Re: [obm-l] continuidade para funções de 2 variáveis
A idéia é que a função é, na verdade, 2 * sen theta(x,y) * cos
theta(x,y) = sen(2 * theta(x, y)), onde theta(x, y) é o ângulo que o
vetor (x,y) do caminho que você escolheu faz com o eixo dos X. Se você
tomar uma reta y = mx, este ângulo é constante (e tal que tan theta(x,
y) = m), e, portanto, o limite calculado neste caminho é igual ao
valor do ângulo em questão.
--
Abraços,
Maurício
On 2/27/08, César Santos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, estava estudando continuidade para funções de duas variáveis no
livro do Thomas e não entendi uma passagem na explicação, pode ser algo
bobo, mas se alguém puder me ajudar ficaria agradecido.
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Para provar que f(x,y) não é contínua em (0,0) adota-se y = mx (Por quê???)
e com isso lim f(x,y) com (x,y) --(0,0) = 2m/(1+m²) e como m é variável a
função não é contínua. (Isso eu entendi).
Mas a questão é: por que se adotou y =mx? Qual o critério?
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Re: [obm-l] continuidade.
Olá Kleber,
1) vamos criar uma particao de R, fazendo: R = R\Q U Q..
lim {x-a} f(x) ... se x E R\Q, entao lim f(x) = lim 0 = 0
lim {x-a} f(x) ... se x E Q, entao lim f(x) = lim x = a
assim, quando a=0, temos que lim {x-0} f(0) = 0 = f(0)
e quando a!=0, temos que o limite nao existe.. logo, a funcao nao eh
continua nestes pontos..
abracos,
Salhab
On 7/4/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
1) a seguinte função f(x) = x , se x pertence a Q ( racionais) e f(x) = 0
, se x pertence a R\Q ( reais menos racionais ) , mostrar que ela só é
contínua em zero .
2) seja f definida no intervalo ( 0, + infinito ) R.
f(x) = 1/n , se x= m/n tal que m.m.c ( m,n ) = 1, x pertence a Q.
f(x)= 0, se x pertence a R\Q.
Mostrar que se fx or um numero irracional a função é continua e se for
racional a função é descontinua.
abraços. ( ps. Me falaram que esse segundo é um exercício classico de
análise e tem no livro de análise do elon lages resolvido. )
--
Kleber B. Bastos
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Re: [obm-l] continuidade
Seja f: R - R uma função descontínua qualquer e g: R - R a função nula (g(x) = 0, para todo x real). Assim, gof (x) = g(f(x)) = 0, para todo x. Assim, gof é contínua. Abraço Bruno 2007/6/30, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED]: Alguém poderia me ajudar nessa ? Mostrar que gof ser contínua não implica necessariamente f e g serem continuas. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] continuidade
Kleber, sobre a continuidade: Tome: g: R - R x |- 1 função constante igual a 1, e f: R - R definida por: f(x) = 1, quando x 0; f(x) = 0, quando x = 0; A composição (g o f) é contínua, pois também é constante, e no entanto g claramente não é contínua. Você pode ver pelo exemplo que qualquer função g descontínua quando composta com a função constante torna a composição contínua. Logo, não é verdade em geral que a continuidade de (g o f) implica na continuidade de g e f. Abraço, - Leandro.
Re: [obm-l] continuidade
Artur, antes de tudo obrigado. É comum encontrarmos em livros de calculo a seguinte definição: Uma função f eh continua em a se: i) f(a) existe, II) lim f(x) quando x tende a 'a' existe, iii) f(a) = lim f(x) quando x tende a 'a'. essa definicao seria equivalente a utilizada por vc ? Daria para concluir a continuidade de f(x) = 1/x ? Obrigado novamente, J ATt.
Re: [obm-l] continuidade
Creio q a função 1/x é descontinua no ponto x=0, pois naum há uma coordenada correspondente para este ponto, mas p/ qq outo valor de x, ela é uma função continua. Espero ter ajudado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade...
Cabei de ter uma ideia! Temos que se uma funcao e continua num intervalo fechado entao ela assume todos os possiveis valores entre seu maximo e seu minimo neste intervalo. Esse e um teorema bem famoso que nao vou me preocupar em demonstrar hoje. Se M e m sao os extremos de f, temos que m=1=M. Mas a funcao f so assume valores racionais. Logo m e M sao racionais. Mas sabemos que se mM entao existe um irracional I entre M e m. Se este fosse o caso existiria K tal que f(K)=I, absurdo! Logo m=M e acabou, pois m=1=M. On 7/6/05, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço esta? Se f: [0,1] -- R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1]. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com http://gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade...
Isso aí é consequência imediata do teorema do valor intermediário. Veja: Suponha, por absurdo, que exista c em (0,1] tal que f(c) != f(0) = 1. Então, pelo teorema do valor intermediario, para todo y0 em [f(0), f(c)] u [f(c), f(0)] existe x0 em [0,c] tal que y0 = f(x0) (i.e., f assume todos os valores entre 1 e c). Mas sabemos que entre 0 e c (0!=c por hipotese) existem infinitos números irracionais. Então, pelo teorema do valor intermediário, supor que f assuma algum valor diferente de 1 implica f assumir algum valor irracional, o que contraria a hipótese. Logo, não se pode supor que f assuma valor diferente de 1. Portanto, f(x) = 1, para todo x em [0,1]. Se quiser uma resolução mais detalhada, teríamos que provar o teorema do valor intermediário, o que é relativamente simples usando a propriedade do supremo, e também provar que entre 2 reais distintos quaisquer existem infinitos irracionas, o que também sai da propriedade do supremo Abraço BrunoOn 7/6/05, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço esta? Se f: [0,1] -- R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1].-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Continuidade uniforme
Eh isso ai. Eu dei uma solucao um pouco diferente, baseada em sequencias, mas que eh a mesma coisa. Interessante que eh muito mais facil provar esta resultado mais geral do que provar diretamente seucorolario de que f nao eh periodica. Esta conclusao pode ser generalizada para qualquer a 1 (em vez de apenas a =2, caso do quadrado),Artur - Mensagem Original De: obm-l@mat.puc-rio.brPara: "obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Continuidade uniformeData: 07/01/05 21:01on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Achei este problema interessante: Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. Artur Seja a 0 o periodo de f.Como f eh continua, teremos que lim(n - infinito) f(x + y/n) = f(x),quaisquer que sejam x e y reais.Como f eh nao-constante, vai existir b tal que:0 b a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps 0Logo,|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| =|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =|f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| eps, para n suficientemente grande.No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y|torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior doque uma quantidade positiva fixa (eps).Logo, g nao eh uniformemente continua.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Continuidade uniforme
on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Achei este problema interessante: Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. Artur Seja a 0 o periodo de f. Como f eh continua, teremos que lim(n - infinito) f(x + y/n) = f(x), quaisquer que sejam x e y reais. Como f eh nao-constante, vai existir b tal que: 0 b a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps 0 Logo, |g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| = |f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| = |f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| eps, para n suficientemente grande. No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira. Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y| torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do que uma quantidade positiva fixa (eps). Logo, g nao eh uniformemente continua. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Boa tarde Arthur,
Desculpe-me mas nao recibi essa msg, procurei nos arquivos da lista e nao
encontrei, agradeço se puder reenviar.
OK, aih vai a mensagem que enviei da outra vez.
Artur
1)Seja f: R^2 em R definida por:
f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
f(x,y) = (xy^2)/(x^2 + y^4), se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
Em R^2 - {(0,0)}, f eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas,
sendo que a do denominador nunca se anula. Logo, f eh continua.
Sobre a parabola x = y^2, temos para (x,y) (0,0) que f(x,y) =
(y^4)/(y^4 +
y^4)| = 1/2, de modo que, sobre esta parabola, f(x,y) - 1/2 f(0,0)
quando (x,y) - (0,0). Logo, f eh descontinua em (0,0) e o conjunto de
seus
pontos de continuidade eh R^2 - {(0,0)}.
2) Prove que a serie:
somatório com n variando de 1 a infinito de
x/(n(1+nx^2)) converge uniformemente em toda reta real.
Para cada n, temos uma funcao f_n, impar e diferenciavel, de x. Temos
que
f_n(0) = 0 e que f_n(x) - 0 quando x - oo. Diferenciando, concluimos
que
em [0, oo) f_n apresenta um maximo absoluto em x_m = 1/raiz(n), o qual
acarreta f_n(x_m) = 1/(2n*raiz(n)). Como f_n eh impar, temos entao para
todo
real x que |f_n(x)| = 1/(2n*raiz(n)). A serie Soma [1/(2n*raiz(n))] =
(1/2)* Soma(1/(n^(3/2)) converge, pois 3/2 1 . O teste M de
Weierstrass
mostra-nos entao que a serie de funcoes dada converge uniformemente em
toda
a reta real.
Artur
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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Re: [obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Eu ja enviei uma mensagem sobre isto Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa noite amigos, nao esqueçam dessa por favor... Seja f: R^2 em R definida por: f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0) = 0, se (x,y)=(0,0) Determine o conjunto de pontos onde f eh continua. 2) Prove que a serie: somátorio com n variando de 1 a infinito de x/n(1+nx^2) converge uniformemente em toda reta real. Desde jah agradeço. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade e convergencia uniforme
1)Seja f: R^2 em R definida por:
f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
f(x,y) = (xy^2)/(x^2 + y^4), se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
Em R^2 - {(0,0)}, f eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas,
sendo que a do denominador nunca se anula. Logo, f eh continua.
Sobre a parabola x = y^2, temos para (x,y) (0,0) que f(x,y) = (y^4)/(y^4 +
y^4)| = 1/2, de modo que, sobre esta parabola, f(x,y) - 1/2 f(0,0)
quando (x,y) - (0,0). Logo, f eh descontinua em (0,0) e o conjunto de seus
pontos de continuidade eh R^2 - {(0,0)}.
2) Prove que a serie:
somatório com n variando de 1 a infinito de
x/(n(1+nx^2)) converge uniformemente em toda reta real.
Para cada n, temos uma funcao f_n, impar e diferenciavel, de x. Temos que
f_n(0) = 0 e que f_n(x) - 0 quando x - oo. Diferenciando, concluimos que
em [0, oo) f_n apresenta um maximo absoluto em x_m = 1/raiz(n), o qual
acarreta f_n(x_m) = 1/(2n*raiz(n)). Como f_n eh impar, temos entao para todo
real x que |f_n(x)| = 1/(2n*raiz(n)). A serie Soma [1/(2n*raiz(n))] =
(1/2)* Soma(1/(n^(3/2)) converge, pois 3/2 1 . O teste M de Weierstrass
mostra-nos entao que a serie de funcoes dada converge uniformemente em toda
a reta real.
Artur
OPEN Internet e Informática
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Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Title: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício on 08.06.04 14:44, Fellipe Rossi at [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros amigos da lista, espero que possam me ajudar ;) QUESTÃO: Determine a e b para que f(x) seja contínua em R. onde f(x)= (e^ax - 1)(x^4 +2) , para x0 x^5 + 6x^3 + 9x a*sen(x*pi) + b para 0=x=1/2 8x^3 - 4x^2 - 2x + 1 . para x1/2 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2 +1) Assim, a+b = 8/5 Porém quando fui aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor vetou). Será que alguem ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra maneira? Ahh! a resposta é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5 ). Agradeço desde já! Abraços, Rossi O que voce quer eh provar que lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = 1 sem usar L'Hopital. Soh que isso depende de como voce define a funcao exponencial. Por exemplo, uma forma eh definir a funcao log:(0,+infinito) - R como sendo: log(x) = Integral(1..x) dt/t e depois provar que, para quaisquer x, y positivos, vale log(xy) = log(x) + log(y). Dai decorre que log eh uma bijecao infinitamente diferenciavel tal que:. log(1) = 0; existe um unico numero real, representado por e, tal que log(e) = 1; log'(x) = 1/x para todo x 0. Em seguida, definimos a funcao exp:R - (0,+infinito) como sendo a inversa da log, de forma que exp(0) = 1, exp(1) = e, em geral, exp(x) = e^x. Finalmente, a derivada de exp em x = 0 eh igual a: exp'(0) = lim(h-0) (exp(0+h) - exp(0))/h = lim(h-0) (e^h - 1)/h. Mas, como, para todo x real vale log(exp(x)) = x, a regra da cadeia implica que, para todo x: log'(exp(x))*exp'(x) = 1 == (1/exp(x))*exp'(x) = 1 == exp'(x) = exp(x). Em particular, exp'(0) = exp(0) = 1, ou seja, lim(h-0) (e^h - 1)/h = 1 Eh facil ver, a partir disso, que se a 0, entao lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = a, bastando apenas fazer a mudanca de variavel y = ax. []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Title: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício Muito obrigado! Eu tenho prova disso amanha! vc ajudou bastante!! :) Eu posso dizer que lim(x-0) (e^x - 1)/x = 1 é um limite fundamental? ou numa prova eu precisaria provar isso? Abraços Rossi - Original Message - From: Claudio Buffara To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 08, 2004 4:14 PM Subject: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício on 08.06.04 14:44, Fellipe Rossi at [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros amigos da lista, espero que possam me ajudar ;)QUESTÃO:Determine a e b para que f(x) seja contínua em R.onde f(x)=(e^ax - 1)(x^4 +2) , para x0x^5 + 6x^3 + 9xa*sen(x*pi) + b para 0=x=1/28x^3 - 4x^2 - 2x + 1 . para x1/24x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2 +1)Assim, a+b = 8/5Porém quando fui aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor vetou).Será que alguem ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra maneira?Ahh! a resposta é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5 ).Agradeço desde já!Abraços,RossiO que voce quer eh provar que lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = 1 sem usar L'Hopital.Soh que isso depende de como voce define a funcao exponencial.Por exemplo, uma forma eh definir a funcao log:(0,+infinito) - R como sendo:log(x) = Integral(1..x) dt/te depois provar que, para quaisquer x, y positivos, vale log(xy) = log(x) + log(y).Dai decorre que log eh uma bijecao infinitamente diferenciavel tal que:.log(1) = 0;existe um unico numero real, representado por e, tal que log(e) = 1; log'(x) = 1/x para todo x 0.Em seguida, definimos a funcao exp:R - (0,+infinito) como sendo a inversa da log, de forma que exp(0) = 1, exp(1) = e, em geral, exp(x) = e^x.Finalmente, a derivada de exp em x = 0 eh igual a:exp'(0) = lim(h-0) (exp(0+h) - exp(0))/h = lim(h-0) (e^h - 1)/h.Mas, como, para todo x real vale log(exp(x)) = x, a regra da cadeia implica que, para todo x: log'(exp(x))*exp'(x) = 1 == (1/exp(x))*exp'(x) = 1 == exp'(x) = exp(x).Em particular, exp'(0) = exp(0) = 1, ou seja, lim(h-0) (e^h - 1)/h = 1Eh facil ver, a partir disso, que se a 0, entao lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = a, bastando apenas fazer a mudanca de variavel y = ax.[]s,Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Re: [obm-l] Continuidade - ExercícioDepende da questão, mas provar isso é fácil. Faça u = exp(x) - 1 e daí, x = ln(1+u) Ficamos então com lim_x \to 0 u/ln(1+u) = lim_x \to 0 1/ln[(1+u)^(1/u)] = 1/ln(e) = 1, usando só uma propriedade do logaritimo e o limite de (1+x)^(1/x) com x tendendo a zero, que é igual a e = 2.7182... Abraço, Henrique. - Original Message - From: Fellipe Rossi To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 08, 2004 10:18 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício Muito obrigado! Eu tenho prova disso amanha! vc ajudou bastante!! :) Eu posso dizer que lim(x-0) (e^x - 1)/x = 1 é um limite fundamental? ou numa prova eu precisaria provar isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] continuidade pela definiçao.......
Uai ... é só aplicar a def.!!!
Tome x=a, a um real genérico, logo temos que
(i)existem os limites laterais quando x--a pela
direita e pela esquerda de a;
(ii) lim f(x) = f(a)=1/a, válido sob a condição a=!0 ,
x-a
como x=a, temos que f é contínua em seu domínio, ou
seja R-{0}
Você poderia utilizar o fato de que f é racional como
alternativa, mostrando que f é derivavel em R-{0} logo
é continua.
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh
continua para todo x real diferente de 0.
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Futuro Engenheiro Eletricista
Osvaldo Mello Sponquiado FEIS - UNESP
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Re: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
Talvez o que vc queira seja, para E 0, mostrar que existe um d 0 tal que se 0 |x - a| d entao |(1/x) - (1/a)| E, para qualquer a real diferente de zero. Aqui, teríamos tradicionalmente E = épsilon e d = delta... :) Entao temos que mostrar que existe esse d 0. |(1/x) - (1/a)| E -E (1/x) - (1/a) E -E + (1/a) (1/x) E + (1/a) (1/x) -E + (1/a) = (1 - E*a)/a x a/(1 - E*a) Entao temos |x - a| = |x| - |a| a/(1 - E*a) - |a| Assim, tomando d = a/(a - E*a) - |a| temos que se 0 |x - a| d entao |(1/x) - (1/a)| E, o que prova a existencia do limite pela definicao e, como consequencia, a continuidade de f(x) = 1/x , que deve atender aos dois requisitos: i) existe f(a) ii) lim x- a de f(x) = f(a) guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x real diferente de 0. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
mas :|x| - |a|= |x - a|=|x|+|a| ( e nao :|x - a|=|x| - |a| ) |x| - |a| a/(1 - E*a) - |a|[EMAIL PROTECTED] wrote: Talvez o que vc queira seja, para "E 0", mostrar que existe um "d 0" talque se 0 |x - a| d entao |(1/x) - (1/a)| E, para qualquer a realdiferente de zero. Aqui, teríamos tradicionalmente E = épsilon e d =delta... :)Entao temos que mostrar que existe esse d 0.|(1/x) - (1/a)| E-E (1/x) - (1/a) E-E + (1/a) (1/x) E + (1/a)(1/x) -E + (1/a) = (1 - E*a)/ax a/(1 - E*a)Entao temos|x - a| = |x| - |a| a/(1 - E*a) - |a|Assim, tomando d = a/(a - E*a) - |a| temos que se 0 |x - a| d entao|(1/x) - (1/a)| E, o que prova a existencia do limite pela definicao e,como consequencia, a continuidade de f(x) = 1/x , que deve atender aos doisrequisitos:i) existe f(a)ii) lim x- a de f(x) = f(a)guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x realdiferente de 0.-Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=r/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] RE: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
Eu acho que houve uma certa confusao nestas
discussoes O que precisamos eh mostrar que, dado qualquer eps0, existe
d0 tal que se |u-x| d, entao |f(u) f(x)| eps. Como f eh impar, basta demonstrar
para x0. Para u e x0, temos que |1/u 1/x| = |u-x|/(u*x). Suponhamos que
0dx/2. Para todo u tal que |u-x|d temos entao que ux/2 e, portanto, |1/u
1/x| d/((x/2)*x) = 2d/(x^2). Se eps0 for arbitrado, basta entao escolhermos
d = min{x/2, (eps*x^2)/2} e teremos |f(u) f(x)| eps para todo u tal
que |u-x| d. Logo, f eh continua em todo x0 (e tambem em todo x0, pois
f eh impar).
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of guilherme S.
Sent: Friday, April 09, 2004 12:05
PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] continuidade pela
definiçao...
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh
continua para todo x real diferente de 0.
Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos
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[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] continuidade pela definiçao.......
Uai! Vc estah demonstrando uma proposicao partindo do principio que a
proposicao eh verdadeira... Virge, que trem eh esse?
Mas, de fato, eh mais facil mostrar que f(x) =1/x eh diferenciavel do que eh
continua (pela definicao) . Uma transformacao algebrica simples mostra que,
para todo x0 e todo u0, temos que (f(u) - f(x))/(u-x) = -1/(u*x) .
Quando u-x, o quociente tende para f'(x) = -1/(x^2), mostrando a
diferenciabilidade de f em todo x0. E da diferenciabilidade, segue-se
automaticamente a continuidade.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: Friday, April 09, 2004 1:01 PM
To: obm-l
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] continuidade pela definiçao...
Uai ... é só aplicar a def.!!!
Tome x=a, a um real genérico, logo temos que
(i)existem os limites laterais quando x--a pela
direita e pela esquerda de a;
(ii) lim f(x) = f(a)=1/a, válido sob a condição a=!0 ,
x-a
como x=a, temos que f é contínua em seu domínio, ou
seja R-{0}
Você poderia utilizar o fato de que f é racional como
alternativa, mostrando que f é derivavel em R-{0} logo
é continua.
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh
continua para todo x real diferente de 0.
-
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Atenciosamente,
Futuro Engenheiro Eletricista
Osvaldo Mello Sponquiado FEIS - UNESP
Usuário em GNU/Linux
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Re: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
valeu, desatencao minha... |x - a| = |x| + |a| a/(1 - E*a) + |a| e tomamos d = a/(1 - E*a) + |a| guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: mas :|x| - |a| |x| - |a| [EMAIL PROTECTED] wrote: Talvez o que vc queira seja, para E 0, mostrar que existe um d 0 tal que se 0 diferente de zero. Aqui, teríamos tradicionalmente E = épsilon e d = delta... :) Entao temos que mostrar que existe esse d 0. |(1/x) - (1/a)| -E -E + (1/a) (1/x) -E + (1/a) = (1 - E*a)/a x Entao temos |x - a| Assim, tomando d = a/(a - E*a) - |a| temos que se 0 |(1/x) - (1/a)| como consequencia, a continuidade de f(x) = 1/x , que deve atender aos dois requisitos: i) existe f(a) ii) lim x- a de f(x) = f(a) guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x real diferente de 0. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =r/~nicolau/olimp/obm- l.html = - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Continuidade
Na 1a. use o fato de que a composta de funções contínuas é contínua. Na 2a. idem, mas falta definir que f(0,0) = 0. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 31, 2004 3:49 PM Subject: [obm-l] Continuidade Como demonstrar que 1. z=sen(x^2+y) 2. z=[sen(xy)]/[sqrt(x^2+y^2)] são contínuas. Desde já agradeço []'s, Marcelo MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Continuidade
Aqui, em vez de usar a definicao e manipular epsilons e deltas, eh mais
facil usarmos aqueles teoremas sobre composicoes de funcoes continuas.
1. z=sen(x^2+y)
a funcao h(x,y) = x^2 + y pode ser vista como a soma de duas outras funcoes
de x e de y, f(x,y) = x^2 e g(x,y) = y. Eh fato bem conhecido que ambas sao
continuas em R^2. Logo, o mesmo vale para a soma delas.
A funcao seno sabidamente eh continua para todo real x. A composicao de
funcoes continuas eh continua, logo z eh continua.
2. z=[sen(xy)]/[sqrt(x^2+y^2)]
Aqui cabe observar que esta funcao naum eh definida em (0,0). Mas em todo o
R^2 - {0} ele eh continua. Use argumentos similares ao caso 1. Observe que o
quaociente de duas funcoes continuas em um ponto no qual o denominador naum
se anule eh continua no mesmo ponto.
Artur
são contínuas. Desde já agradeço
[]'s, Marcelo
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RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Oi Niski!
Se uma funcao eh continua em um elemento de seu dominio, entao ela eh
continua com relacao a qualquer direcao segundo a qual nos aproximamos
do elemento em questao. E a reciproca eh verdadeira. Em termos um pouco
mais precisos: Se f eh definida em um subconjunto D de R^n, tem valores
em R^m e eh continua em a (a em D, eh claro), entao, para todo eps0
arbitrariamente escolhido, existe um d0 tal que, se x estah em D e
||x-a||d, entao ||f(x) - f(a)|| eps. (|| significa a norma
Euclidiana). Vale dizer que, se escolhermos qualquer direcao em R^n e
nos aproximarmos de a segundo a mesma, entao o valor de f, computado
deslizando-se sobre a direcao escolhida vai se aproximar suavemente
de f(a).
Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f
(isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a
qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer
curva continua que passe por a). O autor tomou um caso bem simples, a
reta bissetriz do eixos no primeiro quadrante, e mostrou que a resticao
de f a esta reta nao eh continua em 0. E disto concluiu que f nao eh
continua em 0. Para mostrar descontinuidade, basta achar uma direcao em
que isto ocorra. Mas para provar a continuidade de f, eh preciso
garantir que sua restricao a toda e qualquer reta que passe por a eh
continua. Parece injustica, nao? Mas, na vida, geralmente eh mais facil
destruir do que construir.
Se isto eh um argumento geometrico ou algebrico? Acho que ambos, a
matematica eh coerente com ela mesma. Eu entretanto prefiro dizer que eh
um argumento analitico.
Abracos
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski
Sent: Sunday, November 09, 2003 12:56 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Ola pessoal.
Estava lendo no meu livro (Um curso de calculo, vol.2 do Guidorizzi) e
em certo ponto ele quer mostrar que a função
f(x,y) = { (xy)/((x^2) + (y^2)) se (x,y) != (0,0)
{ 0 se (x,y) = (0,0)
Não é continua em (0,0).
Eu tentaria calcular o limite. Se não desse 0, a função não seria
continua e acabou.
Mas ele faz isso.
A composta de f com a reta gamma dada por gamma(t) = (t,t) é
g(t) = f(t,t) = { 1/2 se t != 0
{ 0 se t = 0
Como gamma é continua em t=0 e a composta g(t)=f(t,t) não é continua em
t=0, resulta que f não é continua em (0,0)
Não entendi muito bem. Isso é mais um argumento geometrico ou
algebrico!? O que realmente significa a composta de f com a reta
gamma(t) ?? Porque só pelo fato da composta não ser continua f
automaticamente não é continua?!
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Niski
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Re: [obm-l] Continuidade de funcoes.
On Sun, Nov 09, 2003 at 02:12:00PM -0200, Artur Coste Steiner wrote: Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f (isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer curva continua que passe por a). A afirmação acima é infelizmente incorreta. Seja f: R^2 - R definida por f(x,y) = 1 se x^2 + y^2 = 1 e x 1, 0 caso contrário. Se tomarmos a = (1,0) então a restrição de f a qq reta passando por a é contínua em a mas f claramente não é contínua em a. Observe que se em vez de uma reta você tomar o círculo unitário a restrição fica sendo descontínua. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Sem duvida! Precipitacao. O que eu devia ter dito eh que, se for continua em a, entao a restricao de f a qualquer reta passando por a eh continua em a. A reciproca nao eh verdadeira. A menos que, em vez de reta, eu me referisse a qualquer curva continua passando por a, certo? (ou usasse a definicao de continuidade em termos de sequencias no dominio de f que convergem para a). No exemplo dado, temos ateh que todas as derivadas direcionais de f existem e sao nulas em a - mas f nao eh continua em a. On Sun, Nov 09, 2003 at 02:12:00PM -0200, Artur Coste Steiner wrote: Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f (isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer curva continua que passe por a). A afirmação acima é infelizmente incorreta. Seja f: R^2 - R definida por f(x,y) = 1 se x^2 + y^2 = 1 e x 1, 0 caso contrário. Se tomarmos a = (1,0) então a restrição de f a qq reta passando por a é contínua em a mas f claramente não é contínua em a. Observe que se em vez de uma reta você tomar o círculo unitário a restrição fica sendo descontínua. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
Oi Cláudio, Talvez vc naum tenha observado que a função é f(x)=1/x²,não f(x)=1/x.De qualquer maneira,a resolução abaixo deuma encaminhada boa e acho que consegui terminar o problema. Brigadão, Eder on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua? Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao cont em x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/ (|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriad o voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante in ferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua?Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao contem x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriado voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante inferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
Oi, Eder: Por alguma razao, na tela do meu computador aparece 1/x (aspas ao inves do expoente numerico). Desculpe a falha. Mas bom saber que o que eu fiz serviu pra alguma coisa. Um abraco, Claudio. on 11.08.03 00:07, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Cláudio, Talvez vc naum tenha observado que a função é f(x)=1/x²,não f(x)=1/x.De qualquer maneira,a resolução abaixo deuma encaminhada boa e acho que consegui terminar o problema. Brigadão, Eder on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua? Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao cont em x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/ (|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriad o voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante in ferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade (correcao!)
On Sat, Apr 13, 2002 at 07:16:08PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Nenhum problema, o ambiente aqui deveria ser bem informal mesmo. Desculpem alias pelas minhas mensagens anteriores redundantes com as correções do Eduardo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
On Sat, Apr 13, 2002 at 02:37:30PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Considere a função f(x) = x/4, x em [0,1/4], f(x) = 7x/4 - 3/8, x em [1/4,3/4], f(x) = x/4 + 3/4, x em [3/4,1]. Note que f é contínua, f(0) = 0, f(1/4) = 1/16, f(3/4) = 15/16 e f(1) = 1. Tome k = 3/4. Temos f(x+k) = x + 15/16 x + 3/4 para todo x em [0,1/4]. Assim seu teorema não é verdadeiro da forma como você enunciou e o seu argumento não deveria convencer. Mas não desanime, tente corrigir... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
Ola Duda E demais colegas desta lista, E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro, modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas, tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem. Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou claramente que para K 1/2 e possivel construir uma funcao continua que nao atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ? Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que, caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,( mesmo que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao desistir ate que a ostra entregue a sua perola... Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 2,1554,150402 Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
On Sat, Apr 13, 2002 at 04:36:13PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. CORRECAO!!! ===(0k1/2)=== Desculpe a confusao! Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). Continua errado. Tente achar um contra exemplo para k = 2/5. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
Ola a todos! O problema que eu propus ao Paulo Santa Rita foi o seguinte: Seja f uma funcao continua definida em [0,1] que acaba onde comeca, ou seja f(0)=f(1)=0. Para quais valores de K (em (0,1/2] ) podemos garantir que exista um x em [0,1-K] tal que f(x) = f(x + K)? Apesar de parecer diferente, ele tem tudo a ver com o problema que estava na lista. Eu estava tentando demonstrar que para K = 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... nos sempre podiamos garantir a existencia do x e que para os outros valores possiveis de K nos nao podiamos garantir a existencia do x. Para a segunda etapa do que eu propus acima, tentei construir uma funcao (fixado o K) de forma que f(x) fosse sempre diferente de f(x + K). E acredito ter conseguido, segue a minha ideia: Seja n o numero inteiro tal que n.K 1 (n + 1).K Eu vou definir a f nos pontos x = 0, K/2, 2K/2, 3K/2, 4K/2, 5K/2, ..., 2n.K/2, (2n + 1).K/2, (2n+2).K/2, e ela vai ser linear nos x entre esses pontos. Temos: f(0) = 0 f(2K/2) = - X f(3K/2) = - X + Y f(4K/2) = - 2X + Y f(5K/2) = - 2X + 2Y f(6K/2) = - 3X + 2Y f(7K/2) = - 3X + 3Y ... Voces ja devem ter percebido o padrao, baixa X depois aumenta Y depois baixa X depois aumenta Y... Basta, agora, escolher X e Y de forma que f(1) = 0, pra qualquer X que escolhermos vai existir um Y que garante isso (eh facil de ver por que). Pronto, essa funcao eh tal que f(x) eh sempre diferente de f(x + K). Para esse fato, eu tenho uma prova geometrica, a qual nao vou expor por falta de detalhes. Mas desenhando a funcao e fazendo alguma analise minuciosa, se ve por que. (ta um pouco incompleto... eu sei) Sem mais nada a acrescentar, fico por aqui. Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Ola Duda E demais colegas desta lista, E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro, modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas, tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem. Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou claramente que para K 1/2 e possivel construir uma funcao continua que nao atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ? Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que, caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,( mesmo que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao desistir ate que a ostra entregue a sua perola... Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 2,1554,150402 Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL
Re: [obm-l] continuidade
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. CORRECAO!!! ===(0k1/2)=== Desculpe a confusao! Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade (correcao!)
Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. CORRECAO!!! ===(0k1/2)=== Desculpe a confusao! Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. fig.GIF Description: GIF image
Re: [obm-l] continuidade
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. Outra solução pode ser conseguida se você definir g(t)=posição no tempo (t+5)-posição no tempo t. Queremos mostrar que g(t)=1 para algum t. O resto é igual... Está tudo certo? Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite Abracos a todos, Luiz Alberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
