RES: [obm-l] Geometria

[Claudio Arconcher]

Caros colegas, se bem entendi, o ponto D não pode ser marcado sobre a reta, ele 
deve ser construído.
A construção do ponto D é simples: tome-se o ponto Q`, simétrico do ponto Q, 
com relação à reta suporte dos pontos A,B e C, o quadrilátero PQRQ` é cíclico 
já que o ângulo BQ`C mede 60º e o ângulo PQR deve ser de 120º.
A intersecção dessa circunferência com a  reta por C paralela à reta BQ, 
fazendo 60º com a suporte mencionada, produz o ponto R, lado do terceiro 
triângulo equilátero CDR, aí sai o ponto D.
Uma construção utilizando o Geogebra mostra que as medidas deveriam ser 3,5 e 
x, e não 5,3 e x .
Por favor confiram.
Abraço.
Claudio

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Douglas Oliveira de Lima
Enviada em: quinta-feira, 12 de abril de 2018 08:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria

Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai vai:

Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano 
constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x 
respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.



Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?

Abraco
Douglas Oliveira.

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RES: [obm-l] Geometria plana

[Claudio Arconcher]

Bom dia caros colegas.
Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, 
segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o circuito 
ABCD ).
Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB em 
B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao quadrado 
ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P ( serão, de 
fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = PM, o perímetro do 
triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se consideramos o triângulo 
AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o mesmo, todos esses triângulos 
são assim obtidos, com PQ tangente à circunferência em um ponto M com a 
propriedade descrita.
Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ e, 
também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
Abraço.
Cláudio.

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Douglas Oliveira de Lima
Enviada em: domingo, 1 de abril de 2018 17:25
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria plana

Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma questão 
do coelhinho da páscoa que achei legal.

1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os lados 
AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ seja igual a 
2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.

Um abraço

Douglas Oliveira.

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RES: [obm-l] Geometria

[Albert Bouskela]

Olá, Nehab e João,

O trabalho da Silvana é mesmo bem legal, mas...

Para resolver o problema proposto - o Nehab tem razão: é um dos mais
clássicos - prefiro fazer um truque mais palatável: construir triângulos
auxiliares. Estou enviando - através de um arquivo PDF - a solução para o
e-mail de vocês.

Sds.,
Albert Bouskela
bousk...@msn.com

 -Mensagem original-
 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
 nome de Carlos Nehab
 Enviada em: 28 de abril de 2011 17:30
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: Re: [obm-l] Geometria
 
 Oi, João,
 
 O seu exercício é um clássico.
 Ai vai a dica. Um trabalho legal da Silvana: você vai gostar.
 
 http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/complexidade/complexidade-em-
 geometria.pdf
 
 Capítulo 2 a partir da página 28
 Olhe também a página 36.
 
 Abraços,
 Nehab
 
 Em 26/4/2011 20:22, João Maldonado escreveu:
  O seguinte problema está no livro  Geometria I de Morgado, e não sei
 porque  não estou conseguindo resolvê-lo. Sei que a resposta é 30º, se
 alguém  puder ajudar fico grato.
 
  Em um triângulo isósceles ABC, se base BC, o ângulo  vale 20º. P é um
 ponto sobre AB tal que o ângulo PCB = 60º. Q é um ponto em AC tal que QBC
 = 50º. Qual a medida do ângulo CPQ?
  []'sJoão
 
 =
 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 


=
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[obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana- triângulo retângulo

[Claudio Arconcher]

Seja M o ponto médio da hipotenusa e H o pé da perpendicular tirada do
vértice A sobre a hipotenusa BC.

O triângulo ABH é retângulo em H com ângulo em B medindo 50º e ângulo em A
medindo 40º.

O triângulo AMC é isósceles com ângulos em A e C medindo 40º.

O ângulo HAM mede 10º.

Creio que é isso.

Saludos.

Claudio

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Lucas Hagemaister
Enviada em: quarta-feira, 17 de novembro de 2010 22:21
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria plana- triângulo retângulo

 

No triângulo retângulo ABC, sendo med(B)=50º, o ângulo formado pela altura e
pela mediana traçadas a partir do vértice do ângulo reto A mede quanto?

Res: RES: [obm-l] Geometria

[Fabio Bernardo]

Obrigado Osmundo. Depois de algumas horas tb consegui visualizar isso 
prolongando a base menor menor e a outra diagonal do trapézio. Esse problema é 
um daqueles em que o desenho bem feitos facilita mt a solução.

Abraços  






De: Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Julho de 2010 15:20:54
Assunto: RES: [obm-l] Geometria

 
Seja ABCD o trapézio com a propriedade: a base AD é o dobro da base BC e a área 
do mesmo é 1.
Ponhamos A à esquerda de D e abaixo de B, assim ABCD é em sentido horário.
Seja M o ponto médio da base AD , claro está que ABCM é um paralelogramo de 
diagonais AC e BM. O ponto K é a intersecção dessas diagonais.
Assim sendo os triângulos ABC, ACM e DCM tem área igual a 1/3.
Tracemos a reta DK, ela corta AB em L e CM  em G. Note  que G é o baricentro do 
triângulo ACD.
A área do triângulo BCK vale 1/6 ( metade de 1/3 ).
O triângulo BLK é congruente ao triângulo MGK e este é semelhante ao triângulo 
CGD cuja área é 1/3 da área do triângulo ACD ( que vale 2/3 ) assim
esse triângulo CGD tem área igual a 1/3 x 2/3 ou 2/9.
A razão de semelhança entre os triângulos MGK e CGD é de ½ ( pois G é o 
baricentro ), a razão entre suas áreas é portanto ¼. Contas feitas a área do
Triângulo MGK vale 1/18 . 
Agora a área do quadrilátero BCKL é a soma 1/6 + 1/18, o que nos dá 2/9. É essa 
a resposta.
Espero ter sido claro.
Um abraço do colega
Osmundo Bragança.
 
 


 
De:owner-  obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-  obm-l@mat.puc-rio.br ] Em nome 
de Fabio Bernardo
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2010 21:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria
 
Alguém pode me ajudar nesse:
 
Em um trapézio ABCD de área 1, a  base BC mede a metade da base AD. Seja K o 
ponto médio da diagonal AC. A reta DK corta o lado AB no ponto L. A área do 
quadrilátero BCKL é:
a)  3/4
b)  2/3
c)  1/3
d)  2/9
e)  1/9


  

RES: [obm-l] Geometria

[Osmundo Bragança]

Seja ABCD o trapézio com a propriedade: a base AD é o dobro da base BC e a
área do mesmo é 1.

Ponhamos A à esquerda de D e abaixo de B, assim ABCD é em sentido horário.

Seja M o ponto médio da base AD , claro está que ABCM é um paralelogramo de
diagonais AC e BM. O ponto K é a intersecção dessas diagonais.

Assim sendo os triângulos ABC, ACM e DCM tem área igual a 1/3.

Tracemos a reta DK, ela corta AB em L e CM em G. Note que G é o baricentro
do triângulo ACD.

A área do triângulo BCK vale 1/6 ( metade de 1/3 ).

O triângulo BLK é congruente ao triângulo MGK e este é semelhante ao
triângulo CGD cuja área é 1/3 da área do triângulo ACD ( que vale 2/3 )
assim

esse triângulo CGD tem área igual a 1/3 x 2/3 ou 2/9.

A razão de semelhança entre os triângulos MGK e CGD é de ½ ( pois G é o
baricentro ), a razão entre suas áreas é portanto ¼. Contas feitas a área do

Triângulo MGK vale 1/18 . 

Agora a área do quadrilátero BCKL é a soma 1/6 + 1/18, o que nos dá 2/9. É
essa a resposta.

Espero ter sido claro.

Um abraço do colega

Osmundo Bragança.

 

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Fabio Bernardo
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2010 21:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria

 

Alguém pode me ajudar nesse:

 

Em um trapézio ABCD de área 1, a base BC mede a metade da base AD. Seja K o
ponto médio da diagonal AC. A reta DK corta o lado AB no ponto L. A área do
quadrilátero BCKL é:

a)  3/4

b)  2/3

c)  1/3

d)  2/9

e)  1/9

 

 

RES: [obm-l] Geometria

[Fabio Bernardo]

Use a síntese clariaut

 

Se o quadrado do maior lado for igual a soma dos quadrados dos outros lados,
o triângulo é retângulo.

Se for menor ele é acutângulo e se for maior é obtusângulo.

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Marcelo Costa
Enviada em: segunda-feira, 22 de março de 2010 09:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria

 

Alguém poderia me diazer se há alguma maneira de identificar um triângulo
quanto aos seus ângulos conhecendo-se o valor das medidas de seus lados, de
maneira simples(sem o uso da lei dos cossenos)? 

-- 
Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo
Galileu Galilei

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Version: 9.0.791 / Virus Database: 271.1.1/2761 - Release Date: 03/21/10
04:33:00

RES: [obm-l] geometria

[Osmundo Bragança]

Olá Marcelo

Se DM fosse paralelo ao lado AB D seria o ponto médio do lado BC, como D é o
pé da altura deveríamos ter ABC isósceles com AB=AC, o que não é o caso.

Não podemos concluir que DM é paralelo a AB.

Um abraço de Osmundo Bragança.

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Marcelo Costa
Enviada em: sábado, 7 de novembro de 2009 01:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] geometria

 

Me veio algo, como posso afirmar que  DM é paralelo à AB?
 

2009/11/6 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com

valeu, obrigado, lamentavelmente não enxerguei o trapézio, arg que raiva!
Mas valeu de coração.

2009/11/5 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

 


Ola Marcelo,

 

Ligue os pontos D e M e corra para o abraço ::))

 

Abs

Felipe

--- Em qui, 5/11/09, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu:


De: Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com
Assunto: [obm-l] geometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 5 de Novembro de 2009, 18:52

 

Num triângulo ABC, temos AD como altura relativa ao vértice A e o ponto M
como ponto médio do lado AC. Sabe-se que ABM = 30º, e MBC = 20º, e que AM =
MC = BD. Qual o valor do ângulo CAD?
 

-- 
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Galileu Galilei

 


  _  


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Galileu Galilei

Re: RES: [obm-l] Geometria Plana CN

[lucianarodriggues]

Em 05/06/2009 23:56, Joâo Gabriel Preturlan  jgpretur...@uol.com.br  escreveu:

v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);}


Caro Colega,
 
Primeiramente agradeço pela solução. Mas caí num dilema... como provar que o ponto X é simétrico ao Ortocentro em relação ao ponto médio?
 
Conheço um fato de simetria somente: o ponto que está na circunferência circunscrita e está determinado pela reta suporte da altura é simétrico ao ortocentro em relação ao ponto que a altura corta o lado do triângulo (não sei se fui claro). Inclusive, isso é fácil de demonstrar.
 
Agora, não consegui provar a proposição que você fez... Você ou alguém conhece a demonstração desse caso? Se alguém puder me ajudar agradeço imensamente.
 
[]’s
João Gabriel Preturlan
 


De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Nhampari MidoriEnviada em: quinta-feira, 4 de junho de 2009 10:24Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: [obm-l] Geometria Plana CN


 
Olá João Gabriel
É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita.
Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M.
Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY.
Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC).
Conclusão XY=BC=27.
Veja se está claro.
Um abraço.
Nhampari.
 
 




De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel PreturlanEnviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25Para: OBM-LAssunto: [obm-l] Geometria Plana CN

 
Gostaria de ajuda na seguinte questão:
 
“Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY.a)28b)27c)26d)25e)24”
 
[]’s
João Gabriel Preturlan
Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida.Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.brVersão: 8.5.339 / Banco de dados de vírus: 270.12.53/2155 - Data de Lançamento: 06/04/09 17:55:00


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Geometria Plana CN

[Joâo Gabriel Preturlan]

Caro Colega,

 

Primeiramente agradeço pela solução. Mas caí num dilema... como provar que o
ponto X é simétrico ao Ortocentro em relação ao ponto médio?

 

Conheço um fato de simetria somente: o ponto que está na circunferência
circunscrita e está determinado pela reta suporte da altura é simétrico ao
ortocentro em relação ao ponto que a altura corta o lado do triângulo (não
sei se fui claro). Inclusive, isso é fácil de demonstrar.

 

Agora, não consegui provar a proposição que você fez... Você ou alguém
conhece a demonstração desse caso? Se alguém puder me ajudar agradeço
imensamente.

 

[]’s

João Gabriel Preturlan

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Nhampari Midori
Enviada em: quinta-feira, 4 de junho de 2009 10:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Geometria Plana CN

 

Olá João Gabriel

É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados
de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita.

Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a
M.

Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC.
Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado
XY.

Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar
para o triângulo retângulo BPC).

Conclusão XY=BC=27.

Veja se está claro.

Um abraço.

Nhampari.

 

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Joâo Gabriel Preturlan
Enviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25
Para: OBM-L
Assunto: [obm-l] Geometria Plana CN

 

Gostaria de ajuda na seguinte questão:

 

“Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de
ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta
o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o
ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B.
Determine a medida de XY.

a)28
b)27
c)26
d)25
e)24”

 

[]’s

João Gabriel Preturlan

Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida.
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Lançamento: 06/04/09 17:55:00

RES: [obm-l] Geometria Plana CN

[Nhampari Midori]

Olá João Gabriel

É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados
de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita.

Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a
M.

Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC.
Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado
XY.

Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar
para o triângulo retângulo BPC).

Conclusão XY=BC=27.

Veja se está claro.

Um abraço.

Nhampari.

 

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Joâo Gabriel Preturlan
Enviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25
Para: OBM-L
Assunto: [obm-l] Geometria Plana CN

 

Gostaria de ajuda na seguinte questão:

 

“Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de
ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta
o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o
ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B.
Determine a medida de XY.

a)28
b)27
c)26
d)25
e)24”

 

[]’s

João Gabriel Preturlan

Re: RES: [obm-l] Geometria Plana CN

[lucianarodriggues]

Em 04/06/2009 10:23, Nhampari Midori  barz...@dglnet.com.br  escreveu:

v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);}
st1\:*{behavior:url(#default#ieooui) }


Olá João Gabriel
É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita.
Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M.
Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY.
Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC).
Conclusão XY=BC=27.
Veja se está claro.
Um abraço.
Nhampari.
 
 




De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel PreturlanEnviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25Para: OBM-LAssunto: [obm-l] Geometria Plana CN

 
Gostaria de ajuda na seguinte questão:
 
“Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY.a)28b)27c)26d)25e)24”
 
[]’s
João Gabriel Preturlan


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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RES: [obm-l] geometria areas e cevianas

[João Gabriel Preturlan]

Olá, Nehab!

 

Agradeço pelo link. Um colega meu já tinha me passado outros problemas
daquela lista e não me avisou que ela estava num arquivo da semana olímpica.
Mas mesmo assim, tendo trabalhado em cima desse problema nos últimos dias
consegui chegar em todas a proporções e tamanhos das cevianas assim como na
proporção entre as áreas demarcadas (tanto é que aplicando o teorema de Ceva
em cima das proporções que encontrei confirmo que elas estão todas
corretas). Porém a única informação que não consigo obter é algum valor
numérico para a área.

 

Não sei o que me falta, alguma “sacada” talvez ou alguma relação que não
consegui enxergar ainda.

 

Se você ou alguém puder me ajudar, talvez com alguma idéia. Suspeito que
estou perdendo o fato de que 2 das cevianas tem valores iguais, mas não
consigo enxergar nada que me leve à resposta do problema e tenha relação com
isso.

 

Um abraço e agradeço pelo seu Tempo.

João Gabriel Preturlan

 

Obs.: O Henrique Rennó me perguntou se o problema está certo. De fato o
enunciado está certo. A letra “D” que apareceu na frente do ABC foi o
caractere “delta” que o seu computador não deve ter reconhecido. Assim, você
pode ler “DABC” como “triângulo ABC”.

 

 

A Palavra de Deus até os confins da Terra!

Acesse:  http://www.assembleia.org.br/ http://www.assembleia.org.br/ 

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Carlos Nehab
Enviada em: quinta-feira, 19 de fevereiro de 2009 21:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] geometria areas e cevianas

 

Oi, João,

Dê uma olhada no interessante texto da XI Semana Olimpica, escrito pelos
professores  Marcelo Mendes e Cícero Thiago em
http://www.obm.org.br/export/sites/default/docs/segmentos.doc

Você vai gostar e certamente estudando-o conseguirá resover o problema.

Se tiver dificuldades, escreva outra vez...

Abraços,
Nehab

João Gabriel Preturlan escreveu: 

Boa Tarde!

 

Gostaria de ajuda com o seguinte problema:

“Em um DABC, AD, BE, CF são concorrentes no ponto P tal que AP=PD=6, EP=3,
PB=9 e CF=20. Qual é a área do DABC?”

 

Desde já agradeço.

 

João Gabriel Preturlan

 

A Palavra de Deus até os confins da Terra!

Acesse:  http://www.assembleia.org.br/ http://www.assembleia.org.br/ 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 

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10:48:00

RES: [obm-l] geometria plana

[João Gabriel Preturlan]

Obrigado pela brilhante solução, Tarso. Tanto é que pela construção mesmo é
possível provar a identidade somando os segmentos.

 

Mas, será que você ou alguém não conhece uma forma que eu não precise de
materiais de desenho geométrico para resolver a questão? Por exemplo usando
semelhança de triângulos, paralelismo e os recursos tradicionais que usamos
para resolver um problema em sala de aula.

 

Vou colar o problema novamente:

 

“Na figura, temos que BD=BC e AE=AC. Prove que DE=EF+DG.”

 

imagem.GIF

 

 

Grato!

 

João Gabriel Preturlan

 

A Palavra de Deus até os confins da Terra!

Acesse:  http://www.assembleia.org.br/ http://www.assembleia.org.br/ 

 

 

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Tarso de Moura Leitão
Enviada em: segunda-feira, 15 de dezembro de 2008 08:27
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] geometria plana

 

Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão,
seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: 

Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até
cortar a hipotenusa em E.

Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa
em D.

É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de
tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ).

Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r.

Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que

DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo
retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro
obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do
triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr.

Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o
resultado desejado.

Espero ter ajudado.

Tarso de Moura Leitão.

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12:28

image001.gif

RES: [obm-l] Geometria Plana

[Anderson Weber]

Obtive 52 graus como resposta, mas não entendi a função do ponto E no
problema.

 

Um abraço.

Anderson

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de JOSE AIRTON CARNEIRO
Enviada em: sexta-feira, 25 de julho de 2008 21:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria Plana

 

Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo
que DC = BC.

Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE
= BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC?

 

RES: [obm-l] Geometria Plana

[João Gabriel Preturlan]

Boa Noite!

 

Veja se serei claro... se tiver alguma duvida quanto ao que eu vou propor é
só me avisar... Acho que dessa forma está certo:

(Fazer o desenho ajuda muito)

 

Como conseqüência do que é dado, o ângulo(ABC)=ângulo(ACB)=b. Além disso,
podemos considerar o ângulo(BAC)=a.

Assim, produziremos a eq. I: a + 2b = 180

 

Como Ang(ABD)=12 graus, logo Ang(CBD) = b – 12... Assim, também tem-se que,
como BC=CD, o Ang(BDC) = b – 12 também.

Fora isso, o Próprio Ang(BDC) é externo e oposto em relação aos ângulos ABD
e BAD do triangulo ABD. Logo, como ele equivale a soma dos opostos, Ang(BDC)
= Ang(BAD) + Ang(ABD).

Assim, como Ang(BAD) é congruente ao Ang(BAC), temos a eq. II: b – 12 = a +
12

 

Logo, organizando um “sisteminha”:

 

eq. I: a + 2b = 180

eq. II: b – a = 24

 

têm-se que a=44 graus...

 

Não sei se acertei, porque eu não entendo o porquê do examinador dar
qualquer informação referente ao ponto E se ela não chega a ser usada para
achar a informação desejada.

Ainda mais pelo fato de aparecer a semi-circunferência provando que o ângulo
BDE é reto. Bom, se a pergunta for esse mesmo essa é a resolução que eu
proponho...

 

Abraço,

JG

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de JOSE AIRTON CARNEIRO
Enviada em: sexta-feira, 25 de julho de 2008 21:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria Plana

 

Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo
que DC = BC.

Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE
= BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC?

 

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06:51

[obm-l] RES: [obm-l] geometria olimpíada

[João Gabriel Preturlan]

Boa Noite!

 

Não consegui compreender direito de onde veio a relação na primeira linha
nem como se sucedeu o passo da segunda para a terceira linha.

Peço por favor se alguém pode me explicar.

 

Muito Obrigado.

 

JG

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de saulo nilson
Enviada em: terça-feira, 8 de abril de 2008 22:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] geometria olimpíada

 

tagx/2=rq2-1=rq(1-cosx)/(1+cosx)

(1-w)/(1+w)=2-2rq2+1=3-2rq2

3-2rq2-1=-w(4-2rq2)

w=-(1-rq2)/(2-rq2)=-(2+rq2-2rq2-2)/2=rq2/2

x=45º

2008/4/8 João Gabriel Preturlan HYPERLINK
mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]:

Saudações!

 

Gostaria que vocês me ajudassem neste problema.

 

Se as retas r e s são paralelas e distam L entre si e o quadrado ABCD tem
lado L também, prove que o ângulo SÔR tem 45 graus.

 

cid:image001.png@01C8.99F2A080

 

Agradeço muito pela ajuda.

 

JG.

 

 

 

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image001.png

Re: RES: [obm-l] geometria plana

[mentebrilhante brilhante]

PÔ valeu pela ajuda , isso foi uma prova que o prof deu , com consultam . maioria foi mal , ai passou como trabalho .Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Quem poder ajuda agradeço 1 - Defina a região limitada por um poligonoParece simples mas não é.Imagine que vc tem 5 pontos com um aproximadamente no centro  dos 5. Vc tem 4 possibilidades para polígonos não é mesmo?   Como definir então, dentre esses 4 aquele que é !
de seu
 interesse,   isto é que tem a região limitada que vc quer?Uma das maneiras é usar inequações!ax+by  m por exemplo para cada par de dois pontos.   Qual a aplicação disso? Bem... Isso tem aplicação em biofísica para determinação   da fase em estrutura de proteínas.   [Artur Costa Steiner]  Tem tambem aplicacao em muitos problemas de otimizacao, quando o conjunto viavel eh um simplex que, no plano, eh uma regiao convexa.2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada vértice , então a região é convexa ?   Acredito que não.Mas não tenho certeza!
[Artur Costa Steiner]  Tambem acho que nao, mas nao tenho uma prova agora.  Em uma região convexa vc teoricamente poderia ligar quaisquer pontos  sem sair do polígono. Será que sempre é possível fazer isso em um polígono estrelado?  O que me intriga é o significado da expressão: "relativa a cada vértice". O que ela significa?  Vc pode ter polígonos estrelados encaixados um dentro do outro neste caso?  3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo com um ponto do exterior , intersepita um dos lados do triãngulo  Use a seguinte propriedade de funções: Se f(x) 0 para xa e f(x) 0 para xb então existe um ponto (por 
 continuidade) entre a e b tal que f(x) = 0.  4 - discuta a 3º na circunferência .[Artur Costa Steiner]  Este e o anterior podem tambem ser vistos como casos particulares de uma situacao geral: Se A eh um subconjunto compacto de R^2 e p eh exterior a A, entao a funcao continua | x -p| apresenta um minimo globalem algum x* de A,no qual | x* - p| 0.Podemos mostrar que x*eh ponto de fronteira de A. (Na realidade, isto vale em R^n)  Estou sem tempo agora, se vc quiser podemos continuart depois.- Original Message -   From: mentebrilhante brilhante   To: obm-l@mat.puc-rio.br   Sent: Monday, March 20, 2006 12:30 AM  Subject: [obm-l] geometria planaQuem poder ajuda agradeço1 - Defina a região limitada por um poligono2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada vértice , então a região é convexa ?   !
sp;
  3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo com um ponto do exterior , intersepita um dos lados do triãngulo4 - discuta a 3º na circunferência .  Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
		 
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RES: [obm-l] geometria plana

[Artur Costa Steiner]

Quem poder 
ajuda agradeço 

  
  
  1 - Defina a região limitada por um poligono
  
  Parece simples mas não é.
Imagine que vc tem 5 pontos com um aproximadamente no 
  centro
  dos 5. Vc tem 4 possibilidades para polígonos não é mesmo?
   Como definir então, dentre esses 4 aquele que é de seu 
  interesse, 
  isto é que tem a região limitada que vc quer?
  
  Uma das maneiras é usar inequações! 
   ax+by  m por exemplo para cada par de dois pontos.
   Qual a aplicação disso? Bem... Isso tem aplicação em 
  biofísica para determinação 
  da fase em estrutura de proteínas.
   [Artur Costa Steiner]
  Tem tambem 
  aplicacao em muitos problemas de otimizacao, quando o conjunto viavel eh 
  um simplex que, no plano, eh uma regiao convexa.
  
  2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada 
  vértice , então a região é convexa ? 
  
  
  Acredito que não.Mas não tenho certeza[Artur Costa 
  Steiner]
  Tambem acho que 
  nao, mas nao tenho uma prova agora.
  Em uma região convexa vc teoricamente poderia ligar quaisquer 
  pontos
  sem sair do polígono. Será que sempre é possível fazer isso em um 
  polígono estrelado?
  O que me intriga é o significado da expressão: "relativa a cada vértice". 
  O que ela significa?
  Vc pode ter polígonos estrelados encaixados um dentro do outro neste 
  caso?
  
  
  3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo com 
  um ponto do exterior , intersepita um dos lados do triãngulo
  
  
  Use a seguinte propriedade de funções: Se f(x) 0 para xa e 
  f(x) 0 para xb então existe um ponto (por
  continuidade) entre a e b tal que f(x) = 0.
  
  
  4 - discuta a 3º na circunferência .[Artur Costa 
  Steiner]
  Este e o anterior 
  podem tambem ser vistos como casos particulares de uma situacao geral: Se A eh 
  um subconjunto compacto de R^2 e p eh exterior a A, entao a funcao continua | 
  x -p| apresenta um minimo globalem algum x* de A,no qual | x* - p| 
  0.Podemos mostrar que 
  x*eh ponto de fronteira de A. (Na realidade, isto vale em 
  R^n)
  Estou sem tempo agora, 
  se vc quiser podemos continuart depois.
  
- Original Message - 
From: 
mentebrilhante brilhante 

To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, March 20, 2006 12:30 
AM
Subject: [obm-l] geometria plana

Quem poder ajuda agradeço

1 - Defina a região limitada por um poligono

2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada 
vértice , então a região é convexa ? 

3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo 
com um ponto do exterior , intersepita um dos lados do triãngulo

4 - discuta a 3º na circunferência .


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[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!

[Guilherme]

5 faces! É muito interessante mesmo!

Um abração, 

Guilherme.


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:07
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!


PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um
milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17
anos da Escola Cocoa Beach

Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são
triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces
sejam (triângulos
equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que
se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com
a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas
faces tem este poliedro?
 

   (Educational Testing Service-EUA)

NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante.
Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!).



__
WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!

[Douglas Ribeiro Silva]

Marcos, acho que você se equivocou na resposta.

Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado
com algo similar.

Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de
dois ângulos poliédricos.
Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H.

Vamos encontrar o valor destes ângulos.

No Tetraedro:
l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T)
Resolvendo temos que cos(T) = 1/3

Na Pirâmide:
[L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P)
Resolvendo temos que cos(P) = -1/3

Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles
forma um plano perfeito!

Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o
sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces
quadrangulares.

Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =)

Um abraço, Douglas Ribeiro Silva


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Marcos Paulo
Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!





=
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:[EMAIL PROTECTED]
Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!

PASMEM! Este problema de geometria, proposto
numa prova para mais de um milhão
de alunos, teve somente um único acertador,
Daniel Lowen, de 17 anos da Escola
Cocoa Beach

Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas
faces laterais são triângulos
equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular
cujas faces sejam (triângulos
equiláteros) congruentes às faces laterais da
pirâmide. Suponhamos que se
juntem os sólidos de maneira que a face ADE da
pirâmide coincida com a face GIH
do tetaedro, o resultado sendo o poliedro
ABCDEF. Quantas faces tem este
poliedro?
Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares.



 
   
   (Educational Testing Service-EUA)

NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um
problema fascinante. Nunca vi
nada igual. (CAMPEÃO!).



__
WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h
tml

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!

[Marcos Paulo]

É verdade  .. quando o Guilherme mandou a resposta eu fui fazer as contas 
tb ...
Não me admiro que tanta gente tenha errado.

[]'s MP
At 00:02 10/8/2004, you wrote:
Marcos, acho que você se equivocou na resposta.
Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado
com algo similar.
Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de
dois ângulos poliédricos.
Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H.
Vamos encontrar o valor destes ângulos.
No Tetraedro:
l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T)
Resolvendo temos que cos(T) = 1/3
Na Pirâmide:
[L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P)
Resolvendo temos que cos(P) = -1/3
Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles
forma um plano perfeito!
Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o
sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces
quadrangulares.
Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =)
Um abraço, Douglas Ribeiro Silva
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Marcos Paulo
Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!


=
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:[EMAIL PROTECTED]
Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!

PASMEM! Este problema de geometria, proposto
numa prova para mais de um milhão
de alunos, teve somente um único acertador,
Daniel Lowen, de 17 anos da Escola
Cocoa Beach

Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas
faces laterais são triângulos
equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular
cujas faces sejam (triângulos
equiláteros) congruentes às faces laterais da
pirâmide. Suponhamos que se
juntem os sólidos de maneira que a face ADE da
pirâmide coincida com a face GIH
do tetaedro, o resultado sendo o poliedro
ABCDEF. Quantas faces tem este
poliedro?
Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares.


   (Educational Testing Service-EUA)

NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um
problema fascinante. Nunca vi
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--
Este e-mail está livre de vírus.
Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br).
Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 ­ Data de Lançamento: 
9/8/2004

--
Mensagens enviadas estão livres de vírus.
Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br).
Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 – Data de Lançamento: 9/8/2004

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=

RES: [obm-l] GEOMETRIA DO CAOS!

[Guilherme]

Sobre a Benford's law, tem um link interessante da página do Wolfram.
http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html


Bom, mas voltando à geometria dos números, o físico Franck Benford
argumentava que eles tinham uma acentuada tendência a começar com o
dígito 1(um) e raramente iniciavam com o dígito 9(nove). Na realidade,
ele dizia que a probabilidade de um determinado dígito ocorrer no início
de um dado diminuia quando se percorria de 1 até 9. O senso comum indica
que todos os dígitos deveriam apresentar a mesma tendência, ou seja,
aparecer no início dos dados. Por que a natureza escolheu operar dessa
curiosa maneira? Os especialistas em sistemas dinâmicos acreditam que
tal lei faz parte da moderna e surpreendente Geometria do Caos e ela
pode estar nos dizendo que a numeralogia da natureza resulta de seu caos
dinâmico básico.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] GEOMETRIA DO CAOS!

[niski]

 Os especialistas em sistemas dinâmicos acreditam que
tal lei faz parte da moderna e surpreendente Geometria do Caos e ela
pode estar nos dizendo que a numeralogia da natureza resulta de seu caos
dinâmico básico.
Pra mim isso é um evento socilógico...
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enuncia do

[kleinad]

Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e PC.

Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido no
semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse quadrado.

Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos PC,
CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE = PE. Resta
mostrar que CE == AP.

Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE == BP
(lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são congruentes, pois
ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo, os triângulos APB e BCE
são congruentes, e por isso AP = CE.

Assim, PC + CE = PC + PA = PE = PB*sqrt(2).


[]s,
Daniel


Guilherme ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Olá, pessoal,

Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA
+ PC  = sqrt(2).PB

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Guilherme
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Geometria plana


Olá, pessoal!

Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso
já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como
resolvê-lo:

ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  = PB  (maior ou
igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado.
A inequação é válida para todos os pontos P no plano).

Agradeço a ajuda.

Um grande abraço,

Guilherme Marques.




=
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=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enuncia do

[kleinad]

Essa parte é totalmente desnecessária:
== e que esteja contido no
semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
tal ponto é C (mesmo que PA = PC). ==

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e PC.

Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido no
semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse quadrado.

Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos PC,
CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE = PE. Resta
mostrar que CE == AP.

Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE == BP
(lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são congruentes, pois
ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo, os triângulos APB e BCE
são congruentes, e por isso AP = CE.

Assim, PC + CE = PC + PA = PE = PB*sqrt(2).


[]s,
Daniel


Guilherme ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Olá, pessoal,

Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA
+ PC  = sqrt(2).PB

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Guilherme
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Geometria plana


Olá, pessoal!

Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso
já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como
resolvê-lo:

ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  = PB  (maior ou
igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado.
A inequação é válida para todos os pontos P no plano).

Agradeço a ajuda.

Um grande abraço,

Guilherme Marques.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enuncia do

[kleinad]

Quero dizer que é desnecessário escolher PC = PA; mas a localização do
quadrado com relação ao semi-plano determinado por BP e que contenha C é
fundamental!

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Essa parte é totalmente desnecessária:
== e que esteja contido no
semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
tal ponto é C (mesmo que PA = PC).
[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e PC.

Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido no
semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse quadrado.

Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos PC,
CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE = PE. Resta
mostrar que CE == AP.

Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE == BP
(lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são congruentes, pois
ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo, os triângulos APB e BCE
são congruentes, e por isso AP = CE.

Assim, PC + CE = PC + PA = PE = PB*sqrt(2).


[]s,
Daniel


Guilherme ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Olá, pessoal,

Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA
+ PC  = sqrt(2).PB

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Guilherme
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Geometria plana


Olá, pessoal!

Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso
já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como
resolvê-lo:

ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  = PB  (maior ou
igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado.
A inequação é válida para todos os pontos P no plano).

Agradeço a ajuda.

Um grande abraço,

Guilherme Marques.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enunciado

[Guilherme]

Olá, pessoal, 

Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA
+ PC  = sqrt(2).PB

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Guilherme
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Geometria plana


Olá, pessoal!

Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso
já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como
resolvê-lo:

ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  = PB  (maior ou
igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado.
A inequação é válida para todos os pontos P no plano).

Agradeço a ajuda.

Um grande abraço, 

Guilherme Marques.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Geometria!!

[Cloves Jr]

Carlos,

Naum 
sei se era bem isso o que vc queria, mas vamos lah:

Vou 
definir algumas coisas:

- Am = 
Area das medianas
- Aq = 
Area do Quadrado Maior
- Acm 
= Area dacircunferencia maior
- Aci 
= Area da circunferencia inscrita
- Av = 
Area do espaco junto ao vertice
- R = 
Raio da circunferencia maior
- r = 
Raio da circunferencia menor
-L = Lado do quadrado maior
- l = 
Lado do quadrado menor


Aq = 
L^2
L= R/2
Aq = 
1/4 R^2

R = 
r/2 = r = 2R

Se eu 
entendi o problema, vc quer somente a area formada pelos dois espacos que sobram 
junto as medianas do quadrado maior entao:

Am = 
Aq - Acm- 4Aci - 4Av
Am = 
(1/4 R^2) - (Pi R^2) - (4Pi r^2) - 4 (1/4 (R^2 - (Pi r^2)))
Am = 
(1/4 R^2) - (Pi R^2) - (16Pi R^2) -(R^2(1 - 
4Pi))
Am = 
R^2 (1/4 - 17Pi - 1 + 4Pi)
Am = 
R^2 ( 1/4 (-3 - 52Pi))

[]s

Cloves 
Jr



  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Carlos 
  AlbertoEnviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 
  09:07Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] 
  Geometria!!
  Alguem pode me ajudar?!!!
  
  Como se resolve isso!!!
  
  Há uma circunferência inscrita num quadrado (de raio R). Divida o 
  quadrado em quatro quadrados iguais (ligando as medianas dos lados, óbvio). 
  Dentro de um desses quadrados, há uma circunferência inscrita. Nesse quadrado 
  menor sobram 3 espaços não perencentes às circunferências (um deles no 
  vértice, e os outros dois, iguais, juntos às medianas do quadrado maior). 
  Desenvolva uma fórmula que calcule a soma das áreas desses dois espaços 
  iguais, com base no raio do círculo maior, R. 
  
  [ ],s Carlos
  
  
  Yahoo! 
  Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra 
  sua conta agora!

Re: RES: [obm-l] Geometria!!

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Negativa?

== 

Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1 

CentroIn Internet Provider          http://www.centroin.com.br 

Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331        Fax: (21) 2295-2978 

Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online 



-- Original Message ---

From: Cloves Jr [EMAIL PROTECTED] 

To: [EMAIL PROTECTED] 

Sent: Mon, 5 Apr 2004 11:00:50 -0300 

Subject: RES: [obm-l] Geometria!! 


 Carlos,

  

 Naum 
sei se era bem isso o que vc queria, mas vamos lah:

  

 Vou 
definir algumas coisas:

  

 - Am = 
Area das medianas

 - Aq = 
Area do Quadrado Maior

 - Acm 
= Area da circunferencia maior

 - Aci 
= Area da circunferencia inscrita

 - Av = 
Area do espaco junto ao vertice

 - R = 
Raio da circunferencia maior

 - r = 
Raio da circunferencia menor

 - L = Lado do quadrado maior

 - l = 
Lado do quadrado menor

  

  

 Aq = 
L^2

 L = R/2

 Aq = 
1/4 R^2

  

 R = 
r/2 = r = 2R

  

 Se eu 
entendi o problema, vc quer somente a area formada pelos dois espacos que sobram 
junto as medianas do quadrado maior entao:

  

 Am = 
Aq - Acm - 4Aci - 4Av

 Am = 
(1/4 R^2) - (Pi R^2) - (4Pi r^2) - 4 (1/4 (R^2 - (Pi r^2)))

 Am = 
(1/4 R^2) - (Pi R^2) - (16Pi R^2) - (R^2 (1 - 
4Pi))

 Am = 
R^2 (1/4 - 17Pi - 1 + 4Pi)

 Am = 
R^2 ( 1/4 (-3 - 52Pi))

  

 []s

  

 Cloves 
Jr

  

  

  
 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Carlos 
  Alberto
 Enviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 
  09:07
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: [obm-l] 
  Geometria!!
 
 
  
 Alguem pode me ajudar?!!!
  
  
  
 Como se resolve isso!!!
  
  
  
 Há uma circunferência inscrita num quadrado (de raio R). Divida o 
  quadrado em quatro quadrados iguais (ligando as medianas dos lados, óbvio). 
  Dentro de um desses quadrados, há uma circunferência inscrita. Nesse quadrado 
  menor sobram 3 espaços não perencentes às circunferências (um deles no 
  vértice, e os outros dois, iguais, juntos às medianas do quadrado maior). 
  Desenvolva uma fórmula que calcule a soma das áreas desses dois espaços 
  iguais, com base no raio do círculo maior, R. 
  
  
  
 [ ],s Carlos
  
 
 
  

  Yahoo! 
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--- End of Original Message ---

RES: RES: [obm-l] Geometria!!

[Cloves Jr]

Eh 
verdade... naum percebi isto...


  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Augusto Cesar de Oliveira 
  MorgadoEnviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 
  12:08Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: RES: [obm-l] 
  Geometria!!Negativa? 
  == 
  Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova 
  Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider 
  http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 
  2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% 
  Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- 
  Original Message --- From: "Cloves Jr" [EMAIL PROTECTED] 
  To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 5 Apr 2004 11:00:50 -0300 
  Subject: RES: [obm-l] Geometria!!  Carlos,Naum sei se era 
  bem isso o que vc queria, mas vamos lah:Vou definir 
  algumas coisas:- Am = Area das 
  medianas  - Aq = Area do Quadrado Maior 
   - Acm = Area dacircunferencia maior  - Aci = Area da 
  circunferencia inscrita  - Av = Area do 
  espaco junto ao vertice  - R = Raio da 
  circunferencia maior  - r = Raio da 
  circunferencia menor  -L = Lado 
  do quadrado maior  - l = Lado do quadrado menor 
   Aq = 
  L^2  L= R/2  Aq = 1/4 
  R^2   
   R = r/2 = r = 2RSe eu entendi o 
  problema, vc quer somente a area formada pelos dois espacos que sobram junto 
  as medianas do quadrado maior entao:Am = Aq - 
  Acm- 4Aci - 4Av  Am = (1/4 R^2) 
  - (Pi R^2) - (4Pi r^2) - 4 (1/4 (R^2 - (Pi r^2)))  Am = (1/4 R^2) 
  - (Pi R^2) - (16Pi R^2) -(R^2(1 - 4Pi))  
  Am = R^2 
  (1/4 - 17Pi - 1 + 4Pi)  Am = R^2 ( 1/4 
  (-3 - 52Pi))[]s   
   Cloves Jr 
   -Mensagem original- 
 De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Carlos Alberto  
Enviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 09:07  
Para: [EMAIL PROTECTED]  Assunto: [obm-l] 
Geometria!!Alguem pode me ajudar?!!! 
   Como se resolve isso!!!Há 
uma circunferência inscrita num quadrado (de raio R). Divida o quadrado em 
quatro quadrados iguais (ligando as medianas dos lados, óbvio). Dentro de um 
desses quadrados, há uma circunferência inscrita. Nesse quadrado menor 
sobram 3 espaços não perencentes às circunferências (um deles no vértice, e 
os outros dois, iguais, juntos às medianas do quadrado maior). Desenvolva 
uma fórmula que calcule a soma das áreas desses dois espaços iguais, com 
base no raio do círculo maior, R.[ ],s Carlos 
  

Yahoo! 
Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra 
sua conta agora!--- End of Original Message 
  --- 

RES: [obm-l] Geometria

[Guilherme]

Há uma grande diferença entre haxágono regular e hexágono equilátero. 
O hexágono regular tem, obrigatoriamente, os ângulos internos iguais. O
haxágono equilátero pode ter somente os lados iguais, mas os ângulos
internos podem ser diferentes e nesse caso os triângulos internos
formados com as diagonais não são mais equiláteros (é como se
achatássemos o hexágono regular, mas mantendo os lados).

Um grande abraço, 

Guilherme.


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Andre
Enviada em: domingo, 14 de março de 2004 01:04
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Geometria


Bem,

   Como ele diz que o hexágono é equilátero, logo temos 6 triângulos
equiláteros que formam o hexágono. O que eu vi foi o seguinte : o
triângulo que está com a base no diâmetro tem como altura o próprio raio
da semi-circunferência. Então :  R = L(3) / 2 , (3) = raiz e L = lado do
triângulo.

- Original Message -
From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 10, 2004 9:57 PM
Subject: RE: [obm-l] Geometria



 r^2 = 3*l^2 + (l^2)/4

 From: Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
 To: OBM [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Geometria
 Date: Wed, 10 Mar 2004 21:22:19 -0300
 
 Amigos, estou enrolado nesse. Se alguém puder me ajude por favor.
 
 Um hexágono equilátero está inscrito em uma semi-circunferência de 
 forma que um dos lados está sobre o diâmetro. Calcule o valor do raio

 em função do lado do hexágono.

 _
 Frustrated with dial-up? Lightning-fast Internet access for as low as 
 $29.95/month. http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200360ave/direct/01/

 ==
 ===
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html


=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] geometria

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote:
 Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num
 triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se
 fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo
 seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C =
 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz.

O ângulo entre dois círculos máximos é o ângulo entre os planos
que os contêm. No caso do tetraedro regular podemos tomar por vértices
os pontos (+-1,+-1,+-1) com o produto das três coordenadas iguais a 1,
Assim cada face é perpendicular ao vetor correspondente à face oposta
e o ângulo A entre duas faces vizinhas é Pi menos o ângulo entre dois
destes vetores. O ângulo entre dois vetores você deve saber calcular,
é só usar o produto interno.
 
 Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
 dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
 determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
 semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
 cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
 êxitos.

Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro
tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo
sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária
centrada no vértice do triedro.

É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos
entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo
esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi.
Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria
diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano
é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes.
Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os
ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa
de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria).

O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo
esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica
de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter,
apenas acho que vai ser uma fórmula feia.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: [obm-l] geometria

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Feb 26, 2004 at 12:54:30PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
 On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote:
  Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
  dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
  determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
  semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
  cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
  êxitos.
 
 Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro
 tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo
 sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária
 centrada no vértice do triedro.
 
 É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos
 entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo
 esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi.
 Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria
 diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano
 é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes.
 Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os
 ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa
 de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria).
 
 O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo
 esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica
 de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter,
 apenas acho que vai ser uma fórmula feia.

Ok, vamos obter a fórmula que você quer. Suponha que os lados do triângulo
esférico sejam a, b, c e os ângulos sejam A, B, C. O primeiro passo
é usar a lei dos cossenos esférica:

cos a = cos b cos c + cos A sen b sen c

ou

cos A = (cos a - cos b cos c)/(sen b sen c)

Bem, provavelmente a maioria de vocês nunca viu a lei dos cossenos esférica,
então vamos provar. Podemos supor sem perda de generalidade que o vértice
A é (1,0,0) e que o vértice B é (cos c, sen c, 0). Não é difícil verificar
que o vértice C é (cos b, cos A sen b, +- sen A sen b), onde o sinal
tem a ver com a orientação do triângulo.

Note que a lei dos cossenos euclidiana é um caso limite da lei dos cossenos
esférica. De fato, vamos fazer o triângulo encolher, isto é, ter lados
at, bt, ct onde t tende a 0 por valores positivos. Queremos cos A(0),
o valor limite de cos A(t) quando t tende a zero:

cos A(t) = (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)

cos A(0) = lim_{t - 0} (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)
(l'Hopital)
  - a sen at + b sen bt cos ct + c cos bt sen ct
 = lim_{t - 0} -
 b cos bt sen ct + c sen bt cos ct
  (continua dando 0/0, vamos usar l'H de novo, mas agora não vai mais
   dar 0/0, então vamos jogar fora os termos que ainda dão 0, trocar
   os senos por 0 e os cossenos por 1)
- a^2 + b^2 + c^2
 = 
2bc

Ou a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A(0).

Note ainda que a lei dos cossenos esférica tem um dual.
O dual de um triângulo esférico de vértices A, B, C e lados a, b, c
tem vértices A', B', C' e lados a', b', c' onde A' e perpendicular a a,
B' é perpendicular a b, ..., c' é perpendicular a C.
Note ainda que A' = Pi - a, B' = Pi - b, ..., c' = Pi - C.

Assim
cos a' = cos b' cos c' + cos A' sen b' sen c'
vira
- cos A = cos B cos C - cos a sen B sen C

Mas voltando à sua pergunta, temos
A = arc cos((cos a - cos b cos c)/(sen b sen c))
B = arc cos((cos b - cos c cos a)/(sen c sen a))
C = arc cos((cos c - cos a cos b)/(sen a sen b))
e como
S = A + B + C - Pi
isso nos dá uma fórmula complicada para a área em função de a, b, c.

Talvez exista uma fórmula mais simples, não sei.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] geometria

[Douglas Ribeiro Silva]

Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num
triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se
fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo
seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C =
60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz.

Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
êxitos.

Um abraço, Douglas Ribeiro Silva

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:50
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] geometria

Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço
da esfera de raio 1 limitaedo por três segmentos que são pedaços de
círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C.
A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos
em radianos).

On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 DESAFIO!!
 @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a
ligação de
 seus centros formem um tetraedro. O tetraedro “corta” um certo volume
de
 cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r?

Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais
a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo
esférico
contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3
disso
(pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo
A - Pi/3 ~= 0.1837618663.

Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3.

Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera
(que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103.

 @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a
ligação de
 seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as
arestas
 iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que
as 4
 esferas da base quadrática “corta” da pirâmide e o volume que a esfera
do
 topo “corta” da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de
r?

Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro
regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base.
Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos 
B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano
que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado 
pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a
um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0),
(0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2)
logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que
A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para
encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma
par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área
do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é
(4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já
dissemos,
SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~=
0.4531158786.

Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de
encher
o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao
redor
de cada vértice.

 @Se do volume da pirâmide quadrática acima for “cortado” todos os
volumes
 formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará
um
 volume central não “cortado”.

O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~=
1.885618082.
Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446.

 Se o volume central fosse
 necessariamente “distribuído” para as 5 esferas, como seria feito a
 distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte
esférica de
 dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera “corta” da pirâmide?

Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e
áreas
são trivialmente proporcionais, como já vimos.

[]s, N.

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=


=
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=

RES: [obm-l] Geometria

[Marcos]

Title: Mensagem



Suas 
contas estão corretas com certeza. Fiz uma figura ilustrando o provável caminho 
que te levou até essa solução. (Eu tentei enviar da outra vez mas num deu.. sei 
lá o que houve ..)

[]'s 
MP

  
  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
  Em nome de Claudio BuffaraEnviada em: segunda-feira, 10 de 
  novembro de 2003 22:45Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  Re: [obm-l] Geometriaon 10.11.03 17:43, Bruno Souza at 
  [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Olá a todos,Há muito tempo 
tenho esse problema que não consigo resolver.Gostaria de qualquer 
ajuda ou sugestão.Penso, utilmamente, que esse ângulo não 
eh determinado, porém não consigo provar.P.S: Esse problema "parece" 
elementar.Até,BrunoFazendo m(EID) 
  = x, eu obtive a equacao:tg(x - 50) = tg(60) - tg(50), o que implica que x 
  = 78,38 graus.Serah que eu errei alguma conta? 
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attachment: claudio.gif

Re: RES: [obm-l] Geometria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Parece que nao tem um angulo muito certinho para exprimir este angulo mas com certeza ele existeMarcos [EMAIL PROTECTED] wrote:


Suas contas estão corretas com certeza. Fiz uma figura ilustrando o provável caminho que te levou até essa solução. (Eu tentei enviar da outra vez mas num deu.. sei lá o que houve ..)

[]'s MP


-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nnome de Claudio BuffaraEnviada em: segunda-feira, 10 de novembro de 2003 22:45Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Geometriaon 10.11.03 17:43, Bruno Souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá a todos,Há muito tempo tenho esse problema que não consigo resolver.Gostaria de qualquer ajuda ou sugestão.Penso, utilmamente, que esse ângulo não eh determinado, porém não consigo provar.P.S: Esse problema "parece" elementar.Até,BrunoFazendo m(EID) = x, eu obtive a equacao:tg(x - 50) = tg(60) - tg(50), o que implica que x = 78,38 graus.Serah que eu errei alguma conta? 
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Re: RES: [obm-l] Geometria Espacial

[Angelo Barone Netto]

Citando Marcos [EMAIL PROTECTED]:

... o lado do octaedro inscrito no cubo  igual ao lado do
 cubo vezes cos 45.
Caro Marcos.
Se um octaedro regular esta inscrito em um cubo, a relacao entre as medidas
das arestas destes poliedros nao esta determinada.
Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
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Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

[Cesar Ryudi Kawakami]

At 02:01 24/10/2003, you wrote:
Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto
médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar)
Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo...

CÁLCULO DE DF:

Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é
retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo.
Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não 
pude provar isso de modo satisfatório...

Um abraço,

Cesar Ryudi Kawakami 

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RES: [obm-l] Geometria Espacial

[Marcos]

A esfera inscrita no tetraedro de lado 1 tem diâmetro igual a metade da
altura do tetraedro; A diagonal do cubo inscrito nessa esfera é igual ao
seu diâmetro e o lado do octaedro inscrito no cubo é igual ao lado do
cubo vezes cos 45°.
Diâmetro: SQRT(6)/6 = diagonal do cubo = aresta do cubo = SQRT(2)/6 =
aresta do octaedro = 1/6, resposta letra (d)
[]'s MP



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Matrix Exatas
Enviada em: sexta-feira, 24 de outubro de 2003 05:44
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Geometria Espacial

e aí blz galera,

help!

Um octaedro regular é inscrito num cubo, que está inscrito
numa esfera, e que está inscrita num tetraedro regular. Se o
comprimento da aresta do tetraedro é 1, qual é o comprimento da
aresta do octaedro?

a)sqrt[2/27]
b)sqrt[3]/4
c)sqrt[2]/4
d)1/6
e)n.d.a.



matrix

_
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RES: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

[Douglas Ribeiro Silva]

Cesar, não entendi se você queria saber a prova do fato de serem
retângulos, ou de serem semelhantes, em todo caso estou enviando tudo...

Prova-se que CFB é retângulo pelo fato de todo triangulo retângulo estar
inscrito numa semi-circunferencia, onde o diâmetro da
semi-circunferencia é a hipotenusa do triangulo retângulo, nesse caso BC
é a hipotenusa, CF e FB os catetos. F é ângulo reto já que BÔC(Considere
O ponto médio de BC e centro da circunferencia) vale 180°, e como F está
sobre a circunferencia então CFB é metade de BÔC.

Prova-se que DCB é retângulo simplesmente pelo enunciado da questão, já
que ele diz que os triângulos são retângulo-isosceles. Logo, ACB = 45° e
BCA = 45º, então DCB = 90°

Para provar a semelhança dos 2 triangulos usa-se o fato deles terem em
comum o ângulo de 90° e o ângulo CBF, já que F está contido no segmente
BD, então CBF = CBD = arctg(1/2)

Se tiver faltando alguma coisa, ou estiver algo errado, avise-me por
favor.

[]'s Douglas


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi
Kawakami
Enviada em: sexta-feira, 24 de outubro de 2003 13:46
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

At 02:01 24/10/2003, you wrote:
Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto
médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar)

Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo...

CÁLCULO DE DF:

Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB
é
retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo.

Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não

pude provar isso de modo satisfatório...

Um abraço,

Cesar Ryudi Kawakami 


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RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

[Douglas Ribeiro Silva]

Bom, espero que eu não tenha errado, mas se encontrarem alguma falha,
favor avisem...

Item C:

Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto
médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar)

CÁLCULO DE DF:

Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é
retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como os 2
triângulos citados são semelhantes(Possuem em comum o ângulo reto, e o
ângulo B, logo o outro também é igual) pode-se aplicar uma regra de 3
simples: BD/BC = BC/BF (Uma das relações notáveis do triangulo retângulo
geralmente mostrada como c² = a.m).

BC² = BD.BF

2a² = (sqrt(10).a/2).BF

BF = sqrt(10)2a/5

RESPOSTA:

DF = (BD - BF)
   = sqrt(10).a/2 - sqrt(10)2a/5

LOGO DF = sqrt(10).a/10


CÁLCULO DE EF:

Como CD/AD = 2, e percebe-se que os triangulos ADE e CEB são
semelhantes, então BE/ED = 2, Logo BE é BD/3

RESPOSTA:

EF = BF - BE
   = sqrt(10)2a/5 - sqrt(10).a/6

LOGO: EF = sqrt(10)7a/30




-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi
Kawakami
Enviada em: quinta-feira, 23 de outubro de 2003 22:19
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

Prolongando BA e sendo M o pé da distância de D em relação à AB, e sendo
N 
o pé da altura de D em relação à AC, teremos um quadrado de lado a/2
AMDN, 
pois CAD = 45º e ADN = 90º/2 = 45º, sendo ADN um triângulo isósceles de 
catetos a/2 (NDC congruente a ADN)

Resolução item A: Assim, BM = 3a/2, e DM = a/2. Aplicando o Teorema de 
Pitágoras sobre o triângulo DMB temos que DB = sqrt(10).a/2.

Retomando o fato de AMDN ser um quadrado, BM // DN. Como NDE = EBA 
(alternos internos), e AEB = DEN (opostos pelo vértice), os triângulos
ABE 
e EDN são semelhantes. Colocando em proporção os lados homólogos, temos:

AB/DN = AE/EN, ou, então,

2 = AE/EN

Logo, 2(EN) = AE, e AE = 2(AN)/3. Assim, AE = AC/3 = a/3.

Resolução item B: Aplicando pitágoras sobre o triângulo BAE, temos que
BE = 
sqrt(10).a/3.
Subtraindo, temos que DE = sqrt(10).a/6

O enunciado do C eu não entendi...

circunferência de diâmetro BC, mas centro onde?

Um abraço,

Cesar Ryudi Kawakami

At 03:05 23/10/2003, you wrote:
Olá Pessoal,

Me ajudem nesta questaum:

Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles
com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em
semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes
triângulos AB = AC = a e AD = CD.

a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD.
b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule
BE e ED.
c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC
com a diagonal BD. Calcule DF e EF.


Grato

Mr. Crowley

___
___
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RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

[Marcos]

Pela descrição, você tem dois triângulos retângulos ABC (cujo ângulo
reto é A) e ACD, cujo ângulo reto é D. AC (que é cateto do triangulo ABC
e mede a e ao mesmo tempo é hipotenusa do triângulo ACD) é bissetriz do
ângulo DCB que é reto e portanto AD // BC, ou seja, o quadrilátero é um
Trapézio retângulo. DC mede 0,5*a*SQRT(2) e BC mede a*SQRT(2), portanto
BD^2 = 2,5a^2 e portanto
BD = 0,5*a*SQRT(10). (a)
Os triângulos AED e BEC são semelhantes e a razão de semelhança eh 1:2,
portanto DE/BE = 1:2. Seja DE = x, BE = 2x e BE+DE = 3x =
0,5*a*SQRT(10), ou seja, DE = (1/6)*a*SQRT(10) e BE = (1/3)*a*SQRT(10)
(b)

BF é a projeção ortogonal do cateto BC (do triângulo DCB, retângulo em
C) sobre a hipotenusa e portanto usando as relações métricas conhecidas
novamente, temos:
BF*BD = BC^2
BF * [(1/2)*a*SQRT(10)]= 2a^2
BF = (2/5)*a*SQRT(10) 

DF*DB = DC^2 (rel métrica no triângulo retângulo DCB)

DF * [(1/2)*a*SQRT(10)]=(1/2)a^2 e portanto DF = (1/10)a*SQRT(10)
EF = BF - BE = [2/5 - 1/3] *a*SQRT(10) = (1/15)*a*SQRT(10) (c)


[]'s MP

Obs.: eh uma boa refazer as contas pq eu normalmente erro (digitar e
pensar não combina muito comigo - meu reino por um quadro negro :-P -
principalmente sem a figura)


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de
paraisodovestibulando
Enviada em: quinta-feira, 23 de outubro de 2003 03:06
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

Olá Pessoal,

Me ajudem nesta questaum:

Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles 
com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em 
semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes 
triângulos AB = AC = a e AD = CD.

a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD.
b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule 
BE e ED.
c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC 
com a diagonal BD. Calcule DF e EF.


Grato

Mr. Crowley
 

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RES: [obm-l] Geometria e Trigonometria (Mr. Crowley)

[Marcos]

Um triãngulo tem lados iguais AB = AC = 5 cm. Prolonga-
se o lado AB de um segmento BD, tal que os ângulos BCD 
e BAC sejam iguais. Qual é a medida desses ângulos, 
sabendo-se que BD = 4 cm? 

Solução:
Os triângulos BCD e ADC são semelhantes (DAC = DCB e ADC é comum)
DC/BD = AD/DC, portanto DC^2 = BD^AD = 4A9, ou seja, DC = 6.
Cos (BAC) = (AD^2 + AC^2 - DC^2)/(2^ADAAC) = (81 + 25 - 36)/2(995
Cos (BAC) = 7/9, ou seja, BAC é o ângulo agudo que tem esse cosseno.

[]'s MP

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RES: [obm-l] Geometria e Trigonometria (Mr. Crowley)

[Marcos]

Acho que na outra mensagen os meus asteriscos (*) viraram A sem mais nem
menos tornando a mensagem um pouco confusa por isso estou reenviando a
mensagem.

Um triãngulo tem lados iguais AB = AC = 5 cm. Prolonga-
se o lado AB de um segmento BD, tal que os ângulos BCD 
e BAC sejam iguais. Qual é a medida desses ângulos, 
sabendo-se que BD = 4 cm? 

Solução:
Os triângulos BCD e ADC são semelhantes (DAC = DCB e ADC é comum)
DC/BD = AD/DC, portanto DC^2 = BD^AD = 4*9, ou seja, DC = 6.
Cos (BAC) = (AD^2 + AC^2 - DC^2)/(2^AD*AC) = (81 + 25 - 36)/2
Cos (BAC) = 7/9, ou seja, BAC é o ângulo agudo que tem esse cosseno.

[]'s MP



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RES: [obm-l] geometria

[haroldo]

Title: Mensagem



resolvendo a equação 60 x +45y =360 com x e y inteiros não 
negativos temos :
x=6 
y=0
x=3 y 
=4
x=0 
y=8
logo 
2, 3e 4 verdadeiras. 



  
  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
  Em nome de Daniel PiniEnviada em: terça-feira, 1 de julho de 
  2003 22:23Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] 
  geometria
  Quando uma pessoa caminha em linha reta uma 
  distancia x, ela gira pra a esquerda de um angulo de 60º, e quando caminha em 
  linha reta uma distancia y=x( 2-(2)^1/2)^1/2, ela gira para a esquerda de um 
  angulo de 45º. Caminhando x ou y a pratir de um pontoP, pode-se afirmar 
  que, para qualquer que seja o valor de x, é possivel ao ponto P descrevendo 
  um:
  1) pentagono convexo
  2)hexagono convexo
  3) heptagono convexo
  4) octogono convexo
  O numero de assertativas verdadeiras: a)1 b)2 c)3 d)4 
  e)0
  
  Um quadrilatero convexo tem diagonais respectivamente 
  iguais a 4 e 6.Qual a unica, dentre asopções possível 
  paraoperimetro de Q:
  a)10 b)15 c)20 d)25 e)30
  

Re: RES: [obm-l] geometria

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Confesso-me estupefato. Nao consegui ter a menor ideia a respeito do que era o 
problema, que dirah da soluçao...


Em Wed, 2 Jul 2003 00:48:09 -0300, haroldo [EMAIL PROTECTED] disse:

 resolvendo  a equação 60 x +45y =360  com x e y inteiros não negativos
 temos :
 x=6 y=0
 x=3 y =4
 x=0 y=8 
 logo 2, 3e 4 verdadeiras. 
  
  
 
 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED]
 [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Daniel Pini
 Enviada em: terça-feira, 1 de julho de 2003 22:23
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: [obm-l] geometria
 
 
 Quando uma pessoa caminha em linha reta uma distancia x, ela gira pra a
 esquerda de um angulo de 60º, e quando caminha em linha reta uma
 distancia y=x( 2-(2)^1/2)^1/2, ela gira para a esquerda de um angulo de
 45º. Caminhando x ou y a pratir de um ponto P, pode-se afirmar que, para
 qualquer que seja o valor de x, é possivel ao ponto P descrevendo um:
 1) pentagono convexo
 2)hexagono convexo
 3) heptagono convexo
 4) octogono convexo
 O numero de assertativas verdadeiras: a)1 b)2 c)3 d)4 e)0
  
 Um quadrilatero convexo tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6.
 Qual a unica, dentre as opções possível para operimetro de Q:
 a)10 b)15 c)20 d)25 e)30
  
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] geometria plana (triângulos)

[Guilherme Pimentel]

a 
razão de semelhança é:48/60=4/5
logo 
os lados são:
4*25/5=20
4*20/5=16
4*15/5=12
 total=48

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de 
  [EMAIL PROTECTED]Enviada em: quarta-feira, 15 de janeiro de 2003 
  00:20Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] 
  geometria plana (triângulos)olá pessoal, Alguém sabe resolver 
  esta questão: Dois triângulos são semelhantes e seus perímetros medem 
  60 cm e 48 cm. Sabendo que os lados de um deles medem 25 cm, 20 cm e 15 cm, 
  como calcular as medidas dos lados do outro triângulo? 

RES: [obm-l] Geometria

[Diego Alonso Teixeira]

 

-Mensagem original- 
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] 
Enviada: ter 30/4/2002 10:18 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Cc: 
Assunto: [obm-l] Geometria



 O diâmetro de uma circunferência está cortado por uma corda que faz 45 
graus com ele e a corda fica dividida em partes iguais a 2sqtr3 e 2sqtr15. Qual a 
medida do raio da circunferência ? 

  Agradeço qualquer ajuda, 
Raul 

Ligue os pontos que a corda intersepta a circunferencia ao centro da mesma , 
com isso surgem 2 triangulos ,um de lados x,r e 2sqtr3 e angulo de 45 , e outro de 
lados x,r e 2sqtr15 e angulo 135 . Aplicando teorema dos cossenos nos dois teiangulos 
se chegará em duas equações com duas incognitas, x e r assim por sistema acha-se a 
solução. 




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