[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Anderson Torres]

Em sex, 23 de nov de 2018 às 22:47, Vanderlei Nemitz
 escreveu:
>
> Estamos aguardando o Carlos Victor...
> :)
>
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
> >
>> Alguem conseguiu finalizar a demonstração?
>>
>> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz > escreveu:
>>>
>>> Hummm...
>>> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
>>> ortocentro do triângulo BDQ.
>>> O desenho sugere isso.
>>> Mas como mostrar isso?

Eu estava pensando em usar geometria projetiva, algo acerca de
conjugados harmônicos. Mas o máximo que consegui foi obter um ponto
médio...

>>>
>>> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor >> escreveu:

 Oi Vanderlei,

 Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
 estratégico". É muito legal que você descubra sozinho

 Abraços

 Carlos Victor

 Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:

 Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria 
 Analítica.
 Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
 que é possível?

 Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
 traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, 
 conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e 
 PD são perpendiculares.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
 acredita-se estar livre de perigo.


>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Oi Vanderlei, vamos lá: 

Seja ABCD o quadrado de diagonais AC e BD. Sejam os pontos P, E e F como
no enunciado. Tracemos a reta que passa por A e E encontrando o
prolongamento de DC em R.Seja também Q o ponto de interseção da reta que
passa por B e F com o prolongamento de DC.Seja T a interseção da reta
que passa por Q e E com o lado AB. 

Sejam BP=z, quadrado de lado AB=L, TB=k, CQ=x e QR=y. Por semelhança de
triângulos verifique que : 

x/k =L/z e y/L =x/z donde x^2=ky. Agora por semelhança veja que 

y/AT= x/k ou seja ky=x.AT e como ky=x^2 temos que x=AT ou seja CQ=AT. 

Como CQ é paralelo a AT e congruentes, temos que o quadrilátero ACQT é
um paralelogramo e já que as diagonais do quadrado são perpendiculares
temos que QT é perpendicular a BD. 

Temos então que no triângulo BDQ, BC e QH( H é a interseção de QT com
BD); 

ou seja E é o ortocentro de BDQ; donde PD é perpendicular a BQ. 

Verifiquem se há algum erro, ok? 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 23/11/2018 22:38, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Estamos aguardando o Carlos Victor... 
> :) 
> 
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
>  Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Vanderlei Nemitz]

Estamos aguardando o Carlos Victor...
:)

Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração?
>
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu:
>
>> Hummm...
>> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
>> ortocentro do triângulo BDQ.
>> O desenho sugere isso.
>> Mas como mostrar isso?
>>
>> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor > escreveu:
>>
>>> Oi Vanderlei,
>>>
>>> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
>>> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos Victor
>>>
>>> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>>>
>>> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
>>> Analítica.
>>> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir.
>>> Será que é possível?
>>>
>>> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
>>> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
>>> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
>>> PD são perpendiculares.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Desculpem, estou em trânsito. Até amanhã eu posto, ok ? 

Abraços 

Em 23/11/2018 18:05, Mauricio de Araujo escreveu: 

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Mauricio de Araujo]

Alguem conseguiu finalizar a demonstração?

Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  Hummm...
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
> ortocentro do triângulo BDQ.
> O desenho sugere isso.
> Mas como mostrar isso?
>
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu:
>
>> Oi Vanderlei,
>>
>> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
>> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos Victor
>>
>> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>>
>> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
>> Analítica.
>> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir.
>> Será que é possível?
>>
>> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
>> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
>> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
>> PD são perpendiculares.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Vanderlei Nemitz]

Hummm...
Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
ortocentro do triângulo BDQ.
O desenho sugere isso.
Mas como mostrar isso?

Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  Oi Vanderlei,
>
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>
> Abraços
>
> Carlos Victor
>
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
> Analítica.
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será
> que é possível?
>
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
> PD são perpendiculares.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Oi Vanderlei, 

Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Valeu mesmo, Márcio.

Essa paridade que estava faltando perceber.

Grato.

Em 26 de setembro de 2014 08:47, Márcio Pinheiro 
escreveu:

> Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o
> determinante, basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A
> propriedade é trivialmente verificada para n =1. Suponha-se, apenas para
> fixar ideias, que todos os termos acima da diagonal secundária seja nulos.
> Assim, o determinante dado é igual ao elemento a_1,n (a_i,j representa o
> elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) multiplicado pelo respectivo
> cofator, já que todos os demais elementos da 1ª linha são nulos. Só que o
> cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), pelo menor
> complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste em
> outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1.
> Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto
> dos elementos da diagonal secundária por
> ((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) =
> (-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2),
>  tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade.
> Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é
> plenamente análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna,
> para a esquerda, ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui.
> Espero ter ajudado.
> Márcio Pinheiro.
> 
> Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira 
> escreveu:
>
>  Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06
>
>  Boa
>  noite.
>
>  Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
>  Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal
>  secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa
>  diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2).
>
>  Penso que essa potência do (-1) indica uma
>  combinação dois a dois, mas não cheguei a uma
>  conclusão.
>
>  Obrigado
>
>  --
>  Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>
>
>
>
>  --
>
>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e
>
>   acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Márcio Pinheiro]

Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o determinante, 
basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A propriedade é trivialmente 
verificada para n =1. Suponha-se, apenas para fixar ideias, que todos os termos 
acima da diagonal secundária seja nulos. Assim, o determinante dado é igual ao 
elemento a_1,n (a_i,j representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) 
multiplicado pelo respectivo cofator, já que todos os demais elementos da 1ª 
linha são nulos. Só que o cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), 
pelo menor complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste 
em outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1. 
Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto dos 
elementos da diagonal secundária por 
((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) = 
(-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2),
 tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade.
Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é plenamente 
análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna, para a esquerda, 
ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.

Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira  
escreveu:

 Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06
 
 Boa
 noite.
 
 Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
 Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal
 secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa
 diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2).
 
 Penso que essa potência do (-1) indica uma
 combinação dois a dois, mas não cheguei a uma
 conclusão.
 
 Obrigado 
 
 -- 
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
 
 
 
 
 --
 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e 
 
  acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Valeu Ralph

Em 17 de agosto de 2011 15:09, Ralph Teixeira  escreveu:

> Oi, Marcus.
>
> Eh, o jeito que voce escreveu estah estranho. Voce partiu do que queria
> provar, e chegou na hipotese -- isto nao demonstra o teorema.
>
> Isto dito, eh facil consertar a sua ideia:
>
> i) PRIMEIRA OPCAO: basta escrever o que voce fez, mas na ordem correta:
>
> "Suponha a>b>0.
> Como a e b sao positivos, podemos dividir ambos os lados de a>b por ab.
> Entao a/(ab)>b/(ab), isto eh, 1/b>1/a."
>
> ii) SEGUNDA OPCAO: se voce escrever as coisas na ordem que voce escreveu,
> mas usando claramente EQUIVALENCIAS, sua demonstracao eh valida. Em suma,
> usando o simbolo <=> para a seta dupla do "se e somente se":
>
> "Suponha a, b positivos. Entao:
> 1/b>1/a <=>
> <=> (ab)(1/b)>(ab)(1/a) <=>
> <=> a>b
>
> Como a>b eh verdadeiro e usamos EQUIVALENCIAS (isto eh, implicacoes
> REVERSIVEIS), estah provado que 1/a>1/b."
>
> Abraco,
>   Ralph
>
> 2011/8/17 Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues 
>
>> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada
>> nessa demonstração alguém pode da uma olhada para mim.
>>
>> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>>
>> Demonstra ção:
>>  1/b > 1/a
>>
>> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>>
>> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
>> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
>> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>>
>>
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>


-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Ralph Teixeira]

Oi, Marcus.

Eh, o jeito que voce escreveu estah estranho. Voce partiu do que queria
provar, e chegou na hipotese -- isto nao demonstra o teorema.

Isto dito, eh facil consertar a sua ideia:

i) PRIMEIRA OPCAO: basta escrever o que voce fez, mas na ordem correta:

"Suponha a>b>0.
Como a e b sao positivos, podemos dividir ambos os lados de a>b por ab.
Entao a/(ab)>b/(ab), isto eh, 1/b>1/a."

ii) SEGUNDA OPCAO: se voce escrever as coisas na ordem que voce escreveu,
mas usando claramente EQUIVALENCIAS, sua demonstracao eh valida. Em suma,
usando o simbolo <=> para a seta dupla do "se e somente se":

"Suponha a, b positivos. Entao:
1/b>1/a <=>
<=> (ab)(1/b)>(ab)(1/a) <=>
<=> a>b

Como a>b eh verdadeiro e usamos EQUIVALENCIAS (isto eh, implicacoes
REVERSIVEIS), estah provado que 1/a>1/b."

Abraco,
  Ralph

2011/8/17 Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues 

> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
> pode da uma olhada para mim.
>
> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>
> Demonstra ção:
>  1/b > 1/a
>
> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>
> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>
>
>
> --
> Prof Marcus
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Não dá a mesma coisa? to ponto de vista lógico.

Em 17 de agosto de 2011 12:40, Julio Teixeira escreveu:

> pega a>b e multiplica por ( 1/ab) e simplifica
>
> Em 17 de agosto de 2011 10:54, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
> marcusaureli...@globo.com> escreveu:
>
> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
>> pode da uma olhada para mim.
>>
>> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>>
>> Demonstra ção:
>>  1/b > 1/a
>>
>> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>>
>> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
>> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
>> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>>
>>
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>


-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Julio Teixeira]

pega a>b e multiplica por ( 1/ab) e simplifica

Em 17 de agosto de 2011 10:54, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
marcusaureli...@globo.com> escreveu:

> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
> pode da uma olhada para mim.
>
> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>
> Demonstra ção:
>  1/b > 1/a
>
> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>
> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>
>
>
> --
> Prof Marcus
>

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Prof Marcus]

Seja a^2. Mostre que se a^2 for divisível por 3, então a também o

será. ?

 

Acho que faltou alguma coisa... não múltiplo mas divisível

 

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Ricardo Lopes
Enviada em: sexta-feira, 5 de agosto de 2011 14:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

 

Multiplo de 3?

 

Abraços

Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues
 escreveu:

Alguém da uma forcinha?

 

se a^2 e divisível por 3, então a também é?

-- 
Prof Marcus




-- 
Ricardo Shydo
(71)8126-2111
ricardo.lopesmore...@gmail.com
ricardo.blackj...@gmail.com
sh...@bol.com.br
moreira_lopes2...@ig.com.br
sh...@linuxmail.org
ntsh...@hotmail.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Johann Dirichlet]

a^2=3^k*b, em que 3 não divide b.

Sabemos que k>1, pois 3 é divisor de a^2.
Mas k deve ser necessariamente par, pois os expoentes da foatoração de
um quadrado perfeito são pares. Logo k=2l, com l>1.
Então a^2=3^(2l)*b, o que acarreta (a/(3^l))^2 = b. Portanto, como b é
inteiro, b é quadrado perfeito:

(a/(3^l))^2 = c^2
(a/(3^l)) = c
a = 3^l*c
Como l>1, está provado: 3 é divisor de a.

Em 05/08/11, Ricardo Lopes escreveu:
> Multiplo de 3?
>
> Abraços
>
> Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
> marcusaureli...@globo.com> escreveu:
>
>> Alguém da uma forcinha?
>>
>> se a^2 e divisível por 3, então a também é?
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>
>
> --
> Ricardo Shydo
> (71)8126-2111
> ricardo.lopesmore...@gmail.com
> ricardo.blackj...@gmail.com
> sh...@bol.com.br
> moreira_lopes2...@ig.com.br
> sh...@linuxmail.org
> ntsh...@hotmail.com
>


-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Ricardo Lopes]

Multiplo de 3?

Abraços

Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
marcusaureli...@globo.com> escreveu:

> Alguém da uma forcinha?
>
> se a^2 e divisível por 3, então a também é?
>
> --
> Prof Marcus
>



-- 
Ricardo Shydo
(71)8126-2111
ricardo.lopesmore...@gmail.com
ricardo.blackj...@gmail.com
sh...@bol.com.br
moreira_lopes2...@ig.com.br
sh...@linuxmail.org
ntsh...@hotmail.com

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório

[Rodrigo Renji]

Olá
Então , nessa última perceba que

k.(k!)= (k+1)!-k!

aplique a soma de ambos os lados a soma no segundo termo é telescópica
( os termos vão se anulando)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[Henrique Rennó]

Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para
os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado
é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior.

2011/3/3 João Maldonado :
>
>
>
> Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu),
> mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você  quiser fazer do
> seu jeito,   tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o
> n' da segunda expressão  serian/2 ou (n-1)/2, já que a
> fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n,  repare que:
> 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =    4 (n) (n+1)(2n +1)/6 =
> 2(n)(n+1(2n+1)/3
>
> []'s
> João
>
>> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
>> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
>> From: henrique.re...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
>>
>> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
>>
>> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
>> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
>> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
>> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
>> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
>>
>> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
>>
>> n: 1, soma: 1^2
>> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
>> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
>> ...
>>
>> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
>>
>> n: 1, soma: 2^2
>> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
>> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
>> ...
>>
>> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
>> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
>> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
>> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
>> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
>> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
>> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
>> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
>> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
>> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
>>
>> --
>> Henrique
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>



-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de somatório

[Eduardo Wilner]

A soma dos m/2 primeiros pares ( de 2 à m) ou dos (m+1)/2 impares (de 1 à m) é 
dada por 

[m+2)(m+1)m]/6.   Assim, seu somatório, para n par será 

[(n+1)n(n-1) - (n+2)(n+1)n]/6 = (n-1-n-2)n(n+1)/6 = -n(n+1)/2 

(onde para os impares m=n-1), e para n impar

 [(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)]/6 = [(n+2-n+1)(n+1)n]/6 = n(n+1)/2 .


[ ]'s  



  

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório

[saulo nilson]

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)...+(-1^n(n-1)-(-1)^(n+1)n)((-1)^n(n-1)+(-1)^(n+1)n)=
n par
-(1+2+3+..+n)=-n(1+n)/2
n impar
-(n-1)n/2+ [(-1)^(n+1)]n^2=-(n-1)n/2+n^2=(n/2)(n+1)
logo
sn=(-1)^(n+1)n(n+1)/2


2011/3/3 Henrique Rennó 

> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
>
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
>
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
>
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
>
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
>
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
>
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
>
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
>
> --
> Henrique
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[João Maldonado]

  
 
 
Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais 
fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você  quiser fazer do seu jeito,  
 tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda 
expressão  serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma 
até 2n,  repare que:
2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =4 (n) (n+1)(2n +1)/6 =  
2(n)(n+1(2n+1)/3
 
[]'s
João
 
> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
> From: henrique.re...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
> 
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
> 
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
> 
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
> 
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
> 
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
> 
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
> 
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
> 
> -- 
> Henrique
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  

[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[João Maldonado]

Olá, 
 
Chamando a expressão de S, 
 
x² - (x+1)² = -2x - 1, com x = 2k+1, -4k  - 3   
se n é par, S= -4.(0+1+2+3+...+ (n-2)/2) -  3n/2 = 
-4.((n-2)/2)  (n/2)/2 - n/2 =  - (n-2)(n)/2 - 3n/2 = -(n)(n+1)/2
 
Se n é impar, n-1 é par, logo S= -(n-1.(n)/2 + n² = n.(n+1)/2
 
[]s,
João
 
> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
> From: henrique.re...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
> 
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
> 
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
> 
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
> 
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
> 
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
> 
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
> 
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
> 
> -- 
> Henrique
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  

[obm-l] Re: [obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE MATRIZES

[Artur Costa Steiner]

Se A for semelhante à matriz nula O, então existe uma matriz inversível T tal 
que
A = T^(-1) O T. Logo, A = O T = O.

Se A for semelhante aa matriz identidade I, então A = T(-1) I T = T(-1) T = I.

Artur


From: Robério Alves 
To: OBM Matemática Matemática 
Sent: Mon, November 23, 2009 7:31:59 AM
Subject: [obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE MATRIZES


3) Demonstre que a única matriz semelhante à matriz nula é a própria. Idem para 
a matriz identidade.  

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da so ma / diferença (feita geometricamente)

[Marcelo Gomes]

Oi Raphael,

Valeu...pela dica...comecei a reproduzir a sugestão que você me enviou
ontem, mas quando vi ...já estava desenvolvendo
algebricamente...rsrsrsrecomeçarei  hoje novamente...depois te envio o
desenho.

Grande abraço, e muito obrigado pela ajuda,

Marcelo.

2009/6/14 Raphael Alcaires de Carvalho 

> Olá Marcelo vi uma demonstração bem legal.
> Seja ABC um triângulo cujo ângulo A vale (a+b) e tal que a altura traçada
> do vértice A divida esse ângulo A em dois ângulos de medidas a e b. Utilize
> a fórmula de área de triângulo:
> S = 1/2 xysen(alfa), onde alfa é o ângulo formado pelos lados x e y.
> Use essa fórmula para os dois triângulos formados e para o triângulo ABC.
>
> Espero ter ajudado, qualquer dúvida pode me perguntar.
> []s Raphael Alcaires
>
>
> --- Em *sáb, 13/6/09, Marcelo Gomes * escreveu:
>
>
> De: Marcelo Gomes 
> Assunto: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita
> geometricamente)
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sábado, 13 de Junho de 2009, 23:47
>
> Olá pessoal da lista, muito boa noite.
>
> Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para
> *ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente*.
> Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem
> algébricas.
>
> Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.
>
>
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da soma / difer ença (feita geometricamente)

[Raphael Alcaires de Carvalho]

Olá Marcelo vi uma demonstração bem legal.
Seja ABC um triângulo cujo ângulo A vale (a+b) e tal que a altura traçada do 
vértice A divida esse ângulo A em dois ângulos de medidas a e b. Utilize a 
fórmula de área de triângulo:
S = 1/2 xysen(alfa), onde alfa é o ângulo formado pelos lados x e y.
Use essa fórmula para os dois triângulos formados e para o triângulo ABC.

Espero ter ajudado, qualquer dúvida pode me perguntar.
[]s Raphael Alcaires


--- Em sáb, 13/6/09, Marcelo Gomes  escreveu:

De: Marcelo Gomes 
Assunto: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita 
geometricamente)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 13 de Junho de 2009, 23:47

Olá pessoal da lista, muito boa noite.

Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para ver 
se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente. Quase sempre 
ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem algébricas.


Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.






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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferen ça (feita geometricamente)

[Paulo Cesar]

Olá Marcelo

Dê uma olhada no livro "Meu Professor de Matemática e outras histórias" do
Elon Lages Lima. Tem uma demonstração lá bem simples. O livro é bem legal e,
como toda a Coleção do Professor, não é caro.

Um abraço

PC

2009/6/13 Marcelo Gomes 

> Olá pessoal da lista, muito boa noite.
>
> Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para
> *ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente*.
> Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem
> algébricas.
>
> Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.
>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)

[Denisson]

Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N.

Esse procedimento é geral, Qn+3 

>  eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um
> numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o
> quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é
> primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série.
>
> --
> From: bened...@ufrnet.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] demonstração
> Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300
>
> Marcone,
>
> Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 +
> 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois
> soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros
> n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados
> perfeitos de números naturais.
> Benedito
>
> - Original Message -
> *From:* marcone augusto araújo borges 
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
> *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
> [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>
> Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando
> figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se
> posssivel.Um abraço
>
> --------------
> Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
> [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Olá Marcone,
> utilize indução finita.
>
> Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
> http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
> (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)
>
> abraços,
> Salhab
>
>
> 2009/5/2 marcone augusto araújo borges 
>
> Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Olá Vanderlei,
>
> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
> mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
> que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
> caso pra continuar a solucao ;)]
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>
>
>
>
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)

[Denisson]

N é o número a ser testado.
Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N e portanto Pn+2
também não divide N .

Esse procedimento é geral, Qn+3 

> Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
> quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
> divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
> pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
> sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
> observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
> implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N.
>
> Esse procedimento é geral, Qn+3  por aí vai...
>
> 2009/5/9 marcone augusto araújo borges 
>
>  eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um
>> numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o
>> quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é
>> primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série.
>>
>> --
>> From: bened...@ufrnet.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] demonstração
>> Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300
>>
>> Marcone,
>>
>> Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 +
>> 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois
>> soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros
>> n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados
>> perfeitos de números naturais.
>> Benedito
>>
>> - Original Message -
>>  *From:* marcone augusto araújo borges 
>> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
>> *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>>
>> Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando
>> figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se
>> posssivel.Um abraço
>>
>> --
>> Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] demonstração
>> From: msbro...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Olá Marcone,
>> utilize indução finita.
>>
>> Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
>> http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
>> (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>> 2009/5/2 marcone augusto araújo borges 
>>
>> Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>>
>> --
>> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>> From: msbro...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>>
>> Olá Vanderlei,
>>
>> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes
>> o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta
>> certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
>> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
>> caso pra continuar a solucao ;)]
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>>
>> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
>> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>>
>> Obrigado,
>>
>> Vanderlei
>>
>> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>>
>> Fala Vanderlei,
>>
>> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
>> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>>
>> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
>> primos.
>> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
>> logo, todos eles estão em (n-1)!
>> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, port

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Carlos Nehab]

Oi, Macone,

Para desenvolver a intuição dos alunos ainda jovens, eu sou adepto de 
"mostrações geométricas" para várias relações desta natureza.  Evito 
indução, pois muitas vezes mecaniza demais as coisas, sem mostrar a 
beleza dos "inteiros" e suas relações maravilhosas.
Há uma "mostração" para a relação que você enviou que é simples e que 
faz parte de uma família de problemas clássicos que é a disposição de 
inteiros em um "triângulo".  Veja: escreva os impares como no 
"triângulo" indicado...


*Linha  Soma na Linha   Triângulo
*


*1 *1 = 1^3 = 1 *1   *

*2 *3+5 = 2^3 = 8 *35
*


*3 *7+9+11 = 3^3 = 27  *79 11  
 *


*4 *13+15+17+19 = 4^3 = 64  *13  15   17   19 *

*5 *21+23+25+27+29 = 5^3 = 125   *21  23   25   27   29   *

*...*  
  

*n *   
  ...  



Observe que nesta arrumação, a soma dos inteiros da k-esima linha vale 
k^3 e a mostração é imediata:
a) a soma dos X primeiros impares vale X^2,  
b) até a linha n há 1+2+...+n impares, ou seja, n(n+1)/2 impares cuja 
soma vale [n(n+1)/2]^2. 
c) Até a linha n+1 há 1+2+...+(n+1) impares, cuja soma então vale 
[(n+1)(n+2)/2]^2.

d) É fácil ver que a diferença entre estas duas soma vale  n^3...

Abraços,
Nehab

marcone augusto araújo borges escreveu:

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas 
vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! 
 [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos 
mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, 
dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)]


abraços,
Salhab



2009/5/1 Vandelei Nemitz <mailto:vanderm...@brturbo.com.br>>


Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
 
Obrigado,
 
Vanderlei


2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato mailto:msbro...@gmail.com>>

Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2
dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto,
(n-1)! é um múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único
divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também
está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz mailto:vanderm...@brturbo.com.br>>

Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
 
*Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que

(n-1)! é múltiplo de n.*
 
Obrigado
 
Vanderlei







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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Marcone,
utilize indução finita.

Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
(não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)

abraços,
Salhab


2009/5/2 marcone augusto araújo borges 

>  Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Olá Vanderlei,
>
> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
> mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
> que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
> caso pra continuar a solucao ;)]
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>
>
>
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>
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>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[marcone augusto araújo borges]

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o 
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo 
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele 
momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra 
continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz 


Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:

mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
 
Obrigado,
 
Vanderlei


2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 




Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um 
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab





2009/5/1 Vandelei Nemitz  





Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
 
Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é múltiplo de 
n.
 
Obrigado
 
Vanderlei



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
caso pra continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab



2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>>
>> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
>> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>>
>> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
>> primos.
>> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
>> logo, todos eles estão em (n-1)!
>> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
>> múltiplo de n.
>>
>> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
>> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
>> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
>> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
>> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>>
>> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
>> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
>> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em
>> (n-1)!
>> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>>
>> espero ter ajudado,
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>>
>>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
>>> **
>>> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
>>> múltiplo de n.*
>>> **
>>> Obrigado
>>>
>>> Vanderlei
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Vandelei Nemitz]

Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

Obrigado,

Vanderlei

2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 

> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
>> **
>> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
>> múltiplo de n.*
>> **
>> Obrigado
>>
>> Vanderlei
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Pacini Bores]

Olá  Vanderlei ,
Seja n =ab , já  que n não é primo.Tente observar  que  os fatores  a  e b
aparecem  em (n-1)! , ok ?

Pacini

2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração Geom Plana

[Paulo Santa Rita]

Olá Thelio de demais
colegas desta lista ... OBM-L,
(escreverei sem acentos)

As medianas de um triangulo qualquer se encontram no centro de
gravidade do triangulo, tambem chamado de baricentro. Esse baricentro,
portanto, divide cada mediana em duas partes, a saber  : a primeira
parte, que vai do vertice onde se origina a mediana ate o baricentro,
a segunda, que vai do baricentro até o ponto medio do lado oposto. E
bem sabido que a primeira parte tem medida igual ao dobro da segunda
... Assim, chamando de "Ma" a medida da mediana que termina no ponto
medio do lado "a", segue que :

(2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mb) > c( pela desigualdade triangular )
(2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mc) > b( idem )
(2/3)*(Mb) + (2/3)*(Mc) > a( idem )

Somando tudo : Ma + Mb + Mc > (3/4)*(a+b+c)

Um abraco a todos
PSR, 21304091430

2009/3/13 Thelio Gama :
> Caros professores
> gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:
> "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
> do perímetro"
> Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.
> Obrigado
> Thelio

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração Geom Plana

[Luís Junior]

Acho que por vatores também sái. Tentarei aqui.

2009/3/13 Thelio Gama 

> Caros professores
> gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:
>
> "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
> do perímetro"
>
> Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.
>
> Obrigado
>
> Thelio
>

[obm-l] Re:[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[fernandobarcel]

Rodrigo,
matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que "Na 
lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo?

Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra "prove" 
está presente.

Abraços


-- Início da mensagem original ---
De: Rodrigo Cientista

> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p 
> mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo
> (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas)



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração antiga

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Outra ideia mais interessante seria calcular cada termo em funcao das funcoes elementares simétricas

Se escrevermos 
S1=a+b+c
S2=ab+ac+bc
S3=abc

podemos escrever qualquer polinomio simetrico em funcao deles, e só deles.

Agora, escrever cada Pi=a^i+b^i+c^i é um pouco chato. Na verdade este
resultado é razoavelmente conhecido mas (pelo que vi aqui e em varios
lugares) pouco usado.

Depois eu posto, se conseguir achar um local aonde pesquisar sobre tal...
Em 13/11/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:







Olá,
 
acho que tem uma saída mais simples:
 
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
a + b + c = 0
 
 
a = - b - c
 
assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 = 
-3bc(b + c)
e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + 
c^2 + bc)
 
logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c) 
* 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)
 
agora, o lado esquerdo:
 
(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4 c + 10 
b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4 c + 10 b^3 c^2 
+ 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b 
c^4)
 
logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4 c + 2 
b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 
c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)
 
agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq 
tivemos do lado esquerdo...
acho mais facil abrir, entao:
 
(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2 
c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3
 
logo, sao iguais.
 
abraços,
Salhab
 
 
 
 

  - Original Message - 
  
From: 
  GERALDO 
  FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS 
  To: 
Lista _OBM 
  Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41 
  PM
  Subject: [obm-l] demonstração 
antiga
  
  --- Ramon Carvalho escreveu:>> > 1) Provar que 
  (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre> > positivo para a E R> 
  > 1.1) Achar o menor valor dessa função> >> > 2 ) Se 
  a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 => > (a^3 + b^3 + c^3)/3 
  .> > (a^2 + b^2 + c^2)/2> >> > Estou com 
  problemas nessas questões, qualquer ajuda> > seria bem vinda> 
  >> >> > Desde já, grato
   
  Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo 
  meu, JP:
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]  
  =>
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 =  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 
  =>
   
  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  [a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + 
  (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) 
  =>
   
  5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + 
  (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + 
  b^5 +c^5)  (i) =>
   
  a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]   (ii) =>
   
  substituindo (ii) em (i):
   
  5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 
  +c^5) =>
   
  6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>
   
  1 = 1 (ufa )
  
  
  O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.3/531 - Release Date: 
  12/11/2006

-- Ideas are bulletproof.V

[obm-l] Re: [obm-l]Re: [obm-l] demonstração antiga

[Carlos Yuzo Shine]

Hm, vamos lá.

1) Seja x = a - 3 + 1/2. Então (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 = 
(x+5/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+5/2) + 10 = (x^2 - 25/4)(x^2 - 1/4) + 10 = x^4 - 
(13/2)x^2 + 185/16 = (x^2 - 13/4)^2 + 1 > 0.
1.1) O valor mínimo é 1, pois (x^2 - 13/4)^2 >= 0, com igualdade para x = 
+-raiz(13)/2.

(só agora eu li que a primeira já foi feita, mas deixo a solução aí de qualquer 
jeito).

2) Uma maneira de expressar somas de potências de números é considerar uma 
equação polinomial que tem esses números como raízes. No nosso caso, considere 
a equação (x - a)(x - b)(x - c) = 0 <=> x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 
0. Como a + b + c = 0, temos na verdade x^3 = -(ab+ac+bc)x + abc. Para 
facilitar, sejam s = -(ab+ac+bc) e p = abc, de modo que x^3 = sx + p. 
Multiplicando por x^n, obtemos x^(n+3) = sx^(n+1) + px^n. Como a, b, c são 
raízes dessa equação,
  a^(n+3) = sa^(n+1) + pa^n
  b^(n+3) = sb^(n+1) + pb^n
  c^(n+3) = sc^(n+1) + pc^n
Somando, obtemos
  (a^(n+3)+b^(n+3)+c(n+3)) = s(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1)) + p(a^n+b^n+c^n)
Sendo S(k) = a^k + b^k + c^k, temos
  S(n+3) = sS(n+1) + pS(n).
Como S(0) = a^0 + b^0 + c^0 = 3, S(1) = a + b + c = 0 e S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c 
= (ab+ac+bc)/abc = -s/p,
  S(2) = sS(0) + pS(-1) = 3s + p(-s/p) = 2s
  S(3) = sS(1) + pS(0) = 3p
  S(4) = sS(2) + pS(1) = 2s^2
  S(5) = sS(3) + pS(2) = s3p + p2s = 5ps
e o resultado segue: S(5)/5 = (S(2)/2)(S(3)/3).

Essa idéia também resolve um problema de uma OBM de alguns anos atrás: se a + b 
+ c = 0, quanto vale (a^5+b^5+c^5)^2/[(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)^2]?

[]'s
Shine

--- Ramon Carvalho escreveu: 
> 
> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre 
> > positivo para a E R 
> > 1.1) Achar o menor valor dessa função 
> > 
> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = 
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3 . 
> > (a^2 + b^2 + c^2)/2 
> > 
> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda 
> > seria bem vinda 
> > 
> > 
> > Desde já, grato



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração antiga

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
 
acho que tem uma saída mais simples:
 
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
a + b + c = 0
 
 
a = - b - c
 
assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 = 
-3bc(b + c)
e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + 
c^2 + bc)
 
logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c) 
* 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)
 
agora, o lado esquerdo:
 
(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4 c + 10 
b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4 c + 10 b^3 c^2 
+ 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b 
c^4)
 
logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4 c + 2 
b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 
c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)
 
agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq 
tivemos do lado esquerdo...
acho mais facil abrir, entao:
 
(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2 
c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3
 
logo, sao iguais.
 
abraços,
Salhab
 
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  GERALDO 
  FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS 
  To: Lista _OBM 
  Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41 
  PM
  Subject: [obm-l] demonstração 
antiga
  
  --- Ramon Carvalho escreveu:>> > 1) Provar que 
  (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre> > positivo para a E R> 
  > 1.1) Achar o menor valor dessa função> >> > 2 ) Se 
  a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 => > (a^3 + b^3 + c^3)/3 
  .> > (a^2 + b^2 + c^2)/2> >> > Estou com 
  problemas nessas questões, qualquer ajuda> > seria bem vinda> 
  >> >> > Desde já, grato
   
  Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo 
  meu, JP:
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]  
  =>
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 =  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 
  =>
   
  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  [a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + 
  (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) 
  =>
   
  5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + 
  (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + 
  b^5 +c^5)  (i) =>
   
  a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]   (ii) =>
   
  substituindo (ii) em (i):
   
  5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 
  +c^5) =>
   
  6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>
   
  1 = 1 (ufa )
  
  
  O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.3/531 - Release Date: 
  12/11/2006

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração (Correcao )

[claudio\.buffara]

Errei uma fatoracao boba...

Segue abaixo a solucao corigida.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 23 Oct 2006 10:58:04 -0300
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração

> -- Cabeçalho original ---
> 
> De: [EMAIL PROTECTED]
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
> Assunto: [obm-l] Demonstração
> 
> > Bom dia a todos!
> > 
> > Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser 
> > n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou 
> n^3 ou...
> > 
 
Para p = 2, 3 e 5 o resultado eh obvio, pois: 
2^2 + 3^2 = 13 = 13^1, 
2^3 + 3^3 = 35 = 35^1, 
2^5 + 3^5 = 375 = 375^1

Assim, suponhamos que p > 5 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e algum 
k >= 2.
 
Como p eh impar, existe a fatoracao:
>n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1)) 
>==>
5 divide n^k ==> 
5 divide n ==> 
5^k divide n^k ==> 
5^k divide 2^p + 3^p ==>
5^(k-1) divide 2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) ==>
 
como, por hipotese, k >= 2,
2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
(usando 3 == -2 mod 5)
2^(p-1) - 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 - ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*(1 + 1 + 1 + ... + 1) = 2^(p-1)*p == 0 (mod 5) ==>
contradicao, pois 5 nao divide 2 nem p (suposto > 5)

Logo, k nao pode ser >= 2.
 
[]s,
Claudio.
 
> =
> 
> 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Raul]

    Olá,
 
    Quero provar que o resultado de 2^p + 
3^p, sendo p um primo, nunca será o quadrado de um número natural, nem o cubo de 
um número natural, nem... somente poderá ser n^1. Exemplo: 2^5+3^2=32+9=41, 
onde 41 só pode ser escrito como potência de um número natural na 
forma 41^1.
 
    Agradeço antecipadamente pelas 
ajudas,
 
    Raul

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, October 23, 2006 12:14 
  AM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Demonstração
  
  Olá,
   
  cara, nao entendi o q vc quer provar...
  explique diferente, de um exemplo... sei la 
  :)
   
  abraços,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Raul 

To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, October 22, 2006 11:22 
AM
Subject: [obm-l] Demonstração

    Bom dia a todos!
 
    Como posso demonstrar que 2^p + 
3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não 
pode ser n^2 ou n^3 ou...
 
    Obrigado,
 
        
Raul



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  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.11/493 - Release Date: 
  23/10/2006

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
Assunto: [obm-l] Demonstração

> Bom dia a todos!
> 
> Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser 
> n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou 
n^3 ou...
> 

Para p = 2, o resultado eh obvio, pois 2^2 + 3^2 = 13 = 13^1.

Assim, suponhamos que p >= 3 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e 
algum k >= 2.

Como p eh impar, existe a fatoracao:
n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1)) ==>
5 divide n^k ==> 
5 divide n ==> 
5^k divide n^k ==> 
5^k divide 2^p + 3^p ==>
5^(k-1) divide 2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1) ==>

como, por hipotese, k >= 2,
2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2+ ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1) + 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 + ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*(1 - 1 + 1 - ... + (-1)^(p-1)) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*1 = 2^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
contradicao.

Logo, k nao pode ser >= 2.

[]s,
Claudio.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
 
cara, nao entendi o q vc quer provar...
explique diferente, de um exemplo... sei la 
:)
 
abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Raul 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, October 22, 2006 11:22 
  AM
  Subject: [obm-l] Demonstração
  
      Bom dia a todos!
   
      Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, 
  onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser 
  n^2 ou n^3 ou...
   
      Obrigado,
   
          Raul
  
  

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  20/10/2006

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Henrique Rennó]

Olás Luiz, Saulo e Marcelo!!!

Muito obrigado pelas demonstrações.

Abraços!!!

--
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
então: u^v = e^(v ln u)
derivando, temos:

derivada(u^v) = derivada(e^(v ln u)) = e^(v ln u) * (dv ln u + v du/u) 
[aplicando regra da cadeia algumas vezes]

então:
derivada(u^v) = u^v * (derivada(v) ln u + v/u * derivada(u) )

abraços,
Salhab

- Original Message - 
From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Thursday, February 09, 2006 8:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral


Olá Luiz!!!

Primeiramente, agradeço deveras pela resposta. Agora, gostaria de
pedir desculpas, pois cometi um erro. Na verdade a fórmula não é
integral(u^v) e sim derivada(u^v). É que no momento que escrevi a
mensagem estava estudando integrais.

Novamente, se possível, peço uma demonstração da igualdade:

derivada(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))

Novamente peço desculpas pelo erro.

Abraços

On 2/9/06, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para
linearizar exponenciais na hora de integrar:
Veja:
Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
Fazendo
u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
Mas,
u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
(1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em 
(i):


I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} +
ln[f(x)]*{g'(x)}} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u =

I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}

A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois 
lados

da igualdade!

[]'s
Luiz H. Barbosa


--
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Henrique Rennó]

Olá Luiz!!!

Primeiramente, agradeço deveras pela resposta. Agora, gostaria de
pedir desculpas, pois cometi um erro. Na verdade a fórmula não é
integral(u^v) e sim derivada(u^v). É que no momento que escrevi a
mensagem estava estudando integrais.

Novamente, se possível, peço uma demonstração da igualdade:

derivada(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))

Novamente peço desculpas pelo erro.

Abraços

On 2/9/06, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para
> linearizar exponenciais na hora de integrar:
> Veja:
> Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
> Fazendo
> u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
> Mas,
> u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
> ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
> (1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
> udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em (i):
>
> I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} +
> ln[f(x)]*{g'(x)}} =
> I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
> I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u =
>
> I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}
>
> A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois lados
> da igualdade!
>
> []'s
> Luiz H. Barbosa

--
Henrique

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integr al

[Luiz H\. Barbosa]

Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para linearizar exponenciais na hora de integrar:
Veja:
Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
Fazendo 
u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
Mas,
u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
(1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em (i):
 
I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u = 
 
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}
  
A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois lados da igualdade!
 
[]'s
Luiz H. Barbosa
 
 
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Thu, 9 Feb 2006 14:15:06 -0200 
Assunto: [obm-l] Demonstração de Integral 

> Olá pessoal da lista!!! 
> 
> A integral de uma função elevada à outra função é de acordo com 
> tabelas de integrais: 
> 
> integral(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u)) 
> 
> Será que uma demonstração para chegar nessa igualdade é muito complicada? 
> 
> Abraços 
> 
> -- 
> Henrique 
> 
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> = 
> 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Marcos Martinelli]

   Obrigado!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Igor Castro]

Sinceramente eu não entendi o que vc fez ali com as 
constantes, poderia explicar melhor
 
Acho que dá pra pensar assim tbm(alguem me corrija 
se estiver errado...)
Se a(xo) + b(yo) +c = 0
apartir de (xo,yo) vc obtém (xo + bt, yo - at) tal 
que
a(xo + bt) + b( yo - at) + c = 0
logo, a cada t inteiro vc tem novos ptos de 
coordenadas inteiras. Como Z é infinito
[]´s
Igor

  - Original Message - 
  From: 
  Renato 
  G Bettiol 
  To: obm 
  Sent: Sunday, August 28, 2005 6:07 
  PM
  Subject: [obm-l] demonstração
  
  
  Caríssimos,
  Tal problema estava na terceira fase da olimpíada de matemática da Unicamp, 
  elaborada por A. C. Patrocínio.
  "Sejam a, b e c números naturais não-nulos e suponha que a reta ax+by+c=0 
  passe pelo ponto (xo,yo) com xo e yo inteiros. Mostre que a mesma reta passa 
  por infinitos pontosde coordenadas inteiras."
  Não sei se está correta minha resolução, que foi a de isolar xo e yo, 
  afinal são raízes da equação. Somei então duas constantes inteiras, k' e k'', 
  uma a xo e outra a yo. Isolando novamente xo e yo, acrescidos agora desta 
  constante, e colocando-os de volta na equação, obtem-se
  a(xo+2k') + b(yo+2k'') + c = 0
  o que nitidamente mostra que (xo+2k';yo+2k'') é outra raiz da equaçao, 
  outro ponto de inteiros pelo qual a reta passa. E assim, por indução, 
  temos que ha infinitos pontos de coordenadas inteiras que satisfazem 
  ax+by+c=0.
  Será que poderiam comentar a resolução? Haveria uma interpretação 
  geométrica? Pensei em semelhança de triângulos, para fazer a mesma 
  demonstraçao de um modo pouco mais elegante...
  Abraço a todos, agradeço previamente,
   
  Renato
  
  

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  Anti-Virus.Version: 7.0.344 / Virus Database: 267.10.16/83 - Release Date: 
  26/8/2005

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração (Logaritmo)

[Rafael]

Algo não deve estar certo no enunciado, pois a igualdade não é verdadeira...

Pelas relações de Girard:
p = a + beb^n = ab <==> n = 1 + log_b (a)

Assim: np = (a + b)(1 + log_b (a))

Também:
log_b (a^a) + log_b (a^c) + log_b (c^a) + log_c (b^b) =
log_b (a^(a+c) c^a) + b log_c (b)

Agora, tome, por exemplo, a = 3, b = 5, c = 7.

np = (3 + 5)(1 + log_5 (3)) ~= 13,4608
e
log_5 (3^10 * 7^3) + 5 log_7 (5) ~= 14,5887


[]s,
Rafael.



- Original Message -
From: "Erickson Oliveira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, August 27, 2004 5:56 PM
Subject: [obm-l] Demonstração (Logaritmo)


Se alguém puder me ajudar com esse problema, sou grato desde já. Eis a
questão:

Se as raízes "a" e "b" da equação x^2 - px + b^n = 0 são reais e
positivas, demonstrar que:

logb (a^a) + logb (a^c) + logb (c^a) + logc (b^b) = n . p



Grato,
Erickson Oliveira.


=
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração Teorema Laplace...

[Marcos Paulo]

Seja A = ([a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3]) uma matriz de ordem 3.
detA = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 - a2b1c3 - a1b3c2

detA = a1b2c3 - a1b3c2 + a2b3c1 - a2b1c3 + a3b1c2 - a3b2c1

detA = a1(b2c3 - b3c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3(b1c2 - b2c1)
Seja A1 = b2c3 - b3c2 (menor de a1)
A2 = b1c3 - b3c1 (menor de a2)
A3 = b1c2 - b2c1 (menor de a3)

detA = a1A1 - a2A2 + a3A3

Note que o menor de um elemento é igual ao determinantes da matriz obtida quando 
suprimimos a linha e a coluna do elemento dado.

Se vc tiver demonstrado as propriedades dos determinantes previamente vc mostra que 
isso vale para qualquer fila (linha ou coluna) da matriz, desde que feito um ajuste 
nos sinais (que seão positivos ou negativos dependendo da soma do nº da linha com o nº 
da coluna q o elemento ocupa)

Talvez essa não seja uma demonstração generalizada (para matrizes de ordem n) mas já 
quebra um galhão no ensino médio pela sua simplicidade.

Obs.: Essa demonstração consta no livro A Matemática do Ensino Médio Vol.3 que faz 
parte da Coleção do Professor de Matemática publicada pela SBM - na verdade o que está 
escrito acima é um razoavel arremedo da demonstração feita lá.

[]'s MP
=






=
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[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração Teorema Laplace...

[Leandro Lacorte Recova]

Num dos livros do Iezzi, a colecao de 10 livros,
tinha um apendice com a demonstracao. Acho que eles faziam por inducao. 

 

Fale com o Fabio Dias, pois ele mandou um
email pra lista algum tempo atras. Alias, a demonstracao estava muito bem apresentada
la tambem.

 

Leandro

 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of Alan Pellejero
Sent: Wednesday, August 18, 2004
7:23 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Demonstração
Teorema Laplace...

 



Olá Leandro,





refiro-me àquele usado no ensino médio (abaixamento de ordem).





Procurei no google, mas não achei nada sobre.





Agradeço desde já!!!





ALAN

LEANDRO L RECOVA
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:





Alan,

Existem varios teoremas associados a Laplace. Qual voce esta se referindo ?


>From: Alan Pellejero 
<[EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Demonstração Teorema Laplace...
>Date: Wed, 18 Aug 2004 19:54:09 -0300 (ART)
>
>Olá amigos da lista,
>gostaria de saber onde eu posso encontrar a demonstração do teorema de 
>Laplace.
>Grato desde já pela ajuda,
>Alan Pellejero
>
>
>-
>Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!


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Yahoo!
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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[tyum]

-- Mensagem original --

>Olá
>
>Qual a maneira correta e mais lógica de fazer uma demonstração:
>
>Para a e b em R quaisquer prove que a(-b) = -(ab) = (-a)b
>
>
>Vamos lá:

>Sabemos que b+(-b)=0 (axioma)
Assim, a[b+(-b)]=a.0=>(distributiva) a.b+a.(-b)=0
-(a.b)+a.b+a.(-b)=-(a.b)+0=>a.(-b)=-(a.b)

Douglas
>--
>Everton Antonio Ramos (44) 8801-0186
>[EMAIL PROTECTED]
>
>Av. Dr. Luiz Teixeira Mendes, 638
>Maringá - Paraná
>(44) 3028-6300
>--
>
>- Original Message - 
>From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Sent: Sunday, May 09, 2004 10:53 PM
>Subject: Re: [obm-l] 8a cone sul
>
>
>> 10a+b-a^2-b^2 = 25,25 -(a-5)^2 - (b-0,5)^2
>> a = 5 e b=0 ou b=1
>> ==
>> Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1
>> CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br
>> Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
>> Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online
>>
>>
>> -- Original Message ---
>> From: [EMAIL PROTECTED]
>> To: [EMAIL PROTECTED]
>> Sent: Sun, 9 May 2004 21:43:41 -0300
>> Subject: [obm-l] 8a cone sul
>>
>> > >>Por favor alguém tem idea de como posso resolver esse problema. De
>cada
>> > número inteiro positivo n,n<=99,subtraímos a soma dos quadrados de
>> > seus algarismos.Para que valores de n esta diferença é a maior
>> > possível?
>> >
>> > _
>> > Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams?
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>> >
>> >
>=
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >
>=
>> --- End of Original Message ---
>>
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>>
>
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[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração

[Artur Coste Steiner]

Na realidade eh |cos(x)| < |sen(x)/x| < 1, para x<>0
Trace um circulo trigonometrico. Para facilitar, considere um arco do 1o
quadrante. Trace o raio correspondente a este arco. Prolongue o segmento
deste arco ateh que ele encontre a tangente ao circulo tracada pelo ponto
(1,0), originando um segmento t. sen(x) eh entao a perpendicular tracada ada
extremidade do arco ao eixo X; x eh o comprimento do arco; e t eh a tangente
trigonometrica de x. Da Geometria Euclidiana, temos entao que sen(x) < x <
tan(x)= sen(x)/cos(x). Como estamos no 1o quadrante, todos este numeros sao
positivos, o que nos leva a 1 < x/sen(x) < 1/cos(x) e a cos(x) < sen(x)/x <
1. Nos outros quadrantes, igual raciocinuo nos mostra que estas
desigualdades valem para os valores absolutos. Logo, para todo real x<>0,
|cos(x)| < |sen(x)/x| < 1. Isto nos permite concluir o famosos limite lim
x->0 sen(x)/x =1.
Sob o ponto de vista de rigor matematico, esta demonstracao, baseada em
geometria, eh um tanto imprecisa. Mas ela dah uma excelente visao do que
estah acontecendo.
Artur 
  

Olá pessoal,
 
Estou tendo problemas na resolução da seguinte demonstração:
 
Preciso demonstrar que cos(x) < sen(x)/x < 1
 
A demonstração de que o cos(x) e o sen(x)/x são menor do que 1 eu consegui
fazer, o problema é quando preciso provar que cos(x) < sen(x)/x.
 
Desde já agradeço qualquer ajuda.
 
Abraços
 
Cloves Jr
<>

Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Claudio Buffara]

on 17.08.03 23:02, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
[EMAIL PROTECTED] wrote:

>> Seja {v_1, v_2, ..., v_2n } uma base de V.
>> 
>> Defina T:V --> V como:
>> T(v_1) = T(v_2) = ... = T(v_n) = 0
>> e para k > n:
>> T(v_k) = v_(k-n)
>> 
>> Assim, ker(T) = Im(T) = span(v_1,v_2,...,v_n).
> 
> O que vem a ser esse span(v_1,v_2,...,v_n)?

Eh o subespaco de V gerado ("spanned" - dai o nome) por v_1, ..., v_n =
conjunto de todas as combinacoes lineares de v_1, ..., v_n.

Isso que dah estudar por livros em ingles...

Alias, ker(T) eh outro anglicismo - quer dizer "kernel" = nucleo de T.

Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

> Seja {v_1, v_2, ..., v_2n } uma base de V.
> 
> Defina T:V --> V como:
> T(v_1) = T(v_2) = ... = T(v_n) = 0
> e para k > n:
> T(v_k) = v_(k-n)
> 
> Assim, ker(T) = Im(T) = span(v_1,v_2,...,v_n).

O que vem a ser esse span(v_1,v_2,...,v_n)?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada

[Paulo Santa Rita]

Ola Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Eu nao havia lido esta mensagem do colega Artur - que tem participado 
construtivamente de nossas discussoes - quando enviei para esta lista a 
Prova do Teorema Fundamental da Algebra dada por Cauchy, que, de fato, 
conforme todos podem verificar diretamente, e simples e curta, SE COMPARADA 
COM AS DEMONSTRACOES QUE SOMOS OBRIGADOS A ESTUDAR ATUALMENTE.

Estou dizendo isso porque a minha mensagem poderia passar a ideia de 
desconsideracao e desprezo para com o ponto de vista de um colega que so tem 
produzido mensagens que honram as nossas tradicoes e que nos induzem a ter 
por ele somente consideracao e respeito.

Existem muitas demonstracoes deste Teorema que sao longas e complexas e que 
nao seria factivel reproduzi-las aqui. E a estas provas que o estimado 
colega muito provavelmente deve estar se referindo na mensagem abaixo.  Eu 
poderia falar muito sobre esse tema, inclusive falar sobre suas implicacoes, 
como, por exemplo, o Teorema de Bolzano.

Fica portanto esclarecida qualquer ma interpretacao futura.

Um Abraco a Todos !
Um Abraco especial ao Artur !
Paulo Santa Rita
1,2203,200703
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada
Date: Sat, 19 Jul 2003 23:34:35 -0300
De forma mais precisa, este teorema diz que todo polinomio nao
constante, de coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa.
Uma outra forma de enunciar este teorema eh dizer que o corpo dos
complexos eh algebricamente fechado, pois dizemos que um corpo eh
algebricamente fechado se todo polinomio nao constante, de coeficientes
pertencentes ao corpo, apresentar ao menos uma raiz pertencente ao
corpo. A demonstracao do TFA eh extensa e nao dah para reproduzir nesta
lista. Eu conheco algumas apresentadas nos textos que citei em uma outra
mensagem sobre este mesmo assunto.
Um abraco
Artur
> -Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of brunos.pompeo
> Sent: Saturday, July 19, 2003 7:22 PM
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Demonstração não encontrada
>
> Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema
> fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz.
> Por favor, identifique o e-mail.
> Obrigado
>
>
>
> Bruno Pompeo
>
>
>

__
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>
>

=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada

[benedito]

Para ler mais sobre o assunto, consulte o livro (interessante), publicado 
pela Springer em 1977: " The Fundamental Theorem of Algebra" de  Benjamin 
Fine  &  Gerhard Rosenberger. Vale a pena conferir.
Benedito Freire

At 23:25 19/7/2003 -0300, you wrote:

Eu conheço uma demonstracao deste teorema apresentada no livro Algebra 
Moderna, jah esgotado, de um grande autor brasileiro, o Prof. Luis 
Henrique Jacy Monteiro, jah falecido. O livro foi escrito por volta de 
1968, numa epoca em que se chamava de Matematica Moderna ao estudo de 
conjuntos e de estruturas como grupo, anel e corpo (na realidade, naquela 
epoca tais conceitos jah eram conhecidos hah mais de 1 seculo...). Mas nao 
dah para reproduzir aqui, porque ele ocupa umas 10 paginas e eh baseada em 
diversos lemas intermediarios. Eh muito bonita, embora um tanto cansativa. 
Na demonstracao do livro do Prof Jacy Monteiro hah porem, a meu ver, um 
detalhe que nao eh uma falha, mas eh uma certa impropriedade logica. O 
autor diz e de fato fato baseia sua demonstracao na continuidade da funcao 
polinomial. Mas o livro de Jacy Monteiro aborda fundamentalmente algebra, 
nao analise, e assim o autor fala em continuidade de uma funcao sem ter 
definido previamente este conceito...

A demonstracao dada por Jacy Monteiro eh atribuida a Gauss. Parece que os 
franceses alegam que esta demonstracao foi quase toda feita por Dalambert, 
que teria falecido pouco antes de concui-la. Segundo os franceses, Gauss 
deu apenas os arrremates finais, fato que provavelmente eh contestado 
pelos alemaes.



Eu acho que, na realidade, nao eh possivel demonstrar o teorema por meios 
puramente algebricos, hah que se recorrer a   Analise. No livro do 
Alhfors, sobre analise complexa, hah uma prova deste teorema, baseada de 
fato em Analise . Eu acho que o T. Fundamenta da Algebra acaba sendo uma 
consequencia de um outro, conhecido por T. de Beazout.

Tambem jah vi uma demonstracao em um livro de Topologia (Topology, de 
Munkres), mas estah fora de meu alcance. (alias, para entender a do 
Ahlfors eu tambem tenho que me aprofundar mais em analise complexa) .



Um abraco

Artur



f6  ea .

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, July 19, 2003 7:39 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Demonstração não encontrada



http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg11103.html

Em uma mensagem de 19/7/2003 19:35:24 Hora padrão leste da Am. Sul, 
[EMAIL PROTECTED] escreveu:



Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema
fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz.
Por favor, identifique o e-mail.
Obrigado


Bruno Pompeo





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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração não encontrada

[Paulo Santa Rita]

Ola Bruno e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Eu me lembro da prova de Cauchy. Ela simples e curta.

Seja P(x) = A0*x^n  +  A1*x^(n-1)  +  ...  +  An-1*x  + An um polinomio no 
qual tanto os coeficientes A0, A1, A2, ..., An-1, An bem como "x" sao 
numeros complexos da forma "A + Bi". IMAGINE agora que "x" varia no plano 
complexo ( plano de ARGAND ). Neste caso, P(x) tambem vai variar, pois 
estamos supondo que P(x) nao e constante. Tomando os sucessivos modulos de 
P(x), somos obrigados a admitir que o conjunto :

C = { modulo( P(x)) / x varia no plano de Argand }

Tem um minimo ... De fato, como modulo(P(x)) >= 0, para qualquer "x", então, 
na pior das hipoteses, teremos MIN C = 0, podendo ocorrer que o minino de A 
seja maior que quero para algum polinomio
P(x). O certo e que voce deve se convencer que este minimo existe. Vamos 
usar isso.

Seja MIN C = D. Pode ocorrer D=0 ou D > 0.

1) CASO D=0.

Como D=0, seja X0 o complexo do plano de ARGAND que provocou este minimo. 
Entao :

modulo( P(X0) ) = 0 => P(X0) = 0.  Logo, X0 e uma raiz de P(x) e a 
demonstracao esta concluida, pois acabamos de mostrar que existe X0 no plano 
de Argande tal que P(X0) = 0.

2) CASO D > 0

Mais uma vez, seja X0 o numero complexo do plano de Argand que provocou este 
minimo. Entao :

modulo ( P(X0) ) = D e, para qualquer X do plano de Argand :
modulo ( P(X) ) >= modulo( P(X0) ), pois modulo(P(X0)) e um minimo.
IMAGINE agora, no plano de Argand, uma pequena circunferencia com centro em 
X0 e raio E. Um ponto X desta circunferencia ( numero complexo ) SEMPRE 
podera ser IMAGINADO como a soma de dois vetores :

1) O vetor X0 ( de (0,0) ate X0 )
2) O vetor de modulo E que vai de X0 ate X, isto e :
X = X0 + X', X' indo de X0 ( origem ) ate X ( extremidade ). Assim
P(X) = P(X0+X')
P(X) = A0*(X0+X')^n + A1*(X0+X')^n-1 + ... + An-1*(X0+X') + An
Agora e muito importante voce observar o seguinte :

O desenvolvimento (pelo Binomio de Newton ) de P(X) = P(X0+X') ira produzir 
todas as potencias de X0, desde "n" ate 0. E como vamos multiplicar 
sucessivamente por A0, A1, ..., An teremos novamente o polinimio P(X0) que 
da o minimo e mais todas as potencias de X', tambem elevadas desde X'^n ate 
X' elevada a zero. E facil ver isso olhando ai em cima. Quero dizer que 
podemos colocar o polinomio P(X) da seguinte forma :

P(X) = P(X0) + B1*X' + B2*X'^2 + ... + Bn-1*X^n-1 + Bn*X^n.

Note que P(X0) esta desempenhando o papel do coeficiente B0, isto e, 
B0=P(X0) e P(X0) e, conforme ja falamos, o valor de modulo minimo.

Claramente que alguns dos Bi, i={1,2,..,n} podem ser nulos, dependendo dos 
Ai originais e do raio E que escolhemos. Seja Ci o i-esimo termos da 
sequencia B1, B2, ..., Bn que nao e nulo. Entao :

P(X) = P(X0) + C1*X'^a + C2*X'^b + ... + Cm*X'^z, onde :
a < b < c < ... < z   ea, b,c, ... ,  z estao em { 1,2,3, ..., n }
P(X) = P(X0) + C1*X'^a(1 + X'*F(X')). Como P(X0) e diferente de zero :

P(X)/P(X0) = 1 +  [ C1/P(X0) ]*[ X'^a(1 + X'*F(X') ]
P(X0+X')/P(X0) = 1 + K*[ X'^a(1 + X'*F(X') ], onde K = C1/P(X0)
Agora, o golde de mestre ( do Mestre Cauchy ! ) :

Claramente que X' e K sao numeros complexos. Portanto, eles podem ser 
colocados na forma trigonometrica, isto e :

X'=S(cosV + isenV) e K = T(cosW + isenW). Assim,
a relacao : K* X'^a, ficara com a forma :
KX'^a = ST^a[  cos(V+aW) + isen(V+aW) ]

IMAGINANDO dentro da circunferencia de centro X0 e raio E todos os X 
complexos tais que V+aW=pi, isto e, complexos que formam um angulo W= (pi - 
V)/a com o eixo dos reais ( eixo dos x ), teremos :

P(X0+X')/P(X0) = 1 + ST^a(cos(pi) + isen(pi))(1 + X'*F(X') )
P(X0+X')/P(X0) = (1 - ST^a) - ST^a* X'*F(X') ) onde so X' e F(X') sao 
complexos e, os demais, numeros reais.

Aplicando agora a relacao dos modulos ( o modulo da soma ou da subtracao de 
dois numeros complexos e sempre menor ou igual a soma dos modulos ) :

modulo(  P(X0+X')/P(X0)  ) =< modulo(1 - ST^a)  +  modulo( ST^a* X'*F(X') )
mas : 1 - ST^a +  ST^a* modulo(X')*modulo( F(X')) = 1 - ST^a + 
ST^(a+1)*modulo(F(x'))

E ja deve ter ficado claro pra voce que estamos diante de um absurdo ...

Pois, a medida que diminuirmos E - o raio da circunferencia original - 
evidentemente vai diminuir ST^a e ST^(a+1)*modulo(F(X')) diminuem, podendo 
ficar tao pequenos quanto quisermos bastando tomar E suficientemente 
pequeno. Entretanto,   ST^(a+1)*modulo(F(X')) < ST^a para E suficientemente 
´pequeno , de forma que o valor negativo -ST^a vai anular a parte positivo 
de ST^(a+1)*modulo(F(X')) de forma que a soma 1 - ST^a + 
ST^(a+1)*modulo(F(x')) vai ficar menor que 1. E dai e evidente que teremos 
modulo(P(x0 + 1)) < modulo(P(X0)) ... ABSURDO, ABSURDO, ABSURDO !

Pois ja admitimos que modulo(P(X0)) e o valor minimo.

Bom, tudo isso derivou do fato de supormos que pode ocorrer o caso D > 0.

Nao podendo isso ocorrer, pois conduz ao absurdo acima, devemos admitir que, 
qualquer que seja o polinomio P(X), com coeficientes no plano de argand e X 
variando  tambem neste plano, SEMPRE HAV

[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada

[Artur Costa Steiner]

De forma mais precisa, este teorema diz que todo polinomio nao
constante, de coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa.
Uma outra forma de enunciar este teorema eh dizer que o corpo dos
complexos eh algebricamente fechado, pois dizemos que um corpo eh
algebricamente fechado se todo polinomio nao constante, de coeficientes
pertencentes ao corpo, apresentar ao menos uma raiz pertencente ao
corpo. A demonstracao do TFA eh extensa e nao dah para reproduzir nesta
lista. Eu conheco algumas apresentadas nos textos que citei em uma outra
mensagem sobre este mesmo assunto.
Um abraco
Artur 

> -Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of brunos.pompeo
> Sent: Saturday, July 19, 2003 7:22 PM
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Demonstração não encontrada
> 
> Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema
> fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz.
> Por favor, identifique o e-mail.
> Obrigado
> 
> 
> 
> Bruno Pompeo
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada

[Artur Costa Steiner]

Eu
conheço uma demonstracao deste teorema apresentada no livro Algebra Moderna,
jah esgotado, de um grande autor brasileiro, o Prof. Luis Henrique Jacy
Monteiro, jah falecido. O livro foi escrito por volta de 1968, numa epoca em
que se chamava de Matematica Moderna ao estudo de conjuntos e de estruturas como
grupo, anel e corpo (na realidade, naquela epoca tais conceitos jah eram
conhecidos hah mais de 1 seculo...). Mas nao dah para reproduzir aqui, porque
ele ocupa umas 10 paginas e eh baseada em diversos lemas intermediarios. Eh
muito bonita, embora um tanto cansativa. Na demonstracao do livro do Prof Jacy
Monteiro hah porem, a meu ver, um detalhe que nao eh uma falha, mas eh uma
certa impropriedade logica. O autor diz e de fato fato baseia sua demonstracao na
continuidade da funcao polinomial. Mas o livro de Jacy Monteiro aborda
fundamentalmente algebra, nao analise, e assim o autor fala em continuidade de
uma funcao sem ter definido previamente este conceito... 

A
demonstracao dada por Jacy Monteiro eh atribuida a Gauss. Parece que os franceses
alegam que esta demonstracao foi quase toda feita por D’alambert, que
teria falecido pouco antes de concui-la. Segundo os franceses, Gauss deu apenas
os arrremates finais, fato que provavelmente eh contestado pelos alemaes. 

  

Eu
acho que, na realidade, nao eh possivel demonstrar o teorema por meios
puramente algebricos, hah que se recorrer a   Analise. No livro do Alhfors, sobre analise
complexa, hah uma prova deste teorema, baseada de fato em Analise . Eu acho que
o T. Fundamenta da Algebra acaba sendo uma consequencia de um outro, conhecido
por T. de Beazout.

Tambem
jah vi uma demonstracao em um livro de Topologia (Topology, de Munkres), mas
estah fora de meu alcance. (alias, para entender a do Ahlfors eu tambem tenho
que me aprofundar mais em analise complexa) .

 

Um
abraco

Artur
 

  

f6
 ea . 



-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]io.br] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, July 19, 2003 7:39 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Demonstração
não encontrada

 

http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg11103.html



Em uma mensagem de 19/7/2003 19:35:24 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 





Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema 
fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz. 
Por favor, identifique o e-mail. 
Obrigado 



Bruno Pompeo 

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração não encontrada

[João]

Não se espantem!

Isso é extremamente FÁCIL! Tanto é que foi provado por um ser comum e
insignificante chamado GAUSS
em sua tese de doutoramento.
Agora, falando sério, existem várias demonstrações que usam conceitos
não-algébricos. Mas no caso de Gauss,
parece-me que ele baseia-se em parte em considerações geométricas.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA:
"Todo polinômio p(x) em C[x] de grau >= 1 possui pelo menos uma raiz
complexa"

É possível demonstrá-lo partindo de alguns resultados básicos sobre funções
de 2 variáveis reais ou complexas.
Para f(x) = ax2+ bx + c, usa-se o método de isolar a e completar quadrados
(método conhecido desde os babilônios)

Já as eq. cúbicas e quárticas foram solucionadas no séc XVI pelos
matemáticos da Renascença ( Cardano e seu discípulo
Ferrari as publicaram no livro "Ars Magna").
Para f(x) = ax2+ bx + c, usa-se o método de isolar a e completar quadrados.
f(x) = x3 + ax2 + bx + c sempre com os coeficientes em C, faça y = x + a/3 e
retorne para f(x) = f(y - a/3) = g(y)= y3 + py + q com p = b - a2/3  e  q =
c - ba/3 + 2 a3/27   epor favor verifique que a partir das raízes de 1 +
w + w2 = 0 teremos para quaisquer u e v:
( y + u + v ) ( y + wu + w2v ) ( y + w2u + wv ) = y3 + y ( -3uv ) + ( u3 +
v3 ).
Portanto se encontrarmos p = -3uv e q = u3 + v3 e seguirmos nos cálculos
acharemos as raízes de g(y) e consequentemente de f(x).

Ficou provado no séc. XIX por Abel e Galois que é impossível resolver por
radicais uma equação geral de grau >= 5

Eu acho um assunto interessante, porém pesado pra se tratar aqui.
Recorri a um texto do Grupo de Álgebra da UFMG pra fazer estes comentários.

FORTE ABRAÇO

- Original Message -
From: "brunos.pompeo" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, July 19, 2003 7:21 PM
Subject: [obm-l] Demonstração não encontrada


> Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema
> fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz.
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> Bruno Pompeo
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Paulo Santa Rita]

Ola Denisson e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Interessant, sehr interessant ! Oder ? Mas ... eu acho que nao entendi a sua 
questao :

Segundo a exposicao abaixo segue que o ponto B - extremo do segmento de 
comprimento minimo - fica univocamente determinado ANTES DA DESCOBERTA do 
ponto C, mas me parerce que as coisas nao podem ser assim ...

Dado que a distancia entre quaisquer dois pontos e diferente da distancia 
entre dois outros pontos quaisquer, entao, claramente, o conjunto das 
distancias possiveis tem um valor minimo. Seja M esse valor minimo e { X,Y } 
o par de pontos que lhe corresponde. Portanto, evidentemente, se tracarmos 
um circulo de centro X e raio M nao podera haver nenhum ponto no interior 
deste circulo, pois isto contrariaria a minimalidade de M. O mesmo se pode 
dizer do circulo de mesmo raio e centro Y.

Agora, quem e A e quem e B ? ( X=A e Y=B ) ou ( X=B e Y=A ) ?

Me parece que nos so podemos responder a pergunta acima APOS ANALISAR OS 
DEMAIS PONTOS ...

Suponhamos que P seja o conjunto de pontos e d(X,Y) a distancia entre os 
pontos X e Y. Neste caso, se existe Z pertencente a P - {X,Y} tal que d(Z,X) 
< d(W,Y) qualquer que seja W pertencente a
P - {X,Y,Z},  entao X=B e Y=A. Mas, na explicacao PRESSUPOE-SE que B esta 
univocamente determinado, fato que EU nao consigo perceber ...

Sera que o ponto A e previamente dado ? Isto e, existe um ponto de partida ? 
Ou, de fato, conforme eu suspeito, o ponto B e determinado "a posteriori", 
tal como esbocei acima, e nao, "a priori", conforme voce implicitamente 
pressupoe em sua exposicao abaixo ? Bom, se voce seriamente quer uma 
discussao, voce precisa se pronunciar.

Considere, finalmente, os pontos : (0,0), (0,1), (2,1) e (-3,0). O segmento 
minimo e { (0,0),(0,1) }.

1)Supondo A=(0,0) segue que B=(0,1). Logo C=(2,1) e D=(-3,0). Portanto, CD 
corta AB
2)Supondo A=(0,1) segue que B=(0,0). Logo C=(2,1) e D=(-3,0). Portanto, CD 
corta AB

O contra-exemplo acima E UMA PROVA de que os segmentos podem se cruzar, se e 
que eu entendi corretamente o seu enunciado ou se o seu enunciado encerra 
algo com sentido  ...

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1536,010703


From: Denisson <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Date: Sun, 29 Jun 2003 23:41:51 -0300 (ART)
Ok, vejamos. Imagine uma folha, cheia de pontos, feitos aleatoriamente. A 
distância entre dois pontos distintos nunca será igual a distancia de dois 
outros pontos. Entendido até aí? Se a distancia entre o ponto A e o ponto B 
for 5 cm, então a do ponto An até o Bn deverá ser diferente de 5.
Bom, agora imagine todos os segmentos que nós podemos formar ligando dois 
pontos dessa folha. Imagine que o menor possível é AB=1 cm e o maior é 
CD=10 cm.Então nós devemos traçar o nosso primeiro segmento, a partir 
do ponto A até o ponto B. Agora você está no ponto B, vc deve ligar o ponto 
B ao próximo ponto que estiver mais perto, ou seja, se houver o ponto C a 2 
cm, e o ponto D a 3cm entaõ vc deve ligar B com C. Agora a partir do ponto 
C ligue-o até o outro ponto mais próximo de C e assim sucessivamente.
Vc para de ligar quando todos os pontos forem usados, mas a partir do 
momento que vc chegou no ultimo ponto, acaba suas ligações. imagine que vc 
tem uma folha com quatro pontos. Aí vc liga AB, depois BC, depois 
CD,pronto, pare aí, não ligue o ultimo com o primeiro A. Entendeu agora? 
Agora prove que nunca formará uma linha poligonal fechada nem haverá 
cruzamento de segmentos. Se discordar prove também  :P

Saudações,
Denisson
- Original Message -
From: Domingos Jr.
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, June 29, 2003 11:58 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Não entendi direito... especialmente essa parte:
"e a partir desse segmento ligar outro ponto com a menor distancia"
É pra ligar o ponto ao que com a menor distância?
É pra ligar dois pontos quaisquer cuja distância seja a segunda menor?
Quando você para de traçar segmentos?


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Denisson]

Ok, vejamos. Imagine uma folha, cheia de pontos, feitos aleatoriamente. A distância entre dois pontos distintos nunca será igual a distancia de dois outros pontos. Entendido até aí? Se a distancia entre o ponto A e o ponto B for 5 cm, então a do ponto An até o Bn deverá ser diferente de 5.
Bom, agora imagine todos os segmentos que nós podemos formar ligando dois pontos dessa folha. Imagine que o menor possível é AB=1 cm e o maior é CD=10 cm.    Então nós devemos traçar o nosso primeiro segmento, a partir do ponto A até o ponto B. Agora você está no ponto B, vc deve ligar o ponto B ao próximo ponto que estiver mais perto, ou seja, se houver o ponto C a 2 cm, e o ponto D a 3cm entaõ vc deve ligar B com C. Agora a partir do ponto C ligue-o até o outro ponto mais próximo de C e assim sucessivamente. 
Vc para de ligar quando todos os pontos forem usados, mas a partir do momento que vc chegou no ultimo ponto, acaba suas ligações. imagine que vc tem uma folha com quatro pontos. Aí vc liga AB, depois BC, depois CD,pronto, pare aí, não ligue o ultimo com o primeiro A. Entendeu agora? Agora prove que nunca formará uma linha poligonal fechada nem haverá cruzamento de segmentos. Se discordar prove também  :P
 
Saudações,
Denisson

- Original Message - 
From: Domingos Jr. 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sunday, June 29, 2003 11:58 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

Não entendi direito... especialmente essa parte: 
"e a partir desse segmento ligar outro ponto com a menor distancia"
É pra ligar o ponto ao que com a menor distância?
É pra ligar dois pontos quaisquer cuja distância seja a segunda menor?
Quando você para de traçar segmentos?Yahoo! Mail 
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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Domingos Jr.]

Não entendi direito... especialmente essa parte: 

"e a partir desse segmento ligar 
outro ponto com a menor distancia"
É pra ligar o ponto ao que com a menor 
distância?
É pra ligar dois pontos quaisquer cuja distância 
seja a segunda menor?
Quando você para de traçar segmentos?
 

  - Original Message - 
  From: 
  Denisson 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, June 29, 2003 7:25 PM
  Subject: [obm-l] Demonstração
  
  Faça um monte de pontos aleatoriamente de modo que a distancia entre eles 
  sempre seja diferente. Veja um exemplo
   
  .  
  .    
  .    .  
  .  .
   . .    
  .  
  .  
  . .   .
   .  
  .   
  .    
  .    .  
  . .
      . 
  .  .    
  . 
  .  
  .   .    
   
  Partindo de dois pontos que tenha o menor segmento possível, 
  e a partir desse segmento ligar outro ponto com a menor distancia, 
  depois o proximo ponto ... etc.. assim sucessivamente, prove que nunca formará 
  uma linha poligonal fechada (exceto entre o primeiro e o ultimo 
  ponto ) e nunca os segmentos se cruzarão...
   
  Essa eh bem interessante...
  
  
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijet

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

>
>Primeiramente, obrigado Carlos por responder a questão. 
>O problema é que ainda curso o ensino médio, e não 
>conheço os conceitos de derivada. Na verdade, eu tenho a 
>resolução dessa questão, mas não entendi alguns pontos 
>sobre a verificação da sobrejeção. Estou mandando 
>novamente a pergunta, sua respectiva resposta (relativa 
>a sobrejeção) e minha dúvida. Fico grato se alguem me 
>exclarecer.
> 
>Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0) 
>do seguinte modo: F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] é uma 
>função bijetora desse intervalo nos reais.
>
>"Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s) 
>+ 1/x.
>
>1. Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)], resulta:
>y(xs - x^2) = 2x - s  ->  yx^2 + (2 - ys)x - s = 0.
>
>Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem:
>
>a · g(0) = y(-s) 
>a · g(s) = y(s)
>-> ag(0) e ag(s) têm sinais opostos  ->  existe um x´ 
>tal que y = (2x´ - s)/[x´(s - x´)] 
>então f é sobrejetora."
>
>(DÚVIDA) Por que g(0) e g(s) são multiplicados por a.
>Não entendi a conclusão, ou seja, por que ela é 
>sobrejetora?

   Eu tambem nao entendi que negocio e' esse de multiplicar por a, mas
g(0)=-s e g(s)=s tem sinais contrarios, e portanto existe x entre 0 e s com
g(x)=0 (ou seja, a equacao do segundo grau em x dada por g(x)=0, i.e., 
yx^2 + (2 - ys)x - s = 0, tem uma raiz entre 0 e s), e portanto f(x)=y, o 
que prova que f e' sobrejetiva, pois y pode assumir qualquer valor real.
   Abracos,
   Gugu 

>
>obrigado pela atenção.
>Ass: Marcelo Paiva
>
> 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)

[goiamum]

Claudio, obrigado pela explicação, ela é bem mais 
exclarecedora do que a outra que eu tinha, valeu mesmo.

Ass: Marcelo Paiva

 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)

[Claudio Buffara]

Caro Goiamum:

Segue abaixo uma demonstracao de que f eh uma bijecao usando apenas algebra
elementar:

f(x) = (2x - s)/[x(s - x)] ==>
f(x) = 1/(s-x) - 1/x

A injetividade de f eh consequencia de (i) abaixo e a sobrejetividade eh
consequencia de (ii) e (iii):
 
i) Se 0 < a < b < s entao f(a) < f(b).
Dem:
0 < a < b < s ==>
0 < s - b < s - a < se0 < 1/s < 1/b < 1/a  ==>
1/(s-a) < 1/(s-b)e   -1/a < -1/b  ==>
1/(s-a) - 1/a < 1/(s-b) - 1/b ==>
f(a) < f(b)
-
 
ii) Se x = s/2 entao f(x) = 0.
Dem:
óbvia
-
 
iii) Dado y real não-nulo, definimos x como sendo:
x = s/2 - 1/y + raiz(s^2/4 + 1/y^2)  se  y > 0
e
x = s/2 - 1/y - raiz(s^2/4 + 1/y^2)  se y < 0.
Então: 0 < x < s  e  f(x) = y.
Dem:
s > 0 e y <> 0 ==> 
s/2 + 1/|y| > raiz(s^2/4 + 1/y^2) > max( s/2 , 1/|y| )

Assim:
y > 0 ==> |y| = y ==>
x = raiz(s^2/4 + 1/y^2) + s/2 - 1/|y| > 0
s - x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s

y < 0 ==> |y| = -y ==>
x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0
s - x = s/2 - 1/|y| + raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s

Alem disso, temos: 
x - (s/2 - 1/y) = +/- raiz(s^2/4 + 1/y^2) ==>
(x - (s/2 - 1/y))^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==>
x^2 - 2x(s/2 - 1/y) + s^2/4 - s/y + 1/y^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==>
x^2 - xs + 2x/y - s/y = 0 ==>
(2x - s)/y = xs - x^2 ==>
y = (2x - s)/(xs - x^2) ==>
y = (2x - s)/[x(s - x)] ==>
y = f(x)
-

Um abraco,
Claudio.


> ----- Original Message -
> From: "goiamum" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Wednesday, March 26, 2003 2:14 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)
> 
> 
>> Primeiramente, obrigado Carlos por responder a questão.
>> O problema é que ainda curso o ensino médio, e não
>> conheço os conceitos de derivada. Na verdade, eu tenho a
>> resolução dessa questão, mas não entendi alguns pontos
>> sobre a verificação da sobrejeção. Estou mandando
>> novamente a pergunta, sua respectiva resposta (relativa
>> a sobrejeção) e minha dúvida. Fico grato se alguem me
>> exclarecer.
>> 
>> Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0)
>> do seguinte modo: F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] é uma
>> função bijetora desse intervalo nos reais.
>> 
>> "Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s)
>> + 1/x.
>> 
>> 1. Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)], resulta:
>> y(xs - x^2) = 2x - s  ->  yx^2 + (2 - ys)x - s = 0.
>> 
>> Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem:
>> 
>> a · g(0) = y(-s)
>> a · g(s) = y(s)
>> -> ag(0) e ag(s) têm sinais opostos  ->  existe um x´
>> tal que y = (2x´ - s)/[x´(s - x´)]
>> então f é sobrejetora."
>> 
>> (DÚVIDA) Por que g(0) e g(s) são multiplicados por a.
>> Não entendi a conclusão, ou seja, por que ela é
>> sobrejetora?
>> 
>> obrigado pela atenção.
>> Ass: Marcelo Paiva
>> 
>> 
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[obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)

[goiamum]

Primeiramente, obrigado Carlos por responder a questão. 
O problema é que ainda curso o ensino médio, e não 
conheço os conceitos de derivada. Na verdade, eu tenho a 
resolução dessa questão, mas não entendi alguns pontos 
sobre a verificação da sobrejeção. Estou mandando 
novamente a pergunta, sua respectiva resposta (relativa 
a sobrejeção) e minha dúvida. Fico grato se alguem me 
exclarecer.
 
Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0) 
do seguinte modo: F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] é uma 
função bijetora desse intervalo nos reais.

"Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s) 
+ 1/x.

1. Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)], resulta:
y(xs - x^2) = 2x - s  ->  yx^2 + (2 - ys)x - s = 0.

Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem:

a · g(0) = y(-s) 
a · g(s) = y(s)
-> ag(0) e ag(s) têm sinais opostos  ->  existe um x´ 
tal que y = (2x´ - s)/[x´(s - x´)] 
então f é sobrejetora."

(DÚVIDA) Por que g(0) e g(s) são multiplicados por a.
Não entendi a conclusão, ou seja, por que ela é 
sobrejetora?

obrigado pela atenção.
Ass: Marcelo Paiva

 
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=

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora

[goiamum]

Henrique, acabo de confirir a função e ela está escrita 
corretamente. 

Valeu.


> Goiamum,
> 
> > Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s >
 0)
> > do seguinte modo: F(x) = 2x - s/x(s - x) é uma função
> > bijetora desse intervalo nos reais.
> 
> Essa função está escrita corretamente?
> Porque, creio eu, da forma como ela tá escrita, ela não
 é injetora nem
> sobrejetora. Portanto...
> Alguém pode me corrigir ou estou certo e o enunciado, e
rrado?
> 
> Grato,
> Henrique.

 
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Eder]

Obrigado pela solução.

  - Original Message - 
  From: 
  Lucelindo D. 
  Ferreira 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, April 27, 2002 5:23 
  PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 
  demonstração
  
  E aí Eber tudo blz! 
  Tudo começa com a Lei dos Senos 
  observe que senA = senA',  senC = sen(a+B), 
  senC' = sen(A-B).Então pela famosa lei dos senos.
  a/senA=b/senB=c/sen(A+B)
  a'/senA = b'/senB=c'/sen(A-B)
   
  aa'/(senA)^2 = bb'/ (senB)^2 = cc'/[(senAcosB)^2 
  - (senBcosA)^2]
   
  bb' = aa'(senB^2)/(senA^2)
  cc' = aa'[(senAcosB)^2 - 
  (senBcosA)^2]/(senA)^2
  bb' +cc' = aa'[(senAcosB)^2 + 
  senB^2(1-cosA^2)]/(senA)^2 = aa'[ (senAcosB)^2 + (senBsenA)^2]/(senA)^2= 
  aa'[senA^2(cosB^2 + senB^2)/(senA)^2= aa'.
    
  See you later
  
- Original Message - 
From: 
Eder 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Monday, April 22, 2002 5:45 
PM
Subject: [obm-l] demonstração

Num tô conseguindo...
 
"Dados doi triângulos ABC e A'B'C' nos quais 
A+A'=180º e B=B',demonstre que 
aa'=bb'+cc'."
 
Obrigado por qualquer 
  ajuda.

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Lucelindo D. Ferreira]

E aí Eber tudo blz! 
Tudo começa com a Lei dos Senos 
observe que senA = senA',  senC = sen(a+B), 
senC' = sen(A-B).Então pela famosa lei dos senos.
a/senA=b/senB=c/sen(A+B)
a'/senA = b'/senB=c'/sen(A-B)
 
aa'/(senA)^2 = bb'/ (senB)^2 = cc'/[(senAcosB)^2 - 
(senBcosA)^2]
 
bb' = aa'(senB^2)/(senA^2)
cc' = aa'[(senAcosB)^2 - 
(senBcosA)^2]/(senA)^2
bb' +cc' = aa'[(senAcosB)^2 + 
senB^2(1-cosA^2)]/(senA)^2 = aa'[ (senAcosB)^2 + (senBsenA)^2]/(senA)^2= 
aa'[senA^2(cosB^2 + senB^2)/(senA)^2= aa'.
  
See you later

  - Original Message - 
  From: 
  Eder 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, April 22, 2002 5:45 
PM
  Subject: [obm-l] demonstração
  
  Num tô conseguindo...
   
  "Dados doi triângulos ABC e A'B'C' nos quais 
  A+A'=180º e B=B',demonstre que 
  aa'=bb'+cc'."
   
  Obrigado por qualquer 
ajuda.