Re: [obm-l] Conjuntos

[Pedro José]

Boa tarde!
Vou considerar 3 números mesmo.
3, 3, 3 é um número só repetido três  vezes.
Os três números obrigatoriamente estarão em P.A. Então usando a menor razão
r <>0;
temos r=1
{1,2,3} {2,3,4}...{2020, 2021, 2022}
{2021, 2022, 2023} temos 2021 conjuntos para r=1.
É fácil observar que para r=2 o último
conjunto será  {2019, 2021, 2023} assim sendo teremos 2019 conjuntos.
E a cada unidade que aumentamos em r diminuímos em 2 o número de conjuntos
Até que chegaremos a um conjunto apenas. {1, 1012, 2023}
Logo o número de conjuntos N será a soma de:
N= 1 + 3 +5+..2019+2021, que é uma PA de razão 2.
seja n o número de termos da PA
n=(2021-1)/2+1=1011
N=(1+2021)*1011/2=1.022.121

Cordialmente,
PJMS


Em ter., 8 de ago. de 2023 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> mande uma vez somente.
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
> escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Anderson Torres]

mande uma vez somente.

Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
escreveu:

> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Pacini Bores]

 

10% 

Em 26/09/2021 3:47, marcone augusto araújo borges escreveu: 

> Uma pessoa cética em relação às boas intenções da humanidade acredita que 70% 
> dos homens são violentos, 70% são desonestos e 70% são intolerantes. Se essa 
> pessoa estiver certa, em uma amostra ideal de 100 homens, quantos são, no 
> mínimo, simultaneamente desonestos, violentos e intolerantes? 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Anderson Torres]

Em seg., 15 de jun. de 2020 às 23:31, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2

Sim, e o que isso implica? Que a tangente mapeia esse intervalo nos
reais, logo ambos terão o mesmo tamanho - mas onde você demonstrou que
um desses não é enumerável? No máximo você demonstrou que um certo
conjunto tem bijeção com um subconjunto de si mesmo - que é meio que
uma definição de infinito.

>
> Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Não entendi a última parte.
>>
>> Em dom., 14 de jun. de 2020 Ã s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
>>  escreveu:
>> >
>> >
>> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
>> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais 
>> > é não enumerável.
>> > --
>> > Israel Meireles Chrisostomo
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Israel Meireles Chrisostomo]

usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2

Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Não entendi a última parte.
>
> Em dom., 14 de jun. de 2020 Ã s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> >
> >
> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais
> é não enumerável.
> > --
> > Israel Meireles Chrisostomo
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>


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Israel Meireles Chrisostomo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Anderson Torres]

Não entendi a última parte.

Em dom., 14 de jun. de 2020 às 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
>
> https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
> Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais é 
> não enumerável.
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Vanderlei Nemitz]

Matheus, como não pensei nisso?
hehehehe

Muito obrigado, bela solução!

Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 10:48, Matheus Henrique <
matheushss2...@gmail.com> escreveu:

> Note que a soma dos elementos do conjunto é igual a 30*31/2=465
> 465-232=233,
> Denotemos por A um subconjunto de {1,2,3...30} e por A' os complemento
> desse subconjunto,isto é,os elementos que não fazem parte de A.
> Chamemos S(A) a soma dos elementos do conjunto A.
> É fácil ver que S(A)+S(A')=435.
> Mas se S(A)>232,logo,S(A')<=232,desse maneira,para conjunto o qual
> S(A)>232,existe um conjunto A',tal que S(A')<=232.
> Conclue-se assim, que o número de elementos que satisfazem o enunciado é
> igual à metade do total de subconjuntos,como existem 2^30 subconjuntos,há
> 2^29 conjuntos que satisfazem o enunciado.
>
> Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 07:42, Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia, pessoal!
>> Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
>> que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Matheus Henrique]

Note que a soma dos elementos do conjunto é igual a 30*31/2=465
465-232=233,
Denotemos por A um subconjunto de {1,2,3...30} e por A' os complemento
desse subconjunto,isto é,os elementos que não fazem parte de A.
Chamemos S(A) a soma dos elementos do conjunto A.
É fácil ver que S(A)+S(A')=435.
Mas se S(A)>232,logo,S(A')<=232,desse maneira,para conjunto o qual
S(A)>232,existe um conjunto A',tal que S(A')<=232.
Conclue-se assim, que o número de elementos que satisfazem o enunciado é
igual à metade do total de subconjuntos,como existem 2^30 subconjuntos,há
2^29 conjuntos que satisfazem o enunciado.

Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 07:42, Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia, pessoal!
> Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
> Muito obrigado!
>
> *Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
> que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Ralph Teixeira]

Vou escrever n(A)=a e n(B)=b para facilitar. Voce sabe que n(P(A))=2^a e
n(P(B))=2^b, sim?

Como A e B sao disjuntos, entao P(A) e P(B) sao disjuntos EXCETO pelo
conjunto vazio que aparece em ambos. Assim:
n(P(A) U P(B))=n(P(A)) + n(P(B)) - 1 = 2^a+2^b-1

Juntando tudo, temos:
2^a+2^b=2^(a+b)
2^(a+b)-2^a-2^b=0
(2^a-1)(2^b-1)=1
Como sao inteiros:
2^a-1=2^b-1=1 (pois -1 cada nao seria possivel)
a=b=1
a-b=0

Ou seja, se eu nao errei bobagem, a resposta eh (a).


On Sat, Aug 3, 2019 at 5:07 PM Joao Breno  wrote:

> Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que
> n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A∪B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pode assumir:
>
> a)um unico valor
>
> b)dois valores distintos
>
> c)tres valores distintos
>
> d)quatro valores distintos
>
> e)mais que quatro valores distintos
>
> OBS: P(A) é o conjunto de partes de A.
>
> Alquem pode me ajudar nessa questao?
> Att. Breno.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] Conjuntos

[felipe araujo costa]

E ae Marcus.
 
Considera pelo diagrama os conjuntos A e B. Ficando com:
 
x para quem so foi ao A.
 
y para quem so foi ao B.
 
z para a interseçao entre A e B.
 
Se pelo menos 48 foram a um deles, entao sera a soma de todas as regioes ja que 
x, y e z foram no minimo em um dos museus.
Logo:
 
x mais y mais z igual a 48
 
Se 20 porcento foram ao A e tbm ao B essa regiao significa a interseçao entre 
os conjuntos = z
Logo:
 
z igual a 20 porcento de x mais z (numero dos que foram ao A).
 
Se 25 porcento foram em B e tbm emA.
 
z igual a 25 porcento de z mais y.
 
Ficando com o sistema.
 
x+y+z=48
 
z=20/100(x+z)
 
z=25/100(z+y)
 
abraço.
 
 
 
 

Felipe Araujo Costa
E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br
faco...@metalmat.ufrj.br



De: Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012 11:37
Assunto: [obm-l] Conjuntos


Um grupo de alunos foi visitar dois museus. Sabe-se que 48 foram pelo menos ao 
um deles, e que 20% que foram ao museu A também foram ao B, e que 25% dos que 
foram ao B foram também ao A. Quantos foram aos dois museus.
-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/4/4 Julio César Saldaña :
> Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito 
> de
> distância.
Oi Julio,

> Só para conferir
>
> Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
> distância entre eles seria: 5, isso é correto?
>
> Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 
> 1.

Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:

h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) < r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) < r}

Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em "distância de A até B" e "distância de B até A", cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o "r" valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)

Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
"mais longe" do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r > 3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a "distância de
A até B" é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.

Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a "distância de A até B" como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância <= a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a "distância de B até A" é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.

Agora, de volta ao problema:

Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a "distância entre x e A" (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância <
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A -> B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = "distância
de A até B", e h(A,B) = max{d(A -> B), d(B -> A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r > h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na "bola em volta de A" de raio r. ("bola
em volta de A" = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).

Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B) < r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) < s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Julio César Saldaña]

Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de
distância.

Só para conferir

Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
distância entre eles seria: 5, isso é correto?

Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1.

Agradeço sua explicação

Abraços

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 4 Apr 2011 14:28:00 +0200
Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

2011/4/2 Julio César Saldaña :

Oi Samuel,

Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos
no plano são subconjuntos compactos do plano?

Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano.


Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
h(A,C) <= h(A,B) + h(B,C)

suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre
eles e o terceiro:  h(A,C) > h(A,B) + h(B,C)

Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?

Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos
(três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o
Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos
h(A,B), h(B,C) e h(A,C).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/4/2 Julio César Saldaña :
> Oi Samuel,
>
> Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os 
> círculos
> no plano são subconjuntos compactos do plano?
Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano.

> Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
> h(A,C) <= h(A,B) + h(B,C)
>
> suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
> caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias 
> entre
> eles e o terceiro:  h(A,C) > h(A,B) + h(B,C)
>
> Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?
Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos
(três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o
Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos
h(A,B), h(B,C) e h(A,C).

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Julio César Saldaña]

Oi Samuel,

Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos
no plano são subconjuntos compactos do plano?

Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
h(A,C) <= h(A,B) + h(B,C)

suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre
eles e o terceiro:  h(A,C) > h(A,B) + h(B,C)

Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?


Obrigado


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Sat, 2 Apr 2011 00:58:01 +
Asunto : [obm-l] conjuntos,  difícil


Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.

Compactos de M e defina a distância por:


h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) < r e para cada y

em B, existe x em A tq d(x,y) < r}


Provar que (K(M) é espaço métrico).

i) h(A,B) = h(B,A)  (consegui fazer).

ii) h(A,B) > 0 se A <> B  e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem

compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.


Agora vem o problemático (para mim) 


iii) h(A,C) <= h(A,B) + h(B,C)  para todos A,B,C  pertencenta à K(M).


Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.

Obrigado. 		 	   		   


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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos Enumeráveis

[Johann Dirichlet]

A ideia não é difícil, e o mais importante é o caso 2: X x Yé
enumerável se X,Y são.
Faz assim: os elementos de X são x1,x2,... e os de Y são y1,y2,y3...
(ambos são enumeráveis, então eu posso colocar índices)

Então podemos fazer assim:
Para cada natural N = 1,2,3,4,5...
liste os pares (xi,yj) tal que i+j=N

Teremos algo assim:
(x1,y1)
(x1,y2),(x2,y1)
(x1,y3),(x2,y2),(x3,y1)
E por aí vai...

Aí, basta aplicar o caso n=2 fazendo X=A1 x A2 x ... x An e Y=A(n+1)

Sem indução é mais fácil ainda: basta utilizar o algoritmo acima.

Em 30/10/10, Luiz Neto Neto escreveu:
> Sejam A1,An conjuntos enumeráveis, então A1xxAn é enumerável(Use
> Indução)
>
>
>
>


-- 
/**/
Quadrinista e Taverneiro!

http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Quadrinhos, histórioas e afins
http://baratoeletrico.blogspot.com />> Um pouco sobre elétrons em movimento
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=

Re: [obm-l] Conjuntos

[Emanuel Valente]

Na verdade ele pede pra achar o ínfimo, supremo, máximo e mínimo. Vou
postar aqui o exercício:

http://files.myopera.com/epaduel/tmp/ex-calc1.jpg


2010/3/7 Bernardo Freitas Paulo da Costa :
> 2010/3/7 Emanuel Valente :
>> Pessoal, vocês poderiam explicitar quais são esses dois conjuntos? Tá
>> complicado traduzir essa notação!
>> http://files.myopera.com/epaduel/tmp/tmp11.jpg (não é vírus, podem clicar!)
> Acho que você poderia ter escrito direto aqui esses dois conjuntos,
> não tem nada de muito especial !
> Vou tentar fazer o primeiro, mas acho que o importante é você
> construir passo a passo o que a definição dos conjuntos diz.
>
> A = {x real tal que |x| = m + 1/n, para m e n inteiros estritamente positivos}
>
> Repare que já de ter trocado a notação matemática por "palavras" é um
> passo importante.
> 1) Note que A é simétrico, ou seja, se x está em A, -x também.
> 2) Note que A é a reunião de todos os A_m, onde A_m = {x real tal que
> |x| = m + 1/n, para n = 1,2,3, ...}
> 3) Escreva explicitamente os termos positivos do A_1 (ajuda muito!): 1
> + 1, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, ...
> 4) Portanto, o A_1 é {1 + 1/N} união {-1 - 1/N}
> 5) Os A_m são apenas "translações" do A_1 (mas em sentidos diferentes
> para os positivos e negativos, parar continuar simétrico)
>
>> --
>> Emanuel
>
> O que eu acho mais estranho o que se pede para esses conjuntos. É
> realmente "explicite" ? Acho muito difícil você ser mais explícito do
> que as definições dadas. Não é algo do tipo "calcule a aderência" ?
> Nesse caso, é muito útil você separar em A_m (ou A_n) para fazer "por
> partes" (mas atenção, tem que provar que você não "perdeu" nenhum
> ponto de aderência de "todos" os A_m)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Emanuel Valente

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/3/7 Emanuel Valente :
> Pessoal, vocês poderiam explicitar quais são esses dois conjuntos? Tá
> complicado traduzir essa notação!
> http://files.myopera.com/epaduel/tmp/tmp11.jpg (não é vírus, podem clicar!)
Acho que você poderia ter escrito direto aqui esses dois conjuntos,
não tem nada de muito especial !
Vou tentar fazer o primeiro, mas acho que o importante é você
construir passo a passo o que a definição dos conjuntos diz.

A = {x real tal que |x| = m + 1/n, para m e n inteiros estritamente positivos}

Repare que já de ter trocado a notação matemática por "palavras" é um
passo importante.
1) Note que A é simétrico, ou seja, se x está em A, -x também.
2) Note que A é a reunião de todos os A_m, onde A_m = {x real tal que
|x| = m + 1/n, para n = 1,2,3, ...}
3) Escreva explicitamente os termos positivos do A_1 (ajuda muito!): 1
+ 1, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, ...
4) Portanto, o A_1 é {1 + 1/N} união {-1 - 1/N}
5) Os A_m são apenas "translações" do A_1 (mas em sentidos diferentes
para os positivos e negativos, parar continuar simétrico)

> --
> Emanuel

O que eu acho mais estranho o que se pede para esses conjuntos. É
realmente "explicite" ? Acho muito difícil você ser mais explícito do
que as definições dadas. Não é algo do tipo "calcule a aderência" ?
Nesse caso, é muito útil você separar em A_m (ou A_n) para fazer "por
partes" (mas atenção, tem que provar que você não "perdeu" nenhum
ponto de aderência de "todos" os A_m)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Alex pereira Bezerra]

valeu Pedro é realmente uma questão atipica de conjuntos, e o tempo é um
fator importante demais, e a solução do Hugo foi deveras legal.
Abraços


Em 02/04/09, Pedro Júnior  escreveu:
>
> Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
> por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
> de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
> que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
> bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
> Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
> candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
> Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
> Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
> Abraços!!!
>
> 2009/3/26 Alex pereira Bezerra 
>
>>
>>
>> Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
>> enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
>> *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
>> acima:
>>
>> P/2 + x + y + t = P
>> P/3 + x + y + z = P
>> P/4 + x + z + t = P
>>
>> Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
>> também:
>>
>> P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300
>>
>> Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
>> arrumando, fica:
>>
>> x + y + t = P/2
>> x + y + z = 2P/3
>> x + z + t = 3P/4
>> x + y + z + t = 300 – 13P/12
>>
>> Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
>> 300 – 13P/12, fica:
>>
>> P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
>> Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
>> 300 – 13P/12, fica:
>> 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12
>>
>> Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
>> 300 – 13P/12, fica:
>> 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12
>>
>> Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
>> x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:
>>
>> x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
>> Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
>> x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
>> x + 600 = 49P/12
>> x = 49P/12 – 600
>>
>> Em resumo:
>> x = 49P/12 – 600
>> y = 300 – 22P/12
>> z = 300 – 19P/12
>> t = 300 – 21P/12
>>
>> Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
>> necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x > 0, y > 0,
>> z > 0 *e* t > 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
>> sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
>> para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
>> múltiplo de 12.
>>
>> Então poderemos escrever:
>> 49P/12 – 600 > 0  , logo,  49P/12 > 600 , logo, 49P > 7200 , logo, P >
>> 7200/49 e, portanto P > 146,93
>>
>> Analogamente,
>> 300 – 22P/12 > 0 , logo, 300 > 22P/12  , logo,  22P/12 < 300  , logo, 22P
>> < 3600 e, portanto P < 163,63
>>
>> E, também,
>> 300 – 19P/12 > 0 , logo, 300 > 19P/12  , logo,  19P/12 < 300  , logo,   19P
>> < 3600 e, portanto P < 189,47
>>
>> E, finalmente,
>> 300 – 21P/12 > 0  , logo,  300 > 21P/12 , logo,  21P/12 < 300  , logo,
>> 21P < 3600  , e , portanto P < 171,42
>>
>> Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
>> simultaneamente às desigualdades P > 146,93  e  P < 163,63  e
>> P < 189,47  e P < 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
>> maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
>> A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
>> 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
>> 161, 162 , 163.
>> Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
>> problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
>>
>>
>

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Pedro Júnior]

Um ótimo raciocínio
E, claro que ajudou!!!
Não é realmente bom o problema? Encontramos sempre problemas fáceis de
conjuntos, e esse não é tão bobinho..
Abraços colegas
2009/4/3 Hugo Fernando Marques Fernandes 

> Pedro.
>
> Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas
> assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de
> uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de
> pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 -
> 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o
> menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de
> pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 -
> 13P/12).
>
> Resolvendo a equação:
>
> P/4 + (300 - 13P/12) = P
>
> vem P = 163,636363...
>
> Então P < 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é
> múltiplo de 12.
>
> Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156.
>
> Espero ter ajudado.
>
> Abraços.
>
> Hugo.
>
> 2009/4/2 Pedro Júnior 
>
> Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
>> por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
>> de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
>> que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
>> bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
>> Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
>> candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
>> Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois
>> colabora...
>> Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
>> Abraços!!!
>>
>> 2009/3/26 Alex pereira Bezerra 
>>
>>
>>>
>>> Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
>>> enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
>>> *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na 
>>> figura
>>> acima:
>>>
>>> P/2 + x + y + t = P
>>> P/3 + x + y + z = P
>>> P/4 + x + z + t = P
>>>
>>> Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
>>> também:
>>>
>>> P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300
>>>
>>> Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima
>>> e arrumando, fica:
>>>
>>> x + y + t = P/2
>>> x + y + z = 2P/3
>>> x + z + t = 3P/4
>>> x + y + z + t = 300 – 13P/12
>>>
>>> Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t*= 
>>> 300 – 13P/12, fica:
>>>
>>> P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
>>> Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t
>>> = 300 – 13P/12, fica:
>>> 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12
>>>
>>> Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t*= 
>>> 300 – 13P/12, fica:
>>> 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12
>>>
>>> Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
>>> x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:
>>>
>>> x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
>>> Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
>>> x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
>>> x + 600 = 49P/12
>>> x = 49P/12 – 600
>>>
>>> Em resumo:
>>> x = 49P/12 – 600
>>> y = 300 – 22P/12
>>> z = 300 – 19P/12
>>> t = 300 – 21P/12
>>>
>>> Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
>>> necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x > 0, y > 0,
>>> z > 0 *e* t > 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
>>> sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
>>> para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
>>> múltiplo de 12.
>>>
>>> Então poderemos escrever:
>>> 49P/12 – 600 > 0  , logo,  49P/12 > 600 , logo, 49P > 7200 , logo, P >
>>> 7200/49 e, portanto P > 146,93
>>>
>>> Analogamente,
>>> 300 – 22P/12 > 0 , logo, 300 > 22P/12  , logo,  22P/12 < 300  , logo, 22P
>>> < 3600 e, portanto P < 163,63
>>>
>>> E, também,
>>> 300 – 19P/12 > 0 , logo, 300 > 19P/12  , logo,  19P/12 < 300  , logo,   19P
>>> < 3600 e, portanto P < 189,47
>>>
>>> E, finalmente,
>>> 300 – 21P/12 > 0  , logo,  300 > 21P/12 , logo,  21P/12 < 300  , logo,
>>> 21P < 3600  , e , portanto P < 171,42
>>>
>>> Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
>>> simultaneamente às desigualdades P > 146,93  e  P < 163,63  e
>>> P < 189,47  e P < 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de
>>> 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
>>> A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
>>> 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
>>> 161, 162 , 163.
>>> Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
>>> problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
>>>
>>>
>>
>

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Pedro.

Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas
assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de
uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de
pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 -
13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o
menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de
pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 -
13P/12).

Resolvendo a equação:

P/4 + (300 - 13P/12) = P

vem P = 163,636363...

Então P < 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é
múltiplo de 12.

Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156.

Espero ter ajudado.

Abraços.

Hugo.

2009/4/2 Pedro Júnior 

> Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
> por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
> de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
> que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
> bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
> Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
> candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
> Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
> Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
> Abraços!!!
>
> 2009/3/26 Alex pereira Bezerra 
>
>
>>
>> Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
>> enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
>> *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
>> acima:
>>
>> P/2 + x + y + t = P
>> P/3 + x + y + z = P
>> P/4 + x + z + t = P
>>
>> Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
>> também:
>>
>> P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300
>>
>> Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
>> arrumando, fica:
>>
>> x + y + t = P/2
>> x + y + z = 2P/3
>> x + z + t = 3P/4
>> x + y + z + t = 300 – 13P/12
>>
>> Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
>> 300 – 13P/12, fica:
>>
>> P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
>> Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
>> 300 – 13P/12, fica:
>> 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12
>>
>> Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
>> 300 – 13P/12, fica:
>> 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12
>>
>> Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
>> x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:
>>
>> x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
>> Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
>> x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
>> x + 600 = 49P/12
>> x = 49P/12 – 600
>>
>> Em resumo:
>> x = 49P/12 – 600
>> y = 300 – 22P/12
>> z = 300 – 19P/12
>> t = 300 – 21P/12
>>
>> Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
>> necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x > 0, y > 0,
>> z > 0 *e* t > 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
>> sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
>> para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
>> múltiplo de 12.
>>
>> Então poderemos escrever:
>> 49P/12 – 600 > 0  , logo,  49P/12 > 600 , logo, 49P > 7200 , logo, P >
>> 7200/49 e, portanto P > 146,93
>>
>> Analogamente,
>> 300 – 22P/12 > 0 , logo, 300 > 22P/12  , logo,  22P/12 < 300  , logo, 22P
>> < 3600 e, portanto P < 163,63
>>
>> E, também,
>> 300 – 19P/12 > 0 , logo, 300 > 19P/12  , logo,  19P/12 < 300  , logo,   19P
>> < 3600 e, portanto P < 189,47
>>
>> E, finalmente,
>> 300 – 21P/12 > 0  , logo,  300 > 21P/12 , logo,  21P/12 < 300  , logo,
>> 21P < 3600  , e , portanto P < 171,42
>>
>> Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
>> simultaneamente às desigualdades P > 146,93  e  P < 163,63  e
>> P < 189,47  e P < 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
>> maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
>> A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
>> 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
>> 161, 162 , 163.
>> Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
>> problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
>>
>>
>

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Pedro Júnior]

Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
Abraços!!!

2009/3/26 Alex pereira Bezerra 

>
>
> Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
> enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
> *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
> acima:
>
> P/2 + x + y + t = P
> P/3 + x + y + z = P
> P/4 + x + z + t = P
>
> Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
> também:
>
> P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300
>
> Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
> arrumando, fica:
>
> x + y + t = P/2
> x + y + z = 2P/3
> x + z + t = 3P/4
> x + y + z + t = 300 – 13P/12
>
> Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
> 300 – 13P/12, fica:
>
> P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
> Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
> 300 – 13P/12, fica:
> 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12
>
> Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
> 300 – 13P/12, fica:
> 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12
>
> Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
> x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:
>
> x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
> Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
> x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
> x + 600 = 49P/12
> x = 49P/12 – 600
>
> Em resumo:
> x = 49P/12 – 600
> y = 300 – 22P/12
> z = 300 – 19P/12
> t = 300 – 21P/12
>
> Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
> necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x > 0, y > 0,
> z > 0 *e* t > 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
> sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
> para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
> múltiplo de 12.
>
> Então poderemos escrever:
> 49P/12 – 600 > 0  , logo,  49P/12 > 600 , logo, 49P > 7200 , logo, P >
> 7200/49 e, portanto P > 146,93
>
> Analogamente,
> 300 – 22P/12 > 0 , logo, 300 > 22P/12  , logo,  22P/12 < 300  , logo, 22P
> < 3600 e, portanto P < 163,63
>
> E, também,
> 300 – 19P/12 > 0 , logo, 300 > 19P/12  , logo,  19P/12 < 300  , logo,   19P
> < 3600 e, portanto P < 189,47
>
> E, finalmente,
> 300 – 21P/12 > 0  , logo,  300 > 21P/12 , logo,  21P/12 < 300  , logo, 21P
> < 3600  , e , portanto P < 171,42
>
> Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
> simultaneamente às desigualdades P > 146,93  e  P < 163,63  e
> P < 189,47  e P < 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
> maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
> A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
> 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
> 161, 162 , 163.
> Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
> problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
>
>

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Alex pereira Bezerra]

Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas (
*P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na
figura
acima:

P/2 + x + y + t = P
P/3 + x + y + z = P
P/4 + x + z + t = P

Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
também:

P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
arrumando, fica:

x + y + t = P/2
x + y + z = 2P/3
x + z + t = 3P/4
x + y + z + t = 300 – 13P/12

Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
300 – 13P/12, fica:

P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
300 – 13P/12, fica:
2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12

Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
300 – 13P/12, fica:
3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12

Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:

x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
x + 600 = 49P/12
x = 49P/12 – 600

Em resumo:
x = 49P/12 – 600
y = 300 – 22P/12
z = 300 – 19P/12
t = 300 – 21P/12

Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x > 0, y > 0,
z > 0 *e* t > 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
múltiplo de 12.

Então poderemos escrever:
49P/12 – 600 > 0  , logo,  49P/12 > 600 , logo, 49P > 7200 , logo, P >
7200/49 e, portanto P > 146,93

Analogamente,
300 – 22P/12 > 0 , logo, 300 > 22P/12  , logo,  22P/12 < 300  , logo, 22P <
3600 e, portanto P < 163,63

E, também,
300 – 19P/12 > 0 , logo, 300 > 19P/12  , logo,  19P/12 < 300  , logo,   19P
< 3600 e, portanto P < 189,47

E, finalmente,
300 – 21P/12 > 0  , logo,  300 > 21P/12 , logo,  21P/12 < 300  , logo, 21P <
3600  , e , portanto P < 171,42

Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
simultaneamente às desigualdades P > 146,93  e  P < 163,63  e
P < 189,47  e P < 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161,
162 , 163.
Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema,
ou seja, a alternativa correta é a de letra C.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[Bruno França dos Reis]

Sim, ambas as afirmações são verdadeiras, conforme a resposta do Leandro.

{ vazio } contido em P(A) <==> para todo elemento x de { vazio }, x pertence
a A <==> vazio pertence a P(A), o que é verdade, para todo conjunto A pela
definição de P(A)

vazio está contido em P(A) <==> para todo elemento x de vazio, x pertence a
A <==> verdadeira sempre, independente do que seja A (leia sobre proposições
existenciais e universais com respeito ao conjunto vazio, se esse tema te
interessar; acho que já foi discutido aqui na lista).

Quanto à notação, vc pode tb escrever (embora eu ache menos claro,
dependendo do contexto):
{ { } } contido em P(A); e
{ } contido em P(A)

Bruno


--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://brunoreis.com
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e^(pi*i)+1=0


2009/3/17 Marcelo Rodrigues 

> Legal esta discussão sobre as partes de A. (No lugar do símbolo de vazio eu
> escrevi vazio)
>
> Voltando sobre a notação seria correto expressar o seguinte:
>
> 1- { vazio } está contido P(A) - esta notação entre chaves vazio está
> correta ?
>
> 2- vazio está contido P(A) - ?
>
> Abraços, Marcelo
>
> 2009/3/15 Palmerim Soares 
>
> Olá amigos da lista,
>>
>> Realmente, é preciso sempre pensar no conjunto vazio com muito cuidado e
>> não esquecer que apesar de ser vazio, de "não ter nada",  ele existe (e pode
>> complicar a vida do estudante). Por exemplo, pergunte a qualquer bom aluno
>> (ou mesmo a um professor de matemática) se é verdadeira ou falsa a seguinte
>> sentença:
>> "Se A é subconjunto de de B, então A e B não são disjuntos"
>>
>> Invariavelmente, a resposta é SIM, por que o raciocínio normal é "ora, se
>> a interseção de dois conjuntos disjuntos é o conjunto vazio, então,  sendo
>> dois conjuntos disjuntos, um não pode jamais  ser subconjunto do outro.
>> Porém, que dizer de um conjunto A qualquer e o conjunto vazio? Pela
>> definição, temos que admitir que eles são disjuntos, já que a interseção
>> entre eles é vazia, porém o conjunto vazio é subconjunto de A ! Nesse caso,
>> então estaria incorreta a sentença: "Se A é subconjunto de de B, então A
>> e B não são disjuntos".  Ou seja, é perfeitamentee possível que um conjunto
>> seja subconjunto de outro e ainda assim, a interseção entre eles ser vazia!
>> Não sei porque nenhuma banca explora essa "pegadinha" (fica a sugestão...
>> :-)
>>
>> Abraços
>> Palmerim
>>
>> Palmerim
>>
>> "Se dois conjuntos são disjuntos, então
>>  O conjunto vazio
>>
>> 2009/3/15 Bruno França dos Reis 
>>
>> A está contido em B <==> para todo elemento a de A, a pertence a B
>>> A pertence a B <==> o conjunto B tem o elemento A dentro dele.
>>>
>>> Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3},
>>> 1, 2, 3}
>>>
>>> Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
>>> Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
>>> Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a
>>> D) e também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).
>>>
>>> Bruno
>>>
>>> --
>>> Bruno FRANÇA DOS REIS
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>>>
>>> GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
>>>
>>> e^(pi*i)+1=0
>>>
>>>
>>> 2009/3/15 Arthur Moura 
>>>
>>>  Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?
>>>>
>>>> Abraço,
>>>> Arthur
>>>>
>>>> > Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
>>>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
>>>> > From: ralp...@gmail.com
>>>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>
>>>> >
>>>> > Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
>>>> > inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
>>>> > voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
>>>> > coisas distintas.
>>>> >
>>>> > Abraco,
>>>> > Ralph
>>>> >
>>>> > 2009/3/11 Marcelo Rodrig

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[Marcelo Rodrigues]

Legal esta discussão sobre as partes de A. (No lugar do símbolo de vazio eu
escrevi vazio)

Voltando sobre a notação seria correto expressar o seguinte:

1- { vazio } está contido P(A) - esta notação entre chaves vazio está
correta ?

2- vazio está contido P(A) - ?

Abraços, Marcelo

2009/3/15 Palmerim Soares 

> Olá amigos da lista,
>
> Realmente, é preciso sempre pensar no conjunto vazio com muito cuidado e
> não esquecer que apesar de ser vazio, de "não ter nada",  ele existe (e pode
> complicar a vida do estudante). Por exemplo, pergunte a qualquer bom aluno
> (ou mesmo a um professor de matemática) se é verdadeira ou falsa a seguinte
> sentença:
> "Se A é subconjunto de de B, então A e B não são disjuntos"
>
> Invariavelmente, a resposta é SIM, por que o raciocínio normal é "ora, se a
> interseção de dois conjuntos disjuntos é o conjunto vazio, então,  sendo
> dois conjuntos disjuntos, um não pode jamais  ser subconjunto do outro.
> Porém, que dizer de um conjunto A qualquer e o conjunto vazio? Pela
> definição, temos que admitir que eles são disjuntos, já que a interseção
> entre eles é vazia, porém o conjunto vazio é subconjunto de A ! Nesse caso,
> então estaria incorreta a sentença: "Se A é subconjunto de de B, então A e
> B não são disjuntos".  Ou seja, é perfeitamentee possível que um conjunto
> seja subconjunto de outro e ainda assim, a interseção entre eles ser vazia!
> Não sei porque nenhuma banca explora essa "pegadinha" (fica a sugestão...
> :-)
>
> Abraços
> Palmerim
>
> Palmerim
>
> "Se dois conjuntos são disjuntos, então
>  O conjunto vazio
>
> 2009/3/15 Bruno França dos Reis 
>
> A está contido em B <==> para todo elemento a de A, a pertence a B
>> A pertence a B <==> o conjunto B tem o elemento A dentro dele.
>>
>> Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3},
>> 1, 2, 3}
>>
>> Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
>> Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
>> Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a D)
>> e também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).
>>
>> Bruno
>>
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>> Bruno FRANÇA DOS REIS
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>>
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>> e^(pi*i)+1=0
>>
>>
>> 2009/3/15 Arthur Moura 
>>
>>  Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?
>>>
>>> Abraço,
>>> Arthur
>>>
>>> > Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
>>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
>>> > From: ralp...@gmail.com
>>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>
>>> >
>>> > Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
>>> > inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
>>> > voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
>>> > coisas distintas.
>>> >
>>> > Abraco,
>>> > Ralph
>>> >
>>> > 2009/3/11 Marcelo Rodrigues :
>>> > > Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em
>>> conjuntos,
>>> > > por favor:
>>> > >
>>> > > Temos o conjunto A = {1,2}
>>> > >
>>> > > Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
>>> > >
>>> > > O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
>>> > >
>>> > > Agora vem a dúvida:
>>> > > A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria:
>>> vazio
>>> > > pertence a P(A) ?
>>> > >
>>> > > Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço,
>>> muito.
>>> > >
>>> > > Abraços, Marcelo.
>>> > >
>>> >
>>> >
>>> =
>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
>>> >
>>> =
>>>
>>> --
>>> Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e
>>> muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira 
>>> já!<http://video.msn.com/?mkt=pt-br>
>>>
>>
>>
>
>
> --
> Dharmo rakshati rakshatah
>
> "O Dharma protege aquele que protege o Dharma"
>

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Nota ção das Partes de (A)

[Bruno França dos Reis]

A está contido em B <==> para todo elemento a de A, a pertence a B
A pertence a B <==> o conjunto B tem o elemento A dentro dele.

Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3}, 1,
2, 3}

Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a D) e
também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).

Bruno

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

e^(pi*i)+1=0


2009/3/15 Arthur Moura 

>  Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?
>
> Abraço,
> Arthur
>
> > Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
> > From: ralp...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> >
> > Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
> > inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
> > voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
> > coisas distintas.
> >
> > Abraco,
> > Ralph
> >
> > 2009/3/11 Marcelo Rodrigues :
> > > Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em
> conjuntos,
> > > por favor:
> > >
> > > Temos o conjunto A = {1,2}
> > >
> > > Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
> > >
> > > O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
> > >
> > > Agora vem a dúvida:
> > > A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria:
> vazio
> > > pertence a P(A) ?
> > >
> > > Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço,
> muito.
> > >
> > > Abraços, Marcelo.
> > >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> > =
>
> --
> Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos
> outros vídeos no MSN Videos! Confira já! <http://video.msn.com/?mkt=pt-br>
>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Conjuntos: Notaç ão das Partes de (A)

[Arthur Moura]

Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?

Abraço,
Arthur

> Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
> inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
> voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
> coisas distintas.
> 
> Abraco,
>Ralph
> 
> 2009/3/11 Marcelo Rodrigues :
> > Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
> > por favor:
> >
> > Temos o conjunto A = {1,2}
> >
> > Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
> >
> > O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
> >
> > Agora vem a dúvida:
> > A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
> > pertence a P(A) ?
> >
> > Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.
> >
> > Abraços, Marcelo.
> >
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

_
Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas 
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http://video.msn.com/?mkt=pt-br

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[Ralph Teixeira]

Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
coisas distintas.

Abraco,
   Ralph

2009/3/11 Marcelo Rodrigues :
> Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
> por favor:
>
> Temos o conjunto A = {1,2}
>
> Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
>
> O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
>
> Agora vem a dúvida:
> A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
> pertence a P(A) ?
>
> Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.
>
> Abraços, Marcelo.
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[silverratio]

Olá Marcelo,

Veja bem.. em primeiro lugar, a afirmação "Vazio está contido em X" é
verdadeira
qualquer que seja o conjunto X (mesmo o próprio Vazio).

A demonstração se dá por absurdo: Suponha que não. Nesse caso, deve existir
então um elemento no conjunto Vazio que não está em X, o que imediatamente
gera uma contradição, pois o Vazio não possui elemento algum.

Em particular, o Vazio está contido nas Partes de A.

Agora, nesse caso, também é verdade que ele é um elemento de P(A), pela
própria definição de P(A).

As duas são verdadeiras.

Abraço,

- Leandro.

Re: [obm-l] Conjuntos

[José Corino]

Olá Arthur!
0 é natural ou não de acordo com o seu gosto. Quando se usa o conjunto N 
para ordenar séries é conveniente excluir o zero. Daí S1 é o primeiro termo, S2 
é o segundo, S9 é o nono, etc. Do contrário, S0 seria o primeiro, S1 o segundo, 
S8 o nono, e assim por diante. Pra que complicar? 
Já há quem goste de colocar o zero em N, para ganharmos o elemento neutro 
da adição. Uma simples questão de gosto. Na faculdade os "analistas" tiravam o 
zero e os "algebristas" gostavam dele em N.
Quanto à ordem em C, pode-se sim definir uma ordem para C. O que C não é ( 
e R é) é um corpo *ordenado*.
Num corpo ordenado, entre outras coisas, o quadrado de um elemento não nulo 
é positivo e, como sabemos o quadrado de i é -1. E mesmo que a ordem definida 
faça o 1 ser negativo (para o -1 ser positivo), uma outra exigência é que em um 
corpo ordenado 1 é positivo e -1 é negativo. Uma contradição seja qual for a 
forma que você definir a ordem.
No livro "Meu Professor de Matemática" do nosso idolatrado Elon, no 
capítulo "Conceitos e Controvérsias" ele aborda justamente a questão de quem é 
maior, (2+3i) ou (3+2i). Está na seção 9. Vale a pena você dar uma lida. É um 
ótimo livro.
Um abraço!
José CORINO

  - Original Message - 
  From: Arthur Matta Moura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, January 21, 2009 11:50 AM
  Subject: [obm-l] Conjuntos


   
   Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é 
definido a idéia de ordem para os Complexos. 
   Uma explicação que eu tentei arranjar foi a seguinte: nos naturais não e 
definida a idéia de subtração, então não  
  existiria o 0 que é quem divide os números simetricamente. Esta foi uma idéia 
que eu tive e não sei se esta correta. Ficarei feliz com melhores explicações.  


  


[],Arthur



--
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RE: [obm-l] Conjuntos

[Albert Bouskela]

Olá!

Apenas complementando a resposta do Lucas:

O conceito de "ordem" (i.e., conjunto ordenado) está intrinsecamente
relacionado aos conjuntos de dimensão unitária (N, Z, Q e R). Não obstante,
é possível estender este conceito aos conjuntos que tenham dimensão igual a
"n". Aliás, foi exatamente isto que Cantor (pobre Cantor!) fez para provar
que o conjunto R^n tem o mesmo número de elementos que o conjunto R: Cantor
conseguiu estabelecer uma relação biunívoca entre os elementos de R e os de
um conjunto de dimensão "n" (R^n). Formalmente, isto quer dizer que R e R^n
têm a mesma cardinalidade, a qual Cantor chamou de "alef1" ("alef0" é
cardinalidade de N).

Assim, pode-se definir (definir!) a seguinte regra de ordenamento:

1]   (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e somente se, a1 for
menor do que b1;
2]   Se a1=b1, então (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e
somente se, a2 for menor do que b2;
3]   Se a1=b1 e a2=b2, então (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn)
se, e somente se, a3 for menor do que b3; e por aí vai...

Como os números complexos podem ser definidos como o par ordenado (a, b),
sendo "a" a parte real e "b" a parte imaginária, é só seguir a regra de
ordenamento acima.

Finalizando, lamento dizer que isto não servirá pra nada que eu conheça...

Saudações,
AB
bousk...@msn.com

> -Original Message-
> From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Lucas Prado Melo
> Sent: Wednesday, January 21, 2009 1:47 PM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
> 
> 2009/1/21 Arthur Matta Moura :
> >
> >  Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não
é
> > definido a idéia de ordem para os Complexos.
> 
> O zero pertencer ou não aos naturais é mera questão técnica e os dois
> casos são aceitos (cada autor tem o seu preferido e um ou outro se
> torna mais conveniente conforme o assunto tratado). Isso acontece
> porque muitos conceitos da matemática são criados como uma
> racionalização posterior do que foi determinado antes (a axiomática de
> Peano que define os números naturais, por exemplo, foi criada bem
> depois de termos pensado a noção de número natural).
> Os números complexos podem ter ordem definida, mas até agora nenhuma
> ordem parece ser a mais "natural" (ou seja, uma ordem sensata que
> fosse análoga à ordem usual para os naturais: 0 < 1 < 2 < ... ).
> Poderiamos tentar estabelecer que um número complexo Z seria menor que
> outro complexo X se e somente se o módulo de Z for menor que o módulo
> de X, mas isso não varia sentido por que i, 1, -i e -1 seriam tratados
> como o mesmo número!
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos

[Lucas Prado Melo]

2009/1/21 Arthur Matta Moura :
>
>  Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é
> definido a idéia de ordem para os Complexos.

O zero pertencer ou não aos naturais é mera questão técnica e os dois
casos são aceitos (cada autor tem o seu preferido e um ou outro se
torna mais conveniente conforme o assunto tratado). Isso acontece
porque muitos conceitos da matemática são criados como uma
racionalização posterior do que foi determinado antes (a axiomática de
Peano que define os números naturais, por exemplo, foi criada bem
depois de termos pensado a noção de número natural).
Os números complexos podem ter ordem definida, mas até agora nenhuma
ordem parece ser a mais "natural" (ou seja, uma ordem sensata que
fosse análoga à ordem usual para os naturais: 0 < 1 < 2 < ... ).
Poderiamos tentar estabelecer que um número complexo Z seria menor que
outro complexo X se e somente se o módulo de Z for menor que o módulo
de X, mas isso não varia sentido por que i, 1, -i e -1 seriam tratados
como o mesmo número!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...

[Fernando A Candeias]

Caros colegas de lista

Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa
porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert.
Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata
dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude
da Reta,  V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito
à ordem, é possível demonstrar  a equivalência entre os pontos da reta e do
conjunto dos reais.
Em outro livro que tenho, de G. Verrier, uma introdução às geometrias não
euclidianas por métodos elementares, o autor substitui os dois postulados
citados pelo axioma de Dedekind, o que imediatamente identifica a reta
geométrica com os reais, como dito pelo Ralph. O livro baseia-se na obra de
Hilbert. Trata de todos axiomas comuns às três geomertrias, e posteriormente
introduz novos postulados e/ou suprime alguns,  a partir do que desenvolve o
assunto. Tudo por métodos elementares. É muito interessante. Está escrito
 em francês, adquiri em 1951, creio que esta esgotado. Mas se alguém tiver
interesse, posso doá-lo juntamente com o de Hilbert.
Sobre os surreais conheço pouco, mas parece muito interessante a idéia de
que os numeros infinitesimais passem a ter existência efetiva, o que
dispensaria em parte os complicados épsilons e deltas da definição usual de
continuidade de uma função em um ponto. (Weierstrasse). Vou ver se encontro
o livro mencionado pelo Nehab. Gostaria de saber como os problemas
geoméricos são abordados, se fazendo corresponder a cada segmento de reta a
parte Re do surreal, ou o número completo, incluindo um infinitesimal. Nessa
hipótese lembraria Leibntz com suas mônadas, ou o sonho pitagórico do "tudo
é número".

Fernando A Candeias

2008/3/28, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Oi, Ralph (e Paulo),
>
> Apenas matando as suadades...um rápido comentário:
>
> Para os aficcionados, o livro "Surreal Numbers" é "quase" novelesco (com
> fundo matemático, é claro) do Knuth (um verdadeiro mago) e já foi traduzido
> para o português (a edição original tem mais de 30 anos - eu era quase um
> "pirralho" na época  :-)   e  ainda dava aula no IME...- ah... que
> saudades Ralph me lembrou...).
> É  um belo, pequeno e imperdível livro para a maioria dos participantes
> desta lista.  Quem ainda não leu em inglês, aproveite: eu comprei no começo
> do ano uma cópia em português na livraria da Travessa (acho que foi uns 40
> reais - mas pela Amazon em inglês é naturalmente mais barato).
>
> E aproveitando a deixa do Ralph, quem for curioso também pode e deve dar
> estudar Fuzzy Sets, Fuzzy Numbers (Numeros Nebulosos, etc). Os de Engenharia
> Elétrica ou Computação, certamente terão contato com isto, bem como com
> Algoritmos Genéticos...
>
> Ou seja, há muito mais coisa para se aprender do que supõe a vã flosofia,
> ou mesmo a reta (sur)real...
>
> Abraços,
> Nehab
>
> Ralph Teixeira escreveu:
>
> ...P.S.: Por outro lado, dá para definir números "surreais" 
> (vejahttp://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com
> eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por
> exemplo, neles a<=b e b<=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas,
> são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o
> pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de "reta", usando
> "nuvens" ao invés de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e
> fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final,
> tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes
> objetos têm aplicações.
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=




-- 
Fernando A Candeias

Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta.. .

[Carlos Nehab]

Oi, Ralph (e Paulo),

Apenas matando as suadades...um rápido comentário:

Para os aficcionados, o livro "Surreal Numbers" é "quase" novelesco
(com fundo matemático, é claro) do Knuth (um verdadeiro mago) e já foi
traduzido para o português (a edição original tem mais de 30 anos - eu
era quase um "pirralho" na época 
:-)    e  ainda dava aula no IME...- ah... que
saudades Ralph me lembrou...).  
É  um belo, pequeno e imperdível livro para a maioria dos participantes
desta lista.  Quem ainda não leu em inglês, aproveite: eu comprei no
começo do ano uma cópia em português na livraria da Travessa (acho que
foi uns 40 reais - mas pela Amazon em inglês é naturalmente mais
barato). 

E aproveitando a deixa do Ralph, quem for curioso também pode e deve
dar estudar Fuzzy Sets, Fuzzy Numbers (Numeros Nebulosos, etc). Os de
Engenharia Elétrica ou Computação, certamente terão contato com isto,
bem como com Algoritmos Genéticos... 

Ou seja, há muito mais coisa para se aprender do que supõe a vã
flosofia, ou mesmo a reta (sur)real... 

Abraços,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:

  ...
P.S.: Por outro lado, dá para definir números "surreais" (veja
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com
eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por
exemplo, neles a<=b e b<=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas,
são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o
pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de "reta", usando
"nuvens" ao invés de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e
fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final,
tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes
objetos têm aplicações.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...

[Ralph Teixeira]

Bom, a resposta à sua pergunta depende do que se entende por "números
na reta". Se não há definição precisa de "reta numérica", não dá para
discutir se todos os números "dela" (ela? que ela?) estão nos reais ou
não.

Uma solução rápida, limpa, simples e sem graça é **DEFINIR** a reta
numérica como o conjunto dos números reais. Rápido, limpo e simples
(mas sem graça). :) :) A boa notícia é que deste jeito a reta numérica
herda todas as propriedades dos números reais, inclusive aquela de que
"todo conjunto numérico limitado tem um supremo".

Assim, a resposta usual é "garantimos que não há número, na reta, que
não se enquadre no conjunto dos reais pois definimos a "reta numérica"
como o conjunto dos reais". :P

Abraço,
   Ralph

P.S.: Por outro lado, dá para definir números "surreais" (veja
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com
eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por
exemplo, neles a<=b e b<=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas,
são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o
pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de "reta", usando
"nuvens" ao invés de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e
fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final,
tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes
objetos têm aplicações.

2008/3/27 Paulo - Uniredes <[EMAIL PROTECTED]>:
> Como é que sabemos que os conjuntos já conhecidos são suficientes para
> representar números da Reta Real ? Existe alguma prova de que eles são
> necessários e sufucientes ?
>
> Explico:
>
> Temos os naturais
> Depois estendemos o conceito para os inteiros...
> Depois os racionais...
> Depois os irracionais...
>
> Bom, que me garante que não há número, na reta, que não se enquadre em
> qualquer desses conjuntos ?
>
> Há algum teorema "mágico" que diga isso, como existe o maravilhoso Teorema
> de Gödel sobre a inconsistência da lógica ?
>
>
> []s
>
> ---
> Paulo C. Santos (PC)
> e-mail: [EMAIL PROTECTED]
> Homepage: http://uniredes.org
> Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729
> 
> MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED]
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Re: [obm-l] Conjuntos (básico)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Pedro,

P(AUBUC) = 0,78
P(A)+P(B)+P(C)-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC)+P(AinterBinterC) = 0,78

do enunciado, temos que: P(A) = 0,50, P(B) = 0,30, P(C) = 0,20,
P(AinterBinterC) = 0,05
então: 0,50+0,30+0,20-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC)+0,05 = 0,78
logo: 0,27-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC) = 0
logo: P(AinterB)+P(AinterC)+P(BinterC) = 0,27
nós queremos P(AinterB)+P(AinterC)+P(BinterC) - 2*P(AinterBinterC) = 0,27 -
2*0,05 = 0,17

é.. chegamos a mesma resposta!
abraços,
Salhab


2008/1/21 Pedro Cardoso <[EMAIL PROTECTED]>:

>
> Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como
> o texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o
> enunciado. Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode
> ser favorável a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não
> são mutuamente excludentes. No resumo,
>
> 78% são favoráveis a pelo menos uma proposta
> 50% são favoráveis à proposta A
> 30% são favoráveis à proposta B
> 20% são favoráveis à proposta C
> 5% favorável a todas as propostas
>
> Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta?
>
> O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo
> com o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%.
>
> Obrigado,
> Pedro Lazéra Cardoso
>
> --
> Encontre o que você procura com mais eficiência! Instale já a Barra de
> Ferramentas com Windows Desktop Search! É 
> GRÁTIS!
>

RE: [obm-l] Conjuntos (básico)

[Pedro Cardoso]

Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como o 
texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o enunciado. 
Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode ser favorável 
a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não são mutuamente 
excludentes. No resumo, 

78% são favoráveis a pelo menos uma proposta
50% são favoráveis à proposta A
30% são favoráveis à proposta B

20% são favoráveis à proposta C
5% favorável a todas as propostas

Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta?

O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo com 
o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%.

Obrigado,
Pedro Lazéra Cardoso

_
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Alex pereira Bezerra]

Temos que (60 - a-b -x ) + ( 80 - b -c -x ) + ( 80 - a - c -x ) + a + b + c
+ x = 100 então  fica:

120 - x = a + b + c + x, temos que a + b + c + x é menor ou igual a
100,segue que x é maior ou igual a 20%, ele quer o min logo x = 20%

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Henrique Rennó]

No livro "Introduction to Algorithms", Cormen et al, na parte que fala
sobre fluxo máximo em grafos, ele utiliza, por exemplo, f(X,Y) onde X
e Y são conjuntos de vértices do grafo e f é o somatório dos fluxos
dos vértices que partem do conjunto X para aqueles no conjunto Y.
Geralmente, em uma rede, um grafo dirigido com pesos nas arestas, na
qual se quer encontrar o fluxo máximo, define-se um vértice como a
origem e outro como destino. Caso seja necessário desconsiderar esses
vértices no cálculo do fluxo poderíamos representar por f(X-o, Y-d),
onde "o" e "d" são origem e destino, respectivamente, e X-o seria o
conjunto X sem o elemento "o" e Y-d o conjunto Y sem o elemento "d",
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.

Esse seria um exemplo de utilizar conjuntos e somatórios em uma única
representação através de função.

On 10/29/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá Marcelo \o/
>
> vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
> finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
> opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
>
> costuma-se definir
> somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
>
> só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
> meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
> noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
> sim, definir da seguinte maneira
>
> somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
> se n>0, n natural e se n=0
>
> somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
> , i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
> no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
> inferior inteiro e superior inteiro
>
>
> somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
> se p>0, p natural e se p=0
>
> somatorio k=a até a f(k)=f(a)
>
> com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à "a"
> então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
>
> para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
> somatorio k=b até a f(k) =0  se a>b (i.e se o limite superior é menor
> que o limite inferior)
>
> com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
> somatorios como
>
> somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
> somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
> somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
> se s>=a e b>=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
> ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
> de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
> geral de certo modo)
>
> mas ai estava pensando em definir somatorios em outros  conjuntos
> finitos, por exemplo, definir  formalmente somatorio sobre primos em
> um intervalo etc...
> na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
> procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
> filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
> tendo sobre esse assunto
>
> abraços
>
> Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Olá Rodrigo,
> >
> > pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
> > geral..
> > { a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e "a" é qualquer
> > coisa.. hehe (bem informal)
> > sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
> > Seja A um conjunto tal que |A| = n.
> > Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n -> A
> > onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
> > façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
> > deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
> > vamos chegar em A_n = {} ...
> >
> > Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
> > finitos com
> > relação de ordem... :))
> >
> > um abraço,
> > Salhab
> >
> >
> >
> >
> > On 10/29/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > >
> > > Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
> > > hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
> > > números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
> > > formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
> > > chega "uma  hora" que ele se torna o conjunto vazio
> > > ex:
> > > {0, 2.2 ,3}
> > > tira o máximo (3)
> > > { 0, 2.2}
> > > tira o maximo (2.2)
> > > {0}
> > > tira o maximo 0
> > > {}
> > >
> > > acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
> > > não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
> > > chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
> > > eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
> > > pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
> > > ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
> > > é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas par

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Henrique Rennó]

> ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.

Desculpe. X-{o} e Y-{d}

-- 
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Rodrigo Renji]

Olá Marcelo \o/

vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática

costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),

só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira

somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n>0, n natural e se n=0

somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro


somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p>0, p natural e se p=0

somatorio k=a até a f(k)=f(a)

com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à "a"
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.

para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0  se a>b (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)

com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como

somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s>=a e b>=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)

mas ai estava pensando em definir somatorios em outros  conjuntos
finitos, por exemplo, definir  formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto

abraços

Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá Rodrigo,
>
> pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
> geral..
> { a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e "a" é qualquer
> coisa.. hehe (bem informal)
> sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
> Seja A um conjunto tal que |A| = n.
> Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n -> A
> onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
> façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
> deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
> vamos chegar em A_n = {} ...
>
> Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
> finitos com
> relação de ordem... :))
>
> um abraço,
> Salhab
>
>
>
>
> On 10/29/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
> > hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
> > números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
> > formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
> > chega "uma  hora" que ele se torna o conjunto vazio
> > ex:
> > {0, 2.2 ,3}
> > tira o máximo (3)
> > { 0, 2.2}
> > tira o maximo (2.2)
> > {0}
> > tira o maximo 0
> > {}
> >
> > acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
> > não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
> > chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
> > eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
> > pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
> > ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
> > é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
> > conjuntos númericos ?)
> >
> >
> > esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
> > somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
> >
> > abraços
> > Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > > Olá Rodrigo,
> > >
> > > achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: "Existe
> n
> > > tal que S(n) = vazio"... pois n está definido na questão..
> > > acredito que deveria ser: "Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?"
> > >
> > > |S(0)| = |S|
> > > |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
> 1,
> > > entao: |S(1)| = |S| - 1
> > > por inducao: |S(k)| = |S| - k
> > >
> > > vamos supor que |S| > n, entao |S(n)| > 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
> > > hipótese..
> > > vamos supor que |S| < n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> > > vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> > >
> > > logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
> ou
> > > igual a n...
> > >
> > > abraços,
> > > Salhab
> > 

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Rodrigo,

pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e "a" é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n -> A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...

Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))

um abraço,
Salhab



On 10/29/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
> hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
> números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
> formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
> chega "uma  hora" que ele se torna o conjunto vazio
> ex:
> {0, 2.2 ,3}
> tira o máximo (3)
> { 0, 2.2}
> tira o maximo (2.2)
> {0}
> tira o maximo 0
> {}
>
> acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
> não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
> chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
> eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
> pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
> ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
> é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
> conjuntos númericos ?)
>
>
> esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
> somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
>
> abraços
> Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Olá Rodrigo,
> >
> > achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: "Existe
> n
> > tal que S(n) = vazio"... pois n está definido na questão..
> > acredito que deveria ser: "Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?"
> >
> > |S(0)| = |S|
> > |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
> 1,
> > entao: |S(1)| = |S| - 1
> > por inducao: |S(k)| = |S| - k
> >
> > vamos supor que |S| > n, entao |S(n)| > 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
> > hipótese..
> > vamos supor que |S| < n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> > vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> >
> > logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
> ou
> > igual a n...
> >
> > abraços,
> > Salhab
> >
> >
> >
> > On 10/27/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > >
> > > Seja
> > > S um conjunto
> > > defino
> > > (n natural)
> > >
> > > S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
> > > S(0)=S
> > >
> > > (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
> > >
> > > Se existe n, tal que s(n)=vazio
> > > então n é finito e tem n elementos?
> > >
> > > e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
> > > (relaçao de se e somente se).
> > >
> > >
> >
> =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > >
> >
> =
> > >
> >
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Rodrigo Renji]

Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega "uma  hora" que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}

acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)


esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.

abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá Rodrigo,
>
> achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: "Existe n
> tal que S(n) = vazio"... pois n está definido na questão..
> acredito que deveria ser: "Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?"
>
> |S(0)| = |S|
> |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
> entao: |S(1)| = |S| - 1
> por inducao: |S(k)| = |S| - k
>
> vamos supor que |S| > n, entao |S(n)| > 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
> hipótese..
> vamos supor que |S| < n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
>
> logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
> igual a n...
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> On 10/27/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Seja
> > S um conjunto
> > defino
> > (n natural)
> >
> > S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
> > S(0)=S
> >
> > (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
> >
> > Se existe n, tal que s(n)=vazio
> > então n é finito e tem n elementos?
> >
> > e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
> > (relaçao de se e somente se).
> >
> >
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> =
> >
>
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Rodrigo,

achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: "Existe n
tal que S(n) = vazio"... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: "Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?"

|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k

vamos supor que |S| > n, entao |S(n)| > 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| < n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0

logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...

abraços,
Salhab


On 10/27/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Seja
> S um conjunto
> defino
> (n natural)
>
> S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
> S(0)=S
>
> (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
>
> Se existe n, tal que s(n)=vazio
> então n é finito e tem n elementos?
>
> e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
> (relaçao de se e somente se).
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Conjuntos

[ralonso]

Certamente :)

Marcus wrote:

> Alguém sabe me dizer o que significa Ac ÇBcÇ Cc, quando eu utilizo
> três conjuntos, isso quer dizer complementar em relação ao universo?
>
> Marcus Aurélio
>

Re: [obm-l] Conjuntos - dúvida conceitual

[Igor Castro]

Eles tem que ser disjuntos dois a dois.

On 3/7/07, Pedro Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Olá amigos da lista,

estudando um pouco conjuntos fiquei com uma dúvida em relação ao conceito
de
CONJUNTOS DISJUNTOS.

Entendi que A e B são disjuntos se A(inter)B = vazio, mas, quando começo a
trabalhar com três ou mais conjuntos...

Para N conjuntos serem disjuntos basta que a interseção simultãnea deles
[quero dizer A(inter)B(inter)C...(inter)Z] = vazio? Ou é necessário também
que eles sejam disjuntos dois a dois?

Se bastar que eles sejam disjuntos n a n [A(inter)B(inter)C...(inter)Z =
vazio], não é sempre verdade que:

A,B,C...Z são disjuntos -> n[A(união)B...(união)Z] = n(A)+n(B)+...+n(Z),
certo?

Ex.: A ={1,2,3}; B ={2,4,6}; C={1,3,5}
A(inter)B(inter)C = vazio, mas [A(união)B(união)C] = {1,2,3,4,5,6} (6
elementos)

e n(A)+n(B)+n(C) = 3+3+3 = 9.

Grato,

Pedro Lazéra Cardoso

_
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Daniel S. Braz]

Humm, acho que é possível sim. Se não me engano o matemático G. Boole
provou isso.

2006/6/16, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>:

Bem, podemos pensar em coisas assim, so precisa imaginacao.

Por exemplo
a+b=b+a traduz aUb=bUa
a*b=b*a traduz aNb=bNa

A distributiva,

(a+b)c=ab+ac
fica
(aUb)Nc=(aNb)U(aNc)

E da pra fazer tais analogias por ai...


Se vc proivar que da pra mapear os axiomas das duas teorias, bingo!

2006/6/15, Iuri <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união
e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de
conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo
desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso...
>




--
Ideas are bulletproof.

V



--
"O modo mais provável do mundo ser destruído, como concordam a maioria
dos especialistas, é através de um acidente. É aí que nós entramos.
Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes" - Nathaniel
Borenstein

=
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, podemos pensar em coisas assim, so precisa imaginacao.Por exemploa+b=b+a traduz aUb=bUaa*b=b*a traduz aNb=bNaA distributiva,(a+b)c=ab+acfica(aUb)Nc=(aNb)U(aNc)E da pra fazer tais analogias por ai...
Se vc proivar que da pra mapear os axiomas das duas teorias, bingo!2006/6/15, Iuri <[EMAIL PROTECTED]>:
Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso...


-- Ideas are bulletproof.V

RE: [obm-l] CONJUNTOS

[Felipe Nardes]

O procedimento está correto, mas você se confundiu um pouco.

Observe o conjunto:

A - (A inter B) = {x E A e x ñE (A inter B)}

Se X E (A inter B), implica que: x E A  e  X E B
Por outro lado, se X ñE (A inter B), implica que: x ñE A  ou  X ñE B

Voltando ao seu problema, como x E A, se x ñE (A inter B) é porque x ñE B. 
Logo:


A - (A inter B) = {x E A e x ñE (A inter B)} = {x E A e X ñE B} = A - B


abracos,

Felipe Nardes



From: Miguel Mossoro <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] CONJUNTOS
Date: Fri, 9 Sep 2005 20:03:39 -0300 (ART)

Olá a todos.

Quero provar que A - B = A - (A inter B)

Usando o diagrama de venn é fica fácil. Entretanto, eu queria provar por 
uma forma analítica. Eu cheguei ao seguinte resultado:


Partindo do 2º membro:
A - (A inter B) = {x | x E A e x ñE (A inter B) } = {x | x E A e (x ñE A e 
x ñE B) } = vazio ???


Como é o procedimento para responder nesse estilo??

Agradeço antecipadamente,
Mossoro

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Claudio Freitas]

a)

TESE:
  A C (AUB)
  = {qualquer x: xEA ==> xE(AUB) }
  = {qualquer x: ~xE(AUB) ==> ~xEA }
  = "Qualquer que seja x, temos que: *se* x não pertence a (AUB),
*então* x não pertence a (A)."

HIP.: ~xE(AUB)
S1:   ~xE(AUB) = ~[ xEA ou xEB ]  (HIP. = S1)
S2:   ~[ xEA ou xEB ] = ~xEA e ~xEB   (S1 = S2)
S3:   ~xEA e ~xEB ==> ~xEA    (S2 ==> S3)
S4:   ~xE(AUB) ==> ~xEA   (HIP. ==> S3)
S5:   xEA ==> xE(AUB) (S4)
S6:   A C (AUB)   (S5)

Q.E.D.



Abraços,
Claudio Freitas


admath admath escreveu:

  Provar (utilizando lógica matemática) que:
   
  a) A está contido em (A U B),qualquer que
seja A.
   
  b) (A inter B) está contido em A, qualquer
que seja A.
   
  Obrigado.
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Claudio Freitas]

b)

Provar: (A inter B) c (A)

TESE.: (A inter B) c (A) = {qualquer x: xE(A inter B) ==> xEA} = "Se 
xE(A inter B), então xEA."

HIPÓTESE: xE(A inter B)
S1: xE(A inter B) = xEA e xEB
S2: xEA e xEB ==> xEA
S3: S1 ==> S2, logo xE(A inter B) ==> xEA
S4: (A inter B) c (A)

Abraços,
Claudio Freitas



admath admath escreveu:


Provar (utilizando lógica matemática) que:
 
a) A está contido em (A U B),qualquer que seja A.
 
b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A.
 
Obrigado.


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Re: [obm-l] Conjuntos

[Iuri]

a) Conjunto AUB > qualquer x pertencente a AUB, x pentence a A ou x pertence a B,entao, para qualquer x pertencente a A, x pertence a AUBb) A inter B > para qualquer x pertencente a A inter B, x pertence a A 
e x pertence a B; entao, qualquer x pertencente a A inter B, x pertence a A, logo A inter B está contido em A.

Acho q isso vale como demo.

Em 24/07/05, admath admath<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:> Provar (utilizando lógica matemática) que: >   > a) A está contido em (A U B),qualquer que seja A. 
>   > b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A. >   > Obrigado.> > __> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
> http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Conjuntos

[Bruno Bonagura]

Demonstração correta da a) em anexo.
 
Desculpe a trapalhada.

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Bonagura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
  
  No lugar de "está contido" usarei "é 
  subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a 
  definição de subconjunto:
  X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
  qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
  Y.
   
  a) A é subconjunto de (A U B), 
  qualquer que seja A.
   
  Tome um x qualquer tal que: 
  x é elemento de A união B.
   
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  A união B. 
   
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
  então q"
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  união B.
   
  Pela definião de subconjunto.
  A é subconjunto de A união B. 
  Q.E.D.
   
  b) A interseção B é subconjunto de A, 
  qualquer que seja A.
   
  Tome um x qualquer tal que:
  x é elemento de A interseção B.
   
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  A interseção B
  
   
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então 
q":
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  interseção B.
   
  Pela definição de 
  subconjunto: 
  A interseção B é subconjunto de A. 
  
  Q.E.D.
   
  ___
   
  Espero não ter escorregado em 
  nada...
  Atenciosamente,
  Bruno Bonagura
  
- Original Message - 
From: 
admath 
admath 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

Provar (utilizando lógica matemática) 
que:
 
a) A está contido em (A U B),qualquer que 
seja A.
 
b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
A.
 
Obrigado.
__Converse com seus 
amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 



a.gif
Description: GIF image

Re: [obm-l] Conjuntos

[Bruno Bonagura]

Me perdoem pela tripla mensagem. Mas a 
demonstração a) também está lógicamente furada. Desculpem... 

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Bonagura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
  
  No lugar de "está contido" usarei "é 
  subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a 
  definição de subconjunto:
  X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
  qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
  Y.
   
  a) A é subconjunto de (A U B), 
  qualquer que seja A.
   
  Tome um x qualquer tal que: 
  x é elemento de A união B.
   
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  A união B. 
   
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
  então q"
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  união B.
   
  Pela definião de subconjunto.
  A é subconjunto de A união B. 
  Q.E.D.
   
  b) A interseção B é subconjunto de A, 
  qualquer que seja A.
   
  Tome um x qualquer tal que:
  x é elemento de A interseção B.
   
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  A interseção B
  
   
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então 
q":
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  interseção B.
   
  Pela definição de 
  subconjunto: 
  A interseção B é subconjunto de A. 
  
  Q.E.D.
   
  ___
   
  Espero não ter escorregado em 
  nada...
  Atenciosamente,
  Bruno Bonagura
  
- Original Message - 
From: 
admath 
admath 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

Provar (utilizando lógica matemática) 
que:
 
a) A está contido em (A U B),qualquer que 
seja A.
 
b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
A.
 
Obrigado.
__Converse com seus 
amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Conjuntos [Errata]

[Bruno Bonagura]

Desconsidere a demonstração b) !

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Bonagura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
  
  No lugar de "está contido" usarei "é 
  subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a 
  definição de subconjunto:
  X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
  qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
  Y.
   
  a) A é subconjunto de (A U B), 
  qualquer que seja A.
   
  Tome um x qualquer tal que: 
  x é elemento de A união B.
   
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  A união B. 
   
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
  então q"
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  união B.
   
  Pela definião de subconjunto.
  A é subconjunto de A união B. 
  Q.E.D.
   
  b) A interseção B é subconjunto de A, 
  qualquer que seja A.
   
  Tome um x qualquer tal que:
  x é elemento de A interseção B.
   
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  A interseção B
  
   
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então 
q":
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  interseção B.
   
  Pela definição de 
  subconjunto: 
  A interseção B é subconjunto de A. 
  
  Q.E.D.
   
  ___
   
  Espero não ter escorregado em 
  nada...
  Atenciosamente,
  Bruno Bonagura
  
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From: 
admath 
admath 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

Provar (utilizando lógica matemática) 
que:
 
a) A está contido em (A U B),qualquer que 
seja A.
 
b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
A.
 
Obrigado.
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RE: [obm-l] Conjuntos

[Guilherme Neves]

1-) Provar que A C (AUB), para todo A.
 
x pertence a A => ( x pertence a A ou x pertence a B) 
   é uma implicação verdadeira para todo x, portanto A C (AUB).
 
2- Provar que (A inter B) C A, para todo A.
 
    x pertence a ( A inter B) => (x pertence a A   e   x pertence a B) => x pertence a A
 
 é uma implicação verdadeira para todo x, portanto  (A inter B) C A.Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! 

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Bruno Bonagura]

No lugar de "está contido" usarei "é subconjunto" 
e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a definição de 
subconjunto:
X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
Y.
 
a) A é subconjunto de (A U B), 
qualquer que seja A.
 
Tome um x qualquer tal que: 
x é elemento de A união B.
 
Sem alterar o valor lógico da 
proposição:
x não é elemento de A ou x é elemento de 
A união B. 
 
Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
então q"
se x é elemento de A, então x é elemento de A 
união B.
 
Pela definião de subconjunto.
A é subconjunto de A união B. 
Q.E.D.
 
b) A interseção B é subconjunto de A, 
qualquer que seja A.
 
Tome um x qualquer tal que:
x é elemento de A interseção B.
 
Sem alterar o valor lógico da 
proposição:
x não é elemento de A ou x é elemento de 
A interseção B

 
Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q":
se x é elemento de A, então x é elemento de A 
interseção B.
 
Pela definição de subconjunto: 
A interseção B é subconjunto de A. 

Q.E.D.
 
___
 
Espero não ter escorregado em 
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Atenciosamente,
Bruno Bonagura

  - Original Message - 
  From: 
  admath 
  admath 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 PM
  Subject: [obm-l] Conjuntos
  
  Provar (utilizando lógica matemática) 
que:
   
  a) A está contido em (A U B),qualquer que 
  seja A.
   
  b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
  A.
   
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Re: [obm-l] Conjuntos

[André Rodrigues da Cruz]

a) FAÇB terá , no MÁXIMO, 12 elementos.
Como |A| < |B|, então a número de interseções máxima será o número de elementos do menor conjunto, caso este esteja contido no conjunto maior.
 
b) VAÈB terá , no mínimo, 15 elementos.Se
 A está contindo em em B, implica que a união entre A e B possui o número de elementos de B que é 15.
 
c) FO número máximo de elementos de AÈB poderá ser |A|+|B|, caso esses conjuntos sejam disjuntos, e o número máximo de elementos de AÇB poderá ser 12, caso A esteja contido em B.
d) FA explicação está nos itens anteriores
 
Me corrijam, caso fiz alguma coisa errada.
matduvidas48 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:



01.Considere dois conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, sempre se pode afirmar que:
a) AÇB terá , no mínimo, 12 elementos.
b) AÈB terá , no mínimo, 15 elementos.
c) o número máximo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB.
d) o número mínimo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB.
 
 
Fico agradecido.
 
Ary Queiroz
 André Rodrigues da Cruz  [EMAIL PROTECTED] "A paz seja convosco!"
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Marcelo Roseira]

Olá Ary.

Esta questão já apareceu na prova da ANPAD. Gabarito
(C): quatro conjuntos. Seguem abaixo:

{1,2}
{1,2,3}
{1,2,4}
{1,2,3,4}.

Grande abraço.

Marcelo Roseira.

--- matduvidas48 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> O número de conjuntos X que satisfaz
> {1,2}  Ì X  Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual a:
> 
> 
a) 3
b) 5
c) 4
d) 6
e) 8
> 
> 
> 
> Agradeço de já
> 
> Ary Queiroz
>  
>
__
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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> 
> 
> 

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Gustavo]

Sol :4 >> o conjunto x 
pode ser {1,2},{1,2,3},{1,2,4} ou {1,2,3,4}. 

  - Original Message - 
  From: 
  matduvidas48 
  To: obm-l 
  Sent: Tuesday, April 12, 2005 9:12 
  PM
  Subject: [obm-l] Conjuntos
  
  
  
  O número de conjuntos X que satisfaz 
  {1,2}  Ì 
  X  Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual 
  a:
   
    
  a) 
  3    
  b) 5  
  c) 4    
  d) 6 
  e)8
   
  
   
   
  Agradeço de já
   
  Ary 
  Queiroz
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG 
  Anti-Virus.Version: 7.0.308 / Virus Database: 266.9.7 - Release Date: 
  12/04/05

Re: [obm-l] Conjuntos

[Eduardo Wilner]

--- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> 
> Olá.
> 
> Para o item 01.,note que 10 não acertaram as
> ultimas questões, mas só a primeira, e que 11
> acertaram pelo menos as duas ultimas. Daí fica
> fácil...
> Um raciocínio do tipo pode ser udado paro item
> 02., ou não?
> Vc. pode uasra Diagrama de Venn que pode
> facilitar.
> 
>   Abraços
> 
>   Wilner
> 

   Se vc. preferir mai formalismo pode usar o Teorema
da Soma: 

[A(união)B(união)C]-A(interseção)B-A(interseção)C-
  -B(interseção)C+[A(interseção)B(interseção)C].

   (Uff,um LATEX iria bem...)

   []'s 

  Wilner


> --- matduvidas48 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > 01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada
> > uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia
> em
> > que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam
> > questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos;
> a
> > segunda, sobre funções e a terceira, sobre
> geometria
> > plana. Sabe-se que dos alunos presentes
> > 
> > nenhum tirou zero;
> > 11 acertaram a segunda  e a terceira questões;
> > 15 acertaram a questão sobre conjuntos;
> > 1 aluno acertou somente a parte de geometria
> plana,
> > e7 alunos acertaram apenas a questão sobre
> > funções.
> > 
> > É correto afirmar que o número de alunos com grau
> > máximo igual a 10 foi
> > 
> > a) 4 b) 6  c) 5   
>  
> >   d) 7
> > 
> > 
> > 
> > 02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17
> > nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5
> > nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam
> voleibol,
> > 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três
> > esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos
> os
> > cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses
> > esportes?
> > 
> > a) 31  b) 37   c) 47  
>  
> > d) 51
> > 
> > 
> > 
> > Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões.
> > 
> > 
> > Agradeço desde de já
> > 
> > 
> > Ary Queiroz
> >  
> >
>
__
> > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua
> tela.
> > AntiPop-up UOL - É grátis!
> > http://antipopup.uol.com.br/
> > 
> > 
> > 
> 
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> usar a lista em
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>
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> 





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Re: [obm-l] Conjuntos

[Eduardo Wilner]

Olá.

Para o item 01.,note que 10 não acertaram as
ultimas questões, mas só a primeira, e que 11
acertaram pelo menos as duas ultimas. Daí fica
fácil...
Um raciocínio do tipo pode ser udado paro item
02., ou não?
Vc. pode uasra Diagrama de Venn que pode
facilitar.

  Abraços

  Wilner


--- matduvidas48 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> 01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada
> uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em
> que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam
> questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a
> segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria
> plana. Sabe-se que dos alunos presentes
> 
> nenhum tirou zero;
> 11 acertaram a segunda  e a terceira questões;
> 15 acertaram a questão sobre conjuntos;
> 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana,
> e7 alunos acertaram apenas a questão sobre
> funções.
> 
> É correto afirmar que o número de alunos com grau
> máximo igual a 10 foi
> 
> a) 4 b) 6  c) 5 
>   d) 7
> 
> 
> 
> 02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17
> nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5
> nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol,
> 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três
> esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os
> cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses
> esportes?
> 
> a) 31  b) 37   c) 47
> d) 51
> 
> 
> 
> Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões.
> 
> 
> Agradeço desde de já
> 
> 
> Ary Queiroz
>  
>
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> 
> 

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos?

[Bruno Bruno]

http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gavetas.doc


On Wed, 09 Mar 2005 23:10:50 +, Raquel Erimil <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> A todos da lista, peço auxilio num problema que parece de conjuntos
> 
> *Mostrar que em qualquer grupo de 6 pessoas existe, necessariamente, um
> conjunto de 3 pessoas que se conhecem ou que são totalmente estranhos. E num
> grupo de apenas 5 pessoas?
> 
> Não faço a menor idéia de como fazer
> 
> Erimil
> 
> _
> MSN Messenger: converse online com seus amigos .
> http://messenger.msn.com.br
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

Oi Fábio,
 
Poxa muito obrigado entendi agora a questão.
 
Eu entendi que era x = sqrt(2)^sqrt(2) mas na hora de digitar eu usei aquela representação horrivel "raiz q. de 2", vou me apoderar da sua forma de representar raiz quadrada, não se importe : )
 
O arquivo eu achei que era a questão de conjutos que vc tinha feito usando um programa e talz... e por isso meu pc não identificava, por falar nela será que vc pode me dar uma ajuda nela?
 
- Numa enquete entre 80 aficionados, 20 declaram ter assistido ao jogo A, 40 ao jogo B, 30 ao jogo C, 30 ao jogo D, 5 aos jogos B, C e D, 5 a somente o jogo A, 10 aos jogos B e C, 60 assistiram a pelo menos um dos jogos A,C e D. 10 aficionados não assistiram a nenhum dos jogos B,C e D.  Quantos assitiram aos jogoa A,C e D?Quantos não assistiram a nenhum jogo?Quantos assistiram somente ao jogo C ou somente ao jogo D? Se os aficionados que assitiram aos jogos A e D são mais que o triplo dos que assistiram somente ao jogo D, e os aficionados que assistiram somente ao jogo C são menos que o dobro dos que assistiram somente aos jogos A e C, quantos assistiram somente ao jogo D ou somente aos jogos A e C? Eu estou com um problema que não entendo... eu resolvi uma questão da escola naval de um geito que parece ser certo, olhe.
 
- (EN-88) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos % da população, no mínimo gostam de samba, choro, bolero e rock?a) 5 b) 10 c) 20 d) 45 e) 70(encontreo 10% mas não tenho certeza)
eu resolvi aquela primeira de % da (EN-88) assim...
S = {70% gosta de samba}C = {75% de choro}B = {80% de bolero}R = {85% de rock}quantos % no minimo da população gostam de S,C,B e R. Eu fiz assim... o que ele quer é.S inter C inter B inter R = (((S inter C) inter B) inter R)ae eu fiz,n(S U C) = n(S) + n(C) - n(S inter C)100p = 70p + 75p - n(S inter C)n(S inter C) = 45pae repito o processo...100p = 45p + 80p - n((S inter C) inter B)n((S inter C) inter B) = 25p100p = 25p + 85p - n(((S inter C) inter B) inter R) n(((S inter C) inter B) inter R) = 110p - 100p = 10p ou seja 10%, sendo p = número de pessoas da cidade divido por cem...
Bem creio que esteja certo... mas tentei usar isso nessa questão e não deu, alem de não dar ainda parece ser um absurdo, olhe.
 
*** 9- Numa pesquisa entre os alunos do Elite foi constatado que 80% gostam de salada, 95% gostam de carne bovina, 10% gostam de peixe, 90% não gostam de frango e 15% não gostam de massas. Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam de frango e peixe.a) 10% b)15% c)20% d)25% e)30%
 S = {80% gostam de salada}B = {95% gostam de carne bovina}P = {10% gostam de peixe}F = {90% não gostam de frango}M = {15% não gostam de massas} Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam de frango e peixe. quem não gosta de salada é Cs (complementar da salada em relação a U)
Cs = {20% não gostam de Salada}Cb = {5% não gostam de carne bovina}Cf = {10% gostam de frango} Cs inter Cb inter M inter Cf inter P  = Cs inter Cb) inter M) inter Cf) inter P)tenta fazer ae que está dando uma porcentagem negativa e altissima... acho que está dando -349p ou algo assim... tenta ae e vê se dá para saber o que fiz de errado.
 
Obrigado,
 
Atenciosamente
 
André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:> Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional...> no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica> x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é> racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2).Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for umnúmero racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamosprocurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional).Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, esabemos que este último número vale 2.Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar umirracional elevado a um irracional dando um racional!
. Logo a
 respostaao problema é "sim".> Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no> documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não> identifica ele acho...Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital.[]s,-- Fábio Dias Moreira> ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature 
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Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[Fábio Dias Moreira]

[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:
> Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional...
 
> no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica
 
> x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é
> racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?

Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2).
Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for um
número racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamos
procurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional).
Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, e
sabemos que este último número vale 2.

Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar um
irracional elevado a um irracional dando um racional. Logo a resposta
ao problema é "sim".
 
> Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no
> documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não
> identifica ele acho...

Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


pgpV5AYWJXPsC.pgp
Description: PGP signature

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

Oi Fábio,
 
Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional...
 
no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica
 
x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?
 
No caso então irracional elevado a irracional é sempre irracional?
 
Obrigado
 
Atenciosamente
 
André Sento Sé BarretoAndré Barreto <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Oi Fábio,
 
Obrigado pela resolução, essas foram as que estavam me pegando...
 
Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho...
 
Atenciosamente
 
André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:> 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do> conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A -> B, (y => f(x)), g: D -> A (x = g(x)) e a função composta (fog): E -> K, Então> os conjunto E e K são tais que:> a) E contido A e K contido D> b) E contido B e K contém A> c) E contém D, D diferente E e K contido B> d) E contido D e K contido B > e) nenhuma das respostas anteriores> 0bs: assinalei a (d).Certo.(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros dematemática que eu conheço, se f: A -> B e g: B -> C são funções,então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A -> C.Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,mas isso tem que ser indicado, mesm!
! o que
 implicitamente.)> *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional?> (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está> bom)Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x éirracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x étranscendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio decoeficientes inteiros.)[]s,-- Fábio Dias Moreira> ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature 
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Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

Oi Fábio,
 
Obrigado pela resolução, essas foram as que estavam me pegando...
 
Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho...
 
Atenciosamente
 
André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:> 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do> conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A -> B, (y => f(x)), g: D -> A (x = g(x)) e a função composta (fog): E -> K, Então> os conjunto E e K são tais que:> a) E contido A e K contido D> b) E contido B e K contém A> c) E contém D, D diferente E e K contido B> d) E contido D e K contido B > e) nenhuma das respostas anteriores> 0bs: assinalei a (d).Certo.(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros dematemática que eu conheço, se f: A -> B e g: B -> C são funções,então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A -> C.Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,mas isso tem que ser indicado, mesm!
o que
 implicitamente.)> *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional?> (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está> bom)Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x éirracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x étranscendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio decoeficientes inteiros.)[]s,-- Fábio Dias Moreira> ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[Fábio Dias Moreira]

[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:
> 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do
> conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A -> B, (y =
> f(x)), g: D -> A (x = g(x)) e a função composta (fog): E -> K, Então
> os conjunto E e K são tais que:
> a) E contido A e K contido D
> b) E contido B e K contém A
> c) E contém D, D diferente E e K contido B
> d) E contido D e K contido B 
> e) nenhuma das respostas anteriores
> 0bs: assinalei a (d).

Certo.

(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros de
matemática que eu conheço, se f: A -> B e g: B -> C são funções,
então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A -> C.
Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,
mas isso tem que ser indicado, mesmo que implicitamente.)
 
> *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional?
> (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está
> bom)

Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x é
irracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =
sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.

(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x é
transcendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio de
coeficientes inteiros.)

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


pgpjtpwTpkSen.pgp
Description: PGP signature

Re: [obm-l] conjuntos

[Daniel S. Braz]

Não entendi...

A = {a,b,c} ; B = {d,e,f}

n(A) = 3 ; n(B) = 3
n(A uniao B) = 6
n(A inter B) = 0

n(A uniao B) = n(A) - n(B) - (A inter B)

3 =/= 3 - 3 - 0

o que vc queria nao seria..n(A uniao B) = n(A) + n(B) - (A inter B) ?

basta notar que qdo fazemos n(A) + n(B) estamos contando duas vezes os
elementos que pertencem aos dois (intersecao)..

ou

n(A uniao B) = n(A) + n(B - A) = n(A) + n(B) - n(A inter B)

[]s
daniel

--

On Wed, 23 Feb 2005 13:39:35 -0300, marcio aparecido
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> prove que n(A U B) = n(A) - n(B) - (A inteseção B) ??
> alguem me da um help
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 


-- 
"A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em
Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número
inteiro existe sempre um outro." (J. Tannery)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] conjuntos...

[Renato Lira]

eh soh fazer o diagrama de Euller...

Seja A quem é favorável às duas propostas
Seja B quem é favorável apenas à primeira proposta
Seja C quem é favorável apenas à segunda proposta
Seja X quem é desfavorável às duas propostas.
 Pelo enunciado... temos que A=380 e que o UNIVERSO é dado por:
A+B+C+X=1000 => B+C+X=620
B+X=450
C+X=50
Logo:
B+C+X+X=500  => X= -120 , B=570 , C=170 , A=380

Claramente os dados do enunciado estão errados... pois é IMPOSSÍVEL
haver votos negativos.



Renato Lira.

On Mon, 7 Feb 2005 11:51:32 -0200, carlos gomes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> como saio dessa?
>  
> 
> 
> Uma população de 1000 pessoas votou a favor ou contrariamente a duas
> propostas. Contados os votos observou-se que:
> 
> 
> 
> · 50 pessoas foram contrárias à primeira proposta; 
> 
> · 450 foram contrárias à Segunda proposta e 
> 
> · 380 foram favoráveis às duas propostas. 
> 
> 
> 
> O número de pessoas que votaram contra às duas propostas é igual a:
> 
> 
> 
> a) 80 b) 90 c) 100 d) 70 e) 110 
> 
> Valeu, cg.
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Jan 26, 2005 at 01:09:08PM -0300, Bruno Lima wrote:
> Achei varios livros do autor Jech, sobre conjuntos um deles chama-se Axiom of
> Choice, o pouco que entendi achei bom. Lá ele mostra umas coisas legais tipo:
> nao Axioma Escolha implica existencia (1)de Esp Vet sem base e (2)de Um
> conjunto infinito de reais sem um subconjunto enumeravel.  Mas o q o senhor
> citou, nao achei..mas como disse, entendo pouco, talvez seja corolario de
> algum teorema.  Entendo tao pouco que nao sei nem o q ZF ??

ZF = Axiomas de Zermelo-Fraenkel, os axiomas usuais da teoria dos conjuntos
sem o axioma da escolha.
> 
> "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> A minha lembrança é de que é consistente com ZF (os axiomas usuais
> da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjunto
> de números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informação
> e mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu não
> fizer isto, sugiro começar a procura por "Set theory", de Jech.

O teorema que eu queria é o teorema 101 do livro que eu citei acima,
capítulo 7, seção 42, página 537. O teorema é de Solovay.
Ele é um pouco diferente do que eu lembrava: você precisa de
ZF+"Existe um cardinal inacessível"; por Gödel sabemos que isto
é estritamente mais forte do que ZF. Enfim, o teorema é o seguinte:

==

Theorem 101 (Solovay)

Assume that there exists an inaccessible cardinal.

(a) There is a model of ZF+DC in which all sets of real numbers are Lebesgue
measurable and have the property of Baire, and every uncountable set of reals
has a perfect subset.

(b) There is a model of ZFC in which every projective set of reals is Lebesgue
measurable, has the Baire property, and if uncountable, then it contains
a perfect subset.

==

Resumindo e simplificando: não dá para construir conjuntos não mensuráveis
sem usar o axioma da escolha.

[]s, N.

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Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis

[Bruno Lima]

Achei varios livros do autor Jech, sobre conjuntos um deles chama-se Axiom of Choice, o pouco que entendi achei bom. Lá ele mostra umas coisas legais tipo: nao Axioma Escolha implica existencia (1)de Esp Vet sem base e (2)de Um conjunto infinito de reais sem um subconjunto enumeravel.
Mas o q o senhor citou, nao achei..mas como disse, entendo pouco, talvez seja corolario de algum teorema.
Entendo tao pouco que nao sei nem o q ZF ??"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
A minha lembrança é de que é consistente com ZF (os axiomas usuaisda teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjuntode números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informaçãoe mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu nãofizer isto, sugiro começar a procura por "Set theory", de Jech.
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Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis

[Nicolau C. Saldanha]

On Tue, Jan 25, 2005 at 05:58:34PM -0500, Sandra wrote:
> 
> Nestes dias discutiu-se o conceito de conjunto nao mensuravel e eu fiquei com
> uma duvida. O prof. Nicolau deu um exemplo e frisou que para obter conjuntos
> nao mensuraveis temos que recorrer ao axioma da escolha. Um dos colegas, acho
> que o Artur, deu um exemplo um tanto semelhante ao o do professor e tambem
> falou no axioma da escolha. Minha pergunta ?: para gerarmos conjuntos nao
> mensuraveis ? h imperioso recorrer ao axioma da escolha ou o que acontece ?
> que os exemplos conhecidos sao gerados com base no axioma da escolha? H?
> alguma prova de que sem o axioma da escolha nao se podem gerar conjuntos nao
> mensuraveis?  Obrigada

A minha lembrança é de que é consistente com ZF (os axiomas usuais
da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjunto
de números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informação
e mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu não
fizer isto, sugiro começar a procura por "Set theory", de Jech.

[]s, N.
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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Ana Evans]

Esclarecendo: Na segunda afirmação o conjunto em
questão era de fato finito. A afirmação era:

Se A é um subconjunto de R finito e limitado
superiormente, então o supremo de A pertence a A.

Desculpem ter comido a palavra finito. O Artur
interpretou certo, acho que porque isto estava escrito
no cabeçalho da mensagem.

Ana



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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Artur Costa Steiner]

E, de fato a mensagem original da Ana nao dizia,
conforme eu erradamente interpretei, que o conjunto
limitado superiormente era finito. A prova que eu dei
supunha isto. Mas acho que foi isto que ela quis
dizer, porque senão naum hah nada a provar, a
afirmacao eh obvia. E ela mesma disse que a afirmacao
parecia obvia
Artur



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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Artur Costa Steiner]

>E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a < b? O supremo de A é b,
>mas b não pertence a A.

>Bernardo

Ela disse conjuntos FINITOS. O intervalo (a,b) eh INFINITO. Ela NAUM disse
intervalos com pontos extremos finitos. Por conjunto finito entendemos um
conjunto equivalente, para algum natural n, a um segmento inicial {1,
2,.n} do conjunto dos naturais.
Artur

On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Oi,
> > Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
> > matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
> > sobre conjuntos de R^n:
> >
> > 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
> > enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
> > ser finito. 
> Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
> condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
> de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
> (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
> possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
> conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
> ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
> enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de
condensacao
> (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
> acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
> Logo, A eh enumeravel.
> 
> > 2) Se A eh um subconjunto de R limitado
> > superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
> Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao
de
> A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
> temos necessariamente que s pertence a A.
> 
> > No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
> > parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
> Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata
> 
> > Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B =
> > conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
> > conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
> > R, que naum eh enumeravel. 
> Exatamente.
> 
> Artur
> 
> 
> OPEN Internet
> @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
> 
> 
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 



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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a < b? O supremo de A é b,
mas b não pertence a A.

Bernardo

On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Oi,
> > Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
> > matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
> > sobre conjuntos de R^n:
> >
> > 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
> > enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
> > ser finito. 
> Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
> condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
> de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
> (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
> possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
> conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
> ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
> enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao
> (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
> acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
> Logo, A eh enumeravel.
> 
> > 2) Se A eh um subconjunto de R limitado
> > superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
> Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de
> A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
> temos necessariamente que s pertence a A.
> 
> > No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
> > parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
> Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata
> 
> > Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B =
> > conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
> > conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
> > R, que naum eh enumeravel. 
> Exatamente.
> 
> Artur
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Artur Costa Steiner]

> Oi,
> Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
> matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
> sobre conjuntos de R^n:
> 
> 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
> enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
> ser finito. 
Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
(assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao
(se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
Logo, A eh enumeravel. 

> 2) Se A eh um subconjunto de R limitado
> superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de
A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
temos necessariamente que s pertence a A.

> No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
> parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata

> Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = 
> conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
> conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
> R, que naum eh enumeravel. 
Exatamente.

Artur 



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Re: [obm-l] conjuntos conexos

[Fabio Dias Moreira]

Lista OBM said:
> Gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
>
> 1) Prove que para toda função contínua f:S^1 --> R existe um ponto x em
> S^1 = {v em R^2 ; |v| = 1} tal que f(x) = f(-x).
> [...]

Considere g(x) = f(x) - f(-x). Note que g(-x) = -g(x); se g for
identicamente nula, acabou; senão, existe y tal que g(y) != 0, e aí é só
usar o TVI em uma parametrização conveniente de S^1.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


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Re: [obm-l] Conjuntos 2

[Hugo Fernandes]

Alexandre.
 
Como {-1,1} c X, então -1 pertence a X e 1 pertence a X.
 
Além disso, X c { -1,0,1,2,3}, portanto -1,0,1,2,3 são os únicos possíveis elementos de X.
 
Como -1 e 1 certamente são elementos de X, temos que 0 pode pertencer ou não a X (2 escolhas), 2 pode pertencer ou não a X (2 escolhas) e 3 pode pertencer ou não a X (2 escolhas). Pelo princípio multiplicativo existem, portanto, 2x2x2=8 possíveis escolhas para os elementos de X e portanto P tem 8 elementos que correspondem a essas escolhas.
 
[]'s
 
Hugo.Alexandre Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Seja P = {x;{-1,1} c x c {-1,0,1,2,3}}. Então o número de elementos de P é:
 
obs.: c = está contido.
 
 


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Re: [obm-l] Conjuntos 2

[Hugo Fernandes]

Alexandre.
 
Como {-1,1} c X, então -1 pertence a X e 1 pertence a X.
 
Além disso, X c { -1,0,1,2,3}, portanto -1,0,1,2,3 são os únicos possíveis elementos de X.
 
Como -1 e 1 certamente são elementos de X, temos que 0 pode pertencer ou não a X (2 escolhas), 2 pode pertencer ou não a X (2 escolhas) e 3 pode pertencer ou não a X (2 escolhas). Pelo princípio multiplicativo existem, portanto, 2x2x2=8 possíveis escolhas para os elementos de X e portanto P tem 8 elementos que correspondem a essas escolhas.
 
[]'s
 
Hugo.Alexandre Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Seja P = {x;{-1,1} c x c {-1,0,1,2,3}}. Então o número de elementos de P é:
 
obs.: c = está contido.
 
 


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Re:[obm-l] Conjuntos 1

[Osvaldo]

Olá!

Sei que a pertence a K => fazendo x=y=a temos que (x-y)
=0 pertence a K.
Tomando x=a=0 e y=b => (x-y)=-b pertence a K

Dai, tomando x=a e y=-b tenho que vale (x-y) pertence 
a K, ou seja (a-(-b))=a+b pertence a K, reposta a)



> Probleminha de conjuntos:
>  
> Seja K um subconjunto próprio do conjunto dos 
inteiros, gozando da seguinte propriedade: x,y 
pertencem a K => (x-y) pertencem a K. Então, dados a, 
b pertencentes a K:
> a) podemos garantir que a+b pertence a K
> b) não podemos garantir que zero pertence a K
> c) não podemos garantir que a+7b pertence a K
> d) podemos garantir que 1 pertence a K
> 
>   
> -
> Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e 
antivírus grátis!

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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Re: [obm-l] Conjuntos 1

[Ricardo Bittencourt]

Alexandre Bastos wrote:
Probleminha de conjuntos:
 
Seja K um subconjunto próprio do conjunto dos inteiros, gozando da 
seguinte propriedade: x,y pertencem a K => (x-y) pertencem a K. Então, 
dados a, b pertencentes a K:
a) podemos garantir que a+b pertence a K
b) não podemos garantir que zero pertence a K
c) não podemos garantir que a+7b pertence a K
d) podemos garantir que 1 pertence a K
"a" e "a" pertencem a K => (a-a)=0 pertence a K
"0" e "b" pertencem a K => (0-b)=-b pertence a K
"a" e "-b" pertercem a K => (a-(-b))=a+b pertence a K
resposta (a)

Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]   "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
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=

Re: [obm-l] conjuntos fechados

[Artur Costa Steiner]

Na realidade, nesta prova o que eu fiz foi tomar a
contra positiva da afirmacao "Se P eh um subconjuto
perfeito de R^n, entao P naum eh enumeravel". O
trabalho estah, na realidade, em provar tal fato, que
eu jah admiti como conhecido.

Seja P um subconjunto perfeito de R^n e X = (x_1,
x_2x_n...} uma enumeracao qualquer de seus
elementos. Precisamos mostrar que X naum engloba a
totalidade de P.
Seja a um elemento de P arbitrariamente escolhido e V
uma vizinhanca limitada de a (por exemplo, uma bola
aberta). Entao, V contem uma infinidade de elementos
de P, pois a eh ponto de acumulacao de P. Escolhamos
agora uma vizinhanca V_1 de a, contida em V, cujo
fecho V*_1 naum contenha x_1 (para isto, basta
escolher em V um elemento distinto de x1 - hah
infinitos - e construir em torno dele uma bola de raio
suficientemente pequeno). De modo indutivo, suponhamos
escolhidas vizinhancas encaixadas V_1,V_n, de
elementos de P, tais que, para todo i=1,...n, x_i nao
pertenca ao fecho de V_i. V_n eh vizinhanca de algum
elemento de P e, portanto, contem uma infinidade de
elementos de P. Escolhamos um distinto de x_n+1 e,
atraves do mesmo processo citado na base da inducao,
escolhamos uma vizinhanca V_n+1 deste elemento,
contida em V_n e tal x_n+1 naum pertenca a V*_n+1.
Isto completa o processo indutivo e mostra existir uma
sequecia {V_n} de vizinhancas encaixadas de elementos
de P tais que, para cada n, x_n naum pertence a V*_n.
Consideremos agora sequencia de conjuntos {F_n} =
{V*_n inter P}. Eh imediato que esta eh uma sequencia
encaixada de conjuntos nao vazios - cada V_n
intersecta P, de modo que o mesmo se verifica para
V*_n. Como cada V*_n eh compacto - eh fechado e
limitado (Heine Borel) - e P eh fechado, temos que
cada F_n eh compacto. Logo {F_n} eh uma sequencia
encaixada de conjuntos compactos e nao vazios de R^n,
o que implica na existencia de um elemento x comum a
todos os F_n. Por construcao, x pertence a P e, pela
construcao da sequencia de vizinhancas {V_n}, nenhum
elemento da enumeracao X eh comum a todos os F_n.
Logo, P contem um elemento naum englobado em X. Como a
enumeracao X eh arbitraria, concluimos que nenhuma
enumeracao de elementos de P o cobre em sua totalidade
e que P, portanto, naum eh enumeravel.

Esta conclusao eh um caso particular de uma outra mais
geral: Se X eh um espaco de Hausdorff compacto que nao
contenha pontos isolados, entao X naum eh enumeravel. 

Artur

PS. Eu acho que enviei acidentalmente uma mensagem
incompleta 

--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se
> todo elemento de F for
> ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito
> (um conjuto eh perfeito se
> for fechado e todos seus elementos forem pontos de
> acumulacao do mesmo). Em
> razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh
> enumeravel (em R^n,
> conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F
> contem um elemento que
> naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh
> um ponto isolado.
> Artur
> 
> - Mensagem Original 
> De: [EMAIL PROTECTED]
> Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
> Assunto: [obm-l] conjuntos fechados
> Data: 31/03/04 18:01
> 
> Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto
> fechado enumerável possui 
> algum ponto isolado.
> 
> Desde já agradecido
> 
>
_
> MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.
> http://www.hotmail.com
> 
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
> 
> 
> OPEN Internet
> @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor
> de e-mails @
> 
> 
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=


__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.
http://taxes.yahoo.com/filing.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] conjuntos fechados

[Artur Costa Steiner]

Na realidade, nesta prova o que eu fiz foi tomar a
contra positiva da afirmacao "Se P eh um subconjuto
perfeito de R^n, entao P naum eh enumeravel". O
trabalho estah, na realidade, em provar tal fato, que
eu jah admiti como conhecido.

Seja P um subconjunto perfeito de R^n e X = (x_1,
x_2x_n...} uma enumeracao qualquer de seus
elementos. Precisamos mostrar que X naum engloba a
totalidade de P.
Seja a um elemento de P arbitrariamente escolhido e .
aimente 

--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se
> todo elemento de F for
> ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito
> (um conjuto eh perfeito se
> for fechado e todos seus elementos forem pontos de
> acumulacao do mesmo). Em
> razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh
> enumeravel (em R^n,
> conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F
> contem um elemento que
> naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh
> um ponto isolado.
> Artur
> 
> - Mensagem Original 
> De: [EMAIL PROTECTED]
> Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
> Assunto: [obm-l] conjuntos fechados
> Data: 31/03/04 18:01
> 
> Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto
> fechado enumerável possui 
> algum ponto isolado.
> 
> Desde já agradecido
> 
>
_
> MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.
> http://www.hotmail.com
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>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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> @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor
> de e-mails @
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> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] conjuntos fechados

[Artur Costa Steiner]

Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se todo elemento de F for
ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito (um conjuto eh perfeito se
for fechado e todos seus elementos forem pontos de acumulacao do mesmo). Em
razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh enumeravel (em R^n,
conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F contem um elemento que
naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh um ponto isolado.
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] conjuntos fechados
Data: 31/03/04 18:01

Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto fechado enumerável possui 
algum ponto isolado.

Desde já agradecido

_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo

[claudio.buffara]

Oi, Niski:
 
A relação de continência (adorei esta palavra! Me faz lembrar dos meus tempos num outro IME - o do Rio de Janeiro) é transitiva.
Logo, se A está contido em B e B está contido em UNIÃO(1<=i<=n) R[i], então A está contido em UNIÃO(1<=i<=n) R[i].
Assim, por definição, A tem conteúdo nulo.
 
***
 
Eh bem facil voce me encontrar na sala de aula de análise real: olhe pra trás e você vai ver um tipo super boa-pinta, tipo Brad Pitt só que mais bonito, extremamente bem-vestido e que faz comentários inteligentíssimos e ultra-relevantes na aula: eu vou estar sentado do lado dele.
 
[]´s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Wed, 10 Mar 2004 13:31:18 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo




 
 
> >>B tem conteudo nulo assim para todo epsilon > 0 existe um numero finito
> >>de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que
> >>
> >>B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) < epsilon
> >>
> >>Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como
> >>Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) < epsilon A tem conteudo nulo.
> >>
> >>Será que esta certo?
> >>
> > 
> > Por que nao estaria?
> 
> Pra mim foi na intuição.
> Quando vamos nos encontrar no IME? estou sempre nas primeiras fileiras lá
> 
> -- 
> Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
> 
> "When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."
> Joseph Louis LaGrange
> 

Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo

[niski]

B tem conteudo nulo assim para todo epsilon > 0 existe um numero finito
de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que
B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) < epsilon

Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como
Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) < epsilon A tem conteudo nulo.
Será que esta certo?

Por que nao estaria?
Pra mim foi na intuição.
Quando vamos nos encontrar no IME? estou sempre nas primeiras fileiras lá
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
"When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."
Joseph Louis LaGrange
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos e conteudo nulo

[Claudio Buffara]

on 10.03.04 00:01, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Pessoal, estava estudando integrais duplas e me deparei com o conceito
> de conteúdo nulo.
> Depois vieram os exercicios:
> 
> (NOTACAO PARA ESTA MENSAGEM: C = contido , U = união , m(R[i]) = area do
> retangulo R[i])
> 
> 
> "Sejam A e B subconjuntos do R^2, com A C B. Prove que se B tiver
> conteúdo nulo, então A também terá"
> 
> Infelizmente, alguns livros no prefacio falam que a obra se destina um
> tipo de aluno e não cumprem a promessa. Por isso não tenho a solução
> deste problema nem no fim do livro (certamente para agradar professores
> que não estão afim de inovar e adotam um livro desse tipo para montar
> listas de exercicios). Acredito ser um problema simples, mas não acho
> que já tenho maturidade matematica para resolve-lo da maneira correta.
> Segue minha tentativa inocente:
> 
> B tem conteudo nulo assim para todo epsilon > 0 existe um numero finito
> de retangulos R[1], R[2], ...,R[n] tal que
> 
> B C R[1] U R[2] U ... U R[n] e Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) < epsilon
> 
> Se A C B , então obviamente A C R[1] U R[2] U ... U R[n] e como
> Somatoria[i=1 até n]m(R[i]) < epsilon A tem conteudo nulo.
> 
> Será que esta certo?
> 
Por que nao estaria?



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos

[Rafael]

Thor,

Para o problema 1, sabemos que n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A inter
B) - n(A inter C) - n(B inter C) + n(A inter B inter C). (Se, por acaso,
você não reconhecer essa identidade, ela é facilmente verificada por
diagramas de Venn). Do enunciado, n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B inter C) =
20. Substituindo na identidade anterior: n(A) + 20 - 5 - 4 + 1 = 22 ==> n(A)
= 10. Como interessam os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem à intersecção de B e C, e sabemos que n(A inter B inter C) = 1,
teremos n[A - (B inter C)] = 10 - 1 = 9. Alternativa B.

Para o problema 2, da identidade n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A inter B), e
substituindo n(A U B) = 10 e n(A inter B) = 5, teremos: n(A) + n(B) = 15.
Considerando n(A) > n(B), teremos as seguintes possibilidades:

n(A)n(B)
15   0
14   1
13   2
12   3
11   4
10   5
9 6
8 7

Porém, n(A inter B) = 5 assegura que o conjunto B terá, pelos menos, cinco
elementos, invalidando as nossas cinco primeiras possibilidades. Assim:

n(A) = 10 ==> n(A-B) = 5
n(A) = 9 ==> n(A-B) = 4
n(A) = 8 ==> n(A-B) = 3

Somando os valores possíveis de n(A-B) chegamos a 12, indicado na
alternativa C.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio



- Original Message -
From: Thor
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 02, 2004 6:54 PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

01)Dados os conjuntos ,  e , tais que , , ,  e ), o valor de  é:
(A) 10
(D) 7
(B) 9
(E) 6
(C) 8

02)Dados dois conjuntos  e  tais que ,  e , pode-se afirmar que a soma dos
valores possíveis para  é:
(A) 10(D) 13
(B) 11(E) 14
(C) 12

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Conjuntos convexos

[Artur Costa Steiner]

>
>Ignorem a minha pergunta...
>Hehe...
>Não tinha parado pra pensar nem 3 segundos...
>yhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Conjuntos convexos

[jaofisica]

VAleu!
Obrigado Artur!!

> 
> >
> >Olá!
> >Alguém poderia me dar uns exemplos de conjuntos q não
> >sejam convexos?
> 
> Basta considerar um conjunto em R^n que nao seja conexo
. Por exemplo, no
> R^2, a uniao de dois circulos abertos que nao contenham
 um elemento comum.
> Na reta real, a uniao de dois intervalos abertos disjun
tos. Eh facil ver que
> nem todo segmento que una dois pontos do conjunto estah
 inteiramente contido
> no conjunto. Se, no primeiro exemplo, o conjunto for a 
uniao de dois
> circulos C1 e C2, entao nenhum segmento que una um pont
o de C1 a um ponto de
> C2 esta contido na uniao dos mesmos. 
> Outros bons exemplos sao, no plano R^2, os poligonos di
tos "estrelados". Por
> exemplo, divida a circunferencia em arcos iguais de 72o
, numere os 5 pontos
> correspondentes aas extremidades dos arcos (por exemplo
, no sentido horario)
> e, comecando no ponto 1, una o ponto 1 ao 3, o 3 ao 5, 
o 5 ao 2 e assim
> sucessivamente ateh voltar ao ponto 1. Voce obtem um pe
ntagono estrelado,
> que nao eh convexo.
> Para quem, como eu, lida com algoritmos de otimizacao, 
conjuntos nao
> convexos sao uma desgraca! Artur
> 
> 
> ===
==
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ===
==
> 

 
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Conjuntos convexos

[Artur Costa Steiner]

>
>Olá!
>Alguém poderia me dar uns exemplos de conjuntos q não
>sejam convexos?

Basta considerar um conjunto em R^n que nao seja conexo. Por exemplo, no
R^2, a uniao de dois circulos abertos que nao contenham um elemento comum.
Na reta real, a uniao de dois intervalos abertos disjuntos. Eh facil ver que
nem todo segmento que una dois pontos do conjunto estah inteiramente contido
no conjunto. Se, no primeiro exemplo, o conjunto for a uniao de dois
circulos C1 e C2, entao nenhum segmento que una um ponto de C1 a um ponto de
C2 esta contido na uniao dos mesmos. 
Outros bons exemplos sao, no plano R^2, os poligonos ditos "estrelados". Por
exemplo, divida a circunferencia em arcos iguais de 72o, numere os 5 pontos
correspondentes aas extremidades dos arcos (por exemplo, no sentido horario)
e, comecando no ponto 1, una o ponto 1 ao 3, o 3 ao 5, o 5 ao 2 e assim
sucessivamente ateh voltar ao ponto 1. Voce obtem um pentagono estrelado,
que nao eh convexo.
Para quem, como eu, lida com algoritmos de otimizacao, conjuntos nao
convexos sao uma desgraca! Artur


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] Conjuntos convexos

[jaofisica]

Ignorem a minha pergunta...
Hehe...
Não tinha parado pra pensar nem 3 segundos...
y Olá!
> Alguém poderia me dar uns exemplos de conjuntos q não 
> sejam convexos?
> 
>  
> ___
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> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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> 
> ===
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ===
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=

Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[Nelson]

Valeu pessoal! Não me restam mais dúvidas...
Paz, Saúde, e Prosperidade para todos.
Nelson
 
 Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[ghaeser]

foi mostrado que x está em A-B, mas eu queria chegar que x está em (A-B)U(B-A)
.. ora, se x está em A-B, então x está em A-B unido com qualquer coisa ..
em particular .. unido com B-A .. certo??


>2º) Na resposta do Gabriel,
>
>seja x em AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterB
>ou seja x está em A ou x está em B, mas x nao está em AinterB.
>suponha x em A, como x nao está em AinterB, entao x nao está em B logo
x
>está em A-B => x está em (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D
U
>C para todo C)
>
>Eu não entendi essa implicação...




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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[Claudio Freitas]

De forma alguma isso me constrange, pode 
me citar o quanto quiser, seja dúvida, crítica ou o que for. Pelo 
contrário, é melhor pois assin aprendo mais.
Vamos lá, vou tentar provar usando as 
definições.

( A - B ) U ( B - A ) = ( A U 
B ) - ( A inter B )
( A inter B' ) U ( B inter 
A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )'
 
(A - B) = {xEA e x~EB} = {xEA e 
xEB' (*)} = (A inter B')
 
Entao temos que...
( A - B ) U ( B - A ) = ( A U 
B ) - ( A inter B )
( A inter 
B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A inter 
B )'
 
Como o 
complementar de uma união é a intersecção dos complementares 
(Morgan)...
( A inter 
B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A' U 
B' )
 
Aplicando a distributiva ao segundo 
membro...
( A inter 
B' ) U ( B inter A' ) = ( A inter A' ) U ( A inter B' ) U ( B 
inter A' ) U ( B inter B' )
( A inter 
B' ) U ( B inter A' ) = ( vazio ) U ( A inter B' ) U ( B 
inter A' ) U ( vazio )
( A inter 
B' ) U ( B inter A' ) = ( A inter B' ) U ( B inter 
A' )
 
(*) pois se ele nao pertence ao B, entao ele 
pertence ao complementar dele
 
Espero ter conseguido provar. Se a dúvida 
persistir não hesite em chamar novamente. Ou se eu errei alguma passagem. 
:-)
Feliz 2004 à todos.
Claudio Freitas
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Nelson 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, December 30, 2003 10:40 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Conjuntos - diferença simétrica
  
  Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda. Foram 3 formas diferentes para 
  responder uma mesma pergunta.
   
  Mas, infelizmente, gostaria de ponderar sobre algumas respostas:
   
  1º) Na resposta do Claudio,
  
  ( A - B ) U ( B - A ) = ( A 
  U B ) - ( A inter B )
  ( A inter 
  B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )'
  Pelo diagrama de euler-venn 
  verifiquei que está correto, mas gostaria de saber se isso 
  é identidade?
   
  2º) Na resposta do 
  Gabriel,
  seja x em 
  AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterBou seja x está em A 
  ou x está em B, mas x nao está em AinterB.suponha x em A, como x nao está 
  em AinterB, entao x nao está em B logo x está em A-B => x está em 
  (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U C para todo 
  C)
  Eu não entendi essa 
  implicação...
   
  Quanto a do Quwert Smith 
  entendi.
   
  P.S.: Desculpem-me se 
  minha forma de escrever (citando nomes, etc) foi inadequada, ou se 
  de alguma forma constrangiu alguém. 
   
  []´s
  Nelson 
   
  
  
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  e curiosidades!
  
  
  Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido 
  Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 24/12/2003 / Versão: 
  1.4.1Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ 
  
  

[obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[Artur Costa Steiner]

Uma maneira facil de demonstrar eh usar a propriedade distributiva da uniao
com relacao aa  intersecao. Temos que A-B =A inter B', sendo B' o
complementar de B; Analogamente, B-A = B inter A'. Logo, (A-B) U (B-A) = (A
inter B') U (B inter A') = (A U B) inter (A U A')inter (B'U B) inter (B'U
A') = (A U B) inter (A'U B'), visto que A U A' e B U B' sao o conjunto
universo. Pelas leis de De Morgan, A'U B' = (A inter B)'. Logo, (A-B) U
(B-A) = (A U B) inter (A inter B)' = (A U B) - (A inter B).
Bom 2004!
Artur


-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Nelson
Sent: Monday, December 29, 2003 9:35 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

Olá pessoal,
 
Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade:
(A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB)
 
Desde já agradeço,
e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS!
Nelson
 


Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[Nelson]

Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda. Foram 3 formas diferentes para responder uma mesma pergunta.
 
Mas, infelizmente, gostaria de ponderar sobre algumas respostas:
 
1º) Na resposta do Claudio,

( A - B ) U ( B - A ) = ( A U B ) - ( A inter B )
( A inter B' ) U ( B inter A' ) = ( A U B ) inter ( A inter B )'
Pelo diagrama de euler-venn verifiquei que está correto, mas gostaria de saber se isso é identidade?
 
2º) Na resposta do Gabriel,
seja x em AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterBou seja x está em A ou x está em B, mas x nao está em AinterB.suponha x em A, como x nao está em AinterB, entao x nao está em B logo x está em A-B => x está em (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U C para todo C)
Eu não entendi essa implicação...
 
Quanto a do Quwert Smith entendi.
 
P.S.: Desculpem-me se minha forma de escrever (citando nomes, etc) foi inadequada, ou se de alguma forma constrangiu alguém. 
 
[]´s
Nelson 
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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[ghaeser]

>Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade:
>(A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB)

Olá Nelson,

vou provar primeiro que se x está em (A-B)U(B-A) então x está em AUB-AinterB

seja x em (A-B)U(B-A) entao x está em A-B ou x está em B-A
suponha x em A-B então x está em A e não está em B
como x está em A, então x está em AUB, como x nao está em B, entao x nao
está em AinterB .. logo x está em AUB e nao está em AinterB .. ou seja x
está em AUB-AinterB ..
suponha x em B-A .. o raciocínio é análogo e concluímos que x está em AUB-AinterB

agora precisa provar que se x está AUB-AinterB então x está em (A-B)U(B-A)

seja x em AUB-AinterB, logo x está em AUB e x nao está em AinterB
ou seja x está em A ou x está em B, mas x nao está em AinterB.
suponha x em A, como x nao está em AinterB, entao x nao está em B logo x
está em A-B => x está em (A-B)U(B-A) (se x está em D entao x está em D U
C para todo C)
suponha x em B .. e analogamente temos x em (A-B)U(B-A)

das argumentações acima provamos que
(A-B)U(B-A) = AUB-AinterB

Gabriel Haeser
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Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica

[Qwert Smith]

From: Nelson <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Date: Tue, 30 Dec 2003 08:47:18 -0300 (ART)
Olá, primeiramente, obrigado pela ajuda.
Não entendi as seguintes identidades que você postou:
NOTAÇÃO: ~E = não pertence
A-B = A-(AinterB) => {xEA e x~E(AinterB)} = {xEA e x~E(xEA e xEB)} não 
seria contradição?
Nao vejo contradicao, mas vou tentar outro approach... vamos rescrever B 
como (B-A) U (BinterA)
A-B=A-((B-A)U(AinterB))=(A-(B-A))inter(A-(AinterB), como A-(B-A)=A=>
(A-(B-A))inter(A-(AinterB) = Ainter(A-(AinterB)), como A-X esta contido em 
A=>
A inter (A-(AinterB)) = A-(AinterB)

Sera ki melhorou ou piorou?

B-A = B-(BinterA) => análogo ao de cima

[]´s
Nelson
Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
acho ki e assim:
A-B = A-(AinterB)
B-A = B-(BinterA)
A-B U B-A = [A-(AinterB)] U [B-(AinterB)] = (AUB)-(AinterB)
- Original Message -
From: Nelson
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 29, 2003 6:35 PM
Subject: [obm-l] Conjuntos - diferença simétrica
Olá pessoal,

Gostaria que alguém demonstrasse a seguinte identidade:
(A-B) U (B-A) = (AUB)-(AinterB)
Desde já agradeço,
e FELIZ ANO NOVO PARA TODOS!
Nelson
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