Aqui vai um resultado que eu não conhecia (o item (b)):
No triângulo acutângulo ABC, sejam P, Q e R os pés das alturas relativas aos vértices A, B e C, respectivamente.
a) Prove que AP é a bissetriz do ângulo RPQ (idem para BQ vs PQR e CR vs PRQ).
b) (generalização de (a)) Seja H um ponto qua
Aqui vai um que sai facilmente se voce tiver a ideia certa...
Prove que se k eh um inteiro >= 2 e p(x) um polinomio monico, de coeficientes
inteiros e grau >= 2, entao:
SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) eh irracional.
Em particular, 1/k + 1/k^4 + 1/k^9 + 1/k^16 + 1/k^25 + ... eh irracional,
qualqu
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Thu, 17 Aug 2006 14:16:11 -0300
Assunto:
[obm-l]
> Pessoal
> Se definirmos M(k) = {[(a_1)^k + (a_2)^k + ... + (a_n)^k]/n}^(1/k) ou seja
> a média potencial de n números reais positivos com k real.
> Eu tava ven
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 14 Aug 2006 15:07:59 -
Assunto: [obm-l] Re: Invariância.
>
> Invariância é a propriedade de algo não se alterar quando é submetido a
> uma transformação. Por exemplo subconjuntos a
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Sat, 12 Aug 2006 16:13:01 + (GMT)
Assunto: [obm-l] duvida - limite
> Olá colegas
>
> Como verifico se a sequencia n!/ 1.3...(2n-1) converge??
>
> grato
>
>
Chamando o n-e
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 11 Aug 2006 16:13:01 -0300
Assunto: [obm-l] Correção
> Primeiro uma correção:
> No problema que eu enviei há pouco, sobre a caminhada na face da Terra, eu só
> consegui achar um
Eh isso mesmo.
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Thu, 10 Aug 2006 16:57:55 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Poligonal no Plano
> Claúdio,
>
> uma solução seria tomando as projeções dos segmentos sobre o eixo x. Poi
Primeiro uma correção:
No problema que eu enviei há pouco, sobre a caminhada na face da Terra, eu só consegui achar uma infinidade enumerável de soluções. Me parece que são as únicas.
***
Alguém saberia explicar porque a fração contínua simples de "e" apresenta uma regularidade enquanto que a d
Acabei de reler este problema. Na primeira vez que o vi, só achei uma solução.
Uma pessoa estava parada num dado ponto da superfície da Terra (supondo que esta é uma esfera perfeita). Inicialmente esta pessoa andou 10 km para o sul, depois 10 km para o leste e, finalmente, 10 km para o norte, o q
Oi, Marcelo:
De uma olhada nas provas antigas da OBM - niveis 1 (5a. e 6a.) e 2 (7a. e 8a.)
Eu diria que se um aluno de 8a. seria conseguir resolver toda a prova de NIVEL
1, entao ele estarah bem acima da media.
Se ele conseguir resolver a de Nivel 2, entao POR QUE ELE NAO ESTAH
PARTICIPANDO DA
Sua observacao eh valida.
Suponha que tudo acontece no primeiro quadrante (de fato, no triangulo de
vertices (0,0), (1,0), (0,1))
A outra solucao que voce menciona ocorre no 2o. quadrante.
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
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C
Quão difícil é este problema?
Considere a seguinte sequência de pontos em R^2:
P_0 = (1,0)
P_1 = ponto da curva y = x^2 e vértice do triângulo equilátero P_0P_1P_2 cuja base P_0P_2 situa-se sobre o eixo x.
P_2 = terceiro vértice do triângulo equilátero mencionado acima.
Daí em diante, teremos que
Só por curiosidade, você poderia mandar pra lista as 2 ou 3 definições que você acha mais inusitadas?
[]s,
Claudio.
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Wed, 9 Aug 2006 12:59:02 -0300
Assunto:
[obm-l] 50 definicoes para o quadrado
> Montei uma lista
Prezado Sr. Marcelo de Moura Costa:
Mandei o e-mail abaixo pra lista obm-l e nao diretamente a V.Sa. O tal e-mail
foi em resposta a uma mensagem enviada por uma outra
pessoa, a qual sempre envia problemas pra lista (alguns dos quais bem
interessantes, eh verdade!) mas raramente comenta ou
agra
Ops! Tens razão - mancada minha...
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja k o menor inteiro positivo para o qual existem k inteiros maiores do que 1, livres de quadrados e primos entre si dois-a-dois m_1, ..., m_k tais que:
raiz(m_k) pertence a Q(raiz(m_1), ..., raiz(m_(k-1))).
***
Lema 1:
N
De:
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Data:
Mon, 7 Aug 2006 20:56:48 -0300
Assunto:
[obm-l] Velocidades
> Olá pessoal,
> boa noite.
> Tenho um problema de velocidade que só consegui resolver uma parte, se alguém puder me ajudar, ficaria grato.
> No início de
De:
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Data:
Mon, 7 Aug 2006 18:42:32 -0300
Assunto:
[obm-l] Re: Polinômio nos inteiros
> 2006/8/7, Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]>:
> Olá, pessoal da lista.Já pensei sobre este problema mas não tive uma boa idéi
Então você só passa adiante os problemas que te enviam?
Não tenta resolver antes?
De:
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Fri, 4 Aug 2006 15:40:08 + (GMT)
Assunto:
Re: [obm-l] Alg. LinearDeve ser isso mesmo. eh q me passaram, ai num sei se eh aquilo
Aqui vai uma solução razoavelmente feia...
Suponhamos que a equação tenha solução (x,y).
Como n >= 3, temos que x^n - y^n >= 2^3 - 1^3 = 7 > 4 ==> k >= 3.
2 aparece com o mesmo expoentena decomposição de x e y pois, caso contrário, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficaríamos com:
De:
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Data:
Tue, 01 Aug 2006 14:37:56 -0400
Assunto:
[obm-l] Teoria dos numeros?
> Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito.
>
Estou supondo que m e n são inteiros não-negativos.
Por inspeçã
Soma dos divisores positivos de um quadrado perfeito =
produto de fatores da forma (1 + p + p^2 + ... + p^(2m)),
onde p eh primo e m eh inteiro positivo.
Logo, cada fator desse produto eh sempre impar.
Isso eh obvio se p = 2.
Se p eh impar, basta observar que o fator correspondente consiste na so
>
> Godel nao conquistou Medalha Fields mas qualquer historiador serio havera de
> coloca-lo como um dos Grandes Matematicos do seculo XX enquanto que o
> Cavalheiro da Rainha, se algum historiador o citar, se muito sera lembrado
> como um Matematico mediano e, no entanto, tem Medalha Fields e
Os únicos números perfeitos conhecidos são aqueles da forma:
N = 2^(p-1)*(2^p-1) onde p e 2^p-1 são primos ==>
o primo 2^p-1 aparece com expoente 1 na decomposição de N ==>
N não pode ser quadrado perfeito.
Para o caso de um número perfeito ímpar (se existir algum...) a conclusão decorre do segui
Como o mestre não respondeu, aqui vai a minha explicação:
Em vez de trocar x por x/3 faça x = y/3.
Daí f(3x-2) = 81f(x) vira f(y-2)=81f(y/3).
Fica mais claro assim?
E o grau foi obtido comparando os termos de maior grau:
f(y-2) = a_n(y-2)^n +... ==> Termo de maior grau = a_ny^n
81f(y/3) = 81a_n
> 1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que
> P(3x-2)=81P(x) para todo x real.
x = 1 ==> P(1) = 81P(1) ==> P(1) = 0 ==> P(x) = (x - 1)Q(x)
P(x - 2) = 81P(x/3)
Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau:
a_nx^n = 81a_n(x/3)^n ==> n =
Eu admito que o assunto eh um pouco off-topic mas alguem sabe de algum estudo
sobre a correlacao entre:
desempenho na IMO (e outras competicoes matematicas)
e
desempenho como matematico profissional ?
Por exemplo, o J.C. Yoccoz - vencedor da medalha Fields - foi tambem medalha
de ouro na IMO.
Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ...
A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%.
Ao aproximar Pi por excesso po
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Wed, 19 Jul 2006 13:22:09 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Grupos Cíclicoscleber vieira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá amigos, gostaria de saber qual a condição necessária para que um determinado elemento de um g
Antes de mais nada, parabens a nossa equipe!
A meu ver, 6 medalhas de bronze mostram muito mais consistencia do que, por exemplo, 1 ouro, 1 prata e 4 maos abanando...
Eu tambem tenho a impressao (por favor me corrijam se eu estiver enganado) de que paises como China e Coreia do Sul preparam seus
Esse tah me enchendo o saco:
Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n.
***
Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que:
raiz(2) + raiz(3) > Pi.
Foi enviada alguma soluc
De:
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Data:
Thu, 13 Jul 2006 01:47:19 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Matrizes
> a)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^3=4A. Mostre que A+I é inversivel.
Solucao pelo metodo "eu sou burro mas nao sou cego":
Como A^3 - 4A = 0
Alguém conseguiu uma demonstração ou um contra-exemplo pra segunda proposição?
Aliás, isso me lembra um problema proposto há meses pelo Paulo Santa Rita.
Definimos duas funções de Partes(R) em Partes(R):
F(X) = Fecho de X
e
C(X) = R - X = Complementar de X.
Assim, F(Q) = R; F((0,1]) = [0,1]; C(
Esse enunciado está esquisito pois (a,b) parece ser o domínio de f, g e h, enquanto que uma funcao é sobrejetora sobre o seu contra-domínio, que no caso parece ser o R^3. Não seria, por acaso, "injetora"?
[]s,
Claudio.
De:
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Dat
Use funcoes geratrizes (ou será geradoras?).
Supondo as faces equiprováveis, teremos:
Número de Casos Favoráveis:
Coeficiente de t^z na expansão de (t+t^2+...+t^y)^x
Número de Casos Possíveis: y^x
Assim, por exemplo, com x = 2 dados normais (y = 6), a probabilidade de se ter soma z (2 <=z <
Tens toda a razao. Bela mancada literaria! Ainda bem que esta é uma lista de matemática. Que me perdoem os barões assinalados...
[]s,
Claudio.
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Data:
Sun, 09 Jul 2006 20:54:05 -0300
Assunto:
[obm-l] Re:[obm-l] FORMULAS
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Data: Fri, 7 Jul 2006 22:41:02 + (GMT)
Assunto: [obm-l] FORMULAS DE REDUÇÃO
> Um amigo me disse que existe uma regra de memorização pra formulas de redução
> (trigonometria) num livro da Mir (a
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 7 Jul 2006 11:37:16 -0300
Assunto: [obm-l] Pontos de acumulacao
> Bom dia!
>
> Seja A um conjunto infinito e limitado de R. Entao, A tem pontos de
> acumulacao (T. de Bolzano/Weierstrass
Considere um disco que contem todos os 100 pontos e as (no maximo) Binom(100,2)
retas determinadas por estes pontos.
Tome um ponto P fora do tal disco e que nao esteja sobre nenhuma das retas
mencionadas.
Qualquer semi-reta com origem em P contem no maximo um dos 100 pontos.
Logo, a cada um dos
De:
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Data: Wed, 28 Jun 2006 23:24:48 -0300
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série
> Olá Claudio,
> nao analisei sua demonstracao, mas segue a minha:
>
> Sabemos que: (a_n - 1/n)^2 > 0, assim
-- Cabeçalho original ---
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Data: Thu, 29 Jun 2006 02:00:42 -0300
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Condição de Existência de quadriláteros
> Cada um dos lados deve ser menor do que a soma dos outros três.
>
Essa condicao eh certa
-- Cabeçalho original ---
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Data: Wed, 28 Jun 2006 19:46:42 -0300
Assunto: [obm-l] Re: Convergência de Série
> Também não sei se tá certo... Mas... =/
>
> Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) -> L qdo n-> infinito.
>
De:
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Data:
Wed, 28 Jun 2006 17:38:31 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Matrizes
> Sejam M e N matrizes do tipo n x n distintas tais que:
> (i) M^3=N^3
> (ii)MN^2=NM^2
> É possível que X = M^2+ N^2 seja inversível?
>
(M-N)*(M^2+
Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minha solução errada.
O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução correta.
Seja (a_n) uma sequência de números reais.
Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_
Esse número é a única solução real da equação x = cos(x).
Ele aparece pela seguinte razão:
Dado x(1) qualquer, x(2) = cos(x(1)) pertence ao intervalo [-1,1] e, portanto, x(3) = cos(x(2)) pertence a [cos(1),1].
No intervalo [cos(1),1], a função cos(x) é estritamente decrescente, e sua derivada (
Use a definição de convergência uniforme.
Suponhamos que SOMA(n>=0) f_n(x) convirja para F(x) para todo x real.
Dizer que a convergência não é uniforme significa dizer que:
existe eps > 0 (no caso, eu usei eps = 1) tal que, para todo n inteiro positivo, podemos obter um x real (eu usei x > (n!
Ao invés de prolongar um triângulo, conforme descrito abaixo, prolongue um quadrilátero qualquer (convexo), de forma análoga, ou seja, se o quadrilátero é ABCD, prolongue AB até P, BC até Q, CD até R e DA até S, de modo que AB = BP, BC = CQ, CD = DR e DA = AS. Qual a relação entre as áreas de ABCD
Esse é fácil mas não deixa de ser um resultado curioso (e que eu nunca tinha visto antes):
Tome um triângulo qualquer ABC.
Prolongue BC até P (C entre B e P) de modo que CP = BC.
Prolongue CA até Q (A entre C e Q) de modo que AQ = CA.
Prolongue AB até R (B entre A e R) de modo que BR = AB.
Qual a
A série 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + ... de fato converge para todo x real, mas não uniformemente.
Pra ver isso, observe que:
e^x - 1 - x - x^2/2 - ... - x^(n-1)/(n-1)! =
x^n/n! + x^(n+1)/(n+1)! + ... > x^n/n! > 1,
desde que x > (n!)^(1/n).
[]s,
Claudio.
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Para:
obm
Sejam:
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + + 1/(2n-1) - 1/(2n)
e
H = 1 + 1/2 + 1/3 + + 1/(2n)
Então:
S = H - 2*(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)) =
H - (1 + 1/2 + ... + 1/n) =
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
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obm-l@mat.puc-rio.br
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Da
Não. M = ABA^(-1)B^(-1) <==> MBA = AB
Eu consegui fazer esse pra matrizes 2x2. Minha idéia foi trabalhar com matrizes elementares da forma:
1 a
0 1
1 0
a 1
a 0
0 1/a
0 -a
1/a 0
Eu provei que:
i) cada uma delas é igual a um comutador;
ii) cada matriz de determinante 1 é igual a um pro
De:
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Data:
Fri, 16 Jun 2006 23:49:35 -0300
Assunto:
[obm-l] Algebra: elementos nilpotentes e aneis de integridade
> Pessoal,
>
> Alguém pode, por favor, me dar uma dica de como resolver estes dois
> problemas de álge
Um de álgebra linear pra variar...
Prove que, para cada matriz quadrada M com determinante igual a 1, existem matrizes quadradas invertíveis A e B tais que M = A*B*A^(-1)*B^(-1).
[]s,
Claudio.
Também pode ser:
Trinom(2m+2n;m,n,m+n)/Binom(2m+2n,2m),
onde:
Trinom(a+b+c;a,b,c) = (a+b+c)!/(a!*b!*c!)
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Data:
Tue, 06 Jun 2006 11:15:40 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] (2m)!(2n)!/(m!n!(m+n)!)
> claudio.buffara wrote:
>
> >
Alguém conhece algum problema de combinatória cuja resposta seja:
(2m)!(2n)!/(m!n!(m+n)!) ?
Eu estou tentando provar que este número é inteiro, quaisquer que sejam m e n naturais mediante um argumento combinatório, mas até agora não consegui.
[]s,
Claudio.
14 está entre 13 e 15, ou pelo menos estava da última vez que eu chequei...
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Data:
Thu, 1 Jun 2006 06:44:43 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Primos gemeos
> Olá Artur,
>
> Posso estar errada, mas para a=2 e p=3 a fórmula falha
-- Cabeçalho original ---
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Data: Wed, 31 May 2006 20:33:58 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] Existencia de limite
> A demonstracao do fato a seguir tem, na minha opiniao,
> uns detalhes interessantes. Eh uma extensao do
> criterio
-- Cabeçalho original ---
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Data: Wed, 31 May 2006 19:36:57 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] Primos gemeos
> Este problema que me foi proposto me pareceu
> interessante:
>
> Mostre que, se a e p forem inteiros positivos com p
> i
Seja x_n = (2+raiz(3))^n + (2-raiz(3))^n.
x_n obedece a uma relacao de recorrencia linear de 2a. ordem, cujo polinomio caracteristico eh x^2 - 4x + 1.
Logo, x_n = 4*x_(n-1) - x_(n-2) com x_0 = 2 e x_1 = 4.
Isso quer dizer que x_n eh sempre par.
Mas 0 < 2-raiz(3) < 1 ==> 0 < (2-raiz(3))^n
De:
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Data:
Sat, 27 May 2006 03:41:49 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] somatorio
> Calcule : sum(k=0->n)k^2*C(n,k)*5^k
>
> gab: 5n(5n+1)6^(n-2).
Usando repetidamente o fato de que k*C(n,k) = n*C(n-1,k-1), temos:
k^2*C(n,k) =
Eu costumo olhar pra determinantes e cofatores apenas em último caso...
Mas A é claramente diagonal inferior e a diagonal consiste só de 1's.
Logo, det(A) = 1 e, portanto, a inversa de A é diagonal inferior com coeficientes inteiros.
Olhando casos pequenos, eu conjecturo que B = A^(-1) é tal q
Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?
Obs: Naturalmente, vale a convenção: r > s ==> Binom(s,r) = 0.
***
Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
c
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Data: Tue, 16 May 2006 21:50:00 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Euler
> Alguem sabe demonstrar a formula de Euler usando algum argumento combinatorio?
> C(m,0)*C(h,p)+C(m,1)*C(h,p-1)+C(m,2)*C(h,p-2)+
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Mon, 15 May 2006 18:47:05 +
Assunto:
[obm-l] 3 problemas antigos [quase sol. do primeiro]
> Sauda,c~oes,
>
> Aí vai a quase solução do primeiro problema com comentários
> do prof. Rousseau.
>
> Your Download-
Ops! Voce estah absolutamente certo. Obrigado.
[]s,
Claudio.
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Data: Mon, 15 May 2006 15:37:33 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo
>
>
> -Mensagem o
Nesse caso, nem os reais são necessários. Basta alguns racionais.
Por exemplo, os múltiplos inteiros de 0,01 ou 0,0001.
Quanto ao livro, um que sai mais em conta é o Funções de uma Variável Complexa, do Alcides Lins Neto - Projeto Euclides. R$ 25,00 na SBM.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTEC
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Data:
Mon, 15 May 2006 10:49:01 -0300
Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo
>
> Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma
> solução?
>
Me parece que o problema pode ser refraseado
Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG <= MA.
Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo.
a < b + c ==> 2a < a + b + c = 2p ==> a < p ==> p-a > 0
Analogamente, p-b >0 e p-c > 0.
Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3).
Heron =
E o truque da inducao eh o seguinte:
Suponha spdg que a_1 <= a_2 <= ... <= a_n
Caso 1: se a_1 = a_n, entao, os a_i sao todos iguais a 1 e acabou.
Caso 2: a_1 < a_n ==> a_1 < 1 < a_n ==>
(1 - a_1)*(a_n - 1) > 0 ==>
a_1 + a_n > 1 + a_1*a_n ==>
(a_2*...*a_(n-1))*(a_1*a_n) = 1 ==> (pela HI)
a_2 + ..
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Data: Thu, 11 May 2006 16:38:26 -0300
Assunto: [obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros
> Alguem conhece este teorema?
> Suponhamos que P seja um polinomio do grau n com coefici
O conjunto A consiste de 4 esferas de raio R cujos centros coincidem com os
vertices de um tetraedro regular de aresta 2R.
Qual a aresta do menor tetraedro regular que pode ser circunscrito a A?
[]s,
Claudio.
=
Instruções
Eu acho que este argumento é falho pois ao dividir (2m)!*(2n)! por m!*n! você pode "perder" os fatores primos que fariam com que o quociente fosse divisível por (m+n)!.
Um jeito de resolver é provando que cada primo aparece em (2m)!*(2n)! com um expoente igual ou maior do que o expoente com que e
Um amigo chega em t = X e sai em t = X+10, onde 0 <= X <= 60
O outro chega em t = Y e sai em t = Y+10, onde 0 <= Y <= 60.
Naturalmente, eles se encontram se e somente se um chega antes do outro sair,
ou seja, se e somente se:
X <= Y+10 e Y <= X+10 <==> X-10 <= Y <= X+10
Fazendo um grafico, ve
Eu ainda prefiro uma demonstração combinatória.
Problema: Quantos ternos ordenados (x,y,z) existem cujos elementos pertencem a {1, 2, 3, ..., n, n+1} e são tais que x > y e x > z?
Solução 1:
Para x = k+1 (k em {1, 2, ..., n}), temos k escolhas para y e k escolhas para z. Logo, existem k^2 tern
Aqui vai um interessante:
Seja ABC um triângulo cujo circuncentro é O.
Qual a resultante (soma) dos vetores OA, OB e OC?
[]s,
Claudio.
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Fri, 5 May 2006 08:56:14 -0300
Assunto:
[obm-l] reais somando 1/3
> Ache todos os numeros reais x e y tais que
>
> (1-x)^2 + (x-y)^2 +y^2 = 1/3
1 - 2x + x^2 + x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 1/3 = 0
x^2 - xy + y^2 -
> Ache todos as racionais a tais que 1/4<= a <=3/4 e que (4a-1)/(27a^4) seja
> inteiro.
>
Seja a = m/n, com m e n inteiros positivos primos entre si.
1/4 <= m/n <= 3/4 e (4m/n - 1)/(27m^4/n^4) = k = inteiro nao-negativo, pois
a >= 1/4 ==>
n^3(4m - n) = 27km^4
m | 27km^4 ==> m | n^3(4m -
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Data: Fri, 5 May 2006 01:20:28 -0300
Assunto: [obm-l] multiplo de 4
> V se alguem pode me ajudar com ajuda com essa
>
>
> Sejam n, a1, a2, a3,...,an, números inteiros tais que a1.a2.a3
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Data: Thu, 4 May 2006 18:52:52 -0300
Assunto: [obm-l] Divisão de polinômios
> Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui. Estudando
> divisibilidade de polinômios me deparei com
>Além da sua dupla (6,7) encontrei (12,13) e ia colocar (20,21) o que
> seria solução se 21 fosse primo; e 20 com apenas dois
fatores(5 e 4); como não é o caso...
>
Epa! f(12) = 1 + 4 + 9 + 16 + 36 + 144 > 1 + 169 = f(13)
==
Dada a fatoração em primos de um inteiro, é fácil obter a soma dos quadrados dos seus divisores. Também é fato que n e n+1 não tem nenhum fator primo em comum. Mas daí a uma solução analítica acho que vai uma boa distância.
O problema está no capítulo 1 do livro "Funções Aritméticas - Números Not
Aqui vai um que está dando trabalho:
Ache todos os pares de inteiros positivos consecutivos cujas respectivas somas dos quadrados dos divisores positivos são iguais.
Por inspeção, eu achei 6 e 7 (1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2 = 1^2 + 7^2) mas não consegui achar outras nem provar que esta é a única solu
arcsen(1 - 2b^2/a^2), onde a = hipotenusa e b = cateto menor
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Tue, 02 May 2006 14:51:41 -0300
Assunto:
[obm-l] PROBLEMA GEO
>
> Srs
>
>
> Qual é o ângulo formado pela mediana e a altura referentes à
> hipotenusa?
Veja o livro Curso de Análise - vol. 2 do Elon Lages Lima, em particular a observação que se segue ao Teorema 1 do cap. III - seção 3.
[]s,
Claudio.
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Tue, 2 May 2006 08:58:45 -0300
Assunto:
[obm-l] Condiçã
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Data: Sat, 29 Apr 2006 00:45:23 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Desigualdade
> Quem puder me ajudar agradeço.
>
> 1/2 * 3/4 * 5/6*...*99/100<1/12
>
>
A = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * ...
Esse problema tem uma generalização interessante:
1. Ache todos os naturais que podem ser representados como uma diferença de quadrados de naturais;
2. Para quais deles a representação é única?
Por exemplo, se p é um primo ímpar, então:
a^2 - b^2 = p ==>
(a + b)(a - b) = p ==>
a + b = p e a -
z^4 + 4 =
z^4 + 4z^2 + 4 - 4z^2 =
(z^2 + 2)^2 - (2z)^2 =
(z^2 + 2z + 2)*(z^2 - 2z + 2)
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Fri, 28 Apr 2006 11:03:49 -0300
Assunto:
[obm-l] Achar as raizes z^4+4
>
> Favor como achar as raizes
>
> Ache as 4 raizes
Se os cubos tiverem que ser não-negativos, então isso é falso.
Tente expressar 23 como soma de cubos.
O mínimo número de cubos não-negativos necessário pra expressar qualquer inteiro positivo (como uma soma de cubos) é 9 e, se você tiver uma prova por indução desse fato, eu gostaria muito de vê-la
Seja p um termo dessa progressão, cuja razão é r.
S.p.d.g. podemos supor que r é um inteiro positivo.
p é obviamente primo, senão acabou.
Mas então, p + p*r = p*(1 + r) é um termo da progressão e é composto.
Logo, uma tal progressão não pode existir.
Seja S = SOMA(k=1...100) x_k.
x_k = S - x_k -
Dados inteiros positivos a, b com mdc(a,b) = 1, o problema é encontrar todos os inteiros positivos que podem ser representados na forma ax + by, onde x e y são inteiros não-negativos.
Nesse caso:
1) ab - a - b não pode ser representado;
2) todo inteiro maior do que ab - a - b pode ser representad
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Wed, 8 Mar 2006 07:19:24 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Problema dos Re médios
> Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada
> comprimido pesando 10g.
> Algumas destas caixas (você não sabe
Oi, Nicolau:
Você conhece alguma demonstração combinatória desta identidade?
[]s,
Claudio.
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Thu, 23 Feb 2006 12:02:53 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Prova por indu ção
> On Thu, Feb 23, 2006 at 11:30:45AM -0300, Wan
Oi, Denisson:
Os links não tem nenhum conteúdo matemático relevante.
Só valem a pena por causa da indignação demonstrada pelo tal Fabiano Sutter (o suposto quebrador do RSA) com o ceticismo de outros participantes da lista. Até hoje não sei se ele estava falando sério ou não, mas como ele sumiu,
Acho que o argumento do Wagner se aplica desde que L > distancia entre os dois pontos, pois o segmento quase horizontal pode ser arbitrariamente curto.
[]s,
Claudio.
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Tue, 7 Feb 2006 21:39:15 -0300
Assunto:
Re: [o
Nao. Esse ainda estah em aberto. Equivale a provar (ou desprovar) que ha uma infinidade de numeros perfeitos pares.
[]s,
Claudio.
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Mon, 2 Jan 2006 16:10:14 -0200
Assunto:
RES: [obm-l] Descoberto o 43 Primo de mers
Caros colegas da lista:
Antes de mais nada, espero que, para todos nos, 2006 seja muito melhor que 2005 e muito pior que 2007.
No mais, eu lembro de ter lido no livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon uma opiniao (se nao me engano atribuida a Spivak) sobre o conceito de numero, que eh a seguint
on 14.12.05 15:08, Leonardo de Almeida Matos Moraes at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
> Pessoal,
>
> uma deficiencia que sempre tive foi em "Teoria dos numeros". Como acho que
> nunca e' tarde para aprender, sera' que voces poderiam me indicar uma boa
> bibliografia neste tema?
>
> Abracos desde ja',
De todos estes problemas futebolísticos que apareceram recentemente na lista, ainda acho o mais interessante este aqui:
Num campeonato com n times, cada par de times joga uma única vez, cada vitória vale 2 pontos, cada empate 1 e cada derrota 0. É fácil ver que o número total de pontos disputados
x = 2 ==> 2f(2) - f(1/2) = 4
x = 1/2 ==> -f(2) + 2f(1/2) = 1/4
Resolvendo esse sisteminha pra f(2) e f(1/2) obtemos:
f(1/2) = 3/2 e f(2) = 11/4 ==>
2f(2) + f(1/2) = 11/2 + 3/2 = 7.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Tue, 22 Nov 200
Um problema interessante relacionado a esse eh o seguinte:
Dada uma sequencia nao-crescente de 8 inteiros nao-negativos cuja soma eh
56, determinar se esta sequencia pode ou nao representar as pontuacoes dos 8
times ao final do campeonato.
Por exemplo, se o primeiro termo de uma sequencia valida
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