[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Artur Costa Steiner]

Em seg, 10 de fev de 2020 21:13, Pedro Angelo 
escreveu:

> Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções
> holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em
> torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome?
>

Acho que inteira é no sentido de global, completa. Talvez seja uma tradução
um tanto infeliz de entire function, do Inglês. No Inglês, entire em nada
lembra integer.

Mas será que é possível provar o teorema sem invocar Picard?

Artur

>
> Le lun. 10 févr. 2020 à 20:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>  a écrit :
> >
> > On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
> >  wrote:
> > > O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que
> ele sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
> >
> > Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
> > fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
> > (por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
> > E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
> > potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > =
> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Pedro Angelo]

Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções
holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em
torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome?

Le lun. 10 févr. 2020 à 20:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 a écrit :
>
> On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
>  wrote:
> > O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> > sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
> fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
> (por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
> E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
> potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Pedro Angelo]

Eu gosto de pensar o "inteira" como significando que a série de
potências f(z) = a_0 + a_1 z + ... converge no plano *inteiro*.

Le lun. 10 févr. 2020 à 20:16, Artur Costa Steiner
 a écrit :
>
>
>
> Em seg, 10 de fev de 2020 17:28, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner
>>  escreveu:
>> >
>> > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar 
>> > recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma 
>> > qualquer) que não recorra a este teorema?
>> >
>> > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora.
>> >
>>
>> O que é função inteira?
>>
>> Se f é uma função definida em um aberto V do plano complexo C, dizemos que f 
>> é holomorfa em V se f for diferenciável em cada elemento de V.
>
>
> Se V = C, dizemos que f é inteira. Assim, uma função de C em C é inteira 
> se for diferenciável em todo o C. É holomorfa em C.
>
> O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Artur
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
 wrote:
> O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.

Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
(por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Pedro!
Vou pensar na questão novamente e ver se consigo chegar na resposta.
Eu escreverei para dizer se consegui.
Muito obrigado!
Abraços!
Luiz


Em seg, 10 de fev de 2020 7:19 PM, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Não sei onde errei está dando exatamente a metade 16/15.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg, 10 de fev de 2020 15:46, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, Pedro!
>> Tudo bem?
>> Obrigado pela resposta!
>> A resposta realmente não tem pi: é 32/15.
>> Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z.
>> Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio.
>> Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo.
>> Muito obrigado!
>> Abraços!
>> Luiz
>>
>>
>>
>> Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse.
>>> Para evitar que postemos soluções erradas.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres <
>>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
  escreveu:
 >
 > Olá, pessoal!
 > Tudo bem?
 > Estou tentando resolver o seguinte problema:
 >
 > Ache o volume da região tridimensional definida por:
 >
 > z^2>>> >
 > Sendo que:
 > x>0 e y>0 e z>0
 >
 > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em
 questão.
 > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo
 o resultado por 4.
 > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
 > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
 > Alguém pode me ajudar?

 Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?

 > Muito obrigado e um abraço!
 >
 > --
 > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 > acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.



 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 =

>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Artur Costa Steiner]

Em seg, 10 de fev de 2020 17:28, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner
>  escreveu:
> >
> > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar
> recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma
> qualquer) que não recorra a este teorema?
> >
> > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora.
> >
>
> O que é função inteira?
>
> Se f é uma função definida em um aberto V do plano complexo C, dizemos que
> f é holomorfa em V se f for diferenciável em cada elemento de V.


Se V = C, dizemos que f é inteira. Assim, uma função de C em C é
inteira se for diferenciável em todo o C. É holomorfa em C.

O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele
sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.

Artur

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Pedro José]

Boa noite!
Não sei onde errei está dando exatamente a metade 16/15.
Saudações,
PJMS

Em seg, 10 de fev de 2020 15:46, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Pedro!
> Tudo bem?
> Obrigado pela resposta!
> A resposta realmente não tem pi: é 32/15.
> Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z.
> Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio.
> Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo.
> Muito obrigado!
> Abraços!
> Luiz
>
>
>
> Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse.
>> Para evitar que postemos soluções erradas.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
>>>  escreveu:
>>> >
>>> > Olá, pessoal!
>>> > Tudo bem?
>>> > Estou tentando resolver o seguinte problema:
>>> >
>>> > Ache o volume da região tridimensional definida por:
>>> >
>>> > z^2>> >
>>> > Sendo que:
>>> > x>0 e y>0 e z>0
>>> >
>>> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em
>>> questão.
>>> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo
>>> o resultado por 4.
>>> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
>>> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
>>> > Alguém pode me ajudar?
>>>
>>> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?
>>>
>>> > Muito obrigado e um abraço!
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Anderson Torres]

Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner
 escreveu:
>
> Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar 
> recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma 
> qualquer) que não recorra a este teorema?
>
> Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora.
>

O que é função inteira?

> Abraços
> Artur
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Pedro!
Tudo bem?
Obrigado pela resposta!
A resposta realmente não tem pi: é 32/15.
Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z.
Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio.
Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo.
Muito obrigado!
Abraços!
Luiz



Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse.
> Para evitar que postemos soluções erradas.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> >
>> > Olá, pessoal!
>> > Tudo bem?
>> > Estou tentando resolver o seguinte problema:
>> >
>> > Ache o volume da região tridimensional definida por:
>> >
>> > z^2> >
>> > Sendo que:
>> > x>0 e y>0 e z>0
>> >
>> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão.
>> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o
>> resultado por 4.
>> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
>> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
>> > Alguém pode me ajudar?
>>
>> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?
>>
>> > Muito obrigado e um abraço!
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Pedro José]

Boa tarde!

Estou enferrujado.
Mas faria assim, e não vejo como aparecer PI() na resposta. Para mim é um
polinômio em z, aplicado em 0,2, o que dará um número racional.

Volume de z^2< x+y < 2z é igual ao volume de z^2 <= x+y <= 2z.

Int (0,2) Int (z2,2z) Int (z^2-y,^Z^2-x)  dxdydz. Os termos entre
parêntesis são os limites inferior e superior da integral. Int é o símbolo
da integral.

Como definir os intervalos de integração. O de x sai de graça z^2 < x + y <
2z. Basta jogar y para os dois lados da inequação.
Agora projetamos o sólido no Plano yZ, igualando x a 0 e obtemos que x
varia de z^2 a 2z.
Para achar o limite de z temos que z2<2z logo z varia de 0 a 2.
 Agora é resolver e verificar se dá a resposta,

Saudações,
PJMS



Em seg., 10 de fev. de 2020 às 13:25, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse.
> Para evitar que postemos soluções erradas.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> >
>> > Olá, pessoal!
>> > Tudo bem?
>> > Estou tentando resolver o seguinte problema:
>> >
>> > Ache o volume da região tridimensional definida por:
>> >
>> > z^2> >
>> > Sendo que:
>> > x>0 e y>0 e z>0
>> >
>> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão.
>> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o
>> resultado por 4.
>> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
>> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
>> > Alguém pode me ajudar?
>>
>> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?
>>
>> > Muito obrigado e um abraço!
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Pedro José]

Boa tarde!
Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse.
Para evitar que postemos soluções erradas.

Saudações,
PJMS

Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> >
> > Olá, pessoal!
> > Tudo bem?
> > Estou tentando resolver o seguinte problema:
> >
> > Ache o volume da região tridimensional definida por:
> >
> > z^2 >
> > Sendo que:
> > x>0 e y>0 e z>0
> >
> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão.
> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o
> resultado por 4.
> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
> > Alguém pode me ajudar?
>
> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?
>
> > Muito obrigado e um abraço!
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Re: [obm-l] Teoria da medida

[prisjatoba]

Prezados, Preciso me descadastrar da lista, mas o comando que consta nas orientações não funciona.Alguma outra forma de concluir este processo?Att.Cristina Jatobá Em 9 de fev de 2020 21:47, Artur Costa Steiner  escreveu:Estas são para aqueles que curtem este tipo de coisa:Afirmação 1:Todo elemento de R^n pertence a algum conjunto não (Lebesgue) mensurávelVerdadeira ou falsa?Afirmação 2:Existem conjuntos não mensuráveis com diâmetro arbitrariamente pequeno.Verdadeira ou falsa?Artur
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Re: [obm-l] PA de quadrados perfeitos

[Anderson Torres]

Em seg., 3 de fev. de 2020 às 14:26, marcone augusto araújo borges
 escreveu:
>
> Determine os inteiros positivos a, b e c tais que (a^2, b^2, c^2) é uma PA
> --

2b^2 = a^2+c^2

Se um primo p diferente de 2 dividir a e c ao mesmo tempo, também
dividirá b. Assim, podemos supor que o MDC de a e c é da forma 2^k.

Se a e c são ambos pares, então (2a1)^2+(2c1)^2=2b^2, e portanto
2a1^2+2c1^2=b^2, e assim b é par também, logo 2a1^2+2c1^2=(2b1)^2, ou
a1^2+c1^2=2b1^2.

Dessa forma, podemos supor que a e c são primos entre si. Como seus
quadrados somam um par, ambos devem ser ímpares.

Escrevamos a=x+y, c=x-y, onde x e y são de paridades diferentes.
Assim, temos (x+y)^2+(x-y)^2=2b^2, o que nos leva a x^2+y^2=b^2.

Agora, basta usar a fórmula das ternas pitagóricas!



Se ambos pares

> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Anderson Torres]

Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
>
> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Estou tentando resolver o seguinte problema:
>
> Ache o volume da região tridimensional definida por:
>
> z^2
> Sendo que:
> x>0 e y>0 e z>0
>
> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão.
> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o 
> resultado por 4.
> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
> Alguém pode me ajudar?

Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?

> Muito obrigado e um abraço!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Volume de um Toroide

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Bernardo!
Muito obrigado pela sua resposta!
Sim, estou estudando Cálculo 1.
Já li suas instruções e vou colocar tudo no papel.
Já percebi que errei, por exemplo, nos extremos das integrais.
Escrevo novamente se novas dúvidas surgirem.
Abraços!
Luiz


Em qui, 30 de jan de 2020 12:59 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> Olá,
>
> On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues
>  wrote:
> > Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou
> conseguindo chegar numa resposta correta.
> > O problema é o seguinte:
> >
> > Qual a integral que representa o volume do disco
> >
> > ((x-b)^2)+y^2 >
> > que gira em torno do eixo y?
> > Considere 0
> Eu imagino que você esteja fazendo Cálculo.  Provavelmente, cálculo 1.
> E não vou responder, mas espero te ajudar a entender isso.
>
> Pense num retângulo bem pequeno, no ponto (x,y), de lados (dx,dy).
> Agora, RODE este quadradinho em torno do eixo y.
> 1) Visualize o sólido gerado por esta rotação.  E depois desenhe.
> Desenhe mais de um, inclusive, para ver como eles ficam quando mudar o
> x, o y, ou os dois.  Também faça um mudando dx ou dy.  Se familiarize
> com o problema!
> 2) Dê uma APROXIMAÇÃO para o volume deste sólido, em função de (x, y,
> dx, dy).  Repare que deve ser algo "pequeno".  Se um dos lados tender
> a zero, o volume deve zerar também, então deve ser alguma coisa que
> COMEÇA com dx * dy.  Deve ter termos "de mais alto grau" (tipo
> dx*dx*dy, ou dx*dy*dy*dy), mas estes a gente vai poder jogar fora
> depois.  Se preocupe com o termo que vai aparecer multiplicando o
> dx*dy - esta será sua aproximação.
> 3) Agora, faça um monte de retângulos (ou quadrados, se é você quem
> escolhe!!) dentro do círculo.  Se você rodar cada um, vai dar um
> volume.  Se você somar todos os volumes, dá o volume do círculo
> rodado.
> - Mas peraí: não dá para preencher o círculo com quadrados do mesmo
> tamanho.  É verdade.  Vai sobrar (ou faltar) um treco no bordo.  Mas
> isso deve (também!) tender a zero quando você diminuir o lado do
> quadrado.
> 4) Isso que você escreveu é uma "soma de Riemann" (que alguns gregos -
> tipo Arquimedes - já sabiam fazer) para o volume do seu sólido de
> rotação.  É uma soma dupla (tem quadradinhos nas duas direções), vai
> virar uma integral dupla.
> 5) Faça de novo um desenho: agora, de como você vai calcular a soma
> dupla, somando na horizontal ou na vertical primeiro.  Repare que o
> número de quadradinhos muda em cada "fatia", aumentando e depois
> diminuindo.  Este MESMO desenho te diz como vão ser os limites de
> integração da integral dupla.
> - Poxa, eu ainda estou em Cálculo 1, e você vem falar de integrais
> duplas.  É.  Acho que é mais natural montar o problema assim.  Porque
> eu acho que a grande ideia do cálculo é justamente dividir em trecos
> minúsculos, aproximar, somar.  A integral que vai aparecer, apareceu.
> Note que, só neste problema, você já vai ver uma das coisas mais
> legais de integrais duplas: que os limites de integração "de dentro"
> dependem da variável de integração "de fora" - já que tem mais
> quadradinhos no centro do disco do que nos bordos.
> 6) A integral, fazendo dx e dy serem "infinitesimais", também faz com
> que as aproximações sejam cada vez melhores, e que o erro no bordo
> também seja cada vez menor.  Se você quiser pensar mais nisso, ótimo:
> você quer fazer (um tipo de) análise.
> 7) Agora, basta calcular a integral.  Essa é a parte FÁCIL: o
> importante é entender como sair do problema "real" (ou matemático) e
> chegar na integral.
>
> > Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy.
> > Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b.
>
> Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral
> dupla" primeiro em y, ou primeiro em x.  Também pode ser pensado
> "fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções,
> mas em apenas uma.  Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e
> dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho
> que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Volume de um Toroide

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Olá,

On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues
 wrote:
> Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou conseguindo 
> chegar numa resposta correta.
> O problema é o seguinte:
>
> Qual a integral que representa o volume do disco
>
> ((x-b)^2)+y^2
> que gira em torno do eixo y?
> Considere 0 Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy.
> Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b.

Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral
dupla" primeiro em y, ou primeiro em x.  Também pode ser pensado
"fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções,
mas em apenas uma.  Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e
dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho
que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes cúbicas de cossenos

[saulo nilson]

NAO PRECISAVA ENCONTRAR COS5, COS 30=COS3*10, DAÍ ENCONTRA O COS10, DEPOIS
É SÓ SUBSTITUIR.

On Fri, Jan 24, 2020 at 10:23 AM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Como?
>
> Não entendi a ideia...
>
>
> Em sex, 24 de jan de 2020 02:37, saulo nilson 
> escreveu:
>
>> COS 15=COS 30/2
>> COS 15=COS(3*5)
>> DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS5 =COS10/2
>> DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS 10
>>
>> S= F(COS 10) QUE ENCONTRA O VALOR
>>
>> On Sun, Jan 19, 2020 at 8:41 AM Vanderlei Nemitz 
>> wrote:
>>
>>> Bom dia, pessoal!
>>>
>>> Pensei em resolver a seguinte questão associando cos 40°, cos 80° e cos
>>> 160° às raízes da equação cos(3x) = -1/2 e utilizando o arco triplo,
>>> recaindo em uma equação de grau 3. Porém, fica difícil determinar o produto
>>> de 2 em 2 das raízes cúbicas. Alguém conhece uma solução melhor?
>>> Muito obrigado!
>>>
>>> S = (cos 40°)^(1/3) + (cos 80°)^(1/3) +  (cos 160°)^(1/3)
>>>
>>> (Soma das raízes cúbicas de cos 40°, cos 80° e cos 160°)
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes cúbicas de cossenos

[Vanderlei Nemitz]

Como?

Não entendi a ideia...


Em sex, 24 de jan de 2020 02:37, saulo nilson 
escreveu:

> COS 15=COS 30/2
> COS 15=COS(3*5)
> DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS5 =COS10/2
> DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS 10
>
> S= F(COS 10) QUE ENCONTRA O VALOR
>
> On Sun, Jan 19, 2020 at 8:41 AM Vanderlei Nemitz 
> wrote:
>
>> Bom dia, pessoal!
>>
>> Pensei em resolver a seguinte questão associando cos 40°, cos 80° e cos
>> 160° às raízes da equação cos(3x) = -1/2 e utilizando o arco triplo,
>> recaindo em uma equação de grau 3. Porém, fica difícil determinar o produto
>> de 2 em 2 das raízes cúbicas. Alguém conhece uma solução melhor?
>> Muito obrigado!
>>
>> S = (cos 40°)^(1/3) + (cos 80°)^(1/3) +  (cos 160°)^(1/3)
>>
>> (Soma das raízes cúbicas de cos 40°, cos 80° e cos 160°)
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes cúbicas de cossenos

[saulo nilson]

COS 15=COS 30/2
COS 15=COS(3*5)
DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS5 =COS10/2
DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS 10

S= F(COS 10) QUE ENCONTRA O VALOR

On Sun, Jan 19, 2020 at 8:41 AM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Bom dia, pessoal!
>
> Pensei em resolver a seguinte questão associando cos 40°, cos 80° e cos
> 160° às raízes da equação cos(3x) = -1/2 e utilizando o arco triplo,
> recaindo em uma equação de grau 3. Porém, fica difícil determinar o produto
> de 2 em 2 das raízes cúbicas. Alguém conhece uma solução melhor?
> Muito obrigado!
>
> S = (cos 40°)^(1/3) + (cos 80°)^(1/3) +  (cos 160°)^(1/3)
>
> (Soma das raízes cúbicas de cos 40°, cos 80° e cos 160°)
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[Ralph Teixeira]

Seja ABCD o quadrilatero convexo, e seja P o encontro das diagonais.

No triangulo APB, temos AP+PB>AB. Escreva as desigualdades analogas para os
triangulos BPC, CPD e DPA. Somando-as, voce vai obter que

2(AC+BD)>perimetro=8

Ou seja, o infimo tem que ser pelo menos 4.

Agora, para chegar no infimo, voce vai ter que "degenerar" os triangulos...
Entao considere um quadrilatero do tipo ABCB (ou seja, tome D=B), com,
digamos, AC=BC=2. Note que o perimetro eh 8, enquando AC=4 e BB=0, ou seja,
a soma das diagonais eh 4.

Mas alguns diriam que isso nao eh um quadrilatero convexo (bom, depende da
sua definicao de quadrilatero!)... Entao se "quadrilateros" nao incluem
casos degenrados, para fazer isso ficar rigoroso, voce teria que tomar um
quadrilatero convexo QUASE degenerado de perimetro 8 (um losango serve, a
conta fica facil), e mostrar que a soma das diagonais fica tao perto de 4
quanto voce queira.

Abraco, Ralph.

On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo 
wrote:

> Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta...  O
> gabarito é 4.
>
> Em sáb, 11 de jan de 2020 12:03, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo 
>> wrote:
>> >
>> > Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perímetro 8
>> da soma dos comprimentos de suas diagonais ?
>>
>> Quais são os quadriláteros que você tentaria?
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[Esdras Muniz]

É fácil ver que esse ínfimo tem que ser no mínimo 4, basta fazer
desigualdade triângulos com os triângulos que têm dois vértices comuns com
o quadrilátero e o terceiro sendo a interseção das diagonais. E por esse
argumento do Caio, vemos que é 4 mesmo.

Em qui, 23 de jan de 2020 08:59, Caio Costa  escreveu:

> Minimiza-se a soma das diagonais ao tomar-se um losango degenerado, com
> uma diagonal valendo 4 e outra valendo 0.
>
> Em qui, 23 de jan de 2020 08:34, gilberto azevedo 
> escreveu:
>
>> Pensei em minimizar √(a² + (4-a)²)
>> 4 - a, devido ao fato do perímetro ser 8.
>> No caso obtenho o mínimo sendo 2√2, quando o retângulo é um quadrado de
>> lado 2.
>> A soma das diagonais seria no caso 4√2, e não bate com o gabarito.
>>
>> Em qui, 23 de jan de 2020 08:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo 
>>> wrote:
>>> >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo <
>>> gil159...@gmail.com> wrote:
>>> >> >
>>> >> > Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com
>>> perímetro 8 da soma dos comprimentos de suas diagonais ?
>>> >
>>> > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta...  O
>>> gabarito é 4.
>>>
>>> Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou??  Que resposta você obteve?
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[Caio Costa]

Minimiza-se a soma das diagonais ao tomar-se um losango degenerado, com uma
diagonal valendo 4 e outra valendo 0.

Em qui, 23 de jan de 2020 08:34, gilberto azevedo 
escreveu:

> Pensei em minimizar √(a² + (4-a)²)
> 4 - a, devido ao fato do perímetro ser 8.
> No caso obtenho o mínimo sendo 2√2, quando o retângulo é um quadrado de
> lado 2.
> A soma das diagonais seria no caso 4√2, e não bate com o gabarito.
>
> Em qui, 23 de jan de 2020 08:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo 
>> wrote:
>> >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo 
>> wrote:
>> >> >
>> >> > Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perímetro
>> 8 da soma dos comprimentos de suas diagonais ?
>> >
>> > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta...  O
>> gabarito é 4.
>>
>> Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou??  Que resposta você obteve?
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[gilberto azevedo]

Pensei em minimizar √(a² + (4-a)²)
4 - a, devido ao fato do perímetro ser 8.
No caso obtenho o mínimo sendo 2√2, quando o retângulo é um quadrado de
lado 2.
A soma das diagonais seria no caso 4√2, e não bate com o gabarito.

Em qui, 23 de jan de 2020 08:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo 
> wrote:
> >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo 
> wrote:
> >> >
> >> > Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perímetro
> 8 da soma dos comprimentos de suas diagonais ?
> >
> > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta...  O
> gabarito é 4.
>
> Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou??  Que resposta você obteve?
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo  wrote:
>> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo  
>> wrote:
>> >
>> > Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perímetro 8 da 
>> > soma dos comprimentos de suas diagonais ?
>
> Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta...  O 
> gabarito é 4.

Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou??  Que resposta você obteve?
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[gilberto azevedo]

Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta...  O
gabarito é 4.

Em sáb, 11 de jan de 2020 12:03, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo 
> wrote:
> >
> > Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perímetro 8
> da soma dos comprimentos de suas diagonais ?
>
> Quais são os quadriláteros que você tentaria?
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Re: Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro

[qedtexte]

Sauda,c~oes, 

Essa frmula no vale para todos os tringulos obtusngulos. 
Daria para caracterizar os tringulos obtusngulos para os 
quais ela  verdadeira ? 

Abraos, 
Lus 



--
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Média

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito obrigado por responder Artur!!!

Em sáb., 18 de jan. de 2020 às 19:58, Artur Costa Steiner <
steinerar...@gmail.com> escreveu:

> De modo geral, nada se pode afirmar. Dependendo dos pesos, tudo pode
> acontecer
>
> Artur
>
>
> Em sex, 17 de jan de 2020 17:56, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, eu gostaria de saber qual é a relação entre a média
>> aritmética e a média ponderada(tipo maior ou igual,menor ou igual)
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.



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Israel Meireles Chrisostomo

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Média

[Artur Costa Steiner]

De modo geral, nada se pode afirmar. Dependendo dos pesos, tudo pode
acontecer

Artur


Em sex, 17 de jan de 2020 17:56, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, eu gostaria de saber qual é a relação entre a média
> aritmética e a média ponderada(tipo maior ou igual,menor ou igual)
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Uma soma

[Projeto Iteano]

Esse problema dá pra resolver usando notação de somatório .
Como eu não sei escrever isso no teclado, eu vou usar E(i=1,n)[x] como
sendo o somatório com i indo de 1 até n de x. Tudo que vier depois do ]
está fora do somatório.
1+(1+2)+...+(1+2+...+n) é o somatório das somas entre os n primeiros
naturais,e portanto igual a:
E(i=1,n)[(i+1)i/2] ,pela fórmula da soma dos termos de uma p.a.
=E (i=1,n)[(i^2+i)]/2
=E(i=1,n)[i^2]/2+E(i=1,n)[i]/2 ,que pela fórmula da soma dos n primeiros
quadrados e dos termos de uma p.a.  é igual a:
[n(n+1)(2n+1)/12 ]+n(n+1)/4
=[n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)]/12
=n(n+1)(2n+4)/12
=n(n+1)(n+2)/6  ■


Em Sex, 17 de jan de 2020 17:25, Ralph Teixeira 
escreveu:

> https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
>
> On Thu, Jan 16, 2020 at 6:13 PM marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> wrote:
>
>> Como calcular 1 + (1+2) + (1+2+3) +... +(1+2+...+n)?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Re: [obm-l] Uma soma

[Ralph Teixeira]

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number

On Thu, Jan 16, 2020 at 6:13 PM marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> wrote:

> Como calcular 1 + (1+2) + (1+2+3) +... +(1+2+...+n)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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Re: [obm-l] Uma soma

[Claudio Buffara]

O termo geral é k*(n+1-k), com k variando de 1 a n

Enviado do meu iPhone

> Em 16 de jan de 2020, à(s) 17:27, Claudio Buffara  
> escreveu:
> 
> Faz uma tabela
> 1
> 1   2
> 1   2   3
> 1   2   3  4
> 
> 4*1 + 3*2 + 2*3 + 1*4
> 
> Deu pra pegar o padrão?
> 
> Enviado do meu iPhone
> 
>> Em 16 de jan de 2020, à(s) 16:13, marcone augusto araújo borges 
>>  escreveu:
>> 
>>  Como calcular 1 + (1+2) + (1+2+3) +... +(1+2+...+n)? 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Uma soma

[Claudio Buffara]

Faz uma tabela
1
1   2
1   2   3
1   2   3  4

4*1 + 3*2 + 2*3 + 1*4

Deu pra pegar o padrão?

Enviado do meu iPhone

> Em 16 de jan de 2020, à(s) 16:13, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
> 
>  Como calcular 1 + (1+2) + (1+2+3) +... +(1+2+...+n)? 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Uma soma

[Pierre Minner Denizot]

1 é somado n vezes,
2 é somado (n-1) vezes,
i é somado (n-i+1) vezes.

Σ(n-i+1)i
Com i de 1 a n
=
(n+1)Σi - Σi²
Com i de 1 a n
O resto deixo contigo

Em qui, 16 de jan de 2020 18:14, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Como calcular 1 + (1+2) + (1+2+3) +... +(1+2+...+n)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Bernardo!
Boa tarde!
Vou acessar os links que você indicou.
Muito obrigado!
Luiz

Em qua, 15 de jan de 2020 1:25 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Tue, Jan 14, 2020 at 9:45 PM Claudio Buffara
>  wrote:
> > O artigo é esse aqui:
> >
> https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html
> > É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá.
>
> Há algumas tentativas de mudança.  Uma delas, o recém-criado curso de
> Engenharia Matemática da UFRJ.  Inspirado, em parte, da experiência de
> intercâmbio com a Polytechnique e a ENSTA (tanto de professores como
> de alunos), e buscando integrar a sólida formação em matemática e
> ciências básicas com o maior centro de pesquisa em engenharia da
> América Latina, a COPPE.
>
> Para mais detalhes sobre o curso, confiram
>
> https://sites.google.com/matematica.ufrj.br/aplicada/engenharia-matem%C3%A1tica
>
> http://www.im.ufrj.br/index.php/pt/noticias-e-eventos/noticias/247-saiba-mais-sobre-o-novo-curso-engenharia-matematica
>
> E, para quem quiser ler a proposta integral:
> http://www.im.ufrj.br/images/documentos/projeto_engenhariamatematica.pdf
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Tue, Jan 14, 2020 at 9:45 PM Claudio Buffara
 wrote:
> O artigo é esse aqui:
> https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html
> É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá.

Há algumas tentativas de mudança.  Uma delas, o recém-criado curso de
Engenharia Matemática da UFRJ.  Inspirado, em parte, da experiência de
intercâmbio com a Polytechnique e a ENSTA (tanto de professores como
de alunos), e buscando integrar a sólida formação em matemática e
ciências básicas com o maior centro de pesquisa em engenharia da
América Latina, a COPPE.

Para mais detalhes sobre o curso, confiram
https://sites.google.com/matematica.ufrj.br/aplicada/engenharia-matem%C3%A1tica
http://www.im.ufrj.br/index.php/pt/noticias-e-eventos/noticias/247-saiba-mais-sobre-o-novo-curso-engenharia-matematica

E, para quem quiser ler a proposta integral:
http://www.im.ufrj.br/images/documentos/projeto_engenhariamatematica.pdf

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Anderson!
Bom dia!
Visitei o site que você indicou.
É muito bom!
Muito obrigado!
Abs

Em qua, 15 de jan de 2020 8:11 AM, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> >
> > Olá, Esdras!
> > Eu de novo!
> > Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às
> funções transcendentes?
> > É um assunto que me interessa bastante!
> > Abraços!
> > Luiz
> >
> > Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Acho que essa função é trancendente.
>
> Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador)
> que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração
> bonitinha".
>
> Sempre que a dúvida bater, use esse site:
>
> https://www.integral-calculator.com/
>
> >>
> >> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Tudo bem?
> >>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
> >>>
> >>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se
> que f(0)=2.
> >>>
> >>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
> integral...
> >>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
> >>> Muito obrigado!
> >>> Luiz
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Anderson Torres]

Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
>
> Olá, Esdras!
> Eu de novo!
> Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às 
> funções transcendentes?
> É um assunto que me interessa bastante!
> Abraços!
> Luiz
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz  
> escreveu:
>>
>> Acho que essa função é trancendente.

Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador)
que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração
bonitinha".

Sempre que a dúvida bater, use esse site:

https://www.integral-calculator.com/

>>
>> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues 
>>  escreveu:
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>>
>>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que 
>>> f(0)=2.
>>>
>>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta 
>>> integral...
>>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>>> Muito obrigado!
>>> Luiz
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Claudio Buffara]

Os livros são estes mesmo.

O artigo é esse aqui:
https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html

É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá.

[]s,
Claudio.


On Tue, Jan 14, 2020 at 7:09 PM Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> wrote:

> Olá, Claudio!
> Tudo bem?
> Muito obrigado pelas sugestões.
> Eu vi na Amazon os títulos:
>
> A Problem Book in Algebra - Krechmar
>
> Problems in Higher Algebra - Faddeev & Sominskii
>
> São esses?
> O que você disse é verdade, muitas vezes eu recorro aos softwares para
> verificar minhas respostas.
> Eu gostaria bastante de ler o artigo que você citou.
> Muito obrigado!
> Abs.
>
> Em ter, 14 de jan de 2020 5:01 PM, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes
>> dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos.
>>
>> O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos
>> clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de
>> problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros.
>>
>> Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”,
>> usando complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais)
>> tem se desvalorizado recentemente devido à existência e ampla
>> disponibilidade de softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que
>> calculam qualquer soma dessas.
>>
>> Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de
>> modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui.
>>
>> Abs
>>
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>> 
>> Olá, Artur!
>> Tudo bem?
>> Agradeço sua resposta.
>> O problema diz:
>>
>> É dado o somatório de:
>>
>> sen(k*b/n)
>>
>> Onde k varia de 1 até n.
>>
>> Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a
>> infinito.
>>
>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>>
>> Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A.
>> Depois eu calculei o limite solicitado.
>> Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta.
>> Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que
>> considero bastante interessante.
>> Muito obrigado!
>> Luiz
>>
>>
>> Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse
>>>
>>> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n).Â
>>>
>>> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n.
>>>
>>> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório Ã
>>> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann?
>>>
>>> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) >
>>> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas
>>> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1.
>>>
>>> Me corrija se eu tiver cometido algum erro.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Artur
>>>
>>> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá, Claudio!
 Tudo bem?
 Sim, foi esse resultado que eu achei!
 Muito obrigado pela ajuda!

 Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara <
 claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura
> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral
> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1].
>
> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).
>
> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 13 de jan de 2020, Ã (s) 07:04, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
> 
> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí,
> como Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b).
>
> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo
>> descobrir onde está meu erro.
>> Alguém pode me ajudar?
>>
>> O problema é o seguinte:
>>
>> É dado o somatório de:
>>
>> sen(k*b/n)
>>
>> Onde k varia de 1 até n.
>>
>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n
>> tende a infinito.
>>
>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>>
>> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
>> O problema parece simples...
>> Agradeço desde já!
>> Luiz
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Claudio!
Tudo bem?
Muito obrigado pelas sugestões.
Eu vi na Amazon os títulos:

A Problem Book in Algebra - Krechmar

Problems in Higher Algebra - Faddeev & Sominskii

São esses?
O que você disse é verdade, muitas vezes eu recorro aos softwares para
verificar minhas respostas.
Eu gostaria bastante de ler o artigo que você citou.
Muito obrigado!
Abs.

Em ter, 14 de jan de 2020 5:01 PM, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes
> dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos.
>
> O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos
> clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de
> problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros.
>
> Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, usando
> complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) tem se
> desvalorizado recentemente devido à existência e ampla disponibilidade de
> softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que calculam qualquer soma
> dessas.
>
> Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de
> modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui.
>
> Abs
>
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
> 
> Olá, Artur!
> Tudo bem?
> Agradeço sua resposta.
> O problema diz:
>
> É dado o somatório de:
>
> sen(k*b/n)
>
> Onde k varia de 1 até n.
>
> Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a
> infinito.
>
> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>
> Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A.
> Depois eu calculei o limite solicitado.
> Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta.
> Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que
> considero bastante interessante.
> Muito obrigado!
> Luiz
>
>
> Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse
>>
>> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n).Â
>>
>> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n.
>>
>> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório Ã
>> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann?
>>
>> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) >
>> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas
>> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1.
>>
>> Me corrija se eu tiver cometido algum erro.
>>
>> Abraços
>>
>> Artur
>>
>> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, Claudio!
>>> Tudo bem?
>>> Sim, foi esse resultado que eu achei!
>>> Muito obrigado pela ajuda!
>>>
>>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura
 sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral
 definida) de sen(bx) no intervalo [0,1].

 A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).

 Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.

 Enviado do meu iPhone

 Em 13 de jan de 2020, Ã (s) 07:04, Esdras Muniz <
 esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

 
 Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí,
 como Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b).

 Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
 rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo
> descobrir onde está meu erro.
> Alguém pode me ajudar?
>
> O problema é o seguinte:
>
> É dado o somatório de:
>
> sen(k*b/n)
>
> Onde k varia de 1 até n.
>
> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n
> tende a infinito.
>
> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>
> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
> O problema parece simples...
> Agradeço desde já!
> Luiz
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem 

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Claudio Buffara]

Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes 
dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos. 

O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos 
clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de problemas 
resolvidos sobre este tema e muitos outros.

Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, usando 
complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) tem se 
desvalorizado recentemente devido à existência e ampla disponibilidade de 
softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que calculam qualquer soma 
dessas.

Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de 
modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui.

Abs


Enviado do meu iPhone

> Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues 
>  escreveu:
> 
> Olá, Artur!
> Tudo bem?
> Agradeço sua resposta.
> O problema diz:
> 
> É dado o somatório de:
> 
> sen(k*b/n)
> 
> Onde k varia de 1 até n.
> 
> Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito.
> 
> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
> 
> Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A.
> Depois eu calculei o limite solicitado.
> Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta.
> Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que 
> considero bastante interessante.
> Muito obrigado!
> Luiz
> 
> 
> Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner 
>  escreveu:
>> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse
>> 
>> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). 
>> 
>> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n.
>> 
>> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à 
>> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann?
>> 
>> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > 
>> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas 
>> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1.
>> 
>> Me corrija se eu tiver cometido algum erro.
>> 
>> Abraços
>> 
>> Artur
>> 
>> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues 
>>  escreveu:
>>> Olá, Claudio!
>>> Tudo bem?
>>> Sim, foi esse resultado que eu achei!
>>> Muito obrigado pela ajuda!
>>> 
>>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara 
>>>  escreveu:
 É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura 
 sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral 
 definida) de sen(bx) no intervalo [0,1].
 
 A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).
 
 Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.
 
 Enviado do meu iPhone
 
> Em 13 de jan de 2020, Ã (s) 07:04, Esdras Muniz 
>  escreveu:
> 
> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como 
> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b).
> 
> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues 
>  escreveu:
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo 
>> descobrir onde está meu erro.
>> Alguém pode me ajudar?
>> 
>> O problema é o seguinte:
>> 
>> É dado o somatório de:
>> 
>> sen(k*b/n)
>> 
>> Onde k varia de 1 até n.
>> 
>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n 
>> tende a infinito.
>> 
>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>> 
>> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
>> O problema parece simples...
>> Agradeço desde já!
>> Luiz
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Artur!
Tudo bem?
Agradeço sua resposta.
O problema diz:

É dado o somatório de:

sen(k*b/n)

Onde k varia de 1 até n.

Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito.

O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.

Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A.
Depois eu calculei o limite solicitado.
Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta.
Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que
considero bastante interessante.
Muito obrigado!
Luiz


Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse
>
> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n).
>
> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n.
>
> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à
> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann?
>
> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) >
> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas
> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1.
>
> Me corrija se eu tiver cometido algum erro.
>
> Abraços
>
> Artur
>
> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, Claudio!
>> Tudo bem?
>> Sim, foi esse resultado que eu achei!
>> Muito obrigado pela ajuda!
>>
>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura
>>> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral
>>> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1].
>>>
>>> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).
>>>
>>> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>>
>>> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz <
>>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> 
>>> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como
>>> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b).
>>>
>>> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá, pessoal!
 Tudo bem?
 Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir
 onde está meu erro.
 Alguém pode me ajudar?

 O problema é o seguinte:

 É dado o somatório de:

 sen(k*b/n)

 Onde k varia de 1 até n.

 Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n
 tende a infinito.

 O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.

 Eu cheguei no valor zero, que está errado.
 O problema parece simples...
 Agradeço desde já!
 Luiz


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Artur Costa Steiner]

Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse

S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n).

Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n.

Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à
expressão correspondente ao caso da soma de Riemann?

Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) >
sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas
entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1.

Me corrija se eu tiver cometido algum erro.

Abraços

Artur

Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Claudio!
> Tudo bem?
> Sim, foi esse resultado que eu achei!
> Muito obrigado pela ajuda!
>
> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura
>> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral
>> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1].
>>
>> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).
>>
>> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz 
>> escreveu:
>>
>> 
>> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como
>> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b).
>>
>> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir
>>> onde está meu erro.
>>> Alguém pode me ajudar?
>>>
>>> O problema é o seguinte:
>>>
>>> É dado o somatório de:
>>>
>>> sen(k*b/n)
>>>
>>> Onde k varia de 1 até n.
>>>
>>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n
>>> tende a infinito.
>>>
>>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>>>
>>> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
>>> O problema parece simples...
>>> Agradeço desde já!
>>> Luiz
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Claudio!
Tudo bem?
Sim, foi esse resultado que eu achei!
Muito obrigado pela ajuda!

Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura
> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral
> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1].
>
> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).
>
> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
> 
> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen
> é integravel, esse limite vai ser Sen(b).
>
> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir
>> onde está meu erro.
>> Alguém pode me ajudar?
>>
>> O problema é o seguinte:
>>
>> É dado o somatório de:
>>
>> sen(k*b/n)
>>
>> Onde k varia de 1 até n.
>>
>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende
>> a infinito.
>>
>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>>
>> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
>> O problema parece simples...
>> Agradeço desde já!
>> Luiz
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Claudio Buffara]

É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura sen(kb/n): 
logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral definida) de 
sen(bx) no intervalo [0,1].

A antiderivada é (-1/b)*cos(bx).

Logo, a integral é (1 - cos(b))/b.

Enviado do meu iPhone

> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz  
> escreveu:
> 
> 
> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen é 
> integravel, esse limite vai ser Sen(b).
> 
> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues 
>  escreveu:
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde 
>> está meu erro.
>> Alguém pode me ajudar?
>> 
>> O problema é o seguinte:
>> 
>> É dado o somatório de:
>> 
>> sen(k*b/n)
>> 
>> Onde k varia de 1 até n.
>> 
>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a 
>> infinito.
>> 
>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>> 
>> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
>> O problema parece simples...
>> Agradeço desde já!
>> Luiz
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Claudio!
Olá, Esdras!
Tudo bem?
Muito obrigado pela ajuda!
Eu segui a dica do Claudio e calculei o somatório dos senos em P.A.
Depois eu calculei o limite desse somatório dividido por n.
Mas eu cheguei em

(1/b)*(1-cos(b))

O que será que houve?
Esdras,  você considerou o somatório dividido por n?


Em seg, 13 de jan de 2020 9:04 AM, Esdras Muniz 
escreveu:

> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen
> é integravel, esse limite vai ser Sen(b).
>
> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde
>> está meu erro.
>> Alguém pode me ajudar?
>>
>> O problema é o seguinte:
>>
>> É dado o somatório de:
>>
>> sen(k*b/n)
>>
>> Onde k varia de 1 até n.
>>
>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende
>> a infinito.
>>
>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>>
>> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
>> O problema parece simples...
>> Agradeço desde já!
>> Luiz
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro

[samuel barbosa]

Olá, boa tarde.

Uma outra possibilidade:

Se r_a, r_b e r_c são as distâncias de O aos lados e h_a, h_b e h_c são as
alturas, temos

R/AO_a = (h_a-r_a)/h_a = 1 - [BOC]/[ABC].

Somando as três equações equivalentes, obtemos

R/AO_a+R/BO_b+R/CO_c = 3 - ([BOC]+[AOC]+[AOB])/[ABC] = 2.

Abraços
Samuel


Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:06, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em qua., 18 de dez. de 2019 às 20:47, Luís Lopes
>  escreveu:
> >
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Sejam AO_a, BO_B e CO_c as cevianas que passam pelo circuncentro.
> > O_a na reta do lado  etc.
> >
> > Como provar que 1/AO_a + 1/BO_b + 1/CO_c = 2/R ?
> >
>
> Uma forma mais ou menos fácil é usando trigonometria. Calcula cada
> segmento como funçao dos ângulos e do raio do círculo, depois faz as
> contas!
>
> > Luís
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo

[gilberto azevedo]

Excelente, foi de grande ajuda. Muito obrigado !

Em dom, 12 de jan de 2020 20:42, Pedro Cardoso 
escreveu:

> O problema é resolvível no contexto do ensino médio porque uma das
> equações vão ser retas.
> Talvez tenha um jeito ainda mais fácil de resolver, mas essa foi a solução
> que encontrei:
>
> Por √x ser crescente, o máximo de
> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9)
> é a raíz do máximo de
> 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9.
> Seja
> 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9  = p
> Então
> (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9 = p
> (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9/4 = p - 27/4
> (4a-2b - 3/2)² = p -27/4
> O que dá duas retas:
> 2a-b = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e
> 2a-b = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2
> E queremos encontrar o maior valor de p tal que pelo menos uma dessas
> retas toque a equação dada.
>
> Para simplificar, recomendo por
> k =  (√(p -27/4) + 3/2 )/2   e
> k' =   (-√(p -27/4) + 3/2 )/2
>
> Dessa forma, se encontrarmos o maior valor de k tal que 2a-b = k toca a
> equação dada, podemos encontrar também o maior valor de p tal que a
> primeira reta toca a equação dada.
> Analogamente, se encontrarmos o *menor* valor de *k'* tal que 2a - b = k'
> toca a equação, encontramos o maior valor de p tal que a *segunda* reta
> toca a equação dada. Aqui fica invertido pois tem um "-" na raíz com o p.
>
> A partir daqui já é possível resolver substituindo 2a-b = k restrição e
> encontrando o vértice de uma equação do segundo grau, mas para continuar,
> vou aplicar a substituição
>
> a=x+y
> b=x-y
>
> temos que
> 17(a²+b²) -30ab - 16 = 0 fica
> 34(x²+y²)-30(x²-y²)-16 = 0
> 4x² + 64y² - 16 = 0
> x² + 16y² - 4 = 0
>
> E 2a - b = k fica
> 2(x + y) - (x - y) = k
> x + 3y = k
> x = k - 3y
>
> Substituindo, temos
> (k-3y)² + 16y² - 4 = 0
> k² - 6ky + 25y² - 4 = 0
> 25y² - 6ky + k²-4 = 0
> Essa quadrática em y tem discriminante
> Δ = 36k² - 25(4k² - 16)
> Δ = 36k² - 100k² + 400
> Δ = 400 - 64k²
>
> Quando  Δ>0, a reta toca a equação em mais de 1 ponto. Quando  Δ=0, a reta
> é tangente à equação (isso ocorrerá quando k for máximo ou mínimo), e
> quando  Δ<0, a reta não toca a equação.
>
> Pondo  Δ=0, temos
> 25 - 4k² = 0
> k =  5/2  e
> k = -5/2
>
> Assim, encontramos o maior valor para k:  k = √(25/4)
> e o menor valor para k':  k' = -√(25/4). Isso nos dá as equações
>
> 5 = √(p -27/4) + 3/2e
> -5 = -√(p -27/4) + 3/2
> Que não são difíceis de resolver e dão, respectivamente
> p = 19   e
> p = 49
>
> Como disse no começo, o resultado é a raíz desse máximo, ou seja, √49 =
> *7*.
> Como o resultado foi muito bonito, suspeito que há um jeito muito mais
> simples de resolver, mas não o encontrei.
> A saber, esse máximo ocorre quando
> a = -1,9
> b = -1,3
>
> Espero que tenha sido útil
> Pedro Cardoso
>
> Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:09, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Oi, Gilberto:
>>
>> Que mal eu pergunte, de onde veio este problema?
>> E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem
>> usar cálculo)?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo 
>> wrote:
>>
>>> Se a e b são números que satisfazem a equação :
>>> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0
>>> Determinar o máximo de :
>>> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9)
>>> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei
>>> oq utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando
>>> ideias.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Esdras Muniz]

Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen é
integravel, esse limite vai ser Sen(b).

Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde
> está meu erro.
> Alguém pode me ajudar?
>
> O problema é o seguinte:
>
> É dado o somatório de:
>
> sen(k*b/n)
>
> Onde k varia de 1 até n.
>
> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a
> infinito.
>
> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>
> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
> O problema parece simples...
> Agradeço desde já!
> Luiz
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma de Riemann

[Claudio Buffara]

Você sabe como somar os senos de arcos cujas medidas formam uma PA?
Use e^(ix) = cos(x) = i*sen(x).

On Sun, Jan 12, 2020 at 7:19 PM Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> wrote:

> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde
> está meu erro.
> Alguém pode me ajudar?
>
> O problema é o seguinte:
>
> É dado o somatório de:
>
> sen(k*b/n)
>
> Onde k varia de 1 até n.
>
> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a
> infinito.
>
> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann.
>
> Eu cheguei no valor zero, que está errado.
> O problema parece simples...
> Agradeço desde já!
> Luiz
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo

[Pedro Cardoso]

O problema é resolvível no contexto do ensino médio porque uma das equações
vão ser retas.
Talvez tenha um jeito ainda mais fácil de resolver, mas essa foi a solução
que encontrei:

Por √x ser crescente, o máximo de
√(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9)
é a raíz do máximo de
16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9.
Seja
16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9  = p
Então
(4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9 = p
(4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9/4 = p - 27/4
(4a-2b - 3/2)² = p -27/4
O que dá duas retas:
2a-b = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e
2a-b = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2
E queremos encontrar o maior valor de p tal que pelo menos uma dessas retas
toque a equação dada.

Para simplificar, recomendo por
k =  (√(p -27/4) + 3/2 )/2   e
k' =   (-√(p -27/4) + 3/2 )/2

Dessa forma, se encontrarmos o maior valor de k tal que 2a-b = k toca a
equação dada, podemos encontrar também o maior valor de p tal que a
primeira reta toca a equação dada.
Analogamente, se encontrarmos o *menor* valor de *k'* tal que 2a - b = k'
toca a equação, encontramos o maior valor de p tal que a *segunda* reta
toca a equação dada. Aqui fica invertido pois tem um "-" na raíz com o p.

A partir daqui já é possível resolver substituindo 2a-b = k restrição e
encontrando o vértice de uma equação do segundo grau, mas para continuar,
vou aplicar a substituição

a=x+y
b=x-y

temos que
17(a²+b²) -30ab - 16 = 0 fica
34(x²+y²)-30(x²-y²)-16 = 0
4x² + 64y² - 16 = 0
x² + 16y² - 4 = 0

E 2a - b = k fica
2(x + y) - (x - y) = k
x + 3y = k
x = k - 3y

Substituindo, temos
(k-3y)² + 16y² - 4 = 0
k² - 6ky + 25y² - 4 = 0
25y² - 6ky + k²-4 = 0
Essa quadrática em y tem discriminante
Δ = 36k² - 25(4k² - 16)
Δ = 36k² - 100k² + 400
Δ = 400 - 64k²

Quando  Δ>0, a reta toca a equação em mais de 1 ponto. Quando  Δ=0, a reta
é tangente à equação (isso ocorrerá quando k for máximo ou mínimo), e
quando  Δ<0, a reta não toca a equação.

Pondo  Δ=0, temos
25 - 4k² = 0
k =  5/2  e
k = -5/2

Assim, encontramos o maior valor para k:  k = √(25/4)
e o menor valor para k':  k' = -√(25/4). Isso nos dá as equações

5 = √(p -27/4) + 3/2e
-5 = -√(p -27/4) + 3/2
Que não são difíceis de resolver e dão, respectivamente
p = 19   e
p = 49

Como disse no começo, o resultado é a raíz desse máximo, ou seja, √49 = *7*.
Como o resultado foi muito bonito, suspeito que há um jeito muito mais
simples de resolver, mas não o encontrei.
A saber, esse máximo ocorre quando
a = -1,9
b = -1,3

Espero que tenha sido útil
Pedro Cardoso

Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:09, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Oi, Gilberto:
>
> Que mal eu pergunte, de onde veio este problema?
> E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar
> cálculo)?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo 
> wrote:
>
>> Se a e b são números que satisfazem a equação :
>> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0
>> Determinar o máximo de :
>> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9)
>> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei oq
>> utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo

[gilberto azevedo]

Olá Cláudio, eu sinceramente não faço ideia foi mandada em um dos grupos
que faço parte e achei interessante.
Mandei com essa restrição pois é só curiosidade mesmo de como seria uma
saída sem usar técnicas de ensino superior.

Em dom, 12 de jan de 2020 19:09, Claudio Buffara 
escreveu:

> Oi, Gilberto:
>
> Que mal eu pergunte, de onde veio este problema?
> E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar
> cálculo)?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo 
> wrote:
>
>> Se a e b são números que satisfazem a equação :
>> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0
>> Determinar o máximo de :
>> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9)
>> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei oq
>> utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Máximo

[Claudio Buffara]

Oi, Gilberto:

Que mal eu pergunte, de onde veio este problema?
E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar
cálculo)?

[]s,
Claudio.


On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo 
wrote:

> Se a e b são números que satisfazem a equação :
> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0
> Determinar o máximo de :
> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9)
> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior . Não sei oq
> utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro

[Anderson Torres]

Em qua., 18 de dez. de 2019 às 20:47, Luís Lopes
 escreveu:
>
> Sauda,c~oes,
>
> Sejam AO_a, BO_B e CO_c as cevianas que passam pelo circuncentro.
> O_a na reta do lado  etc.
>
> Como provar que 1/AO_a + 1/BO_b + 1/CO_c = 2/R ?
>

Uma forma mais ou menos fácil é usando trigonometria. Calcula cada
segmento como funçao dos ângulos e do raio do círculo, depois faz as
contas!

> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência

[Ernesto Rodrigues]

Temos 4^6 = 4096 = -4 (mod 100). 2^222 = 4^111 = 4^3*4^108 = 4^3*(-4)^18 =
4^3*4^18 = 4^3*(-4)^3 = -4^6 = -(-4) = 4 (mod 100)

Em sáb, 11 de jan de 2020 11:30, Vanderlei Nemitz 
escreveu:

> Está em um livro na parte de potenciação.
> Mas mesmo assim, como faria com essa ideia?
>
> Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Acho que é d) 04
>>
>> Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz 
>> escreveu:
>>
>>> Pode usar a função fi.
>>>
>>> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz 
>>> escreveu:
>>>
 Bom dia!
 Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais!

 Alguém conhece um modo relativamente simples?

 Os dois últimos algarismos de 2^222 são:
 a) 84
 b) 24
 c) 64
 d) 04
 e) 44

 Muito obrigado!

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência

[Pedro Cardoso]

Vamos analisar 2^222 módulo 4 e módulo 25. Caso vc não seja familiar a
isso, dizer a = b (mod c) significa dizer que a e b tem o mesmo resto na
divisão por c.

2^222 = 0 (mod 4)

2^222 = 4^111 = (5-1)^111
Expandindo usando o binômio de newton, todos os termos são divisíveis por
25, exceto os dois últimos: (5^1)(1^110) - (5^0)(1^111) =
= 5 - 1 = 4
Ou seja, 2^222 = 4 (mod 25)

04 = 0 (mod 4) e 04 = 4 (mod 25)

Então os últimos dígitos são 04

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo  wrote:
>
> Qual o ínfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perímetro 8 da soma 
> dos comprimentos de suas diagonais ?

Quais são os quadriláteros que você tentaria?
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência

[Vanderlei Nemitz]

Está em um livro na parte de potenciação.
Mas mesmo assim, como faria com essa ideia?

Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz 
escreveu:

> Acho que é d) 04
>
> Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Pode usar a função fi.
>>
>> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>> Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais!
>>>
>>> Alguém conhece um modo relativamente simples?
>>>
>>> Os dois últimos algarismos de 2^222 são:
>>> a) 84
>>> b) 24
>>> c) 64
>>> d) 04
>>> e) 44
>>>
>>> Muito obrigado!
>>>
>>> Vanderlei
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Potência

[Esdras Muniz]

Acho que é d) 04

Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz 
escreveu:

> Pode usar a função fi.
>
> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais!
>>
>> Alguém conhece um modo relativamente simples?
>>
>> Os dois últimos algarismos de 2^222 são:
>> a) 84
>> b) 24
>> c) 64
>> d) 04
>> e) 44
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> Vanderlei
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Potência

[Esdras Muniz]

Pode usar a função fi.

Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz 
escreveu:

> Bom dia!
> Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais!
>
> Alguém conhece um modo relativamente simples?
>
> Os dois últimos algarismos de 2^222 são:
> a) 84
> b) 24
> c) 64
> d) 04
> e) 44
>
> Muito obrigado!
>
> Vanderlei
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Ralph!
Olá, Alexandre!
Sim!
Bobeamos!
Muito obrigado!
Um abraço!


Em qua, 1 de jan de 2020 11:58 PM, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Verdade Ralph ... Demos bobeira!!!
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 23:04, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Quando voce muda a variavel numa integral definida, tem que lembrar de
>> mudar tambem os limites de integracao.
>>
>> Entao, vamos "calcular" G(x). Temos:
>> G(x) = Int (0,x) cos((pi*u^2)/2) du
>> Como voce sugeriu, tomemos t = raiz(pi/2) u. Entao:
>>
>> i) dt=raiz(pi/2) du
>> ii) Quando u varia de 0 a x, temos que t varia de...?
>> Oras, quando u=0, temos t=raiz(pi/2).0=0...
>> ...e quando u=x, temos t=raiz(pi/2).x.
>> Entao o intervalo de integracao para t deve ser (0,raiz(pi/2)x).
>>
>> Assim:
>>
>> G(x) = Int (0,raiz(pi/2)x) cos(t^2) dt / raiz(pi/2) = raiz(2/pi) *
>> F(raiz(pi/2).x)
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> On Wed, Jan 1, 2020 at 12:01 PM Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Feliz Ano Novo!
>>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>>>
>>> São dadas:
>>>
>>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>>>
>>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>>>
>>> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>>>
>>> G(x)=a*F(b*x)
>>>
>>> Quais são os valores de a e b?
>>>
>>> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>>>
>>> sqrt(2)/sqrt(pi)
>>>
>>> Está correto!
>>>
>>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
>>> atrapalhando com as variáveis x e t.
>>> Alguém pode me ajudar?
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Alexandre Antunes]

Verdade Ralph ... Demos bobeira!!!



Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em qua., 1 de jan. de 2020 às 23:04, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Quando voce muda a variavel numa integral definida, tem que lembrar de
> mudar tambem os limites de integracao.
>
> Entao, vamos "calcular" G(x). Temos:
> G(x) = Int (0,x) cos((pi*u^2)/2) du
> Como voce sugeriu, tomemos t = raiz(pi/2) u. Entao:
>
> i) dt=raiz(pi/2) du
> ii) Quando u varia de 0 a x, temos que t varia de...?
> Oras, quando u=0, temos t=raiz(pi/2).0=0...
> ...e quando u=x, temos t=raiz(pi/2).x.
> Entao o intervalo de integracao para t deve ser (0,raiz(pi/2)x).
>
> Assim:
>
> G(x) = Int (0,raiz(pi/2)x) cos(t^2) dt / raiz(pi/2) = raiz(2/pi) *
> F(raiz(pi/2).x)
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Wed, Jan 1, 2020 at 12:01 PM Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, pessoal!
>> Feliz Ano Novo!
>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>>
>> São dadas:
>>
>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>>
>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>>
>> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>>
>> G(x)=a*F(b*x)
>>
>> Quais são os valores de a e b?
>>
>> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>>
>> sqrt(2)/sqrt(pi)
>>
>> Está correto!
>>
>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
>> atrapalhando com as variáveis x e t.
>> Alguém pode me ajudar?
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Ralph Teixeira]

Quando voce muda a variavel numa integral definida, tem que lembrar de
mudar tambem os limites de integracao.

Entao, vamos "calcular" G(x). Temos:
G(x) = Int (0,x) cos((pi*u^2)/2) du
Como voce sugeriu, tomemos t = raiz(pi/2) u. Entao:

i) dt=raiz(pi/2) du
ii) Quando u varia de 0 a x, temos que t varia de...?
Oras, quando u=0, temos t=raiz(pi/2).0=0...
...e quando u=x, temos t=raiz(pi/2).x.
Entao o intervalo de integracao para t deve ser (0,raiz(pi/2)x).

Assim:

G(x) = Int (0,raiz(pi/2)x) cos(t^2) dt / raiz(pi/2) = raiz(2/pi) *
F(raiz(pi/2).x)

Abraco, Ralph.

On Wed, Jan 1, 2020 at 12:01 PM Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> wrote:

> Olá, pessoal!
> Feliz Ano Novo!
> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>
> São dadas:
>
> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>
> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>
> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>
> G(x)=a*F(b*x)
>
> Quais são os valores de a e b?
>
> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>
> sqrt(2)/sqrt(pi)
>
> Está correto!
>
> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
> atrapalhando com as variáveis x e t.
> Alguém pode me ajudar?
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
>
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Luiz Antonio Rodrigues]

Certo!
Muito obrigado!

Em qua, 1 de jan de 2020 9:05 PM, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Farei o mesmo por aqui!!!
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 20:31, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não...
>> Vou pensar mais sobre o problema...
>>
>> Em qua, 1 de jan de 2020 7:33 PM, Alexandre Antunes <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Não poderia ser, realmente, b = 1?
>>>
>>>
>>>
>>> Atenciosamente,
>>>
>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>>> www alexandre antunes com br
>>>
>>>
>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 19:11, Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Sim, foi o que eu fiz também!
 Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria
 (pi/2).
 Também não é...
 Eu ainda não sei qual o valor correto de b...

 Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes <
 prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Qual seria o valor correto de b? Você sabe?
>
> Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t
> para chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x).
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, Alexandre!
>> Muito obrigado pela resposta!
>> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
>> Não está correto...
>> O valor de a que eu achei está certo.
>> Eu fiz a seguinte substituição:
>>
>> t=sqrt(pi/2)*u
>>
>> Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
>> Mas b não é 1.
>> Qual será o erro?
>>
>>
>>
>> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Boa tarde,
>>>
>>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ?
>>>
>>> Qual a substituição que você fez?
>>>
>>>
>>>
>>> Atenciosamente,
>>>
>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>>> www alexandre antunes com br
>>>
>>>
>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá, pessoal!
 Feliz Ano Novo!
 Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:

 São dadas:

 F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt

 G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du

 Faça uma mudança de variável e mostre que:

 G(x)=a*F(b*x)

 Quais são os valores de a e b?

 Eu consegui achar o valor de a, que é:

 sqrt(2)/sqrt(pi)

 Está correto!

 O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
 atrapalhando com as variáveis x e t.
 Alguém pode me ajudar?
 Muito obrigado e um abraço!
 Luiz







 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Alexandre Antunes]

Farei o mesmo por aqui!!!



Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em qua., 1 de jan. de 2020 às 20:31, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Não...
> Vou pensar mais sobre o problema...
>
> Em qua, 1 de jan de 2020 7:33 PM, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Não poderia ser, realmente, b = 1?
>>
>>
>>
>> Atenciosamente,
>>
>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>> www alexandre antunes com br
>>
>>
>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 19:11, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sim, foi o que eu fiz também!
>>> Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria (pi/2).
>>> Também não é...
>>> Eu ainda não sei qual o valor correto de b...
>>>
>>> Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes <
>>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Qual seria o valor correto de b? Você sabe?

 Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para
 chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x).



 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br


 Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues <
 rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Alexandre!
> Muito obrigado pela resposta!
> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
> Não está correto...
> O valor de a que eu achei está certo.
> Eu fiz a seguinte substituição:
>
> t=sqrt(pi/2)*u
>
> Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
> Mas b não é 1.
> Qual será o erro?
>
>
>
> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Boa tarde,
>>
>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ?
>>
>> Qual a substituição que você fez?
>>
>>
>>
>> Atenciosamente,
>>
>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>> www alexandre antunes com br
>>
>>
>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Feliz Ano Novo!
>>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>>>
>>> São dadas:
>>>
>>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>>>
>>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>>>
>>> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>>>
>>> G(x)=a*F(b*x)
>>>
>>> Quais são os valores de a e b?
>>>
>>> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>>>
>>> sqrt(2)/sqrt(pi)
>>>
>>> Está correto!
>>>
>>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
>>> atrapalhando com as variáveis x e t.
>>> Alguém pode me ajudar?
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Luiz Antonio Rodrigues]

Não...
Vou pensar mais sobre o problema...

Em qua, 1 de jan de 2020 7:33 PM, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Não poderia ser, realmente, b = 1?
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 19:11, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sim, foi o que eu fiz também!
>> Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria (pi/2).
>> Também não é...
>> Eu ainda não sei qual o valor correto de b...
>>
>> Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Qual seria o valor correto de b? Você sabe?
>>>
>>> Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para
>>> chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x).
>>>
>>>
>>>
>>> Atenciosamente,
>>>
>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>>> www alexandre antunes com br
>>>
>>>
>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá, Alexandre!
 Muito obrigado pela resposta!
 Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
 Não está correto...
 O valor de a que eu achei está certo.
 Eu fiz a seguinte substituição:

 t=sqrt(pi/2)*u

 Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
 Mas b não é 1.
 Qual será o erro?



 Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
 prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Boa tarde,
>
> Não seria o que fez, sendo b = 1 ?
>
> Qual a substituição que você fez?
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Feliz Ano Novo!
>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>>
>> São dadas:
>>
>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>>
>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>>
>> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>>
>> G(x)=a*F(b*x)
>>
>> Quais são os valores de a e b?
>>
>> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>>
>> sqrt(2)/sqrt(pi)
>>
>> Está correto!
>>
>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
>> atrapalhando com as variáveis x e t.
>> Alguém pode me ajudar?
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Alexandre Antunes]

Não poderia ser, realmente, b = 1?



Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em qua., 1 de jan. de 2020 às 19:11, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Sim, foi o que eu fiz também!
> Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria (pi/2).
> Também não é...
> Eu ainda não sei qual o valor correto de b...
>
> Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Qual seria o valor correto de b? Você sabe?
>>
>> Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para
>> chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x).
>>
>>
>>
>> Atenciosamente,
>>
>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>> www alexandre antunes com br
>>
>>
>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, Alexandre!
>>> Muito obrigado pela resposta!
>>> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
>>> Não está correto...
>>> O valor de a que eu achei está certo.
>>> Eu fiz a seguinte substituição:
>>>
>>> t=sqrt(pi/2)*u
>>>
>>> Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
>>> Mas b não é 1.
>>> Qual será o erro?
>>>
>>>
>>>
>>> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
>>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Boa tarde,

 Não seria o que fez, sendo b = 1 ?

 Qual a substituição que você fez?



 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br


 Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
 rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, pessoal!
> Feliz Ano Novo!
> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>
> São dadas:
>
> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>
> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>
> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>
> G(x)=a*F(b*x)
>
> Quais são os valores de a e b?
>
> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>
> sqrt(2)/sqrt(pi)
>
> Está correto!
>
> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
> atrapalhando com as variáveis x e t.
> Alguém pode me ajudar?
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
>
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Luiz Antonio Rodrigues]

Sim, foi o que eu fiz também!
Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria (pi/2).
Também não é...
Eu ainda não sei qual o valor correto de b...

Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Qual seria o valor correto de b? Você sabe?
>
> Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para
> chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x).
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, Alexandre!
>> Muito obrigado pela resposta!
>> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
>> Não está correto...
>> O valor de a que eu achei está certo.
>> Eu fiz a seguinte substituição:
>>
>> t=sqrt(pi/2)*u
>>
>> Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
>> Mas b não é 1.
>> Qual será o erro?
>>
>>
>>
>> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Boa tarde,
>>>
>>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ?
>>>
>>> Qual a substituição que você fez?
>>>
>>>
>>>
>>> Atenciosamente,
>>>
>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>>> www alexandre antunes com br
>>>
>>>
>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá, pessoal!
 Feliz Ano Novo!
 Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:

 São dadas:

 F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt

 G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du

 Faça uma mudança de variável e mostre que:

 G(x)=a*F(b*x)

 Quais são os valores de a e b?

 Eu consegui achar o valor de a, que é:

 sqrt(2)/sqrt(pi)

 Está correto!

 O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
 atrapalhando com as variáveis x e t.
 Alguém pode me ajudar?
 Muito obrigado e um abraço!
 Luiz







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Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Alexandre Antunes]

Qual seria o valor correto de b? Você sabe?

Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para
chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x).



Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Alexandre!
> Muito obrigado pela resposta!
> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
> Não está correto...
> O valor de a que eu achei está certo.
> Eu fiz a seguinte substituição:
>
> t=sqrt(pi/2)*u
>
> Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
> Mas b não é 1.
> Qual será o erro?
>
>
>
> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Boa tarde,
>>
>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ?
>>
>> Qual a substituição que você fez?
>>
>>
>>
>> Atenciosamente,
>>
>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>> www alexandre antunes com br
>>
>>
>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Feliz Ano Novo!
>>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>>>
>>> São dadas:
>>>
>>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>>>
>>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>>>
>>> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>>>
>>> G(x)=a*F(b*x)
>>>
>>> Quais são os valores de a e b?
>>>
>>> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>>>
>>> sqrt(2)/sqrt(pi)
>>>
>>> Está correto!
>>>
>>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
>>> atrapalhando com as variáveis x e t.
>>> Alguém pode me ajudar?
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>>
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>>>
>>>
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Alexandre!
Muito obrigado pela resposta!
Eu cheguei, agora há pouco, em b=1.
Não está correto...
O valor de a que eu achei está certo.
Eu fiz a seguinte substituição:

t=sqrt(pi/2)*u

Foi assim que cheguei ao valor correto de a.
Mas b não é 1.
Qual será o erro?



Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Boa tarde,
>
> Não seria o que fez, sendo b = 1 ?
>
> Qual a substituição que você fez?
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
>
> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Feliz Ano Novo!
>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>>
>> São dadas:
>>
>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>>
>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>>
>> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>>
>> G(x)=a*F(b*x)
>>
>> Quais são os valores de a e b?
>>
>> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>>
>> sqrt(2)/sqrt(pi)
>>
>> Está correto!
>>
>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
>> atrapalhando com as variáveis x e t.
>> Alguém pode me ajudar?
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integrais Definidas

[Alexandre Antunes]

Boa tarde,

Não seria o que fez, sendo b = 1 ?

Qual a substituição que você fez?



Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, pessoal!
> Feliz Ano Novo!
> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias:
>
> São dadas:
>
> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt
>
> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du
>
> Faça uma mudança de variável e mostre que:
>
> G(x)=a*F(b*x)
>
> Quais são os valores de a e b?
>
> Eu consegui achar o valor de a, que é:
>
> sqrt(2)/sqrt(pi)
>
> Está correto!
>
> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me
> atrapalhando com as variáveis x e t.
> Alguém pode me ajudar?
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
>
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Anderson Torres]

Sempre que possível, crie um e-mail para cada questão. Assim, fica
mais fácil para cada participante acompanhar a discussão. Eu por
exemplo gosto bem mais de geometria que de álgebra. Ao ler esse e-mail
e suas respostas, eu não sei de cara se estou comentando a questão de
geometria ou a de álgebra.

Em sex., 13 de dez. de 2019 às 21:05, Prof. Douglas Oliveira
 escreveu:
>
> 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT e 
> AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão 
> alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é 
> equilátero.

>
> 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
>   . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/ 
> f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq = 
> rs.
>
> Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x, e 
> a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções?

A princípio, durante a resolução você automaticamente exclui a
possibilidade de existirem outras soluções. Essa unicidade já fica
"embutida".

Até porque, é muito raro resolver uma equação funcional por
"eliminação" ou por "contradição"; elas costumam ser resolvidas de
maneira mais dedutiva.

Se sua solução for parecida com a oficial - que começa demonstrando
que f(x^2)=(f(x))^2 e daí


>
> Saudações
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] {Disarmed} Função recorrente

[jamil dasilva]

fiz outro post corrigindo a condição III -  ) f(n+1) = f(n) - n sse [f(n) -
n] > 0 e ainda não pertença ao conjunto imagem de f

Em sáb., 21 de dez. de 2019 às 15:37, jamil dasilva 
escreveu:

> Seja a função f, cujo domínio e contradomínio são os inteiros não
> negativos, definida nos seguintes termos::
>
> I) f(0) = 0
>
> II) f(n) = f(n-1) + n sse [ f(n)-n ] < 0 ou [ f(n)-n ] já pertença ao
> conjunto imagem de f
>
> III) f(n+1) = f(n) - n sse [f(n) - n] > 0 e ainda não pertença ao conjunto
> imagem de f
>
> Seguindo a descrição acima os primeiros termos são:
>
> 0,1, 3, 6, 2,7,13, 20, 12, 21,11, 22,10, 23, ...
>
> Comente sobre as seguintes questões :
>
> 1) O número 19 não pertence à imagem de f e portanto, f não é sobrejetora
>
> 2) f não é injetora, ou seja, existe pelo menos dois números inteiros não
> negativos com a mesma imagem
>
>
> 
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Esdras!
Eu de novo!
Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às
funções transcendentes?
É um assunto que me interessa bastante!
Abraços!
Luiz

Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz 
escreveu:

> Acho que essa função é trancendente.
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>
>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que
>> f(0)=2.
>>
>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
>> integral...
>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>> Muito obrigado!
>> Luiz
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Gustavo Alves Brandão]

Como faz pra sair do grupo? Meu e-mail luizbg...@gmail.com.

Em sex., 20 de dez. de 2019 às 17:14, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Esdras!
> Muito obrigado pela resposta!
> Vou fazer uma pesquisa sobre este assunto!
> Um abraço!
> Luiz
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Acho que essa função é trancendente.
>>
>> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>>
>>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que
>>> f(0)=2.
>>>
>>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
>>> integral...
>>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>>> Muito obrigado!
>>> Luiz
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Esdras!
Muito obrigado pela resposta!
Vou fazer uma pesquisa sobre este assunto!
Um abraço!
Luiz

Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz 
escreveu:

> Acho que essa função é trancendente.
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>
>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que
>> f(0)=2.
>>
>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
>> integral...
>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>> Muito obrigado!
>> Luiz
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Esdras Muniz]

Acho que essa função é trancendente.

Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>
> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que
> f(0)=2.
>
> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
> integral...
> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
> Muito obrigado!
> Luiz
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro

[Esdras Muniz]

Eu tinha feito algo parecido com essa prova 2. Usando o método k.

Em qui, 19 de dez de 2019 14:43, Luís Lopes 
escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
> Encontrei um link com a prova:
>
> https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/CeviansThroughCircumcenter.shtml
>
> Esse site é muito bom.
>
> Eu conhecia a prova 3 mas não sabia que o triângulo tinha que ser
> acutângulo.
> Para triângulo retângulo vale também, por verificação direta.
>
> Aí comecei a rever a prova para triângulos obtusângulos e vi que
> havia um problema com (B-C)=90º. Acho que para triângulos obtusângulos
> a igualdade pode valer mas tem que ver para quais casos ela
> não serve. Talvez (B-C) > 90º como (115º,15º,50º) e (B-C) < 90º
> como (105º,45º,30º) satisfazem mas (B-C) = 90º como (120º,30º,30º)
> não satisfaz. Isso precisaria de outra investigação.
>
> Abraços,
> Luís
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Artigo de D'Ambrósio

[regis barros]

 Olá Maikelqual é a revista?
Em quinta-feira, 19 de dezembro de 2019 11:49:21 BRT, carlos h Souza 
 escreveu:  
 
 ciente

Em qui., 19 de dez. de 2019 às 08:17, Maikel Andril Marcelino 
 escreveu:


Pessoal, bom dia! Estou precisando do artigo de D'Ambrósio na íntegra, mas não 
encontro. O artigo éO uso da calculadora na sala de aula, 2000.




Atenciosamente,
Maikel Andril Marcelino
(84) 9-9149-8991 (Contato)
(84) 8851-3451 (WhatsApp)

--
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Re: [obm-l] Artigo de D'Ambrósio

[regis barros]

 Olá MaikelEm qual periódico saiu o referido artigo?Se for na revista do 
professor de matematica, posso de mandar o link da revista para você.
Regis

Em quinta-feira, 19 de dezembro de 2019 10:06:41 BRT, Maikel Andril 
Marcelino  escreveu:  
 
 #yiv3000205702 #yiv3000205702 --P{margin-top:0;margin-bottom:0;}#yiv3000205702 
p {margin-top:0;margin-bottom:0;}#yiv3000205702 
Pessoal, bom dia! Estou precisando do artigo de D'Ambrósio na íntegra, mas não 
encontro. O artigo éO uso da calculadora na sala de aula, 2000.




Atenciosamente,
Maikel Andril Marcelino
(84) 9-9149-8991 (Contato)
(84) 8851-3451 (WhatsApp)

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[obm-l] Re: [obm-l] Artigo de D'Ambrósio

[carlos h Souza]

ciente

Em qui., 19 de dez. de 2019 às 08:17, Maikel Andril Marcelino <
maikel.marcel...@ifrn.edu.br> escreveu:

> Pessoal, bom dia! Estou precisando do artigo de D'Ambrósio na íntegra, mas
> não encontro. O artigo é *O uso da calculadora na sala de aula, 2000.*
>
>
> Atenciosamente,
>
> *Maikel Andril Marcelino*
>
>
> *(84) 9-9149-8991 (Contato) *
>
> *(84) 8851-3451 (WhatsApp) *
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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Re: [obm-l]

[Pedro Angelo]

Vc encontrou μ = -3/n, é isso mesmo. Substituindo:

3x_i^2 + 2λx_i - 3/n = 0

Divide por 3 e completa o quadrado:

(x_i + λ/3)^2 = 1/n + (λ/3)^2

Então, para cada i, o há duas opções para x_i:

x_i = λ/3 - raíz[ (λ/3)^2 + 1/n ] ; ou
x_i = λ/3 + raíz[ (λ/3)^2 + 1/n ] ; ou

Analisando com calma, vc repara que a segunda opção é com certeza
positiva e a primeira é com certeza negativa. É claro que permutar os
x_i não muda nada no problema, então o que interessa é a *quantidade*
de x_i positivos e negativos. Chama por exemplo de 'p' a quantidade de
x_i positivos. Os x_i não podem ser todos positivos nem todos
negativos, pois têm de somar zero, logo 0 a écrit :
>
>
> Eu até tentei por esse caminho, mas só fui até aqui.
> f(x_1,...,x_n) = x_1³ + ... + x_n³
> g(x_1,...,x_n) = x_1² + ... + x_n²
> h(x_1,...,x_n) = x_1 + ... + x_n
>
> ∇f(x_1,...,x_n) + λ∇g(x_1,...,x_n) + μ∇h(x_1,...,x_n) = 0
>
> 3x_1² + 2λx_1 + μ = 0
> .
> .
> .
> 3x_n² + 2λx_n + μ = 0
>
> Somando-as, temos que :
> 3(x_1² + ... x_n²) + 2λ(x_1 + ... +x_n) + nμ = 0
> 3 * 1 + 2λ* 0 + nμ = 0
> 3 + nμ = 0
>
> Depois disso não sei como continuar.
>
> Em sex, 13 de dez de 2019 02:05, Pedro Angelo  
> escreveu:
>>
>> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
>> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>>
>> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>>
>> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>>
>> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>>
>> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
>> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
>> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
>> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
>> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>>
>> Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>  a écrit :
>> >
>> > On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz  
>> > wrote:
>> > >
>> > > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí 
>> > > tome:
>> > > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
>> > > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
>> > > Esse último fator vai pra o infinito com k.
>> >
>> > A soma dos quadrados é um.  O máximo (e o mínimo) existem e são
>> > finitos.  Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
>> > a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
>> > que a soma dos quadrados seja um.  Mas poderia ser diferente, e não
>> > parei para pensar.
>> >
>> > >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
>> > >>  escreveu:
>> > >> >
>> > >> > Sabendo que :
>> > >> > x_1 + ... + x_n = 0
>> > >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
>> > >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >  acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > =
>> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> > =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O estranho ciclo de eclosão das cigarras

[jamil dasilva]

Realmente ! Está errado. O correto seria: "números cujo *menor* divisor é
*maior do que 17*
Vou postar novamente

Obrigado pela observação

Boa tarde !

Em seg., 16 de dez. de 2019 às 13:21, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Não seria 19 ao invés de 17.
> 1019=101*19
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg, 16 de dez de 2019 12:38, jamil dasilva 
> escreveu:
>
>> Em Em 1919 um entomólogo descobriu um tipo de cigarra que depois veio a
>> se descobrir só
>> aparece em anos cujo menor divisor primo é 17. Se essa conjectura estiver
>> correta responda:
>> 1) Em que ano será a próxima eclosão ?
>> 2) Quais os anos em que há eclosão no séc.XXI ?
>> 3) Em que ano ocorrerá a 2020.º eclosão, partindo-se de 1919 como
>> eclosão zero ?
>> 4) Tomando-se 1919 como ano zero, em que ano ocorreu
>> a eclosão de número -1, ou seja, em que ano deve
>> ter ocorrido a 1.º eclosão antes de 1919 ?
>> 1919 um entomólogo descobriu um tipo de cigarra que depois veio a se
>> descobrir só aparece em anos cujo menor divisor primo é 17. Se essa
>> conjectura estiver correta responda:
>> Em 1919 u
>> 2) Quais os anos em que há eclosão no séc.XXI ?
>>
>> 3) Em que ano ocorrerá a 2020.º eclosão, partindo-se
>> de 1919 como eclosão zero ?
>>
>> 4) Tomando-se 1919 como ano zero, em que ano ocorreu
>> a eclosão de número -1, ou seja, em que ano deve ter ocorrido a
>> 1.º eclosão antes de 1919 ?
>> 1) Em que ano será a próxima eclosão ?
>>
>> 2) Quais os anos em que há eclosão no séc.XXI ?
>>
>> 3) Em que ano ocorrerá a 2020.º eclosão, partindo-se
>> de 1919 como eclosão zero ?
>>
>> 4) Tomando-se 1919 como ano zero, em que ano ocorreu
>> a eclosão de número -1, ou seja, em que ano deve ter ocorrido a
>> 1.º eclosão antes de 1919 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] O estranho ciclo de eclosão das cigarras

[Pedro José]

Boa tarde!
Não seria 19 ao invés de 17.
1019=101*19

Saudações,
PJMS

Em seg, 16 de dez de 2019 12:38, jamil dasilva 
escreveu:

> Em Em 1919 um entomólogo descobriu um tipo de cigarra que depois veio a
> se descobrir só
> aparece em anos cujo menor divisor primo é 17. Se essa conjectura estiver
> correta responda:
> 1) Em que ano será a próxima eclosão ?
> 2) Quais os anos em que há eclosão no séc.XXI ?
> 3) Em que ano ocorrerá a 2020.º eclosão, partindo-se de 1919 como eclosão
> zero ?
> 4) Tomando-se 1919 como ano zero, em que ano ocorreu
> a eclosão de número -1, ou seja, em que ano deve
> ter ocorrido a 1.º eclosão antes de 1919 ?
> 1919 um entomólogo descobriu um tipo de cigarra que depois veio a se
> descobrir só aparece em anos cujo menor divisor primo é 17. Se essa
> conjectura estiver correta responda:
> Em 1919 u
> 2) Quais os anos em que há eclosão no séc.XXI ?
>
> 3) Em que ano ocorrerá a 2020.º eclosão, partindo-se
> de 1919 como eclosão zero ?
>
> 4) Tomando-se 1919 como ano zero, em que ano ocorreu
> a eclosão de número -1, ou seja, em que ano deve ter ocorrido a
> 1.º eclosão antes de 1919 ?
> 1) Em que ano será a próxima eclosão ?
>
> 2) Quais os anos em que há eclosão no séc.XXI ?
>
> 3) Em que ano ocorrerá a 2020.º eclosão, partindo-se
> de 1919 como eclosão zero ?
>
> 4) Tomando-se 1919 como ano zero, em que ano ocorreu
> a eclosão de número -1, ou seja, em que ano deve ter ocorrido a
> 1.º eclosão antes de 1919 ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] A estranha forma de contagem do odômetro do carro de Joãozinho

[jamil dasilva]

Correto: 2020



Em dom., 15 de dez. de 2019 às 20:38, Daniel Jelin 
escreveu:

> Achei 2020. Por inclusão/exclusão, somamos o total de múltiplos de 2, 3,
> 5, 7 menores que 8837; subtraímos o total de múltiplos de 2*3, 2*5, 2*7,
> 3*5, 3*7, 5*7; somamos o total de múltiplos de 2*3*5, 2*3*7, 2*5*7, 3*5*7;
> e finalmente subtraímos o total de múltiplos de 2*3*5*7; e assim obtemos o
> total de números que o odômetro pulou: 6817. Então são 2020 os números que
> o odômetro marcou. abs
>
>
>
> On Sun, Dec 15, 2019 at 6:34 PM jamil dasilva 
> wrote:
>
>> O odômetro do carro de Joãozinho registra a quilometragem com um defeito,
>> sempre pulando múltiplos de 2, 3, 5 ou 7. Se agora está marcando 8837 km,
>> quantos quilômetros ele já rodou desde que o comprou, quando marcava 0 km
>> ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[Pedro José]

Boa noite!
Jamil,
correto mas não valeu. Foi muita barbeiragem.
Saudações,
PJMS

Em dom, 15 de dez de 2019 19:31, jamil dasilva 
escreveu:

> Correto: 2021
>
> Em dom., 15 de dez. de 2019 às 17:15, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Na verdade 2.
>> 2021.
>> Por hoje chega..
>>
>> Em dom, 15 de dez de 2019 16:58, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Hoje esta difícil.
>>> 8atenxe primeiro.
>>> 2027.
>>> Que vergonha
>>>
>>> Em dom, 15 de dez de 2019 16:55, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Jamil me alertou do erro banal e fui por outro caminho.
 2019+x<> 2 mod2 ==> x<>1 mod2
 2019 +x<> 3 mod3 ==> x<>0 mod3
 2019 +x<> 5 mod5 ==> x<>1 mod5
 2019+x <> 7 mod 7 ==> x<>4 mod 17
 O menor x queatende é 10
 Portanto 2029 seria a resposta correta.
 Acho que é primo.
 Desculpe -me pela falha grosseira.

 Saudações,
 PJMS

 Em dom, 15 de dez de 2019 14:04, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde.
>
> 2019= 0 mod3 nã0 serve.
> É só fatorar sem usar esses primos.
> 11^3 <2019
> 11^2*13 <2019
> 11*13^2<2019
> 11^2*17=2057
> Acha o próximo
>
> Saudações.
>
> Em dom, 15 de dez de 2019 12:43, jamil dasilva 
> escreveu:
>
>> Se a eclosão de uma espécie de cigarra sempre acontece
>> em anos não divisíveis por 2, 3, 5 e 7, responda se ocorre
>> no presente ano de 2019 e qual o próximo ano ocorrerá após
>> 2019 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] A estranha forma de contagem do odômetro do carro de Joãozinho

[Daniel Jelin]

Achei 2020. Por inclusão/exclusão, somamos o total de múltiplos de 2, 3, 5,
7 menores que 8837; subtraímos o total de múltiplos de 2*3, 2*5, 2*7, 3*5,
3*7, 5*7; somamos o total de múltiplos de 2*3*5, 2*3*7, 2*5*7, 3*5*7; e
finalmente subtraímos o total de múltiplos de 2*3*5*7; e assim obtemos o
total de números que o odômetro pulou: 6817. Então são 2020 os números que
o odômetro marcou. abs



On Sun, Dec 15, 2019 at 6:34 PM jamil dasilva 
wrote:

> O odômetro do carro de Joãozinho registra a quilometragem com um defeito,
> sempre pulando múltiplos de 2, 3, 5 ou 7. Se agora está marcando 8837 km,
> quantos quilômetros ele já rodou desde que o comprou, quando marcava 0 km ?
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[jamil dasilva]

Correto: 2021

Em dom., 15 de dez. de 2019 às 17:15, Pedro José 
escreveu:

> Na verdade 2.
> 2021.
> Por hoje chega..
>
> Em dom, 15 de dez de 2019 16:58, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Hoje esta difícil.
>> 8atenxe primeiro.
>> 2027.
>> Que vergonha
>>
>> Em dom, 15 de dez de 2019 16:55, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Jamil me alertou do erro banal e fui por outro caminho.
>>> 2019+x<> 2 mod2 ==> x<>1 mod2
>>> 2019 +x<> 3 mod3 ==> x<>0 mod3
>>> 2019 +x<> 5 mod5 ==> x<>1 mod5
>>> 2019+x <> 7 mod 7 ==> x<>4 mod 17
>>> O menor x queatende é 10
>>> Portanto 2029 seria a resposta correta.
>>> Acho que é primo.
>>> Desculpe -me pela falha grosseira.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em dom, 15 de dez de 2019 14:04, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde.

 2019= 0 mod3 nã0 serve.
 É só fatorar sem usar esses primos.
 11^3 <2019
 11^2*13 <2019
 11*13^2<2019
 11^2*17=2057
 Acha o próximo

 Saudações.

 Em dom, 15 de dez de 2019 12:43, jamil dasilva 
 escreveu:

> Se a eclosão de uma espécie de cigarra sempre acontece
> em anos não divisíveis por 2, 3, 5 e 7, responda se ocorre
> no presente ano de 2019 e qual o próximo ano ocorrerá após
> 2019 ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[Pedro José]

Na verdade 2.
2021.
Por hoje chega..

Em dom, 15 de dez de 2019 16:58, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Hoje esta difícil.
> 8atenxe primeiro.
> 2027.
> Que vergonha
>
> Em dom, 15 de dez de 2019 16:55, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Jamil me alertou do erro banal e fui por outro caminho.
>> 2019+x<> 2 mod2 ==> x<>1 mod2
>> 2019 +x<> 3 mod3 ==> x<>0 mod3
>> 2019 +x<> 5 mod5 ==> x<>1 mod5
>> 2019+x <> 7 mod 7 ==> x<>4 mod 17
>> O menor x queatende é 10
>> Portanto 2029 seria a resposta correta.
>> Acho que é primo.
>> Desculpe -me pela falha grosseira.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em dom, 15 de dez de 2019 14:04, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde.
>>>
>>> 2019= 0 mod3 nã0 serve.
>>> É só fatorar sem usar esses primos.
>>> 11^3 <2019
>>> 11^2*13 <2019
>>> 11*13^2<2019
>>> 11^2*17=2057
>>> Acha o próximo
>>>
>>> Saudações.
>>>
>>> Em dom, 15 de dez de 2019 12:43, jamil dasilva 
>>> escreveu:
>>>
 Se a eclosão de uma espécie de cigarra sempre acontece
 em anos não divisíveis por 2, 3, 5 e 7, responda se ocorre
 no presente ano de 2019 e qual o próximo ano ocorrerá após
 2019 ?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[Pedro José]

Boa tarde!
Hoje esta difícil.
8atenxe primeiro.
2027.
Que vergonha

Em dom, 15 de dez de 2019 16:55, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Jamil me alertou do erro banal e fui por outro caminho.
> 2019+x<> 2 mod2 ==> x<>1 mod2
> 2019 +x<> 3 mod3 ==> x<>0 mod3
> 2019 +x<> 5 mod5 ==> x<>1 mod5
> 2019+x <> 7 mod 7 ==> x<>4 mod 17
> O menor x queatende é 10
> Portanto 2029 seria a resposta correta.
> Acho que é primo.
> Desculpe -me pela falha grosseira.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em dom, 15 de dez de 2019 14:04, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde.
>>
>> 2019= 0 mod3 nã0 serve.
>> É só fatorar sem usar esses primos.
>> 11^3 <2019
>> 11^2*13 <2019
>> 11*13^2<2019
>> 11^2*17=2057
>> Acha o próximo
>>
>> Saudações.
>>
>> Em dom, 15 de dez de 2019 12:43, jamil dasilva 
>> escreveu:
>>
>>> Se a eclosão de uma espécie de cigarra sempre acontece
>>> em anos não divisíveis por 2, 3, 5 e 7, responda se ocorre
>>> no presente ano de 2019 e qual o próximo ano ocorrerá após
>>> 2019 ?
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[Pedro José]

Boa tarde!
Jamil me alertou do erro banal e fui por outro caminho.
2019+x<> 2 mod2 ==> x<>1 mod2
2019 +x<> 3 mod3 ==> x<>0 mod3
2019 +x<> 5 mod5 ==> x<>1 mod5
2019+x <> 7 mod 7 ==> x<>4 mod 17
O menor x queatende é 10
Portanto 2029 seria a resposta correta.
Acho que é primo.
Desculpe -me pela falha grosseira.

Saudações,
PJMS

Em dom, 15 de dez de 2019 14:04, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde.
>
> 2019= 0 mod3 nã0 serve.
> É só fatorar sem usar esses primos.
> 11^3 <2019
> 11^2*13 <2019
> 11*13^2<2019
> 11^2*17=2057
> Acha o próximo
>
> Saudações.
>
> Em dom, 15 de dez de 2019 12:43, jamil dasilva 
> escreveu:
>
>> Se a eclosão de uma espécie de cigarra sempre acontece
>> em anos não divisíveis por 2, 3, 5 e 7, responda se ocorre
>> no presente ano de 2019 e qual o próximo ano ocorrerá após
>> 2019 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[Jamil Silva]

Correto, 2019 = 3*673, logo não ocorre eclosão,  mas a próxima não é em 2057

Enviado do Email para Windows 10


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem , Coprimos e Divisores

[Pedro José]

Boa tarde.

2019= 0 mod3 nã0 serve.
É só fatorar sem usar esses primos.
11^3 <2019
11^2*13 <2019
11*13^2<2019
11^2*17=2057
Acha o próximo

Saudações.

Em dom, 15 de dez de 2019 12:43, jamil dasilva 
escreveu:

> Se a eclosão de uma espécie de cigarra sempre acontece
> em anos não divisíveis por 2, 3, 5 e 7, responda se ocorre
> no presente ano de 2019 e qual o próximo ano ocorrerá após
> 2019 ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

[gilberto azevedo]

Eu até tentei por esse caminho, mas só fui até aqui.
f(x_1,...,x_n) = x_1³ + ... + x_n³
g(x_1,...,x_n) = x_1² + ... + x_n²
h(x_1,...,x_n) = x_1 + ... + x_n

∇f(x_1,...,x_n) + λ∇g(x_1,...,x_n) + μ∇h(x_1,...,x_n) = 0

3x_1² + 2λx_1 + μ = 0
.
.
.
3x_n² + 2λx_n + μ = 0

Somando-as, temos que :
3(x_1² + ... x_n²) + 2λ(x_1 + ... +x_n) + nμ = 0
3 * 1 + 2λ* 0 + nμ = 0
3 + nμ = 0

Depois disso não sei como continuar.

Em sex, 13 de dez de 2019 02:05, Pedro Angelo 
escreveu:

> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>
> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>
> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>
> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>
> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>
> Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>  a écrit :
> >
> > On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz 
> wrote:
> > >
> > > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí
> tome:
> > > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
> > > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
> > > Esse último fator vai pra o infinito com k.
> >
> > A soma dos quadrados é um.  O máximo (e o mínimo) existem e são
> > finitos.  Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
> > a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
> > que a soma dos quadrados seja um.  Mas poderia ser diferente, e não
> > parei para pensar.
> >
> > >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
> > >>  escreveu:
> > >> >
> > >> > Sabendo que :
> > >> > x_1 + ... + x_n = 0
> > >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
> > >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > =
> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Matheus Bezerra]

Olá Douglas, boa noite! Professor, já fiz essa questão 2 e do jeito que
resolvi, já fica meio que implícito que essas são as únicas soluções. Envia
tua solução para que eu possa analisar, se possivel!

Em sex, 13 de dez de 2019 21:05, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS,
> CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T
> estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST
> também é equilátero.
>
> 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
>   . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 +
> (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s >
> 0 with pq = rs.
>
> Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e
> f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas
> soluções?
>
> Saudações
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Em tese, nada impede...  a == b (mod m) <==> (a - b)/m é inteiro.
Por exemplo, em trigonometria trabalha-se muito com congruência mod 2*pi.
sen x = sen y  e  cos x = cos y <==> x == y (mod 2*pi)

On Fri, Dec 13, 2019 at 3:54 PM Esdras Muniz 
wrote:

> Existe congruência com números que não são inteiros?
>
> Em sex, 13 de dez de 2019 11:57, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá caros amigos,
>> preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p)
>> ao somatório
>> S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a p-1, sendo p primo ímpar.
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Esdras Muniz]

Existe congruência com números que não são inteiros?

Em sex, 13 de dez de 2019 11:57, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá caros amigos,
> preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p)
> ao somatório
> S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a p-1, sendo p primo ímpar.
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

[gilberto azevedo]

Vocês acham que Somas de Newton é uma boa saída ? Foi minha primeira ideia,
mas não consegui muita coisa.

Em sex, 13 de dez de 2019 10:35, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Fri, Dec 13, 2019 at 2:05 AM Pedro Angelo 
> wrote:
> >
> > Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
> > fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
> >
> > k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
> >
> > e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
> >
> > (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
> >
> > que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
> > n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
> > n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
> > cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
> > disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>
> Bom, você pode imaginar algo sobre quão perto você consegue chegar dos
> eixos coordenados no plano x_1 + x_2 + ... + x_n = 0.  E também
> lembrar que "a maior parte da esfera está no equador", então acaba
> ficando mais fácil conforme n aumenta.  Outra coisa legal de pensar é
> comparar a norma 2 com a norma 3 (faça um desenho).  É, eu sei, não
> tem módulo, mas acho que ainda pode dar uma ideia interessante.
>
> (E sim, Álgebra Linear em alta dimensão é muito legal, mas pode ser
> meio contra-intuitivo para os desenhos de dimensão 2 e 3 que a gente
> faz no quadro)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Fri, Dec 13, 2019 at 2:05 AM Pedro Angelo  wrote:
>
> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>
> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>
> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>
> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>
> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs

Bom, você pode imaginar algo sobre quão perto você consegue chegar dos
eixos coordenados no plano x_1 + x_2 + ... + x_n = 0.  E também
lembrar que "a maior parte da esfera está no equador", então acaba
ficando mais fácil conforme n aumenta.  Outra coisa legal de pensar é
comparar a norma 2 com a norma 3 (faça um desenho).  É, eu sei, não
tem módulo, mas acho que ainda pode dar uma ideia interessante.

(E sim, Álgebra Linear em alta dimensão é muito legal, mas pode ser
meio contra-intuitivo para os desenhos de dimensão 2 e 3 que a gente
faz no quadro)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l]

[Pedro Angelo]

Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica

k = 1 / raíz[ n (n-1) ]

e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:

(1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)

que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs

Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 a écrit :
>
> On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz  
> wrote:
> >
> > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí tome:
> > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
> > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
> > Esse último fator vai pra o infinito com k.
>
> A soma dos quadrados é um.  O máximo (e o mínimo) existem e são
> finitos.  Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
> a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
> que a soma dos quadrados seja um.  Mas poderia ser diferente, e não
> parei para pensar.
>
> >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
> >>  escreveu:
> >> >
> >> > Sabendo que :
> >> > x_1 + ... + x_n = 0
> >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
> >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l]

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz  wrote:
>
> Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí tome:
> (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
> (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
> Esse último fator vai pra o infinito com k.

A soma dos quadrados é um.  O máximo (e o mínimo) existem e são
finitos.  Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
que a soma dos quadrados seja um.  Mas poderia ser diferente, e não
parei para pensar.

>> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
>>  escreveu:
>> >
>> > Sabendo que :
>> > x_1 + ... + x_n = 0
>> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
>> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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