Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Anderson Torres]

Em seg., 4 de mar. de 2024 às 09:53, Pedro José  escreveu:
>
> Bom dia!
> Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.

Não foi isso que ele fez. Ele demonstrou que ambas as expressões são
equivalentes a r==7s (mod17).
Portanto, ambas são equivalentes entre si.

> Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um 
> caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou 
> pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para 
> primeira, já é suficiente para furar.
> O certo é:
> supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e 
> mostrar que ocorre (i).

Essa é uma das maneiras de se demonstrar equivalências, não a única.
A bem da verdade, você simplesmente reverteu a ida para provar a volta
- bastava mostrar que cada implicação era reversível para assim
economizar duas linhas.

> (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17 
> (iv).
> Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
> 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 
> Provada a volta.
> logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.
>
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges 
>  escreveu:
>>
>> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
>> divide 17.
>> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
>> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
>> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
>> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
>> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também 
>> será?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Anderson Torres]

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 15:28, Claudio Buffara
 escreveu:
>
> Isso só perguntando pra quem elaborou a questão.
> Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a 
> pessoa notou que:
> 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> e isso a fez pensar no enunciado.

Eu me lembro de ter visto expressões semelhantes com outros módulos
(primos, por que será?) faz muito tempo.
Para mim o mais interessante é descobrir equivalências.
Por exemplo, se Ax+By é múltiplo de 17, quem seria C tal que x-Cy é
múltiplo de 7? Isso é basicamente uma classe de equivalência.

Na verdade daria para fazer o contrário:
se C não é múltiplo de 17, então Kx+y é múltiplo de 17 se e somente se
(CK mod 17)x+(C mod 17)y também for.
Daí é só reduzir CK e C módulo 17.

Com isso dá para gerar problemas interessantes:

- Se x+10y é múltiplo de 17, então 9x+90y, ou 9x+5y, são múltiplos de
y (e vice-versa)
- Se x+10y é múltiplo de 17, então 2x+20y, ou 2x+3y, são múltiplos de
y (e vice-versa)

Logo,
- Se 9x+5y é múltiplo de 17, então 2x+3y é múltiplo de y (e vice-versa).

>
>
> On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges  
> wrote:
>>
>> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
>> divide 17.
>> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
>> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
>> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
>> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
>> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também 
>> será?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Pedro José]

Bom dia!
Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.
Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um
caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou
pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para
primeira, já é suficiente para furar.
O certo é:
supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e
mostrar que ocorre (i).
(i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17
(iv).
Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17
Provada a volta.
logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.


Cordialmente,
PJMS

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Claudio Buffara]

Isso só perguntando pra quem elaborou a questão.
Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a
pessoa notou que:
9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
e isso a fez pensar no enunciado.


On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges 
wrote:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Jeferson Almir]

Muito obrigado senhores!!

Em dom, 10 de fev de 2019 às 22:09, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Há um critério que conheço, mas em termos práticos não serve pra nada. É
> melhor fazer a divisão.
>
> No caso de 13, vc toma 10 - 13 = -3 e, na representação decimal do número,
> substitui 10 por -3 e faz as contas. O número é divisível por 13 se, é
> somente se, o resultado for divisível por 13. Analogamente para 19. Vale
> qualquer que seja o número de algarismos.
>
> Por exemplo, o número 156. Calculamos 1 x (-3)^2 + 5 x (-3) + 6 = 0,
> divisível por 13. Logo, 156 é divisível por 13.
>
> Agora, 209. Obtemos 2 x (-9)^2 × 0 x (-9) + 9 = 162 + 9 = 171 = 9 x 19. E
> 209 é divisível por 19.
>
> É o mesmo processo dos famosos critérios de divisibilidade por 9 e por 11.
> E tem aquele semelhante para 3 porque 3^2 = 9.
>
> Pode ser provado pelas propriedades dos polinômios ou por congruências.
>
> Mas, no caso de 13, 19 e mesmo 7, em termos práticos, em nada facilita.
>
> Não sei se há um critério melhor.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em dom, 10 de fev de 2019 20:56, Jeferson Almir  escreveu:
>
>> Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7
>>
>> i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?
>>
>> ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?
>>
>> Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
>> por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
>> problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Artur Steiner]

Há um critério que conheço, mas em termos práticos não serve pra nada. É
melhor fazer a divisão.

No caso de 13, vc toma 10 - 13 = -3 e, na representação decimal do número,
substitui 10 por -3 e faz as contas. O número é divisível por 13 se, é
somente se, o resultado for divisível por 13. Analogamente para 19. Vale
qualquer que seja o número de algarismos.

Por exemplo, o número 156. Calculamos 1 x (-3)^2 + 5 x (-3) + 6 = 0,
divisível por 13. Logo, 156 é divisível por 13.

Agora, 209. Obtemos 2 x (-9)^2 × 0 x (-9) + 9 = 162 + 9 = 171 = 9 x 19. E
209 é divisível por 19.

É o mesmo processo dos famosos critérios de divisibilidade por 9 e por 11.
E tem aquele semelhante para 3 porque 3^2 = 9.

Pode ser provado pelas propriedades dos polinômios ou por congruências.

Mas, no caso de 13, 19 e mesmo 7, em termos práticos, em nada facilita.

Não sei se há um critério melhor.



Artur Costa Steiner

Em dom, 10 de fev de 2019 20:56, Jeferson Almir  Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7
>
> i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?
>
> ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?
>
> Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
> por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
> problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Raphael Aureliano]

Boa noite!

Utiliza congruência.

70J7 deve ser congruente a 0 mod13, logo :

7007+J0 == 0 mod13

(7^2).13.11+J0== 0mod13

J0==0mod13 <=> J=0

De modo análogo para 19:


7007+J0 == 0 mod19

15+J0==0mod19 <=> J=8


Raphael Aureliano

Deck Officer | Full DPO
Naval Engineering Specialist
Maritime Law Specialist

+55 21 98247-0869


Em dom, 10 de fev de 2019 20:56, Jeferson Almir  Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7
>
> i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?
>
> ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?
>
> Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
> por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
> problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Claudio Buffara]

A soma é igual a:
1+1/2+1/3+ ...+1/480 - 3*(1+1/3+1/6+ ... +1/480) =
1+1/2+1/3+...+1/480 - (1+1/2+1/3+...+1/160) =
1/161+1/162+...+1/479+1/480
Agrupando pelas extremidades...
(1/161+1/480) + (1/162+1/479) + ... + (1/320+1/321) =
641/(161*480) + 641/(162*479) + ... + 641/(320*321) =
641*(1/(161*480) + 1/(162*479) + ... + 1/(320*321)) =
641*M/N, onde N = 161*162*...*480
Como 641 é primo, não é cancelado por nenhum fator de N.
Logo, o numerador desta fração é divisível por 641.

[]s,
Claudio.



On Mon, Oct 8, 2018 at 6:50 PM Daniel Quevedo  wrote:

> Alguém conseguiu fazer?
>
> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:37, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
>> esbarrei no número errado.
>> Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou
>> consertar isso quando estiver no PC, nem reparei rs
>>
>> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
>>> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>>>
>>> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo 
>>> wrote:
>>>
 Se p é q são inteiros positivos tais que
 P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480

 Podemos afirmar que p é divisível por:
 A) 239
 B) 257
 C) 373
 D) 419
 E) 641

 R: a
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Alguém conseguiu fazer?

Em seg, 1 de out de 2018 às 10:37, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
> esbarrei no número errado.
> Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou consertar
> isso quando estiver no PC, nem reparei rs
>
> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
>> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>>
>> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo 
>> wrote:
>>
>>> Se p é q são inteiros positivos tais que
>>> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>>>
>>> Podemos afirmar que p é divisível por:
>>> A) 239
>>> B) 257
>>> C) 373
>>> D) 419
>>> E) 641
>>>
>>> R: a
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>


-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
esbarrei no número errado.
Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou consertar
isso quando estiver no PC, nem reparei rs

Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>
> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo  wrote:
>
>> Se p é q são inteiros positivos tais que
>> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>>
>> Podemos afirmar que p é divisível por:
>> A) 239
>> B) 257
>> C) 373
>> D) 419
>> E) 641
>>
>> R: a
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Claudio Buffara]

Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?

Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?

[]s,
Claudio.



On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo  wrote:

> Se p é q são inteiros positivos tais que
> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>
> Podemos afirmar que p é divisível por:
> A) 239
> B) 257
> C) 373
> D) 419
> E) 641
>
> R: a
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Olson]

Se fizer por esse método, fica bem fácil. É só dividir 1992/8640, achar
o resto, fazer a diferença entre 8640 e o resto e adicionar esse resultado
no número 1992

Em sex, 25 de mai de 2018 21:22, Otávio Araújo 
escreveu:

> É só calcular o menor inteiro maior ou igual a 1992/8640.
>
> Em sex, 25 de mai de 2018 20:08, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:
>>
>> R: 2306
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Otávio Araújo]

É só calcular o menor inteiro maior ou igual a 1992/8640.

Em sex, 25 de mai de 2018 20:08, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:
>
> R: 2306
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sim sim eu me confundi desculpe gente!

Em 24 de outubro de 2016 10:44, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Israel,
>
> é n+1 | m^2 + 1 e m+1 | n^2 + 1 e não o contrário.
>
> Esse problema parece carne de pescoço.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
> Em 22 de outubro de 2016 13:54, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa desculpa errei de novo, mas talvez esse seja um caminho
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
>>> qualquer combinação linear de a
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
 o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

 Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> corrigindo de novo para ficar mais claro:
> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Opa troquei foi mal
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1

 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
 Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo

 Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>>
>>>
>>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

 "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m
 2 + 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>

>>>
>>
>

>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Pedro José]

Bom dia!

Israel,

é n+1 | m^2 + 1 e m+1 | n^2 + 1 e não o contrário.

Esse problema parece carne de pescoço.

Saudações,
PJMS.


Em 22 de outubro de 2016 13:54, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa errei de novo, mas talvez esse seja um caminho
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
>> qualquer combinação linear de a
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 corrigindo de novo para ficar mais claro:
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
 o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

 Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa troquei foi mal
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>>>
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
>>> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Opa desculpa

 Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> absurdo pois (n²+1)|m²
>
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>
>>
>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>>
>>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
>>> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
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>>>
>>
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>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Opa desculpa errei de novo, mas talvez esse seja um caminho

Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
> qualquer combinação linear de a
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
>> que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> corrigindo de novo para ficar mais claro:
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
 o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

 Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa troquei foi mal
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>>
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
>> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Opa desculpa
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 absurdo pois (n²+1)|m²


 Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>
>
> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>
>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>
>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
>> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
qualquer combinação linear de a

Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
> que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> corrigindo de novo para ficar mais claro:
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Opa troquei foi mal

 Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa desculpa
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>>
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo


 Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
 ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:

> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>
> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



>>>
>>
>

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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

corrigindo de novo para ficar mais claro:
(n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa troquei foi mal
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>>>
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
>>> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Opa desculpa

 Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> absurdo pois (n²+1)|m²
>
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>
>>
>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>>
>>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
>>> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

(n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> corrigindo de novo para ficar mais claro:
> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Opa troquei foi mal
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1

 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
 Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo

 Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>>
>>>
>>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

 "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Opa troquei foi mal

Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa desculpa
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>>
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo


 Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
 ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:

> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>
> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1)
> e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

(n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1

E também
(m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo

Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>>
>>>
>>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

 "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1)
 e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Opa desculpa

Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> absurdo pois (n²+1)|m²
>
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>
>>
>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>>
>>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e
>>> simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

absurdo pois (n²+1)|m²


Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>
>
> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena  > escreveu:
>
>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>
>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e
>> simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea

[Carlos Watanabe]

Já tentou m=1 e n=1?Att,Carlos


  De: Richard Vilhena 
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
 Enviadas: Segunda-feira, 17 de Outubro de 2016 21:33
 Assunto: [obm-l] Divisibilidade Simultânea
   
Gostaria que uma ajuda. Obrigado!
É possível encontrar inteiros m > 0, n > 0, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e 
simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?

--
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-- 
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RE: [obm-l] Divisibilidade Simultânea

[Esdras Muniz]

Sim, m = n =1.

-Mensagem Original-
De: "Richard Vilhena" 
Enviada em: ‎17/‎10/‎2016 20:41
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
Assunto: [obm-l] Divisibilidade Simultânea

Gostaria que uma ajuda. Obrigado!


É possível encontrar inteiros m > 0, n > 0, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e 
simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?


-- 
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-- 
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Re: [obm-l] divisibilidade

[Pedro José]

Bom dia!

Se a e b fossem inteiros positivos, aí era fácil deduzir que haveria um a
mínimo.
Inclusive se a < 0 ==> a/2 > a.

Mas o pensamento do Douglas é legal, vou pegar uma carona.

Seja x =(36a+b) (6b+a) com a e b inteiros.


É fácil provar que : x<> 1 e x<> 4 ==> x >= 8.

Existe um x mínimo. Sejam ao e bo um par que acarrete xmin, ou seja, xmin =
(36ao+bo) (36bo+ao)

Logo ao/2 e bo2 ==> x = xmin/4; como xmin=2^k e k>=3 ==> x=x^(k-2) e também
é potência de 2.

Mas x < xmin, absurdo.


Saudações,
PJMS



Em 10 de outubro de 2016 19:58, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá Marcone, eu acredito que chamar a de 2^m e b de 2^n é uma solução
> particular, logo acho que você poderia escrever
> a=r.2^m e b=s.2^n com m e n sendo ímpares e tentar uma solução que com
> certeza você vai conseguir.
>
> Agora uma outra solução pode ser a seguinte:
> Vamos considerar que exista uma solução contradizendo o enunciado,
> portanto, vamos tomar a<=b sendo "a" o menor possível.
> E como você já disse cada uma das expressões 36a+b e 36b+a são potências
> de 2 , logo 4 divide a e 4 divide b, assim a/2 e b/2
> é a nossa menor solução possível, com a/2
> Abraços
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em 10 de outubro de 2016 17:17, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Mostre que, para quaisquer a e b inteiros, o produto (36a + b)(36b + a)
>> não pode ser uma potência de base 2.
>>
>>
>> a e b são pares e ainda mais: são potências de base 2, certo?
>>
>> se a = b, 37 divide o tal produto, então a diferente de b
>>
>> Considerando a = 2^m e b = 2^n e fatorando a expressão lé de cima,
>> encontramos um fator ímpar.
>>
>> Gostaria de saber se esse caminho é correto ou que alguém mostrasse uma
>> solução diferente.
>>
>> Desde já agradeço.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] divisibilidade

[Jefferson Franca]

Muito obrigado. Tentei separar os números de outra forma, talvez por isso não 
tenha enxergado outro caminho. Vacilo!Novamente obrigado Esdras.AttJefferson 


 Em Quarta-feira, 8 de Abril de 2015 16:24, Esdras Muniz 
esdrasmunizm...@gmail.com escreveu:
   

 999+1999000=11998999 =12x10⁶-1001=12x10⁶+3000-4000+1=(3000-1)(4000+1).
Em 8 de abril de 2015 12:04, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br escreveu:

Fiquei boa parte da madrugada tentando desvendar esse santo mistério: Mostre 
que o número 999+ 1999000 não é primo, ou seja, é composto.Será que alguém 
sabe como resolver esse problema interessante?AttJefferson
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-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



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Re: [obm-l] divisibilidade

[Esdras Muniz]

999+1999000=11998999 =12x10⁶-1001=12x10⁶+3000-4000+1=(3000-1)(4000+1).

Em 8 de abril de 2015 12:04, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
escreveu:

 Fiquei boa parte da madrugada tentando desvendar esse santo mistério:
 Mostre que o número 999+ 1999000 não é primo, ou seja, é composto.
 Será que alguém sabe como resolver esse problema interessante?
 Att
 Jefferson

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-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Pedro José]

Boa noite!
A mim não tem que gradecer. Dei a maior derrapada. Lamento.
Saudações,
PJMS


Em 16 de agosto de 2014 17:57, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Eu agradeço ao Pedro e ao Bernardo pelas intervenções.
 Na página 58 da Eureka 29 tem uma solução bem interssante
 da questão ``Determne todos os inteiros positivs k tais que existem
 inteiros positivos x,y,z com (x^2 + y^2 + z^2)/xyz = k´´

 --
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Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Artur Costa Steiner]

O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também 
múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja 
possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, 
congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja,  m + n é múltiplo 
de 8

Artur Costa Steiner

Em 10/07/2013, às 22:17, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
 Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.
 
 Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
 
 -- 
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-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Lucas Prado Melo]

2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é
 também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto
 seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e,
 o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja,  m +
 n é múltiplo de 8

 m poderia ser 3 e n ser 5.

3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8)

-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Eduardo Wilner]

A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9

[ ]'s





 De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17
Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
 


 
Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.

Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/7/11 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br

 A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9

3*9 = 27, mais um, 28. Não vejo problema.

 De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17
 Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

 Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
 Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.

 Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.

Vou mostrar a parte divisível por 3, você faz a por 8: como 3
divide mn + 1, temos que nem m nem n são divisíveis por 3, logo valem
1 ou 2 módulo 3. Mas note que se m*n = -1 mod 3, então não pode
ocorrer m=n mod 3 (porque então m*n seria 1 mod 3). Assim, m = 1, n =
2, ou o contrário. Logo, m+n = 1+2 = 0 mod 3.

--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Eduardo Wilner]

Desculpem, desconsiderem ; confundí 24 com 14 (deve ser o sono às duas da 
madruga...)

Boa noite



 


A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9

[ ]'s





 De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17
Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
 


 
Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.

Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

 Alguém resolveria por indução?
Manda um binômio de Newton em (n+1)^5, e pela hipótese de indução,
resta mostrar que

C(5,1) n + C(5,2)n^2 + C(5,3)n^3 + C(5,4)n^4 é divisível por 30.
Explicitando isso daí, você obtém:

5(n + 2n^2 + 2n^3 + n^4), que é divisível por 5 (claro!) e por 2
(número par de termos de mesma paridade que n). Pra ver módulo 3,
Fermat nele, n^3 == n, logo o treco vira

5(n + 2n^2 + 2n + n^2) = 5(3n + 3n^3), e fim.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Mauricio de Araujo]

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...

n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*A primeira vez é sempre a última chance.*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Nehab]

Oi, Mauricio,

Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de 
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem 
não aprendeu este conteúdo:


A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte 
argumento:


- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último 
algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma 
tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n 
não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...


Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples 
de forma mais intuitiva.


Abraços
Nehab

On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use 
congruencia...


n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com 
mailto:marconeborge...@hotmail.com


Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
[Upload Photo to Facebook]
[Google+]
[Twitt]
[Send by Gmail]
[Upload Video to Facebook]
[Google+]
[Twitt]
[Send by Gmail]

Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de
10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.




--
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

--
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acredita-se estar livre de perigo. 



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acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Artur Costa Steiner]

m = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)

Como n - 1, n e  n + 1 são inteiros consecutivos, pelo menos um deles é par e 
um deles é divisível por 3. Logo, m é divisível por 6.

Se n for múltiplo de 5, m também é. Se não for, 5 é um primo que não divide n. 
Logo, pelo pequeno teorema de Fermat, temos novamente que m é divisível por 5. 

Assim, m é divisível  por 30.

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 18/04/2013, às 11:40, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
 
 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?
   
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Ralph Teixeira]

Ou, para evitar totalmente congruências e coisas assim, note que
n^2+1=(n+2)(n-2)+5. Então:

n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

O primeiro termo tem 5 números consecutivos, então é divisível por 2, 3 e
5. O segundo tem 3 números consecutivos e aquele fator 5, então também é.

Abraço,
Ralph


2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com

  Oi, Mauricio,

 Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
 divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
 aprendeu este conteúdo:

 A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
 argumento:

 - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
 algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
 tabelinha)...
 - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
 não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

 Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
 forma mais intuitiva.

 Abraços
 Nehab

 On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

  fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

  temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

  note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

  ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
 congruencia...

  n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
 n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

  Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

  CQD.


 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

  Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




  --
  Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
  *A primeira vez é sempre a última chance.*

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Mauricio de Araujo]

Tens razão, Carlos!

à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e
desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito
didático.

Grande abraço.


2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com

  Oi, Mauricio,

 Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
 divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
 aprendeu este conteúdo:

 A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
 argumento:

 - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
 algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
 tabelinha)...
 - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
 não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

 Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
 forma mais intuitiva.

 Abraços
 Nehab

 On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

  fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

  temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

  note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

  ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
 congruencia...

  n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
 n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

  Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

  CQD.


 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

  Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




  --
  Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
  *A primeira vez é sempre a última chance.*

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Abraços

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*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*A primeira vez é sempre a última chance.*

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Nehab]

Ora, ora,

Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz.  Mas eu achei que eu 
estava bem escondidinho!
Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais 
afiada, mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada.
E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos 
que eu não publiquei.

E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos.
Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda 
escrevo mais ! Hahaha.


Grande abraço,
Nehab


On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote:

Tens razão, Carlos!

à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e 
desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito 
didático.


Grande abraço.


2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com mailto:carlos.ne...@gmail.com

Oi, Mauricio,

Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para
quem não aprendeu este conteúdo:

A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o
seguinte argumento:

- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o
último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada
através de uma tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6;
logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais
simples de forma mais intuitiva.

Abraços
Nehab

On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...

n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com

Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
[Upload Photo to Facebook]
[Google+]
[Twitt]
[Send by Gmail]
[Upload Video to Facebook]
[Google+]
[Twitt]
[Send by Gmail]

Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo
de 10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Abraços


oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

-- 
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--
Abraços

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/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[faraujocosta]

Como faço para conseguir esse material?

Enviado via iPhone

Em 18/04/2013, às 22:18, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

 Ora, ora,
 
 Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz.  Mas eu achei que eu estava 
 bem escondidinho!
 Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais afiada, 
 mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada.
 E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos que 
 eu não publiquei.
 E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos.
 Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda escrevo 
 mais ! Hahaha.
 
 Grande abraço,
 Nehab
 
 
 On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote:
 Tens razão, Carlos! 
 
 à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e 
 desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito 
 didático.
 
 Grande abraço.
 
 
 2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com
 Oi, Mauricio,
 
 Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de 
 divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem 
 não aprendeu este conteúdo:
 
 A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte 
 argumento:
 
 - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último 
 algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma 
 tabelinha)...
 - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n 
 não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
 
 Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de 
 forma mais intuitiva.
 
 Abraços
 Nehab 
 
 On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
 fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
 
 temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3
 
 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
 
 ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use 
 congruencia...
 
 n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
 n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=4(mod5) = n4=1(mod5)...
 
 Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
 
 CQD.
 
 
 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai 
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?
 Â Â 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
 -- 
 Abraços
 
 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 A primeira vez é sempre a última chance.
 
 -- 
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
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 Abraços
 
 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 A primeira vez é sempre a última chance.
 
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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[obm-l] RE: [obm-l] Divisibilidade e Congruências

[marcone augusto araújo borges]

Sobre a primeira questao,os quadrados perfeitos sao da forma 4k ou 4k + 1Note 
que 144...4 = 10^n + 4*11...1.(n zeros na primeira parcela e n 1`s na 
segunda)Para n = 2 e n = 3 temos 144 e 1444,respectivamente,quadrados 
perfeitosPara n  3,temos que 144...4 = 1000*10^(n-3) + 4*11...1 = 
4*(250*10^(n-3) + 11...1) = xSuponha que x seja um quadrado perfeito.Então y =  
250*10^(n-3) + 11...1 é tambem quadrado perfeitoObserve que a primeira parcela 
de y(para n  3) é um múltiplo de 4 e a segunda, é um múltiplo de 4 mais 3,pois 
11...111 = 11...100((n-2) 1`s) + 8 + 3,ou seja,y = 4k + 3,daivem uma 
contradição com o fato de que um quadrado perfeito é da forma 4k ou 4k + 
1.Portanto,para n 3,x=144...4 não é quadrado perfeito.Abraço,Marcone. 
 From: athos...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade e Congruências
Date: Thu, 30 Aug 2012 01:39:38 +





Bem, tenho estudado algumas matérias sozinho, e não estou obtendo muito 
sucesso. Graças as meu fracasso, vou começar a mandar questões frequentemente, 
espero que gostem e que me ajudem. Ai vai:
1)Mostre que entre os números da forma:14, 144, 1444, 1, ... , 1444...444os 
únicos quadrados perfeitos são: 144=12² e 1444=38²
2)Encontrar todos os números N de três dígitos em representação decimal, tais 
que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos 
dígitos de N.
3)Seja f: N-N uma função tal que:(a) f(1)=0(b) f(2n)= 2n+1(c) 
f(2n+1)=2f(n)Ache uma fórmula não recursiva para f(x)

Obrigado pela atenção, Boa noiteAtt. Athos Cotta Couto  
  

RE: [obm-l] divisibilidade(3)

[marcone augusto araújo borges]

Tentei fazer somando e subtraindo termos iguais,mas não consegui.
O colega Douglas,da lista, fez por congruência,ótimo.Mas eu gostaria de 
resolver seguindo sua sugestão,pois não chegamos a ver congruência ainda.
 

 Date: Tue, 21 Aug 2012 15:39:54 -0400
 Subject: Re: [obm-l] divisibilidade(3)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2012/8/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
  Mostre,para todo n E N,que
 
  notação: a exp b significa´ a elevado a b´
  a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
 Recorrencia!
 
 Mostre que vale para n=0 (facil!) e depois use que
 x | cx + d = x | d
 para simplificar (voce vai ter que somar e subtrair termos iguais para
 poder fatorar o a^2 - a + 1.
 
 Abracos,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

Re: [obm-l] divisibilidade(3)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/8/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Mostre,para todo n E N,que

 notação: a exp b significa´ a elevado a b´
 a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
Recorrencia!

Mostre que vale para n=0 (facil!) e depois use que
x | cx + d = x | d
para simplificar (voce vai ter que somar e subtrair termos iguais para
poder fatorar o a^2 - a + 1.

Abracos,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] divisibilidade(3)

[douglas . oliveira]

  

Bom usando congruência, teremos a^2=a-1 mod (aˆ2-a+1), e
substituindo fica


(a^2n).a+(a-1)^(n+2)=[(a-1)^n].a+(a-1)^(n+2)=[(a-1)^n][a+(a-1)^2]=[(a-1)^n](a^2-a+1)
logo como ele é fator sempre será divisível. 

Valeu  

Abs Douglas
Oliveira 

On Tue, 21 Aug 2012 16:43:04 +, marcone augusto araújo
borges wrote: 

 Mostre,para todo n E N,que
 notação: a exp b
significa´ a elevado a b´
 a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp
(n+2)

  

RE: [obm-l] Divisibilidade(2)

[João Maldonado]

(a³+4)/(a-2) = (a³-8+12)/(a-2) = (a²+2a+4) + 12/(a-2) = 12 tem que ser 
divisível por a-2 - a=3, 4, 5, 6, 8, 14
(a³-3)/(a+3) = (a³+27-30)/(a+3) = (a³-3a+9) -30/(a+3) - 30 tem que ser 
divisível por a+3 - a=0, 1, 2, 3, 7, 12
 
[]'s
João
 
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade(2)
Date: Thu, 16 Aug 2012 17:09:49 +





1)para que valores de a(naturais)

a) a-2 divide a³ + 4?

b) a+3 divide a³- 3?





  

Re: [obm-l] Divisibilidade(2)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/8/16 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
 (a³+4)/(a-2) = (a³-8+12)/(a-2) = (a²+2a+4) + 12/(a-2) = 12 tem que ser
 divisível por a-2 - a=3, 4, 5, 6, 8, 14
 (a³-3)/(a+3) = (a³+27-30)/(a+3) = (a³-3a+9) -30/(a+3) - 30 tem que ser
 divisível por a+3 - a=0, 1, 2, 3, 7, 12
Nao esqueca que -1 divide 12, portanto a-2 = -1 = a = 1 tambem vai
servir. E as outras solucoes tambem, eh claro.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Tiago Miranda]

Eu fiz assim:

7|8n²+5 e 11|8n²+5 logo 77|8n²+5.
Assim, existem a natural (ou inteiro) tal que 77a=8n²+5, tomando a=1 temos
77=8n²+2
n=3 (é uma das possibilidades).
Assim, basta tomarmos n = 77k +3, com k natural (ou inteiro).
!
■
Sem mais.
sds,

Tiago Miranda



Em 15 de agosto de 2012 09:41, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Mostre q existem infinitos valores de n em N para s quais 8n^2 + 5 é
 divissível por 7 e por 11
 Agradeço pela atenção.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Carlos Victor]

Olá Thiago ,

Pense assim :

43x+75y = 38x +76y  + 5x -y

Basta então mostrar que  5x-y é múltiplo de 19 .

5x-y = 5(5x-y) - 2(3x+7y) = 19x - 19y . Como  3x+7y =19k , temos que 43x+
75y também é .

Abraços

Carlos  Victor

Em 11 de maio de 2012 08:25, Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.comescreveu:

  Mostre que se [image: 19|3x+7y] então [image: 19|43x+75y]

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Ricardo Teixeira]

Olá

Repare que 13a+11b=14a+14b-(a+3b). Como a+3b é divisível por 7, 13a+11b
também o será.

Teixeira!!

Em 11 de maio de 2012 12:33, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/5/11 Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.com
  Mostre que se 19 | 3x + 7y então 19 | 43x + 75y
 Oi Thiago,

 todos esses problemas de divisibilidades mágicas usam duas coisas:
 - a | a * b para todo b inteiro
 - Se a | X, então ( a | Y = a | X+Y )

 Note que essa última implicação pode (e deve) ser usada com números
 negativos. Assim, se X = p + q, você pode usar Y = -q para deduzir que
 a | p. Daí, é só achar um jeito de ter a | -q, do mesmo jeito que no
 problema do 13 divide

 Bons estudos,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/5/11 Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.com
 Mostre que se 19 | 3x + 7y então 19 | 43x + 75y
Oi Thiago,

todos esses problemas de divisibilidades mágicas usam duas coisas:
- a | a * b para todo b inteiro
- Se a | X, então ( a | Y = a | X+Y )

Note que essa última implicação pode (e deve) ser usada com números
negativos. Assim, se X = p + q, você pode usar Y = -q para deduzir que
a | p. Daí, é só achar um jeito de ter a | -q, do mesmo jeito que no
problema do 13 divide

Bons estudos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Note que 7 divide 14a + 14b.Como 7 divide (14a + 14b) - (13a + 11b) = a + 
3b,então
7 divide 13a + 11b. 
 



From: thiago_t...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Sat, 5 May 2012 02:33:07 -0300




Mostre que se 7 | a + 3b ent˜ao | 13a + 11b

  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Pedro José]

Belo problema!
Estou andando em círculos.

Em 26/04/12, marcone augusto araújo
borgesmarconeborge...@hotmail.com escreveu:



Parece que sai por indução
 tambem.(vejam as sugestoes de Bernardo e Shine).
  Se agente mostra q vale para 4
 numeros(n=1),supomos q vale para 2^(n+1),
 mostramos q vale para 2^(n+2)
 Tomando 2^(n+2) numeros ,formamos 2 grupos de 2^(n+1) numeros...




 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Divisibilidade
 Date: Thu, 26 Apr 2012 13:44:11 +




 Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja
 soma é divisível por 2^n

 Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
 Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria
 r*2^n,que é divisível por 2^n
 Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma
 solução por outro caminho.
 Obrigado pela atenção.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/26 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja
 soma é divisível por 2^n

 Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
 Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria
 r*2^n,que é divisível por 2^n
O problema dessa idéia é que você não tem certeza que dá pra fazer de
forma independente...

 Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma
 solução por outro caminho.
Bom, olhando a questão, parece ser um caso de recorrência. E é mesmo!
(enfim, funciona)

Mostre que é verdade para n = 1. Esse caso é fácil, mas já é a base de tudo...
Agora, tente ver como faz para n = 2. Você tem 8 números
(quaisquer!!!) e você tem que conseguir 4 cuja soma seja divisível por
4. Por indução, você sabe que para cada decomposição 8 = 4+4, você
consegue 2 vezes 2 números cuja soma é divisível por 2. Mas isso não
garante que é divisível por 4!! Podia dar 2 + 0... e aí? A dica é ver
que o caso n = 1 não é optimal...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Carlos Yuzo Shine]

Pensa assim: entre três, há dois cuja soma é par. Então faça o seguinte 
algoritmo: escolha três caras quaisquer e tome os dois que têm soma par; 
coloque o que sobrou de volta (ficam 2^(n+1) - 2 números) e repita. Com isso, 
você consegue 2^n - 1 pares de números com soma par. Considere as somas: entre 
cada três, há duas somas cuja soma é par e você consegue 2^(n-1) - 1 pares de 
somas (ou seja, conjuntos com quatro elementos) cuja soma é múltipla de 4. Aí é 
só continuar.

[]'s
Shine

PS: Na verdade, é possível provar que entre 2n-1 números há n cuja soma é 
divisível por n. Mas isso é um pouco mais difícil de provar (o caso difícil é n 
primo).



 From: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, April 26, 2012 10:44 AM
Subject: [obm-l] Divisibilidade
 

 
Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja 
soma é divisível por 2^n
 
Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria 
r*2^n,que é divisível por 2^n
Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma 
solução por outro caminho.
Obrigado pela atenção.

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

 Parece que sai por indução tambem.(vejam as 
sugestoes de Bernardo e Shine). 
 Se agente mostra q vale para 4 numeros(n=1),supomos q vale 
para 2^(n+1),
mostramos q vale para 2^(n+2)
Tomando 2^(n+2) numeros ,formamos 2 grupos de 2^(n+1) numeros...
 



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Thu, 26 Apr 2012 13:44:11 +




Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja 
soma é divisível por 2^n
 
Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria 
r*2^n,que é divisível por 2^n
Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma 
solução por outro caminho.
Obrigado pela atenção.
  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Henrique Rennó]

Vi que para o expoente 4p:

p = 1: 99*101 = , pois temos 99 + 9900.
p = 2: 990099 = , pois temos 990099 + 99009900.
Seguindo o mesma lógica, todo número da forma 9900990099... multiplicado
por 101 resultará em um número da forma ... onde o número de
noves deste é igual a 2 vezes o número de noves do primeiro.

Como foram encontrados os outros restos?

2012/2/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
 Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?

  --
 Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
 From: tarsise...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Eu acho que você pode fazer assim

 Para p=1, temos
 1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

 Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
 por 101.

 O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 =
 4p=100 =p=25


 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.





-- 
Henrique

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Henrique Rennó]

Por que foram escolhidos os expoentes na forma 4p, 4p-1, 4p-2 e 4p-3?
Poderiam ser utilizadas para resolver o problema também, por exemplo, 3p,
3p-1, 3p-2 ou 2p, 2p-1 ou 5p, 5p-1, 5p-2, 5p-3, 5p-4 ou quaisquer outras?

2012/2/14 tarsis Esau tarsise...@gmail.com

 Eu acho que você pode fazer assim

 Para p=1, temos
 1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

 Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
 por 101.

 O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 =
 4p=100 =p=25



 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.





-- 
Henrique

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

4p-3 ´´equivale´´ a 4p+1(pois um multiplo de 4 mais 1 é sempre um multiplo de 4 
menos 3)
10^4p = 1(mod101)=(10^4p)*10 = 1*10=10^(4p+1) = 10(mod101)=10^(4p-3) = 
10(mod101)
4p - 2 ´´equivale´´ a 4p+2:10^4p = 1(mod101)=(10^4p)*100 = 
1*100(mod101)=10^(4p+2) = -1(mod101),pois
100 = -1(mod101)
O outro resto(91) pode ser encontrado com raciocinio semelhante
Espero ter respondido.  
 
 
  



Date: Wed, 15 Feb 2012 14:20:10 -0200
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: henrique.re...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Vi que para o expoente 4p:


p = 1: 99*101 = , pois temos 99 + 9900.
p = 2: 990099 = , pois temos 990099 + 99009900.
Seguindo o mesma lógica, todo número da forma 9900990099... multiplicado por 
101 resultará em um número da forma ... onde o número de noves 
deste é igual a 2 vezes o número de noves do primeiro.


Como foram encontrados os outros restos?


2012/2/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com



Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?
 




Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25



On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.




-- 
Henrique

  

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Acho q aqui é porque 1=10^4 = 1(mod101)=(10^4)^n = 1^n= 10^4n = 1(mod101)
Multitlicando os membros por 10,100,1000,respectivamente,encontramos 10^(4n+1) 
= ...,10^(4n+2) = ...,10^(4n+3)...
 



Date: Wed, 15 Feb 2012 16:42:51 -0200
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: henrique.re...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Por que foram escolhidos os expoentes na forma 4p, 4p-1, 4p-2 e 4p-3? Poderiam 
ser utilizadas para resolver o problema também, por exemplo, 3p, 3p-1, 3p-2 ou 
2p, 2p-1 ou 5p, 5p-1, 5p-2, 5p-3, 5p-4 ou quaisquer outras?


2012/2/14 tarsis Esau tarsise...@gmail.com

Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25





On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.




-- 
Henrique

  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[tarsis Esau]

Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
por 101.

O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100
=p=25


On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?
 



Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25



On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.

  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[tarsis Esau]

Poderia colocar que 10^(4p-1)= -10 (mod 101) também.

Sabendo que qualquer expoente natural pode ser escrito da forma 4p, 4p - 1,
4p - 2, 4p - 3, para p natural maior que 1.

No problema induz-se que os restos repetem. Desse modo coloquei 91, ou
ficaria melhor -10.

Não sei se respondi a pergunta.


On Tue, Feb 14, 2012 at 10:16 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
 Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?

  --
 Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
 From: tarsise...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Eu acho que você pode fazer assim

 Para p=1, temos
 1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

 Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
 por 101.

 O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 =
 4p=100 =p=25


 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Entendi perfeitamente
De 100^n=-1(mod101) eu poderia escrever 100^49=10^98=-1(mod101).
Valeu!
 



Date: Tue, 14 Feb 2012 16:20:32 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Poderia colocar que 10^(4p-1)= -10 (mod 101) também.

Sabendo que qualquer expoente natural pode ser escrito da forma 4p, 4p - 1, 4p 
- 2, 4p - 3, para p natural maior que 1. 

No problema induz-se que os restos repetem. Desse modo coloquei 91, ou ficaria 
melhor -10.

Não sei se respondi a pergunta.



On Tue, Feb 14, 2012 at 10:16 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?
 




Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br




Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25



On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.


  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Kleber Bastos]

Valeu!

Em 17 de agosto de 2011 22:38, Johann Dirichlet
peterdirich...@gmail.comescreveu:

 Basta demonstrar que (2^a)-(2^q) é múltiplo de  (2^b)-1.
 Assim, escreva a=bX+q, fatore e conclua!

 Em 17/08/11, Kleber Bastosklebe...@gmail.com escreveu:
  Olá Galera,
 
  Estou com dúvida no seguitne problema:
 
  *Sejam ab  inteiros positivos. Mostre que se o resto da divisão de a por
 b
  é q então o resto da divisão de (2^a)-1 por (2^b)-1 é (2^q)-1.*
 
 
  Att,
  Kleber
 


 --
 /**/
 神が祝福

 Torres

 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Kleber B. Bastos

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Carlos Nehab]

Oi, Olavo e Felipe,

Segue um resumo adaptado de http://www.egge.net/~savory/maths1.htm, 
escrito há muito tempo por mim e baseado nessa referência, que eu sugeri 
em e-mail anterior.


Seja N um inteiro, r seu último dígito e M o número formado pelos 
algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249, então r = 9 e M = 324).


a) Exemplo preliminar (divisibilidade 17)

Propriedade
17 | N se e somente se  17 | M - 5r

Exemplos

N = 2.343
17 | 2343   sss  17 | ( 234  - 5.3)   sss  17 | 219  sss
17 | 21 - 5x9   sss  17 |  -24;
logo, 2343 não é divisível por 17.

N = 15.912
17 | 15912   sss  17 | (1591 - 5.2)   sss   17 | 1581   sss
17 | (158 - 5.1)  sss 17 |  153  sss 17 | (15 - 5.3)  sss
17 | 0; logo, 17 | 15912.

b) Caso geral
Se p é primo, determine q, o menor múltiplo positivo de p terminado em 1 
ou 9 (se p = 17  então q = 51).


i) Se o último dígito de q = 1:

p | N  sss p |  M -  ar , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 1 (no caso de 17, o 5);


ii) Se o último dígito de q = 9:
p | N  sss p |  M +  (a+1) r , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 9;


c) Tabelinha
Veja a tabela abaixo, onde indicamos nesta ordem, o primo p, o valor de 
q,  o valor de a e a pro¬priedade...


pq  a   (p | N) sss p divide...
 7   21 1M - 2r
11   11 1M - r
13   39 3M + (3+1)r   = M + 4r
17   51 5M - 5r
23   69 6M + (6+1)r  = M + 7r
29   29 2M + (2+1)r = M + 3r
31   31 3M - 3r
37  11111M - 11r
41   41 4M - 4r
43  12912M + 13r
47  14114M - 14r
...

As demostrações são simples, mas qualquer dúvida escreva.

Abraços,
Nehab


Em 20/12/2010 09:35, Antonio Neto escreveu:
   Senhores, permitam meter a colher torta. Com a mesma notação do 
texto, um outro possível critério é: n = 10x + a é divisível por 13 
se, e somente se, x + 4a o for. Note que vc multiplica o algarismo 
final por -9, e eu por 4. Ahá!!! 4-(-9) = 13. Experimente também x + 
17a, etc... Há um livrinho russo, da Editora Mir, o exemplar que tenho 
está em espanhol, chamado Criterios de divisibilidad, acho que é do 
Vorobiov, mas não estou em casa agora. Divirta-se, abraços, olavo.


Antonio *Olavo* da Silva Neto





Date: Fri, 17 Dec 2010 11:54:57 -0200
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

Oi, Felipe,

Você vai gostar de
http://www.egge.net/~savory/maths1.htm 
http://www.egge.net/%7Esavory/maths1.htm


Seu caso é equivalente ao que o texto menciona. Procure perceber isto.

Abraços,
Nehab


Em 16/12/2010 23:55, Felipe Diniz escreveu:

n = 10x+a, a entre 0 e 9.

x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13

n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13

2010/12/16 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com

Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e
repetindo o procedimento:81 - 9*9=0
zero é divisível por 13,logo8281 também é.
Para 867:86 - 9*7=23.
23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
Como provar que a regra é verdadeira?

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Carlos Nehab]

Oi, Felipe,

Você vai gostar de
http://www.egge.net/~savory/maths1.htm

Seu caso é equivalente ao que o texto menciona. Procure perceber isto.

Abraços,
Nehab


Em 16/12/2010 23:55, Felipe Diniz escreveu:

n = 10x+a, a entre 0 e 9.

x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13

n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13

2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com 
mailto:marconeborge...@hotmail.com


Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo
o procedimento:81 - 9*9=0
zero é divisível por 13,logo8281 também é.
Para 867:86 - 9*7=23.
23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
Como provar que a regra é verdadeira?

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Felipe Diniz]

n = 10x+a, a entre 0 e 9.

x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13

n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13

2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo o
 procedimento:81 - 9*9=0
 zero é divisível por 13,logo8281 também é.
 Para 867:86 - 9*7=23.
 23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
 Como provar que a regra é verdadeira?

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Uma questão interessante.Gostaria muito de saber como resolvê-la.È muito 
complicada?
 


From: vitor__r...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Fri, 28 May 2010 22:58:53 +0300



Questão da Olimpíada de  Mayo:
 
Encontrar todos os pares de inteiros positivos (a,b) tal que 8a+1 é 
divisível por b e 8b+1 é divisível por a.
WSe alguém tiver alguma sugestão como resolver por favor fique a 
vontade.Desde já obrigado,Vitor.
 



USE O MESSENGER DENTRO DO HOTMAIL SEM PRECISAR INSTALAR NADA. CLIQUE PARA VER 
COMO.   
_
NINGUÉM PRECISA SABER O QUE VOCÊ ESTÁ COMPRANDO. LEIA MAIS SOBRE ESSE ASSUNTO 
AQUI.
http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/browse-privately.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1590

[obm-l] Re: [obm-l] divisibilidade/equação

[luiz silva]

Vanderley,
 
Com isso vc provou que a equação 3m +  3n + 1= t2 (acho q foi vc quem enviou 
para a lista..não)  
não possui soluções inteiras,
 
pois t tem que ser impar (2k+1). Com isso, teremos 3m +  3n + 1= 4k2 + 4K +1,
 
3m +  3n = 4k2 + 4K=4k(k+1) . Como k ou k+1 é par, temos que 4k(k+1)=8a
 
8a = 3m +  3n .
 
E aí chegamos no questionamento respondido pelo Rafael.
 
Abs
Felipe
--- Em qua, 13/8/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 13 de Agosto de 2008, 18:00

3^a eh congruente a 1 ou 3 mod 8, entao 3^a+3^b eh congruente a 2, 4
ou 6 mod 8, e portanto nao eh multiplo de 8.

Essa eh a segunda parte daquela questao q tinha sido perguntada na
lista de como provar q 3^m + 3^n +1 = t^2 nao tem solucao inteira,
alias... Soh agora q fui ver...

On 8/13/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros?

 Vanderlei



-- 
Rafael

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] divisibilidade

[Rafael Ando]

3^a eh congruente a 1 ou 3 mod 8, entao 3^a+3^b eh congruente a 2, 4
ou 6 mod 8, e portanto nao eh multiplo de 8.

Essa eh a segunda parte daquela questao q tinha sido perguntada na
lista de como provar q 3^m + 3^n +1 = t^2 nao tem solucao inteira,
alias... Soh agora q fui ver...

On 8/13/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros?

 Vanderlei



-- 
Rafael

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Antonio Giansante]

Então Albert...esse critério para o 13 e para  vários
outros primos já foi postado aqui há algum tempo. Dê
uma olhada em  
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200701/msg00208.html
que lá está tudo bem explicado e resumido. Boa
diversão!!

--- albert richerd carnier guedes [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Caramba Antônio, e como se chega a este método para
 divisão por 13, pois 
 não é nadinha trivial.
 
 
 Antonio Giansante escreveu:
  Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4
 vezes)
  do último algarismo, somado ao número sem o último
  algarismo, resultar um número divisível por 13.
 EX:
  25672 -- 2567+8 = 2575-- 257+20 = 277--27+21=48
 que
  não é divisível or 13 Porém, creio que nesse caso
 seja
  mais rápido você fazer a divisão do número e ver
 como
  vai ficar o resto. Ficará um número do tipo 2n ou
 3n.
  Assim, você descobrirá qual o valor do n (6 para
 2n e
  9 para 3n, por exemplo) e, ao mesmo tempo, obteráo
  valor de q. é isso.

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=
 



  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Antonio Giansante]

Quase esqueci de comentar: achei também um outro
critério de divisibilidade por 13 na revista do
professor de matemática. Dê uma olhada em
http://www.rpm.org.br/novo/conheca/58/divisibilidade.pdf.
Também é interessante. Não há a demonstração para o 13
(só para o 7), mas fica claro que fazer -9k ou + 4r dá
no mesmo, uma vez que 9 + 4 = 13 e em um dos métodos
faz-se a diferença pra chegar ao múltyiplo anterior,
enquanto no segundo soma-se para chegar ao próximo.
VAleu? Espero te ajudado.


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Antonio Giansante]

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes)
do último algarismo, somado ao número sem o último
algarismo, resultar um número divisível por 13. EX:
25672 -- 2567+8 = 2575-- 257+20 = 277--27+21=48
Porém, creio que nesse caso seja mais rápido você
fazer a divisão do número e ver como vai ficar o
resto. Ficará um número do tipo 2n ou 3n. Assim, você
descobrirá qual o valor do n e, ao mesmo tempo,
obteráo valor de q.


--- Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Alguém me ajude nessa questão, qual o critério de
 divisibilidade por 13?
 
  
 
 O número natural N =( 10^5 +  3.10^4 + 7.10^2 + 440
 + n) é divisível por 13,
 n é um numero natural menor que 10, e q é o
 quociente da divisão de N por
 13. Logo q + n vale:
 
  
 
 a)  10739b) 10026  c) 13052 
  d) 10582
 e) 10126
 
  
 
 



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Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Antonio Giansante]

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes)
do último algarismo, somado ao número sem o último
algarismo, resultar um número divisível por 13. EX:
25672 -- 2567+8 = 2575-- 257+20 = 277--27+21=48 que
não é divisível or 13 Porém, creio que nesse caso seja
mais rápido você fazer a divisão do número e ver como
vai ficar o resto. Ficará um número do tipo 2n ou 3n.
Assim, você descobrirá qual o valor do n (6 para 2n e
9 para 3n, por exemplo) e, ao mesmo tempo, obteráo
valor de q. é isso.


--- Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Alguém me ajude nessa questão, qual o critério de
 divisibilidade por 13?
 
  
 
 O número natural N =( 10^5 +  3.10^4 + 7.10^2 + 440
 + n) é divisível por 13,
 n é um numero natural menor que 10, e q é o
 quociente da divisão de N por
 13. Logo q + n vale:
 
  
 
 a)  10739b) 10026  c) 13052 
  d) 10582
 e) 10126
 
  
 
 



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Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[albert richerd carnier guedes]

Caramba Antônio, e como se chega a este método para divisão por 13, pois 
não é nadinha trivial.



Antonio Giansante escreveu:

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes)
do último algarismo, somado ao número sem o último
algarismo, resultar um número divisível por 13. EX:
25672 -- 2567+8 = 2575-- 257+20 = 277--27+21=48 que
não é divisível or 13 Porém, creio que nesse caso seja
mais rápido você fazer a divisão do número e ver como
vai ficar o resto. Ficará um número do tipo 2n ou 3n.
Assim, você descobrirá qual o valor do n (6 para 2n e
9 para 3n, por exemplo) e, ao mesmo tempo, obteráo
valor de q. é isso.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] divisibilidade

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Francisco,

O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.

Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando 
módulo.   Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...


Solução 1)
Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) 
terminando com um 6, correto?


Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 
142857.   Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá 
obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os 
algarismos 9996 para terminar a divisão.

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.

Solução 2)
Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):

Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número 
M e seu último algarismo (de N) é r.

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.

Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).

Abraços,
Nehab

PS: Deixo a solução por módulo para os demais colegas.

Abraços,
Nehab



At 15:39 15/8/2007, you wrote:

Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

Grato.


--
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Re: [obm-l] divisibilidade II

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a 
relação deste fato com a dica que eu havia dado para o 
Francisco?  Pode me explicar melhor ?


Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética 
modular.   Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví...


Abração,
Nehab

PS:
O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  ---  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); 
mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7).


At 18:03 15/8/2007, you wrote:
E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh 
divisivel por 7. Certo?

Artur



 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab

Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade

Oi, Francisco,

O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.

Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando 
módulo.   Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...


Solução 1)
Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) 
terminando com um 6, correto?


Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 
142857.   Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá 
obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os 
algarismos 9996 para terminar a divisão.

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.

Solução 2)
Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e 
elegante):


Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número 
M e seu último algarismo (de N) é r.

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.

Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).

Abraços,
Nehab

PS: Deixo a solução por módulo para os demais colegas.

Abraços,
Nehab



At 15:39 15/8/2007, you wrote:

Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

Grato.


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Re: [obm-l] DIVISIBILIDADE POR 11

[Paulo Santa Rita]

Ola Alonso e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

A sequencia e de 39 inteiros positivos CONSECUTIVOS. Perdão pelo erro.

Um Abraço a todos
Paulo Santa Rita
2,0D0F,160707

Em 16/07/07, ralonso[EMAIL PROTECTED] escreveu:


PROBLEMA : Prove que em qualquer sequencia de 39 inteiros positivos
existe ao menos um numero cuja soma dos algarismos e divisivel por 11.

Olá Pessoal, acho que o problema proposto por Paulo pode ser resolvido usando o
seguinte:

DIVISIBILIDADE POR 11
Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, 
a
partir da
direita for múltipla de 11.
Ex : 7.973.207
S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12
diferença = 11

  Mas ainda não enxerguei como usar.
  Acho que falta uma hipótese adicional no problema: A sequência de números
possuir números distintos.

Ronaldo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade por um primo

[Chicao Valadares]

Òtimo trabalho CArlos!!
Eu iria fazer isso que vc fez mas economizou meu
trabalho, por enquanto.
São realmente interessentes esses métodos
de divisibilidade.
Depois olho com mais calma, se achar mais não hesite
em me informar.

Abraços.

--- Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Oi, gente,
 
 Em 22/dez  Palmerim postou um método curioso para
 divisibilidade por 
 7 e  dois dias depois, Salhab  o justificou.
 
 Agora que surgiu tempo ai vai o resultado de minha
 navegada pela 
 internet (onde se encontra, naturalmente o problema
 proposto pelo 
 Palmerim em
 http://www.pims.math.ca/pi/current/page30-30.pdf  e
 um 
 critério geral para divisibilidade por um primo
 arbitrário (procurei 
 na nossa lista e não encontrei a discussão que se
 segue; desculpem-me 
 se já rolou tal discussão e eu não percebi).  Há
 vários sites 
 interessantes mas o mais objetivo que encontrei e
 simples para a 
 garotada é http://www.egge.net/~savory/maths1.htm.
 
 É importante lembrar que há vários métodos para
 divisibilidade por 7, 
 um método para divisibilidade por 7, 11 e 13, que
 usa o fato de 7 x 
 11 x 13 = 1001, um método do Gustavo Gerald Toja
 Frachia (Instituto 
 de Matemática da USP) citado na Wikipedia e também
 no link
 http://www.cut-the-knot.org (um de meus sites
 preferidos).
 
 Ai vai um resumo para facilitar a vida dos mais
 jovens, em português 
 :-) de http://www.egge.net/~savory/maths1.htm.
 
 Seja N um inteiro, r seu último dígito e M o número
 formado pelos 
 algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249,
 então r = 9 e M = 324).
 
 a) Exemplo preliminar: divibilidade 17
 N é divisível por  17  se e somente (sss)   M - 5r 
 também é divisível por 17.
 
 Exemplos:   a | b significa a divide b
 17 | 2343  sss 17 | ( 234  - 5x3)  sss 17 | 219 sss 
 17 | 21 - 5x9 
 sss 17 |  -24; logo, 2343 não é divisível por 17,
 pois 17 não divide -24;
 17 |  15912 sss 17 | (1591 - 5x2)  ss 17 |  1581 sss
  17 | (158 - 
 5x1)   sss   17 |  153  sss 17|  (15 - 5x3)  sss 17
 | 0; logo, 17 | 15912
 
 É interessante observar que este método possui uma
 quantidade de 
 passos proporcional ao número de algarismos de N.
 
 b) Caso geral
 Se p é primo, seja q o menor múltiplo positivo de p
 terminado em 1 ou 
 9  (observe que no caso p = 17  tem-se q = 51).
 
 O critério geral é:
 i) Se o último dígito de q = 1:  p | N  sss p |  M -
  ar , onde a é o 
 número que sobra de q quando tiramos o 1 (no caso de
 17, o 5);
 ii) Se o último dígito de q = 9:  p | N  sss p |  M
 +  (a+1) r , onde 
 a é o número que sobra de q quando tiramos o 9;
 
 Veja a tabela abaixo, onde indicamos nesta ordem, o
 primo p, o valor 
 de q,  o valor de a e a propriedade...
 p q   a   p | N sss p divide...
 7 21  1   M - 2r
 1111  1   M - r
 1339  3   M + (3+1)r   = M + 4r
 1751  5   M - 5r
 2369  6   M + (6+1)r  = M + 7r
 2929  2   M + (2+1)r = M + 3r
 3131  3   M - 3r
 37111 11  M - 11r
 4141  4   M - 4r
 43129 12  M + 13r
 47141 14  M  - 14r
 ...
 
 A demonstração geral é simples mas é interesante
 para a turma mais 
 jovem fazer a demonstração de um dos casos
 particulares (p = 13 ou 
 17, etc). Finalizando, exibo um outro critério de
 divisibilidade por 
 7 para números maiores que 1000 que utiliza menos
 passos que o 
 critério anterior:..
 Seja N  1000 e  escrevamos N como (R.S) onde S é o
 número formado 
 pelos 3 últimos dígitos de N e R o numero formado
 pelos anteriores a 
 eles (por exemplo, se N = 3245123  então R = 3245 e
 S = 123.  O 
 critério é trivial e a demonstração, simples:  7 | N
  sss 7 | R - S
 
 Seria interessante investigar a generalização deste
 critério para 
 outros primos
 
 Abraços,
 Nehab
 

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=
 


O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... 
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

_
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Iuri]

Se x é quadrado e cubo perfeitos, ele pode ser escrito na forma x=a^6a = 0 (mod 7) = a^6=7ka = 1 (mod 7) = a^6=7k+1a = 2 (mod 7) = a^6=64=63+1 (mod 7) = a^6=7k+1a = 3 (mod 7) = a^6=27^2 (mod 7) = a^6=(-1)^2=1 (mod 7) = a^6=7k+1
Para a=4 (mod 7) e a=5 (mod 7), será igual para a=1 e a=2, por o expoente ser par. a=4 (mod 7) = -2 (mod 7) e a=5 (mod 7) = -1 (mod 7).Não é uma solucao mto elegante, mas resolve.
On 4/13/06, valeriomoura [EMAIL PROTECTED] wrote:
Quem puder me ajudar agradeço antecipadamente.. valeu galera.Verifique que se um inteiro é simultaneamente um quadrado e cubo(Como é ocaso de 64=8^2=4^3) então ele deve ter uma das formas 7k ou 7k+1.valeu.

RE: [obm-l] divisibilidade

[Lucas Molina]

Olá:
Bem, a solução seguinte envolve conhecimentos de congruência :
Se 109 | (100a+10b+c) = 100a+10b+c = 0 mod 109 = (109-9)a+10b+c = 0 mod 109
= -9a+10b+c = 0 mod = 9a-10b-c = 0 mod = 9a-c = 10b mod = (9a-c)^2 = (10b)^2 = 100b^2 =(109-9)b^2 = -9b^2 mod 109
= (9a-c)^2+9b^2 = 0 mod 109 (*)
''Traduzindo'' (*) :
109 divide (9a-c)^2+9b^2 caso esse mesmo divida 100a+10b+c .

Até mais.
Molina.




From:"Júnior" [EMAIL PROTECTED]Reply-To:obm-l@mat.puc-rio.brTo:obm-l@mat.puc-rio.brSubject:[obm-l] divisibilidadeDate:Tue, 11 Apr 2006 23:42:24 -0300
Sejam a, b, c números inteiros tais que 100a + 10b + c seja divisível
por 109. Mostre que (9a-c)^2 +9b^2 também é divisível por 109.

Júnior.

COPA 2006: O horário dos jogos do Brasil na Copa Clique aqui: 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[saulo nilson]

q = 7q1 +2
q = 2q2 + 1

q-2 =7q1
q-1= 2q2

q-1 e q-2 sao consecutivos e um e multiplo de 7 e o outro e multiplo de dois, analisando os multipplos de 7 e 2 temos


7.14.21.28.35.42.49.56...63.70.77
2.4.6.8.10.12...36..48...64...78

entao teremos

q-2= 35
q-1=36
q=37

37 = 14*2 +9
o resto e 9
sempre da 9 se vc pegar quaisquer numeros do tipo acima







On 1/14/06, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um número dividido por 7 dá resto 2 e dividido por 2 da resto 1. Determinar o resto da divisão desse número por 14.
Alguem pode me ajudar com essa questão, e me explicar a tecnica que se ultiliza para resolver esse tipo de questão!!
 

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Igor Castro]

A técnica que se usa é escrever exatamente o que 
está escrito...
"Um número xdividido por 7 dá resto 
2" ou "O número xé um multiplo de 7, mais 2"
matemáticamente:

x = 7m + 2 ;m 
natural

coma 
outra informação:
x = 2n +1 ; n 
natural

mas vc quer que 
apareça x= 14k + r. Então vc multiplica a primeira eq. por 2e a segunda 
eq. por 7:
2x=14m + 
4
7x=14n + 
7

subtraia a segunda 
eq. de 3 vezes a primeira eq: 7x - 6x = 14n - 3.14m +7 - 12
ou seja: x = 14(n - 
3m) -5
aqui vc deve deixar 
o resto positivo, pra isso vc faz n-3m=k+1 e obtem: x = 14k + 9 . Logo o resto 
da divisao por 14 é 9.

ps: como isso vale 
sempre.. vc tbm pode chutar uns numeros que satisfaçam o que ele falou e ver o 
seu resto por 14. Daí vc vÊ que o 9 satisfaz o que o prob disse e tbm sabe que o 
resto de 9 por 14 é o próprio 9.



  - Original Message - 
  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, January 14, 2006 3:49 
  PM
  Subject: [obm-l] Divisibilidade
  Um número dividido por 7 dá 
  resto 2 e dividido por 2 da resto 1. Determinar o resto da divisão desse 
  número por 14.Alguem pode me 
  ajudar com essa questão, e me explicar a tecnica que se ultiliza para resolver 
  esse tipo de questão!! 
  
  

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  13/1/2006

Re:[obm-l] Divisibilidade

[Luiz H\. Barbosa]

Um número dividido por 7 dá resto 2 e dividido por 2 da resto 1. Determinar 
o resto da divisão desse número por 14. 

==
Bom , se não me engano essa questão foi do ano que eu fiz UFRJ.
Da pra resolver de muitas formas.
Vou usar congruencia.

entenda (=) como o sinal de congruencia que são 3 traçinhos !!!

x(=)2(mod7) e x(=)1(mod2) são dados do problema .

Mas podemos escrever 
2x(=)4(mod14) i,multipliquei tudo por 2 .
7x(=)7(mod14)ii,multipiquei tudo por 7.

Diminuindo ii - i : 
5x(=)3(mod14)iii
Somando i + ii
9x(=)11(mod14) iv

iii - i , fica:
3x(=)-1(mod14)
iv - ii , fica:
2x(=)3(mod14)

Diminuindo uma da outra , temos :
x(=)-4(mod14)

O que significa que o resto de x por 14 é -4.
MSN : [EMAIL PROTECTED]
Abraço,
Luiz H. Barbosa 

Re: Re:[obm-l] Divisibilidade

[Igor Castro]

Falai luiz!! achovc se enganou na linha que 
eu destaquei abaixo.. confira!
Abraços.. 
Igor

  - Original Message - 
  From: 
  Luiz H. 
  Barbosa 
  To: obm-l 
  Sent: Saturday, January 14, 2006 7:23 
  PM
  Subject: Re:[obm-l] Divisibilidade
  
  
  Um número dividido por 7 dá resto 2 e dividido por 2 da resto 1. 
  Determinar 
  o resto da divisão desse número por 14. 
  
  ==
  Bom , se não me engano essa questão foi do ano que eu fiz UFRJ.
  Da pra resolver de muitas formas.
  Vou usar congruencia.
  
  entenda (=) como o sinal de congruencia que são 3 traçinhos !!!
  
  x(=)2(mod7) e x(=)1(mod2) são dados do problema .
  
  Mas podemos escrever 
  2x(=)4(mod14) i,multipliquei tudo por 2 .
  7x(=)7(mod14)ii,multipiquei tudo por 7.
  
  Diminuindo ii - i 
  : 
  
  5x(=)3(mod14)iii
  Somando i + 
  ii
  9x(=)11(mod14) iv
  
  iii - i , fica:
  3x(=)-1(mod14)
  iv - ii , fica:
  2x(=)3(mod14) 
  ESSA**
  
  Diminuindo uma da outra , temos :
  x(=)-4(mod14)
  
  O que significa que o resto de x por 14 é -4.
  MSN : [EMAIL PROTECTED]
  Abraço,
  Luiz H. Barbosa 
  
  
  
  
  
  

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Re: Re:[obm-l] Divisibilidade

[Luiz H\. Barbosa]

Valeu Igor!!!Como vc ja resolveu o problema utilizando teoria dos numeros , vai ai por congruencia:

entenda (=) como o sinal de congruencia que são 3 traçinhos !!! 

x(=)2(mod7) e x(=)1(mod2) são dados do problema . 

Mas podemos escrever 
2x(=)4(mod14) [i],multipliquei tudo por 2 . 
7x(=)7(mod14) [ii],multipiquei tudo por 7. 

[i] + [ii] : 9x(=)11(mod14)
[ii]- [i] : 5x(=)3(mod14) [iii]
-- (-)
4x(=)8(mod14)
[iii]-[i] : 3x(=)-1(mod14)
--- (-)
x(=)9(mod14)
Então o resto é 9.

Abraço para você amigo!

[]'s
Luiz H. Barbosa 


Falai luiz!! acho vc se enganou na linha que eu destaquei abaixo.. confira! 
Abraços.. 
Igor 
- Original Message - 
 From: Luiz H. Barbosa 
 To: obm-l 
 Sent: Saturday, January 14, 2006 7:23 PM 
 Subject: Re:[obm-l] Divisibilidade 
 
 
 Um número dividido por 7 dá resto 2 e dividido por 2 da resto 1. Determinar 
 o resto da divisão desse número por 14. 
 
 == 
 Bom , se não me engano essa questão foi do ano que eu fiz UFRJ. 
 Da pra resolver de muitas formas. 
 Vou usar congruencia. 
 
 entenda (=) como o sinal de congruencia que são 3 traçinhos !!! 
 
 x(=)2(mod7) e x(=)1(mod2) são dados do problema . 
 
 Mas podemos escrever 
 2x(=)4(mod14) i,multipliquei tudo por 2 . 
 7x(=)7(mod14) ii,multipiquei tudo por 7. 
 
 Diminuindo ii - i : 
 5x(=)3(mod14) iii 
 Somando i + ii 
 9x(=)11(mod14) iv 
 
 iii - i , fica: 
 3x(=)-1(mod14) 
 iv - ii , fica: 
 2x(=)3(mod14) ESSA** 
 
 Diminuindo uma da outra , temos : 
 x(=)-4(mod14) 
 
 O que significa que o resto de x por 14 é -4. 
 
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 Abraço, 
 Luiz H. Barbosa 
 
 
 
 
 
 
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Eduardo Wilner]

  Uma das maneiras pode ser:

  a=5m  a+1=5m+1=7(m-n) = 2m=1+7n (I)

  a+2=5m+2=9(m-p) = 4m=2+9p que comparada com(I)
 nos leva a 
  9p=14n = n=9q  (II)

  a+3=5m+3=11(m-r) = 6m=3+11r comparada com (I) da

  21n=11r, ou de (II) 21*9q=11r  Na condicao de minimo
 
  q=11 = n=99 = 2m=694 ou m=347 =a=1735

  
--- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Seja a um numero natural tal que a seja divisivel
 por 5, a+1 divisivel por 7, a+2 divisivel por 9 e
 a+3 divisivel por 11. Qual o menor valor que a pode
 assumir ?
  
 Eu fui tentando e achei o numero 1735. Como que faz
 sem ser tentando?
  
  
 
   
 -
  Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR
 UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe!









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Re: [obm-l] divisibilidade

[Ricardo Bittencourt]

Gustavo Baggio wrote:

Alguem manja provar isso por indução:
x + y divide x^(2n - 1) + y^(2n - 1)
	Eu resolvi isso no dia 29/3, como parte de um outro problema:

	http://tinyurl.com/2qlqe


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]   tenki ga ii kara sanpo shimashou
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Faelccmm]

Ola,

Eh so pegar o ultimo algarismo de um numero n e multiplicar por 4. Depois faz-se a soma (n-(ultimo algarismo)) + 4*(ultimo algarismo). Se o resultado for um numero divisivel por 13 acabou  Senao repete-se o processo. Vou dar um exemplo para clarear:

Sera que 3579 eh divisivel por 13 ?

357(9) === 4*9 = 36
357 + 36 = 393

39(3)  4*3 = 12
39 + 12 = 51

Como 51 nao eh divisivel por 13, conclui-se que 3579 tambem nao eh !!! 


Em uma mensagem de 14/3/2004 23:38:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Olá,

 Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por 
congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ...
 Um abraço!

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

André Luiz Martins Guimarães Orsi [EMAIL PROTECTED] said:
 Olá,

Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por
 congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ...
 [...]

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200306/msg00796.html

Se você não estiver interessado na teoria por trás do critério, pule para o 
final da mensagem.

Um outro critério usa o fato de que 13|1001, logo x é divisível por 13 se e 
somente se a diferença entre os grupos de três algarismos de ordem par e os 
de prdem ímpar também for divisível por 13.

Por exemplo, no problema resolvido mentalmente pelo nosso colega Cláudio, 
temos que provar que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273 é 
múltiplo de 13. Quebrando o número em grupos de 3, temos que

2^70 + 3^70 = 2.503.155.504.994.422.192.936.289.397.389.273

Esse número é divisível por treze se e somente se a diferença entre a soma das 
classes de ordem par (273+397+936+422+504+503) e as de ordem ímpar 
(389+289+192+994+155+2) for divisível por 13. Essa diferença vale |3035-2021| 
= 1014.

Pelo algoritmo do link acima, esse número é divisível por 13 se e somente se 
101 + 4*4 = 117 é divisível por 13, o que é verdade se e somente se 11 + 4*7 
= 39 = 3*13 é divisível por 13.

Ou então, note qe a diferença entre as ordens pares e as ímpares de 1014 é 13 
= 13*1.

[]s,

- -- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)

iD8DBQFAVSNNalOQFrvzGQoRAs0WAJ9KZpBpyPfhzKjaP72dc0YdsxgNRwCfXcH6
+CQXI/3ZYRff8Ct4WQmteCE=
=zGQn
-END PGP SIGNATURE-


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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Nicolau C. Saldanha]

On Tue, Jul 29, 2003 at 05:41:54PM -0300, Claudio Buffara wrote:
 Interessante!
 Essa demonstracao do Morgado mais os seguintes fatos:
 1^(4n) + 2^(4n) + 3^(4n) + 4^(4n) == 1 + 1 + 1 = 1 == 4 (mod 5)
 e
 1^(4n+2) + 2^(4n+2) + 3^(4n+2) + 4^(4n+2) == 1 + 4 + 9 + 16 = 30 == 0 (mod
 5)
 
 provam a seguinte generalizacao:
 
 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n eh divisivel por 5
 se e somente se
 n NAO for divisivel por 4.

Ou melhor ainda, 1^n + 2^n + 3^n + ... + p^n é múltiplo de p
se e somente se n não é múltiplo de (p-1), onde p  2 é um número primo
(o caso p = 2 está sendo excluido apenas para evitar vacuidades).

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Nicolau C. Saldanha]

On Tue, Jul 29, 2003 at 03:10:15PM -0300, amurpe wrote:
 Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão.
 
 mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel 
 
 por 5.

Usando congruências é bem fácil. Como 97 = 1 (mod 4) por Fermat
x^97 = x (mod 5) para todo inteiro x. Assim o seu número é congruo
a 1+2+3+4+5 = 15 = 0 (mod 5).

[]s, N.
=
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Aleandre Augusto da Rocha]

para qualquer x inteiro  0
1^x = 1
2^(4x+1) = ???2, 2^(4x+2) = ???4, 2^(4x+3) = ???8, 2^(4x) = ???6
3^(4x+1) = ???3, 3^(4x+2) = ???9, 3^(4x+3) = ???7, 3^(4x) = ???1
4^(2x+1) = ???4, 4^(2x) = ???6
5^x = ???5

1^97 =  1
2^97 = ???2
3^97 = ???3
4^97 = ???4
5^97 = ???5

logo 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 = ???5 e portanto divisivel pro 5

-Auggy


- Original Message -
From: amurpe [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, July 29, 2003 2:10 PM
Subject: [obm-l] Divisibilidade


 Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão.

 mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel

 por 5.

 Muito obrigado.

 Um abraço.

 Amurpe





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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Claudio Buffara]

on 29.07.03 15:10, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão.
 
 mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel
 
 por 5.
 
 Muito obrigado.
 
 Um abraço.
 
 Amurpe
 
 
Oi, Amurpe:

Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5):

Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5).
(para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado na mao,
sem usar o PTF)

Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5).

Obviamente 5^97 == 0 (mod 5).

Assim: 
1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5)

*

Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar:

Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1.
Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c)


Um abraco,
Claudio.

=
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Ricardo Serone]

Caro Amurpe,
você consegue sair por congruência.

5 = 0 (mod 5) = 5^97 = 0 (mod 5) l
4 = -1 (mod 5) = 4^97 = -1^97 (mod 5) = 4^97 + 1^97 = 0 ( mod 5)  ll
3 = -2 (mod 5) = 3^97 = -2^97 (mod 5) = 3^97 + 2^97 = 0 (mod 5)  lll
Somando l, ll e lll temos:

1^97+2^97+3^97+4^97+5^97 = 0 (mod 5)
ou seja  é divisível por 5.

Abraços, Ricardo
- Original Message - 
From: amurpe [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, July 29, 2003 3:10 PM
Subject: [obm-l] Divisibilidade


 Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão.

 mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel

 por 5.

 Muito obrigado.

 Um abraço.

 Amurpe





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Re: [obm-l] Divisibilidade

[A. C. Morgado]

Poderia tambem ter sido resolvido usando a^m + b^m = (a+b) (a^(m-1) -
b*a^(m-2) +...-b^(m-2) *a +b^(m-1)) se m eh impar, o que mostra que se
a e b sao inteiros e m eh impar, a^m + b^m eh divisivel por a+b.
(1^97 + 4^97) + (2^97 + 3^97) + 5^97 eh uma soma de tres multiplos de 5.

Claudio Buffara wrote:

  on 29.07.03 15:10, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  
  
Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questo.

mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97  divisivel

por 5.

Muito obrigado.

Um abrao.

Amurpe



  
  Oi, Amurpe:

Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5):

Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5).
(para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado "na mao",
sem usar o PTF)

Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5).

Obviamente 5^97 == 0 (mod 5).

Assim: 
1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5)

*

Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar:

Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1.
Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c)


Um abraco,
Claudio.

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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Divisibilidade



Interessante!
Essa demonstracao do Morgado mais os seguintes fatos:
1^(4n) + 2^(4n) + 3^(4n) + 4^(4n) == 1 + 1 + 1 = 1 == 4 (mod 5)
e
1^(4n+2) + 2^(4n+2) + 3^(4n+2) + 4^(4n+2) == 1 + 4 + 9 + 16 = 30 == 0 (mod 5)

provam a seguinte generalizacao:

1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n eh divisivel por 5
se e somente se
n NAO for divisivel por 4.

Um abraco,
Claudio.

on 29.07.03 17:23, A. C. Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Poderia tambem ter sido resolvido usando a^m + b^m = (a+b) (a^(m-1) - b*a^(m-2) +...-b^(m-2) *a +b^(m-1)) se m eh impar, o que mostra que se a e b sao inteiros e m eh impar, a^m + b^m eh divisivel por a+b.
(1^97 + 4^97) + (2^97 + 3^97) + 5^97 eh uma soma de tres multiplos de 5. 
Claudio Buffara wrote:
on 29.07.03 15:10, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão.

mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel

por 5.

Muito obrigado.

Um abraço.

Amurpe


 
Oi, Amurpe:

Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5):

Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5).
(para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado na mao,
sem usar o PTF)

Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5).

Obviamente 5^97 == 0 (mod 5).

Assim: 
1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5)

*

Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar:

Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1.
Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c)


Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Frederico Reis Marques de Brito]

Qto a 2a pergunta, usando qq múltiplo do mmc, em particular, o produto dos 
números...

~qto a primeira não me lembro exatamente qual o critério de divisibilidade 
por 17, mas todos os critérios podem ser demonstrados, normalmente sem gdes 
problemas, olhando-se para as classes residuais nesse caso, devemos olhar 
módulo 17...

Frederico.



From: Denisson [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Fri, 27 Jun 2003 01:32:38 -0300 (ART)
Alguém poderia demonstrar como se chegou aos critérios de divisibilidade? 
Em especial aos mais dificeis como o critério do 17. Não peço uma 
demonstração matemática formal, peço algum argumento lógico.

Foi dito tb na lista há um bom tempo que não é preciso tirar o MMC para se 
realizar uma soma de frações. Eu nunca havia pensado nisso, como posso 
somar duas frações como 2/5+1/8 sem tirar o mmc?

Obrigado

Denisson



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