[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Daniel Jelin]

Obrigado, Marcelo, abs!

Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
> análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
> Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
> isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
> suspeito que não é isto que queres.
> Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
>   Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
> base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
>   Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
> transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
> seria um absurdo.
>   Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
> uma vez que e o é.
> Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
> algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
> Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
> desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
> Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
> transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
> (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
> (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U
> BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1)
>
> Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.
>
> Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
> escreveu:
>
>> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
>> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
>> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
>> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial

[Prof. Douglas Oliveira]

Pocha, explicadissimo, thank you my friend.

Em qua, 16 de out de 2019 18:12, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Depende!
>
> (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou
> nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce
> decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a
> pergunta.")
>
> O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns
> matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que
> 0^0 nao eh uma operação permitida.
>
> Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma
> convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas
> tenho alguns argumentos a favor disto:
> A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim
> f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a,
> entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo
> que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1!
> A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem
> excecao.
> A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util:
> para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a
> gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a
> n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois
> bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso
> valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao
> eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho,
> ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :(
>
> Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como
> "operacao invalida":
> B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0),
> então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0).
> B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e
> isto poderia causar confusao!
> B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica
> descontinua em x=0.
>
> Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente
> pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio.
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Amigos, me ajudem por favor.
>>
>> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação
>> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Pedro José]

Boa noite!

Desculpem-me enrolei-me na hora da resposta.

Disse que não tinha raízes entre 0 e 1, que tinha enter 1 e 2 e depois que
tinha entre -1 e 0 mas na hora da resposta:

Portanto a solução não seria (-1,1)? Ou se quisesse ser mais exclusivo
(-1,0)U(0,1), quando o certo seria (-1,0) U(1,2).



Em 26 de junho de 2018 20:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-06-26 15:09 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
> > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-4x%3D1
>
> Dá uma solução em -0.24904... e outra em 1.6633...
> Não tem um problema com o enunciado??
>
> > A) (1,11)
> > B) (2, 12)
> > C) (3, 13)
> > D) (4, 14)
> > E) ( 5, 15)
> >
> > R: c
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Pedro José]

Boa noite!

Estranho
Seja P(x) = x^4-4x.
P(1)= -3 e P(2)= 8. logo existe pelo menos um "a" pertencente a (1,2) tal
que P(a)=1; pois, P(x) é contínua e P(1)=1. Como P(2) > 1, não temos soluções para
x>2.

Outra forma P(x) = x(x^3-4) ==> x^3-4 = 1/x. Mesmo sem conhecer cálculo
diferencial, não sei é o seu caso, é fácil observar que para x >= 0, x^3-4
é monótona crescente e 1/x é mónotona decrescente para x>0 como x^3-4 =4
para x=2 e 1/x = 1/2 para x> 2 não haverá soluções já que o lado que maior
cresce e o que é menor decresce.
Não há soluções para x>2
Para x pertencente a (0,1] temos: 1/x>= 1 e  -3
1/x=1/2. Como uma crescente e a outra é decrescente e ambas contínuas
existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
x^3-4 é monotona crescente para x<0
1/x é monótona decrescente para x<0
Como para x=0 x^3-4=-4 e 1/x --> -oo e para x=-1 x^3-4 = -7, para x<=-1 não
existem raízes e, para -1
escreveu:

> Oi daniel,
>
> Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e .
>
> Abraçõs
>
> Carlos Victor
>
> Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu:
>
> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
> A) (1,11)
> B) (2, 12)
> C) (3, 13)
> D) (4, 14)
> E) ( 5, 15)
>
> R: c
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau

[Pedro José]

Mas
Boa noite!
Correto, a resposta está errada. Pois a=b=0, garante um par (0,0), que
atende para x pertencente à |R.
Embora o enunciado esteja mal formulado, concodo; por ser uma questão de
múltiplas escolhas, não atenderia nenhuma. Mas não há como fugir da opção b.
Saudações,
PJMS


Em Sáb, 16 de jun de 2018 20:30,  escreveu:

> Bem, sobrou o caso a=b=0... Mas eu não gosto muito do enunciado -
> eu escreveria "...pelo menos uma raiz REAL comum" - de fato, se a=b
> então as equações têm raízes complexas comuns.
> Abraços,
>   Gugu
>
> Quoting Pedro José :
>
> > Boa noite!
> > Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição
> > quanto ao|R.
> > Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que
> 0.
> > Portanto não há soluções.
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues <
> lucianorsl...@gmail.com>
> > escreveu:
> >
> >> Se a=b então o delta é negativo.
> >>
> >> > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo 
> >> escreveu:
> >> >
> >> > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as
> >> equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos
> uma
> >> raiz comum é:
> >> > a) 0
> >> > b) 1
> >> > c) 2
> >> > d) 3
> >> > e) 4
> >> >
> >> > R: 0
> >> >
> >> > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e
> >> assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que
> essas
> >> não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há
> raizes
> >> comuns?
> >> >
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Pedro José]

Boa tarde!
Se esse problema, que você se refere acima, é do mesmo livro está errada
também, a reposta, suponho.
A reposta dá 39. Foi postada na nota inicial.
Os fatores primos 2,3 e 5 são imediatos o 15 pode ser posto em evidência e
o número é par, portanto, o dois.
Com um pouco mais de dificuldade chega-se a 29 e depois, com mais
dificuldade, parei no 113, pois, furou a resposta. Já que 113 |15^(15^15) +
15.
Achei estranho o enunciado falar em quatro fatores apenas e fui atrás de
pelo menos um, como contra prova.

Então já o segundo patinho feio. No mínimo estranho. Pode ser falha na
edição das perguntas.

Saudações,
PJMS

Em 12 de junho de 2018 16:09, Claudio Buffara 
escreveu:

> Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do
> 15^(15^15))+15.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor 
> escreveu:
>
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes
> no gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
> Boa tarde!
>
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
> a solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  -
> 2 + x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será
> cancelado esse termo em x^3, por exemplo.
> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
> (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
> +5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>>
>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>> Gandhi )
>> E resposta que ele diz é
>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>>
>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
>>> escreveu:
>>>
 Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
 rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
 f(x)+f(y)=1+x
 f(y)+f(z)=1+y
 f(z)+f(x)=1+z
 pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
 acharíamos f(x).

 Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
 abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
 isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
 bobagem imensa.

 Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é
 g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro
 onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é
 possível desde que nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o
 **conjunto** de valores {x_k} de "órbita" do número a.

 Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
 dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
 nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
 órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
 ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
 recorrência.

 Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
 para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
 para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
 é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
 Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
 fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
 então há várias órbitas infinitas Acho.

 Abraço, Ralph.

 P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
 lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
 interessante, não?
 P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
 algo usando o limite de x_k...


 On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <
 jeferson

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Claudio Buffara]

Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do 15^(15^15))+15.

Enviado do meu iPhone

Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor  
escreveu:

> Olá pessoal,
> 
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes no 
> gabarito.
> 
> Carlos Victor
> 
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
> 
>> Boa tarde!
>> 
>> 
>> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
>> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
>> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
>> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em 
>> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
>> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
>> solução temos:
>> 
>> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  - 2 
>> + x^2/(2x^2-3x+1)
>> 
>> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
>> esse termo em x^3, por exemplo.
>> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>> 
>> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>> 
>> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>> 
>> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
>> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>> 
>> mas aplicando a solução proposta:
>> 
>> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
>> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser 
>> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>> 
>> O problema não está fechando, creio eu.
>> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>>  
>> Saudações,
>> PJMS
>>  
>> 
>> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
>> escreveu:
>>>  
>>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( 
>>> Gandhi ) 
>>> E resposta que ele diz é
>>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
>>> 
 Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir 
  escreveu:
 Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x).
>  
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>  
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). 
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) 
> -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que 
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de 
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>  
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f 
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais 
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se 
> a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode 
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como 
> recorrência.
>  
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, 
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a 
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, 
> que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes 
> reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos 
> a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são 
> enumeráveis, então há várias órbitas infinitas Acho.
>  
> Abraço, Ralph.
>  
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a 
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio 
> é interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer 
> algo usando o limite de x_k...
> 
>  
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>>  wrote:
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>  
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>  
>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mens

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Carlos Victor]

 

Olá pessoal, 

Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito. 

Carlos Victor 

Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu: 

> Boa tarde!
> 
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções 
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos 
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci. 
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
> solução temos:
> 
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 + 
> x^2/(2x^2-3x+1)
> 
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse 
> desenvolvimento?
> 
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
> 
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
> 
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
> 
> mas aplicando a solução proposta:
> 
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto, 
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
> 
> O problema não está fechando, creio eu. 
> Ou defeito na proposição ou no resultado. 
> Saudações, PJMS
> 
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
> escreveu:
> 
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi 
> ) 
> E resposta que ele diz é 
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir  
> escreveu: 
> 
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu: 
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: 
> f(x)+f(y)=1+x 
> f(y)+f(z)=1+y 
> f(z)+f(x)=1+z 
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x). 
> 
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. 
> 
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado 
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe 
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos 
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de 
> "órbita" do número a. 
> 
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro 
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou 
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é 
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como 
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência. 
> 
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para 
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para 
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma 
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então, 
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a 
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há 
> várias órbitas infinitas Acho. 
> 
> Abraço, Ralph. 
> 
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista... 
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é 
> interessante, não? 
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo 
> usando o limite de x_k... 
> 
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir  
> wrote: 
> 
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que 
> 
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . 
> 
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 
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acredita-se estar livre de perigo. 
 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Pedro José]

Boa tarde!


Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
verifiquei que nunca vai dar a identidade.
Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
módulo, termos da sequência de Fibonacci.
E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
a solução temos:

f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  -
2 + x^2/(2x^2-3x+1)

só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
esse termo em x^3, por exemplo.

Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?

Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.

Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
(1-x)/x=x

Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4

mas aplicando a solução proposta:

f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
+5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.

O problema não está fechando, creio eu.
Ou defeito na proposição ou no resultado.

Saudações,
PJMS


Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir 
escreveu:

>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
> Gandhi )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>>> f(x)+f(y)=1+x
>>> f(y)+f(z)=1+y
>>> f(z)+f(x)=1+z
>>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>>> acharíamos f(x).
>>>
>>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
>>> abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
>>> isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
>>> bobagem imensa.
>>>
>>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>>
>>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>>> recorrência.
>>>
>>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>>> interessante, não?
>>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>>> algo usando o limite de x_k...
>>>
>>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>>> wrote:
>>>
 Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que

 f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .

 Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Jeferson Almir]

Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
Gandhi )
E resposta que ele diz é
R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)

Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir 
escreveu:

> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>> f(x)+f(y)=1+x
>> f(y)+f(z)=1+y
>> f(z)+f(x)=1+z
>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>> acharíamos f(x).
>>
>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
>> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
>> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>>
>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>
>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>> recorrência.
>>
>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>> interessante, não?
>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>> algo usando o limite de x_k...
>>
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>>
>>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>>
>>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Jeferson Almir]

Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x

Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
> recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
> então há várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
> algo usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>
>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Trigonométrica

[Ricardo Leão]

Muito Obrigado por responder e tirar a minha dúvida, professor Carlos !

Em 10 de setembro de 2016 16:09, Carlos Gomes 
escreveu:

> Olá Ricardo você está certo!
>
> Em 10 de setembro de 2016 14:31, Ricardo Leão 
> escreveu:
>
>> Olá amigos,
>> Eu tenho uma dúvida em relação ao seguinte enunciado:
>>
>> Sendo x medida em radianos, com 0 <= x <= 2pi, a soma de todas as raízes
>> da equação cos² 2x = sen² x é igual a:
>>
>> a) 3pi/2   c) 3pi e) 6pi
>> b) 2pi  d) 4pi
>>
>> De acordo com o gabarito oficial a resposta é Item B.
>>
>> Mas de acordo com meus cálculos x = { pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/2,
>> 3pi/2} com soma das raízes igual a 6pi.
>>
>> Por favor, algum colega poderia tirar essa dúvida ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam
ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está
claro que ele toma valores de x>=4, foi  mal!

Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
> entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
> responderem minhas dúvidas, vcs são 10!
>
> Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
>> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
>> Procure expressar melhor o que você deseja.
>>
>>
>>
>> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
>> congruência se repete...
>>
>> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
>> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
>> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
>> teremos:
>>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>>
>> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
>> 1 (mod 81),
>>
>> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
>> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
>> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>>
>> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡
>> 1 (mod m),.
>>
>> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
>> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod
>> m).
>>
>> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>>
>> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>>
>> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>>
>> Recomendo você dar uma lida:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente
>>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>>> para mim, desde já agradeço!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
responderem minhas dúvidas, vcs são 10!

Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
> Procure expressar melhor o que você deseja.
>
>
>
> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
> congruência se repete...
>
> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
> teremos:
>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>
> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
> 1 (mod 81),
>
> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>
> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
> (mod m),.
>
> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).
>
> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>
> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>
> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>
> Recomendo você dar uma lida:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
>
>
>
> Saudações.
>
> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
>> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>> para mim, desde já agradeço!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

ah sim é verdade!

Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes 
escreveu:

> (1,0) nao eh solucao tbm?
>
>
>
> Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>
> Está aqui no site do professor Diego Marques:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio
> fantástico!
>
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado

Em 11 de agosto de 2015 14:27, Esdras Muniz 
escreveu:

> Olha o teorema 2.7 na pag 37 do livro de teoria dos números do José Plinio.
>
> Em 11 de agosto de 2015 13:46, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> x=5n+4 e y=3n+2 são as únicas soluções da equação 3x-5y=2?Em caso
>> afirmativo, como provo que são as únicas soluções?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro Chaves]

Obrigado a todos! 
Pedro Chaves
__


> Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300 
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina 
> (de novo) 
> From: petroc...@gmail.com 
> To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> 
> Boa tarde! 
> 
> Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m. 
> 
> Desculpem-me, 
> PJMS 
> 
> Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José 
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu: 
> Boa tarde! 
> 
> Não parei para pensar se dá sempre. 
> 
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 
> 5 + 12* m : m Ɛ Z 
> 
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 
> (mod12) ==> y =2 + 7*n : n ƐZ 
> 
> 
> Substituindo na equação original temos: 
> 
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. 
> 
> Saudações, 
> PJMS 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José 
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu: 
> Bom dia! 
> 
> Desculpe-me, não vi a restrição do método. 
> 
> Sds, 
> PJMS 
> 
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
> mailto:brped...@hotmail.com>> escreveu: 
> Obrigado, Pedro José! 
> 
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. 
> 
> Um abraço! 
> Pedro Chaves 
> 
>  
>> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
>> From: petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com> 
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br> 
>> 
>> Bom dia! 
>> 
>> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
>> se m.d.c.(a,b) divide c. 
>> 
>> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
>> 
>> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
>> 
>> 12 = 7 * 1 + 5 
>> 7 = 5 * 1 + 2 
>> 5 = 2 * 2 + 1 
>> 
>> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
>> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
>> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
>> 
>> 5 = 12 - 7 (i) 
>> 2 = 7 - 5 (ii) 
>> 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
>> 
>> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
>> 
>> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
>> 
>> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
>> 
>> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
>> 
>> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
>> equação 7 x - 12 y = 11. 
>> 
>> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
>> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
>> 
>> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
>> 
>> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b. 
>> 
>> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
>> ==> y = -33 + 7*t (vi) 
>> 
>> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t 
>> 
>> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
>> 7*t, t ƐZ } 
>> 
>> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
>> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
>> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
>> soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
>> 
>> Tem o artigo do eduardo Tengan: 
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
>> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
>> equações. 
>> 
>> Saudações, 
>> PJMS 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
>> 
> mailto:b...@ccet.ufrn.br><mailto:b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br>>>
>  
> escreveu: 
>> Pedro, 
>> 
>> 7 é o inverso de 7 módulo 12 
>> 
>> -- 
>> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>) 
>> 
>> 
>> -- Original Message --- 
>> From: Pedro Chaves 
> mailto:brped...@hotmail.com><mailto:brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>>>
>  
>> To: 
> "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br><mailto:obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>"
>  
>> 
>

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Boa tarde!

Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.

Desculpem-me,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x  ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5
> + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
> ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
>  Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
>> escreveu:
>>
>>> Obrigado, Pedro José!
>>>
>>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>>
>>> Um abraço!
>>> Pedro Chaves
>>>
>>> 
>>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>>> > From: petroc...@gmail.com
>>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >
>>> > Bom dia!
>>> >
>>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>> >
>>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>> >
>>> > 12 = 7 * 1 + 5
>>> > 7 = 5 * 1 + 2
>>> > 5 = 2 * 2 + 1
>>> >
>>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>> >
>>> > 5 = 12 - 7 (i)
>>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>> >
>>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>> >
>>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>> >
>>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>> >
>>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>> >
>>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>>> >
>>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>> >
>>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>> >
>>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>> >
>>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>> >
>>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>> >
>>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>>> > 7*t, t ƐZ }
>>> >
>>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>>> > equações.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>>> > Pedro,
>>> >
>>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>> >
>>> > --
>>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org)
>>> >
>>> >
>>> > -- Original Message ---
>>> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
>>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br"
>>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>>> >
>>> >> Caros Colegas,
>>> >>
>>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>>> > congruência? Não consegui.
>>> >>
>>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>>> >>
>>> >> Abraços.
>>> >> Pedro Chaves
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> =
>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >>
>>> =
>>> > --- End of Original Message ---
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista e

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Boa tarde!

Não parei para pensar se dá sempre.

7 * x  ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5 +
12* m : m Ɛ Z

-12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
==> y =2 + 7*n : n ƐZ


 Substituindo na equação original temos:

7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

Saudações,
PJMS






Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Obrigado, Pedro José!
>>
>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>
>> Um abraço!
>> Pedro Chaves
>>
>> 
>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> > From: petroc...@gmail.com
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >
>> > Bom dia!
>> >
>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>> >
>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>> >
>> > 12 = 7 * 1 + 5
>> > 7 = 5 * 1 + 2
>> > 5 = 2 * 2 + 1
>> >
>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>> >
>> > 5 = 12 - 7 (i)
>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>> >
>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>> >
>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>> >
>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>> >
>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>> >
>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>> >
>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>> >
>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>> >
>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>> >
>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>> >
>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>> >
>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> > 7*t, t ƐZ }
>> >
>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> > equações.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>> > Pedro,
>> >
>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>> >
>> > --
>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org)
>> >
>> >
>> > -- Original Message ---
>> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br"
>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> >
>> >> Caros Colegas,
>> >>
>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>> > congruência? Não consegui.
>> >>
>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>> >>
>> >> Abraços.
>> >> Pedro Chaves
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> =
>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>
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>> > --- End of Original Message ---
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>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Bom dia!

Desculpe-me, não vi a restrição do método.

Sds,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves  escreveu:

> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
> 
> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> > From: petroc...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Bom dia!
> >
> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> > se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
> >
> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
> >
> > 12 = 7 * 1 + 5
> > 7 = 5 * 1 + 2
> > 5 = 2 * 2 + 1
> >
> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
> >
> > 5 = 12 - 7 (i)
> > 2 = 7 - 5 (ii)
> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
> >
> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
> >
> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
> >
> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
> >
> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
> >
> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> > equação 7 x - 12 y = 11.
> >
> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
> >
> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
> >
> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
> >
> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
> >
> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
> >
> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> > 7*t, t ƐZ }
> >
> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> > equações.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> >
> >
> >
> >
> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> > Pedro,
> >
> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
> >
> > --
> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org)
> >
> >
> > -- Original Message ---
> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> >
> >> Caros Colegas,
> >>
> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> > congruência? Não consegui.
> >>
> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >>
> >> Abraços.
> >> Pedro Chaves
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> > --- End of Original Message ---
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro Chaves]

Obrigado, Pedro José!

O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

Um abraço!
Pedro Chaves


> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
> From: petroc...@gmail.com 
> To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> 
> Bom dia! 
> 
> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
> se m.d.c.(a,b) divide c. 
> 
> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
> 
> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
> 
> 12 = 7 * 1 + 5 
> 7 = 5 * 1 + 2 
> 5 = 2 * 2 + 1 
> 
> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
> 
> 5 = 12 - 7 (i) 
> 2 = 7 - 5 (ii) 
> 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
> 
> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
> 
> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
> 
> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
> 
> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
> 
> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
> equação 7 x - 12 y = 11. 
> 
> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
> 
> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
> 
> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b. 
> 
> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
> ==> y = -33 + 7*t (vi) 
> 
> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t 
> 
> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
> 7*t, t ƐZ } 
> 
> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
> soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
> 
> Tem o artigo do eduardo Tengan: 
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
> equações. 
> 
> Saudações, 
> PJMS 
> 
> 
> 
> 
> 
> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
> mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu: 
> Pedro, 
> 
> 7 é o inverso de 7 módulo 12 
> 
> -- 
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org) 
> 
> 
> -- Original Message --- 
> From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>> 
> To: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
> mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>> 
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
> 
>> Caros Colegas, 
>> 
>> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
> congruência? Não consegui. 
>> 
>> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
>> 
>> Abraços. 
>> Pedro Chaves 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo. 
>> 
>> = 
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
>> = 
> --- End of Original Message --- 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional e Continuidade

[Gabriel Lopes]

Aparentemente o caso de f  decrescente não era análogo , Obrigado Ralph.

Em 22 de fevereiro de 2015 22:19, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Tem funcoes demais... Basicamente:
>
> i) Escolha um a qualquer tal que 0 ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a).
> iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x
> iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes!
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes :
>
>> *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema:
>>
>> - Encontre todas as funções contínuas  f : [0,1] --> [0,1]  tais que:
>> f(f(x)) = x  .
>>
>> *Procedi da seguinte maneira:
>>
>> 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções)
>> que  f  é bijetiva .
>>
>> 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA :  Se  f : X --> R  é uma
>> função contínua  , então f é injetiva  se e somente se é crescente ou
>> decrescente.
>>
>> 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu
>> como eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que  f  é
>> crescente ( o caso em que f  é decrescente é análogo) , II. Suponha que
>> para algum  x  em  (0,1)  :  f(x) > x   então  x = f(f(x)) > f(x)  ,uma
>> contradição e da mesma forma eliminamos o caso  f(x) < x  ;  portanto  f(x)
>> = x  , para todo x em [0,1] .
>>
>> 4.O problema fica quando tento provar o caso em que  f  é decrescente (
>> que parece não ser  completamente análogo) ; obviamente a função  f(x) = 1
>> - x   também satisfaz  , logo tentei obter uma contradição ao supor  f(x) <
>> 1 - x  para algum x em (0,1)  ; parei por aqui.
>>
>> *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica
>> simples etc...) contudo não consegui continuar ;  se  for algo mais
>> complexo poderiam enviar uma dica junto a solução?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação modular

[saulo nilson]

 |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|

x>=2
x+1+x+3x-3+2x-4=7x-6
sempre verdade
1<=x<2
x+1+x+3x-3-2x+4=7x-6
4x=8
x=2
6/7

> Acho que essa propriedade da soma ser igual ajuda se vc usar a
> desigualdade triangular...
> 2013.09.09. 3:11, "João Maldonado"  ezt írta:
>
>
>>
>> Fala ai galera, meu professor me deu uma lista de equações modulares com
>> infinitos exercícios. E eu que faltei na aula de módulo perdi os bizus pra
>> resolver as questões e tenho que dividir em infinitos casos. Eu lembro que
>> tinha uma propriedade de que se você descobrisse que a soma do argumento de
>> cada modulo do lado esquerdo é exatamente o lado direito facilitava pra
>> caramba, só não sei como, alguém pode me dar uma ajuda? Por exemplo, como
>> vocês resolveriam as seguintes equações (todas são da lista):
>>
>> a) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|
>> b) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = 7x-6
>> c) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = |x+2|
>> d) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = x+2
>>
>> Eu acho que deve ter alguma coisa a ver com |a+b| = |a|+|b| se e somente
>> se a.b>0, mas não estou conseguindo aplicar isso
>>
>> []'s
>> João
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[João Maldonado]

Dá pra fazer assim
Sendo -3a, -a, a e 3a os termos da PA
Por Girrard
P2x2 = -10a² = -(3m+2)
P4x4 = 9a^4 = m²

Daí
100a^4 = (3m+2)^2 = 100m²/9
Daonde vem m = 6 ou m = -6/19

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
Date: Wed, 4 Sep 2013 01:51:13 +




Veja que m = 6 satisfaz.

Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa 

2013/9/2 marcone augusto araújo borges 


>

> Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

> tem 4 raízes reais em progressão aritmética.

>

> Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.

> Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)

> Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei

> um valor bem feio pra m.

> Algo errado?



Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são

a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça

de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e

(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !



--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

 acredita-se estar livre de perigo.





=

Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[marcone augusto araújo borges]

Veja que m = 6 satisfaz.

Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa 

2013/9/2 marcone augusto araújo borges 


>

> Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

> tem 4 raízes reais em progressão aritmética.

>

> Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.

> Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)

> Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei

> um valor bem feio pra m.

> Algo errado?



Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são

a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça

de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e

(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !



--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[saulo nilson]

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4
x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/2
3m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64
m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5


2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa 

> 2013/9/2 marcone augusto araújo borges 
> >
> > Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0
> > tem 4 raízes reais em progressão aritmética.
> >
> > Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.
> > Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)
> > Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei
> > um valor bem feio pra m.
> > Algo errado?
>
> Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são
> a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça
> de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e
> (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[terence thirteen]

Eu posso ensinar um método, mas creio que todos eles são essencialmente a
mesma coisa.

A minha ideia é partir da teoria soma-produto:

x+y=S
xy=P

A ideia é tentar calcular a diferença, x-y. Para isso, podemos usar
produtos notáveis: (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

Substituindo os valores: S^2-(x-y)^2 = 4P

x-y = sqrt(S^2-4P)

Agora fica fácil! Testa, é claro, os sinais + e - da radiciação.

Outra forma seria completar os quadrados. Mas uma outra possível solução
seria um deslocamento de variável:

Se temos x^2-Sx+P=0, façamos x=Z+d (d de delta), abrimos tudo e obtemos uma
equação de segundo grau em Z. A partir daí, ajuste o d a fim de que o termo
de primeiro grau se anule:

Z^2+2dZ+d^2
-SZ-Sd
+P

Z^2+(2d-S)Z+(D^2-Sd+P) = 0

d = S/2 serve! Obtemos algo como 'Z^2+T=0' e pronto!





Em 5 de agosto de 2013 19:39, Hermann  escreveu:

> Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou
> pesquisar!
> Abraços
> Hermann
> - Original Message - From: "Ralph Teixeira" 
> To: 
> Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau
> métodos de sol
>
>
>
> Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
> esta formula de "Baskara" -- pelo menos nas minhas turmas
> internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
> assim... Acho que eh "formula quadratica" em varias linguas, mas
> fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
> Latina?
>
> Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
> fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
> algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
> parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)
>
> Abraco,
> Ralph
>
> 2013/8/5 Hermann :
>
>> Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que
>> eu
>> desejava saber é que método é ensinado no Peru.
>> Diferente de báskara.
>>
>> - Original Message -
>> From: Esdras Muniz
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
>>
>> x² - 3x + 5 = 0
>> x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
>> (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
>> 
>>
>>
>> Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann 
>> escreveu:
>>
>>>
>>> Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
>>> época.
>>>
>>> Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
>>> equação (sem báskara, sem S e P)
>>>
>>>  ax^2+bx+c=0
>>>
>>> abraços
>>>
>>> Hermann
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Graduando em Matemática Bacharelado
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>> "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto"
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> ==**==**
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
> ==**==**=
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> ==**==**
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
> ==**==**
> =
>



-- 
/**/
神が祝福

Torres

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Hermann]

Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou 
pesquisar!

Abraços
Hermann
- Original Message - 
From: "Ralph Teixeira" 

To: 
Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau 
métodos de sol



Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
esta formula de "Baskara" -- pelo menos nas minhas turmas
internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
assim... Acho que eh "formula quadratica" em varias linguas, mas
fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
Latina?

Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

Abraco,
Ralph

2013/8/5 Hermann :
Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que 
eu

desejava saber é que método é ensinado no Peru.
Diferente de báskara.

- Original Message -
From: Esdras Muniz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

x² - 3x + 5 = 0
x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
(x - 3/2)² = (3/2)² - 5



Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann  escreveu:


Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
época.

Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
equação (sem báskara, sem S e P)

 ax^2+bx+c=0

abraços

Hermann

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.





--
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

"Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto"

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Ralph Teixeira]

Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
esta formula de "Baskara" -- pelo menos nas minhas turmas
internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
assim... Acho que eh "formula quadratica" em varias linguas, mas
fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
Latina?

Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

Abraco,
 Ralph

2013/8/5 Hermann :
> Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu
> desejava saber é que método é ensinado no Peru.
> Diferente de báskara.
>
> - Original Message -
> From: Esdras Muniz
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
>
> x² - 3x + 5 = 0
> x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
> (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
> 
>
>
> Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann  escreveu:
>>
>> Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
>> época.
>>
>> Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
>> equação (sem báskara, sem S e P)
>>
>>  ax^2+bx+c=0
>>
>> abraços
>>
>> Hermann
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esdras Muniz Mota
> Graduando em Matemática Bacharelado
> Universidade Federal do Ceará
>
> "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto"
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> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Hermann]

Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu 
desejava saber é que método é ensinado no Peru.
Diferente de báskara.
  - Original Message - 
  From: Esdras Muniz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol


  x² - 3x + 5 = 0
  x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
  (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
  



  Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann  escreveu:

Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na época.

Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da 
equação (sem báskara, sem S e P)

 ax^2+bx+c=0

abraços

Hermann

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 





  -- 
  Esdras Muniz Mota
  Graduando em Matemática Bacharelado
  Universidade Federal do Ceará

  "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" 

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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[João Maldonado]

Sim, na verdade a fórmula de cardano vem daí
Mas em vez de ficar decorando uma fórmula gigante, você pode fatorar o polinômio
Dá pra fazer o mesmo com equações de grau quatro, mas aí a fatoração é diferente

[]'s
João

Date: Wed, 24 Jul 2013 23:57:15 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica?

Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado  
escreveu:




Corrigindo (erro de digitação)
y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
From: joao_maldona...@hotmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau 
Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300





Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)

x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara

delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?


Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli  
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:



[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.




Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz  escreveu:



Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.





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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação
cúbica?


Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado
escreveu:

> Corrigindo (erro de digitação)
> y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
> --
> From: joao_maldona...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro
> grau
> Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300
>
>
> Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
> x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
> Podemos rearranjar dessa forma
>  z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
> x³ + y³ = 5
> 3xy = 5, x³y³ = 125/27
> SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
> x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
> y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
>
> Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
> delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
> z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2
>
> ----------------------
> Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
> From: vanderma...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
> podem ser obtidas?
>
>
> Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli 
> escreveu:
>
> Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
> equação do terceiro grau, teremos:
>
> (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 =
> 0 (*).
>
> Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
> variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
> raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:
>
> [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
>
> 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
> (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.
>
> Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
> raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.
>
>
> Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>  Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
> imaginárias, da equação:
>
> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
>
> Grato,
>
> Vanderlei
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[João Maldonado]

Corrigindo (erro de digitação)
y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau 
Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300




Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?

Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli  
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:


[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.



Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz  escreveu:


Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei



--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[João Maldonado]

Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?

Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli  
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:


[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.



Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz  escreveu:


Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei



--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




--

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 acredita-se estar livre de perigo.




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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[Marcos Martinelli]

Tendo encontrado uma das raízes de z^3 - 5z + 5 = 0, você pode tentar
forçar a fatoração. Mas creio que não será uma equação do segundo grau das
mais bonitas.


Em 24 de julho de 2013 14:49, Vanderlei Nemitz escreveu:

> Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
> podem ser obtidas?
>
>
> Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli 
> escreveu:
>
> Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
>> equação do terceiro grau, teremos:
>>
>> (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5
>> = 0 (*).
>>
>> Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
>> variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
>> raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:
>>
>> [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
>>
>> 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
>> (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.
>>
>> Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
>> raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.
>>
>>
>> Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
>> escreveu:
>>
>>>  Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
>>> imaginárias, da equação:
>>>
>>> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
>>>
>>> Grato,
>>>
>>> Vanderlei
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[Vanderlei Nemitz]

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
podem ser obtidas?


Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli
escreveu:

> Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
> equação do terceiro grau, teremos:
>
> (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 =
> 0 (*).
>
> Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
> variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
> raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:
>
> [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
>
> 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
> (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.
>
> Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
> raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.
>
>
> Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
>> imaginárias, da equação:
>>
>> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
>>
>> Grato,
>>
>> Vanderlei
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Artur Costa Steiner]

Um livro específico sobre equações diferenciais eu no momento não tenho. Mas 
vou ver se acho uma boa referência. 

No caso, conforme o Jones citou, é uma equação de variáveis separáveis, o que 
torna tudo muito simples (desde que possamos achar em forma fechada a primitiva 
da função dada). Temos que

2y dy = 2x + x cos(x) dx

Integrando os dos membros, o que aqui é fácil (a integral de x cos(x) sai 
facilmente por partes), chegamos a 

y^2 = x^2 + cos(x) + x sin(x) + C

y = raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) ou y = -raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) 

A solução do Jones é o caso C = 0

Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 09:38, Jones Colombo  escreveu:

> Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis - 
>  Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria .
> []
> Jones
> 
> 
> 2013/6/20 Artur Costa Steiner 
>> >> É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?
>> 
>> Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso
>> 
>> 
>> Artur Costa Steiner
>> 
>> Em 20/06/2013, Ã s 07:55, "Hermann"  escreveu:
>> 
>> > Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões 
>> > semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, 
>> > abraços
>> > e obrigado mais uma vez
>> > Hermann
>> > - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" 
>> > 
>> > To: 
>> > Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
>> >
>> >
>> > 2013/6/19 Hermann :
>> >> Considere a eq dif
>> >>
>> >> y' = (2x + x.cos(x))/2y
>> >>
>> >> y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
>> >>
>> >> Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
>> > Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
>> >
>> > Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
>> > substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
>> > seja, válida para todo x).
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> > =
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> > =
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> > =
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Hermann]

y' = (2x + x.cos(x))/(2y) é esse caso, em latex ficaria y'= \frac{2x + 
x.cos(x)}{2y}


Aproveito para repetir minha última dúvida: um livro que tenha esse tipo de 
questão, peço isso pq não achei esta questão em alguns livros de eq dif em 
casa.

Abrços
Hermann

- Original Message - 
From: "Artur Costa Steiner" 

To: 
Sent: Thursday, June 20, 2013 9:12 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida



É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?


Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 07:55, "Hermann"  escreveu:

Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes 
a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços

e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" 


To: 
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida


2013/6/19 Hermann :

Considere a eq dif

y' = (2x + x.cos(x))/2y

y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.

Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Jones Colombo]

Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis -
 Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria [image: y=\pm
\sqrt{x^2+\cos(x)+x\sin(x)}].
[]
Jones


2013/6/20 Artur Costa Steiner 

> >> É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?
>
> Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 20/06/2013, às 07:55, "Hermann"  escreveu:
>
> > Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões
> semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução,
> abraços
> > e obrigado mais uma vez
> > Hermann
> > - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <
> bernardo...@gmail.com>
> > To: 
> > Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
> >
> >
> > 2013/6/19 Hermann :
> >> Considere a eq dif
> >>
> >> y' = (2x + x.cos(x))/2y
> >>
> >> y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
> >>
> >> Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
> > Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
> >
> > Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
> > substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
> > seja, válida para todo x).
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Artur Costa Steiner]

>> É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?

Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 07:55, "Hermann"  escreveu:

> Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a 
> esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços
> e obrigado mais uma vez
> Hermann
> - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" 
> 
> To: 
> Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
> 
> 
> 2013/6/19 Hermann :
>> Considere a eq dif
>> 
>> y' = (2x + x.cos(x))/2y
>> 
>> y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
>> 
>> Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
> Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
> 
> Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
> substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
> seja, válida para todo x).
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> = 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Hermann]

Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a 
esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços

e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - 
From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" 

To: 
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida


2013/6/19 Hermann :

Considere a eq dif

y' = (2x + x.cos(x))/2y

y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.

Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 



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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[Artur Costa Steiner]

Tem um detalhe aqui para o qual eu gostaria de chamar a atenção. Este seu 
raciocínio determina univocamente uma sequência que satisfaz às condições 
dadas. Mas parece que o enunciado falava de funções de R+ em R+. Eu não sei se 
dá para determinar uma univocamente, acho que há uma infinidade, desde que 
coincida nos inteiros com sua sequência.

Aliás, a notação R+ é ambígua. Alguns consideram que não inclui o 0 ( o que me 
parece mais de acordo com o símbolo +), mas outros consideram que inclui. 

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 01/04/2013, às 23:02, LEANDRO L RECOVA  escreveu:

> Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
>  
> Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
> From: pedromatematic...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
> Seguinte: 
> 
> 
> Faça x = 0  ==> f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 ==> f(f(0)) = - af(0)
> 
> Seja f(0) = y_1 ==> f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
> Agora faça f(y_1) = y_2
> 
> perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional 
> temos:
> 
> y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0
> 
> Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0
> 
> Daí continua...
> Abç
> 
> 
> Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA  
> escreveu:
> Eu pensei no seguinte:
> 
> y=f(x). Entao,
> 
> f(y) + ay = b(a+b)x 
> 
> f(y) = b(a+b)x-ay 
> 
> Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) > 0, 
> ou seja, 
> 
> ay < b(a+b)x  => f(x) < b/a (a+b)x.  (*)
> 
> As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
> questao.
> 
> Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
> Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
> From: pedromatematic...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> 
> Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
> por recorrência?
> 
> Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde 
> a,b \in R^+.
> 
> -- 
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
> Professor de Matemática
> Geo João Pessoa – PB 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> 
> -- 
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
> Professor de Matemática
> Geo João Pessoa – PB 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[LEANDRO L RECOVA]

Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
 Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte: 


Faça x = 0  ==> f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 ==> f(f(0)) = - af(0)


Seja f(0) = y_1 ==> f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2

perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional 
temos:

y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0


Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0

Daí continua...
Abç


Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA  escreveu:




Eu pensei no seguinte:
y=f(x). Entao,
f(y) + ay = b(a+b)x 
f(y) = b(a+b)x-ay 
Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) > 0, 
ou seja, 

ay < b(a+b)x  => f(x) < b/a (a+b)x.  (*)
As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
questao.

Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
por recorrência?

Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde a,b 
\in R^+.

-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior


Professor
de Matemática


Geo João Pessoa
– PB 




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 




--

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 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[Pedro Júnior]

Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte:


Faça x = 0  ==> f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 ==> f(f(0)) = - af(0)

Seja f(0) = y_1 ==> f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2

perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional
temos:

y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0

Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0

Daí continua...
Abç


Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA escreveu:

> Eu pensei no seguinte:
>
> y=f(x). Entao,
>
> f(y) + ay = b(a+b)x
>
> f(y) = b(a+b)x-ay
>
> Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) >
> 0, ou seja,
>
> ay < b(a+b)x  => f(x) < b/a (a+b)x.  (*)
>
> As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na
> questao.
>
> --
> Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
> Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
> From: pedromatematic...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível
> resolvê-la por recorrência?
>
> Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x
> onde a,b \in R^+.
>
> --
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
> Professor de Matemática
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

[Ralph Teixeira]

Bom, claro que ao verificar que x=2 eh solucao e mostrar que ela eh unica,
voce resolveu a equacao... Mas entendo que voce quer saber como resolver
algebricamente uma equacao do tipo a^x+b^x=c^x (a, b e c dados).

Claro que isto depende do que "algebricamente" significa. Entao deixa eu
dizer assim: eu nao sei nenhuma maneira de escrever x como funcao de a, b e
c usando apenas as funcoes que eu conheco -- isto eh, potencias, raizes,
logaritmos, funcoes trigonometricas, e ateh algumas coisas mais obscuras
como a funcao W de Lambert. Aposto que nao eh possivel, mas nao tenho
certeza.

Abraco,
   Ralph

2012/8/8 Vanderlei * 

> *Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x =
> 2?*
>
> Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira  escreveu:
>
>> Lema: Se 0> Dem.: Note que x>0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1.
>> Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b>1 e a/b<1), entao tem no maximo
>> uma raiz positiva!
>>
>> (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
>> raiz real positiva.)
>>
>> Abraco,
>>   Ralph
>>
>> 2012/8/7 Vanderlei * 
>>
>>> Alguém pode ajudar a resolver a equação.
>>>
>>> *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*
>>>
>>> É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?
>>>
>>> Obrigado!
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

[Vanderlei *]

*Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = 2?*

Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira  escreveu:

> Lema: Se 0 Dem.: Note que x>0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta
> funcao f(x) eh crescente (pois c/b>1 e a/b<1), entao tem no maximo uma raiz
> positiva!
>
> (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
> raiz real positiva.)
>
> Abraco,
>   Ralph
>
> 2012/8/7 Vanderlei * 
>
>> Alguém pode ajudar a resolver a equação.
>>
>> *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*
>>
>> É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?
>>
>> Obrigado!
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

[Willy George Amaral Petrenko]

*03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da
equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

Vou dar uma solução alternativa para este problema, um pouco mais direta.

x^2*y^2 - 14xy + 49 = x^2 + y^2. ==> x^2*y^2 - 12xy + 49 = x^2 + +2xy + y^2.
==> (xy - 6)^2 + 13 = (x+y)^2.

Agora vc tem um problema do tipo A^2 - B^2 = 13, para A = x+y e B = xy-6. Ou
seja (A-B)(A+B) = 13. Que é fácil resolver. Só tome cuidado que A e B não
são mais positivos, então tem que analisar os 4 casos: (A-B,A+B) =  (1,13) ,
(13,1) , (-1,-13) , (-13,-1).

Abraço

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

[Pedro Júnior]

Exatamente Ralph, quando utilizei as leis de seno e cosseno achei o cosseno
de um dos ânulos maior que 1 o que torna inválido o problema.
Falou Ralph, comunicarei ao comitê olímpico da UFCG.
Abraços.

Em 30 de maio de 2011 14:06, Ralph Teixeira  escreveu:

> 2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições...
>
> Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é
> isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosC bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo.
>
> Não seria ângulo C=2A? Aí seria um triângulo 30-60-90 bonitinho...
>
> 3) Bom, se x=0 então y=7, e vice-versa. Se x=1, note que y não dá inteiro,
> e vice-versa. Vamos então supor logo que x,y>=2 no resto do problema.
>
> Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar:
> (xy-7+x)(xy-7-x)=y^2.
>
> (Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem
> ser BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!)
>
> Note que xy-7-x=2). Assim, devemos ter xy-7-x contrário, ambos os fatores seriam maiores ou iguais a y, e então o produto
> seria maior que y^2).
>
> xy-7+x-y<0
> (x-1)(y+1)<=5
>
> Como x-1>=1, devemos ter y+1<=5, isto é, basta analisar y=2,3,4.
>
> Abraço,
> Ralph
> 2011/5/30 Pedro Júnior 
>
>> Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu
>> neste último sábado dia 28 de Maio:
>>
>> *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que
>> este triângulo é retângulo.
>> Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor
>> quem tiver alguma ideia, contribuir...
>>
>> *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções
>> da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.
>>
>> Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0)
>> satisfazem tal equação.
>> Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7
>> como hipotenusa.
>> Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com
>> uma só incórnita?
>>
>> Desde já aradeço.
>>
>> --
>>
>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>
>> Professor de Matemática
>>
>> Geo João Pessoa – PB
>>
>>
>


-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

[marcone augusto araújo borges]

Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
 


Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0


Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0



Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.


Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1


Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.


Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k


Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).


Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab


As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }


(0, 0) não pode ser.


Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.


Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2 < 0, logo, não tem raízes reais.


Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe


Abraços,
Salhab








2011/1/9 marcone augusto araújo borges 


Sejam a,b números inteiros .Sabendo que  a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x 
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.

  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica

[Tiago]

Olá, você já estudou análise real? Sei que no livro no Rudin tem isto
demonstrado da maneira mais elementar possível (elementar no sentido de usar
poucas ferramentas). Só usa que R é completo e algumas desigualdades. Não
lembro exatamente como é a demonstração, mas basicamente é isso:

*Teorema*: Dado r real positivo e n natural, existe um único x positivo tal
que x^n=r. (O que você quer segue trivialmente disto).

*Ideia da demonstração:* Ver que a solução é única é fácil, visto que 0r e, depois, sup(A)^n

> A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario.
>
> Podemos fazer algumas suposições:
> |r| < 1. De fato, se |r|<1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim,
> teremos X^n=R, com |R|>1, e resolver essa equacao é equivalente
> resolver a original.
>
> Caso n ímpar:
> Se r < 0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r>1.
>
> Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r>0. Isso e relativamente
> facil de demonstrar usando limites ou algo que valha.
> Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r<0.
>
> Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois
> extremos tal que x^n=r=0.
>
> O caso par fica por sua conta :)
>
>
> Em 11/09/10, Guilherme Vieira escreveu:
> >
> > Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir.
> > Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto,
> > parece-me muito difícil.
> >
> > Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é
> > uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução
> > real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r>0.
> >
> >
> > Obrigado!!!
> > Guilherme
>
>
> --
> /**/
> Quadrinista e Taverneiro!
>
> http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Quadrinhos, histórioas e afins
> http://baratoeletrico.blogspot.com />> Um pouco sobre elétrons em
> movimento
> http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit!
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau

[saulo nilson]

se vc sabe uma vc reduz a equaçao para uma de 2o grau.

On 5/15/07, Tio Cabri st <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


 Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica,
porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém
poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou
Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado
Tio Cabri

- Original Message -
*From:* claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
*To:* obm-l 
*Sent:* Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM
*Subject:* [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau



  *De:* [EMAIL PROTECTED]
  *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
  *Cópia:*
  *Data:* Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT)
  *Assunto:* [obm-l] equação do terceiro grau
> Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0
>

Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1

f(-1) = -3 < 0
f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2
f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0
f(1) = 1 > 0  ==> tem uma raiz entre 0 e 1

Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1.
Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t).

Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t).
Especificamente,
cos(3t) = cos(2t+t) =
cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) =
(2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) =
2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) =
4*cos^3(t) - 3*cos(t)   (que sorte...)

x = cos(t) é raiz da equação ==>
8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==>
2*cos(3t) = 1 ==>
cos(3t) = 1/2.

Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos:
3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==>
t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==>
cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9)
(pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) =
cos(pi/9))

Logo, as raízes da equação são:
cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9).

[]s,
Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau

[Tio Cabri st]

Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 
3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar 
essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar 
esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado
Tio Cabri
  - Original Message - 
  From: claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM
  Subject: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau



De: [EMAIL PROTECTED] 

Para: obm-l@mat.puc-rio.br 

Cópia:  

Data: Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) 

Assunto: [obm-l] equação do terceiro grau 

  > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0
  >

  Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1

  f(-1) = -3 < 0
  f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2
  f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0
  f(1) = 1 > 0  ==> tem uma raiz entre 0 e 1

  Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1.
  Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t).

  Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t).
  Especificamente,
  cos(3t) = cos(2t+t) = 
  cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = 
  (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) =
  2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) =
  4*cos^3(t) - 3*cos(t)   (que sorte...)

  x = cos(t) é raiz da equação ==>
  8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==>
  2*cos(3t) = 1 ==>
  cos(3t) = 1/2.

  Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos:
  3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==>
  t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==>
  cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9)
  (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = 
cos(pi/9))

  Logo, as raízes da equação são:
  cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9).

  []s,
  Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

[Artur Costa Steiner]

Bom, OK.
Inicialmente, verificamos que devemos ter m<>0. A eq. dada eh entao
equivalente a m^2*x - 4x + 8 =4m ou (m^2-4)x + 8 - 4m =0. Se m^2 - 4 <>0,
com m<>0, entao a eq. tem uma, e apenas uma, solucao. Logo, esta condicao
corre para m em R - {-2, 0, 2}.
Se m^2-4=0, entao a eq. tera infinitas solucoes se tambem tivermos 8 - 4m
=0. Logo,tal condicao ocorre apenas para m=2.
Se m^2-4=0 e  8 - 4m <>0, entao o sistema nao tera nenhuma solucao. Esta
condicao ocorre apenas para m=-2.
Artur

(mx/4) - (x-2)/m = 1


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>, "[EMAIL PROTECTED]"
<[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação
Data: 13/08/04 16:45

Nao seria do 2. grau na variavel m?

At 15:06 13/8/2004, Artur Costa Steiner wrote:
>Levando em conta a solucao que vc tentou, hah alguma coisa errada no
>enunciado, pois a equacao dada eh do primeiro grau.
>
>- Mensagem Original 
>De: [EMAIL PROTECTED]
>Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
>Assunto: [obm-l] Equação
>Data: 13/08/04 12:29
>
>Boa tarde a todos,
>
>Agradeço qualquer ajuda no exercicio abaixo:
>
>
>(FUVEST)Determine todos os valores de m para os quais a equação
>(mx/4) - (x-2)/m = 1
>
>a)admite uma única solução.
>b)não admite solução.
>c)admite infinitas soluções.
>
>(a) Fiz o Delta = 0 , achei x=1 , substitui na equacao e m=2.
>(b) ainda nao tentei
>(c) Fiz o Delta > 0 (para admitir varias solucoes) e,
>consequentemente,
> qualquer que seja x#1 implica que a equacao dada tem
>solucao. Mas qual seria então o intervalo de m nesse
>caso. Seria o conjunto R?
>
>Obrigado.
>
>Anderson
>
>
>
>
>
>
>
>
>OPEN Internet
>@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>
>Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.
>Scan engine: VirusScan / Atualizado em 11/08/2004 / Versão: 1.5.2
>Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
>
>E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra.
>Para alterar a categoria classificada, visite
>http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=aspx&_l=1092421975.97665.16775.itajuba.terra.com.br



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

[Saturday 31 January 2004 15:48: <[EMAIL PROTECTED]>]
> Caro Fábio,
>
> Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita!
>
> O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada
> anteriormente por mim (t = 1),  sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2
> ; 1).
>
> Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo
> UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me,
> não conheço profundamente esse teorema.
> [...]

O UTF, na realidade, diz que se n>2, então a^n + b^n = c^n não tem solução com 
a, b, c inteiros positivos.

Não é muito difícil ver que se n é par, a, b, c podem ser inteiros não-nulos 
quaisquer sem que haja soluções. Se n for ímpar, passe os termos da equação 
de um lado para o outro, trocando os sinais de a, b, c até que os três sejam 
positivos. Então há duas possibilidades de equação:

I) a^n + b^n + c^n = 0
II) a^n + b^n = c^n

As duas equações não possuem soluções não-nulas (a equação I é obvia; a II, 
pelo UTF). Bastou, portanto, reescrever o polinômio dado na forma a^3 + b^3 = 
c^3 para resolver o problema. No caso particular n=3, não é necessário apelar 
para o paper do Wiles; existem várias demonstrações elementares deste caso.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)

iD8DBQFAG/tpalOQFrvzGQoRAqPQAJ43vAWusP8OkK8haSO3uUZrQP7KAQCgnPEF
hDxxGuSWCVP9q5ROiJ1BxcA=
=yvIZ
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau

[Rafael]

Caro Fábio,

Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita!

O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada
anteriormente por mim (t = 1),  sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2
; 1).

Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo
UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me,
não conheço profundamente esse teorema.

[]s,

Rafael



- Original Message -
From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, January 31, 2004 1:34 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau


> Tá bom, vou tentar de novo:
>
> A equação dada é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3. Pelo UTF, algum dentre x, x+a ou
x+b
> tem que ser 0.
>
> I) x = 0
>
> Impossível, pois x pertence a Z*.
>
> II) x+a = 0 <=> x = -a
>
> Então -a^3 = (b-a)^3 <=> -a = b-a <=> b = 0. Há infinitas soluções da
forma
> (x, a, b) = (-t, t, 0), t em Z*.
>
> III) x+b = 0 <=> x = -b
>
> Então -b^3 + (a-b)^3 = 0 <=> a-b = b <=> a = 2b. Logo há infinitas
soluções da
> forma (x, a, b) = (-t, 2t, t), t em Z*.
>
> Acho que *agora* eu enumerei todas as soluções inteiras com x não-nulo.
>
> []s,
>
> - --
> Fábio Dias Moreira

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação!!

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Em Thu, 30 Oct 2003 16:47:51 -0300, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> disse:

... segue-se que P tem exatamente duas raizes reais e duas raizes
 complexas nao reais conjugadas. As raizes reais sao aproximadamente 4,907142 e  
-5,41873 (obtidas numericamente). Nao sei se são racionais ou nao. Eh possivel afirmar 
que P nao tem raizes racionais?


Eh possivel afirmar que P nao possui raiz racional. Se a fraçao irredutivel a/b eh 
raiz de um polinomio de coeficientes inteiros, entao a divide o termo independente (no 
caso, -727) e b divide o coeficiente do termo de maior grau (no caso, 1).
Logo, b = 1 ou -1 e a = 727 ou -727 ou 1 ou -1. Em suma, se houvesse raiz racional, 
tal raiz seria 727 ou -727 ou 1 ou -1. Mas nenhum desses numeros eh raiz.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação!!

[Artur Costa Steiner]

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] equação!!
Data: 30/10/03 12:15


Voce encontrou na maquina alguma solucao real?? Racionais nao existem.

A segunda derivada deste polinomio P (obtido passando-se 727 para o primeiro
membro na equacao dada) eh um trinomio do segundo grau com coeficientes
positivos e discriminante negativo. Logo, para todo real x este trinomio eh
positivo, do que concluimos que P nao tem pontos de maximo. Como P e do 4o
grau, isto acarreta que P tem 1 e apenas 1 ponto de minimo. (A existencia de
algum minimo decorre da continuidade de P e do fato de que P eh limitado
inferiormente; e a unicidade deste minimo eh consequencia do fato de que, se
P tivesse mais de um minimo relativo, entao teria necessariamente um maximo
relativo - o que nao ocorre). Como P assume uma infinidade de valores
negativos, segue-se que P tem exatamente duas raizes reais e duas raizes
complexas nao reais conjugadas. As raizes reais sao aproximadamente 4,907142
e -5,41873 (obtidas numericamente). Nao sei se são racionais ou nao. Eh
possivel afirmar que P nao tem raizes racionais?
Eu procurei uma forma de achar as raizes analiticamente mas nao cheguei a
uma conclusao. Para todo x<>1 temos que P(x) = (x^5-x)/(x-1) - 727, talvez
isto permita chegar a alguma coisa interessate que eu nao vi.
Artur  


OPEN Internet
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Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

[Leandro Lacorte Recôva]

Mdc(a,b)=1 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Giselle
Sent: Friday, October 24, 2003 2:44 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?

- Original Message - 
From: "luiz frança" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
Subject: [obm-l] equação diofantina


>
>
>  se  (a,b)=1
>
>  ax +by = k  , x, y e k inteiros
>
>  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
> que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.
>
> será mesmo verdade?  bom... a principio se
>
> ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
> pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
> pra k=1 ???
>
> __
> Do you Yahoo!?
> The New Yahoo! Shopping - with improved product search
> http://shopping.yahoo.com
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

[Will]

Nossa !
Escrevi uma bobagem enorme !

---
a^2 - 4a >= 0

O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4
--

Esse intervalo é justamente quando a^2 - 4a =< 0 !!!

Bom, mas deixa pra lá.

- Original Message -
From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, October 01, 2003 12:23 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação


pensei também na seguinte solução.

Vamos chamar ambos os termos de "a".

XY = X + Y = a

Então a equação de segundo grau

x^2 -ax +a

tem raízes reais, com soma e produto iguais.
Fazendo (delta)>=0 , temos

a^2 - 4a >= 0

O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 =< a =< 4

Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4.
Descartamos a=1 por razões óbvias...
chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as
duas respostas que já temos.

Will

Antes tarde do que nunca...


- Original Message -
From: "Carlos" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM
Subject: [obm-l] Equação


Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas
incôgnitas.

Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo:

XY = X + Y

Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação.

Teria como ter uma saída algébrica?

Agradeço



__
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Nov 14, 2002 at 04:43:38PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Thu, Nov 14, 2002 at 10:34:27AM -0200, Marcelo Leitner wrote:
> > Exatamente, eu nao tinha enxergado que (-3+4i) = (1+2i)^2, aih
> > optei pelo metodo mais "generico"..
> > Tem algum jeito de identificar essa fatoracao jah de primeira
> > vista ou eh soh conhecendo elas mesmo?
> 
> Uma opção é usar coordenadas polares:
> sqrt(r (cos t + i sen t)) = sqrt(r) (cos (t/2) + i sen (t/2))
> 
> Outra opção é fazer o tipo de coisa que você fez: 
> vamos resolver
> 
> a+bi = (c+di)^2 = (c^2 - d^2) + 2cd i
> 
> donde
> 
> c^2 - d^2 = a
> 2cd = b
> 
> temos
> 
> d = b/(2c)
> 
> e
> 
> c^2 - b^2/(4 c^2) = a
> 
> Assim c é uma das raízes reais da equação biquadrada
> 
> 4 c^4 - 4 a c^2 - b^2 = 0
> 
> Ou seja 
> 
> c = +- sqrt( (  a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )
> d = +- sqrt( (- a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )

Andei repetindo o Morgado de novo! Oops...

Mas desta vez ele só deu a fórmula, e eu mostrei como chegar nela. Ha!
Talvez isso tenha algo a ver com o fato de que eu não sabia a fórmula,
eu a obtive enquanto escrevia o e-mail.

De qualquer forma, vamos todos ler o que o Morgado escreve.
Vale a pena.

[]s, N.


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Paulo Santa Rita]

Ola Prof Nicolau e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Bom, agora que eu sei que o Prof Morgado nao e magro, vamos engordar o 
problema que ele ja resolveu :

Seja A um conjunto com N elementos e 0 < P < N. Quantos conjuntos B podemos 
formar tais que :

1)B tem P elementos
2)Cada elemento de B e um subconjunto de A
3)Quaisquer dois elementos de B sao disjuntos
4)O conjunto vazio nao esta em B

Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1705,141102

From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação
Date: Thu, 14 Nov 2002 16:46:57 -0200

On Thu, Nov 14, 2002 at 11:51:09AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
wrote:
> > ATÉ VOCÊ, NICOLAU? Estou me sentindo um homem invisível!
> Morgado

Foi mal, eu deixei a mensagem pela metade ontem de noite e quando
voltei continuei sem ver a sua. Pessoalmente você não é nada invisível! ;-)

[]s, N.

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http://messenger.msn.com.br

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Domingos Jr.]

Desculpem, o programa de envio de email estava indicado TIMEOUT do servidor
SMTP e eu não sabia que a mensagem tinha sido mandada 3 vezes!

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Nov 14, 2002 at 11:51:09AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
> > ATÉ VOCÊ, NICOLAU? Estou me sentindo um homem invisível!
> Morgado

Foi mal, eu deixei a mensagem pela metade ontem de noite e quando
voltei continuei sem ver a sua. Pessoalmente você não é nada invisível! ;-)

[]s, N.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Nov 14, 2002 at 10:34:27AM -0200, Marcelo Leitner wrote:
> Exatamente, eu nao tinha enxergado que (-3+4i) = (1+2i)^2, aih
> optei pelo metodo mais "generico"..
> Tem algum jeito de identificar essa fatoracao jah de primeira
> vista ou eh soh conhecendo elas mesmo?

Uma opção é usar coordenadas polares:
sqrt(r (cos t + i sen t)) = sqrt(r) (cos (t/2) + i sen (t/2))

Outra opção é fazer o tipo de coisa que você fez: 
vamos resolver

a+bi = (c+di)^2 = (c^2 - d^2) + 2cd i

donde

c^2 - d^2 = a
2cd = b

temos

d = b/(2c)

e

c^2 - b^2/(4 c^2) = a

Assim c é uma das raízes reais da equação biquadrada

4 c^4 - 4 a c^2 - b^2 = 0

Ou seja 

c = +- sqrt( (  a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )
d = +- sqrt( (- a + sqrt(a^2 + b^2)) / 2 )

[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Domingos Jr.]

2) 
se a0 != 1
tome x = q.a0 com q inteiro, q != 0
fica simples verificar que a0|f(x) e, como 
f(x) = a0 <=> x é raiz de um polinômio de grau n (a1x 
+a2x^2 + anx^n)
e esse polinômio pode ter no máximo n-1 raízes da 
forma q.a0 (uma raiz é 0), temos infinitas formas de escolher x = q.a0 de forma 
a não ser nenhuma das n-1 raízes.
como a0|f(x), a0 != 1, a0 != f(x), f(x) é 
composto
 
suponha, por absurdo, que existe um polinômio f(x) 
tal que para todo x >= N com N inteiro, f(x) é primo
f(x) = f(N + k) = a0 + a1.(N + k) + ... + 
an.(N+k)^n, expandindo as potências obtemos um polinômio q(k) de grau n e coef. 
inteiros.
f(x) = f(N+k) = g(k)
g(k) é primo para todo k >= 0
g(0) = a0 e a0 é primo, logo a0 != 1, pelo 
enunciado acima, temos que g(x) não pode ser primo para todo x >= 0, uma 
contradição.
 
 
o (1) parece exigir alguma sacada esperta, ainda 
não tive uma boa idéia.
 
PS: Se alguém já resolveu o problema eu já aviso de 
antemão que não encontrei a resposta na lista, não estaria mandando 
a uma resposta repetida por preguiça de ler as mensagens 
anteiores!!!

  - Original Message - 
  From: 
  rocha31 
  
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, November 14, 2002 12:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  equação
  
  Estou estudando teoria dos números pelo livro do José Plínio de Olivera 
  Santos e tem uns problemas que não cosegui revolver;
  1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...(p-1))
  2.Seja f(x)= a0 +a1x +a2x^2 + anx^n um polinomio com coeficientes 
  inteiros onde an > 0 e n>=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos 
  valoresda varavél x.
  Obrigado pela ajuda.
  Roberto Gomes
  P.S. sou natural de Fortaleza, mas moro em Recife. Prf. Morgado, eu conheci 
  o senhor numa aula que o senhor deu em Fortaleza, no curso GEO não me lembro o 
  ano ao certo acho que foi em 1992.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Domingos Jr.]

2) 
se a0 != 1
tome x = q.a0 com q inteiro, q != 0
fica simples verificar que a0|f(x) e, como 
f(x) = a0 <=> x é raiz de um polinômio de grau n (a1x 
+a2x^2 + anx^n)
e esse polinômio pode ter no máximo n-1 raízes da 
forma q.a0 (uma raiz é 0), temos infinitas formas de escolher x = q.a0 de forma 
a não ser nenhuma das n-1 raízes.
como a0|f(x), a0 != 1, a0 != f(x), f(x) é 
composto
 
suponha, por absurdo, que existe um polinômio f(x) 
tal que para todo x >= N com N inteiro, f(x) é primo
f(x) = f(N + k) = a0 + a1.(N + k) + ... + 
an.(N+k)^n, expandindo as potências obtemos um polinômio q(k) de grau n e coef. 
inteiros.
f(x) = f(N+k) = g(k)
g(k) é primo para todo k >= 0
g(0) = a0 e a0 é primo, logo a0 != 1, pelo 
enunciado acima, temos que g(x) não pode ser primo para todo x >= 0, uma 
contradição.
 
 
o (1) parece exigir alguma sacada esperta, ainda 
não tive uma boa idéia.
 
PS: Se alguém já resolveu o problema eu já aviso de 
antemão que não encontrei a resposta na lista, não estaria mandando 
a uma resposta repetida por preguiça de ler as mensagens 
anteiores!!!

  - Original Message - 
  From: 
  rocha31 
  
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, November 14, 2002 12:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  equação
  
  Estou estudando teoria dos números pelo livro do José Plínio de Olivera 
  Santos e tem uns problemas que não cosegui revolver;
  1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...(p-1))
  2.Seja f(x)= a0 +a1x +a2x^2 + anx^n um polinomio com coeficientes 
  inteiros onde an > 0 e n>=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos 
  valoresda varavél x.
  Obrigado pela ajuda.
  Roberto Gomes
  P.S. sou natural de Fortaleza, mas moro em Recife. Prf. Morgado, eu conheci 
  o senhor numa aula que o senhor deu em Fortaleza, no curso GEO não me lembro o 
  ano ao certo acho que foi em 1992.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Domingos Jr.]

2) 
se a0 != 1
tome x = q.a0 com q inteiro, q != 0
fica simples verificar que a0|f(x) e, como 
f(x) = a0 <=> x é raiz de um polinômio de grau n (a1x 
+a2x^2 + anx^n)
e esse polinômio pode ter no máximo n-1 raízes da 
forma q.a0 (uma raiz é 0), temos infinitas formas de escolher x = q.a0 de forma 
a não ser nenhuma das n-1 raízes.
como a0|f(x), a0 != 1, a0 != f(x), f(x) é 
composto
 
suponha, por absurdo, que existe um polinômio f(x) 
tal que para todo x >= N com N inteiro, f(x) é primo
f(x) = f(N + k) = a0 + a1.(N + k) + ... + 
an.(N+k)^n, expandindo as potências obtemos um polinômio q(k) de grau n e coef. 
inteiros.
f(x) = f(N+k) = g(k)
g(k) é primo para todo k >= 0
g(0) = a0 e a0 é primo, logo a0 != 1, pelo 
enunciado acima, temos que g(x) não pode ser primo para todo x >= 0, uma 
contradição.
 
 
o (1) parece exigir alguma sacada esperta, ainda 
não tive uma boa idéia.
 
PS: Se alguém já resolveu o problema eu já aviso de 
antemão que não encontrei a resposta na lista, não estaria mandando 
a uma resposta repetida por preguiça de ler as mensagens 
anteiores!!!

  - Original Message - 
  From: 
  rocha31 
  
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, November 14, 2002 12:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  equação
  
  Estou estudando teoria dos números pelo livro do José Plínio de Olivera 
  Santos e tem uns problemas que não cosegui revolver;
  1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...(p-1))
  2.Seja f(x)= a0 +a1x +a2x^2 + anx^n um polinomio com coeficientes 
  inteiros onde an > 0 e n>=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos 
  valoresda varavél x.
  Obrigado pela ajuda.
  Roberto Gomes
  P.S. sou natural de Fortaleza, mas moro em Recife. Prf. Morgado, eu conheci 
  o senhor numa aula que o senhor deu em Fortaleza, no curso GEO não me lembro o 
  ano ao certo acho que foi em 1992.