[obm-l] Determinantes
Pessoal, Tem tempo que não vejo nada de matrizes e, recentemente, resolvendo um exercício, me bateu uma dúvida : Dada uma matriz 3 x 3 cujo determinante é zero. Se, ao trocarmos a 1a. linha por uma outra qqer e o determinante da nova matriz continuar sendo zero, eu posso fazer as afirmações abaixo? 1) A nova linha é resultado de uma combinação linear das outras linhas ( ou múltipla de uma das linhas, incluindo-se a que foi substituida, ou combinação 2 a 2, incluindo-se a que foi substituida ou combinação linear das três linhas ao mesmo tempo); ou 2) A segunda e a terceiras linhas são proporcionais . Desde já, agradeço a ajuda. Abs Felipe Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] determinantes
Provar que: | cos^2(a) 2sen^3(a) 1 | | cos^2(b) 2sen^3(b) 1 | = 0 | cos^2(c) 2sen^3(c) 1 |
[obm-l] determinantes
Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos (matrizes) n x n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos A e B e em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que detX=detA.detD-detC.detB ? cgomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] determinantes
Gostaria de ajuda no cálculo desse determinante: 1 1/2 1/3 1/n 1/2 1/3 1/4 1/(n+1) 1/3 1/4 1/5 ... 1/(n+2) .. .. 1/n 1/(n+1) ... . 1/(2n-1) grato HAROLDO.
[obm-l] Determinantes
Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| |.. | |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | b)|F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | |F´(a)F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| |.. | |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que | 2 0 4 | | 5 2 7 | | 2 5 5 | é divisível por 17. Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? Editorial MIR ? Moscou. ATT. João Carlos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] determinantes
olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A." bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas: "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A." esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui... "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal." esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.: "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente." nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" e a explicação para inversões foi: "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q." nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação... bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace. desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] determinantes 01
Prezados professores, tentei mas não consegui resolver a equação anexa. Parecia-me uma matriz de Wandermonde, mas não consegui. Poderiam me ajudar? Obrigado! Thelio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. <>
[obm-l] determinantes 02
Tem mais essa outra anexa parecida com a anterior que postei, e que também não consigo resolver. agradeço a ajuda Thelio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. <>
Re: [obm-l] determinantes
Tipo, acho que o que vc quer dizer eh sobre partições de matrizes (não sei bem se o nome eh esse pq estudei num livro em frances e não sei mto frances). Seja uma matriz A. Decompor A em matrizes de ordens inferiores, vejamos: a_11 a_12|a_13 A= _a_21_a_22|a_23_ a_31 a_32|a_33 os blocos são constituídos das seguintes matrizes: P= a_11 a_12Q= a_13R=a_31 a_32 S = a_33 a_21 a_22 a_23 Escrevemos A = P Q R S Nisto vc dividiu a matriz em blocos. A regra que eu conheço eh assim: A_1 A_2 A= ... A_s entenda A como uma matriz e tome A_i (i=1,2,...,s) como blocos de matrizes quadradas (chamadas quase diagonais). Eu sei que det A = detA_1...detA_s. Mas não sei dizer se o que vc falou está certo, procurei no livro e não consegui ver coisa alguma. As vezes eu olhei rapido demais... mas vai aí o toque. OK? Abraços Marcelo >From: "Siberia Olympia" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] determinantes >Date: Sun, 17 Mar 2002 15:06:41 -0300 > > Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos (matrizes) n >x >n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos A e B e >em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que >detX=detA.detD-detC.detB ? > >cgomes > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
eh falso. Considere 1 2 5 6 3 4 7 8 0 3 4 1 1 2 9 2 Se fosse verdadeiro, a resposta seria menos 4. O determinante vale menos 176. Siberia Olympia wrote: >Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos (matrizes) n x >n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos A e B e >em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que >detX=detA.detD-detC.detB ? > >cgomes > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
Oi Morgado, td bom? Estranho... O que eu vi do livro (elements du calcul numerique-MIR), que coloquei no email anterior, não dah resposta certa pro determinante exemplo que vc deu...o que há de errado? (digo, coloco talvez a culp+a em mim pelo fato de eu não saber frances) abraços Marcelo >From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] determinantes >Date: Sun, 17 Mar 2002 19:37:29 -0300 > >eh falso. >Considere >1 2 5 6 >3 4 7 8 >0 3 4 1 >1 2 9 2 >Se fosse verdadeiro, a resposta seria menos 4. >O determinante vale menos 176. > > >Siberia Olympia wrote: > >>Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos (matrizes) n >>x >>n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos A e B >>e >>em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que >>detX=detA.detD-detC.detB ? >> >>cgomes >> >>= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >>= >> >> > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
Vamos usar a notaçao (12,12) para representar o determinante formado pelo cruzamento das linhas 12 e colunas 12. O que eh verdade (LAPLACE!) eh que o determinante eh igual a (12,12)*(34,34)-(12,13)*(34,24)+(12,14)*(34,23)+(12,23)*(34,14)-(12,24)*(34,13)+(12,34)*(34,12) Eh claro que se a matriz original so tem blocos nao-nulos na diagonal, a regra aventada funciona. Em portugues, a versao mais geral do teorema de Laplace pode ser encontrada em liçoes de algebra e analise, de Bento de Jesus Caraça. Marcelo Souza wrote: > Oi Morgado, td bom? > Estranho... > O que eu vi do livro (elements du calcul numerique-MIR), que coloquei > no email anterior, não dah resposta certa pro determinante exemplo que > vc deu...o que há de errado? (digo, coloco talvez a culp+a em mim pelo > fato de eu não saber frances) > abraços > Marcelo > > > >> From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >> To: [EMAIL PROTECTED] >> Subject: Re: [obm-l] determinantes >> Date: Sun, 17 Mar 2002 19:37:29 -0300 >> >> eh falso. >> Considere >> 1 2 5 6 >> 3 4 7 8 >> 0 3 4 1 >> 1 2 9 2 >> Se fosse verdadeiro, a resposta seria menos 4. >> O determinante vale menos 176. >> >> >> Siberia Olympia wrote: >> >>>Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos >>> (matrizes) n x >>> n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos >>> A e B e >>> em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que >>> detX=detA.detD-detC.detB ? >>> >>> cgomes >>> >>> = >>> >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >>> = >>> >>> >>> >> >> >> = >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> = >> > > > > _ > Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
Se as 4 matrizes A B C D comutam, entao e' verdade.Isto e' um exercicio do livro de algebra linear de Hoffman e Kunze. Fred Palmeira On Sun, 17 Mar 2002, Siberia Olympia wrote: > Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos (matrizes) n x > n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos A e B e > em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que > detX=detA.detD-detC.detB ? > > cgomes > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
On Sun, Mar 17, 2002 at 07:37:29PM -0300, Augusto César Morgado wrote: > eh falso. > Considere > 1 2 5 6 > 3 4 7 8 > 0 3 4 1 > 1 2 9 2 > Se fosse verdadeiro, a resposta seria menos 4. > O determinante vale menos 176. > > > Siberia Olympia wrote: > > >Se X é uma matriz 2n x 2n que é dividida em quatro blocos (matrizes) n x > >n, a saber, A , B, C e D (Estou supondo que em cima ficam os blocos A e B e > >em baixo ficam os blocos C e D, nesta ordem). É verdade que > >detX=detA.detD-detC.detB ? Mas é verdade se os blocos todos comutarem uns com os outros (AB = BA, ...). Basta ver que neste caso os blocos podem ser simultaneamente triangulados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
Oi para todos! O método mais rápida para a solução é usar a Regra de Chió. Você também pode multiplicar todos os termos por (2n-1)! (usando uma calculadora) e depois dividir o resultado por ((2n-1)!)^n (isso ajuda para valores pequenos de n) André T. - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, September 22, 2002 10:33 AM Subject: [obm-l] determinantes Gostaria de ajuda no cálculo desse determinante: 1 1/2 1/3 1/n 1/2 1/3 1/4 1/(n+1) 1/3 1/4 1/5 ... 1/(n+2) .. .. 1/n 1/(n+1) ... . 1/(2n-1) grato HAROLDO.
RES: [obm-l] determinantes
Agradeço a sugestão mas não resolve o determinante. -Mensagem original- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Em nome de Wagner Enviada em: domingo, 22 de setembro de 2002 18:35 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] determinantes Oi para todos! O método mais rápida para a solução é usar a Regra de Chió. Você também pode multiplicar todos os termos por (2n-1)! (usando uma calculadora) e depois dividir o resultado por ((2n-1)!)^n (isso ajuda para valores pequenos de n) André T. - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, September 22, 2002 10:33 AM Subject: [obm-l] determinantes Gostaria de ajuda no cálculo desse determinante: 1 1/2 1/3 1/n 1/2 1/3 1/4 1/(n+1) 1/3 1/4 1/5 ... 1/(n+2) .. .. 1/n 1/(n+1) ... . 1/(2n-1) grato HAROLDO.
Re: [obm-l] determinantes
On Sun, Sep 22, 2002 at 10:33:45AM -0300, haroldo wrote: > Gostaria de ajuda no cálculo desse determinante: > > > 1 1/21/3 1/n > 1/2 1/31/4 1/(n+1) > 1/3 1/41/5... 1/(n+2) > .. > .. > 1/n 1/(n+1) ... . 1/(2n-1) Esta é a chamada matriz de Hilbert. Você encontrará mais informações sobre ela em bons livros de álgebra linear ou em http://mathworld.wolfram.com/HilbertMatrix.html Se chamarmos o determinante da matriz de Hilbert nxn de 1/f(n) temos f(n)/f(n-1) = (2n-1) (binomial(2n-2,n-1))^2 o que nos dá uma fórmula um pouco complicada para os determinantes... A seqüência f(n) é formada pelos números inteiros positivos abaixo: 1 12 2160 6048000 26671680 18631342033920 206790904792577064960 36535684712573448587811225600 10287817843785696978870529629093888 462068939479146913162956288390362787269836800 331225048970634137553621436270407271060801276724694220800 3791065794363045171518854790347963918801886878641184641043243047321600 e esta é a seqüência A005249 na excelente Encyclopaedia of Integer Sequences: http://www.research.att.com/~njas/sequences/ []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Determinantes
Por enquanto o item a.
Resolução :
Observe que:
F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja)
F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n!
Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se:
| 0 0 0.. n ! |
| 0 0 0 .. (n+1)! |
| .. .. .. . |
| 0 0! n! .. (2n-2)! |
| 0n!(n+1)! (2n-1)! |
| n! (n+1)! (n+2)! (2n)! |
Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0.
Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e reduzir até onde der. Temos assim
n! * A(1,n) e sucessivamente
eu cheguei nisto
n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] } n![(-1)^1+n]
que dá:
[(-1)^(2n+n)]*n(n!)
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) ||F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)||.. ||F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) ||F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)||.. ||F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que| 2 0 4 || 5 2 7 || 2 5 5 |é divisível por 17.Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?Editorial MIR ? Moscou.ATT. João Carlos.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Determinantes
a) Ha uns probleminhas na soluçao abaixo. F(2n) NAO eh igual a (2n)!...
c) Troque a terceira coluna por ela + 10 vezes a segunda coluna + 100 vezes a primeira
coluna. Bote 17 em evidencia na terceira coluna. Ficarah 17 vezes o determinante de
uma matriz de inteiros (que eh inteiro).
Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm <[EMAIL PROTECTED]> disse:
>
> Por enquanto o item a.
>
>
>
> Resolução :
>
> Observe que:
>
> F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja)
>
> F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n!
>
> Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se:
>
> | 0 0 0.. n ! |
>
> | 0 0 0 .. (n+1)! |
>
> | .. .. .. . |
>
> | 0 0! n! .. (2n-2)! |
>
> | 0n!(n+1)! (2n-1)! |
>
> | n! (n+1)! (n+2)! (2n)! |
>
> Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0.
>
> Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e
>reduzir até onde der. Temos assim
>
> n! * A(1,n) e sucessivamente
>
> eu cheguei nisto
>
> n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] } n![(-1)^1+n]
>
> que dá:
>
> [(-1)^(2n+n)]*n(n!)
>
>
> [EMAIL PROTECTED] wrote:Queridos amigos, como resolver as questões
>que seguem abaixo?
>
> 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
> a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) |
> |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
> |.. |
> |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |
>
> b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) |
> |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)|
> |.. |
> |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |
>
> 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
> | 2 0 4 |
> | 5 2 7 |
> | 2 5 5 |
>
> é divisível por 17.
>
>
> Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
> Editorial MIR ? Moscou.
> ATT. João Carlos.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é
> =
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] Determinantes
Realmente comi bola!
F(n)=n!
F(n+1)=(n+1).n(n-1)...(n+1-n+1)=(n+1).n(n-1)...4.3.2=(n+1)!/1!
F(n+2)=(n+2).(n+1)n...(n+2-n+1)=(n+2).(n+1).n...4.3=(n+2)!/2!
F(2n)=(2n).(2n-1).(2n-2)...(2n-n+1)=2n.(2n-1)...(n+1)=(2n)!/n!
Refazendo o Deteminante:
| 0 00 ... n |
| 0 00 ... (n+1)! |
| 0 0 0 (n+2)!/2! |
| ... ... ... ... ... |
| 0 n! (n+1)! (2n-1!/(n-1)! |
| n! (n+1)! (n+2)!/2! . (2n!)/n! |
O resultado continua valendo, creio eu(hehe, espero), me corrijam se precisar!
[(-1)^n]*n*n!
Augusto Cesar de Oliveira Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
a) Ha uns probleminhas na soluçao abaixo. F(2n) NAO eh igual a (2n)!...c) Troque a terceira coluna por ela + 10 vezes a segunda coluna + 100 vezes a primeira coluna. Bote 17 em evidencia na terceira coluna. Ficarah 17 vezes o determinante de uma matriz de inteiros (que eh inteiro). Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm <[EMAIL PROTECTED]>disse:> > Por enquanto o item a.> > > > Resolução :> > Observe que:> > F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja)> > F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n!> > Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se:> > | 0 0 0 .. n ! |> > | 0 0 0 .. (n+1)! | > > | .. .. .. . |> > | 0 0! n! .. (2n-2)! |> > | 0 n! (n+1)! (2n-1)! |> > | n! (n+1)! (n+2)! (2n)! |> > Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0.> > Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e reduzir até onde der. Temos assim> > n! * A(1,n) e sucessivamente> > eu cheguei nisto> > n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] } n![(-1)^1+n]> > que dá:> > [(-1)^(2n+n)]*n(n!)> > > [EMAIL PROTECTED] wrote:Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?> > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:> a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) |> |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|> |.. |> |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |> > b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) |> |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)|> |.. |> |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |> > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que> | 2 0 4 |> | 5 2 7 |> | 2 5 5 |> > é divisível por 17.> > > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?> Editorial MIR ? Moscou.> ATT. João Carlos.> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é > => > > -> Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensaar o Yahoo! encontra.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Determinantes
Acabo de chegar a uma conclusão de outra linha de raciocínio errado, corrigindo: aplicando Teorema de Jacobi: n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] * ... * n(-1)^1+n então (n!)^n * (-1)^n(n+1) = (n!)^n n(n+1) será sempre par logo (-1)^par=1 Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso. [EMAIL PROTECTED] wrote: Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) ||F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)||.. ||F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) ||F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)||.. ||F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que| 2 0 4 || 5 2 7 || 2 5 5 |é divisível por 17.Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?Editorial MIR ? Moscou.ATT. João Carlos.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Determinantes
O determinante de uma matriz quadrada em que uma das bandas da diagonal eh nula eh
igual ao produto dos elementos da diagonal; O determinante de uma matriz quadrada de
ordem n em que uma das bandas da outra diagonal (no meu tempo de aluno dizia-se
diagonal secundaria) eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal
multiplicado por (-1)^[n(n-1)/2]
Na parte a, a diagonal secundaria tem todos os elementos iguais a n! e a banda de cima
eh nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh [(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2]
Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm <[EMAIL PROTECTED]> disse:
>
> Por enquanto o item a.
>
>
>
> Resolução :
>
> Observe que:
>
> F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja)
>
> F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n!
>
> Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se:
>
> | 0 0 0.. n ! |
>
> | 0 0 0 .. (n+1)! |
>
> | .. .. .. . |
>
> | 0 0! n! .. (2n-2)! |
>
> | 0n!(n+1)! (2n-1)! |
>
> | n! (n+1)! (n+2)! (2n)! |
>
> Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0.
>
> Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e
>reduzir até onde der. Temos assim
>
> n! * A(1,n) e sucessivamente
>
> eu cheguei nisto
>
> n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] } n![(-1)^1+n]
>
> que dá:
>
> [(-1)^(2n+n)]*n(n!)
>
>
> [EMAIL PROTECTED] wrote:Queridos amigos, como resolver as questões
>que seguem abaixo?
>
> 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
> a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) |
> |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
> |.. |
> |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |
>
> b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) |
> |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)|
> |.. |
> |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |
>
> 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
> | 2 0 4 |
> | 5 2 7 |
> | 2 5 5 |
>
> é divisível por 17.
>
>
> Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
> Editorial MIR ? Moscou.
> ATT. João Carlos.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
Re: [obm-l] Determinantes
b) F eh um polinomio de grau n com coeficiente do termo de maior grau igual a 1.
Entao, sua derivada de ordem n vale n! e as derivadas de ordens superiores valem zero.
A matriz fica com a diagonal secundaria com todos os elementos iguais a n! e a banda
de baixo nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh
[(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2].
Em Thu, 6 Feb 2003 23:22:14 -0200 (EDT), Augusto Cesar de Oliveira Morgado
<[EMAIL PROTECTED]> disse:
>
> O determinante de uma matriz quadrada em que uma das bandas da diagonal eh nula eh
>igual ao produto dos elementos da diagonal; O determinante de uma matriz quadrada de
>ordem n em que uma das bandas da outra diagonal (no meu tempo de aluno dizia-se
>diagonal secundaria) eh nula eh igual ao produto dos elementos da diagonal
>multiplicado por (-1)^[n(n-1)/2]
> Na parte a, a diagonal secundaria tem todos os elementos iguais a n! e a banda de
>cima eh nula. Como a matriz eh de ordem n+1, a resposta eh
>[(n!)^(n+1)]*(-1)^[(n)(n+1)/2]
>
>
> Em Thu, 6 Feb 2003 15:50:17 -0300 (ART), Leahpar Xarm <[EMAIL PROTECTED]>
>disse:
>
> >
> > Por enquanto o item a.
> >
> >
> >
> > Resolução :
> >
> > Observe que:
> >
> > F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, ..., F(n-1)=0 (substitu-a e veja)
> >
> > F(n)=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n! , F(n+1)=(n+1)!, F(n+2)=(n+2)!, ..., F(2n)= 2n!
> >
> > Recolocando as novas formas de representar os dados anteriores, tem-se:
> >
> > | 0 0 0.. n ! |
> >
> > | 0 0 0 .. (n+1)! |
> >
> > | .. .. .. . |
> >
> > | 0 0! n! .. (2n-2)! |
> >
> > | 0n!(n+1)! (2n-1)! |
> >
> > | n! (n+1)! (n+2)! (2n)! |
> >
> > Observe que os elementos acima da diagonal secundaria são iguais a 0.
> >
> > Agora é só aplicar Teorema de Jacobi, escolher uma linha ou coluna que dira tudo e
>reduzir até onde der. Temos assim
> >
> > n! * A(1,n) e sucessivamente
> >
> > eu cheguei nisto
> >
> > n!*{(-1)^(n+1)]*n!{ (-1)^[(n-1)+2] } n![(-1)^1+n]
> >
> > que dá:
> >
> > [(-1)^(2n+n)]*n(n!)
> >
> >
> > [EMAIL PROTECTED] wrote:Queridos amigos, como resolver as questões
>que seguem abaixo?
> >
> > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:
> > a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) |
> > |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)|
> > |.. |
> > |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |
> >
> > b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) |
> > |F´(a) F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)|
> > |.. |
> > |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |
> >
> > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que
> > | 2 0 4 |
> > | 5 2 7 |
> > | 2 5 5 |
> >
> > é divisível por 17.
> >
> >
> > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ?
> > Editorial MIR ? Moscou.
> > ATT. João Carlos.
> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é
> > =
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> >
> > -
> > Busca Yahoo!
> > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Determinantes
Item b) Estou supondo que F^(k)(x) é a k-ésima derivada de F(x). F(x) é um polinômio mônico de grau n. Assim, F^(n)(x) = 1 e se k > n, então F^(k)(x) = 0. Então este determinante tem a diagonal secundária composta de 1's e todos os termos abaixo dela iguais a zero. Logo, DET = (-1)^(n*(n-1)/2) * 1^n = (-1)^(n*(n-1)/2).. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, February 06, 2003 9:06 AM Subject: [obm-l] Determinantes Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | |F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| |.. | |F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | b)|F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | |F´(a)F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| |.. | |F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que | 2 0 4 | | 5 2 7 | | 2 5 5 | é divisível por 17. Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? Editorial MIR ? Moscou. ATT. João Carlos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Determinantes
Caro Leahpar Xarm:
Num determinante de ordem n, se todos os elementos
acima ou abaixo da diagonal secundária forem iguais a zero, então o valor do
determinante será igual a:
(-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos da diagonal
secundária.
O termo (-1)^(n(n-1)/2) é a paridade da
permutação:
1 2
3 ... n-2 n-1
n
n n-1
n-2
3 2 1
Esta permutação tem n(n-1)/2 transposições, logo,
sua paridade é (-1)^(n(n-1)/2).
Você pode ver isso ao reparar que a fim de
transformar esta permutação na identidade, você precisa aplicar todas as
transposições de elementos de {1,2,3,...,n}, e o número destas é igual a C(n,2)
= n(n-1)/2.
Assim, o valor do determinante que tem n! na
diagonal secundária e todos os termos acima dela iguais a 0 é:
(-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Leahpar
Xarm
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 10:49
PM
Subject: Re: [obm-l] Determinantes
Acabo de chegar a uma conclusão de outra linha de raciocínio errado,
corrigindo:
aplicando Teorema de Jacobi:
n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] * ... * n(-1)^1+n
então (n!)^n * (-1)^n(n+1) = (n!)^n
n(n+1) será sempre par logo (-1)^par=1
Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso.
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Queridos
amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?1) F(x) =
x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:a) |F(0) F(1) F(2) ...
F(n) ||F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)||..
||F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a)
||F´(a) F"(a) F´´´(a) ...
F^(n+1)(a)||.. ||F^(n)(a)
F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |2) Os números 204, 527 e 255 são
divisíveis por 17. Demonstrar que| 2 0 4 || 5 2 7 || 2 5 5
|é divisível por 17.Fonte: Problemas de Álgebra Superior
? D. Faddieev, I. Sominski ?Editorial MIR ? Moscou.ATT. João
Carlos.=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador
desta lista é
<[EMAIL PROTECTED]>=
Busca Yahoo! O serviço de
busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
encontra.
Fw: [obm-l] Determinantes
Só pra retificar:
Valem todos os comentários abaixo, só que no item
(a), o determinante tem ordem n+1.
Logo vale (-1)^(n(n+1)/2) *
(n!)^(n+1).
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Cláudio (Prática)
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 07, 2003 1:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Determinantes
Caro Leahpar Xarm:
Num determinante de ordem n, se todos os elementos
acima ou abaixo da diagonal secundária forem iguais a zero, então o valor do
determinante será igual a:
(-1)^(n(n-1)/2) * Produto dos elementos da diagonal
secundária.
O termo (-1)^(n(n-1)/2) é a paridade da
permutação:
1 2
3 ... n-2 n-1
n
n n-1
n-2
3 2 1
Esta permutação tem n(n-1)/2 transposições, logo,
sua paridade é (-1)^(n(n-1)/2).
Você pode ver isso ao reparar que a fim de
transformar esta permutação na identidade, você precisa aplicar todas as
transposições de elementos de {1,2,3,...,n}, e o número destas é igual a C(n,2)
= n(n-1)/2.
Assim, o valor do determinante que tem n! na
diagonal secundária e todos os termos acima dela iguais a 0 é:
(-1)^(n(n-1)/2) * (n!)^n.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Leahpar
Xarm
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 10:49
PM
Subject: Re: [obm-l] Determinantes
Acabo de chegar a uma conclusão de outra linha de raciocínio errado,
corrigindo:
aplicando Teorema de Jacobi:
n![(-1)^n+1] * [n(-1)^n-1+2] * ... * n(-1)^1+n
então (n!)^n * (-1)^n(n+1) = (n!)^n
n(n+1) será sempre par logo (-1)^par=1
Desculpe pelas atrvessadas, mas estamos aqui pra isso.
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Queridos
amigos, como resolver as questões que seguem abaixo?1) F(x) =
x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes:a) |F(0) F(1) F(2) ...
F(n) ||F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)||..
||F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) |b) |F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a)
||F´(a) F"(a) F´´´(a) ...
F^(n+1)(a)||.. ||F^(n)(a)
F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) |2) Os números 204, 527 e 255 são
divisíveis por 17. Demonstrar que| 2 0 4 || 5 2 7 || 2 5 5
|é divisível por 17.Fonte: Problemas de Álgebra Superior
? D. Faddieev, I. Sominski ?Editorial MIR ? Moscou.ATT. João
Carlos.=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador
desta lista é
<[EMAIL PROTECTED]>=
Busca Yahoo! O serviço de
busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
encontra.
Re: [obm-l] Determinantes
Acabei de ler o e-mail do Prof. Morgado, que diz (corretamente) que o determinante tem ordem n+1 (e não n) e com a diagonal secundária cheia de n! (e não 1's). Logo, por favor desconsiderem o meu e-mail e usem o dele. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, February 07, 2003 1:03 PM Subject: Re: [obm-l] Determinantes > Item b) > Estou supondo que F^(k)(x) é a k-ésima derivada de F(x). > F(x) é um polinômio mônico de grau n. > Assim, F^(n)(x) = 1 e se k > n, então F^(k)(x) = 0. > Então este determinante tem a diagonal secundária composta de 1's e todos os > termos abaixo dela iguais a zero. > Logo, DET = (-1)^(n*(n-1)/2) * 1^n = (-1)^(n*(n-1)/2).. > > Um abraço, > Claudio. > > - Original Message - > From: <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, February 06, 2003 9:06 AM > Subject: [obm-l] Determinantes > > > Queridos amigos, como resolver as questões que seguem abaixo? > > 1) F(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1). Calcular os determinantes: > a) |F(0) F(1) F(2) ... F(n) | >|F(1) F(2) F(3) ... F(n+1)| >|.. | >|F(n) F(n+1) F(n+2)... F(2n) | > > b)|F(a) F´(a) F"(a) ... F^(n)(a) | >|F´(a)F"(a) F´´´(a) ... F^(n+1)(a)| >|.. | >|F^(n)(a) F^(n+1)(a) F^(n+2)(a)... F^(2n)(a) | > > 2) Os números 204, 527 e 255 são divisíveis por 17. Demonstrar que >| 2 0 4 | >| 5 2 7 | >| 2 5 5 | > > é divisível por 17. > > > Fonte: Problemas de Álgebra Superior ? D. Faddieev, I. Sominski ? > Editorial MIR ? Moscou. > ATT. João Carlos. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] determinantes
Pegando um gancho: De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente falando :-) Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A." bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas: "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A." esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui... "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal." esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.: "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente." nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" e a explicação para inversões foi: "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q." nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação... bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace. desde já agradeço
Re: [obm-l] determinantes
Eduardo Henrique Leitner said: > olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de > uma matriz... > > é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao > aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras > sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... > [...] As três estão certas. Eu vou confundir as coisas mais um pouco e introduzir um quarta (!) definição de determinante na história: Def.: O determinante de uma matriz é a única transformação multilinear alternada das colunas dessa matriz tal que det(I) = 1. Eu vou agora explicar o que significa essa definição. O determinante é multilinear Isso quer dizer que se uma matriz A possui colunas [a_1+b_1, a_2, ..., a_n], então det[a_1+b_1, a_2, ..., a_n] = det[a_1, a_2, ..., a_n] + det[b_1, a_2, ..., a_n]. e analogamente para as outras colunas. Além disso, det[c*a_1, a_2, ..., a_n] = c*det[a_1, a_2, ..., a_n] e analogamente para as outras colunas. O determinante é alternado -- Isso quer dizer que, ao trocar duas colunas quaisquer da matriz, o seu determinante muda de sinal. Em outras palavras, det[a_1, ..., a_i, ..., a_j, ..., a_n] = -det[a_1, ..., a_j, ..., a_i, ..., a_n] para todos os i e j, 1 <= i < j <= n. det(I) = 1 -- Seja I a matriz identidade, i.e. I = [e_1 e_2 ... e_n], onde e_i é o vetor que tem zeros em todas as posições, exceto a i-ésima posição, onde ele tem um 1. Então det(I) = 1, por definição. Isso é muito legal, mas como eu faço para, realmente, calcular um determinante? Considere a matriz A = [a b; c d] (isto é, a matriz 2x2 que tem os elementos a e b na primeira linha e c e d na segunda linha). Quanto vale det(A)? D = det[a b; c d] = det[a b; 0 d] + det[0 b; c d] pela multinearidade na primeira coluna. Aplicando a multilinearidade nas segundas colunas das duas matrizes, temos que det[a b; 0 d] = det[a 0; 0 d] + det[a b; 0 0] det[0 b; c d] = det[0 0; c d] + det[0 b; c 0]. Logo D = det[a 0; 0 d] + det[a b; 0 0] + det[0 0; c d] + det[0 b; c 0]. Usando novamente a multinearidade em cada uma das colunas, removemos as variáveis de dentro da matriz. O que resta é D = ad*det[1 0; 0 1] + ab*det[1 1; 0 0] + cd*det[0 0; 1 1] + bc*det[0 1; 1 0]. A primeira matriz é a identidade, logo seu determinante é um. A última matriz, ao trocarmos a primeira e a segunda colunas, torna-se a identidade, logo ela tem determinante -1 (pois invertemos o sinal do determinante ao trocar as duas colunas). Logo D = ad - bc + ab*det[1 1; 0 0] + cd*det[0 0; 1 1]. Mas quanto vale det[1 1; 0 0]? Ora, se trocarmos as duas colunas deste determinante, ele deve mudar de sinal. Mas, com essa operação, a matriz sobre a qual operamos não muda, logo det[1 1; 0 0] = -det[1 1; 0 0] <=> det[1 1; 0 0] = 0. Analogamente, det[0 0; 1 1] = 0. Finalmente, det[a b; c d] = ad - bc. Note que podemos generalizar o que acabamos que fazer: se uma matriz tem duas colunas iguais então seu determinante é zero, pois permutá-las muda o sinal deste mas, ao mesmo tempo, não o altera. E se quisermos um determinante 3x3? Mesma coisa, exceto que agora teremos 9 matrizes só de zeros e uns. Três delas terão determinante zero; todas as outras terão determinante +-1. Eu não farei essa conta, mas vale a pena conferir que essa conta dá o mesmo que a regra de Sarrus. Agora eu vou começar a responder a sua pergunta: provarei que a definição do Iezzi equivale à minha. Considere a matriz A = [a_1 a_2 ... a_n], onde a_i é o i-ésimo vetor coluna de A e seja ainda a_1 = (x_1, x_2, ..., x_n). Pela multilinearidade do determinante, det A = x_1*det[e_1 a_2 ... a_n] + x_2*det[e_2 a_2 ... a_n] + ... + x_n*det[e_n a_2 ... a_n]. Agora eu precisarei dos dois seguintes lemas: Lema 1: Se a matriz A tem duas colunas, uma múltipla da outra, então det A = 0. Prova: Se A = [a_1 ... a_i ... c*a_i ... a_n], então det A = c * det[a_1 ... a_i ... a_i ... a_n] = c * 0 = 0. Lema 2: det[a_1 ... a_i ... (a_j - k*a_i) ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n]. Prova: Pela multinearidade na j-ésima coluna, det[a_1 ... a_i ... (a_j - k*a_i) ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n] + det[a_1 ... a_i ... -k*a_i ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n]. Em particular estes dois lemas implicam que podemos zerar a i-ésima coordenada de todas as colunas exceto a primeira de [e_i a_2 ... a_n] sem alterar o determinante -- basta tomar a matriz B_i = [e_i a_2-a_i2*e_i ... a_n-a_in*e_i]. Seja então B_i = [e_i b_1 ... b_(n-1)]. Troque agora a primeira coluna com a segunda, a segunda com a terceira e assim sucessivamente, até trocar a (i-1)-ésima coluna com a i-ésima coluna. Nessa história, a coluna e_i andou até a i-ésima posição, preservando a ordem relativa das outras colunas. Seja C_i essa nova matriz. Como efetuamos i-1 trocas de colunas, det C_
Re: [obm-l] determinantes
Tenho 18 e tô no seg. ano de Eng. Elétrica, vi a importância dos números complexos pois estou cursando Mat. Aplicada I, fundamental para Engenharia. Eles têm inumeras aplicações para quantificar grandezas e encontrar soluções em Elétrica; (Pausa OFF TOPIC) Hoje em dia a própria ONU admite como critério de desenvolvimento a qualidade em Energia Elétrica e não mais aqueles fatores como desnutrição, renda per capita, distribuição de renda, mortalidade infantil, (...), ou seja, matematica -> nºs complexo->engenharia- >energia->desenvolvimento, seria uma das possíveis modelagens das utilidades dos números complexos. Fui > Pegando um gancho: > > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu > nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que > ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, > mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario utilizar > estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio sao > facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da > matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem *determinante* como > um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente falando :-) > > > > Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > > > olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma > > matriz... > > > > é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao > > aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao > > teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... > > > > uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: > > "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_ (nXn), com n >= 2, é igual > > ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular > > B, equiparável a A." > > > > bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso > > encontra a demonstração desses dois teoremas: > > > > "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = > > (b_ij)_(nXn) equiparável a A." > > esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não > > consegui... > > > > > > "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o > > mesmo produto dos elementos da diagonal principal." > > esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. > > > > bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi > > vol. 4.: > > "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos > > elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." > > > > a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, > > por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: > > "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis > > fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada > > coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma > > permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, > > negativamente." > > nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: > > "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" > > e a explicação para inversões foi: > > "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na > > mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação > > inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão > > seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a > > ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o > > n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um > > número ap antes de um aq, tais que p > q." > > > > nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias > > para chegar a dada permutação... > > > > > > bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber > > onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace. > > > > desde já agradeço > > > > > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] determinantes
So uma curiosidade: parece que determinantes sao assunto de ensino medio apenas no Brasil e em Portugal. Morgado > Fael escreveu: > > Pegando um gancho: > > > > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, > os unicos que ate agora eu > > nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e > *numeros complexos*. Sei que > > ambos estao presentes na historia da criacao dos > computadores, por exemplo, > > mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em > que seja necessario utilizar > > estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de > matematica de Ensino Medio sao > > facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um > *estranho no ninho* da > > matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos > livros definem *determinante* como > > um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! > Ironicamente falando :-) > > > > > > > > Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão > leste da Am. Sul, > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > > > > > > > > olá, gostaria de saber se existe uma definição > exata de determinante de uma > > > matriz... > > > > > > é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria > de saber se todas sao > > > aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas > é a certa e as outras sao > > > teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além > dessa 3... > > > > > > uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 > é: > > > "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_ > (nXn), com n >= 2, é igual > > > ao produto dos elementos da diagonal principal de > qualquer matriz triangular > > > B, equiparável a A." > > > > > > bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe > algum lugar em que eu posso > > > encontra a demonstração desses dois teoremas: > > > > > > "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe > uma matriz triangular B = > > > (b_ij)_(nXn) equiparável a A." > > > esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar > matematicamente e não > > > consegui... > > > > > > > > > "Se duas matrizes triangulares A e B são > equiparáveis, então ambas possuem o > > > mesmo produto dos elementos da diagonal principal." > > > esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao > consegui demonstrar. > > > > > > bom, a outra definição que encontrei para > determinante foi no Gelson Iezzi > > > vol. 4.: > > > "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a > soma dos produtos dos > > > elementos da primeira coluna pelos respectivos > cofatores." > > > > > > a outra definição que encontrei foi em um e-mail > enviado para esta lista, > > > por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: > > > "o determinante de uma matriz é a soma algébrica > de todos os possíveis > > > fatores em que estão presentes um (e apenas um) > elemento de cada linha e cada > > > coluna, sendo que aqueles em que os índices dos > elementos da matriz formam uma > > > permutação de primeira classe são tomados > positivamente e os demais, > > > negativamente." > > > nesse caso a explicação que ele deu para > permutação de primeira classe foi: > > > "permutação de primeira classe é aquela em que o > número de inversões é par" > > > e a explicação para inversões foi: > > > "inversão é o fato de um par de elementos de uma > permutação não aparecer na > > > mesma ordem que apareceram na permutação inicial. > No caso de a permutação > > > inicial de n números ser a disposição deste em > ordem crescente, uma inversão > > > seria basicamente o fato de aparecer um número > maior antes de um menor. E se a > > > ordem inicial deles for outra, pode-se sempre > chamar o 1o elemento de a1 e o > > > n-ésimo de an, de modo que uma inversão será > simplesmente quando aparecer um > > > número ap antes de um aq, tais que p > q." > > > > > > nesse caso eu nao entendi como calcular quantas > inversoes foram necessarias > > > para chegar a dada permutação... > > > > > > > > > bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for > abuso, gostaria de saber > > > onde poderia encontrar a demonstração do teorema > fundamental de Laplace. > > > > > > desde já agradeço > > > > > > > > > > > Atenciosamente, > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usuário de GNU/Linux > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ===
Re: [obm-l] determinantes
Sempre ouvi que os números complexos eram "o corpo e a alma" da eletricidade e da eletrônica. Há umas duas semanas, aqui no cursinho, o professor de eletricidade sem dó alguma de seus alunos (hehehe), deduziu a Relação de Euler, e em seguida mostrou o que seria Impedância. Lógico que a intenção dele não era ensinar isso, mas mostrar um pouco que a eletricidade vai muito além dos nossos circuitos estudados. Com certeza tem gente aqui que pode explicar melhor do que eu, mas a Impedância é um número complexo. Na corrente alternada você tem uma potência ativa e uma potencia reativa, uma delas (ativa creio eu) é a que faz girar motores e etc, mas nem toda potencia que chega na sua casa, uma parte "desaparece", não é utilizada pra nada, é a potencia reativa. A potencia ativa é a parte real e a reativa a imaginária. Se troquei ou inverti alguma delas, desculpe, como disse isso a intencao do meu professor foi apenas um "bonus" pra galera saber que há muita coisa alem dos resistores, geradores, capacitores e outros mais dos circuitos. E aproveitar e mostrar que o que agente tem é MUITO simples perto do que é a eletronica e eletricidade. Fora que ele aproveita pra fazer propaganda do curso de eletronica no ITA, que ele é formado e dá aula atualmente também. hehehe Abraços Ariel ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: 05/24/04 21:03:58 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] determinantes Pegando um gancho: De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente falando :-) Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3. uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A." bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas: "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A." esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui... "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal." esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.: "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente." nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" e a explicação para inversões foi: "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q." nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação... bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace. desde já agradeço IncrediMail - Email has finally evolved - Click Here
Re: [obm-l] determinantes
Os números complexos são importante para a computação também..existem softwares (na verdade eu mesmo fiz um) que se utilizam de técnicas de modelagem geométrica/computacional onde os números complexos são utilizados para representar pontos no plano (monitor, no caso)..algumas vezes fica mais simples que representar como par ordenado... []'s Daniel == --- Ariel de Silvio <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Sempre ouvi que os números complexos eram "o corpo e > a alma" da eletricidade > e da eletrônica. Há umas duas semanas, aqui no > cursinho, o professor de > eletricidade sem dó alguma de seus alunos (hehehe), > deduziu a Relação de > Euler, e em seguida mostrou o que seria Impedância. > Lógico que a intenção > dele não era ensinar isso, mas mostrar um pouco que > a eletricidade vai muito > além dos nossos circuitos estudados. Com certeza tem > gente aqui que pode > explicar melhor do que eu, mas a Impedância é um > número complexo. Na > corrente alternada você tem uma potência ativa e uma > potencia reativa, uma > delas (ativa creio eu) é a que faz girar motores e > etc, mas nem toda > potencia que chega na sua casa, uma parte > "desaparece", não é utilizada pra > nada, é a potencia reativa. A potencia ativa é a > parte real e a reativa a > imaginária. > > Se troquei ou inverti alguma delas, desculpe, como > disse isso a intencao do > meu professor foi apenas um "bonus" pra galera saber > que há muita coisa alem > dos resistores, geradores, capacitores e outros mais > dos circuitos. E > aproveitar e mostrar que o que agente tem é MUITO > simples perto do que é a > eletronica e eletricidade. Fora que ele aproveita > pra fazer propaganda do > curso de eletronica no ITA, que ele é formado e dá > aula atualmente também. > hehehe > > Abraços > Ariel > > ---Original Message--- > > From: [EMAIL PROTECTED] > Date: 05/24/04 21:03:58 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re: [obm-l] determinantes > > Pegando um gancho: > > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, > os unicos que ate agora > eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e > *numeros complexos*. Sei > que ambos estao presentes na historia da criacao dos > computadores, por > exemplo, mas nao consigo imaginar uma > situacao-problema em que seja > necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os > outros conceitos de > matematica de Ensino Medio sao facilmente > contextualizados, mas estes 2 sao > um *estranho no ninho* da matematica de Ensino > Medio. E para piorar, muitos > livros definem *determinante* como um numero > associado a uma matriz (Grande > definicao ! Ironicamente falando :-) > > > > Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão > leste da Am. Sul, > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > olá, gostaria de saber se existe uma definição exata > de determinante de uma > matriz... > > é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de > saber se todas sao > aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é > a certa e as outras sao > teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além > dessa 3. > > uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: > > "O determinante de uma matriz quadrada A = > (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual > ao produto dos elementos da diagonal principal de > qualquer matriz triangular > B, equiparável a A." > > bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum > lugar em que eu posso > encontra a demonstração desses dois teoremas: > > "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe > uma matriz triangular B = > (b_ij)_(nXn) equiparável a A." > esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar > matematicamente e não > consegui... > > > "Se duas matrizes triangulares A e B são > equiparáveis, então ambas possuem o > mesmo produto dos elementos da diagonal principal." > esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui > demonstrar. > > bom, a outra definição que encontrei para > determinante foi no Gelson Iezzi > vol. 4.: > "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a > soma dos produtos dos > elementos da primeira coluna pelos respectivos > cofatores." > > a outra definição que encontrei foi em um e-mail > enviado para esta lista, > por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: > "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de > todos os possíveis > fatores em que estão presentes um (e apenas um) > elemento de cada linha e > cada coluna, sendo que aqueles em que os índices > dos elementos da matriz > formam uma permutação de primeira c
RE: [obm-l] determinantes
Fael, Uma coisa que eu fui aprender depois de muito tempo e que a gente tem que dar um tempo as coisas. EU tambem tinha vontade de saber de imediato a aplicacao de diversas coisas do 2º grau, como por exemplo determinantes e complexos no seu caso, mas existe todo um fluxo de aprendizado pelo qual voce tem que passar pra ficar pronto para entender as aplicacoes. Numeros Complexos e Algebra Linear sao materias incriveis e de grande poder. Sei que as vezes a gente fica aprendendo varias coisas sem ver onde vai aplicar isso, mas as aplicacoes demandam conhecimentos de varias areas. Exemplos: Numeros Complexos: Toda teoria eletromagnetica gira em torno de algebra de numeros complexos. Teoria de Processamento Digital de Sinais esta toda em cima disso tambem (Transformada Z, Transformadas de Wavelet, etc). Algebra Linear: Determinantes sao importantes pra voce entender algumas solucoes de sistemas de equacoes diferenciais que aparecem em sistemas de controle e robotica, determinacao de autovalores para analise de estabilidade esta baseada em voce calcular um determinante especial, etc. Espere mais um pouco que elas virao em cheio ! Tive um professor que falava que se o mundo acabasse hoje, bastaria ter somente dois livros pra reconstrui-lo: Uma biblia e um de Transformadas de Fourier. Nao vou me estender pra ficar off-topic. Leandro Los Angeles, CA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 24, 2004 8:47 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] determinantes Pegando um gancho: De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente falando :-) Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A." bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas: "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A." esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui... "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal." esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.: "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente." nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" e a explicação para inversões foi: "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q." nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação... bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, go
Re: [obm-l] determinantes
A aplicacao primaria de determinantes eh na resolucao de sistema de equacoes lineares. Hah inclusive aquela famosa formula, devida a Cramer, se naum me engano, que permite encontrar a solucao de um sistema linear com matriz quadrada naum singular atraves da relacao entre determinantes. Hah tambem aplicacoes em Algebra Linear e na Programacao Linear pelo Metodo Simplex, a qual eh uma aplicacao tecnica da Algebra Linear. Existe tambem aplicacao dos determinantes em Analise, na determinacao dos maximos e minimos de funcoes de R^n em R. Temos matrizes conhecidas por Jacobiano, Lagrangeano, Hessiano, e outras, as quais sao muito importantes no estudo de maximos e minimos e no campo da Programacao Nao Linear, a qual eh uma aplicacao tecnica da Analise no R^n a problemas de otimizacao. Aparecem os conceitos de matrizes positivas definidas e de matrizes positivas semi-definidas, que sao correlatos com determinantes. Mas, a despeito da importancia teorica dos determinantes, eu acho que quase nunca se calcula de fato o determinante de uma matriz. Acho que eles sao importantes para se demonstrarem alguns teoremas, mas sempre se consegue chegar aos resultados finais sem se calcular determinantes, visto que ha processos computacionalmente muito melhores. Os numeros complexos tem grande aplicacao na teoria de circuitos eletricos. A introducao dos numeros complexos (no sentido matematico) nesta teoria torna as coisas muito menos complexas (no sentido etmologico) do que trabalhar no conjunto dos reais. Os complexos tambem tem grande aplicacao na teoria de controle de processos, quando se trabalham com assuntos como estabilidade de sistemas e funcoes de transferencia. Muitos conceitos da Analise Complexa, como singularidades, polos, funcoes analiticas, sao empregados. Embora nao seja possivel entrar nestes assuntos no nivel medio, acho que um professor pode perfeitamente cita-los de forma simples, para que o aluno perceba que estah estudando algo que tem de fato importancia pratica. Artur > Fael escreveu: > > Pegando um gancho: > > > > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, > os unicos que ate agora eu > > nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e > *numeros complexos*. Sei que > > ambos estao presentes na historia da criacao dos > computadores, por exemplo, > > mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em > que seja necessario utilizar > > estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de > matematica de Ensino Medio sao > > facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um > *estranho no ninho* da > > matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos > livros definem *determinante* como > > um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! > Ironicamente falando :-) > > > > > > > > Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão > leste da Am. Sul, > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > > > > > > > > olá, gostaria de saber se existe uma definição > exata de determinante de uma > > > matriz... > > > > > > é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria > de saber se todas sao > > > aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas > é a certa e as outras sao > > > teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além > dessa 3... > > > > > > uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 > é: > > > "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_ > (nXn), com n >= 2, é igual > > > ao produto dos elementos da diagonal principal de > qualquer matriz triangular > > > B, equiparável a A." > > > > > > bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe > algum lugar em que eu posso > > > encontra a demonstração desses dois teoremas: > > > > > > "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe > uma matriz triangular B = > > > (b_ij)_(nXn) equiparável a A." > > > esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar > matematicamente e não > > > consegui... > > > > > > > > > "Se duas matrizes triangulares A e B são > equiparáveis, então ambas possuem o > > > mesmo produto dos elementos da diagonal principal." > > > esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao > consegui demonstrar. > > > > > > bom, a outra definição que encontrei para > determinante foi no Gelson Iezzi > > > vol. 4.: > > > "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a > soma dos produtos dos > > > elementos da primeira coluna pelos respectivos > cofatores." > > > > > > a outra definição que encontrei foi em um e-mail > enviado para esta lista, > > > por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: > > > "o determinante de uma matriz é a soma algébrica > de todos os possíveis > > > fatores em que estão presentes um (e apenas um) > elemento de cada linha e cada > > > coluna, sendo que aqueles em que os índices dos > elementos da matriz formam uma > > > permutação de primeira classe são tomados > positivamente e os demais, > > > negativamente." > > > nesse caso a explicação que ele deu para > permutação de primeira classe foi: > > > "permutação de primeira classe é aquela
Re: [obm-l] determinantes
(OFFTOPIC) Pois é... mesmo sabendo que existe uma certa formalidade quanto à eletricidade não a aplicamos na prática, por ex. fator de potência, utiliza os conceitos de potencia reativa, indutiva, mais na verdade se calcula-a no brasil pelo mísero 'cosseno fi' , nossas normas são uma vergonha... > Sempre ouvi que os números complexos eram "o corpo e a alma" da eletricidade > e da eletrônica. Há umas duas semanas, aqui no cursinho, o professor de > eletricidade sem dó alguma de seus alunos (hehehe), deduziu a Relação de > Euler, e em seguida mostrou o que seria Impedância. Lógico que a intenção > dele não era ensinar isso, mas mostrar um pouco que a eletricidade vai muito > além dos nossos circuitos estudados. Com certeza tem gente aqui que pode > explicar melhor do que eu, mas a Impedância é um número complexo. Na > corrente alternada você tem uma potência ativa e uma potencia reativa, uma > delas (ativa creio eu) é a que faz girar motores e etc, mas nem toda > potencia que chega na sua casa, uma parte "desaparece", não é utilizada pra > nada, é a potencia reativa. A potencia ativa é a parte real e a reativa a > imaginária. > > Se troquei ou inverti alguma delas, desculpe, como disse isso a intencao do > meu professor foi apenas um "bonus" pra galera saber que há muita coisa alem > dos resistores, geradores, capacitores e outros mais dos circuitos. E > aproveitar e mostrar que o que agente tem é MUITO simples perto do que é a > eletronica e eletricidade. Fora que ele aproveita pra fazer propaganda do > curso de eletronica no ITA, que ele é formado e dá aula atualmente também. > hehehe > > Abraços > Ariel > > ---Original Message--- > > From: [EMAIL PROTECTED] > Date: 05/24/04 21:03:58 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re: [obm-l] determinantes > > Pegando um gancho: > > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora > eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei > que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por > exemplo, mas nao consigo imaginar uma situacao- problema em que seja > necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de > matematica de Ensino Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao > um *estranho no ninho* da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos > livros definem *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande > definicao ! Ironicamente falando :-) > > > > Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma > matriz... > > é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao > aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao > teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3. > > uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: > "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_ (nXn), com n >= 2, é igual > ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular > B, equiparável a A." > > bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso > encontra a demonstração desses dois teoremas: > > "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = > (b_ij)_(nXn) equiparável a A." > esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não > consegui... > > > "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o > mesmo produto dos elementos da diagonal principal." > esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. > > bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi > vol. 4.: > "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos > elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." > > a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, > por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: > "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis > fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e > cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz > formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os > demais, negativamente." > nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: > "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" > e a explicação para inversões foi: > "inv
RE: [obm-l] determinantes
Quando eu estava no Científico (hoje ensino médio) os livros didáticos definiam determinante como o Hugo. Parece-me a maneira melhor de faze-lo para um aluno de ensino medio. Na verdade, os livros davam uma simplificadazinha que tornava incompreensivel o porque de o determinante de uma matriz ser igual ao da sua transposta, mas, fora isso, enunciavam-se e provavam-se todos os teoremas relevantes, inclusive o de Laplace, de modo compreensível para um aluno do segundo científico. Sofria-se no inicio, com uma semana inteira dedicada a inversões antes de chegar a definição de determinante, porem, posteriormente, o desenvolvimento da teoria era rapido e justificado (provava-se tudo). Hoje, com o ensino "pratico e objetivo", livre dos professores que so querem complicar (provar para que? todo mundo ja sabe que é verdade mesmo!), define-se determinante pelo teorema de Laplace; isso torna complicado provar os teoremas, mas, nesses tempos praticos e objetivos, ninguem vai provar nada mesmo, a Matematica que se ensina nao tem mais teoremas, tem apenas observações... Na época, início da década de 60, tentando resolver o que era, para mim, um mistério (o do determinante da transposta) descobri um livro que expunha de modo claro e compreensivel a teoria dos determinantes: Lições de Algebra e Analise, de Bento de Jesus Caraça. Nele se encontra a mais didatica exposição da teoria dos determinantes, provando-se tudo. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é: "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A." bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas: "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A." esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui... "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal." esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar. bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.: "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores." a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves: "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente." nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi: "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par" e a explicação para inversões foi: "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q." nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação... bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace. desde já agradeço --- End of Original Message ---
Re: [obm-l] determinantes
On Mon, May 24, 2004 at 11:46:37PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Pegando um gancho:
>
> De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu
> nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que
> ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo,
> mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario
> utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino
> Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho*
> da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem
> *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao !
> Ironicamente falando :-)
Muita gente mandou respostas boas (enquanto eu estava ocupado demais
para responder) explicando algumas das aplicações mais clássicas e
conhecidas destes tópicos. Eu queria dizer que se você procurar nos
arquivos da lista encontrará várias outras mais surpreendentes.
Determinantes, por exemplo, são usados em alguns problemas de combinatória.
Para contar de quantas maneiras é possível cobrir um tabuleiro quadriculado
com dominós (retângulos 2x1 ou 1x2) você pode fazer o seguinte
(este método é devido a Kasteleyn).
Primeiro pinte as casas alternadamente de vermelho e azul.
Numere as casas de cada cor; se o número de casas vermelhas
for diferente do número de casas azuis então é impossível
cobrir o tabuleiro e o problema acabou. Senão monte uma matriz nxn A
onde cada linha corresponde a um quadrado vermelho e cada coluna
a um quadrado azul. Se os quadrados vermelho-i e azul-j não forem
vizinhos então a_{ij} = 0. Se eles forem vizinhos na vertical
ou em uma linha horizontal par então a_{ij} = 1. Se eles forem
vizinhos em uma linha horizontal ímpar então a_{ij} = -1.
Agora det A é o número de maneiras de cobrir o tabuleiro.
Vamos ver um exemplo, o quadrado 4x4. Numere os quadrados assim:
[1] (1) [2] (2)
(3) [3] (4) [4]
[5] (5) [6] (6)
(7) [7] (8) [8]
Aqui usamos [] para vermelho e () para azul.
A matriz A é
[ 1 0 1 0 0 0 0 0 ]
[ 1 1 0 1 0 0 0 0 ]
[ 1 0 -1 -1 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 -1 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 1 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 1 1 0 1 ]
[ 0 0 0 0 1 0 -1 -1 ]
[ 0 0 0 0 0 1 0 -1 ]
e det(A) = 36.
Já apareceram nesta lista um monte de problemas de geometria plana resolvidos
com o uso de números complexos. E para resolver a equação de grau 3 você
precisa de complexos, mesmo se os coeficientes e raízes forem todos reais;
esta, aliás, foi a razão histórica para "inventarem" números complexos.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] determinantes
Leandro, Achei super interessante o que o seu professor falou, ou seja: [ ... se o mundo acabasse hoje, bastaria ter somente dois livros pra reconstrui-lo: Uma biblia e um de Transformadas de Fourier...] O que ele estava querendo dizer eh que as transformadas de Fourier servem de axioma para construir toda a Matematica ? Ja li uma vez que se existisse no planeta alguem extremamente inteligente, bastaria apresenta-la as quatro operacoes aritmeticas (adicao, subtracao, divisao e multiplicacao) e ela deduziria toda o conhecimento Matematico que consta atualmente nos livros. Quem duvida disso eh so lembrar do nosso *colega* Sir. Isaac Newton que inventou a Mecanica quase toda sozinho. Tenho um livro aqui (introducao ilustrada a Fisica) cujos autores demonstram um senso de humor incrivel, em todo o livro. Um dos capitulos (Energia) apresenta o seguinte introito: Issac Newton inventou a Mecanica quase toda sozinho. Mas ha uma coisa que ele nao imaginava: A ENERGIA Embaixo desta introducao ha a ilustracao de Newton debaixo de uma macieira ;-) dizendo: - Tambem ...Queriam que eu pensasse em tudo ?!?! Outra façanha incrivel atribuida a Isaac Newton foi uma de que ele se tornou o maior matematico de sua epoca lendo apenas 1 livro (fonte fidedigna: Documentario sobre a historia da Fisica [autor: Stephen Hawking]. Digo fidedigna pois, se nao me engano, Stephen Hawking ocupa a mesma cadeira que Newton ocupou na Cambridge University.) A questao: Quem foi o ser humano mais brilhante na face da terra (nao necessariamente matematico) ? eh bem interessante para se discutir, mas eh um pouco off-topic. Em uma mensagem de 25/5/2004 13:19:21 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Fael, Uma coisa que eu fui aprender depois de muito tempo e que a gente tem que dar um tempo as coisas. EU tambem tinha vontade de saber de imediato a aplicacao de diversas coisas do 2º grau, como por exemplo determinantes e complexos no seu caso, mas existe todo um fluxo de aprendizado pelo qual voce tem que passar pra ficar pronto para entender as aplicacoes. Numeros Complexos e Algebra Linear sao materias incriveis e de grande poder. Sei que as vezes a gente fica aprendendo varias coisas sem ver onde vai aplicar isso, mas as aplicacoes demandam conhecimentos de varias areas. Exemplos: Numeros Complexos: Toda teoria eletromagnetica gira em torno de algebra de numeros complexos. Teoria de Processamento Digital de Sinais esta toda em cima disso tambem (Transformada Z, Transformadas de Wavelet, etc). Algebra Linear: Determinantes sao importantes pra voce entender algumas solucoes de sistemas de equacoes diferenciais que aparecem em sistemas de controle e robotica, determinacao de autovalores para analise de estabilidade esta baseada em voce calcular um determinante especial, etc. Espere mais um pouco que elas virao em cheio ! Tive um professor que falava que se o mundo acabasse hoje, bastaria ter somente dois livros pra reconstrui-lo: Uma biblia e um de Transformadas de Fourier. Nao vou me estender pra ficar off-topic. Leandro Los Angeles, CA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 24, 2004 8:47 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] determinantes Pegando um gancho: De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente falando :-)
Re: [obm-l] determinantes
(offtopic) E qual a def. formal de Energia? Segundo Einstein é (traduzido) "a face oposta da mesma molécula", se bem que Einstein dizia "se não puderes convencê-los, confunda-os" ... falow > Leandro, > > Achei super interessante o que o seu professor falou, ou seja: > > [ ... se o mundo acabasse hoje, bastaria ter somente dois livros pra > reconstrui-lo: Uma biblia e um de Transformadas de Fourier...] > > O que ele estava querendo dizer eh que as transformadas de Fourier servem de > axioma para construir toda a Matematica ? Ja li uma vez que se existisse no > planeta alguem extremamente inteligente, bastaria apresenta-la as quatro > operacoes aritmeticas (adicao, subtracao, divisao e multiplicacao) e ela deduziria > toda o conhecimento Matematico que consta atualmente nos livros. Quem duvida > disso eh so lembrar do nosso *colega* Sir. Isaac Newton que inventou a Mecanica > quase toda sozinho. Tenho um livro aqui (introducao ilustrada a Fisica) cujos > autores demonstram um senso de humor incrivel, em todo o livro. Um dos > capitulos (Energia) apresenta o seguinte introito: > Issac Newton inventou a Mecanica quase toda sozinho. Mas ha uma coisa que ele > nao imaginava: A ENERGIA > Embaixo desta introducao ha a ilustracao de Newton debaixo de uma macieira > ;-) dizendo: > - Tambem ...Queriam que eu pensasse em tudo ?!?! > Outra façanha incrivel atribuida a Isaac Newton foi uma de que ele se tornou > o maior matematico de sua epoca lendo apenas 1 livro (fonte fidedigna: > Documentario sobre a historia da Fisica [autor: Stephen Hawking]. Digo fidedigna > pois, se nao me engano, Stephen Hawking ocupa a mesma cadeira que Newton ocupou na > Cambridge University.) > A questao: Quem foi o ser humano mais brilhante na face da terra (nao > necessariamente matematico) ? eh bem interessante para se discutir, mas eh um pouco > off-topic. > > > > > > Em uma mensagem de 25/5/2004 13:19:21 Hora padrão leste da Am. Sul, > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > > > Fael, > > > > Uma coisa que eu fui aprender depois de muito tempo e que a gente tem que > > dar um tempo as coisas. EU tambem tinha vontade de saber de imediato a > > aplicacao de diversas coisas do 2º grau, como por exemplo determinantes e complexos > > no seu caso, mas existe todo um fluxo de aprendizado pelo qual voce tem que > > passar pra ficar pronto para entender as aplicacoes. Numeros Complexos e > > Algebra Linear sao materias incriveis e de grande poder. Sei que as vezes a gente > > fica aprendendo varias coisas sem ver onde vai aplicar isso, mas as aplicacoes > > demandam conhecimentos de varias areas. Exemplos: > > > > Numeros Complexos: Toda teoria eletromagnetica gira em torno de algebra de > > numeros complexos. Teoria de Processamento Digital de Sinais esta toda em cima > > disso tambem (Transformada Z, Transformadas de Wavelet, etc). > > > > Algebra Linear: Determinantes sao importantes pra voce entender algumas > > solucoes de sistemas de equacoes diferenciais que aparecem em sistemas de > > controle e robotica, determinacao de autovalores para analise de estabilidade esta > > baseada em voce calcular um determinante especial, etc. > > > > Espere mais um pouco que elas virao em cheio ! Tive um professor que falava > > que se o mundo acabasse hoje, bastaria ter somente dois livros pra > > reconstrui-lo: Uma biblia e um de Transformadas de Fourier. > > > > Nao vou me estender pra ficar off-topic. > > > > Leandro > > Los Angeles, CA. > > > > -Original Message- > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On > > Behalf Of [EMAIL PROTECTED] > > Sent: Monday, May 24, 2004 8:47 PM > > To: [EMAIL PROTECTED] > > Subject: Re: [obm-l] determinantes > > > > Pegando um gancho: > > > > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora > > eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei > > que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, > > mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario > > utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio > > sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da > > matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem > > *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente > > falando :-) > > > > > > > > >
Re: [obm-l] determinantes
Em se falando em Computaçao (minha area, por sinal...), matrizes sao uteis por exemplo como estruturas de dados (e um encurtador tremendo de linhas de codigo) e para "desenhar" grafos dirigidos em certos programas. Numeros complexos podem ser usados mais para o lado hardware, na hora de desenvolver os circuitos integrados .Eu ja ouvi falar de algo assim em Fisica, usar Complexos para determinar equaçoes de resistores, capacitores, coisa e tal...Onde eu acho isso?
"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
On Mon, May 24, 2004 at 11:46:37PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote:> Pegando um gancho:> > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu > nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que > ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, > mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario> utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino> Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho*> da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem> *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao !> Ironicamente falando :-)Muita gente mandou respostas boas (enquanto eu estava ocupado demaispara responder) explicando algumas das aplicações mais clássicas econhecidas destes tópicos. Eu
queria dizer que se você procurar nosarquivos da lista encontrará várias outras mais surpreendentes.Determinantes, por exemplo, são usados em alguns problemas de combinatória.Para contar de quantas maneiras é possível cobrir um tabuleiro quadriculadocom dominós (retângulos 2x1 ou 1x2) você pode fazer o seguinte(este método é devido a Kasteleyn).Primeiro pinte as casas alternadamente de vermelho e azul.Numere as casas de cada cor; se o número de casas vermelhasfor diferente do número de casas azuis então é impossívelcobrir o tabuleiro e o problema acabou. Senão monte uma matriz nxn Aonde cada linha corresponde a um quadrado vermelho e cada colunaa um quadrado azul. Se os quadrados vermelho-i e azul-j não foremvizinhos então a_{ij} = 0. Se eles forem vizinhos na verticalou em uma linha horizontal par então a_{ij} = 1. Se eles foremvizinhos em uma linha horizontal ímpar então a_{ij} = -1.Agora det A é o número de
maneiras de cobrir o tabuleiro.Vamos ver um exemplo, o quadrado 4x4. Numere os quadrados assim:[1] (1) [2] (2)(3) [3] (4) [4][5] (5) [6] (6)(7) [7] (8) [8]Aqui usamos [] para vermelho e () para azul.A matriz A é[ 1 0 1 0 0 0 0 0 ][ 1 1 0 1 0 0 0 0 ][ 1 0 -1 -1 1 0 0 0 ][ 0 1 0 -1 0 1 0 0 ][ 0 0 1 0 1 0 1 0 ][ 0 0 0 1 1 1 0 1 ][ 0 0 0 0 1 0 -1 -1 ][ 0 0 0 0 0 1 0 -1 ]e det(A) = 36.Já apareceram nesta lista um monte de problemas de geometria plana resolvidoscom o uso de números complexos. E para resolver a equação de grau 3 vocêprecisa de complexos, mesmo se os coeficientes e raízes forem todos reais;esta, aliás, foi a razão histórica para "inventarem" números complexos.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)
N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] determinantes 02
2013/4/19 Thelio Gama : > Tem mais essa outra anexa parecida com a anterior que postei, e que também > não consigo resolver. Esse é um Vandermonde normal. Escreva tudo, sai fatorado, e depois corra pro abraço com a análise de sinal. É chato e longo, mas não é difícil. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] determinantes 01
2013/4/19 Thelio Gama : > Prezados professores, > > tentei mas não consegui resolver a equação anexa. Parecia-me uma matriz de > Wandermonde, mas não consegui. Poderiam me ajudar? Eu aposto que é um erro tipográfico. Mas, se não for, use eliminação "de baixo pra cima", como se fosse Vandermonde (ou seja, subtraia a linha 3 na linha 4, depois a linha 2 na linha 3, depois a linha 1 na linha 2), obtendo assim três zeros na última coluna, e daí basta calcular o determinante da matriz que sobrar. Vai dar um polinômio, um monte de fatorações igual ao que acontece no Vandermonde vai aparecer, mas no fim resta um polinômio (k^3 - k - 1) feioso... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] determinantes solução
Alguém conhece a solução completa do determinante abaixo? O exercício é do livro Problems in Higher Álgebra(MIR) e não é um determinante elementar. Saudações a todos . -Mensagem original- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Em nome de haroldo Enviada em: domingo, 22 de setembro de 2002 10:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] determinantes 1 1/2 1/3 1/n 1/2 1/3 1/4 1/(n+1) 1/3 1/4 1/5 ... 1/(n+2) .. .. 1/n 1/(n+1) ... . 1/(2n-1) grato HAROLDO.
[obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
Caro João Carlos: A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) p em Sn onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da permutação "p" (+1 se p é par, -1 se p é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, ..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) ou seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n elementos da matriz. Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou sobre o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 e talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes ePermutações pares e ímpares
"Cláudio \(Prática\)" ora.com.br> cc: Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares .puc-rio.br 04/02/2003 06:12 Favor responder a obm-l Querido Cláudio, Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua colaboração, com a qual atualizo-me e avanço. Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo. Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações. Desde já, muito grato, João Carlos. Caro João Carlos: A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) p em Sn onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da permutação "p" (+1 se p é par, -1 se p é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, ..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) ou seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n elementos da matriz. Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou sobre o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 e talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual a 4. Expliquem-me. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares >Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400 > > > "Cláudio \(Prática\)" > > ora.com.br> cc: > Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações > [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares > .puc-rio.br > > > 04/02/2003 06:12 > Favor responder a > obm-l > > > > > > > > > Querido Cláudio, > > > > Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é > > o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua > > colaboração, com a qual atualizo-me e avanço. > > Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei > > quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo. > > Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações. > > Desde já, muito grato, João Carlos. > O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y . > > >Caro João Carlos: > >A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: > >det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) > p em Sn > >onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da >permutação >"p" (+1 se p é par, -1 se p >é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, >..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) >ou >seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n >elementos >da matriz. > >Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição >de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem >alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou >sobre >o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que >você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. > >O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 >e >talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. > >Espero que isso ajude. > >Um abraço, >Claudio. > > >- Original Message - >From: <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM >Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares > > >No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de >cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não >estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual >a 4. Expliquem-me. > > > ATT. João Carlos > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. smart spam protection and 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
Olá Ricardo e demais participantes desta discussão!
Considere o conjunto de todas as permutações de (1234): (1243), (3214), ...
cada permutação dessas pode ser representada com uma bijeção
f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4}. Por exemplo, em (1243) a função seria f(1)=1,
f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3. Pode-se pensar, então, em construir uma operação com
as permutações, através da composição de funções. Vou dar um exemplo
(1243) é representado por f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3
(3214) é representado por g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, g(4)=4
(1243) * (3241) é representado pela composta h = f o g, h(1)=4, h(2)=2,
h(3)=1, h(4)=3
portanto (1243) * (3241) = (4213)
Das operações tradicionais com funções, se conclui que "*" é associativa
a*(b*c)=(a*b)*c, não é em geral comutativa, se considerarmos identidade = i
= (1234) temos a * i = i * a = a para todo a e toda permutação tem uma
inversa a^(-1) tal que a * a^(-1) = a^(-1) * a = i.
Vamos definir uma função N:permutações->naturais que conta numa determinada
permutação p, quantos são os pares de números da esquerda para a direita na
permutação estão com o primeiro elemento maior. Em (1234) temos cada par na
ordem certa, portanto N(1234)=0. Em (3241), temos os pares (32), (31), (21),
(41) com o primeiro elemento maior portanto N(3241)=4. Agora temos um
resultado que é simples
LEMA. Cada vez que trocamos dois números de posição numa permutação p e
obtemos uma nova permutação p', o número N(p)-N(p') é ímpar. (por exemplo,
de p=(1234) com N(p) = 0 substituinto 1 e 3, obtemos p'=(3214) com N(p')=3)
Com base neste lema fazemos a seguinte definição, que é consistente
DEFINIÇÃO. Dizemos que uma permutação p é PAR (ÍMPAR) se a quantidade de
trocas que se precisa fazer com seus elementos para se chegar à i =
identidade é PAR (ÍMPAR). Ou o que é no mesmo, p é PAR (ÍMPAR) se N(p) é um
número PAR (ÍMPAR).
O sgn(p) = 1 se p é PAR e -1 se p é ÍMPAR.
Pode-se mostrar que para cada permutação p, existe uma matriz M (reordenação
das colunas da identidade) que seu efeito sobre um vetor da base canônica é
o mesmo que de p sobre o seu índice M(e_i) = e_(f(i)) onde f é a função
associada a p, e que det(M) = sgn(p). A composição de matrizes se relaciona
com a composição de funções, e daí sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b).
Espero ter ajudado!
Eduardo.
From: RICARDO CHAVES
Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio
>From: [EMAIL PROTECTED]
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e
ímpares
>Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400
>
>
> "Cláudio \(Prática\)"
>
> ora.com.br> cc:
> Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações
> [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares
> .puc-rio.br
>
>
> 04/02/2003 06:12
> Favor responder a
> obm-l
>
>
>
>
>
>
>
>
> Querido Cláudio,
>
>
>
> Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é
>
> o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua
>
> colaboração, com a qual atualizo-me e avanço.
>
> Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei
>
> quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo.
>
> Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações.
>
> Desde já, muito grato, João Carlos.
> O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y
.
>
>
>Caro João Carlos:
>
>A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte:
>
>det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n))
> p em Sn
>
>onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da
>permutação
>"p" (+1 se p é par, -1 se p
>é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2,
>..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn)
>ou
>seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n
>elementos
>da matriz.
>
>Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição
>de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem
>alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou
>sobre
>o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que
>você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor.
>
>O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24
>e
>talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal.
>
>Espero que isso ajude.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>- Original Message -
>From:
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM
>Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
>
>
>No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra
