[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ângulos de um triângulo
Use a lei dos senos e o fato de que sen(54º)-sen(18º)=sen(30º). Em 04/12/2020 1:50, Anderson Torres escreveu: > Em seg., 30 de nov. de 2020 às 19:28, Professor Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Boa noite! >> >> Alguém conhece uma saída para o seguinte problema? >> Muito obrigado! >> >> NUM TRIÂNGULO ISÓSCELES ABC, AB = AC. >> SEJA D UM PONTO INTERNO TAL QUE OS ÂNGULOS DBC, DCB, DBA E DCA MEDEM, >> RESPECTIVAMENTE, 12°, 18°, 54° E 48°. >> DETERMINE A MEDIDA DO ÂNGULO DAC. > > Eu ainda nao resolvi, mas sei que e 30 graus. > >> [1] >> Livre de vírus. www.avast.com [1]. Links: -- [1] https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail
Re: [obm-l] Prova interessante de que lim n ---> oo n^(1/n) = 1
Muito linda Artur.
Carlos Victor
Em 28/10/2020 7:44, Artur Costa Steiner escreveu:
> Achei essa prova bem imaginativa.
>
> Para n>= 2, temos n^(1/n) > 1. n^(1/n) pode ser escrito como
>
> n^(1/n) = ((raiz(n) . raiz(n) . 1 1)^(1/n)
>
> onde o 1 aparece n - 2 vezes. Logo, n^(1/n) é a média geométrica dos números
> {raiz(n), raiz(n), 1, . .1}.
>
> Pela desigualdade MA >= MG temos, para n>= 2, que
>
> 1 < n^(1/n) < (raiz(n) + raiz(n) + 1 +1)/n= (2 raiz(n) + (n - 2))/n
>
> 1 < n^(1/n) < 2/raiz(n) + 1 - 2/n
>
> Como na desigualdade acima o membro da direita tende a 1 quando n vai para
> oo, segue-se por confronto que
>
> lim n ---> oo n^(1/n) = 1
>
> Artur
Re: [obm-l] teste
Há muito tempo que os meus emails enviados também estão assim e não sei o motivo. Carlos Victor PS : este email não sei se chegará aos companheiros da lista Em 08/08/2020 17:39, Luís Lopes escreveu: > Recebo as mensagens normalmente. Mas não tenho confirmação de > chegada ao grupo das que envio. E não aparecem nos arquivos também. > > Mandei uma há umas 5 horas intitulada polinômio minimal. > Chegou? Alguém recebeu ? > > Luís > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas
Para o (1), observar que a_n é periódico e tem período igual a 20, daí Abraços Carlos Victor Em 26/04/2020 19:21, Rogério Possi Júnior escreveu: > Boa noite. > > Quem pode ajudar com esses dois problemas: > > 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de > 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n. > > 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e R(N) > é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N; por > exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais R(N)=4N+3. > > Sds, > > Rogério > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
Inscrevendo o triângulo em um círculo, é possível chegar a esta resposta. Carlos Victor Em 05/04/2020 19:10, Anderson Torres escreveu: > Em dom., 5 de abr. de 2020 às 19:09, Anderson Torres > escreveu: > Em qui., 13 de fev. de 2020 às 18:19, Vanderlei Nemitz > escreveu: > Usei várias leis dos senos, obtive coisas legais, mas não o ângulo pedido. > Alguém conhece algo interessante? > > Muito obrigado! > > Em um triângulo ABC, em AC localiza-se os pontos consecutivos M,Q e N, tal > que AM=NC. Se Q é ponto médio de MN e os ângulos NBC e ABM medem 20º, calcule > a medida do ângulo BQC. > Se fizermos BAC=\alpha, BCA=\gamma, obtemos que BM/sin alpha = AM/sin > 20 = CN/sin 20 = BN/sin gamma > > Também, MNB=20+gamma e NMB = 20+alpha. Dessa forma, usando outra lei dos senos, temos sin alpha / sin (20+gamma) = sin gamma / sin (20+alpha). O que nos dá cos (20+2 alpha) = cos (20 + 2 gamma), o que implica alpha = gamma, ou ABC isósceles, portanto BQC = 90. >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] teoria dos numeros
Basta fazer (2^3-1)^2n+(2^3+1)^2n -2 e usar binômio de Newton.
Em 28/03/2020 13:55, Israel Meireles Chrisostomo escreveu:
> Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples de
> se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários dessa
> publicação? O problema é o seguinte:
> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} -2, para todo n ≥ 1.Se possível não use
> indução, pois eu já estou usando indução.
>
> --
>
> Israel Meireles Chrisostomo
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Estou conjecturando que 1/3^n tem período igual a 3^(n-2) , para n>=3. Carlos Victor Em 20/02/2020 18:01, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > Saudações > Douglas Oliveira > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
O Pacini me pediu que enviasse para a lista a ideia abaixo, pois ele não
está conseguindo concluir o devido envio :
Para n par o link que o Carlos Gustavo colocou mostra a análise.
Acredito ter encontrado uma outra ideia para todas as soluções com
a=2n+1, usando
3^(2n+1) = 2(b^2) + 1
3^(2n+1) = 2(b^2) +3 -2
3(3^(2n)-1) = 2(b^2 - 1)
3(3^n-1)(3^n+1) = 2(b-1)(b+1).
Vou verificar se realmente usando esta ideia chegarei às soluções e
postarei mais adiante.
Pacini
Carlos Victor
Em 16/11/2019 14:47, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
> Curioso, a solução (2,2) sai para q =0 no segundo caso 3q+2.
> Todavia, falta mostrar que para os côngruos de 3 mod81, embora 6q^2+8q+3
> dívida 81, não é uma potência de 3, já vi que ficou capenga.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 16 de nov de 2019 14:54, Pedro José escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> O Esdras conseguiu para a e b par.
>> Creio ter conseguido para a e b ímpares.
>> Já havia encontrado (1,1) é (5,11)além de (2,2) para se b pares.
>> Vamos atrás dos peixes maiores.
>> 3^a=2*(3q+c)^2+1, 0=> c=1 ou c=2.
>> Para c=1.
>> 3^a=18q^2+12q+3
>> 3^(a-1)=6q^2+4q+1
>> Note que a solução (1,1) acontece para q =0.
>> E novamente uma restrição q=2 mod3pois já encontramos a soluçao para q =0.
>> Mas como não havia soluções menores que as citadas com a e b ímpares,
>> 3^a>81.
>> Então 81 |6q^2+4q+1 Para algum resíduo de{5, 8 , 11...77,80}, o que não
>> acontece.
>> Para c =2
>> 3^a =2(3q^2+2)^2+1
>> 3^(a-1)=6q^2+8q+3 E temos nova restrição q=0 mod3.
>> Observe que a solução (5,11) vem de q=3.
>> Usando o mesmo raciocínio anterior,
>> 81 | 6q^2+8q+3 para algum resíduo de {6,9,12..75 78}
>> O que não acontece.
>> Então juntando essa restrição braçal com a refinada do Esdras só existem as
>> soluções que mencionara lá atrás.: (1,1); (2,2) e (5,11).
>> Alguém poderia verificar se está correto?
>> Saudações,
>> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
O Pacini me pediu que enviasse para a lista a ideia abaixo, pois ele não
está conseguindo concluir o devido envio :
Para n par o link que o Carlos Gustavo colocou mostra a análise.
Acredito ter encontrado uma outra ideia para todas as soluções com
a=2n+1, usando
3^(2n+1) = 2(b^2) + 1
3^(2n+1) = 2(b^2) +3 -2
3(3^(2n)-1) = 2(b^2 - 1)
3(3^n-1)(3^n+1) = 2(b-1)(b+1).
Vou verificar se realmente usando esta ideia chegarei às soluções e
postarei mais adiante.
Pacini
Carlos Victor
Em 16/11/2019 14:47, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
> Curioso, a solução (2,2) sai para q =0 no segundo caso 3q+2.
> Todavia, falta mostrar que para os côngruos de 3 mod81, embora 6q^2+8q+3
> dívida 81, não é uma potência de 3, já vi que ficou capenga.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 16 de nov de 2019 14:54, Pedro José escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> O Esdras conseguiu para a e b par.
>> Creio ter conseguido para a e b ímpares.
>> Já havia encontrado (1,1) é (5,11)além de (2,2) para se b pares.
>> Vamos atrás dos peixes maiores.
>> 3^a=2*(3q+c)^2+1, 0=> c=1 ou c=2.
>> Para c=1.
>> 3^a=18q^2+12q+3
>> 3^(a-1)=6q^2+4q+1
>> Note que a solução (1,1) acontece para q =0.
>> E novamente uma restrição q=2 mod3pois já encontramos a soluçao para q =0.
>> Mas como não havia soluções menores que as citadas com a e b ímpares,
>> 3^a>81.
>> Então 81 |6q^2+4q+1 Para algum resíduo de{5, 8 , 11...77,80}, o que não
>> acontece.
>> Para c =2
>> 3^a =2(3q^2+2)^2+1
>> 3^(a-1)=6q^2+8q+3 E temos nova restrição q=0 mod3.
>> Observe que a solução (5,11) vem de q=3.
>> Usando o mesmo raciocínio anterior,
>> 81 | 6q^2+8q+3 para algum resíduo de {6,9,12..75 78}
>> O que não acontece.
>> Então juntando essa restrição braçal com a refinada do Esdras só existem as
>> soluções que mencionara lá atrás.: (1,1); (2,2) e (5,11).
>> Alguém poderia verificar se está correto?
>> Saudações,
>> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
O Pacini me pediu que enviasse para a lista a ideia abaixo, pois ele não está conseguindo concluir o devido envio : Para n par o link que o Carlos Gustavo colocou mostra a análise. Acredito ter encontrado uma outra ideia para todas as soluções com a=2n+1, usando 3^(2n+1) = 2(b^2) + 1 3^(2n+1) = 2(b^2) +3 -2 3(3^(2n)-1) = 2(b^2 - 1) 3(3^n-1)(3^n+1) = 2(b-1)(b+1). Vou verificar se realmente usando esta ideia chegarei às soluções e postarei mais adiante. Pacini Carlos Victor Em 12/11/2019 19:06, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira escreveu: > Há uma menção a esse problema em > https://math.stackexchange.com/questions/2826307/integer-solutions-of-3n-1-2m2 > [1] > Uma sugestão é usar o fato de que Z[i.sqrt(2)] é um domínio de fatoração > única, e escrever 1+2b^2 como (1+b.i.sqrt(2))(1-b.i.sqrt(2)). > Notem que 3 se fatora aí como (1+i.sqrt(2))(1- i.sqrt(2)). > Abraços, > Gugu > > On Tue, Nov 12, 2019 at 7:21 PM Pedro José wrote: > > Boa noite! > Agora captei vosso pensamento. > Só que ao transformar a equação em uma equação de Pell, nós maculamos a > função 3^n. > Em verdade a solução para a par a= 2n, seria (2,2); pois, como mencionara > anteriormente se a é par, b também o é. > Só que quando procuramos as outras soluções, baseando-se na propriedade de > que a norma em Q [RAiz(A)] conserva a multiplicação. Só que quando eu pego a > solução > 3 + 2 Raiz(2) e elevo ao quadrado 17 + 12 Raiz(2). Se eu pegar 17^2-2*12^2=1 > eu atendo x^2 - 2Y^2=1. E assim sucessivamente. Mas não existe n inteiro tal > que 3^n=17, então não é uma solução da equação original. > Creio que seja um pouco mais complicada a solução. Pois o difícil é saber > quando atende também a 3^n. > Acredito que deva haver uma forma de restringir a essas soluções, pois, > definir em que condições a solução terá x como uma potência de 3 seja bem > difícil. > Estou apanhando mais do que mala velha em véspera de viagem. > Se alguém postar uma solução, me ajudaria bastante. > > Saudações, > PJMS > > Saudações, > PJMS. > > Em ter., 12 de nov. de 2019 às 17:25, Pedro José > escreveu: > > Boa tarde! > Douglas, > perdoe-me pela minha miopia, mas você poderia detalhar melhor onde entra a > equação de Pell? > A equação de Pell não é x^2-Dy^2 = N? > Se a é par b é par e se a ímpar b é ímpar para atender mod8, > Não consegui captar a sugestão. > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 12 de nov. de 2019 às 16:50, Prof. Douglas Oliveira > escreveu: > Hum, então, vamos analisar o caso de a ser par do tipo 2n. > > Assim podemos escrever que (3^n+b(sqrt2))(3^n-b(sqrt2))=1 > Dai através da solução mínima que o Pedro fez, como (1,1) por exemplo, da pra > ver que são infinitas soluções usando a equação de Pell. > > Abraco > Douglas Oliveira. > > Em dom, 10 de nov de 2019 19:33, gilberto azevedo > escreveu: > > [HELP] > Achas todos os pares (a,b) inteiros positivos tais que : > 3^a = 2b² + 1. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. Links: -- [1] https://math.stackexchange.com/questions/2826307/integer-solutions-of-3n-1-2m2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?
Oi Vanderlei, vamos lá: Seja ABCD o quadrado de diagonais AC e BD. Sejam os pontos P, E e F como no enunciado. Tracemos a reta que passa por A e E encontrando o prolongamento de DC em R.Seja também Q o ponto de interseção da reta que passa por B e F com o prolongamento de DC.Seja T a interseção da reta que passa por Q e E com o lado AB. Sejam BP=z, quadrado de lado AB=L, TB=k, CQ=x e QR=y. Por semelhança de triângulos verifique que : x/k =L/z e y/L =x/z donde x^2=ky. Agora por semelhança veja que y/AT= x/k ou seja ky=x.AT e como ky=x^2 temos que x=AT ou seja CQ=AT. Como CQ é paralelo a AT e congruentes, temos que o quadrilátero ACQT é um paralelogramo e já que as diagonais do quadrado são perpendiculares temos que QT é perpendicular a BD. Temos então que no triângulo BDQ, BC e QH( H é a interseção de QT com BD); ou seja E é o ortocentro de BDQ; donde PD é perpendicular a BQ. Verifiquem se há algum erro, ok? Abraços Carlos Victor Em 23/11/2018 22:38, Vanderlei Nemitz escreveu: > Estamos aguardando o Carlos Victor... > :) > > Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo > Alguem conseguiu finalizar a demonstração? > > Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz escreveu: > Hummm... > Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o > ortocentro do triângulo BDQ. > O desenho sugere isso. > Mas como mostrar isso? > > Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor escreveu: > > Oi Vanderlei, > > Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " > estratégico". É muito legal que você descubra sozinho > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. > Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será > que é possível? > > Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, > traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos > a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são > perpendiculares. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?
Desculpem, estou em trânsito. Até amanhã eu posto, ok ? Abraços Em 23/11/2018 18:05, Mauricio de Araujo escreveu: > Alguem conseguiu finalizar a demonstração? > > Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz escreveu: > Hummm... > Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o > ortocentro do triângulo BDQ. > O desenho sugere isso. > Mas como mostrar isso? > > Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor escreveu: > > Oi Vanderlei, > > Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " > estratégico". É muito legal que você descubra sozinho > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. > Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será > que é possível? > > Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, > traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos > a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são > perpendiculares. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?
Oi Vanderlei, Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " estratégico". É muito legal que você descubra sozinho Abraços Carlos Victor Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. > Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será > que é possível? > > Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, > traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos > a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são > perpendiculares. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Valor mínimo
Olá Daniel, Esta questão saiu da original que foi de uma Olimpíada de Leningrad em 1988 cujo enunciado era : a,b,c e d reais positivos; prove que 1/a+1/b+4/c+16/d >= 64/(a+b+c+d). Tome (1/a+1/b+4/c+16/d).(a+b+c+d)= 22+(a/b+b/a)+2(2a/c+ c/2a)+4(4a/d+d/4a)+2(2b/c+c/2b)+4(4b/d+d/4b)+8(2c/d+d/2c)>=22+2+2.2+4.2+2.2+4.2+8.2=64 Abraços Carlos Victor Em 08/09/2018 9:31, Daniel Quevedo escreveu: > Se A, B, C e D são reais positivos então o valor mínimo de 1/A + 1/B + 4/C + > 16/D é igual a: > A) 1/(A + B +C+D) > B) 16/(A + B +C+D) > C) 2/(A + B +C+D) > D) 64/(A + B +C+D) > E) 4/(A + B +C+D) > > R: d -- > > Fiscal: Daniel Quevedo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau
Oi daniel, Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e . Abraçõs Carlos Victor Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu: > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: > A) (1,11) > B) (2, 12) > C) (3, 13) > D) (4, 14) > E) ( 5, 15) > > R: c -- > > Fiscal: Daniel Quevedo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Olá pessoal,
Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito.
Carlos Victor
Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a
> solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 +
> x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse
> desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5)
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto,
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
> Saudações, PJMS
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
> escreveu:
>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi
> )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir
> escreveu:
>
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de
> "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então,
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há
> várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista...
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo
> usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
> wrote:
>
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limite
Oi Vanderlei, Use a equivalência de Stirling : n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. Abraços Carlos Victor Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. > > Alguém conhece alguma solução? > > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. > > Muito obrigado! > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Algebra (Polinomios)
Oi Douglas, faça o seguinte: p(x) = (x^2+x+1)^40 = [x(x+1)+1]^40 e tomando y = x(x+1) e desenvolva o binômo de Newton (y+1)^40 = [y+1)^39](y+1). Observe que os três últimos do desenvolvimento dentro dos colchetes serão : 741y^2+39y+1, pois os anteriores serão divisíveis por (x+1)^3. Basta então encontrar o resto de (741y^2+39y+1)(y+1) por (x+1)^3. Seja g(y) = (741y^2+39y+1)(y+1) com y = x(x+1). Como estamos dividindo por x^3+3x^2+3x+1, basta substituirmos x^3 por -3x^2-3x-1 no desenvolvimento de g(y). Fazendo algumas continhas (confira), encontramos o resto igual a 820x^2+1600x+781. Abraços Carlos Victor Em 10/07/2017 20:37, Douglas Oliveira de Lima escreveu: > Encontrar o resto da divisão do polinomio (x^2+x+1)^40 por (x+1)^3. > > Obs: Sem usar derivadas. > > Douglas Oliveira. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Oi Wanderlei, seja o resto dado por R(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Onde tiver x^2 em R(x) substitua por (-x-1) e force ser igual a -x+1; encontrando : c-b=-1 e a+d-b=1. Depois onde tiver x^2 substitua por(x-1) e force ser igual a 3x+5; encontrando b+c=3 e d-b-a=5. conclusão : a=-2, b=2 , c=1 e d=5. Abraços Carlos Victor Em 27/05/2017 11:17, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > > Alguém poderia dar uma ideia na seguinte questão? Já tentes algumas > estratégias, mas sem êxito. > > UM POLINÔMIO P(X) DIVIDIDO POR X^2 + X + 1 DÁ RESTO -X + 1 E DIVIDIDO POR X^2 > -X + 1 DÁ RESTO 3X + 5. QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE P(X) POR X^4 + X^2 + 1? > > A resposta que tenho é -2X^3 + 2X^2 + X + 5. > > Obrigado! > > Vanderlei > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questão Geometria
Olá Vinicius, Seja R a intersecção de AO com BC. Seja T a intersecção da bissetriz de Será que alguém poria me ajudar na seguinte questão? > > * > > (Belarus) Seja O o centro do círculo ex-inscrito do triângulo ABC oposto ao > vértice A. Seja M o ponto médio de AC e seja P a intersec ̧ão das retas MO e > BC. Prove que se ∠BAC = 2∠ACB, então AB = BP. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: Geometria
Oi Jeferson, Tome E sobre BD tal que o ângulo EAB seja 30º. Observe que o ângulo ADB é igual a 100º e que o ângulo DAE é igual a 20º. Daí o ângulo AED é igual a 60º. Como E está na bissetriz de ACB, então o ângulo AEC é igual a 120º. Observe agora que D é o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo AEC e consequentemente o ângulo BDC é igual a 110º. Abraços Carlos Victor Em 10/09/2016 17:34, Jeferson Almir escreveu: > Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão > > A figura em anexo mostra um triângulo _ABC_. _D_ é um ponto interior onde a > medida dos ângulos _CAD_, _ABD_, _CBD_, e _BAD_ são 20º, 30º, 40º e 50º , > respectivamente. Encontre a medida do ângulo _BDC_. > > Em 28 de agosto de 2016 18:31, Jeferson Almir > escreveu: > >> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão >> >> A figura em anexo mostra um triângulo _ABC_. _D_ é um ponto interior onde a >> medida dos ângulos _CAD_, _ABD_, _CBD_, e _BAD_ são 20º, 30º, 40º e 50º , >> respectivamente. Encontre a medida do ângulo _BDC_. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre a Obm U
Oi Otávio, Você já viu a Revista Matemática Universitária da SBM ? Em 25/07/2016 10:09, Otávio Araújo escreveu: > Pois é, se algum professor com experiência em olimpíadas, como o Nicolau por > exemplo, respondesse minha pergunta seria de grande ajuda > > Em 24 de jul de 2016, às 23:25, Israel Meireles Chrisostomo > escreveu: > > Boa pergunta, eu tambÃ(c)m tenho interesse em participar da OBM U e gostaria > de umas dicas > > Em 16 de julho de 2016 13:29, Otávio Araújo > escreveu: > Galera, gostaria que vocês me dessem dicas de o que estudar, como estudar > e por quais livros e materiais estudar para a prova da Obm nÃÂvel > universitário... > Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde > estudar... > Por favor me ajudem > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >  acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1] > = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. Links: -- [1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] [OFF] Aneis Adélicos (Adèles)
OI Listeiro. Dê uma olhada neste material:http://www.pg.im.ufrj.br/teses/Matematica/Mestrado/319.pdf [1] Abraços Carlos Victor Em 23/05/2016 12:04, Listeiro 037 escreveu: > Saudações a todos. > > Esbarrei com um conceito algébrico chamado Adele. Não encontrei > material claro sobre este conceito. Alguém conhece algum? Desde já > agradeço. Links: -- [1] http://www.pg.im.ufrj.br/teses/Matematica/Mestrado/319.pdf -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Combinatoria
Olá, A figura(cartela) é um retângulo dividido em seis quadrados, tendo dois quadrados por coluna. Pacini Em 01/02/2016 3:06, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: Em 31 de janeiro de 2016 22:43, Pacini Bores escreveu: > Olá pessoal, > > Creio que a figura não apareceu. É um retângulo dividido em seis quadrados, > tendo dois quadrados por coluna. > > Obrigado > > Pacini > > Em 31/01/2016 14:30, Pacini Bores escreveu: > >> Olá pessoal , poderia me ajudar na questão abaixo ? >> >> Cada cartela de uma coleção é formado por seis quadrados colorodos, >> justapostos como indica a figura abaixo: >> >> Em cada cartela, dois quadrados foram coloridos de azul, dois de verde e >> dois de rosa. A coleção apresenta as possibilidades de distribuição dessas >> cores nas cartelas nas condições citadas e não existem cartelas com a mesma >> distribuição de cores. Retirando-se ao acaso uma cartela, determine a >> probabilidade de que somente uma coluna apresente os quadrados de mesma cor. >> >> Agradeço desde já qualquer comentário >> >> Pacini
[obm-l] Re: [obm-l] Máximo absoluto de f(x) =( 5x -1) / (x^2 + 1)
Oi Pedro, observe inicialmente que o campo de definição é o conjunto dos reais. Chame y = (5x-1)/(x^2+1) e monte uma equação do segundo grau em x. Faça o delta maior do que ou igual a zero. Abraços Carlos Victor Em 13/12/2015 22:07, Pedro Chaves escreveu: > Caros Colegas, > > Como provar, sem recorrer a limites nem a derivadas, que existe o máximo > absoluto da função f(x) = (5x - 1) / (x^2 + 1), definida para todo x real? > > Abraços do Pedro Chaves > --- > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de números compostos
Oi Marcone, Para n maior do que ou igual a 1, temos: i)11+3n = 8+3(n+1) ii)11+3n+1 = 9+3(n+1) iii) 11+3n+2 = 10+3(n+1) Faltando : 12 =8+4 e 13 = 9+4. Abraços Carlos Victor Em 11/12/2015 23:36, marcone augusto araújo borges escreveu: > Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de números > compostos positivos > > para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)] > mas... > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Primo?
Não. Observe um dos emails do Pacini. (2^83-1)(2^83+1)=2^166-1; por Fermat...; daí ele tentou verificar se 167 é fator do número pedido. Abraços Carlos victor Em 24/11/2015 20:13, Mauricio de Araujo escreveu: > Só para ser chato, o primo 167 caiu do céu? rsss (sem ofensas) > > No enunciado original não é mencionado o primo 167... > > Em 24 de novembro de 2015 16:48, Matheus Secco > escreveu: > > Acredito que você possa usar resíduos quadráticos: > > (2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8 > > (2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p) > > Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1. > Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167). > > Abraços > > 2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores : > > Olá Marcone, > > Observe que 2^166-1 é divisível por 167; logo um dos fatores de > (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar que > é 2^83-1, que ainda não consegui. > > Pacini > > Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu: > Mostre que 2^83 - 1 não é primo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conicas
Usando a ideia do Pacini, observe que dy/dx =0 para x=1 e y=0; dy/dx não existe para x =-1/2 e que o eixo de simetria passa pelo ponto(-1/2,0) ; ou seja o eixo de simetria é dado por y= -x-1/2. Fazendo a intersecção dessa reta com a curva dada, encontramos x=-1/8 e y= -3/8, que são as coordenadas do vértice. Abraços Carlos Victor Em 29/10/2015 23:01, Douglas Oliveira de Lima escreveu: > Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda no seguinte problema: > > PROBLEMA: Encontrar a abscissa da parábola de equação > x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0. > > OBS: Essa questão caiu na prova do ITA acho que de 2012, e vi uma solução que > envolvia limites do qual não compreendi muito bem. > Sei portanto como usar a rotação de eixos e também através de diagonalização. > Mas gostaria de saber se existe outro modo de chegar a tal abscissa. > > Desde já obrigado. > Forte abraço do Douglas Oliveira. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Limites
Oi Israel,
lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling) e use o
fato de que lim (n^(1/n))=1.
Abraços
Carlos Victor
Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.
--
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[obm-l] Re: [obm-l] indução
Observar que o enunciado é 3^(1/3), ok ? Em 28 de junho de 2015 12:03, Carlos Victor escreveu: > Oi Marcone, irei resumir . > > Inicialmente a prova de que n^3<3^n ou igual. Por indução: > > 3^(n+1) = 3.3^n > ou igual que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 + > (n^2-3).n > n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3. > > Suponha agora que m > PS: > Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry > Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State > University, and 118 others. > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 28 de junho de 2015 11:31, escreveu: > >> Qual a necessidade de escrever "n^1" ao invés de "n"? É algo da questão >> mesmo? >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >> Prove por indução que n^1/n < = 3^1/3, para n > = 2. Mostre que um dos >> números >> n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e naturais >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] indução
Oi Marcone, irei resumir . Inicialmente a prova de que n^3<3^n ou igual. Por indução: 3^(n+1) = 3.3^n > ou igual que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 + (n^2-3).n > n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3. Suponha agora que m escreveu: > Qual a necessidade de escrever "n^1" ao invés de "n"? É algo da questão > mesmo? > > Enviado do meu iPhone > > Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Prove por indução que n^1/n < = 3^1/3, para n > = 2. Mostre que um dos > números > n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e naturais > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Área da Cicloide
Oi Eduardo, existe um texto no endereço a seguir. Verifique se é o que você deseja. http://www.apm.pt/apm/foco98/activ9.html Abraços Carlos Victor Em 24 de maio de 2015 18:46, Eduardo Henrique escreveu: > Eu lendo um livro de história da matemática vi que Torricelli e Wren > conseguiram demonstrar que a área sob um arco de cicloide é 3x a área do > circulo que a gera utilizando o método da exaustão! Alguém saberia me > indicar onde conseguir essas demonstrações ou até mesmo me dar uma luz em > como faze-la? > > Att > > Eduardo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Tabuleiro 3x3 com 4 cores
Acredito que ideia do Bob Roy é o mais rápida para obter a solução. Carlos Victor Em 30 de março de 2015 10:39, Pacini Bores escreveu: > Sim Pedro, esta é uma solução; ou seja, há possibilidade de se usar até > quatro cores. > > Pacini > > Em 30 de março de 2015 10:23, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> >> Uma dúvida há necessidade de se usar as quatro cores ou há a >> possibilidade de se usar até quatro cores? >> >> Por exemplo, >> >> 0 1 0 >> 1 0 1 >> 0 1 0 >> >> onde 0 e 1 representam duas cores distintas, seria uma solução? >> >> Saudações, >> >> PJMS >> >> >> >> >> >> Em 29 de março de 2015 11:26, Bob Roy escreveu: >> >>> Olá, O melhor para este problema é utlizar o que o grande mestre >>> Morgado falava : devemos inicialmente eliminar as dificuldades. >>> >>> Considerando uma matriz 3x3 , temos que os quadradinhos a12, a21, a23 e >>> a32 não poderão ter todas as cores diferentes. >>> >>> Comece fazendo a análise com duas cores iguais, três cores iguais e >>> depois quatro cores iguais para essas posições. >>> >>> A análise ficará menos trabalhosa . >>> >>> Farei as contas e depois eu posto o resultado. >>> >>> Roy >>> >>> >>> Em 28 de março de 2015 10:22, Carlos Victor >>> escreveu: >>> >>>> Comece pelo centro e pelas laterais, isto deve diminuir as >>>> dificuldades. Abrirão vários casos para serem analisados. >>>> >>>> E se não me engano, esta questão tem como origem não considerando os >>>> quadrados pelos vértices com as mesmas cores. Neste caso a análise fica >>>> mais silmplificada. >>>> >>>> Abraços >>>> >>>> Carlos Victor >>>> >>>> Em 28 de março de 2015 09:38, Pacini Bores >>>> escreveu: >>>> >>>>> Olá pessoal, como pensar nesta ? >>>>> >>>>> De quantas maneiras podemos pintar um tabuleiro 3x3 com 4 cores de tal >>>>> forma que não tenhamos cores adjacentes ? >>>>> >>>>> Nota : em diagonal não é considerado adjacente. >>>>> >>>>> Agradeço desde já >>>>> >>>>> Pacini. >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re:
Olá Gabriel, esta é do livro do Gandhi : (x^2+2)^2 = 4(x-2)^2 e daí . Abraços Carlos Victor Em 30 de março de 2015 07:16, Carlos Victor escreveu: > Tente completar quadrados. > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 29 de março de 2015 21:27, Gabriel Tostes > escreveu: > >> AlguÃĐm me ajuda a responder? >> determine as raÃzes reais da equaçÃĢo: >> X^4 + 16x - 12 = 0 >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re:
Tente completar quadrados. Abraços Carlos Victor Em 29 de março de 2015 21:27, Gabriel Tostes escreveu: > AlguÃĐm me ajuda a responder? > determine as raÃzes reais da equaçÃĢo: > X^4 + 16x - 12 = 0 > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Tabuleiro 3x3 com 4 cores
Comece pelo centro e pelas laterais, isto deve diminuir as dificuldades. Abrirão vários casos para serem analisados. E se não me engano, esta questão tem como origem não considerando os quadrados pelos vértices com as mesmas cores. Neste caso a análise fica mais silmplificada. Abraços Carlos Victor Em 28 de março de 2015 09:38, Pacini Bores escreveu: > Olá pessoal, como pensar nesta ? > > De quantas maneiras podemos pintar um tabuleiro 3x3 com 4 cores de tal > forma que não tenhamos cores adjacentes ? > > Nota : em diagonal não é considerado adjacente. > > Agradeço desde já > > Pacini. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema IMO
Oi Israel, no link http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1985_IMO_Problems/Problem_4, vc encontra a solução, ok ? Abraços Carlos Victor Em 10 de março de 2015 21:46, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Alguém poderia me ajudar nessa questão envolvendo o princípio da casa dos > pombos? > "Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos > quais tem divisores maiores do que 23, mostre que há 4 elementos em M cujo > produto é uma quarta potência." > Pensei em usar que de 2 a 23 tem 9 números primos, mas não sei bem como > aplicar o princípio, se alguém pudesse me ajudar serei grato. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM NÍVEL 3 TERCEIRA FASE PRIMEIRO DIA
Oi grande Douglas !! Como sempre postando bons problemas para a nossa comunidade. Vamos lá : Sejam M,N,R e Q os incentros dos triângulos ABP, BPC, CPD e APD respectivamente. Sejam S, T, U e V os incentros dos triângulos ABC,BCD, ACD e ABD respectivamente. 1º) mostre que MNRQ é um losango. Mostre também que os raios dos círculos inscritos em ABC e ADC são iguais; da mesma forma dos triângulos ABD e BCD. 2º) depois mostre que AM/MS = AQ/QU e que SN/NC = RU/RT . 3º) como consequência SU é paralelo a BD e que VT é paralelo a AC. 4º) mostre que mostre que MS/AM = UR/RC. 5º) mostre que o ângulo MSN = ângulo QUR ; da mesma forma ângulo NTR = ângulo MVQ. 6º) conclua então que ASCU é um paralelogramo. 7º) conclua daí que pelo fato de PN = PQ e MP = PR , teremos S pertencente a BD e V pertencente a AC. 8º) Como BP é bissetriz e intersecta AC no ponto médio, temos que AB=AC e BP é perpendicular a BC. 9º) da mesma forma ACD é isósceles. 10º) ídem para BCD e ABD . Conclusão : ABCD é um losango.. UFA . Abraços Carlos Victor Em 30 de outubro de 2014 12:22, Esdras Muniz escreveu: > Opa, eu tinha entendido círculos circunscritos... Foi mal. > > Em 30 de outubro de 2014 11:02, Esdras Muniz > escreveu: > >> >> >> Em 29 de outubro de 2014 22:50, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >> >>> *PROBLEMA 1 * >>> >>> Seja *ABCD *um quadrilátero convexo e seja *P *a interseção das >>> diagonais *AC *e *BD*. Os raios dos círculos inscritos nos triângulos >>> *ABP*, *BCP*, *CDP *e *DAP *são iguais. Prove que *ABCD *é um losango. >>> >>> >>> Como poderíamos fazer esse problema? >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> -- >> Esdras Muniz Mota >> Graduando em Matemática Bacharelado >> Universidade Federal do Ceará >> >> >> > > > -- > Esdras Muniz Mota > Graduando em Matemática Bacharelado > Universidade Federal do Ceará > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Oi Mariana, Seja x o ângulo DCA . Aplicando a lei dos senos nos triângulos ACD e BCD , vc encontrará a seguinte relação : senx = 2sen(x+20).cos80. Transformando em soma teremos : senx = sen(x+100) + sen(x-60). Jogando para a esquerda o sen(x-60), teremos senx - sen(x-60) = sen(x+100); ou seja : 2sen(30)cos(x-30) = sen(x+100) ; ou seja ; sen(120-x) = sen(x+100) ; ou seja : x = 10º. Confira as contas, ok ? Abraços Carlos Victor PS : este problema se torna mais interessante, colocando o seguinte enunciado : No triângulo ABC, AB = AC . Um ponto D está sobre o lado AB e AD = BC, tal que CD passe pelo circuncentro de ABC. Calcule os ângulos do triângulo. Em 3 de novembro de 2014 20:21, Mariana Groff < bigolingroff.mari...@gmail.com> escreveu: > Boa Noite, > Alguém poderia me ajudar no problema a seguir? > > No triângulo ABC, AB = AC e BÂC = 20º. Um ponto D está sobre o lado AB e > AD = BC. Calcule o ângulo > Obrigada, > Mariana > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria.
Oi Pedro, esse é um problema bem difícil e a solução, o Gandhi ( Antonio Luis) me mostrou um tempo atrás ( 1997 se não me engano...). Vou tentar escrevê-lo. Faça uma figura e acompanhe, ok ? Vamos lá : Vamos escolher dois pontos M e N sobre BC, tais que N seja o simétrico de E( ângulo em E igual a 18) em relação à bissetriz CF e M o simétrico de F em relação à bissetriz BE. Trace NI, NF e trace ME. Seja Q o encontro de ME com FC. Conclua que os ângulos MQF, MQN e NQC são iguais a 60º. Como FN é bissetriz do ângulo MFQ e NQ é bissetriz externa do ângulo MQF, temos que MN é bissetriz externa do ângulo QMF e daí encontre o ângulo interno em B igual a 72º. Como o ângulo em A é 96º , temos que o ângulo interno em C é igual 12º. Donde B- C = 60º, UFA !!!. Caso não entenda alguma parte , escreva, ok ? Abraços Carlos Victor Em 3 de novembro de 2014 13:37, Pedro José escreveu: > Seja ABC um triângulo e E e F os pés das bissetrizes internas dos ângulos > B e C respectivamente. Sabendo-se que os ângulos E e F do triângulo EIF, > onde I é o incentro de ABC, medem 18 e 24 graus, calcule B-C. > > Alguém tem alguma ideia? > > Grato, > PJMS > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria
Oi Douglas, Pense assim : 1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo OHA, encontramos cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde S é o ponto médio de CB. 2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por : Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e utilizando (1), conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ? Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as contas) Abraços Carlos Victor Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Bom dia a todos, não vi solução para essa questão, > > Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são > as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja paralelo > a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão aritmética. > > > Agradeço a ajuda!! > > Douglas Oliveira. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros
Oi Marcone, essa é do Mathematical Morsels. Já que 3abc é positivo, devemos ter a^3 maior que b^3 e c^3. Logo b escreveu: > Determine todos os naturais a,b e c tais que a^3 - b^3 - c^3 = 3abc e a^2 > = 2(b+c) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de geometria!
OI Douglas , Pensando neste problema, se usar a lei dos cossenos nos triângulos FCE, AFD e DBE e usando o fato de que cos(90+B)= -senB ( não é muito trabalhoso); deixando na forma de quadrados não é difícil de concluir que 4 FE^2= ED^2 e que 4DF^2 = 3ED^2 ; ou seja o triângulo EFD é retângulo e que que os ângulos pedidos são 90º e 30º , ok ? Pelo visto vc está querendo uma solução com algum traçado mágico, não é verdade? Estarei pensando, ok Douglas! Estou desconfiado que deve ter alguma coisa com o Teorema de Napoleão ... Vamos tentar, pois deve ser assaz interessante tal traçado. Abraços Carlos Victor Em 13 de junho de 2014 16:09, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá caros amigos, me encontro mais uma vez com um pequeno problema de > geometria no qual estou com uma solução muito absurda(muito trabalho > braçal), gostaria de uma ajuda com outras soluções, desde já agradeço a > colaboração dos senhores. > > PROBLEMA: > Considere um triângulo ABC, são construídos externamente os triângulos ADB > e BCE de forma que ADB=BEC=90 GRAUS E DAB=EBC=30 graus. No segmento AC > marca-se o ponto F tal que AF=3FC. Calcular os ângulos DFE e FDE. > > Douglas Oliveira de Lima > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana
Oi Hermann, certamente a sua solução é bonita e mais simples. Abraços Carlos Victor Em 25 de maio de 2014 16:02, Hermann escreveu: > A solução do Carlos é excelente. > > A minha solução é só com arco capaz > > Como o ângulo BEC e BFC =90 temos a circunferência BEFC e nela observamos > pelo arco FC que os ângulos B e E são iguais. > > Agora (como já visto pelo Carlos) na circunferência BAC o ângulo A = 90 - B > > > E o segmento OA é perpendicular ao segmento EF. > > Abraços > Hermann > > > > - Original Message - From: Martins Rama > To: OBM-L > Sent: Sunday, May 25, 2014 11:03 AM > Subject: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana > > > > Caros amigos, alguém me auxilia nessa demonstração de Geom Plana? É do > livro da SBM do Antonio Caminha Muniz Neto. > Abraço a todos. > Martins Rama. > > Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se E e F são os pés > das alturas relativas aos vértices B e C, respectivamente, prove que o > segmento OA é perpendicular ao segmento EF. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana
Oi Martins, esqueci de dizer que o ponto R é a interseccão de OA e EF, ok ? Abraços Carlos Victor Em 25 de maio de 2014 13:31, Carlos Victor escreveu: > Oi Martins, Observe o seguinte : > > Os segmentos AE e AF são respectivamente : c.cosA e bcosA. > Observe agora que os triângulos ABC e AEF são semelhantes, por possuirem > os lados AC e AB com razões iguais aos lados AE e AF e, claro um ângulo > em comum. > > Donde o ângulo FEA = ângulo em B. > > Como o ângulo OAC = 90 - B, teremos o > ângulo ERA = 90 graus, ok ? > > Abraços > > Victor > > > Em 25 de maio de 2014 11:03, Martins Rama escreveu: > > Caros amigos, alguém me auxilia nessa demonstração de Geom Plana? É do >> livro da SBM do Antonio Caminha Muniz Neto. >> Abraço a todos. >> Martins Rama. >> >> Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se E e F são os pés >> das alturas relativas aos vértices B e C, respectivamente, prove que o >> segmento OA é perpendicular ao segmento EF. >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana
Oi Martins, Observe o seguinte : Os segmentos AE e AF são respectivamente : c.cosA e bcosA. Observe agora que os triângulos ABC e AEF são semelhantes, por possuirem os lados AC e AB com razões iguais aos lados AE e AF e, claro um ângulo em comum. Donde o ângulo FEA = ângulo em B. Como o ângulo OAC = 90 - B, teremos o ângulo ERA = 90 graus, ok ? Abraços Victor Em 25 de maio de 2014 11:03, Martins Rama escreveu: > Caros amigos, alguém me auxilia nessa demonstração de Geom Plana? É do > livro da SBM do Antonio Caminha Muniz Neto. > Abraço a todos. > Martins Rama. > > Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se E e F são os pés > das alturas relativas aos vértices B e C, respectivamente, prove que o > segmento OA é perpendicular ao segmento EF. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: Mais uma que quero compartilhar!!
Esse é um dos problemas mais lindo que o meu grande companheiro Gandhi me apresentou. Abraços Douglas. Carlos Victor Em 15 de maio de 2014 23:16, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Eu nao sei se deu pra compreender direito a expressão , mas acho que > escrevi certinho, o resultado da 3. > > > > Em 15 de maio de 2014 17:45, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Essa vai em homenagem a meu grande amigo Gandhi(Antonio Luiz Santos) que >> me ensinou como fazer, quero dizer também que essa lista da obm(do qual >> usamos para discutir questões de olimpíadas e outras questões >> interessantes) esta sendo pra mim muito gratificante neste momento, porque >> nos que gostamos de matemática, gostamos de resolver questões ate em papel >> de guardanapo no restaurante,pois desde que me mudei para Brasilia não >> encontrei professores aqui como os que tive a oportunidade de conhecer no >> Rio de Janeiro como Gandhi, Carlos Victor, Eduardo Mauro, Eduardo Wagner, >> Haroldo, Poncio, Ivan, Bandeira, e claro não poderia esquecer do grande >> Alvaro, e que me ajudaram a crescer dentro desta área. Existem outros que >> conheci, mas hoje o mérito vai pra eles,professores humildes, que nunca me >> negaram sequer uma questão, ajudando o amigo a crescer para que um dia >> possamos derrubar essa grande massa de professores ruins(que não gostam de >> estudar) do mercado,e quem sabe assim incentivando a futura geração a >> curtir matemática. >> >> Encontrar o valor de (1+2(1+3(1+4(1+...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2) >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Retângulo de incentros num quadrilatero inscritível
No email anterior, onde estiver "a" , lê-se I(a)...; ok ? Abraços Carlos Victor Em 5 de abril de 2014 14:27, Carlos Victor escreveu: > Olá Martins, > > Vamos mostrar inicialmente que o ângulo (abc) é reto, então para os outros > a demonstração é idêntica. > > 1) Como ABCD é inscritível, então os ângulos ADB e ACB são iguais. Da > mesma forma que os ângulos ABD e DCA são iguais, ok ? > > 2) Vamos denominar o seguinte : > > DCA = ABD = 2x ; CAD= DBC=2z ; ADB = ACB = 2y ; BDC= 2t . > > 3) Observe que o ângulo DbC = 90+z = DaC ; donde se conclui que o > quadrilátero abDC é inscritível, ok ? > Logo os ângulos Cba e CDa são iguais, ou seja, Cba= t. > > 4) Pelo mesmo motivo, os ângulos Dcb = DAb= z e ADc = Abc = y. > > 5) Agora, olhando para o vértice "b" e tomando a soma dos ângulos em > torno dele igual a 360 graus e fazendo x+y+z +t =90 graus, encontraremos > o ângulo b = 90 graus , do quadrilátero abcd. > > Para os outros vértices , utilizamos a mesma ideia. > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 4 de abril de 2014 15:59, escreveu: > > Olá amigos da lista. Não estou conseguindo resolver esta de Geometria >> Plana: >> >> Seja ABCD um quadrilátero inscritível e sejam I(a), I(b), I(c) e I(d), >> respectivamente, os incentros dos triângulos BCD, CDA, DAB e ABC. Prove que >> o quadrilátero I(a)I(b)I(c)I(d) é um retângulo. >> >> Alguém pode ajudar? >> >> Martins Rama. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Retângulo de incentros num quadrilatero inscritível
Olá Martins, Vamos mostrar inicialmente que o ângulo (abc) é reto, então para os outros a demonstração é idêntica. 1) Como ABCD é inscritível, então os ângulos ADB e ACB são iguais. Da mesma forma que os ângulos ABD e DCA são iguais, ok ? 2) Vamos denominar o seguinte : DCA = ABD = 2x ; CAD= DBC=2z ; ADB = ACB = 2y ; BDC= 2t . 3) Observe que o ângulo DbC = 90+z = DaC ; donde se conclui que o quadrilátero abDC é inscritível, ok ? Logo os ângulos Cba e CDa são iguais, ou seja, Cba= t. 4) Pelo mesmo motivo, os ângulos Dcb = DAb= z e ADc = Abc = y. 5) Agora, olhando para o vértice "b" e tomando a soma dos ângulos em torno dele igual a 360 graus e fazendo x+y+z +t =90 graus, encontraremos o ângulo b = 90 graus , do quadrilátero abcd. Para os outros vértices , utilizamos a mesma ideia. Abraços Carlos Victor Em 4 de abril de 2014 15:59, escreveu: > Olá amigos da lista. Não estou conseguindo resolver esta de Geometria > Plana: > > Seja ABCD um quadrilátero inscritível e sejam I(a), I(b), I(c) e I(d), > respectivamente, os incentros dos triângulos BCD, CDA, DAB e ABC. Prove que > o quadrilátero I(a)I(b)I(c)I(d) é um retângulo. > > Alguém pode ajudar? > > Martins Rama. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Pacini, vc tem que retirar os casos de que x+y+z =0 , ok ? Carlos Victor Em 24 de fevereiro de 2014 16:44, Pacini Bores escreveu: > Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro > problema ? > > Sabemos que x^2+y^2+z^2 *>* xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não > seja nulo, teremos : > > (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) *>* 1/2 , para xy+xz+yz > 0 e > > (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) *>* -1/2 , para xy+xz+yz < 0 . > > Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . > > Pacini > > > > > > Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen < > peterdirich...@gmail.com> escreveu: > > Quanto ao último, >> >> 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo >> Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + >> z^2)/2(xy+yz+xz) >> >> Acho que dá para aplicar rearranjo, não? >> >> Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por >> simetria, x>=y>=z. >> >> Temos x^2+y^2+z^2 >= x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: >> >> (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 >=0 >> >> E também, >> >> x^2+yz+zy >= xy+yz+zy >> >> Demonstre da mesma forma! >> >> Agora, temos que ver os sinais... >> >> Em 21/02/14, Tarsis Esau escreveu: >> > Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). >> > >> > Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a >> > >> > m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 >> > >> > Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + >> 33²)] >> > = -3n² -6.33n - 3.33², >> > >> > Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² >=0 >> > >> > Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar >> voltada >> > para baixo, assumindo assim um máximo >> > >> > O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. >> > Substituindo-se em 2), m = -33. >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> > bernardo...@gmail.com>: >> > >> >> 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau : >> >> > Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) >> >> > >> >> > m³ + n³ + 99mn = 33³ >> >> > >> >> > (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ >> >> > (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] >> >> > [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] >> >> > >> >> > Assim, temos >> >> > >> >> > 1) m + n - 33 = 0 >> >> > >> >> > e >> >> >> >> Deveria ser "ou", mas você agiu como se fosse "ou". Mas isso é menos >> >> importante que o meu próximo comentário. >> >> >> >> > 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn >> >> > >> >> > De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, >> >> > 0). >> >> > Todos os inteiros estão neste intervalo. >> >> > >> >> > Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve >> ser >> >> > menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. >> >> > >> >> > Desse modo, não há necessidade de resolver 2). >> >> >> >> Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e >> >> n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os >> >> pares (a,b) com 0<=a<=33, 0 <=b<=33 como solução, aí tava certo. Mas >> >> veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada "m" existem >> >> três soluções "n" possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, >> >> não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar >> >> isso. Além disso, o enunciado diz que m.n >= 0, ou seja, pode ser que >> >> m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado >> >> errado, e era para ser m E n >= 0). >> >> -- >> >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> = >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> >> = >> >> >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> >> >> -- >> /**/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Olá luís, O enunciado é este com o seguinte detalhe : H é o ortocentro de ABC, daí AH não é a altura, ok ? Abraços Victor Em 17 de fevereiro de 2014 23:29, luiz silva escreveu: > É porque eu não vi o enunciado. Seria assim : Em qualquer triângulo ABC, a > soma do quadrado do lado BC e do quadrado da altura AH, relativa a BC, é > igual ao quadrado do diâmetro do círculo circunscrito? > > Abs > Felipe > > > Em Segunda-feira, 17 de Fevereiro de 2014 19:02, Carlos Victor < > victorcar...@globo.com> escreveu: > Sim Luís, > Você pode encontrar essa relação em vários livros de geometria que fale > sobre a reta de Euler, que passa pelo circuncentro, ortocentro e > baricentro, ok ? > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 17 de fevereiro de 2014 18:33, luiz silva > escreveu: > > Essa relação é valida em um triangulo qualquer ? > > Abs > Felipe > > > > Em Segunda-feira, 17 de Fevereiro de 2014 15:49, Carlos Victor < > victorcar...@globo.com> escreveu: > Oi Luís, > Apesar do enunciado não falar, H é o ortocentro do triângulo, ok ? > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 16 de fevereiro de 2014 22:33, luiz silva > escreveu: > > AH é a altura relativa à BC? > > > Em Sábado, 15 de Fevereiro de 2014 17:30, Carlos Victor < > victorcar...@globo.com> escreveu: > Oi Luís, > digitei errado. > > Onde está AM lê-se AH, ok ? > > Desculpe o engano... > > Carlos Victor > > > Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor > escreveu: > > Oi Luís, > > Seja M o ponto médio de BC e "O" o circuncentro do triângulo ABC. Prove > inicialmente que AM= 2.OM <http://2.om/> e aplique Pitágoras no triângulo > OMC, por exemplo. > Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? > > Para provar que AM = 2.OM <http://2.om/> , pense no alinhamento que > existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... . > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís escreveu: > > Sauda,c~oes, > > Como provar a relação abaixo? > > R^2=(BC^2+AH^2)/4 > > Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: > > B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) > > Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e > em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. > > As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as > coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de > cálculo simbólico ? > > Obrigado. > > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Sim Luís, Você pode encontrar essa relação em vários livros de geometria que fale sobre a reta de Euler, que passa pelo circuncentro, ortocentro e baricentro, ok ? Abraços Carlos Victor Em 17 de fevereiro de 2014 18:33, luiz silva escreveu: > Essa relação é valida em um triangulo qualquer ? > > Abs > Felipe > > > > Em Segunda-feira, 17 de Fevereiro de 2014 15:49, Carlos Victor < > victorcar...@globo.com> escreveu: > Oi Luís, > Apesar do enunciado não falar, H é o ortocentro do triângulo, ok ? > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 16 de fevereiro de 2014 22:33, luiz silva > escreveu: > > AH é a altura relativa à BC? > > > Em Sábado, 15 de Fevereiro de 2014 17:30, Carlos Victor < > victorcar...@globo.com> escreveu: > Oi Luís, > digitei errado. > > Onde está AM lê-se AH, ok ? > > Desculpe o engano... > > Carlos Victor > > > Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor > escreveu: > > Oi Luís, > > Seja M o ponto médio de BC e "O" o circuncentro do triângulo ABC. Prove > inicialmente que AM= 2.OM <http://2.om/> e aplique Pitágoras no triângulo > OMC, por exemplo. > Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? > > Para provar que AM = 2.OM <http://2.om/> , pense no alinhamento que > existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... . > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís escreveu: > > Sauda,c~oes, > > Como provar a relação abaixo? > > R^2=(BC^2+AH^2)/4 > > Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: > > B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) > > Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e > em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. > > As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as > coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de > cálculo simbólico ? > > Obrigado. > > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Oi Luís, Apesar do enunciado não falar, H é o ortocentro do triângulo, ok ? Abraços Carlos Victor Em 16 de fevereiro de 2014 22:33, luiz silva escreveu: > AH é a altura relativa à BC? > > > Em Sábado, 15 de Fevereiro de 2014 17:30, Carlos Victor < > victorcar...@globo.com> escreveu: > Oi Luís, > digitei errado. > > Onde está AM lê-se AH, ok ? > > Desculpe o engano... > > Carlos Victor > > > Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor > escreveu: > > Oi Luís, > > Seja M o ponto médio de BC e "O" o circuncentro do triângulo ABC. Prove > inicialmente que AM= 2.OM <http://2.om/> e aplique Pitágoras no triângulo > OMC, por exemplo. > Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? > > Para provar que AM = 2.OM <http://2.om/> , pense no alinhamento que > existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... . > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís escreveu: > > Sauda,c~oes, > > Como provar a relação abaixo? > > R^2=(BC^2+AH^2)/4 > > Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: > > B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) > > Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e > em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. > > As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as > coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de > cálculo simbólico ? > > Obrigado. > > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Oi Luís, digitei errado. Onde está AM lê-se AH, ok ? Desculpe o engano... Carlos Victor Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor escreveu: > Oi Luís, > > Seja M o ponto médio de BC e "O" o circuncentro do triângulo ABC. Prove > inicialmente que AM= 2.OM e aplique Pitágoras no triângulo OMC, por > exemplo. > Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? > > Para provar que AM = 2.OM , pense no alinhamento que existe entre o > circuncentro, ortocentro e baricentro... . > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís escreveu: > > Sauda,c~oes, >> >> Como provar a relação abaixo? >> >> R^2=(BC^2+AH^2)/4 >> >> Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: >> >> B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) >> >> Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e >> em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. >> >> As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as >> coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de >> cálculo simbólico ? >> >> Obrigado. >> >> Luís >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Oi Luís, Seja M o ponto médio de BC e "O" o circuncentro do triângulo ABC. Prove inicialmente que AM= 2.OM e aplique Pitágoras no triângulo OMC, por exemplo. Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? Para provar que AM = 2.OM , pense no alinhamento que existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... . Abraços Carlos Victor Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís escreveu: > Sauda,c~oes, > > Como provar a relação abaixo? > > R^2=(BC^2+AH^2)/4 > > Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: > > B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) > > Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e > em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. > > As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as > coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de > cálculo simbólico ? > > Obrigado. > > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Apostila de Desenho 2 Impacto OFF TOPIC
Obrigado João, Envie-me a sua conta bancária para depósito, ok ? Também posso lhe enviar o custo pelo correio. Agradeço e fico a disposição para o que precisares. Abraços Carlos Victor Em 1 de dezembro de 2013 17:54, escreveu: > Senhores: > > Ontem (sábado), por volta das 15h em Campo Grande, foi enviada cópia da > Apostila 2 de Desenho do IMPACTO, uma ao senhor Carlos Victor (Nilópolis - > RJ), e outra a Graciliano Antônio Damazo (Penápolis - SP). > > ATT. > João (Campo Grande - MS) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como que faz??
Olá Eduardo , Observe que na circunferência C´ , o arco CE é dado por : 2x+2y ; pois AC é tangente em à C´ já que o ângulo externo em C no triângulo ACE é dado por : x+ y . O ângulo CGE é inscrito na circunferência C , ok ? . Note que o ângulo ADE = x+y , está inscrito na circunferência C´´ . Abs Carlos Victor Em 26 de setembro de 2013 01:05, Eduardo Wilner escreveu: > Oi Carlos. > > No item 2) vc. diz que poderia explicar? > > Obrigado > > [ ]'s > > > ------ > *De:* Carlos Victor > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Enviadas:* Terça-feira, 24 de Setembro de 2013 19:30 > *Assunto:* Re: [obm-l] Como que faz?? > > Olá Douglas, > Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que > vc postou aqui . > > Vamos lá e acompanhe fazendo a figura , ok ? > vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC. > Seja o ângulo ADC = x e o ângulo CDE = y . > > 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = > x e EAC = y . > > 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace EG e > observe que o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x . > > 3) Não é difícil de mostrar que EB é bissetriz de AEG . Seja então os > ângulos AEB= DEB = z . > > 4) Trace agora a perpendicular de B ao segmento ED e seja H o pé desta > perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF = > x .Trace FH e observe que EG é perpendicular a FH . Seja J a intersecção > de FH com EG . > > 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando > que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de > SIMSON , que os pés das perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e > EC estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado > EG e R o pé da perpendicular traçada de B ao lado CE . > > 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q > > > > > > > > > > Em 23 de agosto de 2013 16:03, escreveu: > > ** > Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram > alguns problemas do site https://brilliant.org/ > E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se > alguém puder me ajudar agradeço. > > PROBLEMA 1: Dada uma função f:R->R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) > é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de > f(x). > > PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C' e um ponto externo A , traça-se > por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C , > marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o > ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que > intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C'' > circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C' > no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF. > > > Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta , > preciso na verdade de uma resolução. > > Att, Douglas Oliveira. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como que faz??
Olá , sem querer dei um enter e a mensagem foi enviada incompleta , também digitei um ângulo errado no ítem (3) : acompanhe agora : completando o ítem (6) e consertando que no ítem (3) AEB= DEG = z , pois eu digitei DEB. teremos que o ângulo BHI = z ; ânguloFIG = 90-x-z e ângulo EIH = 90-x-z . 7) concluímos então que IJ é bissetriz e altura no triângulo FIH ; ou seja FJ =JH , daí o triângulo FEH é isósceles . Temos então que ângulo FEJ = x ; ou seja ângulo FED = 2x ... Ufa !!! Abraços Carlos Victor Em 24 de setembro de 2013 19:30, Carlos Victor escreveu: > Olá Douglas, > Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que > vc postou aqui . > > Vamos lá e acompanhe fazendo a figura , ok ? > vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC. > Seja o ângulo ADC = x e o ângulo CDE = y . > > 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = > x e EAC = y . > > 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace EG e > observe que o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x . > > 3) Não é difícil de mostrar que EB é bissetriz de AEG . Seja então os > ângulos AEB= DEB = z . > > 4) Trace agora a perpendicular de B ao segmento ED e seja H o pé desta > perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF = > x .Trace FH e observe que EG é perpendicular a FH . Seja J a intersecção > de FH com EG . > > 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando > que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de > SIMSON , que os pés das perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e > EC estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado > EG e R o pé da perpendicular traçada de B ao lado CE . > > 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q > > > > > > > > > > Em 23 de agosto de 2013 16:03, escreveu: > > ** >> >> Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram >> alguns problemas do site https://brilliant.org/ >> >> E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se >> alguém puder me ajudar agradeço. >> >> >> >> PROBLEMA 1: Dada uma função f:R->R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) >> é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de >> f(x). >> >> >> >> PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C' e um ponto externo A , traça-se >> por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C , >> marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o >> ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que >> intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C'' >> circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C' >> no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF. >> >> >> >> >> >> Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta >> , preciso na verdade de uma resolução. >> >> >> >> Att, Douglas Oliveira. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como que faz??
Olá Douglas, Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que vc postou aqui . Vamos lá e acompanhe fazendo a figura , ok ? vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC. Seja o ângulo ADC = x e o ângulo CDE = y . 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = x e EAC = y . 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace EG e observe que o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x . 3) Não é difícil de mostrar que EB é bissetriz de AEG . Seja então os ângulos AEB= DEB = z . 4) Trace agora a perpendicular de B ao segmento ED e seja H o pé desta perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF = x .Trace FH e observe que EG é perpendicular a FH . Seja J a intersecção de FH com EG . 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de SIMSON , que os pés das perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e EC estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado EG e R o pé da perpendicular traçada de B ao lado CE . 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q Em 23 de agosto de 2013 16:03, escreveu: > ** > > Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram > alguns problemas do site https://brilliant.org/ > > E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se > alguém puder me ajudar agradeço. > > > > PROBLEMA 1: Dada uma função f:R->R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) > é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de > f(x). > > > > PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C' e um ponto externo A , traça-se > por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C , > marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o > ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que > intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C'' > circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C' > no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF. > > > > > > Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta , > preciso na verdade de uma resolução. > > > > Att, Douglas Oliveira. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)
Olá Marcone, Na hipótese de que quatro vezes maior significa o quádruplo , teremos : Seja N = y..y6, o número procurado, em que y representa algarismos não necessariamente iguais . Podemos escrever N = 10X + 6 . Logo 4N = 6.(10^n) + X = 6.( 10^n) + ( N -6)/10 ; ou seja , N = 2( 10^(n+1) -1)/13. Como 10^3 = -1(mod13) , então o menor N = 2(10^6-1)/13 = 153846 . Abraços Carlos Victor Em 14 de setembro de 2013 19:15, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades: > I. Em sua representação tem o 6 como último dígito > II.Se o último dígito(6) é apagado e colocado na frente dos dígitos > restantes,o número resultante > é quatro vezes maior que o número original n > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Olá João , Esta questão é de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou) é traçar os simétricos de D e E em relação à BD e CE , respectivamente, sobre BC . Faça uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro e, aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale apena pensar nessa solução ... Abraços Carlos Victor Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab escreveu: > Ora João! > > Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria... > Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso... > Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para > quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria... > Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se: > a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2 > b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138 > c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96 > > Tente completar a solução... > > Grande abraço, > Nehab > > > On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote: > > Fala professor! > > Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D > Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, > sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco) > O problema era o seguinte: > Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos > vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os > ângulos do triângulo. > > De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96 > graus > > []'s > João > > -- > Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300 > From: carlos.ne...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: Re: [obm-l] trigonometria > > Caramba, João, > Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: > > a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro > problema. > > b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois > 4sen18.cos36 =1. > Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é > clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de > 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o > lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o > lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é > manjada razão áurea. > Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas > deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. > Logo, 4sen18.cos36 = 1... > > c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... > > Então, fica assim: > > tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 > tgx. cos36 = B/C onde > B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e > C = 2cos66 > Desenvolvendo B, vem: > B = sen30 + sen102 - *1* = > B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) > B = 2sen36cos66 > Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. > Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + > k180) > > Abraços > Nehab > > On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: > > tgx = tg66 - 2sen18/cos66 > Como achar x? > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Desculpem , digitei errado na linha (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny que na verdade é (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cosy +2sen18.sen36.seny . Abraços Carlos Victor Em 4 de agosto de 2013 14:09, Carlos Victor escreveu: > Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever : > > acertando a expressão dada chegamos a > > sen(66-x) = 2sen18.cosx > > tomando 36-x =y ,teremos > > sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny] > > sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny > > sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny > > usando que o Nehab lembrou , teremos > > (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny > > seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny . > > Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ; > > logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí > > x= k180 +36 . > > Agradecendo ao Nehab , > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Essa foi muito legal. >> >> -- >> From: ilhadepaqu...@bol.com.br >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: Re: [obm-l] trigonometria >> Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300 >> >> >> correção >> 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma >> comemoração >> Abraço a todos >> Hermann >> >> - Original Message - >> *From:* Carlos Victor >> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br >> *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM >> *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria >> >> Olá grande Mestre Nehab, >> Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a >> igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : >> >> sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= >> >> sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) >> >> Abraços >> >> Carlos Victor >> >> >> Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab escreveu: >> >> Caramba, João, >> Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: >> >> a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro >> problema. >> >> b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois >> 4sen18.cos36 =1. >> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é >> clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de >> 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o >> lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o >> lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é >> manjada razão áurea. >> Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas >> deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. >> Logo, 4sen18.cos36 = 1... >> >> c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... >> >> Então, fica assim: >> >> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 >> tgx. cos36 = B/C onde >> B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e >> C = 2cos66 >> Desenvolvendo B, vem: >> B = sen30 + sen102 - *1* = >> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) >> B = 2sen36cos66 >> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. >> Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + >> k180) >> >> Abraços >> Nehab >> >> >> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: >> >> tgx = tg66 - 2sen18/cos66 >> Como achar x? >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever : acertando a expressão dada chegamos a sen(66-x) = 2sen18.cosx tomando 36-x =y ,teremos sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny] sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny usando que o Nehab lembrou , teremos (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny . Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ; logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí x= k180 +36 . Agradecendo ao Nehab , Abraços Carlos Victor Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Essa foi muito legal. > > -- > From: ilhadepaqu...@bol.com.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: Re: [obm-l] trigonometria > Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300 > > > correção > 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma > comemoração > Abraço a todos > Hermann > > - Original Message - > *From:* Carlos Victor > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM > *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria > > Olá grande Mestre Nehab, > Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a > igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : > > sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= > > sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) > > Abraços > > Carlos Victor > > > Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab escreveu: > > Caramba, João, > Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: > > a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro > problema. > > b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois > 4sen18.cos36 =1. > Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é > clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de > 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o > lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o > lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é > manjada razão áurea. > Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas > deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. > Logo, 4sen18.cos36 = 1... > > c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... > > Então, fica assim: > > tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 > tgx. cos36 = B/C onde > B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e > C = 2cos66 > Desenvolvendo B, vem: > B = sen30 + sen102 - *1* = > B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) > B = 2sen36cos66 > Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. > Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + > k180) > > Abraços > Nehab > > > On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: > > tgx = tg66 - 2sen18/cos66 > Como achar x? > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab escreveu: > Caramba, João, > Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: > > a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro > problema. > > b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois > 4sen18.cos36 =1. > Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é > clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de > 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o > lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o > lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é > manjada razão áurea. > Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas > deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. > Logo, 4sen18.cos36 = 1... > > c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... > > Então, fica assim: > > tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 > tgx. cos36 = B/C onde > B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e > C = 2cos66 > Desenvolvendo B, vem: > B = sen30 + sen102 - *1* = > B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) > B = 2sen36cos66 > Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. > Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + > k180) > > Abraços > Nehab > > > On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: > > tgx = tg66 - 2sen18/cos66 > Como achar x? > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Olá , É interessante também observar que nesses tipos de problemas , já que y=0 e y =1 não são soluções, podemos escrever : x = y^2/(y-1) = y+1 +1/(y-1) ; ou seja (y-1) deve ser -1 ou +1 . Daí y = 2 e x = 4 . Abraços Carlos Victor Em 18 de junho de 2013 19:43, Marcelo Salhab Brogliato escreveu: > É verdade! Nesse caso, chega-se a mesma conclusão, mas em outros problemas > esse erro pode "esconder" alguma possível solução. > > Obrigado! :) > > Abraços, > Salhab > > > 2013/6/18 Paulo Argolo > >> Caro Salhab, >> >> Na verdade: k|y e y|k => |k| = |y| >> De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. >> >> Um abraço do Paulo Argolo! >> ___ >> >> >> >> Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y >> From: msbro...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Olá, Ennius, tudo bem? >> >> Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: >> ky/y = ky - y >> >> k = ky - y >> k + y = ky >> >> Então: k|y e y|k => y = k. >> >> y + y = y*y => y(y-2) = 0 => y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a >> equação original é x/y = x - y. >> Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. >> >> Abraços, >> Salhab >> >> >> 2013/6/18 ennius >> Colegas da Lista, >> >> Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, >> além de x = 4 e y = 2? >> -- >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Duas perguntas(teoria dos números)
Olá , Observando que m+48 = 2^k e m-48 = 2^(n-k) , teremos 3 = 2^(k-5) - 2^(n-k-5) ; ou seja k - 5 =2 e n-k-5 = 0 . Então n =12 . Está Ok isso ? Carlos Victor Em 27 de maio de 2013 14:16, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2 > distintas pode ser uma potencia de base 2. > > Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa > mostrar isso. > > 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único valor > de n. > > Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48) > m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2 > As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32 > Dai o único valor de n seria 12 > Um esclarecimento seria muito bem vindo > > Desde já agradeço > > >
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Olá Raphael, Pense no seguinte : 1) Trace OC 2) Trace BD 3) Conclua que BD é o dobro de OC. 4) Denomine EF = x 5) Faça a semelhança de OCF com BFD e determine x , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de abril de 2013 18:19, Raphael Feijao escreveu: > O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um > ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a > AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. > Se AB=a e OD=b. Calcule EF. >
[obm-l] Re: [obm-l] Potência "encardida"
Olá Vanderlei , O que vc pode perceber que na sequência 2^2, 2^22,2^42,..., todos terminam em 04 . 2^222 está nesta sequência , ok ? Abraços Carlos Victor Em 2 de abril de 2013 13:01, Vanderlei * escreveu: > *Bom dia, pessoal! Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, a qual eu > só consegui com binômio de Newton e alguma força bruta.* > ** > *Quais são os dois últimos algarismos do resultado de 2^222?* > ** > *A resposta é 04.* > ** > *Obrigado!* > ** > *Vanderlei* > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdades
Ok, Meu Grande Mestre Nehab, Um Saudoso Abraço Carlos Victor Em 20 de março de 2013 23:21, Nehab escreveu: > Oi, querido amigo, > > Apenas uma observação: > Ficou provado que 96 majora a soma, mas ainda temos que explicitar x, y e > z com xyz = 32 que faz a soma ser IGUAL a 96. > Em sua prova a igualdade a 96 valeria se houvesse x, y e z com 4xy = z^2 > (e naturalmente xyz = 32). > De fato isto ocorre qdo z = 4 e dai, x =4 e y = 2. > > Um grande abraço, > Saudades > Nehab > > > On 20/03/2013 08:51, Carlos Victor wrote: > > Olá , > acredito que dê só por médias : > 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 >= 3.raiz cúbica de ( > 32(xyz)^2) =3.32 = 96. > > Carlos Victor > > > Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine : >> > Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que >> há vários detalhes), aí vão soluções: >> > >> > 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + >> 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A >> igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = >> 2^(5/6) e z = 2^(7/3). >> >> Oi Shine, >> >> eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só >> desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da >> esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro >> leitor. >> >> Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange >> (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, >> eu teria feito assim: >> >> Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = >> constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que >> vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo >> obteve...). >> >> xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e >> portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. >> >> Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 >> termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * >> (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para >> >> 4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. >> >> Verificando: x^2 = 4^2 = 16 >> 4xy = 4*2*4 = 32 >> 4*y^2 = 4*2^2 = 16 >> 2z^2 = 2*4^2 = 32 >> Somando = 96. >> >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > >
Re: [obm-l] Desigualdades
Olá , acredito que dê só por médias : 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 >= 3.raiz cúbica de ( 32(xyz)^2) =3.32 = 96. Carlos Victor Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine : > > Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que > há vários detalhes), aí vão soluções: > > > > 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) > + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade > ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = > 2^(7/3). > > Oi Shine, > > eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só > desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da > esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro > leitor. > > Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange > (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, > eu teria feito assim: > > Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = > constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que > vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo > obteve...). > > xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e > portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. > > Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 > termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * > (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para > > 4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. > > Verificando: x^2 = 4^2 = 16 > 4xy = 4*2*4 = 32 > 4*y^2 = 4*2^2 = 16 > 2z^2 = 2*4^2 = 32 > Somando = 96. > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - Triângulo
Olá Arkon , Uma solução é : Seja O o ortocentro de ABC . Observe que o triângulo AOC é semelhante ao triângulo OEH , pois o quadrilátero ACHE é inscritível . Seja x = EH , então 7/x = AO/EO e como OE = OA.cosB . Usando a lei dos cosenos encontre cosB = 1/5 e daí x =7/5 , ok ? .Acredito que pensar no círculo dos nove pontos pode também resolver . Confira as contas . Abraços Carlos Victor Em 28 de agosto de 2012 19:31, arkon escreveu: > Pessoal, qual o bizu? >  > Em um triângulo ABC, traçam-se as alturas AH e CE. Se AB=5m, BC=6m e > AC=7m, calcule EH. >  > (A) 7/5 m (B) 9/5 m (C) 10/7 m (D) 10/3 m (E) 2 > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] Divisibilidade
Olá Thiago , Pense assim : 43x+75y = 38x +76y + 5x -y Basta então mostrar que 5x-y é múltiplo de 19 . 5x-y = 5(5x-y) - 2(3x+7y) = 19x - 19y . Como 3x+7y =19k , temos que 43x+ 75y também é . Abraços Carlos Victor Em 11 de maio de 2012 08:25, Thiago Bersch escreveu: > Mostre que se [image: 19|3x+7y] então [image: 19|43x+75y] >
[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modulo n
Olá Kleber , Usando o teorema de Euler temos que 12^20 é congruo a 1 mod (25). Elevando a 657 , temos que 12^13140 é congruo 1 mod(25).Logo , basta ver a divisão de 12^5 por 25 , ok ?. Teorema de Euler :Sejam a,m naturais com m > 1 e mdc(a,m) =1. Então a^(fi de m) é congruo a 1 modm . Abraços Carlos Victor Em 16 de dezembro de 2011 13:49, Kleber Bastos escreveu: > > Queria saber qual o método para calcular: > Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25. > > Desde já agradeço a ajuda. > Abraços, Kleber. > > >
[obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)
Olá Marcone , Sabendo que : cos(pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) = 1/2 , use as expressões de cos3x e de cos2x em função de cosx , com x = pi/7 , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de julho de 2011 18:24, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0. > > Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação > 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0 > Mas não estou conseguindo e peço ajuda > Agradeço desde já. > > > >
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria OBM
Linda Solução do Julio. Carlos Victor 2011/7/24 Julio César Saldaña > > > Uma solução geométrica: > > Sabemos que O2A=O2B. > Prolongue ou estique BO1, (desculpem o protunhol) até um ponto P tal que > O2P=O2B > (=O2A). Calculemos uns ángulos: BPO2=20, PO2C=40, AO2P=60, então o > triángulo > O2AP é equilátero, ouseja PA=AO2, PAC=30 e a reta AO1 será mediatriz de > PO2. > Então PO1=O1O2, então O1O2P=20, finalmente BO1O2=20+20=40 > > > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Sun, 24 Jul 2011 19:18:18 -0300 > Asunto : Re: [obm-l] Geometria OBM > >Olá João , > > > >Houve um erro na digitação : onde está AO1 =y lê-se BO1 =y . ok ? . > >Desculpe o erro . > > > >Abraços > > > >Carlos Victor > > > >Em 24 de julho de 2011 19:11, Carlos Victor >escreveu: > > > >> Olá João , > >> > >> Vamos inicialmente a uma solução trigonométrica : > >> > >> Seja z o ângulo pedido .Sejam também AB =a ; AO2 = x e AO1= y.Então > >> teremos : > >> > >> Triang *BO1O2 : y/sen(160-z) = x/sen*z > >> > >> Triang ABO2 : x/sen50 = a/sen80 > >> > >> Triang BO1A : y/sen80 = a/sen70 > >> > >> Logo :sen(20+z) = 4cos10.sen20.senz ; ou sen(20+z) -senz = 2senz.sen10 > >> > >> Donde cos(z+10) = senz ; ou seja z = 40 ° . > >> > >> Tentarei uma solução geométrica . ok ? > >> > >> Abraços > >> > >> Carlos Victor > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> 2011/7/24 João Maldonado > >> > >>> Inglaterra -- 1970 > >>> > >>> No triângulo ABC, AB = AC e A=80°, dado O1 em AC tal que O1BC = 20° e > O2 > >>> em BC tal que CAO2 = 30°, calcule BO1O2 > >>> > >>> Obrigado > >>> João > >>> > >> > >> > > > > __ > Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese > a: > http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] Geometria OBM
Olá João , Houve um erro na digitação : onde está AO1 =y lê-se BO1 =y . ok ? . Desculpe o erro . Abraços Carlos Victor Em 24 de julho de 2011 19:11, Carlos Victor escreveu: > Olá João , > > Vamos inicialmente a uma solução trigonométrica : > > Seja z o ângulo pedido .Sejam também AB =a ; AO2 = x e AO1= y.Então > teremos : > > Triang *BO1O2 : y/sen(160-z) = x/sen*z > > Triang ABO2 : x/sen50 = a/sen80 > > Triang BO1A : y/sen80 = a/sen70 > > Logo :sen(20+z) = 4cos10.sen20.senz ; ou sen(20+z) -senz = 2senz.sen10 > > Donde cos(z+10) = senz ; ou seja z = 40 ° . > > Tentarei uma solução geométrica . ok ? > > Abraços > > Carlos Victor > > > > > > > 2011/7/24 João Maldonado > >> Inglaterra -- 1970 >> >> No triângulo ABC, AB = AC e A=80°, dado O1 em AC tal que O1BC = 20° e O2 >> em BC tal que CAO2 = 30°, calcule BO1O2 >> >> Obrigado >> João >> > >
Re: [obm-l] Geometria OBM
Olá João , Vamos inicialmente a uma solução trigonométrica : Seja z o ângulo pedido .Sejam também AB =a ; AO2 = x e AO1= y.Então teremos : Triang *BO1O2 : y/sen(160-z) = x/sen*z Triang ABO2 : x/sen50 = a/sen80 Triang BO1A : y/sen80 = a/sen70 Logo :sen(20+z) = 4cos10.sen20.senz ; ou sen(20+z) -senz = 2senz.sen10 Donde cos(z+10) = senz ; ou seja z = 40 ° . Tentarei uma solução geométrica . ok ? Abraços Carlos Victor 2011/7/24 João Maldonado > Inglaterra -- 1970 > > No triângulo ABC, AB = AC e A=80°, dado O1 em AC tal que O1BC = 20° e O2 > em BC tal que CAO2 = 30°, calcule BO1O2 > > Obrigado > João >
Re: [obm-l] Fwd: Identidade de Euler
Oi Mestre Nehab , Gostei da sugestão e mais ainda das n pessoas que moram em Nilópolis ( minha terrinha). Abraços Carlos Victor Em 28 de abril de 2011 17:21, Carlos Nehab escreveu: > Oi, Fábio, > > Não resisti: > > Resolva os seguinte problema de duas maneiras (uma técnica básica e útil > para resolver identidades deste tipo). > De quantas maneira posso formar comissões de p pessoas, a partir de um > total de m + n pessoas, sendo m o total de pessoas que moram no Maracanã e n > as pessoas que moram em Nilópolis? > > Abraços, > Nehab > > Em 28/4/2011 13:24, fabio henrique teixeira de souza escreveu: > > -- Mensagem encaminhada -- >> De: fabio henrique teixeira de souza >> Data: 28 de abril de 2011 08:52 >> Assunto: Identidade de Euler >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> >> Pessoal, estou batendo cabeça e não consigo demonstrar que >> C(m,0).C(n,p) + C(m,1).C(n,p-1) + C(m,2).C(n,p-2) + ... + C(m,p).C(n,0) = >> C(m+n,p) >> >> Alguém pode me dar uma dica? >> >> > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] distancia no trapezio
Olá Luis, Trace de D uma paralela ao lado BC que encontra AB por exemplo em E. Observe que BE = 4 e o triângulo EDA é isósceles e, donde EA = 6. Logo AB = 10 , ok ? . Verifique se esta ideia está correta . Abraços Carlos Victor Em 9 de janeiro de 2011 13:56, Luís Lopes escreveu: > Sauda¸c~oes, > > Pediram-me para resolver o seguinte problema. > > No trapezio ABCD, CD=4 e DA=6. E tambem B=\alpha e D=2\alpha. > Calcular AB. > > O "desenho" do trapezio eh > > C o---o D > > > > B o---o A > > > Abra¸cos, > Luis > >
RE: [obm-l] Ajuda URGENTE
Olá , Trace a altura AH relativa ao lado BC . Escolha um ponto Q sobre AH , tal que o triângulo BCQ seja equilátero . Agora , verifique a congruência dos triângulos ABQ e BPA e, daí conclua que o o ângulo BQA = 150° e consequentemente o ângulo pedido será 30°, ok ? []´s Carlos Victor At 16:56 22/1/2007, Filipe de Carvalho Hasché wrote: Em um triângulo ABC, tem-se que os ângulos ABC = ACB = 80º. Se P é um ponto sobre o lado AB tal que AP = BC, a medida do ângulo BPC é igual a: = Eu emperrei tb, heheheh Mas fiz no Cabri e deu 30°. E nem assim consegui desvendar.. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME-65/66
Olá Arkon , observe o seguinte : Depois de provar que a série é convergente ,faça o seguinte : S =lim1/4 [1/1.3 - 1/3.5 + 1/3.5 - 1/5.7 +... - 1/(2n+1)(2n+3) ] = lim1/4[ 1/3 - 1/(2n+1)(2n+3) ] quando n cresce , ou seja S = 1/12 , ok ? Confira as contas . []´s Carlos Victor At 11:59 20/1/2007, arkon wrote: POR FAVOR, QUAL O MACETE PARA RESOLVER ESTA QUESTÃO? (IME-65/66) CALCULE A SOMA DA SÃRIE: 1/1.3.5 + 1/3.5.7 + 1/5.7.9 + ... DESDE Jà AGRADEÃO A TODOS QUE ESTÃO ME AJUDANDO. ABRAÃOS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Inducao
Olá Klaus , Observe o seguinte : inicialmente eu estou vendo um quadrado , quando o dividimos em quatro partes , ficam 4 partes menores , ok ? ; ou seja , eu tinha um quadrado e agora eu tenho 4 quadradinhos . Daí acrescentei 3 , ok ? []´s Carlos Victor At 16:55 17/1/2007, Klaus Ferraz wrote: Ola Carlos Nao entendi. Porque quando dividimos um quadrado em 4 partes estamos acrescentando 3 quadradinhos ao quadrado original -, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inducao
Olá Luís , Divida inicialmente o quadrado original em 16 quadradinhos , apague os 9 quadradinhos do canto superior esquerdo (por exemplo) , ficará um quadrado maior , junto com os outros 7 quadradinhos que sobraram , ok ? Abraços e satisfação em falar com você []´s Carlos Victor At 12:17 17/1/2007, Luís Lopes wrote: Sauda,c~oes, Oi Carlos Victor, Como obter 8 quadrados? Seguindo suas idéias dividi o quadrado inicial em 9 e 16 quadrados iguais. Com os 9 quadrados gera-se a seqüência 6,9,12, E com os 16, a seqüência 4,7,10,13,16,19... A 8,11,14,... não consegui. Talvez se eu soubesse resolver 3k+8=n^2 ajudasse. []'s Luís From: Carlos Victor <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Inducao Date: Tue, 16 Jan 2007 19:58:49 -0200 Olá Klaus, para o segundo : Observe que quando dividimos um quadrado em 4 partes , na verdade acrescentamos 3 quadradinhos ao quadrado original . Pensando desta forma basta você conseguir dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos, pois a partir desses usa o procedimento inicial . Com um pouco de paciência verifica-se que dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos não é difícil e , consequentemente teremos as seguintes sequências : 1) 6 ,9 , 12 , ... 2) 7 , 10 , 13 , ... 3) 8 , 11 , 14 , ... Unindo as sequências temos os naturais a partir de 6 , ok ? []´s Carlos Victor At 18:27 16/1/2007, Klaus Ferraz wrote: 1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n>=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=<1/sqrt(2n+1) Grato. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inducao
Olá Klaus, para o segundo : Observe que quando dividimos um quadrado em 4 partes , na verdade acrescentamos 3 quadradinhos ao quadrado original . Pensando desta forma basta você conseguir dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos, pois a partir desses usa o procedimento inicial . Com um pouco de paciência verifica-se que dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos não é difícil e , consequentemente teremos as seguintes sequências : 1) 6 ,9 , 12 , ... 2) 7 , 10 , 13 , ... 3) 8 , 11 , 14 , ... Unindo as sequências temos os naturais a partir de 6 , ok ? []´s Carlos Victor At 18:27 16/1/2007, Klaus Ferraz wrote: 1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n>=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=<1/sqrt(2n+1) Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG
Olá Marcus , Faça o seguinte : suponha que as ordens de 1, 2 e 5 sejam respectivamente m , p e n . Use a expressão do termo geral com razão igual a q e conclua que : 5^(p-m) = 2^(n-m) e já que m,n e p são naturais , teremos p=m=n . Conclusão : 1,2e5 não podem pertencer a uma mesma PG , ok ? confira as contas. []´s Carlos Victor At 10:06 29/12/2006, Marcus Aurélio wrote: Podem os números 1, 2 e 5 pertencer à mesma PG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha da en
Olá Arkon, Como dizia o nosso mestre MORGADO , um " truque" para este tipo de problema é : Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente provar) ,ok ? []´s Carlos Victor At 16:58 11/12/2006, arkon wrote: Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão da en, por favor: grato. Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? a) 5%. b) 10%. c) 20%. d) 45%. e) 70%. Obs.: A alternativa correta é a letra b. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda em tres questoes
Olá Fábio , 1) Para a primeira questão faça o seguinte : agrupar onde tiver o parâmetro " a" e depois anular o fator que estiver multiplicando o parâmetro . Neste momento você irá encontrar uma equação do seg grau em x e consequentemente encontrará dois pontos no plano e daí achar a distância entre eles, ok ? 2) Para o segundo : trace a bissetriz do ângulo dobrado e utilize o teorema da bissetriz interna junto com uma semelhança que irá aparecer , ok ? 3) Para o terceiro : faça duas semelhanças e utilize o fato de que o raio do circulo inscrito é dado por " p-a" , onde p é o semi-perímetro e a é a hipotenusa , ok ? []´s Carlos Victor At 20:20 5/12/2006, Fabio Silva wrote: Quem puder dê uma ajuda estou estudando para futuros concursos: Considerem-se as funções quadráticas definidas por y=(a+1)x^2 2ax (3a +7), variável x e parâmetro a. Todos os gráficos apresentam uma corda comum. Qual comprimento da corda? Resp: 4sqrt5. Considerem-se um triangulo ABC onde a medida do ângulo A é o dobro da medida de B. A medida do lado a, oposto ao ângulo A, em função dos lados b e c, é_. Resp: sqrt (b^2 + bc) Considere um triangulo ret de hip a, sendo h a altura relativa a hip e r o raio do circulo inscrito no triangulo. Inscrevem-se neste triangulo um quadrado de lados sobre os catetos e vértice na hip, e um outro de lado sobre a hip e vértices sobre os catetos. A razão entre as medidas dos lados do primeiro e do segundo quadrado é:. Resp: a+r sobre a+2r Vlw amigos matemáticos!!! Yahoo! Music Unlimited Access over 1 million songs. http://music.yahoo.com/unlimited = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatoração
Olá Bruna , Adicione e subtraia os fatores : x^10 ,x^9 , ... x .Depois é só agrupar os fatores : x^11+x^10+x^9 , -(x^10+x^9+x^8) e assim por diante ; onde o fator x^2+x+1 será comum . Conclusão x^11 + x^7 + 1 = ( x^2+x+1)(x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1) , ok ? []´s Carlos Victor At 14:05 14/10/2006, Bruna Carvalho wrote: Fatorar: P(x) = x^11 + x^7 + 1. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria - O retorno!
Olá marinho , Faça o seguinte : A/2+B/2+C/2 = 90° , então cos( A/2+B/2) = sen(C/2) --> cos(A/2).Cos(B/2) - sen(A/2).sen(B/2) = sen(C/2) ; multiplique os dois lados por 4sen(A/2).sen(B/2) , adicione uma unidade ambos os membros , substitua senA =2sen(A/2).cos(B/2) ,senB=2sen(B/2).cos(B/2) e sen(A/2)^2 =(1-cosA)/2 , fazendo o mesmo para sen(B/2)^2 . No final teremos : senA.senB -+cosA+cosB -cosA.cosB = 1 + 4sen(A/2).sen(B/2).sen(C/2) e , como senA.senB-cosA.cosB=cosC chegaremos ao resultado pedido , ok ? []´s Carlos Victor At 20:05 7/10/2006, Marinho Kamiroski wrote: Essa é meio q clássica, vem me perseguindo a meses e nada de sair. cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2) com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo) _ Descubra aqui como mandar Torpedos Messenger! http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITES
Olá , Para o segundo limite temos : lim(x-->+inf) sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função infitesima multiplicada por um limitada ; ou seja a resposta é zero . Tem certeza que a questão (1) esta correta ? []´s Carlos Victor At 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote: 1)Determine lim(n->+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n). 2)Determine lim(x-->+inf) sen(x^1000)/x Grato. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.
Re: [obm-l] Geometria plana
Olá Vinícius , Sejam d1, d2 e d3 as distâncias e L o lado do triângulo ;escolha um ponto exterior ao triângulo de tal maneira a construir um triângulo equilátero de lados iguais a d1, por exemplo . Utilize a congruência de triângulos( triângulos de lados L ,d1 e d3) e a Lei do co-seno( como o Júnior comentou em um dos seus e-mails) para chegar à solução , ok ? []´s Carlos Victor At 17:40 25/1/2006, vinicius aleixo wrote: Como posso determinar a área de um triagulo equilátero conhecendo a distancia de um ponto qualquer (P) em seu interior aos vértices do triângulo(a,b,c)?? Abraços, Vinícius Meireles Aleixo Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Olá Klauss , (x+1)^3 - x^3 = y^2 , onde 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) . Observe que podemos concluir que : a) Ou 2y-1 = a^2 e 2y+1 = 3b^2 b) Ou 2y-1 = 3c^2 e 2y+1 = d^2 . Observe que 3b^2 = a^2 +2 é a única que pode ocorrer e, como a é ímpar , podemos escrever a = 2t +1 e 4y = 2(a^2+1) implicando y = t^2 + (t+1)^2 , ok ? OBS : (1) Esta questão se encontra no Livro POWER PLAY de EDWARD J. BARBEAU da MAA ; inclusive com a solução acima (2) O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução geral : x1 = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo : x1 = 104 e y1 =181 ; Lindo não é ? []´s Carlos Victor At 20:23 24/1/2006, Klaus Ferraz wrote: Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos quadrados de dois inteiros consecutivos. Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13. Grato. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] MAXIMO
Olá , Use o multiplicador de Lagrange para a função F = E - k( a+b+c-1=0) , encontre a=b=c=1/3 e que o valor máximo de E é igual a 6sqrt(2) , ok ? [ ]´s Carlos Victor At 10:36 7/1/2006, Klaus Ferraz wrote: Calcule o valor maximo da expressao E=raiz(9a+5)+raiz(9b+5)+raiz(9c+5), a, b e c reais positivos., a+b+c=1 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Re: [obm-l] 3 Questõeszinahs de Calculo + 1 de bonus pra se pensar!
Olá,
Para a primeira questão ítem (b) é só lembrar do seguinte : Seja
f uma função contínua em [0,1] ,
lim{ 1/n[f(1/n) + f(2/n) +... f(n/n)]} = integral de f(x)dx
com 0< x < 1 e no problema a função
é
f(x) = sqrt(1/(1+x)) . Determinando a integral definida encontraremos
o resultado em questão , ok ?
Para a Questão Especial você encontrará uma solução elegante
( usando o princípio de Cavalieri ) no Livro de Olimpíadas
Brasileiras de Matemática ( 1ª a 8ª) da SBM . A resposta
é 16r^3 /3 .
Para a questão 1a basta usar o mesmo fato de 1b ( de outra
mensagem ) . Para a segunda questão , use o fato de que a função é
crescente em [0,1] e considere o quadrado de lado 1 com um dos
vértices na origem . observe que 1/3 é valor da área sob a curva
e , que a parte acima da curva e dentro do quadrado é 2/3 , que
será o valor da área sob a curva quando considerarmos a função
inversa , ok ?( já que a função inversa é simétrica em relação à
reta y=x)
[]´s Carlos Victor
At 23:13 4/1/2006, you wrote:
Olá
amigos...
Estou com uma lista enorme de exercícios de calculo aqui comigo e fiquei
enrolado em 3 dessas questões...
aí vão elas:
[obm-l] Re: [obm-l] 3 Questõeszinahs de Calculo + 1 de bonus pra se pensar!
Olá , Para a questão 1a basta usar o mesmo fato de 1b ( de outra mensagem ) . Para a segunda questão , use o fato de que a função é crescente em [0,1] e considere o quadrado de lado 1 com um dos vértices na origem . observe que 1/3 é valor da área sob a curva e , que a parte acima da curva e dentro do quadrado é 2/3 , que será o valor da área sob a curva quando considerarmos a função inversa , ok ?( já que a função inversa é simétrica em relação à reta y=x) [ ]´s Carlos Victor At 23:13 4/1/2006, João Vitor wrote: Olá amigos... Estou com uma lista enorme de exercícios de calculo aqui comigo e fiquei enrolado em 3 dessas questões... aí vão elas:
[obm-l] Re: [obm-l] 3 Questõeszinahs de Calculo + 1 de bonus pra se pensar!
Olá ,
Para a primeira questão ítem (b) é só
lembrar do seguinte : Seja f uma função
contínua em [0,1] ,
lim{ 1/n[f(1/n) + f(2/n) +... f(n/n)]} = integral de
f(x)dx com 0< x <
1 e no problema a função
é
f(x) = sqrt(1/(1+x)) . Determinando a integral definida
encontraremos o resultado em questão , ok ?
Para a Questão Especial você
encontrará uma solução elegante ( usando o
princípio de Cavalieri ) no Livro de
Olimpíadas Brasileiras de Matemática ( 1ª a
8ª) da SBM . A resposta é 16r^3
/3 .
[]´s Carlos Victor
At 23:13 4/1/2006, João Vitor wrote:
Olá
amigos...
Estou com uma lista enorme de exercícios de calculo aqui comigo e fiquei
enrolado em 3 dessas questões...
aí vão elas:
Re: [obm-l] Maple
Olá Teresa, Você deve usar o símbolo " asterisco" para a multiplicação : plot(x^2+5*x+6,x=-20..20); ok ? Isto resolverá . []´s Carlos victor At 19:24 4/1/2006, Maria Teresa wrote: Estou usando o Maple pela primeira vez e queria ver o gráfico de uma função. Digitei assim: plot(x^2+5x+6,x=-20..20); e não funcionou. Tem a mensagem Error, missing operator or ";" mas como tem ; então, peço ajuda para saber o que está faltando. Obrigada, Maria Teresa
Re: [obm-l] 2 probleminhas
Olá Fábio , Talvez o enunciado da primeira questão seja : Em um grupo de 20 pessoas qual a probabilidade de que haja pelo menos 2 delas nascidas num mesmo mês e no mesmo dia ?( ou seja , aniversário no mesmo dia) Esta questão está resolvida no Matemática Elementar ( vol 5) e no Livro do Morgado ( Análise Combinatória e probabilidade da SBM) . A resposta é aproximadamente 41% , Ok ? Verifique []´s Carlos Victor At 23:38 3/1/2006, Fabio Silva wrote: Quem quiser ajudar-me será bem vindo: 1) Em um grupo de 20 pessoas, qual a probabilidade de que haja pelo menos 2 delas nascidas num mesmo mês? 2) Ao preço de p reais, um fabricante consegue vender, diariamente, 800-200p pacotes de biscoito. A fabricação diária de x pacotes de biscoito custa-lhe 100+0,2x reais. Qual é o valor de p para o qual o lucro do fabricante é máximo? Desde já agradeço a ajuda dos colegas. __ Yahoo! DSL Something to write home about. Just $16.99/mo. or less. dsl.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
Olá Felipe ,( bonita questão ) Faça o seguinte : Sejam ABC o triângulo e H o ortocentro .Trace a mediana AM , a altura AP . De O trace uma paralela ao lado BC e seja S o encontro desta com AP.Como o ortocentro , o baricentro e o circuncentro estão alinhados, se tomarmos x = OG , teremos GH = 2x . Observe também que AM = RcosA , AH = 2RcosA , PC = bcosC , AP =bsenC e AS = a/2 - PC . Agora , considere o triângulo retângulo OSH , aplique pitágoras , e com as leis dos seno e dos coseno em ABC , você irá encontrar o pedido na questão ;ok ? Caso não consiga , serei mais claro . []´s Carlos Victor At 15:50 30/7/2005, Felipe Takiyama wrote: Alguém poderia me ajudar com este? Sejam, num triângulo ABC: O, o centro da circunferência circunscrita; G, o ponto de intersecção das medianas; a,b e c, os lados; e R, o raio da circunferência circunscrita. Demonstrar que: OG^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 Felipe ___ Navegue e Ganhe vale-presentes no Submarino. Inscreva-se agora na promoção Mergulhou Ganhou! www.click21.com.br/mergulhouganhou = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Usando o Maple
Olá Marcos, Esta substituição não resolveu ; caso exista outra me informe , ok ? []´s Carlos Victor At 01:36 24/7/2005, Marcos Paulo wrote: Carlos Victor wrote: Olá pessoal , Gostaria de saber como calcular diretamente usando o Maplea seguinte soma : > *(5+2*sqrt(13))^(1/3) + (5-2*sqrt(13))^(1/3) *Agradeço desde já qualquer ajuda []´s Carlos Victor Tente substituir o 13 por 13.0 []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
