dia ser visto de outras formas, diga-se de passagem, se voce sabe
>> que a normal a tal elipse eh a bissetriz de AOB).
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>>
>>
>> 2018-03-11 20:29 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>>
>>> É isso aÃ!
>>> Uma a
ouglas Oliveira.Â
>
> Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara
> escreveu:
>> Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto:
>>
>> Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das distâncias
>> aos vértices do quadrilátero é mÃnima.
Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto:
Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das distâncias aos
vértices do quadrilátero é mínima.
Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes dados tende
a zero (e o quadrilátero “tende” a um triângulo), o pont
3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 12^2 = 13^2 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
13^2 + 84^2 = 85^2 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2
Em geral, dado a^2 ímpar, você quer x tal que a^2 + x^2 = (x+1)^2 ==> x =
(a^2 -1)/2
a^2 = 85^2 ==> x = (85^2-1)/2 = 3612 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 3612^2
= 3613^2
Determinar a
Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e
precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha de
A4).
Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e
provar
dos p elementos apareça pelo
menos uma vez.
Assim, sua solução só está correta quando p = 2.
2018-02-27 22:37 GMT-03:00 Esdras Muniz :
> p^n-(p-1)^n
>
>
> Em 27 de fev de 2018 09:57, "Claudio Buffara"
> escreveu:
>
>> Isso é igual ao número de sobrejeções de um conjun
Isso é igual ao número de sobrejeções de um conjunto com n elementos num
conjunto com p elementos.
É igual a p!*S(n,p), onde S(n,p) é o número de Stirling do 2o tipo (=
número de partições de um conjunto com n elementos em p subconjuntos não
vazios)
Veja aqui: http://nptel.ac.in/courses/04026
Para determinar #(A e B), o número de pessoas que possuem a doença C é
irrelevante.
Se 90 das 100 possuem A, então o melhor cenário (no qual o número de
pessoas com mabas as doenças é o menor possível) é que dentre as 80 que
possuem B estejam as 10 que não possuem A.
As 80 - 10 = 70 restantes (que
Nenhum ímpar maior do que 3 satisfaz pois para m > 1 vale 2m+1 > m+2, de
modo que 2m+1 não divide m+2.
16 também não satisfaz, pois 16 = 3*5+1, mas 16 não divide 3+5.
E nem nenhuma potência de 2 maior do que 16, pois:
para todo k > 2, 2^(2k-1) e 2^(2k) dividem (2^k - 1)*(2^k + 1) + 1 = 2^(2k)
mas
A idéia é chegar numa equação de Pell.
Começamos com 3x^2 - 2y^2 = 1.
Multiplicando por 2: 6x^2 - 4y^2 = 2
Pondo z = 2y: z^2 - 6x^2 = -2
Elevando ao quadrado: (z^2 - 6x^2)^2 = 4 ==> (z^2 + 6x^2)^2 - 24x^2z^2 = 4
(usando o bom e velho (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab)
Mas 6x^2 = z^2 + 2 ==> (2z^2 + 2)^2
2n + 1 = a^2 ==>
a é ímpar ==>
2n = a^2 - 1 é múltiplo de 8 ==>
2n = 8m ==> n = 4m
3n + 1 = b^2 ==>
12m + 1 = b^2 ==>
b é ímpar ==>
12m = b^2 - 1 é múltiplo de 8 ==>
12m = 8k ==> 3m = 2k ==> m é par ==> n = 4m é múltiplo de 8 (i)
Agora, precisamos provar que n é múltiplo de 5.
2n + 1 = a^2
3n
Será que você não está falando dos polinômios de Bernstein, que são usados pra
aproximar funções contínuas em intervalos compactos?
Se f:[0,1] -> R é contínua, então a sequência de polinômios (p_n) dada por:
p_n(x) = SOMA(k=0...n) f(k/n)*Binom(n,k)*x^k*(1-x)^(n-k)
converge uniformemente pra f em
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Fri, 18 May 2007 00:19:30 -0300
Assunto:[obm-l] [obm-l] Combinatória: número de soluções de uma equação
> Saudações,
>
> amigos da lista. Bem, surgiu aqui uma dúvida quando eu estava estudando
> combinatória. É em relação a uma variaç
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 17 May 2007 16:36:40 -0300
Assunto: [obm-l] Derivabilidade e Continuidade
> Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício
>
> 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0)
Imagino que voce tambem queira que A seja nao-vazio...
Enfim, segue abaixo uma demonstracao que supoe que X eh sequencialmente
compacto, ou seja, que toda sequencia em X tem
uma subsequencia convergente para algum ponto de X.
Sejam:
X_0 = X; X_1 = f(X_0), X_2 = f(X_1), ..., X_(k+1) = f(X_k), ..
n*n! = (n+1)! - n!
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Tue, 15 May 2007 18:28:06 -0300
Assunto: [obm-l] Provando uma igualdade
> Será que existe uma solucao combinatoria, ou alguma outra direta, para
> provarmos
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT)
Assunto:[obm-l] equação do terceiro grau
> Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0
>
Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1
f(-1) = -3 < 0
f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2
f(0) = -1 < 0 ==> tem
Sinceramente, eu nao consegui entender a sua solucao.
Acabei me perdendo (e perdendo o saco) com todos aqueles casos...
A solucao que mais me agradou foi a segunda proposta pelo Paulo Santa Rita.
Eh, na minha opiniao, a solucao do "Livro" pra esse problema.
Eu mencionei inducao porque, de fato, e
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> > Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) dai
> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
> |T(b_n) - a| = |T
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Sun, 13 May 2007 14:25:59 -0300
Assunto: [obm-l] Integral maior q zero
> 1)
> F(x)= Int [1a x] (e^t)*dt / t , x>0
>
> Para quais valores de x vale: Ln x <= F(x)
>
Seja G(x) = F(x) -
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a como
ponto tem comprimento 2*ra
Uma idéia é usar teoria (elementar) dos grafos e demonstrar a proposição por
indução no número de vértices. Essa é uma técnica muito utilizada (em teoria
dos grafos) e, portanto, vale a pena tê-la em mente na hora de uma prova
(especialmente de olimpíada). Além disso, a linguagem de grafos é mui
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| =
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Tue, 8 May 2007 12:54:29 -0700 (PDT)
Assunto:[obm-l] funcao continua
> Seja f:[0,1] -> [0,1] uma função contínua. Provar que existe c E [0,1] tal
> que f(c)=c.
vlw.
Basta usar o TVI com a função g(x) = f(x) - x.
Mais interessante é
is
necessaria a elaboracao de uma dissertacao para se obter
o grau de mestre. Basta apenas que o candidato passe em duas cadeiras de
doutorado com conceitos A ou B.
Certamente o Gugu, se ainda estiver acompanhando esta lista, poderah dar
informacoes mais precisas.
[]s,
Claudio.
> >F
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Fri, 4 May 2007 19:51:53 -0300 (ART)
Assunto:[obm-l] Doutorado
> Oi Galera,
>
> existe algum curso de doutorado em matemática no Brasil que não precise de
> ter feito o mestrado ?
> Dênis
Sim. O IMPA, desde que o candidato tenha ma
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Thu, 3 May 2007 10:35:21 -0300
Assunto:[obm-l] Outro de Teoria dos números
> Neste realmente empaquei. Alguem tem alguma sugestao para provar isto?
>
> Seja n inteiro positivo tal que mdc(n , 10) = 1. Entao, os 3 ultimos
> algarismos
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Wed, 2 May 2007 13:27:51 -0300
Assunto: [obm-l] Teoria dos números
> Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas nao
> vi.
>
>
> Mostre que, para todo inteir
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 2 May 2007 13:27:51 -0300
Assunto: [obm-l] Teoria dos números
> Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas nao
> vi.
>
>
> Mostre que, para todo inteir
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Thu, 26 Apr 2007 10:34:08 -0300
Assunto:Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números
Olá Claudio!
Estou com algumas dúvidas na sua resolução.
> On 4/25/07, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED] > wrote:
> O enunciado implica que:
> N ==
O enunciado implica que:
N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)
N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)
N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)
Ou seja:
N == 6 (mod 25)
N == 0 (mod 8)
N == 0 (mod 7)
N == 2 (mod 9)
n == 6 (mod 25) ==>
N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==>
a == 2 (mod 9) ==>
a = 2 + 9*b ==>
N =
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Wed, 25 Apr 2007 12:12:02 +
Assunto:[obm-l] racionalizar
> Sauda,c~oes,
>
> Como se racionaliza X/Y, com
>
> X = a^{15} - 1 e
>
> Y = a^{3/16} + a(a^{1/8}) + a^2(a^{1/16}) + a^3 ?
>
Y = (a^(1/4) - a^4)/(a^(1/16) - a) ==>
X/Y = (
Oi, Artur, eu acho que diverge, pois:
2^(1/n) - 1 = e^(log(2)/n) - 1 >= log(2)/n, para todo n >= 1.
Logo, Soma(n>=1) (2^(1/n)-1) >= log(2)*Soma(n>=1) 1/n -> +inf.
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Thu, 19 Apr 2007 11:14:57 -0300
Assunto:[obm-l] Convergên
Oi, Artur:
Olhando a equação mod 5 você fica com:
2x^2 == 4 ==> x^2 == 2.
Mas se x == 0, 1, 2, 3, 4 então x^2 == 0, 1, 4, 4, 1.
Logo, a equação não tem solução mod 5 ==>
não pode ter solução em Z.
[]s,
Claudio.
>
> Existe alguma forma pratica de determinar se a equacao (diofantina) 2x^2
> +5y^5
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300
Assunto: Re: [obm-l] "blow up" em EDOs
> Ola Claudio,
>
> pensei no seguinte:
> se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R.
> integrando de t_0
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300
Assunto: Re: [obm-l] "blow up" em EDOs
> Ola Claudio,
>
> pensei no seguinte:
> se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R.
> integrando de t_0
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:Fri, 13 Apr 2007 09:28:41 -0300
Assunto:[obm-l] "blow up" em EDOs
> Oi, pessoal:
>
> Estou tentando resolver o seguinte problema:
> Prove que o problema de valor inicial:
> dx/dt = t + x^2
> x(0) = a > 0
> tem uma solucao unica,
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Thu, 12 Apr 2007 04:27:37 -0300 (BRT)
Assunto:[obm-l] Imersão isometrica
>
> > Pessoal, alguem sabe provar esse resultado?
>
> " Seja M um espaço metrico com a seguinte propriedade: Para toda imersão
> isometrica f: M-N temos que f(M
Oi, pessoal:
Estou tentando resolver o seguinte problema:
Prove que o problema de valor inicial:
dx/dt = t + x^2
x(0) = a > 0
tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito.
Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t),
a qual -> +infinito quando t ->
Dicas para as duas:
Qual o maior valor que sen(x) e sen^2(x) podem ter?
Qual o menor valoe de |y + 1/y|, se y eh real nao nulo?
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Wed, 11 Apr 2007 11:43:26 -0300
Assunto: [obm-l] Eq
A negacao eh:
Existe x tal que,
para todo y,
x+y = 5, xy = 6 e y >= 0.
Novo problema: a proposicao original eh verdadeira ou falsa?
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Wed, 11 Apr 2007 10:09:24 -0300
Assunto: Re:
Um ponto de partida pode ser:
http://www.sfb013.uni-linz.ac.at/reports/2004/pdf-files/rep_04-32_pilnikova.pdf
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 9 Apr 2007 19:00:06 -0300
Assunto: [obm-l] diofantina
> Para
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[
b_k -> 0 significa que lim(k -> infinito) b_k = 0
Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal
que:
se k > n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| < eps.
Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k
suficientemente grandes, b_k estarah tao proxi
Suponha que n é um racional diferente de 0 ou 1.
Se f:[0,+inf) -> R dada por f(x) = sen(x^n) é periódica de período T > 0,
então, para todo x >= 0:
f(x+T) = f(x) ==>
sen((x+T)^n) = sen(x^n) ==>
(derivando à direita em relação a x e dividindo por n)
(x+T)^(n-1)*cos((x+T)^n) = x^(n-1)*cos(x^n).
Faz
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja
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Data: Thu, 5 Apr 2007 20:09:10 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Contagem
> Galera da lista, tenho mais uma questao de contagem. Espero que possam me
> ajudar
>
> 1) Seja Im = {1,2,...,m} e In
Suponhamos que haja apenas um numero finito de tais k.
Seja p o maior deles.
Então, olhando mod 7, teremos:
f(2p) = f(2p-1) + f(p) = f(2p-1)
f(2p+1) = f(2p) + f(p) = f(2p) ==>
f(2p+1) = f(2p) = f(2p-1) = N <> 0, pois p é o maior inteiro tal que f(p) = 0.
f(4p-2) = f(4p-3) + f(2p-1) = f(4p-3) + N
-- Cabeçalho original ---
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Data: Sat, 31 Mar 2007 11:24:17 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Divisão
> Citando Pedro Costa <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> > Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão?
> >
> >
> >
> >
> >
> > 1) Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente,
> > o mesmo resto?
Seja N o numero procurado.
Entao,
N divide 1453-1108 = 345;
N divide 1844-1453 = 391;
N divide 2281-1844 = 437.
Ou seja, N divide mdc(345,391,437) = mdc(345,46,92) = mdc(345,46) = mdc(46,23
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 30 Mar 2007 13:33:11 +
Assunto: [obm-l] raízes comuns e IME 56
> Sauda,c~oes,
>
> Oi Claudio,
>
> Seja mdc(m,n)=d.
>
> Como provar que mdc(x^n-1,x^m-1)=x^d-1 ?
>
Eh facil ver que
Seja A uma matriz nxn sobre um corpo F com polinomio minimo m(x).
Sabemos que cada autovalor de A eh raiz de m(x) e que m(A) = 0 (*) e tambem
que A eh diagonalizavel sss F^n possui uma
base formada por autovetores de A (**).
Suponhamos que A seja diagonalizavel sobre F.
Sejam k_1, ..., k_r os a
> Aproveitando o tópico: se eu quiser distribuir n pontos ao longo de uma
> circunferência, de tal modo que a menor distância entre dois pontos seja
> máxima, eu vou distribuir os pontos de maneira uniforme, particionando a
> circunferência em n arcos de comprimento igual. Nesse caso, a posição
>
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Wed, 14 Feb 2007 13:34:04 +
Assunto:Re: [obm-l] Numeros Irracionais
> Sauda,c~oes,
>
> Oi Claudio,
>
> ===
> No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co-autor)
> "Introduction to the Theory of Numbers".
> ===
> De que ano é este
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 12 Feb 2007 22:21:10 + (GMT)
Assunto:[obm-l] Analise Combinatoria
> Estou com muita dificuldade em resolver esta questao, e gostaria muito de
> ajuda.
>
> 1) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de s
> 2. Num espaco metrico compacto, uma sequencia (x(n)) eh tal que lim(n->+inf)
> dist(x(n+1),x(n)) = 0.
> Prove que o conjunto de valores de aderencia de (x(n)) eh conexo.
>
> Eu provei no caso de (x(n)) ser uma sequencia limitada na reta.
> Se x(n) -> a, entao A = conjunto dos valores de aderenc
Oi, Paulo:
Se existir um tal polinomio p(q), entao eh facil ver que os coeficientes serao
inteiros (eh soh montar a recorrencia).
No entanto, nao pode existir um tal polinomio pois, se tivermos:
p(q) * SOMA(k>=1) q^(k(k-1)/2) = SOMA(n>=0) q^n = 1/(1-q), se |q| < 1.
entao, com q = 1/2, teriamos:
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 13 Feb 2007 20:24:07 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Problemas em aberto
> Oi, Claudio,
>
> O problema de complexos que você mencionou é uma ferramenta
> extremamente útil que já usei para d
Causa justissima, sem duvida, mas o assunto eh totalmente OFF-TOPIC, jah que
esta eh uma lista de MATEMATICA.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 12 Feb 2007 11:29:10 + (GMT)
Assunto: [obm-l] manifesto preservação da a
Antes de postar um problema bonitinho sobre complexos, quero lembrar que ainda
temos (pelo menos) dois problemas em aberto
na lista, um do PSRita e o outro do ACSteiner:
1. Calcule o valor de SOMA(n=1...+inf) q^(n(n-1)/2), onde |q| < 1.
Consultei meus alfarrabios e descobri que esta soma eh igu
A soma eh:
(1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/95) - 1 =
3/2 * 4/3 * 5/4 * ... * 96/95 - 1 =
96/2 - 1 =
47
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 12 Feb 2007 13:47:09 -0300
Assunto: [obm-l] Soma dos inversos
>
Faleceu pra voce, matematico ingrato...(rs)
Continua bem vivo no meu coracao e na minha estante na forma do "Irrational
Numbers", mencionado abaixo, do "Mathematics of
Choice (How to Count without Counting)" e do "Introduction to the Theory of
Numbers". O segundo eh uma introducao a
combinatori
Muito obrigado pelo "jovem" - fez o meu dia!
Eu fui da turma IME-ITA do Impacto em 1981 (pra sua enquete de idades, tenho
41).
Alias, ha cerca de um ano, no IMPA, eu vi uma colega de curso com a camiseta do
IME (na minha epoca o IME era uma escola soh pra
meninos) e comentei que tambem tinha sid
Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais e
transcendentes:
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele citado pelo
Nicolau.
Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema d
O melhor eh entrar no Google e digitar "golden section search".
Eu fiz isso e achei varios links. Talvez um bom ponto de partida seja:
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_section_search
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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>
> Seja ( a_n) um sequencia tal a_n > 0 para todo " n " e [ a_(n+1) / a_n ] =
> q^n, onde q e constante e 0 < q < 1. Calcule o valor da serie
> S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...
>
> Um Abraco a todos
> Paulo Santa Rita
Oi, Paulo:
A soma eh S = a_1*(1 + q + q^3 + q^6 + ... + q^(n(n-1)/
Pensando bem, a formalizacao eh uma adaptacao simples da solucao abaixo.
Dado a em [-1,1], tome b em [-pi/2,pi/2] tal que sen(b) = a.
Tome a subsequencia (x_n_k) onde n_k eh o maior indice tal que:
x_n_k <= 2*pi*k + b < x_(n_k + 1).
Entao sen(x_n_k) converge para sen(b) = a.
[]s,
Claudio.
---
Em R^3 define-se o produto "o" do seguinte modo:
> (x, y, z) o (u, v, t) = (xu + yt + zv, xv + yu + zt, xt + yv + zu).
Demonstrar que para qualquer k natural, se (x, y, z) ^k = (0, 0, 0) então
x = y = z = 0.
Nota: Define-se (x, y, z)^k = (x, y, z) ^(k-1) o (x, y, z) para qualquer
inteiro k > 1, e
Soh pra complementar:
sen(log(n+1)) - sen(log(n)) -> 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) -> 0 e a
funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer
dizer que |sen(x) - sen(y)| <= |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
Pra ver isso, faca:
|sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| <= 2*|
http://www.youtube.com/watch?v=Hs18XyY3sqc
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
Obs: as somas devem comecar com k = 1 e nao k = 0p.
O primeiro eh classico.
No segundo, a resposta eh sim.
Dado eps > 0, tome n_0 > 1/eps.
Como SOMA(k>=1) 1/k diverge, para todo inteiro N tal que:
N > SOMA(1<=k<=n_0) 1/k,
existe n_1 >= n_0 tal que:
SOMA(1<=k<=n_1) 1/k < N < 1/(n_1+1) + SOMA(1<=k
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Thu, 14 Dec 2006 15:32:35 -0800 (PST)
Assunto: [obm-l] OBM
> (OBM)Sejam x,y e z inteiros, se x^2+y^2=z^2 entao xy é multiplo de 6.
> Vlw.
>
x e y nao podem ser ambos impares, caso contrario t
Tres questoes:
1. Voce concorda que f:R -> R eh periodica se e somente se existe p > 0 tal que
f(x+p) = f(x), para todo x em R?
Em caso afirmativo, voce deve concordar que a funcao caracteristica dos
racionais (f(x) = 1 se x eh racional e 0 caso contrario) serah
periodica, bastando tomar p igua
> Num tabuleiro 10×10, escrevemos todos os inteiros de 1 até 100. Em
> seguida, selecionamos o terceiro maior elemento de cada linha do
> tabuleiro. Mostre que existe uma linha do tabuleiro tal que a soma dos
> elementos nessa linha é menor ou igual a soma dos elementos
> selecionados.
> Desde já
Oi, Saulo:
Boa tentativa, mas sua escolha de problemas foi equivocada pois pouquissimos
participantes da lista ainda tem interesse em problemas
de olimpiada...
Aqui vao algumas sugestoes de problemas que vao dar muito mais ibope nessa
lista:
1. Provar que 0, = 1.
2. Calcular o valor de
http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Tue, 12 Dec 2006 19:08:32 -0200
Assunto: [obm-l] Seqüência de médias aritméticas e geométricas
> Olá a todos. Há algum tempo
Voce nao levou em conta as raizes complexas da equacao caracteristica.
Repare que qualquer funcao periodica de periodo 1/(42*n) (n natural) satisfaz a
equacao funcional do enunciado.
[]s,
Claudio.
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Solução do Problema 2:
Seja P = B1C2 inter B2C1.
AB1B e AC1C são triângulos retângulos de 30, 60 e 90 ==>
B1C2 = BC2 = AB/2 e C1B2 = CB2 = AC/2 ==>
BB1C2 e CC1B2 são equiláteros ==>
BB1C1 + C1B1C2 = BB1C2 = 60 (i);
CC1B1 + B1C1B2 = CC1B2 = 60 (ii);
CBB1 + BCC1 = 180 - A - C2BB1 - B2CC1 = 18
Acabei de lembrar da enciclopédia de sequências de inteiros, aliás um site
extremamente interessante, especialmente pra quem gosta de problemas do tipo
"qual o próximo termo da sequência...".
A página relevante é:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003432
e lá você encontra diversos li
Bem, existe a desigualdade de Hadamard:
|det(A)| <= produto dos modulos dos vetores-linha (ou coluna) de A ==>
|det(A)| <= n^(n/2), o que eh uma pequena melhora, pois (n!)^2 >= n^n para todo
n em N.
No nosso caso, levando em conta que existe no maximo uma linha ou coluna de
modulo raiz(n) (caso c
http://tingilinde.typepad.com/starstuff/2005/11/significant_int.html
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Data: Wed, 6 Dec 2006 11:00:19 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Determinante de 0s e 1s
>
> Cláudio,
> Que site é esse?
>
> Abraço,
Oi, Niski:
O objetivo eh achar x > 0 pequeno o suficiente para que:
(p+x)^2 < 2 <==> p^2 + 2px + x^2 < 2.
Se p < 1, basta tomar x = 1-p.
Se p >= 1, entao x tem que ser necessariamente < 1.
Nesse caso, x^2 < x e, portanto, eh suficiente que tenhamos:
p^2 + 2px + x < 2 <==> x < (2 - p^2)/(2p + 1).
C
Vi esse aqui num site sobre curiosidades numericas:
Qual o valor maximo do determinante de uma matriz 10x10 cujas entradas
pertencem a {0,1}?
Generalize para uma matriz nxn.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista,
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Data: Fri, 1 Dec 2006 10:45:45 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Ajuda!!
> Seja f uma função real cujo módulo é sempre menor ou igual a 1.
> Sabendo que f(x+13/42) + f(x) = f(x+1/6) + f(x+1/7) para todo
Oi, Paulo:
De fato, existem pelo menos duas soluções: (3,5) e (3,-5).
Seja (a,b) tal que a^3 = b^2 + 2.
Olhando a equação mod 2, concluímos que que a e b são ambos ímpares.
O anel A = Z[raiz(-2)] é um domínio euclidiano (com norma N(x+yraiz(-2)) = x^2
+ 2y^2) ==>
A é um domínio fatorial onde os
Cada nova peça colocada causa um número de mudanças de cor igual ao número de
peças adjacentes a ela.
Como, ao final do jogo, o tabuleiro está totalmente preenchido, o número total
de mudanças de cor ocorridas é igual ao número total de pares de peças
adjacentes, o qual, por sua vez, é igual ao
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Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200
Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico
> Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego
> na demonstração completa nunca.
> (Pensei em
O que o Dirichlet quis dizer eh que ele usou a desigualdade de Muirhead, que
tambem eh conhecida como
desigualdade da aglomeracao ("bunching") - minha traducao. De uma olhada em:
http://mcraefamily.com/MathHelp/BasicNumberIneqMuirheadsInequality.htm
Naturalmente, a solucao dele deve ser lida de t
Oi, Sergio:
Para coeficientes da forma Binom(n,[an]),
onde 0
> Caros colegas da lista,
> Desculpem-me se esta pergunta jah apareceu antes.
> Dei uma pesquisada, mas nao achei nada, ateh pq os
> arquivos sao realmente grandes.
>
> Os coeficientes do binomio de Newton sao
>
> n=0: 1
> n=1: 1, 1
> Num triângulo, b=12, c=10 e os pontos G e I estão
> numa mesma reta paralela ao lado BC. Quanto vale ?
>
Estou supondo que G e I sejam o baricentro e o incentro de ABC, respectivamente.
GI paralelo a BC ==>
raio do incirculo = 1/3 da altura h relativa ao lado BC ==>
2*Area(ABC) = (a+b+c)*h/3 =
Extrapolando a partir dos casos n = 2 e n = 3, eu cheguei a:
1/Binom(n,n) + 1/Binom(n+1,n) + ... + 1/Binom(n+k,n) =
= (n/(n-1))*(1 - 1/Binom(n+k,n-1))
A demonstração sai fácil via indução em k.
Alguém achou algum argumento combinatório?
[]s,
Claudio.
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Data: Tue, 28 Nov 2006 18:26:48 -0200
Assunto: [obm-l] Problema da Olimpiada Piauiense de Matemática
> Prove que a³/bc + b³/ac + c³/ab >= a + b + c
>
De uma olhada no enunciado original.
Ele deve di
De uma olhada em:
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/inducao.pdf
[]s,
Claudio.
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Data: Tue, 28 Nov 2006 14:07:34 -0200
Assunto: [obm-l] princípio da indução finita
> Alguém poderia me explicar o q
Oi, pessoal:
Achei um site muito legal sobre geometria, com applets contendo demonstracoes
de varios teoremas classicos alem de alguns outros dos
quais eu nunca tinha ouvido falar. Vale a pena conferir.
http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm
[]s,
Claudio.
==
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Data: Mon, 27 Nov 2006 09:08:04 -0200
Assunto: [obm-l] argumento combinatório
> Como mostro , POR UM ARGUMENTO COMBINATÓRIO, que binomial( binomial(n,2), 2 )
> = 3.binomial( n+1 , 4 )?
>
>
>
Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7.
Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3.
5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para todos os
a_i).
A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar que:
(p+1)(p+2)(p+m)/m!
Oi, MP:
Comece por aqui:
http://planetmath.org/encyclopedia/GeneralMeansInequality.html
e siga os links para as demonstracoes.
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Thu, 23 Nov 2006 17:37:27 -0200
Assunto: [obm-l]
Nada como um bom problema olimpico pra gente aprender coisas novas.
Eu me refiro as coordenadas trilineares - uma forma interessante de se resolver
problemas envolvendo triangulos.
Aqui vai uma descricao (nao muito) resumida do assunto.
Dado um ponto P no plano do triangulo ABC, as COORDENADAS T
Continuação da questão 3 da obm-u:
Se a bola partir de algum outro ponto da elipse na direção de uma reta tangente
ao círculo inscrito em ABC, então a nova órbita também será um triângulo?
***
Problema correlato:
Numa mesa de bilhar elíptica em que ângulo de incidência = ângulo de reflexão,
pro
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200
Assunto:[obm-l] Polinômio - Facamp06
> Boa tarde!
>
> Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx +
> e possua 100 raízes reais e que p(7)>1.
> Prove que há pelo
401 - 500 de 2122 matches
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