Somatório
Ola colegas, alguem pode me ajudar na questao abaixo? Explicando o raciocinio da resolucao. Lá vai. Dada a matriz |1 2 3 -2| |4 -1 05| |6 -4 31| Calcular: a) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de xij. (Esse caso eh um somatorio duplo caso nao tenham entendido bem o que eu fiz) b) somatorio j=2 a 4 xj c) somatorio i=2 a 3 xi d) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de (xij+1)^2 PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. obrigado a todos wfs007
Somatório
ola pessoal, 2 duhvidas: 1) calcule o somatohrio de n/2^n , pra n variando de 1 até infinito 2) ache um sistema completo de restos mod 7 cujos elementos sejam todos primos. valeu _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Somatório !
1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ?? 2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ?? pra qt ? Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt... ¡Villard!
Re: Somatório
Oi, quando vc for escrever um somatório para mandar pra lista, graficamente seria: Supomos uma série qquer a_1, a_2, a_3, ... , a_n, escrevendo o somatório dela seria: n Sum a_i i = 1 Assim que nós escrevemos somatórios aqui pela lista. Essa convenção sua fica complicada pra entender ainda mais pra quem está super cansado =) abraços Marcelo >From: "wfs007"<[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "lista OBM"<[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Somatório >Date: Thu, 19 Apr 2001 16:33:34 -0300 > >Ola colegas, alguem pode me ajudar na questao abaixo? Explicando o >raciocinio da resolucao. > >Lá vai. >Dada a matriz |1 2 3 -2| > |4 -1 0 5| > |6 -4 3 1| >Calcular: >a) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de xij. (Esse caso eh um somatorio >duplo caso nao tenham entendido bem o que eu fiz) > >b) somatorio j=2 a 4 xj > >c) somatorio i=2 a 3 xi > >d) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de (xij+1)^2 > > >PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso >de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer >outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. > >obrigado a todos >wfs007 > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
RES: Somatório
Como foi pedido, coloquei o problema com uma forma mais fácil de se entender. Lá vai. Dada a matriz |1 2 3 -2| |4 -1 05| |6 -4 31| Calcular: a) 3 4 sum sum x_ij (somatorio duplo) i=1 j=1 b) 4 sum x_j j=2 c) 3 sum x_i i=2 d) 3 4 sum sum (x_ij+1)^2 (somatorio duplo) i=1 j=1 PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. obrigado a todos wfs007
Re: Somatório
Olá, não sabendo o nível de seu curso, indicaria o Meyer de Estatística. Um abraço. Fábio - Original Message - From: wfs007 <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, April 20, 2001 5:10 AM Subject: RES: Somatório > > Como foi pedido, coloquei o problema com uma forma mais fácil de se > entender. > > Lá vai. > Dada a matriz |1 2 3 -2| > |4 -1 05| > |6 -4 31| > Calcular: > a) 3 4 > sum sum x_ij (somatorio duplo) > i=1 j=1 > > b) 4 > sum x_j > j=2 > > c) 3 > sum x_i > i=2 > > d) 3 4 > sum sum (x_ij+1)^2 (somatorio duplo) > i=1 j=1 > > > PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso > de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer > outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. > > obrigado a todos > wfs007 > >
Re: Somatório
Para a 2), tome R = {7, 29, 2, 3, 11, 19, 41}. R é um sistema completo de
restos módulo 7.
Benedito Freire
Henrique Lima Santana wrote:
> ola pessoal,
> 2 duhvidas:
> 1) calcule o somatohrio de n/2^n , pra n variando de 1 até infinito
> 2) ache um sistema completo de restos mod 7 cujos elementos sejam todos
> primos.
>valeu
> _
> Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Somatório
Sauda,c~oes, Prefiro escrever o somatório de a_i = i/2^i, pra i variando de 1 até n e fazendo n -> infinito. O termo a_i é o termo geral de uma prog. aritmético-geométrica e a soma deles é a série arit.-geom. Este assunto já foi tema de mensagens aqui na lista e a fórmula para calcular a série é: S_n = 2 - (n+2)/2^n. S = lim n-> infinito S_n = 2. Para os detalhes, ver meu livro de Progressões e o exercício 28 do meu livro de Seq. e Séries. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Henrique Lima Santana <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 8 de Maio de 2001 00:24 Assunto: Somatório ola pessoal, 2 duhvidas: 1) calcule o somatohrio de n/2^n , pra n variando de 1 até infinito 2) ache um sistema completo de restos mod 7 cujos elementos sejam todos primos. valeu _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Somatório
Para uma alternativa, considere 0 To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, May 08, 2001 2:26 PM Subject: Re: Somatório > Sauda,c~oes, > > Prefiro escrever o somatório de a_i = i/2^i, pra i variando de 1 até n e > fazendo n -> infinito. > > O termo a_i é o termo geral de uma prog. aritmético-geométrica e a soma > deles é a série arit.-geom. Este assunto já foi tema de mensagens aqui na > lista e a fórmula para calcular a série é: > > S_n = 2 - (n+2)/2^n. > > S = lim n-> infinito S_n = 2. > > Para os detalhes, ver meu livro de Progressões e o exercício 28 do meu livro > de Seq. e Séries. > > [ ]'s > Lu'is > > -Mensagem Original- > De: Henrique Lima Santana <[EMAIL PROTECTED]> > Para: <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: Terça-feira, 8 de Maio de 2001 00:24 > Assunto: Somatório > > > ola pessoal, > 2 duhvidas: > 1) calcule o somatohrio de n/2^n , pra n variando de 1 até infinito > 2) ache um sistema completo de restos mod 7 cujos elementos sejam todos > primos. >valeu > _ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > > >
Re: Somatório !
Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
523448817041129429709...
Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos da
sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
até infinito de 1/k^k deve convergir.
Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma fechada.(eu
ACHO)
Bruno Leite
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]>
Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
Assunto: Somatório !
1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ??
2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ??
pra qt ?
Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt...
¡Villard!
Re: Somatório !
Me desculpe, mas na segunda questão, a pergunta era pra qt converge a série. ¡Villard! -Mensagem original- De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 02:16 Assunto: Re: Somatório ! >Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para >1.2912859970626635404072825905956005414986193682745223173100024451369445387 6 >523448817041129429709... > Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos da >sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para >k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma >até infinito de 1/k^k deve convergir. > >Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma fechada.(eu >ACHO) > >Bruno Leite >-Mensagem original- >De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]> >Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14 >Assunto: Somatório ! > > > 1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ?? >2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ?? >pra qt ? >Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt... >¡Villard! > > >
Re: Somatório !
ok, é que vc falou que tinha _quase_ certeza que convergia... bom, eu acho que não converge para nenhum número especial, então calculei numericamente mesmo. -Mensagem original- De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 28 de Maio de 2001 10:22 Assunto: Re: Somatório ! >Me desculpe, mas na segunda questão, a pergunta era pra qt converge a série. >¡Villard! >-Mensagem original- >De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> >Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 02:16 >Assunto: Re: Somatório ! > > >>Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para >>1.291285997062663540407282590595600541498619368274522317310002445136944538 7 >6 >>523448817041129429709... >> Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos da >>sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para >>k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma >>até infinito de 1/k^k deve convergir. >> >>Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma >fechada.(eu >>ACHO) >> >>Bruno Leite >>-Mensagem original- >>De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]> >>Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]> >> Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14 >>Assunto: Somatório ! >> >> >>1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ?? >>2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ?? >>pra qt ? >>Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt... >>¡Villard! >> >> >> >
Re: Somatório !
Sauda,c~oes,
Vejam a resposta do prof. Rousseau para as questões
dos somatórios.
Uma introdução sumária sobre a fórmula da soma de
Euler-Maclaurin pode ser vista no meu livro de Seq. e
Séries no site
http://escolademestres.com/qedtexte
no formato .pdf.
Para mais detalhes, ver a bibliografia, também mostrada
no site.
[ ]'s
Lu'is
Dear Luis:
If the question is whether or not there are known exact values for
these sums, I am rather confident that the answer is no. The first is
a rapidly convergent series, and one can show that its sum has
the value \int_0^1 x^x dx, but this integral can be done only by
numerical methods. Proof (neglecting some fine points):
\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 e^{x \ln x} dx
= \int_0^1 \sum_{k \geq 0} (x \ln x)^k/k!
= \sum_{k \geq 0} (1/k!) \int_0^1 (x \ln x)^k dx
= \sum_{k \geq 0} (1/k!) \int_0^{\infty} t^k
e^{-(k+1)t} dt
(by the substitition x = e^{-t})
= \sum_{k \geq 0} (1/k!) k!/(k+1)^{k+1}
= \sum_{n \geq 1} 1/n^n.
A natural approach to approximating the finite sum is though the
Euler-Maclaurin sum formula, but again one runs into the fact that
x^x does not have an antiderivative expressible in elementary terms.
There must be a known asymptotic formula for the finite
sum, but I don't know what it is off hand.
This summer, the IMO will be in the United States, and I will
be there. I am chair of the Problems Committee and also
Chief Coordinator. The committee met in Memphis earlier
this month to choose the problems for the Short List, and we
are now busy preparing the book of short listed problems.
After the IMO is over, .
Cecil
Luis Lopes wrote:
> Dear Cecil,
>
> Hi. Hope you are fine.
>
> Would you have any comments about the series:
>
> a) S = \sum 1/k^k ,k=1,2,...
>
> b) S_n = \sum k^k , k=1,2,...,n
>
> Are you going to attend the next IMO? Where will it take place?
>
> As always, it is a pleasure to write you.
>
> Best regards,
> Sincerely,
> Luís
> -Mensagem Original-
> De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: <[EMAIL PROTECTED]>
> Enviada em: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:50
> Assunto: Re: Somatório !
>
> Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
>
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
> 523448817041129429709...
> Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos
da
> sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
> k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
> até infinito de 1/k^k deve convergir.
>
> Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma
fechada.(eu
> ACHO)
>
> Bruno Leite
> -Mensagem original-
> De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]>
> Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
> Assunto: Somatório !
>
> 1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n
??
> 2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge
??
> pra qt ?
> Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt...
> ¡Villard!
-Mensagem Original-
De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:50
Assunto: Re: Somatório !
Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
523448817041129429709...
Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos da
sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
até infinito de 1/k^k deve convergir.
Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma fechada.(eu
ACHO)
Bruno Leite
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]>
Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
Assunto: Somatório !
1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ??
2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ??
pra qt ?
Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt...
¡Villard!
[obm-l] Somatório
Olá pessoal,
Alguém poderia me ajudar a demonstrar que,
S(n) = Sum[i=1->n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que
pudesse me ajudar:
S(0)=0
S(1)=1/24
S(2)= 3/40
S(3)=1/10
...
S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Obrigado!
Felipe Régis e Silva
[obm-l] Somatório
Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] Somatório
Bom galera... gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 -> n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ) Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relação cossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressão d ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) ) + num cheguei a lugar algum desde ja agradeço... abraços! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Somatório
Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Somatório
Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Somatório
Caros, Preciso de ajuda com um problema que envolve um somatório meio complicado. Aliás, é mais braçal que complicado. Gostaria de saber se o pessoal aqui tem um jeito mais simples de resolver isso. A notação que vou usar é a do Maple, onde a[i] é a índice i. Vamos ao problema... (sum(a[i]*q[i],i=1..n)*sum(p[i]*b[i],i=1..n))/(sum(p[i]*q[i],i=1..n)*sum(a[i ]*b[i],i=1..n)) Mais especificamente, preciso provar se isso aí dá a unidade, ou não. Agradeço a ajuda. Para os que não entenderam a expressão acima, estou mandando uma imagem do Maple. Grato, Henrique. <>
PG.... e somatório !
- O que seria uma P.G. de segunda ordem ?? É a sequencia em que as razões entre os termos consecutivos estão em P.G. ( semelhante à definição de P.A. de ordem superior ) ?? - Como resolvo o somatório a seguir ?? Somatório de (k-1)/(k^2 - k + 1) , com k variando de 1 até n Abraços, ¡ Villard !
[obm-l] Somatório
Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] somatório
Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural >= 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] SOMATÓRIO
Olá, só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do somatório abaixo . Alguém me ajuda ? somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . abs Bob -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
(Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê
[obm-l] Somatório
alguem poderia me ensinar como funciona e como ultilizar aquele símbolo de somatório?
[obm-l] somatório
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ? Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n - i)*(2^i). Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8. Qualquer dica, enfim, tá valendo... []'s GustavoYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Somatório
Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma "prova" de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0<=x<=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] somatório
Como eu posso provar de maneira fácil que a sequencia de baixo obedece a mesma relação de recorrencia que a que está descrita logo acima [image: image.png] -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Seja n um inteiro positivo. Prove que: Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Somatório Trigonométrico
Olá pessoal, Bem, deparei-me com a seguinte questão: Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de k=0 a n do termo k*cos(k*a). Comecei a desenvolver... p/ k=0, S(0)=0 p/ k=1, S(1)=cosa p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a ... p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a] p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a) Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse homogênea. E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima ficou claro). Obrigado, Felipe Régis.
Re: [obm-l] Somatório
Olá Felipe,
usando fracoes parciais, temos:
i/[(i+1)(i+2)(i+3)] == A/(i+1) + B/(i+2) + C/(i+3)
resolvendo, temos:
A = -1/2
B = 2
C = -3/2
logo: Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * Sum 1/(i+1) + 2 * Sum 1/(i+2) -
3/2 * Sum 1/(i+3)
onde todos os somatorios vao de 1 até N
veja que Sum[i=1->N] 1/(i+1) = Sum[i=0->N-1] 1/(i+2) = 1/2 - 1/(N+2) +
Sum[i=1->N] 1/(i+2)
e que Sum[i=1->N] 1/(i+3) = Sum[i=2->N+1] 1/(i+2) = 1/(N+3) - 1/3 +
Sum[i=1->N] 1/(i+2)
deste modo:
Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * [1/2 - 1/(N+2) + Sum 1/(i+2) ] + 2 *
Sum 1/(i+2) - 3/2 * [ 1/(N+3) - 1/3 + Sum 1/(i+2) ]
opaa.. o somatorio cortou! ficando:
-1/2 * [1/2 - 1/(N+2)] - 3/2 * [1/(N+3) - 1/3]
basta terminar as contas agora!
abracos,
Salhab
On 5/5/07, Felipe Régis <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal,
Alguém poderia me ajudar a demonstrar que,
S(n) = Sum[i=1->n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que
pudesse me ajudar:
S(0)=0
S(1)=1/24
S(2)= 3/40
S(3)=1/10
...
S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Obrigado!
Felipe Régis e Silva
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Somatório
Sauda,c~oes, Oi Bruno, De onde você tirou este problema? A resposta (enviada pelo professor Rousseau) é n(2n-1)/3. A resolução é complicada, trabalhosa e usa o teorema dos resíduos. Tenho somente o .pdf e posso mandá-lo pra quem pedir. []'s Luís From: brconter...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] SomatórioDate: Fri, 28 Nov 2008 20:28:52 -0200 Bom galera...gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 -> n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) )Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relaçãocossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressãod ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) )+ num cheguei a lugar algumdesde ja agradeço...abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
Somatório dos primeiros impares
Amigos, Li sobre uma regra de Pitágoras para se calcular a soma dos n primeiros números impares, por n^2. Ex: A soma dos 9 primeiros números impares é 9^2 = 81. Achei interessante a simplicidade da "fórmula".. Tentei chegar a ela usando a formula da soma dos n numeros de uma PA, mas nao consegui, alguem pode me ajudar?
Re: [obm-l] Somatório
Quem e esse Bp? --- Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x > (Bp)^(n-1)] = > (1-Bp)^(-k-1) > > > > OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k a > k > > > > Porquê > > > > ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: somatório
pra k=1 jah n vale, né\? - Original Message - From: Luiz Viola To: Lista de mat Sent: Monday, September 05, 2005 8:36 PM Subject: [obm-l] Somatório (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê --- Cadastre-se no Oi Internet - Acesso Grátis - Nova promoção! Aproveite a nova promoção 31% de Crédito: A gente devolve 31% do valor dos pulsos navegados, e você ainda escolhe como receber: dinheiro em sua conta corrente ou recarga em dobro no Oi Cartão Total. Cadastre-se já no http//www.oi.com.br/novocredito31 Você ainda tem 1GB de e-mail, e-mail unificado, discador com envio de SMS, 60 MB de página pessoal, bate-papo e muito mais! Acesse http://www.oi.com.br e instale já o discador Oi. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Recorrência/ Somatório
Olá pessoal! Trago 2 dúvidas: 1) quando eu tenho em uma equação característica de uma recorrência, do tipo a_(n)*t^n + a_(n-1)*t^(n-1)+...+ a_0=0 e encontro dois (ou mais)resultados iguais para t, o que eu faço? E quando uma das soluções em t é 1? 2) como eu resolvo Soma(1, infinito)(1/i^2) sem recorrer a cálculo? Onde eu peguei dizia que era possível usando apenas propriedades de somatório. (na verdade, pedia para provar que a soma é (pi^2)/6 ) Agradeço qualquer ajuda desde já Abraços ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório
Veja: http://pt.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o []´s Demetrio --- Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > alguem poderia me ensinar como funciona e como > ultilizar aquele símbolo de > somatório? > __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório
ALguem sabe onde eu posso encontrar mais alguma coisa sobre somatórios ??
Re: [obm-l] somatório
eis uma maneira:
n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) =
= n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + (n-1)*2^(n-1)
} =
partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
n{ 1[2^n - 1]/[2 - 1]} - {[2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-2)] + [2^2 + 2^3 + 2^4 + ... +
2^(n-1)] + [2^3 + 2^4 + ... + 2^(n-1)] + ... + [2^(n-2) + 2^(n-1)] + [2^(n-1)]} =
n[2^n - 1] - {2[2^(n-1) - 1] + 2^2[2^(n-2) - 1] + 2^3[2^(n-3) - 1] + ... + 2^(n-2)[2^2
- 1] + 2^n[2^1 - 1]} =
n[2^n - 1] - [ (2^n - 2) + (2^n - 2^2) + (2^n - 2^3) + ... + [2^n - 2^(n-2)] + [2^n -
2^(n-1)] =
n2^n - n - [ (n-1)2^n - [ 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-1) ] =
2^n - n + { 2[2^(n-1) - 1]/[2 - 1] } =
2^n - n + 2^n - 2 =
2^(n+1) - (n+2)
resposta: 2^(n+1) - (n+2)
On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:
> Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de
> n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?
> Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de
> (n - i)*(2^i).
> Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.
>
> Qualquer dica, enfim, tá valendo...
> []'s
>
> Gustavo
>
>
>
> -
> Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
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Re: [obm-l] somatório
Eduardo Henrique Leitner said:
> On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:
>> Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n *
>> 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?
>> Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n
>> - i)*(2^i).
>> Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.
>>
>> Qualquer dica, enfim, tá valendo...
>> [...]
>
> eis uma maneira:
>
>
> n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) =
> = n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... +
> (n-1)*2^(n-1) } =
>
> partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros
> termos de uma PG:
> [...]
> resposta: 2^(n+1) - (n+2)
> [...]
Se pudermos usar cálculo tem uma maneira mais direta:
x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1) - 1]/(x-1)
Derive os dois lados em relação a x:
1*x^0 + 2*x^1 + ... + n*x^(n-1) = d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
Finalmente, multiplique por x:
1*x^1 + 2*x^2 + ... + n*x^n = x * d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
O lado direito é facilmente derivado, pois é a derivada de um quociente.
De fato, não é muito difícil ver que ela vale
[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/[x-1]^2. Substituindo x = 2,
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = 2 * [n*2^(n+1)-(n+1)*2^n+1]/[2-1]^2
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = n*2^(n+2) - (n+1)*2^(n+1) + 2.
Finalmente, voltando ao problema original,
n*2^0 + (n-1)*2^1 + ... + 1*2^(n-1) =
= n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - (1*2^1 + 2*2^2 + ... +
(n-1)*2^(n-1)) =
= n*(2^n-1) - (n-1)*2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= n*2^n - n - 2*n*2^n + 2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= 2^(n+1) - (n+2).
Note que nós calculamos 1*2^1 + ... + n*2^n, mas queremos 1*2^1 + 2*2^2 +
... + (n-1)*2^(n-1), logo temos que trocar o n por n-1.
Outro problema legal nessa mesma linha é o problema 4 da OBM 2002, nível 3.
[]s,
--
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] somatório
Eduardo Henrique Leitner said:
> On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:
>> Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n *
>> 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?
>> Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n
>> - i)*(2^i).
>> Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.
>>
>> Qualquer dica, enfim, tá valendo...
>> [...]
>
> eis uma maneira:
>
>
> n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) =
> = n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... +
> (n-1)*2^(n-1) } =
>
> partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros
> termos de uma PG:
> [...]
> resposta: 2^(n+1) - (n+2)
> [...]
Se pudermos usar cálculo tem uma maneira mais direta:
x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1) - 1]/(x-1)
Derive os dois lados em relação a x:
1*x^0 + 2*x^1 + ... + n*x^(n-1) = d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
Finalmente, multiplique por x:
1*x^1 + 2*x^2 + ... + n*x^n = x * d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
O lado direito é facilmente derivado, pois é a derivada de um quociente.
De fato, não é muito difícil ver que ela vale
[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/[x-1]^2. Substituindo x = 2,
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = 2 * [n*2^(n+1)-(n+1)*2^n+1]/[2-1]^2
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = n*2^(n+2) - (n+1)*2^(n+1) + 2.
Finalmente, voltando ao problema original,
n*2^0 + (n-1)*2^1 + ... + 1*2^(n-1) =
= n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - (1*2^1 + 2*2^2 + ... +
(n-1)*2^(n-1)) =
= n*(2^n-1) - (n-1)*2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= n*2^n - n - 2*n*2^n + 2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= 2^(n+1) - (n+2).
Note que nós calculamos 1*2^1 + ... + n*2^n, mas queremos 1*2^1 + 2*2^2 +
... + (n-1)*2^(n-1), logo temos que trocar o n por n-1.
Outro problema legal nessa mesma linha é o problema 4 da OBM 2002.
[]s,
--
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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Re: [obm-l] Somatório
Somatorio y^x, com x variando de 0 a infinito = 1/(1-y). Imagine isso como funçao de y e derive. Somatorio x* [y^(x-1)], com x variando de 0 a infinito = 1/[(1-y)^2]. Multiplique por y. Somatorio x* (y^x), com x variando de 0 a infinito = y/[(1-y)^2]. Faça y = 1-p. Somatorio x* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/(p^2). Multiplique por p. Somatorio px* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/p. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thu, 20 May 2004 00:56:56 -0300 Subject: [obm-l] Somatório > Pessoal, > > Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança > de uma > v.a. geométrica. > > Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. > > Grato, > Henrique. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório
Olá. Não me aprofundei nestes temas, mas se for o que suponho, está ligado a um tema chamado de 'somas de Cesàro'. Gostaria de saber mais, inclusive sobre teoremas abelianos e tauberianos, se realmente tiver a ver com essa séria da camiseta. Em Sat, 12 Apr 2014 12:53:59 -0300 Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: > > http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 > > Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma "prova" de > que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui > encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe > como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, > como diz o site? > > Obrigado! > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório
Primeiro você toma 3 somas: 1 - 1 + 1 - 1 ... = s1 1-2+3-4+5-6+... = s2 1+2+3+4+5...=s3 A primeira vai dar 1/2 pois se parar em um número ímpar dá 1 e se parar em um par da 0. A segunda se você somá-la a ela mesma mas com um zero na frente (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) vai dar 1-1+1-1... = s1 = 1/2 = 2s2, então s2 = 1/4... Por fim: se subtrair s3 de s2 dará o somatório de todos múltiplos de 4 -> 4(1+2+3+4...) = s3 -s2 -> 4(s3) = s3 - 1/4 -> s3 = -1/12 que é o somatório de todos naturais. > Em 12/04/2014, às 12:53, Vanderlei Nemitz escreveu: > > Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: > > http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 > > Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma "prova" de que a > soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na > época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse > absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? > > Obrigado! > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Propriedade de Somatório
Prezados colegas da lista, como eu faço para provar a seguinte igualdade entre somatórios: (sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p)*(sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p A notaçao é o seguinte: sum [x] [y] é o somatório de x até y bin (k,p) é o binomial de k em p Por falar de somatórios, alguém conhece algum artigo que trata das propriedades mais avançadas de somatórios? Muito obrigado! ALAN __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório Trigonométrico
Ola Felipe,
observe que: d[ sen(ka) ]/da = kcos(ka)
assim: Sn = Sum[k=0 -> n] d[ sen(ka) ]/da = d{ Sum[k=0 ->n] sen(ka) }/da
opa.. agora basta encontrarmos a soma dos senos e dps derivar em relacao a "a"..
para determinar a soma dos senos utilize numeros complexos:
z = cis(a)
z^2 = cis(2a)
:
z^n = cis(na)
z + z^2 + .. + z^n = cis(a) + cis(2a) + ... + cis(na)
logo, a parte imaginaria desta soma é igual a soma dos senos..
mass.. da PG, temos que z + z^2 + .. + z^n = z(z^n-1)/(z-1)
logo, basta tomarmos a parte imaginaria de z(z^n-1)/(z-1)
z(z^n-1)/(z-1) = (z^(n+1) - z)/(z-1) * (z' -1)/(z' -1) .. onde z' é o
conjugado de z
dai temos: (z' - 1)(z^(n+1) - z)/||z-1||^2 = (z^n - 1 - z^(n+1) +
z)/||z-1||^2 ...
substituindo z, temos: (cis(na) - 1 - cis[(n+1)a] + cis(a))/(2 - 2cos(a))
a parte imaginária é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a))
logo, a soma de senos é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a))
basta derivarmos em relacao a "a" agora...
derivando, temos:
[ ncos(na) - (n+1)cos((n+1)a) + cos(a) ]/(2 - 2cos(a)) - [ sen(na) -
sen((n+1)a) + sen(a) ] * 2sen(a) / (2 - 2cos(a))^2
pronto.. este é o resultado do somatorio de kcos(ka).
abracos,
Salhab
On 4/27/07, Felipe Régis <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal,
Bem, deparei-me com a seguinte questão:
Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de
k=0 a n do termo k*cos(k*a).
Comecei a desenvolver...
p/ k=0, S(0)=0
p/ k=1, S(1)=cosa
p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a
...
p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a]
p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a)
Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não
homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém
poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula
através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse
homogênea.
E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou
mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima
ficou claro).
Obrigado,
Felipe Régis.
=
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Re: Somatório dos primeiros impares
O n-ésimo ímpar pode ser representado por 2n-1 Assim a soma dos termos desta PA de razao 2 é: (a1+an)*(n/2) = (1+2n-1)*(n/2) = n^2 -Mensagem Original- De: "Ricardo Miranda" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Quinta-feira, 10 de Janeiro de 2002 22:59 Terezan Assunto: Somatório dos primeiros impares Amigos, Li sobre uma regra de Pitágoras para se calcular a soma dos n primeiros números impares, por n^2. Ex: A soma dos 9 primeiros números impares é 9^2 = 81. Achei interessante a simplicidade da "fórmula".. Tentei chegar a ela usando a formula da soma dos n numeros de uma PA, mas nao consegui, alguem pode me ajudar?
Re: Somatório dos primeiros impares
S(n) = (a1+an).n/2 (soma da PA) a1 (primeiro ímpar) = 1 an (enésimo ímpar) = k n (número de elementos) = 2k-1 Substituindo dá S(n) = k^2. > Amigos, > > Li sobre uma regra de Pitágoras para se calcular a soma dos n primeiros > números impares, por n^2. > Ex: A soma dos 9 primeiros números impares é 9^2 = 81. > Achei interessante a simplicidade da "fórmula".. Tentei chegar a ela usando > a formula da soma dos n numeros de uma PA, mas nao consegui, alguem pode me > ajudar?
Re: Somatório dos primeiros impares
At 22:59 10/01/02 -0200, you wrote:
>Amigos,
>
>Li sobre uma regra de Pitágoras para se calcular a soma dos n primeiros
>números impares, por n^2.
>Ex: A soma dos 9 primeiros números impares é 9^2 = 81.
>Achei interessante a simplicidade da "fórmula".. Tentei chegar a ela usando
>a formula da soma dos n numeros de uma PA, mas nao consegui, alguem pode me
>ajudar?
Há uma demonstração geométrica imediata. Considere os quadrados Q_n com
coordenadas (0,0), (0,n), (n,0) e (n,n), e considere as fatias
F_n=Q_{n+1}-Q_{n}
Veja que a fatia F_n tem (n+1)^2-n^2 = 2n+1 elementos, e que a união de
F_0, F_1,...F_{n-1} dá Q_n, logo a soma dos n primeiros ímpares dá n^2.
(com uma figura fica trivial...)
Bruno Leite
Re: Somatório dos primeiros impares
Sauda,c~oes, i=1,2,...n sum (2i - 1) = sum (2i) - sum (i^0) = 2sum (i) - n = n(n+1) - n = n^2. []'s Luís -Mensagem Original- De: Ricardo Miranda <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: quinta-feira, 10 de janeiro de 2002 22:59 Assunto: Somatório dos primeiros impares > Amigos, > > Li sobre uma regra de Pitágoras para se calcular a soma dos n primeiros > números impares, por n^2. > Ex: A soma dos 9 primeiros números impares é 9^2 = 81. > Achei interessante a simplicidade da "fórmula".. Tentei chegar a ela usando > a formula da soma dos n numeros de uma PA, mas nao consegui, alguem pode me > ajudar? > >
[obm-l] Demonstração de somatório
Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração de somatório
Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,ok Em 11/11/06, Orlando Onofre Filho<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
saiu um artigo legal no rumo aoi ITA,tratando destes tipo de problema = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
multiplique e divida e expressao por cos(a) Irá aparecer senos do arco duplo...
[obm-l] Somatório da função
Dada a função: f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n) Preciso encontrar g(n) tal que: g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n) Quem é g(n) ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Propriedade de Somatório
Ola Alan, veja que sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p = (a + b)^k.. e que: sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p = a + b logo, seu produto é: (a+b)^(k+1) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p outro modo de faze-lo seria aplicando a distributiva e dps ajeitando o somatorio... tente fazer ai abracos, Salhab On 4/20/07, Alan Pellejero <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Prezados colegas da lista, como eu faço para provar a seguinte igualdade entre somatórios: (sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p)*(sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p A notaçao é o seguinte: sum [x] [y] é o somatório de x até y bin (k,p) é o binomial de k em p Por falar de somatórios, alguém conhece algum artigo que trata das propriedades mais avançadas de somatórios? Muito obrigado! ALAN __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Propriedade de Somatório
Olá Marcelo! de fato. Essa igualdade eu cheguei ao tentar provar a fórmula do binômio por indução. Quanto a forma de "distribuir os termos" eu tentei e não obtive sucesso. Sobre as propriedades de somatório, você conhece algum lugar interessante na net que os tenha ou algum livro? já procureim referências sobre o assunto, mas, infelizmente, até agora nada encontrei de interessante. Um abaço! ALAN Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Alan, veja que sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p = (a + b)^k.. e que: sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p = a + b logo, seu produto é: (a+b)^(k+1) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p outro modo de faze-lo seria aplicando a distributiva e dps ajeitando o somatorio... tente fazer ai abracos, Salhab On 4/20/07, Alan Pellejero wrote: > Prezados colegas da lista, > como eu faço para provar a seguinte igualdade entre > somatórios: > > (sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p)*(sum [p=0][1] > Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p) = sum [p=0][k+1] > Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p > > A notaçao é o seguinte: > sum [x] [y] é o somatório de x até y > bin (k,p) é o binomial de k em p > > > Por falar de somatórios, alguém conhece algum artigo > que trata das propriedades mais avançadas de > somatórios? Muito obrigado! > > ALAN > > > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Esse somatório é n + n + n + ... + n, "n" parcelas iguais a n, e então isso é igual a n*n, ou seja, n^2. Por exemplo: SOMA(4) com i variando de 1 a 4 é 4 (i=1) + 4 (i=2) + 4 (i=3) + 4 (i=4) = 4*4 = 4^2 Um abraço a todos, João Luís - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:45 PM Subject: [obm-l] Somatório Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível.> > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2.> > Desde já agradeço!> > > __> E-mail Premium BOL> Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!> http://email.bol.com.br/> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> =
[obm-l] Fw: [obm-l] Somatório
Na mensagem anterior não foi a imagem direitinho. Envio novamente (espero que dê certo). _ Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível.> > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2.> > Desde já agradeço!> > > __> E-mail Premium BOL> Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!> http://email.bol.com.br/> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível. > > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. > > Desde já agradeço! > > > __ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. - Original Message - From: cfgauss77 <[EMAIL PROTECTED]> To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível. > > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2. > > Desde já agradeço! > > > __ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Fórmula fechada para somatório
Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Demonstração de somatório
Acho que encontrei: 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + 2.2! + 1.1! = 4! - 1 2011/3/4 Henrique Rennó : > Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? > > 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 > > -- > Henrique > -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Note que i(i+1) = 2.[Combinação de i+1 escolhidos 2 a 2] Em seguida, use uma das propriedades do Triângulo de Pascal-Tartaglia. Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos escreveu: > Olá Pessoal, > > Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: > > Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 > Alguém póderia ajudar? > > Abraços, > > -- > Bastos >
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos contidos nessa soma, somente uma "fileira" com n bolinhas, 2 com n-1 bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) rearrumando os termos, teremos: S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 ==> ==> S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] ==> 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + n(n+1) ==> S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 <==> S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos escreveu: > Olá Pessoal, > > Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: > > Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 > Alguém póderia ajudar? > > Abraços, > > -- > Bastos >
[obm-l] RE: [obm-l] somatório
Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural >= 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] Re: [obm-l] SOMATÓRIO
Seja S o valor do somatório . Tente mostrar que : 1 - 1/(2^(2^n)) < S < 1/2+1/4+1/8+1/16+... Pacini Em 3 de agosto de 2013 11:26, Bob Roy escreveu: > Olá, > só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do > somatório abaixo . > > Alguém me ajuda ? > > somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . > > abs > > Bob > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RES: [obm-l] Somatório
dois caras quaisquer...uma constante...pode substituir por "a" Abraço -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 22:37 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Somatório Quem e esse Bp? --- Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x > (Bp)^(n-1)] = > (1-Bp)^(-k-1) > > > > OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k a > k > > > > Porquê > > > > ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=luizviola&_ l=1,1125972892.758460.19478.cabue.terra.com.br,3209,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 05/09/2005 / Versão: 4.4.00/4574 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório da função
David M. Cardoso wrote: Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6 Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi. Acho que a maneira mais fácil de derivar isso é considerar o problema de calcular sum(1,n)[i^3] Quanto dá sum(1,n+1)[i^3]? Certamente vale sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3. Por outro lado, a gente pode mudar o índice sem mudar a soma: sum(1,n+1)[i^3]=sum(0,n)[(i+1)^3]= sum(0,n)[i^3+3*i^2+3*i+1]= sum(0,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*sum(0,n)[i]+n Notando que 3*sum(0,n)[i]=3*n*(n+1)/2, e ainda que sum(0,n)[i^3]=sum(1,n)[i^3], juntando tudo temos: sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3=sum(1,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n O sum(1,n)[i^3] morre dos dois lados, então sobra (n+1)^3=3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n^3+3*n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n-3n/2-3/2+1) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+(6n-3n)/2+(-3/2+2/2)) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2/2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2+3n-1)/2 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/2 e por fim sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/6 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Em algum sentido, parece ser verdade! Veja a seção "smoothed asymptotics" desta página da wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯ antes de consultar quem realmente entende http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ [], Leo. 2014-04-12 12:53 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: > > http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 > > Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma "prova" de que > a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar > na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar > esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? > > Obrigado! > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Esse link é interessante: https://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Em 12 de abril de 2014 12:53, Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: > > http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 > > Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma "prova" de que > a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar > na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar > esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? > > Obrigado! > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Dá 41. Em 21 de outubro de 2014 19:53, escreveu: > Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja > o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de > sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0<=x<=pi/2, calcule > a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
É só usar a forma complexa do seno e transformar na diferença de duas séries geométricas. Aí a soma dá (5+2sqrt(2))/34 Em 22 de outubro de 2014 10:02, Esdras Muniz escreveu: > Dá 41. > > Em 21 de outubro de 2014 19:53, escreveu: > > Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja >> o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de >> sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0<=x<=pi/2, calcule >> a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Graduando em Matemática Bacharelado > Universidade Federal do Ceará > > > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Como a função x ---> 1/x3 , x > 0, é postiva e estritamente decrescente, para todo inteiro positivo n temos que Soma(1, n) 1/k^3 = 1 + Soma(2, n) 1/k^3 < 1 + Integral (2,n) 1/x^3 dx < 1 + Integral (2, oo) 1/x^3 dx = 1 + [-1/(2x^2)] [2, oo) = 1 + 1/1/8 = 9/8 < 10/8 = 5/4 Em ter., 16 de fev. de 2021 07:23, escreveu: > Seja n um inteiro positivo. Prove que: > > Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] somatório dos inversos dos naturais
Existe algum modo de expressar a soma 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n em função de 'n'? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Outro Somatório
O meu artigo na penúltima "raízes da unidade" (que fiz junto com o Tengan!) explica como calcular tais somatórios. Se quiser uma dica, tente raízes da unidade no binômio de Newton. Em 22 de janeiro de 2012 00:27, João Maldonado escreveu: > > > Como posso calcular o somatório abaixo? > > <http://imageshack.us/photo/my-images/19/dfhdfghghj.jpg/> > > > []'s > João > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Somatório
Prezado Luiz Viola Deve haver algum engano. Essa identidade nao vale para quaisquer Bp e k (este ultimo natural, naturalmente). []s --- Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > dois caras quaisquer...uma constante...pode > substituir por "a" > Abraço > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em > nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 > 22:37 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] Somatório > > Quem e esse Bp? > > --- Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x > > (Bp)^(n-1)] = > > (1-Bp)^(-k-1) > > > > > > > > OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k > a > > k > > > > > > > > Porquê > > > > > > > > > > > > > > > > > > ___ > > Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR > UMA VIAGEM NA > CONVERSA. Participe! > www.yahoo.com.br/messenger/promocao > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > E-mail classificado pelo Identificador de Spam > Inteligente Terra. > Para alterar a categoria classificada, visite > http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=luizviola&_ > l=1,1125972892.758460.19478.cabue.terra.com.br,3209,Des15,Des15 > > Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido > Terra. > Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em > 05/09/2005 / Versão: > 4.4.00/4574 > Proteja o seu e-mail Terra: > http://mail.terra.com.br/ > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra <[EMAIL PROTECTED]>Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:>>>> Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer> ajuda é bem vida.> sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=?>> Obrigado - Orlando>> _> MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.> http://messenger.msn.com.br>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] somatório dos inversos dos naturais
Eu tenho quase certeza que não, mas posso estar enganado. Alguém com mais conhecimento pode confirmar. Entretanto, tal soma possa ser expressa de forma aproximada por meio de logaritmos. Considere o seguinte: soma(1,n) 1/p < integal (1,n) dx/x < soma(2,n+1) 1/p A integral é a area cheia embaixo do gráfico, enquanto que a soma 1/n é apenas a escada abaixo da parte dessa area cheia, ou acima, se você considerar a escada na parte de cima. Como integral (1,n) dx/x = ln n então ln n é uma boa aproximação para soma. Bem... aqui não dá para desenhar, mas essa é a ideia por detras do teste da integral, que tem em qualquer bom livro de cálculo. [] Ronaldo L. Alonso Lucas Prado Melo wrote: > Existe algum modo de expressar a soma 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n em > função de 'n'? > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá, Chamando a expressão de S, x² - (x+1)² = -2x - 1, com x = 2k+1, -4k - 3 se n é par, S= -4.(0+1+2+3+...+ (n-2)/2) - 3n/2 = -4.((n-2)/2) (n/2)/2 - n/2 = - (n-2)(n)/2 - 3n/2 = -(n)(n+1)/2 Se n é impar, n-1 é par, logo S= -(n-1.(n)/2 + n² = n.(n+1)/2 []s, João > Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 > Subject: [obm-l] Demonstração de somatório > From: henrique.re...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? > > 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) > > Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 > + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + > ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., > mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas > duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: > > Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) > > n: 1, soma: 1^2 > n: 2, soma: 1^2 + 2^2 > n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 > ... > > Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) > > n: 1, soma: 2^2 > n: 2, soma: 2^2 + 4^2 > n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 > ... > > Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em > (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + > 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a > soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas > em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para > aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e > (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou > ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a > soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 > + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. > > -- > Henrique > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João > Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 > Subject: [obm-l] Demonstração de somatório > From: henrique.re...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? > > 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) > > Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 > + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + > ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., > mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas > duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: > > Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) > > n: 1, soma: 1^2 > n: 2, soma: 1^2 + 2^2 > n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 > ... > > Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) > > n: 1, soma: 2^2 > n: 2, soma: 2^2 + 4^2 > n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 > ... > > Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em > (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + > 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a > soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas > em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para > aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e > (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou > ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a > soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 > + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. > > -- > Henrique > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)...+(-1^n(n-1)-(-1)^(n+1)n)((-1)^n(n-1)+(-1)^(n+1)n)= n par -(1+2+3+..+n)=-n(1+n)/2 n impar -(n-1)n/2+ [(-1)^(n+1)]n^2=-(n-1)n/2+n^2=(n/2)(n+1) logo sn=(-1)^(n+1)n(n+1)/2 2011/3/3 Henrique Rennó > Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? > > 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) > > Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 > + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + > ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., > mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas > duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: > > Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) > > n: 1, soma: 1^2 > n: 2, soma: 1^2 + 2^2 > n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 > ... > > Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) > > n: 1, soma: 2^2 > n: 2, soma: 2^2 + 4^2 > n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 > ... > > Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em > (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + > 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a > soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas > em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para > aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e > (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou > ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a > soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 > + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. > > -- > Henrique > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de somatório
A soma dos m/2 primeiros pares ( de 2 à m) ou dos (m+1)/2 impares (de 1 à m) é dada por [m+2)(m+1)m]/6. Assim, seu somatório, para n par será [(n+1)n(n-1) - (n+2)(n+1)n]/6 = (n-1-n-2)n(n+1)/6 = -n(n+1)/2 (onde para os impares m=n-1), e para n impar [(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)]/6 = [(n+2-n+1)(n+1)n]/6 = n(n+1)/2 . [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá Então , nessa última perceba que k.(k!)= (k+1)!-k! aplique a soma de ambos os lados a soma no segundo termo é telescópica ( os termos vão se anulando) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Outro Somatório
Eu acho que a mensagem que estou tentando
mandar desde cedo não está chegando.
Uso outro email para reenviá-la.
===
Sauda,c~oes, peterdirichlet, João,
O Peter tá certo mas ainda há muita coisa a ser feita
(não vi o artigo).
A soma S_n do João é um caso particular de um resultado
mais geral.
Assim S_n = (2^n + 2\cos\frac{(n-2)\pi}{3})/3
Para os detalhes, ver o exercício 85 do
Manual de Seq. e Séries Vol 2
em
http://www.escolademestres.com/qedtexte
Abs,
Luís
Date: Tue, 24 Jan 2012 15:03:41 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Outro Somatório
From: peterdirich...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
O
meu artigo na penúltima "raízes da unidade" (que fiz junto com o
Tengan!) explica como calcular tais somatórios. Se quiser uma dica,
tente raízes da unidade no binômio de Newton.
Em 22 de janeiro de 2012 00:27, João Maldonado
<joao_maldona...@hotmail.com> escreveu:
Como posso calcular o somatório abaixo?
[]'sJoão
[obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório ( n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa.Iuri On 11/12/06, Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra < [EMAIL PROTECTED]>Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15 Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho< [EMAIL PROTECTED]> escreveu:>>>> Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer> ajuda é bem vida.> sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? >> Obrigado - Orlando>> _> MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.> http://messenger.msn.com.br>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 03:32:43PM -0300, David M. Cardoso wrote:
>
> Dada a função:
> f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n)
>
> Preciso encontrar g(n) tal que:
> g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n)
>
> Quem é g(n) ?
Vou usar
SOMA_{1 <= i <= n} i = n(n+1)/2
SOMA_{1 <= i <= n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
g(n) = (1/2)* SOMA_{1 <= i <= n} (n+1-i)(n+i)
= (1/2) * SOMA (n^2 + n - in + in + i - i^2)
= (1/2) * (n^3 + n^2 + (n(n+1)/2) - (n(n+1)(2n+1)/3))
e agora é só simplificar.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] Somatório da função
Agora eu entendi tudo... muito obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Sauda, c~oes, Oi Henrique, n(n+2) = n^2 + 2n A soma de 2n é fácil. E a de n^2 é bem conhecida. De qualquer jeito este é o problema 20 no Manual de Seq. e Séries 1. O Manual de Progressões também resolve tais somas. Amostras em www.escolademestres.com/qedtexte []'s Luís > Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 > Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório > From: henrique.re...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? > > 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 > > -- > Henrique > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João > Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 > Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório > From: henrique.re...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? > > 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 > > -- > Henrique > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: Demonstração de somatório
Nem precisa tanta coisa por indução somando (n+1).(n+1)! (n+1).(n+1)! + (n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (n+2).(n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (n+2)! - 1 = (n+2)! - 1, verdadeiro > Date: Fri, 4 Mar 2011 16:44:10 -0300 > Subject: [obm-l] Re: Demonstração de somatório > From: henrique.re...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Acho que encontrei: > > 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - > 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + > 2.2! + 1.1! = 4! - 1 > > 2011/3/4 Henrique Rennó : > > Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? > > > > 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 > > > > -- > > Henrique > > > > > > -- > Henrique > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Muito bom pessoal. Ajudou em muito...! Abraços, Kleber. Em 9 de maio de 2011 15:15, rodrigocientista escreveu: > o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja > que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + > n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses > diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos > contidos nessa soma, somente uma "fileira" com n bolinhas, 2 com n-1 > bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + > 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) > > rearrumando os termos, teremos: > > S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] > > > Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 ==> > > > > ==> S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] ==> 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + > n(n+1) > > > ==> S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 <==> S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED > > > > Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos escreveu: > >> Olá Pessoal, >> >> >> Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: >> >> Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 >> Alguém póderia ajudar? >> >> Abraços, >> >> -- >> Bastos >> > > -- Kleber B. Bastos
