Re: [obm-l] sequencia de funções
A prova que conheço também é baseada neste teorema. Se (f_n) é uma sequência de funções contínuas definidas em um espaço topológico e com valores em R que convirja para uma função f, então o conjunto D das descontinuidades de f é de 1a categoria na classificação de Baire. Isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com interior vazio. Como R é um espaço de Baire, D tem interior vazio. No caso da função que vc deu, D é todo o [0, 1], que não tem interior vazio. Isto prova o desejado. Mas o teorema aqui usado não é pesado não. A demonstração não é assim complicada. Baseia-se no fato de que D é Gdelta. O que também não é muito difícil de mostrar. Acho que provar isto via epsilon delta é bem mais complicado. Artur Costa Steiner Em 20/05/2013, às 21:49, Samuel Wainer sswai...@hotmail.com escreveu: Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R, convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é irracional. Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n sãocontínuas o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. Alguém tem alguma ideia?
Re: [obm-l] sequencia de funções
Aliás, na realidade, este seu exercício baseia-se em epsilon delta sim, porque a prova do teorema que vc citou baseia-se nisto. Recomendo que vc prove o teorema. Tudo de que vc precisa é o conceito de convergência puntual e o da definição epsilon delta de continuidade. Acho que fica mais fácil se vc primeiro provar que D é G delta. Artur Costa Steiner Em 20/05/2013, às 21:49, Samuel Wainer sswai...@hotmail.com escreveu: Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R, convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é irracional. Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n sãocontínuas o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] Re: [obm-l] sequencia de funções
defina f_n(x)= f(x), se x=c-1/n ou x=c+1/n (f(c-1/n) - c)*(c-x)/(1/n) + c, se c-1/n=x=c (c-f(c+1/n))*(c+1/n-x)/(1/n) + f(c+1/n), se c=x=c+1/n 2011/2/20 Jefferson Chan jeffersonj...@gmail.com Seja f: I-R uma função que é contínua em todos os pontos do intervalo I, salvo em um único ponto c. Obtenha uma sequencia de funções contínuas f_n: I-R tal que lim f_n = f pontualmente. abs, Jefferson = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Julio Cesar Conegundes da Silva
Re: [obm-l] sequencia
a(n+1)=an/(1+n.an) = 1/a(n+1)=n+(1/an)=n+n-1+(1/a(n-1))= ... =n+n-1+n-2+...+2+1+0+(1/a0) = 1/a(n+1)=(n.(n+1)/2) + 1 = 1/a1993 = 1992*1993/2 + 1 = 1985029 = a1993 = 1/1985029 Gabriel Dalalio 2011/2/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Determinar a1993 para a sequencia definida por a0=1 e a(n+1)=an/(1+nan),para todo n natural.Desde ja agradeço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] sequencia
Sauda,c~oes, Este é o exercício 61 no Manual de Progressões. Sugestão: considere (b_n) tal que b_n=1/a_n. Assim b_n=(n^2 - n + 2)/2. E aquele outro 1 + 11 + 111 + + 1 é o exercício 82. []'s Luís From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] sequencia Date: Wed, 16 Feb 2011 12:45:44 + Determinar a1993 para a sequencia definida por a0=1 e a(n+1)=an/(1+nan),para todo n natural.Desde ja agradeço.
RE: [obm-l] sequencia
Fazendo an = 1/k a(n+1) = (1/k)/(1+n.(1/k)) = 1/(k+n) k1=1 k2 = 1+1 k3 = 1+1+2 k4 = 1+1+2+3 k1993 = 1+1+2+3+...+1991+1992=1992.1993/2+1=996.1993+1 n1993=1/(996.1993+1) []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] sequencia Date: Wed, 16 Feb 2011 12:45:44 + Determinar a1993 para a sequencia definida por a0=1 e a(n+1)=an/(1+nan),para todo n natural.Desde ja agradeço.
Re: [obm-l] sequencia
É só aplicar diretamente a definição de --- que sai fácil. On Thu, Jun 12, 2008 at 1:41 PM, [EMAIL PROTECTED] wrote: Gente querida, Alguma sugestão para responder esta questão? Supondo que an --- x 0, prove que an 0 a partir de um certo N. Abração, Luciana -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] sequencia
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Gente querida,
Alguma sugestão para responder esta questão?
Supondo que an --- x 0, prove que an 0 a partir de um certo N.
Abração, Luciana
Tome E=x/20 e aplique a definição de sequência... então existe N0 tal
que d(x,N), onde x pertence {an} implica ...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] sequencia
Valeu Alexsandro Néo e Bruno
Obrigada pela resposta.
Abraços, Lu
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Gente querida,
Alguma sugestão para responder esta questão?
Supondo que an --- x 0, prove que an 0 a partir de um certo N.
Abração, Luciana
Tome E=x/20 e aplique a definição de sequência... então existe N0 tal
que d(x,N), onde x pertence {an} implica ...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencia densa em [0, 1]
O que, afinal, demonstraria que a sequencia e densa em (0,1)? Acho que o Emanuel deu uma demo disso, na sua solucao do problema 3 na 1a. OBM universitária (Eureka! 13). P.S.: Teorema de Kronecker, esse é o nome! Em 08/08/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Para x 0, seja frac(x) a parte fracionaria de x, dada por frac(x) = x - [x], onde [x] eh o maior inteiro menor ou igual a x. Se p0 eh irracional, pelo pricipio da casa dos pombos eh facil mostrar que, para todo eps 0, existem inteiros positivos m e n tais que |frac(m*p) - frac(n*p)| eps. Mas isto nao prova que frac(n*p) eh densa em [0, 1]. Alguem jah mostrou isso? Obrigado Artur -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Sequencia
Olá Klaus, sabemos que MA = MG [media aritmetica maior ou igual a media geometrica] assim: (a_n + b_n)/2 = (a_n*b_n)^(1/2) a_(n+1) = b_(n+1), n = 0, 1, 2, 3... ou: b_n = a_n, n = 1, 2, 3... sabemos que a_n = b_n, entao: a_n*b_n = b_n^2 ... (a_n*b_n)^(1/2) = b_n logo: b_(n+1) = b_n ... b_n = b_(n+1) opz, troquei no outro email! b_n é crescente para n=1, 2, 3, ... entao vamos por outro lado: b_n = a_n a_n+b_n = 2a_n (a_n+b_n)/2 = a_n ... a_(n+1) = a_n logo, a_n é decrescente para n=1,2,3,4,...!! assim: 0 a_n = a_1 ... opa! a_n é limitada! logo, a_n converge... mas b_n = a_n ... logo, b_n converge... eu tinha dito que b_n é limitado pois é sempre positivo [maior que 0] e decrescente.. isto é: 0 b_n = b_0, para qualquer n mas isto esta furado, pois b_n nao eh decrescente! po.. no primeiro email eu troquei inclusive a desigualdade das medias.. esquece aquele email! ta todo errado! hehe desculpa ae! espero ter ajudado, abracos, Salhab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia
Ola, primeiramente, vamos supor que a_n e b_n convergem.. entao: lim a_(n+1) = lim a_n = m1 lim b_(n+1) = lim b_n = m2 m1 = (m1 + m2)/2 ... 2m1 = m1 + m2 ... m1 = m2 ou m2^2 = m1*m2 m1 = m2 agora temos que mostrar que estas sequencias convergem :) pela desigualdade das medias, temos: a_(n+1) = b_(n+1) opa! basta provarmos que b_n converge... b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 = b_n ... opa! b_n é descrescente! mas b_n tbem é limitado, pois só possui termos positivos! logo, b_n converge e, consequentemente, a_n converge! abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:17 PM Subject: [obm-l] Sequencia Sejam a_0 e b_0 dados com 0a_0b_0. Sejam a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) tal que a_n--m --b_n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] sequencia basica
Ah sim...Obrigado!Aliás, pensando nisso tem uma forma de fazer uma sequencia que de como resposta isto ai.Se T(n)=n/2^(n-1), temosT(n+1)=(n+1)/2^n=n/2^n+1/2^n=1/2T(n)+1/2^nT(n+1)-1/2T(n)=1/2^n T(n+2)-1/2T(n+1)=1/2^(n+1)=1/2(T(n+1)-1/2T(n)) 2T(n+2)-T(n+1)=T(n+1)-1/2T(n) 4T(n+2)-4T(n+1)+T(n)=0Bem, a partir daí, se S(n)=T(n)+T(n-1)+...+T(1),entao S(n)-S(n-1)=T(n)Substituindo...4S(n+2)-4S(n+1)-4S(n+1)+4S(n)+S(n)-S(n-1)=0 4S(n+2)-8S(n+1)+5S(n)-S(n-1)=0 Bem, o polinomio caracteristico e algo como4s^3-8s^2+5s-1 que nao e dificil de fatorar.Bem, fica o resto com vcs...Em 14/06/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Os termos formam uma sequencia de fracoes na qual os numeradores estao em PA de razao 1 ,1, 2, 3. e os denominadores sao uma PG de razao 2, 2^0, 2^12^n Achoo que eh isto. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: terça-feira, 13 de junho de 2006 12:19Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] sequencia basicaSem querer ser chato, diga-me qual a lei de formacao disto... Em 06/06/06, Eduardo Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ideas are bulletproof.V -- Ideas are bulletproof.V
Re: [obm-l] sequencia basica
n/2^(n-1) - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, June 13, 2006 12:19 PM Subject: Re: [obm-l] sequencia basica Sem querer ser chato, diga-me qual a lei de formacao disto... Em 06/06/06, Eduardo Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ideas are bulletproof.V No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.8.4/363 - Release Date: 13/6/2006
Re: [obm-l] sequencia basica
Sem querer ser chato, diga-me qual a lei de formacao disto...Em 06/06/06, Eduardo Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu:1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ideas are bulletproof.V
Re: [obm-l] sequencia basica
Eduardo Soares wrote: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = Acho que o jeito mais fácil é abrir essa somatória numa soma dupla: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + (=2) + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + (=1) + 1/4 + 1/8 + 1/16 + (=1/2) + 1/8 + 1/16 + (=1/4) + etc A soma dos termos na linha n é igual a 2/2^n (soma simples de pg). Por sua vez, a soma de todos os termos da forma 2/2^n é 4. Logo, 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = 4 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia basica
On 6/6/06, Eduardo Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) + (1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) + ... = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 4 Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia basica
1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = S (I) calcula 2S e subtrai da (I), ai fica mais trivial. Júnior.Em 06/06/06, Eduardo Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Sequencia de números -P A e PG
Se a sequencia a_1, a_2, a_3, ..., é uma PA e uma PG ao mesmo tempo, entao: a_1 + a_3 = 2a_2 a_2^2 = a_1 * a_3 logo: (a_1 + a_3)^2 = 4a_2^2 (a_1 + a_3)^2 - 4a_2^2 = 0 (a_1 + a_3)^2 - 4 * a_1 * a_3 = 0 logo: (a_1 - a_3)^2 = 0 assim, a_1 = a_3... PA de razao 0, ou PG de razao 1... abraços, Salhab Qual a condição para que uma sequência não constante seja PA e PG ao mesmo tempo? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == ===
Re: [obm-l] Sequencia de números -PA e PG
Impossivel. Se uma seq. eh simultaneamente uma PA e uma PG, entao a seq. eh constante. Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual a condição para que uma sequência não constante seja PA e PG ao mesmo tempo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia de polinomios
Se k=lim(deg P_n) (se este limite nao existir P_n nao converge) ha uma subsequencia de polinomios de grau k. Nesta subsequencia a convergencia se da coeficiente a coeficiente. Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia
Acho que é 200, já que todos começam com a letra D. Júnior.2006/4/19, Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, Me passaram este problema e nao tenho ideia de como resolver. Alguém pode me ajudar. Qual é o próximo número da seqüência abaixo? 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, (...). Abraços, Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia
Dois, Dez, Douze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, DuzentosNão tem nenhuma logica matematica nisso, talvez seja por isso q vc nao encontrou. Sao os numeros iniciados por D. On 4/19/06, Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Me passaram este problema e nao tenho ideia de como resolver. Alguém pode me ajudar. Qual é o próximo número da seqüência abaixo? 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, (...). Abraços, Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia
a resposta é 200.Porque todos os números da sequência começam com d.é uma pegadinha clássica!! 2006/4/19, Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal,Me passaram este problema e nao tenho ideia de como resolver.Alguém pode me ajudar.Qual é o próximo número da seqüência abaixo? 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, (...). Abraços,Aldo= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia
OPa
vc pode fazer uma induçaum
para n=1 verifica-se
para n=2 verifica-se tb
suponha q seja válido para n=k
vamos verificarr a validade para n=k+1
1+1/2+1/3*...*1/(2^k-1)k/2 e somamos 1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) +
1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) +aos dois membros
logo o membro esquerdo ficará o somatório
1+1/2+...+1/(2^(k+1)-1)
mas o somatório
1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) q tem 2^k parcelas
(verifique!)
e 1/(2^(k))
+1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1)
(2^k)/(2^(k+1)-1)
o q resta provar q (2^k)/(2^(k+1)-1) + k/2 (k+1)/2
q dah em 2^(k+1) 2^(k+1)-1 o q eh sempre verdadeiro pois consideramos n
sendo inteiro positivo
daih completa a demonstraçaum
Sum(1/k){k=1- 2^n-1}n/2
Pode-se notar também q a integral dessa série eh
divergente e crescente sempre podemos tomar um n na sekuência dada
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n=S tal q S assumas
valores sempre maiores sendo q se assumirmos n=e^k S sempre será maior q
k
abraçaum
Leonardo Broges Avelino
- Original Message -
From:
Klaus
Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 11:58
AM
Subject: [obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N --
1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1)n/2
Yahoo! doce lar. Faça
do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] sequencia
- Original Message -
From:
Leo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 5:10
PM
Subject: Re: [obm-l] sequencia
OPa
vc pode fazer uma induçaum
para n=1 verifica-se
para n=2 verifica-se tb
suponha q seja válido para n=k
vamos verificarr a validade para
n=k+1
1+1/2+1/3*...*1/(2^k-1)k/2 e somamos 1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) +
1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) +aos dois membros
logo o membro esquerdo ficará o somatório
1+1/2+...+1/(2^(k+1)-1)
mas o somatório
1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) q tem 2^k
parcelas (verifique!)
e 1/(2^(k))
+1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1)
(2^k)/(2^(k+1)-1)
o q resta provar q (2^k)/(2^(k+1)-1) + k/2 (k+1)/2
q dah em 2^(k+1) 2^(k+1)-1 o q eh sempre verdadeiro pois consideramos
n sendo inteiro positivo
daih completa a demonstraçaum
Sum(1/k){k=1- 2^n-1}n/2
Pode-se notar também q a integral dessa série eh
divergente e crescente sempre podemos tomar um n na sekuência
dada
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n=S tal q S assumas
valores sempre maiores sendo q se assumirmos n=e^k S sempre será maior q
k
abraçaum
Leonardo Broges Avelino
- Original Message -
From:
Klaus Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 11:58
AM
Subject: [obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N --
1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1)n/2
Yahoo! doce lar. Faça
do Yahoo! sua homepage.
Re:[obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N -- 1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1) n/2
==
Não entendi a sequencia direitoVeja:
Se vc quis dizer que o último termo do lado esquerdo é 1/(2^n-1) , então para n E N o lado esquerdo não pode ser como esta, seria :
-1 + 1 + 1/3 + 1/7 + ... +1/(2^n-1).
Mas se quis dizer 1/(2^[n-1]) tb não pode ser, seria :
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^[n-1]) .
Digamos que n E N* :
Se quis dizer 1/(2^n-1) ,então o lado esquerdo é :
1 + 1/3 + 1/7 + ... + 1/(2^n-1).
Ou então , se o ultimo termo for 1/(2^[n-1]) :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]).
Mas digamos que quis dizer 1/(2^[n-1]) para n E N* :
Assim o problema proposto se torna :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) n/2(i) ,para n E N*
Por indução finita :
Para n=1 :
11/2 (é verdade!)
Para n -- n+1
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) + 1/2^n n/2 + 1/2 (ii)
Precisamos mostrar que (ii) é verdadeira para todo n E N* ,então partimos de (i) e tentamos chegar a (ii):
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) n/2 .Somando 1/2^n + 1/2 nos 2 lados da desigualdade :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) +1/2^n + 1/2 n/2 + 1/2^n + 1/2 .
Arrumando:
{1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) +1/2^n}+ 1/2 {n/2 + 1/2} +1/2^n
Bom , o que está entre chaves é exatamente (i) , basta mostrar agora que
1/2 1/2^n(iii) para todo nEN* e 1 .Já que quando n=1 os termos se anulam fazendo (ii) ser verdade.
Assim,assumindo a desigualdade (iii) verdadeira(Para formalizar utilize indução novamente e prove) (ii) se torna sempre verdade, complatando nossa prova!
[]'s
Luiz H. Barbosa
Re: [obm-l] Sequencia
Vou provar o caso 1). O caso 2) seria análogo.
lim{a_n/b_n}=0 - Para qualquer L0, existe N natural tal que para todo n natural tal que nN então |a_n/b_n|L.
Podemos concluir que |a_k/b_k|L para todo k natural tal que Nk=n e então podemos escrever -La_k/b_kL -
-L*b_ka_kL*b_k - Somatório(N+1=k=n)[-L*b_k]
Somatório(N+1=k=n)[a_k]
Somatório(N+1=k=n[L*b_k]. Agora como a série de b_k converge, conseguimos provar que a série de a_k é limitada e como a mesma é monótona por possuir termos exclusivamente positivos, concluímos que ela é convergente.
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, ontem eu estava sem muito tempo, mas aqui vai um pequeno resumo de convergências diferentes sentidos, com as implicaç~oes que funcionam, e as condiç~oes a adicionar para fazer funcionar as outras: Conv Uniforme (ou L^\infty) = Conv Quase-Uniforme = Conv qtp Conv Quase-Uniforme = Conv em Medida Conv Quase-Uniforme + seq Dominada = Conv em L^p para p finito Conv qtp + seq Dominada = Conv em L^p para p finito Conv qtp + medida finita = Conv Quase-Uniforme Conv qtp + ( medida finita OU seq Dominada ) = Conv em Medida (Para p finito) Conv L^p = Conv em Medida Conv L^p = existe uma subseqüência que Converge qtp Conv L^p = existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente Conv L^p exponencialmente rápida = Conv Quase-Uniforme Conv em Medida = existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente = esta subseqüência converge qtp Conv em Medida + seq Dominada = Conv em L^p para p finito Conv em Medida exponencialmente rápida = Conv qtp Bom, agora a referência (para demonstraç~oes e uma figurinha bem bonita) Curso de Teoria da Medida, A. Armando de Castro Jr, Projeto Euclides / IMPA, pag 103 e 104 Até mais, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann. Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi], entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x) = 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0. Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil. Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para 0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0, 2*pi]. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao n~ao-evidente, mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato bem-conhecido que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n - f pontualmente, f está em L^1 = f_n - f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo resumindo): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito evidente. Talvez haja uma solucao mais simples
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao n~ao-evidente, mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato bem-conhecido que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n - f pontualmente, f está em L^1 = f_n - f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo resumindo): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito evidente. Talvez haja uma solucao mais simples: Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3., x em [0, 2*pi], nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo. Artur O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem nenhum asubsequencia convergente. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia, numero de digitos
Niski, consulte algum texto de matemática discreta, que fale sobre relações de recorrência. Há uma teoria análoga à de eqs. diferenciais, c/ superposição de soluções, solução do caso não homogêneo é soma de solução particular com solução do caso homogêneo, etc. Essa recorrência que você trouxe é fácil porque se trata de uma equação com coeficientes constantes e o termo não homogêneo é simples (polinômio de grau 1). As soluções básicas da homogênea vêm da eq. p^2=p-2 (tentativa de solução p^n, onde p é uma cte a ser determinada), de raízes 2 e -1. A solução particular vem da tentativa An+B, que revela que A=-1/2 e B=-5/4. Sol. geral: x[n] = (cte1).(2^n)+(cte2).((-1)^n)-(n/2)-5/4 Como x[1]=x[2]=1, cte1=1 e cte2=-3/4. Finalmente, x[n] = 2^n-(3/4).((-1)^n)-(n/2)-5/4 e x[100] = (2^100) - 52. Como o número de dígitos decimais de um inteiro positivo é dado por 1 mais a parte inteira do seu logaritmo na base 10, você precisa calcular log[(2^100) - 52] = log[2^100] + log[1 - 52/(2^100)] = 30,1 aproximadamente. O segundo log é desprezível, se você quiser ser rigoroso pode controlar o erro no truncamento da expansão de Taylor. Logo, a resposta final é 30+1=31. Leo Quoting Fabio Niski [EMAIL PROTECTED]: Pessoal, nao tive uma boa ideia pra resolver este problema, entao eu o proponho pra lista. Quem achar a solucao, peço para que poste aqui. How many decimal digits are needed to write the hundredth term of the sequence 1,1,6,12,29,59,...(x[n] = x[n-1] + 2x[n-2] + n, x[1]=x[2]=1) ? Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
Da Eureka 18, página 61: Você sabia Que existem infinitos inteiros positivos ímpares k tais que k.2^n+1 é composto para todo n ? Tais inteiros k são chamados números de Sierpinski. Em 1962, John Selfridge provou que 78557 é um número de Sierpinski, e conjectura-se que seja o menor deles. Atualmente há 11 números menores que 78557 sobre os quais não se sabe se são números de Sierpinski ou não: 4847, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 55459 e 67607. O número 5359 fazia parte dessa lista até 6/12/2003, quando Randy Sundquist ( um participante do Seventeen or Bust, um projeto distribuído para atacar o problema de Sierpinski) encontrou o primo 5359.2^5054502+1 , que tem 1521561 dígitos e é o quarto maior primo conhecido, e maior primo conhecido que não é de Merssenne. Veja: http://www.seventeenorbust.com para mais informações. Exercício: Prove que 78557 é um número de Sierpinski, e que existem infinitos números de Sierpinski a partir das congruências 78557.2^0+1=0 (mod 3) 78557.2^1+1=0 (mod 5) 78557.2^7+1=0 (mod 7) 78557.2^11+1=0 (mod 13) 78557.2^3+1=78557.2^39+1=0 (mod 73) 78557.2^15+1=0 (mod 19) 78557.2^27+1=0 (mod 37). Abraços, Gugu P.S.: Agora so' faltam 10: em 30/12/2004 foi achado o primo 28433.2^7830457+1, tirando o 28433 da lista acima. on 02.10.04 21:13, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 02.10.04 12:05, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou k= 2805*t + 1 com t inteiro 0 Boa tentativa, mas 2806*2^8+1 = 718337 eh primo. Por acaso voce usou o TCR? []s, Claudio. Poxa, foi uma bobeira que nao sei explicar... Nesse caso, use a explicacao padrao: era um teste pra ver se as pessoas estavem prestando atencao... olhando de volta no guardanapo onde tinha escrito isso as potencias de 2 eram 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 516 (acho ki embolei 256 e 512) Ja vi piores aqui na lista. Por exemplo, o meu 14 == -1 (mod 13). Agora... se 2^8 fosse 516 tinha matado o problema :). Nao usei TCR nao, quer dizer acho ki nao pelo menos diretamente...fiz meio que reinventando a roda. Infelizmente nao conheco a terminologia matematica suficiente pra classificar o metodo. Mas vou descrever e vc me diz o que que e. Comecei com a mesma ideia dos outros problemas identificar um m onde 2^n = -1 (mod m) pra qualquer n. Como eh impossivel passei ao plano B. Idetinficar alguns 'm's 2^n = -1 (mod m) para parte dos 'n's. Isso na minha opniao eh uma aplicacao abaianada (com todo respeito) do TCR. Possivelmente. Dividi on 'n's em 4 conjuntos: [4t], [4t+1], [4t+2] e [4t+3] Se existir um grupo finito de 'm's onde 2^n = -1 (mod m_i) em todos os casos acima entao k = m_1*m_2*...*m_i + 1. O '11' da minha resposta foi baseado na lambanca anterior de 2^8 = 516 = -1 (mod 11). Agora estou em duvida se da pra achar finitos 'm's. O problema sao os casos onde n eh potencia de 2. Um dia vou aprender matematica e ai vcs vao ver so :). Mas espera sentado viu? Esse eh um teorema provado por Sierpinski: existem infinitos impares k tais que k*2^n + 1 eh composto. Conjectura-se que o menor k com essa propriedade eh 78557 = 17*4621. De uma olhada em: http://www.prothsearch.net/sierp.html []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia das medias ponderadas
Oi Ana. Fui eu sim que comentei a sequencia das medias ponderadas. Epsilons e deltas, limites sao bonitos, certo? Alias, estes assuntos um tanto abstratos condizem muito com a alma feminina. De fato, a demosntracao daquela desigualdade no caso mais geral eh muito semelhante a da sequencia das medias aritm. Se ninguem apresentar antes sem extrapolar nos eh imediato (eu fiz isso?), eu amanha mando a prova para o caso geral - eh bem simples, mas de fato exige que se conhecam as prporiedades de lim sup e lim inf. Isto estava sendo usado num problema real sim, mas de forma mais simplificada. Era para estimar um conceito denomimnado de energia garantida de um empreendimento de energia eletrica, valor que vai ser usado nos leiloes de energia eletrica no Brasil, agora no inicio de dezembro. Mas nao hah limites, hah uma media ponderada com 2000 termos, s, truncou-se a sequencia. Estah no site do MME. Eu queria aprofundar este estudo, que envolve sequencias estocasticas, mas nao hove tempo por ora. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] sequencia das medias ponderadas Data: 01/12/04 20:40 Oi, Hah alguns dias alguem comentou este tipo de sequencia, acho que foi o Artur ou algum destes que parecem ir ao Nirvana quando se trata de epsilons, deltas, supremos e infimos (brincadeira!). Eu tenho alguma dificuldade para trabalhar com estes conceitos e tentei demonstrar a afirmacao feita de que, se x_n eh uma seq. de numeros reais, p_n eh uma sequencia de pesos positivos tal que (Soma p_n) diverge e s_n e dada por s_n = ((p1*x_1 +...p_n*x_n))/(p_1...+ p_n), entao liminf x_n = liminf s_n = limsup s_n = limsup s_n. Eu tentei me basear na demonsntracao destas desigualdades que o Artur deu para o caso da sequencia das medias aritmeticas e fazer uma generalizacao, mas me perdi porque a prova dada estava um tanto resumida (certamente foi feita com pressa e ele extrapolou um pouco nos eh imediato querisos) e eu nao me sinto ainda a vontade com estes conceitos de limif e limsup. Seria possivel ajudar! (nao e exercicio de casa, nao).? Eu acho muito mais facil enteder os liminf e limsup como o menor e o maior limite de uma subsequencia do que por aquela definicao baseada no supremo e infimo de conjuntos de infimos e supremos. Mas tenho dificuldade com suas propriedades Ana PS.: O autor da mensagem original disse que a seq das medias ponderadas foi usada num problema real. Gostaria der saber qual foi, se for possivel dizer. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia numerica
On Sun, Nov 07, 2004 at 06:30:25PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... a soma de
uma PG
e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em
algum sentido,
f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
Essa equao para soma de PG o resultado de um
limite quando 0
Concordo com voc, embora o Nicolau tenha feito a ressalva em algum
sentido... Mas que sentido?
Talvez o sentido seja considerar um limite de f(x) quando x tende a 1 pela
esquerda... Mas como fao isso??
Isso. Recapitulando, o problema original era:
Quanto vale 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... ?
De acordo com a definio usual de convergncia, que voc encontra
em qualquer livro de clculo ou de anlise, esta uma srie divergente
e portanto a soma infinita no est definida.
Existem, entretanto, outras definies mais amplas de soma infinita
de acordo com as quais esta soma est definida e vale 1/4.
Uma delas a seguinte.
Faa f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ...
Queremos calcular ou definir f(1). Temos f(x) = 1/(1+x)^2 para |x| 1.
Assim, natural definir f(x) = 1/(1+x)^2 para todo x.
Em particular, para x = 1 esta definio pode ser justificada por
lim_{x - 1} f(x) = 1/4.
Assim, no sentido que acabamos de discutir,
fica sendo natural dizer que 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
[]s, N.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Obrigada, Artur e Claudio, pela ajuda. Eh incrivel que o Claudio nao tenha sido aceito no mestrado. Eu tambem acho matematica fascinante, mas estuda-la nao eh um passatempo tao barato assim, nao. Bons livros de matematica custam quase sempre mais de R$100,00! Ana --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedor raso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem. E pra não perder a viagem, aqui vai: Um dos pontos de partida pra se provar que sen(n) é densa em [-1,1] é provar que a sequência frac(n*a) = n*a - piso(n*a) com a irracional é densa em [0,1]. Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: se 0 = r = s 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número de índices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a) s, então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r. Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso? []s, Claudio. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Address AutoComplete - You start. We finish. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: se 0 = r = s 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número de índices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a) s, então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r. Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso? Eu uma vez vi uma demonstracao disto baseada em Analise Complexa. Para mim, nao foi elementar. Alias eu nao entendi na integra, faltava conhecimento. Artur Claudio. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Address AutoComplete - You start. We finish. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia densa em f(I)
claudio.buffara wrote: Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedor raso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem. Quem mandou não querer entrar no mestrado em computação?! hehehe... você não vai voltar a assistir matérias como ouvinte? Acho que no semestre que vem vai ter umas matérias interessantes, se você tiver interessado. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia densa em f(I)
Eu nao sou o Claudio e muito menos profundo conhecedor de MatMas acho
que eu fiz algum comentario deste tipo em alguma mensagem antiga.
Uma possivel prova eh a seguinte. Para esta prova, precisamos saber que, se
p0 eh irracional, entao o conjunto A = {m*p + n | m eh inteiro, n eh
inteiro positivo}, eh denso em [0, oo). Isto foi discutido aqui na lista hah
pouco mais de de um ano atras, sob o titulo de conjunto denso em R, se nao
me engano. Foram discutidas provas baseadas no principio da casa dos pombos
e em fracoes continuas.
Para organizar as ideias, vamos antes demonstrar o seguinte lema:
Se p0 for irracional e A tiver a definicao dada anteriormente, entao, para
todo x pertencente a I, existe em A uma sequencia {x_i} = {m_i*p + n_i}, com
m_i e n_i0 inteiros, que converge para x e eh tal que a sequencia {n_i} eh
monotonicamente crescente.
Demonstracao: Todo x de I eh ponto de acumulacao de I. Como A eh denso em R,
temos que todo x de I eh ponto de acumulacao de A. Logo, existe em A uma
sequencia {x_i} que converge para x e tem seus termos distintos dois a dois.
Afirmamos que {n_i} contem uma infinidade de termos distintos. De fato, se
{n_i} contivesse um numero finito de termos distintos, entao para algum
inteiro positivo n a igualdade n_i = n teria necessariamente que vigorar
para uma infinidade de indices i. Escolhendo convenientemente tais indices,
obteriamos uma subseq. de {x_i} da forma {x_i_j} = {m_i_j*p + n}. Como os
termos desta subseq. sao distintos 2 a 2, temos que os m_i_j tem tambem que
ser distintos 2 a 2. Para todos indices distintos j e k, teriamos entao que
|x_i_j - x_i_k| = |m_i_j - m_i_k|*p = p0, pois p0 e |m_i_j - m_i_k| =1,
visto que m_i_j e m_i_k sao inteiros positivos distintos. Disto concluimos
que {x_i_j} nao eh uma seq. de Cauchy e que, desta forma, nao eh
convergente. Mas isto contraria o fato de que (x_i_j}, por ser subseq. de
{x_i}, que converge para x, tem tambem que convergir para x.
Como existem entao uma infinidade de inteiros positivos distintos n_i,
podemos escolher convenientemente os idices i, em ordem crescente, de modo a
obter uma subseq. {x_i_j) de {x_i} tal que {n_i_j} seja monotonicamente
crescente. Como esta subseq eh uma seq. de A que converge para x, o lema
fica demonstrado.
Se y pertence a f(I), entao y = f(x) para algum x de I. Segundo o lema que
demonstramos, existe em A uma seq. {x_i} = {m_i*p + n_i} com {n_i}
monotonicamente crescente. A continuidade de f implica que f(x_i) - f(x) =
y. Para cada i, f(x_i) = f(m_i*p + n_i) = f(n_i), em virtude de p ser
periodo de f. Como {n_i} eh uma seq. crescente de inteiros postivos,
segue-se que f(n_i) eh uma subseq. de f(n) que converge para y. E como isto
vale para todo y de f(I), concluimos que f(n) eh densa em f(I). E f(I) =
f(R), conforme vc disse.
Interessante observar que a hipotese de que p seja irracional eh de fato
essencial. Se p for racional, o conjunto A nao tem que ser denso em R e os
argumentos apresentados nao mais valem. A seq. {sen(pi*n), cujo periodo
fundamental eh 2, nao eh densa em [-1, 1].
Artur
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedorraso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem. E pra não perder a viagem, aqui vai: Um dospontos de partida pra se provar que sen(n) édensa em [-1,1] é provar quea sequênciafrac(n*a) = n*a - piso(n*a) coma irracional é densa em [0,1]. Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: se 0 = r = s 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número deíndices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a) s, então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r. Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 25 Oct 2004 06:13:00 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] Sequencia densa em f(I) Oi pessoal, Ha algum tempo circulou na lista uma mensagem em que se pedia para provar que a sequencia sen(n) era densa em [-1, 1]. Alguem comentou (acho que foi o Claudio ou algum destes outros profundos conhecedores de Mat) que isto eh um caso particular de um teorema geral que diz que, se f for continua e periodica em R e seu periodo fundamental p for irracional, entao a sequencia f(n) eh densa em f(I), sendo I = [0,p] (o que eh o mesmo que dizer que f eh densa em f(R)). Eu ainda nao consegui provar isto, gostaria de alguma ajuda. Obrigada. Ana __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - You care about security. So do we. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
on 02.10.04 21:13, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 02.10.04 12:05, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou k= 2805*t + 1 com t inteiro 0 Boa tentativa, mas 2806*2^8+1 = 718337 eh primo. Por acaso voce usou o TCR? []s, Claudio. Poxa, foi uma bobeira que nao sei explicar... Nesse caso, use a explicacao padrao: era um teste pra ver se as pessoas estavem prestando atencao... olhando de volta no guardanapo onde tinha escrito isso as potencias de 2 eram 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 516 (acho ki embolei 256 e 512) Ja vi piores aqui na lista. Por exemplo, o meu 14 == -1 (mod 13). Agora... se 2^8 fosse 516 tinha matado o problema :). Nao usei TCR nao, quer dizer acho ki nao pelo menos diretamente...fiz meio que reinventando a roda. Infelizmente nao conheco a terminologia matematica suficiente pra classificar o metodo. Mas vou descrever e vc me diz o que que e. Comecei com a mesma ideia dos outros problemas identificar um m onde 2^n = -1 (mod m) pra qualquer n. Como eh impossivel passei ao plano B. Idetinficar alguns 'm's 2^n = -1 (mod m) para parte dos 'n's. Isso na minha opniao eh uma aplicacao abaianada (com todo respeito) do TCR. Possivelmente. Dividi on 'n's em 4 conjuntos: [4t], [4t+1], [4t+2] e [4t+3] Se existir um grupo finito de 'm's onde 2^n = -1 (mod m_i) em todos os casos acima entao k = m_1*m_2*...*m_i + 1. O '11' da minha resposta foi baseado na lambanca anterior de 2^8 = 516 = -1 (mod 11). Agora estou em duvida se da pra achar finitos 'm's. O problema sao os casos onde n eh potencia de 2. Um dia vou aprender matematica e ai vcs vao ver so :). Mas espera sentado viu? Esse eh um teorema provado por Sierpinski: existem infinitos impares k tais que k*2^n + 1 eh composto. Conjectura-se que o menor k com essa propriedade eh 78557 = 17*4621. De uma olhada em: http://www.prothsearch.net/sierp.html []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? []s, Claudio. Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou k= 2805*t + 1 com t inteiro 0 _ Is your PC infected? Get a FREE online computer virus scan from McAfee® Security. http://clinic.mcafee.com/clinic/ibuy/campaign.asp?cid=3963 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
on 02.10.04 12:05, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? []s, Claudio. Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou k= 2805*t + 1 com t inteiro 0 Boa tentativa, mas 2806*2^8+1 = 718337 eh primo. Por acaso voce usou o TCR? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 02.10.04 12:05, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou k= 2805*t + 1 com t inteiro 0 Boa tentativa, mas 2806*2^8+1 = 718337 eh primo. Por acaso voce usou o TCR? []s, Claudio. Poxa, foi uma bobeira que nao sei explicar...olhando de volta no guardanapo onde tinha escrito isso as potencias de 2 eram 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 516 (acho ki embolei 256 e 512) Agora... se 2^8 fosse 516 tinha matado o problema :). Nao usei TCR nao, quer dizer acho ki nao pelo menos diretamente...fiz meio que reinventando a roda. Infelizmente nao conheco a terminologia matematica suficiente pra classificar o metodo. Mas vou descrever e vc me diz o que que e. Comecei com a mesma ideia dos outros problemas identificar um m onde 2^n = -1 (mod m) pra qualquer n. Como eh impossivel passei ao plano B. Idetinficar alguns 'm's 2^n = -1 (mod m) para parte dos 'n's. Isso na minha opniao eh uma aplicacao abaianada (com todo respeito) do TCR. Dividi on 'n's em 4 conjuntos: [4t], [4t+1], [4t+2] e [4t+3] Se existir um grupo finito de 'm's onde 2^n = -1 (mod m_i) em todos os casos acima entao k = m_1*m_2*...*m_i + 1. O '11' da minha resposta foi baseado na lambanca anterior de 2^8 = 516 = -1 (mod 11). Agora estou em duvida se da pra achar finitos 'm's. O problema sao os casos onde n eh potencia de 2. Um dia vou aprender matematica e ai vcs vao ver so :). Mas espera sentado viu? _ Dont just search. Find. Check out the new MSN Search! http://search.msn.click-url.com/go/onm00200636ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Sequencia de numeros compostos
Nao tenho mais o email original do Claudio, mas a questao are algo assim: Prove que existem infinitos K para que k*14^n + 1 seja composto pra qualquer n positivo 0 Eu acho que sei fazer por congruencias... basta escolher um numero composto C e fazer com que k*14^n + 1 = 0 (mod C) De cara 15 parece uma boa escolha para C. Quero achar um k para que k*14^n + 1 = 0 (mod 15) reescrevendo com k = x (mod 15) x * (-1)^n + 1 = 0 para todo n inteiro0 x * (-1)^n = -1 se n = 2a = x = -1, se n = 2a + 1 = x = 1 k = (-1)^(n+1) (mod 15) reescrevendo k como (-1)^(n+1) + 15*t com t natural ( com ou sem 0 :) ) k*14^n + 1 sera sempre multiplo de 15 e sempre composto. Ja ke existem uma infinidade de ts exitem uma infinidade de ks. _ Dont just search. Find. Check out the new MSN Search! http://search.msn.click-url.com/go/onm00200636ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
on 01.10.04 13:01, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao tenho mais o email original do Claudio, mas a questao are algo assim: Prove que existem infinitos K para que k*14^n + 1 seja composto pra qualquer n positivo 0 Eu acho que sei fazer por congruencias... basta escolher um numero composto C e fazer com que k*14^n + 1 = 0 (mod C) De cara 15 parece uma boa escolha para C. Quero achar um k para que k*14^n + 1 = 0 (mod 15) reescrevendo com k = x (mod 15) x * (-1)^n + 1 = 0 para todo n inteiro0 x * (-1)^n = -1 se n = 2a = x = -1, se n = 2a + 1 = x = 1 k = (-1)^(n+1) (mod 15) reescrevendo k como (-1)^(n+1) + 15*t com t natural ( com ou sem 0 :) ) k*14^n + 1 sera sempre multiplo de 15 e sempre composto. Ja ke existem uma infinidade de ts exitem uma infinidade de ks. Ok. Mas serah que voce consegue achar um K que funciona para todos os n? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 01.10.04 13:01, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao tenho mais o email original do Claudio, mas a questao are algo assim: Prove que existem infinitos K para que k*14^n + 1 seja composto pra qualquer n positivo 0 Eu acho que sei fazer por congruencias... basta escolher um numero composto C e fazer com que k*14^n + 1 = 0 (mod C) De cara 15 parece uma boa escolha para C. Quero achar um k para que k*14^n + 1 = 0 (mod 15) reescrevendo com k = x (mod 15) x * (-1)^n + 1 = 0 para todo n inteiro0 x * (-1)^n = -1 se n = 2a = x = -1, se n = 2a + 1 = x = 1 k = (-1)^(n+1) (mod 15) reescrevendo k como (-1)^(n+1) + 15*t com t natural ( com ou sem 0 :) ) k*14^n + 1 sera sempre multiplo de 15 e sempre composto. Ja ke existem uma infinidade de ts exitem uma infinidade de ks. Ok. Mas serah que voce consegue achar um K que funciona para todos os n? []s, Claudio Que tal k=12 entao? Na verdade nao eh preciso que k*14^n + 1 = 0 (mod C) com C composto Basta que k*14^n + 1 = 0 (mod m) m composto ou nao e [k*14^n + 1]/m 1 para k = 12: 12*14^n + 1 = 0 (mod 13) para n=1,2,3,... e como n 0, [12*14^n + 1]/13 1 _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
Para complementar o email anterior, ja que o problema original pedia infinitos ks k = 12 + 13*t com t inteiro =0 _ Dont just search. Find. Check out the new MSN Search! http://search.msn.click-url.com/go/onm00200636ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
Claudio Buffara wrote:
Aqui vai uma versao mais facil de um problema que eu mandei ha algum tempo:
Prove que existe uma infinidade de inteiros k tais que o numero k*14^n + 1
eh composto para n = 1, 2, 3, ...
No problema original, tinhamos 2 ao inves de 14.
[]s,
Claudio.
seja a_n = k * 14^n + 1
a_{n+1} = 14(a_n - 1) + 1
note que se a_n = 0 (mod 13) então
a_{n+1} = -13 = 0 (mod 13)
basta que a_1 = 14k + 1 = 0 (mod 13) para que toda a seq. seja múltipla
de 13.
note que se k' é solução da congruência acima, k' + 13 também é.
é trivial notar que k' = -1 é solução e, portanto 12 também é solução
(14*12 + 1 = 13*13)
para k = 12, 25, 38, ... (infinitos valores) o número a_n é múltiplo de
13 para todo n = 1.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
on 01.10.04 16:45, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 01.10.04 13:01, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao tenho mais o email original do Claudio, mas a questao are algo assim: Prove que existem infinitos K para que k*14^n + 1 seja composto pra qualquer n positivo 0 Eu acho que sei fazer por congruencias... basta escolher um numero composto C e fazer com que k*14^n + 1 = 0 (mod C) De cara 15 parece uma boa escolha para C. Quero achar um k para que k*14^n + 1 = 0 (mod 15) reescrevendo com k = x (mod 15) x * (-1)^n + 1 = 0 para todo n inteiro0 x * (-1)^n = -1 se n = 2a = x = -1, se n = 2a + 1 = x = 1 k = (-1)^(n+1) (mod 15) reescrevendo k como (-1)^(n+1) + 15*t com t natural ( com ou sem 0 :) ) k*14^n + 1 sera sempre multiplo de 15 e sempre composto. Ja ke existem uma infinidade de ts exitem uma infinidade de ks. Ok. Mas serah que voce consegue achar um K que funciona para todos os n? []s, Claudio Que tal k=12 entao? Na verdade nao eh preciso que k*14^n + 1 = 0 (mod C) com C composto Basta que k*14^n + 1 = 0 (mod m) m composto ou nao e [k*14^n + 1]/m 1 para k = 12: 12*14^n + 1 = 0 (mod 13) para n=1,2,3,... e como n 0, [12*14^n + 1]/13 1 12*14^n + 1 == 12*(-1)^n + 1 == 0 (mod 13) se e somente se n for par. Para n impar, esse negocio eh == 2 (mod 13). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] 12*14^n + 1 == 12*(-1)^n + 1 == 0 (mod 13) se e somente se n for par. Para n impar, esse negocio eh == 2 (mod 13). Para os que nao conhecem e bom deixar explicado que o Super Buffara volta e meia deixa um errinho pra ver quem ta prestando atencao no caso acima 12*14^n + 1 == 12*(+1)^n + 1 == 0 (mod 13) para qualquer valor de n. Note o '+'. _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
on 01.10.04 19:54, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] 12*14^n + 1 == 12*(-1)^n + 1 == 0 (mod 13) se e somente se n for par. Para n impar, esse negocio eh == 2 (mod 13). Para os que nao conhecem e bom deixar explicado que o Super Buffara volta e meia deixa um errinho pra ver quem ta prestando atencao no caso acima 12*14^n + 1 == 12*(+1)^n + 1 == 0 (mod 13) para qualquer valor de n. Note o '+'. Er...hum...quer dizer...hum...er...obviamente foi essa mesmo a intencaover quem estava prestando atencao PANO RAPIDO E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia
On Mon, Jul 05, 2004 at 11:16:38PM -0300, claudio.buffara wrote:
Alguem se habilita a descobrir o proximo termo da sequencia?
1 . 11 . 21 . 1211 . 111221 . ?
Com relacao a sequencia acima, repito aqui dois problemas nao muito dificeis
que propuz ha algum tempo e que nao deram o menor ibope na epoca:
1. Prove que qualquer termo da sequencia usa apenas os algarismos 1, 2 ou 3 e
que, em cada termo, ha no maximo 3 algarismos adjacentes iguais.
Outro problema mais difícil é o seguinte: seja a_n o número de algarismos
do n-ésimo termo da seqüência: a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 2, a_4 = 4, ...
Calcule lim_{n - infinito} (a_n)^(1/n).
Você pode encontrar as referências a partir da Enciclopaedia of Integer
Sequences:
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A005150
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] sequencia
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Monday 05 July 2004 21:09, Bruno França dos Reis wrote: vou escrever um programinha pra gerar essa sequencia, já já eu ponho o source aqui! Terminei o código. Funciona perfeito pra mim, mas não me responsabilizo por qualquer dano causado a qualquer um. Compila sem qualquer erro nem warning no meu Debian. Como usei apenas C Ansi, deve compilar em windows também. Qualquer coisa, me avisem por favor. Limitei a 256 caracteres, mas isso pode ser facilmente mudado. Com 256 caracteres podemos ver até o 19o. número da seqüência. Com 1024, dá pra ver até o 24, se não me engano. Cresce muito rápido o número de dígitos dos números dessa seqüência! Bom, é isso ae! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA6v1EsHdDIT+qyroRAq4fAJ0dPgK4Hd9feOoaEKf2w5qttWNB4QCfSsQE s83w5b54tdC/K+MrtABqlz8= =CafX -END PGP SIGNATURE- seq.tgz Description: application/tgz
Re: [obm-l] sequencia
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Monday 05 July 2004 20:44, Murilo wrote: Alguem se habilita a descobrir o proximo termo da sequencia? 1 . 11 . 21 . 1211 . 111221 . ? ... 312211 . 13112221 . 1113213211 . 31131211131221 . 13211311123113112211 . 1113122113311213212221 . ... vou escrever um programinha pra gerar essa sequencia, já já eu ponho o source aqui! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA6e3GsHdDIT+qyroRAgdaAJ4yZid1XNdAiYkZBi7Eeu7kYX/2WQCfTKFX 1J1gMalmdVPhZXo0uap4uIM= =mLts -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] sequencia
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 5 Jul 2004 20:44:53 -0300 Assunto: [obm-l] sequencia Alguem se habilita a descobrir o proximo termo da sequencia? 1. 11 .21 . 1211 . 111221 . ? Com relacao a sequencia acima, repito aqui dois problemas nao muito dificeis que propuz ha algum tempo e que nao deram o menor ibope na epoca: 1. Prove que qualquer termo da sequencia usa apenas os algarismos 1, 2 ou 3 e que, em cada termo, ha no maximo 3 algarismos adjacentes iguais. 2. Podemos usar a mesma lei de formacao a partir de qualquer sequencia de algarismos. Por exemplo, se o termo inicial fosse 43, os seguintes seriam 1413, 11141113, 31143113, ... Prove que existe uma unica escolha para o termo inicial que torna a sequencia constante. []s, Claudio.
RE: [obm-l] Sequencia de equacoes quadraticas
Oi Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Tudo Legal ? Problema Bonito ! Vou dar uma ideia que talvez ajude ... A equacao original e : X^2 + p1*X + q1 = 0. Vou representa-la ligeiramente modificada. Assim : X^2 + p11*X + p12 = 0. Suas raizes serao : p21 e p22. Entao : p21 + p22 = - p11 p21*p22 = p12 As proxima equacao sera : X^2 + p21*X + p22 = 0. Suas raizes serao p31 e p32. Entao : ( Claramente existe uma questao de simetria a ser considerada aqui, mas nao vamos nos perder com estes detalhes, agora ) p31 + p32 = -p21 p31*p32 = p22 Agora, nos podemos voltar ... voltando ( segundo sistema no primeiro ) : -(p31+p32) + p31*p32 = -p11 p31*p32(-p31-p32) = p12 p31*p32(p31*p32 + p11) = p12 = (p31*p32)^2 - p11*(p31*p320 - p12 = 0 Fazendo p31*p32 = Y, teremos : Y^2 - p11*Y - p12 = 0 Considerando que o personagem Joao nao conhece variaveis complexas, a equacao acima nos permite dsicutir a terceira equacao ( o produto de suas raizes !) com base nos parametros da equacao original ... E claramente que esta otica pode ser repetida para N sistemas, ad infinitum. Numa primeira aproximacao, acredito que se a informacao acima nao for apoditica para esclarecer o problema, ao menos pode dar informacoes uteis numa posterior investigacao. O problema e bonito, e conforme a nossa tradicao olimpica e se coaduna com perfeicao ao espirito que a preside, qual seja, o de criatividade, de inconformidade perante a rotina e a mediocridade. Com os melhores votos de Paz Profunda, sou Paulo Santa Rita 6,0942,140504 From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Sequencia de equacoes quadraticas Date: Thu, 13 May 2004 21:54:42 -0300 Oi, pessoal: O problema abaixo, proposto pelo Marcelo Souza, acabou caindo no esquecimento. Eu comecei a fazer no braco, mas cai numas desigualdades horriveis e desisti. Depois, testei varios casos no computador e cheguei a uma conjectura: Joao resolve no maximo duas equacoes, ou seja, se houver uma terceira equacao, ela terah necessariamente, raizes complexas. Exemplos: 1) x^2 + 2x + 3 = 0 == raizes complexas == Joao para na primeira. 2) x^2 - 5x + 6 = 0 == raizes: 2 e 3 == cai na equacao (1) e, portanto, para na segunda. 3) x^2 - x - 30 = 0 == raizes: -5 e 6 == cai na equacao (2) e, portanto, para na terceira. Repare que esse processo nao pode ser continuado pois -1 -30 e o enunciado diz que o coeficiente de x tem que ser inferior ao termo independente. Entao? Quem se habilita a provar ou encontrar um contra-exemplo pra conjectura acima? []s, Claudio. on 28.04.04 00:49, Marcelo Souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoas Alguém poderia me dar uma mãozinha neste probleminha 1. João resolve equações quadráticas. Resolvendo a equação x^2+p_1x+q_1=0, ele encontra duas raízes reais p_2, q_2, p_2q_2. Então ele resolve x^2+p_2x+q_2=0 e assim por diante... Até quando este exercício se repetirá, sabendo que João não conhece números complexos? obrigado []'s, Marcelo. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia crescente
Oi Cláudio. *2, 3, *6, 7, 8, 9, *14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, *30, ... A idéia é a(2^n - 1 + q) = 2*(2^n - 1) + q para n = 1 e 0 = q = (2^n - 1) Desta forma, a seqüência é crescente e a(2^n - 1) / (2^n - 1) = 2 para n = 1 e a(2^n - 1 + (2^n - 1)) / (2^(n+1) - 2) = [ 2*2^n - 2 + (2^n - 1) ] / 2*(2^n - 1) = [ 3*(2^n - 1) ] / 2*(2^n - 1) = 3/2 para n = 1 valendo lim inf a(n)/n = 1.5 2 = lim sup a(n)/n. Abraço, Duda. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Alguem saberia dar um exemplo de uma sequencia (a(n)) de inteiros positivos, estritamente crescente e tal que liminf a(n)/n limsup a(n)/n ? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia inexistente
Isto ja aconteceu numa Cone Sul,se eu nao me engano.De fato o problema dava umas condiçoes de uma sequencia e pedia um certo termo.Mas os alunos do Brasil provaram que nao existia a sequencia...Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi a todos!Estou aproveitando um rapido intervalo no trabalho para perguntar, jah queneste horario nao dah para pensar em matematica.Eu ontem estava ajudando a filha de um amigo com uns problemas sobresequencia de numeros reais. Pedia-se para verificar se uma sequencia, dadapor algumas condicoes, era convergente. Mas, apos analisarmos, verificamosque, ou porque houve um erro de enunciado, ou porque a questao era capciosa,a tal sequencia nao podia existir. As condicoes que a definiam eramcontraditorias, acarretando que, a partir de um k, seus termos fossempositivos e negativos. Dado que a pergunta final era "Eh esta sequenciaconvergente?" qual seria a resposta logicamente correta? Deveriamos dizersim, porque se a sequencia nao existe entao, por vacuidade, ela ehconvergente? Na linha daquilo que o Nicolau disse uma vez, a afirmacao"todos os dragoes sao verdes" eh verdadeira porque nao existem dragoes.Logo, dragoes e sequencias que nao podem existir sao qualquer coisa. Eurealmente estou com duvidas.Um abracoArtur OPEN Internet@Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
RE: [obm-l] Sequencia inexistente
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Wednesday, September 17, 2003 1:08 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Sequencia inexistente Isto ja aconteceu numa Cone Sul,se eu nao me engano.De fato o problema dava umas condiçoes de uma sequencia e pedia um certo termo.Mas os alunos do Brasil provaram que nao existia a sequencia... Pois eh! E neste caso, qual a resposta que se deve dar? Abracos. Artur Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi a todos! Estou aproveitando um rapido intervalo no trabalho para perguntar, jah que neste horario nao dah para pensar em matematica. Eu ontem estava ajudando a filha de um amigo com uns problemas sobre sequencia de numeros reais. Pedia-se para verificar se uma sequencia, dada por algumas condicoes, era convergente. Mas, apos analisarmos, verificamos que, ou porque houve um erro de enunciado, ou porque a questao era capciosa, a tal sequencia nao podia existir. As condicoes que a definiam eram contraditorias, acarretando que, a partir de um k, seus termos fossem positivos e negativos. Dado que a pergunta final era Eh esta sequencia convergente? qual seria a resposta logicamente correta? Deveriamos dizer sim, porque se a sequencia nao existe entao, por vacuidade, ela eh convergente? Na linha daquilo que o Nicolau disse uma vez, a afirmacao todos os dragoes sao verdes eh verdadeira porque nao existem dragoes. Logo, dragoes e sequencias que nao podem existir sao qualquer coisa. Eu realmente estou com duvidas. Um abraco Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de Fibonacci um Enigma
Use a formula fechada da sequencia de Fibonacci Osvaldo_Corrêa [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá lista,Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic.Bem, estou com uma questão do Livro" Teoria elementar dos Números" do autor Edgard de Alencar filho, a questão é a 23 do capitulo 17. Na verdade, tenho um verdadeiro enigma.a questão é a seguinte:(Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2 = (F2n+3)^2 Para Todo n = 1A seqüência de fibonacci é definida da seguinte maneira: a definição de um numero da seqüência e soma de seus dois antecessores, logoFn = Fn-1 + Fn-2 sendo n o índice da posição do numero na seqüência como no exemplo abaixo:F1 F201, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765Bem, vamos até onde cheguei. Primeiro eu tentei por indução, desta forma igualei n a 1 e verifiquei que é verdadeiro.Igualei n a k e fiz as subistituiçoes e montei a minha hipótese(Fk Fk+3)^2 + (2Fk+1 Fk+2)^2 = (F2k+3)^2 (Hipótese)Depois montei a tese igualando n a k+1 e fazendo as substituições.(Fk+1 Fk+4)^2 + (2Fk+2 Fk+3)^2 = (F2k+5)^2 (Tese)O problema e que não consegui fazer as substituições com a hipótese para chegar na resolução deste problema. Alguém tem uma sugestão para solução deste problema? Será que a solução pode ser feita de outra maneira que não seja indução?Agradeço a todos da ListaOsvaldo CorrêaUniversidade Estadual de Goiás - UEGTRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo.
Re: [obm-l] Sequencia de Fibonacci um Enigma
On Thu, Nov 28, 2002 at 04:31:23PM -0200, Osvaldo Corrêa wrote: Olá lista, Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic. Bem, estou com uma questão do Livro Teoria elementar dos Números do autor Edgard de Alencar filho, a questão é a 23 do capitulo 17. Na verdade, tenho um verdadeiro enigma. a questão é a seguinte: (Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2 = (F2n+3)^2 Para Todo n = 1 Como f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) f(n) = f(n+2) - f(n+1) temos f(n+3) f(n) = f(n+2)^2 - f(n+1)^2 Assim (f(n) f(n+3))^2 + (2 f(n+1) f(n+2))^2 = (f(n+2)^2 - f(n+1)^2)^2 + (2 f(n+2) f(n+1))^2 = (f(n+2)^2 + f(n+1)^2)^2 A última igualdade segue expandindo tudo mas também é a forma usual de construir ternos pitagóricos: a = u^2 - v^2, b = 2uv, c = u^2 + v^2, a^2 + b^2 = c^2 Falta apenas provar que f(n+2)^2 + f(n+1)^2 = f(2n+3) Isto segue da identidade entre matrizes (0 1) ( f(n-1) f(n) ) F = ( ) ; F^n = () (1 1) ( f(n) f(n+1) ) facilmente demostrável por indução (e muito útil) considerando o coeficiente (2,1) de F^(n+1) F^(n+2) = F^(2n+3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Sequencia Sinistra!
On Wed, Jan 01, 1997 at 01:46:36AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olah Nicolau e todos da lista, Nicolau, eu estava fucando os arquivos, e achei um email seu sobre a sequencia numerica 1^1 + 2^2 + 3^3 +... N^N, e sobre achar uma forma fechada para ela. Vc poderia mostrar a forma fechada desta aberracao, e qual foi o raciocinio usado para chegar a ela? Não me lembro muito bem dessa história. Eu acabo de procurar a seqüência em http://www.research.att.com/~njas/sequences/ que é uma enciclopédia on-line de seqüências de inteiros. Lá há uma referência: Problem 4155, Amer. Math. Monthly, 53 (1946), 471. mas duvido que exista uma fórmula fechada. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Sequencia Sinistra!
Sauda,c~oes, Quando esse assunto estava fresco eu fui olhar a referência que o N. indicara. Não há fórmula fechada. Há somente um resultado A = S_n = B. Mas nem A nem B são interessantes. []'s Luis -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 22 de maio de 2002 09:57 Assunto: Re: [obm-l] Sequencia Sinistra! On Wed, Jan 01, 1997 at 01:46:36AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olah Nicolau e todos da lista, Nicolau, eu estava fucando os arquivos, e achei um email seu sobre a sequencia numerica 1^1 + 2^2 + 3^3 +... N^N, e sobre achar uma forma fechada para ela. Vc poderia mostrar a forma fechada desta aberracao, e qual foi o raciocinio usado para chegar a ela? Não me lembro muito bem dessa história. Eu acabo de procurar a seqüência em http://www.research.att.com/~njas/sequences/ que é uma enciclopédia on-line de seqüências de inteiros. Lá há uma referência: Problem 4155, Amer. Math. Monthly, 53 (1946), 471. mas duvido que exista uma fórmula fechada. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
