Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
On Mon, Aug 11, 2003 at 07:53:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? A Marilyn está certíssima e sua argumentação é perfeita (neste caso). Você também está certíssimo. Eu já escrevi um artigo na Eureka sobre este problema (entre outros). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
A tal beleza começou pela idéia. Parabéns. Em 09 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Exatamente Cláudio, o Princípio de Dirichlet tb é conhecido como Princípio da Casa dos Pombos ou das gavetas. O exemplo do monge é muito bom. Coloquei-o certa vez numa prova de cálculo I. Os alunos acharam bacana. E quanto ao TNP a prova não é simples realmente, mas a tentação de mostrar aos alunos a relação entre ln e os nos primos, destas relações absolutaamente inesperadas, é forte. Aproveito para colocar mais alguns resultados e dizer que, a medida que leio as respostas dos nossos colegas a sua enquete, fico cada vez mais perplexo, pois raramente discordo de algum, o que me alegra por demonstrar que, convenhamos, a Matemática é linda demais. (6) Esse é simples e bonitinho demais: Existem desertos de primos tão grandes qto se queira, isto é, formalmente: dado N natural, existe uma sequência de N inteiros consecutivos compostos. (7) A demonstração de que os números transcendentes são não-enumeráveis. (8) A solução da eq: 2^x = x^2 . ( acho que se encontra isto em : Meu Professor de Matemática... , do Elon. SBM ) (9) A demonstração de que C não é um corpo ordenado, pela simplicidade. ( Aqui vale dizer que não é necessário o emprego dos termos técnicos, como corpo, por exemplo... ) (10) A relação de Euler para poliedros, que, pecaminosamente havia me esquecido. Abraços, Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 20:34:04 -0300 on 09.08.03 18:39, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. Oi, Frederico. O principio de Dirichlet a que voce se refere eh o das casas de pombos? O TNP eh um pouco avancado demais (mesmo com uma demonstracao elementar), mas aquelas desigualdades de Chebichev sao aceitaveis, assim como o postulado de Bertrand, que penso seriamente em botar na minha lista. Pra mim, o TVI (e qualquer resultado que dependa do axioma do supremo) foi um caso mais dificil de decidir, mas como tem aquele probleminha do monge subindo e descendo a montanha, acho que ele tambem eh aceitavel. E, afinal de contas, tem um volume da colecao do Iezzi que trata de limites, derivadas e integrais... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Minhas escolhas são, como pedido, bem em nível de ensino médio e revelam minha admiração pela simplicidade e pela surpresa. 1) O conjunto dos primos eh infinito. Incluído pela beleza da prova de Euclides. 2) Desigualdade das médias aritmética e geométrica. Incluída pela beleza da prova de Cauchy. 3) As alturas de um triângulo concorrem em um mesmo ponto. (Sei que vão achar surpreendente essa minha indicação, mas é um resultado que conhecemos desde pequenos e, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é, nem tampouco da engenhosidade da demonstração.) 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Claudio Buffara wrote: Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Desculpe a ignorancia, poderia detalhar mais a segunda escolha? Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio ! Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados. PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli ) 1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli. Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema. SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos ) Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico. TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner ) Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto p = a*cosA + b*cosB + c*cosC Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803 EM TEMPO. Sobre a beleza matematica : A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB O autor mostra como o numero fi, ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado : A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia : 1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ... From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Alguns que acho legais: --- não diria que são os 5 mais belos, mesmo pq tem muita coisa que eu desconheço. - Teorema de Euler (generalização do pequeno teorema de Fermat). acredito que a demonstração poderia ser dada no ensino médio pois não é muito difícil - A dem. de que existem infinitos primos é sem dúvida um 'must' na sua enquete - Resolução de sistemas lineares através de escalonamento acho que é o primeiro algoritmo um pouco mais avançado que se vê no colegial! - Teorema Binomial + Triângulo de Pascal - O cálculo de 1² + 2² + ... + n² é sem dúvida muito interessante, existem várias demonstrações, variando de uso de técnicas consagradas (usando polinômios para definir a recorrência, ie p(n) - p(n-1) = n² e p(0) = 0) até uso de blocos 1x1x1 para formar uma figura geométrica que possui na base n x n blocos, sobre a base (n-1)x(n-1) blocos alinhados num dos quadrantes e por aí vai... fazendo algumas manipulações com a figura vc chega na fórmula! Isso tudo pode ser compreendido por um aluno do colegial e certamente empolgaria muitos alunos. Algumas outras que incluiria na lista apesar de serem mais avançadas: http://mathworld.wolfram.com/LagrangesGroupTheorem.html http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html http://mathworld.wolfram.com/DirichletSeriesGeneratingFunction.html essa última e sua relação com a teoria dos números é algo que me surpreendeu muito... se alguém sabe onde encontro mais coisas a respeito da conexão entre análise e teoria dos números por favor mande! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
BoasVeja o livro do Gugu e do Yoshi de Combinatoria Contemporanea. --- Fabio Henrique [EMAIL PROTECTED] escreveu: A tal beleza começou pela idéia. Parabéns. Em 09 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Colegas,nao acreditem em testes de QI --- Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
On Sat, Aug 09, 2003 at 12:27:25PM -0300, A. C. Morgado wrote: 8) Os teoremas belgas a respeito das seções cônicas. Outro que eu não sei o que é. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Cláudio: A Matemática é a única ciência em que uma geração não poe abaixo o que a anterior construiu. As idéias matemáticas belas são permanentes e a sua enquete em nada remetia a que enviássemos apenas teoremas modernosos, ademais a genialidade dos Matemáticos da Carochinha parece não ter mais espaço nos últimos anos ... Perplexo, com seu comentário, Frederico. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 15:15:20 -0300 (ART) Ah e,e??Veja o primeiro capitulo do Proofs from THE BOOK.Ai ce vai ver como topologia e ultrapassado Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caro Claudio, Em termos de probabilidade não há razão para se mudar de opção, ou dee porta. Digamos que haja um milhão de portas. A probabilidade de se acertar em todas elas serão iguais entre si e iguai a 1/1.000.000. Digamos que o apresentador abra 999.998 portas, ou seja, que só sobrem duas. Está certo: a probabilidade de se acertar aumentou; mas ela aumenta para ambas as portas. O que modificou foi o número total de possibilidades. Antes, tinha-se que escolher uma porta entre um milhão; depois, uma porta entre duas. No entanto, a probabilidade de se ganhar em ambas as portas é de 1/2. Só seria necessário mudar a porta se após a abertura das outras portas a probabilidade de se acertar de uma porta ficasse maior do que a da outra. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:53:06 -0300 on 11.08.03 19:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! Oi, Domingos e Nicolau: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Ah e,e??Veja o primeiro capitulo do Proofs from THE BOOK.Ai ce vai ver como topologia e ultrapassado Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Um que e o meu preferido, alias o meu par teorema-problema preferido:a
Desigualdade de Erdös-Mordell e o problema de geometria da IMO 1996.Ja
enviei ha bastante tempo uma mensagem completa com a solução do segundo mas
poucos tiveram tempo de ler (eu mesmo nem tive tempo de rever esta perola
problemistica!!!).Quem achar uma desigualdade mais legal,meus parabens.Caso
contrario continue tentando!!
Ass.;
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Date: Tue, 12 Aug 2003 16:32:27 -0300
Olá!
É minha vez de enviar meus problemas/teoremas bonitos...
1) O teorema, devido a Euler, que diz que quando s 1 temos ZETA(s) =
SOMA{ 1/n^s, n=1...infinito } = PRODUTORIO { (1 - p^(-s) ), p primo }.
2) A surpreendente constatação de que um problema aparentemente não tão
complicado como o último teorema de Fermat tenha uma solução tão extensa e
complicada.
3) A demonstração (enviada para a lista) de que um número irracional
elevado
a um número irracional pode resultar um número racional. A saber, se p =
raiz(2) ^ raiz(2) é racional, está acabado; se p não for racional, é
irracional, e q = p ^ raiz(2) = 2 satisfaz o problema.
4) O método (não lembro de quem é, talvez Cauchy) para aproximar a soma de
séries SOMA{ s_n } onde s_1 s_2 s_3 ... 0, utilizando-se uma
integral.
5) A constatação maravilhosa de que certas constantes (como Pi e e) são
constantes em toda a matemática, isto é, aparecem em diversas áreas
(aparentemente desconexas) como geometria, análise, teoria dos números,
probabilidade, etc. dando a entender que toda a matemática tem um centro
firme (de onde saem os resultados) e uma arquitetura já planejada por
alguém
bem mais inteligente que nós...
6) O método do escalonamento de matrizes descoberto por Gauss. Brilhante
por
ser tão simples e ter levado tanto tempo para ser descoberto. Segundo o
Gilbert Strang: Ele é tão simples que mesmo qualquer um de nós poderíamos
tê-lo descoberto
7) O fato de que podemos definir num espaço vetorial uma função com
propriedades simples (=o produto interno) e dele derivarmos muitos e muitos
resultados interessantes. (isto realmente me surpreendeu, quando comecei a
estudar álgebra linear, pareceu mágica a existência e as conseqüências do
produto interno)
8) A menos de isomorfismo, o conjunto dos Reais é o único corpo ordenado
completo.
9) O primeiro teorema da inconsistência de Gödel.
E para finalizar:
10) O princípio da indução finita.
Abração,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Caros colegas da lista:
Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza
matematica.
O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo
algo
como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e
cujas
solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o
enunciado.
No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
(entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
utilizado.
A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel
acessivel
a
um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o
Porisma
de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para
triangulos
do Porisma poderiam ser incluidos).
Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o.
grau.
Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem.
Acho
que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes
pode
ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O
Proofs
from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar
uma
compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
--- Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco [EMAIL PROTECTED] escreveu: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Cláudio, No problema original, temos três portas, escolhemos uma e o apresentador logo em seguida abre outra que, com certeza, não tem o prêmio. Inicialmente, havia uma chance de 1/3 de uma determinada porta conter o prêmio. Ao ser aberta uma das portas e mostrar que ela não contém o prêmio, sobram apenas duas portas: a que você escolheu e uma outra. É como se a probabilidade tivesse sido atualizada pelo fato do apresentador mostrar uma porta que não contém o prêmio (isso é o Teorema de Bayes se não me engano). Agora que sobraram apenas duas portas, cada uma delas tem uma em duas chances (1/2) de ter o prêmio e, portanto, não há justificativa (matematica) para trocar de porta ou não. O fato do apresentador abrir uma das portas muda a probabilidade das DUAS portas e não apenas para uma, como a Sra. Marilyn quer nos fazer crer. Quanto ao argumento de 1 milhão de portas... Como você disse, a probabilidade de você ter escolhido a porta certa de primeira é de 1/10^6 que é a mesma probabilidade de cada uma das outras portas individualmente. Lembre-se que todas as probabilidades devem somar 1 = 10^6/10^6. O caso que você apontou (999.999/10^6) é a probabilidade combinada de todas as outras portas (cada uma entre as 10^6 portas têm probabilidade de 1/10^6) que você não escolheu de terem o prêmio e não de uma única porta das que você não escolheu. Se você simplesmente muda de porta, a probabilidade continua sendo a mesma... E, se ele abrir 777.777 portas sem o prêmio, a probabilidade de TODAS as portas fica em 1/222.223 e, novamente, não faz diferença mudar a porta... Espero ter sido claro. Abraço, Henrique. Oi Henrique! Faz diferença mudar de porta nesses casos. Se tem 1 milhão de portas, com apenas 1 premiada, a chance de vc escolher ela é 10^-6 se o cara abre uma porta que não tem o prêmio, vc pode mudar de porta e ter uma chance de (10^6-2)/(10^6-1) de acertar a porta certa, caso vc não tenha pego ela na primeira escolha. []'s, Hélder T. Suzuki ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caros Colegas, Gostaria de pedir desculpas a todos pelos comentários horrorosos que teci sobre Marilyn vos Savant. Primeiro, porque ela acertou o problema que errei, e mais, que reiterei meu erro. Cabe aqui um agradecimento especial ao Claudio que solucionou corretamente, enquanto eu e o Henrique erramos. Eu, por outro lado, errei mais ao tentar ridicularizar alguém que estava correta o tempo inteiro. Explico aqui o meu erro, que creio ser o mesmo do Henrique, para que outros entendam bem: o problema não permitia que a análise fosse feita através de dois jogos diferentes. Se assim fosse, as probabilidades das duas portas seriam iguais. Como bem explicou o Claudio, o problema está na primeira escolha, porque ela altera a probabilidade do que considerei como o segundo jogo. O pior que fiz, e do que agora me arrependo profundamente, parece ter sido influenciar a última mensagem do Dirichlet: Colegas,nao acreditem em testes de QI. A ele peço desculpas, em especial. Estou escrevendo esse texto para que outros não façam a mesma bobagem que eu. Antes de comentar algo, reflita bem sobre as possibilidades. Eu não fiz isso, e olha no que deu. Agora fica claro porque ela tem o QI mais alto do mundo (reitero: bullshit!!!), e eu não Desculpas sinceras, e, desde já, agradeço pela compreensão da minha ignorância, SAPIENTIAM AUTEM NON VICIT MALITIA, Bernardo From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 14:36:30 -0300 (ART) Colegas,nao acreditem em testes de QI --- Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
inverossimilhancas, nao a CAUSA UNICA delas ... E que cada um engula isso como puder ! Na Matematica, como em tudo, a Normalidade, quando nao e a expressao viva da mediocridade, e apenas uma face da patologia ... E sempre ha uma multidao de sacerdotes dispostos a defender os credos antigos e acusar os raciocinios estranhos e diferentes com as formas modernas da inquisicao, mesmo que a historia esteja diuturnamente demonstrando que o progresso jamais promana daquilo que e comum e batido, daquelas implicacoes logicas limpinhas e bonitinhas. Uma curva gaussiana das normalidades humanas, em qualquer ambiente, seja academico, social, desportivo e mesmo profissional, e sofrivel ... A pior desgraca que pode suceder a um ser humano, e ele ser normal ! Perdao por este OFF-DESABAFO final. Um Abraco Cordial a Todos ! Paulo Santa Rita 1,2107,100803 From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sun, 10 Aug 2003 19:00:05 -0300 Desculpe a ignorancia, poderia detalhar mais a segunda escolha? Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio ! Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados. PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli ) 1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli. Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema. SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos ) Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico. TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner ) Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto p = a*cosA + b*cosB + c*cosC Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803 EM TEMPO. Sobre a beleza matematica : A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB O autor mostra como o numero fi, ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado : A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia : 1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ... From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Carissimo Claudio : a ironia funciona quando o ironizado tem alguma nocao do que seja o ridiculo, o que nao parece ser o caso Acredito firmemente que as pessoas que frequentam esta nossa lista sao, em sua grande maioria, estudantes dedicados, que seriamente buscam aqui adquirir conhecimentos e esclarecer suas duvidas, seja porque irao participar de Olimpiadas, seja porque prestarao algum vestibular que exija algum treinamento maior em matematica. Enfim, sao pessoas serias que nao podem e nao devem estar dispostas a perder tempo com besteiras e maluquices. Perolas, como as destacadas pelo Claudio na mensagem abaixo, nao contribuem em nada para o aperfeicoamento desta nossa lista, servindo tao somente para desvaloriza-la, afastando algumas pessoas de real valor e formando uma imagem - que se propaga - negativa que nenhum de nos deseja ver associada aos lugares que prezamos e frequentamos. Toda mensagem deve ser responsavel, vale dizer, IDEALMENTE, deve carregar o que ha de melhor em nosso espirito. Deve ser a expressao de uma duvida sincera ou um esclarecimento consciente. E verdade que sempre ha uma distancia, grande ou pequena, entre aquilo que idealizamos e aquilo que realizamos, mas, as pessoas inteligentes percebem a diferenca entre uma digressao inocente ( um OFF) e uma atitude diuturna e malevola, fruto de uma paixao qualquer ... Como seres humanos podemos errar, mas nao podemos errar sempre, pois isso seria uma burrice ou maldade incompativel com a qualidade que almejamos para esta lista. Enfim. essa lista e a nossa casa. Devemos, portanto, ter cuidados com ela. Devemos trazer para o nosso convivio as melhores pessoas que conhecermos e laborar para que elas permanecam e possam testemunhar sobre a qualidade de nosso trabalho e de nossa educacao. A verdadeira mensagem subjacente a ironia do Claudio e um proteto silencioso, util, verdadeiro, que eu torno claro e que bem poderia ser tomado como ponto de partida para que as pessoas explicitamente mencionadas TIVESSEM VERGONHA NA CARA e deixassem de publicar asneiras e insanidades. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1937,110803 Os mafiosos tem comparsas; os criminosos, cumplices; os corruptos, associados : mas so os homens de bem tem amigos (Voltaire) Amigo e coisa pra se guardar do lado esquerdo do peito ! (Milton Nascimento - Gravado na camisa de alguem que me visitou ) From: Claudio Buffara To: Lista OBM Sent: Monday, August 11, 2003 1:16 AM Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Caros colegas: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! Pessoal, vamos olhar pra frente, prestigiar a modernidade e, mais importante, os talentos matematicos nacionais. Com isso em mente, elaborei uma lista que deixaria o David Hilbert morrendo de inveja. E o que eh melhor, com problemas propostos pelas mentes mais privilegiadas da nossa lista - aqueles que certamente vao cobrir o Brasil de gloria com medalhas Fields, premios Abel e ainda fazer os suecos criarem o premio Nobel de matematica. Sendo assim, aqui vao os problemas que pautarao o desenvolvimento da matematica nos seculos vindouros. As 7 primeiras perolas (perolas? brilhantes, isso sim!) sao de autoria do nobre sabio Jorge Luiz de Fortaleza. As 5 restantes - puro genio - do nosso querido e muitas vezes incompreendido mestre Dirichlet. Problemas e teoremas do Jorge Luiz: 1) A pegadinha no Pereira. 2) O caramujo. 3) A margem de erro real. 4) A compra, venda, recompra e revenda. 5) Apostar ou jogar uma moeda. 6) As páginas dos dicionários. 7) O método cuca legal de multiplicação. Problemas e teoremas do Dirichlet: 8) O da sequencia que sai facil por Kronecker - eh soh pegar os numeros das pontas e das extremidades e ir multiplicando de fora pra dentro; 9) O do triangulo que voce expressa o seno em funcao da tangente da metade do angulo externo do triangulo da pagina ao lado e cai num polinomio que os fatores se cancelam e se nao se cancelarem eh que voce errou alguma conta mas tudo bem que tambem tem a solucao cearense. 10) Aquele que voce aplica Schur 3 vezes e depois divide o intervalo em 4 sub-intervalos e aplica Schur mais umas 3 ou 4 vezes e ai fica trivial - basta usar Fermat, ou Cauchy, ou Euler, ou um cara desses ai. 11) Tem o outro que sai pelo teorema de Turan-Erdos-Von Neumann e mais outros dois ou tres hungaros que eu nao lembro o nome e ai com 4n^2+3 2n+1 7n^3+9 111 112 2m eh soh achar os dois grafos sem triangulos no meio do emaranhado de pontinhos. 12) Finalmente, tem aquele da soma dos senos que eh soh ver a Eureka e - ah! meu! Esse ai eh
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
On Sat, Aug 09, 2003 at 11:08:53AM -0300, A. C. Morgado wrote: 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. Perdão pela minha ignorância, mas o que é o problema dos pontos? 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Aqui é preciso demonstrar não só que não existem outros poliedros regulares mas também que os cinco poliedros que nós conhecemos de fato existem. Uma demonstração é pura e simplesmente dar coordenadas em R^3 para os vértices mas esta demonstração de certa forma é insatisfatória pois é caso a caso. O que seria interessante é demonstrar de forma geral que se o ângulo interno de um polígono regular de n lados é menor do que 2 pi/m então podemos juntar m polígonos regulares de n lados ao redor de cada vértice e completar um poliedro regular. Eu tenho uma demonstração notável deste fato mas este e-mail é pequeno demais para ela. ;-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
on 11.08.03 19:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! Oi, Domingos e Nicolau: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Ola Claudio ! Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados. PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli ) 1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli. Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema. SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos ) Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico. TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner ) Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto p = a*cosA + b*cosB + c*cosC Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803 EM TEMPO. Sobre a beleza matematica : A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB O autor mostra como o numero fi, ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado : A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia : 1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ... From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA(monge??)
Nao necessariamente...Pode ser que ele ache algum erro e espere ate alguem corrigi-lo.O piada estupida!!! --- Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Chamem um exorcista, o Nicolau está possuído pelo espírito de Fermat... Só espero que ele não demore 350 anos até enviar a sua solução... Brincadeira... Agora escrevendo seriamente. Tb não sei que problema dos pontos é esse e muito menos a solução de Fermat para o mesmo. Morgado, salve-nos... Abraços, Frederico. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 9 Aug 2003 18:54:19 -0300 On Sat, Aug 09, 2003 at 11:08:53AM -0300, A. C. Morgado wrote: 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. Perdão pela minha ignorância, mas o que é o problema dos pontos? 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Aqui é preciso demonstrar não só que não existem outros poliedros regulares mas também que os cinco poliedros que nós conhecemos de fato existem. Uma demonstração é pura e simplesmente dar coordenadas em R^3 para os vértices mas esta demonstração de certa forma é insatisfatória pois é caso a caso. O que seria interessante é demonstrar de forma geral que se o ângulo interno de um polígono regular de n lados é menor do que 2 pi/m então podemos juntar m polígonos regulares de n lados ao redor de cada vértice e completar um poliedro regular. Eu tenho uma demonstração notável deste fato mas este e-mail é pequeno demais para ela. ;-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
As demos do Erdös e deo selberg sao bem feias segundo o que ouvi falar,por exemplo,do Edmilson.Mas ele me deu uma demo do TNP bem curta e inteligivel.Depois eu envio. a demonstraçao com geometria esferica da relaçao de Euler e mais legal ainda! --- Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Exatamente Cláudio, o Princípio de Dirichlet tb é conhecido como Princípio da Casa dos Pombos ou das gavetas. O exemplo do monge é muito bom. Coloquei-o certa vez numa prova de cálculo I. Os alunos acharam bacana. E quanto ao TNP a prova não é simples realmente, mas a tentação de mostrar aos alunos a relação entre ln e os nos primos, destas relações absolutaamente inesperadas, é forte. Aproveito para colocar mais alguns resultados e dizer que, a medida que leio as respostas dos nossos colegas a sua enquete, fico cada vez mais perplexo, pois raramente discordo de algum, o que me alegra por demonstrar que, convenhamos, a Matemática é linda demais. (6) Esse é simples e bonitinho demais: Existem desertos de primos tão grandes qto se queira, isto é, formalmente: dado N natural, existe uma sequência de N inteiros consecutivos compostos. (7) A demonstração de que os números transcendentes são não-enumeráveis. (8) A solução da eq: 2^x = x^2 . ( acho que se encontra isto em : Meu Professor de Matemática... , do Elon. SBM ) (9) A demonstração de que C não é um corpo ordenado, pela simplicidade. ( Aqui vale dizer que não é necessário o emprego dos termos técnicos, como corpo, por exemplo... ) (10) A relação de Euler para poliedros, que, pecaminosamente havia me esquecido. Abraços, Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 20:34:04 -0300 on 09.08.03 18:39, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. Oi, Frederico. O principio de Dirichlet a que voce se refere eh o das casas de pombos? O TNP eh um pouco avancado demais (mesmo com uma demonstracao elementar), mas aquelas desigualdades de Chebichev sao aceitaveis, assim como o postulado de Bertrand, que penso seriamente em botar na minha lista. Pra mim, o TVI (e qualquer resultado que dependa do axioma do supremo) foi um caso mais dificil de decidir, mas como tem aquele probleminha do monge subindo e descendo a montanha, acho que ele tambem eh aceitavel. E, afinal de contas, tem um volume da colecao do Iezzi que trata de limites, derivadas e integrais... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Tenho algumas coisas a dizer: 1)Quando eu falei para nao acreditar em testes de QI eu falei serio!Eu ja disse antes que Henri Poincare tinha o QI de um debil mental,e por isso nao acredito em testes de QI 2)Nao estampe muito o QI de Marilyn, afinal ela e famosa demais para isso...Sem ironias nem nada disso,ja vou avisando. 3)E a enquete original? From: Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 19:08:59 + Caros Colegas, Gostaria de pedir desculpas a todos pelos comentários horrorosos que teci sobre Marilyn vos Savant. Primeiro, porque ela acertou o problema que errei, e mais, que reiterei meu erro. Cabe aqui um agradecimento especial ao Claudio que solucionou corretamente, enquanto eu e o Henrique erramos. Eu, por outro lado, errei mais ao tentar ridicularizar alguém que estava correta o tempo inteiro. Explico aqui o meu erro, que creio ser o mesmo do Henrique, para que outros entendam bem: o problema não permitia que a análise fosse feita através de dois jogos diferentes. Se assim fosse, as probabilidades das duas portas seriam iguais. Como bem explicou o Claudio, o problema está na primeira escolha, porque ela altera a probabilidade do que considerei como o segundo jogo. O pior que fiz, e do que agora me arrependo profundamente, parece ter sido influenciar a última mensagem do Dirichlet: Colegas,nao acreditem em testes de QI. A ele peço desculpas, em especial. Estou escrevendo esse texto para que outros não façam a mesma bobagem que eu. Antes de comentar algo, reflita bem sobre as possibilidades. Eu não fiz isso, e olha no que deu. Agora fica claro porque ela tem o QI mais alto do mundo (reitero: bullshit!!!), e eu não Desculpas sinceras, e, desde já, agradeço pela compreensão da minha ignorância, SAPIENTIAM AUTEM NON VICIT MALITIA, Bernardo From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 14:36:30 -0300 (ART) Colegas,nao acreditem em testes de QI --- Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Temos duas escolhas, portanto temos 4 casos: 1- escolhemos a porta premiada, e em seguida trocamos 2- escolhemos a porta premiada e não trocamos 3- não escolhemos a porta premiada e trocamos 4- não escolhemos a porta premiada e não trocamos vamos analisar os casos em que sempre trocamos de porta: (i) se escolhemos a porta premiada, perdemos. p = 1/3 (ii) se escolhemos uma porta não-premiada, ganhamos. p = 2/3 vamos analisar os casos em que não trocamos de porta: (i) se escolhemos a porta premiada, ganhamos: p = 1/3 (ii) se escolhemos uma porta não-premiada, perdemos: p = 2/3 veja que se trocamos de porta, temos uma chance de 2/3 ~= 66% de ganharmos e se não trocarmos de porta, temos uma chance de ~33% de ganharmos. então trocando de porta, aumentamos a chance de ganhar. []'s, HTS --- Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Meu decimo voto: Os racionais sao enumeraveis e os reais, nao. A. C. Morgado wrote: Mais cinco (sem a convicção dos cinco primeiros): 6) A reta de Euler. 7) O círculo dos 9 pontos. 8) Os teoremas belgas a respeito das seções cônicas. 9) Agora, um lema que considero engenhoso e prova muitos teoremas interessantes e lindos: se p eh primo, nos inteiros modulo p todo elemento nao-nulo eh invertível. 10) Meu ultimo voto fica para depois de ponderar outras opiniões. Morgado === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
on 09.08.03 18:39, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. Oi, Frederico. O principio de Dirichlet a que voce se refere eh o das casas de pombos? O TNP eh um pouco avancado demais (mesmo com uma demonstracao elementar), mas aquelas desigualdades de Chebichev sao aceitaveis, assim como o postulado de Bertrand, que penso seriamente em botar na minha lista. Pra mim, o TVI (e qualquer resultado que dependa do axioma do supremo) foi um caso mais dificil de decidir, mas como tem aquele probleminha do monge subindo e descendo a montanha, acho que ele tambem eh aceitavel. E, afinal de contas, tem um volume da colecao do Iezzi que trata de limites, derivadas e integrais... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Hah algumas passagens elementares da matematica que acho lindas: A demonstracao de que, sendo A, B e C conjuntos, entao A inter (B uniao C) = (A inter B) uniao (A inter C) e de que A uniao (B inter C) = (A uniao B) inter (A uniao C) As leis de De Morgan Como estas relacoes elementares sao importantes ma matematica, em todos os niveis! Indo um pouco mais longe, mas ainda de forma acessivel ao nivel medio: A prova de que interseccoes finitas de conjuntos abertos sao abertas e de que unioes finitas de conjuntos fechados sao fechadas, mas que tais constatacoes podem nao valer para interseccoes e unioes infinitas. A respeito de conjuntos, indo ainda um pouco mais longe, mas ainda ao alcance de um aluno de nivel medio que realmente goste de matematica (parece que soa poucos): O teorema de Heine Borel O teorema de Cantor Bendixon E a nivel bem simples: A deducao da formula de Baskara (hoje, evidente, mas uma grande sacada para a epoca) A demonstracao por meios puramente algebricos de que o trinomio do segundo grau y = ax^2 + bx + c tem um maximo ou um minimo global em x= -b/2a A formula da soma dos n primeiros termos de uma PG, a qual permite que um aluno de nivel medio veja, mesmo sem maiores conhecimentos de limites, que a serie geometrica converge se |razao|1 e diverge caso contrario. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Não venho acompanhando a discussão sobre o problema das portas (Conhecido com Dilema de Monty Hall), mas gostaria de lembrar que Paul Erdös, um dos grandes matemáticos do último século, ao escutar de Vázsonyi o problema e a resposta (mudar de porta), discordou e demorou a aceitar a solução. Na verdade, só se convenceu quando Graham lhe disse: A chave para o problema de Monty Hall era saber desde o início que o apresentador dava sempre a hipótese de mudar de porta. Isso é uma parte das regras do jogo que é preciso interiorizar. Vejam o livro O Homem que Só Gostava de Números, da Gradiva. Paulo --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Uma das mensagens do Shine expressa bem isso. From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 16:30:00 -0300 Cláudio: A Matemática é a única ciência em que uma geração não poe abaixo o que a anterior construiu. As idéias matemáticas belas são permanentes e a sua enquete em nada remetia a que enviássemos apenas teoremas modernosos, ademais a genialidade dos Matemáticos da Carochinha parece não ter mais espaço nos últimos anos ... Perplexo, com seu comentário, Frederico. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 15:15:20 -0300 (ART) Ah e,e??Veja o primeiro capitulo do Proofs from THE BOOK.Ai ce vai ver como topologia e ultrapassado Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Prezado Cláudio e demais colegas da lista, Quero desculpar-me por ter interpretado mal sua mensagem. Em realidade cometo um erro frequente de ler as mensagens na ordem em que elas estão na minha caixa, desta forma leio as mais recentes primeiro. Desta forma li a resposta de um membro da lista sobre sua mensagem original, mas que continha apenas o primeiro trecho de sua mensagem, o que me levou a uma interpretação incorreta e me deixou meio perplexo, minha impressão sobre o Cláudio foi sempre bastante positiva. Com este embróglio, prometo ler os e-mails na ordem correta. Aproveito para solidariezar-me com o Cláudio e outros que tb já não aguentam mais ficar lendo pseudo-paradoxos horripilantes e quebra-cabeças supostamente lógicos... Um abraço a todos. Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Wed, 13 Aug 2003 09:44:57 -0300 Caros colegas: Foi com uma mistura de surpresa e horror que eu constatei que alguns participantes da lista interpretaram literalmente o que eu escrevi em minha ultima mensagem sobre o assunto em epigrafe, do qual alias sou patrocinador. O que me entristece eh que um deles ja havia me causado uma impressao muito positiva por sua disposicao de tirar duvidas e de mostrar um pouco da beleza que existe na matematica. Sendo assim, o que me resta fazer eh esclarecer que aquela mensagem tinha dois objetivos: 1. Fazer rir; 2. Protestar contra o excesso de mensagens sem nexo, pegadinhas, problemas irrelevantes e mal-formulados e, mais geralmente, spam, que certos participantes insistem em enviar para a lista. Espero ter obtido um modico de sucesso em cada um deles. E para que nao haja duvidas: NAO! EU NAO ACHO QUE O TEOREMA SOBRE A INFINITUDE DOS PRIMOS DEVA SER REVOGADO! E TAMBEM NAO ACHO QUE TEOREMAS PROVADOS NO TEMPO DA CAROCHINHA OU ANTES DISSO DEVAM SER NEGLIGENCIADOS - MUITO PELO CONTRARIO, ESTES SAO EM GERAL OS MAIS BONITOS! No mais, ainda estou pensando no conteudo da minha lista de verdade. Este triste episodio me fez lembrar de um ex-presidente do nosso pais de quem se dizia que ria 3 vezes de cada piada: a primeira, quando ouvia; a segunda, quando explicavam; e a terceira, quando entendia. Alias, dizem que esse mesmo governante em certa ocasiao envolveu-se em acalorada discussao com seus ministros sobre o ponto de ebulicao da agua. Ele insistia que a agua fervia a 90 graus. Por mais de 1 hora, os ministros tentaram de todas as formas convence-lo que nao, que a agua fervia a 100 graus. Fracassaram. Entretanto, alguns dias depois, em nova reuniao, o presidente dirigiu-se aos ministros e disse: Senhores: eu lhes devo desculpas. Os senhores estao corretissimos. A agua de fato ferve a 100 graus. Eu me confundi. O que ferve a 90 graus eh o angulo reto. Por fim, quero falar um pouco da mensagem do Nicolau. O episodio ocorrido com o Noga Alon mostra que a vida real pode ser pelo menos tao absurda quanto a ficcao. Alem disso, noto, com satisfacao, que a discussao gerada em torno do problema das tres portas resultou em pelo menos dois participantes da lista se convencendo de que a atitude correta eh trocar de porta. Eu chamo isso de progresso. Um passo a mais para longe do obscurantismo! Um grande abraco a todos, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Pra quem curte beleza matematica,veja o livro Proofs from THE BOOK.E so o melhor compilado da perfeiçao!!! Quer uma ai? A demo do Erdös sobre o postulado de Bertrand. Ou essa,tambem do Erdös:mostre que em uma sequencia de mn+1 termos ha uma subsequencia monotona de m termos ou de n+1 termos. Eu nao acho essa demo de Medias muito elegante.Mas a do log e mais legal...Vejam a Eureka! 5. Na Eureka!6 ha um exercicio de demonstrar que se tg(x*pi)=4/5 entao x e irracional. Tambem tem o teorema de Dehn-Hilbert,que mostra que um cubo e um tetraedro nao sao equidecomponiveis.E a versao 2-dimensoes disso Ah,essa demo da propriedade do baricentro:pegue uma reta paralela a um dos lados,prolongue tudo e use semelhança sem medir as consequencias. Problemas de geometria de IMO tambem estao na lista!Veja so o tres da ultima IMO! A demo do teorema de Ptolomeu,e a demo de prostaferese a partir de Ptolomeu. A prova de Euclides de que ha infinitos primos nao e a que se encontra por ai mas e equivalente: 2 e primo. Dado o conjunto p1,p2,p3,p4,...,pn de primos,considere o numero 1+p1*p2*...*pn. Se este cara for primo,produzimos mais um primo.Caso contrario basta fatorarmos e ver que mos primos que aparecem sao novos.E fim! Outra da infinitude dos primos:pegue o conjunto dos numeros de Fermat,e mostre que nas fatoraçoes os caras sao diferentes. A prova de que uma raiz enesima de um inteiro ou e inteira ou e irracional e bem curta se voce usar o fato de que as raizes de x^n-a sao multiplas de algum fator primo de a. --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Resolvi escrever imediatamente aqueles que me vieram a cabeça, pois provavelmente são os que mais me tocaram. Não olhei ainda as outras opiniões da lista, para não ser influenciado. 1) A prova de que toda sequencia de numero reais contem uma subsequencia monotonica. 2)A famosa e linda prova de Euclides de que o conjunto dos numeros primos eh infinito. 3) A prova de Cantor, baseada em expansoes decimais, de que o conjunto dos reais naum eh numeravel. 4)A elegante prova da desigualdade das medias aritmetica e geometrica baseada na propriedade da funcao exponencial segundo a qual e^x = 1+ x para todo real x (acho que eh acessivel ao nivel medio). 5)A prova de que, se n e p sao inteiros positivos e a= n^(1/p) nao eh inteiro, entao a eh irracional 6) A simples e muito engenhosa prova de Cantor de que nenhum conjunto eh equivalente ao conjunto de suas partes, a qual tem como corolario a conclusao de que o conjunto das partes de N (os naturais) nao eh numeravel. 7) A surpreendentemente simples prova de que os racionais sao numeraveis 8) A prova de que entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais e de irracionais. 8)O lindo teorema de Dandelin, das conicas 9) A prova de que as medianas de um triangulo encontram-se em um mesmo ponto, o baricentro, o qual, sobre cada mediana, estah a 2/3 do vertice eh a 1/3 da base. 10) E este, muito simples, caiu no vestibular interno do antigo curso Vetor, em 1969: Em um triangulo ABC, o circulo inscrito c tangencia AB e AC nos pontos M e N. A partir de um ponto O sobre o arco MN, de c, distinto de M e de N, traca-se a tangente a c, que intersecta Ab e AC nos pontos P e Q. Mostre que o perimetro do triangulo APQ independe da escolha do ponto O. Indo soh um pouquinho alem do nivel medio (desculpe-me, Claudio, se estou extrapolando!), cito ainda a prova de alguns teoremas que acho lindos de morrer: Se a funcao real f eh monotonica em um intervalo I, entao o conjunto dos pontos de descontinuidade de f em I eh numeravel. No conjunto dos reais, derivadas apresentam a propriedade do valor intermediario Se A eh compacto e B eh um subconjunto infinto de A, entao B tem um ponto de acumulacao em A. Se f eh continua em um conjunto compacto, entao f eh uniformemente continua neste conjunto. Subconjuntos perfeitos de espacos metricos compactos nao sao numeraveis. Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe alguma conclusao da matematica que vc considere contraria aa intuicao? Eu, por exemplo, acho um tanto contra intuitivo que o fato de f ser diferenciavel em R e apresentar limite no infinito nao implique que f' apresente limite zero no infinito. Algumas pessoas acham contra intuitivo que a serie harmonica seja divergente. Artur ATTACHMENT part 2 application/ms-tnef name=winmail.dat ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
On Mon, Aug 11, 2003 at 01:16:11AM -0300, Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Olá!
É minha vez de enviar meus problemas/teoremas bonitos...
1) O teorema, devido a Euler, que diz que quando s 1 temos ZETA(s) =
SOMA{ 1/n^s, n=1...infinito } = PRODUTORIO { (1 - p^(-s) ), p primo }.
2) A surpreendente constatação de que um problema aparentemente não tão
complicado como o último teorema de Fermat tenha uma solução tão extensa e
complicada.
3) A demonstração (enviada para a lista) de que um número irracional elevado
a um número irracional pode resultar um número racional. A saber, se p =
raiz(2) ^ raiz(2) é racional, está acabado; se p não for racional, é
irracional, e q = p ^ raiz(2) = 2 satisfaz o problema.
4) O método (não lembro de quem é, talvez Cauchy) para aproximar a soma de
séries SOMA{ s_n } onde s_1 s_2 s_3 ... 0, utilizando-se uma
integral.
5) A constatação maravilhosa de que certas constantes (como Pi e e) são
constantes em toda a matemática, isto é, aparecem em diversas áreas
(aparentemente desconexas) como geometria, análise, teoria dos números,
probabilidade, etc. dando a entender que toda a matemática tem um centro
firme (de onde saem os resultados) e uma arquitetura já planejada por alguém
bem mais inteligente que nós...
6) O método do escalonamento de matrizes descoberto por Gauss. Brilhante por
ser tão simples e ter levado tanto tempo para ser descoberto. Segundo o
Gilbert Strang: Ele é tão simples que mesmo qualquer um de nós poderíamos
tê-lo descoberto
7) O fato de que podemos definir num espaço vetorial uma função com
propriedades simples (=o produto interno) e dele derivarmos muitos e muitos
resultados interessantes. (isto realmente me surpreendeu, quando comecei a
estudar álgebra linear, pareceu mágica a existência e as conseqüências do
produto interno)
8) A menos de isomorfismo, o conjunto dos Reais é o único corpo ordenado
completo.
9) O primeiro teorema da inconsistência de Gödel.
E para finalizar:
10) O princípio da indução finita.
Abração,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Caros colegas da lista:
Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza
matematica.
O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo
como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e
cujas
solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o
enunciado.
No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
(entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
utilizado.
A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel
a
um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o
Porisma
de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos
do Porisma poderiam ser incluidos).
Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau.
Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem.
Acho
que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes
pode
ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs
from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar
uma
compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Oi Henrique e demais colegas quecomentaram essa questão, O Cláudio ea Marilynestão claramente corretos. Não vou comentar a questão pois o prof Nicolaujá o fez no seu excelente artigo Como Perder Amigos e Enganar Pessoas. Abaixo, a reprodução da resposta do prof. Nicolau. um abraço, Camilo PS: Henrique, preste atenção no erro comum que é citado no texto abaixo. OFF: é interessante como as questões desse artigo geram discussões quase que intermináveis. EXCERTO DO ARTIGO CITADO ACIMA 1. A resposta correta é que, trocando de porta, a probabilidade de ganhar o carro é 2/3, enquanto não trocando a probabilidade é apenas 1/3. Uma forma simples de ver isto é a seguinte: trocando de porta, o convidado ganha, desde que a primeira porta que ele escolher esconda um dos dois bodes, como se pode facilmente perceber. A melhor estratégia para o convidado é, portanto, trocar sempre, e assim sua probabilidade de ganhar fica sendo 2/3. O erro comum aqui é achar que, após a eliminação de uma porta (que foi aberta pelo apresentador, revelando um bode), há uma simetria entre as duas outras portas e a probabilidade de cada uma esconder o carro é 1/2. Não existe, entretanto, tal simetria, pois a porta escolhida pelo convidado não poderia, pelas regras, ser trocada pelo apresentador, enquanto a outra poderia ter sido aberta, mas não foi. Este processo de fato era seguido em um programa nos Estados Unidos. Uma longa e áspera discussão ocorreu na imprensa quanto a qual era o valor correto da probabilidade, e pessoas que deveriam ser capazes de resolver um problema trivial como este passaram pela vergonha de publicar soluções erradas. Julgamos melhor esquecer os detalhes deste episódio deprimente. Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco [EMAIL PROTECTED] wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao?Cláudio,No problema original, temos três portas, escolhemos uma e o apresentadorlogo em seguida abre outra que, com certeza, não tem o prêmio. Inicialmente,havia uma chance de 1/3 de uma determinada porta conter o prêmio. Ao seraberta uma das portas e mostrar que ela não contém o prêmio, sobram apenasduas portas: a que você escolheu e uma ou! tra. É como se a probabilidadetivesse sido "atualizada" pelo fato do apresentador mostrar uma porta quenão contém o prêmio (isso é o Teorema de Bayes se não me engano). Agora quesobraram apenas duas portas, cada uma delas tem uma em duas chances (1/2) deter o prêmio e, portanto, não há justificativa (matematica) para trocar deporta ou não. O fato do apresentador abrir uma das portas muda aprobabilidade das DUAS portas e não apenas para uma, como a Sra. Marilynquer nos fazer crer.Quanto ao argumento de 1 milhão de portas... Como você disse, aprobabilidade de você ter escolhido a porta certa de primeira é de 1/10^6que é a mesma probabilidade de cada uma das outras portas individualmente.Lembre-se que todas as probabilidades devem somar 1 = 10^6/10^6. O caso quevocê apontou (999.999/10^6) é a probabilidade combinada de todas as outrasportas (cada uma entre as 10^6 portas têm probabilidade de 1/10^6) que vocênão escolheu de ter! em o prêmio e não de uma única porta das que você nãoescolheu. Se você simplesmente muda de porta, a probabilidade continua sendoa mesma... E, se ele abrir 777.777 portas sem o prêmio, a probabilidade deTODAS as portas fica em 1/222.223 e, novamente, não faz diferença mudar aporta...Espero ter sido claro.Abraço,Henrique.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Cláudio, No problema original, temos três portas, escolhemos uma e o apresentador logo em seguida abre outra que, com certeza, não tem o prêmio. Inicialmente, havia uma chance de 1/3 de uma determinada porta conter o prêmio. Ao ser aberta uma das portas e mostrar que ela não contém o prêmio, sobram apenas duas portas: a que você escolheu e uma outra. É como se a probabilidade tivesse sido atualizada pelo fato do apresentador mostrar uma porta que não contém o prêmio (isso é o Teorema de Bayes se não me engano). Agora que sobraram apenas duas portas, cada uma delas tem uma em duas chances (1/2) de ter o prêmio e, portanto, não há justificativa (matematica) para trocar de porta ou não. O fato do apresentador abrir uma das portas muda a probabilidade das DUAS portas e não apenas para uma, como a Sra. Marilyn quer nos fazer crer. Quanto ao argumento de 1 milhão de portas... Como você disse, a probabilidade de você ter escolhido a porta certa de primeira é de 1/10^6 que é a mesma probabilidade de cada uma das outras portas individualmente. Lembre-se que todas as probabilidades devem somar 1 = 10^6/10^6. O caso que você apontou (999.999/10^6) é a probabilidade combinada de todas as outras portas (cada uma entre as 10^6 portas têm probabilidade de 1/10^6) que você não escolheu de terem o prêmio e não de uma única porta das que você não escolheu. Se você simplesmente muda de porta, a probabilidade continua sendo a mesma... E, se ele abrir 777.777 portas sem o prêmio, a probabilidade de TODAS as portas fica em 1/222.223 e, novamente, não faz diferença mudar a porta... Espero ter sido claro. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
A sete e muy legal!!!Veja a Eureka!5(acho) --- André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1- O teorema do número primo (pela prova elementar dada por Erdos) 2- O teorema de Pitágoras (a prova usando um quadrado dentro de outro quadrado é incrível na minha opinião e muitos alunos nunca chegam a ver nenhuma prova para esse teorema que também é a base da trigonometria) 3- Se m e n são naturais não nulos a raiz m-ésima de n é natural ou irracional (a prova é uma generalização do caso manjado m=2) 4- Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então detA=detB (teorema de Jacobi) (esse teorema é muito útil para simplificar o cálculo de determinantes e pode ser provado por indução) 5- A fórmula para a soma dos termos de uma PA (por mostrar a importância de se encontrar padrões para simplificar cálculos extensos) 6- Existem infinitos números primos (a prova de Euclides é íncrivel, sem comentários) 7- A reta de Euler (a prova por geometria analítica é chata mas o resultado é surpreendente) 8- A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de V vértices é (V-2).(360º) (um resultado interessante na minha opinião e que fornece algumas informações sobre o poliedro) 9- O Teorema fundamental da álgebra (já apareceu na lista uma prova acessível ao 2º grau) 10- O pequeno teorema de Fermat André T. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Mais cinco (sem a convicção dos cinco primeiros): 6) A reta de Euler. 7) O círculo dos 9 pontos. 8) Os teoremas belgas a respeito das seções cônicas. 9) Agora, um lema que considero engenhoso e prova muitos teoremas interessantes e lindos: se p eh primo, nos inteiros modulo p todo elemento nao-nulo eh invertível. 10) Meu ultimo voto fica para depois de ponderar outras opiniões. Morgado === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caros amigos: A enquete sobre a beleza matematica ja produziu uma lista grande de belos teoremas. Mas ficou faltando um na minha opiniao; o teorema de Euler dos poliedros convexos: V - A + F = 2. Nao eh uma coisa linda e inesperada? Eu, quando tive contato com esse resultado pela primeira vez, fiquei pasmo, fascinado pela sua simplicidade e beleza. Eh tambem surpreendente pelas demonstracoes erradas ou incompletas que apareceram durante cerca de 200 anos de historia. Abracos, E. Wagner. -- From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:24 AM Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = InstruÁes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Chamem um exorcista, o Nicolau está possuído pelo espírito de Fermat... Só espero que ele não demore 350 anos até enviar a sua solução... Brincadeira... Agora escrevendo seriamente. Tb não sei que problema dos pontos é esse e muito menos a solução de Fermat para o mesmo. Morgado, salve-nos... Abraços, Frederico. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 9 Aug 2003 18:54:19 -0300 On Sat, Aug 09, 2003 at 11:08:53AM -0300, A. C. Morgado wrote: 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. Perdão pela minha ignorância, mas o que é o problema dos pontos? 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Aqui é preciso demonstrar não só que não existem outros poliedros regulares mas também que os cinco poliedros que nós conhecemos de fato existem. Uma demonstração é pura e simplesmente dar coordenadas em R^3 para os vértices mas esta demonstração de certa forma é insatisfatória pois é caso a caso. O que seria interessante é demonstrar de forma geral que se o ângulo interno de um polígono regular de n lados é menor do que 2 pi/m então podemos juntar m polígonos regulares de n lados ao redor de cada vértice e completar um poliedro regular. Eu tenho uma demonstração notável deste fato mas este e-mail é pequeno demais para ela. ;-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Gostaria ainda de incluir a relacao de Stifel, da Analise Combinatoria. Muito interessante pelo conceito que engloba Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
1- O teorema do número primo (pela prova elementar dada por Erdos) 2- O teorema de Pitágoras (a prova usando um quadrado dentro de outro quadrado é incrível na minha opinião e muitos alunos nunca chegam a ver nenhuma prova para esse teorema que também é a base da trigonometria) 3- Se m e n são naturais não nulos a raiz m-ésima de n é natural ou irracional (a prova é uma generalização do caso manjado m=2) 4- Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então detA=detB (teorema de Jacobi) (esse teorema é muito útil para simplificar o cálculo de determinantes e pode ser provado por indução) 5- A fórmula para a soma dos termos de uma PA (por mostrar a importância de se encontrar padrões para simplificar cálculos extensos) 6- Existem infinitos números primos (a prova de Euclides é íncrivel, sem comentários) 7- A reta de Euler (a prova por geometria analítica é chata mas o resultado é surpreendente) 8- A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de V vértices é (V-2).(360º) (um resultado interessante na minha opinião e que fornece algumas informações sobre o poliedro) 9- O Teorema fundamental da álgebra (já apareceu na lista uma prova acessível ao 2º grau) 10- O pequeno teorema de Fermat André T. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Resolvi escrever imediatamente aqueles que me vieram a cabeça, pois provavelmente são os que mais me tocaram. Não olhei ainda as outras opiniões da lista, para não ser influenciado. 1) A prova de que toda sequencia de numero reais contem uma subsequencia monotonica. 2)A famosa e linda prova de Euclides de que o conjunto dos numeros primos eh infinito. 3) A prova de Cantor, baseada em expansoes decimais, de que o conjunto dos reais naum eh numeravel. 4)A elegante prova da desigualdade das medias aritmetica e geometrica baseada na propriedade da funcao exponencial segundo a qual e^x = 1+ x para todo real x (acho que eh acessivel ao nivel medio). 5)A prova de que, se n e p sao inteiros positivos e a= n^(1/p) nao eh inteiro, entao a eh irracional 6) A simples e muito engenhosa prova de Cantor de que nenhum conjunto eh equivalente ao conjunto de suas partes, a qual tem como corolario a conclusao de que o conjunto das partes de N (os naturais) nao eh numeravel. 7) A surpreendentemente simples prova de que os racionais sao numeraveis 8) A prova de que entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais e de irracionais. 8)O lindo teorema de Dandelin, das conicas 9) A prova de que as medianas de um triangulo encontram-se em um mesmo ponto, o baricentro, o qual, sobre cada mediana, estah a 2/3 do vertice eh a 1/3 da base. 10) E este, muito simples, caiu no vestibular interno do antigo curso Vetor, em 1969: Em um triangulo ABC, o circulo inscrito c tangencia AB e AC nos pontos M e N. A partir de um ponto O sobre o arco MN, de c, distinto de M e de N, traca-se a tangente a c, que intersecta Ab e AC nos pontos P e Q. Mostre que o perimetro do triangulo APQ independe da escolha do ponto O. Indo soh um pouquinho alem do nivel medio (desculpe-me, Claudio, se estou extrapolando!), cito ainda a prova de alguns teoremas que acho lindos de morrer: Se a funcao real f eh monotonica em um intervalo I, entao o conjunto dos pontos de descontinuidade de f em I eh numeravel. No conjunto dos reais, derivadas apresentam a propriedade do valor intermediario Se A eh compacto e B eh um subconjunto infinto de A, entao B tem um ponto de acumulacao em A. Se f eh continua em um conjunto compacto, entao f eh uniformemente continua neste conjunto. Subconjuntos perfeitos de espacos metricos compactos nao sao numeraveis. Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe alguma conclusao da matematica que vc considere contraria aa intuicao? Eu, por exemplo, acho um tanto contra intuitivo que o fato de f ser diferenciavel em R e apresentar limite no infinito nao implique que f' apresente limite zero no infinito. Algumas pessoas acham contra intuitivo que a serie harmonica seja divergente. Artur attachment: winmail.dat
