Re: [obm-l] Desigualdade

[Renan Kruchelski Machado]

Valeu pela ajuda, Shine e Iuri, eu realmente não tinha pensado em fatorar.

[obm-l] desigualdade de determinantes...

[Carlos Gomes]

Sejam A e X matrizes nxn reais. Sabendo que todos os elementos de matriz X são 
iguais, mostre que det(A+X).det(A-X) é menor ou igual a det(A2). 

Re: [obm-l] desigualdade de determinantes...

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Jan 25, 2007 at 07:35:04AM -0200, Carlos Gomes wrote:
 Sejam A e X matrizes nxn reais. Sabendo que todos os elementos de matriz X
 são iguais, mostre que det(A+X).det(A-X) é menor ou igual a det(A2).

Multiplicando por matrizes inversiveis aa direita e aa esquerda podemos
trocar X por outra matriz de posto 1 qualquer, por exemplo por E,
a matriz cuja unica entrada nao nula eh a entrada (1,1) que eh igual a 1.
A expansao do determinante agora diz que det(A+tE) = a+bt para constantes
apropriadas a e b (a = det(A), b o determinante de uma submatriz).
Substituindo, devemos provar que (a+b)(a-b) = a^2, o que eh trivial.

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Desigualdade entre as mé dias

[claudio\.buffara]

Oi, MP:

Comece por aqui:
http://planetmath.org/encyclopedia/GeneralMeansInequality.html
e siga os links para as demonstracoes.

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 23 Nov 2006 17:37:27 -0200
Assunto: [obm-l] Desigualdade entre as médias

 Saudações,
 
 outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade:
 
 (a+b+c)/3 = CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3],
 
 CBRT - raiz cubica
 para a, b e c reais positivos
 
 eu já havia resolvido uma parecida:
 
 (a+b+c)/3 = SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]
 
 mas usava o fato de que a soma dos quadrados das distâncias de cada 
 número até a média é não negativa:
 
 A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]
 
 (a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 =0
 
 a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 =0
 
 a^2 + b^2 + c^2  = 3B^2
 (a+b+c) =3A
 
 3B^2 -6A^2 + 3A^2 =0
 
 B^2 = A^2
 
 A = B.
 
 Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica?
 
 []'s MP
 
 
 
 
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[obm-l] Desigualdade entre as médias

[MP]

Saudações,

outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade:

(a+b+c)/3 = CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3],

CBRT - raiz cubica
para a, b e c reais positivos

eu já havia resolvido uma parecida:

(a+b+c)/3 = SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

mas usava o fato de que a soma dos quadrados das distâncias de cada 
número até a média é não negativa:


A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

(a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 =0

a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 =0

a^2 + b^2 + c^2  = 3B^2
(a+b+c) =3A

3B^2 -6A^2 + 3A^2 =0

B^2 = A^2

A = B.

Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica?

[]'s MP




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Re: [obm-l] Desigualdade com Pi

[diego andres]

uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414  21.732 * 1.732  3De onde sqrt(2) + sqrt(3)  3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando
 o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729  (31/30240) * pi^6de onde, pi  3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio
 Ponce--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ...  A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47)  raiz(2) + raiz(3)  48*tan(Pi/48)  Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial.  []s, Claudio.  De:[EMAIL PROTECTED] 
 Para:obm-l@mat.puc-rio.br  Cópia:  Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200  Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi   Viva as férias (até que enfim)   Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"):  Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):  2 + 2 raiz(6) + 3  Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5   E mais uma vez (notar que Pi  3 = Pi^2  9  5):  24  Pi^4 - 10Pi^2 + 25 =  0  Pi^4 - 10 Pi^2 + 1   Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...  x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado  x^2 = 10 + um pouquinho   Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto:  as
 raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em  Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo.   Uma calculadora dá:  sqrt(2) + sqrt(3) - %pi  ans = 0.0046717   T+,  --  Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos)   possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que:   raiz(2) + raiz(3)  Pi.   Foi enviada alguma solucao? 
[]s, Claudio.  ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l] Desigualdade com Pi

[Rogerio Ponce]

Ola' Diego, ja' que a inequacao e' sabidamente verdadeira, o interessante deste problema e' arranjar uma demonstracao que possa ser feita 'na mao' . Isto significa que as contas nao devem ultrapassar as 4 operacoes, e que o processo nao deve ser longo.  Entretanto, se voce quiser usar a soma dos termos da serie 1/n^2 , mais de mil termos sao necessarios para se chegar `a casa dos milesimos correta. Fora o fato de que voce estara' chegando a PI com uma aproximacao "por baixo" . E no nosso problema, voce precisa chegar com uma aproximacao "por cima".  Repare que, na serie que eu sugeri, voce consegue isso com apenas 3 termos. Mas outras series parecidas (de ordem superior) tambem poderiam ser usadas. Mas, como em todas elas, os 3 primeiros termos eram necessarios, preferi usar a de menor ordem.  Grande abraco, Rogerio Ponce  PS: ontem, um colega me perguntou "afinal, qual a dificuldade em se provar que raiz(2) + raiz(3) 
 PI , ja' que  raiz(2)  1.414 , raiz(3)  1.732 , e 3.146  3.14159...= PI " ?  Obviamente mostrar que 3.146  3.14159... nao tem nada de mais. A questao aqui e' como calcular PI ( em vez de "olhar o valor de PI" ), com uma precisao suficiente que nos permita fazer a afirmacao original.   diego andres [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414  21.732 * 1.732  3De onde sqrt(2) + sqrt(3)  3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando  o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi,
 ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729  (31/30240) * pi^6de onde, pi  3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio  Ponce--- "claudio.buffara" escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ...  A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos
 de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47)  raiz(2) + raiz(3)  48*tan(Pi/48)  Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial.  []s, Claudio.  De:[EMAIL PROTECTED]   Para:obm-l@mat.puc-rio.br  Cópia:  Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200  Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi   Viva as férias (até que enfim)   Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"):  Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):  2 + 2 raiz(6) + 3 
 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5   E mais uma vez (notar que Pi  3 = Pi^2  9  5):  24  Pi^4 - 10Pi^2 + 25 =  0  Pi^4 - 10 Pi^2 + 1   Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...  x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado  x^2 = 10 + um pouquinho   Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto:  as  raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em  Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo.   Uma calculadora dá:  sqrt(2) + sqrt(3) - %pi  ans = 0.0046717   T+,  --  Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06,
 claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos)   possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que:   raiz(2) + raiz(3)  Pi.   Foi enviada alguma solucao?  []s, Claudio.  ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! 

Re: [obm-l] Desigualdade

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 2z^2 + 4xy

queremos calcular seu mínimo, com a seguinte 
condicao: xyz = 32.

pra isso, vms utilizar multiplicadores de lagrange, 
entao:

grad f(x,y,z) = lambda * grad(xyz - 
32)

(2x + 4y; 8y + 4x; 4z) = lambda * (yz, xz, 
xy)
logo, basta resolvermos o seguinte 
sistema:

2x + 4y = lambda * yz
8y + 4x = lambda * xz
4z = lambda * xy
xyz = 32

observando a terceira equacao, temos: 4z^2 = lambda 
* xyz = lambda * 32, logo: z^2 = 8 * lambda
multiplicando a primeira por 2, temos: 4x + 8y = 
2*lambda * yz = lambda * xz ... 2y = x

substituindo na primeira, temos: 2*2y + 4y = lambda 
* yz  8 = lambda * z ... z = 8 / lambda

assim: z^2 = 8 * lambda = 64/lambda^2  lambda^3 
= 8 ... lambda = 2
z^2 = 8 * 2 = 16 ... z = 4

4xy = 32 ... xy = 8, mas x = 2y.. logo: 2y^2 = 8 
... y^2 = 4... y = 2

4 * 2 * x = 32 ... x = 4

assim, o menor valor de f(x,y,z) se da quando x = 
4, y = 2, z = 4...
calculando-o, temos: f(4, 2, 4) = 4^2 + 4*2^2 + 
2*4^2 + 4*4*2 = 16 + 16 + 32 + 32 = 32 + 64 = 96...

acho que é isto.. bate com a resposta?

abraços,
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, July 24, 2006 3:00 PM
  Subject: [obm-l] Desigualdade
  Sejam x, y, e z inteiros positivos tal que xyz=32 calcule o 
  menor valor da expressao x^2+4y^2+2z^2+4xy. Alguem tem alguma ideia esperta?
  
  
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  Beautiful, do James Blunt
  
  

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Re: [obm-l] Desigualdade com Pi

[diego andres]

é realmente, pelo fato de a ter uma potencia sexta ela converge primeiro por isso é bem melhor...Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Diego, ja' que a inequacao e' sabidamente verdadeira, o interessante deste problema e' arranjar uma demonstracao que possa ser feita 'na mao' . Isto significa que as contas nao devem ultrapassar as 4 operacoes, e que o processo nao deve ser longo.  Entretanto, se voce quiser usar a soma dos termos da serie 1/n^2 , mais de mil termos sao necessarios para se chegar `a casa dos milesimos correta. Fora o fato de que voce estara' chegando a PI com uma aproximacao "por baixo" . E no nosso problema, voce precisa chegar com uma aproximacao "por cima".  Repare que, na serie que eu sugeri, voce consegue isso com apenas 3 termos. Mas outras series parecidas (de ordem
 superior) tambem poderiam ser usadas. Mas, como em todas elas, os 3 primeiros termos eram necessarios, preferi usar a de menor ordem.  Grande abraco, Rogerio Ponce  PS: ontem, um colega me perguntou "afinal, qual a dificuldade em se provar que raiz(2) + raiz(3)   PI , ja' que  raiz(2)  1.414 , raiz(3)  1.732 , e 3.146  3.14159...= PI " ?  Obviamente mostrar que 3.146  3.14159... nao tem nada de mais. A questao aqui e' como calcular PI ( em vez de "olhar o valor de PI" ), com uma precisao suficiente que nos permita fazer a afirmacao original.   diego andres [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:(
 zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414  21.732 * 1.732  3De onde sqrt(2) + sqrt(3)  3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando  o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente
 para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi,  ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729  (31/30240) * pi^6de onde, pi  3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio  Ponce--- "claudio.buffara" escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ...  A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos  de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47)  raiz(2) + raiz(3)  48*tan(Pi/48)  Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial.  []s, Claudio.  De:[EMAIL PROTECTED]   Para:obm-l@mat.puc-rio.br  Cópia: 
 Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200  Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi   Viva as férias (até que enfim)   Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"):  Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):  2 + 2 raiz(6) + 3   Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5   E mais uma vez (notar que Pi  3 = Pi^2  9  5):  24  Pi^4 - 10Pi^2 + 25 =  0  Pi^4 - 10 Pi^2 + 1   Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...  x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado  x^2 = 10 + um pouquinho   Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto:  as  raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o
 valor em  Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo.   Uma calculadora dá:  sqrt(2) + sqrt(3) - %pi  ans = 0.0046717   T+,  --  Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06,  claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos)   possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que:   raiz(2) + raiz(3)  Pi.   Foi enviada alguma solucao?  []s,
 Claudio.  

[obm-l] Desigualdade

[Klaus Ferraz]

Sejam x, y, e z inteiros positivos tal que xyz=32 calcule o menor valor da expressao x^2+4y^2+2z^2+4xy. Alguem tem alguma ideia esperta? 
		 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[diego andres]

Bem, eu acho que eh assim:z²=1/(xy)²usa M.A.=M.G. em: x²+4y²+2/(xy)²+4xy =4(32xy)^(1/4)=8(2xy)^(1/4)como essa ultima parte tem que ser inteira, já que partimos de soma de inteiros,xy=8e o maior valor é 16.vê se bate com a resposta por favor[""]Diego AndrésKlaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam x, y, e z inteiros positivos tal que xyz=32 calcule o menor valor da expressao x^2+4y^2+2z^2+4xy. Alguem tem alguma ideia esperta?  Yahoo! Search  Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James
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RE: [obm-l] Desigualdade

[Pedro Cardoso]

Olha, eu fiz assim:

x^2 + 4y^2 + 2z^2 + 4xy = (2y+x)^2 + 2z^2 =  (2y+x)^2 + (z.2^0,5)^2
Como a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab, fazendo a = 2y+x, b = z.2^0,5,

(2y+x)^2 + (z.2^0,5)^2 = [ 2y + x + z.2^0,5]^2 - 2yxz.2^0,5 = (2y + x + 
z.2^0,5)^2 - 64.2^0,5


Bom, vemos aí que y influencia o resultado mais do que z, que por sua vez 
influencia o resultado mais do x. Logo, xzy, com x = 2y = z.2^0,5. Como 
são inteiros, eu não tenho como precisar x em função z, mas sei que x = 2y. 
Agora vou voar um pouco, sem ter certeza se estou certo: como x  z, mas z 
mais próximo de x do que 2z, x = z (só concluo isso avaliando so possíveis 
valores de x,y,z e concluindo que, se duas das incógnitas não são iguais, 
uma é, no mínimo, o dobro da outra).


Daí, xyz = 32, x = 2y = z = y = x/2; z = x; x^3 = 64 = x = 4

y = 2; z = 4

E o menor valor possível é 4^2 + 4.2^2 + 2.4^2 + 4.2.4 = 96.

Olha, eu viajei um pouco, fiz algumas suposições, mas acho que tá certo. 
Tomara.


Pedro Lazéra Cardoso.

_
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Re: [obm-l] Desigualdade com Pi

[Rogerio Ponce]

Ola' Claudio e Bernardo,
nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PI
foi tirado da cartola. Como provar que PI vale
3.141592653...?

Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que
1.414 * 1.414  2
1.732 * 1.732  3
De onde sqrt(2) + sqrt(3)  3.146 , que 'deve ser
maior que PI' - foi isto que tentei provar quando
tambem resolvi 'fazer na marra'...


Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o
'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou de
pi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,
a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os dois
termos principais do numerador sempre sao uma
diferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com cara
de sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.


Tambem tentei usar alguma integral que o resultado
fosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,
alterando 'conveniente' o integrando, talvez fosse
possivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisa
intermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem nao
consegui.


Entao apelei para a soma dos termos da serie
(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale
(31/30240)*pi^6

Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:
1/1 - 1/64 + 1/729  (31/30240) * pi^6
de onde, pi  3.142 .


Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nada
melhor...

[]s,
Rogerio Ponce





--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao
 geometrica ou trigonometrica com um minimo de
 elegancia (com todo o respeito a sua solucao,
 claro!) ...
 
 A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante
 boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja,
 menos de 0,15%.
 Ao aproximar Pi por excesso por meio do
 semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular
 (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta
 precisao soh eh ultrapassada quando o numero de
 lados eh = 48.
 Ou seja, 47*tan(Pi/47)  raiz(2) + raiz(3) 
 48*tan(Pi/48)  Pi.
 Isso talvez signifique que uma demonstracao
 puramente geometrica nao eh muito trivial.
 
 []s,
 Claudio.
 
 De:[EMAIL PROTECTED]
 
 Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Cópia:
 
 Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200
 
 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade
 com Pi
 
  Viva as férias (até que enfim)
 
  Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo
 NA MARRA):
  Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):
  2 + 2 raiz(6) + 3  Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5
 
  E mais uma vez (notar que Pi  3 = Pi^2  9  5):
  24  Pi^4 - 10Pi^2 + 25 =
  0  Pi^4 - 10 Pi^2 + 1
 
  Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...
  x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as
 da raiz positiva do quadrado
  x^2 = 10 + um pouquinho
 
  Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que
 raiz(10) = 3.16.. e pronto:
  as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e
 portanto o valor em
  Pi é menor do que zero pois o coeficiente de
 segundo grau é positivo.
 
  Uma calculadora dá:
  sqrt(2) + sqrt(3) - %pi
  ans = 0.0046717
 
  T+,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 
  On 7/15/06, claudio.buffara wrote:
  
   Esse tah me enchendo o saco:
  
   Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao
 necessariamente distintos)
   possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma
 eh divisivel por n.
  
   ***
  
   Ha alguns meses alguem mandou pra lista o
 problema de se provar que:
   raiz(2) + raiz(3)  Pi.
   Foi enviada alguma solucao?
  
   []s,
  
   Claudio.



___ 
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=

[obm-l] Desigualdade com Pi

[claudio\.buffara]

Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ...

A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%.
Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de umpoligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48.
Ou seja, 47*tan(Pi/47)  raiz(2) + raiz(3)  48*tan(Pi/48)  Pi.
Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200




Assunto:
Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi
 Viva as férias (até que enfim)
 
 Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"):
 Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):
 2 + 2 raiz(6) + 3  Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5
 
 E mais uma vez (notar que Pi  3 = Pi^2  9  5):
 24  Pi^4 - 10Pi^2 + 25 =
 0  Pi^4 - 10 Pi^2 + 1
 
 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...
 x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado
 x^2 = 10 + um pouquinho
 
 Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto:
 as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em
 Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo.
 
 Uma calculadora dá:
 sqrt(2) + sqrt(3) - %pi
 ans = 0.0046717
 
 T+,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 
 On 7/15/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
 
  Esse tah me enchendo o saco:
 
  Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos)
  possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n.
 
  ***
 
  Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que:
  raiz(2) + raiz(3)  Pi.
  Foi enviada alguma solucao?
 
  []s,
 
  Claudio.
 
 
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[obm-l] Desigualdade geométrica

[Dymitri Cardoso Leão]

Eu elaborei uma desigualdade puramente geométrica utilizando trigonometria e 
mais algumas coisas, mas eu gostaria de ver uma demosntração dela por 
geometria plana apenas.


Prove que se R é o circunraio de um triêngulo de lados a,b,c e 
semi-pérímetro p, então vale a desigualdade  9abc - 8Rp²  0.


_
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Re:[obm-l] Desigualdade

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 29 Apr 2006 00:45:23 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Desigualdade

 Quem puder me ajudar agradeço.

   1/2 * 3/4 * 5/6*...*99/1001/12

 

A = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * ... * 99/100

B = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 8/9 * 10/11 * ... * 100/101

A  B == A^2  AB

AB = (1/2)^2 * (3/4)^2 * (5/6)^2 * 7/8 * 8/9 * ... * 99/100 * 100/101 = 
225/2304 * 7/101 = 1575/232704  1/144

Logo, A^2  AB  1/144 == A  1/12

[]s,
Claudio.
 


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Re:[obm-l] Desigualdade

[rsarmento]

Srs

O menor número positivo que, ao ser dividido por 2, 3, 5 ou sete deixa
resto1 é
(opçoes a) x de 11 , b)x de treze, c) x de 17, d) primo

nde x = multiplo de
Minha resposta  é Primo

porém o gabarito diz que é múltiplo de onze


O gabrito está correto?



at

Sarmento

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Iuri]

Para ser divisivel por 2,3,5,7 deve ser um numero na forma 2*3*5*7*k.

Para ser o menor positivo, k=1. O numero portantoeh n=2*3*5*7=210

Para deixar resto 1, deve-se somar 1 ao n: n+1=211 q eh primo.

On 4/29/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
SrsO menor número positivo que, ao ser dividido por 2, 3, 5 ou sete deixaresto1 é(opçoes a) x de 11 , b)x de treze, c) x de 17, d) primo
nde x = multiplo deMinha respostaé Primoporém o gabarito diz que é múltiplo de onzeO gabrito está correto?atSarmento

Re: [obm-l] Desigualdade

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
continuando:

P = 1*3*5*7*..*49*51*...*99 / [ 50! * 2^50 ] = 
51*...*99 / [ 2*4*..*50 * 2^50 ]

agora, tomemos 51 com 2, 53 com 4, e assim por 
diante, até 99 com 50.
entao:

51/2 , 53/4, 55/6, 57/8, ..., 97/48, 
99/50

ok.. agora temos 50 multiplos de 2.. vms 
distribui-lo.

2^5 para 51/2
2^4 para 53/4
2^4 para 55/6
2^3 para 57/8
2^3 para 59/10
2^3 para 61/12
2^3 para 63/14
2^3 para 65/16
2^2 para 67/18
2^2 para 68/20

to achando que nao vai chegar em lugar algum.. mas 
talvez ajude..
dps tento mais..

boa noite
abracos,
Salhab




  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 28, 2006 9:45 
PM
  Subject: [obm-l] Desigualdade
  
  Quem puder me ajudar agradeço.
  
  1/2 * 3/4 * 5/6*...*99/1001/12
  
  
  
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  prêmios de hora em hora.

[obm-l] Desigualdade

[Klaus Ferraz]

Quem puder me ajudar agradeço.1/2 * 3/4 * 5/6*...*99/1001/12  
		 
Navegue com o Yahoo! Acesso Grátis, assista aos jogos do Brasil na Copa e ganhe prêmios de hora em hora.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
cara, acho que usando o fato dos produtos dos n 
primeiros pares ser igual a 2^n * n! pode sair.
pra provar isso, use inducao...

um observacao informal é:
2*4*6*8*...*2n = 2 * 2*2 * 2*3 * 2*4 * ... * 2*n = 
2^n * 1*2*3*..*n = 2^n * n!

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 28, 2006 9:45 
PM
  Subject: [obm-l] Desigualdade
  
  Quem puder me ajudar agradeço.
  
  1/2 * 3/4 * 5/6*...*99/1001/12
  
  
  
  Navegue com o Yahoo! Acesso Grátis, assista aos jogos do Brasil na Copa e ganhe 
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[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (di vagando na solução).

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
bom, acho que encontrei um modo mais simples de demonstrar:

vc chegou em:
p^2(p-q) = q^2(p-q)

logo:
p^2(p-q) - q^2(p-q) = 0
(p-q)(p^2-q^2) = 0
(p-q)(p-q)(p+q) = 0
(p-q)^2(p+q) = 0

Logo, (p-q)^2 = 0, sempre... e como p e q sao positivos, p+q = 0 sempre
logo, esta provado.

abracos,
Salhab

  o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do 
  rearranjo. 
 
 Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que 
 uma das formas de demonstrá-la 
 seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais. 
 
 p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p 
 p^2 (p-q) + q^2(q-p) = 0 
 p^2 (p-q) = q^2(p-q) 
 
 Exemplo: 
 
 Supondo p== q temos igualdade 
 OK pass 
 Supondo p  q , p0, q0 temos 
 p^2  q^2 
 OK ... pass 
 Supondo q p , p0, q0 == p-q  0 e 
 p^2  q^2 (trocando o sinal). 
 OK... pass 
 Os outros casos 
 (p0,q0 com pq ), (p0, q0 com pq ), (p0,q0 com pq ) 
 (p0,q0 com p0 com p
 são demonstrados de forma similares. 
 
 Eu sei que essa maneira de demonstrar via "compilação" 
 de todos os casos é meio "tosca", mas 
 será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis? 
 
 Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos 
 conhecidos. 
 Exemplo: Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr. 
 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr 
 
 Note que 2 = 2.1 foi expandido. 
 
 Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo 
 poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber 
 exatamente *o que* expandir. É exatamente aí que entra o desafio, o 
 sentimento e 
 a criatividade. 
 
 
 Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu 
 doutorado em análise. 
 Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras 
 como na linguagem Prolog. 
 Para quem não conhece Prolog: http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog 
 
 Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem 
 responder questões mais ou menos 
 simples via aplicação de regras. Mas há um problema: Cada axioma/hipótese 
 do teorema é uma regra e 
 cada teorema no banco de dados do programa é uma regra. 
 
 Se fôssemos usar a força bruta e aplicar 
 todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória 
 de sentenças e dificilmente 
 chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema 
 chegando em regras atômicas que 
 por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras. 
 
 Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de 
 computador... como nesse exercício. 
 
 
 
 
 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 = 
 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagand o na solução).

[Ricardo]

p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p
   p^2 (p-q) + q^2(q-p) = 0
(p^2-q^2)(p-q) =0
(p+q)(p-q)^2 =0, verdade ja que p e q sao
reais positivos


- Original Message -
From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, April 20, 2006 5:38 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagando na solução).


  o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade
do
  rearranjo.

Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que
   uma das formas de demonstrá-la
 seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais.

p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p
   p^2 (p-q) + q^2(q-p) = 0
  p^2 (p-q) = q^2(p-q)

 Exemplo:

 Supondo p== q temos igualdade
  OK pass
   Supondo  p  q , p0, q0  temos
 p^2  q^2
 OK ... pass
Supondo q p , p0, q0 == p-q  0 e
  p^2  q^2 (trocando o sinal).
 OK... pass
 Os outros casos
 (p0,q0  com pq ), (p0, q0 com pq ), (p0,q0 com pq )
 (p0,q0 com pq), (p0, q0 com pq), (p0,q0 com pq)
 são demonstrados de forma similares.

 Eu sei que essa maneira de demonstrar via compilação
 de todos os casos é meio tosca, mas
 será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis?

  Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos
 conhecidos.
 Exemplo:   Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.
 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr

 Note que 2 = 2.1 foi expandido.

   Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo
  poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber
  exatamente *o que* expandir.  É exatamente aí que entra o desafio, o
 sentimento e
 a criatividade.


Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu
 doutorado em análise.
Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras
 como na linguagem Prolog.
Para quem não conhece Prolog:   http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog

Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem
 responder questões mais ou menos
 simples via aplicação de regras.  Mas há um problema:  Cada
axioma/hipótese
 do teorema é uma regra e
 cada teorema no banco de dados do programa é uma regra.

 Se fôssemos usar a força bruta e aplicar
 todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão
combinatória
 de sentenças e dificilmente
 chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema
 chegando em regras atômicas que
 por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras.

 Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de
  computador... como nesse exercício.






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Re: [obm-l] Desigualdade

[Fábio Dias Moreira]

[EMAIL PROTECTED], 15/04/2006]:

 Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1.
 Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.

 [...]

Isso equivale a provar que 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr, ou seja,

7(p^2*q + ...) + 21 pqr = 2*(p^3 + q^3 + r^3) + 6(p^2*q + ...) + 21pqr =
2p^3 + 2q^3 + 2r^3 = p^2*q + p*q^2 + q^2*r + q*r^2 + r^2*p + r*p^2

o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do 
rearranjo.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira
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[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagando na solução ).

[Ronaldo Luiz Alonso]

o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do 
rearranjo.


  Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que
 uma das formas de demonstrá-la
seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais.

  p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p
 p^2 (p-q) + q^2(q-p) = 0
p^2 (p-q) = q^2(p-q)

Exemplo:

Supondo p== q temos igualdade
OK pass
 Supondo  p  q , p0, q0  temos
   p^2  q^2
OK ... pass
  Supondo q p , p0, q0 == p-q  0 e
p^2  q^2 (trocando o sinal).
OK... pass
   Os outros casos
(p0,q0  com pq ), (p0, q0 com pq ), (p0,q0 com pq )
(p0,q0 com pq), (p0, q0 com pq), (p0,q0 com pq)
são demonstrados de forma similares.

   Eu sei que essa maneira de demonstrar via compilação
de todos os casos é meio tosca, mas
será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis?

Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos 
conhecidos.

Exemplo:   Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.
7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr

Note que 2 = 2.1 foi expandido.

 Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo
poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber
exatamente *o que* expandir.  É exatamente aí que entra o desafio, o 
sentimento e

a criatividade.


  Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu 
doutorado em análise.
  Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras 
como na linguagem Prolog.

  Para quem não conhece Prolog:   http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog

  Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem 
responder questões mais ou menos
simples via aplicação de regras.  Mas há um problema:  Cada axioma/hipótese 
do teorema é uma regra e

cada teorema no banco de dados do programa é uma regra.

   Se fôssemos usar a força bruta e aplicar
todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória 
de sentenças e dificilmente
chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema 
chegando em regras atômicas que

por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras.

Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de
computador... como nesse exercício.






=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[saulo nilson]

sejam p, q, r as raizes do polinomio, seja p(x) esses polinomios, teremos:
P(x) =ax^3 +bx^2+cx+d
mas, do enunciado:
p+q+r=1
p+q+r = -b/a
b=-a

E o polinomio se torna:
P(x) =ax^3 -ax^2+cx+d
achando as derivadas desse polinomio:
P´(x)= 3ax^2 -2ax +c
P(x)=6ax -2a
como as raizes sao reais e nao negativas, os vertices do polinomio devem estar situados em OX positivo, e:
3ax^2 -2ax +c=0
deve ter duas raizes, dois vertices, logo:

4a^2 -4*3a*c=0
a(a-3c)=0
a=3c
e ainda:
3ax^2 -2ax +c=0
Xv1,2 = [1 +-1raiz(1 -3*c/a)]/3
p+q+r=1
elevando ao quadrado
p^2+q^2+r^2 +2(pq +pr +qr)=1
p^2+q^2+r^2=1-2(pq +pr +qr)=1-2c/a

elevando a mesma igualdade ao cubo:
p+q+r=1
(p+q)^3 +3*(p+q)^2*r+3*(p+q)*r^2 +r^3 =1
p^3 +3*p^2*q +3*p*q^2+q^3 +3*(p^2+2pq+q^2)*r+3*(pr^2+qr^2)+r^3=1
p^3+q^3+r^3 +3*p^2*q +3*p*q^2 +6pq +3p^2 +3q^2 +3pr^2+3qr^2=1
dividindo pelo produto das raizes:
(p^3+q^3+r^3)/pqr +3*p/r +3*q/r +6/r+3p/qr +3q/pr +3r/q+3r/p=1/pqr

So deu para fazer ate aqui agora, tenho que ir para uma palestra.








On 4/15/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:


Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1. 
Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.



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Re: [obm-l] Desigualdade

[Lucas Molina]

Olá turma:
Saulo Nilson , 
não sei se entendi bem o que você quis dizer com as suas palavras , masseria isto :
f( x ) = 0 = então encontramos os zeros ( r_1,r_2 , ... , r_n)de f`( x ) = 0 ( valores relativos de uma função ) e substituimos em 
 f( x ) para encontrarmos um suposto valor mínimo ou máximo ?
Ainda , podemos ver se uma das raízes de f`( x ) = 0 coincida comas de f´´( x ) = 0, pois essas raízes seriam pontos de inflexão, não pontos de máximo ou mínimo ( os que interessam nesse caso ) .
Seria essa a sua idéia ? 
Bem , mesmo assim , acho eu o uso do Cálculo pode ser muito pesado para uma questão que certamente exige menos.
Continuem tentando...]... eu tou aqui.]
Até mais ! 
[],
Lucas Molina




From:"saulo nilson" [EMAIL PROTECTED]Reply-To:obm-l@mat.puc-rio.brTo:obm-l@mat.puc-rio.brSubject:Re: [obm-l] DesigualdadeDate:Sun, 16 Apr 2006 16:34:41 -0300
se p,q e r forem as raizes de um polinomio, entao teremos um polinomio , de grau 3 com raizes reais e nao negativas. Aí e so derivar e fazer com que o polinomio derivado tenha duas raizes,talvez com isso ajude.

On 4/16/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: 



pela desigualdade das médias:

1 = p+ q+ r = 3/(1/r + 1/p + 1/q)

entao:

1/r + 1/p + 1/q= 3

pq + qr + pr = 3pqr (i)







ok.. segunda expressao:

1 = (p+q+r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + pr) = 0 (ii)







(p+q+r)^3 = (p+q)^3 + 3(p+q)r^2 + 3r(p+q)^2 + r^3 = p^3 + q^3 + r^3 + 3pq^2 + 3qp^2 + 3pr^2 + 3qr^2 + 3rp^2 + 3rq^2 + 6pqr = 1 (iv)







p^3 + q^3 + r^3 - 3prq = (p+q+r)(p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr) = p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr (iii)





usando (iii) e (ii), temos: p^3 + q^3 + r^3 - 3pqr = 1 - 3(pq - qr - pr)



agora, este ultimo com (iv), temos: 1 - 3pq^2 - 3qp^2- 3pr^2 - 3qr^2 - 3rp^2 - 3rq^2 - 6pqr = 1 - 3(pq - qr - pr)



assim: 3 (pq + qr + pr) = 6pqr + 3 (pq^2 + qp^2 + pr^2 + qr^2 + rp^2 + rq^2)





novamente, da desigualdade das medias:



p/q + q/p + r/q + q/r + p/r + r/p = 6

logo: pq^2 + qp^2 + pr^2 + qr^2 + rp^2 + rq^2 = 6pqr



assim: 3 (pq + qr + pr) = 6pqr + 18pqr

pq + qr + pr = 8pqr



bom.. nao cheguei em lugar nenhum.. rs

espero conseguir chegar.. mas vou dormir



soh estou mandando este email, pois fiz uma porrada de conta e quem sabe alguem consegue usar esses resultados..



abraços,



Salhab







- Original Message - 

From: Klaus Ferraz 


To: obm-l@mat.puc-rio.br 

Sent: Saturday, April 15, 2006 7:43 PM

Subject: [obm-l] Desigualdade



Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1. 

Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.





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Re: [obm-l] Desigualdade

[Marcelo Salhab Brogliato]

pela desigualdade das médias:
1 = p+ q+ r = 3/(1/r + 1/p + 
1/q)
entao:
1/r + 1/p + 1/q= 3
pq + qr + pr = 3pqr (i)



ok.. segunda expressao:
1 = (p+q+r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + pr) 
= 0 (ii)



(p+q+r)^3 = (p+q)^3 + 3(p+q)r^2 + 3r(p+q)^2 + r^3 = 
p^3 + q^3 + r^3 + 3pq^2 + 3qp^2 + 3pr^2 + 3qr^2 + 3rp^2 + 3rq^2 + 6pqr = 1 
(iv)



p^3 + q^3 + r^3 - 3prq = (p+q+r)(p^2 + q^2 + r^2 - 
pq - qr - pr) = p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr (iii)


usando (iii) e (ii), temos: p^3 + q^3 + r^3 - 3pqr 
= 1 - 3(pq - qr - pr)

agora, este ultimo com (iv), temos: 1 - 3pq^2 - 
3qp^2- 3pr^2 - 3qr^2 - 3rp^2 - 3rq^2 - 6pqr = 1 - 3(pq - qr - 
pr)

assim: 3 (pq + qr + pr) = 6pqr + 3 (pq^2 + qp^2 + 
pr^2 + qr^2 + rp^2 + rq^2)


novamente, da desigualdade das medias:

p/q + q/p + r/q + q/r + p/r + r/p = 
6
logo: pq^2 + qp^2 + pr^2 + qr^2 + rp^2 + rq^2 = 
6pqr

assim: 3 (pq + qr + pr) = 6pqr + 
18pqr
pq + qr + pr = 8pqr

bom.. nao cheguei em lugar nenhum.. rs
espero conseguir chegar.. mas vou 
dormir

soh estou mandando este email, pois fiz uma porrada 
de conta e quem sabe alguem consegue usar esses resultados..

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, April 15, 2006 7:43 
  PM
  Subject: [obm-l] Desigualdade
  
  Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1. 
  Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.
  
  
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[obm-l] Desigualdade

[Klaus Ferraz]

Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1.   Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr.
		 
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[obm-l] Desigualdade com substituição trigonométri ca

[Dymitri Cardoso Leão]

Inegavelmente, as substituição trigonométricas em certos casos são 
ferramentas poderosíssimas.
Mas gostaria de saber até que ponto só há solução utilizando as mesmas. 
Vejam o exemplo abaixo, que gerou minha dúvida:


* Mostre que, dentre quaisquer quatro reais distintos X1,X2,X3,X4 no 
intervalo (0,1], existem pelo menos dois Xi,Xj que satisfazem a desigualdade 
a seguir:


0  Xi.sqrt(1-Xj²) - Xj.sqrt(1-Xi²)  1/2.

obs: Notações- sqrt(x) - Raíz quadrada de x; = - maior que ou igual a, 
etc...


A seguir, vou mostrar uma solução com substituição trigonométrica:

Solução 1:0  X1,X2,X3,X4 = 1
 0º  a1,a2,a3,a4 = 90º  (os ai são todos distintos também)

X1 = sen(a1)
X2 = sen(a2)
X3 = sen(a3)
X4 = sen(a4)

Vamos dividir o intervalo (0º, 90º] em três sub-intervalos, que são (0,30º], 
(30º,60º], (60º, 90º]. Pelo princípio da casa dos pombos, há dois números 
dentro de um mesmo sub-intervalo, ou seja,


  0º  ai - aj  30º , mas xi sen ai - sqrt(1-xi²) = cos(ai); xj = senj - 
sqrt(1-xj²) = cosj.


Aplicado a função seno na desigualdade acima, 0  sen(ai).cos(aj) - 
sen(aj).cos(ai)  1/2 -


0  Xi.sqrt(1-Xj²) - Xj.sqrt(1-Xi²)  1/2 (c.q.d)


Solução 2: Na verdade, esta foi a primeira solução que tentei. Não usei 
trigonometria, e fui construindo a desigualdade passo a passo no braço (pra 
que isso? hehehe). Analogamente, dividi em 3 sub-intervalos, mas não 
consegui provar no 3º. A solução ficou um pouco grande pra digitar, mas
eu publiquei na internet: 
http://dymitri.leao.vila.bol.com.br/desigualdade.htm.

Obs: Lá na solução do site, eu botei o intervalo [0,1], mas é mesmo (0,1]!

Gostaria de saber se tem como resolver sem trigonometria, mais ou menos da 
forma como eu publiquei no site acima, ou se a substituição era realmente a 
chave da questão.



Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão.

_
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[obm-l] desigualdade geometrica

[vinicius aleixo]

Demonstre que: a2 + b2 + c2 ¡Ý 4¡Ì3 A , onde A ¨¦ a ¨¢rea do triang. de lados a,b,c.
		 
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[obm-l] DESIGUALDADE

[Klaus Ferraz]

Prove que se a, b,c sao lado de um triangulo entao :a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) ¡Ü 3abc
		 
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Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Marcos Martinelli]

Faça a seguinte mudança de variáveis a=px, b=py e c=pz, onde p é o semiperímetro do triângulo e agora teremos que mostrar que
2x^2(1-x)+2y^2(1-y)+2z^2(1-z)=3xyz - 2(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3)=3xyz -
2[(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz]-2(x^3+y^3+z^3)+6xyz=9xyz -
2[4-2xy-2xz-2yz]-2[x^3+y^3+z^3-3xyz]=9xyz -
8-4xy-4xz-4yz-2{(x+y+z)[(x+y+z)^2-3xy-3xz-3yz]}=9xyz -
8-4xy-4xz-4yz-16+12xy+12xz+12yz=9xyz -
8xy+8xz+8yz-8=9xyz - -y^2+(2-9/8xz)y+(xz-1)=0.
Observe que as duas raízes dessa equação são na realidade degeneradas em 0 e 1 e como essa parábola tem concavidade negativa assume valores positivos entre as raízes. Lebrando que 0y1. (E assim está demonstrado!)

RES: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner]

De modo geral, 
para todo n=1 temosP_n = 1/2* 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i 
=1,n)(1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA = MG, para n1 temos 
que (P_n)^(1/n)  (1/n) * Soma (i=1,n)(1 - 1/(2n)) = 1 - (1 
+ 1/2 +1/n)/(2*n) .Para n1,vale a desigualdade1 + 1/2 
+1/n  ln(n+1), de modo que(P_n)^(1/n)  1 - 
ln(n+1)/(2n). Finalmente, concluimos que, para n 1, P_n  (1 
- ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos mostra que . 
(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)  0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa 
do que a apresentada. Acho que o limite inferior apresentado estah 
incorreto.
Quando 
n-- oo, vemos que (1 - ln(n+1)/(2n))^n --0, logo P_n -- 0. Na 
terminologia adotada em produtos infinitos, temos que P_n diverge para 
0.


Artur

  
  
  
  


-Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 
20:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 
desigualdade

  Prove a desigualdade. 
  1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10
  
  
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RES: [obm-l] desigualdade

[Ralph Teixeira]

Sejam 
a=(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) e b=(2/3)*(4/5)*(6/7)...*(98/99) -- note que 
tem 50 termos em a, mas apenas 49 termos em b. Também, note que ab=1/100, 
isto é, b=1/(100a).

Bom, 
como 3/42/3; 5/64/5; ... ; 99/10098/99; temos, multiplicando tudo, 
que 2ab.
Como 
1/22/3; 3/44/5; 5/66/7;...; 97/9898/99; 99/1001; temos, 
multiplicando tudo, que ab.

Assim, 
b/2ab. Como b=1/100a:
1/(200a)  a  1/(100a)
1/225  1/200  a^2  
1/100
1/15  a  
1/10

Abraço,
 
Ralph
-Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo 
NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 
19:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 
desigualdade

  Prove a desigualdade. 
  1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10
  
  
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Re:RES: [obm-l] desigualdade

[claudio\.buffara]

Ou então,

P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)
Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101)

Claramente, P  Q == 
P^2  PQ = 1/101 ==
P  1/raiz(101)  1/raiz(100) = 1/10

Por outro lado,
R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que:
P  R ==
P^2  PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==
P  1/raiz(200)  1/raiz(225) = 1/15

[]s,
Claudio.







De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 8 Nov 2005 17:55:27 -0200




Assunto:
RES: [obm-l] desigualdade
 De modo geral, para todo n=1 temosP_n = 1/2* 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n)(1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA = MG, para n1 temos que (P_n)^(1/n)  (1/n) * Soma (i=1,n)(1 - 1/(2n)) = 1 - (1 + 1/2 +1/n)/(2*n) .Para n1,vale a desigualdade1 + 1/2 +1/n  ln(n+1), de modo que(P_n)^(1/n)  1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente, concluimos que, para n 1, P_n  (1 - ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)  0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a apresentada. Acho que o limite inferior apresentado estah incorreto.
 Quando n-- oo, vemos que (1 - ln(n+1)/(2n))^n --0, logo P_n -- 0. Na terminologia adotada em produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0.
 
 
 Artur






 
 -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 20:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] desigualdade

 Prove a desigualdade. 
 1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10


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Re:RES: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Eh, nao ha incoerencia nenhuma, pois 1/15 =0,0666... 
0,096849. Eu fiz conta errada

Artur

--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Ou então,
 
 P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)
 Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101)
 
 Claramente, P  Q  ==
 P^2  PQ = 1/101  ==
 P  1/raiz(101)  1/raiz(100) = 1/10
 
 Por outro lado,
 R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que:
 P  R  ==
 P^2  PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==
 P  1/raiz(200)  1/raiz(225) = 1/15 
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 
 De:[EMAIL PROTECTED]
 
 Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Cópia:
 
 Data:Tue, 8 Nov 2005 17:55:27 -0200
 
 Assunto:RES: [obm-l] desigualdade
 
  De modo geral, para todo n=1 temos P_n = 1/2 *
 3/4  *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n) (1 - 1/(2n)).
 Pela desigualdade MA =  MG, para n1 temos que
 (P_n)^(1/n)  (1/n) * Soma (i=1,n)  (1 - 1/(2n)) = 1
 -  (1 + 1/2 +1/n)/(2*n) . Para n1,vale a
 desigualdade 1 + 1/2 +1/n  ln(n+1), de modo que
  (P_n)^(1/n)   1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente,
 concluimos que, para n 1,  P_n   (1 -
 ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos
 mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) 
 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a
 apresentada. Acho que o limite inferior apresentado
 estah incorreto.
  Quando n-- oo, vemos que  (1 - ln(n+1)/(2n))^n
 --0, logo P_n -- 0. Na terminologia adotada em
 produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0.
 
 
  Artur
 
 
 
 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED]
 [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Danilo
 Nascimento
 Enviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005
 20:53
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: [obm-l] desigualdade
 
 
  Prove a desigualdade.
  1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10
 
 
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[obm-l] desigualdade

[Danilo Nascimento]

Prove a desigualdade. 
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[obm-l] desigualdade

[Klaus Ferraz]

Prove a desigualdade.
1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10

		 
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Re: [obm-l] desigualdade

[Eduardo Fischer]

Na verdade quem resolveu foi o Guilherme, eu só expliquei melhor...


Em 31/10/05, Eduardo Wilner[EMAIL PROTECTED] escreveu:

   Bem bolado.

   Obrigado

 --- Eduardo Fischer [EMAIL PROTECTED] escreveu:

  A MA = MG é feita com X, Y, onde X = a*(a+b+c) e Y
  = bc
 
  (a+b)(a+c) = a*(a+b+c) + bc = 2*raiz[abc(a+b+c)],
  essa última pela
  desigualdade das médias
 
 
  Em 30/10/05, Eduardo
  Wilner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
  
  
   Poderiam detalhar um pouco?
  
   Nao me parece imediato, pois, tratando-se de
  tres
   varivaveis a MA tem um denominador 3 e a MG uma
  raiz
   cubica...
  
  
   --- Guilherme Rohden Echelmeier
  [EMAIL PROTECTED]
   escreveu:
  
(a+b)(a+c) = a^2+ab+ac+bc = a*(a+b+c)+bc.
   
Seja a*(a+b+c) = X, e bc = Y.
   
Fazendo MA = MG com X e Y, fica provado o q se
pede.
   
Acho q é isso.
   
Guilherme
   
From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] desigualdade
Date: Sat, 29 Oct 2005 19:17:04 + (GMT)

Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para
quaisquer numeros reais
positivos a, b e c.


Obrigado.


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Re: [obm-l] desigualdade

[Eduardo Fischer]

A MA = MG é feita com X, Y, onde X = a*(a+b+c) e Y = bc

(a+b)(a+c) = a*(a+b+c) + bc = 2*raiz[abc(a+b+c)], essa última pela
desigualdade das médias


Em 30/10/05, Eduardo Wilner[EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Poderiam detalhar um pouco?

 Nao me parece imediato, pois, tratando-se de tres
 varivaveis a MA tem um denominador 3 e a MG uma raiz
 cubica...


 --- Guilherme Rohden Echelmeier [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:

  (a+b)(a+c) = a^2+ab+ac+bc = a*(a+b+c)+bc.
 
  Seja a*(a+b+c) = X, e bc = Y.
 
  Fazendo MA = MG com X e Y, fica provado o q se
  pede.
 
  Acho q é isso.
 
  Guilherme
 
  From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
  Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Subject: [obm-l] desigualdade
  Date: Sat, 29 Oct 2005 19:17:04 + (GMT)
  
  Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para
  quaisquer numeros reais
  positivos a, b e c.
  
  
  Obrigado.
  
  
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Re: [obm-l] desigualdade

[Eduardo Wilner]

  Bem bolado.

  Obrigado
 
--- Eduardo Fischer [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 A MA = MG é feita com X, Y, onde X = a*(a+b+c) e Y
 = bc
 
 (a+b)(a+c) = a*(a+b+c) + bc = 2*raiz[abc(a+b+c)],
 essa última pela
 desigualdade das médias
 
 
 Em 30/10/05, Eduardo
 Wilner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
 
  Poderiam detalhar um pouco?
 
  Nao me parece imediato, pois, tratando-se de
 tres
  varivaveis a MA tem um denominador 3 e a MG uma
 raiz
  cubica...
 
 
  --- Guilherme Rohden Echelmeier
 [EMAIL PROTECTED]
  escreveu:
 
   (a+b)(a+c) = a^2+ab+ac+bc = a*(a+b+c)+bc.
  
   Seja a*(a+b+c) = X, e bc = Y.
  
   Fazendo MA = MG com X e Y, fica provado o q se
   pede.
  
   Acho q é isso.
  
   Guilherme
  
   From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
   Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
   To: obm-l@mat.puc-rio.br
   Subject: [obm-l] desigualdade
   Date: Sat, 29 Oct 2005 19:17:04 + (GMT)
   
   Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para
   quaisquer numeros reais
   positivos a, b e c.
   
   
   Obrigado.
   
   
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Re: [obm-l] desigualdade

[Klaus Ferraz]

a desigualdade está correta. 
A solucao q o Guilherme deu acho q é a melhor. Usando a desigualdade das medias. Nao tinha pensado nisso...Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:




tem certeza da desigualdade?
pq nao eh simetrica.. acho isso muito estranho!nao sei c estou falando bobeira, mas normalmente, qdo nao se tem uma simetria das variaveis, eh pq a variavel nao simetrica tem alguma particularidade.
eu chamo de simetria o fato de permutar as variaveis nao modificar a equacao. nesse caso, a variavel "a" é nao simetria.. se vc troca-la com qualquer outra, muda o valor da expressao do lado esquerdo.

marcelo

- Original Message - 
From: Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Saturday, October 29, 2005 5:17 PM
Subject: [obm-l] desigualdade

Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para quaisquer numeros reais positivos a, b e c. 


Obrigado.


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RE: [obm-l] desigualdade

[Eduardo Wilner]

Poderiam detalhar um pouco?

Nao me parece imediato, pois, tratando-se de tres
varivaveis a MA tem um denominador 3 e a MG uma raiz
cubica...

 
--- Guilherme Rohden Echelmeier [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 (a+b)(a+c) = a^2+ab+ac+bc = a*(a+b+c)+bc.
 
 Seja a*(a+b+c) = X, e bc = Y.
 
 Fazendo MA = MG com X e Y, fica provado o q se
 pede.
 
 Acho q é isso.
 
 Guilherme
 
 From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] desigualdade
 Date: Sat, 29 Oct 2005 19:17:04 + (GMT)
 
 Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para
 quaisquer numeros reais 
 positivos a, b e c.
 
 
 Obrigado.
 
 
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[obm-l] desigualdade

[Klaus Ferraz]

Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para quaisquer numeros reais positivos a, b e c. 


Obrigado.
		 
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RE: [obm-l] desigualdade

[Guilherme Rohden Echelmeier]

(a+b)(a+c) = a^2+ab+ac+bc = a*(a+b+c)+bc.

Seja a*(a+b+c) = X, e bc = Y.

Fazendo MA = MG com X e Y, fica provado o q se pede.

Acho q é isso.

Guilherme


From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] desigualdade
Date: Sat, 29 Oct 2005 19:17:04 + (GMT)

Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para quaisquer numeros reais 
positivos a, b e c.



Obrigado.


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Re: [obm-l] desigualdade

[Marcelo Salhab Brogliato]

tem certeza da desigualdade?
pq nao eh simetrica.. acho isso muito 
estranho!nao sei c estou falando bobeira, mas normalmente, qdo nao se tem 
uma simetria das variaveis, eh pq a variavel nao simetrica tem alguma 
particularidade.
eu chamo de simetria o fato de permutar as 
variaveis nao modificar a equacao. nesse caso, a variavel "a" é nao simetria.. 
se vc troca-la com qualquer outra, muda o valor da expressao do lado 
esquerdo.

marcelo

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, October 29, 2005 5:17 
  PM
  Subject: [obm-l] desigualdade
  
  Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para quaisquer numeros reais 
  positivos a, b e c. 
  
  
  Obrigado.
  
  
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[obm-l] DESIGUALDADE

[Danilo Nascimento]

Sejam a, b, e c lados de um triangulo retangulo de hipotenusa a. Mostre que se n2, entao a^nb^n+b^n


		 
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Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Marcelo Rufino]

O que você pede para demonstrar é equivalente a 
(sen B)^n + (cos B)^n  1, para n  2.
Inicialmente, observe que, como B é agudo, então: 0 
 sen B  1 e 0  cos B  1.
Assim, temos que sen  mentão (sen 
B)^n  (sen B)^m e (cos B)^n  (cos B)^m
Logo, fazendo m = 2: (sen B)^n + (cos B)^n  
(sen B)^2 + (cos B)^2= 1.

Marcelo Rufino

  - Original Message - 
  From: 
  Danilo Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, October 08, 2005 8:08 
  PM
  Subject: [obm-l] DESIGUALDADE
  
  Sejam a, b, e c lados de um triangulo retangulo de hipotenusa a. Mostre 
  que se n2, entao a^nb^n+b^n
  
  
  
  
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Re: [obm-l] desigualdade

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] desigualdade



Usando a serie (1/2)*ln((1+x)/(1-x)) = SOMA(n=1) x^(2n-1)/(2n-1) com x = 1/3, obtemos:
log(2)  2*(1/3 + 1/(3*3^3) + 1/(5*3^5) + 1/(7*3^7) + 1/(9*3^9))  0,693146 ==
log(2)^5  0,16

Por outro lado, (2/5)^2 = 4/25 = 0,16.

Logo, log(2)^5  (2/5)^2 == log(2)  (2/5)^(2/5).

No entanto, a aproximacao eh muito boa.
A diferenca eh de apenas 0,0234 (aproximadamente).

Contudo, eu ainda gostaria de ver uma solucao mais engenhosa...

[]s,
Claudio.


on 09.09.05 21:19, Júnior at [EMAIL PROTECTED] wrote:

A questao diz: Mostrar que ln 2  (2/5)^(2/5).
Por extenso: Mostrar que log neperiano de 2 é maior que dois quintos elevado a dois quintos.
É isso.

Re: [obm-l] desigualdade

[Júnior]

Claudio, Bernardo, Artur, Fernando, obrigado pela atenção.
Agora posso dormir sossegado...

Júnior.Em 15/09/05, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu:





Usando a serie (1/2)*ln((1+x)/(1-x)) = SOMA(n=1) x^(2n-1)/(2n-1) com x = 1/3, obtemos:
log(2)  2*(1/3 + 1/(3*3^3) + 1/(5*3^5) + 1/(7*3^7) + 1/(9*3^9))  0,693146 ==
log(2)^5  0,16

Por outro lado, (2/5)^2 = 4/25 = 0,16.

Logo, log(2)^5  (2/5)^2 == log(2)  (2/5)^(2/5).

No entanto, a aproximacao eh muito boa.
A diferenca eh de apenas 0,0234 (aproximadamente).

Contudo, eu ainda gostaria de ver uma solucao mais engenhosa...

[]s,
Claudio.


on 09.09.05 21:19, Júnior at [EMAIL PROTECTED] wrote:

A questao diz: Mostrar que ln 2  (2/5)^(2/5).
Por extenso: Mostrar que log neperiano de 2 é maior que dois quintos elevado a dois quintos.
É isso.

Re: [obm-l] desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Na verdade e algo como 0,6931448 (nada como uma BC do
lado...)
E log 2= 0,6931471

Uma ieia que eu tive era usar uma serie do log para
estimar esta coisa fofa...


--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
[EMAIL PROTECTED] escreveu:

 A única parte errada é o absurdo: para x e y números
 entre 0 e 1 temos
 que x^y  x^1, pois basta escrever 0  x  1 = 0 
 x^z  1 para todo
 z POSITIVO e portanto 0  x^(1-y)  1 o que dá
 exatamente (após
 multiplicar por x^y, que é positivo) x  x^y.
 
 Esta é a maior dificuldade deste problema: o
 (2/5)^(2/5) é mais ou
 menos (1/2)^(1/2) ~= 0.707, daí tem que ver com mais
 cuidado.
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 
 On 9/14/05, Fernando Aires [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
  Caros,
  
  On 08/09/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote:
   Preciso de ajuda nesse probleminha:
Sem usar tábua de log ou uma calculadora,
 mostrar que: ln 2  (2/5)^2/5
  
 Você pode provar por absurdo. Assuma que ln 2
 = (2/5)^(2/5). Ora,
  ln 2 = (lg 2) / (lg e) = 1 / (lg e).
 (lg = log na base 2).
 Mas, como e  4, (lg e)  (lg 4) = 1 / (lg 4)
  1 / (lg e) = 1/2
   (2/5)^(2/5).
 Mas 2/5  1/2, portanto (2/5)  (2/5)^(2/5), o
 que é absurdo. QED.
  
 Tem alguma coisa errada no meu raciocínio?
 
 

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RES: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Isso 
nao prova nada. Ele esta tentando provar a desigualdade partindo do pricipio que 
ela eh verdadeira...Eh como um advogado tentar provar que seu cliente e inocente 
partindo do principio que ele eh inocente...

Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de JúniorEnviada 
  em: segunda-feira, 12 de setembro de 2005 23:05Para: 
  obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] 
  desigualdadeUm amigo resolveu de uma forma tao 
  simples...Vejam se procede a demonstração:Mostre que ln 2  
  (2/5)^(2/5).log 2 (na base 2) = 1  ln 2 "evidente"1  
  ln 2  (2/5)^(2/5)1  (2/5)^(2/5) 5^(2/5)  2^(2/5) . 
  FIM.Júnior.

Re: [obm-l] desigualdade

[Fernando Aires]

Caros,

On 08/09/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Preciso de ajuda nesse probleminha:
  Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar que: ln 2  (2/5)^2/5

   Você pode provar por absurdo. Assuma que ln 2 = (2/5)^(2/5). Ora,
ln 2 = (lg 2) / (lg e) = 1 / (lg e).
   (lg = log na base 2).
   Mas, como e  4, (lg e)  (lg 4) = 1 / (lg 4)  1 / (lg e) = 1/2
 (2/5)^(2/5).
   Mas 2/5  1/2, portanto (2/5)  (2/5)^(2/5), o que é absurdo. QED.

   Tem alguma coisa errada no meu raciocínio?

Beijos,

-- 
--
Fernando Aires
[EMAIL PROTECTED]
Em tudo Amar e Servir
--

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Re: [obm-l] desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

A única parte errada é o absurdo: para x e y números entre 0 e 1 temos
que x^y  x^1, pois basta escrever 0  x  1 = 0  x^z  1 para todo
z POSITIVO e portanto 0  x^(1-y)  1 o que dá exatamente (após
multiplicar por x^y, que é positivo) x  x^y.

Esta é a maior dificuldade deste problema: o (2/5)^(2/5) é mais ou
menos (1/2)^(1/2) ~= 0.707, daí tem que ver com mais cuidado.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 9/14/05, Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Caros,
 
 On 08/09/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Preciso de ajuda nesse probleminha:
   Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar que: ln 2  (2/5)^2/5
 
Você pode provar por absurdo. Assuma que ln 2 = (2/5)^(2/5). Ora,
 ln 2 = (lg 2) / (lg e) = 1 / (lg e).
(lg = log na base 2).
Mas, como e  4, (lg e)  (lg 4) = 1 / (lg 4)  1 / (lg e) = 1/2
  (2/5)^(2/5).
Mas 2/5  1/2, portanto (2/5)  (2/5)^(2/5), o que é absurdo. QED.
 
Tem alguma coisa errada no meu raciocínio?


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Re: [obm-l] desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Isso n~ao prova nada... Você tem que fazer ao contrário! Para provar
que a  b, n~ao adianta mostrar que c  a e c  b, isso n~ao garante
nada: 2  0, 2  1= 0  1 (que é o que a demonstraç~ao fez)

On 9/13/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Um amigo resolveu de uma forma tao simples...
  Vejam se procede a demonstração:
  
  Mostre que ln 2  (2/5)^(2/5).
  
  log 2 (na base 2) = 1  ln 2  evidente
  1  ln 2  (2/5)^(2/5)
  1  (2/5)^(2/5) 
  5^(2/5)  2^(2/5) . FIM.
  
  Júnior.
  
  
  
 
 
  


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] desigualdade

[Júnior]

Um amigo resolveu de uma forma tao simples...
Vejam se procede a demonstração:

Mostre que ln 2  (2/5)^(2/5).

log 2 (na base 2) = 1  ln 2 evidente
1  ln 2  (2/5)^(2/5)
1  (2/5)^(2/5) 
5^(2/5)  2^(2/5) . FIM.

Júnior.

Re: [obm-l] desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

--- Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Preciso de ajuda nesse probleminha:
 Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar
 que: ln 2  (2/5)^2/5
 

Isso equivale a (acho)

e^(log 2)  e^((2/5)^(2/5))
2  e^((2/5)^(2/5))

2/5=0.4
0.4^(2/5)=(16000/10)^(1/5)=(16000)^(1/5)/10

2  e^((16000)^(1/5)/10)
2^10  e^((16000)^(1/5))

Agora acho que da para usar alguma coisa sobre series...







___ 
Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. 
Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao
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=

Re: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Pera aih, eh ln 2  (2/5)^2/5 e nao ln 2 
(2/5)^(2/5). Pelo menos eh isto que estah na mensagem
original. Pela convencao usual, eleva-se (2/5) ao
quadrado e divide-se o resultado por 5. Nao eh (2/5)
elevado a (2/5).

Afinal, eh o que?
Artur


--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] wrote:

 
 --- Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
  Preciso de ajuda nesse probleminha:
  Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar
  que: ln 2  (2/5)^2/5
  
 
 Isso equivale a (acho)
 
 e^(log 2)  e^((2/5)^(2/5))
 2  e^((2/5)^(2/5))
 
 2/5=0.4
 0.4^(2/5)=(16000/10)^(1/5)=(16000)^(1/5)/10
 
 2  e^((16000)^(1/5)/10)
 2^10  e^((16000)^(1/5))
 
 Agora acho que da para usar alguma coisa sobre
 series...
 
 
   
 
 
   
   

___
 
 Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR
 UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe!
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Re: [obm-l] desigualdade

[Júnior]

A questao diz: Mostrar que ln 2  (2/5)^(2/5).
Por extenso: Mostrar que log neperiano de 2 é maior que dois quintos elevado a dois quintos.
É isso.Em 09/09/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pera aih, eh ln 2  (2/5)^2/5 e nao ln 2 (2/5)^(2/5). Pelo menos eh isto que estah na mensagemoriginal. Pela convencao usual, eleva-se (2/5) aoquadrado e divide-se o resultado por 5. Nao eh (2/5)elevado a (2/5).
Afinal, eh o que?Artur--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[EMAIL PROTECTED] wrote: --- Júnior 
[EMAIL PROTECTED] escreveu:  Preciso de ajuda nesse probleminha:  Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar  que: ln 2  (2/5)^2/5
  Isso equivale a (acho) e^(log 2)  e^((2/5)^(2/5)) 2  e^((2/5)^(2/5)) 2/5=0.4 0.4^(2/5)=(16000/10)^(1/5)=(16000)^(1/5)/10
 2  e^((16000)^(1/5)/10) 2^10  e^((16000)^(1/5)) Agora acho que da para usar alguma coisa sobre series...___
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Click here to donate to the Hurricane Katrina relief effort.http://store.yahoo.com/redcross-donate3/=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] desigualdade

[Júnior]

Preciso de ajuda nesse probleminha:
Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar que: ln 2  (2/5)^2/5

Obrigado.

[obm-l] desigualdade

[Júnior]

Preciso de ajuda nesse probleminha: 
Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar que: ln 2  (2/5)^2/5

Obrigado

Re: [obm-l] Desigualdade

[saulo nilson]

ab+c
ba+c
ca+b a^3+b^3 + 3abcc^3
c^3a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3
a^3+b^3+3ab*(a+b)c^3
a-bb-a
ab
a-cc-a
ac
b-cc-b
bc

somando as duas ultimas
a+b2c
de forma que 
ca+b2c

de forma que so podemos validar a desigualdade para:
a^3+b^3+6abcc^3



On 9/4/05, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote:
Tente usar a=x+y,b=x+z e c=y+z neste problema. Vaiosair uma desigualdade em que a unica restricao e as
novas variaveis serem positivas.--- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED]escreveu: Sejam a, b, e c as medidas dos lados de um
 triângulo. Prove a desigualdade a^3+b^3 + 3abcc^3. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo!
 Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] Desigualdade

[Danilo Nascimento]

Sejam a, b, e c as medidas dos lados de um triângulo. Prove a desigualdade
 a^3+b^3 + 3abcc^3.
__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

RE: [obm-l] Desigualdade

[kleinad2]

Olá!
Considere o polinômio f(c) = c^3 - (3ab)c - (a^3 + b^3). Como estamos num
triângulo, a idéia é mostrar que no intervalo (0, a + b) o polinômio é negativo.

Repare que (a + b) é raiz de f. Dividindo f por c - (a + b), você chega
no polinômio g(c) = c^2 + (a + b)c + (a + b)^2 - 3ab. O discriminante dele
é (a + b)^2 - 4(a + b)^2 + 12ab = -3(a - b)^2, logo se a for diferente de
b, g não tem raízes reais. Neste caso, f mantém sinal constante para c menor
do que (a + b). Como a + b  0, basta calcular f(0) = - (a^3 + b^3)  0
para saber o sinal em c  a + b, o que prova este caso.

Quando a = b, a raiz (dupla) de g é -a, menor que zero portanto. Assim,
f mantém sinal constante em (- a, a + b), o mesmo que em (0, a + b). Como
f(0)  0, acabou.

[]s,
Daniel



 ''Sejam a, b, e c as medidas dos lados de um triângulo. Prove a desigualdade
 ''
 ''a^3+b^3 + 3abcc^3.



=
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=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Tente usar a=x+y,b=x+z e c=y+z neste problema. Vaio
sair uma desigualdade em que a unica restricao e as
novas variaveis serem positivas.


--- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 
 Sejam a, b, e c as medidas dos lados de um
 triângulo. Prove a desigualdade
 
 a^3+b^3 + 3abcc^3.
 
  
 
 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

1)Bem, por Médias Potenciais 
((a^4+b^4)/2)^(1/4) = (a+b)/2
Agora basta substituir!

2)Eu achei uma solução que é só abrir os termos, mas
não achei muita graça nela. Entao nao vou postar ate
que veja algo melhor...

3)Que eu mal lhe pergunte, quantos sqrt aparecem nessa
expressão? Vou fazer umas suposições mas se nao for o
caso corrija-me.

Vou escrever isso:

S_1=a^(1/2)
S_(n+1)^2=S_n + a para n=1.

Veja que esta recorrência dá o valor do lado esquerdo
da desigualdade.

Entao o que queremos demonstrar é que S_n 
(1+sqrt(4a+1))/2

Se você for abrindo a expressão para se livrar da raiz
quadrada, voce logo ve que a expressao equivale a 

S_n^2-S_na

Mas se pegarmos a recorrência logo acima, temos
a+S_(n-1)-S_na
Ou S_n-1S_n
E isso sai com uma inducao simples!

- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 = 1/ 8
  
 2) Demonstrar que se |x|1, para quaisquer valor
 inteiro de n=2 se cumpre a desigualdade (1-x)^n +
 (1+x)^n  2^n
  
 3) Demonstrar a desigualdade
 sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+...+sqrt(a)
 (1+sqrt(4a+1))/2, a0
  
 Agradeço,
  
 []´s 
  
 Danilo
 
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[obm-l] Desigualdade

[Danilo Nascimento]

1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 = 1/ 8

2) Demonstrar que se |x|1, para quaisquer valor inteiro de n=2 se cumpre a desigualdade (1-x)^n + (1+x)^n  2^n

3) Demonstrar a desigualdade sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+...+sqrt(a) (1+sqrt(4a+1))/2, a0

Agradeço,

[]´s 

 Danilo__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Desigualdade

[Ricardo Bittencourt]

Danilo Nascimento wrote:

1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 = 1/ 8


Deve ter jeito mais elegante, mas...

Suponha sem perda de generalidade que ab. Se b for
negativo, então a será maior que 1, e verifica de imediato.
Como b não pode ser maior que 1, então verificamos que
0= a,b =1.

Agora fazemos a=0.5+A e por consequência b=0.5-A. É fácil
ver que, dentro da suposição inicial ab, então 0=A=1/2. Resta
apenas então abrir a expressão:

(0.5+A)^4+(0.5-A)^4

Os termos negativos vão cancelar, sobrando apenas:

1/8+ 3A^2+ 2A^4

Como 0=A, então a expressão acima necessariamente
é maior ou igual a 1/8.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
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Re: [obm-l] Desigualdade

[saulo nilson]

(1-x)^n + (1+x)^n =
soma(m=0,n)[C(n,m)x^(n-m)] + soma(m=0,n)[C(n,m)x^(n-m)]*(-1)^(n-m)
=soma(m=0,n)[C(n,m)x^(n-m)]*(1+(-1)^(n-m))
n-m impar 
(1+(-1)^(n-m)=0
sobram so os pares
(1+(-1)^(n-m))=2
x^2t=|x|^2t 1
2*soma(mpares=0,n)C(n,m)2*2^(n-1)2^n

On 9/1/05, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote:

1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 = 1/ 8

2) Demonstrar que se |x|1, para quaisquer valor inteiro de n=2 se cumpre a desigualdade (1-x)^n + (1+x)^n  2^n

3) Demonstrar a desigualdade sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+...+sqrt(a) (1+sqrt(4a+1))/2, a0

Agradeço,

[]´s 

 Danilo
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[obm-l] DESIGUALDADE

[Danilo Nascimento]

a, b c sao numeros positivos. Demonstre que 1/a + 1/b 1/c = 9/(a+b+c).
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Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Marcos Martinelli]

   1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c).

=
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=

Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Marcos Martinelli]

   1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c).

=
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=

Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Marcos Martinelli]

   Use o fato de que se a,b,c são reais positivos então
1/a+1/b+1/c=3/((abc)^1/3).
(MA=MG), mas como a+b+c=3((abc)^1/3) = 1/((abc)^1/3)=3/(a+b+c) =
1/a+1/b+1/c=3/((abc)^1/3) = 1/a+1/b+1/c=3*[3/(a+b+c)] = 
1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c).

=
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=

Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Artur Costa Steiner]

Estou supondo que a, b e c sejam positivos.

sabemos que a media aritmetica de um conjunto de
numeros positivos eh = que a media harmonica dos
mesmos, com igualdader sse os numeros forem todos
iguais.

Assim, para tods a,b,c  0 temos que (a+b+c)/3 =
3/(1/a + 1/b + 1/c), o que nos leva a desigualdade
citada, com igualdade sse a = b =c. 

Podemos generalizar para n numeros:

1/(a_1)...+...1/(a_n) = (n^2)/(a_1...+...a_n),. com
igualdade sse a_1 ...=...a_n.

Artur

--- Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote:

1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c).
 

=
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Re: RES: [obm-l] Desigualdade com complexos

[Danilo notes]

Apesar de mais trabalhosa eu gostei mais da solução do Gugu.

 Abs.Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caro Pedro,Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que aminha) - eu devia ter visto isso...Abraços,GuguP.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial:Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a=e^((a^2+b^2)^(1/2)).|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + |e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,obtem-se o resultado. Poderia omitir o "-1" nesse caso?Um abraço. Pedro.-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nomede Carlos Gustavo Tamm de Araujo MoreiraEnviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PMPara: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Desigualdade com
 complexos Caro Danilo, Fazendo z=a+bi, queremos provar que (e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale ae^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividirpor e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ouseja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x).Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendoe^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremosprovar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas
 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2,donde b^2=2(1-cosb), cqd. Abragos, Gugu  Pessoal , alguem sabe fazer essa ?prove que para todo numero complexo z , vale |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 Abs.=Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Desigualdade com complexos

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

   Caro Danilo,
   Fazendo z=a+bi, queremos provar que 
(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a
e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).
Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).
Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (após dividir
por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ou
seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e 
e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x).
Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo
e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremos
provar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)
basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2,
donde b^2=2(1-cosb), cqd.
   Abraços,
 Gugu  


 
Pessoal , alguem sabe fazer essa ?
prove que para todo numero complexo z , vale
 |e^z-1| menor ou igual a  e^|z|-1

   Abs.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Desigualdade com complexos

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + |
e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...

Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,
obtem-se o resultado. Poderia omitir o -1 nesse caso?

Um abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos

   Caro Danilo,
   Fazendo z=a+bi, queremos provar que 
(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a
e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).
Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).
Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividir
por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ou
seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e 
e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x).
Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo
e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremos
provar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)
basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2,
donde b^2=2(1-cosb), cqd.
   Abragos,
 Gugu  


 
Pessoal , alguem sabe fazer essa ?
prove que para todo numero complexo z , vale
 |e^z-1| menor ou igual a  e^|z|-1

   Abs.

=
Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
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Re: RES: [obm-l] Desigualdade com complexos

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

   Caro Pedro,
   Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que a
minha) - eu devia ter visto isso...
   Abraços,
 Gugu

P.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial:
Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a=e^((a^2+b^2)^(1/2)).


|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + |
e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...

Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,
obtem-se o resultado. Poderia omitir o -1 nesse caso?

Um abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos

   Caro Danilo,
   Fazendo z=a+bi, queremos provar que 
(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a
e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).
Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).
Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividir
por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ou
seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e 
e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x).
Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo
e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremos
provar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)
basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2,
donde b^2=2(1-cosb), cqd.
   Abragos,
 Gugu  


 
Pessoal , alguem sabe fazer essa ?
prove que para todo numero complexo z , vale
 |e^z-1| menor ou igual a  e^|z|-1

   Abs.

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[obm-l] Desigualdade com complexos

[Danilo notes]

Pessoal , alguem sabe fazer essa ?prove que para todo numero complexo z , vale
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Re: [obm-l] Desigualdade com complexos

[SiarJoes]

Em um e-mail de 25/7/2005 01:44:21 Hora oficial do Brasil, [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Pessoal , alguem sabe fazer essa ?
prove que para todo numero complexo z , vale
 |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1


Poxa cara.. eu tentei esse caminho, mas nem deu em nada.. mas mesmo assim to enviando meu raciocínio, 
abços a todos

chamemos de:
A = um ângulo qualquer.
notação: 
 iCISA= e^iA
 
1)e^z= icisA^z= |icis[Az] -1|
2)e^|z|= icisA^|z|= icis[A|z|] -1

1) temos

|Cos[Az] + iSen[Az] -1|= sqrt( cos[Az]-1)^2 + (sen[Az])^2)

2) temos
 icis[Asqrt(a^2 + b^2)] = cos[Asqrt(a^2 + b^2)] + sen[Asqrt(a^2 + b^2)]

[obm-l] desigualdade curiosa...

[carlos gomes]

Seguindo a sugestão do Cláudio, essa é para quem 
está procurando um bom problema

Se a e b são números reais positivos tais que 
a^2001+b^2001=a^1999+b^1999, mostre que a^2+b^2 é menor do que ou igual a 
2.

C.Gomes.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade curiosa...

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] desigualdade curiosa...



Se a e b sao ambos maiores do que 1 ou ambos menores do que 1, entao eh claro que a igualdade da hipotese nao pode ocorrer. 

Se a = b = 1, entao a^2 + b^2 = 2.

Logo, podemos supor s.p.d.g. que 0  a  1  b.

A igualdade fornece:
b^1999*(b^2 - 1) = a^1999*(1 - a^2) ==
(b/a)^1999 = (1 - a^2)/(b^2 - 1)  1, pois b  1  a ==
1 - a^2  b^2 - 1 ==
2  a^2 + b^2.
 
[]s,
Claudio.

on 19.03.05 19:03, carlos gomes at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seguindo a sugestão do Cláudio, essa é para quem está procurando um bom problema
 
Se a e b são números reais positivos tais que a^2001+b^2001=a^1999+b^1999, mostre que a^2+b^2 é menor do que ou igual a 2.
 
C.Gomes.
 
 
 

[obm-l] Desigualdade de complexos

[Fabio Niski]

Pessoal, travei nesse problema aqui. Alguem tem alguma sugestao/solucao?
Sejam z[1], z[2] numeros complexos tais que |z[1]|  |z[2]|. Mostre que, 
para todo n = 2,

n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1)  |z[1]|/(z[1] - z[2])
Obrigado
Niski
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade de complexos

[Claudio Buffara]

on 23.02.05 17:11, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Pessoal, travei nesse problema aqui. Alguem tem alguma sugestao/solucao?
 
 Sejam z[1], z[2] numeros complexos tais que |z[1]|  |z[2]|. Mostre que,
 para todo n = 2,
 
 n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1)  |z[1]|/(z[1] - z[2])
 
 Obrigado
 
A desigualdade nao faz sentido pois o lado direito nao eh necessariamente
real.

[]s,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade de complexos

[Fabio Niski]

Fabio Niski wrote:
Pessoal, travei nesse problema aqui. Alguem tem alguma sugestao/solucao?
Sejam z[1], z[2] numeros complexos tais que |z[1]|  |z[2]|. Mostre que, 
para todo n = 2,

n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1)  |z[1]|/(z[1] - z[2])
Ops, apenas uma errata
n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1)  |z[1]|/(|z[1]| - |z[2]|)
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Desigualdade de complexos

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

Seja r = |z[2]|/|z[1]| que é menor que 1 por hipótese.
Voce gostaria de mostrar que nr^(n-1) 1/(1-r) = 1 + r + r^2 +  +
r^(n-1) + .

Observe que 

r^(n-1)  1
r^(n-1)  r
.
.
.
r^(n-1)  r^(n-2)
r^(n-1) = r^(n-1)

Somando os dois lados, obtem-se

nr^(n-1)  1+ r + + r^(n-2)+ r^(n-1)  1/(1-r) obtendo o resultado.


Um abraço. Pedro.

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fabio Niski
Enviada em: Wednesday, February 23, 2005 6:42 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade de complexos

Fabio Niski wrote:

 Pessoal, travei nesse problema aqui. Alguem tem alguma sugestao/solucao?
 
 Sejam z[1], z[2] numeros complexos tais que |z[1]|  |z[2]|. Mostre que, 
 para todo n = 2,
 
 n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1)  |z[1]|/(z[1] - z[2])

Ops, apenas uma errata
n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1)  |z[1]|/(|z[1]| - |z[2]|)
=
Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] desigualdade

[Bruno Pereira Dias]

Olá,

Tem uma demonstração também na 2ed da Revista  da Olimpíada Regional
de Matemática - Santa Catarina no site http://www.orm.mtm.ufsc.br/

Espero ter ajudado,

Bruno


On Mon, 21 Feb 2005 15:15:24 +, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Sauda,c~oes,
 
 Oi Almeida,
 
 Demonstro isso no exercício 56 do Manual de
 de Indução Matemática.
 
 Outra solução pode ser vista no Manual das Funções
 Exponenciais e Logarítmicas.
 
 Ver o site  www.escolademestres.com/qedtexte
 
 Este problema foi discutido aqui na lista também diversas
 vezes. Procure nos arquivos.
 
 []'s
 Luis
 
 From: fagner almeida [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] desigualdade
 Date: Sun, 20 Feb 2005 11:54:00 -0300 (ART)
 
 será que uma alma caridosa pode prova  para mim essa
 questão. está nesse endereço
 http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif
 
 ou
 
 anexada
 
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 


-- 
--
Hiroshima 45, Chernobyl 86, Windows 98... God, save the Linux!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Esta eh a famosa desigualdade das médias aritmetica e geometrica, a prova
jah foi apresentada aqui uma porcao de vezes, por diversos processos.
Artur 


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fagner almeida
Enviada em: Sunday, February 20, 2005 11:54 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] desigualdade


será que uma alma caridosa pode prova  para mim essa
questão. está nesse endereço
http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif

ou

anexada



=


__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] desigualdade(ajuda)

[mentebrilhante brilhante]

a questão esta nesse endereço
http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif
		Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] desigualdade

[Claudio Buffara]

Uma ideia: 
Chame o produto de A e defina B = (2/3)*(4/5)*...*(96/97)*(98/99)*(99/100).
Calcule A*B e compare A com B.
Isso resolve a desigualdade da direita.
Pra da esquerda, defina C = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...*(96/97)*(98/99).

[]s,
Claudio.

on 20.02.05 22:33, Daniel Regufe at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Boa noite a todos ...
 
 Prove a desigualdade ...
 
 1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10
 
 agradeço
 []`Daniel Regufe
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] desigualdade

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,
Oi Almeida,
Demonstro isso no exercício 56 do Manual de
de Indução Matemática.
Outra solução pode ser vista no Manual das Funções
Exponenciais e Logarítmicas.
Ver o site  www.escolademestres.com/qedtexte
Este problema foi discutido aqui na lista também diversas
vezes. Procure nos arquivos.
[]'s
Luis

From: fagner almeida [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] desigualdade
Date: Sun, 20 Feb 2005 11:54:00 -0300 (ART)
será que uma alma caridosa pode prova  para mim essa
questão. está nesse endereço
http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif
ou
anexada


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] desigualdade

[fagner almeida]

será que uma alma caridosa pode prova  para mim essa
questão. está nesse endereço
http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif

ou

anexada



=


__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
http://br.download.yahoo.com/messenger/ inline: desigualdade.GIF

[obm-l] desigualdade

[Daniel Regufe]

Boa noite a todos ...
Prove a desigualdade ...
   1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10
agradeço
[]`Daniel Regufe
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] desigualdade( ajuda)

[fagner almeida]

 a questão  esta  nesse  site
http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif

ou 

em anexo





___ 
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http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátisinline: desigualdade.GIF

Re: [obm-l] desigualdade( ajuda)

[Alan Pellejero]

use o PIM, princípio da indução matemática
abraço
alan

 --- fagner almeida [EMAIL PROTECTED]
escreveu: 
  a questão  esta  nesse  site
 http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif
 
 ou 
 
 em anexo
 
 
   
   
   

___
 
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 agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida
 e grátis

 ATTACHMENT part 2 image/gif name=desigualdade.GIF
 





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http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] desigualdade(ajuda)

[fagner almeida]

a questão esta nesse endereço 
http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif

ou

anexada





___

Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo!
agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis





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RES: [obm-l] Desigualdade

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

Imagine que y é um parâmetro e para cada y você tem um polinômio em x de
grau 2. Encontre o discriminante desse polinômio em função de y: delta =
-20(y^2 + 2y + 1). Agora mostre que esse discriminante é  0 para todo y
diferente de 1 (nesse caso a primeira expressão é  0) e para y=1, a
primeira expressão é sempre 0 exceto em x=7 quando ela vale 0.

Um abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Bruno França dos Reis
Enviada em: Sunday, December 19, 2004 11:42 AM
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Desigualdade

Alguém dá uma mão nesse aqui?

Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais.

abraço
bruno

-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Uma ideia e sempre tentar completar os quadrados. Isto
lembra equacoes de conicas, entao vamos la!

Escreva a equacao como um polinomio em x, e imagine y
constante:

x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =
x^2 - 2xy - 12x + 6y^2 + 2y + 41 =
x^2 + (- 2y - 12)x  + (6y^2 + 2y + 41)=
x^2 - (2y + 12)x  + (6y^2 + 2y + 41)=

/*
 *A partir daqui ha dos modos de seguir:
 *o que eu estou a fazer e outro, que seria
 *calcular o delta da equacao resultante no braco.
 */

x^2 - 2(y + 6)x  + (6y^2 + 2y + 41)=
x^2 - 2(y + 6)x + (y + 6)^2 + (6y^2 + 2y + 41) - (y +
6)^2=
(x - (y + 6))^2 + (6y^2 + 2y + 41) - (y + 6)^2=
(x - y - 6)^2 + (6y^2 + 2y + 41) - (y^2 + 12y + 36)
(x - y - 6)^2 + (5y^2 + 14y + 77)

O primeiro somando e positivo, e o segundo e so fazer
a conta! O delta dele  e 14^2 - 4*5*77= 196- 20*77 =
196 - 1540, que eu nao conheco! 

 --- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
escreveu: 
 Alguém dá uma mão nesse aqui?
 
 Mostre que ,
 quaisquer x, y reais.
 
 abraço
 bruno
 
 -- 
 Bruno França dos Reis
 email: bfreis - gmail.com
 gpg-key:

http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
 icq: 12626000
 
 e^(pi*i)+1=0
 

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=
  

__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
http://br.download.yahoo.com/messenger/ 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade

[rafael marinii]

seja f(x) = x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 = x^2 - x(2y + 12) + (6y^2 +2y 
+41) , logo  Delta (em x) = D = (2y + 12)^2 - 4(6y^2+2y+41) = -20y^2 + 40y - 
20 = -20 (y-1)^2 = 0 para todo y real, logo ou f(x) nao tem raiz (e logo é 
0 para todo real x) , ou possui raiz dupla (o caso em quef(x) = 0 
para todo x real ) .
Brasil !!

From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Desigualdade
Date: Sun, 19 Dec 2004 12:42:01 -0200
Alguém dá uma mão nesse aqui?
Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais.
abraço
bruno
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
Natal no MSN Shopping: COMPROU, GANHOU $$! Veja Como! 
http://shopping.msn.com.br/MSNSHopping/GuiaEspeciais/Natal/conteudo.aspx?cd_guia=20cd_funcao=238

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=