[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área
acho que podemos fazer o seguinte. sejam os pontos m a interseção de da' com cd'; n a interseção de ab' com da'; o a interseção de bc' com ab'; e p a de cd' com bc'. queremos a área de mnop. da' e bc' são paralelos, assim como cd' e ab', então mnop é um paralelogramo traçamos uma reta r paralela a bc' passando por b' e chamamos de f o ponto em que r corta a reta que contém ab. e sejam i e j as interseções de d'b' com, respectivamente, da' e bc'. então, os triângulos afb', d'im e d'jp são semelhantes. sejam h a altura de abcd, h1 a altura de d'im, h2 a altura de d'jp e h3 a altura de afb'. temos que: af = ab + ab/4 = 5ab/4 d'i = ab/4 d'j = 3ab/4 h3 = h/2 por semelhança, h1=h/10 e h2=3h/10 a área de mijp (que escolha de letras...) é a área de d'jp menos a de d'im, que é igual a (3ab/4 * h1 * 1/2) - (ab/4 * h2 * 1/2) = ab*h/10. a área de mnop é a área de mijp + jino. mas mijp e jino são congruentes, então a área pedida é ab*h/5 = 1/5, já que área de abcd é 1. On Sun, Oct 27, 2019 at 11:44 AM gilberto azevedo wrote: > Pra deixar claro, o ligamento dos pontos dessas interseções forma um > quadrilátero, é a área deste que se quer descobrir. > > Em dom, 27 de out de 2019 11:31, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Area = 0, dado que é a intersecção de 4 segmentos. Logo, só pode ser um >> segmento, um ponto ou vazia. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> > Em 27 de out de 2019, à(s) 10:23, gilberto azevedo >> escreveu: >> > >> > >> > Dado um paralelogramo abcd de área 1 e a' , b' , c' , d' os pontos >> médios de ab, bc, cd , ad respectivamente. Calcule a área da figura >> formada pela intercessão de ab', cd' , da' , bc'. >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Área
Pra deixar claro, o ligamento dos pontos dessas interseções forma um quadrilátero, é a área deste que se quer descobrir. Em dom, 27 de out de 2019 11:31, Claudio Buffara escreveu: > Area = 0, dado que é a intersecção de 4 segmentos. Logo, só pode ser um > segmento, um ponto ou vazia. > > Enviado do meu iPhone > > > Em 27 de out de 2019, à(s) 10:23, gilberto azevedo > escreveu: > > > > > > Dado um paralelogramo abcd de área 1 e a' , b' , c' , d' os pontos > médios de ab, bc, cd , ad respectivamente. Calcule a área da figura > formada pela intercessão de ab', cd' , da' , bc'. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Área
Area = 0, dado que é a intersecção de 4 segmentos. Logo, só pode ser um segmento, um ponto ou vazia. Enviado do meu iPhone > Em 27 de out de 2019, à(s) 10:23, gilberto azevedo > escreveu: > > > Dado um paralelogramo abcd de área 1 e a' , b' , c' , d' os pontos médios > de ab, bc, cd , ad respectivamente. Calcule a área da figura formada pela > intercessão de ab', cd' , da' , bc'. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Área
Dado um paralelogramo abcd de área 1 e a' , b' , c' , d' os pontos médios de ab, bc, cd , ad respectivamente. Calcule a área da figura formada pela intercessão de ab', cd' , da' , bc'. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Área máxima
A area do gráfico de uma função f(x) entre x=0 e x=L é A, a área do gráfico da função x*f(x) entre x=0 e x=L é y*A ache o intervalo de valores da área do gráfico de x^2 * f(x) entre x=0 e x=L para qualquer que seja f(x). -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] área de triângulo( compartilhando)
Se u é o ângulo entre os lados de comprimento a e b, temos: S = a*b*sen(u)/2 = (a^2+b^2)/4. Daí, pela condição de igualdade entre as médias geométrica e aritmética, temos que sen(u)=1 e a=b. Logo os ângulos do triângulo são 90°, 45°, 45°. Em 13 de maio de 2018 23:52, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a > (a^2+b^2)/4 > > Determine os ângulos do triângulo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] área de triângulo( compartilhando)
As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a (a^2+b^2)/4 Determine os ângulos do triângulo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Área da Cicloide
Eu lendo um livro de história da matemática vi que Torricelli e Wren conseguiram demonstrar que a área sob um arco de cicloide é 3x a área do circulo que a gera utilizando o método da exaustão! Alguém saberia me indicar onde conseguir essas demonstrações ou até mesmo me dar uma luz em como faze-la? Att Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Área da Cicloide
Oi Eduardo, existe um texto no endereço a seguir. Verifique se é o que você deseja. http://www.apm.pt/apm/foco98/activ9.html Abraços Carlos Victor Em 24 de maio de 2015 18:46, Eduardo Henrique dr.dhe...@outlook.com escreveu: Eu lendo um livro de história da matemática vi que Torricelli e Wren conseguiram demonstrar que a área sob um arco de cicloide é 3x a área do circulo que a gera utilizando o método da exaustão! Alguém saberia me indicar onde conseguir essas demonstrações ou até mesmo me dar uma luz em como faze-la? Att Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Área da Ciclóide
Pessoal, uma dúvida me surgiu. Há alguma forma de determinar a área de uma ciclóide sem ser por meio de integração? Estava pensando em algo como método da alavanca de arquimedes ou princípio de cavalieri. Alguém sabe alguma? Att. Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Área da Ciclóide
Na Wikipedia mostra como calcular usando o princípio de Cavalieri: http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle#Cycloids (em inglês) Há também o chamado teorema de Mamikon que permite calcular a área de uma cicloide de uma maneira bem intuitiva: http://en.wikipedia.org/wiki/Visual_calculus#Area_of_a_cycloid (em inglês) http://www.edu-xusta.es/math/Teorema%20de%20Mamikon.html (em espanhol) Abraços, Tadashi 2015-05-08 17:48 GMT-03:00 Eduardo Henrique dr.dhe...@outlook.com: Pessoal, uma dúvida me surgiu. Há alguma forma de determinar a área de uma ciclóide sem ser por meio de integração? Estava pensando em algo como método da alavanca de arquimedes ou princípio de cavalieri. Alguém sabe alguma? Att. Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Área
Considere um sistema cartesiano plano no qual cada unidade no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas correspondea 1 cm. Sejam os pontos no plano: A(0,0), B(2,0), C(2,3) e D(0,3). Ao serem multiplicados pela matriz M = 3 14 2 esses pontos são transformados em E, F, G e H. Calcule a área,em cm2, do quadrilátero cujos vértices são E, F, G e H. João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Área
2014-09-04 19:00 GMT-03:00 João Sousa starterm...@hotmail.com: Considere um sistema cartesiano plano no qual cada unidade no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas corresponde a 1 cm. Sejam os pontos no plano: A(0,0), B(2,0), C(2,3) e D(0,3). Ao serem multiplicados pela matriz M = 3 1 4 2 esses pontos são transformados em E, F, G e H. Calcule a área, em cm2, do quadrilátero cujos vértices são E, F, G e H. Você já estudou determinantes? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Área da elipse
Alguém sabe alguma demonstração fácil da área da elipse sem usar integral? Caso não haja, alguém sabe de alguma que possa serr resolvida por alguma substituição (do jeit o que estou tentando fazer só apelando para o wolfram mesmo ) []s João
[obm-l] Re: [obm-l] Área da elipse
2012/1/4 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Alguém sabe alguma demonstração fácil da área da elipse sem usar integral? Eu usaria uma transformação linear. O fato mais importante é que transformações lineares são homogêneas para áreas: elas multiplicam a área por uma constante, independente do que você esteja considerando. Isso não é verdade para distâncias (veja mais embaixo, mas uma transformação linear no plano tem dois valores próprios; se eles forem diferentes, com certeza uma direção - e portanto comprimentos nessa direção - terá efeitos diferentes da outra direção) Veja que um círculo x^2 + y^2 = r^2 se transforma numa elipse por uma transformação linear do plano (x,y) - (ax + by, cx + dy) inversível, ou seja, tal que ad - bc != 0. Isso posto, é mais fácil fazer ao contrário. Seja x = az + bw, y = cz + dw (com as mesmas condições). Assim, a imagem (inversa) do círculo x^2 + y^2 = r^2 satisfaz (az + bw)^2 + (cz + dw)^2 = r^2. Parando com essa generalização toda, seja (a, b; c, d) a matriz que dilata apenas o eixo dos x, (k, 0; 0, 1). Assim, temos a nova equação k^2 z^2 + w^2 = r^2. que é uma elipse com semi-eixo vertical igual a r, e semi-eixo horizontal igual a r/k. O círculo original tinha área pi r^2, a elipse obtida é a imagem inversa de uma transformação linear que multiplica o eixo x por k, portanto a área da elipse é pi r^2 / k. (Para os fundamentalistas de análise, vale lembrar que a homogeneidade das transformações lineares é a justificativa da definição das fórmulas de mudança de variáveis nas integrais com mais de uma variável. No caso de áreas, onde integramos funções de uma variável, talvez não seja necessário, mas essa idéia de que funções lineares multiplicam o volume por uma constante é essencial em muitas justificativas) Caso não haja, alguém sabe de alguma que possa serr resolvida por alguma substituição (do jeit o que estou tentando fazer só apelando para o wolfram mesmo ) Se o Wolfram consegue fazer simbólicamente, então deve ter uma substituição também. Qual é a integral que você está tentando? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Área da elipse
Troquei a com b, mas acho que o esprito t claro. On 04/01/2012 20:08, Carlos Nehab wrote: Bem, Joo, A soluo geomtrica mais adequada e simples. Se voc sabe (ou pode usar) o fato de que a projeo de um crculo sobre um plano uma elipse, ento h uma soluo "nivel mdio" trivial. Veja a figurinha: A rea do crculo pi.a^2 e a rea da elipse ela vezes o cos alfa, logo, pi.a^2. (b/a) = pi.ab. Abraos Nehab On 04/01/2012 18:34, Joo Maldonado wrote: Algum sabe alguma demonstrao fcil da rea da elipse sem usarintegral? Casono haja, algum sabede alguma que possa serr resolvida poralguma substituio (do jeit o que estou tentando fazer s apelando para o wolfram mesmo ) []s Joo
Re: [obm-l] Área da elipse
Bem, Joo, A soluo geomtrica mais adequada e simples. Se voc sabe (ou pode usar) o fato de que a projeo de um crculo sobre um plano uma elipse, ento h uma soluo "nivel mdio" trivial. Veja a figurinha: A rea do crculo pi.a^2 e a rea da elipse ela vezes o cos alfa, logo, pi.a^2. (b/a) = pi.ab. Abraos Nehab On 04/01/2012 18:34, Joo Maldonado wrote: Algum sabe alguma demonstrao fcil da rea da elipse sem usarintegral? Casono haja, algum sabede alguma que possa serr resolvida poralguma substituio (do jeit o que estou tentando fazer s apelando para o wolfram mesmo ) []s Joo
[obm-l] RE: [obm-l] Área da elipse
Valeu Nehab, er exatamente a demonstraçao que eu queria Ja tinha ouvido falar sobre tal projeçao (mais epecific que uma secçao de cilindro gerava uma elipse) Também achei um jeito muito legal de demonstrar isso [] s Jooao Date: Wed, 4 Jan 2012 20:08:27 -0200 From: carlos.ne...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Área da elipse Bem, João, A solução geométrica é mais adequada e simples. Se você sabe (ou pode usar) o fato de que a projeção de um círculo sobre um plano é uma elipse, então há uma solução nivel médio trivial. Veja a figurinha: A área do círculo é pi.a^2 e a área da elipse é ela vezes o cos alfa, logo, é pi.a^2. (b/a) = pi.ab. Abraços Nehab On 04/01/2012 18:34, João Maldonado wrote: Alguém sabe alguma demonstração fácil da área da elipse sem usar integral? Caso não haja, alguém sabe de alguma que possa serr resolvida por alguma substituição (do jeit o que estou tentando fazer só apelando para o wolfram mesmo ) []s João attachment: icjahgaa.png
[obm-l] Re: [obm-l] Área da calota esférica
Ola' Joao, voce se enganou com a area do circulo da base da calota. O raio deste circulo vale sqrt( r^2 - (r-h)^2 ) Assim, sua area vale Pi . ( 2rh - h^2 ) E a area total vale A = 4.Pirh - Pi.h^2 []'s Rogerio Ponce 2011/8/9 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Olá, Estava calculando a área de uma calota esférica e cheguei numa contradição, queria saber qual a parte que está errado, pois já queberei a cabeça aqui. Dado volume V da calota esférica = (1/3)Pi.h²(3r-h) A área é o volume da subtração de 2 calotas esféricas, uma de raio r e altura h e a outra de raio r -dx e altura h-dx, dividido por dx, quando dx-0 A = Lim[ (1/3)Pi.h²(3r-h)- (1/3)Pi.(h-dx)²(3r-2dx-h)]/dx, dx- 0 A = 2Pirh, correto Mas quando estava fazendo um exercício, este pedia a área total da calota esférica, inclusive da parte interior (círculo), por exemplo: Se alguém já viu uma prótese de silicone, se trata de uma calota esférica. Ao colocarmo-na mesa, a fórmula 2Pi.r.h calcula somente a área da parte que não toca a mesa, para calcularmos a área total devemos somar a área do círculo Pih², resultando 2Pi.r.h + Pih² Porém, ao fazermos com cálculo integral A área é o volume da subtração de 2 calotas esféricas, uma de raio r e altura h e a outra de raio r -dx e altura h-2dx, dividido por dx, quando dx-0 A = Lim[ (1/3)Pi.h²(3r-h)- (1/3)Pi.(h-2dx)²(3r-dx-h)]/dx, dx- 0 A = 4.Pirh - Pi.h² Onde está o erro? []'s João
[obm-l] Área da calota esférica
Olá, Estava calculando a área de uma calota esférica e cheguei numa contradição, queria saber qual a parte que está errado, pois já queberei a cabeça aqui. Dado volume V da calota esférica = (1/3)Pi.h²(3r-h) A área é o volume da subtração de 2 calotas esféricas, uma de raio r e altura h e a outra de raio r -dx e altura h-dx, dividido por dx, quando dx-0 A = Lim[ (1/3)Pi.h²(3r-h)- (1/3)Pi.(h-dx)²(3r-2dx-h)]/dx, dx- 0 A = 2Pirh, correto Mas quando estava fazendo um exercício, este pedia a área total da calota esférica, inclusive da parte interior (círculo), por exemplo: Se alguém já viu uma prótese de silicone, se trata de uma calota esférica. Ao colocarmo-na mesa, a fórmula 2Pi.r.h calcula somente a área da parte que não toca a mesa, para calcularmos a área total devemos somar a área do círculo Pih², resultando 2Pi.r.h + Pih² Porém, ao fazermos com cálculo integral A área é o volume da subtração de 2 calotas esféricas, uma de raio r e altura h e a outra de raio r -dx e altura h-2dx, dividido por dx, quando dx-0 A = Lim[ (1/3)Pi.h²(3r-h)- (1/3)Pi.(h-2dx)²(3r-dx-h)]/dx, dx- 0 A = 4.Pirh - Pi.h² Onde está o erro? []'sJoão
[obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo
Bem... Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro). Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado, temos: ab+c (I). Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em (I) e no fato de que a é inteiro positivo: se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a área não é inteira, pela fórmula de Heron. se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4 tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8 Acho que é isso. Abraços. Hugo. Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.comescreveu: Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo
2011/3/31 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com: Bem... Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro). Tá faltando uma raiz quadrada, senão você dobra os lados e multiplica por 16 a área... Eu voto por um triângulo bem conhecido, mas eu posso estar enganado... Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado, temos: ab+c (I). Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em (I) e no fato de que a é inteiro positivo: se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a área não é inteira, pela fórmula de Heron. se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4 tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8 Acho que é isso. Abraços. Hugo. Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.com escreveu: Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo
Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt( p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com escreveu: Bem... Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro). Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado, temos: ab+c (I). Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em (I) e no fato de que a é inteiro positivo: se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a área não é inteira, pela fórmula de Heron. se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4 tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8 Acho que é isso. Abraços. Hugo. Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.com escreveu: Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo
Têm razão... isso que dá confiar na memória... Desculpem o furo. Hugo. Em 31 de março de 2011 14:36, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.comescreveu: Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt( p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com escreveu: Bem... Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro). Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado, temos: ab+c (I). Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em (I) e no fato de que a é inteiro positivo: se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a área não é inteira, pela fórmula de Heron. se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4 tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8 Acho que é isso. Abraços. Hugo. Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.com escreveu: Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo
Amigos, Parece-me óbvio que a solução seja o conhecidíssimo triângulo retângulo 3, 4 e 5. Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Hugo Fernando Marques Fernandes Enviada em: 31 de março de 2011 15:59 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo Têm razão... isso que dá confiar na memória... Desculpem o furo. Hugo. Em 31 de março de 2011 14:36, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt( p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com escreveu: Bem... Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro). Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado, temos: ab+c (I). Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em (I) e no fato de que a é inteiro positivo: se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a área não é inteira, pela fórmula de Heron. se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4 tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8 Acho que é isso. Abraços. Hugo. Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.com escreveu: Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Área do tr iângulo
Sejam, a, b e c os lados do triángulo, então o quadrado da area pode ser expressa assim: Quadrado da area = p(p-a)(p-b)(p-c), onde p é o semi-perímetro =(a+b+c)/2 ou seja que aquele produto deve ser o quadrado de um número inteiro positivo. seja S=a+b+c o perímetro, então o quadrado da área é Quadrado da area = (S/2)(S/2 -a)(S/2 - b)(S/2 -c) então: 16 . quadrado da area = S(S-2a)(S-2b)(S-2c) Se S fosse ímpar, então o lado direito da igualdade seria ímpar, o qual é incorreto pois do lado esquerdo temos um par. então S deve ser par, ou seaj p=S/2 é um inteiro. Voltando ao quadrado da area: Quadrado da area = p(p-a)(p-b)(p-c) O primeiro fator (p) é a soma dos otros tres p = (p-a) + (p-b) + (p-c) então temos o problema de encontrar tres número inteiros que multiplicados por a soma deles o resultado é o quadrado de outro inteiro. Os mínimos números inteiros que cumprem isso são 1, 2 e 3, pois a soma é 6 e 1.2.3.6 = 36 (quadrado de um inteiro). então p-a=1 p-b=2 p-c=3 Resolvendo a=5, b=4, c=3 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 31 Mar 2011 19:34:01 +0300 Asunto : [obm-l] Área do tr iângulo Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área? __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo
Realmente a solução é o triângulo 3,4,5, que em área 6 Se A = raiz((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16), temos que todos os números são pares OU 2 números são ímparesO triângulo não é equilátero já que a A de um triêngulo equilátero é l²raiz(3)/4O triângulo não é isósceles já que a área de um triângulo isósceles de base a e lados b é a.h/2, sendo que h é um cateto do triângulo retângulo h, a/2, b e b é inteiro, logo o menor valor para h é 3 ou 4, cuja área excede 6Nenhum lado vale 1, já que em 1,x,y, y=x+1Nenhum lado vale 2, já que em 2,x,y, y=x+2 (já que se y=x+1, temos somente 1 número ímpar)Logo o menor valor de a,b,c é 3,4,5 []'sJoão From: bousk...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo Date: Thu, 31 Mar 2011 18:13:33 -0300 Amigos, Parece-me óbvio que a solução seja o conhecidíssimo triângulo retângulo 3, 4 e 5. Albert bouskelabousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Hugo Fernando Marques Fernandes Enviada em: 31 de março de 2011 15:59 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo Têm razão... isso que dá confiar na memória... Desculpem o furo. Hugo.Em 31 de março de 2011 14:36, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu:Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt( p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com escreveu: Bem... Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro). Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado, temos: ab+c (I). Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em (I) e no fato de que a é inteiro positivo: se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a área não é inteira, pela fórmula de Heron. se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4 tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8 Acho que é isso. Abraços. Hugo. Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.com escreveu: Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros positivos.Qual é o menor valor para a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Área
Calcular a área da superfície formada por: X ^ 2 + y ^ 2 = a ^2 e pelos planos z = 2x e z = 4x. Desde já agradeço. / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ || |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' Msn:[EMAIL PROTECTED] Telefone: (31) 9642-7061 - Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
[obm-l] ÁREA DA SECÇAO
Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta: Em R3, o plano de equação 2x 2y + z + 6 = 0 secciona a esfera que tem para sua superfície a equação x2 + y2 + z2 4x + 2z 20 = 0, então a área de tal secção vale: DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] ÁREA DA SECÇAO
Não consigo ler corretamente o que está escrito pois está faltando um sinal. A idéia básica é escrever a equação do plano como z=z(x,y), isto é, isola a variável z e substitui na equação da esfera. O resultado deve ser a equação de uma circunferência, que é a intersecção do plano com a esfera. Se não estou enganado (alguém pode corrigir, por favor) basta encontrar a área desta circunferência. É isso, Citando arkon [EMAIL PROTECTED]: Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta: Em R3, o plano de equação 2x 2y + z + 6 = 0 secciona a esfera que tem para sua superfície a equação x2 + y2 + z2 4x + 2z 20 = 0, então a área de tal secção vale: DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- Arlane Manoel S Silva MAT-IME-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] área
Por favor quem puder me dar uma ajuda, minha resposta não bate c/ o gabarito então estou em dúvida se estou fazendo errado. A diferença entre a medida da diagonal de um cubo e a medida da diagonal de uma face do mesmo cubo é 6cm. Determine a área total do cubo. Desde já agradeço. Anninha.
Re: [obm-l] área
Olá Anna. Bem na resposta eu encontrei 216( 5 + 2sqrt6) sqrt= raiz quadrada Qual a resposta q se encontra no gabarito? Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] área
Se a é a medida da aresta do cubo, então: a.(raiz de 3) - a.(raiz de 2) = 6 a.(raiz de 3 - raiz de 2) = 6 a = 6/(raiz de 3 - raiz de 2) A área total é igual a 6a^2, ou seja: A = 6.[6/(raiz de 3 - rai de 2)]^2 A = 6.[6.(rai de 3 + raiz de 2)]^2 A = 6.36.(3 + 2.(rai de 6) + 2) = 216.[5 +2.(raiz de 6)] = 1080 + 432.(raiz de 6) cm^2. Vanderlei- Mensagem Original -De: Anna Luisa <[EMAIL PROTECTED]>Data: Domingo, Abril 9, 2006 6:01 pmAssunto: [obm-l] áreaPara: obm-l@mat.puc-rio.br Por favor quem puder me dar uma ajuda, minha resposta não bate c/ o gabarito então estou em dúvida se estou fazendo errado. A diferença entre a medida da diagonal de um cubo e a medida da diagonal de uma face do mesmo cubo é 6cm. Determine a área total do cubo. Desde já agradeço. Anninha.
[obm-l] Re:[obm-l] Área do triângulo
No desenho ao lado, os segmentos e AB CD são perpendiculares ao segmento BC . Sabendo que o ponto M pertence ao segmento AD e que o triângulo BMC é retângulo não isósceles, qual é a área do triângulo ABM ? Vai sem figura mesmo que da para entender. Trace BN paralelo a AD e N pertencente ao segmento CD. Trace EM paralelo a CD e E pertencendo ao segmento BC. A intersecção de BN e EM é M' . Os triângulos BEM' e BCN são semelhantes , assim : 6/BE = 2/(EM - 2) equação (i). No triângulo retângulo BMC , temos : tg(BME) = tg(MCB) = BE/EM = EM/(6-BE) equação (ii). Mas , se olharmos para o que o problema quer ,fica: S(AMB) = S(trapézio BAME) - S(BME) , fazendo as contas em função de EM e BE , encontrará S(AMB) = BE . Resolvendo um sistema com as equações i e ii , encontraremos a seguinte equação: 10(BE)^2 - 42(BE) + 36 = 0 , o que da BE = 1,2 e Be = 3.Mas BE=3 , não pode , pq o problema diz que o triângulo BMC é retângulo não isosceles. Assim , S(AMB) = BE = 1,2 = 6/5 []'s Luiz H.
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Área do triângulo
Agradeço pela solução. Muito obrigado e abraços. On 12/11/05, Luiz H. Barbosa [EMAIL PROTECTED] wrote: No desenho ao lado, os segmentos e AB CD são perpendiculares ao segmento BC . Sabendo que o ponto M pertence ao segmento AD e que o triângulo BMC é retângulo não isósceles, qual é a área do triângulo ABM ? Vai sem figura mesmo que da para entender. Trace BN paralelo a AD e N pertencente ao segmento CD. Trace EM paralelo a CD e E pertencendo ao segmento BC. A intersecção de BN e EM é M' . Os triângulos BEM' e BCN são semelhantes , assim : 6/BE = 2/(EM - 2) equação (i). No triângulo retângulo BMC , temos : tg(BME) = tg(MCB) = BE/EM = EM/(6-BE) equação (ii). Mas , se olharmos para o que o problema quer ,fica: S(AMB) = S(trapézio BAME) - S(BME) , fazendo as contas em função de EM e BE , encontrará S(AMB) = BE . Resolvendo um sistema com as equações i e ii , encontraremos a seguinte equação: 10(BE)^2 - 42(BE) + 36 = 0 , o que da BE = 1,2 e Be = 3.Mas BE=3 , não pode , pq o problema diz que o triângulo BMC é retângulo não isosceles. Assim , S(AMB) = BE = 1,2 = 6/5 []'s Luiz H. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Área do triângulo
Olá, O exercício 17 do nível 3 na última edição da Eureka pede para calcular a área do triângulo ABM. Pensei como solução utilizar a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos da seguinte forma: cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sen(x)*sen(y), considerando como x = M^BC e y = A^BM (o acento circunflexo precede o ponto onde se forma o ângulo). Dessa forma como x+y = 90º, temos que cos(x+y) = 0 e segue que o sen(x)*sen(y) = cos(x)*cos(y). Dividindo ambos os lados da equação por cos(x)*cos(y), temos sen(x)*sen(y) / cos(x)*cos(y) = 1, ou seja, tg(x)*tg(y) = 1. Mas como o triângulo BMC é retângulo com ângulo reto no ponto M, y = 90-x. Assim, tg(x)*tg(90-x) = 1. O exercício informa que o triângulo BMC não é isósceles, o que faz x = 60º e y = 30º (x parece ser maior que y) e não 45º, pois x = y = 45º ou x = 60º e y = 30º (ou x = 30º e y = 60º) são soluções para essa equação. Utilizando a fórmula para cálculo da área de um triângulo a partir das medidas do lado AB = 2 e BM = 3 (BM calculado por relação de sen(30) = BM / 6) e do ângulo sen(y) = 1/2, calcula-se a área como 3/2. Infelizmente, a resposta do exercício no gabarito é 6/5. Gostaria de saber qual a solução para o problema. Abraços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Área entre curvas
on 30.04.05 13:57, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja C uma curva plana convexa e fechada (de classe C^1). Considere um segmento que desliza sobre C (com extremidades em C e comprimento fixo) até dar uma volta completa. Considere a curva K descrita por um ponto P do segmento, situado a distândias a e b das extremidades. Mostre que a área da região compreendida entre C e K é pi*a*b. []s, Daniel Legal esse problema. Aqui vai minha tentativa de solucao heuristica. Se C for uma circunferencia, a demonstracao sai facil usando a potencia de P em relacao a C. Naturalmente, P irah descrever uma circunferencia de raio d concentrica com C, cujo raio eh r. Chamando o segmento de XY e o diametro contendo P de AB, teremos: |XP|*|PY| = |AP|*|PB| == a*b = (r-d)*(r+d) == r^2-d^2 = a*b == Area Desejada = pi*(r^2 - d^2) = pi*a*b. Em particular, tomando um elemento de area dS, correspondente ao setor circular de C subtendido por um angulo dt, teremos que: dS = (1/2)*(r^2-d^2)*dt = (1/2)*a*b*dt. No caso geral, como C eh uma curva plana convexa fechada de classe C^1, ela eh localmente uma circunferencia (no sentido de que, para efeitos de calculo de curvatura e area, podemos desprezar os termos de ordem = 3), de modo que, no arco de C delimitado pelo segmento, vai existir um ponto A tal que A, P e O sao colineares (O = centro de curvatura relativo ao ponto A). A medida que o segmento desliza, o ponto A varia continuamente (pois C eh de classe C^1) e, apos uma volta completa (2pi radianos) do vetor curvatura (ligando A a O) volta a posicao original (pois C eh fechada). Alem disso, P ficarah sempre entre A e O (pois C eh convexa), de modo que o integrando (elemento de area) nunca muda de sinal, permanecendo sempre positivo. Dai, usando o resultado estabelecido pra circunferencias, achamos que a area desejada eh igual a: Integral(0...2pi) (1/2)*(r^2 - d^2)*dt = (1/2)*2*pi*a*b = pi*a*b. Agora, eh soh formalizar essa baboseira que eu escrevi acima. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Área
Maurizio ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: 1. Encontre um valor de a, de forma que a área S(A) limitada pelas curvas y=x^2(x-2) e y=ax(x-2), seja mínima. Assuma 0a2. Sejam y_1 = x^2(x-2), y_2 = ax(x-2) e f(x) = y_1 - y_2 = x(x-2)(x-a). Se x está em (0,a), f(x) 0 == y_1 y_2. Se x está em (a,2), f(x) 0 == y_2 y_1. Logo S(a) = integral(0,a)(f(x))dx - integral(a,2)(f(x))dx. Calculando, vem S(a) = (-1/6)a^4 + (2/3)a^3 - (4/3)a + (4/3) == S'(a) = (-2/3)*a^3 + 2a^2 - (4/3), que por sorte se anula em a = 1. A partir daí, vemos que as outras raízes são 1 + raiz(3) e 1 - raiz(3). Só nos interessa portanto a = 1. Como S''(a) = -2a^2 + 4a, tem-se S''(1) = 2 0, logo S(1) é ponto de mínimo. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Área
1. Encontre um valor de a, de forma que a área S(A) limitada pelas curvas y=x^2(x-2) e y=ax(x-2), seja mínima. Assuma 0a2. Tou chegando em valores complexos... Devo ter errado o raciocínio. Se algúem puder indicar pelo menos o raciocínio eu agradeço. Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área máxima
Oi, Domingos: Serah que nao tem uma demonstracao mais elementar disso? Sim, a sua dem. parece ser mais elementar... mas usar Lagrange também não é complicado, é bem fácil de calcular neste caso. Por exemplo, baseada no fato de que sen(2x) eh concava no intervalo (0,Pi/2). Podemos supor que os angulos sao tais que 0 x1 = x2 = ... = xn Pi/2. Assim, se x1 xn, entao sen(2*(x1 + xn)/2) (sen(2*x1) + sen(2*xn))/2, de modo que substituindo x1 e xn por (x1+xn)/2 e (x1+xn)/2, obteremos um valor maior para: SOMA(1=k=n) sen(2*xk), o que prova que a soma maxima ocorre quando os angulos sao todos iguais. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Área máxima
Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima inscrito numa
circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima e inscrito
numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado
Vamos ver se eu faço essa (nem sou mto forte em geometria, hehehe).
Se tivermos um polígono inscrito numa circ., podemos traçar linhas a
partir do centro até os vértices (essas linhas podem ser degeneradas e
coincidir com um lado do polígono).
Sejam então 2a_1, 2a_2, ..., 2a_k os k ângulos formados pelos triângulos
que consistem em um lado do polígono inscrito e dois lados são raios da
circ.
Se a circ. tem raio 1, um pouco de trigonometria nos diz que a área do
i-ésimo triângulo é dada por sen(a_1)cos(a_1) = sen(2a_1)/2.
Então temos a função f(a_1, ..., a_k) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i).
Desejamos maximizar f sujeito a restrição soma_{i=1}^k a_i = PI.
Utilizando Lagrange, temos a missão de maximizar
L(.) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i) - p[soma_{i=1}^k a_i]
del L / del a_i = cos(2a_i) - p
logo del L / del a_i = 0 = p = cos(2a_i)
como isso vale para todo i, temos que p = cos(2a_1) = ... = cos(2a_k)
como 2a_i = pi , a_1 = a_2 = ... = a_k, logo o polígono é regular.
acho que é isso!
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Área máxima
Oi, Domingos:
Serah que nao tem uma demonstracao mais elementar disso?
Por exemplo, baseada no fato de que sen(2x) eh concava no intervalo (0,Pi/2).
Podemos supor que os angulos sao tais que 0 x1 = x2 = ... = xn Pi/2.
Assim, se x1 xn, entao sen(2*(x1 + xn)/2) (sen(2*x1) + sen(2*xn))/2, de modo que substituindo x1 e xn por (x1+xn)/2 e (x1+xn)/2, obteremos um valor maior para:
SOMA(1=k=n) sen(2*xk), o que prova que a soma maxima ocorre quando os angulos sao todos iguais.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Sat, 03 Jul 2004 08:28:23 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Área máxima
Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima inscrito numa
circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima e inscrito
numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado
Vamos ver se eu faço essa (nem sou mto forte em geometria, hehehe).
Se tivermos um polígono inscrito numa circ., podemos traçar linhas a
partir do centro até os vértices (essas linhas podem ser degeneradas e
coincidir com um lado do polígono).
Sejam então 2a_1, 2a_2, ..., 2a_k os k ângulos formados pelos triângulos
que consistem em um lado do polígono inscrito e dois lados são raios da
circ.
Se a circ. tem raio 1, um pouco de trigonometria nos diz que a área do
i-ésimo triângulo é dada por sen(a_1)cos(a_1) = sen(2a_1)/2.
Então temos a função f(a_1, ..., a_k) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i).
Desejamos maximizar f sujeito a restrição soma_{i=1}^k a_i = PI.
Utilizando Lagrange, temos a missão de maximizar
L(.) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i) - p[soma_{i=1}^k a_i]
del L / del a_i = cos(2a_i) - p
logo del L / del a_i = 0 = p = cos(2a_i)
como isso vale para todo i, temos que p = cos(2a_1) = ... = cos(2a_k)
como 2a_i = pi , a_1 = a_2 = ... = a_k, logo o polígono é regular.
acho que é isso!
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Área máxima
Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima inscrito numa circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima e inscrito numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área máxima
Não consigo dizer se voce está certo ou errado. A conclusão está correta (a resposta é de fato o equilátero), mas eu pelo menos não consegui enxergar nenhuma ligação direta entre o fato de a área ser A = abc/4R e o seu máximo ser atingido no equilátero.. Por que o fato de se ter A = abc / 4r implica que A é máxima quando a=b=c??? Segue abaixo uma solucao para o caso geral. Dado um poligono convexo de n lados, chame de x_1, x_2, ..., x_n os angulos centrais que enxergam como cordas os lados do poligono. A area de cada triangulo formado por um lado e o centro da circunferencia eh (1/2)*(R^2)sen(x_k), de modo que a área total é: S = (1/2)*(R^2)*[sen(x_1)+sen(x_2)+...sen(x_n)] Como f(x) = senx tem segunda derivada f''(x) 0 em (0,pi) e todos os x_i estao nesse intervalo, a desigualdade de Jensen nos dá: [sen(x_1)+sen(x_2)+...+sen(x_n)]/n = sen[(x_1+x_2+...+x_n)/n] = sen(2pi/n), com igualdade sse x_1=x_2=...=x_n (e portanto o polígono é regular). Portanto, S = (1/2)*R^2*n*sen(2pi/n), com igualdade sse o polígono é regular. Isso responde a pergunta original, que perguntava como deve ser um polígono inscrito de área máxima. []s Marcio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, July 02, 2004 10:26 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Área máxima Caro, Igor Considere um triangulo de lados a , b e c , inscrito numa circunferencia de raio r , a área desse triangulo em funçao de r eh dada por A=a.b.c/4r , logo o triangulo terá área máxima quando a=b=c( Equilátero)se estou errado me corrijam por favor.( Igor se vv não souber de onde vem está fórmula da área me escreva que mandarei a desmostraçao para vc ok! ( [EMAIL PROTECTED] ) Espero ter ajudado. Cláudio Thor Citando Igor Oliveira [EMAIL PROTECTED]: Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima inscrito numa circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima e inscrito numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sat, 15 May 2004 15:59:13 -0400 Assunto: RE: [obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área From: biper [EMAIL PROTECTED] A área do seg. circ. corresponde à área do setor circular menos a àrea do triangulo isosceles formado. I) Area do setor 360 - pi.1^2 50 - S(1) S(1)=5pi/36 II) Area do tring. O triagulo tem lados 1 1 e angulo entre estes lados de 50°, logo S(2)=1.1.sen(50°)/2 III) Area do seg. circ. Portanto a àrea do segmento circular é S(1)-S(2) =5.pi/36-sen(50°)/2 =0.4361-0.3830=0.0531 Resposta b) Eu tb fiz assim , mas acho que isto caíu em algum concurso (ñ sei muito bem), e creio que a pessoa ñ teria acesso a seno de 50 graus, logo ñ teria um modo de descobrir o seno deste, geometricamente na figura? Um abraço Felipe Puts... e oke da nao ler a questao direito... mas como ja responderam so vou comentar quanto a nao saber o seno de 50. As opcoes todas te dao um intervalo, entao vo nao precisa saber o valor exato da area basta saber que S60 S50 S45 e estes sao angulos ki todo mundo sabe o seno Pô aí obrigadão, acho que eu fiquei meio eufórico depois de ter conseguido achar o sen e cos de 36 graus atrvé do pentágono, e quis fazer o mesmo e nem vi essa saída tão simples. Mas eu ainda fiquei meio grilado numa coisa: eu fiz aquele intervalo entre sen 45 e sen 60,e achei que 0,01S0,08, pode ser letra A ou B, e agora? Um abraço Felipe _ Watch LIVE baseball games on your computer with MLB.TV, included with MSN Premium! http://join.msn.click- url.com/go/onm00200439ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área
A área do seg. circ. corresponde à área do setor circular menos a àrea do triangulo isosceles formado. I) Area do setor 360 - pi.1^2 50 - S(1) S(1)=5pi/36 II) Area do tring. O triagulo tem lados 1 1 e angulo entre estes lados de 50°, logo S(2)=1.1.sen(50°)/2 III) Area do seg. circ. Portanto a àrea do segmento circular é S(1)-S(2) =5.pi/36-sen(50°)/2 =0.4361-0.3830=0.0531 Resposta b) -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Fri, 14 May 2004 22:34:06 -0400 Assunto: RE: [obm-l] área Ainda ñ consegui matar aquela segunda mais tõ tentando enquanto a origem, tb acho que foi de alguma obm só ñ sei o ano, se alguém descobrir me avisem. Hoje quando estava voltando para casa um amigo me propôs uma questão e fiquei meio em dúvida, aí vai: Seja S a área de um segmento circular de 50 graus, numa circunferência de raio unitário,pode-se afirmar que: a)0,02S0,04 b)0,04S0,09 c)0,09S0,70 d)0,25S0,30 S360 = 3.14 S50 = 0.44 opcao (c) Essa ñ seria a área do setor circular?,ele quer do segmento circular Um abraço Felipe Santana ___ _ _ Express yourself with the new version of MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click- url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ === = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = = ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: quot;obm-lquot; [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sat, 15 May 2004 11:00:14 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área A área do seg. circ. corresponde à área do setor circular menos a àrea do triangulo isosceles formado. I) Area do setor 360 - pi.1^2 50 - S(1) S(1)=5pi/36 II) Area do tring. O triagulo tem lados 1 1 e angulo entre estes lados de 50°, logo S(2)=1.1.sen(50°)/2 III) Area do seg. circ. Portanto a àrea do segmento circular é S(1)-S(2) =5.pi/36-sen(50°)/2 =0.4361-0.3830=0.0531 Resposta b) Eu tb fiz assim , mas acho que isto caíu em algum concurso (ñ sei muito bem), e creio que a pessoa ñ teria acesso a seno de 50 graus, logo ñ teria um modo de descobrir o seno deste, geometricamente na figura? Um abraço Felipe -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Fri, 14 May 2004 22:34:06 -0400 Assunto: RE: [obm-l] área Ainda ñ consegui matar aquela segunda mais tõ tentando enquanto a origem, tb acho que foi de alguma obm só ñ sei o ano, se alguém descobrir me avisem. Hoje quando estava voltando para casa um amigo me propôs uma questão e fiquei meio em dúvida, aí vai: Seja S a área de um segmento circular de 50 graus, numa circunferência de raio unitário,pode-se afirmar que: a)0,02S0,04 b)0,04S0,09 c)0,09S0,70 d)0,25S0,30 S360 = 3.14 S50 = 0.44 opcao (c) Essa ñ seria a área do setor circular?,ele quer do segmento circular Um abraço Felipe Santana ___ _ _ Express yourself with the new version of MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click- url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ === = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html === = = ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área
From: biper [EMAIL PROTECTED] A área do seg. circ. corresponde à área do setor circular menos a àrea do triangulo isosceles formado. I) Area do setor 360 - pi.1^2 50 - S(1) S(1)=5pi/36 II) Area do tring. O triagulo tem lados 1 1 e angulo entre estes lados de 50°, logo S(2)=1.1.sen(50°)/2 III) Area do seg. circ. Portanto a àrea do segmento circular é S(1)-S(2) =5.pi/36-sen(50°)/2 =0.4361-0.3830=0.0531 Resposta b) Eu tb fiz assim , mas acho que isto caíu em algum concurso (ñ sei muito bem), e creio que a pessoa ñ teria acesso a seno de 50 graus, logo ñ teria um modo de descobrir o seno deste, geometricamente na figura? Um abraço Felipe Puts... e oke da nao ler a questao direito... mas como ja responderam so vou comentar quanto a nao saber o seno de 50. As opcoes todas te dao um intervalo, entao vo nao precisa saber o valor exato da area basta saber que S60 S50 S45 e estes sao angulos ki todo mundo sabe o seno _ Watch LIVE baseball games on your computer with MLB.TV, included with MSN Premium! http://join.msn.click-url.com/go/onm00200439ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área
Okay, talvez seja interessante interpolar. Fazendo f(x)=sen(x) dai conhecemos f(45º) e f(60°) encontro o polinomio interpolador entre os pontos e calculo a aproximaçao, seria uma alternativa. -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: quot;obm-lquot; [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sat, 15 May 2004 11:00:14 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área A área do seg. circ. corresponde à área do setor circular menos a àrea do triangulo isosceles formado. I) Area do setor 360 - pi.1^2 50 - S(1) S(1)=5pi/36 II) Area do tring. O triagulo tem lados 1 1 e angulo entre estes lados de 50°, logo S(2)=1.1.sen(50°)/2 III) Area do seg. circ. Portanto a àrea do segmento circular é S(1)-S(2) =5.pi/36-sen(50°)/2 =0.4361-0.3830=0.0531 Resposta b) Eu tb fiz assim , mas acho que isto caíu em algum concurso (ñ sei muito bem), e creio que a pessoa ñ teria acesso a seno de 50 graus, logo ñ teria um modo de descobrir o seno deste, geometricamente na figura? Um abraço Felipe -- Início da mensagem original -- - De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Fri, 14 May 2004 22:34:06 -0400 Assunto: RE: [obm-l] área Ainda ñ consegui matar aquela segunda mais tõ tentando enquanto a origem, tb acho que foi de alguma obm só ñ sei o ano, se alguém descobrir me avisem. Hoje quando estava voltando para casa um amigo me propôs uma questão e fiquei meio em dúvida, aí vai: Seja S a área de um segmento circular de 50 graus, numa circunferência de raio unitário,pode-se afirmar que: a)0,02S0,04 b)0,04S0,09 c)0,09S0,70 d)0,25S0,30 S360 = 3.14 S50 = 0.44 opcao (c) Essa ñ seria a área do setor circular?,ele quer do segmento circular Um abraço Felipe Santana ___ _ _ Express yourself with the new version of MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click- url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ === = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html === = = ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux ___ _ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = = ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] área
é... isto é verdade... mais a exatidão sempre é preferível, mais nem sempre necessaria. outra forma é usar que sen x é aproximadamente a x radianos e usar a formula sen(45+5) From: biper [EMAIL PROTECTED] A área do seg. circ. corresponde à área do setor circular menos a àrea do triangulo isosceles formado. I) Area do setor 360 - pi.1^2 50 - S(1) S(1)=5pi/36 II) Area do tring. O triagulo tem lados 1 1 e angulo entre estes lados de 50°, logo S(2)=1.1.sen(50°)/2 III) Area do seg. circ. Portanto a àrea do segmento circular é S(1)-S(2) =5.pi/36-sen(50°)/2 =0.4361-0.3830=0.0531 Resposta b) Eu tb fiz assim , mas acho que isto caíu em algum concurso (ñ sei muito bem), e creio que a pessoa ñ teria acesso a seno de 50 graus, logo ñ teria um modo de descobrir o seno deste, geometricamente na figura? Um abraço Felipe Puts... e oke da nao ler a questao direito... mas como ja responderam so vou comentar quanto a nao saber o seno de 50. As opcoes todas te dao um intervalo, entao vo nao precisa saber o valor exato da area basta saber que S60 S50 S45 e estes sao angulos ki todo mundo sabe o seno ___ __ Watch LIVE baseball games on your computer with MLB.TV, included with MSN Premium! http://join.msn.click- url.com/go/onm00200439ave/direct/01/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] área
Ainda ñ consegui matar aquela segunda mais tõ tentando enquanto a origem, tb acho que foi de alguma obm só ñ sei o ano, se alguém descobrir me avisem. Hoje quando estava voltando para casa um amigo me propôs uma questão e fiquei meio em dúvida, aí vai: Seja S a área de um segmento circular de 50 graus, numa circunferência de raio unitário,pode-se afirmar que: a)0,02S0,04 b)0,04S0,09 c)0,09S0,70 d)0,25S0,30 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] área
Ainda ñ consegui matar aquela segunda mais tõ tentando enquanto a origem, tb acho que foi de alguma obm só ñ sei o ano, se alguém descobrir me avisem. Hoje quando estava voltando para casa um amigo me propôs uma questão e fiquei meio em dúvida, aí vai: Seja S a área de um segmento circular de 50 graus, numa circunferência de raio unitário,pode-se afirmar que: a)0,02S0,04 b)0,04S0,09 c)0,09S0,70 d)0,25S0,30 S360 = 3.14 S50 = 0.44 opcao (c) _ Express yourself with the new version of MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Área do Triângulo
Renato, Embora não haja como fazer um esboço do problema, tentareidescrever ao máximo omeu raciocínio. Após a construção da figura, teremos um quadrilátero BPNC. Sabemos da Geometria que os ângulos BCN e BPN são suplementares. Mas BCN é reto, pois C é vértice do quadrado ABCD. Logo, o ângulo BPN também é reto. Como AB = BC = CD = AD, os pontos M e N dividem AD e CD em segmentos de mesma medida.ABé congruente a AD, o ângulo BAM é congruente ao ângulo ADN, AM é congruente a DN,logo os triângulos retângulos BAM e ADN são congruentes, pelo critério de congruência LAL. Dessa forma,ANé congruente aBM. Tomandoa medida do lado do quadrado ABCDpor L e aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BAM, teremos: (BM)^2 = (AM)^2 + (AB)^2= (L/2)^2 + (L)^2 = BM = 5*sqrt(L)/2 Observando que o segmento AP é altura do triângulo retângulo BAM, pois os ângulos APM e BPN são opostos pelo vértice P, aplicaremos a relação que diz algo como "o produto dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao produto da sua hipotenusae da altura (em relação à hipotenusa)": AB*AM = BM*AP = L*L/2 = 5*sqrt(L)/2*AP = AP = L*sqrt(L)/5 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo APM: (AP)^2 + (PM)^2= (AM)^2 = [L*sqrt(L)/5]^2 + (PM)^2 = (L/2)^2 = PM = L*sqrt(25-4L)/10 Por fim, a área A do triângulo APM será a metade do produto de seus catetos: A = AP*PM/2 = [L*sqrt(25-4L)/10]*[L*sqrt(L)/5]/2 = L^2*sqrt(25L-4L^2)/100 Visto que o enunciado solicita a área A em função de S e S = L^2, temos: A = S*sqrt[25*sqrt(S)-4S]/100 É uma bonita questão, espero que a resolução esteja correta. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Renato de Brito To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 11, 2004 2:15 PM Subject: [obm-l] Área do Triângulo Ola! Gostaria que os amigos tentassem resolver esta questão. ABCD é um quadrado de área S.Traça-se BM com M sendo o ponto médio do lado AD, traça-se também AN com N sendo o ponto médio do lado DC.Seja P o ponto de encontro dos segmentos BM e AN, calcule a área do triângulo APM em função de S.
[obm-l] Re: [obm-l] Área Lateral de Pirâmide
Olá Cláudio, fiz assim: Sem perda de generalidade podemos considerar que a base da pirâmide está sobre o plano x-y e o centro da base da pirâmide está na origem do eixo cartesiano . Logo temos que as coordenadas do pontos A,B,C e D do quadrado da base podem ser: A(a,a,0) B(a,-a,0) C(-a,-a,0) D(-a,a,0) Seja a coordenada do vertice:V(x,y,z) Teremos como área lateral quatro triangulos: VAB, VBC, VCD e VAD Logo a area lateral S é a soma das areas desses 4 triangulos. Usando G.A. temos area(VAB)=a^2*|z| area(VBC)=a^2*|z| area(VCD)=a^2*|z| area(VAD)=a^2*|z| Somando-se as areas temos 4*a^2*|z|=S =|z|=S/(4*a^2) logo LG do vértice são dois planos paralelos ao plano xy passando por z=S/(4*a^2) e z=-S/(4*a^2) Qualquer erro me avisem Abraço Anderson -- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Pessoal: O meu outro e-mail deve estar com algum problema - desculpem a chateacao. Aqui vai de novo... ligeiramente reformulado pra facilitar as contas. O problema abaixo é baseado no 3o. problema da Olimpíada Paulista de Matemática desse ano. Dado um quadrado ABCD, de lado 2a, determine o lugar geométrico dos vértices das pirâmides que têm ABCD como base e área lateral constante e igual a S. (a, S: reais positivos). Um abraço, Claudio. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área Lateral de Pirâmide
Anderson . . as áreas dos triângulos não são necessariamente iguais. Isto só ocorre quando a pirâmide é regular. valeu . . fui! Anderson [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Cláudio,fiz assim:Sem perda de generalidade podemos considerar que a base da pirâmide está sobre o plano x-y e o centro da base da pirâmide está na origem do eixo cartesiano .Logo temos que as coordenadas do pontos A,B,C e D do quadrado da base podem ser:A(a,a,0)B(a,-a,0)C(-a,-a,0)D(-a,a,0)Seja a coordenada do vertice:V(x,y,z)Teremos como área lateral quatro triangulos: VAB, VBC, VCD e VADLogo a area lateral S é a soma das areas desses 4 triangulos.Usando G.A. temosarea(VAB)=a^2*|z|area(VBC)=a^2*|z|area(VCD)=a^2*|z|area(VAD)=a^2*|z|Somando-se as areas temos4*a^2*|z|=S=|z|=S/(4*a^2)logo LG do vértice são dois planos paralelos ao plano xy passando por z=S/(4*a^2) e z=-S/(4*a^2)Qualquer erro me avisemAbraço Anderson-- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Oi, Pessoal: O meu outro e-mail deve estar com algum problema - desculpem a chateacao. Aqui vai de novo... ligeiramente reformulado pra facilitar as contas. O problema abaixo é baseado no 3o. problema da Olimpíada Paulista de Matemática desse ano. Dado um quadrado ABCD, de lado "2a", determine o lugar geométrico dos vértices das pirâmides que têm ABCD como base e área lateral constante e igual a "S". (a, S: reais positivos). Um abraço, Claudio.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Área Lateral de Pirâmide
Olá Cláudio, meu nome eh André. Fiz recentemente a OPM no nível beta tendo obtido medalha de prata. Como naum me lembro desse problema no nível betanem no nível gama suponho q ele seja do nível alpha. É muito difícil calcular a área das laterais da pirâmide sem a medida da altura da pirâmide como vc naum dá a altura vamos chama-la simplesmente de h(p) (de pirâmide) h(p)²+a²=h(l)² (por ser a altura do triangulo lateral) h(l)=raiz de(h(p)²+a²) área do triângulo lateral=base.altura/2 2a.(h(p)²+a²)/2=A A=h(p)²a+a³ Temos a área em função da altura. Existe algum jeito de calcular sem a altura? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Pessoal:O meu outro e-mail deve estar com algum problema - desculpem a chateacao.Aqui vai de novo... ligeiramente reformulado pra facilitar as contas.O problema abaixo é baseado no 3o. problema da Olimpíada Paulista deMatemática desse ano.Dado um quadrado ABCD, de lado "2a", determine o lugar geométrico dosvértices das pirâmides que têm ABCD como base e área lateral constante eigual a "S".(a, S: reais positivos).Um abraço,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Área Lateral de Pirâmide
Oi, Pessoal: O meu outro e-mail deve estar com algum problema - desculpem a chateacao. Aqui vai de novo... ligeiramente reformulado pra facilitar as contas. O problema abaixo é baseado no 3o. problema da Olimpíada Paulista de Matemática desse ano. Dado um quadrado ABCD, de lado 2a, determine o lugar geométrico dos vértices das pirâmides que têm ABCD como base e área lateral constante e igual a S. (a, S: reais positivos). Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Área de quadrados
Este problema é da 3º fase da OBM do nível 3, mas eu não entendi a complexidade. Parece tão simples e óbvio que eu acho que não entendi direito o quea questão pede. Temos um número finito de quadrados, de área total 4. Prove que é possível arranjá-los de modoa cobrir um quadrado de lado 1. OBS: É permitido sobrepor quadrados e parte deles pode ultrapassar os limites do quadrado a ser coberto. Giselle :-)
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua
Desculpe então Marcos, pois só faço parte da lista desde a segunda semana de setembro e como eu havia dito não sabia se o problema já tinha aparecido ou não. Não estou decepcionado pela aparição das funções inversas, só queria ter certeza que seria necessário usá-las na resposta final do problema. Quanto a notação que usei para elas, realmente admito que não é a correta, mas creio que deu pra entender o sentido que eu quis passar. A propósito, obrigado por ratificar o aparecimento das funções trigonométricas inversas. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 22:31 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua Antes de começar eu não sou o Marcos que é citado na resposta .. Também não vou resolver porque pelo jeito o problema já foi resolvido na lista pelo Cláudio. Eu soh queria mesmo comentar que esta eh a quinta vez que esse problema me aparece ESSE ano (nunca tinha aparecido antes...) e nas quatro vezes anteriores quando eu mostrei a solução TODOS fizeram a mesma pergunta como se tivessem ficado decepcionados pela aparição das funções trigonométricas inversas. Somente um detalhe POQ e PBQ eh q são os arcos cujos cossenos/senos/tangentes são descobertos no meio das contas feitas pra resolver o problema .. não tem muito sentido Arctan(PBQ) como está escrito na sua msg.. o q faz sentido eh Arctan(x) = PBQ. []'s MP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Douglas Ribeiro Silva Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 22:10 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua Marcos, fiz uma breve figura no PaintBrush mesmo mas espero que dê para entender o propósito da questão... http://www.klystron.kit.net/lua.jpg A área da Lua que eu citei é a área que está em cinza. A propósito Cláudio... a resposta final do problema tem realmente que ficar em função do arccos/sen/tg de POQ e PBQ? Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Braga Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 18:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Área da Lua Douglas , Eu não estou conseguindo visualizar a fugura , digo, um arco de circunferência de A para C com centro em B , teria como me ajudar ou enviar a figura ou um site que tnha a mesma ? Abçs , Marcos At 03:01 25/10/2003 -0300, you wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Área da Lua
Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Área da Lua
on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. Caro Douglas: Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas. Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos de interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de C). Seja 2a o comprimento do lado do quadrado. Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os triangulos OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos correspondentes. * Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais vertices tenham por coordenadas: A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2)) O arco centrado em B tem equacao: y1 = raiz(4a^2 - x^2) O arco relevante da circunferencia inscrita eh: y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2) Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b, digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área da Lua
BP = BA = raio do arco centrado em B = lado do quadrado on 25.10.03 12:09, Giselle at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como vc chegou a conclusão de que PB=2a? - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, October 25, 2003 11:21 AM Subject: Re: [obm-l] Área da Lua on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. Caro Douglas: Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas. Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos de interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de C). Seja 2a o comprimento do lado do quadrado. Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os triangulos OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos correspondentes. * Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais vertices tenham por coordenadas: A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2)) O arco centrado em B tem equacao: y1 = raiz(4a^2 - x^2) O arco relevante da circunferencia inscrita eh: y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2) Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b, digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Área da Lua
Douglas , Eu não estou conseguindo visualizar a fugura , digo, um arco de circunferência de A para C com centro em B , teria como me ajudar ou enviar a figura ou um site que tnha a mesma ? Abçs , Marcos At 03:01 25/10/2003 -0300, you wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua
Marcos, fiz uma breve figura no PaintBrush mesmo mas espero que dê para entender o propósito da questão... http://www.klystron.kit.net/lua.jpg A área da Lua que eu citei é a área que está em cinza. A propósito Cláudio... a resposta final do problema tem realmente que ficar em função do arccos/sen/tg de POQ e PBQ? Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Braga Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 18:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Área da Lua Douglas , Eu não estou conseguindo visualizar a fugura , digo, um arco de circunferência de A para C com centro em B , teria como me ajudar ou enviar a figura ou um site que tnha a mesma ? Abçs , Marcos At 03:01 25/10/2003 -0300, you wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua
Antes de começar eu não sou o Marcos que é citado na resposta .. Também não vou resolver porque pelo jeito o problema já foi resolvido na lista pelo Cláudio. Eu soh queria mesmo comentar que esta eh a quinta vez que esse problema me aparece ESSE ano (nunca tinha aparecido antes...) e nas quatro vezes anteriores quando eu mostrei a solução TODOS fizeram a mesma pergunta como se tivessem ficado decepcionados pela aparição das funções trigonométricas inversas. Somente um detalhe POQ e PBQ eh q são os arcos cujos cossenos/senos/tangentes são descobertos no meio das contas feitas pra resolver o problema .. não tem muito sentido Arctan(PBQ) como está escrito na sua msg.. o q faz sentido eh Arctan(x) = PBQ. []'s MP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Douglas Ribeiro Silva Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 22:10 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua Marcos, fiz uma breve figura no PaintBrush mesmo mas espero que dê para entender o propósito da questão... http://www.klystron.kit.net/lua.jpg A área da Lua que eu citei é a área que está em cinza. A propósito Cláudio... a resposta final do problema tem realmente que ficar em função do arccos/sen/tg de POQ e PBQ? Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Braga Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 18:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Área da Lua Douglas , Eu não estou conseguindo visualizar a fugura , digo, um arco de circunferência de A para C com centro em B , teria como me ajudar ou enviar a figura ou um site que tnha a mesma ? Abçs , Marcos At 03:01 25/10/2003 -0300, you wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] área
Olá! Use a fórmula de distância de pontos. Assim vc irá achar a medida do lado e, consequentemente, o perímetro. No caso da área, lembre-se q é o semiproduto das diagonais. Fui! Tertuliano Carneiro. elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Encontre a área e o perímetro de um losango cujosvértices são os pontos (1,2),(4,0),(7,2) e (4,4) ?___Busca Yahoo!O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internethttp://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] área
Se a área de um triangulo permanecer igual, como se modificará a base se a altura aumentar 25%? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] área
Encontre a área e o perímetro de um losango cujos vértices são os pontos (1,2),(4,0),(7,2) e (4,4) ? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] área
Encontre a mediada das 3 alturas de um triangulo cujos lados medem 5, 7 e cuja área é 4 rais de 6 cm quadrados? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] área
[EMAIL PROTECTED] wrote: Se a área de um triangulo permanecer igual, como se modificará a base se a altura aumentar 25%? Caro Elton e demais coLegas da Lista, Sejam A1 e H1 as medidas iniciais da base e da altura do trilângulo, e A2 e H2 as medidas finais, por hipótese, A1*H1 = A2*H2 (1) e H2 = 1,25*H1 (2) (ou seja, 125% de H1). De(2) em (1), A2*1,25*H1 = A1*H1 e segue que A2 = (4/5)A1. Logo, a base diminuirá 20%. Um abraço __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] área
As áreas de 2 triangulos estão na razão de 3/4. Em que razão estão seus perímetros? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] área
Vc não tenta fazer os exercícios, não From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] área Date: Sun, 2 Feb 2003 14:13:09 -0300 (ART) Encontre a mediada das 3 alturas de um triangulo cujos lados medem 5, 7 e cuja área é 4 rais de 6 cm quadrados? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] área de figuras planas
Observe que [ADC]=[BDC], pois estes triângulos possuem bases e alturas congruentes. [BDC]=96/2=48. BF=BC/2 BE=BD/2 === EF é a base média do triângulo BDC = BEF ~ BDC = [BEF]=1/4 [BDC] = 1/4×48 = 12 [ABF] = [ACF] = 96/2 = 48 [AEF] = [ABF] - [BEF] = 48 -12 = 36 Original Message Follows From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] área de figuras planas Date: Tue, 14 Jan 2003 22:30:00 EST Olá pessoal, Obs: A questão que estou com dúvidas possui uma figura, mas é bem fácil de esboçar, apenas imagine um triângulo de base AB (A do lado esquerdo) . Pronto! Somente com esta informação vcs serão capazes de entender, pois o enunciado dirá o resto. (CESGRANRIO) Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale : Resp: 36 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] área de figuras planas
Olá pessoal,
Obs: A questão que estou com dúvidas possui uma figura, mas é bem fácil de esboçar, apenas imagine um triângulo de base AB ("A" do lado esquerdo) . Pronto! Somente com esta informação vcs serão capazes de entender, pois o enunciado dirá o resto.
(CESGRANRIO) Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, "conforme se vê na figura". Se a área do triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale :
Resp: 36
[obm-l] Re: [obm-l] área lateral de um cone
Faça um "corte" no cone segundo alguma geratriz e "desenrole-o" (fazendo assim a tão chamada planificação - termo mais chique mas muito menos intuitivo do que "cortar e desenrolar"). Esqueça a base (que não contribui para a área lateral). Você vai ter umsetor circular de raio = g (geratriz) e cujo setor da circunferência correspondente tem comprimento igual ao perímetro da base: 2*pi*R (R = raio da base). Imagino que você conheça as fórmulas de Setor Circular: Comprimento do Setor = Raio do Setor * Ângulo Central Área do Setor = 1/2 * Raio do Setor^2 * Angulo Central Agora: Comprimento do Setor = 2*pi*R Raio do Setor = g Portanto: Ângulo Central = 2*pi*R/g Ou seja, Área do Setor = 1/2 * g^2 * 2*pi*R/g = 1/2 * 2*pi*R*g Mas Área do Setor = Área Lateral do Cone. Assim: Área Lateral do Cone = 1/2 * 2*pi*R*g OBS: A dedução acima só vale para o caso de um cone circular reto. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 4:12 AM Subject: [obm-l] área lateral de um cone Alguns livros de matemática do ensino médio, normalmente trazem aquelas explicações do por quê de tais fórmulas, explicando suas origens e evitando que o aluno decore, mas sim entenda. Um exemplo disso é a explicação da fórmula da área lateral de um cone que fazendo a planificação da para provar a fórmula: Área lateral =1/2 * 2piR *g , que simplificando resulta em S lateral= piR.g. O que eu não entendi foi da onde "saiu" o fator 1/2
[obm-l] Re: [obm-l] área lateral de um cone
Caro amigo , proponho aqui uma demonstração onde não aparece esse 1/2 ; A área lateral (Al) , vai ser dada pela divisão da área total da circunferência de raio g (Pi.g²) , pela razão do comprimento total da circunferência de raio g ( 2.Pi.g ) e o comprimento da base do cone - uma circunferência de raio r - , (2.Pi.r); I ) Al = [Pi.g²]/Razão II ) Razão = [2.Pi.g]/[2.Pi.r]= g/r Substituindo em I , temos: Al =[Pi.g²]/[g/r]= [Pi.g².r]/g Al = Pi.r.g Fiz bem devegar para um melhor entendimento . Espero que tenha ajudado . Um abraço . Rick. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] área lateral de um cone
Alguns livros de matemática do ensino médio, normalmente trazem aquelas explicações do por quê de tais fórmulas, explicando suas origens e evitando que o aluno decore, mas sim entenda. Um exemplo disso é a explicação da fórmula da área lateral de um cone que fazendo a planificação da para provar a fórmula: Área lateral =1/2 * 2piR *g , que simplificando resulta em S lateral= piR.g. O que eu não entendi foi da onde "saiu" o fator 1/2
[obm-l] RES: [obm-l] área do qudrilátero
Sugestao (complete-a!): A ideia eh calcular soh a area de BGF (metade de S); de fato, use que S(BGF)/S(BMD) = BG/BM . BF/BD onde S(BMD) = S/4 é conhecida. (i) Como calcular BG/BM?? Olhe o triangulo retangulo BCM, mostre que CG é altura. A partir daí, sai via relações métricas no triângulo retângulo. (ii) Como calcular BF/BD ?? Essa é um tiquinho mais difícil... Eu faria pelo Teorema de Menelaus no triangulo BMD com secante CGF... Daí você tira FB/FD e, consequentemente, BF/BD. Esse é o jeito que eu vi mais rápido... Divirta-se!! :) Abraço, Ralph -Mensagem original- De: Rafael WC [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: terça-feira, 4 de junho de 2002 20:01 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] área do qudrilátero Olá Pessoal! Esta aqui também não estou vendo o caminho. Aluma dica? Tem-se um quadrado ABCD de área S. Une-se os vértices A e B ao ponto médio M do lado CD, e une-se os vértices B e C ao ponto médio N do lado AD. O segmento AM intercepta os segmentos BN e CN nos pontos E e F, respectivamente, e o segmento BM intercepta o segmento CN no ponto G. Calcule a área do quadrilátero BEFG em função de S. Resposta: 4S/15 Se aluém puder ajudar... Obrigado, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] área do qudrilátero
Bom, como ninguem ainda respondeu esse de maneira melhor, eu digo que fiz
usando coordenadas. Nao deve ter levado mais de 5 minutos, mas uma solucao
sintetica eh sempre mais bonita q uma analitica, entao tb gostaria de saber
se alguem fez sem apelar pro uso de coordenadas.
Sejam DC e DA os eixos x e y do plano cartesiano, e a o lado do quadrado.
O ponto F eh o unico incidente com as retas BD e AM, q sao representadas
pelos conjuntos de pontos {(x,y): y=x} e {(x,y): y=-2x+a}; logo F=(a/3,a/3).
Do mesmo jeito, E eh o pto incidente com BN e AM, i.e, suas coordenadas
satisfazem y=x/2+a/2 e y=-2x+a, donde E=(a/5,3a/5).
Vc conhece a formula p/ area dum triangulo, dadas as coordenadas de seus
vertices? A area do triangulo ABC, onde A=(xA,yA), B=(xB,yB) e C=(xC,yC) eh
igual a 1/2*modulo(det{ [xA,yA,1], [xB,yB,1], [xC,yC,1] }).
Entao, como jah temos as coordenadas dos pontos B,E,F, podemos descobrir a
area do triangulo BEF fazendo essa continha, onde a^2=S. Chegamos em 2S/15.
Por simetria, a area do triangulo BGF eh a mesma (se vc considera por
simetria um argumento muito vago, veja q a reflexao em torno da reta BD eh
uma isometria q leva E em G). Agora eh soh somar essas duas areas.
David
Olá Pessoal!
Esta aqui também não estou vendo o caminho. Aluma
dica?
Tem-se um quadrado ABCD de área S. Une-se os vértices
A e B ao ponto médio M do lado CD, e une-se os
vértices B e C ao ponto médio N do lado AD. O segmento
AM intercepta os segmentos BN e CN nos pontos E e F,
respectivamente, e o segmento BM intercepta o segmento
CN no ponto G. Calcule a área do quadrilátero BEFG em
função de S.
Resposta: 4S/15
Se aluém puder ajudar...
Obrigado,
Rafael.
=
Rafael Werneck Cinoto
ICQ# 107011599
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
http://www.rwcinoto.hpg.com.br/
__
Do You Yahoo!?
Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup
http://fifaworldcup.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] área do qudrilátero
Olá Pessoal! Esta aqui também não estou vendo o caminho. Aluma dica? Tem-se um quadrado ABCD de área S. Une-se os vértices A e B ao ponto médio M do lado CD, e une-se os vértices B e C ao ponto médio N do lado AD. O segmento AM intercepta os segmentos BN e CN nos pontos E e F, respectivamente, e o segmento BM intercepta o segmento CN no ponto G. Calcule a área do quadrilátero BEFG em função de S. Resposta: 4S/15 Se aluém puder ajudar... Obrigado, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
