[obm-l] continuidade para funções de 2 variáveis
Pessoal, estava estudando continuidade para funções de duas variáveis no livro
do Thomas e não entendi uma passagem na explicação, pode ser algo bobo, mas se
alguém puder me ajudar ficaria agradecido.
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Para provar que f(x,y) não é contínua em (0,0) adota-se y = mx (Por quê???)
e com isso lim f(x,y) com (x,y) --(0,0) = 2m/(1+m²) e como m é variável a
função não é contínua. (Isso eu entendi).
Mas a questão é: por que se adotou y =mx? Qual o critério?
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Re: [obm-l] continuidade para funções de 2 variáveis
A idéia é que a função é, na verdade, 2 * sen theta(x,y) * cos
theta(x,y) = sen(2 * theta(x, y)), onde theta(x, y) é o ângulo que o
vetor (x,y) do caminho que você escolheu faz com o eixo dos X. Se você
tomar uma reta y = mx, este ângulo é constante (e tal que tan theta(x,
y) = m), e, portanto, o limite calculado neste caminho é igual ao
valor do ângulo em questão.
--
Abraços,
Maurício
On 2/27/08, César Santos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, estava estudando continuidade para funções de duas variáveis no
livro do Thomas e não entendi uma passagem na explicação, pode ser algo
bobo, mas se alguém puder me ajudar ficaria agradecido.
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Para provar que f(x,y) não é contínua em (0,0) adota-se y = mx (Por quê???)
e com isso lim f(x,y) com (x,y) --(0,0) = 2m/(1+m²) e como m é variável a
função não é contínua. (Isso eu entendi).
Mas a questão é: por que se adotou y =mx? Qual o critério?
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RES: [obm-l] continuidade para funções de 2 variávei s
Se esta função fosse contínua em (0,0), então o limite de f quando (x,y) --
(0,0) seria igua a f(0,0) = 0 independentemente do caminho escolhido para se
tender a (0,0). Mas verificamos que, se m 0, então, se (x,y) --. (0,0)
sobre a reta y = mx, o limite não é nulo. Isto prova que esta função não é
contínua em (0,0).
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de César Santos
Enviada em: quarta-feira, 27 de fevereiro de 2008 18:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] continuidade para funções de 2 variáveis
Pessoal, estava estudando continuidade para funções de duas variáveis no livro
do Thomas e não entendi uma passagem na explicação, pode ser algo bobo, mas se
alguém puder me ajudar ficaria agradecido.
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Para provar que f(x,y) não é contínua em (0,0) adota-se y = mx (Por quê???)
e com isso lim f(x,y) com (x,y) --(0,0) = 2m/(1+m²) e como m é variável a
função não é contínua. (Isso eu entendi).
Mas a questão é: por que se adotou y =mx? Qual o critério?
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[obm-l] Res: [obm-l] continuidade para funções de 2 vari áveis
Cesar,
Em primeiro lugar, é importante observar que continuidade de funções de várias
variáveis é diferente da de funções de uma só variável. Isso ocorre porque
podemos nos aproximar do ponto em questão de infinitas maneiras, no caso de
mais variáveis, e somente de duas, no caso de uma variável, a saber, pela
esquerda e pela direita. Por exemplo, na função que você comentou:
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Se aproximamos de (0,0) pelo eixo x ou pelo eixo y, ou seja, pelos pontos da
forma (x,0) ou (y,0), a função tende a 0. Por outro lado, se nos aproximamos ao
longo de uma reta da forma y = mx, com m diferente de 0, então temos os pontos
aproximantes da forma (x,mx). Como vc disse, substituindo na função, temos
f(x,mx) = 2m/(1+m²), que é diferente de 0. Ora, então, por caminhos diferentes,
chegamos a valores diferentes para o limite da função em (0,0), o que contradiz
o fato de se haver um limite, pois que o mesmo deveria ser único.
Um abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: César Santos [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 27 de Fevereiro de 2008 18:44:00
Assunto: [obm-l] continuidade para funções de 2 variáveis
Pessoal, estava estudando continuidade para funções de duas variáveis no livro
do Thomas e não entendi uma passagem na explicação, pode ser algo bobo, mas se
alguém puder me ajudar ficaria agradecido.
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Para provar que f(x,y) não é contínua em (0,0) adota-se y = mx (Por quê???)
e com isso lim f(x,y) com (x,y) --(0,0) = 2m/(1+m²) e como m é variável a
função não é contínua. (Isso eu entendi).
Mas a questão é: por que se adotou y =mx? Qual o critério?
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Re: [obm-l] continuidade.
Olá Kleber,
1) vamos criar uma particao de R, fazendo: R = R\Q U Q..
lim {x-a} f(x) ... se x E R\Q, entao lim f(x) = lim 0 = 0
lim {x-a} f(x) ... se x E Q, entao lim f(x) = lim x = a
assim, quando a=0, temos que lim {x-0} f(0) = 0 = f(0)
e quando a!=0, temos que o limite nao existe.. logo, a funcao nao eh
continua nestes pontos..
abracos,
Salhab
On 7/4/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
1) a seguinte função f(x) = x , se x pertence a Q ( racionais) e f(x) = 0
, se x pertence a R\Q ( reais menos racionais ) , mostrar que ela só é
contínua em zero .
2) seja f definida no intervalo ( 0, + infinito ) R.
f(x) = 1/n , se x= m/n tal que m.m.c ( m,n ) = 1, x pertence a Q.
f(x)= 0, se x pertence a R\Q.
Mostrar que se fx or um numero irracional a função é continua e se for
racional a função é descontinua.
abraços. ( ps. Me falaram que esse segundo é um exercício classico de
análise e tem no livro de análise do elon lages resolvido. )
--
Kleber B. Bastos
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RES: [obm-l] Continuidade
Oi Wallace Dica: A definicao de continuidade implica que, nos pontes de corte das ramificacoes da funcao dada, as duas equacoes apresentem o mesmo valor. Abraco Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Metrical Enviada em: quinta-feira, 5 de julho de 2007 08:53 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Continuidade Peço a ajuda de vcs. Obrigado Wallace Usando a definição de continuidade de uma função em um ponto, determine os valores das constantes a e b, de modo que a função f seja continua em ( - infinito; infinito). f(x) = 3x + 6a se x -3 3ax - 7b se -3 = x = 3 x - 12bse x 3
[obm-l] continuidade.
1) a seguinte função f(x) = x , se x pertence a Q ( racionais) e f(x) = 0 , se x pertence a R\Q ( reais menos racionais ) , mostrar que ela só é contínua em zero . 2) seja f definida no intervalo ( 0, + infinito ) R. f(x) = 1/n , se x= m/n tal que m.m.c ( m,n ) = 1, x pertence a Q. f(x)= 0, se x pertence a R\Q. Mostrar que se fx or um numero irracional a função é continua e se for racional a função é descontinua. abraços. ( ps. Me falaram que esse segundo é um exercício classico de análise e tem no livro de análise do elon lages resolvido. ) -- Kleber B. Bastos
RES: [obm-l] Continuidade em intervalo I.
Pelo teorema do valor intermediario, tambem nao estou vendo como provar. Suponhamos que f seja monotonicamente crescente (se for decrescente, o raciocinio eh inteiramente analogo). Sabemos que, por ser monotonica, f so pode apresentar descontinuidades do tipo salto, isto eh, existencia de limites aa esquerda e aa direita mas em valores diferentes. Suponhamos que f seja descontinua em um ponto interior x de I e sejam Le e Ld os limites de f aa esquerda e aa direita de x. Suponhamos que y x seja outra descontinuidade de f em I. Se, y x, entao, entao L'd Le, sendo L'd o limite de f aa direita de y; se y x, entao Ld L'e, sendo L'e o limite de f aa esquerda de y. Desta forma, o intervalo [Le, Ld] nao contem os limites nem aa esquerda nem aa direita de nenhuma descontinuidade de f distinta de x. A cada um dos intervalos deste tipo, corresponde uma e somente uma descontinuidade de f em I, havendo assim uma bijecao entre a colecao de tais intervalos e o conjunto dos pontos de descontinuidade de f em I. Em cada um dos intervalos [Le, Ld] escolhamos um racional. Como estes intervalos sao disjuntos 2 a 2, hah uma bijecao entre eles e um subconjunto dos racionais, de modo que a colecao de tais intervalos eh enumeravel. E como este colecao esta em correspondencia biunivica com o conjunto dos pontos de descontinuidade, concluimos que tambem este eh enumeravel. Nesta prova ssumimos implicitamente que I eh aberto. Mas como intervalos fechado contem, 2 pontos a mais que o seu interior, a conclusao eh automaticamente extendida para intervalos fechados (como tambem aos dos tipos [a, b) e (a, b]). Este teorema eh um caso particualr de um outro, de demonstracao um pouco mais dificil, o qual afirma que, se uma f qualquer apresentar limites em todos os pontos de um intervalo I, entao o conjunto de suas descontinuidades em I eh enumeravel. A conclusao referente a funcoes monotonicas nos proporciona uma forma imediata de mostrar que tais funcoes sao Riemann integraveis em intervalos fechados. Abracos [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: sábado, 30 de junho de 2007 21:49 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Continuidade em intervalo I. Gente to resolvendo uma lista de exercícios de análise , pois tenho prova semana que vem , e os que naum consigo ver a solução , eu estou mandando para cá , e vcs estão me judando muito . Esse aqui eu tentei por teorema do valor intermediário e naum consigo ver que são enumeraveis . Me ajudem ! Seja I um intervalo e f: I - R uma função monótona . Prove que o conjunto dos pontos da descontinuidade de f é ENUMERÁVEL.
[obm-l] continuidade em intervalo
tropecei em mais essa : Seja I Contida em R um intervalo, f,g: I-R funções contínuas, f(x)=g(x) ( para todo x pertencente I interseção Q ). Provar que , f=g .
RES: [obm-l] continuidade em intervalo
Prezado Kléber, Esta conclusao eh consequencia de um teorema de carater geral que diz o seguinte: Sejam X e Y espacos topologicos, Y de Hausdorff, e sejam f,g:X- Y funcoes continuas. Se existir um conjunto D, denso em X, talque f(x) = g(x) para todo x de D, entao f = g; Particularizando para o nosso caso. Veja que I inter Q eh denso em I. Para provar isto diretamente, uma forma facil eh considerarmos o fato deque os reais sao um espaco metrico. Uma sugestao. Tome um x qualquer em I. Como I inter Q eh denso em I, existe uma sequencia x_n de racionais em I que converge para x. O que de interessante tem as sequencias f(x_n) e g(x_n)? Dado que f e g sao continuas, que outra conclusao interssante podemos tirar sobre esta sequencias? Outra forma de mostrar. Para x em I, assuma que f(x) g(x). Tome vizinhancas disjuntas Vf e Vg de f(x) e de g(x), respectivamente. As continuidades de f e de g implicam a existencia de vizinhancas U1 e U2 de x com uma caracteristica interessante. U1 Inter U2 tambem eh vizinhanca de x e contem racionais de I. Nao dah algo estranho? Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: segunda-feira, 2 de julho de 2007 14:07 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] continuidade em intervalo tropecei em mais essa : Seja I Contida em R um intervalo, f,g: I-R funções contínuas, f(x)=g(x) ( para todo x pertencente I interseção Q ). Provar que , f=g .
[obm-l] continuidade
Alguém poderia me ajudar nessa ? Mostrar que gof ser contínua não implica necessariamente f e g serem continuas.
Re: [obm-l] continuidade
Seja f: R - R uma função descontínua qualquer e g: R - R a função nula (g(x) = 0, para todo x real). Assim, gof (x) = g(f(x)) = 0, para todo x. Assim, gof é contínua. Abraço Bruno 2007/6/30, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED]: Alguém poderia me ajudar nessa ? Mostrar que gof ser contínua não implica necessariamente f e g serem continuas. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] continuidade
Kleber, sobre a continuidade: Tome: g: R - R x |- 1 função constante igual a 1, e f: R - R definida por: f(x) = 1, quando x 0; f(x) = 0, quando x = 0; A composição (g o f) é contínua, pois também é constante, e no entanto g claramente não é contínua. Você pode ver pelo exemplo que qualquer função g descontínua quando composta com a função constante torna a composição contínua. Logo, não é verdade em geral que a continuidade de (g o f) implica na continuidade de g e f. Abraço, - Leandro.
[obm-l] Continuidade em intervalo I.
Gente to resolvendo uma lista de exercícios de análise , pois tenho prova semana que vem , e os que naum consigo ver a solução , eu estou mandando para cá , e vcs estão me judando muito . Esse aqui eu tentei por teorema do valor intermediário e naum consigo ver que são enumeraveis . Me ajudem ! Seja I um intervalo e f: I - R uma função monótona . Prove que o conjunto dos pontos da descontinuidade de f é ENUMERÁVEL.
[obm-l] CONTINUIDADE
Seja f:[0,1]-[0,1] crescente (xy = f(x)ou= f(y)), mas não necessariamente contínua. Mostre que existe x em [0,1] tal que f(x)=x. vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RES: [obm-l] continuidade
Se a for ponto de acumulacao do dominio da funcao (que, alias, eh a situacao em que realmente eh importante analisar continuidade) eh equivalente sim. Eh facil mostrar isso. Eh de fato muito comum definir continuidade desta forma, embora seja uma definicao um pouco menos geral do que a que eu dei. Dah para concluir que, para todo x0, f eh continua em x Para mostrarmos isto, basta considerao caso em que x0 (porque?).Seja a0. Para todos x1=a e x2=a temos que |f(x1) - f(x2| = |1/x1 - 1/x2| = (|x1 - x2|) /(x1*x2). Como x1, x2 =a, temos que|f(x1) - f(x2| = (|x1 - x2|)/(a^2). Isso mostra que f eh UNIFORMEMENTE CONTINUA em [a, oo) para todo a0.Na realidade, f eh Lipschitz com cosntante 1/(a^2). Vc conhece estes conceitos?Assim, temos que f eh continua em [a, oo) para todo a0. Dado que todo x0 pertence a[a, oo) para 0 a x,segue-se que f eh continua em (o, oo) (embora nao uniformemente continua neste conjunto). Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Jose AugustoEnviada em: quarta-feira, 14 de setembro de 2005 01:21Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] continuidade Artur, antes de tudo obrigado. É comum encontrarmos em livros de calculo a seguinte definição: Uma função f eh continua em a se: i) f(a) existe, II) lim f(x) quando x tende a 'a' existe, iii) f(a) = lim f(x) quando x tende a 'a'. essa definicao seria equivalente a utilizada por vc ? Daria para concluir a continuidade de f(x) = 1/x ? Obrigado novamente, J ATt.
Re: [obm-l] continuidade
Artur, antes de tudo obrigado. É comum encontrarmos em livros de calculo a seguinte definição: Uma função f eh continua em a se: i) f(a) existe, II) lim f(x) quando x tende a 'a' existe, iii) f(a) = lim f(x) quando x tende a 'a'. essa definicao seria equivalente a utilizada por vc ? Daria para concluir a continuidade de f(x) = 1/x ? Obrigado novamente, J ATt.
[obm-l] continuidade
Gostaria de saber se 1/x é uma função contínua. A definição de continuidade é que está em discussão, portanto deixo a opção de escolha ao respondente. Obrigado, J. ATt
Re: [obm-l] continuidade
Creio q a função 1/x é descontinua no ponto x=0, pois naum há uma coordenada correspondente para este ponto, mas p/ qq outo valor de x, ela é uma função continua. Espero ter ajudado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] continuidade
Para
se decidir se uma funcao eh continua, eh imperioso definir claramente o seu
dominio. A famosa definicao epsilon-delta de continuidade, para funcoes
definidas em um subconjunto D de R^n e com valores em R^m, diz:
f eh
continua em a pertencente a D se, para todo eps0, existir um d0
tal que, se x estah em D e || x-a|| d, entao ||f(x) - f(a)|| eps.
Vemos assim que esta definicao so faz sentido para elementos do dominio D. Fora
de D, nao faz sentido dizer se uma funcao eh continua ou descontinua. Tais
conceitos simplesmente nao se aplicam.
Se a
for ponto de acumulacao de D ( caso mais usual), entao esta definicao equivale a
dizer que lim (x = a) f(x) = f(a). A definicao de continuidade acarreta
aautomaticamente que, em elementosde D que nao sejam pontos de acumulacao
de D, f seja sempre continua.
Eh
importante observar que, contrariamentea ao conceito de continuidade, o conceito
de limite faz sentido para elementos nao pertencentes a D, desde que sejam
pontos de acumulacao de D. Limites, entretanto, nao sao definidos em elementos
que nao sejam pontos de acumulacao de D.(existe eh claro o conceito de
limite no infinito).
No
caso em questao, temos uma funcao de R - {0} em R.O dominio nao foi
especificado, logo estou admitindo, conforme usual, que seja o maior possivel
(esta funcao poderia estar definida nos complexos nao nulos, mas estou me
detendo nos reais).Um conhecido fato, que se encontra em qualquer livro de
analise, eh que esta funcao eh continua em todo seu dominio. Logo, eh
continua.Observe que 0 nao pertence ao dominioda
funcao.
Artur
-Mensagem original-[Artur Costa
Steiner]go,De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Jose
AugustoEnviada em: segunda-feira, 12 de setembro de 2005
15:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l]
continuidadeGostaria de saber se 1/x é uma função
contínua. A definição de continuidade é que está em discussão, portanto deixo
a opção de escolha ao respondente.Obrigado, J.
ATt
RES: [obm-l] continuidade
Nao eh descontinua em x=0. Simplesmente nao eh definida em x=0. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Camilo Damiao Enviada em: segunda-feira, 12 de setembro de 2005 16:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] continuidade Creio q a função 1/x é descontinua no ponto x=0, pois naum há uma coordenada correspondente para este ponto, mas p/ qq outo valor de x, ela é uma função continua. Espero ter ajudado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade...
Cabei de ter uma ideia! Temos que se uma funcao e continua num intervalo fechado entao ela assume todos os possiveis valores entre seu maximo e seu minimo neste intervalo. Esse e um teorema bem famoso que nao vou me preocupar em demonstrar hoje. Se M e m sao os extremos de f, temos que m=1=M. Mas a funcao f so assume valores racionais. Logo m e M sao racionais. Mas sabemos que se mM entao existe um irracional I entre M e m. Se este fosse o caso existiria K tal que f(K)=I, absurdo! Logo m=M e acabou, pois m=1=M. On 7/6/05, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço esta? Se f: [0,1] -- R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1]. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com http://gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade...
Como faço esta? Se f: [0,1] -- R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1].-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] continuidade...
Isso aí é consequência imediata do teorema do valor intermediário. Veja: Suponha, por absurdo, que exista c em (0,1] tal que f(c) != f(0) = 1. Então, pelo teorema do valor intermediario, para todo y0 em [f(0), f(c)] u [f(c), f(0)] existe x0 em [0,c] tal que y0 = f(x0) (i.e., f assume todos os valores entre 1 e c). Mas sabemos que entre 0 e c (0!=c por hipotese) existem infinitos números irracionais. Então, pelo teorema do valor intermediário, supor que f assuma algum valor diferente de 1 implica f assumir algum valor irracional, o que contraria a hipótese. Logo, não se pode supor que f assuma valor diferente de 1. Portanto, f(x) = 1, para todo x em [0,1]. Se quiser uma resolução mais detalhada, teríamos que provar o teorema do valor intermediário, o que é relativamente simples usando a propriedade do supremo, e também provar que entre 2 reais distintos quaisquer existem infinitos irracionas, o que também sai da propriedade do supremo Abraço BrunoOn 7/6/05, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço esta? Se f: [0,1] -- R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1].-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Continuidade uniforme
Eh isso ai. Eu dei uma solucao um pouco diferente, baseada em sequencias, mas que eh a mesma coisa. Interessante que eh muito mais facil provar esta resultado mais geral do que provar diretamente seucorolario de que f nao eh periodica. Esta conclusao pode ser generalizada para qualquer a 1 (em vez de apenas a =2, caso do quadrado),Artur - Mensagem Original De: obm-l@mat.puc-rio.brPara: "obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Continuidade uniformeData: 07/01/05 21:01on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Achei este problema interessante: Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. Artur Seja a 0 o periodo de f.Como f eh continua, teremos que lim(n - infinito) f(x + y/n) = f(x),quaisquer que sejam x e y reais.Como f eh nao-constante, vai existir b tal que:0 b a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps 0Logo,|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| =|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =|f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| eps, para n suficientemente grande.No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y|torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior doque uma quantidade positiva fixa (eps).Logo, g nao eh uniformemente continua.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Continuidade uniforme
Achei este problema interessante: Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Continuidade uniforme
on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Achei este problema interessante: Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R. Artur Seja a 0 o periodo de f. Como f eh continua, teremos que lim(n - infinito) f(x + y/n) = f(x), quaisquer que sejam x e y reais. Como f eh nao-constante, vai existir b tal que: 0 b a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps 0 Logo, |g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| = |f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| = |f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| eps, para n suficientemente grande. No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira. Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y| torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do que uma quantidade positiva fixa (eps). Logo, g nao eh uniformemente continua. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Boa tarde Arthur, Desculpe-me mas nao recibi essa msg, procurei nos arquivos da lista e nao encontrei, agradeço se puder reenviar. Eu ja enviei uma mensagem sobre isto Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa noite amigos, nao esque?am dessa por favor... Seja f: R^2 em R definida por: f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0) = 0, se (x,y)=(0,0) Determine o conjunto de pontos onde f eh continua. 2) Prove que a serie: som?torio com n variando de 1 a infinito de x/n(1+nx^2) converge uniformemente em toda reta real. Desde jah agrade?o. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - ? gr?tis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - ? gr?tis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Boa tarde Arthur,
Desculpe-me mas nao recibi essa msg, procurei nos arquivos da lista e nao
encontrei, agradeço se puder reenviar.
OK, aih vai a mensagem que enviei da outra vez.
Artur
1)Seja f: R^2 em R definida por:
f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
f(x,y) = (xy^2)/(x^2 + y^4), se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
Em R^2 - {(0,0)}, f eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas,
sendo que a do denominador nunca se anula. Logo, f eh continua.
Sobre a parabola x = y^2, temos para (x,y) (0,0) que f(x,y) =
(y^4)/(y^4 +
y^4)| = 1/2, de modo que, sobre esta parabola, f(x,y) - 1/2 f(0,0)
quando (x,y) - (0,0). Logo, f eh descontinua em (0,0) e o conjunto de
seus
pontos de continuidade eh R^2 - {(0,0)}.
2) Prove que a serie:
somatório com n variando de 1 a infinito de
x/(n(1+nx^2)) converge uniformemente em toda reta real.
Para cada n, temos uma funcao f_n, impar e diferenciavel, de x. Temos
que
f_n(0) = 0 e que f_n(x) - 0 quando x - oo. Diferenciando, concluimos
que
em [0, oo) f_n apresenta um maximo absoluto em x_m = 1/raiz(n), o qual
acarreta f_n(x_m) = 1/(2n*raiz(n)). Como f_n eh impar, temos entao para
todo
real x que |f_n(x)| = 1/(2n*raiz(n)). A serie Soma [1/(2n*raiz(n))] =
(1/2)* Soma(1/(n^(3/2)) converge, pois 3/2 1 . O teste M de
Weierstrass
mostra-nos entao que a serie de funcoes dada converge uniformemente em
toda
a reta real.
Artur
OPEN Internet e Informática
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[obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Boa noite amigos, nao esqueçam dessa por favor... Seja f: R^2 em R definida por: f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0) = 0, se (x,y)=(0,0) Determine o conjunto de pontos onde f eh continua. 2) Prove que a serie: somátorio com n variando de 1 a infinito de x/n(1+nx^2) converge uniformemente em toda reta real. Desde jah agradeço. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Eu ja enviei uma mensagem sobre isto Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa noite amigos, nao esqueçam dessa por favor... Seja f: R^2 em R definida por: f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0) = 0, se (x,y)=(0,0) Determine o conjunto de pontos onde f eh continua. 2) Prove que a serie: somátorio com n variando de 1 a infinito de x/n(1+nx^2) converge uniformemente em toda reta real. Desde jah agradeço. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade e convergencia uniforme
Boa tarde amigos, Seja f: R^2 em R definida por: f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0) = 0, se (x,y)=(0,0) Determine o conjunto de pontos onde f eh continua. 2) Prove que a serie: somátorio com n variando de 1 a infinito de x/n(1+nx^2) converge uniformemente em toda reta real. Desde jah agradeço. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade e convergencia uniforme
1)Seja f: R^2 em R definida por:
f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
f(x,y) = (xy^2)/(x^2 + y^4), se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
Em R^2 - {(0,0)}, f eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas,
sendo que a do denominador nunca se anula. Logo, f eh continua.
Sobre a parabola x = y^2, temos para (x,y) (0,0) que f(x,y) = (y^4)/(y^4 +
y^4)| = 1/2, de modo que, sobre esta parabola, f(x,y) - 1/2 f(0,0)
quando (x,y) - (0,0). Logo, f eh descontinua em (0,0) e o conjunto de seus
pontos de continuidade eh R^2 - {(0,0)}.
2) Prove que a serie:
somatório com n variando de 1 a infinito de
x/(n(1+nx^2)) converge uniformemente em toda reta real.
Para cada n, temos uma funcao f_n, impar e diferenciavel, de x. Temos que
f_n(0) = 0 e que f_n(x) - 0 quando x - oo. Diferenciando, concluimos que
em [0, oo) f_n apresenta um maximo absoluto em x_m = 1/raiz(n), o qual
acarreta f_n(x_m) = 1/(2n*raiz(n)). Como f_n eh impar, temos entao para todo
real x que |f_n(x)| = 1/(2n*raiz(n)). A serie Soma [1/(2n*raiz(n))] =
(1/2)* Soma(1/(n^(3/2)) converge, pois 3/2 1 . O teste M de Weierstrass
mostra-nos entao que a serie de funcoes dada converge uniformemente em toda
a reta real.
Artur
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Boa noite amigos, Seja f: R^2 em R definida por: f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0) = 0, se (x,y)=(0,0) Determine o conjunto de pontos onde f eh continua. 2) Prove que a serie: somátorio com n variando de 1 a infinito de x/n(1+nx^2) converge uniformemente em toda reta real. Desde jah agradeço. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Continuidade - Exercício
Caros amigos da lista, espero que possam me ajudar ;) QUESTÃO: Determine a e b para que f(x) seja contínua em R. onde f(x)= (e^ax - 1)(x^4 +2) , para x0 x^5 + 6x^3 + 9x a*sen(x*pi) + b para 0=x=1/2 8x^3 - 4x^2 - 2x + 1 . para x1/2 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2 +1) Assim, a+b = 8/5 Porém quando fui aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor vetou). Será que alguem ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra maneira? Ahh! a resposta é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5 ). Agradeço desde já! Abraços, Rossi
Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Title: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício on 08.06.04 14:44, Fellipe Rossi at [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros amigos da lista, espero que possam me ajudar ;) QUESTÃO: Determine a e b para que f(x) seja contínua em R. onde f(x)= (e^ax - 1)(x^4 +2) , para x0 x^5 + 6x^3 + 9x a*sen(x*pi) + b para 0=x=1/2 8x^3 - 4x^2 - 2x + 1 . para x1/2 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2 +1) Assim, a+b = 8/5 Porém quando fui aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor vetou). Será que alguem ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra maneira? Ahh! a resposta é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5 ). Agradeço desde já! Abraços, Rossi O que voce quer eh provar que lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = 1 sem usar L'Hopital. Soh que isso depende de como voce define a funcao exponencial. Por exemplo, uma forma eh definir a funcao log:(0,+infinito) - R como sendo: log(x) = Integral(1..x) dt/t e depois provar que, para quaisquer x, y positivos, vale log(xy) = log(x) + log(y). Dai decorre que log eh uma bijecao infinitamente diferenciavel tal que:. log(1) = 0; existe um unico numero real, representado por e, tal que log(e) = 1; log'(x) = 1/x para todo x 0. Em seguida, definimos a funcao exp:R - (0,+infinito) como sendo a inversa da log, de forma que exp(0) = 1, exp(1) = e, em geral, exp(x) = e^x. Finalmente, a derivada de exp em x = 0 eh igual a: exp'(0) = lim(h-0) (exp(0+h) - exp(0))/h = lim(h-0) (e^h - 1)/h. Mas, como, para todo x real vale log(exp(x)) = x, a regra da cadeia implica que, para todo x: log'(exp(x))*exp'(x) = 1 == (1/exp(x))*exp'(x) = 1 == exp'(x) = exp(x). Em particular, exp'(0) = exp(0) = 1, ou seja, lim(h-0) (e^h - 1)/h = 1 Eh facil ver, a partir disso, que se a 0, entao lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = a, bastando apenas fazer a mudanca de variavel y = ax. []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Title: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício Muito obrigado! Eu tenho prova disso amanha! vc ajudou bastante!! :) Eu posso dizer que lim(x-0) (e^x - 1)/x = 1 é um limite fundamental? ou numa prova eu precisaria provar isso? Abraços Rossi - Original Message - From: Claudio Buffara To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 08, 2004 4:14 PM Subject: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício on 08.06.04 14:44, Fellipe Rossi at [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros amigos da lista, espero que possam me ajudar ;)QUESTÃO:Determine a e b para que f(x) seja contínua em R.onde f(x)=(e^ax - 1)(x^4 +2) , para x0x^5 + 6x^3 + 9xa*sen(x*pi) + b para 0=x=1/28x^3 - 4x^2 - 2x + 1 . para x1/24x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2 +1)Assim, a+b = 8/5Porém quando fui aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor vetou).Será que alguem ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra maneira?Ahh! a resposta é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5 ).Agradeço desde já!Abraços,RossiO que voce quer eh provar que lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = 1 sem usar L'Hopital.Soh que isso depende de como voce define a funcao exponencial.Por exemplo, uma forma eh definir a funcao log:(0,+infinito) - R como sendo:log(x) = Integral(1..x) dt/te depois provar que, para quaisquer x, y positivos, vale log(xy) = log(x) + log(y).Dai decorre que log eh uma bijecao infinitamente diferenciavel tal que:.log(1) = 0;existe um unico numero real, representado por e, tal que log(e) = 1; log'(x) = 1/x para todo x 0.Em seguida, definimos a funcao exp:R - (0,+infinito) como sendo a inversa da log, de forma que exp(0) = 1, exp(1) = e, em geral, exp(x) = e^x.Finalmente, a derivada de exp em x = 0 eh igual a:exp'(0) = lim(h-0) (exp(0+h) - exp(0))/h = lim(h-0) (e^h - 1)/h.Mas, como, para todo x real vale log(exp(x)) = x, a regra da cadeia implica que, para todo x: log'(exp(x))*exp'(x) = 1 == (1/exp(x))*exp'(x) = 1 == exp'(x) = exp(x).Em particular, exp'(0) = exp(0) = 1, ou seja, lim(h-0) (e^h - 1)/h = 1Eh facil ver, a partir disso, que se a 0, entao lim(x-0) (e^(ax) - 1)/x = a, bastando apenas fazer a mudanca de variavel y = ax.[]s,Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Re: [obm-l] Continuidade - ExercícioDepende da questão, mas provar isso é fácil. Faça u = exp(x) - 1 e daí, x = ln(1+u) Ficamos então com lim_x \to 0 u/ln(1+u) = lim_x \to 0 1/ln[(1+u)^(1/u)] = 1/ln(e) = 1, usando só uma propriedade do logaritimo e o limite de (1+x)^(1/x) com x tendendo a zero, que é igual a e = 2.7182... Abraço, Henrique. - Original Message - From: Fellipe Rossi To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 08, 2004 10:18 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício Muito obrigado! Eu tenho prova disso amanha! vc ajudou bastante!! :) Eu posso dizer que lim(x-0) (e^x - 1)/x = 1 é um limite fundamental? ou numa prova eu precisaria provar isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade pela definiçao.......
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x real diferente de 0.Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Re:[obm-l] continuidade pela definiçao.......
Uai ... é só aplicar a def.!!!
Tome x=a, a um real genérico, logo temos que
(i)existem os limites laterais quando x--a pela
direita e pela esquerda de a;
(ii) lim f(x) = f(a)=1/a, válido sob a condição a=!0 ,
x-a
como x=a, temos que f é contínua em seu domínio, ou
seja R-{0}
Você poderia utilizar o fato de que f é racional como
alternativa, mostrando que f é derivavel em R-{0} logo
é continua.
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh
continua para todo x real diferente de 0.
-
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Atenciosamente,
Futuro Engenheiro Eletricista
Osvaldo Mello Sponquiado FEIS - UNESP
Usuário em GNU/Linux
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Re: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
Talvez o que vc queira seja, para E 0, mostrar que existe um d 0 tal que se 0 |x - a| d entao |(1/x) - (1/a)| E, para qualquer a real diferente de zero. Aqui, teríamos tradicionalmente E = épsilon e d = delta... :) Entao temos que mostrar que existe esse d 0. |(1/x) - (1/a)| E -E (1/x) - (1/a) E -E + (1/a) (1/x) E + (1/a) (1/x) -E + (1/a) = (1 - E*a)/a x a/(1 - E*a) Entao temos |x - a| = |x| - |a| a/(1 - E*a) - |a| Assim, tomando d = a/(a - E*a) - |a| temos que se 0 |x - a| d entao |(1/x) - (1/a)| E, o que prova a existencia do limite pela definicao e, como consequencia, a continuidade de f(x) = 1/x , que deve atender aos dois requisitos: i) existe f(a) ii) lim x- a de f(x) = f(a) guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x real diferente de 0. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
mas :|x| - |a|= |x - a|=|x|+|a| ( e nao :|x - a|=|x| - |a| ) |x| - |a| a/(1 - E*a) - |a|[EMAIL PROTECTED] wrote: Talvez o que vc queira seja, para "E 0", mostrar que existe um "d 0" talque se 0 |x - a| d entao |(1/x) - (1/a)| E, para qualquer a realdiferente de zero. Aqui, teríamos tradicionalmente E = épsilon e d =delta... :)Entao temos que mostrar que existe esse d 0.|(1/x) - (1/a)| E-E (1/x) - (1/a) E-E + (1/a) (1/x) E + (1/a)(1/x) -E + (1/a) = (1 - E*a)/ax a/(1 - E*a)Entao temos|x - a| = |x| - |a| a/(1 - E*a) - |a|Assim, tomando d = a/(a - E*a) - |a| temos que se 0 |x - a| d entao|(1/x) - (1/a)| E, o que prova a existencia do limite pela definicao e,como consequencia, a continuidade de f(x) = 1/x , que deve atender aos doisrequisitos:i) existe f(a)ii) lim x- a de f(x) = f(a)guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x realdiferente de 0.-Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=r/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] RE: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
Eu acho que houve uma certa confusao nestas
discussoes O que precisamos eh mostrar que, dado qualquer eps0, existe
d0 tal que se |u-x| d, entao |f(u) f(x)| eps. Como f eh impar, basta demonstrar
para x0. Para u e x0, temos que |1/u 1/x| = |u-x|/(u*x). Suponhamos que
0dx/2. Para todo u tal que |u-x|d temos entao que ux/2 e, portanto, |1/u
1/x| d/((x/2)*x) = 2d/(x^2). Se eps0 for arbitrado, basta entao escolhermos
d = min{x/2, (eps*x^2)/2} e teremos |f(u) f(x)| eps para todo u tal
que |u-x| d. Logo, f eh continua em todo x0 (e tambem em todo x0, pois
f eh impar).
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of guilherme S.
Sent: Friday, April 09, 2004 12:05
PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] continuidade pela
definiçao...
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh
continua para todo x real diferente de 0.
Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos
online. Instale
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[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] continuidade pela definiçao.......
Uai! Vc estah demonstrando uma proposicao partindo do principio que a
proposicao eh verdadeira... Virge, que trem eh esse?
Mas, de fato, eh mais facil mostrar que f(x) =1/x eh diferenciavel do que eh
continua (pela definicao) . Uma transformacao algebrica simples mostra que,
para todo x0 e todo u0, temos que (f(u) - f(x))/(u-x) = -1/(u*x) .
Quando u-x, o quociente tende para f'(x) = -1/(x^2), mostrando a
diferenciabilidade de f em todo x0. E da diferenciabilidade, segue-se
automaticamente a continuidade.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: Friday, April 09, 2004 1:01 PM
To: obm-l
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] continuidade pela definiçao...
Uai ... é só aplicar a def.!!!
Tome x=a, a um real genérico, logo temos que
(i)existem os limites laterais quando x--a pela
direita e pela esquerda de a;
(ii) lim f(x) = f(a)=1/a, válido sob a condição a=!0 ,
x-a
como x=a, temos que f é contínua em seu domínio, ou
seja R-{0}
Você poderia utilizar o fato de que f é racional como
alternativa, mostrando que f é derivavel em R-{0} logo
é continua.
prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh
continua para todo x real diferente de 0.
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Futuro Engenheiro Eletricista
Osvaldo Mello Sponquiado FEIS - UNESP
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Re: [obm-l] continuidade pela definiçao.......
valeu, desatencao minha... |x - a| = |x| + |a| a/(1 - E*a) + |a| e tomamos d = a/(1 - E*a) + |a| guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: mas :|x| - |a| |x| - |a| [EMAIL PROTECTED] wrote: Talvez o que vc queira seja, para E 0, mostrar que existe um d 0 tal que se 0 diferente de zero. Aqui, teríamos tradicionalmente E = épsilon e d = delta... :) Entao temos que mostrar que existe esse d 0. |(1/x) - (1/a)| -E -E + (1/a) (1/x) -E + (1/a) = (1 - E*a)/a x Entao temos |x - a| Assim, tomando d = a/(a - E*a) - |a| temos que se 0 |(1/x) - (1/a)| como consequencia, a continuidade de f(x) = 1/x , que deve atender aos dois requisitos: i) existe f(a) ii) lim x- a de f(x) = f(a) guilherme S. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: prove , pela definiçao de limite,que f(x)=1/x, eh continua para todo x real diferente de 0. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =r/~nicolau/olimp/obm- l.html = - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Continuidade
Na 1a. use o fato de que a composta de funções contínuas é contínua. Na 2a. idem, mas falta definir que f(0,0) = 0. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 31, 2004 3:49 PM Subject: [obm-l] Continuidade Como demonstrar que 1. z=sen(x^2+y) 2. z=[sen(xy)]/[sqrt(x^2+y^2)] são contínuas. Desde já agradeço []'s, Marcelo MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Continuidade
Aqui, em vez de usar a definicao e manipular epsilons e deltas, eh mais
facil usarmos aqueles teoremas sobre composicoes de funcoes continuas.
1. z=sen(x^2+y)
a funcao h(x,y) = x^2 + y pode ser vista como a soma de duas outras funcoes
de x e de y, f(x,y) = x^2 e g(x,y) = y. Eh fato bem conhecido que ambas sao
continuas em R^2. Logo, o mesmo vale para a soma delas.
A funcao seno sabidamente eh continua para todo real x. A composicao de
funcoes continuas eh continua, logo z eh continua.
2. z=[sen(xy)]/[sqrt(x^2+y^2)]
Aqui cabe observar que esta funcao naum eh definida em (0,0). Mas em todo o
R^2 - {0} ele eh continua. Use argumentos similares ao caso 1. Observe que o
quaociente de duas funcoes continuas em um ponto no qual o denominador naum
se anule eh continua no mesmo ponto.
Artur
são contínuas. Desde já agradeço
[]'s, Marcelo
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[obm-l] Continuidade de funcoes.
Ola pessoal.
Estava lendo no meu livro (Um curso de calculo, vol.2 do Guidorizzi) e
em certo ponto ele quer mostrar que a função
f(x,y) = { (xy)/((x^2) + (y^2)) se (x,y) != (0,0)
{ 0 se (x,y) = (0,0)
Não é continua em (0,0).
Eu tentaria calcular o limite. Se não desse 0, a função não seria
continua e acabou.
Mas ele faz isso.
A composta de f com a reta gamma dada por gamma(t) = (t,t) é
g(t) = f(t,t) = { 1/2 se t != 0
{ 0 se t = 0
Como gamma é continua em t=0 e a composta g(t)=f(t,t) não é continua em
t=0, resulta que f não é continua em (0,0)
Não entendi muito bem. Isso é mais um argumento geometrico ou
algebrico!? O que realmente significa a composta de f com a reta
gamma(t) ?? Porque só pelo fato da composta não ser continua f
automaticamente não é continua?!
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Niski
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RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Oi Niski!
Se uma funcao eh continua em um elemento de seu dominio, entao ela eh
continua com relacao a qualquer direcao segundo a qual nos aproximamos
do elemento em questao. E a reciproca eh verdadeira. Em termos um pouco
mais precisos: Se f eh definida em um subconjunto D de R^n, tem valores
em R^m e eh continua em a (a em D, eh claro), entao, para todo eps0
arbitrariamente escolhido, existe um d0 tal que, se x estah em D e
||x-a||d, entao ||f(x) - f(a)|| eps. (|| significa a norma
Euclidiana). Vale dizer que, se escolhermos qualquer direcao em R^n e
nos aproximarmos de a segundo a mesma, entao o valor de f, computado
deslizando-se sobre a direcao escolhida vai se aproximar suavemente
de f(a).
Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f
(isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a
qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer
curva continua que passe por a). O autor tomou um caso bem simples, a
reta bissetriz do eixos no primeiro quadrante, e mostrou que a resticao
de f a esta reta nao eh continua em 0. E disto concluiu que f nao eh
continua em 0. Para mostrar descontinuidade, basta achar uma direcao em
que isto ocorra. Mas para provar a continuidade de f, eh preciso
garantir que sua restricao a toda e qualquer reta que passe por a eh
continua. Parece injustica, nao? Mas, na vida, geralmente eh mais facil
destruir do que construir.
Se isto eh um argumento geometrico ou algebrico? Acho que ambos, a
matematica eh coerente com ela mesma. Eu entretanto prefiro dizer que eh
um argumento analitico.
Abracos
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski
Sent: Sunday, November 09, 2003 12:56 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Ola pessoal.
Estava lendo no meu livro (Um curso de calculo, vol.2 do Guidorizzi) e
em certo ponto ele quer mostrar que a função
f(x,y) = { (xy)/((x^2) + (y^2)) se (x,y) != (0,0)
{ 0 se (x,y) = (0,0)
Não é continua em (0,0).
Eu tentaria calcular o limite. Se não desse 0, a função não seria
continua e acabou.
Mas ele faz isso.
A composta de f com a reta gamma dada por gamma(t) = (t,t) é
g(t) = f(t,t) = { 1/2 se t != 0
{ 0 se t = 0
Como gamma é continua em t=0 e a composta g(t)=f(t,t) não é continua em
t=0, resulta que f não é continua em (0,0)
Não entendi muito bem. Isso é mais um argumento geometrico ou
algebrico!? O que realmente significa a composta de f com a reta
gamma(t) ?? Porque só pelo fato da composta não ser continua f
automaticamente não é continua?!
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Niski
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Re: [obm-l] Continuidade de funcoes.
On Sun, Nov 09, 2003 at 02:12:00PM -0200, Artur Coste Steiner wrote: Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f (isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer curva continua que passe por a). A afirmação acima é infelizmente incorreta. Seja f: R^2 - R definida por f(x,y) = 1 se x^2 + y^2 = 1 e x 1, 0 caso contrário. Se tomarmos a = (1,0) então a restrição de f a qq reta passando por a é contínua em a mas f claramente não é contínua em a. Observe que se em vez de uma reta você tomar o círculo unitário a restrição fica sendo descontínua. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Sem duvida! Precipitacao. O que eu devia ter dito eh que, se for continua em a, entao a restricao de f a qualquer reta passando por a eh continua em a. A reciproca nao eh verdadeira. A menos que, em vez de reta, eu me referisse a qualquer curva continua passando por a, certo? (ou usasse a definicao de continuidade em termos de sequencias no dominio de f que convergem para a). No exemplo dado, temos ateh que todas as derivadas direcionais de f existem e sao nulas em a - mas f nao eh continua em a. On Sun, Nov 09, 2003 at 02:12:00PM -0200, Artur Coste Steiner wrote: Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f (isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer curva continua que passe por a). A afirmação acima é infelizmente incorreta. Seja f: R^2 - R definida por f(x,y) = 1 se x^2 + y^2 = 1 e x 1, 0 caso contrário. Se tomarmos a = (1,0) então a restrição de f a qq reta passando por a é contínua em a mas f claramente não é contínua em a. Observe que se em vez de uma reta você tomar o círculo unitário a restrição fica sendo descontínua. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
Oi Cláudio, Talvez vc naum tenha observado que a função é f(x)=1/x²,não f(x)=1/x.De qualquer maneira,a resolução abaixo deuma encaminhada boa e acho que consegui terminar o problema. Brigadão, Eder on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua? Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao cont em x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/ (|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriad o voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante in ferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua?Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao contem x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriado voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante inferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
Oi, Eder: Por alguma razao, na tela do meu computador aparece 1/x (aspas ao inves do expoente numerico). Desculpe a falha. Mas bom saber que o que eu fiz serviu pra alguma coisa. Um abraco, Claudio. on 11.08.03 00:07, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Cláudio, Talvez vc naum tenha observado que a função é f(x)=1/x²,não f(x)=1/x.De qualquer maneira,a resolução abaixo deuma encaminhada boa e acho que consegui terminar o problema. Brigadão, Eder on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua? Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao cont em x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/ (|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriad o voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante in ferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade
Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua?Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade (correcao!)
On Sat, Apr 13, 2002 at 07:16:08PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Nenhum problema, o ambiente aqui deveria ser bem informal mesmo. Desculpem alias pelas minhas mensagens anteriores redundantes com as correções do Eduardo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
On Sat, Apr 13, 2002 at 02:37:30PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Considere a função f(x) = x/4, x em [0,1/4], f(x) = 7x/4 - 3/8, x em [1/4,3/4], f(x) = x/4 + 3/4, x em [3/4,1]. Note que f é contínua, f(0) = 0, f(1/4) = 1/16, f(3/4) = 15/16 e f(1) = 1. Tome k = 3/4. Temos f(x+k) = x + 15/16 x + 3/4 para todo x em [0,1/4]. Assim seu teorema não é verdadeiro da forma como você enunciou e o seu argumento não deveria convencer. Mas não desanime, tente corrigir... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
Ola Duda E demais colegas desta lista, E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro, modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas, tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem. Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou claramente que para K 1/2 e possivel construir uma funcao continua que nao atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ? Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que, caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,( mesmo que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao desistir ate que a ostra entregue a sua perola... Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 2,1554,150402 Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
On Sat, Apr 13, 2002 at 04:36:13PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. CORRECAO!!! ===(0k1/2)=== Desculpe a confusao! Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). Continua errado. Tente achar um contra exemplo para k = 2/5. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
Ola a todos! O problema que eu propus ao Paulo Santa Rita foi o seguinte: Seja f uma funcao continua definida em [0,1] que acaba onde comeca, ou seja f(0)=f(1)=0. Para quais valores de K (em (0,1/2] ) podemos garantir que exista um x em [0,1-K] tal que f(x) = f(x + K)? Apesar de parecer diferente, ele tem tudo a ver com o problema que estava na lista. Eu estava tentando demonstrar que para K = 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... nos sempre podiamos garantir a existencia do x e que para os outros valores possiveis de K nos nao podiamos garantir a existencia do x. Para a segunda etapa do que eu propus acima, tentei construir uma funcao (fixado o K) de forma que f(x) fosse sempre diferente de f(x + K). E acredito ter conseguido, segue a minha ideia: Seja n o numero inteiro tal que n.K 1 (n + 1).K Eu vou definir a f nos pontos x = 0, K/2, 2K/2, 3K/2, 4K/2, 5K/2, ..., 2n.K/2, (2n + 1).K/2, (2n+2).K/2, e ela vai ser linear nos x entre esses pontos. Temos: f(0) = 0 f(2K/2) = - X f(3K/2) = - X + Y f(4K/2) = - 2X + Y f(5K/2) = - 2X + 2Y f(6K/2) = - 3X + 2Y f(7K/2) = - 3X + 3Y ... Voces ja devem ter percebido o padrao, baixa X depois aumenta Y depois baixa X depois aumenta Y... Basta, agora, escolher X e Y de forma que f(1) = 0, pra qualquer X que escolhermos vai existir um Y que garante isso (eh facil de ver por que). Pronto, essa funcao eh tal que f(x) eh sempre diferente de f(x + K). Para esse fato, eu tenho uma prova geometrica, a qual nao vou expor por falta de detalhes. Mas desenhando a funcao e fazendo alguma analise minuciosa, se ve por que. (ta um pouco incompleto... eu sei) Sem mais nada a acrescentar, fico por aqui. Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Ola Duda E demais colegas desta lista, E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro, modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas, tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem. Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou claramente que para K 1/2 e possivel construir uma funcao continua que nao atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ? Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que, caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,( mesmo que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao desistir ate que a ostra entregue a sua perola... Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 2,1554,150402 Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL
Re: [obm-l] continuidade
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. CORRECAO!!! ===(0k1/2)=== Desculpe a confusao! Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade (correcao!)
Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Ola pessoal! Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: O TEOREMA Seja f:[0,1]-[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. Seja k (0k1) um numero real. CORRECAO!!! ===(0k1/2)=== Desculpe a confusao! Entao existe (pelo menos) um numero x (0=x=1-k) tal que f(x) + k = f(x + k). O ARGUMENTO GEOMETRICO Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k f(x + k) para todo x. O que isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. fig.GIF Description: GIF image
Re: [obm-l] continuidade
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) 5 ou f(x) 5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Acho que você não deveria incluir x 5, você assim está mudando o problema. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) = 30 e f(j) = 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] continuidade
Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Abracos a todos, Luiz Alberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: Ola pessoal: Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. Prove que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido pelo ciclista em exatamente 5 minutos. Vamos definir f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) ou se (5x6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)5 entre 0 e 5 ou f(x)5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o percurso de 6 milhas em 30 minutos. Outra solução pode ser conseguida se você definir g(t)=posição no tempo (t+5)-posição no tempo t. Queremos mostrar que g(t)=1 para algum t. O resto é igual... Está tudo certo? Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite Abracos a todos, Luiz Alberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
