Algúem sabe onde está a sua solução ou
> >  > sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a
> >  > ver com um tipo de ponto , que nao eh ponto
> >  > fixo, mas apresenta uma propriedade de oscilar
> >  > , nao me lembro nao.ObrigadoArtur
> >
> > Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
> >
> >
>
>
>
>
> --
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com
> gpg-key:
> http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
>
> e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996

[ralonso]

Certo. Pela demonstração do Bruno, aparentemente a complicação aparece
por
causa da existência de duas raízes da função p(x) à direita da igualdade
f(f(x))=  p(x)

 No caso x**2 tem apenas  uma raiz (x=0).
Está certa esta conjectura?
   O resultado vale para qualquer polinômio p(x)?

Em outras palavras, dado um polinômio p(x) qualquer
existe f(f(x)) = p(x) ?

  Taí mais um problema para pensar.
Ronaldo.

Rogerio Ponce wrote:

> Ola' RAlonso e colegas da lista,
>  uma solucao para f(f(x)) = x**2
>  e'  f(x)=x**sqrt(2)
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> PS: as antigas mensagens que trataram do mesmo problema comecam em
>   http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg11987.html
>
>
> ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  ...  E se fosse f(f(x)) = x^2 ?
>Será que conseguimos repetir um  raciocínio parecido com o
>  acima para provar que tal função não existe?
>   Artur Costa Steiner wrote:
>
> > Boa tardeHá alguns anos circulou aqui o seguinte problema,
> > aliás nada fácil:Mostre que não existe nenhuma função f:R
> > --> R tal que sua composta f o f seja dada por f(f(x)) =
> > x^2 - 1996. Algúem sabe onde está a sua solução ou sabe
> > resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver com um tipo de
> > ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma
> > propriedade de oscilar , nao me lembro nao.ObrigadoArtur
>
> Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.

Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996

[ralonso]

É um problema difícil mesmo.

Começamos observando que o que está tornando o problema impossível,
neste caso parece ser a presença de x^2 do lado esquerdo da
igualdade f(f(x)) = x^2 - 1996.   O 1996 parece ser um "mero" detalhe.

Note que se fosse  f(f(x)) = x vc neste caso poderia achar infinitas
funções que possuíssem
pelo menos um ponto com  essa propriedade, isto é, com f(f(x*)) = x *.
Neste caso x*
seria um ponto periódico de período 2.  Para funções do tipo f(x) = u x
(1-x) por exemplo,
vc pode calcular o valor de u para que exista x* tal que f(f(x*)) = x*.
  Queremos uma função que tenha infinitos pontos desse tipo.
  Ora, obviamente f(x) = x tem essa propriedade, pois f o f (x)= x para
todo x.E se fosse f(f(x)) = x^2 ?
  Será que conseguimos repetir um  raciocínio parecido com o acima para
provar que tal função não existe?


Artur Costa Steiner wrote:

> Boa tardeHá alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada
> fácil:Mostre que não existe nenhuma função f:R --> R tal que sua
> composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde
> está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver
> com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma
> propriedade de oscilar , nao me lembro nao.ObrigadoArtur

Re: RES: [obm-l] Topologia

[ralonso]

Só um comentário:  A demonstração do Arthur é bem mais imediata.
A minha é  do tipo "automatizada",  do tipo gerada por
provadores automáticos de teoremas
(softwares em Prolog/Lisp, que partem dos
axiomas e teoremas conhecidos para chegar aos resultados).   Vale lembrar que
tal tipo de automatismo não consegue demonstrar coisas onde
entra muita intuição (a quantidade de combinações e buscas é muito grande).
Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos 
> em A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos 
> no interior de A U B.  Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B).
> No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das 
> argolas, vou dar uma olhada
> .
> Artur
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de ralonso
> Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Topologia
>
> Olá Kleber:
>  Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele
> ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai
> ser meu espaço topológico).
>   "Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0
> ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) "
>
> Suponho que com  int(S)  vc queira dizer "interior de S" e com
> R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais.
>
>Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto
> interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos
> para demonstrar.  Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto
> interior é:
>
>   "Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço
> topológico X,
> se existe um subconjunto aberto A de S que contém p"
>
>   Substitua agora X por R e A por intervalo aberto.  Agora é preciso
> lembrar antes
> de resolver, que o conjunto S pode ser "qualquer coisa", inclusive um
> conjunto fractal
> como o conjunto de Cantor, com interior vazio.   Estes casos (int (S) e
> int (T) vazios)
> podem ser considerados casos para uma demonstração por casos.
>
>Por exemplo:  int(S) = O  e int (T) = O  ==>  int (S) U int(T) = O
> que está contido em int (S U T),
> pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso
> concluir isso porque o
> enunciado diz  que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0)
>
> Agora suponha int(S) != O ==>  existe p em int (S) e existe A contido em
> S, A aberto, tal que p está em A.
>  ==> como A está em S então A
> está também em S U T e como A é aberto então
> ==> A também está em int (S U
> T),  note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos
>==>   e que este conjunto  não
> pode ser vazio.
> ==>  A contém p logo p está em
> int(S U T )
> ==> int ( S ) U int ( T ) está
> contido em int ( S U T ) .
>
> Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços
> topológicos.  Ooops... será
> que eu errei algo?  Me corrijam por favor.  Falando em topologia, alguém
> conhece algum livro de topologia
> algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas?  Daqueles problemas
> de tirar uma argola de dentro de
> outra?
>
> Abraços.
> Ronaldo.
>
> Kleber Bastos wrote:
>
> >  Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0
> > ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) .
> >
> > --
> > Kleber B. Bastos
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Topologia

[ralonso]

Olá Kleber:
 Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele
ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai
ser meu espaço topológico).
  "Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0
).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) "

Suponho que com  int(S)  vc queira dizer "interior de S" e com
R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais.

   Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto
interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos
para demonstrar.  Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto
interior é:

  "Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço
topológico X,
se existe um subconjunto aberto A de S que contém p"

  Substitua agora X por R e A por intervalo aberto.  Agora é preciso
lembrar antes
de resolver, que o conjunto S pode ser "qualquer coisa", inclusive um
conjunto fractal
como o conjunto de Cantor, com interior vazio.   Estes casos (int (S) e
int (T) vazios)
podem ser considerados casos para uma demonstração por casos.

   Por exemplo:  int(S) = O  e int (T) = O  ==>  int (S) U int(T) = O
que está contido em int (S U T),
pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso
concluir isso porque o
enunciado diz  que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0)


Agora suponha int(S) != O ==>  existe p em int (S) e existe A contido em
S, A aberto, tal que p está em A.
 ==> como A está em S então A
está também em S U T e como A é aberto então
==> A também está em int (S U
T),  note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos
   ==>   e que este conjunto  não
pode ser vazio.
==>  A contém p logo p está em
int(S U T )
==> int ( S ) U int ( T ) está
contido em int ( S U T ) .


Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços
topológicos.  Ooops... será
que eu errei algo?  Me corrijam por favor.  Falando em topologia, alguém
conhece algum livro de topologia
algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas?  Daqueles problemas
de tirar uma argola de dentro de
outra?

Abraços.
Ronaldo.




Kleber Bastos wrote:

>  Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0
> ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) .
>
> --
> Kleber B. Bastos

=
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Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais

[ralonso]

Eu diria que não.  A prova segue mais ou menos por essa linha:
 Quando a soma é direta a interseção dos subspaços é o conjunto vazio.
Isto é se u in U --> u not in V
 se v in V --> v not in U

  para que isso aconteça vc tem que não pode ter componentes comuns nos dois 
vetores (u e v).
Precisa demonstrar essa parte. Daí isso implica que dim(U + V) = dim(U) + dim 
(V) se dim(U) =
dim(V)
então dim (U+V) = 2 dim(U) = 7, mas  a dimensão de U não pode ser fracionária.
   Reciprocamente se a dimensão de U for um número inteiro então existe u in U 
que possui uma
componente
em V (precisa provar isso também usando um conceito formal, tal como U ~ U x 
{0} onde ~ significa
isomórfico)
então dim (U) > dim (V).

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Alguém poderia me ajudar?
>
> Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta) 
> e dim U = Dim V?
>
> Obrigada
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

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Re: [obm-l] Favor Responder...

[ralonso]

Eu recebi.

Lestat di Lioncourt wrote:

> Obrigado pela atenção...
> Enviei dois e-mails nessa conta na lista de discussão da obm...
> Não recebi nenhuma resposta nem vejo meu e-mail na lista...
> Portanto não sei se estes estão chegando...
> Caso alguém receba este e-mail favor me responder falando...
> Arigatô

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[obm-l] Processo Seletivo Simplificado para o DM-UFSCar

[ralonso]

Processo Seletivo Simplificado de Professor Substituto

A Secretaria Geral de Recursos Humanos da UNIVERSIDADE FEDERAL
DE SÃO CARLOS, torna público que estão abertas as inscrições, no período
de 26 de julho a 08 de agosto de 2007 (somente dias úteis), para
Processo Seletivo Simplificado de Provas e Títulos destinado à
contratação de PROFESSOR SUBSTITUTO para o Departamento de Matemática,
nos termos da Lei no 8.745/93, 9.849/99 e 10.667/03.


  Área: Matemática

  Sub-área/Disciplinas: Cálculo 1, Cálculo 2, Cálculo 3, Equações
Diferenciais, Geometria Analítica, Álgebra Linear (períodos diurno e/ou
noturno).

  No de Vagas: 03 (três vagas)

  Requisitos: Graduação em Matemática ou área afim.

  Regime de trabalho: 40 horas
  Para maiores informações:

ligar para (16) 3351-8197

ou a partir de 26-07-2007 acessar o site www.srh.ufscar.br e clicar em
concursos/Professor substituto e em seguida clicar em Processo Seletivo
Simplificado para contratação de professor substituto do Departamento de
Matemática.


=
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=

[obm-l] [off-topic] Jogo de Damas Resolvido

[ralonso]

Computadores atuais conseguem achar a solução completa do jogo de damas:

http://www.agencia.fapesp.br/boletim_dentro.php?id=7471

--- Begin Message ---


Ola pessoal...
Olha este problema:
a) De pelo menos dois exmplos de dois numeros diferentes ( nao 
precisam ser inteiros) cuja soma é igual ao seu produto.
b) Existem dois numeros inteiros, diferentes, cuja soma é igual ao 
seu produto? Justifique.


Bom, nao encontrei nenhuma possibilidade, somente com numeros 
iguais, ( o zero ).Existe possibilidade para numeros diferentes? Pensei em 
demonstrar elevando ambos os membros ao quadrado, percebendo assim que na 
medida que um lado aumenta, outro diminui. portanto a igualdade é falsa para 
qualquer numero, esta interpretaçao esta certa?


_
Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus 
amigos. http://mobile.msn.com/


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--- End Message ---

[obm-l] [Fwd: Fwd: [pg-sce] Ônibus para o IMPA]

[ralonso]

--- Begin Message ---

Olá Pessoal, eu vi em uma mensagem da OBM sobre o Simpósio no IMPA.
Para pessoas residentes em São Carlos, alunos da USP há um ônibus saindo
de São Carlos.   Segue a mensagem abaixo:

-- Forwarded message --
From: Marcia Federson <[EMAIL PROTECTED]>
Date: Jul 19, 2007 9:49 AM
Subject: [pg-sce] Ônibus para o IMPA
To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]


Pessoal,

A saída do ônibus para o IMPA será aqui do campus, provavelmente em
frente ao posto do Banco do Brasil/EESC à meia noite do sábado para o
domindo (28 para o 29 de julho).

Márcia


--
-
Analista de Desenvolvimento/
CPD- FAPESP
( Fundação de Amparo à Pesquisa
do Estado de São Paulo)
Rua Pio XI - 1500/LAPA/São Paulo/SP
Fone 38384000
-
--- End Message ---

Re: [obm-l] Projeção Ortogonal

[ralonso]

Comentário:  Geometricamente no caso euclidiano, não é difícil ver que a
conclusão é válida, mesmo
se o espaço tiver dimensão infinita.  Projeções são conjuntos de
coordenadas, cada um desses conjuntos
é um subespaço e pelo teorema do núcleo e da imagem a soma das dimensões
do núcleo e da imagem
dá a dimensão do espaço.  A condição  |Pv| <= |v| significa que não
estão sendo projetadas todas as coordenadas.
Se as coordenadas são ortogonais então a projeção é ortogonal e acabou.
O problema é quando as coordenadas
não são ortogonais, ou o espaço é, digamos, um espaço de funções
(dimensão infinita).

francisco medeiros wrote:

> Olá Pessoal.
>
> Alguém poderia me ajudar no problema abaixo de álgebra linear?
>
> Problema: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (K=C ou K = R)
> com produto interno, e seja W um subespaço de V. Prove que se P: V -->
> V é uma projeção (i.e., PP = P) cuja imagem é W e |Pv| <= |v|, para
> todo v em V, então P é uma projeção ortogonal em W.
>
> Obs.: Uma Projeção Ortogonal P é uma projeção tal que Ker(P) é
> ortogonal a Im(P).
>
> Grato desde já,
>   Francisco.
>
> PS.: Consigui resolver o problema acima no caso em que W tem dimensão
> finita!
>
> ---
> Instale o novo Windows Live Messenger! É grátis! Experimente!

Re: [obm-l] [Fwd:Premio de US$ 5k]

[ralonso]

Exato. As pessoas não vivem de moral e sim de dinheiro.
Mas se você conseguir resolver pode patentear o feito antes de pegar o
prêmio.
A FAPESP/FAPERJ oferecem auxiliam publicações e patentes, neste caso se
alguém
resolver o problema pode pedir auxílio à essas fundações.

Não custa nada tentar, portanto.
[]s
Ronaldo.


Maurício Collares wrote:

> Só cinco mil dólares pra fazer isso? O problema é difícil
> (especialmente porque não pode usar rainbow tables), mas mesmo se não
> fosse, uma solução para isso tem muitas aplicações práticas em áreas
> relacionadas a segurança (o que significa que você acharia alguem pra
> comprá-la por muito mais de cinco mil dólares facilmente).
>
> --
> Abraços,
> Maurício
>
> On 7/19/07, ralonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] [Fwd:Premio de US$ 5k]

[ralonso]

--- Begin Message ---
Apresente uma solução ao problema abaixo e boa sorte.
(www.rentacoder.com)

2)MD5 Hash decoding algorithm (no bruteforce / rainbowtables -
Mathematical solution)

Project Type: Large Business Project: $5,000(USD) and above

Max Bid: 5000
Categories: Language Specific,C++ / C,Java,Perl,Other,C#,Security,Ruby
Description:

Yet not existing, it is theoretically possible to mathematically reverse
engineer or decode a md5 hash, when you know the length of the encoded
word.

All you have to do is write an algorithm, that is possible to
reverse-engineed a md5 which has up to let's say 20 letters
(alphanumeric and symbols) when you exactly know the length of the
encoded word.

Deliverables:
1) Complete and fully-functional working program(s) in executable form
as well as complete source co de of all work done.
2) Deliverables must be in ready-to-run condition, as follows (depending
on the nature of the deliverables):
a) For web sites or other server-side deliverables intended to only ever
exist in one place in the Buyer's environment--Deliverables must be
installed by the Seller in ready-to-run condition in the Buyer's
environment.
b) For all others including desktop software or software the buyer
intends to distribute: A software installation package that will install
the software in ready-to-run condition on the platform(s) specified in
this bid request.
3) All deliverables will be considered "work made for hire" under U.S.
Copyright law. Buyer will receive exclusive and complete copyrights to
all work purchased. (No GPL, GNU, 3rd party components, etc. unless all
copyright ramifications are explained AND AGREED TO by the buyer on the
site per the coder's Seller Legal Agreement).

Platform:
ANY

Deadline: 31 days.

Bidding Ends:

Approved for posting on 7/18/2007 11:03:44 AM and accessed 200 times.
 Back to Top


--- End Message ---

Re: [obm-l] livros e consolidação da lista

[ralonso]

No contexto da mensagem "propaganda" significa "propaganda da
pirataria". A informação
de como obter material para estudo não é off-topic.

Abraços!
Ronaldo

Julio Sousa wrote:

> Professor Nicolau, nao falei em termos de piratear, mas sim de fazer
> propaganda!
>  On 7/17/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  On Tue, Jul 17, 2007 at 03:35:31PM -0300, Julio Sousa wrote:
>
>  > Mensagem do professor Nicolau em um ´tópico anterior...
>  >
>  > Confirmando e esclarecendo...
>  >
>  > *"Por favor não façam propaganda nem apologia da pirataria
>  na lista.
>  > Se você fizer uma cópia pirata o problema é seu, dos
>  autores
>  > e do governo. Mas se você fizer isso na lista o problema
>  passa
>  > a ser também meu, da PUC e da OBM.
>  >
>  > A discussão sobre se a lei é justa ou sábia é off-topic.
>  >
>  > Obrigado"*
>
>  Mantenho tudo o que eu escrevi mas confesso que não entendi
>  exatamente pq eu fui citado. Não me pareceu que ninguém
>  neste
>  thread (pace os puristas de nosso idioma) estivesse
>  planejando
>  piratear nada. Talvez tenha entendido mal.
>
>  Em todo caso, se alguém tiver ânimo para fazer um livro
>  baseado
>  em mensagens desta lista terá todo o meu apoio. Eu sugeriria
>
>  (isto é apenas uma sugestão) que este livro fosse publicado
>  com a licença GNU FDL (veja
>  http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
>  ou outra licença livre que dê a qualquer um o direito de
>  baixar
>  sua cópia pela internet e redistribuir versões modificadas.
>
>  N.
>
>  > On 7/17/07, ralonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>  > >
>  > >Na página teorema te o e-mail dele:
>  > >  http://www.teorema.mat.br
>  > >
>  > >Rodolfo Braz wrote:
>  > >
>  > >Ralonso, como faço pra entrar em contato com o Yuri Lima?
>  Abraço!
>  > >
>  > >*ralonso <[EMAIL PROTECTED]>* escreveu:
>  > >
>  > > Seria fantástico. Mas é necessário alguém com bastante
>  tempo e
>  > > paciência
>  > >para fazer isso (pegar cada mensagem interessante,
>  > >ordenar problemas por assuntos e converter os problemas
>  mais interessantes
>  > >
>  > >em TEX ).
>  > >
>  > >Eu certamente compraria um livro desses. Parece que o
>  Yuri Lima está
>  > >vendendo um livro com questões de matemática olímpica e
>  que está usando
>  > >esse
>  > >material para treinar pessoas para olimpíadas ( pelo
>  menos foi o que ele
>  > >me disse no útimo
>  > >e-mail que me enviou). Acho que vc pode tentar entrar em
>  contato com ele
>  > >para
>  > >comprar.
>  > >
>  > >Claro que se alguém fizer uma compilação de arquivos e
>  problemas dessa
>  > >lista
>  > >não pode deixar de esquecer de pagar a parcela de
>  direitos autorais para
>  > >as pessoas que publicaram soluções que, no caso,
>  constariam do livro.
>  > >
>  > >Abraços.
>  > >
>  > >
>  > >fabio fortes wrote:
>  > >
>  > >> Existe algum livros com questões comentadas do Ime e
>  > >> do ITA? Vocês tem alguma dica de raciocínio lógico
>  > >> além do "É divertido resolver problemas"?
>  > >> Uma outra questão é se houve ou existe a intenção de
>  > >> consolidar esta lista, transformando-a em um livro de
>  > >> questões comentadas por exemplo;
>  > >> Obrigado
>  > >>
>  > >>
>  > >>
>  >
>  
> >
>
>  > >
>  > >> Take the Internet to Go: Yahoo!Go puts the Internet in
>  your pocket:
>  > >mail, news, photos & more.
>  > >> http://mobile.yahoo.com/go?refer=1GNXIC
>  > >>
>  >
>  
> >=
>
>  > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
>  > >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>  > >>
>

Re: [obm-l] livros e consolidação da lista

[ralonso]

Na página teorema te o e-mail dele:
  http://www.teorema.mat.br

Rodolfo Braz wrote:

> Ralonso, como faço pra entrar em contato com o Yuri Lima? Abraço!
>
> ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>   Seria fantástico. Mas é necessário alguém com bastante
>  tempo e paciência
>  para fazer isso (pegar cada mensagem interessante,
>  ordenar problemas por assuntos e converter os problemas mais
>  interessantes
>  em TEX ).
>
>  Eu certamente compraria um livro desses. Parece que o Yuri
>  Lima está
>  vendendo um livro com questões de matemática olímpica e que
>  está usando esse
>  material para treinar pessoas para olimpíadas ( pelo menos
>  foi o que ele me disse no útimo
>  e-mail que me enviou). Acho que vc pode tentar entrar em
>  contato com ele para
>  comprar.
>
>  Claro que se alguém fizer uma compilação de arquivos e
>  problemas dessa lista
>  não pode deixar de esquecer de pagar a parcela de direitos
>  autorais para
>  as pessoas que publicaram soluções que, no caso, constariam
>  do livro.
>
>  Abraços.
>
>
>  fabio fortes wrote:
>
>  > Existe algum livros com questões comentadas do Ime e
>  > do ITA? Vocês tem alguma dica de raciocínio lógico
>  > além do "É divertido resolver problemas"?
>  > Uma outra questão é se houve ou existe a intenção de
>  > consolidar esta lista, transformando-a em um livro de
>  > questões comentadas por exemplo;
>  > Obrigado
>  >
>  >
>  >
>  
> 
>
>  > Take the Internet to Go: Yahoo!Go puts the Internet in
>  your pocket: mail, news, photos & more.
>  > http://mobile.yahoo.com/go?refer=1GNXIC
>  >
>  =
>
>  > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
>  > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>  >
>  =
>
>  =
>
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>  ===
>  =
>
>
>
>
>
> Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] Conjectura - Teoria dos Números

[ralonso]

Eu ouvi uma vez um professor da USP de São Carlos dizendo, enquanto tomávamos
café,
que existe um polinômio f(n) que dá números primos para valores bem altos de
n.  Alguém
conhece esse polinômio?

[]s

Cesar Kawakami wrote:

> A conjectura é falsa.
>
> Qualquer número de Carmichael satisfaz n | 2^(n-1) - 1 e é composto. E
> não só números de Carmichael satisfazem essa condição (ser número de
> Carmichael é apenas condição suficiente).
>
> Um exemplo de número de Carmichael é 561.
>
> Mais informações em http://mathworld.wolfram.com/CarmichaelNumber.html .
>
> []'s
> Cesar Ryudi Kawakami
>
> On 7/16/07, Angelo Schranko <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Saudações Srs.
> >
> > Sou novo na lista.
> > Por favor me ajudam a provar (ou encontrar um contra-exemplo)
> > para a seguinte conjectura :
> >
> > (2^(n - 1) - 1)/n é inteiro <=> n primo
> >
> > Obrigado,
> > []´s
> > Angelo
> >
> >  
> > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
> >
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] DIVISIBILIDADE POR 11

[ralonso]

PROBLEMA : Prove que em qualquer sequencia de 39 inteiros positivos
existe ao menos um numero cuja soma dos algarismos e divisivel por 11.

Olá Pessoal, acho que o problema proposto por Paulo pode ser resolvido usando o
seguinte:

DIVISIBILIDADE POR 11
Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, 
a
partir da
direita for múltipla de 11.
Ex : 7.973.207
S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12
diferença = 11

  Mas ainda não enxerguei como usar.
  Acho que falta uma hipótese adicional no problema: A sequência de números
possuir números distintos.

Ronaldo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] livros e consolidação da lista

[ralonso]

Seria fantástico.  Mas é necessário alguém com bastante tempo e paciência
para fazer isso (pegar cada mensagem interessante,
ordenar problemas por  assuntos e converter os problemas mais interessantes
em TEX ).

 Eu certamente compraria um livro desses.  Parece que o Yuri Lima está
vendendo um livro com questões de matemática olímpica e que está usando esse
material para treinar pessoas para olimpíadas ( pelo menos foi o que ele me 
disse no útimo
e-mail que  me enviou).  Acho que vc pode tentar entrar em contato com ele para
comprar.

Claro que se alguém fizer uma compilação de arquivos e problemas dessa lista
não pode deixar de esquecer de pagar a parcela de direitos autorais para
as pessoas que publicaram soluções que, no caso, constariam do livro.

Abraços.


fabio fortes wrote:

> Existe algum livros com questões comentadas do Ime e
> do ITA? Vocês tem alguma dica de raciocínio lógico
> além do "É divertido resolver problemas"?
> Uma outra questão é se houve ou existe a intenção de
> consolidar esta lista, transformando-a em um livro de
> questões comentadas por exemplo;
> Obrigado
>
>
> 
> Take the Internet to Go: Yahoo!Go puts the Internet in your pocket: mail, 
> news, photos & more.
> http://mobile.yahoo.com/go?refer=1GNXIC
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] O sapo e agora, então, o jornaleiro... ( off topic)

[ralonso]

Olá Nehab, Ponce e Demais colegas:

Eu conheço o Paulo Santa Rita pessoalmente e ele não é tão velho
assim :)
Aliás, ele aparenta ter bem menos que 40 anos (eu tenho 32) ele me disse
a idade
dele, e é bem menos do que a mensagem abaixo sugere :).   Brincadeiras a
parte
acho que o importante não é a idade e sim a potência cerebral. Basta
lembrar que
Andrew Willes provou o teorema de Fermat quando já tinha 40 anos.  Essa
história de que
a matemática é coisa exclusiva de gente jovem não é muito verdade.   O
que ocorre é que com
a idade as pessoas começam a ganhar mais atribuições e
responsabilidades  se preocupar mais com
outros problemas de ordem prática e menos com problemas de ordem teórica
(como
a matemática). O brilhante Einstein já havia percebido isso logo com 21
anos quando virou
funcionário público.  A frase que eu nunca me esqueço de seu livro "Como
Vejo o Mundo"
é  "o homem possui um estômago e precisa de alimento para sustentar seu
cérebro".
   Sem isto não há intelecto que resista.  Nos casos mais extremos, o
capitalismo chega às vezes
a ser mais cruel, sacrificando, às vezes, o próprio intelecto 

   Abraços!
Ronaldo.


Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:

> Ponce,
>
> Este seu amigo sapo é muito metido e saudosista.   Quanto à  "Tia
> Glads e... seus bichinhos"... francamente, só uns 3 caras aqui da
> lista sabem do que você está falando.   Eu devo ser o segundo e acho
> que o Santa Rita é o terceiro.   Bem, tu tá envelhecendo mesmo,
> hein.   Podia ter perguntado pela Xuxa, já do passado, mas mais
> moderninha  Quanto ao Godofredo, não tenho a menor idéia...!
> Espero que não seja um sapo...
>
> Se você quer lembrar do tempo em que você ainda era "bonitinho" tá
> tudo em http://www.infantv.com.br/alfab_prog.htm.
>
> Carinhoso abraço,
> Nehab
>
> At 20:54 13/7/2007, you wrote:
>
>> Oi Nehab,
>> nao consegui vislumbrar uma forma elegante de resolver o problema,
>> embora o sapo tenha me "assoprado" que o jornaleiro deve comprar 90
>> jornais para obter um lucro medio de R$361,80 .
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>> PS: Voce ainda se lembra da "Tia Glads" na televisao?  E do
>> "Godofredo" ?
>> :-)
>>
>>
>>
>> Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>>
>>  Bem,
>>
>>  Depois do sapo e das soluções interessantíssimas do Nicolau e
>>  do
>>  Ponce, achei que procede colocar na lista um problema clássico
>>  (e
>>  extremamente interessante para a área de logística - atualmente
>>  tenho dado alguns cursos de Metodos Quantitativos aplicados à
>>  Logística - daí a motivação.
>>
>>  Bem, o problema e o seguinte:
>>
>>  Um jornaleiro compra de uma empresa uma certa quantidade de
>>  jornais
>>  por dia (sua capacidade financeira limita esta quantidade a no
>>  máximo
>>  110 jornais), para revendê-los. Ele paga R$ 3 e os vende a R$
>>  8. Os jornais que ele comprou no dia e não consegue vendê-los
>>  são
>>  comprados pela empresa (de volta) por R$ 1.
>>
>>  O grande problema é que ele nao sabe quantos jornais deve
>>  comprar
>>  para maximizar seu lucro, uma vez que a demanda diária é
>>  desconhecida. No entanto a experiência mostra que a demanda
>>  pelos
>>  jornais, independente do dia, supera 50 jornais e é
>>  "distribuida" da
>>  seguinte maneira:
>>
>>  Probabilidade da demanda de jornais ser X jornais (em qualquer
>>  dia)
>>  vale p%, onde:
>>  X p%
>>  50 10%
>>  60 12%
>>  70 15%
>>  80 20%
>>  90 18%
>>  100 15%
>>  110 10%
>>
>>  A pergunta é a esperada: quantos jornais o jornaleiro deve
>>  comprar
>>  para maximizar seu lucro "esperado"?
>>
>>  Abraços,
>>  Nehab
>>
>>
>> Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
>

Re: [obm-l] ajuda

[ralonso]

ralonso wrote:

> [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> > Numa fazenda, o rebanho bovino é formado por quatro tipós de raças. O 
> > veterinário
> > dessa fazenda observa que num período de 58 dias o volume de ração V(k),em
> > metros cúbicos, dado o rebanho no k-ésimo dia desse período é dado por 
> > V(k)=k^3+2k^2-k+14,
> > k=1,2,3,...,58. Sabendo que os volumes (em metros cúbicos)de ração dada a
> > cada um das quatro raças do rebanho são números inteiros,pode-se concluir
> > que a quantidade de dias nos quais todas as raças receberam o mesmo volume
> > de ração foi:
> >

Acho que dah para resolver de forma mais fácil por derivadas:  dV(k)/ dk é a 
velocidade de
consumo
de todo mundo.  v_1 é a velocidade de consumo da raça x e tem forma quadrática, 
v_2 a velocidade

de consumo da raça y e assim por diante.
   v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 3k^2 + 4k -1 .   Você acha cada um dos v e depois
integra.   O problema é que após integrar você ainda tem que achar as 
constantes de integração,
acaba
caindo provavelmente na mesma solução anterior.  Mas fica mais simples pois os 
determinantes tem

ordem 3 no sistema linear a ser resolvido, isto é, ele fica mais fácil.

Ronaldo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] ajuda

[ralonso]

ralonso wrote:

> [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> > Numa fazenda, o rebanho bovino é formado por quatro tipós de raças. O 
> > veterinário
> > dessa fazenda observa que num período de 58 dias o volume de ração V(k),em
> > metros cúbicos, dado o rebanho no k-ésimo dia desse período é dado por 
> > V(k)=k^3+2k^2-k+14,
> > k=1,2,3,...,58. Sabendo que os volumes (em metros cúbicos)de ração dada a
> > cada um das quatro raças do rebanho são números inteiros,pode-se concluir
> > que a quantidade de dias nos quais todas as raças receberam o mesmo volume
> > de ração foi:
> >
>
> Eu começaria chamando o volume de ração dado a cada uma das raças de
> x(k), y(k), z(k), w(k).   Assim x(58) + y(58) + z(58) + w(58) = V(58).   A 
> dúvida
> é se as quantidades dadas às quatro raças foram números inteiros todos os 
> dias.

Corrigindo, o que eu quis dizer é x(k) + y(k) + z(k) + w(k) = V(k) para todo k 
in { 1,...,48}
Após determiná-los vc pode

> resolver o conjunto de soluções das equações x(k) = y(k) = z(k) = w(k).  O 
> número
> de valores k inteiros que satisfazem essa igualdade é o número de dias que as 
> raças
> receberam a mesma quantidade de ração.
>

Aqui também precisa corrigir, pois a quantidade de ração comida em um dia, para 
a raça x é
x(k+1) - x(k) e o conjunto de equações a serem resolvidas seriam
   é x(k+1) - x(k) = y(k+1) - y(k) = z(k+1) - z(k) = w(k+1) - w(k)


>Não estou certo se essa é uma forma boa de resolver, pois dah muito 
> trabalho e não
> dá tempo fazer em uma prova.
>
> Ronaldo.
>
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] questão do colégio naval

[ralonso]

Ah... eh verdade... não prestei atenção quando resolvi.
   Neste caso é mesmo mais difícil.
   Você poderia apresentar a solução aqui para a gente ver?

marcelo oliveira wrote:

> Na verdade a questão pergunta o número de subconjuntos de M, ou seja, o
> valor de 2^n, onde n é a quantidade de elementos de M.
> Depois que enviei a mensagem para a lista um colega meu me repassou um
> teorema que resolve a questão rapidinho. Só achei demais para a cabeça de
> quem deveria estar na oitava série saber um teorema sobre dízima periódicas
> cuja demonstração não é nada trivial.
>
> >From: ralonso <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] questão do colégio naval
> >Date: Wed, 04 Jul 2007 09:43:08 -0300
> >
> >
> >
> >marcelo oliveira wrote:
> >
> > > Esta questão caiu na prova do colégio naval de 1991/1992. Alguma alma
> > > bondosa poderia resolver pra mim?
> > >
> > > Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por
> >três
> > > algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada
> >um
> > > deles é uma dizima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos
> > > algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os
> >respectivos
> > > inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M
> >é:
> > > a) 16c) 1024  e) maior que 3000
> > > b) 256  d) 2048
> > >
> >
> >3 algarismos distintos e primos: 2, 3, 5, 7 existem A(4,3) = 4x3x2 = 24
> >números
> >
> >que se podem formar nestas condições.  Com mais algumas restrições esse
> >número deve diminuir, logo a única alternativa que cabe neste
> >caso é a A.  Não é preciso nem examinar a dízima periódica de cada um
> >desses
> >números ... para concluir que a resposta é letra A.
> >
> >Ronaldo
> >
> >
> >
> > >
> > > Agradeço desde já as tentativas de solução (por mais que frustradas) dos
> > > colegas da lista, pois já perdi muito tempo nesta questão e não saiu
> >nada.
> > >
> > > Até mais,
> > > Marcelo Rufino
> > >
> > > _
> > > MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.
> > > http://messenger.msn.com.br
> > >
> > >
> >=
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> >=
> >
> >=
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >=
>
> _
> MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.
> http://messenger.msn.com.br
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] questão do colégio naval

[ralonso]

marcelo oliveira wrote:

> Esta questão caiu na prova do colégio naval de 1991/1992. Alguma alma
> bondosa poderia resolver pra mim?
>
> Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três
> algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um
> deles é uma dizima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos
> algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos
> inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M é:
> a) 16c) 1024  e) maior que 3000
> b) 256  d) 2048
>

3 algarismos distintos e primos: 2, 3, 5, 7 existem A(4,3) = 4x3x2 = 24 números

que se podem formar nestas condições.  Com mais algumas restrições esse
número deve diminuir, logo a única alternativa que cabe neste
caso é a A.  Não é preciso nem examinar a dízima periódica de cada um desses
números ... para concluir que a resposta é letra A.

Ronaldo



>
> Agradeço desde já as tentativas de solução (por mais que frustradas) dos
> colegas da lista, pois já perdi muito tempo nesta questão e não saiu nada.
>
> Até mais,
> Marcelo Rufino
>
> _
> MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.
> http://messenger.msn.com.br
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] ajuda

[ralonso]

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Numa fazenda, o rebanho bovino é formado por quatro tipós de raças. O 
> veterinário
> dessa fazenda observa que num período de 58 dias o volume de ração V(k),em
> metros cúbicos, dado o rebanho no k-ésimo dia desse período é dado por 
> V(k)=k^3+2k^2-k+14,
> k=1,2,3,...,58. Sabendo que os volumes (em metros cúbicos)de ração dada a
> cada um das quatro raças do rebanho são números inteiros,pode-se concluir
> que a quantidade de dias nos quais todas as raças receberam o mesmo volume
> de ração foi:
>

Eu começaria chamando o volume de ração dado a cada uma das raças de
x(k), y(k), z(k), w(k).   Assim x(58) + y(58) + z(58) + w(58) = V(58).   A 
dúvida
é se as quantidades dadas às quatro raças foram números inteiros todos os dias.
Neste caso x(k), y(k), z(k), w(k) poderiam ser todos polinômios do 3 grau.  Você
teria que determinar os coeficientes de x(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d, que são 
a,b,c,d.
assim como dos demais.   Ao todo são 16 coeficientes. Após determiná-los vc pode
resolver o conjunto de soluções das equações x(k) = y(k) = z(k) = w(k).  O 
número
de valores k inteiros que satisfazem essa igualdade é o número de dias que as 
raças
receberam a mesma quantidade de ração.
   Não estou certo se essa é uma forma boa de resolver, pois dah muito trabalho 
e não
dá tempo fazer em uma prova.

Ronaldo.




>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[ralonso]

 Pela consistência (não demonstrável) da matemática é difícil definir
o que devemos tomar como base para boas definições. No livro de
Malba Tahan, "as maravilhas da matemática"  há um
capítulo inteiramente dedicado ao "problema das definições em
matemática".

Você pode definir pi como a razão
entre a circunferência e o diâmetro ou
como uma integral de comprimento de arco.  O seno pode ser
definido como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou
como uma série de potências.

  Não importa quais das duas adotamos: no caso real, os resultados
são os mesmos. Historicamente, no entanto, as definições mais simples
surgiram primeiro: Os números reais surgiram antes dos complexos,
e o teorema de pitágoras antes do cálculo ...

  PS: No livro Geometria Diferencial de Manfredo Perdigão do Carmo em
uma discussão sobre arcos geodésicos há um comentário sobre a possibilidade
de demonstrar o quinto postualdo de Euclides a partir dos outros, assumindo
que o arco geodésico é um segmento de reta..

Quando conversei com
o professor sobre essa possibilidade
ele me disse que era complicado seguir esse caminho,
porque havia muita coisa já explorada para saber exatamente
o que era postulado e o que era teorema.  Partindo assim dos teoremas
como axiomas poderíamos chegar nos axiomas como teoremas...  Posso
ter entendido isso errado, mas achei interessante
essa discussão...

Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series 
> de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez 
> este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as 
> chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise 
> Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns 
> capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo 
> menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumen>
> Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, 
> embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo 
> trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no 
> antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque 
> a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na 
> realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das 
> funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desi>
> Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos 
> complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos 
> reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a 
> funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em 
> pelo menos 1 elemento de R?
>
> Obrigado
> Artur
>
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
>
> On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> > Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x 
> > +
> > x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes
> > dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio
> > e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae 
> > em
> > 0, lim (x -> 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0  =1.
>
> É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta
> (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial.
> A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de
> f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs).
> Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln)
> e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$
> (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a > 1
> existe uma única função crescente f: R -> R satisfazendo
> f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x
> (definição elementar).
>
> Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial,
> pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou
> a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial
> ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido.
>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ==

Re: [obm-l] Desafio - Análise Real

[ralonso]

Olá Marcelo e demais:
Uma dica que não sei se ajuda muito:  Não sei se alguém observou
que a sequencia  definida por  c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
  A prova então poderia seguir a seguinte linha:
  Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e  rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
Assim se Sum c_n converge então c_n ->  0.
Existe alguma falha de raciocínio?  Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?

Abraços
Ronaldo.

Marcelo Salhab Brogliato wrote:

> Olá,
> o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
> entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
> informacao que lim b_k = 0 é redundante.
>
> c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
> c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
>
> lim a_n = 0
> entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1
>
> portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k <
> Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf
>
> logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] < 
> inf
> portanto: c_n converge.
>
> falta provarmos que converge pra 0..
> assim que sair eu envio..
> abracos,
> Salhab
>
> On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Caros colegas,
> > Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
> > precisamente, seqüências.
> > Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
> > pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
> >
> > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
> > e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k
> > para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência  (c_n) definida por
> > c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
> >
> >
> > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] dúvida sobre Limite

[ralonso]

Olá Sallab, sua solução é simples e elegante e
pode ser usada para outras demonstrações
do mesmo gênero, que podem aparecer em
provas.  Só comentando:

> outro modo seria:
> -delta < x < delta e^(-delta) < e^x < e^(delta)

   Isso é válido porque e^x é monótona crescente para todo x,
isto é, se x_1 > x_2  então e^(x_1) > e^(x_2).  Verificamos isso por inspeção,
porque e>1.  A rigor, analiticamente,
não sei se existe um modo de demonstrar isso sem
uso de derivadas.  Existe?


> assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps
>

  Note que esta passagem também é valida porque quando fazemos
max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1} pegamos sempre números positivos.
Isso ocorre porque existe delta tal que e^delta > 1 sempre.
Em demonstrações de limites mais complicados às vezes não  é
tão simples fazer essa passagem porque essa garantia (positividade
de eps a partir da função) não é tão fácil de obter.


> logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
> implica que |e^x - 1| < eps
>

abraços
Ronaldo.


> ==
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matrizes

[ralonso]

Legal! Tem gente discutindo matrizes simpléticas na lista.
Essas matrizes tem origem nos sistemas Dinâmicos Hamiltonianos.
Depois falo mais sobre isso.
Ronaldo.
Marcelo Salhab Brogliato wrote:
Olá, C^t = A(B^-1)^tA^tpara que C^t =
C, temos que ter (B^-1)^t = B^-1, isto é: B^-1 tem que ser simétrica.. B
= A^tA  B^t = A^tA = B ... logo: B é simétrica. como
B é invertível, temos que:BB^-1 = I(BB^-1)^t = (B^-1)^t B^t
= (B^-1)^t B = I ,,, assim: (B^-1)^t = B^-1... logo, B^-1 é simétrica
e, portanto, C é simétrica.abracos,SalhabOn
6/28/07, Rejane <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:

 
Olá,

 
 


aguém
poderia me ajudar com essas duas questões?
 
 


Seja
A uma matriz m x n tal que B = ( AT A ) seja inversível.Prove
que C = A B-¹ AT é
uma matriz simétrica.
 
 


Seja
J = .Diremos
que uma matriz de ordem 2 é simplética se ST JS
= J.Encontre todas as matrizes reais de ordem 2 que são
simpléticas.

Re: [obm-l] (OF TOPIC) Auxílio a brasileiros não-residentes emgrandescentros

[ralonso]

Certamente.   E na teoria não é difícil.
Basta ter um servidor Windows
2003 (ou Linux para quem prefere) com serviços multimídia
instalados para disponibilizar as aulas para usuários
assistirem/baixarem.

   Você só precisa filmar as aulas (com autorização, é claro das
pessoas)
e colocar os vídeos lah.  Mas precisa-se de pessoas e
principalmente recursos para poder fazer isso.

Na prática não é simples porque  há questões envolvidas,
off-topics o bastante para essa lista ...

Att.
Ronaldo.

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Ronaldo, obrigado:
>
>Sabe Ronaldo, outros, seria ótimo, realmente um sonho, ver em
> teleconferência, para diversas cidades, aulas dos professores de
> olímpiada dos grandes centros.
>
> Fraternalmente, João.
>
>
> Olá João.  Acho que uma solução seria se
> mudar para tal localização.
>
> Em alguns casos,
> pessoas geniais conseguem progredir sozinhas
> apenas com pesquisando na Web/ baixando
> papers em universidades e estudando  livros.
> Mas devemos lembrar que essas pessoas são
> a *exceção*.  Não a regra.
>
> Mesmo matemáticos
> que já se destacaram em olimpíadas precisam
> de orientador, pois dois cérebros pensam melhor
> que um ...
>
> []s
> Ronaldo
>
> [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> > Senhores:
> >
> > O que se realiza para minimizar a diferença entre o efetivo
> resultado em
> > olimpíadas de um jovem brasileiro não residente em grande centro e
> um
> > suposto resultado melhor, caso residisse em tal localização?
> >
> > Fraternalmente, João.
> >
> >
> =
>
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
> =
>
> =
>
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
> 
>
> Instruções
> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 

Re: [obm-l] (OF TOPIC) Auxílio a brasileiros não-residentes em grandescentros

[ralonso]

Olá João.  Acho que uma solução seria se
mudar para tal localização.

   Em alguns casos,
pessoas geniais conseguem progredir sozinhas
apenas com pesquisando na Web/ baixando
papers em universidades e estudando  livros.
Mas devemos lembrar que essas pessoas são
a *exceção*.  Não a regra.

  Mesmo matemáticos
que já se destacaram em olimpíadas precisam
de orientador, pois dois cérebros pensam melhor
que um ...

[]s
Ronaldo

[EMAIL PROTECTED] wrote:

> Senhores:
>
> O que se realiza para minimizar a diferença entre o efetivo resultado em
> olimpíadas de um jovem brasileiro não residente em grande centro e um
> suposto resultado melhor, caso residisse em tal localização?
>
> Fraternalmente, João.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Dúvida

[ralonso]

ralonso wrote:

> > Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n
>
> Olá Professor Nicolau.  Como você consegui enxergar que
>   p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ?  Suponho que você está
> considerando que p(n) = x^n e   x^3  = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) =
> x^3 + x^2 + x.   Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois
> x pode ser a, b ou c.  A confusão surge porque  x tem que ser o mesmo nos dois
> lados da equação.  Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor
> essa passagem.
>

Ah... tah... agora percebi:  troque x^n por a^n (já que a é raiz):
a^(n+3) = a^(n+2) +a^(n+1) + a^n
ou por b_n:
   b^(n+3) = b^(n+2) +b^(n+1) + b^n
ou por c_n
   c^(n+3) = c^(n+2) +c^(n+1) + c^n
e some os três:

 p_(n+3) = a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3)
p_(n+2) = a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2)
p_(n+1) = a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)
p_(n) = a^(n) + b^(n) + c^(n)

==>
p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n

logo chegamos a conclusão do professor Nicolau.
A questão das matrizes ainda não enxerguei...

[]s

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Dúvida

[ralonso]

> Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n

Olá Professor Nicolau.  Como você consegui enxergar que
  p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ?  Suponho que você está
considerando que p(n) = x^n e   x^3  = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) =
x^3 + x^2 + x.   Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois
x pode ser a, b ou c.  A confusão surge porque  x tem que ser o mesmo nos dois
lados da equação.  Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor
essa passagem.


>
>[35890 66012121415]
> N^21 = [55403101902187427]
>[66012121415223317]
>
> Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
> matrizes anteriores.
>
> Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
> (e chegamos na mesma resposta).
>

  Suponho que teorema da álgebra linear foi usado na passagem acima foi aquele
que diz que se o polinômio característico para matrix X satisfaz  p(X) = 0.
  Então X^3 =  X^2 + X + I.   O fato do polinômio poder ser obtido da
multiplicação dos anteriores tem a ver com o fato de podermos  multiplicar
os dois lados da equação matricial acima por X ou  uma potência de X:

X^3 X = X^2 X + XX + X
X^4 = X^3 +X^2 + X

  Pensei certo?  Também não entendi por que a soma a^n + b^n + c^n é
o traço da matrix X^n. Deve ter algo a ver com o fato da matriz poder
ser escrita como X = A^1 L A^(-1) onde L é a matriz de autovalores,
uma fórmula do tipo
X^n = A^n L ^n A^(-n)   deve valer e os termos devem ser cancelados
em uma multiplicação ... bom... preciso de uma explicação melhor aqui
também, pois "viajei" :)

   Gostaria de ter a sua velocidade de raciocínio  mas não consigo :)
Humildemente.
Ronaldo.

[]s a todos.




>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] sec^n x

[ralonso]

  Eu não essa integral ainda, mas a rigor existem dois métodos de
integração:
por partes e por substituição.  Se a integração por partes não
esta resolvendo, tente uma  substituição ou uma combinação dos dois
métodos ...

Ronaldo.

Klaus Ferraz wrote:

> Alguem sabe deduzir a expressao recursiva da int(sec^n x). To fazendo
> várias integrações por parte mas sempre chega em alguma mais
> complicada q antes.grato.
>
>
> ---
> Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.

Re: [obm-l] Dúvida

[ralonso]

Olá Henrique.  Você tem 3 equações e três
incógnitas alfa, beta e gamma.
Resolva o sistema, ache alfa, beta e gamma.
   Escreva alfa como:
    alfa = cos w + i sen w,
   alfa^21 = cos 21w + i sen 21w
  fazendo o mesmo para beta e gamma e some os três.
[]s
Ronaldo.
Henrique Rennó wrote:
Olá Pedro,
Você poderia dizer qual a fonte deste problema? De onde ele foi
tirado?
 On 11/1/01, Pedro Costa <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
 

Amigos
da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:


See são
números complexos tais que ,e

,
determine o valor de .


--
Henrique

Re: [obm-l] Questao de Logica

[ralonso]

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:

>
> O problema em si é interessante (e divertido!), mas fato é que, por
> falta de provas,
> o numero 2 e superprimo, pois é impossível provar o contrário.
> E essa é a definição de vacuosidade!
>

  Interessante. Em lógica booleana isso é conhecido com
o nome de indução completa.
Por exemplo, considere  a lei de De Morgan que diz que:

  (a + b)' = a' . b'

aqui + significa "ou lógico" e . significa "e lógico". O apóstrofo '
significa negação.
As variáveis a e b podem assumir valores 0 (FALSO) e 1 (VERDADEIRO).
Então há 4 possibilidades:

  (0 + 0)' = 0'.0 '  ==>  (0)' = 1.1 ==>  1 = 1 ==> OK
  (0 + 1)' = 0'.1'  ==> (1)' = 1. 0 ==>  0 = 0  ==> OK
  (1 + 0)' = 1'.0'  ==> (1)' = 0. 1 ==>  0 = 0  ==> OK
  (1 + 1)' = 1'.1 '  ==>  (1)' = 0.0 ==>  0 = 0 ==> OK

Como não existem outras possibilidades, o teorema está provado.
No caso que Dirichlet colocou, a representação de 2  em bases
maiores que 2 dá 2, em binário dá 10 que não pode ser permutado
sem alterar o número (01 = 1)  e em base 1 não há representação.
Então 2 é superprimo, pois foram examinadas todas as possibilidades.


[]
Ronaldo.

>
> Mas quando se fala desta questao de prova, acho que é forçar a barra
> em falar de
> vacuosidade. De fato nao tem sentido falar de limite de coisas
> "divergentes". Mas aí
> é uma questão teórica e não prática.
>
>  Em 17/06/07, Davi de Melo Jorge Barbosa <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>
>  Prova por vacuidade eh o nome dado para uma das formas de
>  provar uma proposicao do tipo "A -> B".
>  Voce pode provar diretamente (supor que A eh verdade e ir
>  fazendo contas para mostrar que B tambem eh), por
>  contradicao etc... Provar por vacuidade eh quando voce
>  estabelece que A eh falso. Logo, a proposicao "A -> B" eh
>  verdadeira, ou seja, voce provou ela sem utilizar o B (pouco
>  importa se o B eh uma tautologia, uma contradicao ou se
>  depende de outra coisa).
>  Exemplo:
>  Proposicao: Se |X| < 0 entao X = 3.
>  Como |X| >= 0 para todo X, a afirmacao "|X| < 0" eh falsa,
>  logo a proposicao eh verdadeira.
>
>   On 6/15/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas
>  <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>Caro Artur desculpe a ignorância, mas o que é
>   vacuidade ? abraços Dênis
>
>   Artur Costa Steiner < [EMAIL PROTECTED]>
>   escreveu:
>
>Alguns estudantes me pediram ajuda numa
>questao e eu acabei ficando em duvida.
>Tinham uma sequencia x_n de numeros
>reais, limitada em R, e pedia o
>exercicio que se provasse que lim x_n
>=1. Eles analisaram a sequencia e
>concluiram, corretamente, que esta, na
>realidade, era divergente.
>
>Um dos estudantes julgou que se deveria
>escrever que o enunciado estava errado e
>que não era possível provar o pedido,
>simplesmente porque a sequencia nao
>convergia e, portanto, nao tinha nenhum
>limite. Jah o outro julgou que, de fato,
>lim x_n =1 por vacuidade, baseado no
>seguinte argumento: como lim de x_n nao
>existe, este limite, por vacuidade, eh
>igual a qualquer coisa. Logo, ao se
>provar que x_n diverge, provou-se
>automaticamente (por vacuidade, eh
>claro), que lim x_n =1. Reforcou sua
>argumentacao com a seguinte afirmacao:
>Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por
>vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos
>que a contrapositiva "Se x eh diferente
>de 1, entao x nao eh limite de x_n" eh
>verdadeira).
>
>Eu estou na duvida, embora me pareca
>muito artificial aceitar, mesmo por
>vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n
>diverge. E isso coloca uma outra duvida:
>Se quisermos negar a afirmacao lim x_n
>=1, entao eu, de forma natural, diria "
>Ou lim x_n existe e eh diferente de 1,
>ou este limite nao existe". Mas e
>acietarmos a vacuidade, a negacao seria
>simplesmente "lim x_n existe e eh
>difrenete de 1". Realmente estou um
>tanto confuso, estava mais propenso a
>concordar com o 1o estudante, mas oa
>argumentos do outro tambem fazem
>sentido. Qual a opiniao de voces aqui na
>lista?
>
>Abarcos
>Artur
>
>=
>
> ===
>
>Instruções para entrar na lista, sair da
>lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.

Re: [obm-l] Provar que f eh periodica

[ralonso]

Olá Artur, o e-mail anterior foi só uma brincadeira :)
Eu sei que não é assim que resolve :)

[]s  Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.Seja f:R-> R para
> a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para todo real
> x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.Artur

Re: [obm-l] Provar que f eh periodica

[ralonso]

 [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2
  [f(x + p)]^2 + [f(x)]^2 =1

tome f (x) = cos(x)
f(x+  pi/2) = sen(x)
tome agora p = pi/2
tá resolvido :)

[]s  Ronaldo


Artur Costa Steiner wrote:

> Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.Seja f:R-> R para
> a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para todo real
> x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.Artur

Re: [obm-l] método para resolver integral

[ralonso]

Olá Alan! Bom dia.
Interessante seu e-mail.  Vou só fazer comentários.  O
assunto precisa ser discutido com bem mais rigor .

Alan Pellejero wrote:

>
> Por manipulação algébrica, descobri que o integral
>
> int (1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i
> sqrt  (delta)) + k,
>
> onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac.
>

   Não fiz as contas, talvez você pudesse mostrá-las para nós
para a gente conferir,  mas supondo que elas estejam corretas,
essa expressão ser válida, mesmo
sendo uma integral indefinida (k é a constante de integração), o
denominador não pode ser zero.  Nesta hipótese a integral deve dar
um número real.

   Então a presença de  arctan ((2ax + b)/i sqrt  (delta))  deve dar um
numero imaginário para cancelar o imaginário no denominador.  Ou,
no final das contas, os números complexos subtraídos quando se calcula
a integral acima definida em [a,b] devem ter parte imaginária igual para

esta ser cancelada. A questão que surge então é como calcular o
arctan de um número imaginário.

   Em cursos de análise complexa, considera-se a função ln z com z
complexo.
Podemos também considerar sen z, cos z, arctan z, com z complexo.
Isso funciona definindo a função por meio de séries de potências e a
expressão
é válida dentro do raio de convergência da série. Não é muito trivial
achar
a soma de uma série desta forma.  Devem existir outros métodos mais
diretos.

Geralmente as funções inversas tem vários ramos.  Um
exemplo:   e^( (2k +1) pi*i ) = cos ( (2k+1) pi ) + i sen ( (2k+1) pi)
=  -1
  então note que ln (-1) dará uma coleção de números complexos:

 ln (-1) = (2k+1)  pi * i  com k \in Z

   Então temos que escolher um ramo desta função.  O mais natural seria
escolher k = 0.  Agora, na fórmula de Euler, suponha que
passamos o i sen x  para esquerda:

  e^(i x) = cos x + i sen x
  e^(i x) - i sen x = cos x
  arcos ( e^(i x) - i sen x ) = x

  Note primeiro que
podemos somar 2 pi no x pois e^( i (x+2pi) ) = e^(ix) ,  daí podemos
concluir que:

  arcos ( e^(i x) - i sen x ) = x +2 k *i *pi

  Escolhemos novamente  k = 0 e temos x real.  Neste exemplo
não conseguimos calcular
arccos de qualquer complexo com a fórmula de Euler por um motivo
simples: o argumento de arccos acima é real.
  Então temos que usar série de potências com z complexo.


>
> Minha dúvida é a seguinte:
>
> É natural encontrar para a primitiva um número em que apareça unidade
> imaginária?
> É válido tal método? Pergunto pois, por verificação, constatei que a
> derivada daquela expressão é de fato o termo a integrar.
> Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para um curso de
> cálculo 1 por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou e
> encontrar em uma prova de seus alunos a resolução de algo como:
>
> int (1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i
> sqrt  (17)) + k, iria aceitar?
>

  Eu também tenho essa dúvida:  Se ele deveria aceitar.

Se a integral for definida,
os limites de integração forem válidos, o aluno conseguir calcular a
expressão:
arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17))  para os dois limites de integração e
o resultado
final der o número real esperado, acho que pode-se considerar o
resultado
certo.


> Um fato que eu achei interessante é a relação de derivação entre o
> denominador da expressão a integrar e o numerador do domínio do
> arctan.
>

  A matemática é consistente, embora não haja prova disso a partir
da própria matemática.


>
> Mais uma dúvida.
> Podemos encontrar para o mesmo integral duas expressões diferentes?
> Isso só acontece em C ou em R também? Digo isto pq encontrei funções
> cujo integral é uma expressão usando logaritmos, quando o corpo é R e
> uma expressão usando arctan, quando o corpo é C.
>

   Exite uma relação bem definida e válida entre arctan e log, mas
não me lembro dela agora.


> Cheguei inclusive a pensar que possa existir um elo entre as funções
> trigonométricas e as logarítimicas usando números complexos. Existe
> alguma área da matemática que trabalha com isso? Pensei ate na
> realação de Euler:  e^(i pi) + 1 = 0, mas não consegui concluir nada
> interessante.
> No mais, agradeço a atenção e peço desculpas pelo email longo.
> Obrigado
>

   Dá uma olhada com atenção no livro de Alcides Lins Neto (Análise
Complexa) da série matemática universitária do IMPA.  Eu também
estou precisando voltar a lê-lo.

Abraços.
Ronaldo.


>
> Alan Pellejero
>
> 1º Ano bacharelado matemática
> IME/USP
>
>
> ---
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Re: [obm-l] Questao de Logica

[ralonso]

>
> Mas repare que so' podemos dizer que o tal limite e' igual ou
> diferente de x se ele  (o limite) existir. As "entidades" aqui sao
> matematicas, e nao figuras de linguagem. Claro que na linguagem comum
> , e no contexto do dia a dia podemos dizer que "algo que nao existe e'
> obviamente diferente do meu cachorro Rex, que existe." Mas,
> matematicamente, algo que nao existe nao e' igual nem diferente a
> qualquer coisa, pois se nao existe, nao pode ser comparado...
>

  Exato, bem sacado.  O que significa "existir" em matemática?
Note que existir em matemática
é diferente de existir no sentido físico ou linguístico.
 Podemos criar várias lógicas do ponto
de vista matemático, todas elas rigorosas (a geometria plana e a
eliptica são
exemplos de lógicas rigorosas, com axiomas diferentes).

Quais delas descrevem o meio físico?

A resposta é que apenas a *experiência* pode revelar a realidade.
   Na época de Galileu e Newton todos achavam que o universo era
Euclidiano
e que as velocidades e os tempos eram absolutos (as transformações do
grupo de Galileu presevavam distâncias e tempos).  Mas adiante na
história
a experiência mostrou que não era bem assim.  Que o espaço físico não
era
euclidiano (era riemanniano), as distâncias e tempos não eram
preservados
pelas transformações de mudanças de referencial
e o grupo de Galileu deveria ser trocado pelo grupo de Lorentz.  Mais
adiante
se verificou que o grupo de Loretz era um subgrupo do grupo de Poincaré,

algo ainda mais geral e aplicável do ponto de vista físico ...

   Quando discutimos matemática, as referências físicas não devem
influenciar
o raciocínio lógico, pois a matemática é uma ciência pura, em princípio.

Por outro lado evidentemente, se algo *não existe* do ponto
de vista matemático, também não existirá do ponto de vista físico, pois
foram
entidades físicas (cérebros humanos, no caso) que produziram
a matemática . Nenhuma outra forma de vida conhecida soube fazê-lo.

Ronaldo.

>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>   Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei
>  ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros
>  reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse
>  que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram,
>  corretamente, que esta, na realidade, era divergente.
>
>  Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o
>  enunciado estava errado e que não era possível provar o
>  pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e,
>  portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que,
>  de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte
>  argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por
>  vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que
>  x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh
>  claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a
>  seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por
>  vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva
>  "Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n" eh
>  verdadeira).
>
>  Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial
>  aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n
>  diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar
>  a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria "
>  Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao
>  existe". Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria
>  simplesmente "lim x_n existe e eh difrenete de 1". Realmente
>  estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com
>  o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem
>  sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista?
>
>  Abarcos
>  Artur
>
>  =
>  ===
>
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>  ===
>  =
>
> ---
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Re: [obm-l] Questao de Logica

[ralonso]

Oi Artur, qual era a sequencia?
Ou os argumentos independem da sequencia?  Isso não pode acontecer,
pois se uma sequencia em x converge então o limite deve ser único em espaços
completos.  Acho o seu argumento o mais plausível:
" Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe".
   Provavelmente o argumento do estudante é equivalente a esse, embora
não seja tão trivial enxergar isso do ponto de vista lógico.  Acho que é
preciso examinar os detalhes dos argumentos para ver o que está
não-conforme nos argumentos dele.

[]s
Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em 
> duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o 
> exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e 
> concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente.
>
> Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava 
> errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a 
> sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro 
> julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: 
> como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer 
> coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por 
> vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao >
> Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por 
> vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: 
> Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria 
> " Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas e 
> acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh 
> difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a 
> concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro>
> Abarcos
> Artur
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Teoria de Corpos

[ralonso]

Eu lembro que Paulo Santa Rita, escreveu alguns artigos interessantes
e e exemplos simples dos teoremas de Sylow, que ajudam a entender
esses conceitos mais avançados:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200506/msg00040.html

É soh você digitar teoremas de Sylow no Google que você acha esses
exemplos na lista.

Ronaldo.


Benedito wrote:

> Prezado Matheus,
>
> Veja este livro:
>
> Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/Crc Mathematics) (Paperback)
> by Ian Stewart (Author) "In the first part of this book, Chapters 1 to 15,
> we present a (fairly) modern version of Galois's ideas in the same setting
> that..." (more)
> Key Phrases: Fundamental Theorem of Algebra, Natural Irrationalities,
> Cauchy's Theorem (more...)
>
> Benedito Freire
>
> 
>
> - Original Message -
> From: "Matheus bhv" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: 
> Sent: Monday, June 11, 2007 10:59 PM
> Subject: [obm-l] Teoria de Corpos
>
> > Eu estou estudando álgebra no livro do Otto, Teoria dos Corpos, mas estou
> > achando ele muito difícil de aprender. Nós vamos usar as partes de
> > extensões finitas, algébricas, separáveis e normais, ou seja, os capítulos
> > 1,2,3 e 5 do livro do Otto. Alguém sabe qual é o livro mais fácil do mundo
> > para aprender isso? Pode ser em inglês, não tem problema. Obrigado.
> >
> > _
> > Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus
> > amigos. http://mobile.msn.com/
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =
>
> =
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

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Re: [obm-l] Álgebra Linear - Dinâmica Populacional

[ralonso]

Olá Aline.

Faltam dados no problema.  Vc tem que supor que v = [g1, g2, g3]
onde g_i é o número de fêmeas em cada grupo.  A solução deve ser
o ponto fixo da dinâmica.  Av = v.  Neste caso v é o auto-vetor para
o auto-valor lambda = 1.  Estou dizendo isso porque o problema
cita auto-vetores.  Agora lambda = 1 é auto-valor de A?

  Voce precisa resolver det (A - lambda * I) = 0 para achar auto-valores
de A, ou seja,

|(2 - lambda)0   0   |
| 3  (1-lambda)  0   | = 0
| 0  4  (3 - lambda) |

Aplicando o teorema de Laplace:

(2-lambda)(1-lambda)(3-lambda) = 0

1, 2 e 3 são auto-valores.  Bom, então lambda = 1 é auto-valor
e  o prolema tem solução, suponha
v = [v1,v2,v3] e resolva o sistema.

[200][v1] [v1]
[310][v2]  = [v2]
[043][v3] [v3]

Acho que é isso que o problema quis dizer.



Aline Cardoso wrote:

> Suponha que a matriz abaixo represente a dinâmica de uma população:
>
> A = \left[ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \right]
>
> 200
> 310
> 043
>
> Sabemos que um autovalor lambda de A é um número real ou complexo que
> satisfaz a condição Av = lambda.v onde v pertence a R³ é o autovetor
> associado a lambda. Para o exemplo de dinâmica populacional v
> representa o número de fêmeas. Determine a proporção de fêmeas em cada
> grupo de tal forma que a população permaneça estável, ano após ano.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
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=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] recomendação de um livro

[ralonso]

 Eu me lembro que o Piskunov
   era um bom livro de cálculo, só que não didático
  o suficiente.

Haviam muitos desafios.  Acho que quem
   pensa em fazer olimpíada universitária
  deveria tentar alguns problemas dele.
 Livros mais didáticos são o Sokowisky, o Leithold e o
   Kaplan.

 Para exercícios é bom treinar com livros da série
Schaum outline (gostaria de fazer isso para exercitar os neurônios,
mas nunca sobra tempo) ...

   Aliás ... preciso terminar um documento agora :)
 São quase  16:00...

[]s a todos e bom divertimento a
noite nos calculos !


Bruno França dos Reis wrote:

> Nossa, Piskounov... nunca vi esse livro, mas me lembro bem de um
> professor de cálculo dizendo que era horroroso, que eu deveria queimar
> cada edição que encontrasse desse livro! (um pouco radical...)
>  2007/6/1, Rafael <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>  O livro é incrivelmente facil de se achar em bibliotecas,
>  visto que
>  assim como os livros de calculo do Anton é uma bibliografia
>  muito
>  difundida.
>
>  Posso lhe dar minha opniao a respeito do livro, assim como
>  outros irao
>  dar, mas nao existe aquela que sera absoluta, pois voce pode
>  achar que
>  as coisas estao se encaixando melhor na sua cabeca ao
>  estudar esse
>  livro do que qualquer outro ou pode achar o contrario.
>
>  Na minha opniao existem livros melhores. Recomendo
>  "Thomas-Finney" ou
>  entao "Larson" ou entao "Piskounov"(esse pode ser dificil de
>
>  encontrar) como autores de livros de calculo.
>
>
>  On 5/31/07, R Parenti <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  > errata:
>  > o nome do autor do livro eh swokowski =p
>  > valeu
>  >   - Original Message -
>  >   From: R Parenti
>  >   To: obm -l
>  >   Sent: Sunday, May 27, 2007 4:42 PM
>  >   Subject: [obm-l] recomendação de um livro
>  >
>  >
>  >   olá para todos, eu ouvi dizer q tem um livro de um autor
>  chamado chocovski
>  > (axo q eh assim =p) e gostaria de saber se vcs sabem me
>  dizer se o livro é
>  > bom e se é facil de se axar
>  >   agradeço desde já
>  >   renato
>
>
>  --
>  -
>   RAFAEL
>
>  ===
>  =
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
>  
>
>
>
>
> --
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com
> gpg-key:
> http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
>
> e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] "função potencial" de x

[ralonso]

Olá Cláudio.

   Essa expressão que você encontrou, n^(1/n) para a inversa
de f(n)  só é válida para 01 e
que não existe para n = 0.

   Você deve ter feito o seguinte (considerando agora x real):

  x^x^x^x^... = n = f(x)
 x^(x^x^x^x^...) = n
ln (x^(x^x^x^x^...)) = ln n
 ( x^x^x^...)* ln(x) = ln n
n * ln(x) = ln n
 ln (x) = (ln n)/n
  x = e^((ln n)/n)
  x = e^( (ln n)* (1/n) )
 = (e^( (ln n) ) ) ^(1/n)

(justificativa  m ^(p*q) = (m^p)^q)  )

= n ^(1/n)

  logo se  f(x) = x^x^x^... então
  f(n^(1/n)) = n  (porque f(x) = n)

   O que deve estar te confundindo é que
 n^(1/n)  é a inversa de f(n), (basta
trocar x por n para ver isso) pois
a inversa tem a propriedade que

   f(  f^(-1) (n) ) = n

então comparando as duas expressões:
  f(  f^(-1) (n) ) = n e
  f ( n^(1/n) ) = n

então

  f^(-1) (n) = n^(1/n)  , pois f injetiva, conforme
você afirma.

   Troque agora n por x e temos

   f^(-1) (x) = x^(1/x)

   Claro que esta expressão f^(-1) só é valida tomando-se como domínio
a imagem da função f (x), que como vimos é (0,1].

 Bom. Peço humildemente aos membros da lista que corrijam as
possíveis
besteiras que eu possa ter dito.  Neste caso é lógico que a função
x^x^x^x^...
nunca atingirá o valor 3, nos naturais pois seu valor máximo é 1
quando x = 1 e não existe para x>1.

Abraço a todos.
Ronaldo Luiz Alonso


Claudio Gustavo wrote:

>   Desculpe, pois não fui claro na minha solução. Na verdade não é a
> função f(x) que é decrescente, mas sim a função representada por
> n^(1/n) que é decrescente para o n maior que 3 (vai tender para 1).
> Quanto a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral,
> para imagens naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o
> x encontrará exatamente isso.  Daí eu concluí que, como a função f(x)
> é crescente (acho que isso já é o suficiente para vermos que ele é
> injetiva, pois será monótona), para uma abscissa maior obtemos uma
> imagem maior. Logo a maior imagem possível (considerando apenas entre
> as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que obtemos imagem 3.
> Logo essa função nunca atingirá a imagem 4.  Acho que agora fui mais
> claro nas explicitações.   Abraço,Claudio Gustavo.
>
> Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  Ola Claudio,
>  acredito que sua solucao esteja errada.. veja:
>
>  f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
>
>  para x > 1...
>  x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
>  x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
>  :
>  f_{n+1}(x) > f_n{x}
>  assim, a funcao é crescente com n para x>1
>  ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x >
>  1..
>  portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...
>
>  para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n
>
>  para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a
>  funcao é
>  decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf
>  f_n(x)
>  existe...
>  como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum
>  valor maior que 1...
>
>  na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
>
>  decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ...
>  4^(4^4) >
>  3^(3^3).. e assim por diante...
>
>  nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de
>  lim n->inf
>  f_n(x) = a..
>  intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem
>  para o
>  infinito elas nao se comportam exatamente como no caso
>  finito.. [temos
>  as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do
>  intuitivo é a
>  serie telescopica com lim a_n diferente de 0]
>
>  tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é
>  injetiva...
>
>  abracos,
>  Salhab
>
>
>  On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
>  > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la
>  assim, mas fiz...)
>  > de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x
>  elevado a x ...).
>  > Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não
>  pode ter como
>  > imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x =
>  2^(1/2), mas daí
>  > concluímos que 2 = 4!!!
>  > Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se
>  existem outras
>  > considerações e se o que pensei está correto.
>  > Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva
>  (fazendo f(a)=f(b),
>  > então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)),
>  para o intervalo de
>  > x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona
>  crescente para o
>  > intervalo considerado. Considerando apenas as imagens
>  naturais, ou seja,
>  > f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n).
>  Sabe-se que essa função
>  > é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e
>  com limite 1
>  > (logo obedece a condição de x positivo e maior que 1).
>  Como a função f(x) no
>  > dado intervalo é monó

Re: [obm-l] "função potencial" de x

[ralonso]

Acho que a forma mais prática e fácil de convencer é mesmo plotando o
gráfico :)  Mas posso pensar em algo melhor.

Ronaldo

Claudio Gustavo wrote:

>   Na verdade nem me preocupei se 1 é o único ponto fixo, pois o
> exercício pede para analisar apenas as imagens 2 e 4, pois acharíamos
> como abscissa para as duas o mesmo ponto, 2^(1/2).  Tente resolver a
> questão para x^x^x^x^... = n. O resultado é n^(1/n). Mas essa função
> tem valor máximo para 3^(1/3) e f(x) é injetiva, logo...  A pergunta
> é: Vc tem uma idéia diferente da que eu postei inicialmente para
> demonstrar que a imagem 4 é absurda? Pois se eu fosse aluno, eu não me
> convenceria muito com essa solução que dei... Existe alguam solução
> mais "paupável"? Mais "concreta" e menos "abstrata"?
>
> ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  Olá Cláudio. So algumas observações.
>
>  Veja que se x = 2 , então
>  x^x = 4
>  x^x^x = 2^4 = 16
>  x^x^x^x = 2^16 = 65536
>  x^x^x^x^x^... -> oo
>
>  deve acontecer o mesmo para x> 2, certo?
>  Pegue outro número, um pouco menor,
>  digamos x = 1,02. Pelas
>  poucas contas que fiz parece que a função também
>  cresce sem limite, embora de forma mais lenta.
>  Ainda não analisei nada com rigor. Mas não
>  é dificil fazer um programa no MATLAB ou Matematica
>  que plote essa função.
>
>  Para x = 1 temos um ponto fixo: f(x) = x. Mas a função
>  parece ter infinitos pontos fixos,
>  porque f(x^x^x^x^x^ ...) = x^x^x^x^x^...
>
>  A pergunta é 1 é o único ponto fixo?
>
>
>  Claudio Gustavo wrote:
>
>  > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la
>  assim, mas
>  > fiz...) de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado
>  a x elevado
>  > a x ...). Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a
>  função não
>  > pode ter como imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens
>  encontramos x =
>  > 2^(1/2), mas daí concluímos que 2 = 4!!! Vou colocar a
>  minha solução.
>  > Mas gostaria de saber se existem outras considerações e se
>  o que
>  > pensei está correto. Primeiro, pode-se demonstrar que a
>  função é
>  > injetiva (fazendo f(a)=f(b), então a=b) e crescente
>  (fazendo f(x+1)
>  > maior que f(x)), para o intervalo de x positivo e maior
>  que 1, que é o
>  > caso, logo é monótona crescente para o intervalo
>  considerado.
>  > Considerando apenas as imagens naturais, ou seja, f(x)=n,
>  encontramos
>  > como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é
>  crescente
>  > até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite
>  1 (logo
>  > obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a
>  função f(x) no
>  > dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa
>  maior teremos
>  > uma imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para
>  valores
>  > naturais, é para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3.
>  Então a
>  > função nunca atingirá a imagem igual a
>  > 4.__
>  > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
>  > http://br.messenger.yahoo.com/
>
>  
>  
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>  ===
>  =
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Re: [obm-l] "função potencial" de x

[ralonso]

Olá Cláudio.   So algumas observações.

  Veja que se x = 2 , então
x^x = 4
x^x^x = 2^4 = 16
x^x^x^x = 2^16 = 65536
x^x^x^x^x^... -> oo

deve acontecer o mesmo para x> 2, certo?
Pegue outro número, um pouco menor,
digamos x = 1,02.  Pelas
poucas contas que fiz parece que a função também
cresce sem limite, embora de forma mais lenta.
Ainda não analisei nada com rigor. Mas não
é dificil fazer um programa no MATLAB ou Matematica
que plote essa função.

Para x = 1 temos um ponto fixo:  f(x) = x.  Mas a função
parece ter infinitos pontos fixos,
porque f(x^x^x^x^x^ ...) = x^x^x^x^x^...

   A pergunta é 1 é o único ponto fixo?


Claudio Gustavo wrote:

>   Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas
> fiz...) de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado
> a x ...).  Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não
> pode ter como imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x =
> 2^(1/2), mas daí concluímos que 2 = 4!!!  Vou colocar a minha solução.
> Mas gostaria de saber se existem outras considerações e se o que
> pensei está correto.  Primeiro, pode-se demonstrar que a função é
> injetiva (fazendo f(a)=f(b), então a=b) e crescente (fazendo f(x+1)
> maior que f(x)), para o intervalo de x positivo e maior que 1, que é o
> caso, logo é monótona crescente para o intervalo considerado.
> Considerando apenas as imagens naturais, ou seja, f(x)=n, encontramos
> como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é crescente
> até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1 (logo
> obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no
> dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos
> uma imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores
> naturais, é para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a
> função nunca atingirá a imagem igual a
> 4.__
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Re: [obm-l] Problema 2 nível 1 - 1998

[ralonso]

Olá Hugo.  É só falta de treino. Ninguém é burro.


>
> Jacira consegue datilografar 20 páginas de um manuscrito em 4 horas e
> Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 páginas do manuscrito para
> datilografar. Se as duas começarem a datilografar no mesmo instante
> essas páginas, quantas páginas deverá pegar a mais lenta, de forma que
> ambas terminem juntas?Cheguei na resposta certa por tentativa e erro,
> mas queria algo mais elaborado. Alguém poderia ajudar?
> --
> []'s

   Há várias formas de fazer.  Pensando fisicamente:
   Jacira datilografa v1 = 20/4 = 5 paginas por hora
   Joana datilografa v2 = 20/5 = 4 paginas por hora
   Jacira + Joana juntas datilografam
v1+v2 = 5 + 4 = 9 paginas por hora.
   Ora, se faltam 900 páginas as duas juntas conseguem datilografá-las
   em 100  horas.   Nestas 100 horas a mais lenta (Joana) percorre
100 * 4  = 400 páginas e a mais rápida (Jacira) 100 * 5 = 500
páginas
que somadas dão 900 páginas.

Comece treinando com exercíos simples como esse e tente resolvê-los
sozinho. Depois vá para os mais e mais complexos. Não importa se você
está
fazendo faculdade ou se já a terminou.  O avião para decolar precisa
vencer a inércia e receber comandos do piloto. Depois que estiver
voando pode usar o piloto automático :)   Mas ... Oopss... não entendo
nada
de aviação ... :) Posso ter dito besteira, mas enfim a idéia eh essa.

Abraço!

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Re: [obm-l] MIDA

[ralonso]

João Victor Vale wrote:

> oi,
>
> gostaria de saber se alguem da lista poderia me ajudar. seguinte: tenho que
> modelisar a equacao do calor bidimensional a traves do metodo indireto das
>

> direcoes alternadas e implementar em C. o problema eh que eu nao estou
>

Eu não conheço o método das direções alternadas. Mas um bom começo
é você entender a equação diferencial do calor, que é uma equação diferencial
parcial.  Tais equações podem ser resolvidas por séries de Fourier, mas
existe outro método.  Quando comecei o doutoroado eu li um livro sobre
funções de Green de Operadores Diferenciais. O assunto é muito extenso
e não dá para discutir aqui na lista (mesmo porque é meio off-topic).
   O livro que eu li chama-se:

  Green Functions, differential Operators and boundary value problems, se
eu não me engano, mas não me lembro bem o autor.

Dica: Vai noGoogle --> Pesquisar --> Mais
  Nesta seção (seção mais canto direito) digite essas palavras chaves
vai achar uma dezena (ou talvez centena, quem sabe) de referências
sobre esse assunto.  Mas começe aprender a resolver EDPs pelo
método de Fourier, se não souber, depois estude funções de Green
e finalmente vá para métodos numéricos/computacionais.

Exemplo:  Eu digitei essas palavras chaves:

Fourier Series Partial Differential Heat Equation

e obtive as seguintes referências:

Introduction to Partial Differential Equations: A Computation Approach - Página 
313
de Aslak Tveito, Ragnar Winther - 1998 - 392 páginas
Of course, the main motivation for the study of Fourier series was their ...
partial differential equations like the heat equation, the wave equation, ...
Visualização limitada - Índice - Sobre este livro


Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB - Página ix
de Jeffery M. Cooper - 1998 - 564 páginas
1 The DFT and Fourier series 238 6.5.2 The DFT and the Fourier transform 244 ...
1 Derivation of the heat equation 297 8. 1 .2 The fundamental solution of ...
Visualização limitada - Índice - Sobre este livro


Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods - Página 130
de James William Thomas - 1995 - 460 páginas
If again we have the heat equation and a zero Neumann boundary condition at x = 
0,
... (and the problem is not solvable by standard finite Fourier series). ...
Visualização limitada - Índice - Sobre este livro

etc.

Note que dá para ler a resenha do livro e você pode comprar ou emprestar
da biblioteca o que mais lhe agradar.


   Experimentos computacionais e programas de computador tem
que reproduzir fielmente resultados esperados da teoria.  Caso contrário
estão ou serão (evidentemente)  codificados errados.

É isso.
Boa sorte!

Ronaldo Luiz Alonso

> entendendo muito bem. sera que alguem poderia me indicar alguma literatura
> introdutoria, de preferencia em frances ou ingles.
>
> obrigado,
>
> victor.
>
> _
> Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar
> as novidades-grátis. Saiba mais:
> http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
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