[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)

[matematica10complicada]

Thanks Buffara.
GREAT.

Em qui, 30 de ago de 2018 20:51, Claudio Buffara 
escreveu:

> f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==>
> f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==>
> f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==>
> f'(x) é divisível por (x - 1)^3
>
> Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é
> divisível por (x + 1)^3.
>
> Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3
> = A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A.
>
> f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) +
> k, para algum k.
>
> Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1.
>
> f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1
> f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1
>
> Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16  e  k = 0 ==>
> f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==>
> f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x   (salvo algum
> erro de conta...)
>
> Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e
>> de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por
>> (x − 1)^4
>> e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)

[Claudio Buffara]

f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==>
f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==>
f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==>
f'(x) é divisível por (x - 1)^3

Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é
divisível por (x + 1)^3.

Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3 =
A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A.

f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) + k,
para algum k.

Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1.

f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1
f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1

Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16  e  k = 0 ==>
f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==>
f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x   (salvo algum
erro de conta...)

Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal.

[]s,
Claudio.




On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e
> de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por
> (x − 1)^4
> e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] polinomio minimal

[Alessandro Andrioni]

Eu sugeriria assumir um característico igual a -x^3 e montar uma
matriz com dois blocos de Jordan: um de autovalor 0 e tamanho 2x2, e
um de autovalor 0 e tamanho 1x1, o que nos daria a seguinte matriz, se
não me engano:
A = [ [0 1 0]
  [0 0 0]
  [0 0 0] ]

É simples checar que o x^2 anula A, porém x não, logo por
Cayley-Hamilton, x^2 deve ser o minimal.

2011/4/16 Samuel Wainer :
> achar uma matriz em C3X3  com polinomio minimal igual a x^2.
>
> Existe uma maneira fácil de se fazer este? ou é por tentativa e erro?
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Polinomio 4º grau

[pedro barboza]

talvez ajude escrevger assim:
(x^2-18)^2=x
 abraços

Date: Sat, 17 May 2008 22:54:05 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL 
PROTECTED]: Re: [obm-l] Polinomio 4º grauChute =p4 eh raiz =pdividindo(x-4)(x^3 
+4 x^2 -20x -61)

2008/5/17 douglas paula <[EMAIL PROTECTED]>:
Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

Bom dia , senhores,
 
gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem 
conhecer nenhuma delas:
 
x^4-36x²-x+324=0
 
Obrigado,
 
Thelio
Thelio,
 
 acho que é de seu interesse http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é um método 
de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu quando ele 
tinha 14 anos
 
abraços



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Re: [obm-l] Polinomio 4º grau

[Felipe Diniz]

Chute =p
4 eh raiz =p
dividindo
(x-4)(x^3 +4 x^2 -20x -61)


2008/5/17 douglas paula <[EMAIL PROTECTED]>:

>
>
> *Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]>* escreveu:
>
> Bom dia , senhores,
>
> gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem
> conhecer nenhuma delas:
>
> x^4-36x²-x+324=0
>
> Obrigado,
>
> Thelio
>
> Thelio,
>
>  acho que é de seu interesse 
> http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é
> um método de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu
> quando ele tinha 14 anos
>
> abraços
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Polinomio 4º grau

[douglas paula]

Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:Bom dia , senhores,
   
  gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem 
conhecer nenhuma delas:
   
  x^4-36x²-x+324=0
   
  Obrigado,
   
  Thelio
  Thelio,
   
   acho que é de seu interesse http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é um método 
de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu quando ele 
tinha 14 anos
   
  abraços


   
-
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Re: [obm-l] polinomio de grau 7

[vitoriogauss]

Muito obrigado colega

 Olá,
> 
> a1 + a2 + ... + a7 = -m/3
> 1+i + 1-i + 1-sqrt(2) + 1 + sqrt(2) + a5 + a6 + a7 = -m/3
> 4 + a5 + a6 + a7 = -m/3
> 
> agora, temos uma raiz de multiplicidade 3, entao: a5 = a6 = a7 = k (vamos 
> chamar de k)
> logo: 4 + 3k = -m/3
> 
> agora, vamos ver o produto delas:
> 
> a1*a2*..*a7 = -48/3 = -16
> (1+i)(1-i)(1-sqrt(2))(1+sqrt(2))k^3 = -16
> 2*(-1)*k^3 = -16  k^3 = 8  k = 2
> logo: -m/3 = 4+6 = 10 ... m = -30
> 
> abracos,
> Salhab
> 
> 
> 
> 
>   On 3/25/07, vitoriogauss < [EMAIL PROTECTED]> wrote:
> P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as 
> coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra 
> 1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é? 
> 
> se 1+i é raiz, então 1-i tb é;
> se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2)
> 
> existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3...
> 
> depois só usar GIRARD
> 
> é só isso
> 
> 
> 
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> = 
> 
> 
> 

Vitório Gauss


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] polinomio de grau 7

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

a1 + a2 + ... + a7 = -m/3
1+i + 1-i + 1-sqrt(2) + 1 + sqrt(2) + a5 + a6 + a7 = -m/3
4 + a5 + a6 + a7 = -m/3

agora, temos uma raiz de multiplicidade 3, entao: a5 = a6 = a7 = k (vamos 
chamar de k)
logo: 4 + 3k = -m/3

agora, vamos ver o produto delas:

a1*a2*..*a7 = -48/3 = -16
(1+i)(1-i)(1-sqrt(2))(1+sqrt(2))k^3 = -16
2*(-1)*k^3 = -16  k^3 = 8  k = 2
logo: -m/3 = 4+6 = 10 ... m = -30

abracos,
Salhab




  On 3/25/07, vitoriogauss < [EMAIL PROTECTED]> wrote:
P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as 
coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra 1-sqrt(2)e 
uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é? 

se 1+i é raiz, então 1-i tb é;
se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2)

existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3...

depois só usar GIRARD

é só isso



= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 

Re: [obm-l] polinomio de grau 7

[Iuri]

P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48

P(x)=3*[x-(1+i)]*[x-(1-i)]*[x-(1+sqrt(2))]*[x-(1-sqrt(2))]*(x-p)^3=(x²-2x+2)(x²-2x-1)(x³-3px²+3p²x-p³)

O termo independente eh 2*(-1)*(-p³)=2p³=48/3=16 -> p³=8 -> p=2.

Tendo todas as raizes, é só fazer girard. Vai dar uma conta um pouco grande,
mas é isso.

Iuri

On 3/25/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as
coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra
1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é?

se 1+i é raiz, então 1-i tb é;
se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2)

existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3...

depois só usar GIRARD

é só isso



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] polinomio redutivel

[Carlos Yuzo Shine]

Na primeira pergunta: basta ver que x^3 + x + 2 tem raiz em Z/3Z, por exemplo, 
x = -1. Aliás, x^3 + x + 2 é redutível em Z mesmo: x^3 + x + 2 = x^3 + 1 + x + 
1 = (x+1)(x^2 - x + 1) + (x+1) = (x+1)(x^2 - x + 2).

O interessante é que x^2 - x + 2 é irredutível tanto em Z como em Z/3Z. Se ele 
fosse redutível em Z/3Z, teria raiz. Mas é só substituir x = 0, 1, -1 para ver 
que nenhum deles é raiz.

Eu não entendi bem a segunda pergunta: afinal, polinômio mônico é aquele que 
tem coeficiente dominante (o coeficiente do termo de maior grau) 1. Mas o 
coeficiente do termo de grau maior de x^4 + x^3 + x + 1, x^4, já é 1. Aliás, em 
Z/2Z o coeficientes só podem ser 0 e 1, de modo que *qualquer* polinômio em 
Z/2Z é mônico.

[]'s
Shine

- Original Message  
From: Douglas Alexandre <[EMAIL PROTECTED]> 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Saturday, January 13, 2007 11:31:39 PM 
Subject: [obm-l] polinomio redutivel 

Como mostro que o polinômio x^3+x+2 é redutível em Z3? 
Como torno mônico o polinômio X^4+X^3+X+1 em Z2? 



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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] polinomio irredutivel

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Muito bom. Vou imprimir e olhar com calma sua explicaç~ao.
Vou colocá-la no apêndice que ficará mais completo com ela.

Acho que a soluç~ao do artigo poderia dar alguma dica de como
chegar (ou onde encontrar) a tal generalizaç~ao.

Obrigado.

[]'s
Luís


From: "claudio\.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: "obm-l" 
Subject: Re:[obm-l] polinomio irredutivel
Date: Tue,  5 Sep 2006 14:53:06 -0300

Oi, Luis:

Eu fiz o seguinte:

Seja f(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x + p,
onde p é um primo ímpar.
Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x].


[.]


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] polinomio irredutivel

[claudio\.buffara]

Oi, Luis:
 
Eu fiz o seguinte:
 
Seja f(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x + p, 
onde p é um primo ímpar.
Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x].
 
Os coeficientes de x^(p-1) e x^(p-2) em f(x+1) são facilmente calculáveis.
 
O coeficiente de x^(p-k) para 3 <= k <= p é igual a:
SOMA(j=1...k) j*Binom(p-j,k-j) =
k*SOMA(j=1...k) Binom(p-j,k-j) - SOMA(j=1...k) (k-j)*Binom(p-j,k-j) =
k*Binom(p,k-1) - (p-k+1)*SOMA(j=1...k-1) Binom(p-j,k-j-1) =
k*Binom(p,k-1) - (p-k+1)*Binom(p,k-2) =
Binom(p+1,k-1) = 
múltiplo de p, pois p divide (p+1)! mas não divide (k-1)!*(p-k+2)! se 3 <= k <= p, o que bate com o artigo (ainda bem!)
 
***
 
Critério de Eisenstein generalizado:
 
Seja f(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n um polinômio de Z[x].
Suponha que exista um primo p tal que:
1) p divide a_0, a_1, ..., a_(k-1) mas não divide a_k (1 <= k <= n)
e
2) p^2 não divide a_0
Então f(x) tem um fator irredutível de grau >= k.
 
Suponhamos que f(x) = g(x)*h(x), com:
g(x) = b_0 + b_1x + ... + b_rx^r
e
h(x) = c_0 + c_1x + ... + c_sx^s
onde r >= 0, s >= 0 e r + s = n.
 
a_0 = b_0*c_0.
Como p divide a_0 mas p^2 não divide, podemos supor spdg que p divide b_0 mas não divide c_0.
 
Como p não divide a_k, p não pode dividir todos os coeficientes de g(x).
Seja j o menor inteiro positivo tal que p não divide b_j.
Repare que, nesse caso, grau(g(x)) >= j.
 
Se i < j, então:
a_i = b_0*c_i + b_1*c_(i-1) + ... + b_(i-1)*c_1 + b_i*c_0
(se i > r, então b_i = 0. Idem para os c_i)
Como p divide b_0, ..., b_i, concluímos que p divide a_i.
Logo, i < k.
 
Por outro lado,

a_j = b_0*c_j + b_1*c_(j-1) + ... + b_(j-1)*c_1 + b_j*c_0.
Como p divide b_0, , b_(j-1) mas não divide b_j*c_0, concluímos que p não divide a_j.
Assim, j = k e, portanto, grau(g(x)) >= k.
 
Ou seja, f(x) tem um fator irredutível de grau >= k.
 
O critério de Eisenstein tradicional é obtido quando k = n.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Fri, 01 Sep 2006 20:45:51 +




Assunto:
[obm-l] polinomio irredutivel
> Sauda,c~oes,
> 
> Oi Claudio,
> 
> ===
> (Claudio): Luís: você planeja lançar um manual de construções
> geométricas?
> ===
> N~ao só um como pelo menos 2. Foi bom vc tocar nesse assunto pois
> mais cedo ou mais tarde iria escrever pra vc pra pedir uma coisa.
> Estou escrevendo o Manual de CG 1 e no apêndice sobre números
> construtíveis quero mostrar que um polinômio é irredutível em Q.
> Na verdade é um problema de um periódico tipo CRUX. Falta completar
> uma passagem. Depois coloco aqui.
> 
> %%
> Retomando o email. O problema (*)
> 
> Seja p>=3 um primo. Ent~ao o polinômio f(x) = x^{p-1} +
> + x^{p-2} + ... + x + 1 é irredutível em Q
> 
> é conhecido. Ver por exemplo os livros de Álgebra do Fraleigh
> e Lang.
> 
> A idéia é escrever \Phi_p (x) = \frac{x^p-1}{x-1} =
> = x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 1
> 
> e mostrar que g(x) = \Phi_p (x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} =
> =[ x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} + ... + px ] / x
> 
> é irredutível por satisfazer o critério de Eisenstein para o primo p.
> 
> Com as idéias da soluç~ao para este problema, no periódico
> Mathematics Magazine Vol 77 (2004) pp. 397--398 vemos o
> problema 1681, An Irreducible Polynomial.
> 
> Seja p>=3 um primo. Prove que o polinômio
> 
> x^{p-1} + 2x^{p-2} + 3x^{p-3} + ... + (p-1)x + p
> 
> é irredutível em Z[x].
> 
> Soluç~ao do periódico: Let f denote the polynomial. Because
> f(+-1) > 0 and f(+-p) > 0, it follows from the rational root theorem
> that f(x) has no linear factor in Z[x]. (até aqui tudo bem).
> 
> Since (usando a mesma idéia do problema (*))
> 
> f(x) = \sum_{k=1}^p \frac{x^k-1}{x-1} =
> \frac{x(x^p-1) - p(x-1)}{(x-1)^2} ,
> 
> we have
> 
> f(x+1) = \frac{(x+1)[(x+1)^p-1] - px}{x^2} =
> x^{p-1} + (p+1)x^{p-2} + \sum_{k=0}^{p-3} a_k x^k ,
> 
> where a_k = \binom{p+1}{k+2}, 0<=k<=p-3.
> 
> Pausa. Até aqui tudo bem, parece mais complicado do que é.
> Bota no papel este pseudo LaTeX e se verá que é uma álgebra
> simples do binômio de Newton. Depois da parada e do café,
> continua. Hum
> 
> Notaç~ao: a | X significa a divide X e a \not| X significa
> a n~ao divide X
> 
> Because p \not| (p+1) , p | a_k , 0<=k<=p-3 , and p^2 \not| a_0 , (OK)
> 
> it follows from a modification of Eisenstein's criterion that f(x+1)
> has an irreducible factor of degree at least p-2 over Z[x].
> 
> N~ao entendi nada destas duas linhas. Qual modificaç~ao? E como
> chegar na conclus~ao do at least?
> 
> However, f(x+1) has no factor of degree p-2 because if it did,
> the other factor would be linear. It follows that f(x) is ireducible
> in Z[x]. (OK, em Q[x] também).
> 
> ===
> Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui.
> ===
> Colocado. Será que dá pra completar numa mensagem mais
> curta do que esta?
> 
> []'s
> Luis
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/o

Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[J. Renan]

Agora ficou mais claro o argumento utilizado pelo Leonardo Maia, muito obrigado pelo  Bruno2006/8/24, Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>:
Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1.
2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) >= 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais.
BrunoOn 8/24/06, J. Renan <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
"De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. "--Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1?
Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia <

[EMAIL PROTECTED]>:
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia <


[EMAIL PROTECTED]> wrote:
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares <



[EMAIL PROTECTED]> wrote:
galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver:




Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.



"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será
tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not
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-- Um Grande Abraço,Jonas Renan

-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - 
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-- Um Grande Abraço,Jonas Renan

Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[Bruno França dos Reis]

Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1.2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) >= 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais.
BrunoOn 8/24/06, J. Renan <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
"De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. "--Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1?
Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia <
[EMAIL PROTECTED]>:
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia <

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De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares <


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Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.


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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[J. Renan]

"De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. "--Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1?
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De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares <

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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[leonardo maia]

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soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[leonardo maia]

De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
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Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p."O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
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Re: [obm-l] Polinomio

[Marcio M Rocha]

Klaus Ferraz escreveu:

Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem 
raiz racional.



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No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.3.5/301 - Release Date: 4/4/2006
 

Leia o artigo de Eduardo Wagner, "Paridade", que pode ser encontrado em 
http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm.


Márcio.
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Re: [obm-l] Polinomio

[samuel barbosa]

Caso tenha raiz racional, devemos terb^2-4ac = n^2  ( n inteiro)  como 4ac é par então b^2 e n^2 tem mesma paridade, logo n é ímparComo b^2 == 1 (mod 8) e n^2 == 1 ( mod 8)então 4ac == 0 (mod 8) Absurdo!
 Em 04/04/06, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem raiz racional.
		
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Re: [obm-l] polinomio

[Marcio Cohen]

P(x) = x eh a unica solução (demo: P(x)-x se anula 
em todos os pontos da seq. crescente definida por a1=1, 
a(n+1)=a(n)^2+1, n >=1 e portanto é 
identicamente nulo)

  - Original Message - 
  From: 
  Danilo Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, November 14, 2005 8:29 
  PM
  Subject: [obm-l] polinomio
  
  Determine todos os polinomios P(x) tais que P(x^2+1) = (P(x))^2+1 para 
  todo x real.
   
  alguem se habilita?
  
  
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Re: [obm-l] polinomio

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] polinomio



Seja w uma raiz de f(x). 

Repare que:
 1 = 1;
w^111 = (w^10)^11*w = w;
w^222 = (w^10)^22*w^2 = w^2;
...
w^999 = (w^10)^99*w^9 = w^9.

Somando estas 10 igualdades, obtemos P(w) = f(w) = 0.

Em outras palavras, toda raiz de f(x) eh raiz de P(x), o que significa que f(x) | P(x).

[]s,
Claudio.

on 29.01.05 22:28, Vinícius Meireles Aleixo at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Prove que o polinomio P(x) = x^999+x^888+...+x^111+1 é divisível por f(x)=x^9+x^8+...+1
 
PS:
pensei no seguinte...
P(x)= (x^1110-1)/(x^111-1)
f(x)= (x^10-1)/(x-1)
 
P(x)/f(x)= ((x^1110-1)/(x^111-1)) * ((x-1)/(x^10-1))= A*B
Bem..é verdade que:x^1110-1 é div. por x^111-1 e por x^10-1
resta-nos provar que é pelo produto deles...
vejamos:podemos cortar o x-1 em B
logo, falta-nos provar que x^9+x^8+...+1(decomp. de x^10-1 cortando com x-1) não tem fator comum com x^111-1=(x-1)(x^110+...+1)...COMO DEMONSTRO???
 
Caso tenho solução mais interessante favor enviar...
 
Abraços
Vinícius Meireles Aleixo

Re:[obm-l] polinomio...

[Osvaldo Mello Sponquiado]

> Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: 
> 
> Para quais valores de "a" de "n" o polinomio: 
...
 
?
 
Complete a frase
> x^n - ax^(n-1) + ax - 1 
> 
> tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..? 

Atenciosamente, 

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira 

Re: [obm-l] polinomio...

[Artur Costa Steiner]

Para quais  valores de a e de n acontece o que?
Artur


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] polinomio...
Data: 09/12/04 02:24


Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver:

Para quais valores de "a" de "n" o polinomio:
x^n - ax^(n-1) + ax - 1

tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..?


OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=
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=

Re: [obm-l] polinomio homogeneo

[Marcio Afonso A. Cohen]

Claro que não. Pegue um exemplo qualquer tipo f(x,y,z) = -x^2  e
provavelmente voce já vai se dar conta de que nao tem relacao nenhuma.

- Original Message -
From: "leonardo mattos" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, July 02, 2004 11:01 PM
Subject: [obm-l] polinomio homogeneo


> Ola,
>
> Seja f(x,y,z) tal que f(tx,ty,tz)=t²*f(x,y,z), ou seja f eh homogenea de
> grau 2. Isso implica em
> f(x,y,z)>=0 para t<>0?
>
> Um abraço,
> Leonardo
>
> _
> MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
>
> =
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

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Re: [obm-l] Polinomio 2

[Fabio Dias Moreira]

[EMAIL PROTECTED] said:
> Para o Fabio ou qualquer um que puder me explicar:
>
> Duvida 1-
>
> De onde veio a equacao abaixo ?
>
> Q(x) = P(x) - (x+1)^2
> [...]

Eu apenas reparei que P(-1), P(1) e P(2) determinam um polinômio que eu já
conheço, que é (x+1)^2. Se não fosse pelo P(-2), eu já teria resolvido o
problema. Mas é *muito* mais conveniente trabalhar com polinômios cheios
de raízes, e por isso eu escolhi esse Q(x) -- para criar raízes no meu
polinômio.

> Duvida 2-
>
> Nao entendi o final:
>
> ( ... Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do
> segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes,
> teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12 ...)
> [...]

Eu achei um polinômio do terceiro grau que passa pelos pontos dados, mas
até antes desse parágrafo, ainda não demonstrei que é o polinômio de grau
minimo que passa pelos quatro pontos.

(E se você citou os trechos relevantes, não precisava deixar a minha
mensagem *inteira* na resposta)

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


=
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=

Re: [obm-l] Polinomio 2

[Faelccmm]

Para o Fabio ou qualquer um que puder me explicar:

Duvida 1- 

De onde veio a equacao abaixo ?

Q(x) = P(x) - (x+1)^2

Duvida 2-

Nao entendi o final:

( ... Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo
grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que
ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12 ...)



Em uma mensagem de 24/6/2004 11:12:47 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:




Daniel Regufe said:
> Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ...
> Alguem  pode me ajudar?
>
> Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa
> pelos  pontos:
> P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9)
> Determine os coeficientes do polinomio.
> [...]

Note que se o gráfico do polinômio P(x) passa pelos quatro pontos acima,
então

P(-2) = -11
P(-1) = 0
P(1) = 4
P(2) = 9

Mas então Q(x) = P(x) - (x+1)^2 é tal que

Q(-2) = -12
Q(-1) = 0
Q(1) = 0
Q(2) = 0

Logo Q(x) = k(x+1)(x-1)(x-2). Substituindo x=-2,
-12 = k*(-1)*(-3)*(-4) ==> k = 1.

Logo P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) + (x+1)^2.

Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo
grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que
ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira

Re: [obm-l] Polinomio 2

[Fabio Dias Moreira]

Daniel Regufe said:
> Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ...
> Alguem  pode me ajudar?
>
> Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa
> pelos  pontos:
> P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9)
> Determine os coeficientes do polinomio.
> [...]

Note que se o gráfico do polinômio P(x) passa pelos quatro pontos acima,
então

P(-2) = -11
P(-1) = 0
P(1) = 4
P(2) = 9

Mas então Q(x) = P(x) - (x+1)^2 é tal que

Q(-2) = -12
Q(-1) = 0
Q(1) = 0
Q(2) = 0

Logo Q(x) = k(x+1)(x-1)(x-2). Substituindo x=-2,
-12 = k*(-1)*(-3)*(-4) ==> k = 1.

Logo P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) + (x+1)^2.

Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo
grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que
ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

[Leandro Lacorte Recova]

Eu estava brincando. A ideia do Morgado e excelente.  

Leandro. 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of niski
Sent: Wednesday, June 16, 2004 1:14 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

Poxa ai voce exagerou. Quero as ideias dele mas nas notacoes e 
vocabulario atual. Fora que eu nem sei se ele trata disso no Principia.
Vou seguir a ideia do Morgado.

Leandro Lacorte Recova wrote:

> Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). 
> 
> Regards
> 
> Leandro
> Los Angeles, CA
> 
> -Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
> Behalf Of niski
> Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
> 
> Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, 
> Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é 
> muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na 
> forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução 
> sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias 
> historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente 
> ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu 
> pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as 
> ideias originais do Newton?
> Obrigado.
> 

-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

[niski]

Poxa ai voce exagerou. Quero as ideias dele mas nas notacoes e 
vocabulario atual. Fora que eu nem sei se ele trata disso no Principia.
Vou seguir a ideia do Morgado.

Leandro Lacorte Recova wrote:
Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). 

Regards
Leandro
Los Angeles, CA
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of niski
Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, 
Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é 
muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na 
forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução 
sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias 
historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente 
ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu 
pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as 
ideias originais do Newton?
Obrigado.

--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

[Leandro Lacorte Recova]

Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). 

Regards

Leandro
Los Angeles, CA

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of niski
Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, 
Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é 
muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na 
forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução 
sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias 
historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente 
ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu 
pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as 
ideias originais do Newton?
Obrigado.

-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler

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Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

An introduction to the calculus of finite differences
Richardson

==
Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1
CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br
Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
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-- Original Message ---
From: niski <[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wed, 16 Jun 2004 15:55:30 -0300
Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton

> Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora 
> Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O 
> livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio 
> interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas 
> por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga 
> referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por 
> Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos 
> resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, 
> livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado.
> 
> -- 
> Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
> 
> [upon losing the use of his right eye]
> "Now I will have less distraction"
> Leonhard Euler
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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--- End of Original Message ---

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.



Supondo que, por comprimento de arco do polinomio f(x) entre x_1 e x_2 (x_1 < x_2), entende-se o valor de Integral(x_1...x_2) raiz(1 + f'(x)^2)dx, a minha resposta eh a mesma.

on 30.05.04 17:14, J. A Tavares. at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Desculpe, acho q nao me expressei bem.
  Vamos la. Tenhamos  x_1 e x_2  dentro desse intervalo [a,b], com x_1 < x_2. Na regiao delimitada por esses dois pontos vai existir outro polinomio de mesmo grau e com o mesmo comprimento do polinomio dado?Se existir, qtos ?
    Obrigado, 
 J. ATt
 
- Original Message - 
From: claudio.buffara   
To: obm-l   
Sent: Sunday, May 30, 2004 3:21 AM
Subject: Re:[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.

Suponha que a funcao polinomial f:[a,b] -> R tenha um comprimento de arco c.
 
Toda funcao polinomial g:[a,b] -> R dada por g(x) = f(x) + d (d = constante real) tambem vai ter o mesmo grau que f e o mesmo comprimento de arco.
Ou seja, existe uma infinidade nao enumeravel de funcoes polinomiais nas condicoes do enunciado.
 
[]s,
Claudio.
 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Cópia: 
Data: Sat, 29 May 2004 16:14:49 -0300
Assunto: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.
  
>   Dado um polinomio de grau n em R.Se considerarmos um intervalo [a,b] quantos polinomios de mesmo grau existem cujo comprimento do arco no intervalo eh igual ao do polinimio dado? Ou nao existe nenhum outro alem do inicial ? 
>   Se existir algum teorema relacionando isso ou alguma dica UTIL (nao ta em caixa alta a toa) ta valendo. 
>     Obrigado, 
>    J ATt.

Re: Re:[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.

[J. A Tavares.]

  Desculpe, acho q nao me expressei 
bem.
  Vamos la. Tenhamos  x_1 e 
x_2  dentro desse intervalo [a,b], com x_1 < x_2. Na regiao delimitada 
por esses dois pontos vai existir outro polinomio de mesmo grau e com o mesmo 
comprimento do polinomio dado?Se existir, qtos ?
    
Obrigado, 
 
J. ATt
 
- Original Message - 

  From: 
  claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Sunday, May 30, 2004 3:21 AM
  Subject: Re:[obm-l] polinomio x 
  comprimento arco x existencia.
  
  
  Suponha que a funcao polinomial f:[a,b] -> R tenha um comprimento de 
  arco c.
   
  Toda funcao polinomial g:[a,b] -> R dada por g(x) = f(x) + d (d = 
  constante real) tambem vai ter o mesmo grau que f e o mesmo comprimento de 
  arco.
  Ou seja, existe uma infinidade nao enumeravel de funcoes polinomiais nas 
  condicoes do enunciado.
   
  []s,
  Claudio.
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Sat, 29 May 2004 16:14:49 
-0300
  
  


  Assunto:
  [obm-l] polinomio x 
comprimento arco x existencia.
  
  


   
   
  
  

  >   Dado um polinomio de grau n em R.Se 
  considerarmos um intervalo [a,b] quantos polinomios de mesmo grau existem cujo 
  comprimento do arco no intervalo eh igual ao do polinimio dado? Ou nao existe 
  nenhum outro alem do inicial ? 
  >   Se existir algum teorema 
  relacionando isso ou alguma dica UTIL (nao ta em caixa alta a 
  toa) ta valendo. 
  > Obrigado, 
  
  >    
  J ATt.

Re:[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.

[claudio.buffara]

Suponha que a funcao polinomial f:[a,b] -> R tenha um comprimento de arco c.
 
Toda funcao polinomial g:[a,b] -> R dada por g(x) = f(x) + d (d = constante real) tambem vai ter o mesmo grau que f e o mesmo comprimento de arco.
Ou seja, existe uma infinidade nao enumeravel de funcoes polinomiais nas condicoes do enunciado.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Sat, 29 May 2004 16:14:49 -0300




Assunto:
[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.




 
 



>   Dado um polinomio de grau n em R.Se considerarmos um intervalo [a,b] quantos polinomios de mesmo grau existem cujo comprimento do arco no intervalo eh igual ao do polinimio dado? Ou nao existe nenhum outro alem do inicial ? 
>   Se existir algum teorema relacionando isso ou alguma dica UTIL (nao ta em caixa alta a toa) ta valendo. 
> Obrigado, 
>    J ATt.

Re: [obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito

[Claudio Buffara]

on 28.04.04 20:24, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> on 28.04.04 19:58, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> 
>> Tome f(x) = x(x-2)(x+2)(x+4)
>> 
>> f(0) = f(2) = f(-2) = f(-4) = 0 que é quadrado perfeito
>> f(-1) = (-1)(-3)(1)(3) = 9 que é quadrado perfeito.
>> 
>> f não é quadrado de nenhum polinômio.
>> 
>> Como eu achei o polinômio? Eu queria 4 raízes inteiras e 1 ponto que fosse
>> quadrado perfeito, utilizei o mathematica para obter o polinômio usando
>> interpolação.
>> 
>> [ ]'s
>> 
> Legal!
> 
> Proxima pergunta: existe algum inteiro positivo m tal que se f(n) eh
> quadrado perfeito para m valores inteiros distintos de n, entao f(x) eh
> quadrado de algum polinomio?
> 
Pelo menos em grau 2, a resposta eh nao.
Exemplo: f(x) = 2x^2 + 1 nao eh quadrado de nenhum polinomio.
No entanto, existe uma infinidade de inteiros n tais que 2n^2 + 1 = m^2,
pois a equacao de Pell 2x^2 - y^2 = 1 tem infinitas solucoes.

Nao faco ideia do que acontece em grau 4.

[]s,
Claudio.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito

[Claudio Buffara]

on 28.04.04 19:58, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Tome f(x) = x(x-2)(x+2)(x+4)
> 
> f(0) = f(2) = f(-2) = f(-4) = 0 que é quadrado perfeito
> f(-1) = (-1)(-3)(1)(3) = 9 que é quadrado perfeito.
> 
> f não é quadrado de nenhum polinômio.
> 
> Como eu achei o polinômio? Eu queria 4 raízes inteiras e 1 ponto que fosse
> quadrado perfeito, utilizei o mathematica para obter o polinômio usando
> interpolação.
> 
> [ ]'s
> 
Legal!

Proxima pergunta: existe algum inteiro positivo m tal que se f(n) eh
quadrado perfeito para m valores inteiros distintos de n, entao f(x) eh
quadrado de algum polinomio?

[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito

[Domingos Jr.]

Tome f(x) = x(x-2)(x+2)(x+4)

f(0) = f(2) = f(-2) = f(-4) = 0 que é quadrado perfeito
f(-1) = (-1)(-3)(1)(3) = 9 que é quadrado perfeito.

f não é quadrado de nenhum polinômio.

Como eu achei o polinômio? Eu queria 4 raízes inteiras e 1 ponto que fosse
quadrado perfeito, utilizei o mathematica para obter o polinômio usando
interpolação.

[ ]'s

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] POLINOMIO

[Claudio Buffara]

Aqui vai a dica:

Se p(x) eh redutivel sobre Q, entao, pelo lema de Gauss, existem f(x) e
g(x), ambos nao constantes, de coeficientes inteiros, e tais que p(x) =
f(x)*g(x).

Eh claro que grau(p) = grau(f) + grau(g) = 2n.

Como p(x) eh sempre positivo, f e g devem ter o mesmo sinal, que podemos
supor s.p.d.g. que eh positivo.

Como p(a_1) = p(a_2) = ... = p(a_n) = 1, temos que:
f(a_1)*g(a_1) = ... = f(a_n)*g(a_n) = 1

Pergunta: O que podemos dizer sobre os graus de f(x) e g(x)?


[]s,
Claudio.


on 02.04.04 10:41, [EMAIL PROTECTED] at
[EMAIL PROTECTED] wrote:

> p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos.
> k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2
> Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa...
> 
> 
> 
> -- Mensagem original --
> 
>> Oi, pessoal:
>> 
>> A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar
>> de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma
> idéia
>> (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um
> polinômio
>> de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou
>> quando escreveu:
> 
>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios
>> de qualquer grau).
>> 
>> O problema é o seguinte:
>> 
>> Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois.
>> Prove que o polinômio:
>> p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1
>> é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais).
>> 
>> Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> De:[EMAIL PROTECTED]
>> 
>> Para:[EMAIL PROTECTED]
>> 
>> Cópia:
>> 
>> Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300
>> 
>> Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO
>> 
>> 
>> 
>>> Warley wrote:
>>> 
 Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
 
 a)P(0)=4
 b)P(0)=3
 c)P(0)=9
 d)P(0)=2
 e)nra
>>> 
>>> Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator
>>> de P(x)-1. Logo,
>>> 
>>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
>>> 
> 
>>> Onde k é uma constante real.
>>> 
>>> Se P(6)=0, então
>>> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
>>> -1=k.5!
>>> k=-1/120
>>> 
>>> Logo,
>>> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
>>> e portanto
>>> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
>>> P(0)=2
>>> 
>>> e resposta é (d)
>>> 
> 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] POLINOMIO

[peterdirichlet2002]

p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos.
k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2
Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa...



-- Mensagem original --

>Oi, pessoal:
>
>A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar
>de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma
idéia
>(que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um
polinômio
>de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou
>quando escreveu:

>P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios
>de qualquer grau).
>
>O problema é o seguinte:
>
>Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois.
>Prove que o polinômio:
>p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1
>é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais).
>
>Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>De:[EMAIL PROTECTED]
>
>Para:[EMAIL PROTECTED]
>
>Cópia:
>
>Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300
>
>Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO
>
>
>
>> Warley wrote:
>>
>> > Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
>> > 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
>> >
>> > a)P(0)=4
>> > b)P(0)=3
>> > c)P(0)=9
>> > d)P(0)=2
>> > e)nra
>>
>> Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator
>> de P(x)-1. Logo,
>>
>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
>> 

>> Onde k é uma constante real.
>>
>> Se P(6)=0, então
>> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
>> -1=k.5!
>> k=-1/120
>>
>> Logo,
>> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
>> e portanto
>> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
>> P(0)=2
>>
>> e resposta é (d)
>> 

>> 
>> Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
>> [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
>> -- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =
>> 


-O QUE FAREMOS AMANBHA A NOITE CEREBRO?

-AQUILO QUE FAZEMOS TODAS AS NOITES, PINKY:
TENTAR CONQUISTAR O MUNDO!!


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=

Re: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Mar 31, 2004 at 05:55:48AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em
> qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se
> lembrar e nao for muito complicado (no momento naum
> estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh
> muito trivial), seria possivel alinhavar a
> demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P
> eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0?
> 
> Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas
> no caso geral eh mais complicado.

Se o corpo for o dos reais ou complexos, o conjunto das
matrizes com espectro simples (nenhum autovalor repetido)
forma um aberto denso e todas estas são diagonalizáveis.
Ora, a identidade p_A(A) = 0, devidamente expandida,
vira q(a11, a12, ..., ann) = 0 onde q é um certo polinômio
de coeficientes inteiros. Se este polinômio se anula num
aberto denso é pq ele é identicamente 0. Isto prova que
p_A(A) = 0 para qualquer matriz e qualquer corpo de coeficientes.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, Artur:

A demonstração-padrão usa a matriz adjunta clássica (transposta da matriz
dos cofatores) e está aqui:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/ham_cayley
ou aqui:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51991.html

Mas você vai gostar mesmo é dessa aqui:
www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/1995.2/rosoff.ps

[]s,
Claudio.

- Original Message -
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, March 31, 2004 10:55 AM
Subject: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz


> Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em
> qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se
> lembrar e nao for muito complicado (no momento naum
> estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh
> muito trivial), seria possivel alinhavar a
> demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P
> eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0?
>
> Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas
> no caso geral eh mais complicado.
>
> Artur
>
> __
> Do you Yahoo!?
> Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.
> http://taxes.yahoo.com/filing.html
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] POLINOMIO

[claudio.buffara]

Oi, pessoal:
 
A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma idéia (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um polinômio de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou quando escreveu:
P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios de qualquer grau).
 
O problema é o seguinte:
 
Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois.
Prove que o polinômio:
p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1
é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais).
 
Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




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[EMAIL PROTECTED]




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Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] POLINOMIO




 
 
> Warley wrote:
> 
> > Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
> > 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
> > 
> > a)P(0)=4
> > b)P(0)=3
> > c)P(0)=9
> > d)P(0)=2
> > e)nra
> 
> Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator
> de P(x)-1. Logo,
> 
> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
> 
> Onde k é uma constante real.
> 
> Se P(6)=0, então
> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
> -1=k.5!
> k=-1/120
> 
> Logo,
> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
> e portanto
> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
> P(0)=2
> 
> e resposta é (d)
> 
> 
> Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
> [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
> -- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
> 

Re: [obm-l] POLINOMIO

[niski]

Note que se P(m) = m então P(x) = (x-m).Q(x) + m ou seja
P(x) - m = (x-m).Q(x)
Assim, do enunciado vem que
P(x) - 1 = (x-1).Q1(x)
P(x) - 1 = (x-2).Q2(x)
P(x) - 1 = (x-3).Q3(x)
P(x) - 1 = (x-4).Q4(x)
P(x) - 1 = (x-5).Q5(x)
Veja que o polinomio P(x) -1 é divisivel por (x-1), (x-2), ...,(x-5) ou 
seja é divisivel pelo produto deles. Temos entao

P(x)-1 = k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) (k real != 0)

Use o fato que P(6) = 0 e
-1 = k(5)(4)(3)(2)(1)
temos que k = -1/120
Assim
P(x) = (-1/120)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1
P(0) = 2
Warley wrote:
E aí pessoal? Já tentei de tudo e não consegui resolver o problema que 
segue.
Alguem pode me ajudar?
 
Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
 
a)P(0)=4
b)P(0)=3
c)P(0)=9
d)P(0)=2
e)nra
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] POLINOMIO

[Ricardo Bittencourt]

Warley wrote:

Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
 
a)P(0)=4
b)P(0)=3
c)P(0)=9
d)P(0)=2
e)nra
Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator
de P(x)-1. Logo,
	P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

	Onde k é uma constante real.

Se P(6)=0, então
P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
-1=k.5!
k=-1/120
Logo,
P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
e portanto
P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
P(0)=2
	e resposta é (d)


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]   "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel

[Claudio Buffara]

Oi, Rafael:

Obrigado pela referencia. E os outros problemas da lista do Zagier tambem
sao bem legais (e nada triviais...).

Um abraco,
Claudio.

on 04.03.04 02:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> Cláudio,
> 
> Conheci esse problema não faz muito tempo. A demonstração dele está aqui:
> http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Solution3.1.html.
> 
> 
> Abraços,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> 
> 
> - Original Message -
> From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Wednesday, March 03, 2004 5:33 PM
> Subject: [obm-l] Polinomio Irredutivel
> 
> 
> Oi, pessoal:
> 
> O problema abaixo deve ser manjado, mas como eh bonitinho, resolvi mandar
> pra lista:
> 
> Seja (a_n a_(n-1) ... a_2 a_1 a_0) a representacao decimal de um numero
> primo. Prove que o polinomio p(x) = a_n*x^n + ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0 eh
> irredutivel sobre os racionais.
> 
> Por exemplo, 123457 eh primo.
> Portanto, x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 7 eh irredutivel sobre Q.
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este problema e superdivertido
Vamos supor por absurdo que o Claudio esta
errado.
Veja que se q e esse primo entao q=p(10)
Assim, ao fatorarmos o polinomio p em complexos
ja da para tirar algumas conclusoes.Se eu nao me
engano, ao tirar os modulos (em |C) ve-se que as
raizes sao grandes:
p(x)=A(x-z1)(x-z2)...(x-zn)
onde as raizes podem ser multiplas.
Ai voce fatora p=p´*p'',calcula p(10), ve os
modulos e confere que as duas coisas sao maiores
que 1, absurdo.
Me desculpe o mau jeito, e que eu acabo de entrar
na USP de Sao Carlos e to usando o Linux de ca, e
daqui a pouco to tendo que ir que ja to
e-n-l-o-u-q-u-e-c-i-d-o de sono.Depois eu volto
para contribuir com a Lista.

Te maisAss.:Johann

 --- Claudio Buffara
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi,
pessoal:
> 
> O problema abaixo deve ser manjado, mas como eh
> bonitinho, resolvi mandar
> pra lista:
> 
> Seja (a_n a_(n-1) ... a_2 a_1 a_0) a
> representacao decimal de um numero
> primo. Prove que o polinomio p(x) = a_n*x^n +
> ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0 eh
> irredutivel sobre os racionais.
> 
> Por exemplo, 123457 eh primo.
> Portanto, x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 7
> eh irredutivel sobre Q.
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel

[Rafael]

Cláudio,

Conheci esse problema não faz muito tempo. A demonstração dele está aqui:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Solution3.1.html.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, March 03, 2004 5:33 PM
Subject: [obm-l] Polinomio Irredutivel


Oi, pessoal:

O problema abaixo deve ser manjado, mas como eh bonitinho, resolvi mandar
pra lista:

Seja (a_n a_(n-1) ... a_2 a_1 a_0) a representacao decimal de um numero
primo. Prove que o polinomio p(x) = a_n*x^n + ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0 eh
irredutivel sobre os racionais.

Por exemplo, 123457 eh primo.
Portanto, x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 7 eh irredutivel sobre Q.

Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

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Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel

[Claudio Buffara]

on 03.03.04 23:08, David at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> hehehe... desculpe o meu abestalhamento,
> mas o que é um polinomio irredutivel sobre os racionais?
> 
> Irredutivel = não-redutivel
> 
> Vc poderia dar um exemplo, bem simples, de um polinomio redutivel
> sendo reduzido?
> 
> 
Polinomio irredutivel sobre os racionais = polinomio que nao pode ser
expresso como produto de polinomios nao constantes de menor grau com
coeficientes racionais.

p(x) = x^2 - 2 eh irredutivel sobre Q;

p(x) = x^2 - 2 eh redutivel sobre R, pois p(x) = (x + sqrt(2))(x - sqrt(2))

q(x) = x^4 + 6x^3 + 16x^2 + 23x + 24 eh redutivel sobre Q, pois:
q(x) = (x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 8)

Note que este ultimo exemplo mostra que um polinomio pode ser redutivel
sobre Q mesmo que suas raizes nao sejam racionais (no caso, nao sao nem
reais).

Espero que tenha ficado claro.

Um abraco,
Claudio. 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Polinomio Irredutivel

[David]

hehehe... desculpe o meu abestalhamento,
mas o que é um polinomio irredutivel sobre os racionais?

Irredutivel = não-redutivel

Vc poderia dar um exemplo, bem simples, de um polinomio redutivel
sendo reduzido?


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinomio divisivel por m

[yurigomes]

 Pronto! Soh um detalhe. O argumento que fiz abaixo mostra que existe n
tal que f(n)=0 (mod p) qdo p é diferente de 13 e 17. Para completar essa
parte, basta observar que 
 (17/13) = (4/13) = (2/13)^2 = 1.
e que pela lei de reciprocidade quadrática:
 (13/17)= (-1)^(6x8).(17/13) = 1.
 Para o caso de achar n tal que f(n)= 0 ( mod p^k), vamos usar o seguinte
lema:
  Seja f(x) in  Z[x] e A um inteiro que não  divide o coeficiente líder
de f. Se existe n tal que f(n)= 0 (mod A) e  f´(n) != 0 (mod A), então para
todo k natural existe n_k tal que 
 f(n_k)= 0 (mod A^k).
 Daí, basta ver que os m que encontramos no argumento inicial satisfazem
o lema, e o resultado segue.  

 Ateh mais, 
 Yuri
-- Mensagem original --

>  Oi Claudio,
>  Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1
>até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que
>
>  f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i), 
> pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo:
>  m = n_1 ( mod p_1^a_1)
>   .
>   . 
>   .
>  m = n_k ( mod p_k^a_k)
> e como a = b ( mod T ) => f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue. 
>  Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar
>por indução. Observe o seguinte:
>  p=2: basta tomar x ímpar.
>  p>2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo
>de Legendre. Então: 
>  (13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1.
>  Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario
>(13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1
>  Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 =
0
>( mod p ). 
>  Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho!
> Ateh mais, 
>  Yuri
>
>-- Mensagem original --
>
>>Oi, pessoal:
>>
>>Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel
>>3
>>desse ano (3a. fase):
>>
>>Prove que, para todo inteiro m (m <> 0), existe um inteiro x tal que:
>>P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221)
>>eh divisivel por m.
>>
>>(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao
>para
>>todo m <> 0)
>>
>>Um abraco,
>>Claudio.
>>
>>=
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>=
>>
>
>[]'s, Yuri
>ICQ: 64992515
>
>
>--
>Use o melhor sistema de busca da Internet
>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>
>
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>

[]'s, Yuri
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Polinomio divisivel por m

[yurigomes]

  Oi Claudio,
  Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1
até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que

  f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i), 
 pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo:
  m = n_1 ( mod p_1^a_1)
   .
   . 
   .
  m = n_k ( mod p_k^a_k)
 e como a = b ( mod T ) => f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue. 
  Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar
por indução. Observe o seguinte:
  p=2: basta tomar x ímpar.
  p>2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo
de Legendre. Então: 
  (13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1.
  Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario
(13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1
  Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 = 0
( mod p ). 
  Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho!
 Ateh mais, 
  Yuri

-- Mensagem original --

>Oi, pessoal:
>
>Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel
>3
>desse ano (3a. fase):
>
>Prove que, para todo inteiro m (m <> 0), existe um inteiro x tal que:
>P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221)
>eh divisivel por m.
>
>(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao
para
>todo m <> 0)
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Polinomio(IME)

[Paulo Rodrigues]

- Original Message -
From: "leonardo mattos" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, September 18, 2002 9:29 AM
Subject: [obm-l] Polinomio(IME)


> Ola pessoal,
> Prove que x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 é divisivel por
x^9+x^8+x^7+...+x+1.
>  Um abraço,Leonardo
>

Esse problema apareceu na lista em agosto
(http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html)

Para provar que um polin^omio P 'e divis'ivel por um polin^omio Q
basta mostrar que toda raiz de Q 'e raiz de P. No seu exemplo,
Q = (x^10 - 1)/(x - 1), ou seja, as raizes de Q s~ao as ra'izes
10as de 1, exceto 1. Assim se z 'e uma raiz de Q temos z^111 = z,
z^222 = z^2, ..., z^999 = z^9 e portanto P(z) = Q(z) = 0. []s, N.


=
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O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] polinomio

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

 Eu nao sei direito mas acho que usa complexos
  "adr.scr.m" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
gostaria de uma ajuda nessa questao,P(x) eh um polinomio de grau 3n tal queP(0)=P(3)=...=P(3n)=2P(1)=P(4)=...=P(3n-2)=1P(2)=P(5)=...=P(3n-1)=0e P(3n+1)=730Determine n.[]'s.Obrigado.Adriano.__AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado!Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
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