Re: [obm-l] Fatorial

[Pedro José]

Bom dia!

Só uma observação.

Se usarmos de rigorismo, deveremos fazer a restrição n>0, pois, 1 não
divide um produto de uma sequência sem termos, ou seja uma sequência vazia.

Saudações,
PJMS

Em 16 de novembro de 2016 21:12, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado Pedro José
>
> Em 16 de novembro de 2016 10:29, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a
>> divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e
>> nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1.
>>
>> Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n.
>>
>> Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte.
>> O produto de uma sequência de inteiros positivos,  consecutiva de a-n+1,
>> a -n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n.
>> C(a,n); portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos,
>> o produto será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da
>> sequência, e por conseguinte também é múltiplo de n!.
>>
>> De outra forma, se fatorarmos n!
>>
>> Temos que para cada p, primo, p<= n,  que o expoente, a, de p na
>> fatoração é:
>>
>> a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a
>> parir de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte
>> inteira de z.
>>
>> Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1
>>
>> Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d
>> o expoente da fatoração de (x-n)!.
>>
>> Então, b= c-d.
>>
>> c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ...
>>
>> d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ...
>>
>> x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r > n = s mod p^w e 0<= s >
>> temos que x= q1*p^w + r e n= q2*p^w+s
>>
>>
>> Então [x/p^w] = q1, [n/p^w]=q2
>>
>> [(x-n)/p^w] = [(q1-q2)*p^w+r-s] =   q1-q2 se r>=s e q1-q2-1 se r>
>> Então [x/p^w] - [(x-n)/p^w] = q2 se r>=s e q2 +1 se r [x/p^w] -
>> [(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2
>>
>> Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas
>> correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na
>> fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na
>> fatoração de Y.
>>
>> Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação
>> destacada acima.
>>
>> Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x.
>>
>> Saudações,~
>> PJMS
>>
>>
>> Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira <
>> guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Verdade, tem isso.
>>>
>>> Talvez seja melhor mudar de estratégia.
>>> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
>>> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
>>> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
>>> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
>>> feito para p^2, p^3,  , o que completa o número de fatores p na
>>> sequência necessários para que ela seja divisível por n!.
>>>
>>> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente
>>> divisível por outra sequência q.
>>>
>>> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia"  escreveu:
>>>
>>>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
>>>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
>>>> k>>> um desses desses fatores (k>>> consecutivos, começando por 0.
>>>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há
>>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k>>> que seja um fator de n!
>>>>
>>>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo
>>>> p, p+1, ... , p +  n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>>>>
>>>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
>>>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>>>>
>>>>> Boa noite, Israel.
>>>>>
>>>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>>>>> fatores (k>>>> começando por 0.
>>>>>
>>>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há

Re: [obm-l] Fatorial

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Pedro José

Em 16 de novembro de 2016 10:29, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a
> divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e
> nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1.
>
> Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n.
>
> Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte.
> O produto de uma sequência de inteiros positivos,  consecutiva de a-n+1, a
> -n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n. C(a,n);
> portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos, o produto
> será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da sequência, e
> por conseguinte também é múltiplo de n!.
>
> De outra forma, se fatorarmos n!
>
> Temos que para cada p, primo, p<= n,  que o expoente, a, de p na fatoração
> é:
>
> a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a parir
> de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte inteira
> de z.
>
> Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1
>
> Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d o
> expoente da fatoração de (x-n)!.
>
> Então, b= c-d.
>
> c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ...
>
> d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ...
>
> x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r  n = s mod p^w e 0<= s 
> temos que x= q1*p^w + r e n= q2*p^w+s
>
>
> Então [x/p^w] = q1, [n/p^w]=q2
>
> [(x-n)/p^w] = [(q1-q2)*p^w+r-s] =   q1-q2 se r>=s e q1-q2-1 se r
> Então [x/p^w] - [(x-n)/p^w] = q2 se r>=s e q2 +1 se r [x/p^w] -
> [(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2
>
> Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas
> correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na
> fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na
> fatoração de Y.
>
> Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação
> destacada acima.
>
> Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x.
>
> Saudações,~
> PJMS
>
>
> Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira <
> guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu:
>
>> Verdade, tem isso.
>>
>> Talvez seja melhor mudar de estratégia.
>> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
>> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
>> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
>> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
>> feito para p^2, p^3,  , o que completa o número de fatores p na
>> sequência necessários para que ela seja divisível por n!.
>>
>> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente
>> divisível por outra sequência q.
>>
>> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia"  escreveu:
>>
>>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
>>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
>>> k>> um desses desses fatores (k>> consecutivos, começando por 0.
>>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há
>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k>> que seja um fator de n!
>>>
>>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo
>>> p, p+1, ... , p +  n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>>>
>>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
>>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>>>
>>>> Boa noite, Israel.
>>>>
>>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>>>> fatores (k>>> começando por 0.
>>>>
>>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>>>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k>>> seja um fator de n!
>>>>
>>>> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>>>>
>>>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
>>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>>>>> inteiros consecutivos
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>>
>>>>
>>>> *__*
>>>>
>>>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
>>>> original.”*
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> *Albert Eistein*
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>
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>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial

[Pedro José]

Bom dia!

O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a
divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e
nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1.

Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n.

Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte.
O produto de uma sequência de inteiros positivos,  consecutiva de a-n+1, a
-n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n. C(a,n);
portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos, o produto
será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da sequência, e
por conseguinte também é múltiplo de n!.

De outra forma, se fatorarmos n!

Temos que para cada p, primo, p<= n,  que o expoente, a, de p na fatoração
é:

a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a parir
de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte inteira
de z.

Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1

Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d o
expoente da fatoração de (x-n)!.

Então, b= c-d.

c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ...

d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ...

x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r =s e q1-q2-1 se r=s e q2 +1 se r [x/p^w] -
[(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2

Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas
correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na
fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na
fatoração de Y.

Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação destacada
acima.

Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x.

Saudações,~
PJMS


Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira <
guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu:

> Verdade, tem isso.
>
> Talvez seja melhor mudar de estratégia.
> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
> feito para p^2, p^3,  , o que completa o número de fatores p na
> sequência necessários para que ela seja divisível por n!.
>
> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente divisível
> por outra sequência q.
>
> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia"  escreveu:
>
>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
>> k> um desses desses fatores (k> consecutivos, começando por 0.
>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k> seja um fator de n!
>>
>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo p,
>> p+1, ... , p +  n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>>
>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>>
>>> Boa noite, Israel.
>>>
>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>>> fatores (k>> começando por 0.
>>>
>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k>> seja um fator de n!
>>>
>>> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>>>
>>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>>>> inteiros consecutivos
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> --
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>>>
>>> *__*
>>>
>>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
>>> original.”*
>>>
>>>
>>>
>>> *Albert Eistein*
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial

[Martins Rama]

Esse problema faz parte dos exercícios da disciplina Aritmética do Curso 
PROFMAT. 
A solução do Nehab é muito boa.
Sejam os "n" inteiros consecutivos dados pora_1 = pa_2 = p+1a_3 = 
p+2.a_n = p + (n-1)
Então o produto P será um número inteiro tal que 
P = a_1 x a_2 x a_3 x ... x a_n 
P = [p+(n-1)] x ... x [p+2] x [p+1] x pP = C_[p+(n-1)],nP = [p+n-1]! / {n! x 
[p-1]!}ou seja, 
[p+n-1]! / [p-1]! é divisível por n!
o que quer dizer que 
[p+(n-1)] x ... x [p+2] x [p+1] x p = P é divisível por n!

 

Em Quinta-feira, 3 de Novembro de 2016 13:19, Israel Meireles Chrisostomo 
 escreveu:
 

 Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n inteiros 
consecutivos
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e 
 acredita-se estar livre de perigo.

   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial

[Guilherme Oliveira]

Verdade, tem isso.

Talvez seja melhor mudar de estratégia.
Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
feito para p^2, p^3,  , o que completa o número de fatores p na
sequência necessários para que ela seja divisível por n!.

Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente divisível
por outra sequência q.

Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia"  escreveu:

> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
> k um desses desses fatores (k consecutivos, começando por 0.
> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
> menos um múltiplo de k entre eles, já que k seja um fator de n!
>
> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo p,
> p+1, ... , p +  n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>
> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>
>> Boa noite, Israel.
>>
>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>> fatores (k> começando por 0.
>>
>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k> seja um fator de n!
>>
>> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>>
>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>>> inteiros consecutivos
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>>
>> --
>>
>>
>> *__*
>>
>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
>> original.”*
>>
>>
>>
>> *Albert Eistein*
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial

[Tássio Naia]

> n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
k Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
menos um múltiplo de k entre eles, já que k:

> Boa noite, Israel.
>
> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
> fatores (k começando por 0.
>
> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
> menos um múltiplo de k entre eles, já que k seja um fator de n!
>
> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>
> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>> inteiros consecutivos
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
>
>
> *__*
>
> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
> original.”*
>
>
>
> *Albert Eistein*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial

[Guilherme Oliveira]

Boa noite, Israel.

n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses fatores
(k escreveu:

> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
> inteiros consecutivos
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 

*__*

*“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
original.”*



*Albert Eistein*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial

[Carlos Nehab]

Oi, Israel.

Tô com preguiça, mas se meus neurônios permanecem intactos, vc pode se
convencer disso, percebendo que se os n inteiros positivos consecutivos são
p, p+1, ... p+n-1, o quociente desse produto por n! corresponde exatamente
à quantidade de subconjuntos que se podem formar de n objetos escolhidos
dentre n+p-1 objetos dados... Logo, é um inteiro.  Ou seja é o número
combinatório "combinação de  n+p-1 objetos n a n".

Abraços
Nehab

Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
> inteiros consecutivos
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fatorial

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
inteiros consecutivos

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos

[Pedro José]

Bon dia!

Crei que saia como lema do teorema:

Seja p um primo e a= [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] +..., onde {x] é a função
parte inteira de x. (Observe que haverá um p^w > n e a partir daí todas
parcelas da série serão nulas.)

então p^a || n! , onde || significa divide exatamente, ou seja, o expoente
de p na fatoração de n é a.

Como [n/2^z] >= [n/p^z] , p >2 , basta mostrar que [n/2] > [n/p]  p>2.

[n/3] >= [n/p] p >3. então basta mostrar que [n/2] > [n/3] , mas n/2 - n/3
= n/6. Para n >= 6 temos n/6>= 1 ==> [n/2]> [n/3]

para n= 5 temos 2 > 1 e para n= 4 temos 2 > 1, ambos também atendem.

Logo temos que: o fator a para p= 2 é maior que qualquer outro fator.

Saudações,
PJMS.



Em 2 de abril de 2016 07:23, Pedro Chaves  escreveu:

> Correção:
> Eu quis dizer:  na decomposição do fatorial de n (n inteiro e n >3) em
> fatores primos, o fator 2 aparece mais vezes do que qualquer outro fator.
>
> 
>
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
> Ralph Teixeira 
> *Enviado:* sexta-feira, 1 de abril de 2016 20:53
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos
>
> Falso. Tome n=3^5 como contra-exemplo.
>
> 2016-04-01 18:17 GMT-03:00 Pedro Chaves :
>
>> Caros Colegas,
>>
>> Proponho o teorema abaixo.
>>
>> Teorema:
>>
>> ---  Na decomposição em fatores primos positivos do inteiro n >3,  o
>> fator 2 aparece mais vezes do que qualquer outro fator.  ---
>>
>> Agradeço-lhes a atenção.
>>
>> Pedro Chaves
>> ---
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos

[Pedro José]

Bom dia.

faltou um ! , na sentença ... ou seja, o expoente de p na fatoração de n! é
a.

Saudações,
PJMS

Em 4 de abril de 2016 09:30, Pedro José  escreveu:

> Bon dia!
>
> Crei que saia como lema do teorema:
>
> Seja p um primo e a= [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] +..., onde {x] é a função
> parte inteira de x. (Observe que haverá um p^w > n e a partir daí todas
> parcelas da série serão nulas.)
>
> então p^a || n! , onde || significa divide exatamente, ou seja, o expoente
> de p na fatoração de n é a.
>
> Como [n/2^z] >= [n/p^z] , p >2 , basta mostrar que [n/2] > [n/p]  p>2.
>
> [n/3] >= [n/p] p >3. então basta mostrar que [n/2] > [n/3] , mas n/2 - n/3
> = n/6. Para n >= 6 temos n/6>= 1 ==> [n/2]> [n/3]
>
> para n= 5 temos 2 > 1 e para n= 4 temos 2 > 1, ambos também atendem.
>
> Logo temos que: o fator a para p= 2 é maior que qualquer outro fator.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
> Em 2 de abril de 2016 07:23, Pedro Chaves  escreveu:
>
>> Correção:
>> Eu quis dizer:  na decomposição do fatorial de n (n inteiro e n >3) em
>> fatores primos, o fator 2 aparece mais vezes do que qualquer outro fator.
>>
>> 
>>
>>
>> --
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
>> Ralph Teixeira 
>> *Enviado:* sexta-feira, 1 de abril de 2016 20:53
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos
>>
>> Falso. Tome n=3^5 como contra-exemplo.
>>
>> 2016-04-01 18:17 GMT-03:00 Pedro Chaves :
>>
>>> Caros Colegas,
>>>
>>> Proponho o teorema abaixo.
>>>
>>> Teorema:
>>>
>>> ---  Na decomposição em fatores primos positivos do inteiro n >3,  o
>>> fator 2 aparece mais vezes do que qualquer outro fator.  ---
>>>
>>> Agradeço-lhes a atenção.
>>>
>>> Pedro Chaves
>>> ---
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos

[Pedro Chaves]

Correção:
Eu quis dizer:  na decomposição do fatorial de n (n inteiro e n >3) em fatores 
primos, o fator 2 aparece mais vezes do que qualquer outro fator.




De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Ralph 
Teixeira 
Enviado: sexta-feira, 1 de abril de 2016 20:53
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos

Falso. Tome n=3^5 como contra-exemplo.

2016-04-01 18:17 GMT-03:00 Pedro Chaves 
mailto:brped...@hotmail.com>>:

Caros Colegas,

Proponho o teorema abaixo.

Teorema:

---  Na decomposição em fatores primos positivos do inteiro n >3,  o fator 2 
aparece mais vezes do que qualquer outro fator.  ---

Agradeço-lhes a atenção.

Pedro Chaves
---




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RE: [obm-l] Fatorial e números primos

[Esdras Muniz]

https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fatorial

Veja "Fatoração prima de fatoriais".

-Mensagem Original-
De: "Pedro Chaves" 
Enviada em: ‎01/‎04/‎2016 18:22
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
Assunto: [obm-l] Fatorial e números primos

Caros Colegas,

Proponho o teorema abaixo.

Teorema:

---  Na decomposição em fatores primos positivos do inteiro n >3,  o fator 2 
aparece mais vezes do que qualquer outro fator.  ---

Agradeço-lhes a atenção.

Pedro Chaves
---






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[obm-l] Re: [obm-l] Fatorial e números primos

[Ralph Teixeira]

Falso. Tome n=3^5 como contra-exemplo.

2016-04-01 18:17 GMT-03:00 Pedro Chaves :

> Caros Colegas,
>
> Proponho o teorema abaixo.
>
> Teorema:
>
> ---  Na decomposição em fatores primos positivos do inteiro n >3,  o fator
> 2 aparece mais vezes do que qualquer outro fator.  ---
>
> Agradeço-lhes a atenção.
>
> Pedro Chaves
> ---
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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[obm-l] Fatorial e números primos

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

Proponho o teorema abaixo.

Teorema:

---  Na decomposição em fatores primos positivos do inteiro n >3,  o fator 2 
aparece mais vezes do que qualquer outro fator.  ---

Agradeço-lhes a atenção.

Pedro Chaves
---




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Re: [obm-l] 2^m e 5^k dividem o fatorial de n

[Pedro José]

Bom dia!

Na verdade tem mais furo aí.

p>p' ==> α <= α'.

Mas como p > p'^2 é fácil mostrar que α < α'.

Desculpe-me pela lambança.

Saudações,
PJMS


Em 24 de abril de 2015 10:47, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Sempre deixo um furo.
>
> p^α|| n! e não α|| n!.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 24 de abril de 2015 10:05, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Teorema: Seja p um número primo e seja α = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] +
>> [n/p^4] + ...
>> então α || n!, onde o símbolo || significa divide exatamente e [ x ]
>> significa parte inteira de x.
>> Portanto,quanto maior o p, menor será o α.
>>
>> Como 5 >2 ==> k < m
>>
>> Observar que embora o somatório tenha uma infinidade de parcelas há um
>> momento em que p^x > n e apartir daí todos os termos são nulos.
>>
>> No link a seguir há uma demonstração do teorema:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>
>> Saudações,
>>
>> PJMS
>>
>> Em 23 de abril de 2015 22:13, Ennius Lima  escreveu:
>>
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>>
>>> Sendo m e k inteiros não negativos e n um inteiro maior que 1, de modo
>>> que 2^m  e 5^k sejam, respectivamente, a maior potência de 2 e a maior
>>> potência de 5 que dividem o fatorial de n, como provar que m > k?
>>>
>>> Abraços do Ennius.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

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Re: [obm-l] 2^m e 5^k dividem o fatorial de n

[Pedro José]

Bom dia!

Sempre deixo um furo.

p^α|| n! e não α|| n!.

Saudações,
PJMS

Em 24 de abril de 2015 10:05, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Teorema: Seja p um número primo e seja α = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] +
> [n/p^4] + ...
> então α || n!, onde o símbolo || significa divide exatamente e [ x ]
> significa parte inteira de x.
> Portanto,quanto maior o p, menor será o α.
>
> Como 5 >2 ==> k < m
>
> Observar que embora o somatório tenha uma infinidade de parcelas há um
> momento em que p^x > n e apartir daí todos os termos são nulos.
>
> No link a seguir há uma demonstração do teorema:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>
> Saudações,
>
> PJMS
>
> Em 23 de abril de 2015 22:13, Ennius Lima  escreveu:
>
>>
>> Olá, pessoal!
>>
>> Sendo m e k inteiros não negativos e n um inteiro maior que 1, de modo
>> que 2^m  e 5^k sejam, respectivamente, a maior potência de 2 e a maior
>> potência de 5 que dividem o fatorial de n, como provar que m > k?
>>
>> Abraços do Ennius.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] 2^m e 5^k dividem o fatorial de n

[Pedro José]

Bom dia!

Teorema: Seja p um número primo e seja α = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] +
[n/p^4] + ...
então α || n!, onde o símbolo || significa divide exatamente e [ x ]
significa parte inteira de x.
Portanto,quanto maior o p, menor será o α.

Como 5 >2 ==> k < m

Observar que embora o somatório tenha uma infinidade de parcelas há um
momento em que p^x > n e apartir daí todos os termos são nulos.

No link a seguir há uma demonstração do teorema:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf

Saudações,

PJMS

Em 23 de abril de 2015 22:13, Ennius Lima  escreveu:

>
> Olá, pessoal!
>
> Sendo m e k inteiros não negativos e n um inteiro maior que 1, de modo que
> 2^m  e 5^k sejam, respectivamente, a maior potência de 2 e a maior potência
> de 5 que dividem o fatorial de n, como provar que m > k?
>
> Abraços do Ennius.
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] 2^m e 5^k dividem o fatorial de n

[Ennius Lima]

 
Olá, pessoal!Sendo m e k inteiros não negativos e n um inteiro maior que 1, de modo que 2^m  e 5^k sejam, respectivamente, a maior potência de 2 e a maior potência de 5 que dividem o fatorial de n, como provar que m > k?Abraços do Ennius.
 --
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fatorial de inteiro negativo

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014-09-20 19:23 GMT-03:00 Ennius Lima :
> Caros Colegas,
>
> Encontrei um texto de Matemática que define assim o fatorial de um inteiro 
> negativo:
>
> (-n)! = [(-1)^n].(n!)   (para todo inteiro positivo n)
>
> Não consegui encontrar, entretanto, outros textos que adotem tal definição. 
> Gostaria de saber o que os Colegas pensam sobre o assunto.
Normal.  A definição mais normal de fatoriais negativos é que eles
sejam infinito, para coincidir com a função Gamma, que tem pólos
nesses pontos. Além disso, esta definição destrói a recorrência: 0! =
0 * (-1)!, logo (-1)! = 1 / 0 = infinito.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Fatorial de inteiro negativo

[Ennius Lima]

Caros Colegas,

Encontrei um texto de Matemática que define assim o fatorial de um inteiro 
negativo:

(-n)! = [(-1)^n].(n!)   (para todo inteiro positivo n)

Não consegui encontrar, entretanto, outros textos que adotem tal definição. 
Gostaria de saber o que os Colegas pensam sobre o assunto.

Abraços do Ennius!
_
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

[terence thirteen]

Se for assim, o meu método é mais direto. Basta provar que [x]+[y] <= [x+y]
e pronto!


Em 12 de abril de 2014 07:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2014-04-12 7:21 GMT-03:00 Ennius Lima :
> > O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise
> Combinatória.
>
> Então, a saída é usar indução. Duas variáveis inteiras (p, n) implicam
> duas induções. Nesse caso, dá para separar.
>
> Depois, faça indução em p e em seguida em n. A base em p, p = 1 é
> fácil. A base em n, n = 1 dá p! / p! também. O passo de indução em n
> troca n por (n+p). O "termo do meio" é divisível por (p-1)! (hipótese
> da indução em p-1) logo basta ver o que acontece com os fatores de p.
> Como o produto anterior era divisível por p!, os únicos fatores que
> "faltam" estão no "n" que você retirou, e são fatores de p. Mas esses
> fatores reaparecem em (n+p) com (pelo menos) a mesma multiplicidade.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Torres

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014-04-12 7:21 GMT-03:00 Ennius Lima :
> O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise 
> Combinatória.

Então, a saída é usar indução. Duas variáveis inteiras (p, n) implicam
duas induções. Nesse caso, dá para separar.

Depois, faça indução em p e em seguida em n. A base em p, p = 1 é
fácil. A base em n, n = 1 dá p! / p! também. O passo de indução em n
troca n por (n+p). O "termo do meio" é divisível por (p-1)! (hipótese
da indução em p-1) logo basta ver o que acontece com os fatores de p.
Como o produto anterior era divisível por p!, os únicos fatores que
"faltam" estão no "n" que você retirou, e são fatores de p. Mas esses
fatores reaparecem em (n+p) com (pelo menos) a mesma multiplicidade.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

[Ennius Lima]

O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise Combinatória.
Na verdade, pode-se provar que a afirmação é válida, sendo p um inteiro maior 
ou igual a zero, e n um inteiro qualquer.
Abraços do Ennius!
_
 





De: claudiog...@yahoo.com.br
Enviada: Sexta-feira, 11 de Abril de 2014 21:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

Olah!
Bom, sabe-se que, segundo as formulas de combinação e de arranjo:
Cn,p = n!/p!(n-p)!
An,p = n!/(n-p)!
Logo: Cn,p = An,p/p! -> An,p = p!Cn,p
Pode-se observar que o produto dado eh: (n+p-1)!/(n-1)! = (n+p-1)!/(n+p-1-p)! = 
A(n+p-1),p
Portanto: A(n+p-1),p = p!C(n+p-1),p
Como o resultado de uma combinação sempre eh inteiro, conclui-se que: 
A(n+p-1),p = p!.k, com k inteiro e dessa forma eh um múltiplo de p! :) 

Enviado via iPhone

Em 11/04/2014, às 19:01, Ennius Lima  escreveu:

> Caros Colegas,
> 
> Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do 
> fatorial de p?
> (n e p são naturais maiores do que 1.)
> 
> 
> Desde já, agradeço-lhes a atenção.
> Abraços do Ennius Lima!
> 
> Â 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 

-- 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

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[obm-l] Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

[terence thirteen]

Maybe pensando em expoentes!

Queremos que m! seja divisor de (m+n)!/n!.

Seja E(m,p) o expoente do primo p na fatoração de m!.
Ele não é difícil de calcular, é a somatória de [m/p^k] com k indo de 0 a
infinito (a soma é essencialmente finita, pois uma hora m escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do
> fatorial de p?
> (n e p são naturais maiores do que 1.)
>
>
> Desde já, agradeço-lhes a atenção.
> Abraços do Ennius Lima!
> 
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>


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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

[Cláudio Gustavo]

Olah!
Bom, sabe-se que, segundo as formulas de combinação e de arranjo:
Cn,p = n!/p!(n-p)!
An,p = n!/(n-p)!
Logo: Cn,p = An,p/p! -> An,p = p!Cn,p
Pode-se observar que o produto dado eh: (n+p-1)!/(n-1)! = (n+p-1)!/(n+p-1-p)! = 
A(n+p-1),p
Portanto: A(n+p-1),p = p!C(n+p-1),p
Como o resultado de uma combinação sempre eh inteiro, conclui-se que: 
A(n+p-1),p = p!.k, com k inteiro e dessa forma eh um múltiplo de p! :) 

Enviado via iPhone

Em 11/04/2014, às 19:01, Ennius Lima  escreveu:

> Caros Colegas,
> 
> Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do 
> fatorial de p?
> (n e p são naturais maiores do que 1.)
> 
> 
> Desde já, agradeço-lhes a atenção.
> Abraços do Ennius Lima!
> 
> Â 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p

[Ennius Lima]

Caros Colegas,

Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do 
fatorial de p?
(n e p são naturais maiores do que 1.)


Desde já, agradeço-lhes a atenção.
Abraços do Ennius Lima!

 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[Rogerio Ponce]

Nao precisa lamentar...
:)
Apenas faltou incluir os ultimos digitos diferentes de zero quando ao
considerarmos os fatores multiplos de 10 (dezenas, centenas e milhares).
O que "atrapalhou" a abordagem anterior foi a presenca dos numeros
terminados em zeros e cincos (que tambem acabam gerando zeros ao serem
multiplicados por fatores pares).
O problema e' que ao multiplicarmos por 10, o ultimo digito diferente de
zero no numero original nao se altera, mas isso ja' nao funciona ao
multiplicarmos por 30, por exemplo. Entao, vamos separar tudo aquilo que
pode gerar zeros de tudo o que nao contribui para os zeros, ou seja vou
"retirar" os numeros que acabam em 5 e em 0, e mais um fator 4 (para
agrupar com os multiplos de 5) em cada grupo de 10 numeros.

Esse fator "4" vou conseguir da seguinte forma:

Nos grupos impares (1 a 10, 21 a 30, 41 a 50, etc) vou dividir o segundo e
o quarto termos por 2, de modo que os algarismos correpondentes se
transformem de "2" em "1", e de "4" em "2". Assim, o grupo de 21 a 30, por
exemplo, se transforma em
 21 , 22/2=11 , 23 , 24/2=12 , 25 (sera' retirado), 26 , 27, 28 , 29 , 30
(sera' retirado)
gerando a sequencia
1 , 1 , 3 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9
cujos termos, quando multiplicados, geram um produto com o ultimo digito
igual a 4.

Nos grupos pares (11 a 20, 31 a 40, 51 a 60, etc) vou dividir o segundo e o
quarto termos por 2, de modo que os algarismos correpondentes se
transformem de "2" em "6", e de "4" em "7". Assim, o grupo de 11 a 20, por
exemplo, se transforma em
11 , 12/2=6 , 13 , 14/2=7 , 15 (sera' retirado) , 16 , 17 , 18 , 19 , 20
(sera' retirado)
gerando a sequencia
1 , 6 , 3, 7 , 6 , 7 , 8 , 9
cujos termos, quando multiplicados, geram um produto com ultimo digito
igual a 4.

Assim, qualquer grupo de 10 numeros consecutivos (1 a 10, 11 a 20, etc...)
, quando usado dentro do fatorial (sem considerar os multiplos de 5, e
"separando" o tal fator 4) contribui multiplicando por 4 o ultimo digito
diferente de zero.

Bem, para simplificar a escrita, chamemos de UD{x} o ultimo digito
diferente de zero em x.
Observando (mais uma vez) cada grupo de 10 numeros consecutivos em 7000!
(de 1 a 10, de 11 a 20, etc), vemos que:
UD{ 7000! } =
UD{ [(1*1*3*2*6*7*8*9) ** 350] * [(1*6*3*7*6*7*8*9) ** 350 ] * [(2*2)**700]
* [5*10*15*20*...*7000] } =
UD{ [4**700] * [4**700] * [5*10*15*20*...*7000] } =
UD{ [4**700] * [4**700] * [5**1400] * [ 1*2*...*1400] } =
UD{ [4**700] * [10**1400] * 1400! } =
UD{ [4**700] * 1400! }
Aplicando o mesmo raciocinio para 1400! , e sucessivamente, o resultado
procurado e'
UD{ [4**700] * [4**140] * 280! } =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * 56! }  =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * 50! * (1*2*3*4*55*6) }  =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * [4**5] * 10! * (1*2*3*4*55*6) }  =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * [4**5] * [4**1] * 2! * (1*2*3*4*55*6) }
Como UD{ 2! * (1*2*3*4*55*6) } = 4, a expressao acima se transforma em
UD{ [4**(700+140+28+5+1)] * 4 } =
UD{ [4**875]} = 4,
pois as potencias de 4 se repetem em um ciclo de 2, isto e'
UD{ 4**impar } = 4
UD{ 4**par } = 6

Assim, o ultimo digito diferente de zero em 7000! e' 4.
[]'s
Rogerio Ponce


Em 26 de setembro de 2012 11:14, terence thirteen
escreveu:

> Sinto informar mas o pari-gp afirma que este último dígito é 4.
>
> Em 23 de setembro de 2012 22:38, Rogerio Ponce 
> escreveu:
> > Ola' pessoal,
> > respondendo ao Terence: qual o ultimo digito de 7000! , diferente de
> zero?
> >
> > Bem, 8 e' o ultimo digito diferente de zero em fatorial de 10.
> >
> > Alem disso, sabemos que
> > 8**1 termina em 8
> > 8**2 termina em 4
> > 8**3 termina em 2
> > 8**4 termina em 6
> > 8**5 termina em 8 novamente, estabelecendo um ciclo de 4 potencias ate'
> que
> > o ultimo digito se repita novamente.
> >
> > Portanto, ao calcularmos o fatorial de 7000, partindo de 1, o que
> acontece
> > e' que a cada 10 numeros (de 1 a 10, de 11 a 20, etc) o ultimo digito
> > diferente de zero (no resultado) e' multiplicado por 8.
> >
> > Assim, depois de 7000/10 = 700 dezenas, o ultimo algarismo diferente de
> zero
> > vale o mesmo que o ultimo algarismo de 8**700.
> > Logo, vale 6.
> >
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 22 de setembro de 2012 13:03, terence thirteen <
> peterdirich...@gmail.com>
> > escreveu:
> >>
> >> Quantos dígitos? Isso é a parte inteira de log(7000!)/log 10. Usando
> >> alguma aproximação acho que dá.
> >>
> >> mais divertido é saber qual o último dígito diferente de zero...
> >>
> >>
> >> Em 13 de setembro de 2012 18:37,
> >>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/9/26 Bernardo Freitas Paulo da Costa :
> 2012/9/23 Rogerio Ponce :
>> Bem, 8 e' o ultimo digito diferente de zero em fatorial de 10.
>>
>> Alem disso, sabemos que
>> 8**1 termina em 8
>> 8**2 termina em 4
>> 8**3 termina em 2
>> 8**4 termina em 6
>> 8**5 termina em 8 novamente, estabelecendo um ciclo de 4 potencias ate' que
>> o ultimo digito se repita novamente.
>>
>> Portanto, ao calcularmos o fatorial de 7000, partindo de 1, o que acontece
>> e' que a cada 10 numeros (de 1 a 10, de 11 a 20, etc) o ultimo digito
>> diferente de zero (no resultado) e' multiplicado por 8.
> Infelizmente, isso não é verdade. O maior problema mesmo é que isso de
> ser "o último dígito" não é muito estável por redução a aritmética
> modular. Fazendo umas continhas, eu descobri que:
> 1*2*...*10 termina em 8 (como você calculou)
> 11*12*...*20 termina em 8
> 21*22*...*30 = 109027350432000, que termina em 2.
> 31*32*...*40 = 3075990524006400
> 41*..*50 = 37276043023296000
> 51*...*60 = 273589847231500800
> 61*...*70 = 1439561377475020800
> 71*...*80 = 5974790569203456000
> 81*...*90 = 20759078324729606400
> 91*...*100 = 62815650955529472000
> 101*...*110 = 170182143781102252800
> 111*...*120 = 421188206644390348800
> 121*...*130 = 96671689554375936
> 131*...*140 = 2081693722421538086400
> 141*...*150 = 4244078637389118528000
>
> E a seqüência é bem estranha: 8. 8. 2. 4. 6. 8. 8. 6, 4, 2, 8, 8, 6, 4, 8.
Só pra jogar fogo na situação: o produto
9765620*9765621*...*9765630 termina em 5.

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[terence thirteen]

Sinto informar mas o pari-gp afirma que este último dígito é 4.

Em 23 de setembro de 2012 22:38, Rogerio Ponce  escreveu:
> Ola' pessoal,
> respondendo ao Terence: qual o ultimo digito de 7000! , diferente de zero?
>
> Bem, 8 e' o ultimo digito diferente de zero em fatorial de 10.
>
> Alem disso, sabemos que
> 8**1 termina em 8
> 8**2 termina em 4
> 8**3 termina em 2
> 8**4 termina em 6
> 8**5 termina em 8 novamente, estabelecendo um ciclo de 4 potencias ate' que
> o ultimo digito se repita novamente.
>
> Portanto, ao calcularmos o fatorial de 7000, partindo de 1, o que acontece
> e' que a cada 10 numeros (de 1 a 10, de 11 a 20, etc) o ultimo digito
> diferente de zero (no resultado) e' multiplicado por 8.
>
> Assim, depois de 7000/10 = 700 dezenas, o ultimo algarismo diferente de zero
> vale o mesmo que o ultimo algarismo de 8**700.
> Logo, vale 6.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> Em 22 de setembro de 2012 13:03, terence thirteen 
> escreveu:
>>
>> Quantos dígitos? Isso é a parte inteira de log(7000!)/log 10. Usando
>> alguma aproximação acho que dá.
>>
>> mais divertido é saber qual o último dígito diferente de zero...
>>
>>
>> Em 13 de setembro de 2012 18:37,
>>  escreveu:
>> >
>> >
>> > Ops , verdade, bom sendo assim use a aproximacao de um fatorial pela
>> > fórmula
>> > de stirling ok
>> >
>> > On Thu, 13 Sep 2012 09:55:57 -0400, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> > wrote:
>> >
>> > 2012/9/13 ennius :
>> >
>> > Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dígitos
>> > tem o
>> > fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)?
>> >
>> > Calcule o logaritmo em base 10.
>> >
>> > Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
>> > soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
>> >
>> >
>> >
>> >
>>
>>
>>
>> --
>> /**/
>> 神が祝福
>>
>> Torres
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>



-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[Rogerio Ponce]

Ola' pessoal,
respondendo ao Terence: qual o ultimo digito de 7000! , diferente de zero?

Bem, 8 e' o ultimo digito diferente de zero em fatorial de 10.

Alem disso, sabemos que
8**1 termina em 8
8**2 termina em 4
8**3 termina em 2
8**4 termina em 6
8**5 termina em 8 novamente, estabelecendo um ciclo de 4 potencias ate' que
o ultimo digito se repita novamente.

Portanto, ao calcularmos o fatorial de 7000, partindo de 1, o que acontece
e' que a cada 10 numeros (de 1 a 10, de 11 a 20, etc) o ultimo digito
diferente de zero (no resultado) e' multiplicado por 8.

Assim, depois de 7000/10 = 700 dezenas, o ultimo algarismo diferente de
zero vale o mesmo que o ultimo algarismo de 8**700.
Logo, vale 6.

[]'s
Rogerio Ponce


Em 22 de setembro de 2012 13:03, terence thirteen
escreveu:

> Quantos dígitos? Isso é a parte inteira de log(7000!)/log 10. Usando
> alguma aproximação acho que dá.
>
> mais divertido é saber qual o último dígito diferente de zero...
>
>
> Em 13 de setembro de 2012 18:37,
>  escreveu:
> >
> >
> > Ops , verdade, bom sendo assim use a aproximacao de um fatorial pela
> fórmula
> > de stirling ok
> >
> > On Thu, 13 Sep 2012 09:55:57 -0400, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> wrote:
> >
> > 2012/9/13 ennius :
> >
> > Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dígitos
> tem o
> > fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)?
> >
> > Calcule o logaritmo em base 10.
> >
> > Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
> > soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
> >
> >
> >
> >
>
>
>
> --
> /**/
> 神が祝福
>
> Torres
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[terence thirteen]

Quantos dígitos? Isso é a parte inteira de log(7000!)/log 10. Usando
alguma aproximação acho que dá.

mais divertido é saber qual o último dígito diferente de zero...


Em 13 de setembro de 2012 18:37,
 escreveu:
>
>
> Ops , verdade, bom sendo assim use a aproximacao de um fatorial pela fórmula
> de stirling ok
>
> On Thu, 13 Sep 2012 09:55:57 -0400, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote:
>
> 2012/9/13 ennius :
>
> Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o
> fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)?
>
> Calcule o logaritmo em base 10.
>
> Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
> soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
>
>
>
>



-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[douglas . oliveira]

  

Ops , verdade, bom sendo assim use a aproximacao de um fatorial
pela fórmula de stirling ok 

On Thu, 13 Sep 2012 09:55:57 -0400,
Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: 

> 2012/9/13 ennius :
> 
>>
Prezados Colegas, Qual o melhor mÃ(c)todo para calcular quantos dígitos
tem o fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)?
>

> Calcule o logaritmo em base 10.
> 
> Vai dar uma soma bem grande. A
única coisa que falta é aproximar a
> soma por uma integral, calculando
o erro da aproximação.

  

Links:
--
[1] mailto:enn...@bol.com.br

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[Victor Hugo]

Acho que aqui tem passo a passo como achar o que você quer...

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial



On 13/09/2012, at 15:27, ennius  wrote:

> Desejo calcular quantos digitos tem o fatorial de 7000, e nao em quantos 
> zeros termina.
> Ennius
> _
> 
> 
> 
> 
> Em 13/09/2012 10:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com 
> > escreveu:
> 2012/9/13 ennius :
>> Prezados Colegas,
>> 
>> Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 
>> (ou de qualquer outro número natural grande)?
> Calcule o logaritmo em base 10.
> 
> Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
> soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
> 
> =
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[ennius]

Desejo calcular quantos digitos tem o fatorial de 7000, e nao em quantos zeros 
termina.
Ennius
_
 



Em 13/09/2012 10:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com > 
escreveu:
2012/9/13 ennius :
> Prezados Colegas,
>
> Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 
> (ou de qualquer outro número natural grande)?
Calcule o logaritmo em base 10.

Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[marcone augusto araújo borges]

Ai vc calculou o número de zero de 7000!,certo?
 Date: Thu, 13 Sep 2012 10:29:24 -0700
From: diegoandre...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Oi ennius,A quantidade de digitos dependerá do número de fatores 2 e 5 que 
aparece na decomposição em fatores primos. Como num fatorial temos uma certa 
abundancia no número de fatores 2, o que determinará será o número de fatores 5.
1 - parte inteira de [7000/5] = 1400
 (quantidade de numeros divisiveis por 5)2 - parte inteira de [7000/25] =  280 
(Contando o segundo fator dos numeros divisiveis por 25  --- * o primeiro ja 
foi contado em 1) 
3 - parte inteira de [7000/125] =  56 (Contando o terceiro fator dos numeros 
divisiveis por 125  --- * o primeiro ja foi contado em 1 e o segundo em 2) 
4 - parte inteira de [7000/625] =  11
  
.5
 - parte inteira de [7000/3125] =  2 
...

S = 1400 + 280 + 56 + 11 + 2 = 1749
O caso geral voce deve fazer:
S = Somatorio(Parte inteira[ N / 5^i ] )   para i de 1 até infinito. 
O livro "Teoria Elementar dos Numeros" do Edmund Landau acho que ajudará você a 
entender melhor essa parte (Página 23 teorema 27 - e exemplo resolvido da 
pagina 25). Segue o 
link:http://books.google.com.br/books?id=Q0wBV6wln3wC&pg=PA11&dq=teoria+elementar+dos+numeros+edmund+landau&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false
 

abs,Diego Andrés
De: ennius 
 Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"  
 Enviadas: Quinta-feira, 13 de Setembro de 2012 10:27
 Assunto: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
   
Prezados Colegas,

Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou 
de qualquer outro número natural grande)?

Desde já, muito obrigado.

Ennius Lima
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[Victor Hugo Rodrigues]

Mas ele nao pergunta a quantidade de zeros...

Em 13 de setembro de 2012 14:29, diego andres
 escreveu:
> Oi ennius,
> A quantidade de digitos dependerá do número de fatores 2 e 5 que aparece na
> decomposição em fatores primos. Como num fatorial temos uma certa abundancia
> no número de fatores 2, o que determinará será o número de fatores 5.
>
> 1 - parte inteira de [7000/5] = 1400 (quantidade de numeros divisiveis por
> 5)
> 2 - parte inteira de [7000/25] =  280 (Contando o segundo fator dos numeros
> divisiveis por 25  --- * o primeiro ja foi contado em 1)
> 3 - parte inteira de [7000/125] =  56 (Contando o terceiro fator dos numeros
> divisiveis por 125  --- * o primeiro ja foi contado em 1 e o segundo em 2)
> 4 - parte inteira de [7000/625] =  11
> .
> 5 - parte inteira de [7000/3125] =  2
> ...
>
> S = 1400 + 280 + 56 + 11 + 2 = 1749
>
> O caso geral voce deve fazer:
>
> S = Somatorio(Parte inteira[ N / 5^i ] )   para i de 1 até infinito.
>
> O livro "Teoria Elementar dos Numeros" do Edmund Landau acho que ajudará
> você a entender melhor essa parte (Página 23 teorema 27 - e exemplo
> resolvido da pagina 25). Segue o link:
> http://books.google.com.br/books?id=Q0wBV6wln3wC&pg=PA11&dq=teoria+elementar+dos+numeros+edmund+landau&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false
>
> abs,
> Diego Andrés
>
> 
> De: ennius 
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
> Enviadas: Quinta-feira, 13 de Setembro de 2012 10:27
> Assunto: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
>
> Prezados Colegas,
>
> Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000
> (ou de qualquer outro número natural grande)?
>
> Desde já, muito obrigado.
>
> Ennius Lima
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[diego andres]

Oi ennius,
A quantidade de digitos dependerá do número de fatores 2 e 5 que aparece na 
decomposição em fatores primos. Como num fatorial temos uma certa abundancia no 
número de fatores 2, o que determinará será o número de fatores 5.

1 - parte inteira de [7000/5] = 1400 (quantidade de numeros divisiveis por 5)
2 - parte inteira de [7000/25] =  280 (Contando o segundo fator dos numeros 
divisiveis por 25  --- * o primeiro ja foi contado em 1) 

3 - parte inteira de [7000/125] =  56 (Contando o terceiro fator dos numeros 
divisiveis por 125  --- * o primeiro ja foi contado em 1 e o segundo em 2) 
4 - parte inteira de [7000/625] =  11  
.
5 - parte inteira de [7000/3125] =  2 
...


S = 1400 + 280 + 56 + 11 + 2 = 1749

O caso geral voce deve fazer:

S = Somatorio(Parte inteira[ N / 5^i ] )   para i de 1 até infinito. 

O livro "Teoria Elementar dos Numeros" do Edmund Landau acho que ajudará você a 
entender melhor essa parte (Página 23 teorema 27 - e exemplo resolvido da 
pagina 25). Segue o link:
http://books.google.com.br/books?id=Q0wBV6wln3wC&pg=PA11&dq=teoria+elementar+dos+numeros+edmund+landau&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false 


abs,
Diego Andrés



 De: ennius 
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"  
Enviadas: Quinta-feira, 13 de Setembro de 2012 10:27
Assunto: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
 
Prezados Colegas,

Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou 
de qualquer outro número natural grande)?

Desde já, muito obrigado.

Ennius Lima
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[douglas . oliveira]

  

Olá , faz assim, vai dividindo por 5 até não dar mais e soma


todos os quocientes!! 

7000/5=1400 

1400/5=280 

280/5=56 

56/5=11


11/5=2 

2+11+56+280+1400=1749 

Pense porque !!! Para formar zeros
voce precisa de um 2 e um 5 e no fatorial de 7000 ou outro numero e 

a
decomposicao fatorial possui muito mais fatores 2 do que fatores 5
logo 

Douglas Oliveira!! 

On Thu, 13 Sep 2012 10:27:15 -0300,
ennius wrote: 

> Prezados Colegas,
> 
> Qual o melhor método para
calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou de qualquer outro
número natural grande)?
> 
> Desde já, muito obrigado.
> 
> Ennius
Lima
>
=
>
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1]
>
=


 

Links:
--
[1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

[obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/9/13 ennius :
> Prezados Colegas,
>
> Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 
> (ou de qualquer outro número natural grande)?
Calcule o logaritmo em base 10.

Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

[ennius]

Prezados Colegas,

Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou 
de qualquer outro número natural grande)?

Desde já, muito obrigado.

Ennius Lima
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Fala, Bernardo.

Existe um pequeno erro sim no meu denominador. Mas vou tentar esboçar aqui
as contas:

i) pelos trapézios (considerando n >= 2): sum_{k=2}^{n} 1/2 . [(ln(t) -1/t)
+ ln(t)] > int_{1}^{n} ln(t) . dt. Após algumas contas, chegamos à seguinte
expressão: ln(n!) > n . ln(n) - n + 1 + 1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k (*)

ii) vamos considerar agora a função 1/t (t >= 1) (novamente n >= 2).
Pensando mais uma vez em trapézios, consideremos os seguintes vértices:
[(t,0), (t,1/t), (t+1,0), (t+1,1/(t+1))]. Podemos escrever: sum_{k=1}^{n-1}
1/2 . [1/k + 1/(k+1)] > int_{1}^{n}. Mais algumas contas depois, teremos:
1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k > ln(n)/2 - 1/4 + 1/(4n) (**)

Substituindo (**) em (*), teremos: n! >= n^n . sqrt(n) / (exp((4n^2 - 3n
-1)/(4n))).

Quanto à segunda pergunta, sou formado em engenharia.

Abs.

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/25 Marcos Martinelli :
> Pequena correção:
>
> n! >= (***) n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) >= (**) n^n /
> (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) >= (*) n^n / (e^(n-1)),
>
> Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades
> citadas no email anterior.
Oi Marcos,

Tenho algumas perguntas...

A primeira é que eu achei estranha a desigualdade (***) porque

n! >= n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n)))

é contrária à formula de Stirling que diz que n! ~ n^n raiz(2 pi n)
exp(-n), porque afinal teríamos

n^n raiz(2 pi n) exp(-n) >~ n^n raiz(n) / exp( (2*n^2-3*n+1)/(4*n) )
<=>
raiz(2 pi) >~ exp(n) * exp(-n/2) * exp(3/4) * exp(-1/4n) -> infinito

Você tem certeza da fórmula? Talvez seja simplesmente 2n no
denominador da exponencial como antes, mas não tive tempo de seguir as
suas indicações.


A outra observação é que a tangente é, intuitivamente, pior do que os
trapézios. Certamente, ela dá uma aproximação "por cima" que é o que
você quer, mas veja que uma secante tem um erro que é no máximo
"metade" do erro da tangente, e o erro "é zero, sobe, desce e volta a
zero", enquanto que a tangente o erro é zero, e só aumenta. Claro que
o erro é bem menor quando você está pertinho do ponto de tangência,
mas como você vai "longe" (distância 1, fixa, portanto) o que acaba
contando é o erro total.
Com uma ajuda do Maple, eu calculei as diferenças assimptoticas. Seja
I a integral "certa" entre t e t+1, T+ o seu trapézio "maior do que a
integral", e formado pela tangente em t+1, e T- o trapézio formado
pela secante (t, log t) -> (t+1, log t+1). Temos:

T+ - I ~ 1/6t^2 - 1/4t^3 + 3/10t^4 ...
I - T- ~ 1/12t^2 - 1/12t^3 + ...

Como é a soma dos T+ que vai dar o n!, para você provar que T+ > I +
"alguma coisa", você precisa calcular até o termo t^-3. No caso das
secantes, "basta" ir até o termo t^-2, porque como o termo seguinte é
negativo, dá T- > I - 1/12t^2. Claro que quanto mais longe você for na
aproximação da tangente, melhor será a aproximação que você vai obter.

E última curiosidade: você está estudando? Universidade?
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Pequena correção:

n! >= *(***)* n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) >= *(**)* n^n /
(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) >= *(*)* n^n / (e^(n-1)),

Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades
citadas no email anterior.

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Bernardo, creio que, ao considerar as tangentes, podemos "melhorar" sim as
desigualdades. Tentei incrementar um pouco mais minha solução e demonstrei
as seguintes desigualdades:

n! >= n^n (***) * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) >= (**) n^n /
(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) >= (*) n^n / (e^(n-1)), para todo n natural e
maior ou igual a 1.

Nota 1: a desigualdade (*) é obtida a partir dos retângulos tradicionais. A
desigualdade (**) foi obtida a partir dos trapézios anteriormente
descritos. Apenas corrigindo um pequeno trecho do meu email anterior:

"Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
trapézios a partir dos vértices *[(t - 1,0), (t - 1,ln(t)-1/t), (t,0) e
(t,ln(t)]* *(t >= 2)* (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
*(t,ln(t))* à curva ln(t))."

Nota 2: a desigualdade (***) também segue dos trapézios acima mencionados,
mas procurando aproximar melhor o somatório de 1/(2t) (1 <= t <= n).

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/24 Marcos Martinelli :
> Bernardo,
>
> olhei para a função ln(t) (1 <= t <= n) e, tentei uma aproximação
> retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)]
> para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona.
>
> Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
> trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e
> (t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
> (t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)).
>
> Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente.
Ah, ok!

Mas veja só: aproximar a integral da segunda forma me parece pior do
que a primeira que você fez, porque afinal de contas você está usando
um trapézio "bem pior" do que o primeiro caso, não? Desta forma, você
está incluindo um erro que eu acho desnecessário. Aliás, eu acabei de
fazer as contas, com os trapézios clássicos, você pode provar que

2.3700 ~ exp(1 - pi^2/72) < n! / ( n^n e^(-n) raiz(n) ) < exp(1) ~ 2.718281828

e a constante "certa" é raiz(2 pi) ~ 2.506628274. (O limite superior
vem direto, o inferior dá um trabalhinho pra estimar os erros dos
trapézios e obter uma série convergente)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Bernardo,

olhei para a função ln(t) (1 <= t <= n) e, tentei uma aproximação
retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)]
para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona.

Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e
(t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
(t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)).

Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente.

Abs.

Em 23 de março de 2012 17:53, Arlane Manoel S Silva  escreveu:

>   Basta provar que (1+1/n)^n<=3 para todo n (e não será necessário falar
> em limites). De fato, isto é equivalente a
>  3n^n>=(n+1)^n, que é equivalente a
>  (n+1).(n/3)^n>=((n+1)/3)^(n+1)**, e agora é usar o PIF.
>   A.
>
> Citando Marcos Martinelli :
>
>
> Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
>> seguinte:
>>
>> (n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))**)
>>
>> Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>> 2012/3/23 terence thirteen :
>>> > Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
>>> >  escreveu:
>>> >> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>> >>
>>> >> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
>>> tende ao
>>> >> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
>>> >> ,alguem pode me ajudar?
>>> >
>>> > Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
>>> > n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>>> >
>>> > Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
>>> A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
>>> que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
>>> certo.
>>>
>>> (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
>>> então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
>>> grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
>>> ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
>>> conheço...)
>>>
>>> Abraços
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> ==**==**
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html
>>> ==**==**
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>>>
>>>
>>
>
>
> --
>Arlane Manoel S Silva
>  Departamento de Matemática Aplicada
> Instituto de Matemática e Estatística-USP
>
>
> ==**==**
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> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html
> ==**==**
> =
>

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Arlane Manoel S Silva]

   Basta provar que (1+1/n)^n<=3 para todo n (e não será necessário  
falar em limites). De fato, isto é equivalente a

  3n^n>=(n+1)^n, que é equivalente a
  (n+1).(n/3)^n>=((n+1)/3)^(n+1), e agora é usar o PIF.
   A.

Citando Marcos Martinelli :


Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:

(n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:


2012/3/23 terence thirteen :
> Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
>  escreveu:
>> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>
>> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
tende ao
>> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
>> ,alguem pode me ajudar?
>
> Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>
> Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.

(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)

Abraços
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Arlane Manoel S Silva
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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/23 Marcos Martinelli :
> Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
> seguinte:
>
> (n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Bom, eu não vou dizer que é fácil, mas tem uma solução "no braço" que
leva uns 15 minutos pra escrever tudo, sem parar pra pensar. Minto,
tem que "acertar" a mão na hora de calcular log(1 + 1/n) = 1/n -
1/2n^2 + 1/3n^3 - resto, e ter coragem de dizer que o resto é mesmo
negativo (porque a série é alternada e decrescente para n >= 2). E
depois, indução na veia.

Acho que o que vale a pena perguntar é: como alguém poderia achar uma
desigualdade dessa? Vale qualquer argumento, mas digamos assim:

Eu sei (enfim, o Stirling sabia) que n! ~ n^n / e^n * raiz(2 pi n). A
sua desigualdade não tem o termo raiz(n), logo com certeza ela é
verdadeira assintoticamente. Assim, se eu quisesse ter uma
desigualdade com e^(P(n)/Q(n)), eu sei que P(n)/Q(n) ~ (-n) é o único
candidato razoável. Como fazer para achar os outros termos do
polinômio?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:

(n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2012/3/23 terence thirteen :
> > Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
> >  escreveu:
> >> Como posso provar que n!>(n/3)^n
> >>
> >> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
> tende ao
> >> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
> >> ,alguem pode me ajudar?
> >
> > Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> > n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
> >
> > Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
> A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
> que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
> certo.
>
> (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
> então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
> grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
> ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
> conheço...)
>
> Abraços
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> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/23 terence thirteen :
> Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
>  escreveu:
>> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>
>> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao
>> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
>> ,alguem pode me ajudar?
>
> Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>
> Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.

(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)

Abraços
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[terence thirteen]

Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
 escreveu:
> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>
> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao
> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
> ,alguem pode me ajudar?

Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)

Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
>
> []s
> Jooao



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[obm-l] Desigualdade fatorial

[João Maldonado]

Como posso provar que n!>(n/3)^n

Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao 
infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo) ,alguem 
pode me ajudar?

[]s
Jooao 
  

Re: [obm-l] Fatorial de primos

[terence thirteen]

2012/2/20 João Maldonado :
>
> Olá  Douglas,
>
> Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não existe
> p composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os primos
> isso vale (só prova que para os não-primos não vale).
>
> Seguindo  a idéia Tiago do fiz assim:
> Basta provar o seguinte
>
> 1) Sendo p primo, sendo 1 < x < p-1 e 1 < y < p-1, x != y, temos que
> escolhendo 1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal
> que x.y = 1 mod p


Vamos ver. Queremos que para todo a (que não seja múltiplo de p)
exista um X tal que p seja divisor de aX-1

Vamos usar PCP. Testamos todos os valores de X de 0 até p-1 (testar
acima de p é supérfluo: X=p+Y, a*(p+Y)-1 = ap+(aY-1), e reduzimos o
problema).

Se tivermos sorte, algum zera! E se der o azar? Bem, podemos calcular
o resto de aX-1 por p. Os valores possíveis, dado a ausência de um
zero, vão de 1 até p-1. Temos um cara a mais - existem X1 e X2 tais
que aX1-1 e aX2-1 deixam o mesmo resto. Logo, p é divisor de
aX1-1-aX2+1 =a(X1-X2). Como a não é múltiplo, p é divisor de X1-X2. E
agora? Não eram os Xzes diferentes?

Pois, por esse absurdo, sabemos que não vai dar azar de não zerar.

>
> 2) y é único
>
> A segunda é fácil provar:
> Se existisse um  outro número (digamos  z) > y tal que x.z = 1  (mod p),
> sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p  ) -> xm = 0 (mod p) -> m = pk,  Logo
> m = 0 ou m>=p, absurdo
> Logo não existe z
>
> A primeira ainda não consegui provar
> Alguém me dá uma ajuda?
>
> []'s
> João
>
>
> 
> Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200
> From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos
>
>
>
>
> Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p
> não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n),  com 1 como pI(p-1)!+1 , logo mI(p-1)!+1 pois mIp, e como m que m divide a diferença (p-1)!+1-(p-1)!=1, o que é absurdo, logo m deve ser
> primo!!
> On Sun, 19 Feb 2012 23:44:53 -0300, João Maldonado wrote:
>
> Prove que sendo p  um primo, (p-1)! = -1 (mod. p)
> Como posso provar isso?
> []'s
> João
>
>
>



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Re: [obm-l] Fatorial de primos

[Lucas Colucci]

A primeira é consequência do teorema de Bézout: Se 0

>
> Olá  Douglas,
>
> Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não
> existe p composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os
> primos isso vale (só prova que para os não-primos não vale).
>
> Seguindo  a idéia Tiago do fiz assim:
> Basta provar o seguinte
>
> 1) Sendo p primo, sendo 1 < x < p-1 e 1 < y < p-1, x != y, temos que
> escolhendo 1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal
> que x.y = 1 mod p
>
> 2) y é único
>
> A segunda é fácil provar:
> Se existisse um  outro número (digamos  z) > y tal que x.z = 1  (mod p),
> sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p  ) -> xm = 0 (mod p) -> m = pk,
>  Logo m = 0 ou m>=p, absurdo
> Logo não existe z
>
> A primeira ainda não consegui provar
> Alguém me dá uma ajuda?
>
> []'s
> João
>
>
> --
> Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200
> From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos
>
>
>
>
> Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que
> p não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n),  com 1 1 conclui-se que m divide a diferença (p-1)!+1-(p-1)!=1, o que é absurdo,
> logo m deve ser primo!!
> On Sun, 19 Feb 2012 23:44:53 -0300, João Maldonado wrote:
>
> Prove que sendo p  um primo, (p-1)! = -1 (mod. p)
> Como posso provar isso?
> []'s
> João
>
>
>
>

RE: [obm-l] Fatorial de primos

[João Maldonado]

Olá  Douglas,  
Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não existe p 
composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os primos isso 
vale (só prova que para os não-primos não vale).
Seguindo  a idéia Tiago do fiz assim:Basta provar o seguinte
1) Sendo p primo, sendo 1 < x < p-1 e 1 < y < p-1, x != y, temos que escolhendo 
1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal que x.y = 1 mod p
2) y é único
A segunda é fácil provar:Se existisse um  outro número (digamos  z) > y tal que 
x.z = 1  (mod p), sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p  ) -> xm = 0 (mod p) 
-> m = pk,  Logo m = 0 ou m>=p, absurdoLogo não existe z
A primeira ainda não consegui provarAlguém me dá uma ajuda?
[]'sJoão

Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200
From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos



 
 
Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p não 
seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n),  com 1

Re: [obm-l] Fatorial de primos

[douglas . oliveira]

  

Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp),
mas que p não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n), com 1

Re: [obm-l] Fatorial de primos

[Tiago]

Lembre-se que todo elemento não nulo mod p possui um inverso mod p. Use
este fato para enxergar (p-1)! de maneira "esperta".

On Mon, Feb 20, 2012 at 12:44 AM, João Maldonado <
joao_maldona...@hotmail.com> wrote:

>  Prove que sendo p  um primo, (p-1)! = -1 (mod. p)
>
>
> Como posso provar isso?
>
> []'s
> João
>



-- 
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

[obm-l] Fatorial de primos

[João Maldonado]

Prove que sendo p  um primo, (p-1)! = -1 (mod. p)

Como posso provar isso?
[]'sJoão  

[obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 5000?

[terence thirteen]

Isto é o mesmo que calcular o logaritmo na base 10 de 5000! earredondar pra 
baixo.Não sei se tem método mais esperto que calcular a soma dos logaritmosde 1 
ate 5000, mas uma boa estimativa seria usar integrais!
Afinal, log1 + log2 + ... + log5000 < int_{1,5000} (log x) = {1,5000} (xlogx -x)
Vou fazer umas contas em casa...
Em 18/11/11, ennius escreveu:>> Caros Colegas,>> Qual o 
melhor procedimento para calcular (sem usar programas de computador)> quantos 
dígitos tem o fatorial de um número natural grande (5000, por> exemplo)?>> 
Abraços do Ennius Lima.>>> 
=> 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> 
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 5000?

[ennius]

Caros Colegas,

Qual o melhor procedimento para calcular (sem usar programas de computador) 
quantos dígitos tem o fatorial de um número natural grande (5000, por exemplo)?

Abraços do Ennius Lima.


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[obm-l] Re: [obm-l] Fatorial [último dígito não nulo]

[Johann Dirichlet]

É bem mais divertido saber qual é o último dígito diferente de zero de
um fatorial.
Tente!

Em 23/07/11, Victor Seixas Souza escreveu:
> Existe uma fórmula geral para isso:
> http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;N&space;=&space;\sum_{k=1}^{\infty&space;}&space;\left&space;\lfloor&space;\frac{n}{5^{k}}&space;\right&space;\rfloor<http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;N&space;=&space;\sum_{k}^{\infty&space;}&space;\left&space;\lfloor&space;\frac{n}{5^{k}}&space;\right&space;\rfloor>
>
> N = quantidade de zeros em n!
> N = somatório de k=1 até infinito de (aproxima para baixo (n/5^k))
>
> Ou seja, para 1500 fatorial seria:
> 1500/5 = 300
> 1500/25 = 60
> 1500/125 = 12
> 1500/625 = 2.4 => 2
> 1500/3125 = 0.4 => 0
> 
> N = 300 + 60 + 12 + 2 + 0 + 0 + 0 + ... = 374
>
> Agora vou tentar explicar porque essa forma funciona.
> A chave para entender a fórmula é perceber que os multiplos de 2 são mais
> comuns do que os de 5.
> Em um produto de inteiros, a única forma de aparecer 0 na terminação é
> multiplicar por 10 = 5x2, explicita ou implicitamente.
> Mas,
> 2x5 = 10
> 4x25 = 100
> 8x125 = 1000
> 16x625 = 1
> ...
> 2^n x 5^n = 10^n
> Como em o fatorial é um produtório, você teria de contar quantos pares 2ˆn x
> 5ˆn você acha.
> Os 2 são desnecessários no caso do fatorial, pois sempre existirão e
> sobrarão multiplos de 2 em relação aos de 5.
> O Fato de que você vai somando as divisões por 5^n é que os produtos de 4x25
> produz 2 zeros, 8x125 produz 3 zeros, logo você precisa contar estes mais de
> uma vez, no caso, n vezes.
> Isso contudo não é uma prova, apenas um feeling e uma explicação que espero
> que esteja clara.
>
> Victor Seixas Souza
>


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Re: [obm-l] Fatorial

[Victor Seixas Souza]

Existe uma fórmula geral para isso:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;N&space;=&space;\sum_{k=1}^{\infty&space;}&space;\left&space;\lfloor&space;\frac{n}{5^{k}}&space;\right&space;\rfloor<http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;N&space;=&space;\sum_{k}^{\infty&space;}&space;\left&space;\lfloor&space;\frac{n}{5^{k}}&space;\right&space;\rfloor>

N = quantidade de zeros em n!
N = somatório de k=1 até infinito de (aproxima para baixo (n/5^k))

Ou seja, para 1500 fatorial seria:
1500/5 = 300
1500/25 = 60
1500/125 = 12
1500/625 = 2.4 => 2
1500/3125 = 0.4 => 0

N = 300 + 60 + 12 + 2 + 0 + 0 + 0 + ... = 374

Agora vou tentar explicar porque essa forma funciona.
A chave para entender a fórmula é perceber que os multiplos de 2 são mais
comuns do que os de 5.
Em um produto de inteiros, a única forma de aparecer 0 na terminação é
multiplicar por 10 = 5x2, explicita ou implicitamente.
Mas,
2x5 = 10
4x25 = 100
8x125 = 1000
16x625 = 1
...
2^n x 5^n = 10^n
Como em o fatorial é um produtório, você teria de contar quantos pares 2ˆn x
5ˆn você acha.
Os 2 são desnecessários no caso do fatorial, pois sempre existirão e
sobrarão multiplos de 2 em relação aos de 5.
O Fato de que você vai somando as divisões por 5^n é que os produtos de 4x25
produz 2 zeros, 8x125 produz 3 zeros, logo você precisa contar estes mais de
uma vez, no caso, n vezes.
Isso contudo não é uma prova, apenas um feeling e uma explicação que espero
que esteja clara.

Victor Seixas Souza

Re: [obm-l] Fatorial

[rodrigocientista]

conta-se quantos pares 2x5 são compreendidos em 1500!, ou seja, pode-se
contar apenas os 5

Em 23 de julho de 2011 19:35, Marcus Aurelio
escreveu:

> Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina
> 1500!
>

Re: [obm-l] Fatorial

[Gabriel Dalalio]

Para descobrir o número de zeros de 1500! você tem de achar a maior potência
de 10 que divide 1500! pois se 10^d divide 1500!, então 1500! termina em d
zeros

Para saber isso é o seguinte, se 2^a e 5^b são as maiores potências de 2 e 5
que dividem 1500!, então d = min ( a, b )

1500! tem muito mais fatores de 2 do que 5, então no caso d = b.

Vamos contar então o número de fatores 5 que existem em 1500!
Para cada múltiplo 5 entre 1 e 1500, adiciona-se pelo menos 1 fator a mais,
e há 1500/5 = 300 múltiplos de 5.
Mas para cada múltiplo de 25, vai acabar adicionando mais um fator, e há
1500/25 = 60 múltiplos de 25.
Seguindo o raciocínio, a resposta será dada por:
piso(1500/5)+piso(1500/25)+piso(1500/125)+... = 300+60+12+2 = 374 zeros

Foi meio rápido as passagens mas espero ter ajudado, abraço,
Gabriel Dalalio

Em 23 de julho de 2011 19:35, Marcus Aurelio
escreveu:

> Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina
> 1500!
>

[obm-l] Fatorial

[Marcus Aurelio]

Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina
1500!

Re: [obm-l] Fatores primos do fatorial

[Gabriel Dalalio]

Cara acho que o número de fatores primos p que aparece em n! é dado por:
Somatório (i=1,2,3inf) de piso(n/(p^i))
Com esse somatorio , como piso(n/(p^i))>=piso(n/(q^i)), o número defatores p é 
sempre maior ou igual ao número de fatores de q queaparece em n!
Em 29 de março de 2011 15:01, ennius  escreveu:>> Caros 
Colegas,>> Dados os números primos positivos p e q, com p> Abraços do Ennius.>> 
=> 
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> 
=>
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=

[obm-l] Fatores primos do fatorial

[ennius]

Caros Colegas,

Dados os números primos positivos p e q, com phttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorial não é quadrado pe rfeito

[Willy George do Amaral Petrenko]

Esse problema rodou pela lista há um tempo atrás.

A idéia é usar o postulado de bertrand que diz que para n>3 existe um primo
entre n e 2n-2.

abç

2011/1/9 Bernardo Freitas Paulo da Costa 

> Veja que um inteiro N é um quadrado perfeito quando todos os fatores
> primos dividem um número par de vezes N. Daí, considere o maior número
> primo p <= N, e veja se ele pode dividir N um número par de vezes. Eu
> aposto que não.
>
> abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> 2011/1/9 Paulo  Argolo :
> > Caros Colegas,
> >
> > Como provar que o fatorial de um número natural maior que 1 não é um
> > quadrado perfeito?
> >
> >
> > Abraços!
> > Paulo Argolo
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Fatorial não é quadrado perfeito

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Veja que um inteiro N é um quadrado perfeito quando todos os fatores
primos dividem um número par de vezes N. Daí, considere o maior número
primo p <= N, e veja se ele pode dividir N um número par de vezes. Eu
aposto que não.

abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


2011/1/9 Paulo  Argolo :
> Caros Colegas,
>
> Como provar que o fatorial de um número natural maior que 1 não é um
> quadrado perfeito?
>
>
> Abraços!
> Paulo Argolo

=
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[obm-l] Fatorial não é quadrado perfeito

[Paulo Argolo]

Caros Colegas,Como provar que o fatorial de um número natural maior que 1 não é um quadrado perfeito?Abraços!Paulo Argolo
=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros cons ecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Johann Dirichlet]

Em 09/12/10, Henrique Rennó escreveu:
> Em 09/12/10, Johann Dirichlet escreveu:
>> Bem, respondendo:
>> 1 - Errei: para k=0 o valor é 1
>> 2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma
>> ideia do triangulo de Pascal:
>>
>> 0 0 0 0 0 ... 0 1
>>  0 0 0 0 ... 0 1
>>   0 0 0 ... 0 1
>>0 0 ... 0 1
>>  0 ... 1
>>
>>   1
>>
>> Este e o triangulo das diferenças de f(n,k).
>> Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima
>> linha fica constante (neste caso igual a 1).
>> Ai e so reverter...
>>
>> Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro...
>>
>
> Não entendi a relação desse "triângulo de Pascal" com o polinômio e
> como isso determina que o polinômio é sempre divisível por n! para
> quaisquer valores de n e k.

Esta e uma tecnica comum: se P é um polinomio de grau M então
P(x+1)-P(x) tem grau M-1. Iterando M vezes, obtemos uma constante.

Veja que eu fiz isso no polinomio que era dividido por k!, logo se
este polinomio e sempre inteiro entao o original e multiplo de n!


>
> --
> Henrique
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Ivan lopes]

Primeiro os parabéns para Paulo Argolo e Johann Dirichlet gostei
da abordagem de vcs do problema ... mataram com elegância ...

Copiando as ideias do Paulo e Johann:

Sendo P(k) = k.(k+1).(k+2).(k+3) ... (k+n-1)
Ou seja, o produto dos n elementos de meu polinômio ...

eu poderia escrever P(k) da seguinte forma:

P(k) = (k+n-1).(k+n-2)  ... (k+2).(k+1).(k)

multiplicando P(k) pelo fatorial de k, temos

P(k).k! = (k+n-1).(k+n-2)  ... (k+2).(k+1).(k).k!

P(k).k! = (k+n-1).(k+n-2)  ... (k+2).(k+1).(k).(k).(k-1).(k-2)(k-3) ... 1

P(k).k! = (k+n-1)!.k

P(k) = ( (k+n-1)!/k! ) k

P(k) = ( (k+n-1)!/(k(k-1)!.n!) ) k.n!

P(k) = ( (k+n-1)!/((k-1)!.n!) ) .n!

lembrando da formula da combinação:
C = n!/(n-p)!.p!
Combinação de "n" 'p'a 'p' ...

P(k) = Combinação de "k+n-1" 'n' a 'n'  vezes n!

P(k) = { (k+n-1)!/(k-1)!.n! } X n!

Sendo p = d.Q + resto

para k diferente de 1 , temos

Q = { (k+n-1)!/(k-1)!.n! }

d = n!

e o resto igual a zero ...

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Henrique Rennó]

Em 09/12/10, Johann Dirichlet escreveu:
> Bem, respondendo:
> 1 - Errei: para k=0 o valor é 1
> 2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma
> ideia do triangulo de Pascal:
>
> 0 0 0 0 0 ... 0 1
>  0 0 0 0 ... 0 1
>   0 0 0 ... 0 1
>0 0 ... 0 1
>  0 ... 1
>
>   1
>
> Este e o triangulo das diferenças de f(n,k).
> Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima
> linha fica constante (neste caso igual a 1).
> Ai e so reverter...
>
> Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro...
>

Não entendi a relação desse "triângulo de Pascal" com o polinômio e
como isso determina que o polinômio é sempre divisível por n! para
quaisquer valores de n e k.

-- 
Henrique

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Johann Dirichlet]

Bem, respondendo:
1 - Errei: para k=0 o valor é 1
2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma
ideia do triangulo de Pascal:

0 0 0 0 0 ... 0 1
 0 0 0 0 ... 0 1
  0 0 0 ... 0 1
   0 0 ... 0 1
 0 ... 1

  1

Este e o triangulo das diferenças de f(n,k).
Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima
linha fica constante (neste caso igual a 1).
Ai e so reverter...

Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro...

Em 09/12/10, Henrique Rennó escreveu:
> Em 28/11/10, Johann Dirichlet escreveu:
>> Por que este povo tem tanto pavor de "uma prova que não use outros
>> conceitos alem do enunciado"?
>> Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras
>> técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com
>> uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de
>> teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o
>> teorema de Euler-Fermat, por exemplo).
>>
>> De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem:
>>
>> Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um
>> polinômio de grau n em k.
>> Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k.
>>
>> Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale
>> 1.
>> A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma
>> modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para
>> todo n inteiro.
>
> Como isso pode ser verificado?
>
>>
>>
>> Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victor
>> escreveu:
>>> Olá Paulo,
>>> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
>>>
>>>  Por indução :
>>>
>>> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
>>> 2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.
>>>
>>> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
>>> hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que
>>> o
>>> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
>>> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um
>>> dos
>>> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível
>>> por
>>> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos  Victor
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo
>>> escreveu:
>>>
  Obrigado, Tiago.

 O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
 propriedades
 dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma:
 gostaria de ver uma prova puramente aritmética.

 Abraços do Paulo!



>>>
>>
>>
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>> movimento
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O pr oduto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Henrique Rennó]

Em 28/11/10, Johann Dirichlet escreveu:
> Por que este povo tem tanto pavor de "uma prova que não use outros
> conceitos alem do enunciado"?
> Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras
> técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com
> uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de
> teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o
> teorema de Euler-Fermat, por exemplo).
>
> De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem:
>
> Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um
> polinômio de grau n em k.
> Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k.
>
> Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale 1.
> A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma
> modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para
> todo n inteiro.

Como isso pode ser verificado?

>
>
> Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victor
> escreveu:
>> Olá Paulo,
>> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
>>
>>  Por indução :
>>
>> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
>> 2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.
>>
>> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
>> hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que
>> o
>> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
>> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um
>> dos
>> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível
>> por
>> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos  Victor
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo
>> escreveu:
>>
>>>  Obrigado, Tiago.
>>>
>>> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
>>> propriedades
>>> dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma:
>>> gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
>>>
>>> Abraços do Paulo!
>>>
>>>
>>>
>>
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[Henrique Rennó]

Em 28/11/10, Johann Dirichlet escreveu:
> Por que este povo tem tanto pavor de "uma prova que não use outros
> conceitos alem do enunciado"?
> Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras
> técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com
> uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de
> teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o
> teorema de Euler-Fermat, por exemplo).
>
> De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem:
>
> Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um
> polinômio de grau n em k.
> Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k.
>
> Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale 1.

Ele não valeria 1 para k = 0 ?

> A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma
> modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para
> todo n inteiro.
>
>
> Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victor
> escreveu:
>> Olá Paulo,
>> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
>>
>>  Por indução :
>>
>> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
>> 2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.
>>
>> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
>> hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que
>> o
>> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
>> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um
>> dos
>> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível
>> por
>> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos  Victor
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo
>> escreveu:
>>
>>>  Obrigado, Tiago.
>>>
>>> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
>>> propriedades
>>> dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma:
>>> gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
>>>
>>> Abraços do Paulo!
>>>
>>>
>>>
>>
>
>
> --
> /**/
> Quadrinista e Taverneiro!
>
> http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Quadrinhos, histórioas e afins
> http://baratoeletrico.blogspot.com />> Um pouco sobre elétrons em movimento
> http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit!
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>


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Henrique

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Carlos Alberto da Silva Victor]

Olá  Paulo,

No livro  " The USSR Olympiad Problem Book "  I.M. Yaglom , prob 49 , nos
exercícios relativos a " The divisibility of Integers" tem uma solução
interessante que satisfaz  o seu objetivo . Caso não consiga  o livro,
avise-me que te envio a solução , ok ?

Abraços



Em 27 de novembro de 2010 12:03, Paulo Argolo escreveu:

> Caríssimos Colegas,
>
> Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisível
> pelo fatorial de n?
>
>
>
> Abraços do Paulo.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O pr oduto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Carlos Alberto da Silva Victor]

Olá  Bernardo ,

Obrigado por ter  observado a "falha básica" em teoria dos números .
Paulo Argolo, tentarei uma outra ideia para o seu objetivo e obrigado pelas
belas palavras, apesar da falha na minha tentativa.

Abraços

Carlos Victor

Em 28 de novembro de 2010 05:58, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2010/11/28 Carlos Alberto da Silva Victor :
> > Olá Paulo,
> > Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
> >
> >  Por indução :
> >
> > 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
> > 2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.
> >
> > 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
> > hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que
> o
> > produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
> > fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um
> dos
> > fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível
> por
> > n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
> Não... porque você precisa que (n+1) e n! sejam primos entre si para
> concluir que n! * (n+1) divide P, não basta (n+1) e n. Porque afinal
> de contas o resultado é que se a, b dividem M, então ppcm(a,b) divide
> M (pela definição do ppcm, inclusive), e pgcd(a,b) = 1 => ppcm(a,b) =
> a*b.
>
> > Abraços
> >
> > Carlos  Victor
>
> >> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
> >> propriedades dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise
> Combinatória.
> >> Em suma: gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
> Paulo: a demonstração do Johann não foi suficiente para isso? E, me
> permita a curiosidade, para quê você quer uma demonstração "puramente
> aritmética"?
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] O pr oduto de n inteiros consecutivos é múlti plo do fatorial de n

[Paulo Argolo]

Obrigado, Carlos Victor, pela elegante demonstração. Muito boa mesmo!

Agradeço também aos demais amigos da lista, sempre muito solícitos.

Abraços do Paulo!



 



 



Date: Sat, 27 Nov 2010 21:29:07 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é 
múltiplo do fatorial de n
From: victorcar...@globo.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Paulo,
Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .

 Por indução :

1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.

3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por 
hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que o 
produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1) 
fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um dos 
fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível por n! 
e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?

Abraços 

Carlos  Victor






Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo  
escreveu:


Obrigado, Tiago.

O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades dos 
coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma: gostaria 
de ver uma prova puramente aritmética.

Abraços do Paulo!


 


  

[obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n (observação)

[Paulo Argolo]

Caríssimos Colegas,

Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisível pelo 
fatorial de n?

Obs.: Gostaria de obter uma demonstração que não recorra às propriedades dos 
coeficientes binomiais.

Abraços do Paulo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n i nteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/11/28 Carlos Alberto da Silva Victor :
> Olá Paulo,
> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
>
>  Por indução :
>
> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
> 2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.
>
> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
> hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que o
> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um dos
> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível por
> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
Não... porque você precisa que (n+1) e n! sejam primos entre si para
concluir que n! * (n+1) divide P, não basta (n+1) e n. Porque afinal
de contas o resultado é que se a, b dividem M, então ppcm(a,b) divide
M (pela definição do ppcm, inclusive), e pgcd(a,b) = 1 => ppcm(a,b) =
a*b.

> Abraços
>
> Carlos  Victor

>> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
>> propriedades dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória.
>> Em suma: gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
Paulo: a demonstração do Johann não foi suficiente para isso? E, me
permita a curiosidade, para quê você quer uma demonstração "puramente
aritmética"?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n i nteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Johann Dirichlet]

Por que este povo tem tanto pavor de "uma prova que não use outros
conceitos alem do enunciado"?
Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras
técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com
uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de
teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o
teorema de Euler-Fermat, por exemplo).

De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem:

Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um
polinômio de grau n em k.
Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k.

Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale 1.
A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma
modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para
todo n inteiro.


Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victor escreveu:
> Olá Paulo,
> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
>
>  Por indução :
>
> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
> 2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.
>
> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
> hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que o
> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um dos
> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível por
> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
>
> Abraços
>
> Carlos  Victor
>
>
>
>
>
> Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo
> escreveu:
>
>>  Obrigado, Tiago.
>>
>> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
>> propriedades
>> dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma:
>> gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
>>
>> Abraços do Paulo!
>>
>>
>>
>


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros cons ecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Carlos Alberto da Silva Victor]

Olá Paulo,
Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .

 Por indução :

1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
2) hipótese : válida para  n fatores consecutivos.

3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P =  k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por
hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que o
produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um dos
fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível por
n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?

Abraços

Carlos  Victor





Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo escreveu:

>  Obrigado, Tiago.
>
> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades
> dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma:
> gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
>
> Abraços do Paulo!
>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n intei ros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Paulo Argolo]

Obrigado, Tiago.

O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades dos 
coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma: gostaria 
de ver uma prova puramente aritmética.

Abraços do Paulo!



 
  

[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Tiago]

Isto é quase o mesmo que provar que os números binomiais (n "escolhe" k) são
inteiros para n e k inteiros, você consegue ver porquê?

2010/11/27 Paulo Argolo 

> Caríssimos Colegas,
>
> Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisível
> pelo fatorial de n?
>
>
>
> Abraços do Paulo.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> =
>



-- 
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

[obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n

[Paulo Argolo]

Caríssimos Colegas,

Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisível pelo 
fatorial de n?



Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Fatorial via Stirling (indução)

[Paulo Argolo]

Bem, amigos, continuo pensando que a demonstração por indução finita é possível.Não é difícil ver que a fórmula vale para n=1.Supondo válida para n =k, ou seja: k! = [(2.k.pi)^(1/2)].[(k/e)^k].(e^t) ,com 1/(12k+1) < t < 1/(12t)Resta mostrar que vale a igualdade:(k+1)! = [(2.(k+1).pi)^(1/2).[((k+1)/e)^(k+1)].(e^w),com 1/(12(k+1)+1) < w < 1/(12(k+1)Obviamente, (k+1)! = (k+1).k!Não consegui concluir a questão ainda.Estou tentando!Paulo Argolo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatorial via Sti rling (confirmação)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/9/17 Johann Dirichlet :
> Bem, vou azedar um pouco a coisa: que tal se pudéssemos isolar o r?
> n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r) se e somente se
> n!/((2.n.pi)^(1/2).(n/e)^n)=(e^r)
> Passa o log, temos uma expressão em r.
> Se pudermos provar a existência deste monstrinho, fechou

Eu acho que a fórmula de Euler-MacLaurin é realmente o que é mais
adaptado para provar esse tipo de horror (expansão assintótica de
somas finitas, quando a gente passa aos logs). Tem que estudar, mas
enfim, você não pode querer demonstrar tudo a partir de nada: a
matemática se constrói passo a passo...

Enfim, esta observação chata é mais porque, de memória, obter o "raiz
de 2*pi" na fórmula do fatorial é bem difícil. Se você dispensar
essa exatidão toda, acho que até dá, inclusive por indução (Johann: já
achou como corrigir a tua?). Daí, a fórmula fica
n! = (n/e)^n*raiz(n) * erro(n)

onde 0 < min < erro(n) < MAX para duas constantes min e MAX (que a
gente não calculou)

> Em 17/09/10, Guilherme Vieira escreveu:
>>
>> Caro Paulo,
>> Continuo pensando que não há possibilidade de se obter demonstração por
>> indução finita, pois r depende de n.
>> Não sei se há outro modo de confirmar a validade da fórmula.
>> Continuemos tentando!
>> Um abraço do Guilherme!
>>
>>
>>
>> From: argolopa...@hotmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] Fatorial via Stirling (confirmação)
>> Date: Thu, 16 Sep 2010 20:55:27 +
>>
>>
>>
>>
>>
>> Caros amigos,
>> Repito a questão a que propus.
>> Não sei se as respostas já dadas tratam efetivamente da mesma questão.
>> Fiquei em dúvida.
>>
>> Gostaria de obter uma demonstração (pode ser por indução finita) do fato
>> abaixo, proveniente da fórmula de Stirling.
>>
>> Fato:
>> Para todo número inteiro positivo n, existe um número real r, com 1/(12n+1)
>> < r
>> < 1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
>> n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)
>>
>> Muito obrigado!
>> Paulo Argolo
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>
>
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> Quadrinista e Taverneiro!
>
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatorial via Stirling (confi rmação)

[Johann Dirichlet]

Bem, vou azedar um pouco a coisa: que tal se pudéssemos isolar o r?
n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r) se e somente se
n!/((2.n.pi)^(1/2).(n/e)^n)=(e^r)
Passa o log, temos uma expressão em r.
Se pudermos provar a existência deste monstrinho, fechou

Em 17/09/10, Guilherme Vieira escreveu:
>
> Caro Paulo,
> Continuo pensando que não há possibilidade de se obter demonstração por
> indução finita, pois r depende de n.
> Não sei se há outro modo de confirmar a validade da fórmula.
> Continuemos tentando!
> Um abraço do Guilherme!
>
>
>
> From: argolopa...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Fatorial via Stirling (confirmação)
> Date: Thu, 16 Sep 2010 20:55:27 +
>
>
>
>
>
> Caros amigos,
> Repito a questão a que propus.
> Não sei se as respostas já dadas tratam efetivamente da mesma questão.
> Fiquei em dúvida.
>
> Gostaria de obter uma demonstração (pode ser por indução finita) do fato
> abaixo, proveniente da fórmula de Stirling.
>
> Fato:
> Para todo número inteiro positivo n, existe um número real r, com 1/(12n+1)
> < r
> < 1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
> n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)
>
> Muito obrigado!
> Paulo Argolo
>
>
>
>
>
>
>
>   


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Fatorial via Stirling (confi rmação)

[Guilherme Vieira]

Caro Paulo,
Continuo pensando que não há possibilidade de se obter demonstração por indução 
finita, pois r depende de n.
Não sei se há outro modo de confirmar a validade da fórmula.
Continuemos tentando!
Um abraço do Guilherme!
 


From: argolopa...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Fatorial via Stirling (confirmação)
Date: Thu, 16 Sep 2010 20:55:27 +





Caros amigos,
Repito a questão a que propus.
Não sei se as respostas já dadas tratam efetivamente da mesma questão. Fiquei 
em dúvida.

Gostaria de obter uma demonstração (pode ser por indução finita) do fato 
abaixo, proveniente da fórmula de Stirling.

Fato:
Para todo número inteiro positivo n, existe um número real r, com 1/(12n+1) < r 
< 1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)

Muito obrigado!
Paulo Argolo



 



  

[obm-l] Fatorial via Stirling (confirmaç ão)

[Paulo Argolo]

Caros amigos,
Repito a questão a que propus.
Não sei se as respostas já dadas tratam efetivamente da mesma questão. Fiquei 
em dúvida.

Gostaria de obter uma demonstração (pode ser por indução finita) do fato 
abaixo, proveniente da fórmula de Stirling.

Fato:
Para todo número inteiro positivo n, existe um número real r, com 1/(12n+1) < r 
< 1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)

Muito obrigado!
Paulo Argolo




 



  

Re: [obm-l] Fatorial $via Stirling$

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Ah, eu fui guloso demais... a integral "complicada" na verdade é
razoavelmente fácil de calcular...

> erro(i) = integral de zero a 1 de ln(i+x) - [ ln(i) + [ln(i+1) - ln(i)]*x ] dx
>  = integral de ln(1 + x/i) - x*ln(1 + 1/i) dx

A parte que tem o x em fator é realmente fácil: vale ln(1+1/i)/2
A parte com o x dentro do log é um pouquinho mais chata, mas a gente
também calcula. E daí é só mostrar que dá O(1/i^2), o que é o caso.

abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Fatorial $via Stirling$

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/9/16 Marcelo Salhab Brogliato :
> Olá, Guilherme,
> por indução:
>
> Hipótese: ln(n!) = nln(n) - n + O(log(n))
> Tese: ln((n+1)!) = (n+1)ln(n+1) - n + 1 + O(log(n+1))
>
> Entretanto, vamos dar uma "ajustada" na tese.
> Sabemos que 1 \in O(ln(n)), logo: 1 + O(ln(n+1)) = O(ln(n)).
> Também sabemos que ln(n+1) + O(ln(n+1)) = O(ln(n+1)).
> Assim:
> Tese: ln((n+1)!) = nln(n+1) - n + O(ln(n+1))
>
> Demo:
> ln((n+1)!) = ln((n+1)n!) = ln(n+1) + ln(n!)
>
> Usando a hipótese, temos:
> ln((n+1)!) = ln(n+1) + nln(n) - n + O(ln(n))
>
> Bem, como O(ln(n)) \subset O(ln(n+1)) e ln(n+1) \in O(ln(n+1)), temos:
> ln((n+1)!) = nln(n) - n + O(ln(n+1))
>
> Somando e subtraindo nln(n+1), temos:
> ln((n+1)!) = nln(n+1) + nln(n) - nln(n+1) - n + O(ln(n+1))
>
> Bom, agora, temos que mostrar que nln(n) - nln(n+1) \in O(ln(n+1)), e esta
> fechada a demonstração.
>
> Dei uma mexida mas ainda não saiu...
n(ln(n) - ln(n+1)) \in O(1) na verdade, já que ln'(n) = 1/n. Ou então
porque você sabe que ln(1 - eps) ~ eps, e daí fica ln( n/(n+1) ) = ln(
1 - 1/(n+1) ) ~ 1/(n+1)

> Alguém ajuda?! hehehe :)
Eu atrapalho, serve ?

Deixa só eu fazer uma mudança na sua demo. Vou mostrar algo muito mais preciso:
ln(n!) = n*ln(n) + O(1)

Da mesma forma, façamos ln((n+1)!) = ln(n+1) + ln(n!) = ln(n+1) + n*ln(n) + O(1)

Somando e subtraindo n*ln(n+1), obtemos

ln((n+1)!) = (n+1)*ln(n+1) + n*ln(n) - n*ln(n+1) + O(1). Do que eu
acabei de dizer, n*[ ln(n) - ln(n+1) ] é aproximadamente -1, e
portanto está em O(1).

Bom, com *certeza* uma das demonstrações está errada (já que elas
demonstram resultados incompatíveis). Eu voto "as duas"... (mas a do
Marcelo dá pra corrigir, enquanto a minha, que prova algo falso, é
incorrigível). Mas a pergunta fica: onde estas demonstrações entraram
pelo cano???

> abraços,
> Salhab

abraços (e mesmo que eu fale bem de indução, é algo a se manipular com
mito cuidado)

> 2010/9/16 Guilherme Vieira 
>>
>> Prezado Paulo,
>>
>> Creio que não há como fazer a demonstração através de indução. Na
>> internet, vi esse resultado. Não sei, contudo, se o desenvolvimento que o
>> justifica está correto. É muito complexo.  Ver, por exemplo, o site abaixo.
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

O mais simples e natural (a meu ver) é obter ln(n!) ~ n*ln(n) - n +
ln(n) / 2 + O(1) por integração de 1 até n+1 do logaritmo:
integral de 1 a n+1 de log(x) dx é aproximadamente igual à soma dos
trapézios de coordenadas (i, 0), (i+1, 0), (i+1, ln(i+1)), (i,ln(i))
(faça um desenho !!!). A área dos trapézios é igual à ln(n!) + ln(n+1)
/ 2 (cada trapézio dá [ ln(i) + ln(i+1) ]/2, e daí você telescopa no
n!).

Resta estimar o erro, que é a soma das integrais de i a i+1 de log(x)
- {reta afim ligando (i,ln(i)) a (i+1, ln(i+1))}. Aqui, tem que fazer
mais contas... e ajuda fazer mudanças de variáveis nas integrais,
porque a equação da reta fica mais simples se a gente fizer a integral
de zero a 1. (pense assim: se 0 corresponde ao ponto i, temos ln(i),
no ponto 1 temos ln(i+1), isso dá direto o coeficiente diretor e o
coeficiente afim ; ao mesmo tempo, teremos agora ln(i+x) em vez de
ln(x)...)

erro(i) = integral de zero a 1 de ln(i+x) - [ ln(i) + [ln(i+1) - ln(i)]*x ] dx
 = integral de ln(1 + x/i) - x*ln(1 + 1/i) dx
e aqui você vê que a diferença entre os dois termos é do tipo
phi(x)/i^2 (a derivada de ambas em 0 é a mesma, logo elas só podem
diferir em segunda ordem, que é o caso). Se você conhece equivalentes
(ou séries de Taylor) o primeiro é ~ x/i - x^2/2*i^2 + O(x^3/i^3) e o
segundo ~ x*[ 1/i -1/2*i^2 + O(1/i^3) ]. Como x está entre 0 e 1, ele
é limitado, e portanto a integral será algo do tipo Const/i^2 (mais
termos de ordem superior, claro). O legal é que a soma desses termos
(em i) é convergente, logo limitada, logo o erro é controlado por uma
constante que não depende de quantos termos de erro a gente somar.
Ufa, deu O(1). Ah, sim, tem que integrar ln(x) de 1 a n+1 também, mas
isso eu deixo para você fazer e ver que dá (n+1)*ln(n+1) - n, e usando
(de novo) que a diferença entre n*ln(n) e n*ln(n+1) é O(1) você
termina com:

Integral = Soma dos trapézios + resto
(n+1)*ln(n+1) - n =  ln(n!) + ln(n+1) / 2 + O(1)

Logo
ln(n!) = n*ln(n+1) - n + ln(n+1)/2 + O(1) =
 n*ln(n) - n + ln(n)/2 + O(1) + n[ln(n+1) - ln(n)] + [ln(n+1) - ln(n)]/2 =
 n*ln(n) - n + ln(n)/2 + O(1) + O(1) + O(1/n) = n*ln(n) - n + ln(n)/2 + O(1)

>> Grande abraço,
>> Guilherme
>

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Fatorial $via Stirling$

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá, Guilherme,
por indução:

Hipótese: ln(n!) = nln(n) - n + O(log(n))
Tese: ln((n+1)!) = (n+1)ln(n+1) - n + 1 + O(log(n+1))

Entretanto, vamos dar uma "ajustada" na tese.
Sabemos que 1 \in O(ln(n)), logo: 1 + O(ln(n+1)) = O(ln(n)).
Também sabemos que ln(n+1) + O(ln(n+1)) = O(ln(n+1)).
Assim:
Tese: ln((n+1)!) = nln(n+1) - n + O(ln(n+1))

Demo:
ln((n+1)!) = ln((n+1)n!) = ln(n+1) + ln(n!)

Usando a hipótese, temos:
ln((n+1)!) = ln(n+1) + nln(n) - n + O(ln(n))

Bem, como O(ln(n)) \subset O(ln(n+1)) e ln(n+1) \in O(ln(n+1)), temos:
ln((n+1)!) = nln(n) - n + O(ln(n+1))

Somando e subtraindo nln(n+1), temos:
ln((n+1)!) = nln(n+1) + nln(n) - nln(n+1) - n + O(ln(n+1))

Bom, agora, temos que mostrar que nln(n) - nln(n+1) \in O(ln(n+1)), e esta
fechada a demonstração.
Dei uma mexida mas ainda não saiu...

Alguém ajuda?! hehehe :)

abraços,
Salhab



2010/9/16 Guilherme Vieira 

>  Prezado Paulo,
>
> Creio que não há como fazer a demonstração através de indução. Na internet,
> vi esse resultado. Não sei, contudo, se o desenvolvimento que o justifica
> está correto. É muito complexo.  Ver, por exemplo, o site abaixo.
> http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation
>
> Grande abraço,
> Guilherme
>

[obm-l] Fatorial $via Stirling$

[Guilherme Vieira]

Prezado Paulo,

Creio que não há como fazer a demonstração através de indução. Na internet, vi 
esse resultado. Não sei, contudo, se o desenvolvimento que o justifica está 
correto. É muito complexo.  Ver, por exemplo, o site abaixo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

Grande abraço,
Guilherme 

[obm-l] Fatorial (via Stirling)

[Paulo Argolo]

Caros amigos,

Gostaria de obter uma demonstração (pode ser por indução finita) do fato 
abaixo, proveniente da fórmula de Stirling.

Fato:
Para todo número inteiro positivo n, existe um número real r, com 1/(12n+1) < r 
< 1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)

Muito obrigado!

Paulo Argolo


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Fatorial

[Domingos Romualdo]

Coulbert,
 
Na verdade, o “postulado” de Bertrand não é mais postulado: foi provado pelo
Chebyshev no meio do século XIX.  Por algum motivo, muita gente continua
referindo a ele como postulado quando já virou teorema.   Uma demonstração
pode ser encontrada aqui
<http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate> .
 
Abraços,
 
Domingos.
 
  _  

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Felippe Coulbert Balbi
Sent: Sunday, April 25, 2010 12:44 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Fatorial
 
Pow vlw, aonde eu empaquei foi exatamente ai, eu não sabia como provar (e
ate hoje nao provaram, tanto que voce falo postulado) que entre um numero p
e 2p existe pelo menos um primo.
 
Obrigado
Coulbert
 
  _  

Transforme-se em personagens engraçados e coloque no Messenger. Clique e
veja como.
<http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline> 

RE: [obm-l] Fatorial

[Felippe Coulbert Balbi]

Pow vlw, aonde eu empaquei foi exatamente ai, eu não sabia como provar (e ate 
hoje nao provaram, tanto que voce falo postulado) que entre um numero p e 2p 
existe pelo menos um primo.
ObrigadoCoulbert  
_
O seu navegador também te ajuda a ficar longe de vírus. Leia mais sobre 
segurança.
http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500

Re: [obm-l] Fatorial

[Johann Dirichlet]

Puxa! Acho que já resolvi!

Seja P o maior primo menor que N (se N for primo, ninguém menor que
ele é múltiplo, logo seu expoente é 1 e o problema acaba).
Pelo Postulado de Bertrand, P escreveu:
> Deixa eu ver se entendi: você quer todos os fatoriais que são
> quadrados perfeitos?
>
> Se for isso, apesar da minha preguiça extrema, darei uma dica:  é
> necessário que todos os fatores primos de n! tenham expoente par, e é
> fácil calcular tais expoentes. Se acharmos um ímpar, acabou.
>
> (Divagação: podemos tentar provar que existe pelo menos um primo entre
> 1,2,3,...,n que aparece apenas uma vez (expoente 1). Por exemplo, de 1
> a 13, o 7 aparece só uma vez.
> Isso me faria pensar no Postulado de Bertrand, que diz que existe um
> primo entre n e 2n)
>
> Em 24 de abril de 2010 14:29, Felippe Coulbert Balbi
>  escreveu:
>> Olá.  Tenho um problema que eu empaquei em uma parte, espero que me ajudem.
>>
>> Prove que não existe solucoes inteiras para sqrt n! (raiz quadrada de n!)
>> para n E Z / n>1
>> Obrigado
>> Coulbert.
>> 
>> Transforme-se em personagens engraçados e coloque no Messenger. Clique e
>> veja como.
>
>
>
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> Quadrinista e Taverneiro!
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> Afins
> http://baratoeletrico.blogspot.com />> Ativismo Digital (?)
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>



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