RES: RES: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...

[Albert Bouskela]

Olá!

Há várias formas de provar que 0,999...=1. A que eu prefiro é a seguinte:

Na base de numeração 10:
Eq. A: 1/9 + 8/9 = 0,111... + 0,888... = 0,999...

Na base de numeração 9:
Eq. B: 1/10 + 8/10 = 0,1 + 0,8 = 1

Eq. C: (1/9 + 8/9) [base 10] = (1/10 + 8/10) [base 9] = (0,1 + 0,8 = 1) [base 
9] = 1 [base 10]

A Eq. C prova que a Eq. A é equivalente à Eq. B. Logo:
0,999... (base 10) = 1 (base 9) = 1 (base 10)

Albert Bouskela
bousk...@ymail.com

> -Mensagem original-
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
> nome de Artur Steiner
> Enviada em: terça-feira, 3 de dezembro de 2013 23:27
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: RES: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...
> 
> Uma forma rigorosa de provar que 0,999 = 1 é considerar que, por
> definição, 0,999..,é o limite da série geométrica
> 
> 0,9 + 0,09 + 0,009...
> 
> Uma série geométrica cuja razão é 0,1. Logo,
> 
> 0,999... =  0,9/(1 -0,1) = 0,9/0,9 = 1
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> > Em 03/12/2013, às 21:46, "Albert Bouskela" 
> escreveu:
> >
> > Ennius,
> >
> > Existe um procedimento padrão, muito utilizado para transformar dízimas 
> > periódicas em frações, que resolve problemas desse tipo ― ver abaixo:
> >
> > x = 2,344999...

> > 10x = 23,44999... = 21,105 + 2,344999... = 21,105 + x

> > 9x = 21105/1000

> > x = 21105/9000 = 2,345
> >
> > Caso queira ser mais elegante:
> >
> > x = 2,344999... = 2,344 + 0,000999... = (2344+0,999...)/1000 (Eq. 1)
> >
> > Basta provar que 0,999... = 1

> > y = 0,999...

> > 10y = 9,999... = 9 + 0,999... = 9 + y

> > 9y = 9

> > y = 1

> > Voltando à Eq. 1: x = (2344+0,999...)/1000 = (2344+1)/1000 = 2,345
> >
> > Albert Bouskela
> > bousk...@ymail.com


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RES: RES: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...

[Albert Bouskela]

Olá!

Há várias formas de provar que 0,999...=1. A que eu prefiro é a seguinte:

Na base de numeração 10:
Eq. A: 1/9 + 8/9 = 0,111... + 0,888... = 0,999...

Na base de numeração 9:
Eq. B: 1/10 + 8/10 = 0,1 + 0,8 = 1

Eq. C: (1/9 + 8/9) [base 10] = (1/10 + 8/10) [base 9] = (0,1 + 0,8 = 1) [base 
9] = 1 [base 10]

A Eq. C prova que a Eq. A é equivalente à Eq. B. Logo:
0,999... (base 10) = 1 (base 9) = 1 (base 10)

Albert Bouskela
bousk...@ymail.com

> -Mensagem original-
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
> nome de Artur Steiner
> Enviada em: terça-feira, 3 de dezembro de 2013 23:27
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: RES: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...
> 
> Uma forma rigorosa de provar que 0,999 = 1 é considerar que, por
> definição, 0,999..,é o limite da série geométrica
> 
> 0,9 + 0,09 + 0,009...
> 
> Uma série geométrica cuja razão é 0,1. Logo,
> 
> 0,999... =  0,9/(1 -0,1) = 0,9/0,9 = 1
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> > Em 03/12/2013, às 21:46, "Albert Bouskela" 
> escreveu:
> >
> > Ennius,
> >
> > Existe um procedimento padrão, muito utilizado para transformar dízimas 
> > periódicas em frações, que resolve problemas desse tipo ― ver abaixo:
> >
> > x = 2,344999...
> > 10x = 23,44999... = 21,105 + 2,344999... = 21,105 + x
> > 9x = 21105/1000
> > x = 21105/9000 = 2,345
> >
> > Caso queira ser mais elegante:
> >
> > x = 2,344999... = 2,344 + 0,000999... = (2344+0,999...)/1000 (Eq. 1)
> >
> > Basta provar que 0,999... = 1
> > y = 0,999...
> > 10y = 9,999... = 9 + 0,999... = 9 + y
> > 9y = 9
> > y = 1
> > Voltando à Eq. 1: x = (2344+0,999...)/1000 = (2344+1)/1000 = 2,345
> >
> > Albert Bouskela
> > bousk...@ymail.com
> >
> >> -Mensagem original-
> >> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
> Em
> >> nome de Ennius Lima Enviada em: terça-feira, 3 de dezembro de 2013
> >> 16:39
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Assunto: Re: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...
> >>
> >> Na verdade, eu quis dizer 2,344999...
> >> Creio que falta algo na demonstração dada pelo Pedro José, a
> quem
> >> muito agradeço.
> >> Gostaria de um exame melhor da questão, se possível for.
> >> Abraços do Ennius!
> >> 
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> De: Pedro José < petroc...@gmail.com >
> >> Enviada: Quinta-feira, 28 de Novembro de 2013 17:04
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Assunto: Re: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> Bom dia!
> >>
> >>
> >> A primeira é fácil demais:
> >>
> >> 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3 = 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^
> -3+
> >> 0* 10^-4 + 0*10^-5 + 0*10^-6...
> >>
> >>
> >> A segunda é simples também:
> >>
> >> 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3= 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 9 *10^-
> 3 +
> >> 9* 10^-4 + 9*10^-5 + 9*10^-6... Simplificando as parcelas iguias em
> >> ambos os lados da iguldade teremos:
> >>
> >> 5*10^ -3= 9 *10^-3 + 9* 10^-4 + 9*10^-5 + 9*10^-6..
> >>
> >> o lado direito é o limite de uma soma de PG de razão 1/10 e a1 =
> >> 9*10^-3 quando o número de termos tende a infinito
> >>
> >>
> >> donde 5*10^ -3 = 5*10^-3
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> Em 28 de novembro de 2013 16:39, Ennius Lima 
> >> escreveu:
> >>
> >> Caros Colegas,
> >>
> >>
> >> Como provar que 2,345 = 2,345... = 2,34999... ?
> >>
> >> Desde já, muitíssimo grato!
> >>
> >> Ennius Lima
> >> __
> >>
> >> Â
> >> Â
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> 
> >> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> >>
> 
> >> =
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv rus e  acredita-se
> >> estar livre de perigo.
> >>
> >>
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> >> =
> >> Instru  es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> 
> >> =
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se
> > estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> 
> ==
> > === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> 
> ==
> > ===
> 
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv rus e  acredita

Res: Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

Valeu Abelardo.Vou dar uma olhada.

Um abraço

paulo 





De: abelardo matias 
Para: OBM puc-RIO 
Enviadas: Quarta-feira, 15 de Junho de 2011 12:07:05
Assunto: RE: Res: [obm-l] Probleminha


O livro Geometria I e II - A.C. Morgado / E. Wagner / M. Jorge   estão 
disponíveis no site da Vestseller. 
Não trabalho para empresa, mas a página é referência em material de exatas. 



Date: Wed, 15 Jun 2011 07:50:04 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: Res: [obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br


oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)>0
f(b)=(b-a)(b-c)<0
f(c)=(c-a)(c-b)>0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza 

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
>" Considere a,b e c números reais tais que a+ 
>1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem 
>a 
>condição a    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em "provas 
>indiretas". Não estou muito satisfeito. 
>

Res: RES: [obm-l] Geometria

[Fabio Bernardo]

Obrigado Osmundo. Depois de algumas horas tb consegui visualizar isso 
prolongando a base menor menor e a outra diagonal do trapézio. Esse problema é 
um daqueles em que o desenho bem feitos facilita mt a solução.

Abraços  






De: Osmundo Bragança 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Julho de 2010 15:20:54
Assunto: RES: [obm-l] Geometria

 
Seja ABCD o trapézio com a propriedade: a base AD é o dobro da base BC e a área 
do mesmo é 1.
Ponhamos A à esquerda de D e abaixo de B, assim ABCD é em sentido horário.
Seja M o ponto médio da base AD , claro está que ABCM é um paralelogramo de 
diagonais AC e BM. O ponto K é a intersecção dessas diagonais.
Assim sendo os triângulos ABC, ACM e DCM tem área igual a 1/3.
Tracemos a reta DK, ela corta AB em L e CM  em G. Note  que G é o baricentro do 
triângulo ACD.
A área do triângulo BCK vale 1/6 ( metade de 1/3 ).
O triângulo BLK é congruente ao triângulo MGK e este é semelhante ao triângulo 
CGD cuja área é 1/3 da área do triângulo ACD ( que vale 2/3 ) assim
esse triângulo CGD tem área igual a 1/3 x 2/3 ou 2/9.
A razão de semelhança entre os triângulos MGK e CGD é de ½ ( pois G é o 
baricentro ), a razão entre suas áreas é portanto ¼. Contas feitas a área do
Triângulo MGK vale 1/18 . 
Agora a área do quadrilátero BCKL é a soma 1/6 + 1/18, o que nos dá 2/9. É essa 
a resposta.
Espero ter sido claro.
Um abraço do colega
Osmundo Bragança.
 
 


 
De:owner-  obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-  obm-l@mat.puc-rio.br ] Em nome 
de Fabio Bernardo
Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2010 21:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria
 
Alguém pode me ajudar nesse:
 
Em um trapézio ABCD de área 1, a  base BC mede a metade da base AD. Seja K o 
ponto médio da diagonal AC. A reta DK corta o lado AB no ponto L. A área do 
quadrilátero BCKL é:
a)  3/4
b)  2/3
c)  1/3
d)  2/9
e)  1/9


  

RE: RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas

[guilherme angelo leite]

>1) Seja a um numero inteiro
positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e
a+3 é múltiplo >de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.
 

acho que esse problema é de uma olimpiada e a solução que eu vi era algo como

 se   A=5k; A=7k-1;   A=9k-2;  
A=11k-3

então   2A=5k;   2A=7k-2;  2A=9k-4;2A=11k-6

e2A-5=5k; 2A-5=7k-2-5=7k';2A-5=9k-4-5=9k';2A-5=11k-6-5=11k'

assim 2A-5=5x7x9x11xK , com K pertencente aos inteiros, logo o menor valor é  
K=1

A=1735

>
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n,
para todo n>0. Se a_7=120, determine >a_8.


esse problema é um exercicio basico de recorencia. Usando que toda recorencia 
pode ser escrita como uma soma de PGs
temos

   a_(n)=a_(0)q^n

   a_(0)q^(n+2)=a_(0)q^(n+1)+a_(0)q^n

   q^2=q+1

   q= [1+raiz(5)]/2 ou q=[1-raiz(5)]/2

   assim o termo geral da Recorencia fica

   a_(n) =  b_(0){[1+raiz(5)]/2}^n  + c_(0){[1-raiz(5)]/2}^n

   tente agora aplicar um pouco de teoria dos numeros que deve sair

   OBS: para a_(0)=1 e a_(1)=1 teremos a sequencia de Fibonacci 








De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Patricia Ruel

Enviada em: quarta-feira, 23 de
setembro de 2009 23:01

Para: OBM

Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas



 

1) Seja a um numero inteiro
positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e
a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.

 

2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC
tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN.

 

3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao
lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo
ABC.

 

4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n,
para todo n>0. Se a_7=120, determine a_8.

 

5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n>0. Sabendo que a_6=144,
calcule a_7.







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RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas

[Osmundo Bragança]

Agora faz sentido!

Problema (2)

Seja BC a hipotenusa que é dividida em três partes congruentes pelos pontos
M e N. Pelos pontos M e N trace perpendiculares aos catetos AB e AC, pelo

Teorema de Tales os catetos serão divididos em três partes congruentes (
cada um deles é claro ). Cada terço do cateto AB chame de x e, cada terço do

 Cateto AC chame de y. Agora como AN vale 2 podemos escrever (2x)^2 + y^2 =
4 e , como AM vale 3 podemos escrever (2y)^2 + x^2 = 9. Somando membro a

membro  5( x^2 + y^2 ) = 13 . Agora a hipotenusa BC^2 é igual a 9( x^2 + y^2
) que é igual então a 9x13/5 . A hipotenusa é a raiz quadrada desse número e
MN é

um terço da hipotenusa. Fazendo um desenho fica tudo muito claro.

 

Saludos

Osmundo Bragança.

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Patricia Ruel
Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34
Para: OBM
Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas

 

Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra "médios" desse enunciado. M e N são
apenas pontos do lado BC.
 

  _  

From: barz...@dglnet.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300

Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos
médios?

Osmundo Bragança

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Patricia Ruel
Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01
Para: OBM
Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas

 

1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é
múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor
valor que a pode assumir.
 
2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC
tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN.
 
3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa
ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do
triângulo ABC.
 
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que
a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n>0. Se a_7=120, determine a_8.
 
5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n>0. Sabendo que a_6=144,
calcule a_7.

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RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas

[Osmundo Bragança]

Para resolver o (3) faça um desenho e siga as observações seguintes>

Seja M o ponto médio de BC. Projete ortogonalmente os pontos F e M sobre o
lado AC, obtendo respectivamente os pontos L e N, L será o ponto médio de EC


( note que EC mede 3 ) e N será o ponto médio de AE. Nessas condições ML= FN
= 2 ( base média ) , faça NA=NE=x e aplique Pitágoras ao triângulo

CFN, aí você encontra o valor de x e o resto são continha.

Saludo

Osmundo Bragança.

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Patricia Ruel
Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34
Para: OBM
Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas

 

Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra "médios" desse enunciado. M e N são
apenas pontos do lado BC.
 

  _  

From: barz...@dglnet.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300

Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos
médios?

Osmundo Bragança

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Patricia Ruel
Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01
Para: OBM
Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas

 

1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é
múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor
valor que a pode assumir.
 
2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC
tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN.
 
3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa
ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do
triângulo ABC.
 
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que
a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n>0. Se a_7=120, determine a_8.
 
5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n>0. Sabendo que a_6=144,
calcule a_7.

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Res: RES: [obm-l] Juros

[Lafayette Jota]

Já que estamos falando de juros deixem-me colocar um problema que acho muito 
interessante. 

Um matemático recebeu uma grande herança e queria um uso criativo para ela. 
Foi ao banco onde conseguiu uma taxa de exatamente 1% a.m. a juros compostos.

Imediatamente notou que com esta taxa de juros, ele poderia aplicar todo o 
dinheiro, e retirar exatamente R$ 1.000,00 ao fim do primeiro mês; R$ 2.000,00 
ao fim do segundo mês; R$ 3.000,00 ao fim do terceiro mês; R$ 4.000,00 ao fim 
do quarto mês e assim indefinidamente, e por todas as gerações que viessem a 
lhe suceder. 

Se, no entanto, retirasse 1 centavinho a mais, um dia a herança se acabaria.

Qual o valor da herança recebida?

[]s
Lafayette

 




De: Marcus 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 13 de Agosto de 2009 15:31:59
Assunto: RES: [obm-l] Juros


Obrigado, mesmo assim. 
 
De:owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Albert Bouskela
Enviada em: quinta-feira, 13 de agosto de 2009 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Juros
 
Prezado:
 
Este tipo de problema, em princípio, não faz parte do objeto desta Lista. Não 
obstante, diga – especificamente – qual é a sua dúvida, que, talvez, um dos 
membros mais cristãos da Lista possa esclarecê-la.
 
PS: Eu, particularmente, não professo qualquer religião.
 
Sds.,
AB
bousk...@msn.com
 
From:owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf 
Of Marcus
Sent: Thursday, August 13, 2009 2:16 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Juros
 
Alguem me ajuda nessa?
Um investidor aplicou determinado capital pelo prazo de dois meses em uma conta 
remunerada que paga juros reais de 5 % ao mês , mais atualização monetária pela 
inflação do período. Considerando que ao término do prazo obteve um rendimento 
aparente de R$ 212,75 e que a inflação acumulada durante os dois meses 
totalizou 10 % , calcular o capital, os juros e atualização monetária do 
período.


  

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Res: Res: [obm-l] Juros compostos

[Lafayette Jota]

Boa noite amigos!

Boa pergunta, por que as taxas nominais com capitalização periódica?

Fora o binômio confusão+lucro, pude observar um outro fato gerador desse tão 
confuso e ridículo regime: as leis.

O legislador insiste em tentar regular, emitindo regras incompletas e com pouco 
conhecimento de causa, sobre juros compostos e economia. Daí, sempre sobra um 
jeito de contornar, bastando a nomenclatura adequada.

Exemplo disso é a lei que PROÍBE o uso de capitalização composta em períodos 
fracionários (por exemplo, dentro do mês) e obriga o cálculo por juros simples. 
Ora, se a capitalização composta é uma curva crescente ligando os dois pontos, 
ela fica abaixo da reta o tempo todo, dentro de cada mês

[]s
Lafayette



- Mensagem original 
De: Albert Bouskela 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 4 de Agosto de 2009 18:24:24
Assunto: RE: Res: [obm-l] Juros compostos

Então, tá legal!

Agora, "ler da direita para a esquerda" foi pra sacanear a mim e ao Nehab -
nossos sobrenomes nos denunciam, mas não nos faça ser vítimas de uma fatah.
De qualquer jeito, isto não vai ficar barato, não!

Não obstante, veja que:

1]  Quando o BofAm fixa uma taxa (nominal) de 27.24% a.a., fica instituída
uma taxa REAL de 2,27% a.m. - o cálculo é imediato e ainda dá pra saber,
aproximadamente, o valor da taxa anual (27.24%). O que não dá é pra fazer
1.3091^(1/12) - pô, tá querendo que todo mundo saiba fazer potenciação não
inteira?! E, aí, a moçada não vai saber quanto vai ter que pagar,
mensalmente, de juros para uma taxa de 30.91% a.a.

2]  Quando se fixa uma taxa de 6%, já se sabe que, em 100, ganha-se 6 - é
imediato! Já quando se usa um multiplicador... pense na avó do seu primo
fazendo a conta...

3]  Em Marte Eu faria assim a Constituição marciana: 1ª hipótese
(matemática): o homem "A" só poderá auferir vantagem de outro homem ("B")
quando conseguir demonstrar que o homem "B" já auferiu vantagem de si (do
homem "A"). 2ª hipótese (filosófica): nenhum homem poderá ser condenado, por
outro homem, à infelicidade. Viva o hedonismo!

Albert Bouskela
bousk...@msn.com

> -Original Message-
> From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
> On Behalf Of Ralph Teixeira
> Sent: Tuesday, August 04, 2009 4:49 PM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: Res: [obm-l] Juros compostos
> 
> Oi, Albert.
> 
> Nao me incomoda usar aproximacoes razoaveis ou arredondamentos para
> simplificar, como no caso dos motores. Mas, sim, eu prefiro que digam
> "0.5% ao mes" do que "6% nominal ao ano capitalizado mensalmente".
> Pior, nao ha nenhuma garantia que as taxas nominais vao ser numeros
> redondinhos -- a taxa default do cartao de credito aqui do "Bank of
> America" eh 27.24% nominal; como isso eh mais natural, bonito, ou mais
> facil de calcular do que 31.30% taxa efetiva? Posso usar seu argumento
> ao contario com os numeros certos: voce prefere uma feiosa 5.83% taxa
> nominal ou uma redonda 6% taxa efetiva?
> 
> Entao, como ambos os numeros podem ser bastante feiosos, prefiro o que
> realmente afeta o dinheiro: a taxa efetiva. Vide o amigo que o Nehab
> quase perdeu :) :) :)
> 
> Quanto aos multiplicadores, eles te dao uma ideia exata dos
> rendimentos de forma tao imediata quando as taxas, para um determinado
> periodo. Se o Obama me der um multiplicador de 1.06, sei que "eu ponho
> 1000 e depois recebo 1060". Eh tao simples como "eu ponho 1000 e
> depois recebo 60 alem do que eu pus". Mas, eh claro, para descobrir
> quanto o Obama vai te dar em 10 anos, os multiplicadores sao BEM mais
> simples. E as pessoas se confundem horrores com taxas acima de 100%,
> quando elas aparecem (como aquelas taxas de inflacao dos anos 80).
> 
> Isto dito, sim, eh apenas o costume, a tradicao... A gente acostuma a
> usar taxas nominais e repete, que nem usar f^(-1)(x) para funcao
> inversa, economistas trocando os eixos p e q, costura da meia pra
> dentro, a palavra contrapositiva, dizer que 0^0 nao existe, usar
> Windows, usar teclado QWERTY, fazer media aritmetica, ler da direita
> para a esquerda
> 
> (Tah, este ultimo paragrafo foi para provocar...)
> 
> Enfim: claro que os Marcianos eram comunistas -- eh o planeta
> vermelho! Mas, na minha nova colonia, a gente vai ter um capitalismo
> social democratico unificado sincronizado meritocrata compassivo
> cooperativo competitivo cientifico espiritualista. E nas janelas dos
> bancos, usaremos multiplicadores. :) ;) :)
> 
> Abracao, Ralph.
> 
> 2009/8/4 Albert Bouskela :
> > Meus caros amigos,
> >
> > Vou discordar de vocês e “in totum” – lá vai:
> >
> > Dimensionar parâmetros através de grandezas nominais é MUITO útil. Na
> > Física, Química e, principalmente, na Engenharia isto é comum: diâmetros
de
> > tubos, potências de motores, consumos energéticos... são grandezas
> SEMPRE
> > expressas na sua forma nominal. Mas, por quê? Para que se tenha uma
idéia
> > IMEDIATA da quantificação (i.e., do tamanho) de determinado parâmetro.
> Vou
> >

Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!

[Cleuber Eduardo]

Bom, então vamos lá:
Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei 
vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção 
da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º, 
A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu 
nos respectivos quadriláteros APCE,  BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP, 
PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no 
triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC. 
Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2 

 




De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47
Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!


De nada.
Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu.
Qual é o ponto P?
Valeu, Cleuber.

--- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18


Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. 

Obrigado





De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!


A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06


Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments 
AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já.

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Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!

[Cleuber Eduardo]

Então, vamos lá:
 
Fazendo o desenho e que te disse e a construção auxiliar do triangulo 
equilátero ACE. Vamos usar um colorário.
COLORÁRIO: BE=AD
DEMONSTRAÇÃO: Sendo P a intersecção da circunferência circunscrita aos 
respectivos triangulos ACE e BCD. Logo D^PC=pi/3 e A^MC=2pi/3. Então P está em 
AD, e de forma análoga P está em BE. Finalmente aplicando 
Ptolomeu!!! temos as relações  PE=AP +PC, PD=PB+PC. 
Logo AD=PM+PB+PC=BE cqd. Em ABE aplica-se lei dos cossenos BE^2= AB^2+AE^2 
+AE*AB*3^1/2. No entanto, BE=AD, AE=AC. Então: AD^2=AB^2+AC^2+AB.AC*3^1/2 cqd. 
Bom cheguei no mesmo resultado que vc obteve praticament. É um bom problema, 
enfim"!!! 
 



De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47
Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!


De nada.
Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu.
Qual é o ponto P?
Valeu, Cleuber.

--- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18


Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. 

Obrigado





De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!


A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06


Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments 
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RES: RES: [obm-l] Problema com polinômios

[Artur Costa Steiner]

Eh, tem toda a razao, pode haver outras raizes. Obrigado pela correcao.

Mas creio que dah para aproveitar o raciocinio anterior.

Temos que Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x).

O polinomio (x -a)(x - b)(x -c)(x - d) eh monico e tem coeficientes inteiros. 
Como Q tem tambem coeficientes inteiros e eh monico, o algoritmo da divisao de 
polinomios implica que T seja monico e tenha coeficiente inteiros. Se p(k) = 8 
para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e

3 = (k -a)(k - b)(k -c)(k - d) T(k)

Como T(k) eh inteiro, vemos que 3 eh dado por um produto de 5 inteiros, dos 
quais 4 sao distintos 2 a 2. Isto implica que 3 tenha pelo menos 4 divisores, 
contrariando o fato de que 3 eh primo.

Agora estah certo, nao estah?

Artur


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Nehab
Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 19:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema com polinômios


Oi, Arthur,

Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x -a)(x - 
b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria identicamente 
igual a 1...   Confesso que dei uma tentada por ai mas empaquei, pois não achei 
contra exemplo nem tampouco provei que T(k) seria inteiro...  Onde será que 
estou voando?

Abração,
Nehab

Artur Costa Steiner escreveu:

Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e 
admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que

Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao 
Q(k) = 3 e

Q(k)  = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao 
inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros 
inteiros distintos 2 a 2.  Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao 
existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.

Accho que estah certo.


[Artur Costa Steiner]
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] nome 
de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios



Olá Igor,

estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se 
encontrar uma demonstração.. hehe!)

p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n

vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)

pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão 
definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio!

qual o erro nesta idéia? não encontrei...

abraços,
Salhab







2008/1/12 Igor Battazza < [EMAIL PROTECTED]>:


Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:

Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8.

Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.

Obrigado,
Igor.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=

Re: Res: Res: [obm-l] Produto finito

[albert richerd carnier guedes]

Valeu Rodrigo.
Quanto ao produto que propus, encontrei uma solução em termos dos 
números de Stirling, que foi um toque do nosso colega Rodrigo Renji.
Em resumo, olhando os emails anteriores, chega-se a solução em forma de 
somatórias de números de Stirling. Essa somatória dupla têm seus 
elementos complexos anulados, como se espera, pois o produto é real. O 
que sobra é uma somatória ao quadrado de elementos pares e de elementos 
ímpares.
Mas notei que a somatória dos elementos pares é igual em modulo a 
somatoria dos elementos impares, o que chega ao resultado final


prod^N_{n=0} ( 1 + n^2 ) = [ sum^M_n=0 s( N+1, 2n ) ]^2

onde M=[(N+1)/2], que é o maior inteiro da divisão de N+1 por 2, e 
s(N+!,2n) é o numero de Stirling de primeira ordem.


É o mais simples que consegui chegar até agora na solução, so falta 
achar uma relação explicita para colocar a somatoria em funcao dos de N.


Agradeço a todos que me ajudaram nesta questao.

Rodrigo Cientista escreveu:

Albert e demais que trabalharam neste problema: achei um link de pesquisas da AT&T 
"Integer sequences research" (pesquisa em sequência de inteiros), e me parece que 
pelo menos até o momento ninguém conhece uma fórmula fechada para este produto, pois acredito 
(achismo) que geralmente eles colocam a fórmula fechada, ou recursiva como queira, caso 
existente nas páginas de sequência de inteiros.

Em outras palavras: é muito improvável que exista uma fórmula fechada para o 
produto P=(1+1^2)*(1+2^2)*(1+3^2)*...*(1+n^2), cuja única fórmula recursiva com 
alguma simetria que encontrei foi para o caso n=4, a saber: P=2+ [1^2 + 2^2 + 
3^2 + 4^2]^2 + 2(4!)^2 -( 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4)

Pra quem gosta de teoria dos números é uma ótima fonte de pesquisa sobre o assunto, 
pois a AT&T possui CPUs dentre as com maior capacidade de processamento do 
mundo e financiam pesquisas de matemática pura (isso mesmo!!!), no caso teoria dos 
números, para testar por exemplo milhares de conjecturas sobre números primos e 
similares.

link: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A101686

Um exemplo é esta busca por sequências correlatas a primos gêmeos: 
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=twin+primes&language=english&go=Search

Divirtam-se,
Rodrigo

- Mensagem original 
De: albert richerd carnier guedes <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 11:51:59
Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito

Rodrigo Renji escreveu:
  

Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta certo
 



  

produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até 
n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )



  

onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o 
módulo desses números, i o número complexo.

A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
simples eu acho

abraços

Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
 


Rodrigo Cientista escreveu:
Caro Nehab,
   
  

uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
 


negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
geralmente, -N! = (-1)^N *
N!
   
  

***

Carlos
 


Nehab
   
  

Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
Oi, Albert (e Ponce)
Faltou aplicar o
 


fatorial em cada parcela do produtório...
   
  

Nehab

- Mensagem original
 



   
  

De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>
Para:
 


obm-l@mat.puc-rio.br
   
  

Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
 


3:36:56
   
  

Assunto: Re: [obm-l] Produto finito

Ola' Albert,
voce deve ter se
 


enganado com alguma coisa no texto.
   
  

Do jeito que esta' , o produto e' sempre
 


zero.
   
  

[]'s
Rogerio Ponce



Em 27/11/07, albert richerd carnier
 


guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
   
  
 


Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
   
  

Alguém sabe qual
 


é o valor do produto finito
   
  

P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
 


N^2 )em função de N.
   
  

Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
 


(N+1)!N!.
   
  

Agradeço qualquer
 


sugestão.
   
  

=
Instruções
 


para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
   
  

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

 

Res: Res: [obm-l] Produto finito

[Rodrigo Cientista]

Albert e demais que trabalharam neste problema: achei um link de pesquisas da 
AT&T "Integer sequences research" (pesquisa em sequência de inteiros), e me 
parece que pelo menos até o momento ninguém conhece uma fórmula fechada para 
este produto, pois acredito (achismo) que geralmente eles colocam a fórmula 
fechada, ou recursiva como queira, caso existente nas páginas de sequência de 
inteiros.

Em outras palavras: é muito improvável que exista uma fórmula fechada para o 
produto P=(1+1^2)*(1+2^2)*(1+3^2)*...*(1+n^2), cuja única fórmula recursiva com 
alguma simetria que encontrei foi para o caso n=4, a saber: P=2+ [1^2 + 2^2 + 
3^2 + 4^2]^2 + 2(4!)^2 -( 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4)

Pra quem gosta de teoria dos números é uma ótima fonte de pesquisa sobre o 
assunto, pois a AT&T possui CPUs dentre as com maior capacidade de 
processamento do mundo e financiam pesquisas de matemática pura (isso 
mesmo!!!), no caso teoria dos números, para testar por exemplo milhares de 
conjecturas sobre números primos e similares.

link: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A101686

Um exemplo é esta busca por sequências correlatas a primos gêmeos: 
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=twin+primes&language=english&go=Search

Divirtam-se,
Rodrigo

- Mensagem original 
De: albert richerd carnier guedes <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 11:51:59
Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito

Rodrigo Renji escreveu:
> Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta certo
>  

> produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até 
> n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )

> onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo 
> o módulo desses números, i o número complexo.
>
> A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
> depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
> como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
> simples eu acho
>
> abraços
>
> Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  
>> Rodrigo Cientista escreveu:
>> Caro Nehab,
>>
>
> uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
>  
>> negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
>> calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
>> de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
>> geralmente, -N! = (-1)^N *
>> N!
>>
>
> ***
>
> Carlos
>  
>> Nehab
>>
> Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
> Oi, Albert (e Ponce)
> Faltou aplicar o
>  
>> fatorial em cada parcela do produtório...
>>
> Nehab
>
> - Mensagem original
>  
>> 
>>
> De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>
> Para:
>  
>> obm-l@mat.puc-rio.br
>>
> Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
>  
>> 3:36:56
>>
> Assunto: Re: [obm-l] Produto finito
>
> Ola' Albert,
> voce deve ter se
>  
>> enganado com alguma coisa no texto.
>>
> Do jeito que esta' , o produto e' sempre
>  
>> zero.
>>
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> Em 27/11/07, albert richerd carnier
>  
>> guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>>
>
>  
>> Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
>>
> Alguém sabe qual
>  
>> é o valor do produto finito
>>
>
> P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
>  
>> N^2 )em função de N.
>>
>
> Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
>  
>> (N+1)!N!.
>>
>
> Agradeço qualquer
>  
>> sugestão.
>>
> =
> Instruções
>  
>> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>> em
>>
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>  
>> =
>>
> Instruções
>  
>> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>> em
>>
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>  
>> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
>> armazenamento!
>>
> http://br.mail.yahoo.com/
>
> =
> Instruções
>  
>> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>> em
>>
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>  
>> Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto
>>
>> P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )
>>
>
> sempre começa em
>  
>> 2, pois se começar em 1 fica tudo 0.
>>
>
> Ele é bem mais fácil de achar.
> Se
>  
>> tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma
>>   

Res: Res: [obm-l] boa de combinatoria

[Eduardo Estrada]

Olá, Vitório,

Sinto dizer, mas foi só clicar em enviar, ontem, que percebi que minha resposta 
estava errada! Para o número de funções crescentes e decrescentes, de fato o 
resultado é Cm,n. Mas para a contagem de funções não decrescentes, o resultado 
que exibi não está correto. De fato, isso ocorre porque uma função não 
decrescente não é uma função que não é decrescente. Na verdade, uma função é 
dita não decrescente se, de um termo para outro (maior), obtemos uma imagem 
igual ou maior. Ainda não consegui pensar numa solução, mas consegui pensar 
numa relação com contagem de seqüências:

Seja f : {1,2,3,...,n} -> {1,2,3,...,m}. Contar o número de funções não 
decrescentes f equivale a contar o número de n-seqüências (seqüências de n 
dígitos) formadas por algarismos compreendidos entre 1 e m, tais que o 
algarismo de uma dada posição da seqüência é sempre maior do que ou igual aos 
algarismos das posições precedentes. Por exemplo, se m=2 e n=3, podemos pensar 
na seqüência 122, que leva 1 em 1, 2 em 2 e 3 em 2. Além desta, temos: 111, 112 
e 222, ou seja, 4 funções, nesse caso. E isso não bate com a fórmula exibida.

Abraço,
Eduardo

- Mensagem original 
De: vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l 
Enviadas: Sexta-feira, 7 de Dezembro de 2007 15:17:56
Assunto: Re:Res: [obm-l] boa de combinatoria


Tão simples asimm !

 

Eu pensei nisso... mas não acreditei...

 

Obrigado

 

 

 

 

 Olá, Vitório, 

> 

> Me parece que a resolução é a seguinte: 

> 

> a) Funções crescentes; 

> 

> Basta que, do contradomínio com m elementos, selecionem-se n. A cada seleção, 
> associa-se uma única função crescente, e vice-versa. Asim, a resposta é Cm,n. 
> Observe que, quando m 
> 

> b) Funções não decrescentes; 

> 

> Analogamente, o total de funções decrescentes é Cm,n (de fato, observe que, a 
> cada função crescente, associa-se uma única função decrescente, e 
> vice-versa). Como o total de funções (de qualquer tipo) é m^n, temos que o 
> valor procurado é m^n - Cm,n. 

> 

> Espero ter ajudado, um abraço! 

> Eduardo L. Estrada 

> 

> - Mensagem original  

> De: vitoriogauss 
 
> Para: obm-l 
 
> Enviadas: Quinta-feira, 6 de Dezembro de 2007 17:01:58 

> Assunto: [obm-l] boa de combinatoria 

> 

> Caros colegas... 

> 

> 

> 

> 

> 

> Seja In = {1,2,...,n}, analogamente Im, determinar o número de funções f: In 
> --> Im tais que: 

> 

> 

> 

> 

> 

> a) f seja crescente 

> 

> 

> 

> b) f seja não-decrescente 

> 

> 

> 

> desde já grato 

> 

> 

> 

> 

> 

> 

> 

> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
> armazenamento! 

> http://br.mail.yahoo.com/ 



Vitório Gauss









  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/

Res: Res: [obm-l] Produto finito

[Rodrigo Cientista]

Eu analisei esse produto do Albert ontem sem sucesso, mas notei que na 
produtória aparecem os termos n!^2 e a soma dos quadrados 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ 
n^2 = n(n+1)(2n-1)/6 e também outros termos que formam sequências do tipo  
(n!/2)^2 + (n!/3)^2+ (n!/4)^2  + (n!/n)^2

esta última poderia ser escrita como n!^2(1 +  1/2^2 + 1/3^2 +  + 1/n^2)

quando n--> infinito, a expressão entre parênteses --> (pi^2)/6

é uma observação intrigante, mas obviamente não resolve o problema ´já que 
quando n--> infinito obviamente o produto tb tende

Mais alguém achou essa formulação?

- Mensagem original 
De: Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 14:52:21
Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito

fica então dessa forma a responsabilidade, par o calculo da soma de um logaritmo
vendo que essa função satisfaz a recorrencia encontrada acima

f(n+1)=a^soma[0, n]log (1+ (k+1)²)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²).
a^log (1+(n+1)²)=
f(n)*(1+(n+1)²)
então f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²), satisfaz a recorrência

agora sobre como aparece os números de stirling nesse problema

analisando sua solução do outro produtorio albert, tentei fazer esse
de forma analoga
prod[0,n](1+k²)
fatorando 1+k², com ajuda dos complexos
(k+i)(k-i)
prod[0,n](k+i)(k-i)=prod[0,n](k+i) *prod[0,n](k-i)=
prod[0,n](i+k) *prod[0,n](-1)(i-k)=
colocando o (-1) pra fora do produtorio
(-1)^(n+1).prod[0,n](i+k) *prod[0,n](i-k)
nos dois produtorio termo (abrindo de maneira informal)
(i)(i+1)(i+2) (i+n) * (i)(i-1)(i-2)... (i-n) (-1)^(n+1)
temos duas potencias fatoriais multiplicadas, potencias fatoriais de
base complexa

a da esquerda vou escrever
(i)^(n+1,-1)
e da direita
(i)^(n+1,1) para potencias fatoriais de passo -1 e 1 (respectivamente
representando os produtorios a partir da esquerda)
dai temos isso então

(i)^(n+1,-1)* (i)^(n+1,1) * (-1)^(n+1)
porém é possivel escrever potências fatorias como soma de potencias
normais, atraves dos numeros de stirling, temos então
(i)^(n+1,-1)=soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k
e

(i)^(n+1,1)=soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k
logo o produtorio toma forma de

soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k * soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k. (-1)^(n+1)

onde s(n,k) são números de stirling do primeiro tipo (com sinal
alternado, se quiserem posso postar a demonstração e definição depois)
e |s(n,k) | o modulo deles, é isso (que não ajudou em nada =P)
abraços









Em 29/11/07, Rodrigo Renji<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> corrigindo
> produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até
> n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
>
> escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim
>
> produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até
> n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
>
> vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio
>
> notações
> prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de "a" até "b"
>
> no caso o produtório pedido foi
> prod[1,n] (1+k²)  , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada
> no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever
> prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n)
> vimos a recorrencia que ele gera
> prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando
> f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos
> f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então
> podemos tomar
>
> f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n)
> procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) ,
> que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema "morre"
>
> mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²)
> porém podemos fazer o seguinte
>
> seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então
> f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois
> (seja sempre o log na base a)
> f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log
> f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n)
> logo Qf(n)=a^D log f(n)
>
> com isso temos
> a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando
> D log f(n)= log (1+ (n+1)²)
>
> seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como
> soma [0, n-1], pode se mostrar que
> soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima 
> temos
>
> soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o
> produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e
> log 1=0, então a expressão fica como
> log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²)
> tirando o log do primeiro membro, ficamos com
> f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²)
>
> continua
>
>
>
>
>
>
> Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Rodrigo Renji escreveu:
> > > Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta 
> > > certo
> > >
> >
> > > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até 
> > > n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
> >
> > > onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| 
> > > sendo o módulo desses números, i o número complexo.
> > >
> > > A conclus

Res: Res: [obm-l] Algoritmo

[Danilo Nascimento]

Será que baseado no fato de o limite não existir eu posso afirmar que TODOS os 
numeros de três algarismos podem ser escritos como a soma de um quadrado e um 
cubo.
X=a^2+b^3 onde a e b são inteiros quaisquer.


- Mensagem original 
De: Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 24 de Setembro de 2007 14:08:01
Assunto: Res: [obm-l] Algoritmo


Se tal limite não existe, como que eu vou fazer um algoritmo então? Será que eu 
vou ter que usar os limites que a linguagem oferece? Dá algo em torno de 2 
bilhões. Mas qual a garantia que eu tenho que eu vou achar todos os numeros de 
três algarismos? 
Parece ser complicado.


- Mensagem original 
De: Fetofs Ashu <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 22 de Setembro de 2007 14:35:34
Assunto: Re: [obm-l] Algoritmo

Eu acho que não há limites para a e b, se b pode ser negativo. Tome como 
exemplo a = 38339 e b = -1137 (resultado 568). Tenho certeza de que se 
continuasse acharia valores maiores ainda...

Fernando Oliveira


On 9/21/07, Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
Olá pessoal
  estou tentando desenvolver um algoritmo em Pascal para 
achar todos os números de 3 algarismos que podem ser escritos como a soma de um 
quadrado e um cubo. Só que tem um problema, como achar os limites dos valores 
que estão variando o contador? 
Por exemplo :  100http://www.flickr.com.br/

RES: RES: [obm-l] Base para R3

[Artur Costa Steiner]

Eh verdade.
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Anselmo Alves de Sousa
Enviada em: sexta-feira, 14 de setembro de 2007 14:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: RES: [obm-l] Base para R3


 
Artur,
 
Seguindo o mesmo raciocínio, também verificamos que e_2 = (0,1,0) é Linearmente 
independente com
 
u e v e, portanto {u,v,e_2} também será uma base para R^3.
 


 vlw.
 
"O muito estudar é enfado para a carne"
  (Rei Salomão)




  _  

Subject: RES: [obm-l] Base para R3
Date: Fri, 14 Sep 2007 12:32:14 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Temos que escolher um vetor c da base canônica de modo que os vetores u, v e c 
sejam linearmente independentes. O vetor (0, 0, 1) não serve, porque u + v = 
(0, 0, 1). Mas o vetor c = (1, 0, 0) serve.  De fato, se m1, m2, m3 sao 
escalares tais que m1 u + m2 v + m3 c = 0, entao
 
-m1 + m2 + m3 = 0
2m1 - 2m2 =0
3m1 - 2m2 = 0
 
Multiplicando-se a 1a equacao por 2 e somando com a segunda, obtemos 2m3 = 0 => 
m3 =0
Subtraindo-se a 2a da 3a, obtemos m1 =0, que quando substituida na 2a , leva a 
que m2 = 0
Assim, m1 = m2 = m3 =0, de modo que o conjunto {u, v, c} é LI e, desta forma, 
constitui uma base para R^3.
 
Artur
 
 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Anselmo Alves de Sousa
Enviada em: sexta-feira, 14 de setembro de 2007 11:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Base para R3


bom dia, colegas!
 
Por favor, estou com dúvida em:
 
1-Encontre um vetor da base canônica que pode ser acrescentado ao conjunto 
{u,v} para formar uma base de R^3.
 
 
a) u=(-1,2,3), v=(1,-2,-2);
 
 
Obrigado.
 
"o muito estudar é enfado para a carne"
(Rei Salomão)


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RES: RES: [obm-l] divisibilidade II

[Artur Costa Steiner]

Oi
 
De fato é a série de Taylor, que no caso der polinômios acaba tendo um número 
finito de termos não nulos. Mantendo nosa terminologia, suponhamos que k| N = 
P(10), 0 < k < 10, e seja r = 10 - k. Então, N = P(10) = P(k + r) = P(r) + k 
P'(r) + ...(k^n)/n! d^n/dx^n P(r), sendo esta ultima formula o teorema de 
Taylor. Como os coeficientes de P sao inteiros, os de suas derivadas tambem o 
sao.  
Como r eh inteiro, concluimos imediatamente que, se k|P(r) = P(10 - k), entao 
k|N. E se k|N, entao P(r) = P(10 - k) = N -   P(r) - k P'(r) ...- ...(k^n)/n! 
d^n/dx^n P(r) eh dado pela diferenca entre 2 inteiros multiplos de k. Logo, 
k|P(10 - k). 
 
Na realidade, nao precisamos supor que k esteja entre 0 e 10, basta que seja 
positivo. E tambm nao temos que noss restringir aa base decimal. 
 
Podemos tambem chegar a estas conclusoes da forma que vc citou.
Abracos
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quinta-feira, 16 de agosto de 2007 13:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] divisibilidade II


Oi, Artur



Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).a_0 e seja 
P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1)...+ a_0. Temos, 
entao, que N = P(10). 

Ok


Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para 
polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k).

Você se refere à série de Taylor?  Não entendi o porque da série de Taylor 
justificar k | N sss k | P(10-k)  (se for óbvio, não tô "vendo"...:-)
Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e P(10-k)  é uma 
"combinação linear inteira" de expressões 10^p - (10-k)^p  que obviamente são 
divisíveis por k, pois a^p - b^p tem fator a-b = k).


No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e 
o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, ...

Você quis dizer  10^100 - 4, certamente. 


que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que 
P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 - 3)/2 + 6 =   (9 *3^100 
- 27 + 12)/2 =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é 
divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal.


Também achei legal.  Apenas realmente não entendi como você enxergou sua 
afirmativa pensando na série de Taylor.

Obrigado pelas dicas

Abração,
Nehab



Artur 


-Mensagem original-


De: [EMAIL PROTECTED] [   mailto:[EMAIL PROTECTED] 
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab


Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28


Para: obm-l@mat.puc-rio.br


Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II



Oi, Arthur,



De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste 
fato com a dica que eu havia dado para o Francisco?  Pode me explicar melhor ?



Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética modular.   Acho 
que você sacou alguma coisa que eu não ví...  



Abração,


Nehab



PS:


O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 
243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7).  



At 18:03 15/8/2007, you wrote:



E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. 
Certo?


Artur



  


  


  

 -Mensagem original-


De: [EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED]   Em 
  nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab


Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14


Para: obm-l@mat.puc-rio.br


Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade




Oi, Francisco,


O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.   


Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo".   Mas este, 
em especial, dá pra fazer até diretamente...


Solução 1) 

Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 
6, correto?


Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 142857.   Após os 
96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a 
seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. 

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.


Solução 2) 

Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):


Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu 
último algarismo (de N) é r. 

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.


Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).


Abraços, 

Nehab


PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.


Abraços, 

Nehab




At 15:39 15/8/2007, you wrote: 


Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?




Grato.



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RES: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[Artur Costa Steiner]

 
Nao hah um engano no enunciado deste teorema? O numero B nem aparece na 
expressao. Se X e Y sao algebricos, X^Y pode ser algebrico mesmo que Y nao seja 
0 nem 1.   

[Artur Costa Steiner] 
 
Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma
tarefa trivial.. especialmente a primeira.
Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente
por Schneider, que diz o seguinte:

TEOREMA (Gelfond & Schneider):
* Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não
é racional, então X^Y é transcendente.

Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente,
bem como 2^sqrt(2).
Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil.
Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational Numbers".

Abraço,

- Leandro.

RES: RES: [obm-l] 2^x = x^2

[Artur Costa Steiner]

Realmente , hah uma raiz negativa da qual esqueci na minha prova! Ela vale para 
raizes nao negativas.
Aquele mesmo processo serve tambem para provar que as unicas solucoes inteiras 
posivas, nao triviais (x <>y) da equacao diofantina x^y = y^x sao 2 e 4. 
Artur 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce
Enviada em: sábado, 16 de junho de 2007 11:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2


Ola' pessoal,
queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem computador para 
calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer calculadora cientifica da' conta 
do recado, antes que o XP entre no ar...:-)

Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho !

Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao "bem comportada" y=f(x) , a 
aplicacao sucessiva de
  x2 = x1 - y1/ f'(x1)
a partir de um ponto "x1" , que esteja "na vizinhanca" de uma raiz de f(x) , 
nos leva 'a propria raiz.
Considerando nossa funcao
 y=2^x - x^2
temos que
 x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x )

Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1.
Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 .
Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536
Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.7491 , e na quarta iteracao 
x2=-0.74696 .
Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma 
calculadora barata...

[]'s
Rogerio Ponce


Érica Gualberto Pongelupe <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

Oi Todo mundo
use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um 
software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes.
Abração
Érica

Oi, Arthur (e Julio),

Você esqueceu que x pode ser negativo.  Para x positivo, ok. Mas, faça um 
grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x  e você veráque obviamente há uma raiz 
negativa (entre -1 e 0).

Abraços,
Nehab 

At 11:08 15/6/2007, you wrote:


Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se 
hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, 
sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. 
Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e.  
A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que 
fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f 
eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos 
ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ f(x) = -oo eque lim x -> oo f(x) = 0. 
Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) 
e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0).  Concluimos 
assim que , paraa>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes 
emR. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. 
Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2.
 
Serah que hah outras raizes complexasnao reais?
 
Artur
 
 
 
 
 
 
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2



achar as raízes de 2^x = x^2




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Atenciosamente


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Júlio Sousa 


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nova busca. 

Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Klaus Ferraz]

eh verdade Claudio, eu só estava me adiantando um pouco. Mas vou ver essa parte 
de limites de sequencias nas proximas semanas.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l 
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 16:37:13
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II


Oi, Klaus:
 
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de 
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente, 
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
 
[]s,
Claudio.
 
De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)

Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma 
valeu.


- Mensagem original 
De: Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II


> Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua 
> mente antes de tentar tais demonstrações.
> Veja só:
>  
> Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um natural 
> N tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
>  
> Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L, 
> com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo 
> instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos 
> subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso 
> ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então 
> diremos que a_k tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de 
> maneira informal e em texto). 
>  
> Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos 
> encontrar N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso 
> pela própria definição de limite, concorda?
> Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os 
> elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do 
> pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo, 
> eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente 
> maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de 
> visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à 
> distância eps/2. 
>  
> Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um 
> n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de 
> limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A 
> e b_n -> B implica (a_n + b_n) -> (A+B)  (o que não é trivial), vc argumenta 
> mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural 
> n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, 
> estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 
> para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo 
> estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois 
> naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para 
> qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do 
> respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N 
> estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que
 para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a 
seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!! 
>  
> Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
>  
> Até mais
> Bruno França dos Reis

 
> On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
> 
Ola Claudio,
 não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|
Para: obm-l 
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II 
> 


> -- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
> 

Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. 
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < 
eps/2. 
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. 
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.


> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule 
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>

Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos 
a_i. 
Se todos os a_k fore

Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Klaus Ferraz]

Vlw Claudio, vou pensar!


- Mensagem original 
De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l 
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 7:50:54
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II


b_k -> 0 significa que lim(k -> infinito) b_k = 0
Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal 
que:
se k > n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| < eps.
Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k 
suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de 
zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma 
sequencia.

Que tal entrar no Google e digitar: "Cesaro sum"?
De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a 
sequencia (b_n) dada por:
b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente 
todos os livros de analise demonstram ou 
pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n -> a, entao 
b_n -> a.
Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar 
um exemplo disso?

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT)
Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

> Ola Claudio,
>  não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2."
> o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
> vlw.
> 
> 
> - Mensagem original 
> De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: obm-l 
> Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
> Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
> 
> 
> -- Cabeçalho original ---
> 
> De: [EMAIL PROTECTED]
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
> Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> 
> > Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
> > 
> 
> Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
> Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
> Seja eps > 0.
> b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
> Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < 
> eps/2.
> Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
> |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
> |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
> eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
> Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
> 
> 
> > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule 
> > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
> >
> 
> Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias 
> dos a_i.
> Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
> Caso contrario, escreva:
> a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
> Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
> Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o 
> limite procurado eh igual a a_k.
> (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma 
> infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
> soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
> 
> Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. 
> O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
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[obm-l] Res: Res: [obm-l] Equaçao 2o

[André Smaira]

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/tartaglia.htm

- Mensagem original 
De: Cristian XV <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 31 de Dezembro de 2006 9:59:47
Assunto: Res: [obm-l] Equaçao 2o


Obrigado, alguem saberia, agora, como resolver de grau >= 3.
Na Universidade eu aprendi, mas passou o tempo e esqueci. Tinha o metodo 
Tartaglia, mas não me lembro, se alguem puder, me ajudar a relembrar 
agradeço


Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Oi,

Hm, soma e produto costuma ser bastante prático. Por exemplo, a soma e o 
produto das raízes da equação x^2 - 104x + 400 = 0 são 104 e 400, 
respectivamente, e pensando um pouco (o procedimento é olhar o produto e pensar 
em dois números cujos produto é esse; some os dois números e compare com o que 
deveria dar a soma; se a soma der maior do que deveria, tente de novo com 
números mais próximos; se der menor, tente números mais afastados).

Mas e se o coeficiente do x^2 é diferente de 1? Por exemplo, 3x^2 - 23x + 34 = 
0? Como pensar em dois números cuja soma é 23/3 e o produto, 34/3?

Nesse caso, tem o seguinte "truque": pense em dois números cuja soma é 23 (como 
seria na equação sem o 3 no denominador) e cujo produto é 34 * 3 (multiplicamos 
o coeficiente do x^2 com o termo independente). Não precisa fazer a conta, você 
vai ter que fazer soma e produto mesmo! 34 + 3 é maior que 23, então devemos 
deixar os números mais próximos. E pensando em paridade, sendo a soma ímpar, o 
produto deveria ser um par vezes um ímpar; tendo em vista que 34 = 17 * 2, que 
tal deixar o 17 sozinho, escrevendo 17 * 6? Opa, aqui a soma dá certinho! Então 
os dois números são 17 e 6. Mas essas não são as raízes! Como achar as raízes?

Para achar as raízes da equação, basta dividir os dois números pelo coeficiente 
em x^2. Ou seja, as raízes são 17/3 e 6/3 = 2.

É claro que isso nem sempre funciona, porque pode ser que as raízes não sejam 
racionais. No exemplo que você enviou, as raízes não são racionais; tente 
aplicar os procedimentos acima para provar isso. Nesses casos, só o bom e velho 
delta resolve. Bom, se o coeficiente b em x é par, fazer delta' = (b/2)^2 - ac 
e x = [(b/2) +- sqrt(delta')]/a diminui um pouquinho as contas.

[]'s
Shine

- Original Message  
From: André Smaira 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Saturday, December 30, 2006 10:58:47 PM 
Subject: [obm-l] Res: [obm-l] Equaçao 2o 


soma e produto ou: 
D=(S/2)^2-P 
x1=S/2+sqrt(D) 
x2=S/2-sqrt(D) 


- Mensagem original  
De: Hugo Leonardo da Silva Belisário 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Sexta-feira, 29 de Dezembro de 2006 12:12:28 
Assunto: Re: [obm-l] Equaçao 2o 


Cristian XV escreveu: 
> 
> 
> Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais 
> fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: – 5x2 + 3.598x 
> – 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. 
> Obrigado 
> 
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>  
> 
> No virus found in this incoming message. 
> Checked by AVG Free Edition. 
> Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006 
> 
> 
== 

Completa quadrado. Além de ser mais fácil, te ensinara de onde vem a 
Formula de Báskara. Espero que seja útil a dica. Um abraço. 


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RES: RES: [obm-l] pontos num plano

[Artur Costa Steiner]

Ok, obrigado pela ajuda.
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: quarta-feira, 12 de julho de 2006 08:55
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] pontos num plano


On Tue, Jul 11, 2006 at 06:03:55PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
...
> > Vimos que, se para algum k tivermos A_k enumeravel, entao A eh
enumeravel.
> > Eu ouvi um top dog afirmar (mas nao vi a demonstracao) de que se
tivermos
> > A_k = vazio para algum k, entao, alem de enumeravel, A e um G-delta (nao
sei
> > se isso ainda eh verdade se A_k for enumeravel para algum k).
> 
> O conjunto A_0 U A_1 é fechado, logo um G-delta.
> Para passarmos de A_0 para A_1 precisamos eliminar um número enumerável

Deveria ser "Para passarmos de A_0 U A_1 para A_0...".
Desculpem o descuido.

> de pontos x_0, x_1, x_2, ... Basta tomar a interseção com os abertos
> R - {x_0}, R - {x_1}, ...

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: RES: [obm-l] Pontos de acumulacao

[Artur Costa Steiner]

> Alguém conseguiu uma demonstração ou um 
contra-exemplo pra segunda proposição?

  Na 
  realidade, se para lgum k A_k for enumeravel, entao A eh 
  enumeravel.
  Artur

RES: RES: [obm-l] Pontos de acumulacao

[Artur Costa Steiner]

Para a 
segunda proposicao, eu enviei a segunda prova, para consideracoa de 
todos:
 

Na realidade, no problema da mensagem original, a hipotese de A 
seja finto e limitado nao faz diferenca. O 
enunciado poderia ser o seguinte: 
Seja A um subconjunto de R que tenha pontos de 
acumulacao e facamosA_0 = A. seja A_1 
o conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o conjunto 
dos pontos de acumulacao de A_1. De modo 
geral, formemos uma sequencia de conjuntos 
em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de acumulacao de A_(k-1). Se, para algum k, A_k for 
vazio, entao isto implica que A eh enumeravel?
Esta eh de fato a questao que conta. Se A for enumeravel, nao 
precisamos ter A_k = 
vazio para algum k, basta tomar os racionais, como o Claudio lembrou.
Eu acho que a resposta para a questao acima eh sim. Parece mais 
facil demonstrar a contrapositiva. Dizemos 
que a (pertencente ou nao a A) eh ponto de 
condensacao de um conjunto A se toda vizinhanca de a contiver uma quantidade nao enumeravel de elementos de A. 
Assim, todo ponto de condensacao de A eh 
ponto de acumulacao de A. Sabemos que, se A nao for enumeravel, entao A tem pontos de condensacao 
(e tem pontos de condensacao que pertencem 
a A). Sabemos ainda que o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto nao enumeravel tambem nao eh 
enumeravel. Assim, no caso, A_1 contem os 
ponto de condensacao de A e, desta forma, A_1 nao eh enumeravel e, portanto, nao eh vazio. Por inducao, concluimos 
que, para todo k, A_k nao eh enumeravel e, 
portanto, nao e vazio.  Tomando a 
contrapositiva, temos a demosntracao.
 
Artur
 
  

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 10 de julho de 2006 
  12:50Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Pontos de 
  acumulacao
  Alguém conseguiu uma demonstração ou um contra-exemplo pra segunda 
  proposição?
   
  Aliás, isso me lembra um problema proposto há meses pelo Paulo Santa 
  Rita.
  Definimos duas funções de Partes(R) em Partes(R):
  F(X) = Fecho de X
  e
  C(X) = R - X = Complementar de X.
   
  Assim, F(Q) = R; F((0,1]) = [0,1]; C((0,1]) = (-inf,0] U (1,+inf); 
  etc...
   
  Em geral, temos que: F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X.
   
  Dado um subconjunto qualquer A_0 de R, calculamos, 
  sucessivamente:
  A_1 = g(A_0); A_2 = g(A_1); A_3 = g(A_2); etc.
  onde g pode ser tanto F quanto C.
   
  Problema: 
  1) Prove que, qualquer que seja A_0, existem naturais m, n tais 
  que 0 <= m < n e A_m = A_n.
  2) Qual o maior valor possível de n-m?
  3) Exiba um A_0 e uma sequência de A_i's correspondentes ao valor achado 
  em (2).
   
  
  Por exemplo: A_0 = [0,1)
  A_1 = C(A_0) = (-inf,0) U [1,+inf)
  A_2 = F(A_1) = (-inf,0] U [1,+inf)
  A_3 = C(A_2) = (0,1)
  A_4 = F(A_3) = [0,1]
  A_5 = C(A_4) = (-inf,0) U (1,+inf)
  A_6 = F(A_5) = (-inf,0] U [1,+inf) = A_2 ==> n - m = 4
   
  Se não me engano, este problema se deve a Kuratowski.
   
  []s,
  Claudio.
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Mon, 10 Jul 2006 
09:58:31 -0300
  
  


  Assunto:
  RES: [obm-l] Pontos 
de acumulacao
  > > 
  > > Seja A um conjunto infinito e limitado de R. Entao, A tem 
  pontos de
  > > acumulacao (T. de Bolzano/Weierstrass). Definamos A_0 = A e 
  seja A_1 o
  > > conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o 
  conjunto dos
  > > pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma 
  sequencia de
  > > conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de 
  acumulacao de
  > A_(k-1).
  > > 
  > > 
  > > Algumas questoes que estou tentando responder:
  > > 
  > > Se A for enumeravel, teremos necessariamente A_k = vazio para 
  algum k?
  > > 
  > Seja A_0 = {racionais em [0,1]} = enumeravel ==>
  > A_1 = A_2 = ... = A_n = ... = [0,1] <> vazio
  > 
  > > Se, para algum k, A_k for vazio, entao isto implica que A eh 
  enumeravel?
  > 
  > > Se A nao for enumeravel, podemos ter A_k = vazio para algum k? 
  
  > >
  > 
  > 
  > Essas duas ultimas sao equivalentes, nao sao?
  > 
  > []s,
  > Claudio.
  > 
  > De fato. Uma eh a contrapositiva da outra. Na realidade, as duas 
  primeiras
  > eh que constituem proposicoes logicamente distintas. 
  > 
  > Obrigado.
  > Artur
  > 
  > 
  > 
  > 
  =
  > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em
  > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  > 
  =
  > 
  > 
  =
  > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em
  > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  > 
  =

Re: RES: RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

[Bruno Bonagura]

Olá pessoal,

Obrigado pelas respostas! Eu pessoalmente não gosto de combinatória, é 
um defeito meu. Na época do vestibular desisti de estuda-la e nunca mais 
respondi sequer uma questão de combinatória. Quem sabe um dia eu volte a 
estudá-la a fundo... Mas gosto é algo subjetivo! Sempre busco soluções 
por transformações entre geometria e álgebra, principalmente porque 
tenho um certo talento com isso. :)
Fico agradecido pelas respostas. Elas serão de muita utilidade para um 
trabalho que pretendo escrever sobre esse assunto!


Bruno Bonagura

Artur Costa Steiner escreveu:
Eu tambem acho que solucoes combinatorias sao mais bonitas. A 
igualdade (1+ 2+n)^2 = 1^3 + 2^3 + n^3 sempre me fascinou.
Serah que existye uma formula fechada para 1^p + 2^p=n^p para p 
real, p>=1?
Artur 


-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de *claudio.buffara
*Enviada em:* terça-feira, 9 de maio de 2006 10:40
*Para:* obm-l
*Assunto:* Re:RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

Eu ainda prefiro uma demonstração combinatória.
 
Problema: Quantos ternos ordenados (x,y,z) existem cujos elementos

pertencem a {1, 2, 3, ..., n, n+1} e são tais que x > y e x > z?
 
Solução 1:

Para x = k+1  (k em {1, 2, ..., n}), temos k escolhas para y e k
escolhas para z. Logo, existem k^2 ternos da forma (k+1,y,z) nas
condições do enunciado.
Fazendo k variar de 1 a n, obtemos que o número total de ternos é:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.
 
Solução 2:

Os ternos (x,y,z) com x > y e x > z são de três tipos:
1. Ternos em que x > y > z
2. Ternos em que x > z > y
3. Ternos em que x > y = z.
Existem Binom(n+1,3) ternos dos tipos 1 e 2 e Binom(n+1,2) ternos
do tipo 3.
Logo, o número total de ternos é 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
n*(n+1)*(2n-2+3)/6 =
n*(n+1)*(2n+1)/6
 
Como ambas as soluções têm que dar o mesmo resultado...
 
***
 
Pra soma dos cubos, teríamos que considerar as quádruplas

ordenadas (x,y,z,w) de elementos de {1,2,...,n,n+1} tais que x >
y, x > z e x > w.
 
Na solução 2, os tipos básicos de quádrupla seriam:

1. x > y > z > w  (total de 6 permutações de y, z  e w)
Contribuição = 6*Binom(n+1,4)
2. x > y = z > w (total de 3)
Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
3. x > y > z = w (total de 3)
Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
4. x > y = z = w (total de 1)
Contribuição = Binom(n+1,2)
 
Total = 6*(Binom(n+1,4) + Binom(n+1,3)) + Binom(n+1,2) =

6*Binom(n+2,4) + Binom(n+1,2) =
6*(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24 + (n+1)*n/2 =
(n+1)*n/2 * ((n+2)*(n-1)/2 + 1) =
n*(n+1)/2 * (n^2 + n - 2 + 2)/2 =
n*(n+1)/2 * n*(n+1)/2 =
n^2*(n+1)^2/4
 
No entanto, será que o fato de ser:

1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2
não dá margem a alguma demonstração geométrica?
 
[]s,

Claudio.
 
*De:* 	[EMAIL PROTECTED]


*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br

*Cópia:*

*Data:* Mon, 8 May 2006 16:01:17 -0300

*Assunto:*  RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

> Vou olhar o seu blog assim que tiver tempo para uma avaliação
cuidadosa.
>
> Uma forma de se chegar aa formula para as potências p+1, p
inteiro, dos n
> primeiros inteiros positivos eh usar recorrecia. Sendo Bin(p,k) =
> p!/(k!*(n-k)*), k=0, 1,... p, temos pelo Binomio de Newton, temos:
>
> (n + 1)^p = n^p + p*n^(p-1) +Bin(p,k)n^k ...+ 1
> (n-1 +1)^p = (n-1)^p + p*(n-1)^(p-1) + Bin(p,k)(n-1)^k ...+ 1
> .
> .
> (1+ 1)^p n = 1 + p+ Bin(p,k)..+1
>
> Somando-se estas n igualdades e fazendo algumas transformacoes
algebricas um
> tanto bracais, obtemos a soma das potencias p conhecendo-se a
formula das
> potencias de ordem p-1,...1. Isto vai nos mostrar que a soma das
potencias p
> eh dada por um polinomio em n do grau p+1.
> Com um pouco de paciencia e muita atencao para nao errar, podemos
> generalizar este processo para obter a formula da soma das
potencias de
> ordem p dos n primeiros termos de uma progressao aritmetica.
>
> Uma vez provado que a soma desejada eh um polinomio de grau p+1
em n ( que
> pode ser feito por inducao em p), vc tambem pode chegar aos
coeficientes do
> polinomio atribuindo p+1 valores a n e resolvendo um sistema de
equacoes
> lineares. Tambem exige uma certa dose de paciencia.
>
> De forma simples, eh possivel demonstrar por inducao que S(n,3)
= (S(n,1))^2
> = (n*(n+1)/2)^2
>
> Artur
>
>
>
>
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Bruno Bonagura
> Enviada em: segunda-feira, 8 de maio de 2006 14:33
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Som

RES: RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

[Artur Costa Steiner]

Eu 
tambem acho que solucoes combinatorias sao mais bonitas. A igualdade (1+ 
2+n)^2 = 1^3 + 2^3 + n^3 sempre me fascinou. 
Serah 
que existye uma formula fechada para 1^p + 2^p=n^p para p 
real, p>=1?
Artur 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 9 de maio de 2006 
  10:40Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Somatorios de 
  potencias dos naturais
  Eu ainda prefiro uma demonstração combinatória.
   
  Problema: Quantos ternos ordenados (x,y,z) existem cujos elementos 
  pertencem a {1, 2, 3, ..., n, n+1} e são tais que x > y e x > z?
   
  Solução 1:
  Para x = k+1  (k em {1, 2, ..., n}), temos k escolhas para y e k 
  escolhas para z. Logo, existem k^2 ternos da forma (k+1,y,z) nas condições do 
  enunciado.
  Fazendo k variar de 1 a n, obtemos que o número total de ternos é:
  1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.
   
  Solução 2:
  Os ternos (x,y,z) com x > y e x > z são de três tipos:
  1. Ternos em que x > y > z
  2. Ternos em que x > z > y
  3. Ternos em que x > y = z.
  Existem Binom(n+1,3) ternos dos tipos 1 e 2 e Binom(n+1,2) ternos do tipo 
  3.
  Logo, o número total de ternos é 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
  2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
  n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
  n*(n+1)*(2n-2+3)/6 =
  n*(n+1)*(2n+1)/6
   
  Como ambas as soluções têm que dar o mesmo resultado...
   
  ***
   
  Pra soma dos cubos, teríamos que considerar as quádruplas ordenadas 
  (x,y,z,w) de elementos de {1,2,...,n,n+1} tais que x > y, x > z e x > 
  w.
   
  Na solução 2, os tipos básicos de quádrupla seriam:
  1. x > y > z > w  (total de 6 permutações de y, z  e 
  w)
  Contribuição = 6*Binom(n+1,4) 
  2. x > y = z > w (total de 3)
  Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
  3. x > y > z = w (total de 3)
  Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
  4. x > y = z = w (total de 1)
  Contribuição = Binom(n+1,2)
   
  Total = 6*(Binom(n+1,4) + Binom(n+1,3)) + Binom(n+1,2) =
  6*Binom(n+2,4) + Binom(n+1,2) =
  6*(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24 + (n+1)*n/2 =
  (n+1)*n/2 * ((n+2)*(n-1)/2 + 1) =
  n*(n+1)/2 * (n^2 + n - 2 + 2)/2 =
  n*(n+1)/2 * n*(n+1)/2 =
  n^2*(n+1)^2/4
   
  No entanto, será que o fato de ser:
  1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 
  não dá margem a alguma demonstração geométrica?
   
  []s,
  Claudio.
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Mon, 8 May 2006 
16:01:17 -0300
  
  


  Assunto:
  RES: [obm-l] 
Somatorios de potencias dos naturais
  > Vou olhar o seu blog assim que tiver tempo para uma avaliação 
  cuidadosa.
  > 
  > Uma forma de se chegar aa formula para as potências p+1, p inteiro, 
  dos n
  > primeiros inteiros positivos eh usar recorrecia. Sendo Bin(p,k) 
  =
  > p!/(k!*(n-k)*), k=0, 1,... p, temos pelo Binomio de Newton, 
  temos:
  > 
  > (n + 1)^p = n^p + p*n^(p-1) +Bin(p,k)n^k ...+ 1 
  > (n-1 +1)^p = (n-1)^p + p*(n-1)^(p-1) + Bin(p,k)(n-1)^k ...+ 1 
  > .
  > .
  > (1+ 1)^p n = 1 + p+ Bin(p,k)..+1
  > 
  > Somando-se estas n igualdades e fazendo algumas transformacoes 
  algebricas um
  > tanto bracais, obtemos a soma das potencias p conhecendo-se a 
  formula das
  > potencias de ordem p-1,...1. Isto vai nos mostrar que a soma das 
  potencias p
  > eh dada por um polinomio em n do grau p+1.
  > Com um pouco de paciencia e muita atencao para nao errar, 
  podemos
  > generalizar este processo para obter a formula da soma das potencias 
  de
  > ordem p dos n primeiros termos de uma progressao aritmetica. 
  > 
  > Uma vez provado que a soma desejada eh um polinomio de grau p+1 em n 
  ( que
  > pode ser feito por inducao em p), vc tambem pode chegar aos 
  coeficientes do
  > polinomio atribuindo p+1 valores a n e resolvendo um sistema de 
  equacoes
  > lineares. Tambem exige uma certa dose de paciencia. 
  > 
  > De forma simples, eh possivel demonstrar por inducao que S(n,3) = 
  (S(n,1))^2
  > = (n*(n+1)/2)^2
  > 
  > Artur
  > 
  > 
  > 
  > 
  > -Mensagem original-
  > De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]
  > nome de Bruno Bonagura
  > Enviada em: segunda-feira, 8 de maio de 2006 14:33
  > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  > Assunto: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
  > 
  > 
  > Olá pessoal,
  > 
  > Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua 
  
  > fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal 
  
  > fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava 
  frequentemente 
  > no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns 
  
  > fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre 
  que 
  > era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que 
  
  > utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muita 
  
  > atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela

RES: RES: [obm-l] Progressoes II

[Artur Costa Steiner]

Vc tem 
que
 (a -r1) * (b - 
r2) = p1
a*b = 
p2
(a+r1)*(b+r2) = 
p3
 
Somando estas 3 
equacoes, com um pouco de algebra chegamos a que 3a*b + 2r1*r2 = p1 + p2 + 
p3 = S  => r1*r2 = (S - 3p2)/2
 
Sejam x_n e y_n os termos e ordem n, n=1,2,3... de cada 
uma das duas PAs. Convencionamos que x_2 = a e que y_2 = b. Pelas formulas das 
PAs, 
x_n = a + (n-2)*r1 e 
y_n = b +(n-2)*r2. Logo, p_n = x_n * y_n = a*b + a*(n-2)*r2 + b*(n-2)*r1 
+(n-2)^2*r1*r2 = p2 + (n-2)*(a*r2 + b*r1) +  (S - 3p2)/2) * 
(n-2). Na expressao de p_n, soh nao conhecemos ate agora  (a*r2 + b*r1) 
.
 
Mas temos que (a+ 
r1)*(b+r2) = p3 => a*b + a*r2 + b*r1 + r1*r2 = p3  =>  .*r2 + 
b*r1 = p3 -  r1*r2 - a*b. Como conhecemos p3, r1*r2 e a*b, agora temos tudo 
conhecido para calculra p_n.  Podemos substituir na expressao de p_n e 
obte-lo em funcao de p1, p2 e p3, soh que dah um certo trabalho 
algebrico.
 
No caso, n =8. S = 
1440 + 1716 + 1848, etc. Eh soh substituir.
 
Artur
 
 
 -Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Klaus FerrazEnviada 
em: terça-feira, 21 de fevereiro de 2006 18:50Para: 
obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: RES: [obm-l] Progressoes 
II
Nao entendi Artur. Será que poderia esclarecer melhor. Tipo, 
  aplicando no exercicio. Grato.Artur Costa Steiner 
  <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
  

Soh uma dica, jah que isto dah um certo trabalho algebrico. Sejam p1, 
p2 e p3 os 3 primeiros termos da sequencia dos produtos. Sejam a e 
 b os termos de ordem 2 de cada uma das PAs. Sejam ainda r1 e r2 as 
razoes de cada uma delas. Coloque p1 , p2 e p3 em em funcao de a, b , 
r1 e r2. Somando as expressoes, vc vai chegar a que 3ab + 2r1*r2 = p1 + p2 
+p3 = S. Mas ab = p2, de modo que ab e r1*r2 estal 
determinados. 
Observe pelas formulas de PAs que, para qualquer n, p_n pode ser 
determinado conhecendo-se ab, r1*r2 e a*r2 + b*r1. Os 2 primeiros estao 
determinados, O ultimo pode ser determinado considerando-se que (a+ 
r1)*(b+r2) = p3.
Artur

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome 
  de Klauus FerrazEnviada em: segunda-feira, 20 de fevereiro 
  de 2006 20:17Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: 
  [obm-l] Progressoes II
  Os termos correspondentes de duas progressoes aritmeticas sao 
  multiplicados e geram a sequencia 1440,1716,1848... . Determine o oitavo 
  termo dessa sequencia.
  348
  
  
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RE: RES: RES: [obm-l] Mat Lab

[LEANDRO L RECOVA]

Para fazer a simulacao, voce pode fazer o seguinte:

a=1;  %Voce pode mudar os valores quando quiser
b=1;
x=[-10:0.1:10]; %Exemplo para criar um intervalo de -10 a 10 com divisoes de 
0.1.

c1=(a+b)/2;
c2=(a-b)/2;
y=c1*exp(.x)+c2*exp(-.x); %Nao esqueca o ponto antes do x pois ele cria um 
vetor y

  % do tamanho de x.
plot(x,y);title('Simulacao de EDO');
xlabel('x');ylabel(y);

Qualquer coisa, mande um email.

Agora, se voce quiser resolver equacoes diferenciais no MATLAB, de uma 
olhada no HELP nos metodos de Runge Kuta.


Leandro.



From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RES: RES: [obm-l] Mat Lab
Date: Thu, 19 Jan 2006 12:15:43 -0200

Ah OK. Infelizmente, nao conheco o Mat Lab

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fabiodjalma
Enviada em: quarta-feira, 18 de janeiro de 2006 16:02
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Mat Lab


Artur, muito obrigado pela ajuda mas isso eu sei fazer. O que eu não sei é
utilizar o Mat Lab para resolvê-la. Gostaria de simular as soluções para
diversos valores de a e b.
Grande abraço.


Em (15:02:31), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:


>Esta eh uma equacao diferencial linear homogenea. Sua equacao resovente 
eh

>r^2 - 1 = 0, cujas raizes sao 1 e -1, logo reais. Assim, y = c1*e^x +
>c2*e^(-x), sendo c1 e c2 constantes a determinar.
>
>Da condicao inicial, temos c1 + c2 = a. Como y' = c1*e^x - c2*e^(-x), 
temos


>da condicao de contorno que c1 - c2 = b. Daih, c1 = (a+b)/2 e c2 = 
(a-b)/2.


>
>Artur
>
>-Mensagem original-
>De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>nome de fabiodjalma
>Enviada em: quarta-feira, 18 de janeiro de 2006 12:14
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto: [obm-l] Mat Lab
>
>Sou praticamente zerado no uso do MATLAB.
>Alguém poderia me ensinar a resolver equações diferenciais com essa
>ferramenta?
>Preciso resolver y" - y = 0, com y(0) = a e y'(0) = b.
>Grato.
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>
>--



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: RES: [obm-l] Mat Lab

[Artur Costa Steiner]

Ah OK. Infelizmente, nao conheco o Mat Lab

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fabiodjalma
Enviada em: quarta-feira, 18 de janeiro de 2006 16:02
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Mat Lab


Artur, muito obrigado pela ajuda mas isso eu sei fazer. O que eu não sei é 
utilizar o Mat Lab para resolvê-la. Gostaria de simular as soluções para 
diversos valores de a e b. 
Grande abraço. 


Em (15:02:31), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


>Esta eh uma equacao diferencial linear homogenea. Sua equacao resovente eh 
>r^2 - 1 = 0, cujas raizes sao 1 e -1, logo reais. Assim, y = c1*e^x + 
>c2*e^(-x), sendo c1 e c2 constantes a determinar. 
> 
>Da condicao inicial, temos c1 + c2 = a. Como y' = c1*e^x - c2*e^(-x), temos

>da condicao de contorno que c1 - c2 = b. Daih, c1 = (a+b)/2 e c2 = (a-b)/2.

> 
>Artur 
> 
>-Mensagem original- 
>De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
>nome de fabiodjalma 
>Enviada em: quarta-feira, 18 de janeiro de 2006 12:14 
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
>Assunto: [obm-l] Mat Lab 
> 
>Sou praticamente zerado no uso do MATLAB. 
>Alguém poderia me ensinar a resolver equações diferenciais com essa 
>ferramenta? 
>Preciso resolver y" - y = 0, com y(0) = a e y'(0) = b. 
>Grato. 
> 
>= 
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>= 
> 
>-- 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l

[Claudio Buffara]

Title: Re: RES: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l



Nao eh acaso, nao! O que voce fez foi essencialmente a mesma coisa que eu.
Se a opcao nao valesse 19,444 haveria uma possibilidade de arbitragem.

[]s,
Claudio.

on 05.11.05 14:04, José Diogo Barbosa at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Cláudio 

 

Não sei se por acaso (imagino que não), o seu raciocínio te levou a dar o mesmo preço que eu dei pra opção: 19,4 

 

Isto é,  C=((H - K)/(H - L))*(S - L/(1+i))= 19,444 

 

Com H=200 

K=150 

L=50 

S=100 

  E tx de juros= 0,20 

 

Abraço 

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Claudio Buffara
Enviada em: sábado, 5 de novembro de 2005 10:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l 
 

OK. Entao aqui vai, jah com desculpas pelo meio-off-topic.

Consideremos o caso de uma opcao de compra com 1 ano de prazo, preco de exercicio = K, sobre um ativo que hoje vale S e, daqui a um ano, vai valer:
H, com probabilidade p   ou   L, com probabilidade 1-p    (L < H)

Isso significa que a opcao dah a seu titular o direito de adquirir o ativo pelo preco K dentro de 1 ano - o caso de interesse eh, naturalmente, quando L < K < H. 
Ou seja, se daqui a um ano o ativo valer H, o titular receberah H - K (ele exercerah a opcao, adquirindo o ativo por K e, imediatamente, poderah vender o ativo no mercado, recebendo H - se ele resolver nao ficar com o ativo, ele estrarah correndo um outro risco, o qual nao tem nada a ver com a opcao). Mas se o ativo valer H, ele nao receberah nem pagarah nada.  

Para nao haver arbitragem (ou seja, lucro garantido com risco zero - algo que nao pode acontecer num mercado verdadeiramente eficiente, coisa que nenhum eh de fato!), a seguinte relacao deve ser satisfeita: L < S(1+i) < H, onde i = taxa de juros (suposta constante ao longo do ano).  Pergunta pra voce: por que essa relacao deve valer?

Nesse caso, talvez o mais surpreendente eh que o valor da opcao nao depende de p.
O que depende de p, dados H e L, eh justamente o preco a vista S.
Supondo que o mercado eh avesso a risco (o que me parece razoavel), a seguinte relacao deve prevalecer:
S < (H*p + L*(1-p))/(1+i), de modo que a rentabilidade esperada do ativo serah:
(H*p + L*(1-p))/S - 1  > i = taxa de juros de uma aplicacao sem risco

No entanto, o mercado, se for eficiente, soh exige premio de risco (ou seja, uma rentabilidade acima da taxa de juros sem risco) de um dado ativo quando este risco nao for diversificavel.

No caso das opcoes, o risco eh totalmente diversificavel, uma vez que eh possivel construir uma carteira de investimentos composta do ativo-objeto da opcao e de um emprestimo, cujo fluxo de caixa eh exatamente igual ao do ativo. Logo, para nao haver arbitragem a carteira deve valer a mesma coisa que a opcao.

Assim, um investidor que vende a opcao e compra esta carteira nao terah risco algum e, portanto, nao deveria ter lucro algum.

O valor da opcao eh facil de calcular:

Na data inicial, o investidor vende a opcao de compra, arrecadando C, toma um emprestimo de B reais a juro i, e compra n unidades do ativo-objeto.
Logo, seu fluxo de caixa eh igual a C + B - n*S

Na data final: 
1) se o ativo valer H, o investidor pagarah H - K ao comprador da opcao, B*(1+i) ao banco, e receberah n*H pelo ativo

2) se o ativo valer L, o investidor nao pagarah nada ao comprador da opcao, pagarah B*(1+i) ao banco e receberah n*L pelo ativo.
(estou supondo que L < K < H)

Se quisermos zerar o fluxo de caixa na data final, teremos que escolher n e B de modo que:
n*H - (H-K) - B*(1+i) = 0
e
n*L - B*(1+i) = 0.

Resolvendo para n e B, obtemos:
n = (H - K)/(H - L)   e   B = ((H - K)/(H - L))*L/(1+i)

Se o fluxo de caixa no fim for zero em qualquer cenario, entao o fluxo de caixa inicial serah tambem 0, ou seja, dados n e B solucoes do sistema acima, teremos: 
C = n*S - B = ((H - K)/(H - L))*(S - L/(1+i))

[]s,
Claudio.

on 05.11.05 03:29, José Diogo Barbosa at [EMAIL PROTECTED] wrote: 

Olá cláudio 

Gostaria de ver a resposta certa desse problema! Se puder manda pra gente. Acho a resposta do artur muito boa também. Do arthur  muito boa também! Se vc puder mostrar onde errei, vou agradecer 

ps: quase nunca me manifesto9 na lista, mas fico acampando e e sei a sua importância. 

Abraços 



 

RES: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l

[José Diogo Barbosa]

Title: Re: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l








Cláudio

 

Não sei se por acaso (imagino que não), o
seu raciocínio te levou a dar o mesmo preço que eu dei pra opção: 19,4

 

Isto é,  C=((H - K)/(H -
L))*(S - L/(1+i))= 19,444

 

Com H=200

K=150

L=50

S=100

  E tx de juros= 0,20

 

Abraço

 









De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de Claudio Buffara
Enviada em: sábado, 5 de novembro
de 2005 10:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Economia
na lista obm-l



 

OK. Entao aqui vai, jah
com desculpas pelo meio-off-topic.

Consideremos o caso de uma opcao de compra com 1 ano de prazo, preco de
exercicio = K, sobre um ativo que hoje vale S e, daqui a um ano, vai valer:
H, com probabilidade p   ou   L, com probabilidade 1-p
   (L < H)

Isso significa que a opcao dah a seu titular o direito de adquirir o ativo pelo
preco K dentro de 1 ano - o caso de interesse eh, naturalmente, quando L < K
< H. 
Ou seja, se daqui a um ano o ativo valer H, o titular receberah H - K (ele
exercerah a opcao, adquirindo o ativo por K e, imediatamente, poderah vender o
ativo no mercado, recebendo H - se ele resolver nao ficar com o ativo, ele
estrarah correndo um outro risco, o qual nao tem nada a ver com a opcao). Mas
se o ativo valer H, ele nao receberah nem pagarah nada.  

Para nao haver arbitragem (ou seja, lucro garantido com risco zero - algo que
nao pode acontecer num mercado verdadeiramente eficiente, coisa que nenhum eh
de fato!), a seguinte relacao deve ser satisfeita: L < S(1+i) < H, onde i
= taxa de juros (suposta constante ao longo do ano).  Pergunta pra voce:
por que essa relacao deve valer?

Nesse caso, talvez o mais surpreendente eh que o valor da opcao nao depende de
p.
O que depende de p, dados H e L, eh justamente o preco a vista S.
Supondo que o mercado eh avesso a risco (o que me parece razoavel), a seguinte
relacao deve prevalecer:
S < (H*p + L*(1-p))/(1+i), de modo que a rentabilidade esperada do ativo
serah:
(H*p + L*(1-p))/S - 1  > i = taxa de juros de uma aplicacao sem risco

No entanto, o mercado, se for eficiente, soh exige premio de risco (ou seja,
uma rentabilidade acima da taxa de juros sem risco) de um dado ativo quando
este risco nao for diversificavel.

No caso das opcoes, o risco eh totalmente diversificavel, uma vez que eh
possivel construir uma carteira de investimentos composta do ativo-objeto da
opcao e de um emprestimo, cujo fluxo de caixa eh exatamente igual ao do ativo.
Logo, para nao haver arbitragem a carteira deve valer a mesma coisa que a
opcao.

Assim, um investidor que vende a opcao e compra esta carteira nao terah risco
algum e, portanto, nao deveria ter lucro algum.

O valor da opcao eh facil de calcular:

Na data inicial, o investidor vende a opcao de compra, arrecadando C, toma um
emprestimo de B reais a juro i, e compra n unidades do ativo-objeto.
Logo, seu fluxo de caixa eh igual a C + B - n*S

Na data final: 
1) se o ativo valer H, o investidor pagarah H - K ao comprador da opcao,
B*(1+i) ao banco, e receberah n*H pelo ativo

2) se o ativo valer L, o investidor nao pagarah nada ao comprador da opcao,
pagarah B*(1+i) ao banco e receberah n*L pelo ativo.
(estou supondo que L < K < H)

Se quisermos zerar o fluxo de caixa na data final, teremos que escolher n e B
de modo que:
n*H - (H-K) - B*(1+i) = 0
e
n*L - B*(1+i) = 0.

Resolvendo para n e B, obtemos:
n = (H - K)/(H - L)   e   B = ((H - K)/(H - L))*L/(1+i)

Se o fluxo de caixa no fim for zero em qualquer cenario, entao o fluxo de caixa
inicial serah tambem 0, ou seja, dados n e B solucoes do sistema acima,
teremos: 
C = n*S - B = ((H - K)/(H - L))*(S - L/(1+i))

[]s,
Claudio.

on 05.11.05 03:29, José Diogo Barbosa at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

Olá cláudio 

Gostaria
de ver a resposta certa desse problema! Se puder manda pra gente. Acho a
resposta do artur muito boa também. Do arthur  muito boa também! Se vc
puder mostrar onde errei, vou agradecer 

ps:
quase nunca me manifesto9 na lista, mas fico acampando e e sei a sua
importância. 

Abraços





 

RES: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada

[Artur Costa Steiner]

Mais 
uma aparicao!
 
Eu 
tambem fui por esta linha da funcao potencia e cheguei na razao aurea, mas nao 
cheguei a concluir.
 
Serah 
que esta eh a unica funcao?
 
Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 26 de outubro de 2005 
  12:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: RES: [obm-l] inversa = 
  derivada
  Eu supuz f(x) da forma ax^b, com a e b positivos.
   
  Nesse caso, f^(-1)(x) = (x/a)^(1/b)  e  f'(x) = 
abx^(b-1).
   
  Igualando coeficientes e expoentes, eu achei:
  1/a^(1/b) = ab e 1/b = 
  b-1  ==>
  a = 1/b^(1/(1+1/b)) = 1/b^(1/b)   e    b^2 
  - b - 1 = 0
   
  Como b > 0, só pode ser b = (1+raiz(5))/2.
   
  Assim, f:(0,+inf) -> (0,+inf) dada por: 
  f(x) = ax^b, com  b = (1+raiz(5))/2   e   a = 
  1/b^(1/b) é tal que:
  f^(-1)(x) = f'(x) para cada x em (0,+inf).
   
  Mais uma aparição (inusitada ?) da razão áurea...
   
  ***
   
  O problema geral, de resolver a equação diferencial f'(x) = f^(-1)(x) em 
  (0,+inf), me parece mais complicado.
   
  []s,
  Claudio.
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Wed, 26 Oct 2005 
10:29:51 -0200
  
  

    
      Assunto:
  RES: RES: [obm-l] 
inversa = derivada
  
  > Assim, talvez 
  exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma 
  como definida abaixo,  tem que ser estritamente crescente. Isto implica 
  que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' 
  existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em 
  todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh 
  diferenciavel em (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf). Assim, 
  uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada 
  segunda exista em (0, + inf).  Nao que isso ajude 
  muito..
  >  
  > Artur
  >  
  >  
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 
19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = 
derivada
> Mudemos o enunciado:
>  
> Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) -> 
(0,+inf) tal que:
> f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf).
>  
> É possível achar todas as f com esta propriedade?
>  
> []s,
> Claudio.

RES: RES: [obm-l] inversa = derivada

[Artur Costa Steiner]

Assim, talvez 
exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como 
definida abaixo,  tem que ser estritamente crescente. Isto implica que 
f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e 
nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o 
intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh 
diferenciavel em (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf). Assim, 
uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada 
segunda exista em (0, + inf).  Nao que isso ajude 
muito..
 
Artur
 
 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 
  19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = 
  derivada
  Mudemos o enunciado:
   
  Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) -> (0,+inf) tal 
  que:
  f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf).
   
  É possível achar todas as f com esta propriedade?
   
  []s,
  Claudio.

RES: RES: [obm-l] Probabilidade

[Artur Costa Steiner]

A história daquela Sra e do sal, eu nao 
entendi nao... Poderia explicar melhor?  Vou tentar a da funcao, que parece 
mais facil.
 
(a) Se c =0, entao g eh constante e 
f(x) = x + C para alguma constante C. Segue-se automaticamente que f eh 
bijetora. Supondo-se c em (0, 1), admitamos que em I existam x e y 
distintos tais que f(x) = f(y). Entao, x + g(x) = y + g(y) => |g(x) - 
g(y)| = |x- y|. Como g eh Lipschitz, temos que |x - y| <=  c|x -y|. Como 
x e y sao distintos, concluimos que c>=1, contrariamente aa hipotese. Logo, f 
eh uma injecao de I sobre f(I). E como todo elemento de f(I) eh, por 
definicao, imagem de algum x de I, segue-se que f eh uma bijecao enter I e 
f(I).
 
(b) Se c = 0, entao f(x) = x + C ea 
conclusao eh trivialmente verificada. Se c >0, jah foi demonstrado aqui, 
 ha pouco tempo, que, como g eh Lipschitz com constante c e diferenciavel 
em I, entao |g'(x| <= c para todo x de I.   Como f'(x) = 1 + g'(x) 
e  0 < c < 1, temos que f' eh estritamente positiva em I (o que 
implica que f seja esritamente crecente em I). Por ser bijecao, f tem uma 
inversa f^(-1) e, como f' nao se anula em I e eh continua, um resultado classico 
da Analise diz que f^(-1) existe em I.  
 

(c) Suponhamos que I = R. Se c= 0 , 
entao f(x) = x + C e a conclusao eh imediata. Se c estiver em (0,1) entao, para 
todo real x, temos que |g(x) - g(0)| < = c|x|. de modo que |g(x| <= |g(0| 
+ c|x|. Para x>0, temos entao que f(x) = x + g(x) >= x -|g(0)| -c|x| = 
-|g(0)| + (1-c)*x. .Como c esta em (0,1), 1-c >0 e, aumentando x, podemos 
tornar f arbitrariamente grande. De modo similar, fazendo x -> -oo podemos 
faxer f(x) -> -oo. Como f eh continuaem R, pois g que eh  Lipscitz e a 
funcao identidade sao continuas, temos que f(I) = R.   
 
 
Artur 
 
 
 
 -Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 18 de outubro de 2005 
20:15Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] 
Probabilidade

   
  Sejam I um intervalo aberto de R, c um real em [0,1) e g: I -> R tal 
  que:
  |g(x) - g(y)| <= c|x - y| para quaisquer x e y em I.
  Seja f: I -> R dada por f(x) = x + g(x).
   
  a) Prove que f é uma bijeção entre I e J = f(I) = intervalo aberto de 
  R.
   
  b) Prove que se g é continuamente diferenciável, então f é um 
  difeomorfismo (bijeção diferenciável com inversa diferenciável) entre I e 
  J.
   
  c) Prove que se I = R, então J = R.
   
  []s,
  Claudio.

Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Demetrio Freitas]

Olá,

O resultado que eu estava procurando é o teorema de
Mittag-Leffler. Ainda não achei uma demonstração.
Alguém conhece uma on-line?


http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflersPartialFractionsTheorem.html

http://planetmath.org/encyclopedia/MittagLefflersTheorem.html

[]´s Demetrio




--- Demetrio Freitas
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

> 
> --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
> 
> > É para aprender mais do que para qualquer outra
> > coisa.
> >  
> > > (*)A propósito, qual é a prova de que toda
> função
> > > meromórfica tem expensão em frações parciais??
> > Estou
> > > (quase) certo de que isso é verdade, mas não
> > conheço a
> > > prova... Acho até que vale para toda função
> > analítica.
> > 
> > Não sei direito qual é o enunciado do que você
> está
> > tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
> > exemplo,
> > você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
> > (e^z - 1)/z
> > é inteira. É este tipo de decomposição que você
> quer
> > provar
> > que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
> > redor de qq polo)?
> > Se for, isto segue diretamente da série de
> > Taylor-Laurent.
> > Ou será que você está falando de coisas tipo a
> série
> > abaixo:
> > 
> > tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
> > (1/(z+((2k-1)*pi/2))) 
> > 
> 
> Boa tarde professor Nicolau,
> 
> Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_
> Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora
> num
> primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
> possível incluí-las também).
> 
> Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não
> é
> restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo
> me
> explicar um pouco melhor. 
> 
> É bem conhecido que se pode obter este tipo de
> expressão (uma decomposição em funções parciais) 
> para
> funções racionais. Isso é uma consequência do
> teorema
> fundamental da álgebra, já você pode escrever o
> denominador na forma produto de raízes e depois
> decompô-lo em cada pólo. Ex:
> 
> f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
> =1+1/(x-1)-1/(x+1)
> 
> Então, neste aspecto o teorema fundamental da
> álgebra
> diz o seguinte: "funções racionais são univocamente
> caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos"
> (Acho até que só pelos pólos, considerando que para
> caracterizar o pólo seja necessário localização,
> multiplicidade e resíduos).
> 
> Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função
> racional
> é completamente caracterizada pelas suas
> singularidades.   O fato de você poder obter uma
> decomposição em frações parciais é consequência
> disso.
> 
> 
> Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
> afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
> menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
> pelo menos para funções trigonométricas e
> hiperbólicas.  Exemplos:
> 
> sec(x) = SOMA_{k=1,2,...}
> (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
> - 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))
> 
> sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
> (-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))
> 
> cotan(x) = 1/x
> +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))
> 
> csc(x)^2 = 1/x^2
> +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)
> 
> (cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
> = SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)
> 
> etc...
> 
> Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
> função e que pode obter-se uma expansão em frações
> parciais  com os pólos vale para racionais,
> trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
> é: será que vale para todas as meromórficas???!
> 
> Não sei se eu consegui explicar direito, e
> naturalmente   existe a possibilidade que eu tenha
> me
> perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
> pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
> coisa, boto na lista.
> 
> []´s Demétrio
> 
>  
> 
> > (espero ter acertado)
> > Este tipo de expressão não é um caso particular de
> > um teorema geral,
> > é uma propriedade especial de uma função especial
> > (no caso, tan).
> 
> 
> > 
> > []s, N.
> > 
> > []s, N.
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
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> > 
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Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Demetrio Freitas]

--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> É para aprender mais do que para qualquer outra
> coisa.
>  
> > (*)A propósito, qual é a prova de que toda função
> > meromórfica tem expensão em frações parciais??
> Estou
> > (quase) certo de que isso é verdade, mas não
> conheço a
> > prova... Acho até que vale para toda função
> analítica.
> 
> Não sei direito qual é o enunciado do que você está
> tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
> exemplo,
> você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
> (e^z - 1)/z
> é inteira. É este tipo de decomposição que você quer
> provar
> que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
> redor de qq polo)?
> Se for, isto segue diretamente da série de
> Taylor-Laurent.
> Ou será que você está falando de coisas tipo a série
> abaixo:
> 
> tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
> (1/(z+((2k-1)*pi/2))) 
> 

Boa tarde professor Nicolau,

Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_
Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora num
primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
possível incluí-las também).

Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não é
restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo me
explicar um pouco melhor. 

É bem conhecido que se pode obter este tipo de
expressão (uma decomposição em funções parciais)  para
funções racionais. Isso é uma consequência do teorema
fundamental da álgebra, já você pode escrever o
denominador na forma produto de raízes e depois
decompô-lo em cada pólo. Ex:

f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
=1+1/(x-1)-1/(x+1)

Então, neste aspecto o teorema fundamental da álgebra
diz o seguinte: "funções racionais são univocamente
caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos"
(Acho até que só pelos pólos, considerando que para
caracterizar o pólo seja necessário localização,
multiplicidade e resíduos).

Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função racional
é completamente caracterizada pelas suas
singularidades.   O fato de você poder obter uma
decomposição em frações parciais é consequência disso.


Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
pelo menos para funções trigonométricas e
hiperbólicas.  Exemplos:

sec(x) = SOMA_{k=1,2,...} (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
- 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))

sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
(-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))

cotan(x) = 1/x
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))

csc(x)^2 = 1/x^2
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)

(cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
= SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)

etc...

Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
função e que pode obter-se uma expansão em frações
parciais  com os pólos vale para racionais,
trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
é: será que vale para todas as meromórficas???!

Não sei se eu consegui explicar direito, e
naturalmente   existe a possibilidade que eu tenha me
perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
coisa, boto na lista.

[]´s Demétrio

 

> (espero ter acertado)
> Este tipo de expressão não é um caso particular de
> um teorema geral,
> é uma propriedade especial de uma função especial
> (no caso, tan).


> 
> []s, N.
> 
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Oct 13, 2005 at 10:49:00PM +, Demetrio Freitas wrote:
> Eu me sinto meio desconfortável quando vc  expressa
> uma função meromórfica e diz que ela não está definida
> nas singularidades, ou pior, que os pólos estão fora
> do domínio. Tudo bem, isto significa que você não pode
> usar a mesma definição usada nos demais pontos para
> calcular a função naquele ponto. Ou que a função não é
> limitada na vizinhança do ponto. Mas vcs não acham que
> isso parece induzir a pensar que esses pontos não são
> de interesse na definição da função? 
> 
> Não sei se eu estou conseguindo me expressar direito.
> Eu quero dizer apenas que acho a linguagem inadequada,
> já que no caso de uma função meromórfica as
> singularidades (e zeros) não só importam, mas de fato
> definem a função(*). Acho inclusive que não há
> definição mais informativa para uma função que a sua
> decomposição em frações parciais, que exatamente usa
> as singularidades.

Como você mesmo diz, isto é uma questão de linguagem.
Podemos, por exemplo, definir a função

tan: C - A -> C, A = {(2k+1)*pi/2, k em Z}

mas podemos igualmente bem definir

tan: C -> C U {infinito}, a esfera de Riemann.

Tecnicamente a segunda é uma extensão da primeira.
 
> []´s Demétrio
> 
> Perdão se eu estou dizendo muita bobagem. Além de não
> ser matemático, eu também não sei matemática.  Mas
> creio que lista também é pra tentar aprender... 

É para aprender mais do que para qualquer outra coisa.
 
> (*)A propósito, qual é a prova de que toda função
> meromórfica tem expensão em frações parciais?? Estou
> (quase) certo de que isso é verdade, mas não conheço a
> prova... Acho até que vale para toda função analítica.

Não sei direito qual é o enunciado do que você está
tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por exemplo,
você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) = (e^z - 1)/z
é inteira. É este tipo de decomposição que você quer provar
que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao redor de qq polo)?
Se for, isto segue diretamente da série de Taylor-Laurent.
Ou será que você está falando de coisas tipo a série abaixo:

tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) + (1/(z+((2k-1)*pi/2))) 

(espero ter acertado)
Este tipo de expressão não é um caso particular de um teorema geral,
é uma propriedade especial de uma função especial (no caso, tan).

[]s, N.

[]s, N.
=
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Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Demetrio Freitas]

Bem, parece que eu perdi uma boa oportunidade de ficar
quieto... Ainda sim, parece que agora vou perder
outra... Só que vou mudar o assunto. 

Eu me sinto meio desconfortável quando vc  expressa
uma função meromórfica e diz que ela não está definida
nas singularidades, ou pior, que os pólos estão fora
do domínio. Tudo bem, isto significa que você não pode
usar a mesma definição usada nos demais pontos para
calcular a função naquele ponto. Ou que a função não é
limitada na vizinhança do ponto. Mas vcs não acham que
isso parece induzir a pensar que esses pontos não são
de interesse na definição da função? 

Não sei se eu estou conseguindo me expressar direito.
Eu quero dizer apenas que acho a linguagem inadequada,
já que no caso de uma função meromórfica as
singularidades (e zeros) não só importam, mas de fato
definem a função(*). Acho inclusive que não há
definição mais informativa para uma função que a sua
decomposição em frações parciais, que exatamente usa
as singularidades.

[]´s Demétrio

Perdão se eu estou dizendo muita bobagem. Além de não
ser matemático, eu também não sei matemática.  Mas
creio que lista também é pra tentar aprender... 

(*)A propósito, qual é a prova de que toda função
meromórfica tem expensão em frações parciais?? Estou
(quase) certo de que isso é verdade, mas não conheço a
prova... Acho até que vale para toda função analítica.

  



--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> Mas este nao eh um exemplo. A menos de x = p, onde
> nao eh definida, a sua
> funca eh continua em todos so reais.
> 
> Vc teria que dar exemplo de uma funcao que fosse
> continua em todos os
> racionais e desccontinua nos irracionais. Mas, pelas
> propriedades dos
> espacos de Baire, caso de R, esta funcao nao existe.
> Isto eh consequencia
> dos seguinte fatos: o conjunto dos pontos de
> continuidade de uma funcao com
> valores em R eh um G-delta (eh dado pela interseccao
> de uma colecao
> enumeravel de conjuntos abertos); o conjunto dos
> racionais nao eh um
> G-delta. 
> 
> Artur
> 
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Demetrio Freitas
> Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005
> 14:20
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior
> Vazio
> 
> 
> Olá Artur,
> 
> Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
> 1/(x-p)^2,
> com p um número irracional. O único ponto onde f(x)
> não é analítica é p. Embora ela cresça
> indefinidamente
> nos racionais também, não atinge a singularidade.
> Isto
> é, se adotarmos como definição de continuidade que
> f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos
> racionais e descontinua no irracionais. Também os
> limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de
> p. Porém apesar de continua, f(x) também não é
> limitada nos racionais...   
> 
> []´s Demétrio
> 
> --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
> >  Agora, eu quero ver alguem
> > dar um exemplo de funcao
> > continua nos racionais e descontinua nos
> > irracionais.
> >  
>  
> > 
> > ]  -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED]
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> > claudio.buffara
> > Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
> > 22:53
> > Para: obm-l
> > Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> > 
> > 
> > 
> > Oi, pessoal:
> >  
> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto
> > denso em R e de medida nula.
> > Isso me lembrou de outro problema parecido:
> >  
> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
> > positiva e interior vazio.
> >  
> > Outros dois bonitinhos são: 
> > Dê um exemplo de função real contínua nos
> > irracionais e descontínua nos
> > racionais.
> > e
> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em
> todo
> > ponto, tal que f'(0) >
> > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
> > contendo a origem.
> >  
> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote
> > estala quando é usado?
> >  
> > []s,
> > Claudio.
> >  
> > 
> > 
> 
> 
> 
> 
> 
>   
> 
> 
> 
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RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Artur Costa Steiner]

Mas este nao eh um exemplo. A menos de x = p, onde nao eh definida, a sua
funca eh continua em todos so reais.

Vc teria que dar exemplo de uma funcao que fosse continua em todos os
racionais e desccontinua nos irracionais. Mas, pelas propriedades dos
espacos de Baire, caso de R, esta funcao nao existe. Isto eh consequencia
dos seguinte fatos: o conjunto dos pontos de continuidade de uma funcao com
valores em R eh um G-delta (eh dado pela interseccao de uma colecao
enumeravel de conjuntos abertos); o conjunto dos racionais nao eh um
G-delta. 

Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Demetrio Freitas
Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio


Olá Artur,

Não sei se vale esta, mas considere f(x) = 1/(x-p)^2,
com p um número irracional. O único ponto onde f(x)
não é analítica é p. Embora ela cresça indefinidamente
nos racionais também, não atinge a singularidade. Isto
é, se adotarmos como definição de continuidade que
f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos
racionais e descontinua no irracionais. Também os
limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de
p. Porém apesar de continua, f(x) também não é
limitada nos racionais...   

[]´s Demétrio

--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
>  Agora, eu quero ver alguem
> dar um exemplo de funcao
> continua nos racionais e descontinua nos
> irracionais.
>  
 
> 
> ]  -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> claudio.buffara
> Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
> 22:53
> Para: obm-l
> Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> 
> 
> 
> Oi, pessoal:
>  
> Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto
> denso em R e de medida nula.
> Isso me lembrou de outro problema parecido:
>  
> Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
> positiva e interior vazio.
>  
> Outros dois bonitinhos são: 
> Dê um exemplo de função real contínua nos
> irracionais e descontínua nos
> racionais.
> e
> Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo
> ponto, tal que f'(0) >
> 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
> contendo a origem.
>  
> No mais, alguém já descobriu por que um chicote
> estala quando é usado?
>  
> []s,
> Claudio.
>  
> 
> 











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RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Artur Costa Steiner]

basta 
tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh fechado, tem 
interior vazio e medida infinita
Artur
 
 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 
  14:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva 
  e Interior Vazio
  E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal 
  conjunto seja fechado?
   
  []s,
  Claudio.
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Thu, 13 Oct 2005 
12:13:18 -0300
  
  


  Assunto:
  RES: [obm-l] Medida 
Positiva e Interior Vazio
  
  > Na realidade, 
  nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R 
  mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
  >  
  > Um conjunto 
  com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos 
  medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 
  1.
  >  
  > A funcao de 
  Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se 
  x for irracional,  f(x) =1 /n se x = m/n  for racional, 
  m e n>0 primos entre si.  Agora, eu quero ver alguem dar um 
  exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos 
  irracionais.
  >  
  > Considremos 
  agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. 
  Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 
  + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
  > Temos 
  que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo 
  aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores 
  -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma 
  infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum 
  destes intervalos.
  >  
  > Isto 
  ilustra que f'(a) >0)  nao eh condicao suficiente para que 
  a  seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a  eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de 
  a na qual f seja crescente.
  >  
  > Artur 
  > ]  -Mensagem 
  original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 
  22:53Para: obm-lAssunto: [obm-l] Medida Positiva e 
  Interior Vazio
  
> Oi, pessoal:
>  
> Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de 
medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
>  
> Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior 
vazio.
>  
> Outros dois bonitinhos são: 
> Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e 
descontínua nos racionais.
> e
> Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal 
que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a 
origem.
>  
> No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é 
usado?
>  
> []s,
> Claudio.
>  

RES: RES: RES: [obm-l]

[Artur Costa Steiner]

Eh verdade, Dirichlet. 
Na matematica nao se dao jeitinhos, mas jeitões
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 17:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l]


Não dá para usar homogeneidade neste caso?

Basta fazer a_1 =k*A_1 e podemos farorar o K.
O jeitão do produto muda mas parece que da para
adaptar...

--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante
> que usando calculo.
>  
> Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, 
>  
> minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k>0
>  
> dado que a_1 * a_2 *.a_n = p
>  
> a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia
> complicar, embora
> talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e
> desigualdade MA >= MG. A
> solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n =
> p^(1/n).
>  
> Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh
> hah um ponto extremo, a
> funcao eh limitada inferiormente, ela e a as
> restricoes sao classe C^2  
>  
> Artur
> 
>  -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> claudio.buffara
> Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005
> 20:03
> Para: obm-l
> Assunto: RE: RES: [obm-l]
> 
> 
> 
> Talvez um enunciado mais claro pro problema original
> seja o seguinte:
>  
> Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer
> cujo produto é 1, então:
> (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
> e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <=
> i <= n.
>  
> Agora, sabemos que se o produto de m números
> positivos for 1, então a soma
> desses números é >= m com igualdade se e somente se
> todos os números são
> iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >=
> MG).
>  
> Expandindo o lado esquerdo, teremos:
> 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
> S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
> Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
> S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
> ...
> S_n = a_1*a_2*...*a_n.
>  
> É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo
> produto é 1, de modo
> que S_k >= Binom(n,k).
>  
> Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
> 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) =
> 2^n.
>  
> Finalmente, vale a igualdade <==>
> S_1 = Binom(n,1) = n <==>
> a_1 = ... = a_n.
>  
> []s,
> Claudio.
>  
>  
>  
> De:[EMAIL PROTECTED]  
> Para:  obm-l@mat.puc-rio.br   
> Cópia:
> Data:  Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 
> Assunto:   RE: RES: [obm-l]   
> > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com
> essa "solução" que nem
> exigi
> > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste
> assunto.
> > 
> > []s,
> > Daniel
> > 
> > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu.
> Soh que, na realidade,
> > o
> > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc
> parou. Os multiplicadores
> > de
> > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n =
> 1 PODE, mas nao
> > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo.
> De modo geral, para se
> > decidir
> > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de
> fato ponto extremo, eh
> > maximo
> > '>'ou minimo relativo, temos que analisar
> condicoes de segunda ordem, no
> > caso
> > '>'em que o problema, como este, tem funcao
> objetivo e restricoes com
> derivadas
> > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe
> C^2). Além disto,
> precisamos
> > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas
> local. Isto, de modo geral,
> > exige
> > '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> > '>'Na programacao matematica hah um terorema que
> se aplica a casos como
> > este,
> > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes
> apresentam simetria. Nao me
> > lembro
> > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra
> garantir que o ponto
> > eh
> > '>'maximo ou minimo global.
> > '>'
> > '>'Artur
> > 
> > 
> >
>
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
=
> > 
> 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

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Re: RES: RES: [obm-l]

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Não dá para usar homogeneidade neste caso?

Basta fazer a_1 =k*A_1 e podemos farorar o K.
O jeitão do produto muda mas parece que da para
adaptar...

--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante
> que usando calculo.
>  
> Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, 
>  
> minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k>0
>  
> dado que a_1 * a_2 *.a_n = p
>  
> a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia
> complicar, embora
> talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e
> desigualdade MA >= MG. A
> solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n =
> p^(1/n).
>  
> Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh
> hah um ponto extremo, a
> funcao eh limitada inferiormente, ela e a as
> restricoes sao classe C^2  
>  
> Artur
> 
>  -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
> claudio.buffara
> Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005
> 20:03
> Para: obm-l
> Assunto: RE: RES: [obm-l]
> 
> 
> 
> Talvez um enunciado mais claro pro problema original
> seja o seguinte:
>  
> Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer
> cujo produto é 1, então:
> (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
> e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <=
> i <= n.
>  
> Agora, sabemos que se o produto de m números
> positivos for 1, então a soma
> desses números é >= m com igualdade se e somente se
> todos os números são
> iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >=
> MG).
>  
> Expandindo o lado esquerdo, teremos:
> 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
> S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
> Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
> S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
> ...
> S_n = a_1*a_2*...*a_n.
>  
> É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo
> produto é 1, de modo
> que S_k >= Binom(n,k).
>  
> Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
> 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) =
> 2^n.
>  
> Finalmente, vale a igualdade <==>
> S_1 = Binom(n,1) = n <==>
> a_1 = ... = a_n.
>  
> []s,
> Claudio.
>  
>  
>  
> De:[EMAIL PROTECTED]  
> Para:  obm-l@mat.puc-rio.br   
> Cópia:
> Data:  Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 
> Assunto:   RE: RES: [obm-l]   
> > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com
> essa "solução" que nem
> exigi
> > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste
> assunto.
> > 
> > []s,
> > Daniel
> > 
> > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu.
> Soh que, na realidade,
> > o
> > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc
> parou. Os multiplicadores
> > de
> > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n =
> 1 PODE, mas nao
> > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo.
> De modo geral, para se
> > decidir
> > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de
> fato ponto extremo, eh
> > maximo
> > '>'ou minimo relativo, temos que analisar
> condicoes de segunda ordem, no
> > caso
> > '>'em que o problema, como este, tem funcao
> objetivo e restricoes com
> derivadas
> > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe
> C^2). Além disto,
> precisamos
> > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas
> local. Isto, de modo geral,
> > exige
> > '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> > '>'Na programacao matematica hah um terorema que
> se aplica a casos como
> > este,
> > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes
> apresentam simetria. Nao me
> > lembro
> > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra
> garantir que o ponto
> > eh
> > '>'maximo ou minimo global.
> > '>'
> > '>'Artur
> > 
> > 
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=
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> usar a lista em
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=

RES: RES: [obm-l]

[Artur Costa Steiner]

Na 
realidade, complica muito pouco. Pelo produto de Stevin e MA >=MG dah 
facilmente pra ver que, tambem neste caso mais geral, o minimo ocorre 
quando os a_i sao iguias.
 
Artur
 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Artur Costa 
  SteinerEnviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 
  11:18Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: RES: 
  [obm-l]
  Esta 
  solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando 
  calculo.
   
  Mas 
  e tivessemos algo mais geral do tipo, 
   
  minimizar (k + a_1).(k 
  +_a_n), k>0
   
  dado que a_1 * a_2 *.a_n = 
  p
   
  a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia 
  complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e 
  desigualdade MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = 
  a_n = p^(1/n).
   
  Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh 
  hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as 
  restricoes sao classe C^2  
   
  Artur
  
   -Mensagem 
  original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 
  20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: 
  [obm-l]
  
Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o 
seguinte:
 
Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, 
então:
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= 
n.
 
Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, 
então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se 
todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= 
MG).
 
Expandindo o lado esquerdo, teremos:
1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
...
S_n = a_1*a_2*...*a_n.
 
É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de 
modo que S_k >= Binom(n,k).
 
Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n.
 
Finalmente, vale a igualdade <==>
S_1 = Binom(n,1) = n <==>
a_1 = ... = a_n.
 
[]s,
Claudio.
 
 
 


  
  
De:
[EMAIL PROTECTED]


  
  
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br


  
  
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Data:
Mon, 3 Oct 2005 
  19:02:31 -0300


  
  
Assunto:
RE: RES: 
  [obm-l]
> Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que 
nem exigi
> muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
> 
> []s,
> Daniel
> 
> '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na 
realidade,
> o
> '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os
multiplicadores
> de
> '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas 
nao
> '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, 
para se
> decidir
> '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto 
extremo, eh
> maximo
> '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda 
ordem, no
> caso
> '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e 
restricoes com derivadas
> '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além 
disto, precisamos
> '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de 
modo geral,
> exige
> '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a 
casos como
> este,
> '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam 
simetria. Nao me
> lembro
> '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que 
o ponto
> eh
> '>'maximo ou minimo global.
> '>'
> '>'Artur
> 
> 
> 
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
=
> 

RES: RES: [obm-l]

[Artur Costa Steiner]

Esta 
solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando 
calculo.
 
Mas e 
tivessemos algo mais geral do tipo, 
 
minimizar (k + a_1).(k +_a_n), 
k>0
 
dado que a_1 * a_2 *.a_n = p
 
a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia 
complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade 
MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = 
p^(1/n).
 
Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh 
hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes 
sao classe C^2  
 
Artur

 -Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 
20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: 
[obm-l]

  Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o 
  seguinte:
   
  Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, 
  então:
  (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
  e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n.
   
  Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então 
  a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os 
  números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG).
   
  Expandindo o lado esquerdo, teremos:
  1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
  S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
  Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
  S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
  ...
  S_n = a_1*a_2*...*a_n.
   
  É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo 
  que S_k >= Binom(n,k).
   
  Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
  1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n.
   
  Finalmente, vale a igualdade <==>
  S_1 = Binom(n,1) = n <==>
  a_1 = ... = a_n.
   
  []s,
  Claudio.
   
   
   
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


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  Data:
  Mon, 3 Oct 2005 
19:02:31 -0300
  
  


  Assunto:
  RE: RES: 
[obm-l]
  > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que 
  nem exigi
  > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
  > 
  > []s,
  > Daniel
  > 
  > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na 
  realidade,
  > o
  > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os 
  multiplicadores
  > de
  > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas 
  nao
  > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, 
  para se
  > decidir
  > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto 
  extremo, eh
  > maximo
  > '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda 
  ordem, no
  > caso
  > '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes 
  com derivadas
  > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, 
  precisamos
  > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo 
  geral,
  > exige
  > '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
  > '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a 
  casos como
  > este,
  > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. 
  Nao me
  > lembro
  > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o 
  ponto
  > eh
  > '>'maximo ou minimo global.
  > '>'
  > '>'Artur
  > 
  > 
  > 
  =
  > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em
  > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  > 
  =
  > 

RES: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma

[Artur Costa Steiner]

Prezado Gugu

De fato, S e o conjunto das sequencias limitadas de inteiros positivos,
houve um engano meu. 
Legal o seu exemplo. Muito obrigado
Artur

   Caro Artur,
   S tem que ser um conjunto de seqüências limitadas de naturais, não ? Vale
a
pena supor que são seqüências de inteiros positivos, ou pelo menos que têm
infinitos termos não nulos. Dá para provar que nesse exemplo os elementos de
A
são transcendentes por serem números de Liouville (todos os números de
Liouville são transcendentes). Um número de Liouville é um real c tal que
para
todo n existem infinitos racionais p/q com |c-p/q|<1/q^n. Um número
algébrico
nunca é de Liouville: se f é um polinômio de grau n com coeficientes
inteiros
tal que f(c)=0, existe K>0 tal que |f´(x)|<=K para todo x em [c-1,c+1]. Por
outro lado, se p/q é diferente de c e está muito perto (em particular a uma
distância menor que 1) de c então f(p/q) é um racional não nulo que pode ser
escrito como um inteiro dividido por q^n, e logo |f(p/q)|>=1/q^n. Por outro
lado, pelo teorema do valor médio, existe d entre c e p/q com
f(p/q)=f(p/q)-f(c)=f´(d).(p/q-c), donde
1/q^n<=|f(p/q)|=|f(p/q)-f(c)|=|f´(d)|.|p/q-c|<=K.|p/q-c|. Assim, temos
sempre
|c-p/q|>=1/(K.q^n), e não existem, por exemplo, infinitos racionais p/q com
|c-p/q|<1/q^(n+1) (pois teríamos necessariamente |q|infinito)(f(n)/n)=0.
   Abraços,
 Gugu


   Acho que eu tenho outro exemplo: seja
Quoting Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>:

> Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
> Hamel?
> Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?
>
> Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo
Nicolau,
> no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na
internet
> uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer
se
> eh correta:
>
>
> Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
> matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
> pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel
e
> que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
> Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile,  implica que
os
> elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
> prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
> um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha.
>
> Artur
>
>
>
>
>
>
>
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
>
>
> On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> >  '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
> fechado
> >  '>'com relacao aa soma
> >
> > Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> > (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> > sobre Q, e,
> > portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> > é não-enumerável.
> >
> > Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
>
> Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e
portanto
> o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
>
> Uma pergunta que eu nao sei reponder:
>
> É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
> "encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente"
> (sem usar o axioma da escolha)?
>
> []s, N.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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> =
>





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=

RES: RES: [obm-l] Derivada convexa

[Artur Costa Steiner]

Obrigado Niski.

Uma prova de que, se g eh (Lebesgue) mensuravel e satisfaz a g((x+y)/2) <=
(g(x) + g(y))/2 para todos x e e y em I, pode ser encontrada em
http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/11df2054c7792678/2
e9bee58ed07e7ea?tvc=1&q=%22jensen+for+a+derivative%22+group:sci.math&hl=pt-B
R

Nesta prova, o autor, Robert Israel, define B_n = {x em I | g(x) <  n}, de
modo que I = Uniao (n=1, oo) B_n . Como I tem medida positiva, pelo menos um
dos B_n tambem tem. Em razao disto, Israel conclui que (B_n + B_n)/2 =
{(x+y)/2 | x e y estao em B_n} contem um intervalo aberto nao vazio. Eu
ainda nao consegui ver esta passagem.

Artur 


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Fabio Niski
Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 20:05
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Derivada convexa


Claro..

Seja g = f' entao.
Vou supor que g seja continua em um intervalo I.
Sejam x,y \in I e suponha que x < y. Para n = 0, 1,2... tome
T[n] = { i/(2^n) : i = 0,1,...,2^n}. Vamos mostrar por inducao que para 
n = 0 ,1,  e para s /in T[n],
g((1-s)x +sy) <= (1-s)g(x) + sg(y).
Se n = 0, entao s = 0 ou s = 1 e portanto a desigualdade acima é 
evidente. Supondo que a desigualdade seja valida para um n arbitrario n 
\in {0,1...} e para s \in T[n], vamos prova-la para n + 1. Suponha que s 
\in T[n+1].  É facil ver que basta considerar o caso s não pertence a 
T[n]. Como existem w, z \in T[n] tal que s = (w + z)/2, temos que

(1-s)x + sy = ... = [((1-w)x+wy)+((1-z)x + zy)]/2
Pela hipotese
g((1-s)x + sy) <= [g((1-w)x+wy)+g((1-z)x+zy)]/2
agora pela hipotese de inducao
g((1-s)x+sy) <= [(1-w)g(x) + wg(y) + (1-z)g(x)+zg(y)]/2
   = (1-s)g(x) + sg(y)
Seja t um ponto arbritrariamente escolhido em [0,1]. Como o conjunto
T = U T[n] [n =0 até inf] é denso em [0,1], existe uma sequencia {s[n]} 
de pontos em T tal que t = lim(s[n]) (n -> inf). Assim, pela 
continuidade de g,
g((1-t)x + ty) = lim[g((1-s[n])x + s[n]y)] <= lim[((1-s[n])g(x) + 
s[n]g(y))] = (1-t)g(x) + tg(y).



Artur Costa Steiner wrote:

> De fato dah . A condicao  f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao
> garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f'
eh
> uma derivada , garante continuidade.
> Vc poderia apresentar a prova que vc conhece?
> Artur
> 
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Fabio Niski
> Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa
> 
> 
> Artur Costa Steiner wrote:
> 
>>Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
>>
>>Mostre que, se f:R-->R  for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
>>f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
> 
> convexa
> 
>>em R.
>>Artur 
> 
> 
> Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os 
> pontos? Se sim eu conheco a solucao.
> 
> 


-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

"sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))"

Carl Friedrich Gauss
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Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

[claudio\.buffara]

 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 23 Aug 2005 10:05:18 -0300




Assunto:
Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
> On Mon, Aug 22, 2005 at 09:31:55PM -0300, Luiz Viola wrote:
> > Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
> > eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
> > resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
> > consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...
> 
> O livro dá alguma explicação? Seria interessante se você pudesse transcrever
> enunciado e resolução para que pudéssemos saber exatamente de que estamos
> falando. Pelo que você escreveu até agora, não acho implausível que o livro
> esteja simplesmente errado.
> 
> []s, N.
> 
 
Isso me faz lembrar o problema das três caixas fechadas.
A primeira delas contém duas moedas de ouro, a segunda, uma de ouro e uma de prata, e a terceira, duas de prata.
Tomamos uma caixa ao acaso e dela retiramos uma moeda.
Dado que a moeda retirada é de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda desta caixa também seja de ouro?
 
A resposta é 2/3, apesar de muita gente achar que é 1/2.
 
[]s,
Claudio.
 
 

Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

[Nicolau C. Saldanha]

On Mon, Aug 22, 2005 at 09:31:55PM -0300, Luiz Viola wrote:
> Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
> eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
> resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
> consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...

O livro dá alguma explicação? Seria interessante se você pudesse transcrever
enunciado e resolução para que pudéssemos saber exatamente de que estamos
falando. Pelo que você escreveu até agora, não acho implausível que o livro
esteja simplesmente errado.

[]s, N.
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RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

[Luiz Viola]

Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...

Abraço!
Viola

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: segunda-feira, 22 de agosto de 2005 13:29
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

On Sun, Aug 21, 2005 at 10:37:09PM -0300, Luiz Viola wrote:
>  Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um
> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
> também um
> menino, se
> 
>  (i) sabe-se que a outra criança é mais nova
> 
> (ii) nada se sabe sobre a outra criança
> 
>  A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por
> que

Para mim a resposta correta é 1/2 sim (para ambos os itens) e
o raciocínio que foi apresentado para chegar a outro valor está
equivocado.
Tudo isto com suposições que me parecem naturais e que não vou
explicitar.
Pq exatamente você acha que a resposta deveria ser diferente de 1/2?

[]s, N. 


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Re: RES: RES: [obm-l] Medida

[nilton rr]

DE QUANTAS MANEIRAS DISTINTAS PODEMOS DISPOR 4 HOMENS
E 6 MULHERES EM TORNO DE UMA MESA CIRCULAR DE MODO QUE
3  QUAISQUER MULHERES FIQUEM SEMPRE JUNTAS E UM HOMEM
NÃO SE SENTE AO LADO DE OUTRO HOMEM?
Grato pela atençao






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RES: RES: [obm-l] Medida

[Artur Costa Steiner]

Eu acho que acaba sendo a mesma demonstracao que eu dei, nao eh?
O resultado nao eh valido para qualquer conjunto do R^n porque nem todo
conjunto do R^n eh mensuravel. Hah conjuntos para os quias nao podemos
determinar a medida.
Artur 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Tertuliano
Enviada em: quarta-feira, 6 de julho de 2005 09:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Medida 


Oi Artur, 
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula. 
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.

Tertuliano

--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

> Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> pouquinho mais simples do que
> a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> paralelepipedos abertos e
> limitados para conjuntos genericos limitados,
> poderiamos ter invocado
> diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> de apresentar a prova,
> uma observacao de um fato sutil que me passou
> desapercebido. O enunciado
> deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> Lebesgue). No caso, B
> teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> gerada pelos conjuntos
> abertos de R^n 
> 
> A prova poderia ser assim:
> 
> Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> paralelepipedo limitado e aberto
> de R^n de hipervolume
> V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> todo eps>0 podemos
> cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> com hipervolume V_k, tal
> que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> X P por paralelepipedos
> abertos de R^(m+n). O
> hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> = V *  Soma(k>=1)V_k <
> V * eps/V = eps. Como eps eh
> arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> R^(m+n).
> 
> O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> colecao enumeravel (nao
> precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> abertos de hipervolume
> 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> (nao necessariamente
> disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> cada Q_k eh um
> paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> anterior nos mostra que cada A
> X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> sigma-sub-aditividade da medida,
> concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> esta conclusao para o caso
> B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> qualquer subconjunto
> MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> R^n e subconjuntos
> mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> 
> A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> segundo a qual se {A_n}
> eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> mensuraveis e A eh a uniao desta
> colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> entendendo-se esta desigualdade no
> sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> disjunta 2 a 2, ocorre
> igualdade.
> 
> Artur
> 
> 
> 
> --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> 
> > Oi para todos!
> > Alguem pode me ajudar neste?
> > 
> > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> um
> > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > 
> > Grato,
> > Tertuliano
> > 
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RES: RES: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n

[Artur Costa Steiner]

Eh verdadade. Depois que eu tinha mandado a a mensagem, vi que podia
acontecer este caso.
Eu depois analisei um pouco e cheguei aa seguinte conclusao:
Sejam m>=2 e n>=2 numeros inteiros. Entao, log(m)/log(n) eh racional se, e
somente se, (1) as decomposicoes de m e de n em fatores primos tiverem
exatamente os mesmos fatores e (2) sendo p_i, i=1,...N os fatores primos de
m e de n e r_i e s_i os respectivos expoentes inteiros, entao (r_i)/(s_i) =
c, sendo c uma constante.  Neste caso, log(m)/log(n) = c.
Uma consequencia eh que, se a a decomposicao de n tiver pelo menos um fator
primo com expoente 1, entao log(m)/log(n) eh racional se, e somente se, m
for uma potencia inteira de n.
Artur

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: Saturday, January 29, 2005 11:08 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n


On Fri, Jan 28, 2005 at 05:04:04PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Podemos generalizar esta conclusao, certo? Para todo inteiro positivo k
que
> nao seja uma potencia inteira de 10, dada qualquer sequencia de
algarismos,
> existe um inteiro positivo n  tal que k^n comeca com esta sequencia.
> Decorrencia do fato de que log(k)/log(10) eh irracional.
> Podemos ateh generalizar mais. Se estivermos numa base de numeracao b >1,
> entao, para todo inteiro positivo k que nao seja uma potencia inteira de
b,
> dada qualquer sequencia de alagarismos menores que b, existe um inteiro
> positivo n tal que, quando expresso na base b, k^n comecae com a dada
> sequencia. Decorencia do fato de que log(k)/log(b) eh irracional.
> Artur 

Quase tudo certo. Mas se a base b for ela propria uma potencia
entao precisamos excluir tambem as potencias racionais de b.
Por exemplo, se b = 8 e k = 4, as potencias de k na base b
todas comecam com 1, 2 ou 4.

Abracos, Nicolau
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=

RES: RES: [obm-l] e

[Artur Costa Steiner]

Tambem pode definir assim, mas nao eh comum..Se vc definir desta maneira,
entao considerando a expansao do binomio de Newton vc pode provar que da o
mesmo limite da serie dos inversos dos fatoriaiseh o 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fabiodjalma
Enviada em: Thursday, January 27, 2005 7:46 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] e



Eu pensava que a definição de 'e' era o lim(1+1/n)^n quando n=> inf. 

Em (19:36:53), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


>Isto eh a definicao usual do numero e. 
>Artur 
> 
>-Mensagem original- 
>De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
>nome de fabiodjalma 
>Enviada em: Thursday, January 27, 2005 7:15 PM 
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
>Assunto: [obm-l] e 
> 
>Alguém pode me dar a dica (sem resolver) de como provar que 
>Soma(n de 1 a infinito) 1/n! = e? 
>Obrigado. 
> 
>= 
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>= 
> 
>-- 

=
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=

Re: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[alencar1980]

Realmente confirmar em sites da internet é um pouco complicado, especialmente sem conhecer o autor do artigo publicado.
 
O resultado:
 
"Em um espaço métrico separável localmente compacto a sigma álgebra gerada pelos conj. abertos e a gerada pelos conj. compactos coincidem"
 
me chamou bastante a atenção. Especialmente me chamou a atenção o fato do autor apresentar duas definições para a sigma álgebra de Borel: (1) menor sigma algebra gerada pelos conjuntos abertos (definição comumente encontrada nos livros) e (2) a menor sigma-álgebra gerada pelos compactos.
 
Continuo buscando maiores referências para tal assunto.
 
Talvez o livro:
 
A course on Borel Sets (Graduate Text Mathematics 180)
Autor: Srivastava, S. M.
Editora: Springer-Verlag
 
possa  apresenter maiores detalhes sobre o assunto.
 
[]'s
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Wed, 26 Jan 2005 17:34:52 -0300 (ART) 
Assunto: Re: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 

> Será que alguem ai pode confirmar isso ? Afinal sites na internet nao sao 100% confiáveis. O fato é muito interessante e pelo menos pra mim, nada natural. Na minha cabeca os compactos da topologia sao conjuntos mais peculiares do que abertos ou fechados. 
> O fato afirmado é: vale a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos em Esp. Top. Localmente Compactos e Separáveis. 
> 
> Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 
> Bom, a reta real e os espacos R^n em geral, assim como os complexos, sao separaveis e localmente compactos. 
> Artur 
> 
> -Mensagem original- 
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de alencar1980 
> Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PM 
> Para: obm-l 
> Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 
> 
> 
> Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando "the topological space is a locally compact separable metric space". 
> E não apenas na reta. 
> 
> O texto do site é: 
> 
> "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." 
> 
> Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada. 
> 
> []'s 
> 
> 
> 
> 
> - 
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Re:RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[alencar1980]

Não sou especialista, na realidade conheço muito pouco sobre o assunto, mas a sua argumentação me pareceu bastante coerente. 
 
Espero que alguém mais experiente possa conferir realmente sua dedução.
 
[]'s
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Wed, 26 Jan 2005 19:10:26 -0200 
Assunto: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 

> Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira. Seja S um espaco metrico 
> separavel e localmente compacto. Por ser separavel, S contem um conjunto D 
> que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao dos elementos de D. A 
> cada x_n associemos, baseados na compacticidade local de S, uma vizinhanca 
> B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser denso implica que {B_n} 
> seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por sua vez, implica que 
> {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta por conjuntos compactos. 
> Seja F um conjunto fechado de S. Entao, a colecao {B'_n inter F} eh 
> enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por conjuntos compactos, pois 
> a interseccao de um conjunto compacto com um fechado eh compacta. A 
> conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado de S eh dado por uma 
> uniao enumeravel de conjuntos compactos. 
> Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus conjuntos compactos, enato a 
> definicao de sigma-algebra implica que M contem a colecao dos fechados de S 
> e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois esta ultima eh tambem 
> gerada pelos conjuntos fechados S. . Por outro lado a sigma-algebra de 
> Borel contem a colecao dos compactos, pois todo compacto eh fechado. Assim a 
> colecao dos compactos, a dos abertos e a dos fechados, todas geram a mesma 
> sigma-algebra de Borel. 
> Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser extendido a espacos de 
> Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao metricos, separabilidade nao 
> implica a existencia de base topologica enumeravel. Mas se o espaco for 
> Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a conclusao eh preservada. 
> Este raciocinio esta OK? 
> Artur 
> 
> 
> Mensagem original- 
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de 
> alencar1980 
> Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PM 
> Para: obm-l 
> Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 
> 
> 
> 
> Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html 
> a igualdade da 
> sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem 
> quando "the topological space is a locally compact separable metric 
> space". 
> E não apenas na reta. 
> 
> O texto do site é: 
> 
> "In general topological spaces, even locally compact ones, the two 
> structures are different. They are however identical whenever the 
> topological space is a locally compact separable metric space." 
> 
> .yahoo.com/messenger/ 
> 
> 

RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Artur Costa Steiner]

Acho que podemos 
raciocinar da seguinte maneira. Seja S um espaco 
metrico separavel e localmente compacto.  Por ser separavel, 
S contem um conjunto D que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao dos 
elementos de D. A cada x_n associemos, baseados na compacticidade local de 
S, uma vizinhanca B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser denso 
implica que  {B_n} seja uma base topologica enumeravel de S, o que, 
por sua vez, implica que {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta por 
conjuntos compactos.
 Seja F um conjunto fechado de  S. Entao, a colecao 
{B'_n inter F} eh enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por conjuntos 
compactos, pois a interseccao de um conjunto compacto com um fechado eh 
compacta. A conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado de S eh 
dado por uma uniao enumeravel de conjuntos compactos.
Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus conjuntos 
compactos, enato a definicao de sigma-algebra implica que M contem a 
colecao dos fechados de S e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois 
esta ultima eh tambem gerada pelos conjuntos fechados  S. . Por outro lado a sigma-algebra de Borel contem a colecao dos 
compactos, pois todo compacto eh fechado. Assim a colecao dos compactos, a dos 
abertos e a dos fechados, todas geram a mesma sigma-algebra de 
Borel.
Eu estava a ponto de 
dizer que isto pode ser extendido a espacos de Hausdorff, mas era um 
equivoco. Em espacos nao metricos, separabilidade nao implica a existencia de 
base topologica enumeravel. Mas se o espaco for Hausdorff e tiver uma base 
enumeravel, acho que a conclusao eh preservada.
Este raciocinio esta 
OK?
Artur
 
Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 
PMPara: obm-lAssunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra 
Borel

  
  Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a 
  igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por 
  compactos ocorrem quando   "the topological space is a locally 
  compact separable metric space".
  E não apenas na reta.
   
  O texto do site é:
   
  "In general topological spaces, even locally compact ones, the two 
  structures are different. They are however identical whenever the topological 
  space is a locally compact separable metric space."
   
  .yahoo.com/messenger/ 

Re: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Bruno Lima]

Será que alguem ai pode confirmar isso ? Afinal sites na internet nao sao 100% confiáveis. O fato é muito interessante e pelo menos pra mim, nada natural. Na minha cabeca os compactos da topologia sao conjuntos mais peculiares do que abertos ou fechados. 
O fato afirmado é: vale a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos em Esp. Top. Localmente Compactos e Separáveis. Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Bom, a reta real e os espacos R^n em geral, assim como os complexos, sao separaveis e localmente compactos.Artur
 -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PMPara: obm-lAssunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel


Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando   "the topological space is a locally compact separable metric space".
E não apenas na reta.
 
O texto do site é:
 
"In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space."
 
Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada.
 
[]'s
 
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RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Artur Costa Steiner]

Bom, a reta real e 
os espacos R^n em geral, assim como os complexos, sao separaveis e 
localmente compactos.Artur
 -Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 
PMPara: obm-lAssunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra 
Borel

  
  Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a 
  igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por 
  compactos ocorrem quando   "the topological space is a locally 
  compact separable metric space".
  E não apenas na reta.
   
  O texto do site é:
   
  "In general topological spaces, even locally compact ones, the two 
  structures are different. They are however identical whenever the topological 
  space is a locally compact separable metric space."
   
  Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não 
  consegui nada.
   
  []'s
   
  -- Início da mensagem original --- 
  
  De: [EMAIL PROTECTED] 
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Cc: 
  Data: Wed, 26 Jan 2005 16:22:54 -0300 (ART) 
  Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 
  
  > TALVEZ , esteja ocorrendo uma confusaozinha ai...na reta os 
  compactos sao no fundo do tipo [a,b] assim a Sigma-Algebra de Borel que pode 
  ser gerada por abertos ou fechados (em Esp. Top. gerais) tambem pode ser 
  gerada tambem por compactos . Mas acho que isso acontece so na reta não é? 
  
  > 
  > Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Eu realmente nao 
  conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos 
  compactos. 
  > O livro do Rudin um classico, mas bastante avancado. Eh dificil 
  comecar por ele. 
  > Artur 
  > -Mensagem original- 
  > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
  nome de alencar1980 
  > Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PM 
  > Para: obm-l 
  > Cc: obm-l 
  > Assunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 
  > 
  > 
  > Caro Artur, 
  > 
  > Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa. 
  > Tenho o livro do Bartle; o do Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, 
  vou procurá-lo na 
  > biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele 
  fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer. 
  
  > 
  > Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da 
  sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos. 
  > 
  > Torço para que alguém da lista talvez possa indicar alguma 
  referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que 
  encontrei o material seja confiável. 
  > 
  > Mais uma vez muito obrigado. 
  > 
  > 
  > 
  > 
  > __ 
  > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
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Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[alencar1980]

Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando   "the topological space is a locally compact separable metric space".
E não apenas na reta.
 
O texto do site é:
 
"In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space."
 
Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada.
 
[]'s
 
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Wed, 26 Jan 2005 16:22:54 -0300 (ART) 
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 

> TALVEZ , esteja ocorrendo uma confusaozinha ai...na reta os compactos sao no fundo do tipo [a,b] assim a Sigma-Algebra de Borel que pode ser gerada por abertos ou fechados (em Esp. Top. gerais) tambem pode ser gerada tambem por compactos . Mas acho que isso acontece so na reta não é? 
> 
> Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Eu realmente nao conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. 
> O livro do Rudin um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por ele. 
> Artur 
> -Mensagem original- 
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de alencar1980 
> Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PM 
> Para: obm-l 
> Cc: obm-l 
> Assunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel 
> 
> 
> Caro Artur, 
> 
> Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa. 
> Tenho o livro do Bartle; o do Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, vou procurá-lo na 
> biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer. 
> 
> Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos. 
> 
> Torço para que alguém da lista talvez possa indicar alguma referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que encontrei o material seja confiável. 
> 
> Mais uma vez muito obrigado. 
> 
> 
> 
> 
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Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Bruno Lima]

TALVEZ , esteja ocorrendo uma confusaozinha ai...na reta os compactos sao no fundo do tipo [a,b] assim a Sigma-Algebra de Borel que pode ser gerada por abertos ou fechados (em Esp. Top. gerais) tambem pode ser gerada tambem por compactos . Mas acho que isso acontece so na reta não é?  Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Eu realmente nao conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. 
O livro do Rudin  um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por ele.
Artur

-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PMPara: obm-lCc: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

Caro Artur,
 
Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa.
Tenho o livro do Bartle; o do Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, vou procurá-lo na 
biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer.
 
Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos.
 
Torço para que alguém da lista talvez possa indicar alguma referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que encontrei o material seja confiável.
 
Mais uma vez muito obrigado.
 __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Artur Costa Steiner]

Eu realmente nao conhecia esta 
definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. 

O livro do 
Rudin  um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por 
ele.
Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada 
  em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PMPara: 
  obm-lCc: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra 
  Borel
  
  Caro Artur,
   
  Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa.
  Tenho o livro do Bartle; o do Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, 
  vou procurá-lo na 
  biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na 
  sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer.
   
  Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da 
  sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos.
   
  Torço para que alguém da lista talvez possa indicar alguma 
  referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que 
  encontrei o material seja confiável.
   
  Mais uma vez muito obrigado.
   

RES: RES: [obm-l] Medida Exterior

[Artur Costa Steiner]

Eu conheco um 
exemplo de conjunto nao mensuravel, mas a sua descricao eh um tanto extensa. Ele 
de fato se baseia em translacoes por racionais. Nao sei se existe um com 
descricao simples, talvez haja. 
E realmente importante lembrar que, 
se {A_n } eh uma colecao  finita ou  infinita enumeravel de 
conjuntos disjuntos 2 a 2 que satisfaca com desigualdade estrita aa 
sub-aditividade da medida externa, entao nao eh possivel que todos os A_n sejam 
mensuraveis. Hah  um teorema  que diz que, se os A_n forem todos 
mensuraveis,   então m(Uniao( A_n)) = 
Soma(m(A_n)).
Além disto, 
conjuntos enumeraveis sempre tem medida externa nula e conjuntos com medida 
externa nula sao sempre mensuraveis. Logo, conjuntos enumeraveis sao sempre 
mensuraveis e tem medida de Lebesgue nula. Isto contitui mais uma interessante 
prova de que intervalos nao sao enumeraveis (excluindo-se o caso 
de.intervalos como [a,a], se os considerarmos como 
intervalos). 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Bruno LimaEnviada 
  em: Monday, January 24, 2005 6:06 PMPara: 
  obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: RES: [obm-l] Medida 
  Exterior
  Um amigo meu parece que fez o problema, ainda nao olhei mas a ideia dele 
  foi essa mesma de vcs: Podemos construir um conjunto A contido em [0,1] nao 
  mensuravel a Lebesgue, se fizermos m*(A u [0,1]-A) teremos 1 menor ou igual a 
  1 o q nao resolve. A ideia dele foi transladar o conjunto A por racionais e ai 
  ele chegou a umas conclusoes q ainda nao olhei, mas ele disse que deu 
  certo.

RES: RES: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL

[Brunno]

OBRIGADO Rafael, agora entendi toda a
questão

Um abraço amigo

 

 









De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: domingo, 17 de outubro
de 2004 04:25
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l]
QUESTCO_MUITO_DIFICIL



 

Veja bem: 

cosx + senx = cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = sen(t)
+ cos(t) = 3/5 + 4/5 = 7/5 

Pela equação acima percebe-se que cosx + senx = sen(t) + cos(t) = 7/5 

O valor do sen(t) e do
cos(t) nós já tínhamos encontrado -- eu apenas substitui. 



Em uma mensagem de 17/10/2004 04:15:19 Hor. de verão leste da Am. Su,
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 







Rafael aqui vc achou sent e cost 
Não era cosx e senx procurados???
   



De: owner-[EMAIL PROTECTED]
[mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: domingo, 17 de outubro
de 2004 03:41 
Para: [EMAIL PROTECTED]

Assunto: Re: RES: [obm-l]
QUESTCO_MUITO_DIFICIL 


Veja: 

sex(x+t) = sen(x)*cos(t) + sen(t)*cos(x) = 1 (I) 

Divida a equação original por 5: 

3*senx + 4*cosx = 5 

sen(x)*3/5+ 4/5*cos(x) = 1 (II) 

Comparando (I) e (II) temos que: 

cost = 3/5 e sent = 4/5 

Eu também não entendi uma passagem na solução
do Claúdio: 

cosx + senx = 
raiz(2)*sen(x + Pi/4) = 

Eu resolvi por outra forma a
partir de cosx + senx: 

cosx + senx = 
cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = 
sen(t) + cos(t) = 
3/5 + 4/5 = 
7/5 

Re: RES: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL

[Faelccmm]

Veja bem:

cosx + senx = cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = sen(t) + cos(t) = 3/5 + 4/5 = 7/5 

Pela equação acima percebe-se que cosx + senx = sen(t) + cos(t) = 7/5 

O valor do sen(t) e do cos(t) nós já tínhamos encontrado -- eu apenas substitui.



Em uma mensagem de 17/10/2004 04:15:19 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu:




Rafael aqui vc achou sent e cost
Não era cosx e senx procurados???   
 
 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: domingo, 17 de outubro de 2004 03:41
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL

 
Veja: 

sex(x+t) = sen(x)*cos(t) + sen(t)*cos(x) = 1 (I) 

Divida a equação original por 5: 

3*senx + 4*cosx = 5 

sen(x)*3/5+ 4/5*cos(x) = 1 (II) 

Comparando (I) e (II) temos que: 

cost = 3/5 e sent = 4/5 

Eu também não entendi uma passagem na solução do Claúdio: 

cosx + senx = 
raiz(2)*sen(x + Pi/4) = 

Eu resolvi por outra forma a partir de cosx + senx: 

cosx + senx = 
cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = 
sen(t) + cos(t) = 
3/5 + 4/5 = 
7/5 

RES: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL

[Brunno]

Rafael aqui vc achou sent e cost

Não era cosx e senx procurados???   

 

 









De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: domingo, 17 de outubro
de 2004 03:41
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l]
QUESTCO_MUITO_DIFICIL



 

Veja: 

sex(x+t) = sen(x)*cos(t) + sen(t)*cos(x) = 1 (I) 

Divida a equação original por 5: 

3*senx + 4*cosx = 5 

sen(x)*3/5+ 4/5*cos(x) = 1 (II) 

Comparando (I) e (II) temos que: 

cost = 3/5 e sent = 4/5 

Eu também não entendi uma passagem na solução
do Claúdio: 

cosx + senx = 
raiz(2)*sen(x + Pi/4) = 

Eu resolvi por outra forma a partir de
cosx + senx: 

cosx + senx = 
cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = 
sen(t) + cos(t) = 
3/5 + 4/5 = 
7/5 




Em uma mensagem de 17/10/2004 03:01:14 Hor. de verão leste da Am. Su,
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 






Cláudio como vc pode comprovar que sex(x+t)=1 
Como cost=3/5 ??? 

Obrigado 

3*senx + 4*cosx = 5 ==> 
sen(x + t) = 1, onde cost = 3/5 e sent = 4/5 ==> 
x + t = Pi/2 + 2*k*Pi, onde k eh inteiro ==> 
x = Pi/2 - t + 2*k*Pi 

cosx + senx = 
raiz(2)*sen(x + Pi/4) = 
raiz(2)*sen(Pi/2 - t + 2*k*Pi + Pi/4) = 
raiz(2)*sen(3*Pi/4 - t) = 
raiz(2)*(sen(3*Pi/4)*cost - cos(3Pi/4)*sent) = 
raiz(2)*((1/raiz(2))*3/5 - (-1/raiz(2))*4/5) = 
3/5 + 4/5 = 
7/5. 

[]s, 
Claudio. 

on 17.10.04 01:36, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: 

> Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também 
> O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, 
> Obrigado 
> 

RES: RES: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google

[Wellington]

Coincidência ou não, todos os 5 números da seqüências têm seus
algarismos com soma igual a 49.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Guilherme
Enviada em: Saturday, September 18, 2004 4:07 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RES: RES: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google

Olá, Chicão!

Eu ainda sei que 5! é 120, apesar da minha memória falhar de vez em
quando ;-)
O problema informa que
f(1)= 7182818284  (e a partir da 2!=2ª casa)
f(2)= 8182845904  (e a partir da 3!=6ª casa)
f(3)= 8747135266  (e a partir da 4!=24ª casa)
f(4)= 7427466391  (e a partir da 5!=120ª casa)
f(5)= __  (e a partir da 6!=720ª casa, que é 5966290435, se eu
não errei na conta...)

Mas realmente, quando fui entrar no site indicado: www.linux.org e
digitei o login Bobsyouruncle, a senha poderia ter até 9 algarismos (não
sei como para você deu até 20 algarismos). Você usa linux ou windows?
Tentei 3 vezes e o site bloqueou o meu IP no site. Bom, de qualquer
forma, agora eu consegui entrar pelo computador da minha esposa e deu
tudo certo.

Um abração, 

Guilherme.




-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Chicao Valadares
Enviada em: sábado, 18 de setembro de 2004 13:16
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google


5! = 120 e nao 720.Nao ha problema nenhum com o numero
de digitos da senha que pode ter ate 20 digitos.

o numero procurado é 5966290435.

Após login, o site lhe redireciona para outro site
onde explica o porque do desafio.Maneira interessante
de avaliação, não acham???

[]´s

 --- Guilherme <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
> A resposta é 515951
> Explico: os números que ele fornece são os dígitos
> de e a partir do 2!,
> 3!, 4!. A solução é, então, os 10 dígitos de e a
> partir do 720º.
> O problema é que entrei no site que ele indica e a
> senha só pode conter
> 9 algarismos.
> Alguém mais quer tentar?
> Gostei do desafio.
> 
> Um abração,
> 
> Guilherme.
> 
> 
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
> nome de Daniel S. Braz
> Enviada em: sexta-feira, 17 de setembro de 2004
> 15:59
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google
> 
> 
> o site é http://7427466391.com/
> depois fica pior...tem outro problema no site..
> 
> []s
> daniel
> 
> On Fri, 17 Sep 2004 15:07:34 -0300 (BRT),
> [EMAIL PROTECTED]
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > 
> > Imagine se vc visse um outdoor com a seguinte
> mensagem:
> > 
> > {first 10-digit prime found in consecutive digits
> of e}.com  ?
> > 
> > onde "e" eh a constante de Euler, 2.71828...
> > 
> > Pois bem, eh o que esta acontecendo em
> Cambridge... e o problema tem
> > quebrado a cabeca de muitos matematicos.
> > 
> > Maiores detalhes em:
> > 
> >
> http://www.npr.org/features/feature.php?wfId=3916173
> > 
> > []'s
> > 
> > #
> > # MSc. Edson Ricardo de A. Silva#
> > # Computer Graphics Group (CRAB)#
> > # Federal University of Ceara (UFC) #
> > #
> >
>
==
> > ===
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>

> =
> > 
> 
> 
> 
> --
> "Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do
> Universo é que ele
> parece fundamentar-se na Matemática num grau
> totalmente extraordinário.
> Quanto mais profundamente entramos nas leis da
> Natureza, mais parece que
> o mundo físico quase se evapora e ficamos com a
> Matemática. Quanto mais
> profundamente entendemos a Natureza, mais somos
> conduzidos para dentro
> desse mundo da Matemática e de conceitos
> matemáticos." (Roger Penrose)
> 
>

> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>

> =
> 
> 
> 
> 
>

=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>

=
>  

=
"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernan

RES: RES: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google

[Guilherme]

Olá, Chicão!

Eu ainda sei que 5! é 120, apesar da minha memória falhar de vez em
quando ;-)
O problema informa que
f(1)= 7182818284  (e a partir da 2!=2ª casa)
f(2)= 8182845904  (e a partir da 3!=6ª casa)
f(3)= 8747135266  (e a partir da 4!=24ª casa)
f(4)= 7427466391  (e a partir da 5!=120ª casa)
f(5)= __  (e a partir da 6!=720ª casa, que é 5966290435, se eu
não errei na conta...)

Mas realmente, quando fui entrar no site indicado: www.linux.org e
digitei o login Bobsyouruncle, a senha poderia ter até 9 algarismos (não
sei como para você deu até 20 algarismos). Você usa linux ou windows?
Tentei 3 vezes e o site bloqueou o meu IP no site. Bom, de qualquer
forma, agora eu consegui entrar pelo computador da minha esposa e deu
tudo certo.

Um abração, 

Guilherme.




-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Chicao Valadares
Enviada em: sábado, 18 de setembro de 2004 13:16
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google


5! = 120 e nao 720.Nao ha problema nenhum com o numero
de digitos da senha que pode ter ate 20 digitos.

o numero procurado é 5966290435.

Após login, o site lhe redireciona para outro site
onde explica o porque do desafio.Maneira interessante
de avaliação, não acham???

[]´s

 --- Guilherme <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
> A resposta é 515951
> Explico: os números que ele fornece são os dígitos
> de e a partir do 2!,
> 3!, 4!. A solução é, então, os 10 dígitos de e a
> partir do 720º.
> O problema é que entrei no site que ele indica e a
> senha só pode conter
> 9 algarismos.
> Alguém mais quer tentar?
> Gostei do desafio.
> 
> Um abração,
> 
> Guilherme.
> 
> 
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
> nome de Daniel S. Braz
> Enviada em: sexta-feira, 17 de setembro de 2004
> 15:59
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: [obm-l] [PELEJA] Desafio do Google
> 
> 
> o site é http://7427466391.com/
> depois fica pior...tem outro problema no site..
> 
> []s
> daniel
> 
> On Fri, 17 Sep 2004 15:07:34 -0300 (BRT),
> [EMAIL PROTECTED]
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > 
> > Imagine se vc visse um outdoor com a seguinte
> mensagem:
> > 
> > {first 10-digit prime found in consecutive digits
> of e}.com  ?
> > 
> > onde "e" eh a constante de Euler, 2.71828...
> > 
> > Pois bem, eh o que esta acontecendo em
> Cambridge... e o problema tem
> > quebrado a cabeca de muitos matematicos.
> > 
> > Maiores detalhes em:
> > 
> >
> http://www.npr.org/features/feature.php?wfId=3916173
> > 
> > []'s
> > 
> > #
> > # MSc. Edson Ricardo de A. Silva#
> > # Computer Graphics Group (CRAB)#
> > # Federal University of Ceara (UFC) #
> > #
> >
>
==
> > ===
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>

> =
> > 
> 
> 
> 
> --
> "Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do
> Universo é que ele
> parece fundamentar-se na Matemática num grau
> totalmente extraordinário.
> Quanto mais profundamente entramos nas leis da
> Natureza, mais parece que
> o mundo físico quase se evapora e ficamos com a
> Matemática. Quanto mais
> profundamente entendemos a Natureza, mais somos
> conduzidos para dentro
> desse mundo da Matemática e de conceitos
> matemáticos." (Roger Penrose)
> 
>

> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>

> =
> 
> 
> 
> 
>

=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>

=
>  

=
"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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Re: RES: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas

[Artur Costa Steiner]

Muito obrigado, Pedro!Eu naum conhecia este teorema que voce citou.
Estes pontos sobre funcoes analiticas devem constar no livro do Ahlfors,
certo?Artur

- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
<[EMAIL PROTECTED]>Assunto: RES: RES: RES: [obm-l] Funcoes
complexasData: 09/09/04 22:13Há
uma passagem que precisa ser mais detalhada.Seja p um ponto de D e U uma
vizinhança de p em D tal que g se anula em U.Considere z um outro ponto
de D, diferente de p. Queremos mostrar que sendog analítica em D, então
g(z)=0. Sabemos que a série de Taylor em torno de pconverge numa bolinha
centrada em p, que não obrigatoriamente contem z.Logo, não podemos daí
concluir que g(z)=0.Considere uma curva contida em D e que liga os
pontos p e z. (lembre-se queaberto e conexo em R^2 implica conexo por
caminhos).O raio de convergência da série de Taylor de g em torno de
cada ponto dacurva é maior que k, para algum k>0 pois a curva é
compacta e o raio deconvergência é uma função contínua em D. Considere
uma cobertura finita dacurva por bolinhas abertas de raio k/3 centradas
em pontos da curva. Comog=0 na bolinha centrada em p, concluímos que g=0
em todas estas bolinhas e,em particular, g(z)=0. Logo g=0 em
D.Há um teorema que eu acho mais interessante para aplicar no seu
problema:Seja U um aberto e conexo e g:U->C uma função analítica.
Se a função|g|:U->[0,+infinito) possui um máximo local, então g é
constante.Isso implica que se há um aberto contido em U onde a
função é constante,então a função é constante em todo o seu
domínio.Se o domínio de g não é conexo, então com certeza é
impossível ter o mesmoresultado. Basta pegar duas bolas abertas
disjuntas em C e definir f igual azero na primeira e 1 na segunda.
Defina g sendo 1 na primeira bola e 0 nasegunda. Então f.g=0 e nenhuma
delas é identicamente nula.Abraço. Pedro.-Mensagem
original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nomede Artur Costa
SteinerEnviada em: Thursday, September 09, 2004 12:44 PMPara: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re:
RES: RES: [obm-l] Funcoes complexasObrigado. Quero ver se peguei a
ideia, me corrija, por favor, se euestiver errado.A funcao g se
anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que acabou sendo
uma consequencia do fato de que analiticidade implicacontinuidade).
Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamentenulas em
U.Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar
g(z) emsérie de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se
anulam emp, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D.A exigencia
de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que paratodo z de D
possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum pde D.
Certo?Artur - Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para:
"[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: RES: RES:
[obm-l] Funcoes complexasData: 09/09/04 11:55Vale para todo
aberto e conexo.Abraço. Pedro.-Mensagem
original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nomede Artur Costa
SteinerEnviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AMPara: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re:
RES: [obm-l] Funcoes complexasObrigado pela contribuicao, a vc e ao
Claudio.Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto
de centrona origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo,
certo?Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para:
"[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: RES: [obm-l]
Funcoes complexasData: 08/09/04 21:34Se g é diferente de zero em
algum ponto p de D então g é diferente de zeroem um aberto U de D
contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,portanto, f é zero
em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.Os
contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem
contruídos.Abraço. Pedro.-Mensagem original-De:
[EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nomede Artur Costa
SteinerEnviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PMPara: [EMAIL PROTECTED]Assunto:
[obm-l] Funcoes complexasEu estou tentando provar a seguinte
proposicao (acredito que seja mesmoverdadeira), mas ainda naum consegui.
Talvez alguem possa dar algumasugestao.Sejam f e g funcoes
complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|<1}. Se f*g for
identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula emD) ou g =0.
Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh defato
essencial para a conclusao.Tentei desenvolver f e g em series de
Taylor em torno da origem, mas naum mcheguei aa conclusao
citada.AbracosArturOPEN
Internet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails
@=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a

RES: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

Há uma passagem que precisa ser mais detalhada.
Seja p um ponto de D e U uma vizinhança de p em D tal que g se anula em U.
Considere z um outro ponto de D, diferente de p. Queremos mostrar que sendo
g analítica em D, então g(z)=0. Sabemos que a série de Taylor em torno de p
converge numa bolinha centrada em p, que não obrigatoriamente contem z.
Logo, não podemos daí concluir que g(z)=0.
Considere uma curva contida em D e que liga os pontos p e z. (lembre-se que
aberto e conexo em R^2 implica conexo por caminhos).
O raio de convergência da série de Taylor de g em torno de cada ponto da
curva é maior que k, para algum k>0 pois a curva é compacta e o raio de
convergência é uma função contínua em D. Considere uma cobertura finita da
curva por bolinhas abertas de raio k/3 centradas em pontos da curva. Como
g=0 na bolinha centrada em p, concluímos que g=0 em todas estas bolinhas e,
em particular, g(z)=0. Logo g=0 em D.

Há um teorema que eu acho mais interessante para aplicar no seu problema:

Seja U um aberto e conexo e g:U->C uma função analítica. Se a função
|g|:U->[0,+infinito) possui um máximo local, então g é constante.

Isso implica que se há um aberto contido em U onde a função é constante,
então a função é constante em todo o seu domínio.

Se o domínio de g não é conexo, então com certeza é impossível ter o mesmo
resultado. Basta pegar duas bolas abertas disjuntas em C e definir f igual a
zero na primeira e 1 na segunda. Defina g sendo 1 na primeira bola e 0 na
segunda. Então f.g=0 e nenhuma delas é identicamente nula.

Abraço. Pedro.


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 12:44 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas

Obrigado. Quero ver se peguei a ideia,  me corrija, por favor,  se eu
estiver errado.
A funcao g se anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que 
acabou sendo uma consequencia do fato de que analiticidade implica
continuidade). Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamente
nulas em U.
Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar g(z) em
série de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se anulam em
p, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D.
A exigencia de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que para
todo z de D  possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum p
de D. 
Certo?
Artur 


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 09/09/04 11:55

Vale para todo aberto e conexo.


Abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas

Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo?
Artur 


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34

Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.

Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos.

Abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funcoes complexas

Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.

Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
<1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato essencial para a conclusao.

Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao citada.

Abracos
Artur


OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://

Re: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas

[Artur Costa Steiner]

Obrigado. Quero ver se peguei a ideia,  me corrija, por favor,  se eu
estiver errado.
A funcao g se anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que 
acabou sendo uma consequencia do fato de que analiticidade implica
continuidade). Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamente
nulas em U.
Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar g(z) em
série de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se anulam em
p, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D.
A exigencia de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que para
todo z de D  possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum p
de D. 
Certo?
Artur 


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 09/09/04 11:55

Vale para todo aberto e conexo.


Abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas

Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo?
Artur 


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34

Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.

Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos.

Abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funcoes complexas

Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.

Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
<1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato essencial para a conclusao.

Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao citada.

Abracos
Artur


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RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

Vale para todo aberto e conexo.


Abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas

Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo?
Artur 


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34

Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.

Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos.

Abraço. Pedro.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funcoes complexas

Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.

Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
<1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato essencial para a conclusao.

Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao citada.

Abracos
Artur


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Re: RES: RES: [obm-l] escola naval

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Olá !
Não li o problema, mas acredito que deva ser n+1 
soluções inteiras, ou seja,
Existem n+1 pares (x,y) de solução do sistema acima, 
pertencentes a: {(0,n),(1,n-1),...,(n,0)}

Até mais.


> Fael, como provar que para a + b = n existem n + 1 
soluções, para qualquer
> numero n? Pelo principio de indução finita?
>  Amplexos
>   Rick
>   - Original Message - 
>   From: [EMAIL PROTECTED]
>   To: [EMAIL PROTECTED]
>   Sent: Sunday, August 29, 2004 11:53 PM
>   Subject: Re: RES: RES: [obm-l] escola naval
> 
> 
>   Olhando agora minha resolução, vejo que cometi um 
erro de concordância
> verbal. Retificando:
> 
>   Estes casos também resultaM 60. Logo a resposta é 
60 + 60 = 120
> 
> 
> 
>   Em uma mensagem de 29/8/2004 22:07:02 Hora padrão 
leste da Am. Sul,
> [EMAIL PROTECTED] escreveu:
> 
> 
> 
> 
> 
> Brigado Fael, brigado marcelo
> Agora entendi
> Muito obrigado
> Um abraço
> 
> 
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] Em
> nome de [EMAIL PROTECTED]
> Enviada em: domingo, 29 de agosto de 2004 00:23
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: RES: [obm-l] escola naval
> 
> 
> Faça o seguinte:
> O problema se reduz a resolver a equação x` + y` 
+ z`+ w` = 7
> Pensemos nos casos
> a + b = 0 (1 solução)
> a + b = 1 (2 soluções)
> a + b = 2 (3 soluções)
> a + b = 3 (4 soluções)
> a + b = n (n + 1 soluções)
> 
> x` + y` + z`+ w` = 7
> (x` + y`) + (z`+ w`) = 7
> Sendo (x` + y`) = a e (z`+ w`) = b temos:
> 
> a + b = 7 (8 soluções)
> 
> a = 0 e b = 7 <> (x` + y`) = 0 (1 solução) e 
(z`+ w`) = 7 (8
> soluções) 8*1 = 8
> a = 1 e b = 6 <> (x` + y`) = 1 (2 soluções) e 
(z`+ w`) = 6(7
> soluções)2*7 = 14
> a = 2 e b = 5 <> (x` + y`) = 2 (3 soluções) e 
(z`+ w`) = 5(6
> soluções)3*6 = 18
> a = 3 e b = 4 <> (x` + y`) = 3 (4 soluções) e 
(z`+ w`) = 4(5
> soluções)4*5 = 20
> 
> 8 + 14 + 18 + 20 = 60
> 
> Mas devemos contar também o outro lado da 
simetria, ou seja, os casos:
> b = 0 e a = 7
> b = 1 e a = 6
> b = 2 e a = 5
> b = 3 e a = 4
> 
> Estes casos também resulta 60. Logo a resposta é 
60 + 60 = 120
> 
> 
> Em uma mensagem de 28/8/2004 23:04:27 Hora padrão 
leste da Am. Sul,
> [EMAIL PROTECTED] escreveu:
> 
> 
> 
> 
> 
> Ola Marcelo como vai?
> Muito obrigado, mas não entendi o final da 
resolução
> Esta parte
> O número de soluções inteiras e positivas desta 
equação é dado por
> 10 escolhe 3, que dá 120. =)
> Você pode explicar melhor?
> Desculpa a chatice, um abraço
> 
> 
> 
> 
> 
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] Em
> nome de Marcelo Ribeiro
> Enviada em: sábado, 28 de agosto de 2004 10:36
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: [obm-l] escola naval
> 
> 
> Oi, Bruno, tudo bom?
> 
> 
> 
> Sejam x,y,z,w as quantidades de livro doadas às 
quatro bibliotecas.
> Sabemos que x+y+z+w=15, e que x>=2,y>=2,z>=2,w>=2, 
portanto façamos a
> seguinte substituição x=x'+2,y=y'+2,z=z'+2 e w=w'+2. 
Agora, podemos resolver
> 
> 
> 
> x'+y'+z'+w'=7 para x',y',z',w'>0
> 
> 
> 
> O número de soluções inteiras e positivas desta 
equação é dado por
> 
> 10 escolhe 3, que dá 120. =)
> 
> 
> 
> espero ter esclarecido
> 
> abração
> 
> Marcelo
> Brunno [EMAIL PROTECTED]
> 
> 
> 
> 
> 
> Ola Pessoal tudo bem?
> Estou com problema nessa questão da Escola Naval
> Alguém pode me ajudar?
> Obrigado
> 1 - Uma livraria vai dor 15 livros iguais a 4 
bibliotecas. Cada
> biblioteca deve receber ao menos dois livros . O 
número de modos que esses
> livros podem ser repartidos nessa doação , é igual a
> 
> (A) 1365
> (B) 840
> (C) 240
> (D) 120
> (E) 35
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 

=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar 
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 

=
> 

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
2º ano em Engenharia Elétrica 
UNESP - Ilha Solteira

 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] escola naval

[Faelccmm]

Não tentei provar. Mas, talvez, com PIF ou equações de recorrência prova-se isso.



Em uma mensagem de 1/9/2004 23:43:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Fael, como provar que para a + b = n existem n + 1 soluções, para qualquer
numero n? Pelo principio de indução finita?
 Amplexos
  Rick
  - Original Message - 
  From: [EMAIL PROTECTED]
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Sent: Sunday, August 29, 2004 11:53 PM
  Subject: Re: RES: RES: [obm-l] escola naval


  Olhando agora minha resolução, vejo que cometi um erro de concordância
verbal. Retificando:

  Estes casos também resultaM 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120



  Em uma mensagem de 29/8/2004 22:07:02 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:





    Brigado Fael, brigado marcelo
    Agora entendi
    Muito obrigado
    Um abraço


    De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de [EMAIL PROTECTED]
    Enviada em: domingo, 29 de agosto de 2004 00:23
    Para: [EMAIL PROTECTED]
    Assunto: Re: RES: [obm-l] escola naval


    Faça o seguinte:
    O problema se reduz a resolver a equação x` + y` + z`+ w` = 7
    Pensemos nos casos
    a + b = 0 (1 solução)
    a + b = 1 (2 soluções)
    a + b = 2 (3 soluções)
    a + b = 3 (4 soluções)
    a + b = n (n + 1 soluções)

    x` + y` + z`+ w` = 7
    (x` + y`) + (z`+ w`) = 7
    Sendo (x` + y`) = a e (z`+ w`) = b temos:

    a + b = 7 (8 soluções)

    a = 0 e b = 7 <> (x` + y`) = 0 (1 solução) e (z`+ w`) = 7 (8
soluções) 8*1 = 8
    a = 1 e b = 6 <> (x` + y`) = 1 (2 soluções) e (z`+ w`) = 6(7
soluções)2*7 = 14
    a = 2 e b = 5 <> (x` + y`) = 2 (3 soluções) e (z`+ w`) = 5(6
soluções)3*6 = 18
    a = 3 e b = 4 <> (x` + y`) = 3 (4 soluções) e (z`+ w`) = 4(5
soluções)4*5 = 20

    8 + 14 + 18 + 20 = 60

    Mas devemos contar também o outro lado da simetria, ou seja, os casos:
    b = 0 e a = 7
    b = 1 e a = 6
    b = 2 e a = 5
    b = 3 e a = 4

    Estes casos também resulta 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120


    Em uma mensagem de 28/8/2004 23:04:27 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:





    Ola Marcelo como vai?
    Muito obrigado, mas não entendi o final da resolução
    Esta parte
    O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por
    10 escolhe 3, que dá 120. =)
    Você pode explicar melhor?
    Desculpa a chatice, um abraço





    De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Marcelo Ribeiro
    Enviada em: sábado, 28 de agosto de 2004 10:36
    Para: [EMAIL PROTECTED]
    Assunto: Re: [obm-l] escola naval


    Oi, Bruno, tudo bom?



    Sejam x,y,z,w as quantidades de livro doadas às quatro bibliotecas.
Sabemos que x+y+z+w=15, e que x>=2,y>=2,z>=2,w>=2, portanto façamos a
seguinte substituição x=x'+2,y=y'+2,z=z'+2 e w=w'+2. Agora, podemos resolver



    x'+y'+z'+w'=7 para x',y',z',w'>0



    O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por

    10 escolhe 3, que dá 120. =)



    espero ter esclarecido

    abração

    Marcelo
    Brunno [EMAIL PROTECTED]





    Ola Pessoal tudo bem?
    Estou com problema nessa questão da Escola Naval
    Alguém pode me ajudar?
    Obrigado
    1 - Uma livraria vai dor 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada
biblioteca deve receber ao menos dois livros . O número de modos que esses
livros podem ser repartidos nessa doação , é igual a

    (A) 1365
    (B) 840
    (C) 240
    (D) 120
    (E) 35

Re: RES: RES: [obm-l] escola naval

[Rick]

Fael, como provar que para a + b = n existem n + 1 soluções, para qualquer
numero n? Pelo principio de indução finita?
 Amplexos
  Rick
  - Original Message - 
  From: [EMAIL PROTECTED]
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Sent: Sunday, August 29, 2004 11:53 PM
  Subject: Re: RES: RES: [obm-l] escola naval


  Olhando agora minha resolução, vejo que cometi um erro de concordância
verbal. Retificando:

  Estes casos também resultaM 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120



  Em uma mensagem de 29/8/2004 22:07:02 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:





Brigado Fael, brigado marcelo
Agora entendi
Muito obrigado
Um abraço


De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: domingo, 29 de agosto de 2004 00:23
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] escola naval


Faça o seguinte:
O problema se reduz a resolver a equação x` + y` + z`+ w` = 7
Pensemos nos casos
a + b = 0 (1 solução)
a + b = 1 (2 soluções)
a + b = 2 (3 soluções)
a + b = 3 (4 soluções)
a + b = n (n + 1 soluções)

x` + y` + z`+ w` = 7
(x` + y`) + (z`+ w`) = 7
Sendo (x` + y`) = a e (z`+ w`) = b temos:

a + b = 7 (8 soluções)

a = 0 e b = 7 <> (x` + y`) = 0 (1 solução) e (z`+ w`) = 7 (8
soluções) 8*1 = 8
a = 1 e b = 6 <> (x` + y`) = 1 (2 soluções) e (z`+ w`) = 6(7
soluções)2*7 = 14
a = 2 e b = 5 <> (x` + y`) = 2 (3 soluções) e (z`+ w`) = 5(6
soluções)3*6 = 18
a = 3 e b = 4 <> (x` + y`) = 3 (4 soluções) e (z`+ w`) = 4(5
soluções)4*5 = 20

8 + 14 + 18 + 20 = 60

Mas devemos contar também o outro lado da simetria, ou seja, os casos:
b = 0 e a = 7
b = 1 e a = 6
b = 2 e a = 5
b = 3 e a = 4

Estes casos também resulta 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120


Em uma mensagem de 28/8/2004 23:04:27 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:





Ola Marcelo como vai?
Muito obrigado, mas não entendi o final da resolução
Esta parte
O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por
10 escolhe 3, que dá 120. =)
Você pode explicar melhor?
Desculpa a chatice, um abraço





De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Marcelo Ribeiro
Enviada em: sábado, 28 de agosto de 2004 10:36
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] escola naval


Oi, Bruno, tudo bom?



Sejam x,y,z,w as quantidades de livro doadas às quatro bibliotecas.
Sabemos que x+y+z+w=15, e que x>=2,y>=2,z>=2,w>=2, portanto façamos a
seguinte substituição x=x'+2,y=y'+2,z=z'+2 e w=w'+2. Agora, podemos resolver



x'+y'+z'+w'=7 para x',y',z',w'>0



O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por

10 escolhe 3, que dá 120. =)



espero ter esclarecido

abração

Marcelo
Brunno [EMAIL PROTECTED]





Ola Pessoal tudo bem?
Estou com problema nessa questão da Escola Naval
Alguém pode me ajudar?
Obrigado
1 - Uma livraria vai dor 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada
biblioteca deve receber ao menos dois livros . O número de modos que esses
livros podem ser repartidos nessa doação , é igual a

(A) 1365
(B) 840
(C) 240
(D) 120
(E) 35











=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] escola naval

[Faelccmm]

Olhando agora minha resolução, vejo que cometi um erro de concordância verbal. Retificando:

Estes casos também resultaM 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120 



Em uma mensagem de 29/8/2004 22:07:02 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:




Brigado Fael, brigado marcelo
Agora entendi
Muito obrigado
Um abraço
 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: domingo, 29 de agosto de 2004 00:23
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] escola naval

 
Faça o seguinte: 
O problema se reduz a resolver a equação x` + y` + z`+ w` = 7 
Pensemos nos casos 
a + b = 0 (1 solução) 
a + b = 1 (2 soluções) 
a + b = 2 (3 soluções) 
a + b = 3 (4 soluções) 
a + b = n (n + 1 soluções) 

x` + y` + z`+ w` = 7 
(x` + y`) + (z`+ w`) = 7 
Sendo (x` + y`) = a e (z`+ w`) = b temos: 

a + b = 7 (8 soluções) 

a = 0 e b = 7 <> (x` + y`) = 0 (1 solução) e (z`+ w`) = 7 (8 soluções) 8*1 = 8 
a = 1 e b = 6 <> (x` + y`) = 1 (2 soluções) e (z`+ w`) = 6(7 soluções)2*7 = 14 
a = 2 e b = 5 <> (x` + y`) = 2 (3 soluções) e (z`+ w`) = 5(6 soluções)3*6 = 18 
a = 3 e b = 4 <> (x` + y`) = 3 (4 soluções) e (z`+ w`) = 4(5 soluções)4*5 = 20 

8 + 14 + 18 + 20 = 60 

Mas devemos contar também o outro lado da simetria, ou seja, os casos: 
b = 0 e a = 7 
b = 1 e a = 6 
b = 2 e a = 5 
b = 3 e a = 4 

Estes casos também resulta 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120 


Em uma mensagem de 28/8/2004 23:04:27 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 





Ola Marcelo como vai? 
Muito obrigado, mas não entendi o final da resolução 
Esta parte 
O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por 
10 escolhe 3, que dá 120. =) 
Você pode explicar melhor? 
Desculpa a chatice, um abraço 





De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcelo Ribeiro 
Enviada em: sábado, 28 de agosto de 2004 10:36 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Assunto: Re: [obm-l] escola naval 


Oi, Bruno, tudo bom? 



Sejam x,y,z,w as quantidades de livro doadas às quatro bibliotecas. Sabemos que x+y+z+w=15, e que x>=2,y>=2,z>=2,w>=2, portanto façamos a seguinte substituição x=x'+2,y=y'+2,z=z'+2 e w=w'+2. Agora, podemos resolver 



x'+y'+z'+w'=7 para x',y',z',w'>0 



O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por 

10 escolhe 3, que dá 120. =) 



espero ter esclarecido 

abração 

Marcelo 
Brunno [EMAIL PROTECTED] 





Ola Pessoal tudo bem? 
Estou com problema nessa questão da Escola Naval 
Alguém pode me ajudar? 
Obrigado 
1 - Uma livraria vai dor 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros . O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação , é igual a 

(A) 1365 
(B) 840 
(C) 240 
(D) 120 
(E) 35 




 

RES: RES: [obm-l] escola naval

[Brunno]

Brigado Fael, brigado marcelo

Agora entendi

Muito obrigado

Um abraço

 









De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: domingo, 29 de agosto
de 2004 00:23
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] escola
naval



 

Faça o seguinte: 
O problema se reduz a resolver a equação x` + y` + z`+ w` = 7 
Pensemos nos casos 
a + b = 0 (1 solução) 
a + b = 1 (2 soluções) 
a + b = 2 (3 soluções) 
a + b = 3 (4 soluções) 
a + b = n (n + 1 soluções) 

x` + y` + z`+ w` = 7 
(x` + y`) + (z`+ w`) = 7 
Sendo (x` + y`) = a e (z`+ w`) = b temos: 

a + b = 7 (8 soluções) 

a = 0 e b = 7 <> (x` + y`) = 0 (1 solução) e (z`+ w`) = 7 (8
soluções) 8*1 = 8 
a = 1 e b = 6 <> (x` + y`) = 1 (2 soluções) e (z`+ w`) = 6(7
soluções)2*7 = 14 
a = 2 e b = 5 <> (x` + y`) = 2 (3 soluções) e (z`+ w`) = 5(6
soluções)3*6 = 18 
a = 3 e b = 4 <> (x` + y`) = 3 (4 soluções) e (z`+ w`) = 4(5
soluções)4*5 = 20 

8 + 14 + 18 + 20 = 60 

Mas devemos contar também o outro lado da simetria, ou seja, os casos: 
b = 0 e a = 7 
b = 1 e a = 6 
b = 2 e a = 5 
b = 3 e a = 4 

Estes casos também resulta 60. Logo a resposta é 60 + 60 = 120 


Em uma mensagem de 28/8/2004 23:04:27 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 






Ola Marcelo como vai? 
Muito obrigado, mas não entendi o final da
resolução 
Esta parte 
O número de soluções
inteiras e positivas desta equação é dado por 
10 escolhe 3, que dá 120. =) 
Você pode explicar melhor? 
Desculpa a chatice, um abraço 





De: owner-[EMAIL PROTECTED]
[mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de Marcelo Ribeiro 
Enviada em: sábado, 28 de agosto
de 2004 10:36 
Para: [EMAIL PROTECTED]

Assunto: Re: [obm-l] escola naval 


Oi, Bruno, tudo bom? 



Sejam x,y,z,w as quantidades de
livro doadas às quatro bibliotecas. Sabemos que x+y+z+w=15, e que
x>=2,y>=2,z>=2,w>=2, portanto façamos a seguinte substituição
x=x'+2,y=y'+2,z=z'+2 e w=w'+2. Agora, podemos resolver 



x'+y'+z'+w'=7 para x',y',z',w'>0 



O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por 

10 escolhe 3, que dá 120. =) 



espero ter esclarecido 

abração 

Marcelo 
Brunno [EMAIL PROTECTED] 






Ola Pessoal tudo bem? 
Estou com problema nessa questão da Escola Naval 
Alguém pode me ajudar? 
Obrigado 
1 - Uma livraria vai dor 15 livros iguais a 4 bibliotecas.
Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros . O número de modos que esses
livros podem ser repartidos nessa doação , é igual a 

(A) 1365 
(B) 840 
(C) 240 
(D) 120 
(E) 35 






 

RES: RES: [obm-l] QI [OFF TOPIC]

[Guilherme]

Title: Mensagem



Olá!
 
Se 
quiser discutir em private, pode me escrever: [EMAIL PROTECTED]
 
Um 
grande abraço, 
 
Guilherme.
 
www.gui.pro.br
 

  
  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de 
  [EMAIL PROTECTED]Enviada em: sábado, 7 de agosto de 2004 
  16:03Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: RES: [obm-l] 
  QI [OFF TOPIC]Gulilherme, Você 
  também se interessa pelo assunto ? Pena que não há nenhuma lista em língua 
  portuguesa para discutirmos, não é verdade ? Para quem não sabe nada sobre 
  o assunto, aqui vai um link com cut-offs de admissão, testes, sociedades de 
  alto Q.I, etc... http://www.eskimo.com/~miyaguch/hoeflin.html 
  Em uma mensagem de 7/8/2004 15:15:53 Hora padrão leste 
  da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  Olá, Tenho algumas observações a respeito do tópico: = 
Estudei o assunto durante 4 anos e posso te explicar algumas 
  coisas em pvt. O que posso te garantir de antemão é que a inteligência é 
  medida em unidades-sigma representando o desvio padrão numa curva de 
  inteligência. Há várias normas, uma delas diz que o desvio padrão varia de 
  16 em 16 a partir do ponto de "normalidade", ou seja, Q.I de 
  100. 
  = Embora o desvio-padrão 16 
  seja mais utilizado, ainda existem outros, como o que a Mensa usa, que 
  vale 24 ou o que é usado em testes como o TSH do Paul Coiijmans, que vale 
  15. 
  Assim, 
  um QI 138 sozinho não significa nada palpável (apenas uma inteligência 
  acima da normal), já que ele seria equivalente a 123 se adotarmos desvio 
  padrão 15. Deve sempre ser informado o desvio padrão 
  utilizado. 
  Ainda, 
  devemos ter cuidado na hora de analisar apenas resultados de QI para 
  classificar inteligência. Existem outras formas de expressar inteligência, 
  como Gardner (um pouco ultrapassado, mas interessante) cita. Mais um detalhe, entre as 
  sociedades de alto QI, a Giga é menos considerada que outras, como a Mega 
  Society, por causa da falta de rigor na sua admissão. Um abração, Guilherme. === 
   Por exemplo: Um Q.I de 196 apenas 6 
  individuos no mundo têm (http://www.gigasociety.org/gigaweb.htm) 
  ou seja, eles tem 6*16=96 (100 + 96=196) 6 desvios padrão acima da 
  média, um Q.I de 132 apenas 2% da população brasileira, e por aí vai. 
  Mas fale para seu amigo que existem os testes de Q.I inflados, ou 
  seja, aqueles que dizem que uma pessoa tem um Q.I muito maior do que 
  realmente ela tem, devido à aplicação deste teste por um psicólogo 
  incompetente. A pessoa deve fazer uma bateria de testes 
  (lógicos,matemáticos, verbais, espaciais, etc...). Conversei a um 
  tempo atrás com um dos membros da Giga (KATSIOULIS) 
  e ele me dizia que não ve nada de novo nos testes de Q.I e todos se 
  tornaram triviais para ele, e por isso, não vê mais "graça" neles. Isso é 
  perfeitamente possível para um outsider e gênio como ele e outros por aí. 
     Em uma mensagem de 7/8/2004 12:56:24 Hora 
  padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  Ola amigos da lista , Qual o valor do QI de um aluno 
gênio , superdotado , normal e debilitado?Resolvi fazer esta 
pergunta pois um aluno me disse, muito contente por sinal , que seu 
QI era 138 .Gostaria de saber mais a respeito dos valores do QI de 
uma pessoa .Será que alguém pode me ajudar?[]’sLuiz H. 
Barbosa    

RES: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos

[David M. Cardoso]

Realmente.. realmente.. o vazio conta como o numero 1..
ok .. obrigado!

[]'s
David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bernardo 
> Freitas Paulo da Costa
> Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 21:29
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> 
> Oi, David,
> 
> Enumere os primos menores do que 20:
> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: são 8.
> 
> Um número que satisfaça as condições do enunciado pode ter, 
> no máximo, um de cada um destes fatores, pela segunda parte, 
> e nenhum outro fator, pela primeira parte.
> Assim, temos um problema de combinatória, agora:
> quantos números podemos formar utilizando apenas o produto de 
> 8 primos, onde não podemos incluir um primo duas vezes. Ou, 
> mais combinatória ainda, quantos subconjuntos de um conjunto 
> de 8 elementos existem?
> Para ver que as soluções são iguais, associe a cada 
> subconjunto o número correspondente ao produto de seus 
> elementos, e ao subconjunto vazio o número 1 (eis aqui mais 
> uma boa justificativa para termos um produtório vazio valendo 1!!)
> 
> Bom, para este problema a resposta é conhecida: vale 2^8 = 256.
> Pronto, são 256 números.
> 
> Abraços,
> Bernardo Costa
> 
> 
> On Tue, 20 Jul 2004, David M. Cardoso wrote:
> 
> > 
> > Droga droga droga !!!
> > Na pressa, errei o enunciado da questão!
> > Mil desculpas!
> > 
> > Segue o enunciado correto:
> > 
> > "Quantos inteiros existem que não são divisíveis por 
> qualquer que seja 
> > o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer 
> > que seja o primo?"
> > 
> > Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar 
> minhas duvidas 
> > de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o 
> > enunciado da questao... :~(
> > 
> > []'s
> > David
> > 
> > > -Mensagem original-
> > > De: [EMAIL PROTECTED]
> > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno 
> França dos Reis 
> > > Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53
> > > Para: [EMAIL PROTECTED]
> > > Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> > > 
> > > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
> > > Hash: SHA1
> > > 
> > > On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote:
> > > > Mais duas questoes que não consigo me mecher:
> > > >
> > > > Quantos inteiros existem que não são divisíveis por
> > > qualquer que seja
> > > > o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que
> > > seja o primo?
> > > 
> > > a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o primo 
> > > maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que 
> > > seja n natural.
> > > 
> > > b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por 
> ao menos 
> > > um primo:
> > > se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de 
> primos, e se ele 
> > > é primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. 
> Já o 1 é 
> > > divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham 
> com essa de 
> > > que 1 é primo também!)
> > > 
> > > acho que é isso!
> > > 
> > > abraço
> > > 
> > > - --
> > > Bruno França dos Reis
> > > brunoreis at terra com br
> > > icq: 12626000
> > > gpg-key: 
> > > http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> > > 
> > > -BEGIN PGP SIGNATURE-
> > > Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux)
> > > 
> > > iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb
> > > iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g=
> > > =qpSy
> > > -END PGP SIGNATURE-
> > > 
> > > ==
> > > ===
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > ==
> > > ===
> > > 
> > 
> > 
> > 
> ==
> > === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a 
> lista em 
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > 
> ==
> > ===
> > 
> 
> ==
> ===
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ==
> ===
> 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: RES: [obm-l] Geometria!!

[Cloves Jr]

Eh 
verdade... naum percebi isto...
 

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Augusto Cesar de Oliveira 
  MorgadoEnviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 
  12:08Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: RES: [obm-l] 
  Geometria!!Negativa? 
  == 
  Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova 
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  Original Message --- From: "Cloves Jr" <[EMAIL PROTECTED]> 
  To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Mon, 5 Apr 2004 11:00:50 -0300 
  Subject: RES: [obm-l] Geometria!! > Carlos, >   > Naum sei se era 
  bem isso o que vc queria, mas vamos lah: >   > Vou definir 
  algumas coisas: >   > - Am = Area das 
  medianas > - Aq = Area do Quadrado Maior 
  > - Acm = Area da circunferencia maior > - Aci = Area da 
  circunferencia inscrita > - Av = Area do 
  espaco junto ao vertice > - R = Raio da 
  circunferencia maior > - r = Raio da 
  circunferencia menor > - L = Lado 
  do quadrado maior > - l = Lado do quadrado menor 
  >   >   > Aq = 
  L^2 > L = R/2 > Aq = 1/4 
  R^2 >   
  > R = r/2 => r = 2R >   > Se eu entendi o 
  problema, vc quer somente a area formada pelos dois espacos que sobram junto 
  as medianas do quadrado maior entao: >   > Am = Aq - 
  Acm - 4Aci - 4Av > Am = (1/4 R^2) 
  - (Pi R^2) - (4Pi r^2) - 4 (1/4 (R^2 - (Pi r^2))) > Am = (1/4 R^2) 
  - (Pi R^2) - (16Pi R^2) - (R^2 (1 - 4Pi)) > 
  Am = R^2 
  (1/4 - 17Pi - 1 + 4Pi) > Am = R^2 ( 1/4 
  (-3 - 52Pi)) >   > []s >   
  > Cloves Jr >   >   
  > -Mensagem original- 
> De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Carlos Alberto > 
Enviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 09:07 > 
Para: [EMAIL PROTECTED] > Assunto: [obm-l] 
Geometria!! > > > Alguem pode me ajudar?!!! 
>   > Como se resolve isso!!! >   > Há 
uma circunferência inscrita num quadrado (de raio R). Divida o quadrado em 
quatro quadrados iguais (ligando as medianas dos lados, óbvio). Dentro de um 
desses quadrados, há uma circunferência inscrita. Nesse quadrado menor 
sobram 3 espaços não perencentes às circunferências (um deles no vértice, e 
os outros dois, iguais, juntos às medianas do quadrado maior). Desenvolva 
uma fórmula que calcule a soma das áreas desses dois espaços iguais, com 
base no raio do círculo maior, R. >   > [ ],s Carlos 
> > 

Yahoo! 
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sua conta agora!--- End of Original Message 
  --- 

Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)

[Thor]

- Original Message -
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, March 29, 2004 11:56 PM
Subject: Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)


> on 29.03.04 23:17, David M. Cardoso at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> >
> > Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu comprar por aqui,
> > eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se
esse
> > for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra
> > comprar esse livro pra mim..
> >
> > Agradeço muito a boa vontade..
> > David
> >   Eu tb moro em Recife, vc pode comprar na UFPE Secretaria do
MAT( procurar fátima), qualquer coisa me manda um e-mail que te explico
melhor.´( [EMAIL PROTECTED] ).

 Cláudio thor.







> No menu do lado esquerdo clique em "Livros".
>
> Em seguida, clique em "Colecao do Professor de Matematica (CPM)"
>
> O livro que voce quer eh o CPM/02. Clique para ver uma descricao.
>
> Para encomendar, volte a segunda pagina, clique em "Como e onde comprar" e
> siga as instrucoes lah contidas.
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)

[Rafael]

Na UFPE vende. Vá na área 2, na secretaria da
matemática, onde se faz matrícula vende. Pelo menos
vendia em 2002...

Abraços,

Rafael.

 --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > on 29.03.04 23:17, David M. Cardoso at
> [EMAIL PROTECTED] wrote:
> 
> > 
> > Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu
> comprar por aqui,
> > eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele
> traz pra mim, mas se esse
> > for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele
> onde ele tem que ir pra
> > comprar esse livro pra mim..
> > 
> > Agradeço muito a boa vontade..
> > David
> > 
> > 
> Nao precisa esperar o seu pai vir pra SP.
> 
> Entre no site:
> http://www.sbm.org.br/
> 
> No menu do lado esquerdo clique em "Livros".
> 
> Em seguida, clique em "Colecao do Professor de
> Matematica (CPM)"
> 
> O livro que voce quer eh o CPM/02. Clique para ver
> uma descricao.
> 
> Para encomendar, volte a segunda pagina, clique em
> "Como e onde comprar" e
> siga as instrucoes lah contidas.
> 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)

[Claudio Buffara]

on 29.03.04 23:17, David M. Cardoso at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> 
> Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu comprar por aqui,
> eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se esse
> for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra
> comprar esse livro pra mim..
> 
> Agradeço muito a boa vontade..
> David
> 
> 
Nao precisa esperar o seu pai vir pra SP.

Entre no site:
http://www.sbm.org.br/

No menu do lado esquerdo clique em "Livros".

Em seguida, clique em "Colecao do Professor de Matematica (CPM)"

O livro que voce quer eh o CPM/02. Clique para ver uma descricao.

Para encomendar, volte a segunda pagina, clique em "Como e onde comprar" e
siga as instrucoes lah contidas.


[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)

[niski]

David, tente falar com as seguintes pessoas (para o livro do Morgado)

Cícero Monteiro de Souza – [EMAIL PROTECTED]
Universidade Federal Rural de Pernambuco - Departamento de Física e 
Matemática
Av. D. Manoel de Medeiros, s/nº
Dois Irmãos
CEP: 52071-900 - Recife – PE
Fone: (81) 441-4577

Paulo Roberto Santiago – [EMAIL PROTECTED]
Universidade Federal de Pernambuco - Departamento de Matemática
Av. Prof. Luiz Freire, s/n - CCEN - Cidade Universitária
CEP: 50740-540 - Recife - PE.
Fone: (81) 3271-8410 - Ramal: 238
Um abraço

David M. Cardoso wrote:

Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu comprar por aqui,
eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se esse
for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra
comprar esse livro pra mim..
Agradeço muito a boa vontade..
David
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)

[David M. Cardoso]

Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu comprar por aqui,
eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se esse
for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra
comprar esse livro pra mim..

Agradeço muito a boa vontade..
David


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] dúvida

[ariel]

quem caça aves de pé, o melhor eh deitado, assim o passaro nao vai te ver, a 
nao ser que seja um gaviao... hehehe
chega de piadinhas... rs 

[]s
Ariel 

David M. Cardoso escreveu: 

Heheh.. vixe maria... êta galerinha pra gostah de complicar: qdo o problema
eh fácil sempre tem um pra comecar a botar detalhe ateh não saber mais -
hehe... 

Pootz:
h' = h + [altura da arma em relação ao chão] 

onde chão é o "eixo imaginário bla bla bla" . rs 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sábado, 27 de março de 2004 16:51
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] dúvida 

Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
com a arma nos pés... 

ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>e escrevendo no papel:
>
>Tg[Pi/3] = h / x
>Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>
>sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
>sqrt(3)/3 = h / (x+d)
>
>sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
>h + d.sqrt(3) = 3h
>d = 2h/sqrt(3)
>d = 2h.sqrt(3)/3
>
>bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
>
>
>
>David M. Cardoso escreveu:
>
>>
>> Colocando esse sistema no mathematica:
>>
>> Tg[Pi/3] = h / x
>> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>>
>> ele retorna:
>> d = 2*h*raiz(3)/3
>>
>>> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura
"h"
>>> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a
ave
de
>>> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave
em
>>> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
>>> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
>>> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
>>
>>
>>
=
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>
=
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
> 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: RES: [obm-l] dúvida

[David M. Cardoso]

Heheh.. vixe maria... êta galerinha pra gostah de complicar: qdo o problema
eh fácil sempre tem um pra comecar a botar detalhe ateh não saber mais -
hehe...

Pootz:
h' = h + [altura da arma em relação ao chão]

onde chão é o "eixo imaginário bla bla bla" . rs

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
> de [EMAIL PROTECTED]
> Enviada em: sábado, 27 de março de 2004 16:51
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: RES: [obm-l] dúvida
> 
> Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar
> com a arma nos pés...
> 
> ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
> >
> >e escrevendo no papel:
> >
> >Tg[Pi/3] = h / x
> >Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> >
> >sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
> >sqrt(3)/3 = h / (x+d)
> >
> >sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
> >h + d.sqrt(3) = 3h
> >d = 2h/sqrt(3)
> >d = 2h.sqrt(3)/3
> >
> >bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
> >
> >
> >
> >David M. Cardoso escreveu:
> >
> >>
> >> Colocando esse sistema no mathematica:
> >>
> >> Tg[Pi/3] = h / x
> >> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> >>
> >> ele retorna:
> >> d = 2*h*raiz(3)/3
> >>
> >>> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura
> "h"
> >>> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a
> ave
> de
> >>> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave
> em
> >>> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
> >>> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
> >>> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>
> =
> >
> >=
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >=
> >
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: RES: [obm-l] dúvida

[David M. Cardoso]

> Suponho que h seja a altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo)
> que vai do solo ateh a bala,

Na verdade eu entendi H como sendo a altura [...] q vai do solo ateh o pato.

> ... passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh
> crescente no intervalo [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um
> angulo alfa, cujo cateto oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa
> (de 0 a 90, eh claro) maior sera h. Mas vejamos o sistema:
> 
> Tg[Pi/3] = h / x
> Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> 
> Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? As alturas
> nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ?

Eu entendi q o pato voava no sentido horizontal, paralelo ao chão e
perpendicularmente ao eixo de H. se for assim mesmo, a altura do pato não
varia.

Por esse raciocínio, x seria a distancia, na horizontal, do atirador até o
pato no primeiro disparo. E "d" seria a distância que o pato se afastou
(sempre na horizontal) entre o primeiro e o segundo disparo.

> 
> 
> 
> 
> 
> 
> Em uma mensagem de 27/3/2004 03:18:14 Hora padrão leste da Am. Sul,
> [EMAIL PROTECTED] escreveu:
> 
> 
> 
> 
>   e escrevendo no papel:
> 
>   Tg[Pi/3] = h / x
>   Tg[Pi/6] = h / (x+d)
> 
>   sqrt(3) = h / x  ==> x = h/sqrt(3)
>   sqrt(3)/3 = h / (x+d)
> 
>   sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d)
>   h + d.sqrt(3) = 3h
>   d = 2h/sqrt(3)
>   d = 2h.sqrt(3)/3
> 
>   bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs
> 
> 
> 
>   David M. Cardoso escreveu:
> 
>   >
>   > Colocando esse sistema no mathematica:
>   >
>   > Tg[Pi/3] = h / x
>   > Tg[Pi/6] = h / (x+d)
>   >
>   > ele retorna:
>   > d = 2*h*raiz(3)/3
>   >
>   >> Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma
> altura "h"
>   >> do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge
> a ave de
>   >> raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge
> a ave em
>   >> cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo
>   >> disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de:
>   >> a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
>   >
>   >
> 
> 
> 
> 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: RES: [obm-l] Quadrados no tabuleiro

[David M. Cardoso]

> ...
> 
> Deu pra entender?
> 

deu sim, perfeitamente, obrigado.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: RES: RES: [obm-l] torres

[Faelccmm]

Ola Douglas,

Nao respondi em resposta ao seu e-mail, mas sim em resposta ao topico. Ja pensou se criassemos um topico para cada mensagem ? Eu na verdade so quis comentar sobre duas abordagens diferentes em relacao a estes problemas, ou seja, uma pela MATEMATICA RECREATIVA (que eu acho a mais interessante) e outra pela ANALISE COMBINATORIA. 

ps: Eu quis escrever ANALISE COMBINATORIA, mas acabei escrevendo PROBABILIDADE.  



Em uma mensagem de 20/2/2004 19:04:42 Hora padrÃo leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:




Concordo inteiramente com o seu ponto de vista. SÃ nÃo entendi pq vc mandou esse e-mail âem respostaâ ao meu =P
 
Um abraÃo, Douglas Ribeiro Silva
 
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 20 de fevereiro de 2004 04:03
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] torres
 
Ola, 

UMA COISA eh voce pedir para alguem colocar 8 rainhas em um trabuleiro nao havendo ataque uma nas outras (MATEMATICA RECREATICA) OUTRA COISA eh calcular de quantos modos isso eh possivel (PROBABILIDADE). 
Sao areas diferentes na matematica, mas cada uma tem seus adeptos e amantes. 
Da mesma forma que dizer para alguem montar o cubo Rubick (MATEMATICA RECREATIVA (UTILIZANDO APENAS RACIOCINIO) E/OU TEORIA DOS GRUPOS) ou calcular o numero total de diferentes configuracoes (PROBABILIDADE). Ha uma diferenca estetica ao meu ver. 



Em uma mensagem de 20/2/2004 03:53:37 Hora padrÃo leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 





Na verdade o problema que ele passou à o mesmo problema das rainhas. De quantas formas podemos colocar essas rainhas no tabuleiro? 

-Mensagem original- 
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: sexta-feira, 20 de fevereiro de 2004 02:22 
Para: [EMAIL PROTECTED] 
Assunto: Re: [obm-l] torres 

Ola, 

Tem certeza que digitou corretamente o enunciado ? 

Seria: 

De forma que 2 torres nao estejam na mesma linha 

OU 

De forma que as 8 torres nao se ataquem ? 


Ps: Eu ja vi um bem interessante: Coloque 8 rainhas em um tabuleiro sem que nenhuma ataque as outras  




Em uma mensagem de 19/2/2004 17:33:00 Hora padrÃo leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 





De quantas maneiras podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de forma 
que duas torres nÃo estejam na mesma linha, coluna ou diagonal? 

RES: RES: [obm-l] torres

[Douglas Ribeiro Silva]

Concordo
inteiramente com o seu ponto de vista. Só não entendi pq vc
mandou esse e-mail “em resposta” ao meu =P

 

Um abraço, Douglas Ribeiro Silva

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de [EMAIL PROTECTED]com
Enviada em: sexta-feira, 20 de
fevereiro de 2004 04:03
Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] torres

 

Ola, 

UMA COISA eh voce pedir para alguem colocar 8 rainhas
em um trabuleiro nao havendo ataque uma nas outras (MATEMATICA RECREATICA)
OUTRA COISA eh calcular de quantos modos isso eh possivel (PROBABILIDADE). 
Sao areas diferentes na matematica, mas cada uma tem seus adeptos e amantes. 
Da mesma forma que dizer para alguem montar o cubo Rubick (MATEMATICA
RECREATIVA (UTILIZANDO APENAS RACIOCINIO) E/OU TEORIA DOS GRUPOS) ou calcular o
numero total de diferentes configuracoes (PROBABILIDADE). Ha uma diferenca
estetica ao meu ver. 



Em uma mensagem de 20/2/2004 03:53:37 Hora padrão
leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: 






Na verdade o problema que ele passou é o
mesmo problema das rainhas. De quantas formas podemos colocar essas rainhas no
tabuleiro? 

-Mensagem original- 
De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de [EMAIL PROTECTED]com 
Enviada em: sexta-feira, 20 de
fevereiro de 2004 02:22 
Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br 
Assunto: Re: [obm-l] torres 

Ola, 

Tem certeza que digitou corretamente o enunciado ? 

Seria: 

De forma que 2 torres nao estejam na mesma linha 

OU 

De forma que as 8 torres nao se ataquem ? 


Ps: Eu ja vi um bem interessante: Coloque 8 rainhas em
um tabuleiro sem que nenhuma ataque as outras  




Em uma mensagem de 19/2/2004 17:33:00 Hora padrão
leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: 





De quantas maneiras podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de forma 
que duas torres não estejam na mesma linha, coluna ou diagonal? 

RES: RES: [obm-l] um problema de geometria espacial

[Guilherme]

Sim, mas a reta em questão é a perpendicular ao plano formado pelos três
pontos que passa pelo circuncentro do triângulo. Isto é fácil de
entender pensando nos três triângulos retângulos que podem ser formados
pelos seguintes pontos:
1) qualquer ponto dessa reta 
2) o circuncentro do triângulo 
3) os três vértices do triângulo (um  para cada triângulo retângulo)

Como o circuncentro tem distância igual (Raio) até os três vértices do
triângulo, um cateto do triângulo é o mesmo para os três triângulos.
Como o Raio é constante (a mesma distância do circuncentro até os três
vértices do triângulo), então o outro cateto tem também a mesma medida
para os três triângulos retângulos
Logo, por Pitágoras, a hipotenusa (distância do ponto sobre a reta até
cada vértice) é a mesma para os três triângulos retângulos.
Daí podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
três pontos não alinhados no espaço é a reta perpendicular ao plano
determinado pelos três pontos que passa pelo circuncentro do triângulo
formado por eles.

Um grande abraço, 

Guilherme.


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de niski
Enviada em: sábado, 14 de fevereiro de 2004 16:18
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] um problema de geometria espacial


Guilhereme e membros da lista. Sobraram algumas duvidas, vou comentar no

seu texto.

> Primeiro temos que perceber que o centro da esfera está 
> obrigatoriamente em algum ponto de h, pois o centro deve ser 
> equidistante dos vértices do triângulo equilátero (distância igual ao 
> raio da esfera) e o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três 
> pontos no espaço é justamente a reta perpendicular ao plano 
> determinado por estes três pontos, que passa pelo circuncentro deste 
> triângulo.

O que voce quis dizer é que se 3 pontos formam um triangulo equilatero, 
a reta que passa pelo centro desse triangulo equilatero é o lugar 
geometrico dos pontos que distam igualmente dos 3 pontos certo? Se os 3 
pontos nao formarem um triangulo equilatero isso continua valido?

Obrigado!!

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Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

"When we ask advice, we are usually looking for an accomplice." Joseph
Louis LaGrange


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RES: RES: RES: [obm-l] area de triangulo

[Douglas Ribeiro Silva]

Guilherme, creio que quando vc perguntou pq as circunferências são
tangentes é pelo mesmo motivo que Fabio perguntou isso...

Fabio, a rigor era pra ele ter dito no enunciado que elas são tangentes
entre si mesmo. No entanto quando fui resolver o problema supus isso,
porque do contrário o problema iria ter infinitas respostas. Pode-se
colocar infinitas circunferências de raio 4 dentro de um triangulo
arbitrário, mas se elas não forem tangentes entre si o problema teria
infinitas respostas. O lado do triangulo no caso delas serem tangentes
entre si é aprox. 21,86cm. Usando-se lados maiores que isso as
circunferências teriam espaços de distancias indefinidas entre si(que
não foram citados no enunciado), o que deixaria com infinitas respostas.
Usando lados que fossem menores que isso elas estariam se interceptando
em pontos que também não teriam sido citados no enunciado.

É isso... =)

Um abraço, Douglas Ribeiro


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Fabio Henrique
Enviada em: quarta-feira, 11 de fevereiro de 2004 18:01
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] area de triangulo

Não faltou dizer que as circunferências são tangentes entre si duas a
duas? 

Em 10 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

> 
> Bom, o 
>ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do
triangulo 
até o 
>centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro
até 
o 
>lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do
ponto de 
>tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso
obviamente 
vale 
>pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta
só 
o 
>meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos 
>centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do
triângulo 
vale 
>4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt (3 ) +1) cm. 
> 
> Daí: 
> 
> A= 
>L²sqrt (3 )/4 
> 
> Desenvolvendo 
>dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² 
> 
> Avisem-me 
>se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro 
> 
> -Mensagem original- 
> 
> De: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
> Em nome de [EMAIL PROTECTED] com 
> 
> Enviada em: terça-feira, 10 de 
>fevereiro de 2004 00:29 
> 
> Para: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br 
> 
> Assunto: [obm-l] area de triangulo 
> 
> Ola pessoal, 
> 
>Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias 
>de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh
tangente 
a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo 
>? 
> 
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>sua conta agora! 
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Re: RES: RES: [obm-l] area de triangulo

[Fabio Henrique]

Não faltou dizer que as circunferências são tangentes entre si duas a duas? 

Em 10 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

> 
> Bom, o 
>ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo 
até o 
>centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até 
o 
>lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de 
>tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente 
vale 
>pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só 
o 
>meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos 
>centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo 
vale 
>4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt (3 ) +1) cm. 
> 
> Daí: 
> 
> A= 
>L²sqrt (3 )/4 
> 
> Desenvolvendo 
>dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² 
> 
> Avisem-me 
>se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro 
> 
> -Mensagem original- 
> 
> De: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
> Em nome de [EMAIL PROTECTED] com 
> 
> Enviada em: terça-feira, 10 de 
>fevereiro de 2004 00:29 
> 
> Para: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br 
> 
> Assunto: [obm-l] area de triangulo 
> 
> Ola pessoal, 
> 
>Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias 
>de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente 
a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo 
>? 
> 
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Re: RES: RES: [obm-l] area de triangulo

[Guilherme Carlos Moreira e Silva]

valeu!
mas pq as circunferencias sao tangentes?Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote:









Acho que é isso:
http://www.klystron.kit.net/triangulo.jpg
 
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]puc--rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Carlos Moreira e SilvaEnviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 19:52Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.brAssunto: Re: RES: [obm-l] area de triangulo
 

bem ñ entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil

 

poderia mandar uma figura?Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]com.br> wrote:

Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3]
 
Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o “meio” do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm.
 
Daí:
 
A= L²sqrt(3)/4
 
Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm²
 
Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro
 
 
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]puc--rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]comEnviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.brAssunto: [obm-l] area de triangulo
 
Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ?
 



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Re: RES: RES: [obm-l] area de triangulo

[Faelccmm]

Ola Douglas,

Obrigado. Eh exatamente isso. Tambem poderiamos achar calcular a altura para achar a area. Mas aplicando a formula da area para triangulos equilateros da no mesmo.



Em uma mensagem de 10/2/2004 23:49:59 Hora padrÃo leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Acho que à isso:
http://www.klystron.kit.net/triangulo.jpg
 
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Carlos Moreira e Silva
Enviada em: terÃa-feira, 10 de fevereiro de 2004 19:52
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] area de triangulo
 
bem à entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil

 

poderia mandar uma figura?

Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Salvo engano sua Ãrea à 32[2sqrt(3) + 3]
 
Bom, o Ãngulo formado entre um lado do triangulo e um dos vÃrtices do triangulo atà o centro da circunferÃncia mais prÃxima desse vÃrtice à 30Â. Desse centro atà o lado sÃo 4cm, pois ela à tangente. Como o Ãngulo à de 30 entÃo do ponto de tangÃncia atà o vÃrtice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triÃngulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta sà o âmeioâ do lado que à um segmento de 8cm, formado pela uniÃo dos centros das circunferÃncias internas de raio 4cm. Logo o lado do triÃngulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm.
 
DaÃ:
 
A= LÂsqrt(3)/4
 
Desenvolvendo dà 32[2sqrt(3) + 3] cmÂ
 
Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro
 
 
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terÃa-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] area de triangulo
 
Ola pessoal, 

Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ?

RES: RES: [obm-l] area de triangulo

[Douglas Ribeiro Silva]

Acho que é isso:

http://www.klystron.kit.net/triangulo.jpg

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Guilherme Carlos Moreira e Silva
Enviada em: terça-feira, 10 de
fevereiro de 2004 19:52
Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] area de
triangulo

 



bem
ñ entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil





 





poderia
mandar uma figura?

Douglas Ribeiro Silva
<[EMAIL PROTECTED]com.br> wrote:





Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3]

 

Bom, o
ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o
centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o
lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de
tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale
pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o
“meio” do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos
centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale
4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm.

 

Daí:

 

A=
L²sqrt(3)/4

 

Desenvolvendo
dá 32[2sqrt(3) + 3] cm²

 

Avisem-me
se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro

 

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Em nome de [EMAIL PROTECTED]com
Enviada em: terça-feira, 10 de
fevereiro de 2004 00:29
Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br
Assunto: [obm-l] area de triangulo

 

Ola pessoal, 

Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias
de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo
?



 







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RES: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

[Douglas Ribeiro Silva]

Cesar, não entendi se você queria saber a prova do fato de serem
retângulos, ou de serem semelhantes, em todo caso estou enviando tudo...

Prova-se que CFB é retângulo pelo fato de todo triangulo retângulo estar
inscrito numa semi-circunferencia, onde o diâmetro da
semi-circunferencia é a hipotenusa do triangulo retângulo, nesse caso BC
é a hipotenusa, CF e FB os catetos. F é ângulo reto já que BÔC(Considere
O ponto médio de BC e centro da circunferencia) vale 180°, e como F está
sobre a circunferencia então CFB é metade de BÔC.

Prova-se que DCB é retângulo simplesmente pelo enunciado da questão, já
que ele diz que os triângulos são retângulo-isosceles. Logo, ACB = 45° e
BCA = 45º, então DCB = 90°

Para provar a semelhança dos 2 triangulos usa-se o fato deles terem em
comum o ângulo de 90° e o ângulo CBF, já que F está contido no segmente
BD, então CBF = CBD = arctg(1/2)

Se tiver faltando alguma coisa, ou estiver algo errado, avise-me por
favor.

[]'s Douglas


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi
Kawakami
Enviada em: sexta-feira, 24 de outubro de 2003 13:46
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

At 02:01 24/10/2003, you wrote:
>Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto
>médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar)

Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo...

>CÁLCULO DE DF:
>
>Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB
é
>retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo.

Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não

pude provar isso de modo satisfatório...

Um abraço,

Cesar Ryudi Kawakami 


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