equacao

[Alexandre F. Terezan]

Estou empacado numa equacao... Parece ser óbvio, mas nao 
consigo enxergar...
 
a^2 + b^2 = 16
a^2 + (c - b)^2 = 25
b^2 + (c - a)^2 = 1
 
Quanto vale c^2 ???

Equacao irracional

[Erico Furukawa]

Estou precisando de uma ajuda para um desafio:
''Elaborar uma equacao irracional cuja V={amor}, e
cuja raiz estranha seja {odio}.''
Se poderem me ajudar eu ficarei muito agradecido.

___
Yahoo! GeoCities
Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCites. É fácil 
e grátis!
http://br.geocities.yahoo.com/

Re: equacao

[Antonio Caminha]

>a^2 + b^2 = 16
>a^2 + (c - b)^2 = 25
>b^2 + (c - a)^2 = 1
>
>Quanto vale c^2 ???

Substituindo a^2+b^2=16 na segunda e terceira equacao, Alexandre, vc fica 
com

c^2 - 9 = 2bc  e   c^2 + 15 = 2ac

Elevando amabas as equacoes acima ao quadrado e somando os resultados, 
obtemos

(c^2 - 9)^2 + (c^2 + 15)^2 = 4c^2(a^2 + b^2), ou ainda

2c^4 + 12c^2 + 306 = 64c^2, o que eh o mesmo que

c^4 - 26c^2 + 153 = 0. Daih, c^2 = 17 ou 9...




_
Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! 
http://explorer.msn.com.br

[obm-l] Equacao

[Klaus Ferraz]

Sejam k ,n inteiros positivos com n>2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y). 
		 
Yahoo! Search 
Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt

[obm-l] eQuaCao

[vinicius aleixo]

x^4 + x^3 -1 = 0  se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo  x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0        alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..?           vlw! 
		 
Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!

[obm-l] EQUACAO

[Danilo Nascimento]

Resolva a equacao:
 
(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

[obm-l] EQUACAO

[Danilo Nascimento]

Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0
 
[]'s
 Danilo__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

[obm-l] Equacao

[Danilo Nascimento]

a)m cos x - (m+1) senx = m, m pertence a R
 
b) Determine m de modo que essa equacao admita raizes x' e x" cuja diferenca seja pi/2
 
 
		 
Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!

[obm-l] equacao

[Danilo Nascimento]

Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo
		 
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!

[obm-l] equacao

[Danilo Nascimento]

3^x=4x como resolvo. 
		 
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!

[obm-l] Equacao

[Klaus Ferraz]

Mostre que a equacao x2 + 4 = y3 tem exactamente duas soluções inteiras positivas.
		 
Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!

[obm-l] equacao

[elton francisco ferreira]

olá pessoal, alguem conhece a relação que se segue?

numa equação: a^2 + b^2 = S (soma) + 2* P (produto). 

se alguem conhece, me diga como usa-la.










___ 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. 
http://br.yahoo.com/homepageset.html 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: Equacao irracional

[Fábio Dias]

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de
Erico Furukawa
Enviada em: domingo, 17 de junho de 2001 00:44
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Equacao irracional

>Estou precisando de uma ajuda para um desafio:
>''Elaborar uma equacao irracional cuja V={amor}, e
>cuja raiz estranha seja {odio}.''
>Se poderem me ajudar eu ficarei muito agradecido.

Não está muito bem definido o que o desafio quer dizer com as duas palavras.
Uma hipótese é que as palavras sejam números em bases suficientemente altas,
já que depois dos do 0, 1, ..., 9, se passa a utilizar letras.

Várias escolhas de base são naturais para o problema:
- base 23 (*todos* os dígitos são representados por letras a..z sem k, w, y)
- base 26 (*todos* os dígitos são representados por letras a..z com k, w, y)
- base 33 (além de 0..9, os outros dígitos são representados por letras a..z
sem k, w, y)
- base 36 (além de 0..9, os outros dígitos são representados por letras a..z
com k, w, y)

Como são duas raízes que estão determinando a equação, é natural que tenha
dois parâmetros. Vou tomar como equação-modelo sqrt(x + a) = b - x. O lado
direito da inequação se torna x - b no caso "odio", já que é raiz estranha.

Os valores de a e b, obtidos no Maple, foram:
BASE 23: a = 5915129246, b = 95764
BASE 26: a = 14378381328, b = 146682
BASE 33: a = 52509302416, b = 649234
BASE 36: a = 102815878548, b = 864602

Os valores obtidos não são nada pequenos, mas funcionam.

[]s,


Fabio Dias ([EMAIL PROTECTED], ICQ# 31136103)
  RPG em Revista: A sua revista virtual de RPG!
 --> http://www.rpgemrevista.f2s.com <--

Re: Equacao irracional

[Alexandre Tessarollo]

Hum, se o Érico quiser presentear uma matemática (ou alguma pessoa que
goste MUITO de Mat), creio que o Fábio respondeu muito bem. Já se for
para alguém que não simpatiza muito, recomendo uma que ganhei da minha
namorada:

x^2 + (-2amo)x + [(amo)^2 - (te)^2] = 0

Uma equação do segundo grau ax^2 + bx + c = 0. Utilizando o bom e velho
Báskara, temos as raízes
x1 = amo + te
x2 = amo-te

[]'s

Alexandre Tessarollo

PS: naturalmente, a, m, o, t, e são constantes reais.

Fábio Dias wrote:
> 
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de
> Erico Furukawa
> Enviada em: domingo, 17 de junho de 2001 00:44
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Equacao irracional
> 
> >Estou precisando de uma ajuda para um desafio:
> >''Elaborar uma equacao irracional cuja V={amor}, e
> >cuja raiz estranha seja {odio}.''
> >Se poderem me ajudar eu ficarei muito agradecido.
> 
> Não está muito bem definido o que o desafio quer dizer com as duas palavras.
> Uma hipótese é que as palavras sejam números em bases suficientemente altas,
> já que depois dos do 0, 1, ..., 9, se passa a utilizar letras.
> 
> Várias escolhas de base são naturais para o problema:
> - base 23 (*todos* os dígitos são representados por letras a..z sem k, w, y)
> - base 26 (*todos* os dígitos são representados por letras a..z com k, w, y)
> - base 33 (além de 0..9, os outros dígitos são representados por letras a..z
> sem k, w, y)
> - base 36 (além de 0..9, os outros dígitos são representados por letras a..z
> com k, w, y)
> 
> Como são duas raízes que estão determinando a equação, é natural que tenha
> dois parâmetros. Vou tomar como equação-modelo sqrt(x + a) = b - x. O lado
> direito da inequação se torna x - b no caso "odio", já que é raiz estranha.
> 
> Os valores de a e b, obtidos no Maple, foram:
> BASE 23: a = 5915129246, b = 95764
> BASE 26: a = 14378381328, b = 146682
> BASE 33: a = 52509302416, b = 649234
> BASE 36: a = 102815878548, b = 864602
> 
> Os valores obtidos não são nada pequenos, mas funcionam.
> 
> []s,
> 
> 
> Fabio Dias ([EMAIL PROTECTED], ICQ# 31136103)
>   RPG em Revista: A sua revista virtual de RPG!
>  --> http://www.rpgemrevista.f2s.com <--

[obm-l] equacao...

[niski]

Pessoal, estou preso nesse aqui. Se puderem enviar solucoes ficarei grato.

Determine as raizes reais da equacao

x^3 + 2*a*x + 1/16 = -a + sqrt( (a^2) + (x) - (1/16) ) 
com 0 < a < 1/4

obrigado

-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] equacao....,

[niski]

Pessoal, estou preso nesse aqui. Se puderem enviar solucoes ficarei grato.
Determine as raizes reais da equacao
x^3 + 2*a*x + 1/16 = -a + sqrt( (a^2) + (x) - (1/16) )
com 0 < a < 1/4
obrigado
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] equacao

[gabriel]

E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao 
escrivia.
Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e 
achei uma questão q é interessante.no começo achava q seria facil resolver 
mas so consigui achar duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão 
é a seguinte:
Resolva a equação
x^3 - 3x = sqrt(x+2)
Agradeço desde ja qualquer ajuda,
Gabriel Guedes.

Algoritmo de equacao

[Alexandre F. Terezan]

Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já existia) 
um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do tipo:
 
ax^3 + bx + c = 0
 
Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3
 
1) Dividimos a equacao por a :   x^3 + px + q = 
0
2) Montamos uma nova equacao em y tal que:   
y^2 - qy - (p^3)/27 = 0
3) Encontramos as raízes y1 e y2 
da equacao acima
4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de 
k1
5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de 
k2
6) Temos: x1 = k1 + k2
7) Dividimos  (x^3 + px + q)/(x - x1), encontrando: x^2 + 
(x1)x + p + (x1)^2
8) As raízes desta equacao sao x2 e x3
9) x2 = (-x1 + sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
10) x3 = (-x1 - sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
 
Posso ter vacilado em alguma conta, por favor 
avisem...
 
[]'s
 
Alexandre Terezan

[obm-l] equacao funcional

[Klaus Ferraz]

Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/

Re:[obm-l] Equacao

[claudio\.buffara]

Aqui vai uma solução razoavelmente feia...
 
Suponhamos que a equação tenha solução (x,y).
 
Como n >= 3, temos que x^n - y^n >= 2^3 - 1^3 = 7 > 4 ==> k >= 3.
 
2 aparece com o mesmo expoentena decomposição de x e y pois, caso contrário, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficaríamos com:
2^(k-m) = diferença entre um número par e um ímpar ==> 
2^(k-m) = 1 necessariamente ==>
k = m ==>
(x/2^m)^n - (y/2^m)^n = 1 ==>
sem solução, pois n >= 3 ==>
contradição
 
Assim, podemos supor que x e y são ambos ímpares.
 
x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + ... + y^(n-1)) = 2^k ==>
x - y = 2^r com r >= 1, pois x - y é par e positivo
e
o 2o. termo é uma soma de n parcelas ímpares e igual a 2^(k-r) ==>
n é par
 
Suponhamos que n = 2^p*b, onde p >= 1 e b é ímpar.
 
Se b > 1, então, como  x^n - y^n é múltiplo de 
x^(b-1) + x^(b-1)y + ... + xy^(b-2) + y^(b-1) =
soma de um número ímpar de parcelas ímpares =
ímpar (e maior do que 1) ==>
contradição, pois isso também divide 2^(k-r) ==>
b = 1 e, portanto, n = 2^p.
 
x^(2^p) - y^(2^p) = 2^k ==>
(x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^(2^(p-1))+y^(2^(p-1))) = 2^k ==>
x-y = 2^r  e  x+y = 2^s (1 <= r < s) ==>
x = 2^r*(2^(s-r) + 1)  e  y = 2^r*(2^(s-r) - 1) ==>
x e y são pares ==>
contradição
 
Conclusão: a equação não possui soluções inteiras positivas.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Wed, 2 Aug 2006 19:30:32 + (GMT)




Assunto:
[obm-l] Equacao
Sejam k ,n inteiros positivos com n>2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y).



Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt 

Re:[obm-l] eQuaCao

[claudio\.buffara]

 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART)




Assunto:
[obm-l] eQuaCao
> x^4 + x^3 -1 = 0
> se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo
> x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0
>  
>  
> alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..?
>  
>
Eu não. 
Mas com um monte de contas fica assim...
 
f(x) = x^4+x^3-1 ==> 
f'(x) = x^2(4x+3) ==>
f'(x) < 0 se x < -3/4  e  f'(x) > 0 se x > -3/4 e x <> 0.
f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 ==>
f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1.
As outras duas raízes são complexas conjugadas.
Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas.
Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2.
 
x^4+x^3-1 = 0 ==> x+1 = 1/x^3 u+1+iv = 1/(u+iv)^3   (i)u+1-iv = 1/(u-iv)^3   (ii) Multiplicando (i) e (ii):
(u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 ==>
k+2u+1 = 1/k^3 ==>u = (1-k^3-k^4)/(2k^3)   (iii)Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 ==>
2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 ==>
2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==>u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3   (iv)Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 ==>
2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 ==>
2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 ==>
-1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 ==>
-1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3    (v)
 
Substituindo (v) em (iv):
u+1 = -u(1+2/k^2) ==>
u = -k^2/(2(k^2+1))   (vi)
 
Igualando (iii) e (iv):
-k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) ==>
k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 ==>
k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0
De onde você tirou esse problema?
 
[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] eQuaCao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este problema e um classico. Ja vi ele numa das listas de preparacao que eu usava para a OBM, e ela ja chegou a cair na USAMO (a olimpiada estadunidense de matematica)Bem, outro modo de fazer e o seguinte:
x^4+x^3+0x^2+0x-1 = 0Se a,b,c,d sao as raizes, sabemos quea+b+c+d=-1ab+ac+ad+bc+bd+cd=0abc+abd+acd+bcd=0abcd= -1Agora, temos que calcular o polinomio cujas raizes sao ab,ac,ad,bc,bd,cd
Para tal, temops que calcular todas as somas, todos os produtos 2 a 2 somados,  todos os produtos 3 a 3 somados, ..., o produto de todos.Bem, vamos lá!ab+ac+ad+bc+bd+cd=0abac+abad+abbc+abbd+abcd
+acad+acbc+acbd+accd+adbc+adbd+adcd+bcbd+bccd+bdcd=
a^2bc+a^2bd+ab^2c+ab^2d+abcd

+a^2cd+abc^2+abcd+ac^2d

+abcd+abd^2+acd^2

+b^2cd+bc^2d

+bcd^2=


Em 23/10/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
 




De:
[EMAIL PROTECTED]





Para:
obm-l@mat.puc-rio.br





Cópia:





Data:
Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART)




Assunto:
[obm-l] eQuaCao
> x^4 + x^3 -1 = 0
> se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo
> x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0
>  
>  
> alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..?
>  
>
Eu não. 
Mas com um monte de contas fica assim...
 
f(x) = x^4+x^3-1 ==> 
f'(x) = x^2(4x+3) ==>
f'(x) < 0 se x < -3/4  e  f'(x) > 0 se x > -3/4 e x <> 0.
f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 ==>
f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1.
As outras duas raízes são complexas conjugadas.
Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas.
Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2.
 
x^4+x^3-1 = 0 ==> x+1 = 1/x^3 u+1+iv = 1/(u+iv)^3   (i)u+1-iv = 1/(u-iv)^3   (ii) Multiplicando (i) e (ii):
(u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 ==>
k+2u+1 = 1/k^3 ==>u = (1-k^3-k^4)/(2k^3)   (iii)Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 ==>
2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 ==>
2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==>u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3   (iv)Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 ==>
2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 ==>
2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 ==>
-1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 ==>
-1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3    (v)
 
Substituindo (v) em (iv):
u+1 = -u(1+2/k^2) ==>
u = -k^2/(2(k^2+1))   (vi)
 
Igualando (iii) e (iv):
-k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) ==>
k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 ==>
k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0
De onde você tirou esse problema?
 
[]s,
Claudio.

-- Ideas are bulletproof.V

[obm-l] Equacao parametrica

[Klaus Ferraz]

Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações paramétricas 
assim:
x(t) = e^t*cos t e y(t)  = e^t*sin t.

E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral?

Grato.


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/

[obm-l] equacao exponencial

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Pediram a minha ajuda no problema abaixo. 
Se sair truncado para alguns, o problema é: 

O número de pontos comuns aos gráficos das funções definidas por $y=e^x$ e $y= 
- \ln |x|$,  
$x\neq0$, é:
Como vocês sempre têm uns comentários espertos que me escapam, 
aguardo suas respostas. O email veio com a resposta, que cortei. 

Agora um pedido meu: gostaria de ter as respostas, não somente o número delas. 
Um Maple qualquer dá isso. Obrigado. 

Abs, 
Luís 

Caro Luis,
Gostaria de sua ajuda para a seguinte questão:
O número de pontos comuns aos gráficos das funções definidas por e , , é:

a) .
b) .
c) .
d) .
e) nenhuma das anteriores.
 RESPOSTA: 
??

[obm-l] Equacao funcional.

[Douglas Oliveira de Lima]

Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!

Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes
aos reais, determinar todas as funções f:R->R.

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] equacao diofantina

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,
O problema abaixo foi proposto numa lista.
[]'s
Luis
Does anybody can give a (perhaps partial) recursive solution to
the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b
a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39
Best regards
Nikolaos Dergiades
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EQUACAO

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Vou dar uma dica matadora:
sen^2(j)+cos^2(j)=1

Acho que mais que isso e praticamente resolver o
problema.
P.S.: DE onde voce tirou esse?


--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> Resolva a equacao:
>  
> (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1
> 
> __
> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo!
> Messenger 
> http://br.download.yahoo.com/messenger/ 






___ 
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. 
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EQUACAO

[saulo nilson]

(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1

1/x^2=y
y+y/(16-8raiz3+3)=1

y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3)
x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2

On 8/17/05, Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Resolva a equacao:
>  
> (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1
> 
> __
> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
> http://br.download.yahoo.com/messenger/

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EQUACAO

[Danilo Nascimento]

caiu num simulado q fizJohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Vou dar uma dica matadora:sen^2(j)+cos^2(j)=1Acho que mais que isso e praticamente resolver oproblema.P.S.: DE onde voce tirou esse?--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:> Resolva a equacao:> > (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1> > __> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo!> Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] EQUACAO

[Danilo Nascimento]

acho q o problema so admite solucao trigonometrica. Como Dirichlet mencionou. saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 11/x^2=yy+y/(16-8raiz3+3)=1y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3)x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2On 8/17/05, Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>wrote:> Resolva a equacao:> > (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1> > __> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!

Re: [obm-l] EQUACAO

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, este problema e no fundo uma equacao de quarto
grau, e o modo mais limpo de resolve-lo foi o que eu
mostrei.

> 1/x^2=y
> y+y/(16-8raiz3+3)=1

O que significam essas linhas? COnfesso que viajei na
maionese...

--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> acho q o problema so admite solucao trigonometrica.
> Como Dirichlet mencionou. 
> 
> saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1
> 
> 1/x^2=y
> y+y/(16-8raiz3+3)=1
> 
> y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3)
> x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2
> 
> On 8/17/05, Danilo Nascimento wrote:
> > Resolva a equacao:
> > 
> > (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1
> > 
> > __
> > Converse com seus amigos em tempo real com o
> Yahoo! Messenger 
> > http://br.download.yahoo.com/messenger/
> 
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
> 
> 
>   
> -
> Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.
> Instale o discador agora!






___ 
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. 
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EQUACAO

[Adroaldo Munhoz]

Como é uma equação de ordem 7, equivalente a x^7+x^3-1=0, existe, no 
mínimo, uma solução pertencente aos reais.

De fato, as raízes desta equação são:

0.747626 + 0.845386i
0.747626 - 0.845386i
-0.871735 + 0.578713i
-0.871735 - 0.578713i
-0.307464 + 0.858094i
-0.307464 - 0.858094i e
0.863146

Abraços,

Aldo

Danilo Nascimento wrote:


Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0
 
[]'s

 Danilo

__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
http://br.download.yahoo.com/messenger/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EQUACAO

[Maurizio]

Olá

Coincidentemente eu estava fazendo lista de cálculo para a faculdade e 
encontrei o mesmo problema.

Resolvi ele da seguinte forma:

seja f(x)=x^7+x^3-1
f'(x)=7x^6+3x^2
f'(x)=0
7x^6+3x^2=0

x=0 com multiplicidade 2, logo, não é um limite relativo e tampouco 
existe limite relativo na f(x), e como f(x) é contínua em R, a equação 
admite exatamente uma solução real.


Gostaria de saber se a justificativa é valida,

Obrigado
Maurizio

Adroaldo Munhoz escreveu:

Como é uma equação de ordem 7, equivalente a x^7+x^3-1=0, existe, no 
mínimo, uma solução pertencente aos reais.

De fato, as raízes desta equação são:

0.747626 + 0.845386i
0.747626 - 0.845386i
-0.871735 + 0.578713i
-0.871735 - 0.578713i
-0.307464 + 0.858094i
-0.307464 - 0.858094i e
0.863146

Abraços,

Aldo

Danilo Nascimento wrote:


Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0
 
[]'s

 Danilo

__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
http://br.download.yahoo.com/messenger/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EQUACAO

[Claudio Freitas]

x^3 - 1/(1 + x^4) = 0
x^3 = 1/(1 + x^4)
(x^3)*(1 + x^4) = 1   (1 + x^4) > 0, p/qualquer xER
x^3 + x^7 = 1
x^7 = 1 - x^3

f(x) = x^7
g(x) = 1 - x^3

f(0) = 0
g(0) = 1

f(1) = 1
g(1) = 0

Portanto em algum lugar entre 0 e 1, temos f(x) = g(x), e portanto, para 
esse x, teremos x^7 = 1 - x^3




[]s, Claudio Freitas


Danilo Nascimento escreveu:


Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0
 
[]'s

 Danilo

__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
http://br.download.yahoo.com/messenger/


Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra 
.
Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 15/09/2005 / Versão: 
4.4.00/4582

Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] EQUACAO

[alencar1980]

Seja f:[-1,1]->R
x |--> f(x) = x^3-1/(1+x^4)
 
Agora,
1) f é continua em [-1,1]
2) f(-1) =-1-1/2 = -3/2 <0
3) f(1) =1- 1/2 = 1/2>0
 
Portanto,
 
existe A em (-1,1) tal que f(A) = 0.
 
[]'s
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Thu, 15 Sep 2005 19:00:28 -0300 (ART) 
Assunto: [obm-l] EQUACAO 

> Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0 
> 
> []'s 
> Danilo 
> 
> __ 
> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
> http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Equacao

[Eduardo Wilner]

Ola Danilo

Parece que a) eh a proposta e b) a questao.

 Sendo assim, observa-se que x= multiplo de 2*pi
e solucao, independente ded m, pois cox=1  e senx=0.

 Assim a outra solucao, diferindo de pi/2 desta,
tem que ser tal que cosx=0 e senx=(+ ou -)1.

 A condicao com o sinal - leva a incompatilidade ,
portanto senx=1, e a equacao originalresume-se a
-(m+1)=m ou m=-(0,5).

[]s


--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> a)m cos x - (m+1) senx = m, m pertence a R
>  
> b) Determine m de modo que essa equacao admita
> raizes x' e x" cuja diferenca seja pi/2
>  
>  
> 
>   
> -
>  Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo!
> Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale
agora!









___ 
Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e 
muito mais. Instale agora! 
www.yahoo.com.br/messenger/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Equacao diferencial

[Tertuliano]

Ola a todos!
Alguem poderia me ajudar nesta?

Considere o seguinte problema de contorno:

[p(x)y']'-q(x)y = f(x)
y(0)=a, y(L)=b

a, b e L sao constantes, p(x)>0 e q(x)>=0. Mostre que
se o problema admite solucao entao ela eh unica.

Grato,

Tertuliano








___ 
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e 
concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] equacao

[claudio\.buffara]

Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.
 
A equação fica (z + w)k = dzw.
 
k não pode dividir z pois z = km ==>
(km + w)k = dkmw ==>
km + w = dmw ==>
w = m(dw - k) ==>
m divide w ==>
contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
 
Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
 
Logo, k divide d ==> 
d = kn ==>
(z + w)k = knzw ==>
z + w = nzw ==>
1/w + 1/z = n = inteiro positivo
 
Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
 
Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>
uma solução é (2k,2k).
 
Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
z = w = 2  e  d = k  ==>
de novo obtemos a solução (2k,2k).
  
Logo, a única solução é (2k,2k).
 
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)




Assunto:
[obm-l] equacao
> Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo


Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!

Re:[obm-l] equacao

[Sergio Lima Netto]

Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
e' possivel tambem outras solucoes:

zk - zw = -wk
=> z = -wk/(k-w)
Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)

Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)

Abraco,
sergio

On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:

> Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.
> 
> A equação fica (z + w)k = dzw.
> 
> k não pode dividir z pois z = km ==>
> (km + w)k = dkmw ==>
> km + w = dmw ==>
> w = m(dw - k) ==>
> m divide w ==>
> contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
> 
> Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
> 
> Logo, k divide d ==>
> d = kn ==>
> (z + w)k = knzw ==>
> z + w = nzw ==>
> 1/w + 1/z = n = inteiro positivo
> 
> Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
> 
> Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>
> uma solução é (2k,2k).
> 
> Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
> z = w = 2  e  d = k  ==>
> de novo obtemos a solução (2k,2k).
> 
> Logo, a única solução é (2k,2k).
> 
> 
> De:[EMAIL PROTECTED]
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)
> 
> Assunto:[obm-l] equacao
> 
> > Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e 
> > k um numero primo
> 
> 
> Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
> acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
> 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] equacao

[Marcio Cohen]

  Duas soluções para essa questão, bem como as 
soluções de todas as questões da prova de matemática do IME desse ano podem ser 
encontradas por exemplo no site do Ponto de Ensino (onde eu 
trabalho):
  www.pensi.com.br
 
 Uma solução possível é: Como k eh primo, xy 
multiplo de k => x ou y multiplo de k.
 Se x=ak, a inteiro, temos substituindo na 
equacao que y=ak/(a-1). Como y eh inteiro e mdc(a,a-1)=1, deve-se ter a-1 
dividindo k. Sendo k primo, isso dá a-1 em {-k,-1,k,1} que dá a em {1-k, 0, 1+k, 
2} e substituindo em x=ak e y=ak/(a-1) vc acha 4 soluções. Trocando x com y 
(i.e, fazendo y=ak) vc acha mais duas.
 
   É interessante notar que essa questão 
já tinha aparecido antes na olimpíada de matemática do Estado do Rio de Janeiro 
de 1998 (por acaso foi uma prova que eu fiz como aluno, por isso lembrei 
:)).
   
   Abraços,
   Marcio

  - Original Message - 
  From: 
  Danilo Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, October 26, 2005 9:28 
  AM
  Subject: [obm-l] equacao
  
  Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros 
  positivos e k um numero primo
  
  
  Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e 
  concorre a mais de 500 prêmios! Participe!

Re:[obm-l] equacao

[claudio\.buffara]

Eu supuz que k é um primo fixo dado.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST)




Assunto:
Re:[obm-l] equacao
> 
> Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
> e' possivel tambem outras solucoes:
> 
> zk - zw = -wk
> => z = -wk/(k-w)
> Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)
> 
> Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)
> 
> Abraco,
> sergio
> 
> On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:
> 
> > Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.
> > 
> > A equação fica (z + w)k = dzw.
> > 
> > k não pode dividir z pois z = km ==>
> > (km + w)k = dkmw ==>
> > km + w = dmw ==>
> > w = m(dw - k) ==>
> > m divide w ==>
> > contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
> > 
> > Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
> > 
> > Logo, k divide d ==>
> > d = kn ==>
> > (z + w)k = knzw ==>
> > z + w = nzw ==>
> > 1/w + 1/z = n = inteiro positivo
> > 
> > Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
> > 
> > Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>
> > uma solução é (2k,2k).
> > 
> > Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
> > z = w = 2 e d = k ==>
> > de novo obtemos a solução (2k,2k).
> > 
> > Logo, a única solução é (2k,2k).
> > 
> > 
> > De:[EMAIL PROTECTED]
> > 
> > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > 
> > Cópia:
> > 
> > Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)
> > 
> > Assunto:[obm-l] equacao
> > 
> > > Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo
> > 
> > 
> > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
> > acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
> > 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 

Re: [obm-l] equacao

[Akira Kaneda]

--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> 3^x=4x como resolvo.
Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da
pra resolver ... .








___ 
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
http://yahoo.fbiz.com.br/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] equacao

[Artur Costa Steiner]

Eu nao sei como resolver isto analiticamente por meio de funcoes
elementares. Mas se definirmos f(x)= 3^x - 4x para x em R, entao f'(x) =
(3^x)*(ln(3) - 4 e f''(x) = (3^x)*(ln(3)^2, de modo que f'' eh estritamente
positiva e f, portanto, eh convexa em R. f' se anula apenas em x* =
(ln(4/ln(3)))/(ln(3)) =~ 1,176253485, o qual eh o ponto de minimo global de
f em R. Neste ponto, f(x*) =~ -1,064057035 < 0. Considerando que f eh
continua, que f(x) -> oo quando x -> oo ou - oo e que soh hah um ponto de
minimo relativo, segue-se que f tem 2 raizes, uma menor e outra maior que
x*. 

Artur


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Akira Kaneda
Enviada em: segunda-feira, 31 de outubro de 2005 05:57
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] equacao



--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> 3^x=4x como resolvo.
Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da
pra resolver ... .








___ 
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
http://yahoo.fbiz.com.br/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] equacao

[Artur Costa Steiner]

Se vc souber como, me ensine. Eu nao sei. E nao eh brincadeira nao.
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Akira Kaneda
Enviada em: segunda-feira, 31 de outubro de 2005 05:57
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] equacao



--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> 3^x=4x como resolvo.
Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da
pra resolver ... .








___ 
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
http://yahoo.fbiz.com.br/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] equacao

[Marcelo Salhab Brogliato]

Eu acho que o único jeito é aproximando raizes por polinomio de taylor. Mas 
desconheco qualquer outro modo de resolver.

Alias, já ouvi falar que esse tipo de equação, assim como:
sen(x) + x = a, e^x + x + ln(x) = 2, e equações desses tipos, não possuem 
solução algébrica.


Um abraço,
Marcelo
- Original Message - 
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Monday, October 31, 2005 4:34 PM
Subject: RES: [obm-l] equacao


Se vc souber como, me ensine. Eu nao sei. E nao eh brincadeira nao.
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Akira Kaneda
Enviada em: segunda-feira, 31 de outubro de 2005 05:57
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] equacao



--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

3^x=4x como resolvo.

Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da
pra resolver ... .








___
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
http://yahoo.fbiz.com.br/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Equacao trigonometrica

[Igor O.A.]

Como resolvo 
 
cos(x) . cos(5x) . cos(7x) = [sqrt(3)]/3 (tangente de 30º) ???
 
Obrigado.-- I G O RJesus ama você. 

Re: [obm-l] equacao

[saulo nilson]

(a+b)^2 = a^2+b^2 +2ab
 
vc vai encontrar aplicaçoes para esta relaçao em muitos tipos de exercicios para o resto da sua vida, desde integrais, a exercicios de fisica, a trigonometria, a fisica, muita coisa mesmo. 
On 2/5/06, elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
olá pessoal, alguem conhece a relação que se segue?numa equação: a^2 + b^2 = S (soma) + 2* P (produto).
se alguem conhece, me diga como usa-la.___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
http://br.yahoo.com/homepageset.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] equacao trigonometrica

[Guilherme Teles]

Pessoal, to me batendo todo com esta 
aqui.
 
1) sen 2x - 4senx = 0, para  0 

Re: [obm-l] Equacao!!

[Artur Costa Steiner]

Ah! O grande Morgado com a sua didatica que faz tudo parecer simples! Agora
que vc explicou, parece trivial que o polinomio nao possui raizes
racionais. As raizes complexas nao reais do polinomio sao  -0.244206191
+ 5.223119427 i e -0.244206191 - 5.223119427 i..
PS. Alguem tem interesse em uma macro do Excel que calcula polinomios
complexos (coeficientes e argumento complexos)? O Excel tem funcoes
embutidas que trabalham com complexos, mas nao sao muito praticas. Se alguem
tiver interesse, mande um email para mim.Artur


OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao!!

[Daniel Melo Wanzeller]

Eu gostaria de receber esta macro
 

  - Original Message - 
  From: 
  Artur Costa 
  Steiner 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, October 31, 2003 12:09 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Equacao!!
  Ah! O grande Morgado com a sua didatica que faz tudo parecer 
  simples! Agora que vc explicou, parece trivial que o polinomio nao possui 
  raizes racionais. As raizes complexas nao reais do polinomio sao  
  -0.244206191 + 5.223119427 i e -0.244206191 - 
  5.223119427 i.. PS. Alguem tem interesse em uma macro do Excel que calcula 
  polinomios complexos (coeficientes e argumento complexos)? O Excel tem funcoes 
  embutidas que trabalham com complexos, mas nao sao muito praticas. Se alguem 
  tiver interesse, mande um email para 
  mim.ArturOPEN 
  Internet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ 
  = 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  =

Re: [obm-l] equacao

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

[Sunday 01 February 2004 16:28: <[EMAIL PROTECTED]>]
> E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia.
> Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma questão q é
> interessante.no começo achava q seria facil resolver mas so consigui achar
> duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão é a seguinte:
> Resolva a equação
> x^3 - 3x = sqrt(x+2)
> [...]

Seja y = x-2. Então

(y-2)^3 - 3(y-2) = sqrt(y).

Tome t = sqrt(y), t >= 0. Então t^2 = y e

(t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t <=>
t^6 - 6t^4 + 9t^2 - t - 2 = 0. Obviamente t = 2 é raiz. Logo
(t - 2)(t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1) = 0. Como o polinômio de quinto grau 
não tem raízes racionais, se ele for redutível, ele deve ser o produto de um 
polinômio de terceiro grau por um de segundo grau. Logo queremos resolver a 
identidade

t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1 = (t^2 + At + B)(t^3 + Ct^2 + Dt + E). 
Expandindo, uma das equações exige que BE = 1, logo, se B e E forem inteiros, 
então B = E = 1 ou B = E = -1. O primeiro caso não tem soluções inteiras, o 
segundo admite (a, c, d) = (1, 1, -2). Logo
(t - 2)(t^2 + t - 1)(t^3 + t^2 - 2t - 1) = 0.

É trivialmente fácil achar as raízes positivas dos dois primeiros fatores 
(lembre que estamos sob a restrição t >= 0). Se P(x) = t^3 + t^2 - 2t - 1, 
como P(-2) = -1, P(-1) = 1, P(0) = -1, P(1) = -1, P(2) = 7, P tem três raízes 
reais a < b < c, com -2 < a < -1, -1 < b < 0 e 1 < c < 2. c é obviamente a 
única raiz positiva.

Então as únicas raízes positivas em t são 2, (sqrt(5)-1)/2 e c. Então os 
possíveis valores de y são 4, (3-sqrt(5))/2 e c^2.

Logo as soluções da equação original são 2, -(1+sqrt(5))/2 e c^2-2, onde c é a 
raiz positiva de c^3 + c^2 - 2c - 1 = 0.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)

iD8DBQFAHXobalOQFrvzGQoRAmiDAKCcDIF79utiXTEj6EURI9/aCU/uSgCgy0NG
JDJNCFywc3/5/ipdhVhtnAw=
=uzet
-END PGP SIGNATURE-


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] equacao

[Rafael]

Caro Gabriel,
 
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, toda 
equação algébrica, de grau estritamente positivo, admite no campo complexo pelo 
menos uma raiz. Uma equação cúbica, como x^3 - 3x = sqrt(x+2), possui três 
raízes, considerando o campo complexo. Para esta equação, em especial, 
teremos uma raiz real positiva e duas raízes reais 
negativas.
 
x^3 - 3x = sqrt(x+2) => x^6 - 6x^4 + 
9x^2 - x - 2 = 0
 
Pelo teorema das raízes racionais, temos as 
seguintes possibilidades: +1, -1, +2, -2.
Por verificação, 2 é raiz. Verificando na 
equação inicial, também é raiz. 
 
Pelo teorema da decomposição, 
 
x^6 - 6x^4 + 9x^2 - x - 2 = 0 <=> (x 
- 2)(x^5 + 2x^4 - 2x^3 - 4x^2 + x + 1) = 0 <=>
<=> (x - 2)(x^2 + x - 1)(x^3 + x^2 - 
2x - 1) = 0 <=>
<=> x = 2   ou   
x^2 + x - 1 = 0   ou  x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
 
x^2 + x - 1 = 0 <=> x = 
[-1+sqrt(5)]/2  ou  x = [-1-sqrt(5)]/2
 
Verificando tais raízes na equação 
original, temos que x = [-1-sqrt(5)]/2 é raiz.
 
x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 pode ser 
resolvida por Tartaglia, por exemplo. E, ao meu ver, o que é a parte mais 
trabalhosa da questão. Mostrarei duas formas.
 
Fazendo x = z - 1/3 e definindo p e q para reduzirmos a equação cúbica 
completa a uma reduzida da forma z^3 + pz = q, temos:
 
p = - 2 - 1^2/3 = - 2 - 1/3 = - 
7/3
q = 1*(-2)/3 - 2*1^3/27 - (-1) = - 2/3 - 
2/27 + 1 = 7/27
 
E, agora, avaliam-se quais serão as raízes 
por Q, R e D:
 
Q = 1/3*p = - 7/9
R = 1/2*q = 7/54
D = Q^3 + R^2 = - 343/729 + 
49/2916 < 0
 
Por D < 0, sabemos que há três raízes 
reais e distintas.
 
As três raízes podem ser obtidas 
por:
 
t = arccos(R/sqrt(-R^3))
x_1 = 2*sqrt(-Q)*cos(t/3)-1/3
x_2 = 
2*sqrt(-Q)*cos((t+2*pi)/3)-1/3
x_3 = 
2*sqrt(-Q)*cos((t+4*pi)/3)-1/3 
 
 
Por Tartaglia, uma raiz da equação reduzida 
z^3 - 7/3*z = 7/27 é
 
z = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3) + 
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)
 
ou ainda, x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + 
(p/3)^3) + cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3) - 1/3
 
 
Uma pergunta razoável: qual é o mais 
indicado? Difícil dizer, pois ambos são trabalhosos. A primeira forma, no 
entanto, com o auxílio de uma calculadora científica, é mais conveniente. Pelo 
que calculei, as raízes aproximadas são 1,24697960372, -1,80193773580 e 
-0,44504186791. Verificando na equação inicial, -0,44504186791 é 
raiz.
 
 
Logo, o conjunto-verdade da equação inicial 
é V = {[-1-sqrt(5)]/2 ; -0,44504186791 ; 2}.
 
Ufa!!
 
 
Abraços,
 
Rafael de A. Sampaio 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  gabriel 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, February 01, 2004 4:28 
  PM
  Subject: [obm-l] equacao
  
  E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao 
  escrivia.
  Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e 
  achei uma questão q é interessante.no começo achava q seria facil 
  resolver mas so consigui achar duas soluções e pelo q vi ela tem tres 
  soluções..A questão é a seguinte:
  Resolva a equação
  x^3 - 3x = sqrt(x+2)
  Agradeço desde ja qualquer ajuda,
  Gabriel 
Guedes.

[obm-l] Equacao polinomial

[Claudio Buffara]

Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
populares da lista, aqui vai um:

Determine as raizes de:
x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas
elas sao reais e positivas.

Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: Equacao em inteiros

[[EMAIL PROTECTED]]

Bom na verdade nos dois erramos, cada um num detalhe bobo. Eu refiz e 
 a resposta correta parece ser na verdade n=17 ou n=18.

usando o seu raciocinio, temos por exemplo para n=6, que k=3 e a resposta
 eh 1 que eh diferente de 1+2=3 (pois x+2y+2z=6 da somente a solucao (2,1,1).).
O
 problema eh que quando n eh par, nao se pode considerar a solucao 2(k)
 + 0 pq o problema pede as solucoes inteiras positivas. logo nesse caso
 devemos parar em 2(k-1)+2 e a conta da 1+2+...+(k-2).

Pelo meu raciocinio, o erro esta na hora em que concluo brilhantemente
 que se (n/2 - 1)(n/2 - 2)/2 = 28 entao n = 16.. na verdade, da n=18 e
 nao 16 pq (9-1)(8-1)/2 = 28 (i.e., n'=9).
o resto se prcede da mesma maneira e resulta no n=17.

abracos,
Marcio

Re: Algoritmo de equacao

[Jose Paulo Carneiro]

Isto eh o metodo conhecido como de Cardano (embora 
a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro impresso de 
Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro Resolucao de Equacoes 
Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
So alguns detalhes:
 
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
 
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz "encontramos 
raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? Se for nos 
complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes cubicas se escolherah. 
Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar "raizes estranhas". Se voce so 
aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver equacoes simples, que so 
tem raizes reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6 
por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da equacao 
acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1 (isto eh, 
qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
 
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez achado 
x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. Chamando u = - 
p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que w^2=1/w = 
conjugado de w)
 
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; x3= 
w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) foram 
responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" na resolucao 
de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), que explica 
quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", em termos das 
propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas raizes.
 
JP

  - Original Message - 
  From: 
  Alexandre F. Terezan 
  To: OBM 
  Sent: Thursday, April 12, 2001 11:55 
  AM
  Subject: Algoritmo de equacao
  
  Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já existia) 
  um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do tipo:
   
  ax^3 + bx + c = 0
   
  Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3
   
  1) Dividimos a equacao por a :   x^3 + px + q = 
  0
  2) Montamos uma nova equacao em y tal que:   
  y^2 - qy - (p^3)/27 = 0
  3) Encontramos as raízes y1 e y2 
  da equacao acima
  4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de 
  k1
  5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de 
  k2
  6) Temos: x1 = k1 + k2
  7) Dividimos  (x^3 + px + q)/(x - x1), encontrando: x^2 
  + (x1)x + p + (x1)^2
  8) As raízes desta equacao sao x2 e x3
  9) x2 = (-x1 + sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
  10) x3 = (-x1 - sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
   
  Posso ter vacilado em alguma conta, por favor 
  avisem...
   
  []'s
   
  Alexandre Terezan

Re: Algoritmo de equacao

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,
 
Somente duas observações:
 
1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. O 
algoritmo resolve equações do tipo
a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro passo é 
transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 através 
de uma mudança de variáveis.
 
2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. grau. 
E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
O livro do JP deve falar disso.
 
[ ]'s
Lu'is

  -Mensagem Original- 
  De: Jose Paulo 
  Carneiro 
  Para: [EMAIL PROTECTED] 
  Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril de 
  2001 14:32
  Assunto: Re: Algoritmo de equacao
  
  Isto eh o metodo conhecido como de Cardano 
  (embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro 
  impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro Resolucao 
  de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
  So alguns detalhes:
   
  a) No passo 2, eh q, e nao -q.
   
  b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz "encontramos 
  raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? Se for nos 
  complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes cubicas se 
  escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar "raizes 
  estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver 
  equacoes simples, que so tem raizes reais.
  O melhor eh substituir os passos 3 a 6 
  por:
  3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da equacao 
  acima.
  4) Encontre uma raiz cubica z de y1 (isto 
  eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
  5) Temos x1=z-p/(3z)
   
  c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez 
  achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. Chamando u 
  = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que 
  w^2=1/w = conjugado de w)
   
  d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; x3= 
  w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) foram 
  responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" na 
  resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), 
  que explica quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", em termos 
  das propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas raizes.
   
  JP
  
- Original Message - 
From: 
Alexandre F. Terezan 
To: OBM 
Sent: Thursday, April 12, 2001 11:55 
AM
Subject: Algoritmo de equacao

Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já 
existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do 
tipo:
 
    ax^3 + bx + c = 0
 
Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3
 
    1) Dividimos a equacao por a :   x^3 + px + q = 
0
2) Montamos uma nova equacao em y tal que:   
y^2 - qy - (p^3)/27 = 0
3) Encontramos as raízes y1 e y2 
da equacao acima
4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de 
k1
5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de 
k2
6) Temos: x1 = k1 + k2
7) Dividimos  (x^3 + px + q)/(x - x1), encontrando: 
x^2 + (x1)x + p + (x1)^2
8) As raízes desta equacao sao x2 e x3
9) x2 = (-x1 + sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
10) x3 = (-x1 - 
sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
 
Posso ter vacilado em alguma conta, por favor 
avisem...
 
[]'s
 
Alexandre 
Terezan

Re: Algoritmo de equacao

[Jose Paulo Carneiro]

Quero acrescentar o seguinte:
1) De qualquer forma, se o Alexandre redescobriu 
sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio, 
descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver "por meio de 
radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. Isto estah em algum numero 
da Revista do Professor de Matematica.
3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas 
superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de 
Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do Gugu.
4) Fique claro que a resolucao por meio de radicais 
tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh usar metodos 
numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu livro, sem usar 
"Calculo").
JP
 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Luis 
  Lopes 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35 
  PM
  Subject: Re: Algoritmo de equacao
  
  Sauda,c~oes,
   
  Somente duas observações:
   
  1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. O 
  algoritmo resolve equações do tipo
  a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro passo é 
  transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 
  através de uma mudança de 
  variáveis.
   
  2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. 
  grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
  O livro do JP deve falar disso.
   
  [ ]'s
  Lu'is
  
-Mensagem Original- 
De: 
Jose Paulo 
Carneiro 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril 
de 2001 14:32
Assunto: Re: Algoritmo de equacao

Isto eh o metodo conhecido como de Cardano 
(embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro 
impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro 
Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
So alguns detalhes:
 
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
 
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz 
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? Se 
for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes cubicas se 
escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar "raizes 
estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver 
equacoes simples, que so tem raizes reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6 
por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da 
equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1 (isto 
eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
 
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez 
achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. Chamando 
u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que 
w^2=1/w = conjugado de w)
 
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; x3= 
w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) foram 
responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" na 
resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois 
(1830), que explica quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", 
em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas 
raizes.
 
JP

  - Original Message - 
  From: 
  Alexandre F. Terezan 
  To: OBM 
  
  Sent: Thursday, April 12, 2001 11:55 
  AM
  Subject: Algoritmo de equacao
  
  Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já 
  existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do 
  tipo:
   
  ax^3 + bx + c = 0
   
  Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3
   
  1) Dividimos a equacao por a :   x^3 + px + q 
  = 0
  2) Montamos uma nova equacao em y tal que:   
  y^2 - qy - (p^3)/27 = 0
  3) Encontramos as raízes y1 e 
  y2 da equacao acima
  4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de 
  k1
  5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de 
  k2
  6) Temos: x1 = k1 + k2
  7) Dividimos  (x^3 + px + q)/(x - x1), encontrando: 
  x^2 + (x1)x + p + (x1)^2
  8) As raízes desta equacao sao x2 e x3
  9) x2 = (-x1 + sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
  10) x3 = (-x1 - 
  sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
   
  Posso ter vacilado em alguma conta, por favor 
  avisem...
   
  []'s
   
  Alexandre 
Terezan

Re: Algoritmo de equacao

[Alexandre F. Terezan]

Vindo do senhor, sinto-me muito grato pelo 
elogio.
 
Aliás, a história da minha "descoberta" é muito 
simples.
 
Vem do seguinte (e fácil) probleminha:
 
    Sejam x1 e x2 as raízes da 
equacao  x^2 + bx + c = 0. Sejam (x1)^3 e (x2)^3 as raízes da equacao x^2 + 
px + q = 0. Encontre p e q em funcao de b e c.
 
Como resposta temos: q = c^3 ; p = b^3 - 
3bc
 
Rearrumando a segunda equacao, vem:  b^3 - 3bc - 
p = 0
 
Meu algoritmo nada mais é do que arrumar uma equacao de 
terceiro grau de forma que ela possa ser resolvida pela equacao de terceiro 
grau:
 
 b^3 - 3bc - p = 0 , onde eu quero 
encontrar b, que corresponde ao oposto da soma das raízes cúbicas da 
equacao:
 
 x^2 + px + q = 0 , onde q = c^3.
 
Espero ter sido claro...
 
[ ]'s
 
Alexandre Terezan
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Jose Paulo 
  Carneiro 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sexta-feira, 13 de Abril de 2001 
  04:50
  Subject: Re: Algoritmo de equacao
  
  Quero acrescentar o seguinte:
  1) De qualquer forma, se o Alexandre redescobriu 
  sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
  2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio, 
  descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver "por meio 
  de radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. Isto estah em algum 
  numero da Revista do Professor de Matematica.
  3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas 
  superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de 
  Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do Gugu.
  4) Fique claro que a resolucao por meio de 
  radicais tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh 
  usar metodos numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu 
  livro, sem usar "Calculo").
  JP
   
   
   
  - Original Message - 
  
From: 
Luis 
Lopes 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35 
    PM
    Subject: Re: Algoritmo de equacao

Sauda,c~oes,
 
Somente duas observações:
 
1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. O 
algoritmo resolve equações do tipo
a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro passo 
é transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 
através de uma mudança de 
variáveis.
 
2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. 
grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
O livro do JP deve falar disso.
 
[ ]'s
Lu'is

  -Mensagem Original- 
  De: 
  Jose Paulo 
  Carneiro 
  Para: [EMAIL PROTECTED] 
  Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril 
  de 2001 14:32
  Assunto: Re: Algoritmo de 
  equacao
  
  Isto eh o metodo conhecido como de Cardano 
  (embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro 
  impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro 
  Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
  So alguns detalhes:
   
  a) No passo 2, eh q, e nao -q.
   
  b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz 
  "encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? 
  Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes 
  cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar 
  "raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao 
  conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes 
  reais.
  O melhor eh substituir os passos 3 a 6 
  por:
  3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da 
  equacao acima.
  4) Encontre uma raiz cubica z de y1 
  (isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
  5) Temos x1=z-p/(3z)
   
  c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez 
  achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. 
  Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. 
  (Observe que w^2=1/w = conjugado de w)
   
  d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; 
  x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) 
  foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" 
  na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois 
  (1830), que explica quando uma equacao pode ser resolvida por uma 
  "formula", em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas 
  raizes.
   
  JP
  
- Original Message - 
From: 
Alexandre F. Terezan 
To: OBM 

Sent: Thursday, April 12, 2001 
11:55 AM
Subject: Algoritmo de equacao

Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já 
existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do 
tipo:
     
   

Re: Algoritmo de equacao

[josimat]

Um fato interessante eh que o uso de letras para 
indicar um numero desconhecido em algebra soh surgiu em 1591, com um advogado 
que estudava matematica nas horas vagas, François Viète 
(1540-1603). Antes disso, havia uma especie de receita (ditado de procedimentos: some isso, multiplique por isso...) 
em vez de 
uma formula.
Nota: Girolano Cardano 
(1501-1576)
[]s, JOSIMAR

-Mensagem original-De: 
Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]>Para: 
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: 
Sexta-feira, 13 de Abril de 2001 05:15Assunto: Re: Algoritmo 
    de equacao
Quero acrescentar o seguinte:
1) De qualquer forma, se o Alexandre 
redescobriu sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio, 
descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver 
"por meio de radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. 
Isto estah em algum numero da Revista do Professor de 
Matematica.
3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas 
superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de 
Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do 
Gugu.
4) Fique claro que a resolucao por meio de 
radicais tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh 
usar metodos numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu 
livro, sem usar "Calculo").
JP
 
 
 
- Original Message - 

From: 
Luis 
Lopes 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35 
PM
Subject: Re: Algoritmo de 
equacao

Sauda,c~oes,
 
Somente duas observações:
 
1) as equações do 3o. grau não 
precisam ser incompletas. O algoritmo resolve equações do 
tipo
a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o 
primeiro passo é transformá-la na equação 
ax^3 + bx + c = 0 através de uma 
mudança de 
variáveis.
 
2) há também um algoritmo para resolver 
equações do 4o. grau. E um dos passos é resolver 
uma equação do 3o. grau.
O livro do JP deve falar disso.
 
[ ]'s
Lu'is

-Mensagem Original- 
De: 
Jose 
Paulo Carneiro 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: Quinta-feira, 12 de 
Abril de 2001 14:32
    Assunto: Re: Algoritmo de 
equacao

Isto eh o metodo conhecido como de 
Cardano (embora a ideia original nao seja dele), e publicado no 
primeiro livro impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). 
Veja o meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. 
Santa Ursula.
So alguns detalhes:
 
a) No passo 2, eh q, e nao 
-q.
 
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz 
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos 
reais ou complexos? Se for nos complexos, seria necessario 
esclarecer qual das 3 raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar 
problema no passo 6, e voce achar "raizes estranhas". Se 
voce so aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver 
equacoes simples, que so tem raizes reais.
O melhor eh substituir os passos 3 
a 6 por:
    3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) 
da equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de 
y1 (isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
 
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma 
vez achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas 
diretamente. Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= 
wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que w^2=1/w = conjugado de 
w)
 
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= 
wz+w^2u; x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao 
as raizes cubicas de 1) foram responsaveis, historicamente, pela 
introducao do tema "permutacoes" na resolucao de equacoes 
algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), que explica 
quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", 
em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das 
suas raizes.
 
JP

- Original Message - 

From: 
Alexandre F. Terezan 
To: OBM 
Sent: Thursday, April 12, 
2001 11:55 AM

Re: Algoritmo de equacao

[Jose Paulo Carneiro]

Foi mais ou menos esta a ideia do Gugu. Ele estava 
pesquisando como expressar a soma das raizes cubicas de uma eq. do segundo grau 
em termos dos coeficientes.
JP

  - Original Message - 
  From: 
  Alexandre F. Terezan 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, April 13, 2001 8:46 
AM
  Subject: Re: Algoritmo de equacao
  
  Vindo do senhor, sinto-me muito grato pelo 
  elogio.
   
  Aliás, a história da minha "descoberta" é muito 
  simples.
   
  Vem do seguinte (e fácil) probleminha:
   
      Sejam x1 e x2 as raízes da 
  equacao  x^2 + bx + c = 0. Sejam (x1)^3 e (x2)^3 as raízes da equacao x^2 
  + px + q = 0. Encontre p e q em funcao de b e c.
   
  Como resposta temos: q = c^3 ; p = b^3 - 
  3bc
   
  Rearrumando a segunda equacao, vem:  b^3 - 3bc 
  - p = 0
   
  Meu algoritmo nada mais é do que arrumar uma equacao de 
  terceiro grau de forma que ela possa ser resolvida pela equacao de terceiro 
  grau:
   
   b^3 - 3bc - p = 0 , onde eu quero 
  encontrar b, que corresponde ao oposto da soma das raízes cúbicas da 
  equacao:
   
   x^2 + px + q = 0 , onde q = c^3.
   
  Espero ter sido claro...
   
  [ ]'s
   
  Alexandre Terezan
   
   
  - Original Message - 
  
From: 
Jose Paulo 
Carneiro 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sexta-feira, 13 de Abril de 2001 
04:50
Subject: Re: Algoritmo de equacao

Quero acrescentar o seguinte:
1) De qualquer forma, se o Alexandre 
redescobriu sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio, 
descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver "por 
meio de radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. Isto estah em 
algum numero da Revista do Professor de Matematica.
3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas 
superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de 
Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do 
Gugu.
4) Fique claro que a resolucao por meio de 
radicais tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh 
usar metodos numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu 
livro, sem usar "Calculo").
JP
 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Luis 
  Lopes 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35 
  PM
  Subject: Re: Algoritmo de 
  equacao
  
  Sauda,c~oes,
   
  Somente duas observações:
   
  1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. 
  O algoritmo resolve equações do tipo
  a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro 
  passo é transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 
  através de uma mudança de 
  variáveis.
   
  2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. 
  grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
  O livro do JP deve falar disso.
   
  [ ]'s
  Lu'is
  
-Mensagem Original- 
De: 
Jose Paulo 
Carneiro 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: Quinta-feira, 12 de 
Abril de 2001 14:32
    Assunto: Re: Algoritmo de 
equacao

Isto eh o metodo conhecido como de Cardano 
(embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro 
impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro 
Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa 
Ursula.
So alguns detalhes:
 
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
 
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz 
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou 
complexos? Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 
raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce 
achar "raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao 
conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes 
reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6 
    por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da 
equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1 
(isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
 
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez 
achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. 
Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. 
(Observe que w^2=1/w = conjugado de w)
 
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; 
x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) 
foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema 
"permutacoes" na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na 
Teoria

Re: Algoritmo de equacao

[Jose Paulo Carneiro]

Eh verdade. Viete antecipava Fermat, outro frances, 
bacharel em direito, enfronhado na corte, e matematico nas horas vagas (que eram 
muitas).
Uma coisa interessante eh que nos, aqui nesta 
lista, estamos repetindo esta historia do "some isto, mulitplique aquilo, ...", 
por falta ainda de um protocolo unico para sinais matematicos no ambiente de 
correio eletronico. Alias, eu acho isto muito simpatico. Melhor do que as 
convencoes "texianas" apregoadas pelo meu grande amigo Luiz Lopes.
JP

  - Original Message - 
  From: 
  josimat 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, April 12, 2001 11:25 
  AM
  Subject: Re: Algoritmo de equacao
  
  Um fato interessante eh que o uso de letras 
  para indicar um numero desconhecido em algebra soh surgiu em 1591, com um 
  advogado que estudava matematica nas horas vagas, François Viète (1540-1603). 
  Antes disso, havia uma especie de receita (ditado de procedimentos: some isso, multiplique por isso...) 
  em vez de 
  uma formula.
  Nota: Girolano Cardano 
  (1501-1576)
  []s, JOSIMAR
  
-Mensagem original-De: 
Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]>Para: 
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: 
Sexta-feira, 13 de Abril de 2001 05:15Assunto: Re: Algoritmo 
de equacao
Quero acrescentar o seguinte:
1) De qualquer forma, se o Alexandre 
redescobriu sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio, 
descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver "por 
meio de radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. Isto estah em 
algum numero da Revista do Professor de Matematica.
3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas 
superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de 
Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do 
Gugu.
4) Fique claro que a resolucao por meio de 
radicais tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh 
usar metodos numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu 
livro, sem usar "Calculo").
JP
 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Luis 
  Lopes 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35 
      PM
  Subject: Re: Algoritmo de 
  equacao
  
  Sauda,c~oes,
   
  Somente duas observações:
   
  1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. 
  O algoritmo resolve equações do tipo
  a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro 
  passo é transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 
  através de uma mudança de 
  variáveis.
   
  2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. 
  grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
  O livro do JP deve falar disso.
   
  [ ]'s
  Lu'is
  
-Mensagem Original- 
De: 
Jose Paulo 
Carneiro 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: Quinta-feira, 12 de 
Abril de 2001 14:32
Assunto: Re: Algoritmo de 
equacao

Isto eh o metodo conhecido como de Cardano 
(embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro 
impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro 
Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa 
Ursula.
So alguns detalhes:
 
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
 
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz 
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou 
complexos? Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 
raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce 
achar "raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao 
conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes 
reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6 
por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da 
equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1 
(isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
 
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez 
achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. 
Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. 
(Observe que w^2=1/w = conjugado de w)
 
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; 
x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) 
foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema 
"permutacoes" na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na 
Teoria de Galois (1830), que explica quando uma equacao pode ser 
resolv

[obm-l] [1/2 OFF - Não Olímpico] Equacao E xponencial e Equacao Trigonometrica

[Daniel S. Braz]

Pessoal,

Alguem pode, por favor, me ajudar nessas aqui...??

A primeira eu resolvi..mas não tenho certeza se está certa..e a
segunda eu não consegui encontra uma solução...

1) e^4x - e^2x - e^2(x+1) + e^2 = 0

(e^2x)^2 - (e^x)^2 - (e^(x+1))^2 + e^2 = 0
[(e^2x)^2 - (e^(x+1))^2] + [e^2 - (e^x)^2] = 0
(e^2x + e^(x+1))(e^2x - e^(x+1)) + (e + e^x)(e - e^x) = 0
(e^2x + e*e^x)(e^2x - e*e^x) + (e + e^x)(e - e^x) = 0
(e^x)(e^x + e)(e^x)(e^x - e) + (e + e^x)(e - e^x) = 0
(e^2x)[(e^x + e)(e^x - e)] + [(e + e^x)(e - e^x)] = 0
(e^x + e)(e^x - e)[(e^2x) + 1] = 0
x=1

2) [(1-cos(x)^4)/(1-sen(x)^4)]*[(1+cotg(x)^2)/(1+tg(x)^2)] = 2/3

-- 
"Os pontos não têm partes nem dimensões. Como podem combinar-se para
formar uma reta?" (J. A. Lindon)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] equacao funcional

[Anselmo Alves de Sousa]

 
 
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO


Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] equacao 
funcionalTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 
_
Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger!
http://www.amigosdomessenger.com.br/

RE: [obm-l] equacao funcional

[Anselmo Alves de Sousa]

Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.

Suponhamos que f é não constante; Assim existe algum x nos reais, digamos x_1, 
tal que f(x_1) é diferente de f(x_2), x_2 também nos reais e x_1 diferente de 
x_2.
 
Assim f(x_1+x_2) = f(x_1*x_2);
 
f(x_1+0) = f(0*0) , isto é f(x_1) = f(0).
f(x_2+0) = f(x_2*0), que nos dá f(x_2) = f(0)
 
O que nos mostra que f(x_1) = f(x_2). O que é absurdo pois supomos que f é não 
constante.
 
Logo, concluímos que f é função constante.
 
 
Anselmo :-)
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça  o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br

Re: [obm-l] equacao funcional

[Bruno França dos Reis]

Note que para todo t >= 2, podemos encontrar um s real positivo tal que t =
s + 1/s = (s^2+1)/s. Com efeito, s^2 - ts + 1 = 0, onde o discriminante é
t^2 - 4. Daí tiramos que f(t) = f(s + 1/s) = f(1) para t >= 2.
Para todo t, 1 < t < 2, encontramos s, 1 < s (2) ) = f(1). Finalmente, para 0 < t < 1, f(t)
= f(1*t) = f(1 + t) = f(1).

Bruno

2007/12/20, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy)
> para todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.
>
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>



-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] equacao funcional

[Felipe Diniz]

como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.

da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.


seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )=  f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural..
onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte
fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br}
) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a
(0,1).

Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.


espero que esteja correto.

Abraços,
Felipe Diniz




On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED] >
wrote:

>
>
>
>
> DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO
>
>
>  --
> Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
> From: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] equacao funcional
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>  Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy)
> para todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.
>
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>
>
> --
> Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie
> já o seu! <http://www.amigosdomessenger.com.br>
>

RES: [obm-l] equacao funcional

[Artur Costa Steiner]

Nesta prova, não foi implicitamente admitida a continuidae de f?
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Diniz
Enviada em: quinta-feira, 20 de dezembro de 2007 13:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] equacao funcional


como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.

da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x 
real positivo e n natural.


seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )=  f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde 
[br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} ) 
= f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1).

Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.


espero que esteja correto.

Abraços,
Felipe Diniz





On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa < [EMAIL PROTECTED] 
<mailto:[EMAIL PROTECTED]> > wrote:






DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO




  _

Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
From: [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] equacao funcional
To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>


Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


  _

Abra sua conta no Yahoo! 
Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>, o 
único sem limite de espaço para armazenamento!


  _

Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie 
já o seu!<http://www.amigosdomessenger.com.br>

[obm-l] Equacao funcional II

[Klaus Ferraz]

No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre 
equações funcionais do Eduardo Tengan. 
Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa 
uma função f: Q+-->Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a 
solução logo abaixo, só no final ele diz assim "Assim, basta construir a função 
para  os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos." Por 
quê?  e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu 
para os primos.
Grato.


  Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê.
http://www.flickr.com.br/

Re: [obm-l] Equacao parametrica

[saulo nilson]

y´=e^t*sent+e^t*cost=y+x
y´=y+x
solução da homogenea
y´=y
dy/y=dx
lny=x+c
y(x)=c1e^x
soluçao da particular
x^2+y^2=(e^t)^2
e^t=rq(x^2+y^2)
t=1/2 ln(x^2+y^2)=arctg(y/x)

On 11/28/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações
> paramétricas assim:
> x(t) = e^t*cos t e y(t)  = e^t*sin t.
>
> E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral?
>
> Grato.
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Equacao parametrica

[saulo nilson]

x^2+y^2=e^2t
2t=ln(x^2+y^2)
t=arctgy/x
y/x=tgln(x^2+y^2)^1/2


On 11/28/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações
> paramétricas assim:
> x(t) = e^t*cos t e y(t)  = e^t*sin t.
>
> E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral?
>
> Grato.
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Equacao funcional.

[gugu]

   Caro Douglas,
   Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
   Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
   Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou  
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos  
f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde  
necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.

   Abraços,
 Gugu

Quoting Douglas Oliveira de Lima :


Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!

Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes
aos reais, determinar todas as funções f:R->R.

Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.







This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao funcional.

[Douglas Oliveira de Lima]

Espetaculo, muito obrigado!!


Em 26 de agosto de 2014 05:26,  escreveu:

>Caro Douglas,
>Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
>Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
>Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
> f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
> mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
> f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
>Abraços,
>  Gugu
>
>
> Quoting Douglas Oliveira de Lima :
>
>  Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!
>>
>> Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
>> pertencentes
>> aos reais, determinar todas as funções f:R->R.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>
>
> 
> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Equacao funcional.

[Jeferson Almir]

Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??

Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
Desde já agradeço qualquer ajuda.


Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Espetaculo, muito obrigado!!
>
>
> Em 26 de agosto de 2014 05:26,  escreveu:
>
>Caro Douglas,
>>Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
>>Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
>>Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
>> f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
>> mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
>> f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
>>Abraços,
>>  Gugu
>>
>>
>> Quoting Douglas Oliveira de Lima :
>>
>>  Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!
>>>
>>> Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
>>> pertencentes
>>> aos reais, determinar todas as funções f:R->R.
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>>
>> 
>> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Equacao funcional.

[saulo nilson]

f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
y=0
f(x^2)=f(f(x))
f(x)=0
f(x^2+y)+f(-y)=2f(0)+2y^2
y=0
f(0)=f(x^2)
x^2=0
x=0 e raiz
f(0)=0
f(1)=1
f(x^2+x)+f(f(x)-x)=2ff(x)+2x^2
f(4)+f(f(2)-2)=2ff(2)+8
f(2)+f(f(1)-1)=2ff(1)+2
f(2)=4
f(4)=4+2f(4)
f(4)=-4
f(3)+f(f(2)+1)=2ff(2)+2
f(3)+f(5)=-6
f(y)+f(-y)=2y^2
f(-1)=1
1+f(3)=4
f(3)=-3
f(5)=-3
f(6)=-4
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
f(7)+1=-8+18
f(7)=9
f(8)=0
f(9)=41
f(10)=4
f(11)+162-41=4
f(11)=-117
e so encontrar varios pontos, plotar e encontrar as funções que se adaptam
melhor aos pontos.



2014-08-26 22:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :

> Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??
>
> Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
> uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
> Desde já agradeço qualquer ajuda.
>
>
> Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Espetaculo, muito obrigado!!
>>
>>
>> Em 26 de agosto de 2014 05:26,  escreveu:
>>
>>Caro Douglas,
>>>Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
>>>Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
>>>Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
>>> f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
>>> mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
>>> f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
>>>Abraços,
>>>  Gugu
>>>
>>>
>>> Quoting Douglas Oliveira de Lima :
>>>
>>>  Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja
 agradeço!!

 Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
 pertencentes
 aos reais, determinar todas as funções f:R->R.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.



>>>
>>>
>>> 
>>> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re:[obm-l] equacao diofantina

[claudio.buffara]

Oi, Luís:
 
Mediante uma mudança de variáveis essa equação se reduz a uma equação de Pell. A idéia é completar os quadrados em cada membro e multiplicar a equação resultante por uma constante apropriada a fim de obter algo da forma y^2 - ax^2 = b, onde a e b são inteiros e a é positivo e livre de quadrados.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Mon, 28 Mar 2005 20:30:52 +




Assunto:
[obm-l] equacao diofantina
> Sauda,c~oes,
> 
> O problema abaixo foi proposto numa lista.
> 
> []'s
> Luis
> 
> Does anybody can give a (perhaps partial) recursive solution to
> the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b
> a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39
> 
> Best regards
> Nikolaos Dergiades
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 

Re:[obm-l] equacao diofantina

[Carlos Yuzo Shine]

Oi Cláudio e amigos da lista.

Sem querer ser chato, mas sendo um pouco, há cuidados
a serem tomados ao usar Pell.

A equação de Pell generalizada x^2 - by^2 = c
normalmente é "resolvida" da seguinte maneira:

Antes de mais nada, vamos só pensar em soluções
inteiras positivas.

Primeiro, se c não é igual a 1, procura-se uma solução
minimal (x_0,y_0) da equação dada, no sentido que x_0
+ y_0\sqrt{b} é mínimo.

Depois, resolve-se a equação de Pell x^2 - by^2 = 1,
obtendo as infinitas soluções (x_k,y_k), k>=1.
Geralmente, encontra-se (usando fração contínua, por
exemplo) uma solução minimal (x_1,y_1) e as outras são
obtidas da recorrência (x_1+y_1\sqrt{b})^n = x_n +
y_n\sqrt{b}, x_n, y_n inteiros.

Aí os pares (x,y) obtidos de
 (x_0+y_0\sqrt{b})(x_n+y_n\sqrt{b}) = x + y\sqrt{b}
são soluções da equação original.

O problema é que quando c não é 1, esse procedimento
infelizmente *não* gera todas as raízes. Quando c=1,
aí sim temos todas as raízes.

Um exemplo é a equação x^2 - 10y^2 = 9. Ela admite
*três* soluções primitivas distintas: (7,2), (13,4) e
(57,18). A solução minimal de x^2 - 10y^2 = 1 é
(19,6), maior que ambos (7,2) e (13,4). Assim, (13,4)
não poderia ser gerada por (7,2).

Para achar todas as soluções, temos que achar *todas*
as soluções primitivas (x_0;y_0) da equação original.

Veja mais em
   http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

Mais tarde eu vou pensar nessa equação diofantina.

[]'s
Shine

--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
> Oi, Luís:
> 
> Mediante uma mudança de variáveis essa equação se
> reduz a uma equação de Pell. A idéia é completar os
> quadrados em cada membro e multiplicar a equação
> resultante por uma constante apropriada a fim de
> obter algo da forma y^2 - ax^2 = b, onde a e b são
> inteiros e a é positivo e livre de quadrados.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:[EMAIL PROTECTED]
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Mon, 28 Mar 2005 20:30:52 +
> 
> Assunto:[obm-l] equacao diofantina
> 
> > Sauda,c~oes,
> >
> > O problema abaixo foi proposto numa lista.
> >
> > []'s
> > Luis
> >
> > Does anybody can give a (perhaps partial)
> recursive solution to
> > the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b
> > a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39
> >
> > Best regards
> > Nikolaos Dergiades
> >
> >
> >
>
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
=
> >
> 



__ 
Do you Yahoo!? 
Yahoo! Small Business - Try our new resources site!
http://smallbusiness.yahoo.com/resources/ 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao diferencial

[Artur Costa Steiner]

Esta equacao diferencial eh equivalente a y' -
(q(x)/p(x)*y = f(x)/p(x). Assim, eh do tipo dy/dx +
r(x)*y = s(x). No seu caso, r(x) = - q(x)/p(x) e s(x)
= f(x)/p(x). A ideia para a resolucao deste tipo de
equacao eh multiplicar ambos os mebros por uma funcao
t(x), de modo a que no primeiro membro tenhamos
d(t*y)/dx.

Omitindo o argumento x para simplificar a notacao,
devemos entao ter que t*dy/dx + t*r*y = t*dy/dx +
y*dt/dx => t*r*y = y*dt/dx => t*r = dt/dx,
admitindo-se que y nao seja identicamente nula. Assim,
caimos na eq. de variaveis separaveis dt/t = r*dx que
nos leva a que t = exp(integral(r*dx)) = exp(R), sendo
R uma primitiva de r, admitindo-se que exista. Logo, a
equacao original fica d(t*y)/dx = T*s => t*y = U,
sendo U uma primitiva de T*s, admitindo-se que exista.
Finalmente, y = U/t, definida para valores de x que
nao anulem t. Na pratica, esta solucao bonitinha vai
quase sempre dar umas integrais tao complicadas que
nao se vai conseguir determinar as primitivas.

Vemos que calculamos 2 primitivas, cada uma delas
dando uma constante de integracao. Assim a solucao
para y eh uma familia de funcoes dependendo de duas
constantes. Foram dadas duas condicoes de contorno, de
modo que vc vai obter um sistema com 2 equacoes e duas
incognitas a determinar. Pode ser que haja mesmo uma
unica solucao, mas esta afirmacao nao pode ser feita a
priori, pois depende das funcoes envolvidas na equacao
diferencial.

Artur

--- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Ola a todos!
> Alguem poderia me ajudar nesta?
> 
> Considere o seguinte problema de contorno:
> 
> [p(x)y']'-q(x)y = f(x)
> y(0)=a, y(L)=b
> 
> a, b e L sao constantes, p(x)>0 e q(x)>=0. Mostre
> que
> se o problema admite solucao entao ela eh unica.
> 
> Grato,
> 
> Tertuliano
> 
> 
>   
> 
> 
> 
>   
>   
>
___
> 
> Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada
> você acumula cupons e concorre a mais de 500
> prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
> 




__ 
Yahoo! Music Unlimited 
Access over 1 million songs. Try it free.
http://music.yahoo.com/unlimited/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao diferencial

[Artur Costa Steiner]

Pensando bem, talvez de mesmo para garantir que a
solucao eh unica. A primeira constante, k1, aparece na
determinacao da primitiva de r, de modo que temos t =
K1*exp(R), sendo K1 = exp(k1). A segunda constante,
k2, aparece na determinacao da primiva de T*s, de modo
que vamos chegar a y = (K1*U + K2)/t. Asiim, as
condicoes de contorno levan a um sistema linear de 2
eqs. e 2 incognitas. Se as eqs. forem lineramente
independentes, hah solucao unica. 

De uma conferida. 

Artur






__ 
Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 
http://mail.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: Re:[obm-l] equacao

[Marcio Cohen]

   Mesmo assim, ainda temos as soluções: 
(k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas.

  - Original Message - 
  From: 
  claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14 
  PM
  Subject: Re:[obm-l] equacao
  
  Eu supuz que k é um primo fixo dado.
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Wed, 26 Oct 2005 
12:20:17 -0200 (BRST)
  
  


  Assunto:
  Re:[obm-l] 
    equacao
  > 
  > Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
  > e' possivel tambem outras solucoes:
  > 
  > zk - zw = -wk
  > => z = -wk/(k-w)
  > Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)
  > 
  > Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)
  > 
  > Abraco,
  > sergio
  > 
  > On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:
  > 
  > > Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 
  1.
  > > 
  > > A equação fica (z + w)k = dzw.
  > > 
  > > k não pode dividir z pois z = km ==>
  > > (km + w)k = dkmw ==>
  > > km + w = dmw ==>
  > > w = m(dw - k) ==>
  > > m divide w ==>
  > > contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
  > > 
  > > Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
  > > 
  > > Logo, k divide d ==>
  > > d = kn ==>
  > > (z + w)k = knzw ==>
  > > z + w = nzw ==>
  > > 1/w + 1/z = n = inteiro positivo
  > > 
  > > Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
  > > 
  > > Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k 
  ==>
  > > uma solução é (2k,2k).
  > > 
  > > Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
  > > z = w = 2 e d = k ==>
  > > de novo obtemos a solução (2k,2k).
  > > 
  > > Logo, a única solução é (2k,2k).
  > > 
  > > 
  > > De:[EMAIL PROTECTED]
  > > 
  > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
  > > 
  > > Cópia:
  > > 
  > > Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)
  > > 
  > > Assunto:[obm-l] equacao
  > > 
  > > > Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y 
  inteiros positivos e k um numero primo
  > > 
  > > 
  > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
  > > acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! 
  Participe!
  > > 
  > 
  > 
  =
  > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em
  > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  > 
  =
  > 

Re: Re:[obm-l] equacao

[claudio\.buffara]

É isso aí. Mancada minha!
 
O melhor jeito é olhar e ver que a equação equivale a 1/x + 1/y = 1/k, que sendo x e y positivos, devemos ter x > k ==> x = k + m, com m inteiro positivo e, portanto, 1/y = 1/k - 1/(k+m) = m/(k(k+m)) ==> 
y = k(k+m)/m ==> m divide k^2 e, como k é primo, m = 1, k ou k^2, o que dá origem as três soluções: (2k,2k) e mais as duas que você mencionou.
 
Fica como um novo problema determinar em que ponto da minha pseudo-resolução abaixo eu "perdi" as outras duas soluções.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Wed, 26 Oct 2005 14:12:05 -0200




Assunto:
Re: Re:[obm-l] equacao



>    Mesmo assim, ainda temos as soluções: (k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas.

- Original Message - 
From: claudio.buffara 
To: obm-l 
Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14 PM
Subject: Re:[obm-l] equacao
> 
> Eu supuz que k é um primo fixo dado.
>  
>



De:
[EMAIL PROTECTED]
>



Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
>



Cópia:

>



Data:
Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST)
>



Assunto:
Re:[obm-l] equacao
> > 
> > Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
> > e' possivel tambem outras solucoes:
> > 
> > zk - zw = -wk
> > => z = -wk/(k-w)
> > Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)
> > 
> > Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)
> > 
> > Abraco,
> > sergio
> > 
> > On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:
> > 
> > > Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.
> > > 
> > > A equação fica (z + w)k = dzw.
> > > 
> > > k não pode dividir z pois z = km ==>
> > > (km + w)k = dkmw ==>
> > > km + w = dmw ==>
> > > w = m(dw - k) ==>
> > > m divide w ==>
> > > contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
> > > 
> > > Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
> > > 
> > > Logo, k divide d ==>
> > > d = kn ==>
> > > (z + w)k = knzw ==>
> > > z + w = nzw ==>
> > > 1/w + 1/z = n = inteiro positivo
> > > 
> > > Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
> > > 
> > > Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>
> > > uma solução é (2k,2k).
> > > 
> > > Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
> > > z = w = 2 e d = k ==>
> > > de novo obtemos a solução (2k,2k).
> > > 
> > > Logo, a única solução é (2k,2k).
> > > 
> > > 
> > > De:[EMAIL PROTECTED]
> > > 
> > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > > 
> > > Cópia:
> > > 
> > > Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)
> > > 
> > > Assunto:[obm-l] equacao
> > > 
> > > > Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo
> > > 
> > > 
> > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
> > > acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
> > > 
> > 

[obm-l] Equacao exponencial simples

[RONALD MARTINS]

Como resolver, de forma simples, a equacao 3^(x/2) + 1 = 2^x ? 
x/2 x3   + 1 = 2 Abraço a
todos.Ronald.  
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

Sobre a equacao do MUV

[Ricardo Miranda]

Amigos,

Pensando na resposta à minha questao sobre taxa de crescimento, fiz umas
contas e gostaria que me corrigissem. É uma questão mais de física, mas o
problema está nas equações, que nao soube deselvolver.

Bom, a aceleração faz variar a velocidade, uniformemente, com o passar do
tempo, por isto V = Vo + at .. E o caminho percorrido é dado por S = So +
vt..

Entao, substituindo V na segunda equação, teria que S = So + (Vo + at)t, que
dá S = So + Vot + at^2.

Entao de onde vem, na equacao, o 1/2 * at^2 ? Este 1/2 vem de onde? O
processo, de substituir a primeira equação na segunda, está incorreto?

[obm-l] Equacao do Universo

[ezer]

Olah a todos,

O que eh Equacao do Universo? (se eh que isso existe)

Quanto vale i^i? (i = sqrt(-1))


Desde jah agradeco,



Ezer F. da Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] equacao trigonometrica

[Carlos Alberto]

sen 2x - 4senx = 0, para  0 
 
sen 2x - 4senx = 0
2 senx.cosx - 4 sen x = 0
2senx (cosx - 2) = 0
 
Para a equação ser igual a zero.
 
Podemos ter (2.senx=0)* ou (cosx - 2=0)**, então
 
de (*)
2 senx = 0
senx = 0
 
para x = 0 ou x = pi
de (**)
cosx - 2 = 0
cosx = 2
 
O que não convém pois a imagem de cos x = [-1,1]
 
Logo...
 
S = {x pert aos R| x = 0 ou x = pi}
 
Acho que seja isso, pois verificando o resultado está OK!!!
 
Guilherme Teles <[EMAIL PROTECTED]> wrote:




Pessoal, to me batendo todo com esta aqui.
 
1) sen 2x - 4senx = 0, para  0 Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!

Re: [obm-l] equacao trigonometrica

[Faelccmm]

Como o intervalo eh fechado aa direita, a resposta nao seria a que esta abaixo ?

S = {x pert aos R| x = 0,x = pi e x=2pi} 



Em uma mensagem de 23/4/2004 08:56:54 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:




sen 2x - 4senx = 0, para  0  
sen 2x - 4senx = 0
2 senx.cosx - 4 sen x = 0
2senx (cosx - 2) = 0
 
Para a equação ser igual a zero.
 
Podemos ter (2.senx=0)* ou (cosx - 2=0)**, então
 
de (*)
2 senx = 0
senx = 0
 
para x = 0 ou x = pi

de (**)

cosx - 2 = 0
cosx = 2
 
O que não convém pois a imagem de cos x = [-1,1]
 
Logo...
 
S = {x pert aos R| x = 0 ou x = pi}
 
Acho que seja isso, pois verificando o resultado está OK!!!
 

Guilherme Teles <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Pessoal, to me batendo todo com esta aqui.
 
1) sen 2x - 4senx = 0, para  0 

[obm-l] Equacao ( Niv 2 )

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal !

Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) :

Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a raiz 
quadrada de X.

Regra : Nao vale usar calculo !
Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1508,010803
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] equacao da involuta.

[niski]

Pessoal, estou tentanto deduzir a eq. da envolvente do circulo mas estou 
obtendo expressoes gigantes dificeis de simplificar. Gostaria que o 
pessoal me ajudasse postando os modos mais simples de se resolver o 
problema. Segue o enunciado:

Ao desenrolar-se, no plano de um circulo , uma corda enrolada no mesmo, 
sua extremidade descreve uma curva plana que se chama envolvente do circulo.
Seja o circulo fixo de raio a e centro na origem. Sejam A(a,0) a poisção 
inicial do ponto P e PT a porção desenrolada tangente ao circulo em T. 
Deduzir as equacoes parametricas de envolvente do circulo usandoi como 
parametro phi , o angulo AOT

Obrigado

Niski

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: equacao irracional

[Ariel de Silvio]

Valeu niski, mas nao consegui chegar a nada!!
se alguem puder me ajudar... agradeco...

[]s
Ariel

Na mensagem <[EMAIL PROTECTED]>, [EMAIL PROTECTED] disse...
> Antes de começar defina o dominio da funcao...
> varias coisas tem que ser satisfeitas..por exemplo
> x-a >= 0
> a^2 + xsqrt(b^2 + x^2 - a^2) >= 0
> b^2 + x^2 - a^2 >= 0
> 
> Acho que trabalhando essas condicoes voce chega no que o enunciado falou!
> 
> bons estudos
> 
> 
> 
> 
> 
> Ariel de Silvio wrote:
> > Sendo a e b numeros reais nao nulos, resolver a equacao:
> > 
> > sqrt(a^2 + x*sqrt(b^2+x^2-a^2))=x-a
> > 
> > desenvolvi e cheguei a
> > x=(5a^2-b^2)/4a
> > 
> > .:. S={(5a^2-b^2)/4a}
> > 
> > O livro dá a resposta como:
> > 
> > a<0 e |b|>=|a|  ==>  S={0,(5a^2-b^2)/4a)}
> > 
> > Nao entendi o pq do a<0 e |b|>=|a|
> > Se alguem puder me explicar ou me dar alguma dica... agradeco
> > 
> > []s
> > Ariel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] complexos/equacao trinomia

[ax^2]

Resolva:
ix² - 2x + sqtr(3) = 0

Obrigado.
Até.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Rafael]

Cláudio,

A equação proposta por você é interessantíssima.

Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez
raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos
e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:

a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0

a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0

Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 =
x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 -
10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.

Espero que esteja correto.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio



- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM
Subject: [obm-l] Equacao polinomial


> Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
> populares da lista, aqui vai um:
>
> Determine as raizes de:
> x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas
> elas sao reais e positivas.
>
> Um abraco,
> Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Frederico Reis Marques de Brito]

Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento 
não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que 
a raiz tinha multiplicidade 10...

Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 
e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 
raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA )  
é  1  e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos
MG <= MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais.  
Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10.

Um abraço,
Frederico.

From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial
Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200
Cláudio,

A equação proposta por você é interessantíssima.

Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez
raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos
e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0

a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0

Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 =
x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 -
10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.
Espero que esteja correto.

Abraços,

Rafael de A. Sampaio



- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM
Subject: [obm-l] Equacao polinomial
> Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
> populares da lista, aqui vai um:
>
> Determine as raizes de:
> x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que 
todas
> elas sao reais e positivas.
>
> Um abraco,
> Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Claudio Buffara]

Oi, Rafael:

A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais
interessante nesse problema eh exatemente a justificativa...

Um abraco,
Claudio.

on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Cláudio,
> 
> A equação proposta por você é interessantíssima.
> 
> Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez
> raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos
> e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
> cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
> 
> a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
> 
> a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
> 
> Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 =
> x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 -
> 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.
> 
> Espero que esteja correto.
> 
> 
> Abraços,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> 
> - Original Message -
> From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM
> Subject: [obm-l] Equacao polinomial
> 
> 
>> Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
>> populares da lista, aqui vai um:
>> 
>> Determine as raizes de:
>> x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas
>> elas sao reais e positivas.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
> 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Rafael]

Frederico,

A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do
momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de
sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes
alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma
equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas.
Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu
ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa
equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente
temos -10 para (x-1)^10.

Se ainda não for "convincente", gostaria de maiores detalhes sobre o meu
erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes,
conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas.

Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM
Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial


> Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento
> não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir
que
> a raiz tinha multiplicidade 10...
>
> Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale
10
> e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10
> raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes (
MA )
> é  1  e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos
> MG <= MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais.
> Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10.
>
> Um abraço,
> Frederico.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Rafael]

Cláudio,

Embora você diga ser inválida a minha justificativa, não diz o porquê.
Suponho que você conheça a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a
partir de "raízes reais e positivas", que os sinais dos coeficientes
alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro é 1, o segundo é 10 e o
último é 1, não é difícil concluir que as condições anteriormente expostas
são satisfeitas por (x-1)^10. Tão somente depois disso pôde-se discutir a
multiplicidade.
A menos que algo *prove* que só existe uma justificativa, não vejo por que
mais de uma justificativa não possa estar correta.

Abraços,

Rafael de A. Sampaio



- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial


> Oi, Rafael:
>
> A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais
> interessante nesse problema eh exatemente a justificativa...
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> > Cláudio,
> >
> > A equação proposta por você é interessantíssima.
> >
> > Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez
> > raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são
positivos
> > e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
> > cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
> >
> > a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
> >
> > a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
> >
> > Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 =
> > x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 +
45x^2 -
> > 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.
> >
> > Espero que esteja correto.
> >
> >
> > Abraços,
> >
> > Rafael de A. Sampaio


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Faelccmm]

Ola a todos,

Se (x-1)^10

Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que  (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10
Entao:
(x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0

x= 0
x= 0
x= 0
x= 0
x= 0
x= 0
x= 0
x= 0
x= 0
x= 0


Quanto as medias acho que foi feito o seguinte:

MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes)

MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE)

Pelas relacoes de Girard:

PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1

MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1

-

MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes)

Pelas relacoes de Girard novamente:

SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1

MA = 1 / 1 = 1

Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG <= MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!!


Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las. 



Em uma mensagem de 7/2/2004 15:58:49 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Frederico,

A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do
momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de
sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes
alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma
equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas.
Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu
ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa
equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente
temos -10 para (x-1)^10.

Se ainda não for "convincente", gostaria de maiores detalhes sobre o meu
erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes,
conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas.

Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM
Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial


> Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento
> não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir
que
> a raiz tinha multiplicidade 10...
>
> Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale
10
> e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10
> raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes (
MA )
> é  1  e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos
> MG <= MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais.
> Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10.
>
> Um abraço,
> Frederico.

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Rafael]

Creio que, em vez de x=0, você quis dizer x=1, 
não?
 
Sobre as médias, obrigado pelo esclarecimento. Vou 
rever o TFA, pois não me lembrava.
 
 
Abraços,
 
Rafael de A. Sampaio
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, February 07, 2004 4:59 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Equacao 
  polinomial
  Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente 
  que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA 
  DECOMPOSICAO, em que  (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 
  Entao: (x-1)^10 = 
  (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 
  x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 
  0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = 
  (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = 
  (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO 
  DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = 
  ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 
  1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) 
  Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = 
  -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA 
  (satisfaz a desigualdade MG <= MA estabelecendo a igualdade das raizes de 
  um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem 
  quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se 
  manifestar para dize-las. 

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Rafael]

O curioso é que, revendo o TFA, as médias não 
decorrem dele, nem fazem parte dele, nem nada. Mas é um artifício interessante 
para se provar que todas as raízes são iguais a 1, visto que MA acaba por se 
igual a MG.
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Rafael 
  
  To: OBM-L 
  Sent: Saturday, February 07, 2004 5:17 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Equacao 
  polinomial
  
  Creio que, em vez de x=0, você quis dizer x=1, 
  não?
   
  Sobre as médias, obrigado pelo esclarecimento. 
  Vou rever o TFA, pois não me lembrava.
   
   
  Abraços,
   
  Rafael de A. Sampaio
   
   
  
- Original Message - 
From: 
[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Saturday, February 07, 2004 4:59 
PM
Subject: Re: [obm-l] Equacao 
polinomial
Ola a todos, Se 
(x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de 
acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que  (x-1)^10 = 
(x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = 
(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 
x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 
x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: 
MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = 
(PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC 
MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) 
= ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = 
(PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = 
(SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard 
novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 
MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG 
<= MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas 
sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o 
Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las. 

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Claudio Buffara]

Rafael:

Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a aplicacao
da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo
positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a
solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia
haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com
que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do uso
da desigualdade MG <= MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer.

Um abraco,
Claudio.

 on 07.02.04 15:30, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Cláudio,
> 
> Embora você diga ser inválida a minha justificativa, não diz o porquê.
> Suponho que você conheça a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a
> partir de "raízes reais e positivas", que os sinais dos coeficientes
> alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro é 1, o segundo é 10 e o
> último é 1, não é difícil concluir que as condições anteriormente expostas
> são satisfeitas por (x-1)^10. Tão somente depois disso pôde-se discutir a
> multiplicidade.
> A menos que algo *prove* que só existe uma justificativa, não vejo por que
> mais de uma justificativa não possa estar correta.
> 
> Abraços,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> 
> - Original Message -
> From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM
> Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial
> 
> 
>> Oi, Rafael:
>> 
>> A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais
>> interessante nesse problema eh exatemente a justificativa...
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> 
>>> Cláudio,
>>> 
>>> A equação proposta por você é interessantíssima.
>>> 
>>> Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez
>>> raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são
> positivos
>>> e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
>>> cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
>>> 
>>> a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
>>> 
>>> a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
>>> 
>>> Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 =
>>> x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 +
> 45x^2 -
>>> 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.
>>> 
>>> Espero que esteja correto.
>>> 
>>> 
>>> Abraços,
>>> 
>>> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Rafael]

Agora compreendo o que você quis dizer, Cláudio.

Na verdade, como escrevi anteriormente, pensei que o fato de o coeficiente
de x^9 ser -10 não permitisse outra possibilidade para todos os outros,
quaisquer que fossem os desenvolvimentos de um binômio, estando, assim,
provada a unicidade da solução e, por conseguinte, a sua multiplicidade. Em
símbolos, a equação inicial poderia ser reescrita em F(x) = (x-r)^m*Q(x),
sendo r uma raiz real positiva de multiplicidade m. Com os três coeficientes
fornecidos, não há outra possibilidade a não ser F(x)=(x-1)^10 ao meu ver.
No entanto, concordo que a demonstração feita pelo Frederico é bastante
interessante e própria para o caso.

Abraços,

Rafae de A. Sampaio



- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, February 07, 2004 6:08 PM
Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial


> Rafael:
>
> Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a
aplicacao
> da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo
> positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a
> solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia
> haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com
> que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do
uso
> da desigualdade MG <= MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer.
>
> Um abraco,
> Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Claudio Buffara]

on 07.02.04 15:47, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> E, ao meu
> ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa
> equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente
> temos -10 para (x-1)^10.
>
Isso nao eh verdade. Existe uma infinidade de polinomios monicos de grau 10
com raizes reais positivas e tais que o coeficiente de x^9 eh -10. O que
garante que o polinomio eh realmente (x-1)^10 eh o fato de o termo
independente ser 1 (dado que as raizes sao reais e positivas). Isso foi
mostrado pelo Frederico mediante o uso da desigualdade MG <= MA.

> Se ainda não for "convincente", gostaria de maiores detalhes sobre o meu
> erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes,
> conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas.
>
Ora! MG = raiz decima do produto e MA = soma dividida por 10. Assim, para se
calcular a MG e MA das raizes, basta saber a soma e o produto delas.

Um abraco,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=