Re: [obm-l] Desigualdade
[EMAIL PROTECTED], 15/04/2006]: > > Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1. > Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr. > > [...] Isso equivale a provar que 7(p+q+r)(pq+qr+rp) <= 2(p+q+r)^3 + 9pqr, ou seja, 7(p^2*q + ...) + 21 pqr <= 2*(p^3 + q^3 + r^3) + 6(p^2*q + ...) + 21pqr <=> 2p^3 + 2q^3 + 2r^3 >= p^2*q + p*q^2 + q^2*r + q*r^2 + r^2*p + r*p^2 o que é trivial já que p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p pela desigualdade do rearranjo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisores de X
On Mon, 2006-01-30 at 00:41 -0200, Marcelo Salhab Brogliato wrote: > Se os divisores de um número foram iguais aos divisores de outro > número, então, eles são o mesmo número. > [...] Você resolveu o problema fazendo a suposição (perfeitamente natural) que D(n) só está definido para n natural (com o perdão do trocadilho). Se n puder ser negativo, há também a possibilidade x^2 - 1 = 3 - 3x, dando soluções x = 1 (repetida) ou x = -4 (de fato, D(15) = D(-15)). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigo
On Thu, 2005-11-24 at 11:35 -0200, Rodrigo Augusto wrote: > bom dia gente, > > como eu faço pra calcular o cos de 261º? > [...] cos 261 = cos (72 + 72 + 72 + 45). Usando repetidamente a fórmula da soma, é fácil obter uma expressão explícita para o valor de cos 261, que dependa apenas de somas, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raízes quadradas. Mas é mais fácil comprar uma calculadora científica de dez contos no camelô mais próximo da sua casa. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote: > Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: > > > Boa noite pessoal, > > > > > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma > > > log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... > > > Alguma ajuda? > > > > log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log > > n. > > Tem razão, agora essa função também é limite inferior? Mais ou menos... Não é muito difícil ver que log k + log (n-k) > (log n) / 2 para todo n >= 3 e 0 < k < n. Logo log 1 + log 2 + ... + log n > (n * log n) / 4 para todo n suficientemente grande. []s, > []s, > > -- > Fábio Dias Moreira > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > -- > Denisson > > "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer: > É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível > aos olhos!" (Saint Exupèrry) -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote: > Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: > > > Boa noite pessoal, > > > > > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma > > > log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... > > > Alguma ajuda? > > > > log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log > > n. > > Tem razão, agora essa função também é limite inferior? Mais ou menos... Não é muito difícil ver que log k + log (n-k) > (log n) / 2 para todo n >= 3 e 0 < k < n. Logo log 1 + log 2 + ... + log n > (n * log n) / 4 para todo n suficientemente grande. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: > Boa noite pessoal, > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 > + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... > Alguma ajuda? log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log n. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subconjuntos de R
[17/10/2005, [EMAIL PROTECTED]: > O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido > esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos > esta discussao, a solucao eh bem obvia: > Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos > reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I > eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um > subconjunto proprio de R. > Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I > como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. > Isto > certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r >0 para todo n, sendo > r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge. > Artur Enumere os racionais do intervalo [-3, 3] como p_1, p_2, ... e faça r_(2^n) = p_n; enumere R \ [-3, 3] com os elementos da enumeração r que sobraram; escolha x_n = 1/n. Então o intervalo [-2, 2] só pode ser coberto com intervalos com centro em [-3, 3]. Mas |I inter [-2, 2]| <= 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 < |[-2, 2]|, logo I != R. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpi8418VFsP2.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] NOVA trigonometria?
[17/09/2005, [EMAIL PROTECTED]: > Um pesquisador (que me pareceu serio) esta propondo uma nova > trigonometria supostamente melhor, mais elegante e funcional do que a > usual. Basicamente ele se propoe e jogar fora os conceitos de seno, > cosseno e angulo e distancia (!!) > > Gostaria da opiniao dos participantes da lista. A pagina do cara com > alguns sample chapters estao em > > http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm > [...] A impressão que eu tenho do livro dele é que ele pegou um livro de geometria e trigonometria e elevou ao quadrado (e eu sinto *muita* vontade de dizer "literalmente"). O livro dele, de um ponto de vista estritamente matemático, parece correto. Mas eu tenho algumas críticas: * Nos problemas de "trigonometria clássica", ele faz questão de sempre escrever explicitamente os ângulos envolvidos, mesmo que eles possam (e em geral, podem) ser expressos como arco senos ou arco cossenos, afirmando que cálculo é necessário para compreender essas funções. Isso é patentemente falso -- são raras as ocasiões em que é necessário calcular explicitamente ângulos, exceto possivelmente para dar a resposta final -- veja qualquer problema de geometria resolvido por trigonometria na Eureka! (lembrando que todos esses problemas foram resolvidos sem calculadora) * No exemplo que ele dá, que também é criticável segundo os pontos acima, ele afirma que sqrt(7) é uma grandeza fundamental do problema. Além de essa ser uma afirmação extremamente vaga (eu poderia afirmar também que arccos(3/4) é uma grandeza fundamental), o livro erra ao dizer que ela não aparece na solução tradicional, pois alfa também é igual a arcsen(sqrt(7)/4). * Para um livro que começa mencionando tanto a dependência da geometria tradicional em raízes quadradas, logo o primeiro exemplo dá uma "quadratura" que tem uma raiz quadrada (e se o problema fosse um pouquinho mais complicado, introduziria radicais duplos na história também). * E além disso, para calcular o "afastamento" de duas retas r e s, sabendo o afastamento de r a t e de s a t, você vai precisar tirar umas raízes quadradas no meio do caminho, e portanto ter um sinal a determinar... Por isso, eu acho que apesar da idéia desse livro ser bonitinha, ela não tem tantos méritos assim. Mas valeu a tentativa... []s, -- Fábio Dias Moreira pgpH4FtOh48OC.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] problema - multiplos de 5, 7, 9 e 11
[04/09/2005, [EMAIL PROTECTED]: > olá, > > recebi o problema abaixo de um amigo, e estou tendo dificuldades para > resolvê-lo. > > "seja 'a' um número inteiro positivo tal que 'a' é múltiplo de 5, 'a+1' > é múltiplo de 7, 'a+2' é múltiplo de 9 e 'a+3' é múltiplo de 11. > determine o menor valor que 'a' pode assumir." Como 5, 7, 9 e 11 são ímpares, é fpacil ver que o problema é equivalente a achar o menor valor de a tal que 2a é múltiplo de 5, 2a + 2 é múltiplo de 7, 2a + 4 é múltiplo de 9 e 2a + 6 é múltiplo de 11. Nesse problema, obviamente 2a = 5 é a menor solução, logo o menor valor de 2a possível é 5. "Mas espere aí", você poderia reclamar, "isso não dá um valor de a inteiro!" Essa objeção está perfeitamente correta -- e por isso, precisamos, na realidade, procurar a menor solução onde 2a é par. Mas como 5, 7, 9 e 11 são todos primos entre si, a distância entre soluções consecutivas é 5*7*9*11, logo o próximo valor possível de 2a é 5 + 5*7*9*11. Logo o menor valor possível de a é (5 + 5*7*9*11)/2 = 1735. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpV5ACz7VdUs.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Re: [obm-l] alguém conhece os triangulos e sabe utilizá-los...e não consigui mais material pel o google...
[27/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: > tipo que matemáticamente vc consegue saber qual sua soma ou então seu > termo geral... > ... > falem alguma aí...só para mim testar pra ver se consigo... 1^1, 2^2, 3^3, 4^4, 5^5, 6^6, 7^7, ..., n^n, ... []s, -- Fábio Dias Moreira pgp8IEtBcmB1Z.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Ola podem me ajudar??
RAfitcho said: > é muito pratica essa resposta.. mas nao posso escrever isso em uma prova > discursiva se é que me entende... > > [...] Porquê não? A solução do Dirichlet está indiscutivelmente certa, e receberia pontuação máxima em qualquer banca de correção razoável. (Naturalmente, a questão é *quantas* bancas de correção no Brasil podem ser consideradas razoáveis...) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha
elton francisco ferreira said: > um agricultor quis repartir as vacas que possuía entre > seus filhos e notou que se dsse 3 vacas a cada um, > restariam 24 vacas, e, se lhes desse 7 vacas, daria > todas as vacas. quantos filhos tinha o agricultor? > [...] Imagine que o agricultor distribuiu três vacas para cada filho. Depois de notar que sobraram 24 vacas, ele pensa: "Poxa! Sobraram tantas vacas! Eu bem que podia ser mais generoso e distribuir mais vacas para os meus filhos! Ao invés de três, vou dar sete vacas para cada um!" Ora, se você já tem três vacas, você só precisa de mais quatro vacas para ficar com sete vacas. Logo, sabemos que o agricultor, depois de dar mais quatro vacas para cada filho, ficou sem nenhuma sobra -- ou seja, distribuindo quatro vacas a mais para cada filho, ele distribuiu 24 vacas no total. Pergunta: quantos filhos o agricultor tem? []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lógica
Nicolau C. Saldanha said: > On Mon, Aug 22, 2005 at 03:57:26PM -0300, Marcelo Roseira wrote: >> [...] >> >> Sejam as proposições: >> >> P: Maria está na Itália. >> Q: Jorge é espanhol. >> R: Luíza não está na Itália. >> >> A proposição composta representada por >> [~(~P∧Q)∧~R] pode ser descrita por: > > Não entendo estes caracteres estranhos. Suponho que ~ seja "NÃO", > que & seja "E" mas #8743; eu não sei o que é. Talvez no seu cliente de > e-mail isto apareça de outra forma? > > [...] Certamente o "∧" é um "e" -- isso é a representação do síbolo em HTML. > [...] >> >> A) Luíza está na Itália e ou Maria está na Itália ou >> Jorge é espanhol; >> B) Luíza está na Itália e ou Maria está na Itália ou >> Jorge não é espanhol; >> C) Maria e Luíza estão na Itália ou Jorge não é >> espanhol; >> D) Maria e Luíza não estão na Itália e Jorge é >> espanhol; >> E) Maria está na Itália e Luíza não está na Itália e >> Jorge é espanhol. > > Para mim, "e ou" é um barbarismo, uma afronta tanto à lingua > portuguesa quanto à lógica. > > [...] Eu acho (apesar de que eu concordo que é estranho) de que a interpretação que o enunciado queria era que a alternativa (a) fosse lida como Luíza está na Itália e (ou Maria está na Itália ou Jorge é espanhol) onde os parênteses têm o significado matemático (e, no caso, o que está dentro dos parênteses seria um "ou exclusivo"). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema do casal de filhos
[21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: > [21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: >> >> Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um >> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um >> menino, se >> >> (i) sabe-se que a outra criança é mais nova >> >> (ii) nada se sabe sobre a outra criança >> >> A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por >> que >> > Digamos que H representa um filho homem e M uma filha mulher. > Como o casal teve dois filhos, as possibilidades são (na ordem mais velha, > mais nova): > H, H > H, M > M, H > M, M > Na primeira situação descrita no problema, sabemos que a criança mais velha > é um menino. Só podemos ter duas das quatro situações acima: > H, M > H, H > Ou seja, para a outra criança (a mais nova) ser um menino, só há uma > situação entre duas possíveis. Por isso que a probabilidade é 1/2. > Na segunda situação, só sabemos que uma das duas crianças é menino. Ou seja, > das quatro situações possíveis, estamos lidando com apenas três (as que > possuem no mínimo um H): > H, H > H, M > M, H > Assim, temos apenas 1 entre 3 possibilidades que satisfazem o enunciado. > Portanto, para a situação 2, a probabilidade é 1/3. > []'s > Kufner > www.cursinho.hpg.com.br <http://www.cursinho.hpg.com.br> Sim, mas nos casos (H, M) e (M, H) a probabilidade do menino, e não a menina, entrar na sala, é 1/2 (afinal de contas, o enunciado não diz nada que poderia sugerir uma assimetria entre um eventual menino e uma eventual menina). Logo os três casos que você mostrou *não têm* a mesma probabilidade -- a probabilidade desses dois casos é, digamos, x, e, como a probabilidade de um menino entrar no caso (H, H) é o dobro da dos outros casos, a probabilidade de (H, H) é 2x. Como a soma das probabilidades é 1, x + x + 2*x = 1 <=> x = 1/4 <=> 2*x = 1/2. Essa é, na realidade, uma aplicação do Teorema de Bayes -- o argumento que eu fiz acima foi uma versão intuitiva da demonstração formal: http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html (E, de fato, (1/4*1)/(1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1) = 1/2 como se poderia esperar.) []s, -- Fábio Dias Moreira pgpFlZRjz0Tts.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Reportagem na TVE
Oi pessoal, Assistam, às dez horas da noite de hoje, na TVE, a reportagem da equipe do Rio que participou da IMC da Bulgária (exceto o Alex, que está de férias na França). Assistam também à reportagem do Bujokas, que vai passar também na TVE, às 10h30min da manhã do próximo domingo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SISTEMA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 samanta <[EMAIL PROTECTED]> said: > Olá Fabio, > > Infelizmente, eu não consegui entender o início: > > "Fatorando a segunda equação, b(3a^2 - b^2) = -2. Se a e b forem inteiros, > há quatro possibilidades para o b, que determinam o valor de a. Delas, > apenas b = 2 e b = -1" > > Como você encontrou esses valores? > > Obrigada pela atenção, > []´s Samanta > [...] Só existem quatro divisores inteiros de -2: -2, -1, 1 e 2, logo b deve ser um deles. b = -2: -2(3a^2 - 4) = -2 <=> 3a^2 = 5, impossível b = -1: -1(3a^2 - 1) = -2 <=> 3a^2 = 3 <=> a^2 = 1. b = 1: 1(3a^2 - 1) = -2 <=> 3a^2 = -3, impossível. b = 2: 2(3a^2 - 4) = -2 <=> 3a^2 = 3 <=> a^2 = 1. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBWolZalOQFrvzGQoRAgHEAJ0X3oHHN76mI1WRyN04usETNBympwCeMv2b P4GZD/sL8+ZMRUicv4G8ZJ8= =b8Mu -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SISTEMA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 samanta <[EMAIL PROTECTED]> said: > Olá amigos, > Existe solução para esse sistema? > > a^3 - 3a(b^2) = -11 > 3(a^2) - b^3 = -2 > [...] O Leandro já respondeu à sua pergunta, mas eu acho que você queria dizer a^3 - 3ab^2 = -11 3a^2b - b^3 = -2 i.e. você quer achar a raiz cúbica de -11-2i. Fatorando a segunda equação, b(3a^2 - b^2) = -2. Se a e b forem inteiros, há quatro possibilidades para o b, que determinam o valor de a. Delas, apenas b = 2 e b = -1 geram a inteiro (e nos dois casos, a^2 = 1). Substituindo na equação de cima, a(1 - 3b^2) = -11. A única possibilidade é b = 2 e a = 1, logo (1 + 2i)^3 = -11-2i. As outras duas soluções do sistema são geradas multiplicando por cis 120. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBWIxBalOQFrvzGQoRAu6kAKC4zFLL/ZkyBKtd3eScxKwuH7e1PgCeKxxc bwclvxj+8oLHqhyJD1V3knI= =ze3k -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PESQUISA ELEITORAL!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: > [...] > A propósito, o que é absurdo nesta declaração "Metade dos entrevistados, > tiveram um desempenho abaixo da média" > [...] Além da vírgula separando sujeito e predicado? Nada; se a distribuição for simétrica, a afirmação é perfeitamente válida. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBJUYhalOQFrvzGQoRAi8IAKCVSfRgKsqD/Lapq3rx6WCsG8a86ACdHP9B 5O/puWUpP4Hfh9vU+1Uz6xk= =rRe0 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
> [...]
> 3) Let S_n be the set of all sum x_1+x_2+...x_n, where
> n>=2, 0<=x_1,...,x_n<="pi"/2 and
> sin(x_1) + sin(x_2) + ... + sin(x_n) = 1
> a) Show that S_n is an interval.
> b)Let l_n be the length of S_n. Find lim(n->infinito)(l_n).
> [...]
[espaço para quem quer pensar no problema]
a) Seja y_i = sen(x_i). Então x_1 + ... + x_n = arcsen(y_1) + ... +
arcsen(y_n), já que os x_i estão restritos ao intervalo [0, pi/2].
Tome então a função f: S -> R que leva (y_1, ..., y_n) em arcsen(y_1) + ... +
arcsen(y_n), e S é o conjunto dos vetores (y_1, ..., y_n) do R^n tais que:
* y_1 + ... + y_n = 1
* 0 <= y_i <= 1 para todo i, 1 <= i <= n.
f é obviamente contínua, e S é obviamente conexo, logo f(S) é conexo, logo é
um intervalo.
b) Lema: f(S) = [n*arcsen(1/n), pi/2]
Prova: O resultado é obviamente verdadeiro para n = 1. Suponha que ele é
válido para n-1.
Pelo teorema do Multiplicador de Lagrange, o único ponto crítico da f é o
ponto (1/n, 1/n, ..., 1/n) (pois df/dy_i = 1/sqrt(1-y_i^2), e os pontos
críticos da f são caracterizados por grad(F) // (1, 1, ..., 1), pois o vetor
(1, 1, ..., 1) é o vetor normal à superfície S). Portanto, um candidato a
ponto de mínimo é (1/n, ..., 1/n) (com valor n*arcsen(1/n)), já que é fácil
ver que a Hessiana de f é uma matriz com zeros fora da diagonal e entradas da
forma y_i/(1-y_i^2)^(3/2) na diagonal, logo é uma matriz positiva definida.
Por outro lado, existem dois tipos de pontos na fronteira de S:
* pontos com algum y_i = 1;
* pontos com algum y_i = 0.
Se y_i = 1, então y_1 = y_2 = ... = y_{i-1} = y_{i+1} = ... = y_n = 0, e a
função vale pi/2. Mas se y_i = 0, a função f se comporta exatamente como no
caso n-1. Logo, pela hipótese de indução, a imagem da fronteira de S por f é
[(n-1)*arcsen(1/(n-1)), pi/2]. Logo o máximo da f, em dimensão n, é pi/2, e o
seu mínimo é n*arcsen(1/n), pois a derivada de x*arcsen(1/x), arcsen(1/x) -
1/sqrt(x^2-1), é sempre negativa se x > 1, pois
arcsen(1/x) < 1/sqrt(x^2-1) <=>
1/x < sen(1/sqrt(x^2-1)), verdadeiro pois sen(1/sqrt(x^2-1)) > 1/sqrt(x^2-1) >
1/sqrt(x^2) = 1/x. Em particular, n*arcsen(1/n) < (n-1)*arcsen(1/(n-1)).
Logo l_n = pi/2 - n*arcsen(1/n). Mas arcsen(1/n) = 1/n + O(1/n^2), logo
lim[n->inf] l_n = lim[n->inf] pi/2 - 1 + O(1/n) = pi/2 - 1.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFBA/QoalOQFrvzGQoRAuTVAJ45AUYJiaCRJlrEKT/5eW9bEUdphQCdHAY5
Aaz53/HZ7CtSOOaV5eatX7k=
=sbcC
-END PGP SIGNATURE-
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Série Infinita
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Flávio Ávila <[EMAIL PROTECTED]> said: > Submeto o seguinte problema: > > Calcule o limite da seqüência, quando n tende a infinito: Sn = 1/n + > 1/(n+1) + ... + 1(2*n). > > Eu acho que já consegui resolver este problema, mas foi há muito e tempo > atrás, e não me lembro como o fiz. Se não me engano o resultado é ln(2). > [...] Como, essencialmente, 1/1 + 1/2 + ... + 1/n = ln n + c + O(1/n), onde c é uma constante positiva, temos que S_n = ln 2n + c + O(1/n) - ln n-1 - c - O(1/n) = ln[2n/(n-1)] + O(1/n), que obviamente tende a ln 2. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBAd93alOQFrvzGQoRAkeYAJ9v2UrI4YLsAiwqU+EJTFwjpEsPAQCgyPnQ PGDJgOwNuvZP2haL4NOOgLM= =Mu7n -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] calculo de área - acho que precisa de integral
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Ralph Teixeira" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Se eu entendi direito o problema... Quadrado ABCD de lado a, centro O, > círculo de centro A e raio a, círculo de centro O e raio a/2. Sejam E e F > os pontos de interseção das duas circunferências. Então o problema é > encontrar área da lua entre os dois arcos EF, é isto? > [...] > Total: a^2/8*(sqrt(7)+2pi-2x-8y) onde x e y são calculáveis como acima > (arccos disso e daquilo). Confira aí se eu errei alguma conta -- o método > certamente funciona, mas é difícil saber se a resposta poderia ser mais > simplificada [...] A gente já resolveu esse problema no treinamento de segunda-feira no IMPA, e a resposta é um número feio que nem esse aí mesmo. >[...] (eu tentei calcular cos(8y+2x) para ver se 8y+2x era um ângulo > conhecido, mas deu 393/4096, que não me parece ser o cosseno de um ângulo > conhecido). :P > [...] E não pode ser mesmo -- um dos problemas propostos da Eureka! 17 é provar que cos(m*pi/n) é racional somente se |n| <= 3, logo os ângulos de 60 e 90 graus são, essencialmente, os únicos que têm cosseno racional. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA/wV2alOQFrvzGQoRArxeAKDQz8MJD43ToTACRvIlojhozbHfdwCgpj6F NM4cO+IqsxCYbA1hdyeka/c= =KOVl -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função Exponencial
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> said:
> Gostaria de saber se existe duas funções reais f e g tais que (fog)(x) =
> e^x.
> [...]
Como outros já responderam, sim, existe: basta tomar f(x) = x e g(x) = e^x.
O mais interessante nesse problema é que existe uma função f: R -> R tal que
(fof)(x) = e^x -- esse é um dos problemas propostos na Matemática
Universitária, no. 35, páginas 41-46.
(espaço para quem quer pensar no problema...)
Cosndiere A_1 = (-1, 0], A_2 = (-inf, -1] e, se A_i = (a_i, b_i], então
A_{i+2} = (e^a_i, e^b_i] (estou definindo e^-inf = 0). É fácil ver que os
A_i's são uma partição de R.
Agora, defina f_i: A_i -> A_{i+1} por f_1(x) = -1/(x+1) e f_{i+1}(x) =
e^(f_i^{-1}(x)), onde f_i^{-1} é a inversa da f_i. Para provar que esta
definição faz sentido, temos que provar que f_i é invertível para todo i.
Isso é verdade para i = 1; suponha a afirmação verdadeira para f_{i-1}. Então
f_i é trivialmente injetora, e é sobrejetora, pois a imagem de f_{i-1}^{-1} é
A_{i-1}, logo a imagem de f_i é a "exponencial" de A_{i-1}, que é A_{i+1}.
Finalmente, defina f(x) = f_i(x), onde i é escolhido de tal forma que x
pertença a A_i. Então
f(f(x)) = f(f_i(x)). Mas f_i(x) pertence a A_{i+1}, logo
f(f(x)) = f_{i+1}(f_i(x)) = e^(f_i^{-1}(f_i(x))) = e^x para todo x real.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFA/aOmalOQFrvzGQoRApaJAJwOwqqzb2/iF37X4BnJ+fPFyHZylQCePqdA
Z9SahgcKCY+ovHQkGILqRWg=
=EbqB
-END PGP SIGNATURE-
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Daniel Regufe" <[EMAIL PROTECTED]> said: From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Re: [obm-l] Polinômio >>Date: Thu, 24 Jun 2004 11:15:04 -0200 >> >>Se A fosse divisivel por B, AC+BD=1 tambem o seria, o que eh absurdo pois >>grau de B >1. >> > > nao entendi a sua prova Morgado ... > [...] Se B dividisse A, então A = QB. Substituindo na equação dada, AC+BD = 1 <=> QBC + BD = 1 <=> B(QC + D) = 1. Logo B tem que dividir 1, absurdo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA2uc9alOQFrvzGQoRAkoJAKCJE/0+m0n2uGt/FLrWXxwfNTYTyQCfe4KA Um9GZonwXhVLddLXw5NvONI= =1Owi -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema combinatoria
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "rafaelc\.l" <[EMAIL PROTECTED]> said: > De quantos modos 720 pode ser dividido em um produto > de três inteiros positivos? > [...] Como 720 = 2^4*3^2*5, a*b*c = 720 ==> a = 2^a1*3^a2*5^a3 b = 2^b1*3^b2*5^b3 c = 2^c1*3^c2*5^c3 com a1+b1+c1 = 4, a2+b2+c2 = 2, a3+b3+c3 = 1. Essas três equações são independentes e têm C(6;2), C(4;2), C(3;2) soluções, respectivamente. Logo o número total de maneiras é 6*5*4*3*3*2/2^3 = 270. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA2aagalOQFrvzGQoRAoZPAJ4tTORpddz1suZ5PgwjNI3fXwoDZgCfd1ai MDotoc4wqsvrRLgfbcZoiI8= =CCZ9 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] poligono
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> said: > (F) Todas sao falsas. > > 22,5 graus eh o angulo central de um poligono de 16 lados. Se X e Y sao > vertices consecutivos, n=16. Se nao forem consecutivos, n serah multiplo de > 16. [...] Mas o ângulo inscrito na circunferência vale metade do ângulo central, logo basta que 8|n, não? O ponto O é um dos vértices do polígono, não o seu centro. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA1hbEalOQFrvzGQoRAv+CAKDKLXKCnP5VutDVaxfh7Ilo9roFkQCfb6s2 uD636mHDGdFisml1THNOMUQ= =TsNf -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]> said: > Desculpe minha ignorância mas será que você poderia ser mais claro??? > > Não consegui ver como demonstrar a partir de tal sequencia!!! > [...] Uma propriedade fundamental de todos os números reais é que eles podem ser tão bem aproximados por racionais quanto queiramos. Logo, se o seu intervalo é [a, b], existe um certo r > a que aproxima a com erro menor que e, para todo e positivo. Em particular, existe um certo r tal que |r - a| < |b - a|. Mas como r > a, isso implica r - a < b - a ==> r < b ==> a < r < b, com r racional. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0vh+alOQFrvzGQoRAoc0AJ0cgBty6LrwFrE2YJJ2PdNJi4WNEQCfbQRI u9bmEnhHG7x/g3g/gSco8VM= =S+LM -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]> said: > Pessoal... > > Dado dois números irracionais, como mostrar que sempre existe (ou não > existe) um numero racional entre eles??? > [...] Considere uma seqüência (r_1, r_2, ...) de aproximações racionais por excesso do extremo inferior. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0nM8alOQFrvzGQoRAgG0AJ9U/RgO1VbIGarm7xtMJ+bPli5eUACdHGzj YJdVaXS3S+nCwNbxSpvK/Dk= =Thbs -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CADEIAS DE MARKOV!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: > [...] > Os hábitos de fumar de um homem são como segue. Se ele fuma cigarros com > filtro numa semana, ele muda para cigarros sem filtro na semana seguinte > com probabilidade 0,2. Por outro lado, a probabilidade de que ele fume > cigarros sem filtro, em duas semanas seguidas é 0,7. A longo prazo, durante > que parte do tempo ele fuma cigarros com filtro? > [...] A matriz de transição da cadeia é 1/10*[8 3; 2 7], que tem apenas um autovetor com autovalor associado igual a 1, que é t*(3, 2). Como a soma das probabilidades tem que valer 1, t vale 5, logo ele fuma cigarros com filtro com probabilidade 3/5 a longo prazo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0OPJalOQFrvzGQoRAvgHAJ9lKn7LfmkOrHAG6nBJLJF0CMbpNwCfSqaW HWD7M5VPbrVDHoVObC15Fe4= =gnoC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] residuos quadráticos (ajuda!!!)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]> said: > Pessoal... > > Estou com uma dúvida para resolver congruencias do tipo x^2 = a (mod p) > onde p é primo impar > [...] > No meio de um exercicio apareceu a seguinte congruência d^2 = 56 (mod > 61)... alguém poderia me ajudar > [...] As únicas propriedades que você precisa saber para calcular um símbolo de Legendre são as seguintes: * (ab/p) = (a/p)(b/p) se (a, b) = 1; * (a^2*b/p) = (b/p); * (p/q)(q/p) = (-1)^[(p-1)(q-1)/4] se p e q são primos ímpares; * (-1/p) = (-1)^[(p-1)/2] se p é primo ímpar; * (2/p) = (-1)^[(p^2-1)/8] se p é primo ímpar; Note que 56 = 2^2*14. Então (56/61) = (14/61) = (2/61)*(7/61) = (-1)*(61/7) = (-1)*(5/7) = -(7/5) = -(2/5) = 1. Se você quiser ver demosntrações dos fatos acima, o livro do Plínio de Teoria dos Números, editado pela SBM, é uma boa referência. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAzn1BalOQFrvzGQoRAjDYAJ4uLHCrRJmVO/ycntCVvzvFWClr3QCfagRy o41Vi2y2wNjozmkHf783dZo= =QD0D -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Ajuda²
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
"Wallace Martins" <[EMAIL PROTECTED]> said:
> Fábio Dias Moreira escreve:
>> [...]
>> [EMAIL PROTECTED] said:
>>> Queria ajuda da turma em algumas questões:
>>>
>>> 1) O produto das raízes do seguinte sistema
>>>
>>> {X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
>>> {raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
>>>
>>> a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
>>> [...]
>> [...]
>> y = 1000
>> x = 1/10
>>
>> x*y = 100.
>> [...]
>
> Fábio,
>
> por que x = 10^{-1} e não x = 10^{2/3}?
> [...]
Porque a minha conta está errada -- obrigado pela correção.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAyIjYalOQFrvzGQoRAtBPAJ9UJJ360mcL5aDOMLuAqvKbjF2AKgCdGHYk
1UkX+adR5+ByJXW0StR4Xlo=
=7YnO
-END PGP SIGNATURE-
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Ajuda²
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
> Queria ajuda da turma em algumas questões:
>
> 1) O produto das raízes do seguinte sistema
>
> {X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
> {raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
>
> a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
> [...]
x^log(y)+y^log(x) = 200
exp(log(x) * log(y)) + exp(log(y) * log(x)) = 200
log(x)*log(y) = log(100)
sqrt(x)^log(y)*y^log(x)=y
exp(log(x)*log(y)/2+log(y)*log(x)) = y
y = exp(log(10) + log(100))
y = 1000
x = 1/10
x*y = 100.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAx2DLalOQFrvzGQoRAp9qAJwP+4eGJSzW+sB696BpoFXEznKeTgCcDo/r
lcAQPmtiQOyRc5kU3Hhtd2s=
=cPUE
-END PGP SIGNATURE-
=
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=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Osvaldo" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo: > > Estritamente crescente; > Estritamente decrescente; > Crescente; > Decrescene; > > Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas acima tem > a prop. de que a derivada de primeira ordem nunca se > anula e os dois restantes que ela nao é nula em todo > intervalo, porem podendo anular se em um subconjunto > do domínio. > [...] Isso se existir uma derivada... []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAwmPZalOQFrvzGQoRAiQpAJ42omajTAASUS5RGweCsCfmbflgdgCeKplY NwLZgculuoTTjeUzrks7FsI= =DjqD -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Aritmética
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "aryqueirozq" <[EMAIL PROTECTED]> said: >Poderiam me ajudar nesta questão? > > Um lojista está disposto a vender um tênis de três > formas: > > I - R$100,00 à vista hoje > II - R$125,00 daqui a um mês > III - Duas parcelas de R$60,00, uma hoje e outra daqui > a um mês. > Se você sabe que a inflação é de 30% ao mês e que 90% > desta é repassado ao seu salário, qual é a melhor opção > de compra? > [...] Isso quer dizer que o dinheiro vale 27% ao mês. Transportando todos os valores para a época atual: I - 100 reais II - 125/1,27 = 98,43 reais III - 60 + 60/1,27 = 107,24 reais A melhor opção é a II. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAwR2balOQFrvzGQoRAp1AAJ0SlQ1Qko5qtuyFK1MUELFCnqS2vACffms1 p1z0jZRbYibX462Zq9cSM88= =b+bZ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números Interessantes
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> said: > > >> Questão: Quantos são os números com 10 algarismo diferentes entre > > >>si e divisível por 1. > > >> Dizer que eles estão incluídos entre os números interessantes está > > >>correto? > > Se um numero de 10 algarismos tem todos os algarismos distintos entao > eh multiplo de 9 (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,4+5=9) > > Queremos entao os multiplos de 9 que tem 10 algarismos, todos eles > distintos > > todos os multiplo de 9 no intervalo [1023456789,9876543210] sao > da forma 9 * ABCDE com A,B,C,D e E inteiros <=9 > > A pergunta entao passa a ser quantos numeros de 5 algarismos quando > multiplicaods por 9 resultam em numeros de 10 algarismos distintos > > ABCDE*9=ABCDE*(10-1)=ABCDE*10-ABCDE= > ABCD(E-1)(9-A)(9-B)(9-C)(9-D)(10-E), fazendo E-1=F para > ficar mais legivel (se eh ki isso eh possivel) > ABCDE*9=ABCDF(9-A)(9-B)(9-C)(9-D)(9-F) > [...] E-1 pode não ser um dígito (neste caso, é fácil ver que o número vai ter dois dígitos 0, mas isso é importante para fechar a demonstração). []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAv8sdalOQFrvzGQoRAtJdAJ0RaC6t0e1+zJj8jgLzoo41IK/M5gCgq6A4 Xx5j/URUkzEH7w/1+n0KLvc= =4fX5 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] VALOR ESPERADO!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: > [...] > A probabilidade de a equipe A vencer qualquer jogo é 1/2. A e B disputam > entre si um torneio. A primeira equipe que conseguir vencer dois jogos em > seguida ou um total de três jogos vence o torneio. Determinar o número > esperado de jogos do torneio. > [...] Dados insuficientes, pois não se sabe a probabilidade de que A e B empatem. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvpHPalOQFrvzGQoRAl3gAKCCtpBZZ+oHEFsFc6z8KNX3UrWWygCbBMA4 cimF0eR//WIE0eJ/9ETrSas= =7EpO -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Nao-Polinomios
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > Continuando na mesma linha... > > Prove que f e g:[-1,1] -> R dadas por: > f(x) = x*|x| e g(x) = x^2*|x| > nao sao funcoes polinomiais. > [...] Isso não segue do fato de que f(x)^2 = x^4 e g(x)^2 = x^6? Se f e g fossem polinômios, só poderiam ser +-x^2 e +-x^3, respectivamente. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvcncalOQFrvzGQoRAvcyAKCH3A2oBt/pzRw4bBcVfi0uJQGuHQCg2QMa Im0ygL3/7lZrx3KjN7PyVzE= =e6M8 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > Uma versao um pouco mais dificil: > > Sejam a e b numeros reais com a < b. > Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) > nao eh uma funcao polinomial. > [...] F'''' = F => F^(4k) = F, mas se F é uma função polinomial de grau n, então F^(n+1) = 0. Mas tomando 4k >= n+1, F^(4k) = F = 0, logo F é identicamente nula, absurdo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvAc9alOQFrvzGQoRAjm/AJ9Ah/0BIP04mSHIWCJocP6ZHMoFJACgqknp +iEe7Grgty5DwhXM78IbWlk= =Xuot -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA 73
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 <[EMAIL PROTECTED]> said: > oi pessoal! Sou o Rafael Lima aluno do Sistema Elite de Ensino- RJ e queria > q vcs me ajuda-se a Fazer essa questão: Seja a equação do 4° > x^4+qx^3+rx^2+sx+t=0 onde q,r,s,t são números racionais não nulos tais que > l,m,n,p são raízes reais dessa equação. o valor de l/mnp + m/lnp + n/lmp + > p/lmn = ??? > [...] Isso é (l^2 + m^2 + n^2 + p^2)/(lmnp). []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAunBxalOQFrvzGQoRApM2AKDl7iEhhg2/OWyFa+w8Zu2e4splPACgrbn1 8JSLsCMbn+lmT+1XP03N71w= =jeX2 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Fabio Contreiras" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : > > A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de > raio R é ? > > > Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R > sqrt(3) ) / 2 ] ! > > ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] > [...] Não existe uma solução plausível porquê a resposta é essa mesmo (3*pi/2*R^2). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAuiG2alOQFrvzGQoRAm7CAKCRL5VaxCHUdfUlFEw+3qT5Qy/MkACg33ud exZ0MGN20tppz698Epo1yUE= =hdQJ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA-95
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Márcio Barbado Jr." <[EMAIL PROTECTED]> said: > Senhores (as) > > Estava analisando o material do cursinho Etapa, no que se refere a > resolucao da prova de matemática do vestibular do ITA (ano 1995). Tenho ca > comigo duvidas acerca da veracidade das afirmações contidas naquele > material, entretanto posso ter esquecido algum teorema que venha a me > calar. Vejam se podem me ajudar, aqui vai o enunciado (logo em seguida > comentarei onde estou tropeçando). E a questao numero 9: > [...] > Daí vem minha duvida, que e a segunda afirmação ali contida. Sem > mais nem menos, o texto afirma que, "SE 5^(1/2) É RAIZ, ENTAO -5^(1/2) > TAMBEM E". > Deste ponto adiante, a apostila usa a primeira relação de GIRARD e > voila!... > > Vejam bem: De fato "-5^(1/2)" será raiz! O problema e a afirmação de > que se lancou mão. > > De forma bastante clara, minha duvida e: A ultima afirmação esta > certa? Por que? Ou por que nao? > [...] Sim, ela está certa. De uma maneira geral, se um polinômio com coeficientes inteiros admite a raiz a + sqrt(b), então ele também admite a - sqrt(b) como raiz. A demonstração é exatamente a mesma que é utilizada para demonstrar que x + yi é raiz <=> x - yi é raiz (de fato, este é um caso particular do caso acima, onde b = -y^2). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAq3sHalOQFrvzGQoRAiQPAKDeDyymuMj2ydnO+TWSKkCrXB2PpACgszH9 ft7A6e4Lxg3S5kBD2Cqk4D4= =Hgv+ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjectura de Goldbach
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Everton A. Ramos (www.bs2.com.br)" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Boa noite... > > "Todo número par é a soma de dois números ímpares" > > ??? > > Sedo X um número par... (X - 1) será ímpar... então (X - 1) + 1 = X > > 1 é ímpar, então... ??? > > Porque isso é tão desafiante? > [...] Porquê não é essa a conjectura de Goldbach -- segundo ela, todo par pode ser escrito como soma de dois ***PRIMOS***. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAkGaualOQFrvzGQoRAh3NAJ9q0U472IGP2Qqvg2dF5ztqHJ+FMwCgy4cZ 6dN8lcjDx3tMNw7kAD9o0EY= =jjEb -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida em identidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Maurizio <[EMAIL PROTECTED]> said: > Estou com dificuldade nesse problema: > > Se G é o baricentro de ABC e P(x,y) é um ponto qualquer, prove que: > > PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+AG^2+BG^2+CG^2 > > Se alguém conseguir resolver ficaria muito grato. > [...] Explore o fato de que |AB|^2 = e use a linearidade do produto interno. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAgH35alOQFrvzGQoRAsZRAJ4msRrLLDZ9v1XAW2j9MTeR8VaWyQCdE1F2 M709CPbnCXYCeDylQCosrHY= =xL/S -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida basica: mdc e mmc, conjunto
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
"[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> said:
> alguem sabe me dizer pq mdc(a,b) x mmc(a,b) = a x b?
>
> existe alguma explicacao/demonstracao?
> [...]
Prove, inicialmente, que max{a, b} + min{a, b} = a + b. Depois disso, pense em
como achar o mmc e o mdc de a e b conhecendo as suas formas fatoradas.
> [...]
>
> e em
>
> n(a) + n(b) = n(a)+ n(b) - n(a inter b)
>
> nos conjuntos, eu consigo o entender pq (os elementos da intersecao sao
> somados duas vezes) intuitivamente. Porem eu estou estudando por um livro
> aki q pede pra provar. Alguem poderia me ajudar?
> [...]
Você quer dizer |A U B| = |A| + |B| + |A inter B|?
Começe calculando o número de elementos de |A - B| em função de |A| e |A inter
B|.
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAfVloalOQFrvzGQoRAt9eAKCBZCDcujV1ZjFi1TgohsPyi94KZwCfVpgq
Xl4PHdoBRpwr7tQrjLFMyF8=
=k7+z
-END PGP SIGNATURE-
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Re: [obm-l] RSA QUEBRA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: > Caros amigos, há um bom tempo a criptografia RSA me chama atenção. Desde > então, venho estudando sua matemática. Hoje, possuo um vasto trabalho > realizado na possível quebra de qq RSA, com a montagem de um algoritmo > geral ou com pequenas modificaçãoes. Gostaria de ter a opinião da lista > sobre a possibilidade de quebrar RSA, tão facilmente como somar 2 e 2. > Espero em breve, mostrar meus resultados e poder discutí-los com todos > voces. Sei da importância q RSA tem para a Internet e segurança de dados. > Opinem. Abraço. > [...] Talvez você goste de saber que US$675.000,00 estão à procura de um novo dono: http://www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAfKwUalOQFrvzGQoRAmZKAJ9j292p0ivzlE8u6qjm64WEyWFMpACgg4gq bI/cRQPE6Yjk8+smpZh7okM= =BLy8 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O JOGO DE RENCONTRE! - CORREÇÃO
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
> COrreçãozinha, em que eu troquei a ordem para não confundir sobre de que é
> o fatorial:
>
> Mais tarde eu espero conseguir explicar, mas creio que a solução é
>
> S = (1/n!)*[ 1 + S_a + S_b ], em que
>
> >>> S_a = Somatório de { A*(n!)/[ (n - 2A)!*2A ] }, com A variando de 1 até
>
> o inteiro menor ou igual a (n - 1)/2
>
> >>> S_b = Somatório de { B*(n!)/[ (n - 2B - 1)!*(2B + 1) ] }, com B
> >>> variando
>
> de 1 até o inteiro menor ou igual a (n - 2)/2
>
> Claro que, para incorporar S_a, devemos ter n >=3 , e, para incorporar S_b,
> devemos ter n >= 4.
> [...]
Para n=5, S_a = 1*5!/(3!*2) + 2*5!/(1!*4) = 10 + 60 = 70, S_b = 1*5!/(2!*3) =
20, logo existiriam 70+20+1 = 91 permutações com rencontres. Mas, na
realidade, só há 76:
01234 01243 01324 01342 01423 01432 02134 02143 02314 02341
02413 02431 03124 03142 03214 03241 03412 03421 04123 04132
04213 04231 04312 04321 10234 10243 10324 10432 12034 12304
12430 13024 13204 13240 14032 14203 14230 20134 20314 20431
21034 21043 21304 21340 21403 21430 23014 23104 24031 24130
30124 30214 30241 31024 31042 31204 31240 31402 31420 32014
32104 34201 34210 40132 40213 40231 41023 41032 41203 41230
41302 41320 42031 42130 43201 43210
(Eu usei um programinha para gerar a lista acima.)
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
http://dias.moreira.nom.br/
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAcMCqalOQFrvzGQoRArbzAKDiTpKoTAzjhyJkCOabtM8uLIRm4gCfVn+W
Et1H9PUYEp0d6WU5JOD+r5Q=
=HDC4
-END PGP SIGNATURE-
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Re: [obm-l] logaritmo
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Guilherme Teles" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Alguem sabe resolver essa: > > 3^log1/3 2 > a base é 1/3 (1 sobre 3) > [...] Para poder simplificar o logaritmo com a exponencial, eu preciso que os dois tenham a mesma base. Por isso, eu faço uma conversão de base, para que apareça algum logaritmo com base 3: log[1/3](2) = log[1/3](3^log[3](2)) = log[3](2)*log[1/3](3). Mas eu sei que (1/3)^(-1) = 3, portanto log[1/3](3) = -1 <=> log[1/3](2) = -log[3](2). Então 3^log[1/3](2) = 3^-log[3](2) = 1/(3^log[3](2)) = 1/2. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAcIagalOQFrvzGQoRAjtEAJ42x3X6Z/gHKNRPhR/ND81Sg1KhRQCdFGPA 2GfUJfitwhdk1zUU46cCgRg= =IxBO -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: probabilidade-reencontre
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 André Zimmermann <[EMAIL PROTECTED]> said: > Também surgiu-me dúvida. > > Uma urna contém n bilhetes numerados 1, 2, , n. Extraem-se os bilhetes > de um a um sem reposição, se aparecer o bilhete numerado r na r-ésima > extração, designa-se isto como um match ou um rencontre. Determinar a > probabilidade de ter pelo menos um rencontre! > > Raciocinio meu: > >A probabilidade de fazer um reencontro é de 1/n a cada rodada pois: > >A cada rodada, o número de bilhetes na urna será de (n-r). A > probabilidade de se retirar o número da vez será 1/(n-r) e a probabilidade > do número procurado ainda estar na urna é igual a (n-r)/n. > >Então [1/(n-r)]x[(n-r)/n] = 1/n. > >Já que a urna contém n bilhetes, repetiremos a operação de retirada n > vezes. > >A probabilidade de se fazer pelo menos um reencontre é n x 1/n. ou seja, > 100%. ?? > [...] Os eventos não são independentes, logo a análise não é tão simples assim. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAb2P1alOQFrvzGQoRAnTxAKDhLFwkphKun6Ps0EYTX23UQnaEMACfT74z zA/X88FNz299A2j+koqYhmY= =oUTL -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "TSD" <[EMAIL PROTECTED]> said: > um determinado fio é constituído de um material que, quando preso a dois > pontos distantes um do outro de 20m e ambos a 13m do solo, toma a forma de > uma parábola, estando o ponto mais baixo do fio a 3m do solo. Assinale a > alternativa que corresponde à parábola no sistema de coordenadas > cartesianas XOY, onde o eixo OY contém o ponto mais baixo do fio e o eixo > OX está sobre o solo. > [...] Inicialmente, note que fios suspensos *não* formam parábolas, mas sim catenárias, que são coisas parecidas com o gráfico de (e^x + e^-x)/2. Pedantismos físicos à parte, note que se os pontos de apoio são os pontos (10, 13) e (-10, 13), então o ponto mais baixo é o ponto (0, 3). Associe à parábola uma função f(x) tal que todos os pontos da parábola são da forma (x, f(x)). Portanto, f(10) = f(-10) = 13 e f(0) = 3. Obviamente, f é quadrática. Considere g(x) = f(x) - 13. Então 10 e -10 são dois zeros de g, logo g(x) = a*(x-10)*(x+10), onde a é um real. Como g(0) = - -10, a*(-10)*10 = -10 <=> a = 1/10. Logo g(x) = (x-10)*(x+10)/10, logo f(x) = (x-10)*(x+10)/10 + 13. Como as alternativas da questão não chegaram aqui, essa é a melhor resposta que eu posso dar. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAb1YbalOQFrvzGQoRAmytAKDAnMNnuzn97j+I85/F8k+fOiM2xACfbeon dRZpXPhtXJ8ltTc/tINuXZQ= =bpms -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: > Prove que, para todo inteiro n maior que 1 e para todo x diferente de zero, > com x maior que -1, tem-se: > > (1+x)^n > (1+nx) > [...] Para n=2 a desigualdade é obviamente verdadeira. Suponha que ela é verdadeira para n. Então (1+x)^(n+1) = (1+x)^n*(1+x) > (1+nx)(1+x) = 1 + nx + x + x^2 > 1 + (n+1)x. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAbe/6alOQFrvzGQoRAh/EAKCBB1XwUynps4iTe5ykLky4VTIdowCeIZBw Z0KdtSt3PAiMClDeJ+RjIAg= =M/XC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números primos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fábio Bernardo <[EMAIL PROTECTED]> said: > Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. > > Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) > existem, tal que x+y = 497. > [...] Se dois números inteiros têm soma ímpar, o que se pode afirmar quanto à paridade deles? []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAai6QalOQFrvzGQoRAoMHAJ9s1kxyh1/hLRKIzAhBWHfoheD/cACfWK3o OIRey25DP/uK6jYJalINLbA= =ZIg1 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
niski <[EMAIL PROTECTED]> said:
> Pessoal, infelizmente não consigo uma boa referencia de estatistica que
> aborde esse assunto(alguem conhece alguma que nao seja o livro do
> Ross?(este esta sempre alugado na minha biblioteca))
>
> Vamos a minha pergunta
> Eu sei que a definição (para o caso discreto) é
> m(t) = E[exp(tX)] = Somatorio(x, ,) exp(tx)*f(x)
>
>
> Ai me aparece essa pergunta
> Sejam X_{0},X_{1} v.a. independentes, X_{0} ~ Poisson(1), X_{1} ~
> Poisson(2),
> e seja Y uma v.a. Bernoulli(p), independente de X_{0},X_{1}. Calcule a
> funcao
> geradora de momentos de X_{Y}
>
> E agora? Como eu aplico a definicao?
> [...]
A função de dstribuição de probabilidade de X_Y é (1-p)*f_0+p*f_1, onde f_0 e
f_1 são as funções de distribuição de probabilidade de X_0 e X_1.
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAY3KEalOQFrvzGQoRAlwnAKCvW63ufW3piPafSbtuHuDXRAwR4QCgqRiO
jfqE+8W+a4Xj1zsWeMdNBUg=
=NZGC
-END PGP SIGNATURE-
=
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Re: [obm-l] P.A
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> said: > 1 - Determine a P.A em que se verificam as > propriedades seguintes: > > a5 + a8 = 130 e a4 + a10 = 140 > [...] a_4 + a_10 = a_5 + a_9. > [...] > 2 - Qual é a P.A finita em que o primeiro termo é 8, o > último termo é 38, e o números de termos é igual a razão? > [...] Se a progressão é (a_0, a_1, ..., a_n), a_n = a_0 + n*r. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXlIXalOQFrvzGQoRAqD8AKCxLiOEWwHIM+ijBEaWo/FijK1JkwCfShpp /4qWh/bRbu+8fBFCgw1NR/A= =YyP5 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema estatistico - trigonometrico
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 niski <[EMAIL PROTECTED]> said: > É dado que X ~ U[-pi, pi] e considere as v.a Y = senX , Z = cosX > Pergunta: As v.a Y,Z são independentes? > [...] Não. A probabilidade de que Y e Z sejam ambas menores que -0.8, por exemplo, é obviamente zero, mas a probabilidade de que Y seja menor que -0.8 é positiva (idem para Z). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXhBmalOQFrvzGQoRAs8AAKDZrlrQDKJX2mDyI+GGttChDydBWwCfdkXC F7tSNvtYjzmuWqEDCSD0PrU= =PZWT -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "aryqueirozq" <[EMAIL PROTECTED]> said: > 1)Determinar as coordenados dos vertices de um > triângulo, sabendo que os > pontos médios dos lados do triângulo são M(-2,1); N > (5,2) e P(2,-3). > [...] Seja M = (A+B)/2; N = (B+C)/2; P = (C+A)/2. A que corresponde o ponto M+N-P? > [...] > 2)Uma prova de múltlipa de escolha com 69 questões, foi > corrigida da > seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos para cada > questao que acertava e > perdia 1 ponto para a questão que ele errava ou deixava > em branco.Se um > aluno totalizou 210 pontos, o nº de questões que ele > acertou é? > A)25 B)30 C)35 D)40 E)45 > [...] Tem certeza de que isto está certo? Como o número de pontos de cada questão é sempre ímpar, independente do fato da questão estar certa ou errada, e o número de questões na prova é ímpar, a pontuação final do aluno só pode ser um número ímpar (o que não é o caso de 210). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXKldalOQFrvzGQoRAuQAAJ9DyOHsGsMtuen7l2uxEmxmV20kJACfddlu 0oahPft1JO/cDuUkP7kbuhk= =jv+W -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida em somatorio
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 niski <[EMAIL PROTECTED]> said: > Pessoal, alguem poderia mostrar como resolver esse somatorio por favor? > (ele veio do calculo da esperança de 1/X onde X segue uma distribuicao > geometrica) > > Somatorio[n=1 , +inf] [(1/n)*p*(1-p)^(n-1)] > [...] Calcule a série de Taylor de ln(1-x) em relação a x. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAWjN9alOQFrvzGQoRAqIbAJ9pSugZjZ+ZqOXjnKg7pkFXC6og5wCfdfyx SA1SpLIBTQ+/HUiWHC3hvWM= =t4cl -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 André Luiz Martins Guimarães Orsi <[EMAIL PROTECTED]> said: > Olá, > >Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por > congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ... > [...] http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200306/msg00796.html Se você não estiver interessado na teoria por trás do critério, pule para o final da mensagem. Um outro critério usa o fato de que 13|1001, logo x é divisível por 13 se e somente se a diferença entre os grupos de três algarismos de ordem par e os de prdem ímpar também for divisível por 13. Por exemplo, no problema resolvido mentalmente pelo nosso colega Cláudio, temos que provar que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273 é múltiplo de 13. Quebrando o número em grupos de 3, temos que 2^70 + 3^70 = 2.503.155.504.994.422.192.936.289.397.389.273 Esse número é divisível por treze se e somente se a diferença entre a soma das classes de ordem par (273+397+936+422+504+503) e as de ordem ímpar (389+289+192+994+155+2) for divisível por 13. Essa diferença vale |3035-2021| = 1014. Pelo algoritmo do link acima, esse número é divisível por 13 se e somente se 101 + 4*4 = 117 é divisível por 13, o que é verdade se e somente se 11 + 4*7 = 39 = 3*13 é divisível por 13. Ou então, note qe a diferença entre as ordens pares e as ímpares de 1014 é 13 = 13*1. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAVSNNalOQFrvzGQoRAs0WAJ9KZpBpyPfhzKjaP72dc0YdsxgNRwCfXcH6 +CQXI/3ZYRff8Ct4WQmteCE= =zGQn -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> said: > Claudio Buffara wrote: > > Calcule o valor da soma: > > SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), > > Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse > uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento > desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos > eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). > [...] Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia. Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo de, mas certamente menor que, pi/6. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAUmSoalOQFrvzGQoRAnXxAJ4kIPkdVqzXBPAySgGIXE4CGTmKSgCg3rHv oBR7SRRbnKBTF/m6JoWX6ys= =ogVT -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação modular
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Daniel Silva Braz <[EMAIL PROTECTED]> said: > Determine o(s) valor(es) de k para que a equação > > |x2 - 3| = k tenha 3 soluções > > resolvi a equação graficamente e verifiquei que 3 > soluções só é possível se k = 4 (entendendo q k é um > número real qq e não um polinomio), mas no entanto o > livro me deu a resposta como sendo 3 > > Alguém poderia me ajudar e me dizer se estou certo ou > não? > [...] Essa equação equivale a x^2 - 3 = k ou x^2 - 3 = -k <=> x^2 = 3+k ou x^2 = 3-k. No entanto, a equação x^2 = a pode ter duas, uma ou nenhuma solução, dependendo de a: * Se a>0, tem duas soluções, iguais a sqrt(a) e a -sqrt(a). * Se a=0, tem uma soluções, igual a 0. * Se a<0, não tem soluções (estamos tomando x real aqui, certo?). A única maneira de fazer as duas equações, combinadas, terem três soluções, é que uma das equações tenha uma solução e a outra, duas. Logo temos duas possibilidades: I) 3+k = 0 e 3-k > 0 II) 3+k > 0 e 3-k = 0 Os dois casos dão k = -3 e k = 3, respectivamente. Como k tem que ser positivo (pois é igual ao módulo de alguma coisa), k tem que ser igual a 3. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFATdhpalOQFrvzGQoRAgBoAJkBhOICYz1+0WT/mUvElUwXDKXaWwCgpwdm wTJ2WVjUOexv1wQMWHuZUFQ= =a8nv -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Identidades de mdc
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Fábio, > > Primeiramente, deixe-me ver se entendi as suas notações. > > mdc(a,b) = (a,b) e mmc(a,b) = [a,b] > [...] Isso -- a notação para o mdc é muito comum, especialmente em um contexto de teoria dos números, onde não há pares ordenados envolvidos. A segunda notação é usada de vez em quando, mas é bem mais rara que a primeira, já que o mmc não é tão relevante assim do ponto de teoria dos números. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAS0KRalOQFrvzGQoRAuIRAJ9/iAkdAeRbY+XCHNx0xMrKs9ExjgCgj+xQ nB8rCJMMK6H3Uw9LhCV21KA= =Dc0w -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao de trigonometria - ITA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Emanuel Valente <[EMAIL PROTECTED]> said: > vacilo cara... nao tinha visto! > > 4*sen^2(x) -2*(1+raiz2)*sen(x) + raiz2 < 0 > [...] Complete os quadrados: seja t = sen x. 4t^2 - 2*(1+sqrt(2))*t + sqrt(2) < 0 (2t - (1+sqrt(2))/2)^2 + (2*sqrt(2)-3)/4 < 0 [2t - (1+sqrt(2))/2]^2 < [(sqrt(2) - 1)/2]^2 |2t - (1+sqrt(2))/2| < (sqrt(2) - 1)/2 |4t - 1 - sqrt(2)| < sqrt(2) - 1 1 - sqrt(2) < 4t - 1 - sqrt(2) *e* 4t - 1 - sqrt(2) < sqrt(2) - 1 t > 1/2 *e* t < sqrt(2)/2 1/2 < t < 1/sqrt(2) 1/2 < sen x < 1/sqrt(2). pi/6 < x < pi/4 *ou* 3*pi/4 < x < 5*pi/6. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD4DBQFASixralOQFrvzGQoRAtuaAJ4/LKcB1SfMu7DUutRwoNNodLZ5CwCY5010 4i2/ylF4nbxyiTRSiCW44g== =HTFj -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Identidades de mdc
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Boa noite, pessoal! > > > Estava tentando me lembrar das demonstrações das seguintes identidades: > [...] > mdc(a,b) = mdc(a+b,mmc(a,b)) > > Alguém por acaso se lembra ou sabe como demonstrá-las? > [...] Seja d = (a, b). Então a = du, b = dv, (u, v) = 1. Por outro lado, (a+b, [a,b]) = (du+dv, [du,dv]) = (d(u+v), duv) = d(u+v, uv). Seja p tal que p divide uv. Sem perda de generalidade, p divide u, logo p não divide v. Em particular, p não divide u+v, logo p não divide (u+v, uv), logo (u+v, uv) = 1. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFASaC2alOQFrvzGQoRAgWeAJ0fRZggVmxn4yukRYJt7TtBOBQ3fwCgz4kN nlnjExcVIrzAMkOFWfFQdyE= =+XM2 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TRIGONOMETRIA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jorge Paulino <[EMAIL PROTECTED]> said: > Questão: qual o valor máximo da função y=3cosx+2senx? > O gabarito é sqrt(13) e eu resolvi usando derivada. > É possível resolvê-la sem derivada, usando apenas > conhecimentos do ensino médio? > Obrigado, > Jorge > [...] Seja S = 3*cos x + 2*sen x. Divida a equação por sqrt(13): S/sqrt(13) = 3/sqrt(13)*cos x + 2/sqrt(13)*sen x. Seja t tal que sen t = 3/sqrt(13), cos t = 2/sqrt(13) (como sen^2 t + cos^2 t = 1, certamente existe esse t). Logo S/sqrt(13) = sen t cos x + cos t sen x = sen t+x. S = sqrt(13) sen t+x cujo máximo é obviamente sqrt(13). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFASS7HalOQFrvzGQoRAvtqAJ90A+q1l7DonFDOY6S0Sc2vbMyfFACfSHY+ mPpb1QOFI+aAIji1BgFxuD4= =FB8U -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Serie...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "David" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Nao sei ele, mas eu queria assim: > > T(1) = 1 > T(2) = 2 > T(3) = 1 > T(4) = 3 > T(5) = 1 > T(6) = 2 > T(7) = 1 > ... > > Será q eh possivel? > [...] T(n) = k+1, onde k é o expoente do 2 na fatoração de n em números primos. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAR0RnalOQFrvzGQoRAvorAKCY4rwoAtDLPZB3Z/7f+3J9d7y2YQCgk5r7 XPk+nzhhY8Fo8NNsNYx/veU= =bNAh -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ANALITICA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: > Caros amigos, eis uma questão interessante que não sei fazer. Creio que > seja de analitica, ou talvez, de pra se matar por plana. Tentem fazer aí > por obséquio. > > > As distâncias dos três vértices de um triângulo a uma reta mede 7 m, 9m e > 14 m. Pode-se afirmar que a distância,em metros, do baricentro do triângulo > a mesma reta é: > > a) 2/3 b)16/3 c 10 d) pode ser 4 > [...] Sem perda de generalidade, essa reta é o eixo x. Novamente s.p.d.g., dois dos vértices do triângulo estão no semiplano superior (caso isso não seja verdade, faça uma reflexão em torno do eixo x). Há quatro casos: I) Os três vértices estão no semiplano superior II) O vértice que dista 7m está no semiplano inferior III) O vértice que dista 9m está no semiplano inferior IV) O vértice que dista 14m está no semiplano inferior Não é muito difícil ver que, medindo as distâncias em metros, os módulos das coordenadas y dos vértices do triângulo valem 7, 9 e 14 -- mas em cada um dos casos enumerados, os sinais das coordenadas y -- no primeiro, as coordenadas y são 7, 9, 14; no segundo, -7, 9, 14; em III, 7, -9, 14 e no último, 7, 9, - -14. As coordenadas y do baricentro dos triângulos em cada caso são 10, 16/3, 2/3 e 4. Como não temos nenhuma informação sobre qual dos quatro casos é verdadeiro, só podemos afirmar que a distância do baricentro ao eixo x (ou seja, o módulo da coordenada y) pode valer 10, 16/3, 2/3 ou 4. Logo, como pode valer 4, a resposta é a letra (d). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFARUjJalOQFrvzGQoRAtmfAJ9pfNgo+UmPrC/YXj81/xDNKMJQzgCg1j81 ntTBpxsmkWIRD2o+PYbDjCo= =x7Rt -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > on 02.03.04 11:36, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > [...] > > Talvez uma versão corrigida do problema do Claudio seja: > > > > Seja A uma matriz 3x3 com coeficientes *racionais* tal que A^2005 = I. > > Prove que A = I. > > > > []s, N. > > Acho que agora deu certo! > [...] > Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que > A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1? > [...] Se os autovalores de A são 1, 1 e 1, então A pode ser escrita como P^-1*B*P, onde B é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores de A, i.e. 1, 1 e 1. Logo B = I ==> A = P^-1*P <==> A = I. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFARM+ValOQFrvzGQoRAs2VAKCuh9PbQDnpJkFAUYfslWgFQSvufgCglr+r 9EV+LYmA9biVad5DWjtBBIg= =PrNl -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > Oi, pessoal: > > Alguem tem uma solucao elegante pro problema a seguir? > > Seja A uma matriz real 3x3 tal que A^2005 = I. > Prove que A = I. > > Eu consegui fazer mas achei minha solucao horrorosa. Acho que pode haver > algum teorema macetoso de algebra linear que eu desconheco. > [...] Eu acho que A = [1 0 0; 0 cos(t) sen(t); 0 -sen(t) cos(t)], onde t = 2*pi/2005, é tal que A^2005 = I -- pelo menos o PARI-GP concorda comigo. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFARAWdalOQFrvzGQoRAlOJAJ0dMwlHT7ThUHFlpw58ExWY7YyywACgh4M1 vGd3ZGsvxOBQ4O6c9nGQ388= =n3AB -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Criterio de divisibilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > Caros Fabio e Qwert: > > Voces poderiam, por favor, me explicar que criterio estah sendo discutido > abaixo? > [...] Esse aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200306/msg00796.html []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQ7XialOQFrvzGQoRAlFnAKDgTOR1PGORGjF5L/TpU/bHXhSgngCeNW2b FAEY7lHCi8cCjI3P6vUeQNA= =zY4W -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de complexos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> said: > HelpOi, pessoal: > > Há alguns dias um amigo me mandou o problema abaixo, que ainda não consegui > resolver. Pra tripudiar, ele ainda disse que a solução era imediata... > > Sejam a, b, c números complexos arbitrários mas fixos. > Prove que existe um número complexo z tal que: > (b-a)(c-a)/(z-a)^2, (b-a)(c-b)/(z-b)^2 e (c-a)(c-b)/(z-c)^2 são reais. > [...] Tome z como o incentro do triângulo abc (se não existir triângulo, o problema é trivial). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQ43lalOQFrvzGQoRAqslAKDjSnpMYOAb8/Ixj1hXHr4bXYC2dwCgnOds siHVgPaSOTym9/qLaDriP+k= =pmcm -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvidazinha
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Tarcio Santiago" <[EMAIL PROTECTED]> said: > QUAL A CONDIÇÃO PAR QUE O ANO SEJA BISSEXTO? Se um ano for divisível por 4, mas não por 100, ele é bissexto. Se um ano for divisível por 400, ele é bissexto. Todos os outros anos não são bissextos. Há propostas que fazem anos divisíveis por 4000 não bissextos, mas, a menos que você esteja falando de eventos geológicos ous astronômicos, isso não faz a menor diferença. Referência: http://en.wikipedia.org/wiki/Leap_year []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQXxbalOQFrvzGQoRAldxAKCPzdCIebo0sI+RbMQmnHFwLSy78wCfUSRs Lvi4ros609iVRAwS7x9GCNg= =g9Da -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Interessante
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]> said: > Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e > natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? > [...] (mod 100), 24^(2*n+1) = 24 * (24^2)^n = 24 * 76^n. Como 76^2 = 76 (mod 100), não é difícil ver que 76^n = 76. Logo 24^(2*n+1) = 24 * 76 = 24. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQO6+alOQFrvzGQoRAkGHAKCOQNXNPu7Ns0V91jhJUMRdqnR9BACeL/1U t+9qwJTmHuYiZLn2ucEuJc8= =GnNp -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Relaçoes
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
"Thor" <[EMAIL PROTECTED]> said:
> Como mostrar que : dados dois conjuntos A e B não vazios,
>
> n( R) = 2^n(A).2^n(B), ou seja o nº de relaçoes de A e B eh
>
> dois elevado ao nº de elementos de A vezes dois elevado ao nº de elementos
> de B.
> [...]
Essa fórmula me parece estar errada: As únicas relações de {1} em {1} são {} e
{(1, 1)}, logo 2 = 2^1*2^1 = 4.
A fórmula correta deve ser |R| = 2^(|A|*|B|). Como toda relação é um
subconjunto de A*B, e vice-versa, R = P(A*B). Logo
|R| = |P(A*B)| = 2^(|A*B|) = 2^(|A|*|B|).
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAP+9palOQFrvzGQoRAlumAKDSdWC6yBL/HEiTeJuI0hD4bljIsgCgz3l2
APU49U3Rde8IWRg7AJm/B8s=
=6Vlg
-END PGP SIGNATURE-
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Probabilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Pacini bores <[EMAIL PROTECTED]> said: > Poderiam me ajudar ? > > Em um grupo de 60 pessoas qual a probabilidade de haver duas pessoas > que nasceram no mesmo dia do ano ? > [...] Supondo que não existem anos bissextos e que a distribuição dos nascimentos durante um mesmo ano é uniforme, vamos calcular a probabilidade de que n pessoas *não* compartilhem aniversários. Cada pessoa possui 365 possíveis dias para aniversariar, logo o número de combinações possíveis é 365^n. Por outro lado, o número de combinações que não possuem duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia é C(n;365)*n!, pois temos que escolher os dias em que fazem aniversário, e a ordem em que elas o fazem. Logo, se p_n é a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia, 1 - p_n = [365!*n!]/[(365-n)!*n!*365^n] = 365!/[(365-n)!*365^n] p_n = 1 - 365!/[(365-n)!*365^n] Para n = 60, isso dá aproximadamente 99,4%. Naturalmente, você não vai calcular 365! para achar esse valor. Ao invés disso, a gente pode reescrever p_n como 1 - 365*364*...*(366-n)/365*365*...*365 = 1 - (365/365)*(364/365)*...*[(366-n)/365], que é *muito* mais rápido de se calcular. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAP8kwalOQFrvzGQoRAglgAJ9q5Al4lX2IQt4Avcc3tLORsEOjDQCgi5aM oWC0kyh9aceKmLfcml+b1oM= =fuuA -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Danilo notes <[EMAIL PROTECTED]> said: > Pessoal segue abaixo um problema que achei muito interessante e a forma > como fiz pra resolve-lo, gostaria de saber se alguem conhece uma solução > mais simples. Seja A uma matriz quadrada n x n tal que 3A^3=A^2+ A + I > prove que ( A^k) converge para B tal que B^2=B . k é numero > natural. Solução: > Seja p(x) =3x^3-x^2-x-1 . Vamos considerar 2 casos: > i)A é uma matriz real . > > Observe que P(x) =( x-1) ( 3x^2+2x+1), como A é matriz real e P(A)=0 > então A =I = matriz identidade e daí é imediato que lim ( A^k) =I =B e > B^2=B > [...] O conjunto das matrizes nxn não forma um domínio. Ou seja, AB = 0 *não* implica A = 0 ou B = 0. Por isso (A-I)(3A^2 + 2A + 1) = 0 *não* implica A-I = 0 ou 3A^2 + 2A + 1 = 0. Logo não podemos afirmar que A = I. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAP62kalOQFrvzGQoRAuSFAKCjaaVT4vnEvZZl/InyAd94sgEdbQCgs6Pk Vxt9di/qgpruF/yL5VRef90= =uMIj -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número Primo + duvida
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> said: > Fiquei com uma duvida... vou tentar explicar: > > No caso particular do numero 7919 tem uma maneira bem facil (dependendo da > resposta a minha duvida) ja que 7919 termina em 9 e nessa lista mesmo ja > foi mostrado como determinar o criterio de divisibilidade de primos > terminados em 9. > > 7919 = 791*10 + 9 entao temos: > se 7919 e primo entao para verificar se (10a + b) e multiplo de 7919 basta > verificar se (a + 792*b) e multiplo de 7919. Parece complicado, mas o > teste e bem simples. > [...] > aki fica a duvida... > Sei que se a regra de divisibilidade NAO pode ser aplicada com sucesso para > um numero que termina em 9, esse numero NAO e primo, mas dar certo eh o > suficiente pra afirmar que o numero com certeza e primo? > [...] Não -- a regra funciona para qualquer número primo com 10, composto ou não. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAP3ZOalOQFrvzGQoRAnmFAKCuyh0jSS9HyYZOwkrGEc6ayMvbugCdG76X hgUvkQEnI0TZqQxI4jZSo0Y= =vM3y -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "ponciomineiro" <[EMAIL PROTECTED]> said: > [...] >> On Mon, Feb 23, 2004 at 10:54:54PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: >>> Três pontos são selecionados aleatóriamente numa circunferência de raio >>> unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma mesma >>> semicircunferência. >> [...] > > Nicolau e amigos da lista, boa noite!!! > Gostaria de solicitar comentários acerca do modo que acredito ter > resolvido a questão: > Considere A e B dois pontos não diametralmente opostos tomados nessa > circunferência (caso fossem diametralmente opostos seria evidente que os > três pontos pertenceriam a uma mesma semicircunferência). Considere, ainda, > A* e B* pontos diametralmente opostos a A e B, respectivamente. Observe > que, dessa forma, divido a circunferência nos arcos AB, BA*, A*B* e B*A. > Portanto, o terceiro ponto estaria em uma mesma semicircunferência dos > outros dois caso não pertencesse a A*B* (excluindo A* e B*, evidentemente). > Logo, a probabilidade pedida seria 3/4. > [...] Isso estaria certo se os quatro arcos sempre tivessem o mesmo comprimento. Como não têm, as probabilidades associadas a cada um deles não é a mesma, logo a probabilidade pedida não é 3/4. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAPUPRalOQFrvzGQoRApHxAKDcGXFkP+7tN/CxGAxiOPxy9GTsvACfWVuD 5wC9pwabmU0D+2VDIIEYHW0= =3kUi -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvidas
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Wednesday 25 February 2004 01:59: <[EMAIL PROTECTED]>] > olá amigos poderiAM DAR UMA AJUDA POR FAVOR > [...] > 2- Dois mísseis são lançados diretamente um contra o outro, oprimeiro a > 18.000 km/hora e o segundo a 12.000 km/hora. Sabendoque no instante do > lançamento eles se encontravam a 4768quilômetros de distância um do outro, > a distância entre eles, a umminuto da colisão é, em kilômetros: > > (A) 500(B) 750(C) 1000(D) 1500(E) 2384 > [...] Como, de um minuto antes da colisão até a colisão, passou-se um minuto, o primeiro míssil percorreu 18000/60 = 300 Km e o segundo 12000/60 = 200 Km. Logo a distância entre os dois mísseis um minuto antes de colidirem é de 500 Km. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAPDLzalOQFrvzGQoRAsNmAKDGrCY9/NpBJStkrdXudCM0PEKq8QCfcJ/Z an44rIqU/7TFRwaw0HQQkP4= =Ulv7 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] restos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 22 February 2004 23:41: "OBM-L" <[EMAIL PROTECTED]>] > Rafael, > > Para o primeiro problema, seja D o dividendo e N o maior inteiro que possa > ser somado a D para que o quociente Q não sofra alteração, temos: > > N / 13 = Q (mod 2) ==> (N+10) / 13 = Q (mod 12), pois se D = 11, teríamos > (Q+1) como quociente. Logo, D = 10. > > Já quanto ao segundo problema, não entendi uma coisa: como um número > dividido por 3 pode deixar resto 3? Se isso estiver certo, significa que a > divisão é exata para 3 e deixa resto 3 para 11 e 51 (que é 17*3). Se a > divisão é exata para 3, então o menor número é um múltiplo de 3 que deixa > resto 3 para 11 e 51. Logo, o mmc(3;11;17) = 561 e 561+3 = 564. > [...] Posso estar enganado, mas eu acho que o menor múltiplo de 3 que deixa resto 3 quando dividido por 11 e 51 é 3. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAOXFGalOQFrvzGQoRAsZDAJ9vYmeH47jGUia8AzIQyztP2gCZnwCggPwz yxhrG+YI1QGqZNRBkyeKaz0= =coOF -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Correção -Questões
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 21 February 2004 21:56: [EMAIL PROTECTED] > Descupem , o certo para o problema 2 é : > > 2)Quais os dois últimos algarismos na parte inteira de > > 10^2047/(10^89 +7). > [...] Note que 10^2047 = (10^89)^23. Por isso, 10^2047 = (10^89)^23 (mod 10^89 + 7). Portanto, 10^2047 = (-7)^23 = -7^23 = 10^89 + 7 - 7^23 (mod 10^89 + 7). Como este último número é obviamente positivo e menor do que 10^89 + 7, ele é o resto da divisão de 10^2047 por 10^89 + 7. Por isso, a parte inteira de 10^2047/(10^89 + 7) é igual a N = (10^2047 + 7^23 - 7 - 10^89)/(10^89 + 7). Como queremos os dois últimos algarismos, basta fazer a conta módulo 100. Mas N (mod 100) vale (7^23 - 7)/7 = 7^22 - 1. Como 7^4 = 1 (mod 100), N = 7^22 - 1 = (7^4)^5*7^2 - 1 = 1^5*7^2 - 1 = 7^2 - 1 = 48. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAONoValOQFrvzGQoRAmoHAJ94piJD7r44xvaFR/B6Pwn0y+t7BgCfUDRp DPd58SXO6Ewf1rusPGpLOJg= =EZGe -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questões
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 21 February 2004 21:00: [EMAIL PROTECTED] > Estou emperrado nos seguintes problemas : > > 1)Qual o resto de 2269^n+1730^n + 1779^n-1776^n na divisão por 2001 ? > sendo n ímpar . É claro que para n=1 temos 4002 para a soma , > mas para um n ímpar qualquer ? > [...] Note que 2001 = 3*23*29, logo, se f(n) = 2269^n + 1730^n + 1779^n - 1776^n, basta achar f(n) mod 3, 23 e 29 -- podemos combinar os resultados depois com o Teorema Chinês dos Restos. Módulo 3, f(n) é 1^n + (-1)^n + 0^n - 0^n = 1 + -1 + 0 + 0 = 0. Módulo 23, f(n) é (-8)^n + 5^n + 8^n - 5^n. Como n é ímpar, (-8)^n = -8^n, logo f(n) = 0 (mod 23). Módulo 29, f(n) é 7^n + (-10)^n + 10^n - 7^n. Novamente, como n é ímpar, f(n) = 0 (mod 29). Logo 2001 sempre divide f(n), i.e. o resto da divisão de f(n) por 2001 é zero. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAN/g6alOQFrvzGQoRAuRvAJ9HHwlpzyeY+FYkExBSI6JCfRGELACg0JKG KZfm0N2qL2/A+s7+bG0UOS0= =CL5f -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resolução da função...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Wednesday 18 February 2004 10:52: [EMAIL PROTECTED] > f(x) = x^2 + (1 - sqrt 3)x - sqrt 3 > > Delta = (1 - sqrt 3)^2 - 4(1)(- sqrt 3) > = 1 - 2(sqrt 3) + 3 + 4(sqrt 3) > = 4 + 2(sqrt 3) > > x = (- (1 - sqrt 3) + ou - sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 >= (-1 + sqrt 3 + ou - sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 > > x1 = (-1 + sqrt 3 + sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 > x2 = (-1 + sqrt 3 - sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 > > onde está o erro?? ou o q está faltando?? > no livro do Iezzi a resposta é (sqrt 2) / 2 > [...] Note que sqrt(4+2*sqrt(3)) = 1 + sqrt(3), logo x1 = sqrt(3) e x2 = -1. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAM4R1alOQFrvzGQoRAgaAAKDhltkcZZM2o2ZxJF6trzeYmly6jACfZR6z J6jYZ5nah79Nh41uEwbLQjw= =udXC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 15 February 2004 15:35: <[EMAIL PROTECTED]>] > Qual das duas coleções de livros para 2º Grau os amigos consideram melhor: > > A coleção do Iezzi, ou a do Manoel Paiva. > > Se houver alguma outra que seja melhor que as duas por favor citem. > [...] Uma referência útil é o "Exame de Textos" (leia os capítulos relevantes): http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/analise_de_text/ []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAL7iYalOQFrvzGQoRAra8AKC/kqdDmPl0pv85XjiFcox44R8ZZACeOCYE zpWNKEclIiKxxsAxT9gQz4A= =nCmW -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 08 February 2004 20:53: [EMAIL PROTECTED] > mm, acho que tenho um contra-exemplo Nicolau, tipo, quando você vê uma > camiseta na vitrine de uma loja e está escrito: > > à vista: R$30,00 > à prazo: 3X R$12,00 > > entao, o total a ser pago a prazo é 36 reais, o juros total é de 6 reais, e > como as parcelas sao iguais podemos dizer que foram 2 reais de juros por > mes > > pode-se pensar assim: comprei um camiseta de 30 reais, paguei em 3 meses > com juros simples de 6,67% ao mês > > nunca falam explicitamente isso, mas não deixa de ser né? os juros não > dependem do qnto vc já pagou ou ainda precisa pagar... > [...] No fundo, você está pagando, sim, juros compostos -- só que a loja espalha os juros pelas prestações; se ela não fizesse isso, as prestações cresceriam com o tempo, o que não é muito bom do ponto de vista de marketing. Os juros *reais* cobrados pela loja são dados pela equação 12 + 12/(1+i) + 12/(i+1)^2 = 30 Se I = 1+i, 12 + 12/I + 12/I^2 = 30 18I^2 - 12I - 12 = 0 3I^2 - 2I - 2 = 0 I ~= 1,2153 i ~= 21,53% Os juros reais praticados pela loja são *BEM* mais extorsivos que os que você achou (isso supondo que a primeira parcela é paga no ato; se o pagamento for 0+3, eles são um puco menores). Uma ótima referência para isso é "A Matemática do Ensino Médio", publicado pela SBM, do Paulo Cézar, Elon Lages, Augusto Morgado e Eduardo Wagner. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAJqtRalOQFrvzGQoRAkkVAKDCmoqnGa9cIWX7tgZ+3/sLiuBxfgCfU2Jo e5X1Pbp3r3m1gGKDnIIzDjo= =TXlq -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>] > E aqui vai um de algebra linear: > > Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que: > A^5 = I (= matriz identidade n x n) e A*B*A^(-1) = B^2. > Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I. > Qual o menor valor possivel de k? > [...] A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado, A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2, A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação, A^3*B*A^(-3) = B^8. A^4*B*A^(-4) = B^16. A^5*B*A^(-5) = B^32 <==> B = B^32 <==> B^31 = I, pois B é invertível. Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal que B^k = I é 31. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAJo9GalOQFrvzGQoRAs38AJ4kmHtM/WxMz7SZlbekmF2ZP89zxACfSY4e a5MmEhjuM2j3hP06rD5mRSo= =aW7a -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL!!! - RESPOTA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 01 February 2004 23:19: [EMAIL PROTECTED] > Eh bastante simples provar que isso é impossivel, façamos o seguinte : > > Vamos considerar apenas os bispos de casa negra, afinal, eles não influem > em nada nos bispos de casa branca... > > Digamos que o tabuleiro tenha as colunas A, B, C, D e E, as filas 1,2,3,e 4 > .. (4X5) > > Se vc comecar com a1-b2, so podera responder com e1-d2, ou e3-d2, se vc > escolher e1-d2 como resposta só podera responder usando b2-a1 e depois > d2-e1, voltando a posição original. > > Basta agora usar raciocinio analogo, para os lances possiveis... > > Isso seria não extremamente dificil e sim, impossivel!!! > [...] Eu resolvi nos mesmos trinta e seis movimentos do Nicolau; tente escrever por extenso todo o seu argumento: ele vai, automaticamente, resolver o problema para você. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAHbHXalOQFrvzGQoRAuUQAKDXyVGua54jEDkUdn6oTKYQyLocCwCaA1FP 4f5IwhgFerKgKoEfgdVLvg8= =tgi8 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 01 February 2004 19:51: [EMAIL PROTECTED] > Ola pessoal, > > > Este eh um problema *extremamente dificil*: > > > 1) Imaginem 8 pessoas em uma tabela 4 X 5. Sendo que 4 mulheres estao na > coluna A e 4 homens na coluna E. Como passar todas as mulheres para a > coluna E e todos os homens para a coluna A. > REGRA: Em nenhum momento das passagens pode haver mais do que 1 pessoa em > cada DIAGONAL. Como este problema está dando alguma discussão, eu vou postar o enunciado do problema que, creio eu, você queria propor: Oito bispos, quatro brancos e quatro pretos, estão em um tabuleiro 4x5: (Se os diagramas estiverem ilegíveis, visualize-os com uma fonte de largura fixa) Eles se movimentam como no xadrez, com uma restrição: em nenhum momento, um bispo de uma cor pode ameaçar um bispo da outra cor de captura. Por isso, este é um movimento perfeitamente válido: .OOO .O.. pois nenhum X pode capturar um O (O's podem ficar na mesma diagonal de outros O's, e analogamente para X's), mas este não é: OO.O O... pois o terceiro bispo de baixo pode capturar o bispo recém-movido. O objetivo é atingir esta configuração: []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAHZHOalOQFrvzGQoRAqxKAJ0YAcizYi3ZF9+txV37nS8BsD/suQCg1kkB mrBOoKBJFj2PEWfdDFNixnk= =L/8u -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 01 February 2004 19:51: [EMAIL PROTECTED] > Ola pessoal, > > > Este eh um problema *extremamente dificil*: > > > 1) Imaginem 8 pessoas em uma tabela 4 X 5. Sendo que 4 mulheres estao na > coluna A e 4 homens na coluna E. Como passar todas as mulheres para a > coluna E e todos os homens para a coluna A. > REGRA: Em nenhum momento das passagens pode haver mais do que 1 pessoa em > cada DIAGONAL. Como este problema está dando alguma discussão, eu vou postar o enunciado do problema que, creio eu, você queria propor: Oito bispos, quatro brancos e quatro pretos, estão em um tabuleiro 4x5: (Se os diagramas estiverem ilegíveis, visualize-os com uma fonte de largura fixa) Eles se movimentam como no xadrez, com uma restrição: em nenhum momento, um bispo de uma cor pode ameaçar um bispo da outra cor de captura. Por isso, este é um movimento perfeitamente válido: .OOO .O.. pois nenhum X pode capturar um O (O's podem ficar na mesma diagonal de outros O's, e analogamente para X's), mas este não é: OO.O O... pois o terceiro bispo de baixo pode capturar o bispo recém-movido. O objetivo é atingir esta configuração: []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAHY48alOQFrvzGQoRAo3gAJ9GCm6JsaqyS+mBxHybtiUdeEWtIwCbBglY a6Io7n30EYYrVgPncdNP0Yc= =krL9 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equacao
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 01 February 2004 16:28: <[EMAIL PROTECTED]>] > E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia. > Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma questão q é > interessante.no começo achava q seria facil resolver mas so consigui achar > duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão é a seguinte: > Resolva a equação > x^3 - 3x = sqrt(x+2) > [...] Seja y = x-2. Então (y-2)^3 - 3(y-2) = sqrt(y). Tome t = sqrt(y), t >= 0. Então t^2 = y e (t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t <=> t^6 - 6t^4 + 9t^2 - t - 2 = 0. Obviamente t = 2 é raiz. Logo (t - 2)(t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1) = 0. Como o polinômio de quinto grau não tem raízes racionais, se ele for redutível, ele deve ser o produto de um polinômio de terceiro grau por um de segundo grau. Logo queremos resolver a identidade t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1 = (t^2 + At + B)(t^3 + Ct^2 + Dt + E). Expandindo, uma das equações exige que BE = 1, logo, se B e E forem inteiros, então B = E = 1 ou B = E = -1. O primeiro caso não tem soluções inteiras, o segundo admite (a, c, d) = (1, 1, -2). Logo (t - 2)(t^2 + t - 1)(t^3 + t^2 - 2t - 1) = 0. É trivialmente fácil achar as raízes positivas dos dois primeiros fatores (lembre que estamos sob a restrição t >= 0). Se P(x) = t^3 + t^2 - 2t - 1, como P(-2) = -1, P(-1) = 1, P(0) = -1, P(1) = -1, P(2) = 7, P tem três raízes reais a < b < c, com -2 < a < -1, -1 < b < 0 e 1 < c < 2. c é obviamente a única raiz positiva. Então as únicas raízes positivas em t são 2, (sqrt(5)-1)/2 e c. Então os possíveis valores de y são 4, (3-sqrt(5))/2 e c^2. Logo as soluções da equação original são 2, -(1+sqrt(5))/2 e c^2-2, onde c é a raiz positiva de c^3 + c^2 - 2c - 1 = 0. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAHXobalOQFrvzGQoRAmiDAKCcDIF79utiXTEj6EURI9/aCU/uSgCgy0NG JDJNCFywc3/5/ipdhVhtnAw= =uzet -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida - polinomio
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[Sunday 01 February 2004 13:01: [EMAIL PROTECTED]
> Nicolau, novamente obrigado pela ajuda e outro problema que estou com
> duvida:
>
> - Seja P(x) um polinomio com coeficientes inteiros e P(21) = 17,
> P(32) = - 247 e P(37) = 33. Prove que se P(N) = N + 51 para algum inteiro
> N, então N = 26.
> [...]
Seja Q(x) = P(x) - (x+51). Note que Q(21) = Q(37) = -55 e Q(32) = -330. Note
que um polinômio de segundo grau que satisfaz isso é 5(x-29)^2-375.
Logo Q(x) pode ser escrito como
Q(x) = (x-21)(x-32)(x-37)R(x) + 5*(x-29)^2 - 375, com R em Z[x].
Note que P(N) = N+51 significa que Q(N) = 0. Logo
(375-5*(N-29)^2)/(N-21)(N-32)(N-37) = R(x), que é inteiro (se algum dos termos
do denominador for zero, então P(N) != N+51). Então
N-21 | 5N^2 - 290N + 3830 <=> N-21 | (N-21)(5N-185)-55 <=> N-21 | 55
N-32 | 5N^2 - 290N + 3830 <=> N-32 | (N-32)(5N-130)-330 <=> N-32 | 330
N-37 | 5N^2 - 290N + 3830 <=> N-37 | (N-37)(5N-105)-55 <=> N-37 | 55
Se N-21 | 55, N-21 está em {-55, -11, -5, -1, 1, 5, 11, 55}, i.e. N está em
{-34, 10, 16, 20, 22, 26, 32, 76}, logo N-37 está em {-71, -27, -21, -17, -15,
- -11, -5, 39}. Os únicos elementos que dividem 55 são -11 e -5, i.e. N só pode
ser 26 ou 32. Como Q(32) != 0, só é possível que Q(26) = 0.
Note que eu não demonstrei que Q(26)=0, mas apenas que Q(N)=0 ==> N=26.
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAHSGJalOQFrvzGQoRAtDOAKClgPu0wqTlt0q5KfYPY2IE1xaHCwCfZSTc
QATl1yqJNJLp89nm/bXTMZ0=
=8v3n
-END PGP SIGNATURE-
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 31 January 2004 15:48: <[EMAIL PROTECTED]>] > Caro Fábio, > > Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita! > > O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada > anteriormente por mim (t = 1), sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2 > ; 1). > > Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo > UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me, > não conheço profundamente esse teorema. > [...] O UTF, na realidade, diz que se n>2, então a^n + b^n = c^n não tem solução com a, b, c inteiros positivos. Não é muito difícil ver que se n é par, a, b, c podem ser inteiros não-nulos quaisquer sem que haja soluções. Se n for ímpar, passe os termos da equação de um lado para o outro, trocando os sinais de a, b, c até que os três sejam positivos. Então há duas possibilidades de equação: I) a^n + b^n + c^n = 0 II) a^n + b^n = c^n As duas equações não possuem soluções não-nulas (a equação I é obvia; a II, pelo UTF). Bastou, portanto, reescrever o polinômio dado na forma a^3 + b^3 = c^3 para resolver o problema. No caso particular n=3, não é necessário apelar para o paper do Wiles; existem várias demonstrações elementares deste caso. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAG/tpalOQFrvzGQoRAqPQAJ43vAWusP8OkK8haSO3uUZrQP7KAQCgnPEF hDxxGuSWCVP9q5ROiJ1BxcA= =yvIZ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 31 January 2004 02:42: <[EMAIL PROTECTED]>] > Caro Fábio, > > Receio que as equações sugeridas por você não decorram da original. > > Conforme a abordagem anterior, por exemplo, para a = 2 e b = 1, teremos > x^3+3x^2+9x+7=0. E, facilmente, obtém-se x = -1 como solução, que é um > número inteiro. Logo, isso já invalida a sua conclusão, apoiada > erroneamente no UTF. > [...] Tá bom, vou tentar de novo: A equação dada é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3. Pelo UTF, algum dentre x, x+a ou x+b tem que ser 0. I) x = 0 Impossível, pois x pertence a Z*. II) x+a = 0 <=> x = -a Então -a^3 = (b-a)^3 <=> -a = b-a <=> b = 0. Há infinitas soluções da forma (x, a, b) = (-t, t, 0), t em Z*. III) x+b = 0 <=> x = -b Então -b^3 + (a-b)^3 = 0 <=> a-b = b <=> a = 2b. Logo há infinitas soluções da forma (x, a, b) = (-t, 2t, t), t em Z*. Acho que *agora* eu enumerei todas as soluções inteiras com x não-nulo. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAG8scalOQFrvzGQoRArv/AKC7eK3WPVtXd86VwkjzymO+VzMOqgCgglV5 7QIk7P7RlCzMDDFCrbfG2a4= =KaXs -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[Friday 30 January 2004 21:37: [EMAIL PROTECTED]
> [Thursday 29 January 2004 11:07: [EMAIL PROTECTED]
>
> > Seja a equação:
> >
> > x^3 + ( 3.a - 3.b).x^2 + ( 3.(a^2) - 3.(b^2) ).x + a^3 - b^3 =0, com a e
> > b inteiros positivos. Poderá haver alguma solução em Z-{0}?
> > [...]
>
> Isso é (x+a)^3 = (x+b)^3. Nos reais, isso implica x+a = x+b, i.e. a = b.
> Substituindo na equação original,
>
> x^3 = 0, logo é impossível que haja raízes não-nulas.
Desculpem, escrevi uma besteira monstruosa...
A equação é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3 que, pelo Último Teorema de Fermat, não
tem soluções inteiras não-nulas. Logo x não pode ser inteiro.
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAGvE9alOQFrvzGQoRAm3WAKDdrsTY6LokPH8L7iiUun41qiKz0QCghQZA
tgonOMYAQNa4FJr2P8ZoYxw=
=Jmr3
-END PGP SIGNATURE-
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[Thursday 29 January 2004 11:07: [EMAIL PROTECTED]
> Seja a equação:
>
> x^3 + ( 3.a - 3.b).x^2 + ( 3.(a^2) - 3.(b^2) ).x + a^3 - b^3 =0, com a e b
> inteiros positivos. Poderá haver alguma solução em Z-{0}?
> [...]
Isso é (x+a)^3 = (x+b)^3. Nos reais, isso implica x+a = x+b, i.e. a = b.
Substituindo na equação original,
x^3 = 0, logo é impossível que haja raízes não-nulas.
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAGuqzalOQFrvzGQoRApkEAJ9wNNnqPkvPrSomR5xSRHOoL67hBwCfQLkD
rGAHcdONz4bDa2y0RxGpBGY=
=F0hV
-END PGP SIGNATURE-
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Principio da Indução Finita(PIF)...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Tuesday 28 January 2003 18:24: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]>] > Pessoal, estava estudando por Iezzi e para a explicação sobre o princípio > de indução finita(pif) ele usou o exemplo da "soma dos n primeiros números > ímpares positivos": > 1+3+5+...+(2n-1)=n^2(n E N*). > Acontece que, 2n-1 nem sempre representa um numero primo, de fato para n=8 > ou para n=33 teremos 15 e 65 ambos divisiveis por 5. O que não entendi foi > que pela demonstração do PIF (que por sinal eh bastante coerente), essa > propiedade eh valida!, alguem saberia dizer qual o erro? > [...] O PIF não tem *nada* a ver com números primos, mas única e exclusivamente com números naturais; a proposição do Iezzi também não. Não há problema algum em que alguns números utilizados não sejam primos. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAFu+ZalOQFrvzGQoRApp0AKCcn+AKwqSuikWJ+RRJ/y+V6nBlOwCePTQW uw7TV+t/FwLEF2ILpPrKZoQ= =rRv0 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Simples!!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Monday 12 January 2004 14:21: [EMAIL PROTECTED] > Ola Carlos Alberto e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Bom, o que voce entende por "maneira analitica" ? A questao que voce propoe > e bastante trivial e voce poderia fazer assim : > > 1) f(x)=2x-5 ( Dominio : R, Contra-Dominio : R ) > > Suponha que x1=x2. Entao : > 2*x1 = 2*x2 => 2*x1 - 5 = 2*x2 - 5 => f(x1)=f(x2) > Portanto : x1=x2 => f(x1)=f(x2) => funcao injetiva. > [...] A implicação x=y => f(x)=f(y) vale para qualquer função trivialmente. A implicação que prova a injetividade é f(x)=f(y) => x=y (ou, naturalmente, a sua contrapositiva). De qualquer forma, basta inverter a cadeia de implicações acima. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAAvaualOQFrvzGQoRAudzAJwKZmwKUbGWJepRhwJbXgzpRl+lhQCcDHUe lmPqaHD0ss5v6t63HcZqlVE= =aZJ1 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Tuesday 06 January 2004 18:32: <[EMAIL PROTECTED]>] > Olá, > > Já que foi citado um livro de análise combinatória, eu gostaria de tirar > uma dúvida com vocês: > > No vestibular de 2004 da UFPR, há uma questão de probabilidade que acaba > caindo em números combinatórios (combinações), com taxa menor que o > número de elementos. Algo como, por exemplo, combinação de 3 elementos, > tomados 5 a 5. > Tudo o que eu vi até hoje diz que não existe tal combinação, pois o > número de elementos deve ser maior ou igual à taxa. > No site da UFPR, no gabarito oficial, ela afirma que tal combinação vale > zero. > Até concordo que haja lógica nisso, pois há zero grupos de 5 elementos > que podem ser formados com 3 disponíveis. Mas eu nunca havia visto isso > como definição, o que me faz crer que se não houver referência a isso em > um livro "sério", o conceito não deveria ser usado em um vestibular. > O que vcs acham? > [...] Direto do [Morgado, Pitombeira, Carvalho, Fernandez. _Análise Combinatória e Probabilidade_]: "Encerramos esta seção com algumas observações: a expressão C(n;p) = n*(n-1)*...*(n-p+1)/p! faz sentido para qualquer n real, desde que p seja um inteiro positivo. Definiremos então para qualquer n real e qualquer p inteiro não negativo o binomial de n sobre p por C(n;p) = n*(n-1)*...*(n-p +1)/p! (p>0) e C(n;0) = 1. "Assim, por exemplo, temos "C(1/2;3) = (1/2)*(1/2-1)*(1/2-2)/3! = 1/16 "C(-5;4) = (-5)*(-6)*(-7)*(-8)/4! = 70 "C(3;5) = 3*2*1*0*(-1)/(5!) = 0". É bem capaz da UFPR ter escolhido justamente C(3;5) para poder derrubar os possíveis recursos com essa bibliografia. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQE/+0Q7alOQFrvzGQoRAkbEAJ0QQcOJZl/XshQvUX5+/JW5KYzhdACfedlF wCO8Juo0yHxJxzO+R9OQ/ug= =Vfu2 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma das raízes
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Tuesday 30 December 2003 23:23: [EMAIL PROTECTED] > Dada a equação do 2º grau 2x^2 - 5x - 1 = 0 e sendo x1 > e x2 as raízes calcule: > > 1 / x1 + 1/x2 > > resolvendo a equação encontramos como raízes: > > x1 = (5 + sqrt(33)) / 8 > x2 = (5 - sqrt(33)) / 8 > [...] O denominador é 4. De qualquer forma, a intenção do autor *não* é que você calcule x1 e x2 e depois calcule, no braço, 1/x1 + 1/x2. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD4DBQE/8i33alOQFrvzGQoRAjHeAJ97EfWBbIXzk5FuPuNzl1jpXSEi9QCXXeKk yrA+bQr2BdunrIznyv52sA== =5RKW -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a obm esta certa????(respondam por favor)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Wednesday 24 December 2003 00:36: [EMAIL PROTECTED] > caros amigos > > meu nome eh victor e eu participei da obm 2003. tive uma duvida no problema > 3, eu achei que minha solucao estava certa, discuti com os professores do > colegio bandeirantes onde eu estudo e eles tambem acharam que ela estava > certa, porem quando saiu o resultado da obm percebi que eles naum tinham > considerado essa resolucao > > qual eh o erro ??? respondam por favor!! > > PROBLEMA 3: > Seja ABCD um losango. Sejam E, F, G e H pontos sobre os lados AB, BC, CD e > DA, > respectivamente, e tais que as retas EF e GH são tangentes à circunferência > inscrita no losango. > Prove que as retas EH e FG são paralelas. > > aqui vai um resumo da minha resolução se naum ficar claro por favor me > respondam que eu mando ela como eu fiz na prova. > > Neste problema tentei criar duas situações em que seja impossível que em > ambos os casos as retas EH e FG sejam paralelas e que ao mesmo tempo essas > situações estejam de acordo com o enunciado dessa forma estaria demonstrado > que as retas EF e GH não são paralelas como propõe o enunciado. > [...] O enunciado não diz que as retas EF e GH tem que ser não-paralelas, nem pede para demonstrar isso. Ele quer que você prove que EH e GF são paralelas sempre que EF e GH tangenciarem a circunferência; analisar apenas dois casos não basta. > [...] > Na situação 1, fixa-se o ponto E entre o ponto de tangencia da > circunferência no lado AB e o vértice B. > Dessa forma a reta EF só pode estar em uma posição (coincidindo com a reta > que contém o lado AB, conseqüentemente F coincide com A)). > > Então, fixa-se o ponto h entre o ponto de tangencia da circunferência com o > lado DA e o vértice A (próximo ao vértice A) dessa forma o ponto g > coincidira com a extremidade do lado DC (ponto D). > [...] Eu também notei que existiam "contraexemplos" durante a prova; parece que a banca considerou, na expressão "sobre o lado AB", apenas o *interior* do segmento de reta AB. Eu não sei se esta definição é comum (Nicolau, Morgado, Barone, alguém sabe?), mas não gostei do enunciado desta questão devido a esta ambigüidade. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQE/6Z+8alOQFrvzGQoRAqqHAJ90KJ8xCb0gUH2EEsteFY9qVymPfACcDipd vSrJe7BAgUaV1G5Tf4s4aA4= =5F8i -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda! (Cadeias de Markov).
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sharon Guedes]: > Olá, alguém poderia me ajudar nessas questões? > > 1) Numa pesquisa procura-se estabelecer uma correlação entre os níveis de > escolaridade de pais e filhos, estabelecendo as letras: P para os que > concluíram o curso primário; S para os que concluíram o secundário; e U > para quem concluíu o curso universitário. A probabilidade de um filho > pertencer a um desses grupos, dependendo do grupo em que o pai está, é dada > pela matriz: PS T > P 2/3 1/30 > S 1/3 1/3 1/3 > T 01/3 2/3 > Qual a probabilidade de um neto, de um indivíduo que concluíu o curso > secundário, ser universitário? > [...] Basta elevar a matriz de probabilidade dos três estados ao quadrado, para saber a probabilidade de cada estado após dois passos, dado o estado inicial. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQE/bjsdalOQFrvzGQoRAgggAJ9BKqo5d5CI2hrYPgC1VTVXErEuGwCgjrJv LA9C2Tg+BEn5kLlnA/Hl3+w= =o9Cz -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Resultados da Ibero 2003
Oi pessoal, Já saíram os resultados da Ibero 2003: Aluno Problema 1 2 3 4 5 6 Total BRA1 (Alex) 7 6 7 7 7 7 41 BRA2 (Davi) 5 7 6 2 7 7 34 BRA3 (Fábio)7 7 7 7 7 7 42 BRA4 (Samuel) 7 7 0 5 7 3 29 Vocês podem ver a prova em http://www.campus-oei.org/oim/xviiioim.htm []s do Alex, Davi, Fábio, Samuel, Morgado e Luzinalva, -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2003
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Thiago Cerqueira]: > Aí galera: > Fiz hj a 2ª fase da olimpíada Brasileira de Matemáti. Tinha uma questção > que viajei: > > Q1) Seja ABC um triângulo retângulo em A, defina P, um ponto pertencente ao > perimetro de ABC, tal que a somo AP+BP+CP seja mínima. > > > E aí? Como faço? > Espero a resposta. Shine, Gugu, Onofre, Quero ver! > [...] Você evidentemente não leu o email da Nelly: [Olimpiada Brasileira de Matematica]: > [...] > Como voces ja sabem, (ainda que ha alguns amigos que nao gostam > muito), vou pedir a voces para NAO comentarem os enunciados das > provas (isto esta valendo para todos os niveis) nas listas de discussao > *todas* ;) ate' segunda-feira 15/9 quando a "menina super-poderosa aqui" > colocara' no nosso site o aguardado gabarito com os criterios de correcao > > :) :) > [...] []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQE/Y0ZQalOQFrvzGQoRArXxAKC+BQWBuCryeuCCjAf2FfTwYbZsuACgjtCB VycSz0wtJPyFrOhDoZjO5KM= =xjgK -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
