[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos.

Obrigado pela brilhante solução.

Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
> Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
> < 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
> a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
> Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
> seria ilimitada inferiormente.
>
> Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
> 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
> (n/(n+1)) é crescente.
> Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
> 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
> ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
> E o menor valor possível de b-a é 2.
> Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
> daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
> Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>>
>> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
>> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Claudio Buffara]

Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
< 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
seria ilimitada inferiormente.

Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
(n/(n+1)) é crescente.
Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
E o menor valor possível de b-a é 2.
Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.

[]s,
Claudio.




On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
wrote:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Alexandre Antunes]

Vejam se este caminho é uma possibilidade (sujeita a ajustes e correções.
Fiquem à vontade!)
2022/2023 < a/b < 2023/2024 (I)
2022/2023 < (a+b-b)/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-b/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-1 < 2023/2024
2022/2023 +1< (a+b)/b-1 +1 < 2023/2024+1
(2022+2023)/2023 < (a+b)/b < (2023+2024)/2024
4045/2023 < (a+b)/b < 4047/2024
1,999505... aprox 2 < (a+b)/b < 1.999505... approx 2
*2 < (a+b)/b < 2 => (a+b)/b = 2(II)*

De (I), tem-se que  2022/2023 = 0,999505... aprox 1 < a/b < 2023/2024 =
0,999505... aprox 1
*1 < a/b < 1 =>   a/b = 1  (III)*

Sendo a e b inteiros, de (II) e (III), pode-se concluir que a=b=-1 e
somando a+b = -2.

Atenciosamente,

Prof. Dsc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em seg., 26 de fev. de 2024 às 22:11, Pedro Júnior <
pedromatematic...@gmail.com> escreveu:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Quem puder me ajudar, fixo grato.

Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < 2023/2024,
determine o menos calor da soma a + b.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Anderson Torres]

Em qua., 26 de ago. de 2020 às 18:29, Pedro José  escreveu:
>
> Boa noite!
> Anderson,
> achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada.
> Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos 
> a restrição 0 E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá 
> um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante.
> Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo.

Eu não fui muito claro.

Você converteu o problema em "calcule o valor mínimo de cot(x)+cot(y)
com x+y fixo". Isso é essencialmente o mesmo que resolver o problema
"calcule o valor mínimo de tan(a)+tan(b) com a+b fixo" - pois sabendo
resolver um é só usar a mesma solução para x=90-a, y=90-b.

>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
>>  escreveu:
>> >
>> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José  
>> > escreveu:
>> > >
>> > > Boa noite!
>> > > Cláudio,
>> > > não consegui nada geométrico.
>> > > O máximo que atingi foi:
>> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] + 
>> > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
>> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre 
>> > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das 
>> > > bissetrizes e logo I.
>> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
>> >
>> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
>> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
>> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
>> > números.
>> >
>> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
>> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
>> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
>> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
>> > quadrilátero cíclico.
>>
>> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
>> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
>> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.
>>
>> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
>> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
>> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
>> pode ser pensado da seguinte forma:
>>
>> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
>> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
>> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
>> mínima.
>>
>> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
>> bissetriz por A.
>>
>> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
>> A trigonometria se torna apenas um atalho.
>>
>> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.
>>
>>
>>
>> >
>> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
>> > VS geometria paulista:
>> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
>> >
>> >
>> > >
>> > > Saudações,
>> > > PJMS
>> > >
>> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara 
>> > >  escreveu:
>> > >>
>> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? 
>> > >> E que torne o resultado mais intuitivo?
>> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos 
>> > >> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, 
>> > >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
>> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, 
>> > >> que P deva ser equidistante dos três.
>> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior 
>> > >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal 
>> > >> que a/h_a = b/h_b = c/h_c.
>> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente 
>> > >> neste caso.
>> > >>
>> > >>
>> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 A

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Pedro José]

Boa noite!
Anderson,
achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada.
Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo
temos a restrição 0 escreveu:

> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
>  escreveu:
> >
> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José 
> escreveu:
> > >
> > > Boa noite!
> > > Cláudio,
> > > não consegui nada geométrico.
> > > O máximo que atingi foi:
> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que
> ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das
> bissetrizes e logo I.
> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
> >
> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
> > números.
> >
> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
> > quadrilátero cíclico.
>
> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.
>
> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
> pode ser pensado da seguinte forma:
>
> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
> mínima.
>
> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
> bissetriz por A.
>
> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
> A trigonometria se torna apenas um atalho.
>
> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.
>
>
>
> >
> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
> > VS geometria paulista:
> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
> >
> >
> > >
> > > Saudações,
> > > PJMS
> > >
> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> > >>
> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica
> disso? E que torne o resultado mais intuitivo?
> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos
> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a
> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a
> priori, que P deva ser equidistante dos três.
> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior
> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente
> neste caso.
> > >>
> > >>
> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <
> matheusse...@gmail.com> wrote:
> > >>>
> > >>> Olá, Vanderlei.
> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos
> > >>>
> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
> > >>>
> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro.
> > >>>
> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb
> = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo
> > >>>
> > >>> Abraços,
> > >>> Matheus
> > >>>
> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
> > >>>>
> > >>>> Bom dia!
> > >>>>
> > >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive
> êxito. Alguém ajuda?
> > >>>> Muito agradecido!
> > >>>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Anderson Torres]

Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
 escreveu:
>
> Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José  
> escreveu:
> >
> > Boa noite!
> > Cláudio,
> > não consegui nada geométrico.
> > O máximo que atingi foi:
> > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] + 
> > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre 
> > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes 
> > e logo I.
> > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
>
> Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
> Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
> geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
> números.
>
> Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
> geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
> apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
> semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
> quadrilátero cíclico.

Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.

Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
pode ser pensado da seguinte forma:

Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
mínima.

Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
bissetriz por A.

No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
A trigonometria se torna apenas um atalho.

Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.



>
> Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
> VS geometria paulista:
> https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
>
>
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara 
> >  escreveu:
> >>
> >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E 
> >> que torne o resultado mais intuitivo?
> >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, 
> >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a 
> >> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que 
> >> P deva ser equidistante dos três.
> >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado 
> >> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que 
> >> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste 
> >> caso.
> >>
> >>
> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco  
> >> wrote:
> >>>
> >>> Olá, Vanderlei.
> >>> Por Cauchy-Schwarz, temos
> >>>
> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
> >>>
> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a 
> >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o 
> >>> semi-perimetro.
> >>>
> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, 
> >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
> >>>
> >>> Abraços,
> >>> Matheus
> >>>
> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz 
> >>>  escreveu:
> >>>>
> >>>> Bom dia!
> >>>>
> >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. 
> >>>> Alguém ajuda?
> >>>> Muito agradecido!
> >>>>
> >>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as 
> >>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor 
> >>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do 
> >>>> triângulo ABC.
> >>>>
> >>>> --
> >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Anderson Torres]

Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José  escreveu:
>
> Boa noite!
> Cláudio,
> não consegui nada geométrico.
> O máximo que atingi foi:
> a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] + 
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre 
> quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e 
> logo I.
> Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.

Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
números.

Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
quadrilátero cíclico.

Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
VS geometria paulista:
https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf


>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara 
>  escreveu:
>>
>> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que 
>> torne o resultado mais intuitivo?
>> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, 
>> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria 
>> e a expressão se afastaria do valor mínimo.
>> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P 
>> deva ser equidistante dos três.
>> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e 
>> conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = 
>> b/h_b = c/h_c.
>> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste 
>> caso.
>>
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco  
>> wrote:
>>>
>>> Olá, Vanderlei.
>>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>>
>>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>>
>>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a 
>>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro.
>>>
>>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, 
>>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>>
>>> Abraços,
>>> Matheus
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz 
>>>  escreveu:
>>>>
>>>> Bom dia!
>>>>
>>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. 
>>>> Alguém ajuda?
>>>> Muito agradecido!
>>>>
>>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as 
>>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor 
>>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do 
>>>> triângulo ABC.
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Claudio Buffara]

Realmente, não era isso que eu estava procurando...  mas valeu! É outra
solução.


On Tue, Aug 18, 2020 at 7:51 PM Pedro José  wrote:

> Boa noite!
> Cláudio,
> não consegui nada geométrico.
> O máximo que atingi foi:
> a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre
> quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes
> e logo I.
> Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
>> que torne o resultado mais intuitivo?
>> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
>> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
>> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
>> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori,
>> que P deva ser equidistante dos três.
>> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior
>> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
>> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
>> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
>> caso.
>>
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
>> wrote:
>>
>>> Olá, Vanderlei.
>>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>>
>>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>>
>>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
>>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
>>> semi-perimetro.
>>>
>>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb =
>>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>>
>>> Abraços,
>>> Matheus
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
>>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Bom dia!
>>>>
>>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>>>> Alguém ajuda?
>>>> Muito agradecido!
>>>>
>>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>>>> triângulo ABC.
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Pedro José]

Boa noite!
Cláudio,
não consegui nada geométrico.
O máximo que atingi foi:
a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre
quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes
e logo I.
Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.

Saudações,
PJMS

Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
> que torne o resultado mais intuitivo?
> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que
> P deva ser equidistante dos três.
> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado
> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
> caso.
>
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
> wrote:
>
>> Olá, Vanderlei.
>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>
>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>
>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
>> semi-perimetro.
>>
>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>
>> Abraços,
>> Matheus
>>
>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>>> Alguém ajuda?
>>> Muito agradecido!
>>>
>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>>> triângulo ABC.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Claudio Buffara]

Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
que torne o resultado mais intuitivo?
É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que
P deva ser equidistante dos três.
De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado
e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
a/h_a = b/h_b = c/h_c.
O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
caso.


On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
wrote:

> Olá, Vanderlei.
> Por Cauchy-Schwarz, temos
>
> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>
> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
> semi-perimetro.
>
> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>
> Abraços,
> Matheus
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>> Alguém ajuda?
>> Muito agradecido!
>>
>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>> triângulo ABC.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Professor Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado, Matheus!
Pensei nas outras desigualdades, menos em Cauchy-Schwarz.

Muito bom!

Em dom, 16 de ago de 2020 10:11, Matheus Secco 
escreveu:

> Olá, Vanderlei.
> Por Cauchy-Schwarz, temos
>
> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>
> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
> semi-perimetro.
>
> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>
> Abraços,
> Matheus
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>> Alguém ajuda?
>> Muito agradecido!
>>
>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>> triângulo ABC.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Matheus Secco]

Olá, Vanderlei.
Por Cauchy-Schwarz, temos

(a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)

Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
semi-perimetro.

Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
ou seja, quando P é o incentro do triângulo

Abraços,
Matheus

Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
>
> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
> Alguém ajuda?
> Muito agradecido!
>
> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
> triângulo ABC.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Professor Vanderlei Nemitz]

Bom dia!

Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
Alguém ajuda?
Muito agradecido!

Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
triângulo ABC.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade isoperimétrica

[Anderson Torres]

Em qui, 29 de ago de 2019 às 22:26, Eduardo Henrique
 escreveu:
>
> Olá pessoal, tudo bem?
>
> Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista 
> matemática universitária em pdf para me enviar?
>
> O link no site deles está fora...

O Saldanha tem uma cópia na sua page pessoal. Be happy!

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html

>
> Att.
>
> Eduardo
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade isoperimétrica

[Eduardo Henrique]

Olá pessoal, tudo bem?

Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista 
matemática universitária em pdf para me enviar?

O link no site deles está fora...

Att.

Eduardo



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado, Claudio!
Vou analisar com calma suas contas, mas a ideia parece muito elegante!

Em qua, 12 de set de 2018 11:21, Claudio Buffara 
escreveu:

> Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
> engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
> Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
> 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
> Por exemplo, sabemos que:
> 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
> 1/(n-2) + 1/(n-1)
> (pra ver isso, faça o gráfico)
> Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
> 1/n.
> Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
> log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
> log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
> n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
> n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1
>
> Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
> 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
> 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
> E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128
>
> Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
> há nenhum k (inteiro) no intervalo.
> No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
> desejado é 125.
>
> De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
> pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
> Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.
>
> Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz 
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
>> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
>> que 1?
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Claudio Buffara]

Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
Por exemplo, sabemos que:
1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
1/(n-2) + 1/(n-1)
(pra ver isso, faça o gráfico)
Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
1/n.
Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1

Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128

Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
há nenhum k (inteiro) no intervalo.
No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
desejado é 125.

De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.

Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.

[]s,
Claudio.


On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Bom dia!
> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
> que 1?
>
> Muito obrigado!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Bom dia!
É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
que 1?

Muito obrigado!

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[João Lucas Lopes Gambarra]

Certamente uma das melhores soluções que eu já vi para esse tipo de problema

Uma resolução "verdadeiramente olímpica"

Muito bom mesmo, parabéns!

Em 16 de julho de 2018 09:13, matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Muito bom!  E o mínimo (= 9) de fato é atingido quando x = y = z = 3.

(x^3+y^3)/(xy+9) tem grau 3 - 2 = 1, de modo que faz sentido buscar uma
desigualdade da forma  (x^3+y^3)/(xy+9) >= x+y+a  (*)

E a ideia é especialmente boa pois o lado direito da forma x+y+a resulta
(somando as três desigualdades oriundas das 3 parcelas de P) em:
P >= 2(x+y+z) + 3a = 18 + 3a.

Com base na conjectura de que P mínimo = 9 (quando x = y = z = 3), daria
até pra conjecturar que a desigualdade (*) vale com a = -3, mas no fim das
contas, sua análise acabou achando o valor de "a" sem precisar da
conjectura.

Também foi uma boa ideia procurar uma desigualdade envolvendo apenas (x+y),
usando, em especial (no passo 3), a desigualdade das médias potenciais:
((x^3+y^3)/2)^(1/3) >= (x+y)/2.

Gostei! Parabéns!


[]s,
Claudio.


2018-07-16 9:13 GMT-03:00 matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado a todos que resolveram ou ajudaram.

Costumo ver intervenções bem interessantes aqui.

Vou fazer um pedido(se não for inconveniente):

indicações de fontes de problemas(teoria dos números de preferência)

para alguém que gostaria de melhorar suas habilidades, por prazer

pessoal mesmo. Seria muito mais para iniciante do que para um nível

mais avançado. Obrigado.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Eu também

2018-07-16 10:21 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

> Recebi
>
> Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
> kevin_k...@usp.br> escreveu:
>
>> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>>
>> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>>
>> Obrigado
>> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>>
>> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
>> Veja só:
>>
>> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que
>> deve existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>>
>> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
>> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>>
>> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  
>> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
>> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>>
>> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
>> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
>> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>>
>> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
>> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>>
>> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>>
>> Acho que é isso.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>>
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>
>>
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Daniel Quevedo]

Recebi

Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
kevin_k...@usp.br> escreveu:

> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>
> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>
> Obrigado
> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
>
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>
>
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Kevin Felipe Kuhl Oliveira]

Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.

Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.

Obrigado
On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada 
, wrote:
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve 
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  
> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , 
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3 o 
> que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges 
> >  escreveu:
> > > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor 
> > > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
> > > Agradeço desde já.
> > >
> > > --
> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > > acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[matematica10complicada]

Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
 algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
Veja só:

1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.

2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
>=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.

3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
(x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.

4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.

5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3
o que de forma análoga teremos:

P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.

Acho que é isso.

Douglas Oliveira.



Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!
Depois me apercebi que quando encontrei x=y=z, não é garantido que x=y
implica em x=z.
Portanto, falta mostrar para x=y escreveu:

> Boa noite!
>
> Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de
> mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso
> vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me
> uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio
> ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de
> paciência e braço.
>
> *Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.*
>
> em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z)
> = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2
>
> em relação a
> y
> Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) -
> (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2
>
> e em relação a
> z
> Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) -
> (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2
>
>
> *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto
> crítico.*
>
> Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k.
> Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y
> +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar.
>
> R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo)
>
> Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0.
>
> Desenvolvendo a expressão chegamos a:
>
> C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ]
> (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ]
> (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0
>
> onde:
>
> C1(x,y,z) =  -81z(xy+9)^2
>
> C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2
> C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9)
> C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2
> C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2
>
> C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3)
> C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2
> C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2
> C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2
>
> Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo)
> Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto
> crítico, ou seja, (3,3,3)
>
> *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único*
>
> Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais
> raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa.
> Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que
> fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido
> Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento
> específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o
> simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos
> os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a
> expressão total não é uma constante.
> Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não
> atende para:
>
> x
> C3(x,y,z) + C4(x,y,z) > 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) >
> 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema
> x,y,z positivos.
> C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2).
>
> C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um
> termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são
> positivos.
>
> O patinho feio C1(x,y,z) é negativo.
>
> então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que.
>
> -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2
> (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal
> igual as demais parcelas. (x+y
>
> (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2 portanto y3-x^3 < (x+y) (y^2-x2)
>
> Mas pela ordem assumida como premissa x+y<6, pois se x+y>=6 ==> z<=3 e
> fere a ordem da premissa.
>
> então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2)
>
> Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) >
> 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico.
>
> Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 +
> z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2
>
> 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona
> crescente para z>raizquinta(81)~2,41.
>
> Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2
> Como (zx+9)>(xy+9)
> Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende
> 2187 e os demais da esquerda são positivos.
> O ponto crítico é único.
>
> *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.*
>
> Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas
> derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as
> parciais em x,y em x,z e em y,z.
>
> Então pensei:
>
> O ponto crítico é único e a função é contínua.
>
> O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
>
> Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o
> valor mínimo da função.
>
> Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução,
> visto que o domínio dá um triângulo aberto e 

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa noite!

Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de
mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso
vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me
uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio
ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de
paciência e braço.

*Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.*

em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) =
[3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2

em relação a y
Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) -
(y^3+z^3)z]/(yz+9)^2

e em relação a z
Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) -
(y^3+z^3)y]/(yz+9)^2


*Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto
crítico.*

Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k.
Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y
+z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar.

R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo)

Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0.

Desenvolvendo a expressão chegamos a:

C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ]
(x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ]
(x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0

onde:

C1(x,y,z) =  -81z(xy+9)^2

C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2
C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9)
C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2
C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2

C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3)
C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2
C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2
C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2

Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo)
Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto
crítico, ou seja, (3,3,3)

*Passo 3. Provando que o ponto crítico é único*

Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais
raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa.
Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que
fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido
Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento
específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o
simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos
os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a
expressão total não é uma constante.
Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não
atende para:

x 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > 18xyz^2(xy+9)^2.
Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema x,y,z positivos.
C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2).

C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um termo
de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são positivos.

O patinho feio C1(x,y,z) é negativo.

então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que.

-(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2
(y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal
igual as demais parcelas. (x+y

(x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2=6 ==> z<=3 e fere
a ordem da premissa.

então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2)

Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) >
486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico.

Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 +
z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2

3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona
crescente para z>raizquinta(81)~2,41.

Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2
Como (zx+9)>(xy+9)
Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende
2187 e os demais da esquerda são positivos.
O ponto crítico é único.

*Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.*

Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas
derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as
parciais em x,y em x,z e em y,z.

Então pensei:

O ponto crítico é único e a função é contínua.

O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o
valor mínimo da função.

Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução,
visto que o domínio dá um triângulo aberto e o mínimo estaria na borda que
não faz parte do conjunto.

Para ser mínimo local e global, não pode haver um ponto na borda que
apresente um valor menor que 9. Optei por esse caminho. Se o raciocínio
estiver errado, por favor, indiquem, que voltarei para o calvário da
hessiana.

Como a função é simétrica, basta verificar para um segmento da borda.

Escolhi z=0 e x+y = 9 com x,y>=0 e


Nas extremidades (0,9) ou (9,0) dá o mesmo valor 162 > 9.

Agora vamos achar o mínimo da 

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Oi, Marcone:

De onde você tirou este problema?

[]s,
Claudio.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Agora só falta o Marcone dizer de onde saiu este problema...

2018-07-06 21:29 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
> :
> > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Bom, acredito que resolvi.  Com uma ajuda do computador para
> - fazer uns gráficos (1D)
> - calcular derivadas simbólicas
> - calcular uns valores numéricos
>
> Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
> posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
> disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
> Chame essa soma de S.
>
> Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
> a.  Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
> simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
> Calculando, x=y=a/2 dá  g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
> (a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2)  enquanto que as outras (extremas)
> dão a^3/9.  Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.
>
> Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
> y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
> a condição que a+b+c = 18.  Como isso é um monte de mínimos separados,
> esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S.  Só que g é convexa
> até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
> derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
> 1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
> no ponto de simetria), ou
> 2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).
>
> Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
> 9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.
>
> O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo
> global.
>
>
> 
>
> Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S
>
> S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
> S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9
>
> Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado
>
> S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
> y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18
>
> E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.
>
> S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
> s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z
>
> Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
> y=Y, z=Z.  Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
> flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
> "subordenado":
>
> S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
> x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18
>
> Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
> s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
> nossa definição de g.
>
> Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.
>
> O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
> restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
> temos S2 = S.
> 
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
:
> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

Bom, acredito que resolvi.  Com uma ajuda do computador para
- fazer uns gráficos (1D)
- calcular derivadas simbólicas
- calcular uns valores numéricos

Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
Chame essa soma de S.

Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
a.  Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
Calculando, x=y=a/2 dá  g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
(a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2)  enquanto que as outras (extremas)
dão a^3/9.  Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.

Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
a condição que a+b+c = 18.  Como isso é um monte de mínimos separados,
esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S.  Só que g é convexa
até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
no ponto de simetria), ou
2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).

Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.

O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo global.




Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S

S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9

Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado

S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18

E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.

S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z

Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
y=Y, z=Z.  Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
"subordenado":

S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18

Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
nossa definição de g.

Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.

O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
temos S2 = S.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Ainda acho que há alguma transformação algébrica que transforma P em algo
mais fácil de manipular.
Por exemplo, P é uma função simétrica, ou seja, qualquer permutação de x, y
e z deixa P invariável.
Isso significa que a superfície P(x,y,z) = k (k = constante) é simétrica em
relação à reta x = y = z.
Assim, talvez uma mudança de base da base canônica do R^3 para a base
(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1) resulte numa expressão mais útil para P.




2018-07-06 16:10 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas
> garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 +
> y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir
> outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9,
> não tenho ideia de como fazê-lo.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Para mim esse problema foi bom.
>> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
>> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
>> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
>> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
>> Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
>> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
>> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
>> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
>> e x+y=9, tem valor inferior a 9.
>> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
>> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
>> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).
>>
>> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
>> escreveu:
>>
>>> De onde vem este problema?
>>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
>>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por
>>> multiplicadores de Lagrange.
>>>
>>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com>:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!

Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas
garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 +
y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir
outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9,
não tenho ideia de como fazê-lo.

Saudações,
PJMS.

Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Para mim esse problema foi bom.
> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
> Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
> e x+y=9, tem valor inferior a 9.
> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).
>
> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
>> De onde vem este problema?
>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por
>> multiplicadores de Lagrange.
>>
>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com>:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!
Para mim esse problema foi bom.
Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
(3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
e x+y=9, tem valor inferior a 9.
Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).

Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...

Saudações,
PJMS

Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> De onde vem este problema?
> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores
> de Lagrange.
>
> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com>:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

De onde vem este problema?
É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores
de Lagrange.

2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Artur Steiner]

É isso mesmo. Matriz Hessiana positiva definida e gradiente nulo implicam
mínimo local. Mas não necessariamente global.

Artur Costa Steiner

Em Ter, 3 de jul de 2018 14:24, Claudio Buffara 
escreveu:

> Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu
> não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
> Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não
> é garantido.
> Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
> ser positiva definida.
> Seja como for, deve haver uma solução elementar.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
>> garantem o ponto de mínimo local.
>>
>> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Já que ninguém lhe respondeu...
>>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>>> positivas para x=y=z=3.
>>> Mas fica um direcionamento.
>>> Talvez anime alguém a avançar.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa noite!
Mesmo falando bobagem, foi bom. Pois, provocou a manifestação.
Acho triste quando uma questão postada fica no vácuo, como dizem os jovens.

Saudações,
PJMS

Em 3 de julho de 2018 14:08, Claudio Buffara 
escreveu:

> Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu
> não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
> Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não
> é garantido.
> Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
> ser positiva definida.
> Seja como for, deve haver uma solução elementar.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
>> garantem o ponto de mínimo local.
>>
>> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Já que ninguém lhe respondeu...
>>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>>> positivas para x=y=z=3.
>>> Mas fica um direcionamento.
>>> Talvez anime alguém a avançar.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu não
fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não é
garantido.
Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
ser positiva definida.
Seja como for, deve haver uma solução elementar.

[]s,
Claudio.


2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
> garantem o ponto de mínimo local.
>
> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Já que ninguém lhe respondeu...
>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>> positivas para x=y=z=3.
>> Mas fica um direcionamento.
>> Talvez anime alguém a avançar.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!
Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
garantem o ponto de mínimo local.

Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Já que ninguém lhe respondeu...
> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
> positivas para x=y=z=3.
> Mas fica um direcionamento.
> Talvez anime alguém a avançar.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

Já que ninguém lhe respondeu...
Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
positivas para x=y=z=3.
Mas fica um direcionamento.
Talvez anime alguém a avançar.

Saudações,
PJMS


Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor mínimo 
de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

Agradeço desde já.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Douglas Oliveira de Lima]

Valeu Ralph, thanks.

Douglas Oliveira.

Em dom, 29 de abr de 2018 16:49, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
escreveu:

> Que tal assim:
>
> POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
> 3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
> 3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
> POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
> 3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
> de 2.(2^157)=2^158=4^79.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:
>
>> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> <profdouglaso.del...@gmail.com>:
>> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>> >
>>
>> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>>
>> Isso equivale a mostrar que
>>
>> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>>
>> Ou
>>
>> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>>
>> Ou talvez
>>
>> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>>
>> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>>
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
de 2.(2^157)=2^158=4^79.

Abraco, Ralph.

2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:

> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
> <profdouglaso.del...@gmail.com>:
> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
> >
>
> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>
> Isso equivale a mostrar que
>
> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>
> Ou
>
> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>
> Ou talvez
>
> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>
> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>
> > Douglas Oliveira.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Anderson Torres]

2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
> Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>

O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)

Isso equivale a mostrar que

2^158-2^100<3^100<2^200-2^100

Ou

(2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100

Ou talvez

2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100

Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...

> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade com potências

[Douglas Oliveira de Lima]

Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Eu, quase que por acaso, achei uma solução de quem nem todos gostamArtur Costa Steiner Em 19 de abr de 2018 11:15, Pedro José  escreveu:Bom dia!É muito legal o problema.Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os de par serão negativos.Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número positivo.Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.Mas daí a provar.Saudações,PJMSEm 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner  escreveu:É isso mesmo.Artur Costa SteinerEm Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima  escreveu:Nao entendi esse a_k Produto. por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?Douglas Oliveira.Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner  escreveu:Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, ... n, definamos

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0

Artur



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

É muito legal o problema.
Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os
de par serão negativos.
Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0
Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número
positivo.
Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.
Mas daí a provar.

Saudações,
PJMS

Em 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner 
escreveu:

> É isso mesmo.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Nao entendi esse a_k Produto.
>>
>> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][
>> (a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+
>> 1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k
>>> = 1, ... n, definamos
>>>
>>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>>>
>>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>>>
>>> Artur
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Steiner]

É isso mesmo.

Artur Costa Steiner

Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Nao entendi esse a_k Produto.
>
> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 
> 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2]
> +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2],
> é maior que zero , é isso?
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k
>> = 1, ... n, definamos
>>
>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>>
>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>>
>> Artur
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Nao entendi esse a_k Produto.

por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria
1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2]
+1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2],
é maior que zero , é isso?

Douglas Oliveira.

Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k =
> 1, ... n, definamos
>
> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>
> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>
> Artur
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, 
... n, definamos

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0

Artur



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Uma desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

Enviado do meu iPad
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

Enviado do meu iPad

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

A_1=3

Em 28 de mai de 2017 12:44 PM, "Esdras Muniz" 
escreveu:

> Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que
> é verdade se |a1|>e.
>
> Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
> lá:
>
> Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> se, e somente se,
> [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
> sucessivamente escrevi a sequência
> a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
> assim sai fácil, só não consegui escrever
> a prova desse lema.
>
> Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
> logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
> a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ., 
> a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
> e como a_1=3, está provado.
>
> Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.
>
>  Lema:
> Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.
>
>
>
> Douglas Oliveira
>
>
>
>
> Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Solução muito boa.
>>
>> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
>> escreveu:
>>
>>> Tira ln, esse produto vai ser:
>>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>>
>>> Bora escrever M de outro jeito:
>>>
>>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>>
>>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>>
>>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>>
>>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>>
>>> Para achar L considere:
>>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>>
>>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>>> E entao
>>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>>
>>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Sent from my iPad
>>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>> >
>>> > Como posso fazer essa daqui:
>>> >
>>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>>> >
>>> > Grande abraço a todos
>>> >
>>> > DouglasOliveira
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que
é verdade se |a1|>e.

Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
lá:

Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim
[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
se, e somente se,
[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
sucessivamente escrevi a sequência
a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
assim sai fácil, só não consegui escrever
a prova desse lema.

Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), .,
a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
e como a_1=3, está provado.

Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.

 Lema:
Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.



Douglas Oliveira




Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
escreveu:

> Solução muito boa.
>
> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
> escreveu:
>
>> Tira ln, esse produto vai ser:
>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>
>> Bora escrever M de outro jeito:
>>
>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>
>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>
>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>
>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>
>> Para achar L considere:
>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>
>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>> E entao
>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>
>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Sent from my iPad
>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >
>> > Como posso fazer essa daqui:
>> >
>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>> >
>> > Grande abraço a todos
>> >
>> > DouglasOliveira
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
lá:

Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim
[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
se, e somente se,
[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
sucessivamente escrevi a sequência
a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
assim sai fácil, só não consegui escrever
a prova desse lema.

Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), .,
a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
e como a_1=3, está provado.

Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.

 Lema:
Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.



Douglas Oliveira




Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
escreveu:

> Solução muito boa.
>
> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
> escreveu:
>
>> Tira ln, esse produto vai ser:
>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>
>> Bora escrever M de outro jeito:
>>
>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>
>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>
>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>
>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>
>> Para achar L considere:
>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>
>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>> E entao
>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>
>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Sent from my iPad
>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >
>> > Como posso fazer essa daqui:
>> >
>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>> >
>> > Grande abraço a todos
>> >
>> > DouglasOliveira
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Solução muito boa.

Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes"  escreveu:

> Tira ln, esse produto vai ser:
> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>
> Bora escrever M de outro jeito:
>
> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>
> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>
> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>
> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>
> Para achar L considere:
> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>
> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
> E entao
> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>
>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>
>
>
>
>
>
>
>
> Sent from my iPad
> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
> >
> > Como posso fazer essa daqui:
> >
> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> >
> > Grande abraço a todos
> >
> > DouglasOliveira
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Gabriel Tostes]

Tira ln, esse produto vai ser: 
Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M

Bora escrever M de outro jeito:

M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...

M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)

Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n

M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)

Para achar L considere:
1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...

Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
E entao
M< 3ln(2)-1 < ln(3)

 E o produto pedido inicialmente eh menor que 3








Sent from my iPad
> On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Como posso fazer essa daqui:
> 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> 
> Grande abraço a todos
> 
> DouglasOliveira
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Como posso fazer essa daqui:

[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3

Grande abraço a todos

DouglasOliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Não acerto uma,
 e z/(z+x)<1 (não z/(z+x)<0,5)  ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.

Em 8 de maio de 2017 10:16, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
>
> sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma
> é x , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>
> Mas vale ainda:
>
> x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) +
> z/(z+x) < 2.
>
> Saudações.
>
> Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/
>> (x+y+z) + z/(z+y+x)=1.
>>
>> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
>> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
>> S(n) tende para 1.
>>
>> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com
>> > escreveu:
>>
>>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>>>
>>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>>>
>>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>>>
>>> talvez dê para prosseguir
>>>
>>>
>>>
>>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
>>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma
>>> dará 1,5
>>> > <= 2.
>>> >
>>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y <z, o que dará a maior
>>> soma é x
>>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>>> >
>>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>>> >
>>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1
>>> <1
>>> >
>>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
>>> ==>
>>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>>> >
>>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
>>> x/(x+y) +
>>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>>> >
>>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>
>>> escreveu:
>>> >>
>>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>>> >>
>>> >> Sent from my iPad
>>> >>
>>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>>> >> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>> >>
>>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>>> >> basta substituir x+y=a,Â
>>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário"Â
>>> x/(x+y) +
>>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>>> >>
>>> >> Grande abraço
>>> >>
>>> >> Douglas Oliveira.
>>> >>
>>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>>> >> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>> >>>
>>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>>> >>> z/(z+x) > = 2
>>> >>>
>>> >>>
>>> >>> --
>>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma é
x , y = x+1 e z= y+1 = x+2

Mas vale ainda:

x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
< 2.

Saudações.

Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
escreveu:

> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z)
> + z/(z+y+x)=1.
>
> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
> S(n) tende para 1.
>
> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>>
>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>>
>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>>
>> talvez dê para prosseguir
>>
>>
>>
>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará
>> 1,5
>> > <= 2.
>> >
>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y <z, o que dará a maior soma
>> é x
>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>> >
>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>> >
>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1
>> <1
>> >
>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
>> ==>
>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>> >
>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
>> x/(x+y) +
>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>> >
>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>
>> escreveu:
>> >>
>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>> >>
>> >> Sent from my iPad
>> >>
>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>> >> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >>
>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>> >> basta substituir x+y=a,Â
>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y)
>> +
>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>> >>
>> >> Grande abraço
>> >>
>> >> Douglas Oliveira.
>> >>
>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>> >> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>> >>>
>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>> >>> z/(z+x) > = 2
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Esdras Muniz]

Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z) +
z/(z+y+x)=1.

Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
S(n) tende para 1.

Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>
escreveu:

> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>
> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>
> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>
> talvez dê para prosseguir
>
>
>
> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará
> 1,5
> > <= 2.
> >
> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y <z, o que dará a maior soma
> é x
> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
> >
> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
> >
> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1
> >
> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
> ==>
> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
> >
> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
> x/(x+y) +
> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
> >
> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>
> escreveu:
> >>
> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
> >>
> >> Sent from my iPad
> >>
> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
> >> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
> >>
> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
> >> basta substituir x+y=a,Â
> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> >>
> >> Grande abraço
> >>
> >> Douglas Oliveira.
> >>
> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
> >> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
> >>>
> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
> >>> z/(z+x) > = 2
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Anderson Torres]

x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)

1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)

1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1

talvez dê para prosseguir



Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5
> <= 2.
>
> Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y <z, o que dará a maior soma é x
> , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>
> teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>
> é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1
>
> (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==>
> z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>
> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y) +
> y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>
> O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> escreveu:
>>
>> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>>
>> Sent from my iPad
>>
>> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>
>> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>> basta substituir x+y=a,Â
>> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
>> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>>
>> Grande abraço
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
>>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>>> z/(z+x) > = 2
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5
<= 2.

Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y <z, o que dará a maior soma é x
, y = x+1 e z= y+1 = x+2

teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)

é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1

(2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==>
z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2

x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y)
+ y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.

O sinal de desigualdade deve estar invertido.

Saudações,
PJMS

Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> escreveu:

> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>
> Sent from my iPad
>
> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
> basta substituir x+y=a,Â
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>
> Grande abraço
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>> z/(z+x) > = 2
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.

Sent from my iPad

> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima 
> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
> 
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta 
> substituir x+y=a, 
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/ 
> (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> 
> Grande abraço
> 
> Douglas Oliveira.
> 
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges 
> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > 
>> = 2
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta
substituir x+y=a,
x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/
(y+z) + z/(z+x) <= 2.
A não ser que seja outra questão como por exemplo:
(x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.

Grande abraço

Douglas Oliveira.

Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) >
> = 2
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

X+y=a x+z=b y+z=c so fazer essa substituicao

Sent from my iPad

> On Apr 30, 2017, at 10:46 AM, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade trigonométrica

[Israel Meireles Chrisostomo]

quais as soluções da desigualdade cotx>1/2x?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado gente, mas já resolvi o problema em questão!

Em 27 de setembro de 2016 19:09, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Seja cota>=cota', cob>=cotb' e cotc'>=cotc>0 e seja
> cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1 e cota'cotb'+cota'cotc'+cotb'cotc'=1, prove
> que:
> cota+cotc<=cota'+cotc'
> cotb+cotc<=cotb'+cotc'
>
>
>
> Eu consigo provar que pelo menos uma dessas desigualdades é verdadeira,
> mas as duas está complicado, veja, suponha que as duas sejam falsas:
> cota+cotc>cota'+cotc'
> cotb+cotc>cotb'+cotc'
> Multiplicando ambas as desigualdades teremos:
> 1+cot²c>1+cot²c'
> cot²c>cot²c' Absurdo
>
> Alguém por favor poderia me ajudar, dando contra exemplos ou me ajudando
> com a demonstração?
> Caso essa desigualdade não seja verdadeira, é possível escolher cotc' tal
> que cotc'>=máximo(cota+cotc-cota',cotb+cotc-cotb')?
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Seja cota>=cota', cob>=cotb' e cotc'>=cotc>0 e seja
cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1 e cota'cotb'+cota'cotc'+cotb'cotc'=1, prove
que:
cota+cotc<=cota'+cotc'
cotb+cotc<=cotb'+cotc'



Eu consigo provar que pelo menos uma dessas desigualdades é verdadeira, mas
as duas está complicado, veja, suponha que as duas sejam falsas:
cota+cotc>cota'+cotc'
cotb+cotc>cotb'+cotc'
Multiplicando ambas as desigualdades teremos:
1+cot²c>1+cot²c'
cot²c>cot²c' Absurdo

Alguém por favor poderia me ajudar, dando contra exemplos ou me ajudando
com a demonstração?
Caso essa desigualdade não seja verdadeira, é possível escolher cotc' tal
que cotc'>=máximo(cota+cotc-cota',cotb+cotc-cotb')?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estou tentando provar sem usar que a>=b>=c e x>=y>=z que é o valor que
majora o lado esquerdo da desigualdade e não sei se nesse caso eu poderia
usar rearranjo, mas ainda uma prova usando a desigualdade do rearranjo é
muito nebulosa para mim, alguém poderia me ajudar?

Em 13 de setembro de 2016 18:23, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Sejam a,b e c lados de um triângulo e x,y,z reais positivos, então é
> possível provar que vale a desigualdade:
> 2a^2x+2b^2y+2c^2z>=(b^2+c^2)x+(a^2+c^2)y+(a^2+b^2)z
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sejam a,b e c lados de um triângulo e x,y,z reais positivos, então é
possível provar que vale a desigualdade:
2a^2x+2b^2y+2c^2z>=(b^2+c^2)x+(a^2+c^2)y+(a^2+b^2)z

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Demosntração desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Entendi, muito obrigado Esdras!

Em 8 de setembro de 2016 14:20, Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
escreveu:

> Dei uma olhada rapida, acho que as desigualdades 1, 2 e 3 nem sempre
> valem, pois a concavidade da função tangente depende do intervalo em que o
> angulo está. Mas o principal motivo da sua prova estar errada é vc achar
> que o k vai poder "alcançar" o n, isso não pode acontecer pois vc está
> fazendo um limite com o n indo para o infinito enquanto o k é fixo, pode
> ser muito grande, mas é fixo.
>
> Em 7 de setembro de 2016 13:24, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Por favor alguém que entendeu o que fiz pode me ajudar a entender o que
>> eu fiz de errado?
>>
>> Em 7 de setembro de 2016 12:37, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Alguém pode me esclarecer o erro cometido na minha demonstração para
>>> esse problema aqui:
>>>
>>> http://math.stackexchange.com/questions/1917400/inequality-o
>>> n-six-variables
>>>
>>> O cara deu um contra exemplo que a desigualdade é falsa, mas não vejo
>>> nenhum errro na minha demonstração, alguém poderia me dizer qual é o erro?
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Demosntração desigualdade

[Esdras Muniz]

Dei uma olhada rapida, acho que as desigualdades 1, 2 e 3 nem sempre valem,
pois a concavidade da função tangente depende do intervalo em que o angulo
está. Mas o principal motivo da sua prova estar errada é vc achar que o k
vai poder "alcançar" o n, isso não pode acontecer pois vc está fazendo um
limite com o n indo para o infinito enquanto o k é fixo, pode ser muito
grande, mas é fixo.

Em 7 de setembro de 2016 13:24, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Por favor alguém que entendeu o que fiz pode me ajudar a entender o que eu
> fiz de errado?
>
> Em 7 de setembro de 2016 12:37, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Alguém pode me esclarecer o erro cometido na minha demonstração para esse
>> problema aqui:
>>
>> http://math.stackexchange.com/questions/1917400/inequality-o
>> n-six-variables
>>
>> O cara deu um contra exemplo que a desigualdade é falsa, mas não vejo
>> nenhum errro na minha demonstração, alguém poderia me dizer qual é o erro?
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Demosntração desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém pode me esclarecer o erro cometido na minha demonstração para esse
problema aqui:

http://math.stackexchange.com/questions/1917400/inequality-on-six-variables

O cara deu um contra exemplo que a desigualdade é falsa, mas não vejo
nenhum errro na minha demonstração, alguém poderia me dizer qual é o erro?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Demosntração desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Por favor alguém que entendeu o que fiz pode me ajudar a entender o que eu
fiz de errado?

Em 7 de setembro de 2016 12:37, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Alguém pode me esclarecer o erro cometido na minha demonstração para esse
> problema aqui:
>
> http://math.stackexchange.com/questions/1917400/inequality-
> on-six-variables
>
> O cara deu um contra exemplo que a desigualdade é falsa, mas não vejo
> nenhum errro na minha demonstração, alguém poderia me dizer qual é o erro?
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Generalização de desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah desculpa, x,y e z são reais positivos!

Em 29 de agosto de 2016 11:44, Carlos Gomes <cgomes...@gmail.com> escreveu:

> Olá Israel,
>
> Quem são o x, y e z? São reais positivos? Tem algum significado geométrico
> no triângulo?
>
> Em 29 de agosto de 2016 10:51, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam [ABC] a área de um triângulo agudo e a,b,c seus lados, então vale:
>>
>> a²x+b²y+c²z>=4[ABC]sqrt{xy+xz+yz}
>>
>> Como generalizar essa desigualdade para outros tipos de triângulo?
>> Eu consigo prová-la para triângulos agudos, usando a desigualdade de
>> Jensen e a convexidade da tangente no intervalo (0,pi/2).Alguém pode me
>> ajudar?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Generalização de desigualdade

[Carlos Gomes]

Olá Israel,

Quem são o x, y e z? São reais positivos? Tem algum significado geométrico
no triângulo?

Em 29 de agosto de 2016 10:51, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Sejam [ABC] a área de um triângulo agudo e a,b,c seus lados, então vale:
>
> a²x+b²y+c²z>=4[ABC]sqrt{xy+xz+yz}
>
> Como generalizar essa desigualdade para outros tipos de triângulo?
> Eu consigo prová-la para triângulos agudos, usando a desigualdade de
> Jensen e a convexidade da tangente no intervalo (0,pi/2).Alguém pode me
> ajudar?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Generalização de desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sejam [ABC] a área de um triângulo agudo e a,b,c seus lados, então vale:

a²x+b²y+c²z>=4[ABC]sqrt{xy+xz+yz}

Como generalizar essa desigualdade para outros tipos de triângulo?
Eu consigo prová-la para triângulos agudos, usando a desigualdade de Jensen
e a convexidade da tangente no intervalo (0,pi/2).Alguém pode me ajudar?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Muitissimo obrigado Carlos , era isso mesmo, pois nos livros eles realmente
usam para provar a convexidade.
Em 25 de jun de 2016 23:46, "Carlos Gomes" <cgomes...@gmail.com> escreveu:

> Olá Douglas,
>
> Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
> convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
> f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.
>
> No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
> (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E
> [0,1]  se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].
>
> Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E
> [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc
> faz assim:
>
> Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo
> z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que
>
> f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
> f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]
>
> multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
> membro, segue que
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)
>
> onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
> e f '' são >=0.
>
> Assim,
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)
>
> ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].
>
> Abraço, Cgomes.
>
>
>
>
> Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>>
>> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>>
>> Obs: Não usar geometria.
>>
>> Agradeço a ajuda.
>>
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Carlos Gomes]

Olá Douglas,

Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.

No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
(x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]
se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].

Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E [x,y],
mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc faz
assim:

Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo z=ty+(1-t)x,
com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que

f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]

multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
membro, segue que

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)

onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
e f '' são >=0.

Assim,

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)

ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].

Abraço, Cgomes.




Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>
> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>
> Obs: Não usar geometria.
>
> Agradeço a ajuda.
>
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:

Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.

Obs: Não usar geometria.

Agradeço a ajuda.

Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém tem uma segunda solução para a desigualdade que está no link abaixo?

http://math.stackexchange.com/questions/1710644/inequalities-of-the-triangle

Ou pelo menos um solução parecida, só que mais simples?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Caramba Ralph, muito inteligente sua colocação.

Em 14 de março de 2016 17:42, Ralph Teixeira  escreveu:

> O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que
> nao.
>
> Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1;
> ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua.
>
> Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2 (note que o ponto que eu peguei estah no dominio). Como F eh continua,
> entao existe uma vizinhanca do ponto (k,1/k,0,k,0,1/k) onde F nessa vizinhanca devem existir pontos com todas as coordenadas positivas
> que ainda satisfazem as restricoes.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-03-14 14:52 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Olá pessoal,
>> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
>> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
>> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
>> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
>> correta...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Ralph Teixeira]

O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que
nao.

Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1;
ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua.

Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2:

> Olá pessoal,
> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
> correta...
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu disse todos positivos

Em 14 de março de 2016 15:08, Sávio Ribas  escreveu:

> x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso
> Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal,
>> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
>> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
>> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
>> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
>> correta...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Sávio Ribas]

x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso
Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal,
> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
> correta...
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal,
Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
correta...

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Esdras Muniz]

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))

Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)

L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1))
= (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.



Esse último termo é maior que 1.

Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução
> daquelas tipo
> desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado,
> tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o
> problema das apostas).
> Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
> Abraço
> Douglas Oliveira
>
> Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
>> Oi, Douglas, tudo bem?
>>
>> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
>> provada sua desigualdade.
>>
>> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
>> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
>> também será (exercício: prove essa afirmação).
>>
>> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) /
>> (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>>
>> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>>
>> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
>> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>>
>> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
>> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
>> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>>
>> Abraços,
>> Salhab
>>
>> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>
>>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
>>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>>
>>
>


-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Luís]

Sauda,c~oes, oi Douglas, 
Vou dar uma dica: faça a_(n+1) = ? e a_1=……=a_n = ?? Dai use G  <= A ( no caso 
G  < A ) .
Abs, L. 

Date: Thu, 28 Jan 2016 16:15:11 -0200
Subject: RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
From: profdouglaso.del...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:









Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> 
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



  
  

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[victorcarlos]

No livro do Yaglon de olimpíadas russas tem a solução. 
Abs
Carlos Victor

Enviado por Samsung Mobile

 Mensagem original De : Douglas Oliveira de 
Lima <profdouglaso.del...@gmail.com> Data:28/01/2016  00:34  
(GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 
Ajuda numa desigualdade. 
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.

Agradeço desde já.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas
tipo
desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema
das apostas).
Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
Abraço
Douglas Oliveira

Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com
> escreveu:

> Oi, Douglas, tudo bem?
>
> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
> provada sua desigualdade.
>
> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
> também será (exercício: prove essa afirmação).
>
> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
> + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>
> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>
> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>
> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>>
>

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Bruno Lira]

Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> 
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



  

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:

> Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo
>
> domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou
>
> igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto,
>
> para provarmos que:
>
>
> n n+1
>
> ( 1 + *1* ) < ( 1 + * 1 * )
>
> (   n ) ( n+1 )
>
>
> basta provar que:
>
>
>(n)   (  n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* ) ) < ln( ( 1 + *  1 *)  )
>
>( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .
>
>
> De fato, temos que:
>
>
>(n)( n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* )  ) – ln( ( 1 +*   1   *)   ) =
>
>( (  n )  )((  n + 1)   )
>
>
>(n)(n+1)
>
> ln( ( *n** + 1 *)  ) – ln( ( *n** + **2* ) ) =
>
>( (n) )( ( n + 1 ))
>
>
>(   2n  )
>
> ln( (*  n + 1  *) . *n+1* ) ; Das propriedades de logaritmo.
>
>( (n (n+2))   n+2 )
>
>
> Daí:
>
>
>( n   )
>
> ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* )
>
>( (n^2 + 2n   )n+2)
>
>
> Como n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 e n+1 < n + 2 temos que:
>
>
> n
>
> ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1*<1
>
> (n^2 + 2n)   n+2
>
>
> E da injetividade da função f temos:
>
>
>( n   )
>
> ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* )   <ln(1)=0
>
>( (n^2 + 2n   )n+2)
>
>
> Isto é:
>
>
>(n)(n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* )  ) – ln( ( 1 + *1 *)  )<0
>
>( (  n )  )( ( n+1  )  )
>
>
> Logo,
>
>
> n n+1
>
> ( 1 + *1* ) < ( 1 + *1 *)
>
> (   n ) ( n+1 )
>
>
> C.Q.D
>
> P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
> --
> From: esdrasmunizm...@gmail.com
> Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))
>
> Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
>
> L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1))
> = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.
>
>
>
> Esse último termo é maior que 1.
>
> Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução
> daquelas tipo
> desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado,
> tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o
> problema das apostas).
> Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
> Abraço
> Douglas Oliveira
>
> Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
> Oi, Douglas, tudo bem?
>
> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
> provada sua desigualdade.
>
> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
> também será (exercício: prove essa afirmação).
>
> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
> + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>
> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>
> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>
> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>
> Agradeço desde já.
>
>
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>

[obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.

Agradeço desde já.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi, Douglas, tudo bem?

Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
provada sua desigualdade.

Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
também será (exercício: prove essa afirmação).

g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
+ 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)

Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.

Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x,
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.

Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x)
= (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para
todo x (já que 1+1/x > 1).

Abraços,
Salhab

2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>
> Agradeço desde já.
>
>