[obm-l] Re: limite de idade OBMU
ah, podem ignorar essa pergunta. eu já perguntei isso antes aqui e fui respondido. Em seg., 17 de jun. de 2024 às 12:55, Luiz Eduardo Ardovino < luizeduardoardov...@gmail.com> escreveu: > Olá a todos, Bom dia/tarde/noite. > > Há algum limite de idade para alguém participar da OBMU? > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] limite de idade OBMU
Olá a todos, Bom dia/tarde/noite. Há algum limite de idade para alguém participar da OBMU? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] [obm - l] Re: Limite
> Sendo (a_n) o ln da sequência dada, então > > a_n = 1/n ln(n!/n^n) = -1/n [-ln(1/n) - ln(2/n) - ln(n/n)] > > Temos uma sequência de somas inferiores de Riemann sobre [0, 1] da função > -ln, correspondente a uma partição de norma 1/n ---> 0. Conforme sabemos da > Análise, se a integral imprópria desta funçao sobre [0, 1] convergir, então > as somas inferiores convergirão para esta integral. E isto de fato ocorre, > pois > > Int [0, 1] lnx dx = [x lnx - x] [0, 1] = 1 * 0 - 1 - (0 - 0) = -1, visto que > lim x ---> 0+ x lnx = 0. Logo, a_n ---> -1e sua sequência converge para > e^(-1) = 1/e > > Artur Enviado do meu iPad -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Fwd: [obm-l] Limite
> Assunto: Re: [obm-l] Limite > > > Sendo (a_n) o ln da sequência dada, então > > a_n = 1/n ln(n!/n^n) = -1/n [-ln(1/n) - ln(2/n) - ln(n/n)] > > Temos uma sequência de somas inferiores de Riemann sobre [0, 1] da função > -ln, correspondente a uma partição de norma 1/n ---> 0. Conforme sabemos da > Análise, se a integral imprópria desta funçao sobre [0, 1] convergir, então > as somas inferiores convergirão para esta integral. E isto de fato ocorre, > pois > > Int [0, 1] lnx dx = [x lnx - x] [0, 1] = 1 * 0 - 1 - (0 - 0) = -1, visto que > lim x ---> 0+ x lnx = 0. Logo, a_n ---> -1e sua sequência converge para > e^(-1) = 1/e > > Artur > > Em 19 de mar de 2018 19:17, "Carlos Victor" <victorcar...@globo.com> escreveu: > Oi Vanderlei, > > Use a equivalência de Stirling : > > n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: > >> Bom dia! >> Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. >> >> Alguém conhece alguma solução? >> >> lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. >> >> Muito obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
Sendo (a_n) o ln da sequência dada, então a_n = 1/n ln(n!/n^n) = -1/n [-ln(1/n) - ln(2/n) - ln(n/n)] Temos uma sequência de somas inferiores de Riemann sobre [0, 1] da função -ln, correspondente a uma partição de norma 1/n ---> 0. Conforme sabemos da Análise, se a integral imprópria desta funçao sobre [0, 1] convergir, então as somas inferiores convergirão para esta integral. E isto de fato ocorre, pois Int [0, 1] lnx dx = [x lnx - x] [0, 1] = 1 * 0 - 1 - (0 - 0) = -1, visto que lim x ---> 0+ x lnx = 0. Logo, a_n ---> -1e sua sequência converge para e^(-1) = 1/e Artur Em 19 de mar de 2018 19:17, "Carlos Victor" <victorcar...@globo.com> escreveu: Oi Vanderlei, Use a equivalência de Stirling : n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. Abraços Carlos Victor Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: Bom dia! Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. Alguém conhece alguma solução? lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. Muito obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
Oi Vanderlei, Use a equivalência de Stirling : n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. Abraços Carlos Victor Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. > > Alguém conhece alguma solução? > > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. > > Muito obrigado! > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
Seja X(n) = n!/n^n Você quer lim X(n)^(1/n). Sabe-se que: liminf X(n+1)/X(n) <= liminf X(n)^(1/n) <= limsup X(n)^(1/n) <= limsup X(n+1)/x(n) (&) (vide Curso de Análise, do Elon - cap. 4, se não me engano). X(n+1) = (n+1)!/(n+1)^(n+1) ==> X(n+1)/X(n) = (n+1)!/n! * n^n/(n+1)^(n+1) = (n+1) * (n/(n+1))^n * 1/(n+1) = (n/(n+1))^n = 1/(1+1/n)^n -> 1/e. Logo, as extremidades de (&) são iguais a 1/e e, portanto, todos os termos são iguais a 1/e. []s, Claudio. 2018-03-19 13:14 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: > Obrigado! Mesmo assim, se alguém puder postar a resolução... > > Em seg, 19 de mar de 2018 13:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2018-03-19 12:27 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: >> > Bom dia! >> > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei >> 1/e. >> > >> > Alguém conhece alguma solução? >> > >> > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. >> >> Eu imagino que seja para usar a equivalência entre o teste da raiz e o >> teste da razão. >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
Obrigado! Mesmo assim, se alguém puder postar a resolução... Em seg, 19 de mar de 2018 13:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2018-03-19 12:27 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: > > Bom dia! > > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. > > > > Alguém conhece alguma solução? > > > > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. > > Eu imagino que seja para usar a equivalência entre o teste da raiz e o > teste da razão. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
2018-03-19 12:27 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: > Bom dia! > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. > > Alguém conhece alguma solução? > > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. Eu imagino que seja para usar a equivalência entre o teste da raiz e o teste da razão. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Limite
Bom dia! Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. Alguém conhece alguma solução? lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. Muito obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: Limite probabilístico - modelo para determinação da FDP de um determinado sexo na população
Deixando mais claro, sendo [cid:dc797443-6191-4b23-942e-d1d7e4c6ad65] Calcule k e L(a) De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> Enviado: sábado, 10 de março de 2018 20:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Limite probabilístico - modelo para determinação da FDP de um determinado sexo na população Tudo bem galera? Ontem me fizeram a seguinte pergunta: A distribuição por sexo no mundo é praticamente 50% de homens e mulheres. Entretanto existem mais homens (50.4%) do que mulheres (49.6%). considerando ser 50% a chance de um indivíduo ser homem ou mulher, qual seria a possibilidade de a quantidade de homens estar entre (49,9% e 50,1%) para uma população de 7 bilhões de pessoas. Eu elaborei mais um pouco e tentei chegar num problema mais geral: a) Existe algum k tal que L = lim (n->inf) do somatório de i = -n^k até n^k de B(n, n/+i) esteja entre 0 e 1? b) Se sim, calcule k e L B(n, b) = n!/(n-b)!b ! Tentei resolver mas não consegui, alguém poderia me ajudar ocm isso? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite probabilístico - modelo para determinação da FDP de um determinado sexo na população
Tudo bem galera? Ontem me fizeram a seguinte pergunta: A distribuição por sexo no mundo é praticamente 50% de homens e mulheres. Entretanto existem mais homens (50.4%) do que mulheres (49.6%). considerando ser 50% a chance de um indivíduo ser homem ou mulher, qual seria a possibilidade de a quantidade de homens estar entre (49,9% e 50,1%) para uma população de 7 bilhões de pessoas. Eu elaborei mais um pouco e tentei chegar num problema mais geral: a) Existe algum k tal que L = lim (n->inf) do somatório de i = -n^k até n^k de B(n, n/+i) esteja entre 0 e 1? b) Se sim, calcule k e L B(n, b) = n!/(n-b)!b ! Tentei resolver mas não consegui, alguém poderia me ajudar ocm isso? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de sucessão
Bom dia. Uma dúvida. Questão do Ita. 10^5cosx^3 é par? Enviado do meu iPhone > Em 22 de mar de 2017, às 22:44, Anderson Torres > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > Em 21 de março de 2017 17:42, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com> escreveu: >> Caros Colegas, >> >> Como provar o teorema abaixo? >> >> "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então >> nenhum >> dos seus termos é maior do que L." > > A sequência é crescente, logo a(M) >= a(N) se M>N > > Se a(N) >C para um determinado N, então, para todo M>N vale a(M)>C. > > Se o limite de a(N) é L, significa que para todo e>0, existe N(e) tal > que, se m>N(e) então L-e <= a(N) <= L+e. > > Assim, temos C < a(N) < L+e para todo e. Portanto, L>C, pois se L > fosse menor que C, poderÃamos escolher um valor de (e) que L+e < C > (digamos, o ponto médio entre L e C, e=(C-L)/2). > > Feito! > > >> Agradeço-lhes a atenção. >> >> Pedro Chaves >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Limite de sucessão
Em 21 de março de 2017 17:42, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com> escreveu: > Caros Colegas, > > Como provar o teorema abaixo? > > "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então nenhum > dos seus termos é maior do que L." > A sequência é crescente, logo a(M) >= a(N) se M>N Se a(N) >C para um determinado N, então, para todo M>N vale a(M)>C. Se o limite de a(N) é L, significa que para todo e>0, existe N(e) tal que, se m>N(e) então L-e <= a(N) <= L+e. Assim, temos C < a(N) < L+e para todo e. Portanto, L>C, pois se L fosse menor que C, poderíamos escolher um valor de (e) que L+e < C (digamos, o ponto médio entre L e C, e=(C-L)/2). Feito! > Agradeço-lhes a atenção. > > Pedro Chaves > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Limite de sucessão
E ai, cara. Tudo bem? Uma forma de vc pensar é essa: A sua sequência crescente (a_n) converge para L. Suponha que exista m tal que a_m = L+ε , ε>0. Como a sequência é crescente: para todo n>m => a_n> L+ε, logo o limite da sequência é maior ou igual a L+ε e vc chegou numa contradição. Isso garante que nenhum termo da sequência é maior que L. On Tuesday, 21 March 2017, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com> wrote: > Caros Colegas, > > Como provar o teorema abaixo? > > "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então nenhum > dos seus termos é maior do que L." > > Agradeço-lhes a atenção. > > Pedro Chaves > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite de sucessão
Caros Colegas, Como provar o teorema abaixo? "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então nenhum dos seus termos é maior do que L." Agradeço-lhes a atenção. Pedro Chaves -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Cálculo limite
Olá a todos, boa tarde!
Lim h-> 0 { [1 + (h/x)]^n }/(h/x) = n
O objetivo desse exercício é provar a igualdade desse limite , porém
depois de ter feito a distribuição por binômio de Newton até a enesima
potência , fiquei com 1+ C (n,1)* (h/x) +...+ C (n, n)*(h/x)^n .
O problema é que esse número 1 me impede de cancelar o h/x com o do
denominador, e desta forma nao estou conseguindo provar a definição de
derivada a partir deste limite dado. Alguém poderia me ajudar, por favor?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Cálculo limite
Definicao de derivada? Hm, derivada de que funcao em que ponto?
De qualquer forma, aposto que, por algum motivo, estah faltando um "-1" no
numerador. Aposto que voce trocou algum f(0) por 0 em algum canto, e que
devia ser ao inves:
lim (h->0) {[1+(h/x)]^n-1}/(h/x)
Serah?
Abraco, Ralph.
2015-09-25 15:02 GMT-03:00 Abner Moreira <abner@gmail.com>:
> Olá a todos, boa tarde!
>
> Lim h-> 0 { [1 + (h/x)]^n }/(h/x) = n
>
> O objetivo desse exercício é provar a igualdade desse limite , porém
> depois de ter feito a distribuição por binômio de Newton até a enesima
> potência , fiquei com 1+ C (n,1)* (h/x) +...+ C (n, n)*(h/x)^n .
>
> O problema é que esse número 1 me impede de cancelar o h/x com o do
> denominador, e desta forma nao estou conseguindo provar a definição de
> derivada a partir deste limite dado. Alguém poderia me ajudar, por favor?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo limite
Então Ralph, pensei a mesma coisa. Entretanto o enunciado está desta forma
mesmo." Demonstre que ".
Assim que travei nessa parte percebi a possibilidade de erro, mas o livro
não tem resolução :/
Em 25/09/2015 16:43, "Ralph Teixeira" <ralp...@gmail.com> escreveu:
> Definicao de derivada? Hm, derivada de que funcao em que ponto?
>
> De qualquer forma, aposto que, por algum motivo, estah faltando um "-1" no
> numerador. Aposto que voce trocou algum f(0) por 0 em algum canto, e que
> devia ser ao inves:
>
> lim (h->0) {[1+(h/x)]^n-1}/(h/x)
>
> Serah?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2015-09-25 15:02 GMT-03:00 Abner Moreira <abner@gmail.com>:
>
>> Olá a todos, boa tarde!
>>
>> Lim h-> 0 { [1 + (h/x)]^n }/(h/x) = n
>>
>> O objetivo desse exercício é provar a igualdade desse limite , porém
>> depois de ter feito a distribuição por binômio de Newton até a enesima
>> potência , fiquei com 1+ C (n,1)* (h/x) +...+ C (n, n)*(h/x)^n .
>>
>> O problema é que esse número 1 me impede de cancelar o h/x com o do
>> denominador, e desta forma nao estou conseguindo provar a definição de
>> derivada a partir deste limite dado. Alguém poderia me ajudar, por favor?
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Limite Com 3 Variáveis
Oi Daniel, Brinque com as variáveis x, y e z percorrendo sequências do tipo 1/n, 1/n^2 etc e vc verá que os limites , caso existissem, não seriam únicos. Abs Nehab Em 25/07/2015 23:07, Daniel Rocha daniel.rocha@gmail.com escreveu: Olá a todos, Como eu posso mostrar que os Limites abaixo NÃO EXISTEM ??? 1)lim X^2 + Y^2 - Z^2 / X^2 + Y^2 + Z^2 (x,y,z)-(0,0,0) 2) lim X^4 +Y(X^3) + (Z^2)(X^2) / X^4 + Y^4 + Z^4 (x,y,z)-(0,0,0) Eu agradeço muito a quem me responder. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite Com 3 Variáveis
Olá a todos, Como eu posso mostrar que os Limites abaixo NÃO EXISTEM ??? 1)lim X^2 + Y^2 - Z^2 / X^2 + Y^2 + Z^2 (x,y,z)-(0,0,0) 2) lim X^4 +Y(X^3) + (Z^2)(X^2) / X^4 + Y^4 + Z^4 (x,y,z)-(0,0,0) Eu agradeço muito a quem me responder. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?
2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com: Alguém pode me dar uma idéia de como provar que lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x Estava pensando em usar que lim n →∞ x/ncot(x/n)=1 e substituir no limite obtendo o seguinte: lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que está elevado a n. Pois é, não pode. Imagine que a_n - 1 quando n - ∞ , que é a única coisa que você provou. Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as contas): - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1) - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x Em termos vagos, tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1. Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por favor, me respondam se eu posso fazer isso. Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para aplicar no seu caso: x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y - 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3)) = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 ) E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n - exp(x) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?
obrigado Em 14 de março de 2015 08:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com: Alguém pode me dar uma idéia de como provar que lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x Estava pensando em usar que lim n →∞ x/ncot(x/n)=1 e substituir no limite obtendo o seguinte: lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que está elevado a n. Pois é, não pode. Imagine que a_n - 1 quando n - ∞ , que é a única coisa que você provou. Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as contas): - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1) - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x Em termos vagos, tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1. Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por favor, me respondam se eu posso fazer isso. Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para aplicar no seu caso: x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y - 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3)) = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 ) E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n - exp(x) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?
E como seria a demonstração desse limite por l'hospital?tem como fazer aí para eu ver? Em 14 de março de 2015 14:13, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: obrigado Em 14 de março de 2015 08:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com: Alguém pode me dar uma idéia de como provar que lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x Estava pensando em usar que lim n →∞ x/ncot(x/n)=1 e substituir no limite obtendo o seguinte: lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que está elevado a n. Pois é, não pode. Imagine que a_n - 1 quando n - ∞ , que é a única coisa que você provou. Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as contas): - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1) - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x Em termos vagos, tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1. Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por favor, me respondam se eu posso fazer isso. Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para aplicar no seu caso: x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y - 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3)) = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 ) E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n - exp(x) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?
Alguém pode me dar uma idéia de como provar que lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x Estava pensando em usar que lim n →∞ x/ncot(x/n)=1 e substituir no limite obtendo o seguinte: lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que está elevado a n.Alguém poderia me responder se eu posso fazer isso?Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por favor, me respondam se eu posso fazer isso. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Limite de sequência
Para ser chato, todas as frases abaixo estao corretas no universo dos Reais:
x^x^x^x...=2 IMPLICA x=raiz(2)
x^x^x^x...=4 IMPLICA x=raiz(2)
x^2+4=0 IMPLICA x=2
x^2+4=0 IMPLICA x=13
2x+x-3x=25 IMPLICA x=755
2x+x-3x=25 IMPLICA que eu sou o Papa
(O problema eh entender o que significa a palavra IMPLICA...)
O problema que voce descobriu ali eh o seguinte: para resolver uma equacao,
nao basta sair dela via implicacoes e chegar a valores de x! Se voce usou
apenas implicacoes, agora voce tem que TESTAR os ***candidatos a solucao
*** que voce achou para ver quais servem!
Em outras palavras, voce tem que ler o que voce fez assim: SE EXISTIR UMA
SOLUCAO POSITIVA x DA EQUACAO x^x^x^x...=4, entao ela DEVE SATISFAZER
x^4=4, portanto ela deve ser x=raiz(2). Note, SE EXISTIR!!! Infeliamente, o
mesmo se aplica a x^x^x^x...=2... Entao a pergunta que voce realmente quer
fazer eh ao contrario:
Se x=raiz(2), entao L=x^x^x^x... existe? Em caso positivo, L vale quanto?
Para resolver isso, vamos definir x(0)=1, e, recursivamente,
x(n+1)=raiz(2)^x(n) para n=0,1,2,... Vejamos dois fatos sobre esta
sequencia:
---///---
I) x(n) eh limitada, e 2 eh uma cota superior.
De fato, eh obvio que x(0)2; e para todo k, se x(k)2, entao
x(k+1)=raiz(2)^x(k)raiz(2)^22.
Portanto, por inducao, mostramos que x(n)2 para n=0,1,2,3,...
---///---
Deste item, jah concluimos que, **se existir**, L = lim (n-+Inf) x(n) =2.
Portanto, fica claro que a resposta NAO PODE SER 4. Mas ainda falta ver se
a resposta eh 2 (a priori, poderia ser que L simplesmente nao existisse, ou
fosse um outro numero!).
---///---
II) {x_n} eh crescente.
Eh facil fazer isso por inducao, mas vou provar logo que se 0y2, entao
yraiz(2)^y, porque isso vai ser util daqui a pouco.
Entao crie F(y)=raiz(2)^y-y e note que quando 0y2 tem-se
F'(y)=ln(raiz(2)).raiz(2)^y-1ln(raiz(2)).raiz(2)^2-1=ln(2)-10. Entao F(y)
eh decrescente em (0,2); como F(2)=0, vemos que F(y)0 em (0,2).
---///---
Pronto, agora usamos os canhoes de Navarone:
TEOREMA DE ANALISE REAL: TODA SEQUENCIA CRESCENTE COM COTA SUPERIOR TEM QUE
TER LIMITE.
Portanto, por (I) e (II), vemos que L existe. Mais ainda, por (I), jah
sabemos que L=2.
Enfim, lembre que x(n+1)=raiz(2)^x(n). Tomando n-+Inf (e SABENDO QUE L
EXISTE), podemos escrever L=raiz(2)^L. Mas lembra que se 0L2, temos
Lraiz(2)^L... Entao nao pode ser L2!
Ufa! Das duas ultimas linhas, conclui-se que L=2. Entao agora a gente pode
afirmar com certeza que
x^x^x^x^...=2 se, e somente se, x=raiz(2)
x^x^x^x^...=4 nao tem solucao real (se tivesse solucao, como voce
mostrou, esta solucao teria que ser raiz(2)...mas a linha anterior diz que
nao pode ser)
Abraco, Ralph.
2015-01-15 15:10 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Estou reenviando, pois parece que não foi recebido.
Pessoal, estou com uma dúvida:
*Na igualdade x^x^x^... = 2, temos que x^2 = 2, que implica x = raiz
quadrada de 2.*
Se fizermos x^x^x^... = 4, temos x^4 = 4, que também implica x = raiz
quadrada de 2.
Claro que o segundo resultado está errado, mas como justificar?
Mais que isso, como saber quando podemos utilizar esses artifícios sem
incorrer em um absurdo. Imagine que alguém tivesse proposto apenas a
segunda equação? Como saber quando o limite existe?
Obrigado!
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite de sequência
Estou reenviando, pois parece que não foi recebido. Pessoal, estou com uma dúvida: *Na igualdade x^x^x^... = 2, temos que x^2 = 2, que implica x = raiz quadrada de 2.* Se fizermos x^x^x^... = 4, temos x^4 = 4, que também implica x = raiz quadrada de 2. Claro que o segundo resultado está errado, mas como justificar? Mais que isso, como saber quando podemos utilizar esses artifícios sem incorrer em um absurdo. Imagine que alguém tivesse proposto apenas a segunda equação? Como saber quando o limite existe? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite
Pessoal, estou com uma dúvida: *Na igualdade x^x^x^... = 2, temos que x^2 = 2, que implica x = raiz quadrada de 2.* Se fizermos x^x^x^... = 4, temos x^4 = 4, que também implica x = raiz quadrada de 2. Claro que o segundo resultado está errado, mas como justificar? Mais que isso, como saber quando podemos utilizar esses artifícios sem incorrer em um absurdo? Obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Será que eu poderia ver também o que o Artur concluiu, como abaixo?
Para L diferente de 1?
( vou escrever sem o x, para facilitar).
O limite pedido pode ser escrito como :
lim{[ (f(a+g)-f(a))/g][g/h] - [( f(a+h)-f(a))/h]}/(g/h-1) = (f´(a).L -
f´(a))(L-1)= f´(a).
E para L=1, ficaríamos ainda sem condições de levantar o símbolo de
indeterminação oo/oo.
Abraços
Pacini
Em 26 de junho de 2014 15:50, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de
a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x))
(ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que
para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x)
(MUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1.
Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar
de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha
função não é C1.
2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Se lim (x -- 0) g(x)/h(x) = L 1 no sistema dos reais expandidos,
então a
resposta é sim.
Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para
todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos
f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal
que
o(0) = 0 e tal que o(h)/h -- 0 quando h -- 0. Com isto, o seu
quociente
de Newton generalizado q torna-se
q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) +
o(h(x)))/(g(x) -
h(x)) =
f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x))
Suponhamos que lim ( x -- 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então,
existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o
numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado
pode então ser escrito como
q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1)
Assim,
lim ( x -- 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a)
Bateu!!
Se L = + ou - oo, então lim (x --0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em
cima
e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um
raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a).
Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x -- 0, não exista lim
g(x)/h(x). E agora, José?
Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade
não. O
raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E
se o
limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas
complicada.
Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer
coisa. O
limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir.
Abraços
Artur
Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl sc...@hotmail.com
escreveu:
Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto,
Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções
contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma
vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade
que
lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ?
Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato
f'(a)?
Obrigada
Amanda
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Acho que sim. Uma forma um pouco diferente de provar a mesma coisa.br/br/Creio que, se L = 1 ou o limite em o de g/h não existir, cada caso tem que ser analisado individualmente. Eu analisei uns casos com L = 1, casos simples, porque para g e h complicadas pode ficar quase que intratável. Cheguei de fato a f'(a), mas não tenho nenhuma prova de que isto seja sempre verdade. Por exemplo, com f(x) = sen(x), g(x) = x, h (x) = e^x - 1 e a = 0, o limite g/h é 1 e o do quociente q é f'(a). Mas, claro, isso não prova nada que seja geral.br/br/Se f for polinomial, então o limite do quociente sempre será f'(a) para qualquer real a, mesmo que L = 1 ou que o limite de g/h não exista nos reais expandidos.br/br/Artura href=https://overview.mail.yahoo.com?.src=iOS;br/br/Enviado do Yahoo Mail para iPad/a -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
De fato, se f for derivavel em uma vizinhanca de a, a gente pode usar o TVM
e obter:
f(a+g(x))-f(a+h(x)) / (g(x)-h(x))= f'(c(x))
para x suficientemente proximo de 0, onde c(x) eh algum numero entre a+g(x)
e a+h(x). Tomando x-0, tem-se g(x) e h(x)-0 e portanto c(x)-a. Se f'(x)
for continua em a, entao f'(c(x))-f'(a).
Isso inclui f polinomial e muitos outros casos tipicos. Por isso que o
contra-exemplo teve de ser tao chato.
Abraco, Ralph.
2014-06-28 22:43 GMT-03:00 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
Acho que sim. Uma forma um pouco diferente de provar a mesma coisa.
Creio que, se L = 1 ou o limite em o de g/h não existir, cada caso tem que
ser analisado individualmente. Eu analisei uns casos com L = 1, casos
simples, porque para g e h complicadas pode ficar quase que intratável.
Cheguei de fato a f'(a), mas não tenho nenhuma prova de que isto seja
sempre verdade. Por exemplo, com f(x) = sen(x), g(x) = x, h (x) = e^x - 1 e
a = 0, o limite g/h é 1 e o do quociente q é f'(a). Mas, claro, isso não
prova nada que seja geral.
Se f for polinomial, então o limite do quociente sempre será f'(a) para
qualquer real a, mesmo que L = 1 ou que o limite de g/h não exista nos
reais expandidos.
Artur
Enviado do Yahoo Mail para iPad
--
* From: * Pacini Bores pacini.bo...@globo.com;
* To: * obm-l@mat.puc-rio.br;
* Subject: * [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é
igual a f'(a) ?
* Sent: * Sun, Jun 29, 2014 12:08:35 AM
Será que eu poderia ver também o que o Artur concluiu, como abaixo?
Para L diferente de 1?
( vou escrever sem o x, para facilitar).
O limite pedido pode ser escrito como :
lim{[ (f(a+g)-f(a))/g][g/h] - [( f(a+h)-f(a))/h]}/(g/h-1) = (f´(a).L -
f´(a))(L-1)= f´(a).
E para L=1, ficaríamos ainda sem condições de levantar o símbolo de
indeterminação oo/oo.
Abraços
Pacini
Em 26 de junho de 2014 15:50, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de
a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x))
(ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que
para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x)
(MUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1.
Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar
de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha
função não é C1.
2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Se lim (x -- 0) g(x)/h(x) = L 1 no sistema dos reais expandidos,
então a
resposta é sim.
Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para
todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos
f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal
que
o(0) = 0 e tal que o(h)/h -- 0 quando h -- 0. Com isto, o seu
quociente
de Newton generalizado q torna-se
q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) +
o(h(x)))/(g(x) -
h(x)) =
f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x))
Suponhamos que lim ( x -- 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então,
existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo
o
numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado
pode então ser escrito como
q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1)
Assim,
lim ( x -- 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a)
Bateu!!
Se L = + ou - oo, então lim (x --0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em
cima
e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0,
um
raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a).
Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x -- 0, não exista lim
g(x)/h(x). E agora, José?
Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade
não. O
raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E
se o
limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas
complicada.
Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer
coisa. O
limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir.
Abraços
Artur
Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl sc...@hotmail.com
escreveu:
Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto,
Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções
contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma
vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade
que
lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ?
Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato
f'(a)?
Obrigada
Amanda
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se
[obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Hmmm, acho que se f nao for de classe C1, e resposta eh nao necessariamente. Afinal, tome f(x)=x^2.sin(1/x) e a=0. Dah para mostrar que f'(0)=0, certo? Agora para k=1,2,3,..., tome xk=1/(2kpi+pi/2) e yk=1/(2kpi). Entao f(xk)=xk^2 e f(yk)=0 (no grafico fica claro -- os x_k correspondem aos picos de f(x) e os y_k sao as raizes de f logo em seguida). Pois bem, (f(yk)-f(xk)) / (yk-xk) = -xk^2 / (yk-xk) nao vai para 0 quando k-+Inf (faca a conta!), apesar de termos xk-0 e yk-0 quando k-+Inf. Entao tomando g(x)=x/(2pi+pi.x/2) e h(x)=x/2pi ou algo assim, vai dar tudo errado -- sempre que x=1/k, estamos na situacao acima, onde o seu limite NAO DAH 0, portanto o limite que voce pede NAO DAH 0 (acho que nao existe). Outra opcao seria tomar uma funcao escada g(x) que assume os valores da forma x_k, enquanto h(x) eh uma funcao escada assumindo apenas os valores y_k. Acertando os detalhes, dah para fazer ambas serem continuas e irem para 0 quando x-0 (tipo, faca g(x)=x_k se 1/kx1/(k-1) ou algo parecido). Entao eh pior: seu limite VAI EXISTIR, e nao vai ser a derivada zero. Bom, tem bastante trabalho para escrever os detalhes, mas a ideia funciona! Abraco, Ralph. 2014-06-24 1:22 GMT-03:00 Merryl sc...@hotmail.com: Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Se lim (x -- 0) g(x)/h(x) = L 1 no sistema dos reais expandidos, então a resposta é sim. Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal que o(0) = 0 e tal que o(h)/h -- 0 quando h -- 0. Com isto, o seu quociente de Newton generalizado q torna-se q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) + o(h(x)))/(g(x) - h(x)) = f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x)) Suponhamos que lim ( x -- 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então, existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado pode então ser escrito como q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1) Assim, lim ( x -- 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a) Bateu!! Se L = + ou - oo, então lim (x --0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em cima e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a). Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x -- 0, não exista lim g(x)/h(x). E agora, José? Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade não. O raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E se o limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas complicada. Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer coisa. O limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir. Abraços Artur Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x)) (ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x) (MUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1. Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha função não é C1. 2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Se lim (x -- 0) g(x)/h(x) = L 1 no sistema dos reais expandidos, então a resposta é sim. Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal que o(0) = 0 e tal que o(h)/h -- 0 quando h -- 0. Com isto, o seu quociente de Newton generalizado q torna-se q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) + o(h(x)))/(g(x) - h(x)) = f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x)) Suponhamos que lim ( x -- 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então, existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado pode então ser escrito como q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1) Assim, lim ( x -- 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a) Bateu!! Se L = + ou - oo, então lim (x --0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em cima e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a). Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x -- 0, não exista lim g(x)/h(x). E agora, José? Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade não. O raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E se o limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas complicada. Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer coisa. O limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir. Abraços Artur Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x)) (ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x) (MUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1. Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha função não é C1. 2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Se lim (x -- 0) g(x)/h(x) = L 1 no sistema dos reais expandidos, então a resposta é sim. Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal que o(0) = 0 e tal que o(h)/h -- 0 quando h -- 0. Com isto, o seu quociente de Newton generalizado q torna-se q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) + o(h(x)))/(g(x) - h(x)) = f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x)) Suponhamos que lim ( x -- 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então, existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado pode então ser escrito como q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1) Assim, lim ( x -- 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a) Bateu!! Se L = + ou - oo, então lim (x --0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em cima e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a). Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x -- 0, não exista lim g(x)/h(x). E agora, José? Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade não. O raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E se o limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas complicada. Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer coisa. O limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir. Abraços Artur Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
u=a+h lim(f(u+D)-f(u))/D D=g-h x---0 temos D---0 logo lim (f(u+D)-f(u))/D=f´(u)=f´(a+h(0))=f´(a) 2014-06-24 1:22 GMT-03:00 Merryl sc...@hotmail.com: Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite por l'Hospital
Ah, o Saulo fez de outro jeito que funciona. Mas acho que tem um sinalzinho trocado aqui: lny=(nln(1+1/n)-1)/(1/n) lny=(ln(1+1/n) **-**1/(1+n))/(-1/n^2) 2014-06-23 2:12 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n) =lim(1+1/n)^n^2* e^-n y=lim(1+1/n)^n^2 lny=limn^2ln(1+1/n) -n lny=oo*0-oo lny=limn(nln(1+1/n))-1) lny=(nln(1+1/n)-1)/(1/n) lny=(ln(1+1/n)+1/(1+n))/(-1/n^2)=0/0 lny=(-1/n*1/(n+1)-1/(n+1)^2)/2/n^3= lny=-n^2/2(n+1)*(2n+1)/(n+1))=-limn^2(2n+1)/2(n+1)^2=-oo y=e^-00 y=0 2014-06-23 0:43 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Vamos ver o ln disso, que eh: g(x)=x^2.ln(1+1/x)-x = x^2 (ln(1+1/x)-1/x) = (ln(1+1/x)-1/x) / (x^(-2)) Quando x-+Inf, isto aqui eh uma indet. do tipo 0/0. Note como eu deixei o ln o mais sozinho possivel, por que agora L'Hopital vai simplificar as coisas (se o ln ficar misturado com outras coisas, ele nao some na derivada): lim (x-+Inf) g(x) = lim (x-+Inf) ((-1/x^2)(1/(1+1/x))-1/x^2) / (-2x^(-3)) = lim (x-+inf) (-1/2)(x/(x+1)) = -1/2 Entao, se eu nao errei conta, o limite original eh e^(-1/2). Abraco, Ralph 2014-06-23 0:17 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz uma horta que estou tentando calcular e não sai. lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n) []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Este limite é igual a f'(a) ?
Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que lim (x -- 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite por l'Hospital
Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz uma horta que estou tentando calcular e não sai. lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n) []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite por l'Hospital
Vamos ver o ln disso, que eh: g(x)=x^2.ln(1+1/x)-x = x^2 (ln(1+1/x)-1/x) = (ln(1+1/x)-1/x) / (x^(-2)) Quando x-+Inf, isto aqui eh uma indet. do tipo 0/0. Note como eu deixei o ln o mais sozinho possivel, por que agora L'Hopital vai simplificar as coisas (se o ln ficar misturado com outras coisas, ele nao some na derivada): lim (x-+Inf) g(x) = lim (x-+Inf) ((-1/x^2)(1/(1+1/x))-1/x^2) / (-2x^(-3)) = lim (x-+inf) (-1/2)(x/(x+1)) = -1/2 Entao, se eu nao errei conta, o limite original eh e^(-1/2). Abraco, Ralph 2014-06-23 0:17 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz uma horta que estou tentando calcular e não sai. lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n) []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite por l'Hospital
lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n) =lim(1+1/n)^n^2* e^-n y=lim(1+1/n)^n^2 lny=limn^2ln(1+1/n) -n lny=oo*0-oo lny=limn(nln(1+1/n))-1) lny=(nln(1+1/n)-1)/(1/n) lny=(ln(1+1/n)+1/(1+n))/(-1/n^2)=0/0 lny=(-1/n*1/(n+1)-1/(n+1)^2)/2/n^3= lny=-n^2/2(n+1)*(2n+1)/(n+1))=-limn^2(2n+1)/2(n+1)^2=-oo y=e^-00 y=0 2014-06-23 0:43 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Vamos ver o ln disso, que eh: g(x)=x^2.ln(1+1/x)-x = x^2 (ln(1+1/x)-1/x) = (ln(1+1/x)-1/x) / (x^(-2)) Quando x-+Inf, isto aqui eh uma indet. do tipo 0/0. Note como eu deixei o ln o mais sozinho possivel, por que agora L'Hopital vai simplificar as coisas (se o ln ficar misturado com outras coisas, ele nao some na derivada): lim (x-+Inf) g(x) = lim (x-+Inf) ((-1/x^2)(1/(1+1/x))-1/x^2) / (-2x^(-3)) = lim (x-+inf) (-1/2)(x/(x+1)) = -1/2 Entao, se eu nao errei conta, o limite original eh e^(-1/2). Abraco, Ralph 2014-06-23 0:17 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz uma horta que estou tentando calcular e não sai. lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n) []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite por épsilon e delta
Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n² - n). -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta
Olá Pedro, Em geral avalio que a pergunta deveria ser : 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista. 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a definição de limite de uma sequência. Pacini Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu: Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n² - n). -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta
Olá Pedro, (1) Como sen(n) é limitada e 1/(n^2-n) tem limite zero , lim(x_n)=0 pelo teorema do confonto. (2) Seja epsilon0 e seja n_0 1/epsilon . Tomemos nn_0 e n tal que n^2 - n n ; logo 1/(n^2 - n) 1/n 1/(n_0) epsilon . Como módulo de ( sen(n)/( n^2 - n)) 1/(n^2 - n) ; teremos módulo de ( sen(n)/( n^2 - n) - 0) epsilon . Daí é só formalizar os detalhes. Pacini Em 2 de maio de 2014 21:24, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá Pedro, Em geral avalio que a pergunta deveria ser : 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista. 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a definição de limite de uma sequência. Pacini Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu: Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n² - n). -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta
Certo, e como faz? Em 2 de maio de 2014 21:24, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá Pedro, Em geral avalio que a pergunta deveria ser : 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista. 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a definição de limite de uma sequência. Pacini Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu: Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n² - n). -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta
Digo, confronto. Pacini Em 2 de maio de 2014 21:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu: Certo, e como faz? Em 2 de maio de 2014 21:24, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu: Olá Pedro, Em geral avalio que a pergunta deveria ser : 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista. 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a definição de limite de uma sequência. Pacini Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu: Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n² - n). -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Definição de limite
As 4 são mesmo equivalentes? Creio que não... Pedro Chaves Subject: Re: [obm-l] Definição de limite From: steinerar...@gmail.com Date: Mon, 6 Jan 2014 22:50:06 -0200 To: obm-l@mat.puc-rio.br Pode sim. É fácil mostrar que as 4 possíveis definições ( , = , = =, = ) são equivalentes. Artur Costa Steiner Em 06/01/2014, às 22:39, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu:   Caros Colegas, Na definição usual (delta-épsilon) de limite de uma função, pode-se escrever menor ou igual antes do delta e também antes do épsilon? Geralmente, usa-se menor. Pode-se também usar menor ou igual antes do épsilon, em vez de menor, na definição de limite de uma sequência? Abraços do Ennius ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Definição de limite
Creio que são possíveis e análogas as definições, se abertos ou não os intervalos, o que acontece é que falando em limite, temos como análise o comportamento da função em questão em torno de um certo ponto, e tratamos como vizinhança esse entorno. Toda vizinhança é definida em um intervalo aberto, de centro em x qualquer e raio delta o intervalo aberto (x − delta, x + delta), onde delta 0. Isso porque a extensão de uma vizinhança não tem pré definição, podemos ter um delta=1 ou um pouco menor. Contextualizando: Tratando do meu apartamento, posso considerar todo o bloco como vizinhança, enquanto o morador do apartamento da frente considera apenas como vizinhança os apartamentos do mesmo andar. Em um estudo de limite é possível fazer a definição em intervalos fechados, mas vai fugir do fundamento de vizinhança que não delimita o intervalo. O intervalo se aberto ou fechado não faz muita diferença já que estamos estudando o comportamento em tendência de x, e não dos extremos do intervalo. Em 8 de janeiro de 2014 13:02, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: As 4 são mesmo equivalentes? Creio que não... Pedro Chaves Subject: Re: [obm-l] Definição de limite From: steinerar...@gmail.com Date: Mon, 6 Jan 2014 22:50:06 -0200 To: obm-l@mat.puc-rio.br Pode sim. É fácil mostrar que as 4 possíveis definições ( , = , = =, = ) são equivalentes. Artur Costa Steiner Em 06/01/2014, às 22:39, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu:   Caros Colegas, Na definição usual (delta-épsilon) de limite de uma função, pode-se escrever menor ou igual antes do delta e também antes do épsilon? Geralmente, usa-se menor. Pode-se também usar menor ou igual antes do épsilon, em vez de menor, na definição de limite de uma sequência? Abraços do Ennius ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Definição de limite
Caros Colegas, Na definição usual (delta-épsilon) de limite de uma função, pode-se escrever menor ou igual antes do delta e também antes do épsilon? Geralmente, usa-se menor. Pode-se também usar menor ou igual antes do épsilon, em vez de menor, na definição de limite de uma sequência? Abraços do Ennius ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Definição de limite
Pode sim. É fácil mostrar que as 4 possíveis definições ( , = , = =, = ) são equivalentes. Artur Costa Steiner Em 06/01/2014, às 22:39, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu:   Caros Colegas, Na definição usual (delta-épsilon) de limite de uma função, pode-se escrever menor ou igual antes do delta e também antes do épsilon? Geralmente, usa-se menor. Pode-se também usar menor ou igual antes do épsilon, em vez de menor, na definição de limite de uma sequência? Abraços do Ennius ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Limite de sequência (pela definição)
Como podemos provar que a sequência com termo geral a_n = 1 - 1/(n+1) converge para 1?(Obs.: Usar diretamente a definição de limite de uma sequência.)Ennius Lima___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite de sequência (pela definição)
Para todo n, |a_n - 1| = |1/(n - 1)| = 1/(n - 1). Dado eps 0, fazendo- se k = 1 + 1/eps, para n k temos que |a_n - 1| 1/( k - 1), logo |a_n - 1| eps. Pela definição de limite, segue-se que lim a_n = 1. Artur Costa Steiner Em 05/01/2014, às 21:53, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu: Como podemos provar que a sequência com termo geral a_n = 1 - 1/(n+1) converge para 1? (Obs.: Usar diretamente a definição de limite de uma sequência.) Ennius Lima ___  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Olá, Pacini, Muito obrigado! E como definir os limites infinitos? Isto é: x tende a mais infinito e x tende a menos infinito. Abraços do Pedro! Date: Wed, 1 Jan 2014 10:21:53 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: pacini.bo...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.commailto:kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Olá Pedro, Para o mais infinito, observe o seguinte : para todo M real positivo escolhido, sempre existe x real tal que x M . Note que se tomarmos M´ M , será possível escolher a variável x tal que x M´. Para o menos infinito, é só pensar em M 0 e tomarmos x M , ok ? Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 11:29, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Olá, Pacini, Muito obrigado! E como definir os limites infinitos? Isto é: x tende a mais infinito e x tende a menos infinito. Abraços do Pedro! Date: Wed, 1 Jan 2014 10:21:53 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: pacini.bo...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.commailto:kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto: brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o que x significa. A frase que voce escreveu: para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta tomar x=a+k/2, por exemplo. ---///--- Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite de uma variavel sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de limite, mas todos eles sao: o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO vai para ALGUM LUGAR... Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com letras; o que faz sentido eh: o limite de y, quando x vai para A (nao apenas limite de y). Ai voce pergunta como assim limite de y se eh o x que vai para algum canto? Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de alguma maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x. Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente (estou omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha que eh um intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y eh uma funcao de x). A frase lim_(x-A) f(x) = L(ou, equivalentemente, lim_(x-A) y=L ) (le-se: o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou y tende a L quando x tende a A) SIGNIFICA eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L, bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A (ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou ali em cima). ---///--- Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um pouquinho: lim_(x-A) f(x)=+Inf SIGNIFICA eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A (formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale |x-A|delta == f(x)K) lim_(x-+Inf) f(x)=L SIGINIFICA eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L, bastando para tanto que x seja suficientemente grande (para todo eps0, existe K real tal que vale xK == |f(x)-L|delta) Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias Eu sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, ou o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce quiser ir direto para a parte BEM formal. Abraco, Ralph 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu: Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Ok! Ralph, obrigado pela sua observação e explicação . Se tivesse dito : k 0 tão pequeno quanto eu queira tal que 0|x-a|k , teria algum problema ? Ou no momento que estou escrevendo tão pequeno quanto eu queira, já estou definindo algo que k depende ? Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 13:02, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o que x significa. A frase que voce escreveu: para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta tomar x=a+k/2, por exemplo. ---///--- Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite de uma variavel sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de limite, mas todos eles sao: o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO vai para ALGUM LUGAR... Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com letras; o que faz sentido eh: o limite de y, quando x vai para A (nao apenas limite de y). Ai voce pergunta como assim limite de y se eh o x que vai para algum canto? Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de alguma maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x. Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente (estou omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha que eh um intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y eh uma funcao de x). A frase lim_(x-A) f(x) = L(ou, equivalentemente, lim_(x-A) y=L ) (le-se: o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou y tende a L quando x tende a A) SIGNIFICA eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L, bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A (ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou ali em cima). ---///--- Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um pouquinho: lim_(x-A) f(x)=+Inf SIGNIFICA eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A (formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale |x-A|delta == f(x)K) lim_(x-+Inf) f(x)=L SIGINIFICA eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L, bastando para tanto que x seja suficientemente grande (para todo eps0, existe K real tal que vale xK == |f(x)-L|delta) Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias Eu sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, ou o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce quiser ir direto para a parte BEM formal. Abraco, Ralph 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu: Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Muito obrigado, Ralph e Pacini. Continuo em dúvida: Como expressar em linguagem formal as afirmações x tende para a, x tende a mais infinito e x tende a menos infinito? Como provar que as afirmações x tende a mais infinito e x + r tende a mais infinito são equivalentes? ( x é variável real e r é uma constante real) —-- Questão já proposta na Lista. Abraços do Pedro Chaves _ Date: Wed, 1 Jan 2014 13:02:24 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o que x significa. A frase que voce escreveu: para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta tomar x=a+k/2, por exemplo. ---///--- Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite de uma variavel sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de limite, mas todos eles sao: o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO vai para ALGUM LUGAR... Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com letras; o que faz sentido eh: o limite de y, quando x vai para A (nao apenas limite de y). Ai voce pergunta como assim limite de y se eh o x que vai para algum canto? Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de alguma maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x. Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente (estou omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha que eh um intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y eh uma funcao de x). A frase lim_(x-A) f(x) = L (ou, equivalentemente, lim_(x-A) y=L ) (le-se: o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou y tende a L quando x tende a A) SIGNIFICA eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L, bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A (ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou ali em cima). ---///--- Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um pouquinho: lim_(x-A) f(x)=+Inf SIGNIFICA eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A (formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale |x-A|delta == f(x)K) lim_(x-+Inf) f(x)=L SIGINIFICA eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L, bastando para tanto que x seja suficientemente grande (para todo eps0, existe K real tal que vale xK == |f(x)-L|delta) Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias Eu sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, ou o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce quiser ir direto para a parte BEM formal. Abraco, Ralph 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.commailto:pacini.bo...@globo.com Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável From: kelvinan...@gmail.commailto:kelvinan...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Kelvin! Muito obrigado! Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma função. Feliz Ano Novo! Pedro Chaves ___ Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não necessariamente definida em a, temos que: Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x tende a um número a. Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 0 |x - a| δ que implica em |ƒ(x) - L| ε. Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com: Ok! Ralph, obrigado pela sua observação e explicação . Se tivesse dito : k 0 tão pequeno quanto eu queira tal que 0|x-a|k , teria algum problema ? Teria. Essa (e outras) frases de cálculo são recursos intuitivos úteis para pensar sobre limites, mas não para definí-los. Assim, quando você diz tão pequeno quanto eu queira, isso é uma abreviação para uma frase bem mais complicada. E que, nesse caso (limites de uma única variável) não faz sentido, porque o que esta abreviação contém é uma relação dependência entre várias quantidades relacionadas ao comportamento de DUAS variáveis juntas. Ou no momento que estou escrevendo tão pequeno quanto eu queira, já estou definindo algo que k depende ? Na verdade, você está definindo alguma coisa que vai depender de k. Nas definições habituais, o seu k é chamado de épsilon, e o delta é que depende do épsilon quando eles aparecem. Mas o maior problema, mesmo, como disse o Ralph, é que o limite de alguma coisa só faz sentido de esta mesma coisa (o x) variar. Na sua frase para todo k, existe x tal que ..., o x aparece depois do k, então ele não varia, ele existe. Se você conhece programação, isso é exatamente o que acontece quando você define uma variável local com o mesmo nome de uma variável global. Daí pra frente, dentro do bloco onde você estiver, a variável global está inacessível. Em matemática, você define uma variável quando você a introduz numa fórmula por meio de um existe ou um para todo. Assim, no seu exemplo, o lim x = a que vem antes está falando de um x que NÃO é o mesmo que o que você introduz depois por existe! Uma outra forma de pensar é que os nomes das variáveis são totalmente neutros. Ou seja, a sua frase não pode mudar de valor lógico se você substituir todos os x de uma afirmação por y, ou z. Nesse seu caso, o problema é que existem várias (sub-)afirmações dentro da definição (que é o análogo exato dos blocos de código num programa) e portanto em CADA uma delas, as variáveis novas poderiam ser chamadas como você quiser. E é exatamente por o seu x ser uma nova variável que o Ralph pode dizer que a sua (sub)-afirmação era sempre verdadeira, qualquer que fosse o a. A ordem em que você introduz as variáveis muda o sentido da frase! (Ou seja, a fala não é comutativa ;-)) Em 1 de janeiro de 2014 13:02, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o que x significa. A frase que voce escreveu: para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta tomar x=a+k/2, por exemplo. 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com Olá Pedro, Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; para todo k0 , existe x real tal que 0 |x - a| k . Abraços, e bom 2014 -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
2014/1/1 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
Muito obrigado, Ralph e Pacini.
Continuo em dúvida:
Como expressar em linguagem formal as afirmações x tende para a, x tende a
mais infinito e x tende a menos infinito?
Como provar que as afirmações x tende a mais infinito e x + r tende a mais
infinito são equivalentes? ( x é variável real e r é uma constante real)
—-- Questão já proposta na Lista.
Bom, as afirmações acima não são formais. O primeiro passo, portanto,
seria transformá-las em afirmações formais, dando um sentido preciso.
Assim, eu vejo duas formas.
Podemos pensar x como uma seqüência infinita de valores x_1, x_2,
... x_n, ... Daí, x+r será um abuso de notação para a seqüência
infinita (x_1 + r), (x_2 + r), ... , (x_n + r), ... . Então, a
demonstração será sobre limites de sequências.
A segunda forma é como fizeram antes: x é uma função de uma outra
variável (tempo, por exemplo, que é a metáfora mais comum para o
entendimento de limites), e neste caso x+r será uma outra função,
tomando valores r maiores. E a demonstração será, agora, sobre
limites de funções.
Talvez o que complique a coisa seja o seguinte. Existe uma expressão
informal para limites que é f(x) tende a A quando x tende a B, e
parece que precisamos dar um sentido separado para quando x tende a
B. É claro que fazendo isso, também temos um sentido separado para
f(x) tende a A, e assim acabamos de decompor uma sentença em duas.
Por mais que isso seja interessante e intuitivo (como frase do
português), o problema todo é que a expressão original não é
matematicamente formal. Ela abrevia uma coisa complicada (com épsilons
e deltas, desigualdades, para todos e existes) e, quando você vai
ver, não dá para separar. Como o Ralph e o Kelvin já escreveram, eu
vou pegar carona, repetir, e tentar mostrar que estas duas partes são,
realmente, inseparáveis. Pelo menos, como foram definidas. Talvez
valha a pena tentar dar uma definição formal do que seja x tende a B
sem ligar com mais nada, mas até hoje ninguém achou uma.
Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo B. (B poderia
estar na borda, poderia ser mais geral do que um intervalo, mas isso
não vem ao caso aqui)
A expressão A é o limite de f(x) quando x tende a B quer dizer, exatamente:
Para todo épsilon positivo, existe delta positivo, tal que, para todo
x no intervalo, se |x - B| delta então | f(x) - A | épsilon
Note que a expressão original é uma afirmação com 3 variáveis livres:
f, A e B. O x é uma variável muda da definição: isso é mais claro
ao ler a versão formal, onde eu introduzi o x com o para todo na
frente, e poderia ter chamado de w que não ia fazer a menor
diferença (entre a afirmação ser verdadeira ou falsa claro ; você
pode achar - e eu concordo - que chamar uma coisa de x dá uma idéia
diferente de chamar a mesma coisa de batata ou w).
A parte que parece que tem a ver com o x tende a B é a seguinte:
existe delta positivo, tal que, para todo x no intervalo, se |x - B| delta
Fora disso, parece que tem mais a ver com o f(x) tende a A, não?
Mas o problema é que esta frase que a gente obteve ficou capenga, ela
não pede muita coisa para o x, nem explica muita coisa também. Ela
diz: x está no intervalo e bota um se, mas não completa o então.
Pior ainda, o então | f(x) - A | épsilon, na verdade, é uma
condição no x. Isso é até mais claro quando você bota os parêntesis na
frase para interpretar direito:
Para todo épsilon positivo ( existe delta positivo, tal que [ para
todo x no intervalo, { se |x - B| delta, então | f(x) - A |
épsilon } ] )
Assim, você não pode separar a parte de dentro como sendo uma das
metades da definição. Você até poderia cortar a frase para ficar só
com os parêntesis (e você teria uma afirmação com 4 variáveis livres,
f, A, B e épsilon), ou para ficar só com os colchetes (e daí seriam 5
variáveis, porque aparece o delta) ou só com as chaves (e daí você tem
6 variáveis, f, A, B, épsilon, delta, x, na ordem em que foram
introduzidas, o A e o B introduzidas simultaneamente). E veja que, até
o nível mais profundo da definição (o com 6 variáveis) o f aparece. O
que explica porque não dá para separar direito.
Espero que ajude... um dos grandes problemas da análise (e que levou
sua cota de séculos para ser resolvido) foi justamente esse de passar
de uma idéia intuitiva de limites de uma variável para a definição
formal de limites de uma coisa DEPENDENDO do comportamento de outra.
A vantagem da primeira é que você dá sentido às duas partes da frase
limite de f(x) quando x tende a B, mas o problema é que, como é
apenas intuitivo, você não consegue fazer uma demonstração 100%
formal.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Limite de uma variável
Vc já recebeu excelentes respostas. Já ficou claro que só faz sentido falar de limite de uma função. Vou resumir aqui os tipos de limite no caso de funções com domínio D em R e valores em R, usando as clássicas definições com eps, delta e M. Se a e L forem reais e a for ponto de acumulação de D, então lim x = a f(x) = L - dado eps 0, existe delta 0 tal que, para todo x de D com 0 |x - a | delta, tenhamos |f(x) -L| eps. Veja que a definição exige que a seja ponto de acumulação de D, mas não exige que a pertença a D. O limite depende apenas do comportamento de f em uma vizinhança de a, deletado o próprio a. Se f(a) existir, seu valor em nada influencia o limite (ou sequer a existência do limite)(isto dá origem aos os conceitos de descontinuidade removível e de descontinuidade essencial) lim x = oo f (x) = oo dado M 0, existe k 0 tal que, se x está em D e x k, então f(x) M. Veja que, para que isto faça sentido, D tem ser ilimitado superiormente. E há ainda os casos em que x= a e f(x) = oo e em que x = oo e f(x) = a. Deixo para vc formular estes casos. E há ainda os casos em aparece -oo. São todos análogos. Observe que, conforme usual, as desigualdades envolvidas são estritas. Mas se vc quiser, pode formular o limites com uma ou ambas desigualdades do tipo =. Sugiro que vc prove que são definições equivalentes, é instrutivo. O eps, é claro, tem que ser sempre positivo Feliz 2014 para todos nós! Que o limite de nossas realizações seja oo! Artur Costa Steiner Em 31/12/2013, às 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Obrigado a todos que opinaram e pelos esclarecimentos, que certamente concretizaram o que eu pensava que sabia. Abraços Pacini Em 1 de janeiro de 2014 14:34, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.comescreveu: Vc já recebeu excelentes respostas. Já ficou claro que só faz sentido falar de limite de uma função. Vou resumir aqui os tipos de limite no caso de funções com domínio D em R e valores em R, usando as clássicas definições com eps, delta e M. Se a e L forem reais e a for ponto de acumulação de D, então lim x = a f(x) = L - dado eps 0, existe delta 0 tal que, para todo x de D com 0 |x - a | delta, tenhamos |f(x) -L| eps. Veja que a definição exige que a seja ponto de acumulação de D, mas não exige que a pertença a D. O limite depende apenas do comportamento de f em uma vizinhança de a, deletado o próprio a. Se f(a) existir, seu valor em nada influencia o limite (ou sequer a existência do limite)(isto dá origem aos os conceitos de descontinuidade removível e de descontinuidade essencial) lim x = oo f (x) = oo dado M 0, existe k 0 tal que, se x está em D e x k, então f(x) M. Veja que, para que isto faça sentido, D tem ser ilimitado superiormente. E há ainda os casos em que x= a e f(x) = oo e em que x = oo e f(x) = a. Deixo para vc formular estes casos. E há ainda os casos em aparece -oo. São todos análogos. Observe que, conforme usual, as desigualdades envolvidas são estritas. Mas se vc quiser, pode formular o limites com uma ou ambas desigualdades do tipo =. Sugiro que vc prove que são definições equivalentes, é instrutivo. O eps, é claro, tem que ser sempre positivo Feliz 2014 para todos nós! Que o limite de nossas realizações seja oo! Artur Costa Steiner Em 31/12/2013, às 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite de uma variável
Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
Dada a função *ƒ(x) *definida no intervalo aberto em torno de *a*, mas não necessariamente definida em *a*, temos que: Limite é o número *L *ao qual aproximam-se os valores de *ƒ(x)*, quando *x*tende a um número* a*. Se, e somente se, existir um número *ε* 0*, *e que para cada *ε*, existir um número *δ* 0, e qualquer que seja o *x*, seja válido: *0 |x - a| **δ *que implica em* |ƒ(x) - L| ε.* Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu: Qual a definição de limite de uma variável real? Feliz 2014 para todos!!! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...
Queridos Colegas, Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a zero é convergente e tem limite igual a zero. Abraços! Pedro Chaves --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...
Uai, mas a as integrais, que são um somatório [Area = Soma F(x) dx], onde o limite quando dx tende a 0 é zero, mas o somatório não é ? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 13:56, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Queridos Colegas, Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a zero é convergente e tem limite igual a zero. Abraços! Pedro Chaves --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...
Seja s_n a sequência das somas parciais da série. Então, s_n = 0 ...+ .. 0 (n zeros) = 0. Logo, temos trivialmente que lim s_n = 0. Artur Costa Steiner Em 11/11/2013, às 13:36, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Queridos Colegas, Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a zero é convergente e tem limite igual a zero. Abraços! Pedro Chaves --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...
Tender a 0 não significa que seja 0. Por exemplo, para x 0, 1/x 0. Mas lim x == oo 1/x = 0. Integrais e séries na realidade não são somas finitas, mas sim limites de uma sequência de somas. Se todas estas somas forem 0, o limite das mesmas é 0. Artur Costa Steiner Em 11/11/2013, às 14:37, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Uai, mas a as integrais, que são um somatório [Area = Soma F(x) dx], onde o limite quando dx tende a 0 é zero, mas o somatório não é ? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 13:56, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Queridos Colegas, Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a zero é convergente e tem limite igual a zero. Abraços! Pedro Chaves --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...
Mas o que estava falando é que o lim de f(x). delta x, quando delta x tende a zero é zero. Assim, o que nos resta é uma soma infinita de elementos de área (estou pegando o caso de integrais para calculo de área) zero. Não? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 20:24, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com escreveu: Tender a 0 não significa que seja 0. Por exemplo, para x 0, 1/x 0. Mas lim x == oo 1/x = 0. Integrais e séries na realidade não são somas finitas, mas sim limites de uma sequência de somas. Se todas estas somas forem 0, o limite das mesmas é 0. Artur Costa Steiner Em 11/11/2013, às 14:37, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Uai, mas a as integrais, que são um somatório [Area = Soma F(x) dx], onde o limite quando dx tende a 0 é zero, mas o somatório não é ? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 13:56, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Queridos Colegas, Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a zero é convergente e tem limite igual a zero. Abraços! Pedro Chaves --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
Pesquisei um pouquinho sobre o assunto, não se conhece nenhuma fórmula fechada para o resultado do limite :O http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html Em 12 de junho de 2013 10:55, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.comescreveu: range deveria ser range(n,1,-1) considerando que o laço repetirá até 1, senão no último passo será calculada mais uma raíz quadrada. Se range repetir enquanto a variável for maior que o segundo parâmetro então range(n,0,-1) estaria certo. Sobre a questão, seria possível representar a desigualdade por frações contínuas, calculando o inverso? 2013/5/18 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
range deveria ser range(n,1,-1) considerando que o laço repetirá até 1, senão no último passo será calculada mais uma raíz quadrada. Se range repetir enquanto a variável for maior que o segundo parâmetro então range(n,0,-1) estaria certo. Sobre a questão, seria possível representar a desigualdade por frações contínuas, calculando o inverso? 2013/5/18 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função crescente e derivável tal que f tem limite real mas f' não vai para 0
Olá amigos! Isto não parece muito difícil, mas até agora não consegui. Exemplo de uma função de R em R (ou definida em (a, oo) para algum a) que seja crescente e derivável, seja tal que lim x -- oo f(x) = L em R e tal que a condição lim x -- oo f'(x) = 0 não se verifique. Como f' tendo limite positivo no infinito implicaria que f fosse para infinito, então f' não pode ter limite no infinito, tem que ficar oscilando. Se vc não exigir que f seja monotônica, não é difícil achar um exemplo. f(x) = (sen(x^2))/x , x 0, atende. f vai para 0 no infinito e f'(x) = 2 cos(x^2) - (sen(x^2))/x fica oscilando e não converge para nada. Mas f' assume uma infinidade de valores positivos e uma infinidade de negativos, de modo que f não é monotônica. No nosso caso, temos que garantir que f' fique oscilando mas sem assumir valores negativos. Acho que f tem que ser um tanto patológica. Abraços Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função crescente e derivável tal que f tem limite real mas f' não vai para 0
2013/5/31 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Olá amigos!
Isto não parece muito difícil, mas até agora não consegui.
Exemplo de uma função de R em R (ou definida em (a, oo) para algum a) que
seja crescente e derivável, seja tal que lim x -- oo f(x) = L em R e tal que
a condição lim x -- oo f'(x) = 0 não se verifique.
Como f' tendo limite positivo no infinito implicaria que f fosse para
infinito, então f' não pode ter limite no infinito, tem que ficar oscilando.
Se vc não exigir que f seja monotônica, não é difícil achar um exemplo. f(x)
= (sen(x^2))/x , x 0, atende. f vai para 0 no infinito e f'(x) = 2 cos(x^2)
- (sen(x^2))/x fica oscilando e não converge para nada. Mas f' assume uma
infinidade de valores positivos e uma infinidade de negativos, de modo que f
não é monotônica.
No nosso caso, temos que garantir que f' fique oscilando mas sem assumir
valores negativos. Acho que f tem que ser um tanto patológica.
Não sei o que você chama de patológica, mas você já tem a solução,
falta só descrever a solução sem ser com uma fórmula analítica
bonitinha.
Sejam então a_n = 2^n, b_n = a_n + 4^(-n), c_n = 5^(-n).
Considere a função que vale 0 em a_0, é linear com derivada 1 até b_0,
e depois linear com derivada c_0 até a_1. Em geral, ela é linear com
derivada 1 entre a_n e b_n, e linear com derivada c_n entre b_n e
a_{n+1}.
Pronto, temos uma função crescente, derivável (quase), a derivada não
tende a zero (como você mesmo disse) mas com limite: de a_n até a_n+1
a função cresce menos de 4^(-n) + (2/5)^n, que é dá uma série
convergente. Agora, basta aparar os cantos da função para obter uma
função C-infinito.
Talvez isso dê uma idéia de como pode-se construir uma fórmula
bonitinha para f, mas isso eu deixo pra você.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Limite
Galera, não consegui resolver a seguinte questão: Para todo r real, defina n(r)=#((m,n)∈ Z² | m²+n² r²) Calcule o limite: limite n(r)/r²r-infinito -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
2013/4/3 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com: Galera, não consegui resolver a seguinte questão: Para todo r real, defina n(r)=#((m,n)∈ Z² | m²+n² r²) Calcule o limite: limite n(r)/r²r-infinito Você tem que ver o que n(r) quer dizer, senão é impossível. Dica, a resposta começa com 3 ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite
oi, Heitor, tudo bem? Observe o seguinte: n(r) são os pontos reticulados (coordenadas inteiras) dentro do círculo centrado em (0,0) e de raio r. Faça um desenho. Acho que vai ajudar. A propósito, essa questão está na sua lista de cálculo vetorial e geometria analítica? rsrs :) abraços, monitor de CVGA. iauhiauahiauhaiuha ;-) Em 3 de abril de 2013 23:35, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2013/4/3 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com: Galera, não consegui resolver a seguinte questão: Para todo r real, defina n(r)=#((m,n)∈ Z² | m²+n² r²) Calcule o limite: limite n(r)/r²r-infinito Você tem que ver o que n(r) quer dizer, senão é impossível. Dica, a resposta começa com 3 ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Limite x^1/x
Como posso provar o limite x^(1/x), x- infinito? Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem algum erro? Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito Se n é normal o limite é normal Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1 Vamos supor agora que limite x^(1/x), x- infinito = k, k1Sendo k = 1+k', k'1 normal É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x Vamos provar agora que e^(k'.x) x, se x tende ao infinito Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) x, se x tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? []'sJoão
Re: [obm-l] Limite x^1/x
Oi Joao, reescrevendo o x como e ^ ln(x), o que queremos calcular e' e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x-inf. Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite, basta calcularmos o limite de ln(x)/x , quando x-inf. Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo (1/x) / 1 , que vale zero quando x- infinito. Portanto, o limite procurado vale e^0 = 1 []'s Rogerio Ponce Em 05/04/12, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar o limite x^(1/x), x- infinito? Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem algum erro? Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito Se n é normal o limite é normal Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1 Vamos supor agora que limite x^(1/x), x- infinito = k, k1Sendo k = 1+k', k'1 normal É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x Vamos provar agora que e^(k'.x) x, se x tende ao infinito Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) x, se x tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? []'sJoão = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Limite x^1/x
Onde disse k' 1, na verdade e k' 0 From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Limite x^1/x Date: Thu, 5 Apr 2012 17:08:34 -0300 Como posso provar o limite x^(1/x), x- infinito? Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem algum erro? Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito Se n é normal o limite é normal Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1 Vamos supor agora que limite x^(1/x), x- infinito = k, k1Sendo k = 1+k', k'1 normal É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x Vamos provar agora que e^(k'.x) x, se x tende ao infinito Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) x, se x tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? []'sJoão
Re: [obm-l] Limite x^1/x
2012/4/5 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
Oi Joao,
reescrevendo o x como e ^ ln(x), o que queremos calcular e'
e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x-inf.
Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite,
basta calcularmos o limite de
ln(x)/x , quando x-inf.
Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo
(1/x) / 1 , que vale zero quando x- infinito.
Portanto, o limite procurado vale
e^0 = 1
[]'s
Rogerio Ponce
É claro que a solução do Rogério está certa, mas como ele deixou ao
critério do leitor de acreditar na continuidade da exponencial, eu
bolei a seguinte idéia, inspirada (ora direis, roubada) do truque
exponencial de Cauchy.
Divida os reais em intervalos exponenciais: 2^n = x 2^(n+1)
Daí, 1 x^(1/x) = 2^{ (n+1)/2^n }
Mas (n+1)/2^n 1/n para n suficientemente grande: isso é equivalente
a 2^n n^2 + n. Assim, para x suficientemente grande, x^(1/x) =
2^(1/n), que tende a 1.
Assim, quando você tem um limite que parece ser meio monótono (no
sentido de crescente / decrescente, não de chato!), vale a pena tentar
fazer uma substituição exponencial, muitas vezes limpa bastante o
campo. E (é claro) que isso é exatamente o análogo dos logaritmos do
Ponce, mas cada um tem um jeito preferido de fazer as contas ;) (eu
particularmente uso bastante log quando eu quero expansões em série)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Limite x^1/x
Brilhante :) Eu sempre tenho o azar de fazer pelo jeito mais dificil k Valeu mais uma vez rogerio, []s Joao Date: Thu, 5 Apr 2012 21:07:50 + Subject: Re: [obm-l] Limite x^1/x From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Joao, reescrevendo o x como e ^ ln(x), o que queremos calcular e' e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x-inf. Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite, basta calcularmos o limite de ln(x)/x , quando x-inf. Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo (1/x) / 1 , que vale zero quando x- infinito. Portanto, o limite procurado vale e^0 = 1 []'s Rogerio Ponce Em 05/04/12, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar o limite x^(1/x), x- infinito? Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem algum erro? Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito Se n é normal o limite é normal Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1 Vamos supor agora que limite x^(1/x), x- infinito = k, k1Sendo k = 1+k', k'1 normal É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x Vamos provar agora que e^(k'.x) x, se x tende ao infinito Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) x, se x tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? []'sJoão = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite difícil
Perfeito, João, E como o Eduardo também já pontuou nem precisou do senx/x... Abraços Nehab Em 10/9/2011 14:13, João Maldonado escreveu: v²+c² = c²/cosk c( (v² + c²)^(1/2) - c)/v² = ( c²(1-cos)/cos) / (c²sen²/cos²) = (1-cos).cos/ sen² = (1-cos).cos/(1-cos²) = cos/(1+cos) Como k- 0, cosk - 1, cos/(1+cos) = 1/2 Está certo? []'s João Date: Sat, 10 Sep 2011 08:31:40 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Limite difícil Oi, João. Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada de soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c e v). Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x tende a 1 qdo x tende a zero... Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta. Nehab Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu: Como posso provar que o limite: c( ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2 = 1/2, quando v- 0? []s João
Re: [obm-l] Limite difícil
Oi, João. Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada de soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c e v). Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x tende a 1 qdo x tende a zero... Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta. Nehab Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu: Como posso provar que o limite: c( ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2 = 1/2, quando v- 0? []s João
[obm-l] RE: [obm-l] Limite difícil
v²+c² = c²/cosk c( (v² + c²)^(1/2) - c)/v² = ( c²(1-cos)/cos) / (c²sen²/cos²) = (1-cos).cos/ sen² = (1-cos).cos/(1-cos²) = cos/(1+cos) Como k- 0, cosk - 1, cos/(1+cos) = 1/2 Está certo?[]'s João Date: Sat, 10 Sep 2011 08:31:40 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Limite difícil Oi, João. Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada de soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c e v). Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x tende a 1 qdo x tende a zero... Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta. Nehab Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu: Como posso provar que o limite: c( ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2 = 1/2, quando v- 0? []s João
[obm-l] Re: [obm-l] Limite difícil
Podemos até dispensar o clássico senx/x, pois a substituição trigonométrica leva à c^2( sec x -1)/(c^2.tg^2(x)) = (1 - cos x).cos^2x/(1-cos^2(x)) = cos^2(x)/(1+cosx) cujo li9mite, para x -0 é 1/2. --- Em sáb, 10/9/11, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu: De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Assunto: Re: [obm-l] Limite difícil Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 10 de Setembro de 2011, 8:31 Oi, João. Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada de soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c e v). Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x tende a 1 qdo x tende a zero... Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta. Nehab Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu: Como posso provar que o limite: c( ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c )/v^2 = 1/2, quando v- 0? []s João
[obm-l] Limite difícil
Como posso provar que o limite: c( ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2 = 1/2, quando v- 0? []sJoão
[obm-l] Re: [obm-l] Limite difícil
Conhecendo a regra de L`Hôpital, fica simples: Temos que: L = lim v- 0 [ c((v²+c²)^(1/2) - c )/v² ] = c lim v- 0 [ ((v²+c²)^(1/2) - c )/v² ] Aplicando a Regre de L`Hôpital para indeterminações do tipo 0/0, temos: L = c lim v- 0 [ ((v²+c²)^(1/2) - c )' / (v²)' ] = c lim v- 0 [ 2v / (2(v² + c²)^(1/2)) / 2v ] = c lim v-0 [ 1/(2(v²+c²)^(1/2)) ] = c * (1/2c) = 1/2 Victor
Re: [obm-l] Desafio limite.
limite de x^x, x tende a 0+ lim log x^x=lim (x*log x) lim log (x*log x) = lim log x + lim log log x lim log x x tende a 0 O que eu fiz ajuda? Em 29/08/11, Felippe Coulbert Balbifelippeba...@hotmail.com escreveu: Que legal... não sabia que já tinha uma definição de algo assim... Mas enfim... eu escreve errado é 1 se n é par e 0 se n é impar. Date: Mon, 29 Aug 2011 20:50:12 -0300 Subject: Re: [obm-l] Desafio limite. From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation 2011/8/29 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato.Coulbert -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desafio limite.
Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato.Coulbert
Re: [obm-l] Desafio limite.
http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation 2011/8/29 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato. Coulbert
RE: [obm-l] Desafio limite.
Que legal... não sabia que já tinha uma definição de algo assim... Mas enfim... eu escreve errado é 1 se n é par e 0 se n é impar. Date: Mon, 29 Aug 2011 20:50:12 -0300 Subject: Re: [obm-l] Desafio limite. From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation 2011/8/29 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato.Coulbert
Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
O único problema é a loja virtual em si, a navegação é horrível, isso quando
funciona,
quando fui comprar, deu um monte de erro de Java, e é bem lento.
Ops, desculpem-me.
- Mensagem original -
De: Tiago hit0...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 13 de Fevereiro de 2011 1:13:35
Assunto: Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
Excelente e barato. Tem na loja virtual do IMPA.
2011/2/12 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com
pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.
Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com :
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e
depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que
eu me lembro não é nada fácil.
2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
lim (1 + 1/z)^z = e
para z- infnito
[]s
João
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
--
,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia
((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444
`-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo
\_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm
nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar
perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi)
[obm-l] Prova de Limite Fundamental
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental? lim (1 + 1/z)^z = e para z- infnito []s João
Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que eu me lembro não é nada fácil. 2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental? lim (1 + 1/z)^z = e para z- infnito []s João -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.
Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com:
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e
depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que
eu me lembro não é nada fácil.
2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
lim (1 + 1/z)^z = e
para z- infnito
[]s
João
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Tiago J. Fonseca
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
Excelente e barato. Tem na loja virtual do IMPA.
2011/2/12 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com
pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.
Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com:
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe
e
depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo
que
eu me lembro não é nada fácil.
2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
lim (1 + 1/z)^z = e
para z- infnito
[]s
João
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série
2010/11/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Lucas, Entendido. Aguardo os comentários do seu professor. Eu falei com ele e parece que encontrar a soma da série pode envolver conhecimentos de análise funcional (se não me engano) que estão acima da alçada de um estudante de cálculo C. Então (acho) não poderei dar mais detalhes sobre a solução, infelizmente. =/ (isso sugere que essa série não devia estar na lista de exercícios...) -- []'s Lucas
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm -l] Limite de série
Sauda,c~oes, oi Lucas, Gostaria de voltar ao assunto. Não me importarei se não entender a solução. Mas realmente gostaria de vê-la. Ou se não for possível (será mesmo que podemos calcular a soma da série??) gostaria de ter pelo menos a resposta. Se vc preferir, favor pedir pro seu professor me escrever diretamente. []'s Luís From: luca...@dcc.ufba.br Date: Thu, 18 Nov 2010 06:34:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série To: obm-l@mat.puc-rio.br 2010/11/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Lucas, Entendido. Aguardo os comentários do seu professor. Eu falei com ele e parece que encontrar a soma da série pode envolver conhecimentos de análise funcional (se não me engano) que estão acima da alçada de um estudante de cálculo C. Então (acho) não poderei dar mais detalhes sobre a solução, infelizmente. =/ (isso sugere que essa série não devia estar na lista de exercícios...) -- []'s Lucas
