[obm-l] triângulo

[Vandelei Nemitz]

Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando
trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante, mais
geométrica?

Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal que
AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC.

Obrigado!

Vanderlei

[obm-l] Triângulo

[ruy de oliveira souza]

Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo
enxergar...Se alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
 " Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto
Q de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se
que a área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do
triângulo PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.

[obm-l] Triângulo

[Jorge Paulino]

Considere um triângulo de lados a, b e c. Considere
também a reta paralela ao lado a, passando pelo
incentro do triângulo. Essa reta intercepta os lados b
e c nos pontos P e Q. Qual a relação do segmento PQ
com os lados a, b e c do triângulo???


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[obm-l] Triângulo

[Jorge Paulino]

Sejam a, b e c os lados de um triângulo.
Considere a reta que passa pelo seu incentro e é
paralela ao lado de medida a. Essa reta intercepta os
lados b e c nos pontos P e Q, respectivamente. Qual a
relação do segmento PQ com os lados a, b e c do triângulo?

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[obm-l] Triângulo

[Jorge Paulino]

Sejam a, b e c os lados de um triângulo.
Considere a reta que passa pelo seu incentro e é
paralela ao lado de medida a. Essa reta intercepta os
lados b e c nos pontos P e Q, respectivamente. Qual a
relação do segmento PQ com os lados a, b e c do triângulo?

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[obm-l] TRIÂNGULO

[arkon]

Olá pessoal alguém pode, por favor, responder esta:
(UFPB-78) Se os ângulos internos de um triângulo ABC verificam a relação
sen2 B/sen2 C = tg B/tg C, então poderemos concluir que este triângulo é:

a) retângulo.b) isósceles.   c) retângulo ou isósceles.
d) eqüilátero.   e) diferente dos anteriores.

DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

[obm-l] Triângulo

[marcone augusto araújo borges]

Em que condições as medidas dos lados de um triângulo estão em PG?
 
 
Se for um triangulo retangulo,a razão da PG será q = raiz((1+raiz(5))/2) e o 
cosseno de um dos seus angulos agudos será 1/q.
Se isso é verdade,restariam os casos dos triangulos acutangulos e dos 
obtusangulos.   

[obm-l] TRIÂNGULO

[Vanderlei Nemitz]

Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
Muito obrigado!

*Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*






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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Triângulo.

[Rafael WC]

É muito trabalho pra se resolver o problema da figura
anexada?

Rafael.

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Rafael Werneck Cinoto
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[obm-l] triângulo

[Rafael WC]

Olá Pessoal!

Alguém conseguiria resolver essa pra mim? Não tô
conseguindo...

AB = 8,AC = 5 e BC = 7 são os lados de um triangulo
ABC. Inscreve-se neste triangulo uma circunferencia e
traça-se-lhe a tangente paralela ao lado BC, cujos
pontos de interceção com os lados AB e AC são D e E.
Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contato da
tangente DE com a circunferencia inscrita no ABC.

Obrigado!

Rafael.

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[obm-l] triângulo

[Faelccmm]

Olá pessoal, 

A questão abaixo caiu na prova da fuvest, ela é composta por dois ítens.

(FUVEST) Num triângulo ABC tem-se AB= 6 cm, AC= BC= 5 cm.

a) Ache a área do triângulo ABC.
b) Sendo M o ponto médio de AB, calcule a distância de M à reta BC. 

Obs: O item "a" eu não encontrei dificuldade em fazê-lo (foi só aplicar pitágoras), minha dúvida está no item "b", pois estou chegando muito perto do resultado, digo muito perto mesmo, pois o gabarito dá como certo 2,4 cm e estou chegando ao resultado de 2,5. Mas como Matemática é uma ciência exata estou a procura do caminho certo para chegar a resposta certa. 
Abaixo direi o que fiz e no final farei um comentário:

Parti da premissa que M encontra CB no ponto médio de BC (vamos chamar este ponto médio de D) e obtive assim dois triângulos semelhantes: ABC e MBF. 
Através da semelhança obtemos:
AC/MF= AB= MB ,ou seja, 5/MF= 6/3, portanto MF=5/2= 2,5

A partir disso acho que estou errando em minha premissa que foi considerar que o ponto de tangência da reta MF é o ponto médio de BC, pois o enunciado não diz isso, apenas diz para calcular a distância de M à BC, mas eu estava pensando... o ponto B pertence a retá BC, mesmo sendo extremidade, certo? Então uma possível resposta não seria a metade de AB, ou seja, 3 cm?   

[obm-l] triângulo

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?

[obm-l] Triângulo

[Renato de Brito Brito Gomes]

Gostaria da ajuda dos colegas na questão.
Seja um triangulo ABC, com D pertencente ao lado AB e E pertencente ao lado 
AC. Determine o angulo BED, sabendo que AB=AC, A=20º, CBE=60º e BCD=50º.

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[obm-l] triângulo

[Rafael]

Oi Pessoal!

Tenho uma que não estou conseguindo:

> Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana
> AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que
> esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo
> A. Demonstrar:
> i. a²= 4bc   ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2

Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da
bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum
resultado. Se alguém puder me dar uma dica...

Abraços,

Rafael.


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[obm-l] triângulo

[Rafael]

Em um triângulo ABC, BC = 16 e a altura que parte do
vértice A é 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é
máxima.
a)2b)3c)3/2d)4/3

Tentei usar a área do triângulo em função do seno do
ângulo A e a lei dos cossenos com o ângulo A também,
mas cheguei numa resposta 1 + sqrt(2). Se alguém tiver
outra idéia...

Abraços,

Rafael.

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[obm-l] triângulo

[Rafael]

Num triângulo ABC, o lado BC = 6m, a bissetriz interna
AD é a média proporcional entre os segmentos DB e DC,
e a mediana AM é média proporcional entre os lados AB
e AC. Calcule os dois lados incógnitos do triângulo
ABC.
Resposta: 2,12m e 6,36m

Abraços,

Rafael.

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[obm-l] Triângulo Órtico

[João Gabriel Preturlan]

Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego na 
demonstração completa nunca.
(Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por 
várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)

Ele diz o seguinte:

Prove que: 

(LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2

Sendo:
- LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
- As alturas se encontrem no ponto H.
- Seja HL, HM e HN inraios.

Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
triângulos.
Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices 
(A, B e C)

Desde já agradeço quem puder me dar uma mão.
Abraços.
João Preturlan.

Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Arkon,

veja que:
(senB)^2/(senC)^2 = tgB/tgC = (senBcosC)/(cosBsenC)

senB/senC = cosC/cosB
senBcosB = senCcosC
2senBcosB = 2senCcosC
sen(2B) = sen(2C)

entao:
2B = 2C + 2kpi
ou
2B = pi - 2C + 2kpi

mas:
0 < B < pi
0 < C < pi

portanto:
B = C + kpi
ou
B = pi/2 - C + kpi

analisando cada uma das possibilidades, temos:
se B = C + kpi, temos B = C pois B = C + pi > pi (absurdo!)
se B = pi/2 - C + kpi, temos: B + C = pi/2, pois B + C = 3pi/2
(absurdo, pois A+B+C=pi)
assim, o triangulo pode ser isosceles ou retangulo!

letra C

abraços,
Salhab




On 9/17/07, arkon <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>
>
> Olá pessoal alguém pode, por favor, responder esta:
>
> (UFPB-78) Se os ângulos internos de um triângulo ABC verificam a relação
>
> sen2 B/sen2 C = tg B/tg C, então poderemos concluir que este triângulo é:
>
>
>
> a) retângulo.b) isósceles.   c) retângulo ou
> isósceles.
>
> d) eqüilátero.   e) diferente dos anteriores.
>
>
>
> DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

=
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=

RE: [obm-l] TRIÂNGULO

[Anselmo Alves de Sousa]

Podemos desenvolver a expressão:
 
sen^2(A).tg(B) - tg(A).sen^2(B)=0
 
que é o mesmo que
 
sen(A).sen(B)[sen(A)/cos(B) - sen(B)/cos(A)]=0
 
teremos:
 
i) sen(A).sen(B) = 0
 
ou
 
ii) [sen(A)/cos(B) - sen(B)/cos(A)]=0donde
 
em i) concluímos que A diferente de B diferente de 0 + k.pi;
 
em ii) concluímos que A diferente de B diferente de pi/2 + k.piii) pode ser 
reescrito assim: [sen(A).cos(B) - sen(B).cos(A)]=0 <-> sen(A-B)/cos(A).cos(B)=0
 
logo sen (A-B) = 0
 
que nos dá 
 
A-B = 0 + k. pi
 
como trata-se de um triângulo A-B = 0.
 
Logo A=B e trata-se de  um triângulo isósceles.


Date: Mon, 17 Sep 2007 13:01:34 -0300Subject: [obm-l] TRIÂNGULOFrom: [EMAIL 
PROTECTED]: obm-l@mat.puc-rio.br


Olá pessoal alguém pode, por favor, responder esta:
(UFPB-78) Se os ângulos internos de um triângulo ABC verificam a relação 
sen2 B/sen2 C = tg B/tg C, então poderemos concluir que este triângulo é:
 
a) retângulo.b) isósceles.   c) retângulo ou isósceles. 
 
d) eqüilátero.   e) diferente dos anteriores.
 
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[obm-l] Triângulo Isósceles

[barola]

Prezados Colegas!

Gostaria de pedir-lhes:

Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe 
alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

Desde já, agradeço.
Bárbara Nedel.

[obm-l] triângulo esférico

[Marco Antonio Leal]

Durante uma aula, meu professor comentou sobre um urso que se encontra em um 
ponto do planeta terra e caminha 1 km em direção ao norte, para, e vira 90 
graus a direita onde caminha mais um km, para novamente, vira noventa graus a 
direita e caminha mais um km, entretanto, para no ponto inicial de partida. 
Qual a cor do urso. ele me disse que isso só era possivel se considerarmos 
triângulos esféricos. Isso é possivel?   

[obm-l] Triângulo Isósceles

[Claudio Buffara]

Alguem tem uma solucao puramente geometrica (ou seja, no estilo grego: sem
trigonometria nem vetores nem complexos nem coordenadas) pro problema
abaixo, proposto pelo Rafael (matduvidas) ha algum tempo?

Dado o triângulo ABC, com |AB| = |AC| e com BAC = 20 graus, traça-se a
ceviana BX (X entre A e C), tal que |AX| = |BC|. Determine o ângulo BXC.

[]s,
Claudio.

<>

Re: [obm-l] triângulo

[Rafael WC]

Oi de novo!

Já que ninguém respondeu, estou mandando a minha
resolução que achei horrível! Por isso quero saber se
alguém tem alguma idéia de fazer de uma maneira mais
simples do que isso.

--- Rafael WC <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá Pessoal!
> 
> Alguém conseguiria resolver essa pra mim? Não tô
> conseguindo...
> 
> AB = 8,AC = 5 e BC = 7 são os lados de um triangulo
> ABC. Inscreve-se neste triangulo uma circunferencia
> e
> traça-se-lhe a tangente paralela ao lado BC, cujos
> pontos de interceção com os lados AB e AC são D e E.
> Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contato
> da tangente DE com a circunferencia inscrita no ABC.

Estou enviando uma figura pra ver se ajuda. Na figura
desenhei o triângulo ABC, inscrevi uma circunferência
de centro O, cujos pontos de tangência aos lados AAC,
BC e AB são respectivamente F, G, H. Depois tracei uma
tangente ao círculo paralela ao lado BC, com ponto de
tangência I e cruzando os lados AB e AC em D e E.
Ainda marquei dois ângulos que iremos precisar, os
ângulos ABC e ACB, que chamei de b e c
respectivamente.

Primeiro vamos calcular a altura do triângulo para
sabermos o seno e cosseno dos ângulos b e c.
Poderíamos usar aqui a lei dos cossenos, mas também
podemos usar a fórmula de Herão para a área, que é
dada por:
área = raiz[p.(p - AB).(p - AC).(p - BC)]
onde p = semi-perímetro

Como AB = 8, AC = 5 e BC = 7, o semi perímetro é:
2p = 8 + 5 + 7
2p = 20
p = 10

E a área será:
área = raiz[p.(p - AB).(p - AC).(p - BC)]
área = raiz[10.(10 - 8).(10 - 5).(10 - 7)]
área = raiz(10.2.5.3)
área = raiz(10.10.3)
área = 10.raiz(3)

Então podemos encontrar a altura AK do triângulo,
relativa ao lado BC por exemplo:
área = base x altura/2
área = BC x AK/2
10.raiz(3) = 7 x AK/2
20.raiz(3) = 7 x AK
AK = 20.raiz(3)/7

Então podemos achar seno, cosseno e tangente de b e c:
sen b = AK/AB
sen b = [20.raiz(3)/7]/8
sen b = [20.raiz(3)/7].(1/8)
sen b = [5.raiz(3)/7].(1/2)
sen b = 5.raiz(3)/14

cos² b + sen² b = 1
cos² b + [5.raiz(3)/14]² = 1
cos² b = 1 - [5.raiz(3)/14]²
cos² b = 1 - 75/196
cos² b = (196 - 75)/196
cos² b = 121/196
cos b = 11/14

tg b = sen b/cos b
tg b = [5.raiz(3)/14]/(11/14)
tg b = 5.raiz(3)/11

sen c = AK/AC
sen c = [20.raiz(3)/7]/5
sen c = [20.raiz(3)/7].(1/5)
sen c = 4.raiz(3)/7

cos² c + sen² c = 1
cos² c + [4.raiz(3)/7]² = 1
cos² c = 1 - [4.raiz(3)/7]²
cos² c = 1 - 48/49
cos² c = (49 - 48)/49
cos² c = 1/49
cos c = 1/7

tg c = sen c/cos c
tg c = [4.raiz(3)/7]/(1/7)
tg c = 4.raiz(3)

Como ED é paralela a BC, quando traçamos os raios OI e
OG até os pontos de tangência, eles formam um segmento
de reta GI, pois os dois raios são perpendiculares a
duas paralelas por um mesmo ponto.

No quadrilátero BGOH, como a soma dos ângulos internos
tem que dar 360°, sabemos que o ângulo GOH = 180° - b.
Como GOI = 180° (pois vimos que é uma reta),
concluímos que HOI = b (pois é suplementar de GOH).

Os triângulos ODH e ODI são congruentes, pois são
triângulos retângulos com dois lados congruentes: o
lado OD comum e os lados OH e OI, que são raios da
circunferência. Assim, o ângulo entre esses lados é
congruente. Isso quer dizer que OD divide o ângulo HOI
(que vale b) em dois ângulos congruentes, de medida
b/2.

Com isso, podemos achar o lado DI em função de OI,
pela tangente de b/2.

Pela fórmula da tangente do arco duplo temos:
tg 2x = 2.tg x/(1 - tg² x)
(tg 2x).(1 - tg² x) = 2.tg x
tg 2x - (tg 2x).(tg² x) = 2.tg x
(tg 2x).(tg² x) - tg 2x + 2.tg x = 0

Fazendo x = b/2, temos:
(tg 2x).(tg² x) - tg 2x + 2.tg x = 0
(tg 2.b/2).(tg² b/2) - tg 2.b/2 + 2.tg b/2 = 0
(tg b).(tg² b/2) - tg b + 2.tg b/2 = 0

Como sabemos o valor de tg b:
[5.raiz(3)/11].(tg² b/2) - 5.raiz(3)/11 + 2.tg b/2 = 0
multiplica tudo por 11,

[5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 11.2.tg b/2 = 0
[5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 22.tg b/2 = 0
multiplica tudo por raiz(3),

[5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 22.tg b/2 = 0
(5.3).(tg² b/2) - 5.3 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0
15.(tg² b/2) - 15 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0

Mas iso é uma equação do segundo grau. Vamos chamar tg
b/2 de y, para facilitar:
15.(tg² b/2) - 15 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0
15.y² - 15 + 22.raiz(3).y = 0
15.y² + 22.raiz(3).y - 15 = 0

E pela fórmula de Báskara encontramos que:
y = [-11.raiz(3) +- 17.raiz(3)]/15
tg b/2 = [-11.raiz(3) +- 14.raiz(3)]/15

Como b/2 é um ângulo do primeiro quadrante, sua
tangente é positiva:
tg b/2 = [-11.raiz(3) + 14.raiz(3)]/15
tg b/2 = 3.raiz(3)/15
tg b/2 = raiz(3)/5

E finalmente encontramos:
tg b/2 = ID/OI
raiz(3)/5 = ID/OI
ID = OI.raiz(3)/5

E agora faremos as mesmas contas para encontrar IE em
função de OI. No quadrilátero CGOF, como a soma dos
ângulos internos tem que dar 360°, sabemos que o
ângulo GOF = 180° - c. Como GOI = 180° (pois vimos que
é uma reta), concluímos que FOI = c (pois é
suplementar de GOF).

Da mesma forma são congruentes os triângulos OEI e
OEF: são retângulos e têm dois lados congruentes, OE
(comum) e OI = OF (raios). Assim, o ângulo entre esses
lados é congruente. Isso quer dizer que OE divide o
âng

Re: [obm-l] triângulo

[ezer]

The following section of this message contains a file attachment
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 Date:  1 Jan 1997, 4:05
 Size:  1494 bytes.
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Description: GIF image

[obm-l] Triângulo Isósceles

[Cláudio \(Prática\)]

Title: Help



No triângulo ABC, sejam BD a bissetriz do ângulo ABC e CE a bissetriz 
do ângulo ACB.
 
Prove que ABC é isósceles se e somente se BD = 
CE. 

[obm-l] Triângulo Heroniano

[Cláudio \(Prática\)]

Title: Help



Este aqui tem me dado dor de cabeça:
 
Um triângulo tem lados com medida inteira e área racional. Prove que uma de 
suas alturas tem medida inteira e que o pé desta altura está a uma distância 
inteira dos vértices do triângulo.
 
Obs: Um triângulo cujos lados e a área têm medidas racionais é chamado de 
heroniano em homenagem a Heron de Alexandria. 
 
Agradeço qualquer ajuda.
 
Um abraço,
Claudio.

Re: [obm-l] triângulo

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

 
 [EMAIL PROTECTED] wrote:

Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar    o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! 
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Re: [obm-l] triângulo

[Leahpar Xarm]

Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos:
[(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar    o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! 
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Re: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

Epa! O angulo dado nao eh C e sim B.

Leahpar Xarm wrote:

  Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma
de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados
do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos: 
  [(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2 
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  Olá pessoal, 

Veja esta questão: 

(MAUÁ-SP) 

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área
do triângulo. 

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei
da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim
eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen
C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a
lei dos cossenos para achar    
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela
relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei
dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso.
Será que não está faltando nem um dado? 
  
  
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Re: [obm-l] triângulo

[Felipe Gastaldo]

Prezado amigo fael para este problema uma possivel
solução seria:
Tendo o lado BC e o AC e o angulo beta pela lei dos
cossenos vem que: AC*2=BC*2+BA*2-2.CB.BA.cosbeta
sendo o AB o lado que queremos achar então fica:
49=64+AB*2-2.8.AB.1/2 dai sai que AB=3 ou AB=5
enatão para AB= 3 tem-se:
S=BC.AB.senbeta/2, então S=6. raiz de (3) m*2
ou para AB=5 tem-se 
com o mesmo raciocinio
S`= 10. raiz de (3) m*2
Espero que entenda
um abraço
Felipão



 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Olá pessoal,
> 
> Veja esta questão:
> 
> (MAUÁ-SP)
> 
> No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta=
> ABC=60º. Determine a área do 
> triângulo.
> 
> resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2
> 
> Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC.
> Eu tentei aplicar a lei da 
> área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor
> de BA. Sendo assim eu 
> tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo
> 7/sen60º =BA/sen C daí 
> aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu
> tentei aplicar a lei dos 
> cossenos para achar   
> o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para
> depois calcular o sen C pela 
> relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não
> dá para aplicar a lei dos 
> cossenos, pois não é dado BA. A partir disso
> entra-se num ciclo vicioso. Será 
> que não está faltando nem um dado?
>  

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[obm-l] Triângulo - problema

[Maurizio]

Tem-se um triângulo ABC retãngulo em A. A partir de A traçam-se dois 
segmentos de reta que dividem a hipotenusa em três partes iguais e que 
medem 7 e 9. Qual o valor da hipotenusa?
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[obm-l] triângulo isósceles

[Rafael]

Pessoal, tenho uma de geometria que eu quero resolver
por plana. Eu estava tentando trigonometria, lei dos
senos, mas não consegui ir além de achar que o ângulo
pedido é arctan de (sen 20°).(sen 80°)/(sen 20° + (sen
80°).(cos 20°))

O exercicio é: dado o triângulo ABC isósceles em A,
com BAC = 20°, traça-se a ceviana CX, tal que AX = BC.
Determine o ângulo BXC.

Abraços,

Rafael.





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[obm-l] triângulo isósceles

[Rafael]

Pessoal, tenho uma de geometria que eu quero resolver
por geometria plana. Eu estava tentando trigonometria,
lei dos senos, mas não consegui ir além de achar que o
ângulo pedido é arco tangente de (sen 20°).(sen
80°)/(sen 20° + (sen 80°).(cos 20°)).

O exercicio é: dado o triângulo ABC isósceles de base
BC, com BAC = 20°, traça-se a ceviana BX, tal que AX =
BC.
Determine o ângulo BXC.

Abraços,

Rafael.





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FW: [obm-l] triângulo

[Claudio Buffara]

Oi, Rafael:
>
> Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana
> AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que
> esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo
> A. Demonstrar:
> i. a²= 4bc   ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2
>
> Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da
> bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum
> resultado. Se alguém puder me dar uma dica...
>
ABC nao pode ser isosceles, pois nesse caso teriamos AM perpendicular a BC e
coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b.
Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.

AM eh mediana ==>
BM = MC = a/2

AP eh bissetriz interna ==>
CP/BP = AC/AB ==>
CP/BP = b/c
Como BP + PC = BC = a, teremos:
CP = a*b/(b+c);  BP = a*c/(b+c)

PAM = PMA ==>
Triângulo APM é isósceles ==>
AP = PM

Levando em conta que BP + PM = BM = a/2, teremos:
a*c/(b+c) + PM = a/2 ==>
PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP


Agora vamos aplicar o teorema de Stewart:

Primeiro em relacao a bissetriz AP:
BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ==>

a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) =
= b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) ==>

(simplificando tudo)
a^2 = 4*b*c

Em seguida, em relacao a mediana AM:
BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==>

a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2  ==>

m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==>

m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==>

(levando em conta que a^2 = 4*b*c)
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==>

m^2 = (b - c)^2/2 ==>

m = (b - c)/raiz(2)


Um abraco,
Claudio.








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Re: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

Sua resposta estah correta. Nao ha opçao correta.

Rafael wrote:

Em um triângulo ABC, BC = 16 e a altura que parte do
vértice A é 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é
máxima.
a)2b)3c)3/2d)4/3
Tentei usar a área do triângulo em função do seno do
ângulo A e a lei dos cossenos com o ângulo A também,
mas cheguei numa resposta 1 + sqrt(2). Se alguém tiver
outra idéia...
Abraços,

Rafael.

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Re: [obm-l] triângulo

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

Em Saturday 26 July 2003 11:53, Rafael escreveu:
> Num triângulo ABC, o lado BC = 6m, a bissetriz interna
> AD é a média proporcional entre os segmentos DB e DC,
> e a mediana AM é média proporcional entre os lados AB
> e AC. Calcule os dois lados incógnitos do triângulo
> ABC.
> [...]

Sejam a=6, b, c os lados do triângulo. Sejam x e y os comprimentos de AD e AM, 
respectivamente. Por bissetrizes internas, DB = ab/(b+c); DC = ac/(b+c). Por 
Stewart em AD,

acb^2/(b+c) + abc^2/(b+c) = a(x^2+bca^2/(b+c)^2)
x^2 = bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2.

Mas pelo enunciado x^2 = DB*DC = bca^2/(b+c)^2. Logo

bca^2/(b+c)^2 = bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2
(b+c)^2 = 2a^2.

Por outro lado, por Stewart em AM,

ab^2/2 + ac^2/2 = a(y^2 + a^2/4)

2b^2 + 2c^2 = 4y^2 + a^2.

Mas y^2 = bc. Logo

(b-c)^2 = a^2/2.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux)

iD8DBQE/Iri5alOQFrvzGQoRAlZyAJ448ZjgAS7N+MD2UU7QS+Qbmje49ACfdYl6
vi1SCV+JG5JpyAz0QUMiv3E=
=W3oE
-END PGP SIGNATURE-

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[obm-l] Triângulo e mediana

[Carlos Gomes]

Olá gente...alguém conhece essa?

O Circulo inscrito no triângulo ABC divide  mediana traçada de A em três 
segmentos de mesma medida. Se a área de ABC é 6.Raiz(14). Calcule as medidas 
dos lados desse triângulo.

valew, cgomes

Re: [obm-l] Triângulo Isósceles

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Barola,

1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 cos(x)
... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x))
 assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ]

2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize
sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2)

note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) -
sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2)
entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no
primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)]
portanto: p = 2y*sen(x/2)

abraços,
Salhab


On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  Prezados Colegas!
>
> Gostaria de pedir-lhes:
>
> Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe
> alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?
>
> Desde já, agradeço.
> Bárbara Nedel.
>

[obm-l] Triângulo e circunferências

[Carlos Gomes]

Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
uma perguntinha...

Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC, retângulo
em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

Alguém tem um boa solução?

Abraços, Carlos Gomes.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] triângulo

[victorcarlos]

Oá  Vandelei ,

1) Esta questão é  interessante .Seja O  o circuncentro  do  triângulo ,
trace
 a mediatriz  partindo  de  A .Tome um ponto  F( interno  ao triangulo) da
 mediatriz , tal  que  o triângulo BFC  seja  equilátero(  o ponto  F está
 abaixo  de O) . Prolongue BO 
até  encontrar  o lado  AC  em S. Observe  agora  que  os  triângulos AOS
 e  BOF  são  congruentes  e  consequentemente  teremos  AS = BF = BC , onde
 o ponto  S  é o  seu  ponto  D. Logo  o  ângulo  BDC é igual  a 30 graus
.

Abraços 

Carlos  Victor

P.S : Solução  trigonométrica  é também uma  solução interessante , portanto
 se você  conseguiu uma  solução  trigonométrica , parabéns .




 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Tue, 22 Jul 2008 07:56:40 -0300
 '>'From: "Vandelei Nemitz" <[EMAIL PROTECTED]>
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Subject: [obm-l] triângulo
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando
 '>'trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante,
mais
 '>'geométrica?
 '>'
 '>'Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal
que
 '>'AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC.
 '>'
 '>'Obrigado!
 '>'
 '>'Vanderlei




=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Chamando  a área do triângulo AQP de x e a do triângulo APE de y temos:
BQ/QA = Sa/Sb = 3/x = 7/7+y (1)

CE/EA = Sa/Sc = 7/y = 7/3+x donde y = x + 3. Substituindo em (1) temos
x = 7,5 e y = 10,5. Logo a área do quadrilátero é 18.

Sa = área do triângulo BPC
Sb = área do triângulo APC
Sc = área do triângulo APB

2009/6/4 ruy de oliveira souza 

> Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo
> enxergar...Se alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
>  " Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto
> Q de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se
> que a área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do
> triângulo PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.
>

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[luiz silva]

Com relação ao ponto P, ele é resultado da interseção de BE e QC, é interno ao 
triângulo, externo, ou devemos chegar a esta conclusão, como parte do exercício 
?
 
Abs
Felipe

--- Em qui, 4/6/09, ruy de oliveira souza  escreveu:


De: ruy de oliveira souza 
Assunto: [obm-l] Triângulo
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 4 de Junho de 2009, 22:11



Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo enxergar...Se 
alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
 " Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto Q 
de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se que a 
área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do triângulo 
PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
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[obm-l] triângulo de área máxima!

[vandermath]

Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo

[Paulo Santa Rita]

Ola Jorge e demais colega
desta lista ... OBM-L,

Sejam A,B e C os vertices opostos respectivamente aos lados "a", "b" e "c". 
Como PQ e paralelo a "a", o triangulo APQ e semelhante ao traingulo ABC. 
Segue daqui que :


PQ/a = (Ha - r) / Ha

Onde Ha e a altura do triangulo ABC relativa ao lado "a" e "r" e o raio do 
circulo inscrito.  Ora, se "p" e o semi-perimetro do triangulo ABC, sabemos 
que Ha=(2/a)*S e r=S/p, onde S e formula de Herao, que da a area do 
traingulo ABC em funcao dos lado, vale dizer : S = 
raiz_qua(p(p-a)(p-b)(p-c))


Logo : PQ = a(Ha - r)/Ha.

Basta agora substituir Ha e "r" por suas expressoes em funcao de S. Agora 
voce completa os detalhes ...


PROBLEMA : Seja ABC um triangulo do qual conhecemos a medida de cada um dos 
seus lados. Sabemos que o ortocentro ( alturas ), o baricentro ( medianas )  
e o circuncentro ( mediatrizes ) estao alinhados ( RETA DE EULER), estando o 
baricentro sempre entre o circuncentro e o ortocentro. O incentro ( 
bissetrizes internas ) forma com o circuncentro e o ortocentro um pequeno 
triangulo. Calcule - em funcao dos lados do triangulo ABC -  a relacao entre 
a area deste Pequeno triangulo e e a area do triangulo original ABC.


Um abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,1040,140606


From: Jorge Paulino <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm 
Subject: [obm-l] Triângulo
Date: Tue, 13 Jun 2006 16:59:15 -0300 (ART)

Sejam a, b e c os lados de um triângulo.
Considere a reta que passa pelo seu incentro e é
paralela ao lado de medida a. Essa reta intercepta os
lados b e c nos pontos P e Q, respectivamente. Qual a
relação do segmento PQ com os lados a, b e c do triângulo?


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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[Willy George Amaral Petrenko]

Use a desigualdade triangular, que é condição necessária e suficiente para
existência de um triângulo com lados l1, l2, l3



2012/4/1 marcone augusto araújo borges 

>  Em que condições as medidas dos lados de um triângulo estão em PG?
>
>
> Se for um triangulo retangulo,a razão da PG será q = raiz((1+raiz(5))/2) e
> o cosseno de um dos seus angulos agudos será 1/q.
> Se isso é verdade,restariam os casos dos triangulos acutangulos e dos
> obtusangulos.
>

[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo

[João Maldonado]

Pela desigualdade triangular, se q>=1

aq² < aq + a
q²-q-1<0
1<=q<(sqrt(5)+1)/2

Se q<=1
a < aq² + aq
q²+q-1 >0

(sqrt(5)-1)/2

[obm-l] Triângulo retângule e bissetrizes

[Martins Rama]

Olá amigos da lista...
Obrigado pelas colaborações.

Alguém pode me ajudar nessa questão?

"Calcular a área de um triângulo retângulo, sabendo que as bissetrizes dos
ângulos agudos medem sqr(13) e sqr(104)."

[]'s

Martins Rama.



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[obm-l] Triângulo + 3 circunferências - Interseção

[Dymitri Cardoso Leão]

Não sei fazer isto não. Se alguém puder resolver, agradeço!

1- Dado um triângulo XYZ e sendo X1,Y1 e Z1 pontos arbitrários sobre os 
lados YZ,XZ e XY, respectivamente, prove que as três circunferências XY1Z1, 
YX1Z1 e ZX1Y1 têm um ponto em comum.

_
Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão.

_
Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo 
ou e-mail em seu PC. Acesse:  http://desktop.msn.com.br


=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Anderson Torres]

Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz 
escreveu:

> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
> Muito obrigado!
>
> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*
>
>
A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada.

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml
Mas só isso não vai adiantar.



>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_3774298393707173559_m_6555290746475537769_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Triângulo(Fig. para resolução)

[luizhenriquerick]

Bomtentei mandar , agora se consegui não sei ..rsrs



--
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Radar UOL - http://www.radaruol.com.br





<>

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo.

[Claudio]

Nem um pouquinho Rafael.
Basta usar o seguinte resultado: dois triângulos que compartilham uma altura
têm a razão entre as áreas igual a razão
entre as respectivas bases.
Resultado esse facilmente estabelecido usando-se a tradicional fórmula para
a área de um triângulo.
Pois bem, de acordo com esse resultado e com sua figura podemos escrever:
[ 84 + x + 40 ] / [ y + 35 + 30 ] = 40 / 30  e, também, [ x + 84 + y ] /
 40 + 30 + 35 ] = y / 35 .
Resolvendo esse pequeno sistema temos: x = 56 e y = 70.
Basta somar todos os números e obter a área do triângulo.
Saudações.
Claudio.
- Original Message -
From: Rafael WC <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, April 29, 2002 12:48 AM
Subject: [obm-l] Triângulo.


> É muito trabalho pra se resolver o problema da figura
> anexada?
>
> Rafael.
>
> =
> Rafael Werneck Cinoto
>ICQ# 107011599
>  [EMAIL PROTECTED]
>[EMAIL PROTECTED]
>[EMAIL PROTECTED]
> http://www.rwcinoto.hpg.com.br/
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> Do You Yahoo!?
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[obm-l] Re: [obm-l] triângulo

[Marcio]

Aproveitando a sua figura:
Eh fato conhecido que AF = AH = semiperimetro - CB por exemplo
(pois CG+CF+AF+AH+HB+BG=2(CG+BG+AH)=perimetro, e BG+CG=BC).
No seu problema, AF = AH = 3. Pondo EF=EI=x e ID=DH=y, basta notar que os
triangulos AED e ACB sao semelhante para escrever (3-x)/5 = (3-y)/8 =
(x+y)/7  = 6/20=3/10 donde x = 3/2; y = 3/5 e ID/DE=2/5.



t+

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[obm-l] Re:[obm-l] triângulo

[rafaelc.l]

 Exato, vc não pode afirmar que M encontra BC no seu 
ponto médio. Vc deve apenas unir M a BC(que se encontram 
no pondo D) de forma que a reta se perpendicular a BC,sem 
se preocupar com a distãncia BD. aí só fazer semelhança 
de triangulos e deu pra bola. 





 
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[obm-l] Re: [obm-l] triângulo

[Wagner]

Oi para todos!
 
Seja d a distância pedida.
O triângulo CBM é retângulo porquê ABC é 
isóceles.
Logo a área A de CBM é A = 4.3/2 = 6 
cm^2.(tomando BM como base)
Mas também temos que A = 5.d/2 cm^2.(tomando BC 
como base).
Logo 5d/2 = 6 => 5d = 12 => d = 12/5 => d 
= 2,4 cm.
 
André T.
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 09, 2003 2:53 
  AM
  Subject: [obm-l] triângulo
  Olá pessoal, A 
  questão abaixo caiu na prova da fuvest, ela é composta por dois ítens. 
  (FUVEST) Num triângulo ABC tem-se AB= 6 cm, AC= BC= 5 cm. a) 
  Ache a área do triângulo ABC. b) Sendo M o ponto médio de AB, calcule a 
  distância de M à reta BC. Obs: O item "a" eu não encontrei dificuldade 
  em fazê-lo (foi só aplicar pitágoras), minha dúvida está no item "b", pois 
  estou chegando muito perto do resultado, digo muito perto mesmo, pois o 
  gabarito dá como certo 2,4 cm e estou chegando ao resultado de 2,5. Mas como Matemática é uma 
  ciência exata estou a procura do caminho certo para chegar a resposta certa. 
  Abaixo direi o que fiz e no final farei um comentário: Parti da 
  premissa que M encontra CB no ponto médio de BC (vamos chamar este ponto médio 
  de D) e obtive assim dois triângulos semelhantes: ABC e MBF. Através da 
  semelhança obtemos: AC/MF= AB= MB ,ou seja, 5/MF= 6/3, portanto MF=5/2= 
  2,5 
  A partir disso acho que estou errando em minha premissa que 
  foi considerar que o ponto de tangência da reta MF é o ponto médio de BC, pois 
  o enunciado não diz isso, apenas diz para calcular a distância de M à BC, mas 
  eu estava pensando... o ponto B pertence a retá BC, mesmo sendo extremidade, 
  certo? Então uma possível resposta não seria a metade de AB, ou seja, 3 cm? 
     

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo

[Cláudio \(Prática\)]

Como ABC é isósceles, MC é perpendicular a AB. 
Assim, o triângulo BMC é retângulo, com MB = 3 cm e BC = 5 cm. Logo, por 
Pitágoras, MC^2 = BC^2 - MB^2 = 5^2 - 3^2 = 16 ==> MC = 4 cm ==> [ABC] = 
1/2 * AB * MC = 1/2 * 6 * 4 = 12 cm^2..
 
Seja H o pé da altura do triângulo retângulo BMC, 
correspondente ao vérice M. Então, MH é a distância procurada no item 
(b).
 
Por exemplo, você pode calcular a área do triângulo 
MBC de duas formas diferentes.
 
[MBC] = 1/2 * BC * MH = 1/2 * MB * MC ==> MH = 
MB * MC / BC = 3 * 4 / 5 = 12/5 = 2,4 cm.
 
Um abraço,
Claudio.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 09, 2003 2:53 
  AM
  Subject: [obm-l] triângulo
  Olá pessoal, A 
  questão abaixo caiu na prova da fuvest, ela é composta por dois ítens. 
  (FUVEST) Num triângulo ABC tem-se AB= 6 cm, AC= BC= 5 cm. a) 
  Ache a área do triângulo ABC. b) Sendo M o ponto médio de AB, calcule a 
  distância de M à reta BC. Obs: O item "a" eu não encontrei dificuldade 
  em fazê-lo (foi só aplicar pitágoras), minha dúvida está no item "b", pois 
  estou chegando muito perto do resultado, digo muito perto mesmo, pois o 
  gabarito dá como certo 2,4 cm e estou chegando ao resultado de 2,5. Mas como Matemática é uma 
  ciência exata estou a procura do caminho certo para chegar a resposta certa. 
  Abaixo direi o que fiz e no final farei um comentário: Parti da 
  premissa que M encontra CB no ponto médio de BC (vamos chamar este ponto médio 
  de D) e obtive assim dois triângulos semelhantes: ABC e MBF. Através da 
  semelhança obtemos: AC/MF= AB= MB ,ou seja, 5/MF= 6/3, portanto MF=5/2= 
  2,5 
  A partir disso acho que estou errando em minha premissa que 
  foi considerar que o ponto de tangência da reta MF é o ponto médio de BC, pois 
  o enunciado não diz isso, apenas diz para calcular a distância de M à BC, mas 
  eu estava pensando... o ponto B pertence a retá BC, mesmo sendo extremidade, 
  certo? Então uma possível resposta não seria a metade de AB, ou seja, 3 cm? 
     

[obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo]

Olá,
 
Bem, 
primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado 
não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de 
raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados 
anteriormente.
 
Espero 
ter ajudado.
 
Edu

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter 
  Gustav Lejeune DirichletEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 
  2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] 
  triângulo
   
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Olá pessoal, Veja esta 
questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, 
beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 
10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no 
triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B 
pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um 
angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é um 
triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], 
mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos 
para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen 
C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar 
   o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois 
calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá 
para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se 
num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? 
  
  
  
  Busca Yahoo! O serviço de 
  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo

[Daniel Regufe]

Vemos q o angulo BDE = 50°
logo BD = BC  (1)
Agora traçamos uma reta BF com F pertencendo a AC de modo q o angulo CBF = 
20°
Vemos q BFC = 80° = BCFlogo BF = BC  (2)
Agora traçamos FD ...
De (1) e (2) temos q BF = BD .. logo BDF = BFD = 60° (triangulo equilatero)
FDE + 10° + BED + 70° = 180°
FDE + BED = 100° (!)
BEC =40° = EBF .. logo EF = BF
por (1) temos q EF = BD = DF
logo FDE = BED + 40° (!!)

De (!) e (!!) temos:
BED = 30°
Se nao viu alguma passagem me fale!
Abraços
Daniel Regufe
From: "Renato de Brito Brito Gomes" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Triângulo
Date: Tue, 06 Jul 2004 03:26:17 +
Gostaria da ajuda dos colegas na questão.
Seja um triangulo ABC, com D pertencente ao lado AB e E pertencente ao lado 
AC. Determine o angulo BED, sabendo que AB=AC, A=20º, CBE=60º e BCD=50º.

_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=
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_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
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=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] triângulo

[Vandelei Nemitz]

Parabéns sou em quem precisa lhe dar! Muito "elegante" e simples a sua
saída! Eu utilizei várias relações trigonométricas para obter os mesmos 30
graus!

Muito obrigado,

Vanderlei

Em 22/07/08, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Oá  Vandelei ,
>
> 1) Esta questão é  interessante .Seja O  o circuncentro  do  triângulo ,
> trace
>   a mediatriz  partindo  de  A .Tome um ponto  F( interno  ao triangulo) da
>   mediatriz , tal  que  o triângulo BFC  seja  equilátero(  o ponto  F está
>   abaixo  de O) . Prolongue BO
> até  encontrar  o lado  AC  em S. Observe  agora  que  os  triângulos AOS
>   e  BOF  são  congruentes  e  consequentemente  teremos  AS = BF = BC ,
> onde
>   o ponto  S  é o  seu  ponto  D. Logo  o  ângulo  BDC é igual  a 30 graus
> .
>
> Abraços
>
> Carlos  Victor
>
> P.S : Solução  trigonométrica  é também uma  solução interessante ,
> portanto
>   se você  conseguiu uma  solução  trigonométrica , parabéns .
>
>
>
>
>   '>'-- Mensagem Original --
>   '>'Date: Tue, 22 Jul 2008 07:56:40 -0300
>   '>'From: "Vandelei Nemitz" <[EMAIL PROTECTED]>
>   '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
>   '>'Subject: [obm-l] triângulo
>   '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>   '>'
>   '>'
>   '>'Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando
>
> '>'trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante,
> mais
>   '>'geométrica?
>   '>'
>   '>'Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal
> que
>   '>'AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC.
>   '>'
>   '>'Obrigado!
>   '>'
>   '>'Vanderlei
>
>
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Denisson]

Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo.On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED]
 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

-- Denisson"Você nasce sem pedir mas morre sem querer.Aproveite esse intervalo!"

Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Nicolau C. Saldanha]

On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
> constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a)
e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a),
o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área
estritamente maior do que qualquer outro.
Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C,
o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto
mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A.

Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C.
A cada passo, se o triângulo não for equilátero,
você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro.
Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero.

[]s, N.
=
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=

Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Fernando Lukas Miglorancia]

A área do triângulo será igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio da circunferência incrita nele.Será que dá prá provar que ele é máximo quando o tri^^angulo for equilátero?
Em 13/05/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]
> escreveu:


Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

[obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200
Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico

> Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego 
> na demonstração completa nunca.
> (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por 
> várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)
> 
> Ele diz o seguinte:
> 
> Prove que: 
> 
> (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2
> 
> Sendo:
> - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
> - As alturas se encontrem no ponto H.
> - Seja HL, HM e HN inraios.
> 
> Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
> triângulos.
> Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices 
> (A, B e C)
> 

L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H.
HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC ==> H eh incentro de ABC.
Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas.
Logo, ABC eh equilatero ==> a = b = c   e  (LMN) = (ABC)/4

(ABC) = a^2*raiz(3)/4 ==> (LMN) = a^2*raiz(3)/16

(ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64
(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==>
4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 
4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) =
a^2*raiz(3)/16 = (LMN)

Esquisito esse problema...

[]s,
Claudio.



=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles

[barola]

Obrigada!

No entanto, estou cursando a 8ª série e ainda não havia aprendido a 
respeito.

Abraços.
  - Original Message - 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 25, 2007 1:50 AM
  Subject: Re: [obm-l] Triângulo Isósceles


  Olá Barola,

  1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 cos(x) 
... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x))
   assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ]

  2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize 
sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2) 

  note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) - 
sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2)
  entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no 
primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)] 
  portanto: p = 2y*sen(x/2)

  abraços,
  Salhab



  On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] < [EMAIL PROTECTED]> wrote:
Prezados Colegas!

Gostaria de pedir-lhes:

Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe 
alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

Desde já, agradeço.
Bárbara Nedel.

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo esférico

[Ralph Teixeira]

Pense o que acontece se voce sair do polo sul, andar 1km para N, 1 km
para E, e 1 km para S.

(Agora, tecnicamente, nao ha ursos no polo sul, entao o problema nao
funciona do jeito que ele disse. Tinha que comecar 1 km para o SUL.)

Abraco,
Ralph

2012/5/3 Marco Antonio Leal :
> Durante uma aula, meu professor comentou sobre um urso que se encontra em um
> ponto do planeta terra e caminha 1 km em direção ao norte, para, e vira 90
> graus a direita onde caminha mais um km, para novamente, vira noventa graus
> a direita e caminha mais um km, entretanto, para no ponto inicial de
> partida. Qual a cor do urso. ele me disse que isso só era possivel se
> considerarmos triângulos esféricos. Isso é possivel?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Triângulo russo 80-20-20

[Martins Rama]

O triângulo ABC é isósceles, com AB=AC e ângulos 20-80-80. Se H, que
está sobre AB, é o pé da altura traçada a partir de C, e D é um ponto
sobre AC tal que DC=BC/2, determine o ângulo CHD.
Resp. 30.

Olá pessoal.
Vi hoje essa variação do triângulo russo 80-20-20, que ainda não
resolvi. Alguma ideia?

Abraços,
Martins Rama.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Isósceles

[Jozias Del Rios (ToniK)]

Sim, é uma construção clássica, uma vez me disseram que esse
problema tem o nome de "triangulo maldito", nao sei se eh
verdade... mas vejamos:

Trace a ceviana CY (Y entre A e B) tal que BCY = 50 graus,
entao o triangulo BCY eh isoceles em B e BY=BC.
Trace a ceviana BP (P entre A e C) tal que CBP = 20 graus,
entao o triangulo BCP eh isoceles em B e BP=BC.
Se ligarmos os pontos P a Y, o triangulo BPY eh isoceles pois
BP=BY=BC e ainda o angulo PBY eh de 60 graus, portanto BPY
alem de isoceles eh equilatero, e portanto PY=BC.
Seja Z um ponto entre  A e C tal que AYZ = 20 graus, entao
YZP = ZPY = 40 graus e o triangulo ZPY eh isoceles em Y, e
portanto ZY=PY=BC.
Mas olhando o triangulo AZY notamos que ZAY = AYZ = 20 graus,
e portanto tambem eh isoceles (em Z) e portanto ZY=AZ. Por
fim, AZ=BC, e o nosso ponto Z eh, na verdade, o ponto X do
enunciado do problema.
Ligando o ponto X (velho Z) até B, o triangulo BYX eh isoceles
(em Y) pois XY=BY, e XYB = 160 graus, e entao YXB = 10 graus.
Como YXP = 40 graus, BXC = YXP - YXB = 40 - 10 = 30 graus.

Segue em anexo uma figura para ajudar.

[]´s

-- Início da mensagem original ---

  De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "Lista OBM" [EMAIL PROTECTED],"
Lista X" [EMAIL PROTECTED]
  Cc:
Data: Wed, 17 Nov 2004 15:12:13 -0200
 Assunto: [obm-l] Triângulo Isósceles

> Alguem tem uma solucao puramente geometrica (ou seja, no
estilo grego: sem
> trigonometria nem vetores nem complexos nem coordenadas) pro
problema
> abaixo, proposto pelo Rafael (matduvidas) ha algum tempo?
>
> Dado o triângulo ABC, com |AB| = |AC| e com BAC = 20 graus,
traça-se a
> ceviana BX (X entre A e C), tal que |AX| = |BC|. Determine o
ângulo BXC.
>
> []s,
> Claudio.
>
> 
 
__
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<>

Re: [obm-l] Triângulo(Fig. para resolução)

[Rafael WC]

--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Bomtentei mandar , agora se consegui não sei
> ..rsrs

Oi Luiz!

Esse problema é antigo e bem conhecido, com várias
resoluções. Há uma resolução em português em:
http://membros.aveiro-digital.net/pinto/11ano00/11geo1res.pdf

Parece que na Revista do Professor de Matemática nº 4,
se não me engano, foi enviada uma resposta
trigonométrica bem interessante também.

Um abraço,

Rafael.

=
Rafael Werneck Cinoto
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
  
  
 
  
 
  Olá,
 
   
 
  Bem,  primeiramente você pode aplicar o teorema
dos co-senos a fim de descobrir o lado  não informado, ou seja, o lado AB,
vai cair numa equação do segundo grau de  raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB
com os dois valores encontrados  anteriormente.
 
   
 
  Espero  ter ajudado.
 
   
 
  Edu
 
 
-Mensagem original-
De:[EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Johann PeterGustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de2003 12:17
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l]triângulo


   

 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 

  Olá pessoal, 
  
Veja esta  questão: 
  
(MAUÁ-SP) 
  
No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m,  beta= ABC=60º. Determine a
área do triângulo. 
  
resp: 6raiz*(3) ou  10*raiz(3) m^2 
  
 
  Deixa eu ver...ce tem
tudo no  triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce
acha o seno de B  pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a
area ce precisa de um  angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
 
  
Obs: O triângulo citado é um  triângulo de base BC. Eu tentei aplicar
a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2],  mas não é dado o valor de BA. Sendo
assim eu tentei aplicar a lei dos senos  para achar BA fazendo 7/sen60º
=BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen  C. A partir disso eu tentei
aplicar a lei dos cossenos para achar     
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois  calcular o sen
C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá  para aplicar
a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se  num
ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?

   

   
   Busca Yahoo!

O serviço debusca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
 encontra.

[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo - problema

[Daniel Regufe]

Traçemos uma mediana a partir do ponto A.
Mediana q sai de um angulo de 90° parte o lado oposto em lados iguais a 
propria mediana.
Logo teremos um triangulo de lados 7 , 9 e a/3 e media na a.
a = hipotenusa
Por Stewart temos:
9²/(a²/18) + 7²/(a²/18) - a²/(a²/36) = 1
a² = (81 + 49)18/37
a = (2340/37)^1/2

[]`s
Regufe

From: Maurizio <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Triângulo - problema
Date: Thu, 08 Jul 2004 07:43:21 -0300
Tem-se um triângulo ABC retãngulo em A. A partir de A traçam-se dois 
segmentos de reta que dividem a hipotenusa em três partes iguais e que 
medem 7 e 9. Qual o valor da hipotenusa?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo - problema

[Rafael]

Sejam x a medida das partes iguais, P a intersecção do segmento de medida 7
com a hipotenusa, Q a intersecção do segmento de medida 9 com a hipotenusa,
y e z as medidas dos catetos, temos:

Pela lei dos cossenos em ABQ e AQP: z^2 + 7^2 = 2*x^2 + 2*9^2
Por Pitágoras em ABC: y^2 + z^2 = (3x)^2
Por Stewart em AQC: x*9^2 + x*y^2 = 2x(7^2 + x^2)

Subtraindo a segunda relação da primeira, obtemos: y^2 = 7x^2 - 113.

Simplificando a última e substituindo:
81 + 7x^2 - 113 = 98 + 2x^2 ==> 5x^2 = 130 ==> x = sqrt(26).

Logo, a hipotenusa mede 3sqrt(26).


[]s,

Rafael



- Original Message -
From: "Maurizio" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, July 08, 2004 7:43 AM
Subject: [obm-l] Triângulo - problema


Tem-se um triângulo ABC retãngulo em A. A partir de A traçam-se dois
segmentos de reta que dividem a hipotenusa em três partes iguais e que
medem 7 e 9. Qual o valor da hipotenusa?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Pessoal,

Esta questão do Colegio Naval 2008 já foi postada anteriormente, mas
ninguém concluiu a respeito. Penso que ela deveria ser anulada, pois
encontrei contra-exemplos.

Alguém saberia resolvê-la?

O gabarito inicial divulgado hoje marca a letra "c" como resposta.

Abraço a todos,

Martins Rama

>> QUESTÃO:
>> Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
>> Sabendo-se que P é equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
>> angulo BPC tem medida igual a 25º, pode-se afirmar que um dos angulos de
>> ABC mede:
>> a) 25º
>> b) 45º
>> c) 50º
>> d) 65º
>> e) 85º

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e mediana

[luiz silva]

Ola Carlos,
 
Não conhecia.
 
Aparentemente, o que vou descrever gera a uma solução (não fiz as contas) : se 
usarmos potência, conseguiremos determinar os lados do triângulo em função de 
duas variáveis a e b. Após isso, pode-se expressar a mediana em função de uma 
destas variáváveis (novamente, através da potência de um ponto) e, através da 
fórmula da mediana, podemos encontrar a em função de b ou b em função de a. 
Assim, teremos os lados expressos através de uma única variável.
 
Podemos agora usar a fórmula da área com o perímetro, para achar o valor da 
variável que aparece nas expressões representando os lados e, assim, determinar 
os lados do triângulo.
 
Particularmente, achei essa possível solução muito "braçal"..por isso não fiz 
as contas...sendo assim, com certeza deve haver uma soluão mais elegante.
 
Abs
Felipe


--- Em dom, 26/7/09, Carlos Gomes  escreveu:


De: Carlos Gomes 
Assunto: [obm-l] Triângulo e mediana
Para: "obm-l" 
Data: Domingo, 26 de Julho de 2009, 23:57





Olá gente...alguém conhece essa?
 
O Circulo inscrito no triângulo ABC divide  mediana traçada de A em três 
segmentos de mesma medida. Se a área de ABC é 6.Raiz(14). Calcule as medidas 
dos lados desse triângulo.
 
valew, cgomes


  

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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Douglas Oliveira de Lima]

Então faça uma inversão de polo em A e raio AI sendo I o incentro de ABC,
vai perceber que o incírculo do ABC é o inverso do círculo cujo o raio
queremos determinar, assim a resposta será 2.

Abraços do
Douglas Oliveira.

Em 9 de outubro de 2014 21:51, Carlos Gomes  escreveu:

> Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
> uma perguntinha...
>
> Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC,
> retângulo em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de
> centro O´, tangente aos catetos de ABC e interiormente a T
>
> Alguém tem um boa solução?
>
> Abraços, Carlos Gomes.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Julio César Saldaña]

Bom, boa solução, não garanto. Ao menos da para encontrar o raio:

Que tal um teorema da bisectriz:

3 / 5 = R /(4-R)





Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 9 Oct 2014 21:51:28 -0300
Asunto : [obm-l] Triângulo e circunferências

Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
uma perguntinha...

Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC, retângulo
em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

Alguém tem um boa solução?

Abraços, Carlos Gomes.

--
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http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Julio César Saldaña]

Bom, agora vou tentar uma solução que funcione, a anterior está errada.

Se P é o ponto de tangencia, Teorema da bisectriz sería:

PB/PA = (3-R)/R   (Supondo BA=3)

PC/PA = (4-R)/R

4 vezes a primeira mais 3 a segunda (para aproveitar Ptolomeo):

5. PA / PA = 4.(3-R)/R + 3.(4-R) / R

então R=2. Mas está muito enrolada essa solução, deve ter outra.


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 9 Oct 2014 21:51:28 -0300
Asunto : [obm-l] Triângulo e circunferências

Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
uma perguntinha...

Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC, retângulo
em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

Alguém tem um boa solução?

Abraços, Carlos Gomes.

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Re: [obm-l] Triângulo russo 80-20-20

[Martins Rama]

Obrigado Douglas e Esdras.
 Muito boa a solução.

 Martins Rama.

 Citando Martins Rama :


O triângulo ABC é isósceles, com AB=AC e ângulos 20-80-80. Se

H, que

está sobre AB, é o pé da altura traçada a partir de C, e D

é um

ponto sobre AC tal que DC=BC/2, determine o ângulo CHD.
 Resp. 30.

 Olá pessoal.
 Vi hoje essa variação do triângulo russo 80-20-20, que ainda

não

resolvi. Alguma ideia?

 Abraços,
 Martins Rama.
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 acredita-se estar livre de perigo.


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acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Jeferson Almir]

Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética :)

Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E e D
sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
Calcule o ângulo EDB.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Isósceles

[Claudio Buffara]

Maravilha! Muito obrigado.

[]s,
Claudio.

on 17.11.04 16:27, Jozias Del Rios (ToniK) at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Sim, é uma construção clássica, uma vez me disseram que esse
> problema tem o nome de "triangulo maldito", nao sei se eh
> verdade... mas vejamos:
>
> 


=
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=

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Rogerio Ponce]

Ola' Martins,
se o enunciado estiver correto, qualquer resposta serve.

Na verdade, para qualquer triangulo e' possivel obtermos um ponto com
as caracteristicas de P (equidistantes das retas suportes e coplanar
com ABC) , tal que o angulo BPC tenha QUALQUER angulo no intervalo
aberto entre 0 e 180 graus.

Ou seja, o valor de 25 graus nao determina coisa alguma.

[]'s
Rogerio Ponce.


PS: o exemplo abaixo serve para qualquer triangulo ABC.

Imagine que ABC seja um triangulo equilatero, por exemplo.
Tome um ponto P inicial sobre a intersecao da bissetriz de B com o lado AC.
Nesta situacao, em que ABC e' isosceles em B, o angulo BPC vale 90 graus.
A partir dai, 'a medida que P se afasta de B, o angulo BPC diminui
ate' o valor de zero, quando P estiver no infinito.
E voltando ao P inicial:  'a medida que P se aproxima de B, o angulo
BPC aumenta ate' o valor de 180 graus , no limite.

Ou seja, o angulo BPC pode ter qualquer valor, independentemente dos
angulos de ABC.
Portanto, nao determina nada a respeito do triangulo ABC.

--

2008/8/6 Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]>:
> Pessoal,
>
> Esta questão do Colegio Naval 2008 já foi postada anteriormente, mas
> ninguém concluiu a respeito. Penso que ela deveria ser anulada, pois
> encontrei contra-exemplos.
>
> Alguém saberia resolvê-la?
>
> O gabarito inicial divulgado hoje marca a letra "c" como resposta.
>
> Abraço a todos,
>
> Martins Rama
>
>>> QUESTÃO:
>>> Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
>>> Sabendo-se que P é equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
>>> angulo BPC tem medida igual a 25º, pode-se afirmar que um dos angulos de
>>> ABC mede:
>>> a) 25º
>>> b) 45º
>>> c) 50º
>>> d) 65º
>>> e) 85º
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Paulo Cesar]

Olá senhores

Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para P
um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro que
esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.

Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial é
A.

Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as que
possuem todas as soluções em comum?



Um abraço à todos

PC

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Rogerio Ponce]

Isto e', publicaram "angulo BPC" no lugar de "angulo PBC".
[]'s
Rogerio Ponce

Em 07/08/08, Rogerio Ponce<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Ola' Paulo Cesar,
> com certeza eles "escorregaram" na publicacao do enunciado.
> E' bem legal a ideia de P como um ex-incentro de ABC, mas penso que
> fica muito distante do enunciado divulgado. Acho mais simples supor
> que eles apenas colocaram "angulo PBC" no lugar de "angulo BPC".
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> Questao:
> Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
> Sabendo-se que P e' equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
> angulo BPC tem medida igual a 25 graus, pode-se afirmar que um dos
> angulos de ABC mede (em graus):
> a) 25 b) 45 c) 50 d) 65 e) 85
>
> ==
>
> Em 07/08/08, Paulo Cesar<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>> Olá senhores
>>
>> Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para
>> P
>> um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
>> que
>> esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
>>
>> Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
>> equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial
>> é
>> A.
>>
>> Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
>> menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
>> que
>> possuem todas as soluções em comum?
>>
>>
>>
>> Um abraço à todos
>>
>> PC
>>
>

=
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=

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Rogerio Ponce]

Ola' Paulo Cesar,
com certeza eles "escorregaram" na publicacao do enunciado.
E' bem legal a ideia de P como um ex-incentro de ABC, mas penso que
fica muito distante do enunciado divulgado. Acho mais simples supor
que eles apenas colocaram "angulo PBC" no lugar de "angulo BPC".
[]'s
Rogerio Ponce

Questao:
Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
Sabendo-se que P e' equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
angulo BPC tem medida igual a 25 graus, pode-se afirmar que um dos
angulos de ABC mede (em graus):
a) 25 b) 45 c) 50 d) 65 e) 85

==

Em 07/08/08, Paulo Cesar<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá senhores
>
> Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para P
> um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro que
> esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
>
> Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
> equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial é
> A.
>
> Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
> menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as que
> possuem todas as soluções em comum?
>
>
>
> Um abraço à todos
>
> PC
>

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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Olá Paulo César.

Essa é outra questão que está dando o que falar com os meus alunos...

Apresentei meu ponto de vista considerando a primeira definição, ou seja,
duas equações são compatíveis quando apresentam pelo menos uma solução em
comum. Assim, o sistema formado por elas deve ser POSSÍVEL (indeterminado
ou determinado). Neste caso, a solução é "E" (infinitos valores), pois m
pode ser 8/3 ou qualquer valor diferente de 8/3.

Já o gabarito divulgado aponta para "A" (um só valor).

Para ouvir a opinião dos demais colegas, transcrevo abaixo a questão:

QUESTÃO:
Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
essas condições?
a) Um
b) Dois
c) Três
d) Quatro
e) Infinitos

[]'s

Martins Rama.


> Olá senhores
>
> Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para
> P
> um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
> que
> esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
>
> Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
> equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial
> é
> A.
>
> Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
> menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
> que
> possuem todas as soluções em comum?
>
>
>
> Um abraço à todos
>
> PC
>


=
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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Corrigindo a digitação da questão:

Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
essas condições?
a) Um
b) Dois
c) Três
d) Quatro
e) Infinitos


[]'s

Martins Rama.


> Olá senhores
>
> Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para
> P
> um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
> que
> esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
>
> Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
> equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial
> é
> A.
>
> Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
> menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
> que
> possuem todas as soluções em comum?
>
>
>
> Um abraço à todos
>
> PC
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é determinado
e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é indeterminado,
portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4), pois
quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
compatíveis para m = 8/3.
Portanto um único valor.Letra A.
Analise e veja se você concorda.


Em 07/08/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Corrigindo a digitação da questão:
>
> Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
> compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
> essas condições?
> a) Um
> b) Dois
> c) Três
> d) Quatro
> e) Infinitos
>
>
> []'s
>
> Martins Rama.
>
>
> > Olá senhores
> >
> > Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse
> para
> > P
> > um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
> > que
> > esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
> >
> > Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
> > equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
> oficial
> > é
> > A.
> >
> > Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
> > menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
> > que
> > possuem todas as soluções em comum?
> >
> >
> >
> > Um abraço à todos
> >
> > PC
> >
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Olá José Airton,
obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.

O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de ser
compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
(incompatível).

O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).

Por exemplo:

- para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações compatíveis)

- para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
compatíveis).

- para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são compatíveis).

- para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
compatíveis)

Portanto:
m=8/3  => mais de uma solução (as equações são compatíveis)
m diferente de 8/3  =>  soluções únicas (as equações também são compatíveis)
Não existe m que torne o sistema impossível.

Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.

Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
contra-exemplo.

Será que essa questão pode ser anulada?

Abraço a todos,

Martins Rama.


> martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
> determinado
> e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
> indeterminado,
> portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4),
> pois
> quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
> determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
> compatíveis para m = 8/3.
> Portanto um único valor.Letra A.
> Analise e veja se você concorda.
>
>
> Em 07/08/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>>
>> Corrigindo a digitação da questão:
>>
>> Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
>> compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
>> essas condições?
>> a) Um
>> b) Dois
>> c) Três
>> d) Quatro
>> e) Infinitos
>>
>>
>> []'s
>>
>> Martins Rama.
>>
>>
>> > Olá senhores
>> >
>> > Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse
>> para
>> > P
>> > um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou
>> claro
>> > que
>> > esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
>> >
>> > Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
>> > equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
>> oficial
>> > é
>> > A.
>> >
>> > Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem
>> ao
>> > menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são
>> as
>> > que
>> > possuem todas as soluções em comum?
>> >
>> >
>> >
>> > Um abraço à todos
>> >
>> > PC
>> >
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Caro Martins, sua definição é correta, perfeita!
O problema é que "pelo menos uma solução comum" torna as equações
compatíveis, é verdade, mas não "SEMPRE COMPATÍVEIS", que é o segrêdo desta
questão.
De todas as soluções (x,y) que tornam as equações compatíveis, apenas uma
(0,4) torna
as equações compatíveis para m diferente de 8/3, para as outras soluções as
equações não
são compatíveis para m diferente de 8/3. Logo as equações não são SEMPRE
COMPATÍVEIS
para m diferente de 8/3.
Enquanto que todas as soluções (x,y) tornam as equações compatíveis para m =
8/3. Logo
para m = 8/3 as equações são SEMPRE COMPATÍVEIS.

ex. A solução (3,2)  torna as equações compatíveis para m = 8/3 e não
compatível para m diferente de 8/3.
Conclusão: Somente para m = 8/3 temos as equações SEMPRE COMPATÍVEIS.



Em 07/08/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Olá José Airton,
> obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.
>
> O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de ser
> compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
> (incompatível).
>
> O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
> apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
> COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).
>
> Por exemplo:
>
> - para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações compatíveis)
>
> - para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
> compatíveis).
>
> - para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são
> compatíveis).
>
> - para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
> compatíveis)
>
> Portanto:
> m=8/3  => mais de uma solução (as equações são compatíveis)
> m diferente de 8/3  =>  soluções únicas (as equações também são
> compatíveis)
> Não existe m que torne o sistema impossível.
>
> Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.
>
> Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
> contra-exemplo.
>
> Será que essa questão pode ser anulada?
>
> Abraço a todos,
>
> Martins Rama.
>
>
> > martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
> > determinado
> > e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
> > indeterminado,
> > portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4),
> > pois
> > quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
> > determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
> > compatíveis para m = 8/3.
> > Portanto um único valor.Letra A.
> > Analise e veja se você concorda.
> >
> >
> > Em 07/08/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >>
> >> Corrigindo a digitação da questão:
> >>
> >> Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
> >> compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
> >> essas condições?
> >> a) Um
> >> b) Dois
> >> c) Três
> >> d) Quatro
> >> e) Infinitos
> >>
> >>
> >> []'s
> >>
> >> Martins Rama.
> >>
> >>
> >> > Olá senhores
> >> >
> >> > Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse
> >> para
> >> > P
> >> > um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou
> >> claro
> >> > que
> >> > esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
> >> >
> >> > Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
> >> > equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
> >> oficial
> >> > é
> >> > A.
> >> >
> >> > Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem
> >> ao
> >> > menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são
> >> as
> >> > que
> >> > possuem todas as soluções em comum?
> >> >
> >> >
> >> >
> >> > Um abraço à todos
> >> >
> >> > PC
> >> >
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >>
> >
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Muito obrigado, José Airton, pelas suas considerações.

Grande abraço,

Martins Rama.

> Caro Martins, sua definição é correta, perfeita!
> O problema é que "pelo menos uma solução comum" torna as equações
> compatíveis, é verdade, mas não "SEMPRE COMPATÍVEIS", que é o segrêdo
> desta
> questão.
> De todas as soluções (x,y) que tornam as equações compatíveis, apenas uma
> (0,4) torna
> as equações compatíveis para m diferente de 8/3, para as outras soluções
> as
> equações não
> são compatíveis para m diferente de 8/3. Logo as equações não são SEMPRE
> COMPATÍVEIS
> para m diferente de 8/3.
> Enquanto que todas as soluções (x,y) tornam as equações compatíveis para m
> =
> 8/3. Logo
> para m = 8/3 as equações são SEMPRE COMPATÍVEIS.
>
> ex. A solução (3,2)  torna as equações compatíveis para m = 8/3 e não
> compatível para m diferente de 8/3.
> Conclusão: Somente para m = 8/3 temos as equações SEMPRE COMPATÍVEIS.
>
>
>
> Em 07/08/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>>
>> Olá José Airton,
>> obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.
>>
>> O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de
>> ser
>> compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
>> (incompatível).
>>
>> O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
>> apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
>> COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).
>>
>> Por exemplo:
>>
>> - para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações
>> compatíveis)
>>
>> - para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
>> compatíveis).
>>
>> - para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são
>> compatíveis).
>>
>> - para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
>> compatíveis)
>>
>> Portanto:
>> m=8/3  => mais de uma solução (as equações são compatíveis)
>> m diferente de 8/3  =>  soluções únicas (as equações também são
>> compatíveis)
>> Não existe m que torne o sistema impossível.
>>
>> Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.
>>
>> Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
>> contra-exemplo.
>>
>> Será que essa questão pode ser anulada?
>>
>> Abraço a todos,
>>
>> Martins Rama.
>>
>>
>> > martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
>> > determinado
>> > e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
>> > indeterminado,
>> > portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive
>> (0,4),
>> > pois
>> > quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
>> > determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
>> > compatíveis para m = 8/3.
>> > Portanto um único valor.Letra A.
>> > Analise e veja se você concorda.
>> >
>> >
>> > Em 07/08/08, Martins Rama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>> >>
>> >> Corrigindo a digitação da questão:
>> >>
>> >> Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
>> >> compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que
>> satisfazem
>> >> essas condições?
>> >> a) Um
>> >> b) Dois
>> >> c) Três
>> >> d) Quatro
>> >> e) Infinitos
>> >>
>> >>
>> >> []'s
>> >>
>> >> Martins Rama.
>> >>
>> >>
>> >> > Olá senhores
>> >> >
>> >> > Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato
>> escolhesse
>> >> para
>> >> > P
>> >> > um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou
>> >> claro
>> >> > que
>> >> > esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
>> >> >
>> >> > Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão
>> das
>> >> > equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
>> >> oficial
>> >> > é
>> >> > A.
>> >> >
>> >> > Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que
>> possuem
>> >> ao
>> >> > menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou
>> são
>> >> as
>> >> > que
>> >> > possuem todas as soluções em comum?
>> >> >
>> >> >
>> >> >
>> >> > Um abraço à todos
>> >> >
>> >> > PC
>> >> >
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>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima !

[vandermath]

Tudo bem Denisson, mas como fazer isso? Na prática é um pouco complicado.
Obrigado!- Mensagem Original -De: Denisson <[EMAIL PROTECTED]>Data: Sábado, Maio 13, 2006 6:02 pmAssunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima!Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será > o máximo.> > On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] > <[EMAIL PROTECTED]>wrote:> >> > Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com > perímetro> constante, ele terá área máxima quando for equilátero?> >> > > > -- > Denisson> "Você nasce sem pedir mas morre sem querer.> Aproveite esse intervalo!"> 

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
bom, o problema eh q sao varias variaveis e ainda temos restricao no dominio...
entao, o correto seria utilizar multiplicadores de lagrange, e sai rapidinho mesmo!!!
eh quase q imediato que eh o triangulo equilatero...
porem, eh uma solucao universitaria neh?
 
agora uma saida apenas por geometria seria assim:
fixe um segmento, digamos "a", entao, a area é a*h/2...
como o perimetro eh constante, a soma dos outros 2 lados tem q ser constante..
entao os extremos do segmento "a" podem ser encarados como os focos de uma elipse..
deste modo, a maxima altura eh obtida qdo estamos na parte superior da elipse, e o triangulo eh isosceles.
 
utilizando isto vc mostra que o triangulo eh equilatero
dps eu termino, vou ter q sair agora.
 
abraços,
Salhab
 
 
> Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo. 
> 
> On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 
> > 
> > Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro 
> > constante, ele terá área máxima quando for equilátero? 
> > 
> 
> 
> 
> -- 
> Denisson 
> "Você nasce sem pedir mas morre sem querer. 
> Aproveite esse intervalo!" 
> 

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[claudio\.buffara]

Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG <= MA.

Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo.
a < b + c ==> 2a < a + b + c = 2p ==> a < p ==> p-a > 0
Analogamente, p-b >0 e p-c > 0.
Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3).
Heron ==> A^2/p = (p-a)(p-b)(p-c)
MG <= MA ==> 
(A^2/p)^(1/3) = ((p-a)(p-b)(p-c))^(1/3) <= ((p-a)+(p-b)+(p-c))/3 = p/3 ==>
A <= p^2/(3*raiz(3)), com igualdade sss p-a = p-b = p-c sss a = b = c

[]s,
Claudio.

- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sun, 14 May 2006 06:00:44 -0300
Assunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

> On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
> > constante, ele terá área máxima quando for equilátero?
> 
> Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a)
> e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a),
> o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área
> estritamente maior do que qualquer outro.
> Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C,
> o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto
> mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A.
> 
> Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C.
> A cada passo, se o triângulo não for equilátero,
> você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro.
> Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero.
> 
> []s, N.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo retângule e bissetrizes

[Rogerio Ponce]

Ola' Martins,
a partir de seu vertice, cada bissetriz encontra a outra bissetriz, e entao
o lado oposto.
As medidas se referem a quais segmentos?

[]'s
Rogerio Ponce



2013/5/13 Martins Rama 

> Olá amigos da lista...
> Obrigado pelas colaborações.
>
> Alguém pode me ajudar nessa questão?
>
> "Calcular a área de um triângulo retângulo, sabendo que as bissetrizes dos
> ângulos agudos medem sqr(13) e sqr(104)."
>
> []'s
>
> Martins Rama.
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Eduardo Wagner]

Analítica. Adote AE como unidade de comprimento.
Resp: PQ/QR = 7/5

Em sáb, 9 de mar de 2019 às 12:40, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
>
> Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
>> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
>> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*
>>
>>
> A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada.
>
> https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml
> Mas só isso não vai adiantar.
>
>
>
>>
>>
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_5191055488509645045_m_3774298393707173559_m_6555290746475537769_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo]

Caro 
Morgado,
 
Não 
entendi...
 
 
Abraços
 
Edu

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. 
  MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
  16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] RES: 
  [obm-l] triânguloSo para comentar que, 
  surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote:
  

Olá,
 
Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos 
co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai 
cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com 
os dois valores encontrados anteriormente.
 
Espero ter ajudado.
 
Edu

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em 
  nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: 
  sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  Re: [obm-l] triângulo
  
   [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Olá pessoal, Veja 
esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, 
BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 
6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no 
triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno 
de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa 
de um angulo que e 180 menos todos os 
outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é 
um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen 
alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a 
lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra 
incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos 
para achar    o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, 
para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 
(x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A 
partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem 
um dado? 
  
  
  Busca Yahoo! O serviço 
  de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Alexandre Afonso]

escreva funcao da area do triangulo
 
por exemplo...
BxH/2
ou heron.. ou qualquer uma delas...
entao deriva..
iguala a derivada a 0
e vc vai obter o max e o min
eh a aplicacao mais pratica da derivada
 
abraço 

[obm-l] RES: [obm-l] triângulo de área máxi ma!

[Artur Costa Steiner]

> Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
> constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

Vc pode considerar que a area S eh dada por S = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),
sendo a, b e c os lados do triangulo e p o semiperimetro. Maximizar S
equivale a maximizar S^2 = p*(p-a)*(p-b)*(p-c), que equivale a mazimizar
(p-a)*(p-b)*(p-c) , dado que a + p + c = 2p e a, b, c >=0. A simetria do
problema acarreta que a = b = c = 3p/2, de modo que a, b, c >0, sendo assim
lados de um triangulo equilatero. Eh facil ver que este eh o ponto de
maximo, pois o de area minima eh um segmento de reta de comprimento p, um
triangulo degenerado, cuja area eh nula.

Outro problrma interessante eh determinar o triangulo de menor perimetro
dentre todos de mesma area.

Artur


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] triângulo de área máxi ma!

[Artur Costa Steiner]

Foram 
dadas diversas alternativas para a solucao. Mas a forma mais facil eh uma 
questao muito subjetiva, depende do que cada um conhece mais e daquilo em que 
cada um tem mais facilidade.
Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  [EMAIL PROTECTED]Enviada em: sábado, 13 de maio de 2006 
  12:34Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 
  triângulo de área máxima!
  Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro 
  constante, ele terá área máxima quando for 
equilátero?

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico

[João Gabriel Preturlan]

Se eu não me engano é da olimpiada peruana...

mas acontece q em demostrações parecidas com essa eu cheguei, mas nesse 
número cabeludo, não...
- Original Message - 
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>

To: "obm-l" 
Sent: Saturday, December 02, 2006 1:39 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico


-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200
Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico

Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não 
chego na demonstração completa nunca.
(Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área 
por várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)


Ele diz o seguinte:

Prove que:

(LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2

Sendo:
- LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
- As alturas se encontrem no ponto H.
- Seja HL, HM e HN inraios.

Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
triângulos.
Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos 
vértices (A, B e C)




L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H.
HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC ==> H eh incentro de ABC.
Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas.
Logo, ABC eh equilatero ==> a = b = c   e  (LMN) = (ABC)/4

(ABC) = a^2*raiz(3)/4 ==> (LMN) = a^2*raiz(3)/16

(ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64
(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==>
4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) =
4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) =
a^2*raiz(3)/16 = (LMN)

Esquisito esse problema...

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles

[Victor]

Eu sei que o problema já foi resolvido, mas acho que é bom destacar a 
simplicidades do cálculo pela Lei Dos Senos (ou Teorema como alguns preferem).
Pelos Senos, temos:
AC   =AC   = P  = P 
sen(90-x/2)   cos(x/2) sen(x)  2sen(x/2)cos(x/2)

Simplificando sobra AC =   P 
 2sen(x/2) 

Abraço
  - Original Message - 
  From: [EMAIL PROTECTED] 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 25, 2007 12:34 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles


  Obrigada!

  No entanto, estou cursando a 8ª série e ainda não havia aprendido a 
respeito.
  
  Abraços.
- Original Message - 
From: Marcelo Salhab Brogliato 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, October 25, 2007 1:50 AM
Subject: Re: [obm-l] Triângulo Isósceles


Olá Barola,

1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 
cos(x) ... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x))
 assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ]

2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize 
sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2) 

note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) - 
sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2)
entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no 
primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)] 
portanto: p = 2y*sen(x/2)

abraços,
Salhab



On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] < [EMAIL PROTECTED]> wrote: 
  Prezados Colegas!

  Gostaria de pedir-lhes:

  Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, 
existe alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

  Desde já, agradeço.
  Bárbara Nedel.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo retângule e bissetrizes

[Martins Rama]

Bom dia, Rogério.
Pelo que entendi do enunciado, os valores sqr(13) e sqr(104) são as
medidas de cada uma das bissetrizes internas dos ângulos agudos, contadas
do vértice ao lado oposto do triângulo.

[]'s

Martins Rama.


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