[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
A minha conclusão de que f e g não têm zeros em C sse f = g está equivocada. É verdade que se f e g não têm zeros então f = g. Mas a recíproca não é verdadeira > >> Artur >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Naquele meu outro post, houve um equívoco no enunciado do T. de Rouché. > A desigualdade > > |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)| > > tem que valer apenas no traço W* da curva. > > Artur > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Em qui, 30 de jul de 2020 16:22, Artur Costa Steiner
escreveu:
> Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
> da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
> teorema diz:
>
> Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
> z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
> funções holomorfas em V tais que
>
> |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
>
> para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
> em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
>
> Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
> que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
> área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
> disco aberto D(a, r).
>
> No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
> suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
> de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
> domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
> entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
> finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
>
> Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
> |z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
> g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
> g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
>
> |f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
>
> Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
> periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
> mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
>
> Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
>
> Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
> líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
> polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
>
> Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
>
> f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
>
> Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
> positivo.
>
> Abs
>
> Artur
>
>
> Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>>
>> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>>
>>> Abs
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Fwd: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
-- Forwarded message Bom Bernardo, neste caso, o s zeros de g formam um conjunto infinito e ilimitado. Vamos ter 0/0 uma infinidade de vezes. O limite dado perde o sentido, certo? Artur Em qui, 30 de jul de 2020 16:33, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner > wrote: > > > > Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1. > Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros > de f é igual ao número de zeros de g. > > Se f(z) = sin(z), g(z) = f(z), f e g têm o mesmo número de zeros, mas > não é finito. Tem que supor f != g? > > Ainda assim, o resultado é surpreendente. vou pensar um pouco mais se > acho alguma coisa com produto de Hadamard. > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
teorema diz:
Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
funções holomorfas em V tais que
|f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
disco aberto D(a, r).
No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
|z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
|f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
positivo.
Abs
Artur
Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara
escreveu:
> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>
> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>
>> Abs
>>
>> Artur
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda? On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1. > Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros > de f é igual ao número de zeros de g. > > Abs > > Artur > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1. Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros de f é igual ao número de zeros de g. Abs Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Olá Israel, coloquei um pdf em inglês sobre o assunto no link abaixo.Espero que te atenda. É recheado de exemplos... https://drive.google.com/file/d/0B-1sAhj7LSlyT1VwMkxGU3lvTkE/view?usp=sharing Em 28 de março de 2015 09:07, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Entra neste link e pega a eureka n 11 Abraços Hermann - Original Message - From: Maikel Andril Marcelino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 28, 2015 6:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ não enviei o link revista n 11 séries formais Abraços Hermann - Original Message - From: Maikel Andril Marcelino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 28, 2015 6:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Funções geradoras
Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] funções injetivas
Olá.Até onde eu sei, os conceitos são os mesmos quaisquer que sejam as naturezas do domínio e do contradomínio da função. Não mudam uma vírgula sequer. From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funções injetivas Date: Fri, 21 Nov 2014 03:54:55 +0300 Olá pessoal, tudo bem? Minha dúvida é de cunho teórico. Há, no âmbito de funções de duas variáveis (ou mais) f(x,y), alguma generalização do conceito de injetividade, sobrejetividade e bijetividade? Att.Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] funções injetivas
Olá pessoal, tudo bem? Minha dúvida é de cunho teórico. Há, no âmbito de funções de duas variáveis (ou mais) f(x,y), alguma generalização do conceito de injetividade, sobrejetividade e bijetividade? Att.Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Funções
Sejam f e g duas funções f: X -- Y e g: Y-- X.Prove que a) Se gof é injetiva,então f é injetiva b) Se fog é sobrejetiva,então g é sobrejetiva -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Funções
Profmat... Nehab Enviado via iPhone Em 10/03/2014, às 08:00, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Sejam f e g duas funções f: X -- Y e g: Y-- X.Prove que a) Se gof é injetiva,então f é injetiva b) Se fog é sobrejetiva,então g é sobrejetiva -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Funções
Sejam: f:A-B, g:B-C e a composta h=gof:A-C. Se h eh injetora queremos provar que f também eh. Sejam a,b elementos de A. Fazendo: f(a)=f(b), tem-se que estas imagens sao elementos de B, logo pertencem ao dominio de g e podemos aplicar: f(a)=f(b) - g(f(a))=g(f(b)) - h(a)=h(b). Pela injetividade de h, tem-se a=b. CQD Se h eh sobrejetora, queremos provar que g também eh. Supondo por absurdo que g não seja sobrejetora, então existe u pertencente ao conjunto C tal que não exista nenhum t em B de modo que g(t)=u. Mas como u pertence ao contradomínio de h e esta eh sobrejetora, então existe p em A tal que h(p)=u. Logo: h(p)=g(f(p))=u. Mas sabe-se que f(p) pertence a B que eh o domínio de g, dessa forma existe sim um t=f(p) em B tal que g(t)=u. CQD Vlw! Em 10/03/2014, às 08:00, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Sejam f e g duas funções f: X -- Y e g: Y-- X.Prove que a) Se gof é injetiva,então f é injetiva b) Se fog é sobrejetiva,então g é sobrejetiva -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Funções de variação limitada formando um espaço de Banach
Boa noite amigos, Voltando à nossa lista depois de uma ausência forçada que achei que ia me tirar de outras listas deste mundo... Sugiro este, sobre o qual ainda estou pensando: Seja L a coleção de todas as funções reais de variação limitada no compacto [a, b]. Definamos uma norma em L por ||f|| = |f(a)| + V(f), sendo V(f) a variação de f. Mostre que, com esta norma, L é um espaço de Banach Um abraço para todos Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções
Seja f: R-R definida por: f(x) = (x+a)/(x+b) se x != -b -1 se x = -b Se f(f(x)) = x qualquer que seja x pertencente aos reais, determine a.b Eu tentei fazer mas não to conseguindo achar f, alguém dá uma ajuda? O exercício parece ser bem fácil, mas não tá saindo por nada []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Olá! Veja que pra f(f(x))=x a gente precisa que f seja sobrejetora. Mas note que pra 1 estar na imagem de b, precisa existir x (diferente de -b) tal que (x+a)/(x+b)=1, ou seja, precisamos de a=b, mas nesse caso a imagem de f é só 1 e -1, e f ainda assim não é sobrejetora. Então não existem tais a e b. Talvez esse problema tenha resposta se trocar f(-b) por 1. Lucas Colucci Em 8 de setembro de 2013 00:18, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: Seja f: R-R definida por: f(x) = (x+a)/(x+b) se x != -b -1 se x = -b Se f(f(x)) = x qualquer que seja x pertencente aos reais, determine a.b Eu tentei fazer mas não to conseguindo achar f, alguém dá uma ajuda? O exercício parece ser bem fácil, mas não tá saindo por nada []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Funções periódicas nos complexos
Olá amigos, Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva. Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se enquadre em tais combinações. Eu estou certo? Alguém conhece este assunto? Abraços Artur Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Olá amigos,
Oi Artur,
Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo
análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor
absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos
inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No
caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.
Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
meio especial, o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
inf { |p| / p período, p != 0 }.
Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil
ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não
consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um
p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O
que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos
períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva.
É basicamente um argumento de inf = min em conjuntos discretos.
Considere todos os períodos que não estão na reta pZ, chame este
conjunto de PP. Eles estão todos a distância maior ou igual a r da
origem, e pela minimalidade de p, há apenas um número finito deles em
qualquer disco de raio R. Considere portanto uma aplicação f : PP
inter D_R x [0,p] - R dada pela distância de um ponto periódico em
D_R e um ponto no segmento 0-p. Ela é contínua, logo admite um mínimo
diferente de zero. Agora, se R é suficientemente grande, por conta da
simetria de translação, este mínimo será também o mínimo da função F :
PP x pR - R distância. (Formalize este último argumento. Dica: comece
estimando o mínimo com um ponto qualquer q em PP.)
Hum, relendo tudo aqui, eu vi que eu me confundi com a reta dos
múltiplos inteiros e provei que o mínimo é para todos os pontos da
reta, e não apenas (como fica claro na parte seguinte) que são apenas
os pontos pZ e todos os outros pontos que você está falando. A
demonstração, entretanto, é exatamente a mesma. Não dá pra fugir da
compacidade ;-).
Dê uma olhada em lattices na Wikipedia (em inglês, ou, com mais
figuras ainda, réseaux em francês). (adendo: palavrinha chata, ela
se diz reticulado ou retículo em português... muitas diferenças em
línguas simples!)
Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o
conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações
são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se
enquadre em tais combinações.
Isso é um argumento muito legal de álgebra linear com coeficientes
inteiros / racionais. A idéia intuitiva é que um reticulado com mais
do que n geradores L.I. sobre Q, todos os geradores em R^n, não é
discreto. Assim, se p/q fosse real, teríamos dois geradores
independentes sobre Q, logo uma seqüência de pontos z_n - 0 onde
f(z_n) = f(0), logo f seria constante (e aqui você usa que f é
analítica).
Eu estou certo? Alguém conhece este assunto?
Se você quiser olhar para as funções meromorfas (bi-)periódicas, estas
são as belíssimas funções p de Weierstrass, e têm a ver com Teo dos
Números e geometria complexa. Se for mais a parte de Álgebra Linear,
tem também várias coisas (e também muitas coisas de Teo dos Números,
claro), e daí eu conheço menos...
Abraços
Artur
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2013/9/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Olá amigos,
Oi Artur,
Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo
análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor
absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos
inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No
caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.
Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
meio especial, o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
inf { |p| / p período, p != 0 }.
Ah, sim, faltou o exemplo:
considere a função
f(z) = sum_{m,n inteiros} 1/(z - m - n*i)^3
que é (por definição!) periódica de períodos 1 e i. É um pouco mais
chatinho ver que ela é meromorfa, porque daí você tem que provar que
ela é
- uma série convergente para z fora do reticulado {1,i} (use que 1/z^3
é integrável em R^2)
- que a derivada desta série convergente é também uma série
convergente, uniformemente sobre os compactos que não intersectam o
reticulado
porque daí ela será uma função com derivada contínua e z-linear,
portanto holomorfa em todos o C menos nos pólos do reticulado.
Para ver que ela é meromorfa nos pontos do reticulado, isole o termo
1/z^3 numa vizinhança de zero, repita os argumentos de cv uniforme e
veja que a derivada existe.
Como f é periódica, acabou.
Outra demonstração: tome |z| 1/3, expanda todos os termos exceto
1/z^3 em potências de z, usando 1/(z - a) = soma da série geométrica,
depois derivando a série 2 vezes, troque a ordem das somas (atenção
para aplicar Fubini direitinho) e veja que a série assim obtida é um
desenvolvimento de Laurent.
Essa é uma das funções de Weierstrass. Existe uma outra, mais
importante, que é a primitiva desta, mas é mais difícil mostrar que a
primitiva é periódica ;-) (e também é mais difícil mostrar que a
primitiva é uma função meromorfa bonitinha).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Funções inteiras no plano complexo
Eu me dei conta disso há pouco tempo. Achei interessante mostrar isto. Sejam f e g funções inteiras tais que, para todo z, tenhamos |f(z)| = |g(z)|. Existe então uma constante complexa k tal que, para todo complexo z, f(z) = k g(z). Abraços Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funções complexas sobrejetivas
Esta é realmente difícil, eu não consegui provar. Bom, difícil para mim... Abraços. Artur Costa Steiner Em 06/01/2013, às 19:48, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: Pensando um pouco no problema do Artur, eu tentei resolver a seguinte generalização: Sejam f e g duas funções holomorfas sobre C. Suponha que f é sobrejetiva, e que M(g) = o(M(f)), onde M(f) é a função que dá o máximo do valor absoluto de f sobre um disco de raio R. Assim, no problema do Artur, teríamos f(x) = cos(x) e g(x) = x^2. Será que f + g é sobrejetiva também? Sabemos que a imagem de f e g é bem próxima (porque o valor da g não deve influenciar sobre quadrantes etc), e há vários resultados sobre f(z) = w + g(z), mas como sempre há exceções de Picard, tipo um ponto excepcional. Eu acho que existem casos excepcionais onde f + g pode não ser sobrejetiva. Será que é simples de excluir? Uma idéia que eu tive é que f(z) = w tenha mais soluções do que g(z) = t, para todos w e t, mas ainda assim acho que não dá certo. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
Sugestão: 1) basta demonstrar para o caso em que a = 1 e k = 1. Pense na função g(z) = P(z) exp(-z) e no grande teorema de Picard. 2) também basta demonstrar para o caso a = 1, k = 1. E basta demonstrar para o eixo real. As raízes reais vão formar um conjunto limitado, talvez vazio. Se houver uma infinidade de raízes, o conjunto vai ter ponto de acumulação e aí o bicho pega. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 06/01/2013, às 22:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas não nulas. Mostre que 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de raízes. Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a notação. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas não nulas. Mostre que 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de raízes. Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a notação. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas não nulas. Mostre que 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de raízes. Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções Vetorias
Por favor, podem me ajudar nessa questão Considere a hélice definida por h(t) = (a.cos(t) , a.sen(t) , b.t). Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo z, e que o cosseno desse ângulo é b / [(a² + b²) ^ 1/2] Obrigado
[obm-l] Re: [obm-l] Funções Vetorias
O vetor velocidade da curva, h'(t)=(-a.sen(t), a.cos(t), b), para um dado t, é o coeficiente angular da reta tangente a curva em seu respectivo ponto. Seja o eixo z representado pelo vetor z=(0, 0, 1). Agora fazendo o produto escalar entre os vetores h'(t) e z, temos: ||h'(t)|| = (a²+b²)^(1/2) ||z|| = 1 ||h'(t)||.||z||.cos(k) = (-a.sen(t).0) + (a.cos(t).0) + (b.1) ((a²+b²)^(1/2)).cos(k) = b cos(k) = b / ( (a²+b²)^(1/2) ) Onde k é o angulo entre os vetores h'(t) e z. Em 24 de junho de 2011 22:06, Rafael Antunes de Andrade rafael.antunes2...@gmail.com escreveu: Por favor, podem me ajudar nessa questão Considere a hélice definida por h(t) = (a.cos(t) , a.sen(t) , b.t). Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo z, e que o cosseno desse ângulo é b / [(a² + b²) ^ 1/2] Obrigado
[obm-l] Funções Pares e Ímpares
Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. Uma regra fácil só vale pra multiplicação, por uma razão óbvia... ou para operações que não mudam o sinal, ou seja, par (operacao) par é sempre par, mas por exemplo ímpar (operação) ímpar nem sempre é par, nem sempre é ímpar... aliás, i(1) = 1 + 1/1 = 2 != 0 = (-1)^2 + 1/(-1) = i(-1) -- Henrique abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. Em 04/08/10, Bernardo Freitas Paulo da Costabernardo...@gmail.com escreveu: 2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. Uma regra fácil só vale pra multiplicação, por uma razão óbvia... ou para operações que não mudam o sinal, ou seja, par (operacao) par é sempre par, mas por exemplo ímpar (operação) ímpar nem sempre é par, nem sempre é ímpar... aliás, i(1) = 1 + 1/1 = 2 != 0 = (-1)^2 + 1/(-1) = i(-1) -- Henrique abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. As provas são imediatas da definição. Uma função f é dita impar sse f(-x) = -f(x) Uma função f é dita par sse f(-x) = f(x) Então vamos trabalhar com os produtos. Seja g ímpar e f par: f(-x) * g(-x) = - f(x)*g(x) Então a função produto é ímpar. Se ambas forem pares: f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Se ambas forem ímpares: f(-x) * g(-x) = (-f(x))*(-g(x)) f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Suponha que f é par e g é par: Então f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) Então a função da soma é par Suponha que f é ímpar e g é impar: Então f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = - (f(x) + g(x)) Então a soma é ímpar. Note que criamos uma terceira função, diga h em todos os casos. Nos casos em que trabalhamos com o produto h(x) = f(x) * g(x), e quando trabalhamos com a soma h(x) = f(x) + g(x) O que fizemos foi provar nos casos acima que h(-x) = h(x), para quando o h fosse par, ou que h(-x) = -h(x) quando h fosse ímpar. -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Ah, esse professor é malandro. Mas ele deu a dica pra você na forma da função. Veja que a raiz quadrada só serve para garantir que x 2, senão, não teríamos um mínimo. Muito bem. Agora, como a raiz quadrada é crescente, basta achar o máximo de x^2/(x-2), não é? Uma idéia então é partir pra MA = MG (ou, na verdade, a média quadrática = MA). Eu acho mais bonitinho assim: suponha que você já conhece a resposta, e portanto você sabe que x^2 / (x-2) = A, sempre para todo x = 2. Muito bem, o que a gente pode concluir? Isso dá uma inequação do segundo grau, x^2 - Ax + 2A = 0. Que tem uma única solução, pois o mínimo é atingido uma única vez. Ou seja, Delta = 0. Ora, isso dá A^2 - 4*2A = 0, ou A = 8. Agora acabou. Você já sabe o mínimo, é sqrt(8) (pois a gente não tirou a raiz). E se ele pedir a abscissa, basta você achar o zero do polinômio quadrático lá em cima, agora que você já sabe quem é o A. Bonito problema, mas acho que na vida real uma coisa dessas se faria derivando mesmo, é mais metódico. Acho que o importante aqui é, antes de tudo, perceber que basta estudar antes da raiz quadrada. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/3/21 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com: Pessoal, seguinte... Tô no primeiro ano de física na usp aqui de São Carlos. O professor enviou uma lista essa semana. Um dos exercícios é: Pede pra achar o conjunto dominio e imagem de sqrt((x^2)/(x-2)) Tentei resolver assim: =|x|/sqrt(x-2) , como o dominio da funcao é x2, logo o x é positivo, entao eu posso tirar o modulo: =x/sqrt(x-2) O problema tá pra descobrir o ponto mínimo da função. Sei que se eu derivar essa funcao e igualar a zero irei achar o ponto minimo, mas o professor ainda nao deu derivada, logo ele está querendo que façamos esse exercicio de uma outra maneira. Como? -- Emanuel Valente Instituto de Física de São Carlos - USP http://twitter.com/epaduel epad...@hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Funções
Oi Emanuel, já tentou verificar o que acontece quando x tende a infinito? Abraços, Carlos Juiti Watanabe De: Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 21 de Março de 2010 2:13:02 Assunto: [obm-l] Funções Pessoal, seguinte... Tô no primeiro ano de fÃsica na usp aqui de São Carlos. O professor enviou uma lista essa semana. Um dos exercÃcios é: Pede pra achar o conjunto dominio e imagem de sqrt((x^2)/(x-2)) Tentei resolver assim: =|x|/sqrt(x-2) , como o dominio da funcao é x2, logo o x é positivo, entao eu posso tirar o modulo: =x/sqrt(x-2) O problema tá pra descobrir o ponto mÃnimo da função. Sei que se eu derivar essa funcao e igualar a zero irei achar o ponto minimo, mas o professor ainda nao deu derivada, logo ele está querendo que façamos esse exercicio de uma outra maneira. Como? -- Emanuel Valente Instituto de FÃsica de São Carlos - USP http://twitter.com/epaduel epad...@hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Funções
Ops, desculpem, como li rapidamente, não vi que o problema era o mínimo. Por um motivo de desconfiguração, saiu um caracter parecido com um A perto do primeiro m da palavra mínimo, li (rapidamente, diga-se de passagem) máximo. Desconsiderem esse e-mail e o meu anterior. Abraços, Carlos Juiti Watanabe De: Carlos Watanabe carwa...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 21 de Março de 2010 21:31:06 Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] Funções Oi Emanuel, já tentou verificar o que acontece quando x tende a infinito? Abraços, Carlos Juiti Watanabe De: Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 21 de Março de 2010 2:13:02 Assunto: [obm-l] Funções Pessoal, seguinte... Tô no primeiro ano de fÃsica na usp aqui de São Carlos. O professor enviou uma lista essa semana. Um dos exercÃcios é: Pede pra achar o conjunto dominio e imagem de sqrt((x^2)/(x-2)) Tentei resolver assim: =|x|/sqrt(x-2) , como o dominio da funcao é x2, logo o x é positivo, entao eu posso tirar o modulo: =x/sqrt(x-2) O problema tá pra descobrir o ponto mÃnimo da função. Sei que se eu derivar essa funcao e igualar a zero irei achar o ponto minimo, mas o professor ainda nao deu derivada, logo ele está querendo que façamos esse exercicio de uma outra maneira. Como? -- Emanuel Valente Instituto de FÃsica de São Carlos - USP http://twitter.com/epaduel epad...@hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Funções
Pessoal, seguinte... Tô no primeiro ano de física na usp aqui de São Carlos. O professor enviou uma lista essa semana. Um dos exercícios é: Pede pra achar o conjunto dominio e imagem de sqrt((x^2)/(x-2)) Tentei resolver assim: =|x|/sqrt(x-2) , como o dominio da funcao é x2, logo o x é positivo, entao eu posso tirar o modulo: =x/sqrt(x-2) O problema tá pra descobrir o ponto mínimo da função. Sei que se eu derivar essa funcao e igualar a zero irei achar o ponto minimo, mas o professor ainda nao deu derivada, logo ele está querendo que façamos esse exercicio de uma outra maneira. Como? -- Emanuel Valente Instituto de Física de São Carlos - USP http://twitter.com/epaduel epad...@hotmail.com = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções Periódicas
Ah algum tempo me deparei novamente com esta função F(x)= sen(x^2), da primeira vez fui indagado se ela seria periodica ou não, semanas atras estudando, o clássico livro de analise do Elon vol.1 indagava sobre sua convergencia não uniforme. Provar que F(x)=sen(x^2) é não periódica seria o mesmo que provar que ela não é uniformente contínua? O mesmo vale para uma função qualquer?
[obm-l] [obm-l] Funções
Ola Bernardo, Vc tem algum livro ou material para indicar ? Abs Felipe --- Em ter, 10/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 18:04 2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Legal ! Essa é uma questão muito importante ! Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Ok, isso mesmo... agora, precisamos formalizar um pouco mais o que será o seu funções algébricas e funções trigonométricas, para a gente poder dar uma resposta correta! Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe Se f e g forem polinômios, acho que você consegue provar que realmente f=g o tempo todo se f=g num intervalo. Se você já estudou funções complexas, você sabe também que isso vale para quaisquer duas funções holomorfas. Senão, é exatamente isso que você tem que estudar!! Com um pouco mais de análise, você pode conseguir demonstrar um resultado análogo para funções meromorfas, o que permite usar frações. Mas, por enquanto, nada de raízes, nem logaritmos, só polinômios, exponenciais, e outras funções regulares (e compostas, portanto seno, cosseno, etc ok, tangente é mais complicado, mas dá pra incorporar...) Bom, eu vou ficando por aqui, mas sugiro que você dê uma boa estudada nisso, ou, se já estudou, continue propondo mais funções que você gostaria de ver na lista da unicidade! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Funções
Pessoal, Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo [a,b], podemos afirmar que f(x)=g(x) ?? Abs Felipe Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo [a,b], podemos afirmar que f(x)=g(x) ?? O que você quer dizer por possuem a mesma imagem ? f([a,b]) = g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra. Segunda coisa, o que é uma função trigonométrica pra você ? sin, cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual justificativa para essas respostas (bom, pode ser simplesmente um exercício, mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer com cada uma) Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais (contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver ! Abs Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe --- Em ter, 10/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 13:45 2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo [a,b], podemos afirmar que f(x)=g(x) ?? O que você quer dizer por possuem a mesma imagem ? f([a,b]) = g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra. Segunda coisa, o que é uma função trigonométrica pra você ? sin, cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual justificativa para essas respostas (bom, pode ser simplesmente um exercício, mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer com cada uma) Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais (contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver ! Abs Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Legal ! Essa é uma questão muito importante ! Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Ok, isso mesmo... agora, precisamos formalizar um pouco mais o que será o seu funções algébricas e funções trigonométricas, para a gente poder dar uma resposta correta! Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe Se f e g forem polinômios, acho que você consegue provar que realmente f=g o tempo todo se f=g num intervalo. Se você já estudou funções complexas, você sabe também que isso vale para quaisquer duas funções holomorfas. Senão, é exatamente isso que você tem que estudar!! Com um pouco mais de análise, você pode conseguir demonstrar um resultado análogo para funções meromorfas, o que permite usar frações. Mas, por enquanto, nada de raízes, nem logaritmos, só polinômios, exponenciais, e outras funções regulares (e compostas, portanto seno, cosseno, etc ok, tangente é mais complicado, mas dá pra incorporar...) Bom, eu vou ficando por aqui, mas sugiro que você dê uma boa estudada nisso, ou, se já estudou, continue propondo mais funções que você gostaria de ver na lista da unicidade! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções
Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
Re: [obm-l] Funções
Dica: Tente com polínômios de TERCEIRO grau. ;) Walter Tadeu Nogueira da Silveira escreveu: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Oi, Walter. Voce estah usando x=n? Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porque tem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) tem uma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para n impar. O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse (-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto da formula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcao quadratica em n. Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n. Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n) sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer. Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas, qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz daria sempre algo do tipo: f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos que depende linearmente de n) Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh uma funcao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n) se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh alguma funcao quadratica. Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- mas esta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos pares f tem OUTRA formula quadratica. Abraco, Ralph P.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para 0x1, e mesmo assim ha uma funcao f(x) definida nos reais que coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz as condicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem as condicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voce achou **nos inteiros**. 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Muito obrigado, Prof Ralph e colegas Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs)) Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado. Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os ímpares? Pergunta: Como decido no caso se n é par ou ímpar? A função é do 2º grau, mas esse n não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph Obrigado mais uma vez 2009/10/31 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. Entao vejamos. Como: f(x)+f(x+1)=x^2 f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) Isto significa que: f(17)=f(15)+31 f(19)=f(17)+35 f(21)=f(19)+39 ... f(99)=f(97)+195 Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dos parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. Agora eh soh terminar as contas. Abraco, Ralph P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 01/11/2009 00:30, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Oi, Walter. Voce estah usando x=n?Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porquetem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) temuma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para nimpar.O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse(-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto daformula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcaoquadratica em n.Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n.Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n)sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer.Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas,qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz dariasempre algo do tipo:f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos quedepende linearmente de n)Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh umafuncao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n)se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh algumafuncao quadratica.Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- masesta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos paresf tem OUTRA formula quadratica.Abraco,RalphP.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para0coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz ascondicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem ascondicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voceachou **nos inteiros**.2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Sil veira : Muito obrigado, Prof Ralph e colegas Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs)) Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado. Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os Ãmpares? Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou Ãmpar? A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph Obrigado mais uma vez 2009/10/31 Ralph Teixeira Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. Entao vejamos. Como: f(x)+f(x+1)=x^2 f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) Isto significa que: f(17)=f(15)+31 f(19)=f(17)+35 f(21)=f(19)+39 ... f(99)=f(97)+195 Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dos parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. Agora eh soh terminar as contas. Abraco,     Ralph P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira : Amigos, Uma questão dizi a: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² ; Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 17:12, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com escreveu: Muito obrigado, Prof Ralph e colegas  Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs))  Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado.  Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os Ãmpares?  Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou Ãmpar? A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph  Obrigado mais uma vez  2009/10/31 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema.Entao vejamos. Como:f(x)+f(x+1)=x^2f(x-1)+f(x)=(x-1)^2Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1)Isto significa que:f(17)=f(15)+31f(19)=f(17)+35f(21)=f(19)+39...f(99)=f(97)+195Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dosparenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendof(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2.Agora eh soh terminar as contas.Abraco,    RalphP.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh umpolinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nospares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x).2009/10/3 1 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f( 100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= -- Walter Tadeu Nogueira da Silveirahttp://www.professorwaltertadeu.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 16:57, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema.Entao vejamos. Como:f(x)+f(x+1)=x^2f(x-1)+f(x)=(x-1)^2Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1)Isto significa que:f(17)=f(15)+31f(19)=f(17)+35f(21)=f(19)+39...f(99)=f(97)+195Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dosparenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendof(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2.Agora eh soh terminar as contas.Abraco,RalphP.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh umpolinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nospares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x).2009/10/31 Walter Tadeu Noguei ra da Silveira : Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 16:42, albert richerd carnier guedes arcgu...@gmail.com escreveu: Desculpa, estava pensando que era outro problema nem percebi. Essa dica não funciona nesse.albert richerd carnier guedes escreveu: Dica: Tente com polÃnômios de TERCEIRO grau. ;) Walter Tadeu Nogueira da Silveira escreveu: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x²& gt; Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html== === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 15:34, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com escreveu: Amigos,  Uma questão dizia:  f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15)  Minha solução:  Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2.Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x²Igualando os coeficientes, temos:2a = 1. Logo a = 1/22a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2a+b+c=0. Então c = 0A função f(x) = x²/2 - x/2Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15²DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001.  Alguma ajuda, por favor...  Abraços-- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 16:32, albert richerd carnier guedes arcgu...@gmail.com escreveu: Dica: Tente com polÃnômios de TERCEIRO grau. ;)  Walter Tadeu Nogueira da Silveira escreveu: Amigos,  Uma questão dizia:  f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15)  Minha solução:  Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2.Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x²Igualando os coeficientes, temos:2a = 1. Logo a = 1/22a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2a+b+c=0. Então c = 0A função f(x) = x²/2 - x/2Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15²DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001.  Alguma ajuda, por favor...  Abraços-- Walter Tadeu Nogueira da Silveira  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções Trigonométricas Inversas
Alguém conhece alguma contextualização ou situação do dia-a-dia em que possamos usar as funções trigonométricas inversas? Ou ainda se há como fazermos um link desse assunto com outra matéria do ensino médio? Desde já agradeço.
[obm-l] Funções
1) Encontre todas as funções tais que f(x2 + f(y)) = y + f(x)2. Dica: prove que f(x2) = f(x)2 e que f(x + y) = f(x) + f(y) para x não negativo e y real. Olá pessoal... Não estou conseguindo resolver esse problema, se posível me enviar uma solução. Desde já agradeço. Pedro Jr
[obm-l] Re: [obm-l] Funções - Outro Problema
Determinar todas as funções de R em R, tais que : f(f(x)) = 6x + f(x) Eu tentei derivar, aplicando a regra da cadeia, mas não tive sucesso..Alguém pode ajudar ? Abs Felipe Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Veja se substituindo x e y por zero ajuda alguma coisa..
--- Em seg, 29/9/08, Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funções
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 29 de Setembro de 2008, 17:53
#yiv2008340030 !--
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1) Encontre todas as funções tais que f(x2 + f(y)) = y + f(x)2.
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Dica: prove que f(x2) = f(x)2 e que f(x + y) = f(x) + f(y) para x não negativo
e y real.
Olá pessoal...
Não estou conseguindo resolver esse problema, se posível me enviar uma solução.
Desde já agradeço.
Pedro Jr
Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] Funções - ITA 1978
Muito obrigado novamente pela atenção Arlane. Eu nem reparei os
contra-exemplos, pois estava com dificuldades mesmo em demonstrar o
item (a).
Obrigado!
2008/5/4 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]:
Escreví uma bobagem no ítem (d). A função tan NÃO está definida nos
pontos de descontinuidade. Bom, então defina f como sendo 0 nestes pontos.
Aí temos o resultado.
Acho que agora acabou!
inté
Citando Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]:
Muito obrigado pela ajuda!
2008/5/3 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]:
(a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que
f(x)=y.
Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em B
tal
que
f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y
pertence
a B.
E está demonstrado.
(b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=e^x = f injetora
Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R.
Temos
que
f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R tal
que
f(x)
está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente
de
B.
ok!
(c) f[ f^-1(B) ] = B
O contraexemplo acima também serve!
(d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=tang(x) = f sobrejetora
Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
ok!
Acho que é isso.
Inté,
Citando Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]:
Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
Obrigado desde já!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática
Instituto de Matemática e Estatística-USP
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Funções - ITA 1978
Escreví uma bobagem no ítem (d). A função tan NÃO está definida
nos pontos de descontinuidade. Bom, então defina f como sendo 0 nestes
pontos. Aí temos o resultado.
Acho que agora acabou!
inté
Citando Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]:
Muito obrigado pela ajuda!
2008/5/3 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]:
(a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que
f(x)=y.
Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em B tal
que
f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y pertence
a B.
E está demonstrado.
(b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=e^x = f injetora
Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R. Temos
que
f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R tal que
f(x)
está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente de
B.
ok!
(c) f[ f^-1(B) ] = B
O contraexemplo acima também serve!
(d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=tang(x) = f sobrejetora
Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
ok!
Acho que é isso.
Inté,
Citando Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]:
Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
Obrigado desde já!
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Arlane Manoel S Silva
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Re: [obm-l] Funções - ITA 1978
(a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que f(x)=y.
Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em
B tal que
f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y
pertence a B.
E está demonstrado.
(b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=e^x = f injetora
Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R. Temos que
f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R
tal que f(x)
está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente de B.
ok!
(c) f[ f^-1(B) ] = B
O contraexemplo acima também serve!
(d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=tang(x) = f sobrejetora
Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
ok!
Acho que é isso.
Inté,
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eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
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Re: [obm-l] Funções - ITA 1978
Muito obrigado pela ajuda!
2008/5/3 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]:
(a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que
f(x)=y.
Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em B tal
que
f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y pertence
a B.
E está demonstrado.
(b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=e^x = f injetora
Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R. Temos
que
f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R tal que
f(x)
está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente de
B.
ok!
(c) f[ f^-1(B) ] = B
O contraexemplo acima também serve!
(d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
Contraexemplo.: f:R--R, f(x)=tang(x) = f sobrejetora
Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
ok!
Acho que é isso.
Inté,
Citando Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]:
Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
Obrigado desde já!
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[obm-l] Funções - ITA 1978
Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
Obrigado desde já!
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Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Kleber, a) Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) #X, isto é, existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos #D(f) = n e #Im(f) n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd) Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) #X, pois #D(f) = n, e 2 deles tem mesma imagem. Mas #Im(f) #X implica que f não pode ser sobrejetiva. Absurdo. (cqd). b) Não. Para a ida, veja que f: N -- N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é sobrejetiva. Para a volta, veja f: Z -- Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é injetiva. abraços, Salhab 2008/4/24 Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED]: Estou com dúvida na seguinte questão : (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X -- X é injetiva se somente se é sobrejetiva. (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta. -- Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Funções Help !!
Ola Marcelo 2008/4/30 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]: Olá Kleber, a) Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) #X, isto é, existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos #D(f) = n e #Im(f) n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd) Seria com f(a) = w nao seria? Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) #X, pois #D(f) = n, e 2 deles tem mesma imagem. Mas #Im(f) #X implica que f não pode ser sobrejetiva. Absurdo. (cqd). b) Não. Para a ida, veja que f: N -- N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é sobrejetiva. Para a volta, veja f: Z -- Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é injetiva. abraços, Salhab 2008/4/24 Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED]: Estou com dúvida na seguinte questão : (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X -- X é injetiva se somente se é sobrejetiva. (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta. -- Kleber B. Bastos -- Henrique
Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Henrique, perfeito! Eu escrevi com x primeiro, mas, por algum motivo maluco, achei mais facil de entender com outra letra.. mas faltou atualizar ali! hehe Obrigado novamente, Salhab 2008/4/30 Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]: Ola Marcelo 2008/4/30 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]: Olá Kleber, a) Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) #X, isto é, existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos #D(f) = n e #Im(f) n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd) Seria com f(a) = w nao seria? Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) #X, pois #D(f) = n, e 2 deles tem mesma imagem. Mas #Im(f) #X implica que f não pode ser sobrejetiva. Absurdo. (cqd). b) Não. Para a ida, veja que f: N -- N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é sobrejetiva. Para a volta, veja f: Z -- Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é injetiva. abraços, Salhab 2008/4/24 Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED]: Estou com dúvida na seguinte questão : (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X -- X é injetiva se somente se é sobrejetiva. (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta. -- Kleber B. Bastos -- Henrique
Re: [obm-l] Funções
Kleber, quem é y?
t+
Jones
On Fri, Apr 25, 2008 at 7:35 AM, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
To resolvendo uma prova. E me deparei com o item c que diz:
(c) Caracterize o conjunto { n e N / y(n) = {n} } ?
Não estou entendendo o que seria caracterizar . . ? E com isso não esotu
conseguindo fazer a letra d que diz :
(d) Determine os conjuntos y^-1(vazio), y^-1({2}), e y^-1({4}) ?
Agradeço se alguém ajudar ...
--
Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Funções
On Fri, Apr 25, 2008 at 7:35 AM, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
To resolvendo uma prova. E me deparei com o item c que diz:
(c) Caracterize o conjunto { n e N / y(n) = {n} } ?
Imagino que é uma função y:N-B onde N, B são conjuntos quaisquer.
olha talvez o problema seja de notação por acaso não esta escrito assim:
{ n pertencentes a N | y(n) = m }?
Isto é a pre-imagem do ponto m pela função y, ou seja, todos os pontos do
domínio de y tais que a imagem dá m, também denotado por y^{-1}(m).
Não estou entendendo o que seria caracterizar . . ? E com isso não esotu
conseguindo fazer a letra d que diz :
(d) Determine os conjuntos y^-1(vazio), y^-1({2}), e y^-1({4}) ?
Se for como na letra (a) aqui ele quer calcular a pré-imagem do conjunto
vazio e depois a pré-imagem dos conjunto formado pelo ponto 2 e depois pelo
ponto 4.
Agradeço se alguém ajudar ...
--
Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Kleber! On 4/24/08, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou com dúvida na seguinte questão : (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X -- X é injetiva se somente se é sobrejetiva. Como X é um conjunto finito ele possui um número de elementos n, onde n está no conjunto dos naturais, e como uma função é sobrejetiva quando sua imagem é igual ao contradomínio, temos nesse caso que X seria a imagem e o próprio contradomínio. Assim, sendo f uma função sobrejetiva e uma aplicação de X a X, todo elemento de X está relacionado a apenas um único elemento do conjunto X (por definição de função), fazendo desse modo todo elemento de X fazer parte da imagem uma única vez, ou seja, a função é injetiva, onde função injetiva seria cada elemento do domínio, conjunto X, se relacionar com um elemento que não está relacionado a nenhum outro do contradomínio. (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta. Como o conjunto é infinito pode-se ter 2 elementos distintos do domínio se relacionando com o mesmo elemento da imagem e ainda assim a função ser sobrejetiva com a imagem igual ao contradomínio, já que existem infinitos elementos no conjunto. Portanto, acredito que para um conjunto infinito a função f não seria injetiva embora seja sobrejetiva. -- Kleber B. Bastos -- Henrique
[obm-l] Funções
To resolvendo uma prova. E me deparei com o item c que diz:
(c) Caracterize o conjunto { n e N / y(n) = {n} } ?
Não estou entendendo o que seria caracterizar . . ? E com isso não esotu
conseguindo fazer a letra d que diz :
(d) Determine os conjuntos y^-1(vazio), y^-1({2}), e y^-1({4}) ?
Agradeço se alguém ajudar ...
--
Kleber B. Bastos
[obm-l] Funções Help !!
Estou com dúvida na seguinte questão : (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X -- X é injetiva se somente se é sobrejetiva. (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta. -- Kleber B. Bastos
RES: [obm-l] Funções limitadas
1) Para todo x de X, temos que f(x) =sup(f) e que g(x) = sup(g). Como f e g
tem valores em R+, temos para todo x de X que f(x) g(x) = sup(f) sup(g). Ou
seja, o conjunto {f(x) g(x) | x esta em X} eh limitado superiormente por sup(f)
sup(g). Da definicao de supremo, segue-se que sup {f(x) g(x) | x esta em X} =
sup(f.g) = sup(f) sup(g).
2) Faca g = f e aplique (1).
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Douglas Alexandre
Enviada em: segunda-feira, 24 de março de 2008 17:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Funções limitadas
Como resolvo a seguinte questão: Sejam f,g : X-R^+, funções limitadas
superiormente. Prove que sup(f.g)= (menor ou igual)sup(f).sup(g) e que
sup(f^2)=(sup(f))^2
_
Abra sua conta no Yahoo!
Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o
único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Funções limitadas
Como resolvo a seguinte questão: Sejam f,g : X-R^+, funções limitadas superiormente. Prove que sup(f.g)= (menor ou igual)sup(f).sup(g) e que sup(f^2)=(sup(f))^2 - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Funções trigonométricas
1/sen^2xcos^2x=4/4sen^2xcos^2x=4/(2senxcosx)^2=4/sen(2x)=4cosec(2x) BOM DEPENDE DE QUE CAMINHO QUEREMOS SEGUIR... ESSE É UM DELES ABRAÇOS Em 08/05/07, Raphael Henrique Pereira dos Santos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Tenho a seguinte questão: Seja x um arco. Então 1/sen^2x + 1/cos^2x = Muito grato pela ajuda.. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Funções trigonométricas
Observe qie 1/x + 1/y = (x + y)/(xy)and pense nas identidades trigonometricas. Uma delas eh muito conhecida mesmo Arturr -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Raphael Henrique Pereira dos Santos Enviada em: terça-feira, 8 de maio de 2007 01:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Funções trigonométricas Tenho a seguinte questão: Seja x um arco. Então 1/sen^2x + 1/cos^2x = Muito grato pela ajuda.. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funções trigonométricas
Tenho a seguinte questão: Seja x um arco. Então 1/sen^2x + 1/cos^2x = Muito grato pela ajuda.. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funções II
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=1, podemo concluir que f(5) é igual a: a)0 b)1 c)5/2 d)5 e)10 -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Funções II
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=1, podemo concluir que f(5) é igual a: a)0 b)1 c)5/2 d)5 e)10 == Querida Bruna, A resposta é a letra C. De posse do gabarito, tente quebrar um pouco a cabeça e fazer sozinha. Divirta-se! Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções II
Bruna,... Fazendo x=1 em f(x+1)=f(x)+f(1) obtemos f(1+1)=f(1)+f(1) == f(2) = 2.f(1) == 1 = 2.f(1) == f(1) = 1/2. Agora para x=2 temos: f(2+1)=f(2)+f(1) == f(3) = 1 + 1/2 == f(3) = 3/2 Agora para x=3 temos: f(3+1)=f(3)+f(1) == f(4) = 3/2 + 1/2 == f(4) = 2 Agora para x=4 temos: f(4+1)=f(4)+f(1) == f(5) = 2 + 1/2 == f(3) = 5/2. valew..., Cgomes - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, January 30, 2007 10:58 AM Subject: [obm-l] Funções II Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=1, podemo concluir que f(5) é igual a: a)0 b)1 c)5/2 d)5 e)10 -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.15/659 - Release Date: 30/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funções
2007/1/20, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]:
Alguém me ajuda com esses exercicios sobre função.
1) Suponha que f(x+y) = f(x).(fy) para todos os números reais x e y. Se f(1)
= 8, calcule f(2/3)
2) Seja f uma função definida em No = {0, 1, 2, 3, ...} e com valores em No,
tal que para n,m pertencentes a No e m= 9, f(10n+m) = f(n) = 11m e f(0) =
0. Quantas soluções existem para a equação f(x) = 1995?
3) Sejam a e b números reais e seja f(x) = 1/(ax+b). Dado que existem três
números reais distintos x1, x2 e x3 tais que f(x1) = x2, f(x2) = x3 e f(x3)
= x1, prove que a = -b².
4) Suponha que f satisfaça a equação:
2f(x) + 3f([2x+29]/[x-2]) = 100x + 80. Calcule f(3).
--
Bjos,
Bruna
Na 4) questão faça primeiro x =3 dai 2f(3) + 3f(35) = 380,depois faça
x = 35 dai 2f(35) + 3f(3) = 3580,agora basta vc resolver os sistema
formado e acha o valor de f(3),OK espero ter ajudado
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Funções II
Olá Junior, acredito que nao possa dizer que f(x) = ax + b... para isso, teria que provar que esta é a única funcao que satisfaz f(x-1) + f(x+1) = f(x). abracos, Salhab - Original Message - From: Júnior To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 3:50 PM Subject: Re: [obm-l] Funções II Seja a função f(x)=ax+b, então: F(x+1) + F(x-1) = F(x) A(x+1)+B +A(x-1)=Ax+B Ax + A +B +Ax -A =Ax+B 2Ax +B=Ax+B 2Ax=Ax Ax=0, como x é uma variável e pode assumir qualquer valor, temos que: A=0 Como a=0 e F(2)=1, temos que: Ax+B=1 0*2+B=1 B=1, encontramos que b=1 e que a função requerida é dada pela expressão F(x)=b,logo: f(2006)=f(2)=1. Beijos. Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? -- Bjos, Bruna / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ || |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' Msn:[EMAIL PROTECTED] Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] Funções III
Bruna, 1) eh apenas chutar valores.. 2f(x)f(y) = f(x+y) + f(x-y) faca y=1, entao: f(1) = f(y) = 0 f(x+1) + f(x-1) = 0 f(x+1) = -f(x-1) faca x = 1 .. f(2) = -f(0) faca x = 2 .. f(3) = -f(1) = 0 entendeu? tente descobrir o valor de f(0) agora.. 2) aqui, vamos resolver f(x) = 2 x^2 - 3x + 4 = 2 x^2 - 3x + 2 = 0 ... x = 2 e x = 1 vamos resolver f(x) = 1 ... x^2 - 3x + 4 = 2 ... x^2 - 3x + 3 = 0 .. delta 0.. nao existe x real tal que f(x) = 1... entao, agora sabemos que f(x) = 2 implica que x = 2.. f(f(x)) = 2 só é satisfeito se f(x) = 2, o que implica que x = 2... f(f(f(x))) = 2 só é satisfeito se f(f(x)) = 2, que, por sua vez, só é satisfeito se f(x) = 2 ... o que implica que x = 2.. deste modo, verificamos que só tem 1 raiz.. abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 2:30 PM Subject: [obm-l] Funções III 1) Seja f:R-R uma função não identicamente nula, tal que f(1)=0 e 2f(x)f(y)=[f(x+y)+f(x-y)] ; para x e y pertencentes a R. a) quais os valores de f(0); f(2); f(3) b) mostre que f(x+4)=f(x) ; para qualquer x E R. 2) Seja f:R-R uma função tal que f(x)=x^2-3x+4. Quantas soluções reais tem a equação f(f(f...f(x)...))=2, onde f é aplicada 2002 vezes ? -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Olá, 2) é para todo m e x real? se sim, faca m = 0, entao, f(0+x) = 0.f(x) = 0 ... f(x) é identicamente nula. agora, se for para um dado m: faca x = 0 ... f(m) = m.f(0) agora faca x = -m... f(0) = m.f(-m) agora temos que achar uma relacao entre f(-m) e f(m) ... e então solucionar o sistema linear 2x2... f(m+x-m) = m.f(x-m) f(x) = m.f(x-m) = f(m+x)/m . assim: f(x+m) = m^2 . f(x-m) por inducao, mostramos que f(nm) = m^n . f(0) .. para todo n inteiro... mas nao acho que isso vá ser mto util.. f(x) = m.f(x-m) f(x-m) = m.f(x-2m) f(x-2m) = m.f(x-3m) : : f(x-nm) = m.f(x-nm-m) multiplicando todos, temos: f(x) = m^(n+1) . f(x-nm-m) f(m) = m^(n+1) . f(-nm) poxa.. realmente, nao achei uma saida.. :) quem sabe o q fiz ajuda alguem abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 1:14 PM Subject: [obm-l] Funções 1- A função f de R em R é tal que, para todo x pertence R, f(3x)=3f(x). Se f(9)=45, calcule f(1). 2- A função f:R -- R tem a propriedade f(m+x)=m.f(x) para m real e x real. calcule f(0). -- Bjos, Bruna
[obm-l] Re: [obm-l] Funções II
Olá, f(x+1) + f(x-1) = f(x) 2 1 3 1 2 4 1 2 3 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6 8 nao sei c deu pra entender o q fiz... usei a seguinte notacao: f(x) = x .. apenas para simplificar... entao: 2 = f(2) .. e assim por diante.. a partir de agora, nao considere mais a notacao.. :) disto, podemos induzir que: f(2) = f(1) + f(2) + ... + f(n) + f(n+2) assim: f(1) + f(3) + f(4) + f(5) + ... + f(n-2) + f(n-1) + f(n) + f(n+2) = 0 para todo n inteiro positivo entao: f(1) + f(3) + f(4) + f(5) + ... + f(n-2) + f(n) = 0 subtraindo ambos, temos: f(n-1) + f(n+2) = 0 ... ou: f(n) = - f(n+3) assim: f(2006) = -f(2003) = f(2000) = -f(1997) = ... = (-1)^k * f(2006 - 3k) fazendo k = 668, temos: f(2006) = (-1)^668 * f(2) ... opa: do enunciado, f(2) = 1, logo: f(2006) = 1 abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 1:25 PM Subject: [obm-l] Funções II Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? -- Bjos, Bruna
[obm-l] Funções II
Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? -- Bjos, Bruna
[obm-l] Funções
1- A função f de R em R é tal que, para todo x pertence R, f(3x)=3f(x). Se f(9)=45, calcule f(1). 2- A função f:R -- R tem a propriedade f(m+x)=m.f(x) para m real e x real. calcule f(0). -- Bjos, Bruna
Re: [obm-l] Funções II
Seja a função f(x)=ax+b, então: F(x+1) + F(x-1) = F(x) A(x+1)+B +A(x-1)=Ax+B Ax + A +B +Ax A =Ax+B 2Ax +B=Ax+B 2Ax=Ax Ax=0, como x é uma variável e pode assumir qualquer valor, temos que: A=0 Como a=0 e F(2)=1, temos que: Ax+B=1 0*2+B=1 B=1, encontramos que b=1 e que a função requerida é dada pela expressão F(x)=b,logo: f(2006)=f(2)=1. Beijos. Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? -- Bjos, Bruna / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ || |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' Msn:[EMAIL PROTECTED] __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Envio a soluçao do primeiro, que é o que tive tempo de fazer:
Inicialmente, temos que:
f(2/3 + 1/3) = f(2/3) x f(1/3) -- (1) e
f(1/3 + 1/3) = f(1/3) x f(1/3) -- (2).
Como 2/3 + 1/3 = 1 e 1/3 + 1/3 = 2/3, e substituindo (2) em (1), teremos:
f(1) = f(1/3) x f(1/3)xf(1/3)
8 = [f(1/3)]^3, e então f(1/3) = 2. Agora, substituindo esse resultado em (2),
resulta:
f(2/3) = [f(1/3)]^2 = 4.
[]s,
João Luís.
- Original Message -
From: Bruna Carvalho
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, January 20, 2007 3:29 AM
Subject: [obm-l] Funções
Alguém me ajuda com esses exercicios sobre função.
1) Suponha que f(x+y) = f(x).(fy) para todos os números reais x e y. Se f(1)
= 8, calcule f(2/3)
2) Seja f uma função definida em No = {0, 1, 2, 3, ...} e com valores em No,
tal que para n,m pertencentes a No e m= 9, f(10n+m) = f(n) = 11m e f(0) = 0.
Quantas soluções existem para a equação f(x) = 1995?
3) Sejam a e b números reais e seja f(x) = 1/(ax+b). Dado que existem três
números reais distintos x1, x2 e x3 tais que f(x1) = x2, f(x2) = x3 e f(x3) =
x1, prove que a = -b².
4) Suponha que f satisfaça a equação:
2f(x) + 3f([2x+29]/[x-2]) = 100x + 80. Calcule f(3).
--
Bjos,
Bruna
Re: [obm-l] Funções
Olá Bruna ,
Para o (4) faça o seguinte : x=3 - 2f(3) +3f(35) =380 ; x=35 - 2f(35)
+ 3f(3) = 3580 e resolva o sistema , ok ?
[]´s Carlos Victor
At 04:29 20/1/2007, Bruna Carvalho wrote:
Alguém me ajuda com esses exercicios sobre função.
1) Suponha que f(x+y) = f(x).(fy) para todos os números reais x e y. Se
f(1) = 8, calcule f(2/3)
2) Seja f uma função definida em No = {0, 1, 2, 3, ...} e com valores em
No, tal que para n,m pertencentes a No e m= 9, f(10n+m) = f(n) = 11m e
f(0) = 0. Quantas soluções existem para a equação f(x) = 1995?
3) Sejam a e b números reais e seja f(x) = 1/(ax+b). Dado que existem três
números reais distintos x1, x2 e x3 tais que f(x1) = x2, f(x2) = x3 e
f(x3) = x1, prove que a = -b².
4) Suponha que f satisfaça a equação:
2f(x) + 3f([2x+29]/[x-2]) = 100x + 80. Calcule f(3).
--
Bjos,
Bruna
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Funções
Alguém me ajuda com esses exercicios sobre função.
1) Suponha que f(x+y) = f(x).(fy) para todos os números reais x e y. Se f(1)
= 8, calcule f(2/3)
2) Seja f uma função definida em No = {0, 1, 2, 3, ...} e com valores em No,
tal que para n,m pertencentes a No e m= 9, f(10n+m) = f(n) = 11m e f(0) =
0. Quantas soluções existem para a equação f(x) = 1995?
3) Sejam a e b números reais e seja f(x) = 1/(ax+b). Dado que existem três
números reais distintos x1, x2 e x3 tais que f(x1) = x2, f(x2) = x3 e f(x3)
= x1, prove que a = -b².
4) Suponha que f satisfaça a equação:
2f(x) + 3f([2x+29]/[x-2]) = 100x + 80. Calcule f(3).
--
Bjos,
Bruna
[obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Existe alguma função holomorfa cuja parte imaginária seja x^2-2y? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: C--C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, f(z+w) = f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funções complexas
Funções complexas Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: A esta contido em C--C, f(z) = u(r,Ø) + iv(r,Ø)holomorfa num domínio A que não contém o ponto z=0.Use as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que u e v satisfazem a equação de Laplace em Coordenadas polares: r^2£^2u/£r^2 + r£u/£r + £^2u/£Ø^2 = 0 . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Usando os valores principais de z^i, (z=re^îø), escreva z^i na forma u(r,ø) + iv(r,ø)e mostre que u=u(r,ø) e v=v(r,ø) são funções harmônicas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: C--C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, f(z+w) = f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua. É só provar que ela é diferenciável em z =0. Se ela for diferenciável (holomorfa) em z =0 então ela é contínua. certo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Usando os valores principais de z^i, (z=re^îø), escreva z^i na forma u(r,ø) + iv(r,ø)e mostre que u=u(r,ø) e v=v(r,ø) são funções harmônicas. Para quem não sabe, funções harmônicas são aquelas que satisfazem a equação diferencial de Laplace: http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function Neste caso temos que mostrar que f(r,phi) --( u,v) d^2 u/dr^2 + d^2 u/d phi^2 = 0 d^2 v/dr^2 + d^2 v/d phi^2 = 0 Deixo as contas para a moçada. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Funções Complexas II
Utilizando Cauchy-Riemann Seja a função f(z)= u(z) + i v(z) v (z por brevidade e dy/dx derivada parcial por falta de tex) = v = x^2 - 2y. du/dx =dv/dy = -2 = u = -2x + w(y) du/dy = dw/dy = - (dv/dx) = - 2x = w = -2xy + C = u = -2x(y + 1) + CfabbezThu, 04 May 2006 11:09:12 -0700 Favor quem puder me responder agradeço1º) Existe alguma função holomorfa cuja parte imaginária seja x^2-2y? Yahoo! Search Imposto de Renda 2006: o prazo está acabando. Faça já a sua declaração no site da Receita Federal.
Re:Re: [obm-l] Funções Complexas IV
Aquí vai a "moçada". Só que: i) O Laplaciano não é bem assim ii) Faz-se necessário determinar u e v. Seja f(z) = u (r,ø) +i (r,ø) = [re^(iø)]^i = r^i .e^(-ø). Em coordenadas polares o Laplaciano de f (aquí denotaremos por Lf) é dado por Lf = 1/r d(r.df/dr)/dr +1/r^2.d(df/dø)/dø (dy/dx = derivada parcial). No caso, f deve obecer a equação de Laplace = Lf = 0 (idênticamente nulo). Substituindo Lf = e^(-ø){r^(-1)d[r.i.r^(i-1)]/dr + r^(-2).r^i}, ou Lf = e^(-ø)[r^(-1).i^2.r^(i-1) + r^(-2).r^i = 0 c.q.d. Pela moçada Abraços Wilner (Desculpe a brincadeira). Ronaldo Luiz AlonsoThu, 04 May 2006
11:55:39 -0700 Favor quem puder me responder agradeço1º) Usando os valores principais de z^i, (z=re^îø), escreva z^i na formau(r,ø) + iv(r,ø)e mostre que u=u(r,ø) e v=v(r,ø) são funções harmônicas. Para quem não sabe, funções harmônicas são aquelas que satisfazem a equação diferencial de Laplace:http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function Neste caso temos que mostrar que f(r,phi) --( u,v) d^2 u/dr^2 + d^2 u/d phi^2 = 0 d^2 v/dr^2 + d^2 v/d phi^2 = 0 Deixo as
contas para a moçada.Ronaldo.
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[obm-l] funções
Olá, Pessoal, essa é velha, mas não tô lembrando como fazer... A questão é: mostre que toda função de variável real pode ser escrita como a soma de uma função real ímpar com uma função real par. Obrigado pela ajuda, Eder Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
