Re: [obm-l] Limites

[Anderson Torres]

Em sex., 25 de jun. de 2021 às 23:38, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por favor 
>  prove-o
>

??

> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

muito obrigado por ser tão educado

Em sáb., 26 de jun. de 2021 às 11:27, Maikel Andril Marcelino <
maikel.marcel...@ifrn.edu.br> escreveu:

> https://www.youtube.com/watch?v=CWCVmgbePWY​
>
>
> Atenciosamente,
>
> *Maikel Andril Marcelino*
>
> *Assistente de Aluno - Secretaria Acadêmica -​ SEAC/SPP - Ramal: 7629 *
> *Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP*
> *Instituto Federal do Rio Grande do Norte*
> *Campus São Paulo do Potengi*
>
> *+55 **(84) 98851-3451*
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
> Israel Meireles Chrisostomo 
> *Enviado:* sexta-feira, 25 de junho de 2021 23:27
> *Para:* obm-l
> *Assunto:* [obm-l] Limites
>
> Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por
> favor  prove-o
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Maikel Andril Marcelino]

https://www.youtube.com/watch?v=CWCVmgbePWY?


Atenciosamente,

Maikel Andril Marcelino
Assistente de Aluno - Secretaria Acadêmica -? SEAC/SPP - Ramal: 7629
Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP
Instituto Federal do Rio Grande do Norte
Campus São Paulo do Potengi

+55 (84) 98851-3451

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Israel 
Meireles Chrisostomo 
Enviado: sexta-feira, 25 de junho de 2021 23:27
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Limites

Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por favor  
prove-o

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por
favor  prove-o

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[joao pedro b menezes]

Olá, boa noite, obrigado pela resposta( e pela dica)! Quanto ao meu
conhecimento de cálculo, embora saiba um pouco, ele é limitado e portanto
não conhecia esse teorema. Já li sobre ele durante o dia e entendi sua
demonstração. Mais uma vez, obrigado aos dois!

Re: [obm-l] Limites

[Pedro Angelo]

Em geral, sempre que você não sabe o que fazer com uma potência (por
exemplo nesse caso em que tanto a base quanto o expoente dependem de
x), a dica é trocar a base B por e^(log(B)).

Trocando (1+x) por e^(log(1+x)), vai ficar:

e^( ln(1+x) / x )

Como a função f(u)=e^u é contínua, basta saber calcular o limite de:

ln(1+x) / x

quando x tende a infinito. Esse é mais fácil?

On Fri, Jan 29, 2021 at 10:26 PM joao pedro b menezes
 wrote:
>
> Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma 
> prova para esse limite
> lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
> Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
> Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
> Já agradeço pela ajuda :)

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites

[Ralph Costa Teixeira]

Oi, João Pedro. Voce sabe Calculo -- em particular, a Regra de L'Hopital?

Isso eh o que os livros chamam de "indeterminação do tipo Infinito^0". Ao
inves de achar o limite desta função, vamos passar o logaritmo primeiro,
lembrando que
ln (1+x)^(1/x) = 1/x * ln(1+x)
ou seja, ache primeiro este limite aqui:
lim x->Inf  (ln(1+x)) /x
Esse é do tipo "Inf/Inf" e sai por L^Hopital (vale 0); portanto o limite
que você pediu vale (para desfazer o logaritmo, que é uma função contínua)
e^0=1, como você suspeitava.

Abraço, Ralph.





On Fri, Jan 29, 2021 at 10:26 PM joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:

> Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma
> prova para esse limite
> lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
> Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
> Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
> Já agradeço pela ajuda :)
>

[obm-l] Limites

[joao pedro b menezes]

Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma
prova para esse limite
lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
Já agradeço pela ajuda :)

[obm-l] Re: Limites

[Rogério Possi Júnior]

Resolvido!



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Rogério 
Possi Júnior <roposs...@hotmail.com>
Enviado: terça-feira, 7 de março de 2017 21:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Limites


Prezados,


Aparentemente obtenho respostas equivocadas dos limites abaixo.


1) limite de b->1- de:


1/(2*sqrt(1-b^2))*(sqrt(1-b^2)-i*(1-b))*e^((-b-i*sqrt(1-b^2))*t)+1/(2*sqrt(1-b^2))*(sqrt(1-b^2)+i*(1-b))*e^((-b+i*sqrt(1-b^2))*t)


2) Limite de b->1+ de:


1/(2*sqrt(b^2-1))*(sqrt(b^2-1)-(b-1))*e^((-b-sqrt(b^2-1))*t)+1/(2*sqrt(b^2-1))*(sqrt(b^2-1)+(b-1))*e^((-b+sqrt(b^2-1))*t)


Qualquer ajuda será bem-vinda.


Sds,


Rogério

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites

[Rogério Possi Júnior]

Prezados,


Aparentemente obtenho respostas equivocadas dos limites abaixo.


1) limite de b->1- de:


1/(2*sqrt(1-b^2))*(sqrt(1-b^2)-i*(1-b))*e^((-b-i*sqrt(1-b^2))*t)+1/(2*sqrt(1-b^2))*(sqrt(1-b^2)+i*(1-b))*e^((-b+i*sqrt(1-b^2))*t)


2) Limite de b->1+ de:


1/(2*sqrt(b^2-1))*(sqrt(b^2-1)-(b-1))*e^((-b-sqrt(b^2-1))*t)+1/(2*sqrt(b^2-1))*(sqrt(b^2-1)+(b-1))*e^((-b+sqrt(b^2-1))*t)


Qualquer ajuda será bem-vinda.


Sds,


Rogério

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Carlos Victor


Em 8 de setembro de 2015 21:24, Carlos Victor 
escreveu:

> Oi  Israel,
> lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use  o
> fato de que lim (n^(1/n))=1.
>
> Abraços
>
> Carlos  Victor
>
> Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Acho que pensei numa forma mais simples


Em 8 de setembro de 2015 21:33, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado Carlos Victor
>
>
> Em 8 de setembro de 2015 21:24, Carlos Victor 
> escreveu:
>
>> Oi  Israel,
>> lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use
>>  o fato de que lim (n^(1/n))=1.
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos  Victor
>>
>> Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,

n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n

Assim,

(2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n

e,  portanto,

a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n)) = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))

lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1

Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 . 1:raiz(1)
= 4

Artur




Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Me responda algo se eu definir uma sequência A_n então o limite no infinito
de A_n/A_n+1 =1?

Em 8 de setembro de 2015 22:33, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,
>
> n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n
>
> Assim,
>
> (2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n
>
> e,  portanto,
>
> a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n)) = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))
>
> lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1
>
> Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 . 1:raiz(1)
> = 4
>
> Artur
>
>
>
>
> Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah essa pergunta não faz sentido pois A_n=1/2^n  lim A_n/A_n+1=2, mesmo
assim vlw

Em 8 de setembro de 2015 22:51, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Me responda algo se eu definir uma sequência A_n então o limite no
> infinito de A_n/A_n+1 =1?
>
> Em 8 de setembro de 2015 22:33, Artur Costa Steiner <
> steinerar...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,
>>
>> n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n
>>
>> Assim,
>>
>> (2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n
>>
>> e,  portanto,
>>
>> a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n)) = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))
>>
>> lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1
>>
>> Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 .
>> 1:raiz(1) = 4
>>
>> Artur
>>
>>
>>
>>
>> Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

Não. Isto pode ou não ser verdade. Em a_n = 2^n, o limite é 1/2. Em a_n = n, o 
limite é 1.

Artur Costa Steiner

> Em 08/09/2015, às 22:51, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> Me responda algo se eu definir uma sequência A_n então o limite no infinito 
> de A_n/A_n+1 =1?
> 
> Em 8 de setembro de 2015 22:33, Artur Costa Steiner  
> escreveu:
>> Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,
>> 
>> n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n
>> 
>> Assim,
>> 
>> (2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n
>> 
>> e,  portanto, 
>> 
>> a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n))Â = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))
>> 
>> lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1
>> 
>> Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 . 1:raiz(1) = 
>> 4
>> 
>> Artur
>> 
>> 
>> 
>> 
>> Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo 
>>  escreveu:
>>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou 
>>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Carlos Victor]

Oi  Israel,
lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use  o
fato de que lim (n^(1/n))=1.

Abraços

Carlos  Victor

Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
dependendo desse resultado para calcular um outro limite...

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Já vi uma maneira mais simples é só definir A_n=((2n)!/n!)^{1/n}  e usar
que (A_n+1)^{n+1}/(A_n)^{n}=A_n(A_n+1/A_n)^{n+1} e observar que
lim (A_n+1/A_n)^{n+1} =1, essa é uma boa técnica ehehehe

Em 8 de setembro de 2015 21:42, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Acho que pensei numa forma mais simples
>
>
> Em 8 de setembro de 2015 21:33, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado Carlos Victor
>>
>>
>> Em 8 de setembro de 2015 21:24, Carlos Victor 
>> escreveu:
>>
>>> Oi  Israel,
>>> lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use
>>>  o fato de que lim (n^(1/n))=1.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos  Victor
>>>
>>> Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
 dependendo desse resultado para calcular um outro limite...


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-09-08 22:24 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
:
> Já vi uma maneira mais simples é só definir A_n=((2n)!/n!)^{1/n}  e usar que
> (A_n+1)^{n+1}/(A_n)^{n}=A_n(A_n+1/A_n)^{n+1} e observar que lim
> (A_n+1/A_n)^{n+1} =1, essa é uma boa técnica ehehehe

É. Se eu entendi direito, você "substituiu o teste da raiz pelo teste
da razão". Mais explicitamente, se a_n é uma seqüência de números
reais positivos, então se existir o limite a_{n+1} / a_n (quando n ->
infinito), então também existe o limite (a_n)^{1/n} e eles são iguais.
(Acho que você esqueceu de dizer que o lado ESQUERDO da sua equação
tende a 4 quando n -> infinito)

> Em 8 de setembro de 2015 21:42, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
>>
>> Acho que pensei numa forma mais simples

Tem uma outra forma "bem simples". Enfim, super-mágica, mas como eu
estou usando números de Catalan de montão, esses truques acabam
aparecendo. Seja C_n = binom(2n,n). Considere a função 1/raiz(1 - z).
Pelo binômio de Newton, a série de potências dela é

1/raiz(1 - z) = soma (-1)^n (2n+1)!/(4^n n! n!) z^n = soma (-1)^n
(2n+1) C_n/4^n z^n = soma a_n z^n

Como o raio de convergência desta função é 1, sabemos (pelo critério
de Hadamard) que o limite |a_n|^{1/n} é igual a 1. Daí, basta ver que
tem um (2n+1) "sobrando" (mas cuja raiz n-ésima tende a 1) para obter
(C_n)^{1/n} / 4 -> 1.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Limites de funções

[Sávio Ribas]

Não, isso é falso. Olhe para a sequência pi/n.
Em 02/08/2015 18:49, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que
 quando se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência
 implique que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir
 provar por indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, tem
 algum teorema que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos um
 termo de ordem infinita dessa sequência, então esse termo também é
 irracional?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites de funções

[Israel Meireles Chrisostomo]

Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que quando
se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência implique
que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir provar por
indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, tem algum teorema
que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos um termo de ordem
infinita dessa sequência, então esse termo também é irracional?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limites de funções

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah sim ok, achei que pudesse haver algum caso onde isso fosse verdade mesmo
com o contra-exemplo


Em 2 de agosto de 2015 20:01, Sávio Ribas savio.ri...@gmail.com escreveu:

 Não, isso é falso. Olhe para a sequência pi/n.
 Em 02/08/2015 18:49, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que
 quando se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência
 implique que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir
 provar por indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, tem
 algum teorema que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos um
 termo de ordem infinita dessa sequência, então esse termo também é
 irracional?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limites de funções

[Artur Costa Steiner]

Certamente existem casos. Tudo pode acontecer.:

(raiz(2) + 1/n) é uma sequencia de irracionais que converge para o irracional 
raiz(2).  

(raiz(2)/n) é uma sequencia de irracionais que converge para o racional 0

(1/n) é uma  sequencia de racionais que converge para o racional 0

A sequencia definida recursivamente por a_1 = 1, a_n = 1/(1 + a_(n - 1)) para n 
= 2, tem todos os termos racionais e converge para o irracional (raiz(5) - 
1)/2.


Artur Costa Steiner

 Em 02/08/2015, às 21:33, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:
 
 Ah sim ok, achei que pudesse haver algum caso onde isso fosse verdade mesmo 
 com o contra-exemplo
 
 
 Em 2 de agosto de 2015 20:01, Sávio Ribas savio.ri...@gmail.com escreveu:
 Não, isso é falso. Olhe para a sequência pi/n.
 
 Em 02/08/2015 18:49, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:
 Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que 
 quando se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência 
 implique que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir 
 provar por indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, 
 tem algum teorema que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos 
 um termo de ordem infinita dessa sequência, então esse termo também é 
 irracional?
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] ajuda de limites

[RitaGomes]

Caros colegas,

Gostaria de saber se alguem pode em esclarecer uma maneira simples de estar 
resolvendo limites pela regra L'hospital.

Rita Gomes

Re: [obm-l] ajuda de limites

[Jeferson Almir]

Cara amiga, a regra de L'hospital é utilizado no calculo de limites que
possuem indeterminações da forma + infinito/+infinito, - infinito/-infinito,
infinito - infinito, 0 x infinito, infinito^ (infinito), 0^0, 0^(infinito) e
1^(infinito) geralmente quando estas indeterminações aparecem nem sempre
existe uma maneira simples de resolve-la e para tal caso seria conveniente
voce pegar um bom livro de calculo e estudar estes casos. []'s

2009/11/29 RitaGomes rcggo...@terra.com.br

  Caros colegas,

 Gostaria de saber se alguem pode em esclarecer uma maneira simples de estar
 resolvendo limites pela regra L'hospital.

 Rita Gomes

Re: [obm-l] ajuda de limites

[fernandobarcel]

  
Abençoado o país em que até o pessoal de telemarketing já ouviu falar de L'Hopital (sem S)...- 
 
Em 29/11/2009 03:35 RitaGomes escreveu:










Caros colegas,Gostaria de saber se alguem pode em esclarecer uma maneira simples de estar resolvendo limites pela regra L'hospital.Rita Gomes










 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] ajuda de limites

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Só pra esclarecer: o tal do Marquês, que pra variar tem um nome
super-hyper-grande, se escreve mais ou menos como você quiser... A
Wikipedia não exclarece completamente a diferença (e eu confio mais na
língua-pátria do rapaz), mas é bem provável que a confusão entre
l'Hospital e l'Hôpital tenha mais a ver com o francês que permite as
duas grafias em várias situações (inclusive para o estabelecimento de
saúde correspondente) principalmente de acordo com a época : na idade
média, era hospital com 's' mesmo, e depois caiu o s, trocado por um
circunflexo (o mesmo se nota em Gâteaux, para os amantes das derivadas
generalizadas). E como o artigo abaixo diz, talvez seja sem 's' nem
acento...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_marquis_de_L%27H%C3%B4pital

um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

2009/11/29 fernandobar...@bol.com.br

 Abençoado o país em que até o pessoal de telemarketing já ouviu falar de 
 L'Hopital (sem S)...


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dú vida sobre limites

[Luiz Paulo]

Paulo, eu acho que o erro ocorreu porque você já foi de cara pela definição 
considerando que sen(npi) converge independente do valor de n.
Essa parte tá bem explicada no livro do Elon: Um curso de análise Vol.. I, 
Elon Lages Lima.
Espero que tenha ajudado.
Um abraço.
Luiz.

--- Em qua, 28/10/09, Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br 
escreveu:


De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre limites
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 28 de Outubro de 2009, 15:39







 Luiz.
Creio que o erro que cometi foi ter dividido o calculo desse limite em duas 
partes( produto dos limites 1+n/n+1 com sen(npi/2), nesta parte fiz: 
-1sen(npi/2)1, em seguida multipliquei ambos os membros da desigualdade por 
1/n^2 , acho que a confusão foi neste ponto.
 
agradeço, de coração, a sua explicação, ela me será muito útil.Estou tentando 
reestudar calculo de uma variável, e estou recorrendo a vocês, estou tentando 
me desenferrujar.
Se for possível você comentar aonde eu errei ficarei muito grato.
 
Um abraço e obrigado, mais uma vez
 
Paulo
 
 
--- Em qua, 28/10/09, Luiz Paulo paulolui...@yahoo.com.br escreveu:


De: Luiz Paulo paulolui...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre limites
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 28 de Outubro de 2009, 14:14







Podemos ver Tn da seguinte forma:
T(n)=1+1/[1+1/n]*sen(npi/2).
Tomando n=2k (k inteiro) vemos que daí teremos sen(kpi) que fica sendo zero.
Tomando n=2k+1(k inteiro) teremos sen[(2k+1)pi/2] que oscila entre -1 ou 1 
dependendo do k.
Daí tomando k tendendo ao infinito vemos que o termo em sen oscila entre esses 
valores.
Portanto T(n) diverge.

--- Em ter, 27/10/09, Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br 
escreveu:


De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Dúvida sobre limites
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 27 de Outubro de 2009, 18:35







pessoal , peço uma ajuda para esclarecer a seguinte questão;
 
A sucessão: T_n = 1+(n/n+1)*sin(npi/2) com n sendo um número natural é 
convergente ?
 
A achei que a sucessão acima é convergente , mas conversando,por alto, com um 
colega ele levantou a hipótese dessa sucessão ser divergente. Aí fiquei em 
dúvida.
Gostaria de uma orientação de vocês.
 
Obrigado, mais uma vez
 
Paulo


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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre limites

[Luiz Paulo]

Podemos ver Tn da seguinte forma:
T(n)=1+1/[1+1/n]*sen(npi/2).
Tomando n=2k (k inteiro) vemos que daí teremos sen(kpi) que fica sendo zero.
Tomando n=2k+1(k inteiro) teremos sen[(2k+1)pi/2] que oscila entre -1 ou 1 
dependendo do k.
Daí tomando k tendendo ao infinito vemos que o termo em sen oscila entre esses 
valores.
Portanto T(n) diverge.

--- Em ter, 27/10/09, Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br 
escreveu:


De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Dúvida sobre limites
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 27 de Outubro de 2009, 18:35







pessoal , peço uma ajuda para esclarecer a seguinte questão;
 
A sucessão: T_n = 1+(n/n+1)*sin(npi/2) com n sendo um número natural é 
convergente ?
 
A achei que a sucessão acima é convergente , mas conversando,por alto, com um 
colega ele levantou a hipótese dessa sucessão ser divergente. Aí fiquei em 
dúvida.
Gostaria de uma orientação de vocês.
 
Obrigado, mais uma vez
 
Paulo


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre limites

[Paulo Barclay Ribeiro]

 Luiz.
Creio que o erro que cometi foi ter dividido o calculo desse limite em duas 
partes( produto dos limites 1+n/n+1 com sen(npi/2), nesta parte fiz: 
-1sen(npi/2)1, em seguida multipliquei ambos os membros da desigualdade por 
1/n^2 , acho que a confusão foi neste ponto.
 
agradeço, de coração, a sua explicação, ela me será muito útil.Estou tentando 
reestudar calculo de uma variável, e estou recorrendo a vocês, estou tentando 
me desenferrujar.
Se for possível você comentar aonde eu errei ficarei muito grato.
 
Um abraço e obrigado, mais uma vez
 
Paulo
 
 
--- Em qua, 28/10/09, Luiz Paulo paulolui...@yahoo.com.br escreveu:


De: Luiz Paulo paulolui...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre limites
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 28 de Outubro de 2009, 14:14







Podemos ver Tn da seguinte forma:
T(n)=1+1/[1+1/n]*sen(npi/2).
Tomando n=2k (k inteiro) vemos que daí teremos sen(kpi) que fica sendo zero.
Tomando n=2k+1(k inteiro) teremos sen[(2k+1)pi/2] que oscila entre -1 ou 1 
dependendo do k.
Daí tomando k tendendo ao infinito vemos que o termo em sen oscila entre esses 
valores.
Portanto T(n) diverge.

--- Em ter, 27/10/09, Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br 
escreveu:


De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Dúvida sobre limites
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 27 de Outubro de 2009, 18:35







pessoal , peço uma ajuda para esclarecer a seguinte questão;
 
A sucessão: T_n = 1+(n/n+1)*sin(npi/2) com n sendo um número natural é 
convergente ?
 
A achei que a sucessão acima é convergente , mas conversando,por alto, com um 
colega ele levantou a hipótese dessa sucessão ser divergente. Aí fiquei em 
dúvida.
Gostaria de uma orientação de vocês.
 
Obrigado, mais uma vez
 
Paulo


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[obm-l] Dúvida sobre limites

[Paulo Barclay Ribeiro]

pessoal , peço uma ajuda para esclarecer a seguinte questão;
 
A sucessão: T_n = 1+(n/n+1)*sin(npi/2) com n sendo um número natural é 
convergente ?
 
A achei que a sucessão acima é convergente , mas conversando,por alto, com um 
colega ele levantou a hipótese dessa sucessão ser divergente. Aí fiquei em 
dúvida.
Gostaria de uma orientação de vocês.
 
Obrigado, mais uma vez
 
Paulo


  

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[obm-l] Dúvida sobre limites

[Bruno Carvalho]

Amigos, peço ajuda na resolução  da seguinte questão que vi num livro.
 
1) Provar que para toda  sucessão Cn  a sucessão Tn definida por 
Tn=2^n/(|Cn| + 4^n ).
Minha justificativa é : O denominador de Tn será sempre maior que o numerador 
mesmo que |Cn| tenda a zero ., logo a convergencia esta´ra garantida. Será que 
essa justificativa basta?
 
2)Se M(x)=R(x)/x-d é definida para x diferente de d então a reta x=d é 
assíntota vertical do grafico de M. Dizer se é verdadeiro ou falso justificando 
.
Pra mim é verdadeira e nesse caso o limite em d deverá ser infinito ?
 
3)determinar o valor de m de tal sorte que o limite:
Lim ( 5/(x-3) - m/(9-x^2)) seja  + infinito quando x tende a 3^-( três pela 
esquerda).
 
Muito obrigado
 
Bruno


  

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[obm-l] Limites

[Hugo Botelho]

Sejam f e g duas funcoes definidas em R tais que, para todo x pertencente
aos reais:
f^2 + g^2 = 4
Calcule:
a) lim (x^3)g(x), x - 0
b) lim f(x) * (x^2 - 9)^(1/3), x- 3

alguem sabe?
grato.

Re: [obm-l] Limites

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Hugo,
como f^2 + g^2 = 4, então: |f| = 2 e |g| = 2, para todo x.
Desta maneira, como são funções limitadas, temos:

a) lim {x-0} (x^3)g(x) = 0
b) lim {x-3} f(x) * (x^2 - 9)^(1/3) = 0

Para provar, seja h(x), tal que lim{x-a} h(x) = 0, vamos mostrar que, se
f(x) é limitada, então lim{x-a} h(x)f(x) = 0.
Temos que mostrar que para todo eps0 existe um delta0 tal que |x-a|delta
implica |h(x)g(x)|eps.

Sabemos que lim{x-a} h(x) = 0, isto é, para todo eps10 existe um delta10
tal que |x-a|delta1 implica |h(x)|eps1.
Como f(x) é limitada, temos que |f(x)|L para todo x. Assim: Para todo
L*eps10 existe um delta20 tal que |x-a|delta1 implica |h(x)||f(x)| =
|h(x)f(x)|L*eps1. Basta fazermos L*eps1 = eps. (cqd)

abraços,
Salhab


2009/9/5 Hugo Botelho hugob2...@gmail.com

 Sejam f e g duas funcoes definidas em R tais que, para todo x pertencente
 aos reais:
 f^2 + g^2 = 4
 Calcule:
 a) lim (x^3)g(x), x - 0
 b) lim f(x) * (x^2 - 9)^(1/3), x- 3

 alguem sabe?
 grato.

[obm-l] duvida sobre limites

[Julio Teixeira]

Bom dia, gostaria de esclarecer uma duvida..

Em relacao a limites, compreendo a teoria e a resolucao, mas apenas gostaria
de entender o por que..

Quando temos uma equacao ou fracao..por exemplo.. a fracao 9/15, e a
simplificamos, obtemos 3/5 ,onde sabemos que o resultado da divisao, tanto
para o valor original dos membros ou para o valor simplificado, o resultado
sera o mesmo.., pois apenas apliquei regras matematicas..até ai tudo otimo e
simples, porem , qndo temos q verificar o limite pra onde tende um y, dado
um x, por exemplo..temos varias formas difierentes de resolver estes
problemas..simplificando, usando L'HOPITAL, entre outras solucoes, ok

Agora oq eu gostaria de entender, eh o seguinte..

Se atraves da funcao original dado um x..eu obtenho uma infinidade do tipo
5/0..por que apos simplificarmos a funcao original..conseguimos obter, as
vezes, ou geralmente, um valor diferente de 5/0, tendo vista q qndo
simplificamos, usando as regras matematicas, nao alteramos o valor original.




Agradecido desde ja, aguardando retorno..

Atenciosamente, Julio Cesar

[obm-l] Limites: um problema realmente MUITO difícil

[Albert Bouskela]

Olá!
 
Pra quem gosta de limites, este problema é, sem dúvida, um grande desafio!
 
Seja   f(x) = ( cos( ln(x) / x ) ) / x
 
Seja   g(a) = Integral f(x) dx , de a até 1
 
Calcule, analiticamente, lim g(a) , para  a--0+
 
O Ralph - é claro! - vai calcular de cabeça e achar a resposta correta 
(0,323367432...) .

Obs.: se alguém quiser (e conseguir) aplicar L'Ho(s)pital, tá valendo!
 
Saudações,
AB
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com


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RES: [obm-l] Aritmetica de limites

[Artur Costa Steiner]

  estou quebrando a cabeça nesses problemas, mas não estou conseguindo fazer,
são os primeiros exercícios do Elon (projeto euclides) do capítulo de 
sequências e séries;

1) Seja a#0. Se lim(yn/a) = 1 então  então lim(yn) é igual  a a;
Como lim (yn/a) existe, então lim (a yn/a) = lim(yn)  também existe e  lim yn = 
lim (a yn/a) = a lim(yn/a) = a * 1 = a.

2) Seja b#0. Se lim(xn) = a e lim(xn/yn) = b , então lim(yn) = a/b;
Comolim(xn/yn) existe e b nao se anula, entao, de acordo com conhecidas 
propriedade dos limites apresentadas em qualquer livro de Analise, temos entao 
que lim yn) = lim xn * yn/xn = lim xn * lim(yn/xn) = lim xn * 1/lim(xn/yn) = a 
* 1/b = a/b

3) Se limxn=a # 0 e lim(xn.yn)=b então lim (yn) = b/a
lim yn = lim (xn yn)/xn = lim(xn yn)/lim xn = b/a


[Artur Costa Steiner]

abraços e muito obrigado,
Murilo,

[obm-l] Aritmetica de limites

[Murilo Krell]

Colegas da lista,
estou quebrando a cabeça nesses problemas, mas não estou conseguindo fazer,
são os primeiros exercícios do Elon (projeto euclides) do capítulo de
sequências e séries;

1) Seja a#0. Se lim(yn/a) = 1 então  então lim(yn) é igual  a a;

2) Seja b#0. Se lim(xn) = a e lim(xn/yn) = b , então lim(yn) = a/b;

3) Se limxn=a # 0 e lim(xn.yn)=b então lim (yn) = b/a

abraços e muito obrigado,
Murilo,

[obm-l] Limites com 2 variáveis

[rgc]

Olá
Estou começando a estudar cálculo com várias variaveis e estava com uma dúvida 
em alguns limites.
Meu professor disse que em alguns casos uma estratégia boa pra cálcular o 
limite quando trabalhamos com 2 variaveis é substituir por coordenadas polares 
fazendo x=r*cos t e y=r*sen t. Então segundo ele, é suficiente mostrar que o 
valor do limite existe e independe de t, ou que o limite não existe.
Mas outro professor que dá aula pra um amigo meu falou que essa estratégia só 
serve pra provar que o limite não existe, porque pra provar que um limite 
existe é necessário mostrar que o valor é o mesmo para qualquer caminho que 
usamos para se aproximar de um certo ponto e, usando as coordenadas polares 
consideramos apenas as retas e ignoramos todos os outros caminhos.
Só pra citar um exemplo, caso não tenha ficado muito claro:
lim(x,y)-(0,0)[(x³+y³)/(x²+y²)]. Fazendo essa substituição: lim r-0+ 
[(r³(sen³t+cos³t))/(r²(sen²t+cos²t))] = lim r-0+ [r(sen³t+cos³t)]. Como r-0+, 
r(sen³t+cos³t)-0 e o limite independe de t. A dúvida é: isso é suficiente pra 
provar que o limite é 0?

Obrigado

Rafael.

Re: [obm-l] Limites com 2 variáveis

[saulo nilson]

tagt^3=-1
tgt=(-1)^1/3=-1
logo olimite e dependente de t tambem.
acho que nesse caso vc tem que resolver o limite em relação a x ou y
primeiro e depois resolver em relação a outra variavel.


On 9/2/07, rgc [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Olá
 Estou começando a estudar cálculo com várias variaveis e estava com uma
 dúvida em alguns limites.
 Meu professor disse que em alguns casos uma estratégia boa pra cálcular o
 limite quando trabalhamos com 2 variaveis é substituir por coordenadas
 polares fazendo x=r*cos t e y=r*sen t. Então segundo ele, é suficiente
 mostrar que o valor do limite existe e independe de t, ou que o limite não
 existe.
 Mas outro professor que dá aula pra um amigo meu falou que essa estratégia
 só serve pra provar que o limite não existe, porque pra provar que um limite
 existe é necessário mostrar que o valor é o mesmo para qualquer caminho que
 usamos para se aproximar de um certo ponto e, usando as coordenadas polares
 consideramos apenas as retas e ignoramos todos os outros caminhos.
 Só pra citar um exemplo, caso não tenha ficado muito claro:
 lim(x,y)-(0,0)[(x³+y³)/(x²+y²)]. Fazendo essa substituição: lim r-0+
 [(r³(sen³t+cos³t))/(r²(sen²t+cos²t))] = lim r-0+ [r(sen³t+cos³t)]. Como
 r-0+, r(sen³t+cos³t)-0 e o limite independe de t. A dúvida é: isso é
 suficiente pra provar que o limite é 0?

 Obrigado

 Rafael.

Re: [obm-l] ajuda (limites)

[cleber vieira]

Obrigado Marcelo!
  Abraço
  Cleber 
   

   
-
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[obm-l] ajuda (limites)

[cleber vieira]

  Amigos gostaria da ajuda de vocês neste limite:
  O valor de:
   
  lim { [ 1/(x^2 + x) ] - [1/(cosx - 1)] } + (2^x - 1)/(x + tgx) , x--- 0, é
  a) - 00
  b) + 00
  c) 2
  d) 1
  e) 0
   
  Obrigado
  Vieira


   

   
-
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Re: [obm-l] ajuda (limites)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

lim { [ 1/(x^2 + x) ] - [1/(cosx - 1)] } + (2^x - 1)/(x + tgx) , x--- 0

aplicando L'Hopital na 2a. parte, temos: 2^x(ln2)/(1 + sec^2x) - (ln2)/2
vamos analisar a primeira parte:
[ 1/(x^2 + x) ] - [1/(cosx - 1)] = [ 1/(x^2 + x) ] + [1/(1 - cosx)]

como cosx = 1, temos: 1 - cosx = 0
logo, ambos tendem pra +infinito qdo x-0..

assim, a expressao como um todo tende pra +infinito..

apenas pra reforcar meus argumentos:


se lim f(x) = inf e lim g(x) = inf ... lim f(x) + g(x) = inf.. x-x0
pois veja que para todo M  0 existe delta1, tal que |x - x0|  delta1
implica f(x)  M..
e para todo M  0 existe delta2, tal que |x - x0|  delta2 implica g(x)  M..
assim, tomando delta3 = min(delta1, delta2), para todo |x-x0| 
delta3, temos que f(x) + g(x)  2M (cqd)

se lim f(x) = inf e lim g(x) = k ... lim f(x) + g(x) = inf
pois veja que para todo M  0 existe delta1, tal que |x - x0|  delta1
implica f(x)  M
e para todo eps  0 existe delta2, tal que |x - x0|  delta2 implica
|g(x) - k|  eps
assim, tomando delta3 = min(delta1, delta2), e tomando M' = M-k+eps temos:
f(x)  M' e |g(x) - k|  eps ... g(x)  k - eps
logo: f(x) + g(x)  M' + k - eps = M ...(cqd)
---

abracos,
Salhab


On 6/14/07, cleber vieira [EMAIL PROTECTED] wrote:

Amigos gostaria da ajuda de vocês neste limite:
O valor de:

lim { [ 1/(x^2 + x) ] - [1/(cosx - 1)] } + (2^x - 1)/(x + tgx) , x--- 0, é
a) - 00
b) + 00
c) 2
d) 1
e) 0

Obrigado
Vieira



 
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=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] ajuda (limites)

[antonio ricardo]

voce pode tentar usar a regra de l'hopital, que a resposta sai fácil fácil, se 
for limite na primeira fração quanto na segunda, a primeira diferencia em cima 
e embaixo separadamente,sem usar a regra do quociente de diferenciação; se na 
segunda for também limite, você usa logaritmo e diferencia separadamente.

cleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigos gostaria da ajuda de vocês 
neste limite:
  O valor de:
   
  lim { [ 1/(x^2 + x) ] - [1/(cosx - 1)] } + (2^x - 1)/(x + tgx) , x--- 0, é
  a) - 00
  b) + 00
  c) 2
  d) 1
  e) 0
   
  Obrigado
  Vieira


   

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Re: [obm-l] ajuda (limites)

[cleber vieira]

Antônio, o limite é de toda a expressão e não posso empregar a lei da soma dos 
limites pois reduzindo os termos que estão entre chaves e depois utilizando 
l´hopital encontro - 00, ou seja, o limite da soma igual a soma dos limites não 
cabe neste caso. 


   
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[obm-l] RES: [obm-l] Definição limites superior e inferi or

[Artur Costa Steiner]

Bom dia, George

Se A_n eh uma sequencia qualquer de conjuntos, temos as seguintes definicoes:

lim inferior de A_n, símbolo liminf A_n, eh o conjunto dos elementos que, com 
possível exceção de um número finito de conjuntos, pertence a todos os A_n's. 
Podemos mostrar que lim inf A_n = União(n =1, oo)(Inter(m =n, oo) A_n)

lim superior de A_n, símbolo limsup A_n, eh o conjunto dos elementos que 
pertencem a uma infinidade de conjuntos A_n. Podemos mostrar que lim sup A_n = 
Inter (n =1, oo)(Uniao (m =n, oo) A_n)

Uma definicão talvez mais precisa seria, em vez de dizer infinidade de 
conjuntos, dizer infinidade de índices n. 

Eh facil ver que Inter A_n = liminf A_n = limsup A_n = Uniao A_n (= 
significa propriamente contido ou igual)

Observamos tambem que, se A_n for crescente (A1 = A2  = A3), entao liminf 
A_n = limsup A_n = Unia A_n. Se for decrescente(A1 = A2 = A3), entao 
Inter A_n = liminf A_n = limsup An .

Artur



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de George Brindeiro
Enviada em: domingo, 18 de março de 2007 14:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Definição limites superior e inferior


Boa tarde a todos,

Estou estudando Probabilidade e Estatística, e me deparei com uma definição 
que estou tendo dificuldades de compreender. Quando temos uma sequência de 
conjuntos, definem-se os limites superiores e inferiores como a união das 
interseções e como a interseção das uniões. Não tenho como colocar a notação 
utilizada aqui, mas creio que vários saibam do que estou falando.

Qual o porque desta definição? Como aplico?

George

_
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Definição limites superior e inferio r

[Artur Costa Steiner]

Bom dia, George
Se A_n eh uma sequencia qualquer de conjuntos, temos as seguintes definicoes:
lim inferior de A_n, símbolo liminf A_n, eh o conjunto dos elementos que, com 
possível exceção de um número finito de conjuntos, pertence a todos os A_n's. 
Podemos mostrar que lim inf A_n = União(n =1, oo)(Inter(m =n, oo) A_n)
lim superior de A_n, símbolo limsup A_n, eh o conjunto dos elementos que 
pertencem a uma infinidade de conjuntos A_n. Podemos mostrar que lim sup A_n = 
Inter (n =1, oo)(Uniao (m =n, oo) A_n)
Uma definicão talvez mais precisa seria, em vez de dizer infinidade de 
conjuntos, dizer infinidade de índices n. 
Eh facil ver que Inter A_n = liminf A_n = limsup A_n = Uniao A_n (= 
significa propriamente contido ou igual)
Observamos tambem que, se A_n for crescente (A1 = A2  = A3), entao liminf 
A_n = limsup A_n = Unia A_n. Se for decrescente(A1 = A2 = A3), entao 
Inter A_n = liminf A_n = limsup An .
Artur 


- Original Message 
From: George Brindeiro [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, March 18, 2007 2:02:52 PM
Subject: [obm-l] Definição limites superior e inferior


Boa tarde a todos,

Estou estudando Probabilidade e Estatística, e me deparei com uma definição 
que estou tendo dificuldades de compreender. Quando temos uma sequência de 
conjuntos, definem-se os limites superiores e inferiores como a união das 
interseções e como a interseção das uniões. Não tenho como colocar a notação 
utilizada aqui, mas creio que vários saibam do que estou falando.

Qual o porque desta definição? Como aplico?

George

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[obm-l] ] RES: [obm-l] Definição limites superior e in ferior

[Artur Costa Steiner]

Uma aplicação direta e imediata  disso em probabilidade não me ocorre agora. 
Mas ha um resultado interessante: Seja E_n uma sequencia de eventos em um 
espaco amostral, cada um com probabilidade p(E_n).  Se a soma das 
probabilidades destes eventos for finita, isto eh, Soma (n=1,oo) p(E_n)  oo (a 
serie converge), entao p(limsup E_n) = 0. Isto eh, a probabilidade de 
ocorrencia sumultanea de uma infinidade de eventos E_n eh nula. 

Artur


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: segunda-feira, 19 de março de 2007 10:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Definição limites superior e inferior


Bom dia, George

Se A_n eh uma sequencia qualquer de conjuntos, temos as seguintes definicoes:

lim inferior de A_n, símbolo liminf A_n, eh o conjunto dos elementos que, com 
possível exceção de um número finito de conjuntos, pertence a todos os A_n's. 
Podemos mostrar que lim inf A_n = União(n =1, oo)(Inter(m =n, oo) A_n)

lim superior de A_n, símbolo limsup A_n, eh o conjunto dos elementos que 
pertencem a uma infinidade de conjuntos A_n. Podemos mostrar que lim sup A_n = 
Inter (n =1, oo)(Uniao (m =n, oo) A_n)

Uma definicão talvez mais precisa seria, em vez de dizer infinidade de 
conjuntos, dizer infinidade de índices n. 

Eh facil ver que Inter A_n = liminf A_n = limsup A_n = Uniao A_n (= 
significa propriamente contido ou igual)

Observamos tambem que, se A_n for crescente (A1 = A2  = A3), entao liminf 
A_n = limsup A_n = Unia A_n. Se for decrescente(A1 = A2 = A3), entao 
Inter A_n = liminf A_n = limsup An .

Artur



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de George Brindeiro
Enviada em: domingo, 18 de março de 2007 14:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Definição limites superior e inferior


Boa tarde a todos,

Estou estudando Probabilidade e Estatística, e me deparei com uma definição 
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[obm-l] Limites

[Klaus Ferraz]

Os limites são pra n-- infinito

1) a^n / n^k , a1 e k natural
2) a^n / n! a1
3) n! / n^n.

outro...
 Mostrar que  2,71e2,72. Calcular e com cinco decimas exatas.
ps.: Eu só sei mostrar que está entre 2 e 3. 

Vlw.
[]'s.

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[obm-l] Defini��o limites superior e inferior

[George Brindeiro]

Boa tarde a todos,

Estou estudando Probabilidade e Estatística, e me deparei com uma definição 
que estou tendo dificuldades de compreender. Quando temos uma sequência de 
conjuntos, definem-se os limites superiores e inferiores como a união das 
interseções e como a interseção das uniões. Não tenho como colocar a notação 
utilizada aqui, mas creio que vários saibam do que estou falando.


Qual o porque desta definição? Como aplico?

George

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[obm-l] Re: Os limites e a falta de limite e de bom senso...

[Leonardo Borges Avelino]

Nehab...
Gostaria de agradecer por suas palavras q foram tão sensatas e sábias...
Falar assim é fácil até ser grosso com um amigoO q é fácil pra
você eh tudo aquilo q vc está preparadoPor mais absurdas mensagens
que já enviei nunca me respnderam assim
Quanto mais as pessoas sabem mais devem ficar humildes por não saberem
quase nada Um exemplo de humildade é o russo Grisha Perelman, que
rejeitou a medalha Fields (Ele foi Perfect score na IMO quando tinha
14 anos, se não me engano)

Leonardo B Avelino

Em 15/09/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Caros,

Vou meter o bedelho onde NÃO fui chamado e pela primeira vez com
alguma tristeza.   Tenho 60 anos e fui professor de uma quantidade
inacreditável de profissionais que hoje habitam esta lista e com
absoluta certeza, a maioria com neurônios matemáticos muito mais
competentes que os meus (mesmo na época de meus 20, 30 40 e 50 anos
de idade).Fui professor de gênios - não fizeram nenhuma força
para isto - é uma dádiva.   E eu sempre assinalava isto.

Nunca me inclui neste clube simplesmente porque não era e não o
sou.  Não sou hipócrita de achar que minha habilidade com a
Matemática é trivial.  Não, não é.  Sou bom nisto.  Mas não sou ótimo
e já fui melhor.   Mas continuo sendo muito, mas muito feliz.

Mas meu maior prazer na vida sempre foi a sala de aula e certamente,
quando jovem (comecei muito cedo nisto), eu dava aula para mim  mesmo
e com toda certeza com um quê de arrogância.  Do tipo isto é
óbvio,  como você não aprendeu isto ainda?, etc.Nesta época eu
ainda não sabia que não sabia...

Lá pelos 30 anos descobri que muito mais prazer do que mostrar o que
eu sabia era fazer com que os alunos se motivassem a saber o que eu
sabia (e se possível muito mais).   Meu maior prazer NÃO era mais a
sala de aula em si (a serviço de um narcisismo idiota), mas poder
propiciar aos alunos minha experiência de aprendizado, meu prazer com
a beleza da Matemática e, mandatóriamente, aumentar a auto-confiança
e auto-estima dos que ainda não possuiam habilidade adequada a seu
nivel escolar com a Matemática (lugar comum na realidade brasileira).

O povão que habita esta lista (e ai me incluo), é chegado numa
competição e num bom desafio.  E a forma como cada um gerencia o grau
de envolvimento nestes processos (ou lutas?) também depende da
consciência do que representa esta competição e este desafio para a
psiquê de cada um de nós.   Infelizmente muitas vezes se pisa na
bola.  É uma pena.   E em geral é porque há outros tipos de neurônios
não matemáticos que também precisam ser desafiados para a gente
compreender um pouco mais o outro e a nós mesmos.   Ou seja,
aprender a ver os outros como tal e não como simples espelhos de nós mesmos

Um sociólogo extremamente criativo (Zygmunt Bauman), em um de seus
textos aborda a forma como uma sociedade vê um estranho, um
suposto invasor, que possui questões que põem em risco a
estabilidade da tal sociedade.  São perigosas para o status quo,
para o atual equilíbrio.  Bauman usa a metáfora de engulir o
estranho para depois regurgitá-lo, expelindo-o e faz uma analogia
com a forma como a sociedade esconde seu lixo (os mendigos, os
sem-terra, os sem-nada, etc).

Não pude evitar a lembrança deste belo e instigante texto, quando
acompanhei alguns emails sobre o que eu deveria saber sobre limite
mas não sei ou o que você está fazendo nesta lista, mude de
curso, etc, e outros tantos prejulgamentos muitas vezes equivocados
e preconceituosos.

Sugiro a todos os que vibram com o ensino da matemática (e não apenas
ela por ela mesma - que também tem sua beleza) quem façam um
estagiozinho dando aulas em alguma escola particular (conceituada ou
não) e passará a entender a realidade brasileira e a frustração do
colega que buscou ajuda nesta lista e nós quase que só comprovamos a
metáfora do Bauman.  Mais uma vez uma pena.

Mesmo sem ter procuração de ninguém nesta lista, peço desculpas a
você, Washington.   Admiro a busca por soluções para suas
dificuldades e a forma madura e elegante como respondeu a descortesia
(inconsciente ou não) que encontrou na lista.

É muito fácil ser professor do Nicolau (o coordenador desta lista), a
quem admiro há muitos anos.  Mas também desafiador e instigante é ser
seu professor.   Aceito este desafio como uma parceria.Mas espero
que você não queira aprender a integral de Lebesgue.  Fiquemos apenas
com o Cálculo, que definitivamente não tem nada de simples nem de
complicado.

Ora bolas, simples é o que a gente já sabe, já dizia um filósofo de
botequim que não lembro o nome...  ou em outra versão: problema óbvio
e o que já sei como se resolve   Frases absolutamente idiotas,
mas pelo menos divertidas.

Atenciosamente,
Carlos Nehab

At 16:09 14/9/2006, you wrote:
Bom, nesta lista sempre se consegue ajuda, a menos que seja um
assunto que ninguém aqui conheca ou um problema que ninguém aqui
consiga resolver. Mas quando a questão é muito geral, como uma
pergunta sobre o 

Re: RES: [obm-l] Os limites e a falta de limite e de bom senso...

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Caros, 
Vou meter o bedelho onde NÃO fui chamado e pela primeira vez com alguma
tristeza. Tenho 60 anos e fui professor de uma quantidade
inacreditável de profissionais que hoje habitam esta lista e com absoluta
certeza, a maioria com neurônios matemáticos muito mais competentes que
os meus (mesmo na época de meus 20, 30 40 e 50 anos de
idade). Fui professor de gênios - não fizeram nenhuma
força para isto - é uma dádiva. E eu sempre assinalava
isto. 
Nunca me inclui neste clube simplesmente porque não era e não o
sou. Não sou hipócrita de achar que minha habilidade com a
Matemática é trivial. Não, não é. Sou bom nisto. Mas
não sou ótimo e já fui melhor. Mas continuo sendo muito, mas
muito feliz.
Mas meu maior prazer na vida sempre foi a sala de aula e certamente,
quando jovem (comecei muito cedo nisto), eu dava aula para mim
mesmo e com toda certeza com um quê de arrogância. Do tipo
isto é óbvio, como você não aprendeu isto
ainda?, etc. Nesta época eu ainda não sabia que
não sabia... 
Lá pelos 30 anos descobri que muito mais prazer do que mostrar o que eu
sabia era fazer com que os alunos se motivassem a saber o que eu sabia (e
se possível muito mais). Meu maior prazer NÃO era mais a sala
de aula em si (a serviço de um narcisismo idiota), mas poder propiciar
aos alunos minha experiência de aprendizado, meu prazer com a beleza da
Matemática e, mandatóriamente, aumentar a auto-confiança e auto-estima
dos que ainda não possuiam habilidade adequada a seu nivel escolar com a
Matemática (lugar comum na realidade brasileira).
O povão que habita esta lista (e ai me incluo), é chegado
numa competição e num bom desafio. E a forma como cada um gerencia
o grau de envolvimento nestes processos (ou lutas?) também depende da
consciência do que representa esta competição e este desafio para a
psiquê de cada um de nós. Infelizmente muitas vezes se pisa
na bola. É uma pena. E em geral é porque há outros
tipos de neurônios não matemáticos que também precisam ser desafiados
para a gente compreender um pouco mais o outro e a nós
mesmos. Ou seja, aprender a ver os outros como tal e não como
simples espelhos de nós mesmos 
Um sociólogo extremamente criativo (Zygmunt Bauman), em um de seus textos
aborda a forma como uma sociedade vê um estranho, um
suposto invasor, que possui questões que põem em
risco a estabilidade da tal sociedade. São
perigosas para o status quo, para o atual
equilíbrio. Bauman usa a metáfora de engulir o
estranho para depois regurgitá-lo, expelindo-o e
faz uma analogia com a forma como a sociedade esconde seu
lixo (os mendigos, os sem-terra, os sem-nada,
etc). 
Não pude evitar a lembrança deste belo e instigante texto, quando
acompanhei alguns emails sobre o que eu deveria saber sobre limite
mas não sei ou o que você está fazendo nesta lista,
mude de curso, etc, e outros tantos prejulgamentos muitas
vezes equivocados e preconceituosos. 
Sugiro a todos os que vibram com o ensino da matemática (e não apenas ela
por ela mesma - que também tem sua beleza) quem façam um estagiozinho
dando aulas em alguma escola particular (conceituada ou não) e passará a
entender a realidade brasileira e a frustração do colega que buscou ajuda
nesta lista e nós quase que só comprovamos a metáfora do Bauman.
Mais uma vez uma pena.
Mesmo sem ter procuração de ninguém nesta lista, peço desculpas a você,
Washington. Admiro a busca por soluções para suas
dificuldades e a forma madura e elegante como respondeu a descortesia
(inconsciente ou não) que encontrou na lista.
É muito fácil ser professor do Nicolau (o coordenador desta lista), a
quem admiro há muitos anos. Mas também desafiador e instigante é
ser seu professor. Aceito este desafio como uma
parceria. Mas espero que você não queira aprender a
integral de Lebesgue. Fiquemos apenas com o Cálculo, que
definitivamente não tem nada de simples nem de complicado.

Ora bolas, simples é o que a gente já sabe, já dizia um filósofo de
botequim que não lembro o nome... ou em outra versão: problema
óbvio e o que já sei como se resolve Frases absolutamente
idiotas, mas pelo menos divertidas.
Atenciosamente,
Carlos Nehab
At 16:09 14/9/2006, you wrote:

Bom, nesta lista sempre se consegue ajuda, a menos que seja um assunto
que ninguém aqui conheca ou um problema que ninguém aqui consiga
resolver. Mas quando a questão é muito geral, como uma pergunta sobre o
que eh limite ou o que eh derivada, aih a solucao eh mesmo consultar um
bom livro e, depois de adquirir algum conhecimentom sobre o assunto, aih
sim mandar dúvidas mais específicas para esta lista, se vc nao conseguir
uma ajuda com um professor ou um colega.

Eh um fato que poucas pessoas gostam de
matematica e tem interesse em estuda-la mais a fundo. Eu fiz engenharia,
uma cadeira tradicionalmente conhecida como exata, portanto baseada, ao
menos em parte, em matematica, e encontrei muito poucos colegas
interessados em compreende-la mais a fundo. Se vc perguntar aa maioria
dos estudantes de engenharia ou aos que ja se formaram a 

[obm-l] Limites

[Ariel de Silvio]

Se alguém puder me ajudar nesses limites:

1) lim ( 2 - x ) ^ tg( pi * x / 2) , x-1 (x tende a 1)


2) Para um certo valor de c, o limite

lim [ (x^5 + 7x^4 + 2)^c - x ] , x - +inf

é finito e não nulo. Determine c e calcule o valor do limite.


Fiz x = 1/t, então t-0
Cheguei em:

lim [ ( (1+ 7t + 2t^5) / t^5 ) ^ c  -  1/t ], t-0

A partir daí, se eu quiser forçar para usar L'Hopital, é fácil ver que
c=1/5 resolve o problema, e tem-se lim = 7/5
Mas queria uma maneira mais formal de fazer isso. Até por que como sei
que esse c é único?

Grato
Ariel


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcio Cohen]

 É verdade, obrigado pela correção!
 Marcio

- Original Message - 
From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, May 22, 2006 1:12 AM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES



Marcio Cohen wrote:


 Oi Marcelo.
 Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só 
converge, mas tem forma fechada simples.
 Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução), 
S(n) =  2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2.


Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375  2, e como
S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2.

O erro no seu raciocínio é que você gera termos
da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria.

Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
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=



=
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[obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.
		 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Carlos Victor]

Olá ,
Para o segundo limite temos :
lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim(
1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função
infitesima multiplicada por um limitada ; ou
seja a resposta é zero .
Tem certeza que a questão (1)
esta correta ?
[]´s Carlos Victor

At 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
1)Determine lim(n-+inf)
(1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x

Grato.

Yahoo!
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá

2)
-1/x = sen(x^1000)/x = 1/x

qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo 
teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando 
x- 0.

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x
  
  Grato.
  
  
  Yahoo! 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá2)  -1/x = sen(x^1000)/x = 1/xqdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando x- 0.abraços,  Salhab- Original Message -   From: Klaus Ferraz   To: obm-l@mat.puc-rio.br   Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM  Subject: [obm-l] LIMITES1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.  Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de
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Re: [obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

Ola Carlos,   A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:  a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função infitesima multiplicada por um limitada ; ou seja a resposta é zero .Tem certeza que a questão (1) esta correta ?[]´s Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:  1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf)
 sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
		 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer 
a...
dividindo por x, temos:

-1/x = sen(a)/x = 1/x

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é 
  verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  



Olá

2)
-1/x = sen(x^1000)/x = 1/x

qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. 
pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 
quando x- 0.

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 
  AM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x
  
  Grato.
  
  
  Yahoo! 
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  Abra 
  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcio Cohen]

Para ser mais preciso (e chato), 
 -1/|x| = sen(a)/x = 
1/|x|

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 9:10 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Olá,
  
  pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer 
  a...
  dividindo por x, temos:
  
  -1/x = sen(a)/x = 1/x
  
  abracos,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 
PM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES
Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é 
verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

  
  

  Olá
  
  2)
  -1/x = sen(x^1000)/x = 
  1/x
  
  qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. 
  pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 
  quando x- 0.
  
  abraços,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 
AM
Subject: [obm-l] LIMITES

1)Determine lim(n-+inf) 
(1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x

Grato.


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Abra 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

exatamente cohen! é que x-inf.. dai caguei pro 
modulo.. hehe

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Marcio Cohen 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 9:55 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Para ser mais preciso (e chato), 
   -1/|x| = sen(a)/x = 
  1/|x|
  
- Original Message - 
From: 
Marcelo Salhab 
Brogliato 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 9:10 
PM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES

Olá,

pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer 
a...
dividindo por x, temos:

-1/x = sen(a)/x = 1/x

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é 
  verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  



Olá

2)
-1/x = sen(x^1000)/x = 
1/x

qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 
0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x 
- 0 quando x- 0.

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 
  AM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x
  
  Grato.
  
  
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao 
cheguei a uma resposta..

1)
Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n), 
temos que:

lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... + 
ln(1+1/2^n)

é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando 
n-inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2  
1.

sabemos que ln(1+x) = x .. x=0

assim: ln(1+1/2^k) = 1/2^k

logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k))  1/2 * (1 - 
1/2^n)/1/2= 1 - 1/2^n

qdo n-inf, temos: Sum(k=1..inf, 
ln(1+1/2^k))= 1

assim, lnS = 1, qdo n-inf
logo: S = e, qdo n-inf

bom, talvez conseguindo mostrar que S = e... ou 
entao utilizando outra ideia pra concluir a questao.

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Ola Carlos,
   A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:
  a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu:
  Olá 
,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) 
sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como 
sendo uma função infitesima multiplicada por 
um limitada ; ou seja a resposta é zero 
.Tem certeza que a questão 
(1) esta correta ?[]´s Carlos 
VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) 
  sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! 
  Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  
  
  
  Abra 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

continuando minha outra mensagem (q ainda nao 
chegou na lista)..
temos tb que:

ln(1+x) = x/(1+x) ... assim:

ln(1+1/2^k) = 1/(1+2^k)

Sum(k=1..inf, ln(1+1/2^k)) = Sum(k=1..inf, 
1/(1+2^k)) = 0,75 (fazendo os primeiros termos, vemos que vai dar maior que 
isso, e tb provamos q a serie converge)

logo: lnS = 0,75 ... S = 
e^(0,75)

assim: e^(0,75) = S = e

ou: 2,11 = S = 2,72

rsrs... parece q nao cheguei a nenhuma das 
alternativas :)

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Ola Carlos,
   A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:
  a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu:
  Olá 
,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) 
sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como 
sendo uma função infitesima multiplicada por 
um limitada ; ou seja a resposta é zero 
.Tem certeza que a questão 
(1) esta correta ?[]´s Carlos 
VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) 
  sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! 
  Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  
  
  
  Abra 
  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
  anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcio Cohen]

Oi Marcelo. 
Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e 
concluir que S não só converge, mas temforma fechada simples. 

Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas 
vezes (ou por indução),S(n) 
=2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. 






  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, May 22, 2006 12:32 AM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Olá,
  consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao 
  cheguei a uma resposta..
  
  1)
  Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n), 
  temos que:
  
  lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... 
  + ln(1+1/2^n)
  
  é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando 
  n-inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2  
  1.
  
  sabemos que ln(1+x) = x .. 
  x=0
  
  assim: ln(1+1/2^k) = 1/2^k
  
  logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k))  1/2 * (1 - 
  1/2^n)/1/2= 1 - 1/2^n
  
  qdo n-inf, temos: Sum(k=1..inf, 
  ln(1+1/2^k))= 1
  
  assim, lnS = 1, qdo n-inf
  logo: S = e, qdo n-inf
  
  bom, talvez conseguindo mostrar que S = e... 
  ou entao utilizando outra ideia pra concluir a questao.
  
  abraços,
  Salhab
  
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 
PM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES

Ola Carlos,
 A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:
a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] 
escreveu:
Olá 
  ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) 
  sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como 
  sendo uma função infitesima multiplicada por 
  um limitada ; ou seja a resposta é 
  zero .Tem certeza que a 
  questão (1) esta correta ?[]´s 
  Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
  1)Determine lim(n-+inf) 
(1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine 
lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! 
Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  


Abra 
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anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] LIMITES

[Ricardo Bittencourt]

Marcio Cohen wrote:


 Oi Marcelo.
 Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só 
converge, mas tem forma fechada simples.
 Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução),  
S(n) =  2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2.  


Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375  2, e como
S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2.

O erro no seu raciocínio é que você gera termos
da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria.

Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] Cálculo de Limites

[Artur Costa Steiner]

Foi 
citadoL´Hopital. De fato funciona, e o que temos no primeiro caso eh, por 
definicao, a derivada de f(x) = x^(1/3) no ponto x = a, ou seja f'(a) = (1/3) * 
a^(-2/3) No segundo caso, eh simplesmente a derivada desta funcao em x 
=8.

Mas 
para chegarmos a esta formula, este limite teve inicialmente que ser calculado 
de outra forma. A aplicacao da regra de L´Hopital jah pressupoeo 
conhecimento das derivadas. Seja a funcao f(x) = x^m, x em R, m inteiro 
positivo. Pelo Binomio de Newton, eh facil concluir que x - 0 = ( 1+ 
x)^m ~ 1 + m*x. Baseados nesta equivalencia nas proximidades de x =0 e com 
alguma algebra, chegamos a que f'(x) = m * x^(m-1). 

Se m 
for inteiro negativo, podemos considerar, alem da equivalencia anterior, o fato 
de que x - 0 = 1/(1+x) ~1 -x. E se n = p/q for um racional, 
entaoas conclusoes anteriores e um pouco de algebra levam a que f'(x) = n* 
x^(n-1). Este eh o caso do exercicio. 

Para n 
=0 a funcao f eh constante a a formula vale trivialmente.

Se n 
for um real qualquer, logo incluindo os irracionais, aih temos que considerar 
que x^n = e^(n* ln(x)), x 0, e tomar por base a definicao e as propriedades 
da funcao exponencial, dada por uma serie de potencias, e da sua 
inversa.

Artur
-Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
Natan PadoinEnviada em: quarta-feira, 3 de maio de 2006 
00:22Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Cálculo de 
Limites

  Alguém pode me ajudar a resolver estes limites?
  
  lim [RAIZ CÚBICA 
  _(x) - RAIZ CÚBICA _ (a)] / (x - a)
  (x - a)
  
  lim [RAIZ CÚBICA _ 
  (8 + h) - 2] / h
  (h - 0)
  
  Abraço.
  
  
  Abra 
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  anti-spam realmente eficaz. 

[obm-l] Re:[obm-l] Cálculo de Limites

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
lembre-se que: a^3- b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

assim, temos:
(x-a)/(x-a) * 1/(x^2/3 + (ax)^1/3 + a^2/3)
assim.. qdo x- a, temos 1/[ 2a^2/3 + a^2/3 ] = 1/[3a^(2/3)]

a segunda eh igual a primeira.. mas com a=8, logo: 1/[3*8^(2/3)]

note que em ambos os casos, temos a definicao de derivada..
na primeira, esse limite eh a derivada de f(x)=x^(1/3) no ponto a,
e na segunda eh a derivada de f(x) = x^(1/3) no ponto 8...


abraços,
Salhab

 Alguém pode me ajudar a resolver estes limites? 
 
 lim [RAIZ CÚBICA _ (x) - RAIZ CÚBICA _ (a)] / (x - a) 
 (x - a) 
 
 lim [RAIZ CÚBICA _ (8 + h) - 2] / h 
 (h - 0) 
 
 Abraço. 
 
 
 - 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Ojesed Mirror]

a) Fazendo x=1/y quando x-0+ 
y-+inf.
x^x = (1/y)^(1/y) = 
exp(-ln(y)/y)
Observe que y cresce mais rápido 
que ln(y), logo o expoente tende a zero e o limite de x^x tende a 1

Ojesed.

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 28, 2006 2:42 
PM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  a) lim(x-0+) x^x
  b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)
  
  
  
  Abra 
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  27/4/2006

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

b)
aplicando L'Hopital, temos:

nx^(n-1)/[n(lnx)^n . (1/x)] = (x/lnx)^n - 
(a/lna)^n, qdo x-a, para "a" finito a diferente de 0.
se a = 0, (x/lnx)^n - 0
se a = +inf, (x/lnx)^n - +inf

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Ojesed Mirror 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, May 02, 2006 12:50 
AM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  a) Fazendo x=1/y quando x-0+ 
  y-+inf.
  x^x = (1/y)^(1/y) = 
  exp(-ln(y)/y)
  Observe que y cresce mais rápido 
  que ln(y), logo o expoente tende a zero e o limite de x^x tende a 
  1
  
  Ojesed.
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Friday, April 28, 2006 2:42 
PM
Subject: [obm-l] LIMITES

a) lim(x-0+) x^x
b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)



Abra 
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27/4/2006

Re: [obm-l] LIMITES (sem L'Hospital)

[Eduardo Wilner]

 a) Seja y = x^x = lny = x lnx , lim(x-0) lny é indeterminado, logo o limite de  y também é.   b) Aquí y = (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n) e fazendo  z = lnx = x = e^z e  b = lna = a = e^b, teremos y = [e^(nz) - e^(nb)]/(z^n - b^n) ou  y = e^(nb){e^[n(z-b)] -1}/{(z -b)[z^(n-1)+bz^(n-2)+b^2z^(n-3)+...+zb^(n-2)+b^(n-1) Assim,  lim(x-a) y = [e^(nb)/b^(n-1)] * lim(z-b){e^[n(z-b)]-1}/[n(z-b)].  O limite ainda a ser determinado é fundamenta, tipo lim(w-0)(B^w-1)/w=ln B e no caso B = e = ln B = 1.  Portanto, lim(x-a)y = e^(nb)/b^(n-1) = a^n/(lna)^(n-1)  Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: a) lim(x-0+) x^x  b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)   Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 
		 
Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 

[obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

a) lim(x-0+) x^x  b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)  
		 
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RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner]

Nao precisafazer um buzilhao de 
vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim (x - oo) 120/((ln(2)^5 *2^x) = 
0
Artur
1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial é 
  mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente e 
  o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar em 
  algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 
0.

Re: [obm-l] limites

[Valter Rosa]

5) lim (x^2+x)^(1/(2x+1)) x-- +oo 


aplicando logaritmo temos:

= e^(lim (ln(x^2+x))/(2x+1)) aplicando l´Hopital no 
expoente duas vezes temos:

= e^0 = 1

Bruno, não entendi qual é o problema em se usar 
L´Hopital para simplificar as soluções !!
Acho que as soluções mais elegantes são as mais 
simples.

Valter Rosa

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno França dos 
  Reis 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, February 21, 2006 11:19 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] limites
  1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial 
  é mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente 
  e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar 
  em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 0.2) O mesmo. Para 
  justificar, faça l'hopital OU (acho mais bonito) u = x+1, e o limite vira u^5 
  / 2^(u-1) = 2u^5/2^u, e lim 2 u^5 / 2^u = 2 lim u^5 / 2^u, que tende para 0, 
  como já sabemos do exemplo anterior.3) lim x^(1/x), x - 
  +oox^(1/x) = e^(1/x * ln x)Como e^x é contínua, vamos achar o limite 
  do expoente para calcular o resultadolim 1/x * lnx = 0, pois: 1) ou vc 
  sabe que ln é mais lerda que qualquer polinomial, entao o denominador cresce 
  mais rapidamente e o limite vai pra 0, ou vc faz, sei lá, l'hopital.Então 
  o limite procurado vale, como a exponencial é continua, e^(lim 1/x * lnx) = 
  e^0 = 1AbraçoBruno
  On 2/21/06, Guilherme 
  Neves [EMAIL PROTECTED] 
  wrote:
  

Calcular os seguintes limites: 


lim x^5/2^x quando x-- mais infinito
lim (x+1)^5/2^x quando x-- mais infinito
lim raiz x-ésima de x quando x-- mais infinito 
lim raiz (2x+1)-ésima de x^2+x quando x-- a mais 
infinito= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
= 
  -- Bruno França dos 
  Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
  http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
  icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 268.0.0/266 - Release Date: 
  21/2/2006

Re: [obm-l] limites

[Tio Cabri st]

Para os índios mais de dois é buzilhao 
(rsrsrs...)

  - Original Message - 
  From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, February 22, 2006 10:18 
  AM
  Subject: RES: [obm-l] limites
  
  Nao precisafazer 
  um buzilhao de vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim (x - oo) 
  120/((ln(2)^5 *2^x) = 0
  Artur
  1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial é 
mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente 
e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar 
em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 0.
  
  

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Re: [obm-l] limites

[Bruno França dos Reis]

E já li que para algumas tribos africanas, mais de 3 é um buzilhão também!!

Bom, piadinhas a parte, Valter, acho que no exercício 2, no lugar de
aplicar L'Hopital, pode-se utilizar o exercício 1, onde L'H já foi
aplicado, pois com a mudança de variável chega-se no mesmo caso, então
não precisamos aplicar um buzilhao ( = 5  3 (se vc estiver no
meio da tribo africana a que me refiro (que nao lembro qual!))  2
(se vc for índio, segundo Tio Cabri)) vezes L'Hopital.
Mas digo isto da mudança de variável não porque eu ache ruim usar
L'Hopital, mas pq como já foi usado no exercício 1, podemos atacar o
segundo de uma forma, que, na minha opinião, é menos braçal. Só troque
de variável (uma mudança muito simples, diga-se de passagem), e então
vc obtem um caso de limite análogo ao exercício 1, que, como já foi
resolvido, não se tem a necessidade de recalcular o limite!

Não vejo nenhum problema em aplicar L'Hopital. Tá aí pra ser usado!

Abraço,
Bruno

On 2/22/06, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote:







Para os índios mais de dois é buzilhao 
(rsrsrs...)

  - Original Message - 
  
From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: 
obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, February 22, 2006 10:18 
  AM
  Subject: RES: [obm-l] limites

  
  Nao precisafazer 
  um buzilhao de vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim (x - oo) 
  120/((ln(2)^5 *2^x) = 0
  Artur
  1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial é 
mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente 
e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar 
em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 0.
  
  

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RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner]

Talvez 
tenhamos que, por definicao, 1 buzilhao = 5

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Tio Cabri 
  stEnviada em: quarta-feira, 22 de fevereiro de 2006 
  11:36Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] 
  limites
  Para os índios mais de dois é buzilhao 
  (rsrsrs...)
  
- Original Message - 
From: 
Artur Costa Steiner 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wednesday, February 22, 2006 
10:18 AM
Subject: RES: [obm-l] limites

Nao 
precisafazer um buzilhao de vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim 
(x - oo) 120/((ln(2)^5 *2^x) = 0
Artur
1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial 
  é mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais 
  rapidamente e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de 
  vezes até chegar em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 
  0.



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21/2/2006

[obm-l] limites

[Guilherme Neves]

Calcular os seguintes limites:


lim x^5/2^x quando x-- mais infinito
lim (x+1)^5/2^x quando x-- mais infinito
lim raiz x-ésima de x quando x-- mais infinito 
lim raiz (2x+1)-ésima de x^2+x quando x-- a mais infinito

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] limites

[Bruno França dos Reis]

1) lim x^5/2^x, para x - +oo
Ou vc sabe que exponencial é mais rápida que polinomial, e portanto o
denominador cresce mais rapidamente e o limite vai pra zero, ou vc faz
l'hopital um buzilhao de vezes até chegar em algo da forma a/b*2^x, aí
é claro que vai pra 0.

2) O mesmo. Para justificar, faça l'hopital OU (acho mais bonito) u =
x+1, e o limite vira u^5 / 2^(u-1) = 2u^5/2^u, e lim 2 u^5 / 2^u = 2
lim u^5 / 2^u, que tende para 0, como já sabemos do exemplo anterior.

3) lim x^(1/x), x - +oo
x^(1/x) = e^(1/x * ln x)
Como e^x é contínua, vamos achar o limite do expoente para calcular o resultado
lim 1/x * lnx = 0, pois: 1) ou vc sabe que ln é mais lerda que qualquer
polinomial, entao o denominador cresce mais rapidamente e o limite vai
pra 0, ou vc faz, sei lá, l'hopital.
Então o limite procurado vale, como a exponencial é continua, e^(lim 1/x * lnx) = e^0 = 1

Abraço
Bruno
On 2/21/06, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote:
Calcular os seguintes limites:


lim x^5/2^x quando x-- mais infinito
lim (x+1)^5/2^x quando x-- mais infinito
lim raiz x-ésima de x quando x-- mais infinito 
lim raiz (2x+1)-ésima de x^2+x quando x-- a mais infinito

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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[obm-l] Limites

[Klaus Ferraz]

lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) R:5/6lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re:[obm-l] Limites

[Luiz H\. Barbosa]

lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) 
Como ha um caso de indeterminação 0/0 .Deriva-se o numerador e o denominador.
10/{(3)*[(5x-2)^2/3]*[x-1]} = 10/12 = 5/6

Faz o mesmo para o segunda que da certo!

lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5 

[]'s
Luiz H. Barbosa 

Re:[obm-l] Limites

[Salhab \[ k4ss \]]

Ólá,
bom, vc conhece L'Hopital?
Como ambos os limites são do tipo 0/0, basta aplicar L'Hopital para resolve-los.

1) Lim(x-2) 1/2 * (9 + 2x)^(-1/2) * 2 / [1/3 * x^(-2/3)]
agora é só terminar que da a resposta...
para o segundo é identico..
na hora de derivar, não esquece da regra da cadeia!

abraços,
Salhab



 lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) R:5/6 
 
 lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Limites radiciação

[Akira Kaneda]

ta muito facil ou ninguem soube fazer ?








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[obm-l] Limites radiciação

[Akira Kaneda]

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado
e determine :

lim x - 2 / ((x + 2)^0.5) - 2
x - 2

lim (x^0.5) - 2 / x - 4
x - 4

[]`s







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[obm-l] limites de sequencias de conjuntos

[Artur Costa Steiner]

Achei estes problemas interessantes. Sugiro-os aos colegas.

Sendo A_n uma sequencia de subconjuntos de um conjunto A, definimos como
limite superior de A_n, limsup A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A
que peretencam a uma infinidade de conjuntos A_n; definimos como limite
inferior de A_n, lim inf A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A que,
com possível excecao de um numero finito de conjuntos,  pertencam a todos os
conjuntos A_n. 

1) Mostre que 

1.1  lim sup A_n = Interseccao (n =1, oo) (Uniao(m=n, oo) A_m)
1.2  lim inf  A_n =  Uniao(n =1, oo) (Interseccao(m=n, oo) A_m)
1.3 0 = lim inf A_n = lim sup A_n = AAqui, 0 significa o conjunto
vazio e = significa esta propriamente contido ou eh igual. 
1.4  Se A_n for uma sequencia monotonicamente crescente, no sentido de que
A_n = A_(n+1) para todo n, entao   lim inf A_n = lim sup A_n = Uniao (n=1,
oo) A_n
1.5  Se A_n for uma sequencia monotonicamente decrescente, no sentido de que
A_(n+1) = A_n para todo n, entao   lim inf A_n = lim sup A_n = Interseccao
(n=1, oo) A_n


2) Em analogia com sequencias de numeros reais, dizemos que, se  lim inf A_n
= lim sup A_n = L,  entao L = lim A_n (limite de A_n) e A_n converge para L.

2.1 De exemplo de uma sequencia de conjuntos tal que lim inf A_n = 0 (vazio)
e lim sup A_n = A (A um conjunto qualquer)
2.2 De exemplo de uma sequencia A_n que nao seja monotonica mas seja
convergente.

Artur


 

=
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=

[obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[r_c_d]

Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente, 
intepretar os graficos e deduzir funções.. 
Alguem pode me ajudar com algum site ou livro??? 
Muito obrigado 

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[Fabio Niski]

r_c_d wrote:
Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente, 
intepretar os graficos e deduzir funções.. 
Alguem pode me ajudar com algum site ou livro??? 
Muito obrigado 


Gosto de Courant ou Guidorizzi.
Estou começando a apreciar tb os livros do Marsden.


--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))

Carl Friedrich Gauss
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[Júnior]

Essas notas de aula podem te ajudar inicialmente
http://www.mat.ua.pt/vneves/ami/notas/ami.pdf

Em 22/07/05, r_c_d[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente,
 intepretar os graficos e deduzir funções..
 Alguem pode me ajudar com algum site ou livro???
 Muito obrigado
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[Bruno França dos Reis]

Eu gosto desses aqui:

Guidorizzi, Um curso de Cálculo, Vol 1
Calculus, Michael Spivak (cuidado: não é o Calculus on Manifolds, que vende em várias livrarias! ehehe)

Se vc quiser também estudar os números reais de verdade, pra ver as
entranhas do cálculo de uma variável, eu gostei do livro do Elon, Um
curso de Análise.

Abraço
BrunoOn 7/22/05, r_c_d [EMAIL PROTECTED] wrote:
Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente,intepretar os graficos e deduzir funções..Alguem pode me ajudar com algum site ou livro???Muito obrigado
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
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Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral(***aproveitando)

[SiarJoes]

Caros amigos, aproveitando o embalo , alguém teria algum site onde eu poderia encontrar as demonstrações das integrais de :

£=integral

£sen^n(x)
£cos^n(x)
£tg^n(x)
£cotg^n(x)

Alguém saberia de algum site com suas fórmulas(que já tenho) e com as demonstrações?

Desde já agradeço, aproveito também pra agradecer ao pessoal que me indicou programas de digitalização com caracteres matemáticos, consegui baixar um programa e estou conseguindo fazer meu resumo, obrigado mesmo a todos que me sugeriram!

RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner]

Isso eh uma consequencia da definicao de limite. Se c = g(b), entao g eh
continua em b e estah tudo OK. 
Mas se g nao for definida em b ou g for definida mas descontinua em b (caso
em que g(b)c), entao sao necessarias algumas hipoteses adicionais para
garantir que lim(x tende a a)g(f(x))= c. Isto talvez fique mais claro
atraves de um exemplo. Definamos f(x) = x*sen(1/x) para x0 e g(y) =
sen(y)/y para y0. Entao f nao eh definida em x=0, mas lim (x-0) f(x) =0.
g tambem nao eh definida em y =0, mas lim(y - 0) g(y) =1. Observamos ainda
que f se anula em qualquer vizinhanca deletada de x=0 (isto eh qualquer
vizinhanca de x=0 exclusive o proprio 0), de modo que em qualquer destas
vizinhancas deletadas existem uma infinidade de valores para os quais g(f)
= g o f nao eh definida. Assim , pela definicao de limite, temos que nao
existe lim (x-0) g(f)x).  Da mesma forma, este limite continua nao
existindo se definirmos g(0) de modo que g nao seja continua em x=0.  Se,
por exemplo, se definirmos g(0) =2, entao em qualquer vizinhanca deletada de
x=0 teremos |g(f(x)) - 1| = |2-1| =1 0 para uma infinidade de elementos x,
de modo que nao poderemos tornar  |g(f(x)) - 1|  eps se eps0 for arbitrado
em valores menores que 1. Dado que 1 eh o unico candidato a limite de g o f
em x=0, segue-se que lim (x-0) g(f)x nao existe. Mas se definirmos g(0) =1,
entao g eh continua em y=0 e de fato temos lim (x-0) g(f(x) = 1.

Suponhamos agora que f(x) = x^2, x real, e g(y) = sen(y)/y para y0. Entao
g nao eh definida em y=0 e lim(y - 0) g(y) =1. Mas temos que a condicao
x0 implica f(x) 0, e temos de fato que temos lim (x-0) g(f(x) = 1.
Neste caso, o fato de g ser definida ou nao em y=0 em nada afeta o limite.
Poderiamos tambem definit g(0) como qualquer valor e tambem em nada
afetariamos o limite. Pela sua definicao, limites dependem do comportamento
da funcao em uma vizinahnaca de um ponto de acumulacao de seu dominio, mas
independem totalmente do valor da funcao no ponto ou mesmo da existencia ou
nao da funcao no ponto.

Espero ter ajudado e nao complicadado, este pontos sao de fato um pouco
confusos.
Artur
 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fabiodjalma
Enviada em: Saturday, February 19, 2005 6:29 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br; obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] limites



Acabei de ler que 

sejam f de X em R e g de Y em R, com f(X)contido em Y, a pertencente ao 
conjunto X´ e b pertencente ao conjunto Y´inter Y. 
Se lim(x tende a a)f(x)= b e lim(y tende a b)g(y)= c 
entao lim(x tende a a)g(f(x))= c desde que c = g(b) ou que x diferente de a 
implique f(x) diferente de b. 
Nao entendi estas condiçoes. 




=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] limites

[fabiodjalma]

Acabei de ler que 

sejam f de X em R e g de Y em R, com f(X)contido em Y, a pertencente ao 
conjunto X´ e b pertencente ao conjunto Y´inter Y. 
Se lim(x tende a a)f(x)= b e lim(y tende a b)g(y)= c 
entao lim(x tende a a)g(f(x))= c desde que c = g(b) ou que x diferente de a 
implique f(x) diferente de b. 
Nao entendi estas condiçoes. 

RE: [obm-l] Limites bom material

[saulo bastos]

O demidovitch, um livro russo, e muito bom, nao sei se escreve desse jeito 
nome do autor. Os professores do Ita recomendavam ele.
Ate mais, saulo.

From: André Barreto [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Limites bom material
Date: Wed, 24 Nov 2004 22:30:05 -0300 (ART)
Oi amigos da lista.
Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum livro 
ou algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a nível de 
um curso de cálculo 1. As questões do meu material  já estão muito 
faceis... queria ter um maior desafio!

Obrigado antecipadamente.
Atenciosamente
André Sento Sé Barreto
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Re: [obm-l] Limites bom material

[Artur Costa Steiner]

Os livros do Erlon, do Bartle e do Rudin sao prodigos em exercicios
interessantes e instrutivos. Alguns muito dersfiadores.
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Limites bom material
Data: 25/11/04 00:44


Oi amigos da lista.

Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum livro ou
algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a nível de um
curso de cálculo 1. As questões do meu material  já estão muito faceis...
queria ter um maior desafio!

Obrigado antecipadamente.

Atenciosamente 

André Sento Sé Barreto 
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=

[obm-l] Limites bom material

[André Barreto]

Oi amigos da lista.

Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum livro ou algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a nível de um curso de cálculo 1.As questões do meu material já estão muito faceis... queria ter um maior desafio!

Obrigado antecipadamente.

Atenciosamente 

André Sento Sé Barreto__Do You Yahoo!?Tired of spam?  Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com 

Re: [obm-l] Limites bom material

[Fabio Niski]

André Barreto wrote:
Lembro que vi na biblioteca um livro do Boulos exclusivamente sobre 
exercicios de limites e derivadas.
Tambem recomendo o livro do Demidovich e o do Ginzburg.


Oi amigos da lista.
 
Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum 
livro ou algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a 
nível de um curso de cálculo 1. As questões do meu material  já estão 
muito faceis... queria ter um maior desafio!
 
Obrigado antecipadamente.
 
Atenciosamente
 
André Sento Sé Barreto 

__
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Re: [obm-l] limites iterados

[Artur Costa Steiner]

Oi Eric
Isto naum eh propriamente dificil, mas exige alguma
pratica com o manuseio de limites.
De lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b), segue-se que,
para todo eps0, existe d10 tal que, se 0 |(x,y) -
(a,b)|  d1 entao |f(x,y) - L|  eps (1), com  (x,y)
no dominio de f, o que sempre admitiremos. Sendo d=
raiz(d1)/2, entao 1 serah satisfeita sempre que
0|x-a|  d e 0|y-b|  d.  Fixemos um y que satisfaca
a esta ultima desigualdade e facamos x-a. Entao, a
existencia para este y de g(y) = lim f(x,y) quando x
- a implica que |f(x,y) - L| - |g(y) - L|. E, de
(1), segue-se das propriedades de limites que |g(y) -
L| =eps. Concluimos assim, em ultima analise que,
para todo eps 0, existe d0 tal que |g(y) - L| =eps
para 0 |y-b| d, ou seja g(y) - L quando x- b.
Artur



--- Eric [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Ola
 
 Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas
 o
 seguinte resultado sobre limites iterados:
 
 Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
 existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
 e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b  x-a
 
 Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro 
 de Calculo de Tom Apostol, volume 2.
 
 Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
 modos e cada prova que conseguia
 tinha algum erro que a invalidava.
 
 Ninguem da turma fez e a professora falou
 que realmente nao tinhamos entendido limites.
 
 -
 Uma ideia que tive foi:
 
 Como existe o limite bidimensional entao,
 por definicao, para todo eps0, existe d0
 tal que
 
 [1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
 [2] - |f(x,y)-L|eps. 
 
 Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
 lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
 x-a
 [L - eps, L + eps]
 sempre que 0|y-b|d
 Nao sei provar isto, principalmente a parte do
 'sempre que', alguma dica? Fazendo
 uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
 porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
 ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
 deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
 
 Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
 sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
 0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
 que significa que
 lim g(y) = L
 y-b
 
 isto eh
 
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b x-a
 
 que eh o que quero mostrar.
 
 ---
 Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
 encontrar essa demonstracao na WWW.
 
 [ ]'s
 
 Eric
 

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] limites iterados

[Eric]

Ola

Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
seguinte resultado sobre limites iterados:

Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
lim (  lim f(x,y)) = L
y-b  x-a

Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro 
de Calculo de Tom Apostol, volume 2.

Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
modos e cada prova que conseguia
tinha algum erro que a invalidava.

Ninguem da turma fez e a professora falou
que realmente nao tinhamos entendido limites.

-
Uma ideia que tive foi:

Como existe o limite bidimensional entao,
por definicao, para todo eps0, existe d0
tal que

[1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
[2] - |f(x,y)-L|eps. 

Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
x-a
[L - eps, L + eps]
sempre que 0|y-b|d
Nao sei provar isto, principalmente a parte do
'sempre que', alguma dica? Fazendo
uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]

Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
que significa que
lim g(y) = L
y-b

isto eh

lim (  lim f(x,y)) = L
y-b x-a

que eh o que quero mostrar.

---
Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
encontrar essa demonstracao na WWW.

[ ]'s

Eric

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] limites iterados

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Bom, eu acho que você entendeu o suficiente de limite para ter a idéia
certa, mas apenas faltou traduzir o desenho em epsilons e deltas.

Uma idéia é a seguinte: você quer provar que lim y-b g(y) = L, então
basta calcular a diferença g(y) - L e ver se ela vai dar pequena o
suficiente para y suficientemente próximo de b. Com isto, prova-se a
existência e o valor do limite.
Vamos achar delta para que | g(y) - L |  eps quando | y - b |  delta

A idéia para provar isso será de fazer primeiro g(y) bem proximo de
f(x,y), e depois aproximar g(y) de L pela desigualdade triangular,
pois f(x,y) estará (se tudo der certo) perto de L. Esta tática é muito
usada para resolver este tipo de problemas de limites e coisas
parecidas.

Tome, então, delta 1 (vou usar d1) para que | f(x,y) - L |  eps/2
para | (x,y) - (a,b) |  d1
Tome, em seguida, d2 tal que | f(x,y) - g(y) |  eps/2 para | x - a |
 d2 (esta é a existência do segundo limite)
Fazendo g(y) - L = g(y) - f(x,y) + f(x,y) - L e separando os termos,
temos, pela desigualdade triangular, | g(y) - L | = | g(y) - f(x,y) |
+ | f(x,y) - L |  eps/2 + eps/2 = eps, sempre que
1- |x-a|  d2
2- |(x,y) - (a,b)|  d1

Ora, as duas ocorrem quando |y-b|  (d1)/2 e |x-a|  min{d2, (d1)/2},
e portanto podemos escolher delta igual a (d1)/2 que teremos garantido
que podemos escrever as duas desigualdades  eps/2 (o passo
fundamental)

E isso.

Qualquer coisa, pergunte
Bernardo Costa

On Sun, 19 Sep 2004 14:10:58 -0300, Eric [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Ola
 
 Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
 seguinte resultado sobre limites iterados:
 
 Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
 existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
 e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b  x-a
 
 Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro
 de Calculo de Tom Apostol, volume 2.
 
 Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
 modos e cada prova que conseguia
 tinha algum erro que a invalidava.
 
 Ninguem da turma fez e a professora falou
 que realmente nao tinhamos entendido limites.
 
 -
 Uma ideia que tive foi:
 
 Como existe o limite bidimensional entao,
 por definicao, para todo eps0, existe d0
 tal que
 
 [1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
 [2] - |f(x,y)-L|eps.
 
 Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
 lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
 x-a
 [L - eps, L + eps]
 sempre que 0|y-b|d
 Nao sei provar isto, principalmente a parte do
 'sempre que', alguma dica? Fazendo
 uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
 porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
 ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
 deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
 
 Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
 sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
 0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
 que significa que
 lim g(y) = L
 y-b
 
 isto eh
 
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b x-a
 
 que eh o que quero mostrar.
 
 ---
 Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
 encontrar essa demonstracao na WWW.
 
 [ ]'s
 
 Eric
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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