[obm-l] OBM-u
Como que o pessoal aqui da lista foi na Olimpiada Universitaria? O que voces acharam da prova? Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o maior inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx pode nem mesmo estar definido.. Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece ser bem dificil.. Alguma ideia? Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha incapacidade de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as anotacoes da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas 3hs da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois de ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao quadrado diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..).. Mandem seus comentarios sobre a prova.. Abracos, Marcio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] OBM-U
Quais os livros que são mais indicados para estudar para a OBM-U? (Sem levar em consideração a bibliografia do site da OBM) Quais são os assuntos nos quais nós devemos nos focar na preparação da OBM-U?
[obm-l] obm - U
Alguem poderia me informar alguma coisa sobre o q o pessoal andou fazendo na obm U informações sobre as soluções tbm seriam interessantes.Gostaria de saber se no 3 oa cardinalidade de xp=(p^2+2p+2)^2 e se no caso 2x2 ficap^2+2p+2. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM-U
Olá pessoal, eu estou querendo fazer a OBM-U, mas preciso de um professor para me ajudar a resolver os problemas e me ensinar técnicas e táticas.Alguém aí estaria interessado em me ajudar?As aulas poderiam ser pelo skype. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] obm U
Acho q eu não me fiz entender. Então eu quero saber só a matéria que cai na obm nível U, tipo análise, álgebra, topologia, teoria dos números, etc O -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM-u
Oi pessoal ! Esse exemplo está errado! Note que o módulo da soma das colunas também deve ser menor que 2, por que o determinante da transposta de A é igual ao determinante de A. Na transposta as linhas viram colunas e vice-versa, por isso o exemplo está errado.(o módulo da soma da 2ª coluna é 2,09 > 2) André T. - Original Message - From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, October 22, 2002 8:16 PM Subject: Re: [obm-l] OBM-u > > os elementos da matriz são todos menores ou iguais a 1 em módulo, com a > > igualdade valendo para toda a diagonal, isso nos dá a noção intuitiva que > > ||A|| = 1 > > parece que a minha intuição não tá mto boa hoje! > > no entanto acho que o que foi proposto está errado! > > > tome A = > | 10.990 | > | 010.99 | > | 0.89 0.11 | > > detA =~ 1,78 > 1 > A é 3x3 sua diagonal é formada por 1's e a soma dos módulos das linhas é > 1.99 < 2. > > Será que estou maluco??? > > [ ]'s > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u
> Oi pessoal ! > > Esse exemplo está errado! > Note que o módulo da soma das colunas também deve ser menor que 2, por que o > determinante da transposta de A é igual ao determinante de A. > Na transposta as linhas viram colunas e vice-versa, por isso o exemplo está > errado.(o módulo da soma da 2ª coluna é 2,09 > 2) André, seguindo essa linha de raciocínio você está apontando uma necessidade a mais nas condições da matriz do enunciado, mas mesmo assim, tem algo errado, dá uma olhada: A = | 10.990 | | 010.99 | | 0.9901 | A é 3x3, elementos da diagonal são 1's, somas dos módulos dos elementos das linhas e das colunas todas igual a 1,99. detA =~ 1,96 > 1 o enunciado da mensagem de Eduardo Casagrande: "Questão 2. Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1." esse enunciado está certo? não tem mais nenhuma condição exigida da matriz? [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] OBM-u
Eu tenho certeza de que o enunciado nao esta bem formulado e concordo com Domingos. Eu tambem encontrei outro contra-exemplo. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-l@;sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr. Sent: Wednesday, October 23, 2002 10:03 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] OBM-u > Oi pessoal ! > > Esse exemplo está errado! > Note que o módulo da soma das colunas também deve ser menor que 2, por que o > determinante da transposta de A é igual ao determinante de A. > Na transposta as linhas viram colunas e vice-versa, por isso o exemplo está > errado.(o módulo da soma da 2ª coluna é 2,09 > 2) André, seguindo essa linha de raciocínio você está apontando uma necessidade a mais nas condições da matriz do enunciado, mas mesmo assim, tem algo errado, dá uma olhada: A = | 10.990 | | 010.99 | | 0.9901 | A é 3x3, elementos da diagonal são 1's, somas dos módulos dos elementos das linhas e das colunas todas igual a 1,99. detA =~ 1,96 > 1 o enunciado da mensagem de Eduardo Casagrande: "Questão 2. Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1." esse enunciado está certo? não tem mais nenhuma condição exigida da matriz? [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u
Oi Shine,
Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é diagonalizável,
logo det A é o produto dos auto-valores de A.
Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos. Suponha,
por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não nulo, tal
que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa transposto.
Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi = Somatório com
j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é menor
que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
absurdo
pois m < 0.
Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da
matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade das
médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja:
0 < det A <= 1.
Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e pensei
que a solução oficial seria por projetiva.
Falow, Humberto
--- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá amigos da lista!!
>
> Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
>
> Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> problema 3 mais fácil que o 2.
>
> Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
> adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
> particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
> é adequado.
>
> O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
> \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
> estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> aparecem k e's.
>
> O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
> substituição trigonométrica de cara... depois de
> encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
> raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
> bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
> algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer
> jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
> finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
>
> Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
>
> []'s
> Shine
>
> __
> Do you Yahoo!?
> Y! Web Hosting - Let the expert host your web site
> http://webhosting.yahoo.com/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
___
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Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
http://br.geocities.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] OBM-u
On Tue, Oct 22, 2002 at 03:34:44PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Eram essas as questões.
>
> Questão 1.
> O gráfico de uma função polinomial de 4o. grau é cortada por uma reta em
> quatro pontos. Mostre que existe uma reta que corta esse gráfico em 4 pontos
> igualmente espaçados.
>
> Questão 2.
> Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
> módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o
> determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1.
O enunciado aqui deveria dizer que a matriz A é simétrica.
Não tenho a prova na mão mas o Gugu me diz que verificou o enunciado
e que a palavra 'simétrica' está lá sim.
>
> Questão 3.
> Sejam A_1, A_2, ..., A_k subconjuntos de {1,2,3,...,n} satisfazendo |A_i| >=
> n/2 e |A_i \interseção A_j| <= n/4. Prove que |\união A_i| >= n. k / (k+1)
>
> Questão 4.
> Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).
>
> Questão 5.
> Define-se ln_0(x) = ln(x) e ln_(k+1)(x) = ln(ln_k(x))
> Dado n inteiro positivo seja k(n) o maior k tal que ln_k(n) >= 1.
> Defina a(n) = produtorio( ln_k(n), onde k varia de 0 até k(n) ).
> A série somatorio(1/a(n)) diverge ou converge?
>
> Questão 6.
> Duas elipses, no plano, se cortam em quatro pontos.
> Prove que as oito retas tangentes nesses pontos às duas elipses tangenciam
> uma elipse ou uma circunferência.
>
> Abraço,
> Eduardo.
>
> From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
> >
> > Ola Marcio e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > A questao e mesmo assim ? Nao entendi. Talvez eu tenha recebido a mensagem
> > truncada. Da pra enuncia-la ( bem como a questao 6 a que voce tambem se
> > referiu ) tal como apareceu na prova ?
> >
> > Um Abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 3,1422,221002
> >
> > >Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito
> > >estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o
> maior
> > >inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx
> pode
> > >nem mesmo estar definido..
> > >
> > >Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece
> > >ser bem dificil.. Alguma ideia?
> > >
> >
> >
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> > MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
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> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] OBM-u
Humberto,
Perfeita a solucao pra 02. Parabens. Do jeito que foi posto na lista
inicialmente, faltava uma condicao a mais.
Leandro.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:owner-obm-l@;sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Humberto Naves
Sent: Wednesday, October 23, 2002 1:31 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] OBM-u
Oi Shine,
Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é
diagonalizável,
logo det A é o produto dos auto-valores de A.
Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos.
Suponha,
por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não
nulo, tal
que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa
transposto.
Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi =
Somatório com
j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i
de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é
menor
que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
absurdo
pois m < 0.
Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço
da
matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela
desigualdade das
médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja:
0 < det A <= 1.
Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e
pensei
que a solução oficial seria por projetiva.
Falow, Humberto
--- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá amigos da
lista!!
>
> Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
>
> Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> problema 3 mais fácil que o 2.
>
> Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
> adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
> particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
> é adequado.
>
> O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
> \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
> estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> aparecem k e's.
>
> O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
> substituição trigonométrica de cara... depois de
> encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
> raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
> bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
> algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer
> jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
> finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
>
> Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
>
> []'s
> Shine
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Re: [obm-l] OBM-u
Aproveitando, gostaria conferisse para mim essa solucao:
Por inducao, para matriz n-1 x n-1, simetrica, com 0=b(1,1)>0.
temos que som(i=2 ate i=n-1)|b(i,1)| <= som(i=3 ate i=n-1)|a(i,2)| +
|a(1,2)| * som(i=3 ate i=n-1)|a(i,1)| <
a(2,2) - |a(1,2)| +|a(1,2)|*( a(1,1) - |a(1,2)| ) = a(2,2) - a(1,2)^2 -
|a(1,2)|( 1-a(1,1) )<=a(2,2) - a(1,2)^2=b(1,1).
Temos o resultado analogo em todas linhas.
Como b(i,j)=b(j,i), entao B satisfaz a hipostese de inducao, logo 0
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, October 23, 2002 6:30 PM
Subject: Re: [obm-l] OBM-u
>Oi Shine,
>
> Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é
diagonalizável,
> logo det A é o produto dos auto-valores de A.
> Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos.
Suponha,
> por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não
nulo, tal
> que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa
transposto.
> Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi =
Somatório com
> j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de
aij
> * vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é
menor
> que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
> absurdo
> pois m < 0.
> Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da
> matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade
das
> médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja:
> 0 < det A <= 1.
>
> Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e
pensei
> que a solução oficial seria por projetiva.
>
> Falow, Humberto
> --- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá amigos da
lista!!
> >
> > Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
> >
> > Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> > legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> > problema 3 mais fácil que o 2.
> >
> > Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
> > adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
> > particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> > esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
> > é adequado.
> >
> > O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> > também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
> > \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> > um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
> > estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> > \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> > aparecem k e's.
> >
> > O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
> > substituição trigonométrica de cara... depois de
> > encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
> > raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
> > bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
> > algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer
> > jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
> > finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
> >
> > Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> > umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
> >
> > []'s
> > Shine
> >
> > __
> > Do you Yahoo!?
> > Y! Web Hosting - Let the expert host your web site
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acessórios.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] OBM-u
Ola Marcio e demais colegas desta lista ... OBM-L, A questao e mesmo assim ? Nao entendi. Talvez eu tenha recebido a mensagem truncada. Da pra enuncia-la ( bem como a questao 6 a que voce tambem se referiu ) tal como apareceu na prova ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1422,221002 Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o maior inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx pode nem mesmo estar definido.. Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece ser bem dificil.. Alguma ideia? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u
Eram essas as questões.
Questão 1.
O gráfico de uma função polinomial de 4o. grau é cortada por uma reta em
quatro pontos. Mostre que existe uma reta que corta esse gráfico em 4 pontos
igualmente espaçados.
Questão 2.
Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o
determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1.
Questão 3.
Sejam A_1, A_2, ..., A_k subconjuntos de {1,2,3,...,n} satisfazendo |A_i| >=
n/2 e |A_i \interseção A_j| <= n/4. Prove que |\união A_i| >= n. k / (k+1)
Questão 4.
Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).
Questão 5.
Define-se ln_0(x) = ln(x) e ln_(k+1)(x) = ln(ln_k(x))
Dado n inteiro positivo seja k(n) o maior k tal que ln_k(n) >= 1.
Defina a(n) = produtorio( ln_k(n), onde k varia de 0 até k(n) ).
A série somatorio(1/a(n)) diverge ou converge?
Questão 6.
Duas elipses, no plano, se cortam em quatro pontos.
Prove que as oito retas tangentes nesses pontos às duas elipses tangenciam
uma elipse ou uma circunferência.
Abraço,
Eduardo.
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
>
> Ola Marcio e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> A questao e mesmo assim ? Nao entendi. Talvez eu tenha recebido a mensagem
> truncada. Da pra enuncia-la ( bem como a questao 6 a que voce tambem se
> referiu ) tal como apareceu na prova ?
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 3,1422,221002
>
> >Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito
> >estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o
maior
> >inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx
pode
> >nem mesmo estar definido..
> >
> >Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece
> >ser bem dificil.. Alguma ideia?
> >
>
>
> _
> MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
> http://messenger.msn.com.br
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] OBM-u
Ola Duda e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Se o enunciado da questao e o que esta abaixo, entao a questao esta mal
formulada e nao tem solucao.
O enunciado diz : "Dado n inteiro positivo ...". Neste caso, a funcao
K(n) deve estar definida para n=1. Quanto vale K(1) ?
Ln_0(1)=Ln(1)=0
ln_1(1)=Ln(Ln_0(1))=Ln(0) nao existe !
E nao existe para os demais K > 1. Logo, a funcao nao esta definida para
n=1, pois nao existe K tal que Ln_K(n) >= 1. O que deve ter ocorrido e uma
confusao entre o logaritmando e o indice da formula de recorrencia.
Bastaria acrescentar N > 2. Assim :
O enunciado deveria ter acrescentado : Para todo n inteiro positivo, "n
MAIOR QUE 2", seja k(n)o maior k tal que Ln_K(n) >= 1
Para n inteiro, 3 <= n < e^e => ln(n) < e => ln(ln(n)) < 1 logo, K(n)=0
e^e <= n < e^e^e => K(n)=1
e^e^e <= n < e^e^e^e => k(n)=2 e assim sucessivamente. Ve-se portanto que a
lei de k(n) e simples.
Apesar de haver o erro que assinalei, e facil perceber onde o formulador
errou. Era portanto possivel continuar a questao ! Me parece que o mais
dificil aqui e decidir, COM JUSTICA PARA TODOS, se a questao deve ou nao ser
anulada ... Mas isso e problema da banca : que Deus os guie nesta decisao !
Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1631,221002
From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] OBM-u
Date: Tue, 22 Oct 2002 15:34:44 -0300
Eram essas as questões.
Questão 1.
O gráfico de uma função polinomial de 4o. grau é cortada por uma reta em
quatro pontos. Mostre que existe uma reta que corta esse gráfico em 4
pontos
igualmente espaçados.
Questão 2.
Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o
determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1.
Questão 3.
Sejam A_1, A_2, ..., A_k subconjuntos de {1,2,3,...,n} satisfazendo |A_i|
>=
n/2 e |A_i \interseção A_j| <= n/4. Prove que |\união A_i| >= n. k / (k+1)
Questão 4.
Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).
Questão 5.
Define-se ln_0(x) = ln(x) e ln_(k+1)(x) = ln(ln_k(x))
Dado n inteiro positivo seja k(n) o maior k tal que ln_k(n) >= 1.
Defina a(n) = produtorio( ln_k(n), onde k varia de 0 até k(n) ).
A série somatorio(1/a(n)) diverge ou converge?
Questão 6.
Duas elipses, no plano, se cortam em quatro pontos.
Prove que as oito retas tangentes nesses pontos às duas elipses tangenciam
uma elipse ou uma circunferência.
Abraço,
Eduardo.
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
>
> Ola Marcio e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> A questao e mesmo assim ? Nao entendi. Talvez eu tenha recebido a
mensagem
> truncada. Da pra enuncia-la ( bem como a questao 6 a que voce tambem se
> referiu ) tal como apareceu na prova ?
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 3,1422,221002
>
> >Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito..
Muito
> >estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o
maior
> >inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx
pode
> >nem mesmo estar definido..
> >
> >Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao
parece
> >ser bem dificil.. Alguma ideia?
> >
>
>
> _
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Re: [obm-l] OBM-u
> Questão 2.
> Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
> módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o
> determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1.
Se A for tal matriz podemos calcular sua norma 2 de uma maneira não mto
complicada:
||.|| == norma 2 induzida da matriz
||A|| = sup{||Ax|| , com ||x|| = 1}
os elementos da matriz são todos menores ou iguais a 1 em módulo, com a
igualdade valendo para toda a diagonal, isso nos dá a noção intuitiva que
||A|| = 1
sendo A = U.SIGMA.V', uma decomposição SVD de A, temos que a primeira
entrada da matriz diagonal SIGMA é 1, como os valores da diagonal estão
dispostos de maneira decrescente e det|A| = det|SIGMA| <= 1.
O enunciado parece ignorar a matriz I, pois basta tomá-la n x n, tem todos
os elementos da diagonal iguais a 1 e a soma dos módulos dos elementos das
linhas é 1 <= 2. det|I| = 1
Bastaria provar que o determinante não é negativo... por enquanto eu não
tenho idéias.
> Questão 4.
> Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).
de cara vemos
-2 <= x <= 2
elevando ao quadrado e passando os que fica fora de uma raiz para o lado
esquerdo e assim consecutivamente caímos num polinômio de grau 8 (acho) daí
tem que ver uma maneira de obter as raízes dele, é um trabalho chato...
queria ver se alguém conhece uma solução elegante e direta.
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Re: [obm-l] OBM-u
> os elementos da matriz são todos menores ou iguais a 1 em módulo, com a > igualdade valendo para toda a diagonal, isso nos dá a noção intuitiva que > ||A|| = 1 parece que a minha intuição não tá mto boa hoje! no entanto acho que o que foi proposto está errado! tome A = | 10.990 | | 010.99 | | 0.89 0.11 | detA =~ 1,78 > 1 A é 3x3 sua diagonal é formada por 1's e a soma dos módulos das linhas é 1.99 < 2. Será que estou maluco??? [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u
Olá amigos da lista!!
Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
problema 3 mais fácil que o 2.
Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
é adequado.
O segundo dia tinha problemas bem interessantes
também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
\prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
\epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
aparecem k e's.
O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
substituição trigonométrica de cara... depois de
encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer
jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
[]'s
Shine
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Re: [obm-l] OBM-u
Oi Humberto e demais amigos da lista!!
Tudo bem?
Puxa, eu tive a idéia de considerar o produto dos
auto-valores também, mas como demorei muito no caso
n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei não
tendo tempo para finalizar a idéia... eu pensei na
existência de um auto-vetor positivo, mas acabei não
conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do
problema.
No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunferência.
Mas o que não sabia era que dava para fazer uma
transformação de modo que as elipses virem uma
circunferência e uma elipse cuja reta suporte de um
eixo passa pelo centro da circunferência. Aí ficava
mais fácil. Mas, pelo que soube, existe uma solução
projetiva (né Luciano? ;) ).
[]'s
Shine
--- Humberto Naves <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>Oi Shine,
>
> Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é
simétrica, ela é diagonalizável, logo det A é o
produto dos auto-valores de A.
> Primeiramente vamos provar que todos os
auto-valores são positivos. Suponha, por absurdo que
um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não
nulo, tal que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) ,
onde (T) significa transposto. Seja vi tal que |vi| =
max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}.
> Como m * vi = Somatório com j variando de 1 até n de
aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de
|aij| com j <> i é menor que 1, temos que |(m - 1) *
vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um absurdo
pois m < 0.
> Como a soma dos auto-valores (contando as
multiplicidades) é o traço da matriz A que é n, e
todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade
das médias, o produto dos auto-valores é menor ou
igual a 1, ou seja:
> 0 < det A <= 1.
> Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra,
mas não consegui, e pensei que a solução oficial seria
por projetiva.
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Re: [obm-l] OBM-u
On Mon, Oct 21, 2002 at 10:05:39PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Como que o pessoal aqui da lista foi na Olimpiada Universitaria? O que voces > acharam da prova? > > Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito > estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o maior > inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx pode > nem mesmo estar definido.. Este enunciado infelizmente saiu errado. Será publicado na home page da OBM um esclarecimento e um pedido de desculpas em muito breve. > > Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece ser > bem dificil.. Alguma ideia? Esta é a idéia. Sim, a questão é difícil. > > Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha incapacidade > de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as anotacoes > da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas 3hs > da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois de > ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao quadrado > diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a > mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..).. > > Mandem seus comentarios sobre a prova.. > > Abracos, > Marcio > > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u
A matriz deve ser simétrica. Eu fiz essa questão na prova.. se quiser, mando minha solução... Abraços, Villard -Mensagem original- De: leandro <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quinta-feira, 31 de Outubro de 2002 20:28 Assunto: RE: [obm-l] OBM-u >Eu tenho certeza de que o enunciado nao esta bem formulado e concordo >com Domingos. Eu tambem encontrei outro contra-exemplo. > >Leandro. >-Original Message- >From: [EMAIL PROTECTED] >[mailto:owner-obm-l@;sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr. >Sent: Wednesday, October 23, 2002 10:03 AM >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] OBM-u > >> Oi pessoal ! >> >> Esse exemplo está errado! >> Note que o módulo da soma das colunas também deve ser menor que 2, por >que >o >> determinante da transposta de A é igual ao determinante de A. >> Na transposta as linhas viram colunas e vice-versa, por isso o exemplo >está >> errado.(o módulo da soma da 2ª coluna é 2,09 > 2) > >André, seguindo essa linha de raciocínio você está apontando uma >necessidade >a mais nas condições da matriz do enunciado, mas mesmo assim, tem algo >errado, dá uma olhada: > >A = >| 10.990 | >| 010.99 | >| 0.9901 | > >A é 3x3, elementos da diagonal são 1's, somas dos módulos dos elementos >das >linhas e das colunas todas igual a 1,99. > >detA =~ 1,96 > 1 > >o enunciado da mensagem de Eduardo Casagrande: > >"Questão 2. >Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas >dos >módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o >determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1." > >esse enunciado está certo? não tem mais nenhuma condição exigida da >matriz? > >[ ]'s > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >= >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-U
Provas anteriores do site da obm. On Tue, 12 Feb 2013 06:00:59 +0300, Lucas Azevedo wrote: > Quais os livros que são mais indicados para estudar para a OBM-U? (Sem levar em consideração a bibliografia do site da OBM) Quais são os assuntos nos quais nós devemos nos focar na preparação da OBM-U?
Re: [obm-l] obm - U
On Tue, Oct 21, 2003 at 08:58:16AM -0200, marcio.lis wrote: > Alguem poderia me informar alguma coisa sobre o q o > pessoal andou fazendo na obm U informações sobre as > soluções tbm seriam interessantes.Gostaria de saber se > no 3 oa cardinalidade de xp=(p^2+2p+2)^2 e se no caso > 2x2 ficap^2+2p+2. O problema 3, nível U, é de minha autoria. Repetindo o enunciado, devemos contar as matrizes quadradas A de tamanho 4x4 com coeficientes em Z/(p) que satisfazem A^2 = I (p > 2). Uma matriz A em K^(nxn), onde K é um corpo qq, satisfaz A^2 = I se e somente se K^n pode ser decomposto em dois subespaços U e V com interseção zero e soma K^n tais que A restrito a U (resp V) é a identidade (menos a id). Estes dois subespaços são os autoespaços associados aos autovalores 1 e -1. Como o polinômio mínimo não tem raiz dupla, A é semisimples (diagonalizável). O importante é notar que há uma bijeção natural entre matrizes satisfazendo A^2 = I e pares de subespaços U e V como acima. Neste ponto dá para contar na marra ou dá para saber ou criar um pouco mais de teoria. Na marra, você contaria para cada valor da dimensão de U. Temos 2 soluções triviais com dim U = 0 e dim U = 4 (-I e I). No caso dim U = 1, primeiro escolhemos U: há (p^4 - 1) geradores possíveis para U mas precisamos identificar vetores que são múltiplos constantes um do outro, ou seja, precisamos dividir por (p - 1) para concluir que há (p^3 + p^2 + p + 1) subespaços de dimensão 1. Escolha um subespaço complementar V_0 fixo qq: um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico de uma transformação linear de V_0 em U, ou seja, para cada U há (p^3) espaços complementares V. O caso dim U = 3 é análogo. Até aqui somamos 2 p^6 + 2 p^5 + 2 p^4 + 2 p^3 + 2 e falta o caso dim U = 2. Para escolher um subespaço U de dim 2, vamos primeiro escolher uma base. Temos (p^4 - 1) escolhas para o primeiro vetor e (p^4 - p) escolhas para o segundo. Por outro lado, dado um subespaço de dim 2, quantas bases ele tem? Agora temos (p^2 - 1) escolhas para o primeiro vetor e (p^2 - p) escolhas para o segundo. Assim, o número de subespaços U é ((p^4 - 1)(p^4 - p))/((p^2 - 1)(p^2 - p)) = p^4 + p^3 + 2p^2 + p + 1. Novamente, para cada U escolha um complementar V_0 fixo qq: um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico de uma transformação linear de V_0 em U, ou seja, para cada U há (p^4) espaços complementares V. Ou seja, o caso dim U = 2 contribui com p^8 + p^7 + 2 p^6 + p^5 + p^4 e a resposta final do problema é p^8 + p^7 + 4 p^6 + 3 p^5 + 3 p^4 + 2 p^3 + 2 Para resolver o caso geral (em vez do caso 4x4), ajuda muito saber contar subespaços de dimensão b de F_q^a, onde q é uma potência de primo, F_q é o corpo finito de q elementos, e a e b são inteiros não negativos. Este problema é tão importante que a resposta tem nome, e escreve-se assim: ( a ) ( ) ( b )q ou seja, o símbolo de binomial com um q embaixo; eu vou escrever binom(a,b;q). Lendo o que eu escrevi acima não é muito difícil concluir que (q^a - 1)(q^(a-1) - 1)(q^(a-2) - 1)...(q - 1) binom(a,b;q) = -- (q^b - 1)(q^(b-1) - 1)...(q - 1) (q^(a-b) - 1)...(q - 1) Não é muito difícil provar que isto é um polinômio em q com coeficientes inteiros não negativos. A notação talvez fique menos misteriosa observando que binom(a,b;1) = binom(a,b). Há outras interpretações para binom(a,b;q), o meu livrinho do colóquio (matemática quântica) pode servir como referência. Voltando ao problema da OBM, a resposta do problema para matrizes nxn com coeficientes em F_q é somatório_k q^(k(n-k)) binom(n,k;q). Em particular, se n = 2 temos 1 + q (q+1) + 1 = q^2 + q + 2. No caso q = 2^k o início do problema quebra pois (x^2 - 1) = (x - 1)^2 em característica 2, ou seja, a matriz deixa de ser diagonalizável. O problema fica totalmente diferente. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] obm - U
Oi Nicolau!
E quanto ao problema quatro? Eu chamei de 0 < p_i < 1 a probabilidade de
sair a face i num lançamento, tendo-se SOMA{p_i} = 1. Eu desenvolvi um pouco
o problema e mostrei que ele era equivalente a demonstrar a desigualdades
SOMA{p_i^3} >= SOMA{p_i^2}^2 com igualdade sse todos p_i = 1/6. Não consegui
demonstrar esta desigualdade. Quando vale este primeiro passo? ;) Como se
demonstra esta desigualdade?
Para quem não fez a prova, o enunciado era
QUESTÃO 4. Um dado é lançado três vezes e o resultado das faces é a, b e c.
Provar que P(a=c | a=b) >= P(a=c | a <> b) e que vale a igualdade se e
somente se o dado é honesto, ou seja, a probabilidade de cada face é 1/6.
Abraço, Duda.
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
> On Tue, Oct 21, 2003 at 08:58:16AM -0200, marcio.lis wrote:
> > Alguem poderia me informar alguma coisa sobre o q o
> > pessoal andou fazendo na obm U informações sobre as
> > soluções tbm seriam interessantes.Gostaria de saber se
> > no 3 oa cardinalidade de xp=(p^2+2p+2)^2 e se no caso
> > 2x2 ficap^2+2p+2.
>
> O problema 3, nível U, é de minha autoria.
> Repetindo o enunciado, devemos contar as matrizes quadradas A
> de tamanho 4x4 com coeficientes em Z/(p) que satisfazem A^2 = I (p > 2).
>
> Uma matriz A em K^(nxn), onde K é um corpo qq,
> satisfaz A^2 = I se e somente se K^n pode ser decomposto
> em dois subespaços U e V com interseção zero e soma K^n
> tais que A restrito a U (resp V) é a identidade (menos a id).
>
> Estes dois subespaços são os autoespaços associados aos autovalores 1
e -1.
> Como o polinômio mínimo não tem raiz dupla, A é semisimples
(diagonalizável).
>
> O importante é notar que há uma bijeção natural entre matrizes
> satisfazendo A^2 = I e pares de subespaços U e V como acima.
> Neste ponto dá para contar na marra ou dá para saber ou criar
> um pouco mais de teoria.
>
> Na marra, você contaria para cada valor da dimensão de U.
> Temos 2 soluções triviais com dim U = 0 e dim U = 4 (-I e I).
> No caso dim U = 1, primeiro escolhemos U: há (p^4 - 1) geradores
> possíveis para U mas precisamos identificar vetores que são múltiplos
> constantes um do outro, ou seja, precisamos dividir por (p - 1)
> para concluir que há (p^3 + p^2 + p + 1) subespaços de dimensão 1.
> Escolha um subespaço complementar V_0 fixo qq:
> um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico
> de uma transformação linear de V_0 em U,
> ou seja, para cada U há (p^3) espaços complementares V.
> O caso dim U = 3 é análogo.
> Até aqui somamos 2 p^6 + 2 p^5 + 2 p^4 + 2 p^3 + 2 e falta o caso dim U =
2.
>
> Para escolher um subespaço U de dim 2, vamos primeiro escolher uma base.
> Temos (p^4 - 1) escolhas para o primeiro vetor e (p^4 - p) escolhas
> para o segundo. Por outro lado, dado um subespaço de dim 2,
> quantas bases ele tem? Agora temos (p^2 - 1) escolhas para o primeiro
> vetor e (p^2 - p) escolhas para o segundo. Assim, o número de subespaços U
é
> ((p^4 - 1)(p^4 - p))/((p^2 - 1)(p^2 - p)) = p^4 + p^3 + 2p^2 + p + 1.
> Novamente, para cada U escolha um complementar V_0 fixo qq:
> um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico
> de uma transformação linear de V_0 em U,
> ou seja, para cada U há (p^4) espaços complementares V.
> Ou seja, o caso dim U = 2 contribui com p^8 + p^7 + 2 p^6 + p^5 + p^4
> e a resposta final do problema é
>
> p^8 + p^7 + 4 p^6 + 3 p^5 + 3 p^4 + 2 p^3 + 2
>
> Para resolver o caso geral (em vez do caso 4x4),
> ajuda muito saber contar subespaços de dimensão b de F_q^a,
> onde q é uma potência de primo, F_q é o corpo finito de q elementos,
> e a e b são inteiros não negativos. Este problema é tão importante
> que a resposta tem nome, e escreve-se assim:
>
>( a )
>( )
>( b )q
>
> ou seja, o símbolo de binomial com um q embaixo; eu vou escrever
binom(a,b;q).
> Lendo o que eu escrevi acima não é muito difícil concluir que
>
> (q^a - 1)(q^(a-1) - 1)(q^(a-2) - 1)...(q - 1)
> binom(a,b;q) = --
> (q^b - 1)(q^(b-1) - 1)...(q - 1) (q^(a-b) - 1)...(q - 1)
>
> Não é muito difícil provar que isto é um polinômio em q com coeficientes
> inteiros não negativos. A notação talvez fique menos misteriosa observando
> que binom(a,b;1) = binom(a,b). Há outras interpretações para binom(a,b;q),
> o meu livrinho do colóquio (matemática quântica) pode servir como
referência.
>
> Voltando ao problema da OBM, a resposta do problema para matrizes nxn
> com coeficientes em F_q é
>
> somatório_k q^(k(n-k)) binom(n,k;q).
>
> Em particular, se n = 2 temos
>
> 1 + q (q+1) + 1 = q^2 + q + 2.
>
> No caso q = 2^k o início do problema quebra pois (x^2 - 1) = (x - 1)^2
> em característica 2, ou seja, a matriz deixa de ser diagonalizável.
> O problema fica totalmente diferente.
>
> []s, N.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.
[obm-l] obm U prob5
alguem pode me dizer se asolução do problema 5 tem a ver c/ sair derivando varias vezes? __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] obm U
Teoria dos números, combinatória, Geometria, análise, cálculo e álgebra. 😉😉 Em sáb, 22 de fev de 2020 13:07, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > > Acho q eu não me fiz entender. Então eu quero saber só a matéria que cai > na obm nível U, tipo análise, álgebra, topologia, teoria dos números, etc > > O > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] obm U
Muito obrigado pela resposta professor Douglas. Quando vc diz cálculo e análise, vc inclui cálculo no R^n e análise no R^n? Em sáb., 22 de fev. de 2020 às 13:28, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Teoria dos números, combinatória, Geometria, análise, cálculo e álgebra. > > 😉😉 > > Em sáb, 22 de fev de 2020 13:07, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> >> Acho q eu não me fiz entender. Então eu quero saber só a matéria que cai >> na obm nível U, tipo análise, álgebra, topologia, teoria dos números, etc >> >> O >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] obm U prob5
alguem pode me dizer se asolução do problema 5 tem a
ver c/ sair derivando varias vezes?
-
foi a única idéia que eu tive também, mas não consegui resolver (ainda).
não sei se estamos falando a mesma coisa, mas o que eu fiz era tomar uma
seq. {P0, P1, ..., Pn} com Pn != Ø que anule as derivadas de f (f é bacana)
e gerar uma seq. {Q0, Q1, , Qn, Q[n+1]} com Q[n+1] = Pn que também anula
as derivadas de f.
foi isso que você fez?
[ ]'s
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] obm U prob5
essa era a ideia q eu tava tendo na hora mas ñ consegui concluir __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] OBM-u
A matriz do problema era simétrica. Camilo -- Mensagem original -- >> Oi pessoal ! >> >> Esse exemplo está errado! >> Note que o módulo da soma das colunas também deve ser menor que 2, por >que >o >> determinante da transposta de A é igual ao determinante de A. >> Na transposta as linhas viram colunas e vice-versa, por isso o exemplo >está >> errado.(o módulo da soma da 2ª coluna é 2,09 > 2) > >André, seguindo essa linha de raciocínio você está apontando uma necessidade >a mais nas condições da matriz do enunciado, mas mesmo assim, tem algo >errado, dá uma olhada: > >A = >| 10.990 | >| 010.99 | >| 0.9901 | > >A é 3x3, elementos da diagonal são 1's, somas dos módulos dos elementos das >linhas e das colunas todas igual a 1,99. > >detA =~ 1,96 > 1 > >o enunciado da mensagem de Eduardo Casagrande: > >"Questão 2. >Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos >módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o >determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1." > >esse enunciado está certo? não tem mais nenhuma condição exigida da matriz? > >[ ]'s > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u Questao 5
Oi Cohen, Como vai? Resolvi a questão 5 assim, e acho que tá certo: Vamor provar que: Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + 1), com m um natural fixado, onde \x/ significa a parte inteira de x. Desta forma se a série converge para L, então: L = Somatório com n >= 1 de 1/a(n) = Somatorio com m >= 0 de Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > Somatório com m >= 0 de 1/a(m+1) = L, logo teríamos: L > L, logo a série diverge. Para provar que: Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + 1), basta ver que se \e^m/ <= n < \e^m+1/, então a(n) <= n * a(m+1) e como Somatório com i = a até b de 1/i > ln(b+1) - ln(a) se a >= 1. Logo: Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m+1)*(ln(e^(m+1)) - ln (e^m)) = 1/a(m+1). Falow, Humberto. --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Como que o pessoal aqui da lista foi na Olimpiada Universitaria? O que voces > acharam da prova? > > Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito > estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o maior > inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx pode > nem mesmo estar definido.. > > Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece ser > bem dificil.. Alguma ideia? > > Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha incapacidade > de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as anotacoes > da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas 3hs > da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois de > ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao quadrado > diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a > mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..).. > > Mandem seus comentarios sobre a prova.. > > Abracos, > Marcio > > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u Questao 5
Ei Gugu, Não entendi porque você me perguntou isso, porque não uso somatório com índices não inteiros, o que está errado? Obrigado, Humberto --- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >Oi Humberto, >Somatsrio com i = a ati b de 1/i > ln(b+1) - ln(a) nao e' sempre verdade > se a e b nao sao inteiros (se a=1+epsilon e b=2-epsilon a soma e' 0 mas o > lado direito nao). Voce sabe consertar isso ? >Abracos, >Gugu > > > > >Oi Cohen, > > > > Como vai? Resolvi a questão 5 assim, e acho que tá certo: Vamor provar > que: > >Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + 1), com m um > natural > >fixado, onde \x/ significa a parte inteira de x. Desta forma se a série > >converge para L, então: > > L = Somatório com n >= 1 de 1/a(n) = Somatorio com m >= 0 de Somatório com > >(\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > Somatório com m >= 0 de 1/a(m+1) = L, > logo > >teríamos: L > L, logo a série diverge. > > Para provar que: Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + > 1), > >basta ver que se \e^m/ <= n < \e^m+1/, então a(n) <= n * a(m+1) e como > >Somatório com i = a até b de 1/i > ln(b+1) - ln(a) se a >= 1. Logo: > > Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m+1)*(ln(e^(m+1)) - > ln > >(e^m)) = 1/a(m+1). > > > > Falow, Humberto. > > --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Como que o pessoal aqui da lista foi na > >Olimpiada Universitaria? O que voces > >> acharam da prova? > >> > >> Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito > >> estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o > maior > >> inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx > pode > >> nem mesmo estar definido.. > >> > >> Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece > ser > >> bem dificil.. Alguma ideia? > >> > >> Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha > incapacidade > >> de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as > anotacoes > >> da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas > 3hs > >> da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois > de > >> ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao > quadrado > >> diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a > >> mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..).. > >> > >> Mandem seus comentarios sobre a prova.. > >> > >> Abracos, > >> Marcio > >> > >> > >> > >> > >> > >> = > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >> = > > > >___ > >Yahoo! GeoCities > >Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e > acessórios. > >http://br.geocities.yahoo.com/ > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >= > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u Questao 5
> >Ei Gugu, >Não entendi porque você me perguntou isso, porque não uso somatório com índices >não inteiros, o que está errado? >Obrigado, Humberto Oi Humberto, Como nao usa ? A sua solucao envolve somas com n variando entre e^m e e^(m+1), que nao sao inteiros...Na minha observacao os indices sao inteiros, mas os extremos nao, que e' o que eu acho que acontece na sua solucao. Abracos, Gugu > > --- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >Oi >Humberto, >>Somatsrio com i = a ati b de 1/i > ln(b+1) - ln(a) nao e' sempre verdade >> se a e b nao sao inteiros (se a=1+epsilon e b=2-epsilon a soma e' 0 mas o >> lado direito nao). Voce sabe consertar isso ? >>Abracos, >>Gugu >> >> > >> >Oi Cohen, >> > >> > Como vai? Resolvi a questão 5 assim, e acho que tá certo: Vamor provar >> que: >> >Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + 1), com m um >> natural >> >fixado, onde \x/ significa a parte inteira de x. Desta forma se a série >> >converge para L, então: >> > L = Somatório com n >= 1 de 1/a(n) = Somatorio com m >= 0 de Somatório com >> >(\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > Somatório com m >= 0 de 1/a(m+1) = L, >> logo >> >teríamos: L > L, logo a série diverge. >> > Para provar que: Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + >> 1), >> >basta ver que se \e^m/ <= n < \e^m+1/, então a(n) <= n * a(m+1) e como >> >Somatório com i = a até b de 1/i > ln(b+1) - ln(a) se a >= 1. Logo: >> > Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m+1)*(ln(e^(m+1)) - >> ln >> >(e^m)) = 1/a(m+1). >> > >> > Falow, Humberto. >> > --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Como que o pessoal aqui da lista foi na >> >Olimpiada Universitaria? O que voces >> >> acharam da prova? >> >> >> >> Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito >> >> estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o >> maior >> >> inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx >> pode >> >> nem mesmo estar definido.. >> >> >> >> Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece >> ser >> >> bem dificil.. Alguma ideia? >> >> >> >> Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha >> incapacidade >> >> de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as >> anotacoes >> >> da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas >> 3hs >> >> da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois >> de >> >> ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao >> quadrado >> >> diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a >> >> mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..).. >> >> >> >> Mandem seus comentarios sobre a prova.. >> >> >> >> Abracos, >> >> Marcio >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> = >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> >> = >> > >> >___ >> >Yahoo! GeoCities >> >Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e >> acessórios. >> >http://br.geocities.yahoo.com/ >> >= >> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> >= >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> = > >___ >Yahoo! GeoCities >Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. >http://br.geocities.yahoo.com/ >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ===
[obm-l] Re: [obm-l] obm - U
Vc pode fazer essa desigualdade por Cauchy: observe
(SOMA{(sr(p_i^3))^2}).(SOMA{((sr(p_i))^2} >=
(SOMA{sr(p_i^3).sr(p_i})^2
Mas o segundo fator do lado esquerdo é igual a SOMA(p_i)=1, e o resultado
segue.
Outra maneira seria observar que
SOMA{p_i^3) = SOMA{p_i^3).SOMA{p_i) = SOMA(p_i^4) + SOMA(i != j){p_i^3.p_j).
Desenvolvendo o lado direito da desigualdade que vc quer mostrar e cancelando
soma(p_i^4), vc vai querer que
SOMA(i != j){p_i^3.p_j) >= 2.SOMA(i < j){p_i^2.p_j^2)
Por média, p_i^3.p_j + p_i.p_j^3 >= 2p_i^2.p_j^2. Aih basta somar em i,j.
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
>Oi Nicolau!
>
>E quanto ao problema quatro? Eu chamei de 0 < p_i < 1 a probabilidade de
>sair a face i num lançamento, tendo-se SOMA{p_i} = 1. Eu desenvolvi um
pouco
>o problema e mostrei que ele era equivalente a demonstrar a desigualdades
>SOMA{p_i^3} >= SOMA{p_i^2}^2 com igualdade sse todos p_i = 1/6. Não consegui
>demonstrar esta desigualdade. Quando vale este primeiro passo? ;) Como
se
>demonstra esta desigualdade?
>
>Para quem não fez a prova, o enunciado era
>
>QUESTÃO 4. Um dado é lançado três vezes e o resultado das faces é a, b
e
>c.
>Provar que P(a=c | a=b) >= P(a=c | a <> b) e que vale a igualdade se e
>somente se o dado é honesto, ou seja, a probabilidade de cada face é 1/6.
>
>Abraço, Duda.
>
>
>From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
>> On Tue, Oct 21, 2003 at 08:58:16AM -0200, marcio.lis wrote:
>> > Alguem poderia me informar alguma coisa sobre o q o
>> > pessoal andou fazendo na obm U informações sobre as
>> > soluções tbm seriam interessantes.Gostaria de saber se
>> > no 3 oa cardinalidade de xp=(p^2+2p+2)^2 e se no caso
>> > 2x2 ficap^2+2p+2.
>>
>> O problema 3, nível U, é de minha autoria.
>> Repetindo o enunciado, devemos contar as matrizes quadradas A
>> de tamanho 4x4 com coeficientes em Z/(p) que satisfazem A^2 = I (p >
2).
>>
>> Uma matriz A em K^(nxn), onde K é um corpo qq,
>> satisfaz A^2 = I se e somente se K^n pode ser decomposto
>> em dois subespaços U e V com interseção zero e soma K^n
>> tais que A restrito a U (resp V) é a identidade (menos a id).
>>
>> Estes dois subespaços são os autoespaços associados aos autovalores 1
>e -1.
>> Como o polinômio mínimo não tem raiz dupla, A é semisimples
>(diagonalizável).
>>
>> O importante é notar que há uma bijeção natural entre matrizes
>> satisfazendo A^2 = I e pares de subespaços U e V como acima.
>> Neste ponto dá para contar na marra ou dá para saber ou criar
>> um pouco mais de teoria.
>>
>> Na marra, você contaria para cada valor da dimensão de U.
>> Temos 2 soluções triviais com dim U = 0 e dim U = 4 (-I e I).
>> No caso dim U = 1, primeiro escolhemos U: há (p^4 - 1) geradores
>> possíveis para U mas precisamos identificar vetores que são múltiplos
>> constantes um do outro, ou seja, precisamos dividir por (p - 1)
>> para concluir que há (p^3 + p^2 + p + 1) subespaços de dimensão 1.
>> Escolha um subespaço complementar V_0 fixo qq:
>> um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico
>> de uma transformação linear de V_0 em U,
>> ou seja, para cada U há (p^3) espaços complementares V.
>> O caso dim U = 3 é análogo.
>> Até aqui somamos 2 p^6 + 2 p^5 + 2 p^4 + 2 p^3 + 2 e falta o caso dim
U
>=
>2.
>>
>> Para escolher um subespaço U de dim 2, vamos primeiro escolher uma base.
>> Temos (p^4 - 1) escolhas para o primeiro vetor e (p^4 - p) escolhas
>> para o segundo. Por outro lado, dado um subespaço de dim 2,
>> quantas bases ele tem? Agora temos (p^2 - 1) escolhas para o primeiro
>> vetor e (p^2 - p) escolhas para o segundo. Assim, o número de subespaços
>U
>é
>> ((p^4 - 1)(p^4 - p))/((p^2 - 1)(p^2 - p)) = p^4 + p^3 + 2p^2 + p + 1.
>> Novamente, para cada U escolha um complementar V_0 fixo qq:
>> um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico
>> de uma transformação linear de V_0 em U,
>> ou seja, para cada U há (p^4) espaços complementares V.
>> Ou seja, o caso dim U = 2 contribui com p^8 + p^7 + 2 p^6 + p^5 + p^4
>> e a resposta final do problema é
>>
>> p^8 + p^7 + 4 p^6 + 3 p^5 + 3 p^4 + 2 p^3 + 2
>>
>> Para resolver o caso geral (em vez do caso 4x4),
>> ajuda muito saber contar subespaços de dimensão b de F_q^a,
>> onde q é uma potência de primo, F_q é o corpo finito de q elementos,
>> e a e b são inteiros não negativos. Este problema é tão importante
>> que a resposta tem nome, e escreve-se assim:
>>
>>( a )
>>( )
>>( b )q
>>
>> ou seja, o símbolo de binomial com um q embaixo; eu vou escrever
>binom(a,b;q).
>> Lendo o que eu escrevi acima não é muito difícil concluir que
>>
>> (q^a - 1)(q^(a-1) - 1)(q^(a-2) - 1)...(q - 1)
>> binom(a,b;q) = --
>> (q^b - 1)(q^(b-1) - 1)...(q - 1) (q^(a-b) - 1)...(q
-
>1)
>>
>> Não é muito difícil provar que isto é um polinômio em q com coeficientes
>> inteiros não negativos. A notação talvez fique menos misteriosa observando
>> que bi
[obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)
Alo Shine,tudo blz?Bem,eu tava pensando nessa ideia de projetar,mas e essa transformaçao de elipse no eixo da circunferencia(ou o contrario?)? Te maisAss.:Johann Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi Humberto e demais amigos da lista!!Tudo bem?Puxa, eu tive a idéia de considerar o produto dosauto-valores também, mas como demorei muito no cason=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei nãotendo tempo para finalizar a idéia... eu pensei naexistência de um auto-vetor positivo, mas acabei nãoconseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte doproblema.No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunferência.Mas o que não sabia era que dava para fazer umatransformação de modo que as elipses virem umacircunferência e uma elipse cuja reta suporte de umeixo passa pelo centro da circunferência. Aí ficavamais fácil. Mas, pelo que soube, existe uma soluçãoprojetiva (né Luciano? ;) ).[]'sShineYahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)
On Tue, Oct 29, 2002 at 01:55:31PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > > Alo Shine,tudo blz?Bem,eu tava pensando nessa ideia de projetar,mas e essa >transformaçao de elipse no eixo da circunferencia(ou o contrario?)? > Te maisAss.:Johann > Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Oi Humberto e demais amigos da lista!! > > Tudo bem? > > Puxa, eu tive a idéia de considerar o produto dos > auto-valores também, mas como demorei muito no caso > n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei não > tendo tempo para finalizar a idéia... eu pensei na > existência de um auto-vetor positivo, mas acabei não > conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do > problema. > > No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunferência. > Mas o que não sabia era que dava para fazer uma > transformação de modo que as elipses virem uma > circunferência e uma elipse cuja reta suporte de um > eixo passa pelo centro da circunferência. Aí ficava > mais fácil. Mas, pelo que soube, existe uma solução > projetiva (né Luciano? ;) ). Minha solução é a seguinte: Existe uma transformação projetiva que leva uma elipse no círculo unitário (aliás basta pegar uma translação seguida de uma transformação linear). Depois disso existe uma outra transformação projetiva que mantem o círculo unitário e leva os quatro pontos de interseção nos vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos (de fato, transformações projetivas que respeitam o círculo unitário funcionam como transformações de Möbius no círculo unitário devidamente identificado com R pela projeção estereográfica, que aliás também é Möbius). Com isso as duas elipses são da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Agora o problema fica fácil. Eu mostrei esta solução para o Luciano mas ele acabou não me mostrando a dele (parece que era mais longa). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)
O que exatamente significa uma transformacao projetiva? Na prova eu cheguei a escrever que era possivel, via uma transformacao linear, considerar o problema "mais simples" no qual uma das elipses eh um circulo.. Mas nao sabia que era possivel reduzir ao caso em que os eixos da elipse que sobra eram paralelos aos eixos x,y (e pelo jeito, concentrica com o circulo).. Tem alguma referencia legal onde eu possa saber mais sobre transformacoes desse tipo? Esse parece ser um assunto interessante para a proxima semana olimpica... Abracos, Marcio - Original Message - From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, October 30, 2002 11:56 AM Subject: Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;) > On Tue, Oct 29, 2002 at 01:55:31PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > > > > Alo Shine,tudo blz?Bem,eu tava pensando nessa ideia de projetar,mas e essa transformaçao de elipse no eixo da circunferencia(ou o contrario?)? > > Te maisAss.:Johann > > Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Oi Humberto e demais amigos da lista!! > > > Minha solução é a seguinte: > > Existe uma transformação projetiva que leva uma elipse no círculo > unitário (aliás basta pegar uma translação seguida de uma transformação > linear). Depois disso existe uma outra transformação projetiva > que mantem o círculo unitário e leva os quatro pontos de interseção > nos vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos > (de fato, transformações projetivas que respeitam o círculo unitário > funcionam como transformações de Möbius no círculo unitário devidamente > identificado com R pela projeção estereográfica, que aliás também é Möbius). > Com isso as duas elipses são da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. > Agora o problema fica fácil. > > Eu mostrei esta solução para o Luciano mas ele acabou não me mostrando > a dele (parece que era mais longa). > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)
Bom, nao encontrei nada sobre transformacoes projetivas aqui em casa, mas consegui ler um pouco sobre transformacoes de Mobius.. Dada um transformacao de mobius w = (az+b)/(cz+d), vi que ela mantem o circulo unitario sse existe k complexo de modulo 1 e e complexo tq w = k(z-a)/(1-a'z). Mas nao consigo entender pq uma transformacao desse tipo preserva elipses.. Qdo eu pego uma eq. do tipo |z-a|+|z-b|=real +, a,b complexos e troco z por T-1(w), a eq. resultante nao parece ter a forma de uma elipse.. aonde estou errando? Alem disso, soh me parecem haver duas constantes complexas, a e k a serem determinadas na transformacao acima.. Soh com isso eu consigo levar os 4 pontos de intersecao nos vertices de um retangulo com lados paralelos aos eixos? []'s Marcio > Minha solução é a seguinte: > > Existe uma transformação projetiva que leva uma elipse no círculo > unitário (aliás basta pegar uma translação seguida de uma transformação > linear). Depois disso existe uma outra transformação projetiva > que mantem o círculo unitário e leva os quatro pontos de interseção > nos vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos > (de fato, transformações projetivas que respeitam o círculo unitário > funcionam como transformações de Möbius no círculo unitário devidamente > identificado com R pela projeção estereográfica, que aliás também é Möbius). > Com isso as duas elipses são da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. > Agora o problema fica fácil. > > Eu mostrei esta solução para o Luciano mas ele acabou não me mostrando > a dele (parece que era mais longa). > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)
Nossa,como nao pensei nisso?Ha alguns dias eu estava na biblioteca do IME-USP pesquisando sobre o Teorema dos Numeros Primos(aquele do p(x)/(x/log x) tende a 1 quando x fica grande) ,e achei varias coisas na mao:o TNP,transformadas de Laplace,e depois pesquisei em meus livros de calculo em n variaveis).Depois eu vejo o que isso da. PS.:Eu nao sou universitario. Marcio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Bom, nao encontrei nada sobre transformacoes projetivas aqui em casa,mas consegui ler um pouco sobre transformacoes de Mobius..Dada um transformacao de mobius w = (az+b)/(cz+d), vi que ela mantem ocirculo unitario sse existe k complexo de modulo 1 e e complexo tq w =k(z-a)/(1-a'z).Mas nao consigo entender pq uma transformacao desse tipo preservaelipses.. Qdo eu pego uma eq. do tipo |z-a|+|z-b|=real +, a,b complexos etroco z por T-1(w), a eq. resultante nao parece ter a forma de uma elipse..aonde estou errando?Alem disso, soh me parecem haver duas constantes complexas, a e k a seremdeterminadas na transformacao acima.. Soh com isso eu consigo levar os 4pontos de intersecao nos vertices de um retangulo com lados paralelos aoseixos?[]'sMarcio> Minha solução é a seguinte:>> Existe uma transformação projetiva que leva uma elipse no círculo> unitário (aliás basta pegar uma translação seguida de uma transformação> linear). Depois disso existe uma outra transformação projetiva> que mantem o círculo unitário e leva os quatro pontos de interseção> nos vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos> (de fato, transformações projetivas que respeitam o círculo unitário> funcionam como transformações de Möbius no círculo unitário devidamente> identificado com R pela projeção estereográfica, que aliás também éMöbius).> Com isso as duas elipses são da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.> Agora o problema fica fácil.>> Eu mostrei esta solução para o Luciano mas ele acabou não me mostrando> a dele (parece que era mais longa).>> []s, N.> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)
On Wed, Oct 30, 2002 at 04:07:25PM -0200, Marcio wrote: > O que exatamente significa uma transformacao projetiva? Na prova eu > cheguei a escrever que era possivel, via uma transformacao linear, > considerar o problema "mais simples" no qual uma das elipses eh um circulo.. > Mas nao sabia que era possivel reduzir ao caso em que os eixos da elipse que > sobra eram paralelos aos eixos x,y (e pelo jeito, concentrica com o > circulo).. Tem alguma referencia legal onde eu possa saber mais sobre > transformacoes desse tipo? Esse parece ser um assunto interessante para a > proxima semana olimpica... Identifique o plano xy com o plano z=1 em R^3. Considere uma transformação linear (ou matriz) 3x3 A qq que leva (x,y,1) em (u,v,w). Bem, o ponto (u,v,w) em geral não está no nosso plano mas podemos projetá-lo lá radialmente multiplicando por 1/w: assim a imagem de (x,y,1) será (u/w,v/w,1). Eliminando a terceira coordenada, uma transformação projetiva é (x,y) |-> ((a11 x + a12 y + a13)/(a31 x + a32 y + a33), (a21 x + a22 y + a23)/(a31 x + a32 y + a33)) com det A diferente de zero. Estas transformações levam cônicas em cônicas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(alguem viu a do Luciano GM?)
Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal. "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: On Wed, Oct 30, 2002 at 04:07:25PM -0200, Marcio wrote:> O que exatamente significa uma transformacao projetiva? Na prova eu> cheguei a escrever que era possivel, via uma transformacao linear,> considerar o problema "mais simples" no qual uma das elipses eh um circulo..> Mas nao sabia que era possivel reduzir ao caso em que os eixos da elipse que> sobra eram paralelos aos eixos x,y (e pelo jeito, concentrica com o> circulo).. Tem alguma referencia legal onde eu possa saber mais sobre> transformacoes desse tipo? Esse parece ser um assunto interessante para a> proxima semana olimpica...Identifique o plano xy com o plano z=1 em R^3. Considere uma transformaçãolinear (ou matriz) 3x3 A qq que leva (x,y,1) em (u,v,w). Bem, o ponto (u,v,w)em geral não está no nosso plano mas podemos projetá-lo lá radialmentemultiplicando por 1/w: assim a imagem de (x,y,1) será (u/w,v/w,1).Eliminando a terceira coordenada, uma transformação projetiva é(x,y) |-> ((a11 x + a12 y + a13)/(a31 x + a32 y + a33),(a21 x + a22 y + a23)/(a31 x + a32 y + a33))com det A diferente de zero. Estas transformações levam cônicas em cônicas.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(alguem viu a do Luciano GM?)
At 13:59 01/11/02 -0300, you wrote: Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal. Oi, pessoal, Eu mostrei minha solução na segunda-feira passada, em nossa já tradicional aula de preparação no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se não me engano: Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira. Como o Nicolau já disse, minha solução é bem complicada. Eu espero comentá-la na semana Olímpica. É difícil escrever a solução em formato e-mail. Vou dar os passos principais: 1) Dualizamos tudo (por razões psicológicas). Temos então duas cônicas não degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos de tangência pertencem a uma cônica. 2) Considere os 4 pontos de tangência de uma das cônicas. Utilizando muitas vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do quadrilátero formado por esses 4 pontos está determinado pelas 4 retas tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD é formado pelos pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC). 3) Agora basta provar que se dois quadriláteros possuem o mesmo triângulo diagonal, seus 8 vértices pertencem a uma cônica. Para isso, consideramos a cônica determinada por um quadrilátero e um vértice do outro quadrilátero e usamos a definição projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma cônica nos pontos A e B, e corta a polar de P em relação a essa conica no ponto Q, então P e Q dividem harmonicamente o segmento AB. Há muitos detalhes a completar, mas espero que vocês consigam fazê-lo. Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades necessárias estão todas lá. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
