Re: [obm-l] Dúvida
Oi, Renn, No entendi muito bem o que voc no entendeu, mas vou tentar... Voc conhece a relao entre os coeficientes de um polinmio e suas razes? Por exemplo: se a, b e c so razes do polinmio x^3 + px^2 + qx + r = 0 ento - a soma das razes, sto , a+b+c vale -p; - a soma dos produtos das razes duas a duas, isto , ab + bc + ca = q; - o produto das razes, isto a.b.c vale -r. Pois bem, foi isto que foi usado. Com as informaes do enunciado ou seja: a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7 foram determinados os valors de ab+bc+ca e abc, pois a+b+c j foi dado de graa. Ajudou? Abraos, Nehab Henrique Renn escreveu: Eu havia solucionado apenas com produtos notveis. Como conclui-se que a, b, c so razes do polinmio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega nesse polinmio? On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me d uma idia resolver esta questo: Se a, b e c so nmeros complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c so as razes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqncia p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinmio de razes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores so a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=trao(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Entendi. Muito obrigado! On 9/30/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Rennó, Não entendi muito bem o que você não entendeu, mas vou tentar... Você conhece a relação entre os coeficientes de um polinômio e suas raízes? Por exemplo: se a, b e c são raízes do polinômio x^3 + px^2 + qx + r = 0 então - a soma das raízes, sto é, a+b+c vale -p; - a soma dos produtos das raízes duas a duas, isto é, ab + bc + ca = q; - o produto das raízes, isto é a.b.c vale -r. Pois bem, foi isto que foi usado. Com as informações do enunciado ou seja: a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7 foram determinados os valors de ab+bc+ca e abc, pois a+b+c já foi dado de graça. Ajudou? Abraços, Nehab Henrique Rennó escreveu: Eu havia solucionado apenas com produtos notáveis. Como conclui-se que a, b, c são raízes do polinômio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega nesse polinômio? On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [0 0 1] N = [1 0 1] [0 1 1] Temos [0 1 1] N^2 = [0 1 2] [1 1 2] [1 2 4] N^4 = [2 3 6] [2 4 7] [2 4 7] N^5 = [3 6 11] [4 7 13] [44 81 149] N^10 = [68 125 230] [81 149 274] [19513 35890 66012] N^20 = [30122 55403 101902] [35890 66012 121415] [35890 66012 121415] N^21 = [55403 101902 187427] [66012 121415 223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida - Teoria dos Anéis
(Z,+, .) é um anel de integridade? É um corpo? Benedito - Original Message - From: Claudinei - Trix To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, September 29, 2007 1:07 PM Subject: [obm-l] Dúvida - Teoria dos Anéis Há um lema que diz o seguinte: Um anel de integridade finito é um corpo. Como posso demonstrar que este lema é falso se deixar de assumir que o anel de integridade é finito ? Grato
[obm-l] Dúvida - Teoria dos Anéis
Há um lema que diz o seguinte: Um anel de integridade finito é um corpo. Como posso demonstrar que este lema é falso se deixar de assumir que o anel de integridade é finito ? Grato
Re: [obm-l] Dúvida - Teoria dos Anéis
Basta tomar o anel dos inteiros, é um domínio de integridade. Não é finito e ao mesmo tempo não é um corpo. t+ Jones On 9/29/07, Claudinei - Trix [EMAIL PROTECTED] wrote: Há um lema que diz o seguinte: Um anel de integridade finito é um corpo. Como posso demonstrar que este lema é falso se deixar de assumir que o anel de integridade é finito ? Grato
Re: [obm-l] Dúvida
Eu havia solucionado apenas com produtos notáveis. Como conclui-se que a, b, c são raízes do polinômio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega nesse polinômio? On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
43^1 mod 66 = 43 43^2 mod 66 = 1 43^3 mod 66 = 43 43^4 mod 66 = 1 ... 23^1 mod 66 = 23 23^2 mod 66 = 1 23^3 mod 66 = 23 23^4 mod 66 = 1 ... Quando o expoente da potência de 43 ou 23 é um inteiro positivo ímpar, o valor da potência módulo 66 é igual ao valor da base, ou seja, 43 ou 23. Portanto, 43^23 mod 66 = 43 e 23^43 mod 66 = 23. Somando esses valores temos 43 + 23 = 66 que é divisível por 66. Logo 43^23 + 23^43 é divisível por 66. Apenas consegui mostrar a divisibilidade testando os valores das potências módulo 66. Será que haveria outra forma de resolver o problema? On 11/1/01, Pedro [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Encontrei a outra solução no histórico da lista. Verifica-se a divisibilidade de 43, 23 e 43+23 por 2, 3, 11. On 9/29/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: 43^1 mod 66 = 43 43^2 mod 66 = 1 43^3 mod 66 = 43 43^4 mod 66 = 1 ... 23^1 mod 66 = 23 23^2 mod 66 = 1 23^3 mod 66 = 23 23^4 mod 66 = 1 ... Quando o expoente da potência de 43 ou 23 é um inteiro positivo ímpar, o valor da potência módulo 66 é igual ao valor da base, ou seja, 43 ou 23. Portanto, 43^23 mod 66 = 43 e 23^43 mod 66 = 23. Somando esses valores temos 43 + 23 = 66 que é divisível por 66. Logo 43^23 + 23^43 é divisível por 66. Apenas consegui mostrar a divisibilidade testando os valores das potências módulo 66. Será que haveria outra forma de resolver o problema? On 11/1/01, Pedro [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66 -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida Matrizes
Determine todas as matrizes X, reais, de dimensões 2x2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2x2 Se alguém puder ajudar Grato,
[obm-l] Dúvida na interpretação
Comecei a estudar um livro sobre Teoria dos Números e logo no inicio o autor faz a seguinte definição: Se a e b são inteiros dizemos que a divide b, denotado por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c. Em seguida há um teorema que na verdade são as propriedades da divisão. A divisão tem as seguintes propriedades: (i) n|n (ii) d|n - ad|an ... E a demonstração, o que eu não consigo entender é a forma dele demonstrar (i). Como n = 1*n segue da definição que n|n, *inclusive para n = 0* Isso me deixou meio confuso, pelo o que entendi implica em 0 divide 0, mas pelos mandamentos divinos da matemática 0 não divide nada. Por outro lado 0 = 1*0. Mas 0 = k*0 para qualquer k. Eu estou interpretando errado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida na interpretação
Interpretou quase tudo certo. (*) 0=k*0, ou seja, qualquer inteiro (incluindo o caso no qual k=0) é divisor de zero. Vc não deve confundir a operação de divisão com a definição de divisor. Além do mais, o autor está se restringindo aos inteiros no qual a operação de divisão não é fechada (um inteiro dividido por um inteiro nem sempre é um inteiro). Se vc quiser entender o mandamento divino da matemática pelo qual não se pode dividir por 0 vc tem que estudar teoria dos corpos (dê uma olhada no wikipedia: field(inglês)=corpo(português)). OK? On 8/6/07, Igor Battazza [EMAIL PROTECTED] wrote: Comecei a estudar um livro sobre Teoria dos Números e logo no inicio o autor faz a seguinte definição: Se a e b são inteiros dizemos que a divide b, denotado por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c. Em seguida há um teorema que na verdade são as propriedades da divisão. A divisão tem as seguintes propriedades: (i) n|n (ii) d|n - ad|an ... E a demonstração, o que eu não consigo entender é a forma dele demonstrar (i). Como n = 1*n segue da definição que n|n, *inclusive para n = 0* Isso me deixou meio confuso, pelo o que entendi implica em 0 divide 0, mas pelos mandamentos divinos da matemática 0 não divide nada. Por outro lado 0 = 1*0. Mas 0 = k*0 para qualquer k. Eu estou interpretando errado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Julio Cesar Conegundes da Silva
Re: [obm-l] Dúvida na interpretação
Em 06/08/07, Julio Cesar Conegundes da Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Interpretou quase tudo certo. (*) 0=k*0, ou seja, qualquer inteiro (incluindo o caso no qual k=0) é divisor de zero. Vc não deve confundir a operação de divisão com a definição de divisor. Além do mais, o autor está se restringindo aos inteiros no qual a operação de divisão não é fechada (um inteiro dividido por um inteiro nem sempre é um inteiro). Se vc quiser entender o mandamento divino da matemática pelo qual não se pode dividir por 0 vc tem que estudar teoria dos corpos (dê uma olhada no wikipedia: field(inglês)=corpo(português)). OK? -- Julio Cesar Conegundes da Silva Muito obrigado Julio, conseguiu acender a luz. ;) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida
Pessoal, tenho deparado com conceitos como robustness solution e closed form solution. O que seria cada uma e qual a diferença entre esses conceitos? obrigado, Rossine Assis
Re: [obm-l] RES: Possível Spam:[obm-l] Dúvida
43=44-1 23=22+1 43^23=-1mod44 23^43=1mod22 logo a soma e divisivel por 11 do mesmojeito 43=42+1 23=24-1 43^23=1mod6 23^43=-1mod6 a soma edivisivelpor 6 tambem logo a soma edivisivel por 66 On 7/26/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Com 66 = 2 * 3 * 11, temos que mostrar que n = 43^23 + 23^43 é divisível por 2, 3 e 6. Como 23 e 43 são ímpares, é imediato que as 2 parcelas sao impares, disto decorrendo que a soma n eh par. Assim 2| n. Observemos que 43 = 1 (mod 3) e que 23 = -1 (mod 3). Logo, pelas propriedades das congruencias, 43^23 = 1^23 =1 (mod 3) e 23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 3) Somando estas congruencias, concluimos que n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 3), ou seja, 3|n Agora, observemos que 43 = (-1) (mod 11) e 23 = 1 (mod 11) Logo 43^23 = 1^23 = 1 (mod 11) 23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 11). Somando, n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 11), ou seja 11|n Assim, 66|n Abracos Artur [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de *Pedro *Enviada em:* quinta-feira, 1 de novembro de 2001 05:21 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* Possível Spam:[obm-l] Dúvida Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66
[obm-l] RES: Possível Spam:[obm-l] Dúvida
Com 66 = 2 * 3 * 11, temos que mostrar que n = 43^23 + 23^43 é divisível por 2, 3 e 6. Como 23 e 43 são ímpares, é imediato que as 2 parcelas sao impares, disto decorrendo que a soma n eh par. Assim 2| n. Observemos que 43 = 1 (mod 3) e que 23 = -1 (mod 3). Logo, pelas propriedades das congruencias, 43^23 = 1^23 =1 (mod 3) e 23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 3) Somando estas congruencias, concluimos que n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 3), ou seja, 3|n Agora, observemos que 43 = (-1) (mod 11) e 23 = 1 (mod 11) Logo 43^23 = 1^23 = 1 (mod 11) 23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 11). Somando, n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 11), ou seja 11|n Assim, 66|n Abracos Artur [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Pedro Enviada em: quinta-feira, 1 de novembro de 2001 05:21 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Possível Spam:[obm-l] Dúvida Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66
[obm-l] Dúvida
Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66
Re: [obm-l] Dúvida Continuidade
Olá Kleber,
vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes:
y=0... f(x+0) = f(x) + f(0) f(0) = 0
x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x) f(-x) = -f(x) [funcao impar]
x=y... f(x+x) = f(x) + f(x) f(2x) = 2f(x) [por inducao,
facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural]
como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que:
f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros..
vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros..
p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro,
logo: f(qax) = qf(ax)
assim: qf(ax) = pf(x) f(ax) = p/q f(x) = af(x) logo, vale
para os racionais tb...
-
[daqui para baixo (até os proximos -) estou chutando.. acredito
que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me
corrigir!]
e agora? como generalizar isso para os irracionais?
acredito que é justamente usando o seu exercicio...
supondo que lim {x-a} f(x) = f(a)..
vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ...
para x E Q, temos: lim {x-a} f(x) = lim{k-a} f(kx) = lim{k-a} kf(x) = af(x)
para x E R\Q, temos que ter: lim {x-a} f(x) = af(x), pois, caso
contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos.
logo: f(ax) = af(x) para todo a real...
assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1) f(x) = kx, onde k=f(1)...
portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx...
--
agora o que foi pedido:
vamos supor que lim {x-0} f(x) = f(0) [continuidade na origem]
isto é: para todo eps0, existe um delta0, tal que: |x| delta
implica: |f(x)| eps
fazendo x = y-a, temos: |y-a| delta implica |f(y-a)| = |f(y) +
f(-a)| = |f(y) - f(a)| eps..
logo: lim {x-a} f(x) = f(a)... (cqd)
abracos,
Salhab
On 7/11/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja f: R-R tq
f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R )
Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R.
--
Kleber B. Bastos
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade
Já foi visto que f(x) = k *x para todo racional x. Já vimos tambem que f eh
continua em R. Definamos g:R -- R por g(x) = kx. Entao, g eh continua em R e
concorda com f em Q. Como Q eh denso em R, f e g concordam em Q e f e g sao
ambas continuas em R, segue-se de conhecido teorema (que, alias, vai alem dos
espacos Euclidianos) que f = g em todo R. Assim, f(x) = kx para todo real x.
No caso Euclidiano, temos os seguinte:
Sejam f e g funcoes continuas de R^n em R^m que concordem em um subconjunto A
de R^n, denso em R^n. Entao, f= g em todo o R^n.
Prova.: Seja x pertencente a R^n. Como A eh denso em R^n, existe uma sequencia
(x_n) em A que converge para x. Como f e g concordam em A, (f(x_n) e (g(x_n))
sao a mesma sequencia. Da continuidade de f em R^n, segue-se que lim f(x_n) =
f(x)e, da continuidade de g em R^n, segue-se que lim g(x_n) = g(x. Como (f_x_n)
e (g(x_n)) sao a mesma sequencia, segue-se da unicidade do limite que f(x) =
g(x). Logo, f = g em todo o R^n. f e g sao a mesma funcao.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: quinta-feira, 12 de julho de 2007 03:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida Continuidade
Olá Kleber,
vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes:
y=0... f(x+0) = f(x) + f(0) f(0) = 0
x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x) f(-x) = -f(x) [funcao impar]
x=y... f(x+x) = f(x) + f(x) f(2x) = 2f(x) [por inducao,
facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural]
como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que:
f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros..
vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros..
p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro,
logo: f(qax) = qf(ax)
assim: qf(ax) = pf(x) f(ax) = p/q f(x) = af(x) logo, vale
para os racionais tb...
-
[daqui para baixo (até os proximos -) estou chutando.. acredito
que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me
corrigir!]
e agora? como generalizar isso para os irracionais?
acredito que é justamente usando o seu exercicio...
supondo que lim {x-a} f(x) = f(a)..
vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ...
para x E Q, temos: lim {x-a} f(x) = lim{k-a} f(kx) = lim{k-a} kf(x) = af(x)
para x E R\Q, temos que ter: lim {x-a} f(x) = af(x), pois, caso
contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos.
logo: f(ax) = af(x) para todo a real...
assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1) f(x) = kx, onde k=f(1)...
portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx...
--
agora o que foi pedido:
vamos supor que lim {x-0} f(x) = f(0) [continuidade na origem]
isto é: para todo eps0, existe um delta0, tal que: |x| delta
implica: |f(x)| eps
fazendo x = y-a, temos: |y-a| delta implica |f(y-a)| = |f(y) +
f(-a)| = |f(y) - f(a)| eps..
logo: lim {x-a} f(x) = f(a)... (cqd)
abracos,
Salhab
On 7/11/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja f: R-R tq
f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R )
Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R.
--
Kleber B. Bastos
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Dúvida Continuidade
Seja f: R-R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos
[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade
Para iniciar, observemos que f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2 f(0) = f(0) = 0 Como todo elemento de R eh ponto de acumulacao de R, a continuidade em 0 implica que lim ( t -- 0) f(t) = f(0) = 0. Para todo x e todo t de R, f(x +t) - f(x) = f(x) + f(t) - f(x) = f(t). Logo, lim ( t -- 0) f(x + t) - f(x) = lim (t -- 0) f(t) = f(0) = 0, o que equivale a dizer que lim (t -- 0) f(x + t) = f(x), justamente a condicao de continuidade em x. Como vale para todo x de R, f eh continua em R. Complete agora o problema, mostre que esta eh a funcao linear dada por f(x) = k*x, k = f(1), para todo real x. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: quarta-feira, 11 de julho de 2007 11:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dúvida Continuidade Seja f: R-R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Dúvida Continuidade
Supondo que f e continua na origem, deve existir um d(elta) 0 tal que para todo x satisfazendo |x| d entao |f(x) - f(0)| eps (para algum eps 0). Mas como f(0) = 0 (basta fazer x = x + 0 e utilizar a propriedade) temos |f(x)| eps para todo x com |x|d. Seja x0 0, entao, para uma vizinhança de x0 de raio d: |f(x0 + x) - f(x0)| = | f(x0) + f(x) - f(x0) | = |f(x)| eps. Ou seja, f e continua em x0, para todo x0 real. Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seja f: R-R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE S: [obm-l] dúvida sobre Limite
On Fri, Jun 29, 2007 at 11:44:35AM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. A definição via série é de fato muito boa para estender a definição de exp para os complexos, mas definitivamente não é esta a única forma de proceder, veja abaixo. Se é a melhor forma é questão de opinião. Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por cateto oposto sobre hipotenusa, como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade |sen(x)| = |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. Sob um ponto de vista lógico, as considerações são válidas mas exageradas: você de fato precisa de integral (no mínimo) para definir o comprimento de uma curva qualquer. No caso em questão, entretanto, estamos calculando o comprimento apenas de segmentos de reta e de círculo. Isto pode ser feito sem integral. Outro ponto de vista importante é o pedagógico. É rotina apresentar na escola de maneira informal conceitos que para uma apresentação formal exigem matemática muito além do que os alunos conhecem. Comprimento de uma curva e área de uma região são bons exemplos. Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? A definição via EDO é perfeitamente adequada para exponencial de complexos e matrizes: ela é a definição de exponencial de uma álgebra de Lie g para o grupo de Lie associado G: se f: R - G, f(0) = e, f'(t) = f(t) h (onde h é um elemento de g) então f(t) = exp(t h). As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? A definição via inverso do log funciona perfeitamente bem para complexos: integre a função holomorfa f(z) = 1/z (em um aberto simplesmente conexo que não contenha a origem) para obter a funçao holomorfa g(z) = log(z). A inversa de g é a restrição da exponencial a algum aberto e prolongamento analítico estende a exponencial para todo o plano complexo. Para a definição elementar, veja abaixo. No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R? Não. Para todo a 1 existe uma única função crescente f: R - R com f(0) = 1, f(1) = a, f(x+y) = f(x)*f(y). Talvez você não tenha atentado para a hipótese (elementar, i.e., dentro da matemática que um estudante de ensino médio conhece) de f ser crescente. A hipótese de f ser crescente de fato não faz sentido para os complexos. Acho que a trilha mais fiel à construção elementar seria provar que f é real analítica e tomar seu prolongamento analítico para o plano complexo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por cateto oposto sobre hipotenusa, como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade |sen(x| = |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R? Obrigado Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 =1. É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial. A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs). Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln) e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$ (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x (definição elementar). Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial, pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Pela consistência (não demonstrável) da matemática é difícil definir o que devemos tomar como base para boas definições. No livro de Malba Tahan, as maravilhas da matemática há um capítulo inteiramente dedicado ao problema das definições em matemática. Você pode definir pi como a razão entre a circunferência e o diâmetro ou como uma integral de comprimento de arco. O seno pode ser definido como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou como uma série de potências. Não importa quais das duas adotamos: no caso real, os resultados são os mesmos. Historicamente, no entanto, as definições mais simples surgiram primeiro: Os números reais surgiram antes dos complexos, e o teorema de pitágoras antes do cálculo ... PS: No livro Geometria Diferencial de Manfredo Perdigão do Carmo em uma discussão sobre arcos geodésicos há um comentário sobre a possibilidade de demonstrar o quinto postualdo de Euclides a partir dos outros, assumindo que o arco geodésico é um segmento de reta.. Quando conversei com o professor sobre essa possibilidade ele me disse que era complicado seguir esse caminho, porque havia muita coisa já explorada para saber exatamente o que era postulado e o que era teorema. Partindo assim dos teoremas como axiomas poderíamos chegar nos axiomas como teoremas... Posso ter entendido isso errado, mas achei interessante essa discussão... Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumen Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por cateto oposto sobre hipotenusa, como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desi Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R? Obrigado Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 =1. É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial. A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs). Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln) e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$ (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x (definição elementar). Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial, pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] dúvida sobre Limite
Como eu faço para provar a seguinte afirmativa : lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Olá,
um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x-0] f(x) =
f(0), portanto: lim [x-0] e^x = 1
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta) ... e^(-delta) -
1 e^x - 1 e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| eps
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Valeu Marcelo ,
Eu havia pensado em fazer assim :
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar
isso.
Mas sua solução é mais adequada ...
abs.
Outra coisa , como eu provo que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
agradeço a resposta .
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x-0] f(x) =
f(0), portanto: lim [x-0] e^x = 1
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta) ... e^(-delta) -
1 e^x - 1 e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1|
eps
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 =1. Artur [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 10:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] dúvida sobre Limite Como eu faço para provar a seguinte afirmativa : lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Soh que na realidade a série de Taylor de e^x eh a propria definicao de e^x.
Para o cos, a maneira talvez mais rigorosa, valida inclusive no plano complexo,
eh tambem considerar a definicao baseda em serie de potencias: cos(x) = 1 -
x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!.a qual implica que o cosseno seja continua em R
(em C).
Outra forma de ver isso, talvez mais trigonometrica, eh considerar a identidade
cos(x) - cos(y) = -2 sen((x +y/2)) sen((x -y/2)). Para todos x e y de R, temos
entao que | cos(x) - cos(y)| = 2 |sen((x +y/2)| |sen((x -y/2))| = 2 |sen((x
-y/2))| . Mas sabemos que |sen u | = u para todo real u, de modo que | cos(x)
- cos(y)| = 2 |(x-y)/2| = | x - y|. Isto nos mostra que cos eh Lipschitz com
constante 1, logo uniformemente continua, logo continua em todo R.
A desigualdade |sen (u)| = u pode ser obtida geometricamente do circulo
unitario, desde que se aceite a Geometria Euclidiana. Ou entao, de forma talvez
mais rigorosa, considerando-se series de potencvia e o teorema do valor medio..
Artur
[Artur Costa Steiner] -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Valeu Marcelo ,
Eu havia pensado em fazer assim :
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar
isso.
Mas sua solução é mais adequada ...
abs.
Outra coisa , como eu provo que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
agradeço a resposta .
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x-0] f(x) =
f(0), portanto: lim [x-0] e^x = 1
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta) ... e^(-delta) -
1 e^x - 1 e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| eps
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Ah corrigindo a desigualdade eh |sen(u)| = |u|, erro de digitacao
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Valeu Marcelo ,
Eu havia pensado em fazer assim :
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar
isso.
Mas sua solução é mais adequada ...
abs.
Outra coisa , como eu provo que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
agradeço a resposta .
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x-0] f(x) =
f(0), portanto: lim [x-0] e^x = 1
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta) ... e^(-delta) -
1 e^x - 1 e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| eps
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Já havia consertado .. muito obrigado .. estava me perdendo no caminho .
Em 28/06/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ah corrigindo a desigualdade eh |sen(u)| = |u|, erro de digitacao
Artur
-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Kleber Bastos
*Enviada em:* quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Valeu Marcelo ,
Eu havia pensado em fazer assim :
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série
provar
isso.
Mas sua solução é mais adequada ...
abs.
Outra coisa , como eu provo que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
agradeço a resposta .
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x-0] f(x) =
f(0), portanto: lim [x-0] e^x = 1
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta) ... e^(-delta) -
1 e^x - 1 e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1|
eps
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Olá Sallab, sua solução é simples e elegante e
pode ser usada para outras demonstrações
do mesmo gênero, que podem aparecer em
provas. Só comentando:
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta)
Isso é válido porque e^x é monótona crescente para todo x,
isto é, se x_1 x_2 então e^(x_1) e^(x_2). Verificamos isso por inspeção,
porque e1. A rigor, analiticamente,
não sei se existe um modo de demonstrar isso sem
uso de derivadas. Existe?
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| eps
Note que esta passagem também é valida porque quando fazemos
max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1} pegamos sempre números positivos.
Isso ocorre porque existe delta tal que e^delta 1 sempre.
Em demonstrações de limites mais complicados às vezes não é
tão simples fazer essa passagem porque essa garantia (positividade
de eps a partir da função) não é tão fácil de obter.
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abraços
Ronaldo.
==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Aqui hah um ponto que devemos observar. Se consideramos as funcoes seno e
cosseno definidas por series de potencias, a continuidae e diferenciabilidades
de todas as ordens sao consequencias imediatas da definicao. Se consideramos a
definicao baseada no circulo trigonometrico, a continuiddae, assim como a
diferenciabilidade soa consequencias fundamentais da desigualdade |sen(u)| =
|u| com igualdade se, e somente se, u =0, bem como de identidas
trigonometricas, como sen(x) - sen(y) = 2 sen((x - y)/2) cos((x + y)/2) .
Aquela prova que eu dei eh mas geral, mostra que sen e cos sao Lipschitz
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de ralonso
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite
Olá Sallab, sua solução é simples e elegante e
pode ser usada para outras demonstrações
do mesmo gênero, que podem aparecer em
provas. Só comentando:
outro modo seria:
-delta x delta e^(-delta) e^x e^(delta)
Isso é válido porque e^x é monótona crescente para todo x,
isto é, se x_1 x_2 então e^(x_1) e^(x_2). Verificamos isso por inspeção,
porque e1. A rigor, analiticamente,
não sei se existe um modo de demonstrar isso sem
uso de derivadas. Existe?
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| eps
Note que esta passagem também é valida porque quando fazemos
max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1} pegamos sempre números positivos.
Isso ocorre porque existe delta tal que e^delta 1 sempre.
Em demonstrações de limites mais complicados às vezes não é
tão simples fazer essa passagem porque essa garantia (positividade
de eps a partir da função) não é tão fácil de obter.
logo: para todo eps 0, existe um delta0, tal que |x| delta
implica que |e^x - 1| eps
abraços
Ronaldo.
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Re: [obm-l] Dúvida
On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor essa passagem. [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). Suponho que teorema da álgebra linear foi usado na passagem acima foi aquele que diz que se o polinômio característico para matrix X satisfaz p(X) = 0. Então X^3 = X^2 + X + I. O fato do polinômio poder ser obtido da multiplicação dos anteriores tem a ver com o fato de podermos multiplicar os dois lados da equação matricial acima por X ou uma potência de X: X^3 X = X^2 X + XX + X X^4 = X^3 +X^2 + X Pensei certo? Também não entendi por que a soma a^n + b^n + c^n é o traço da matrix X^n. Deve ter algo a ver com o fato da matriz poder ser escrita como X = A^1 L A^(-1) onde L é a matriz de autovalores, uma fórmula do tipo X^n = A^n L ^n A^(-n) deve valer e os termos devem ser cancelados em uma multiplicação ... bom... preciso de uma explicação melhor aqui também, pois viajei :) Gostaria de ter a sua velocidade de raciocínio mas não consigo :) Humildemente. Ronaldo. []s a todos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Nicolau! Eu estava para postar a solução que havia encontrado e vi que a sua é praticamente a mesma coisa. O que fiz segue abaixo: Multiplicando (a+b+c) por (a^20+b^20+c^20) temos: (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) = a^21+b^21+c^21 + a^20(b+c)+b^20(a+c)+c^20(a+b) Assim a^21+b^21+c^21 = (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) - a^20(b+c)+b^20(a+c)+c^20(a+b) Nos termos a^20(b+c)+b^20(a+c)+c^20(a+b) se passarmos cada a,b,c para dentro dos parênteses teremos a^19(ab+ac)+b^19(ab+bc)+c^19(ac+bc) Se tentarmos gerar ab+ac+bc, que pode depois ser encontrada na relação (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc, temos a^19(ab+ac)+b^19(ab+bc)+c^19(ac+bc) = a^19(ab+ac+bc)+b^19(ab+ac+bc)+c^19(ab+ac+bc) - (a^19bc + b^19ac + c^19ab) = (ab+ac+bc)(a^19+b^19+c^19) - (a^19bc + b^19ac + c^19ab) Assim a^21+b^21+c^21 = (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) - [(ab+ac+bc)(a^19+b^19+c^19) - (a^19bc + b^19ac + c^19ab)] O último termo pode ser representado como a equação seguinte que incorpora na igualdade o termo abc a^19bc + b^19ac + c^19ab = a^18abc + b^18abc + c^18abc = abc(a^18+b^18+c^18) Portanto a^21+b^21+c^21 = (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) - (ab+ac+bc)(a^19+b^19+c^19) + abc(a^18+b^18+c^18) Dessa forma, podemos representar a seqüência S de forma recursiva Sn = (a+b+c)Sn-1 - (ab+ac+bc)Sn-2 + abcSn-3 Calculando ab+ac+bc (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1^2 = 3 + 2(ab+ac+bc) (ab+ac+bc) = -1 Calculando abc (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc 1^3 = 7 + 3.1.(-1) - 3abc abc = 1 A relação recursiva fica Sn = Sn-1 + Sn-2 + Sn-3 que é o que foi encontrado na sua solução. Assim S1 = 1 S2 = 3 S3 = 7 S4 = 11 S5 = 21 S6 = 39 S7 = 71 S8 = 131 S9 = 241 S10 = 443 S11 = 815 S12 = 1499 S13 = 2757 S14 = 5071 S15 = 9327 S16 = 17155 S17 = 31553 S18 = 58035 S19 = 106743 S20 = 196331 S21 = 361109 Então a^21 + b^21 + c^21 = 361109 On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] Dúvida
ralonso wrote: Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor essa passagem. Ah... tah... agora percebi: troque x^n por a^n (já que a é raiz): a^(n+3) = a^(n+2) +a^(n+1) + a^n ou por b_n: b^(n+3) = b^(n+2) +b^(n+1) + b^n ou por c_n c^(n+3) = c^(n+2) +c^(n+1) + c^n e some os três: p_(n+3) = a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3) p_(n+2) = a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2) p_(n+1) = a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) p_(n) = a^(n) + b^(n) + c^(n) == p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n logo chegamos a conclusão do professor Nicolau. A questão das matrizes ainda não enxerguei... []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
On Thu, Jun 21, 2007 at 02:20:54PM -0300, ralonso wrote: Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor essa passagem. Temos a^3 = a^2 + a + 1 donde a^(n+3) = a^(n+2) + a^(n+1) + a^n b^3 = b^2 + b + 1 donde b^(n+3) = b^(n+2) + b^(n+1) + b^n c^3 = a^2 + a + 1 donde c^(n+3) = c^(n+2) + c^(n+1) + c^n Somando, a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3) = (a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2)) + + (a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)) + (a^n + b^n + c^n) que é o mesmo que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Nicolau, lindas solucoes! gostei de ambas.. abraços, Salhab On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Ol Henrique. Voc tem 3 equaes e trs incgnitas alfa, beta e gamma. Resolva o sistema, ache alfa, beta e gamma. Escreva alfa como: alfa = cos w + i sen w, alfa^21 = cos 21w + i sen 21w fazendo o mesmo para beta e gamma e some os trs. []s Ronaldo. Henrique Renn wrote: Ol Pedro, Voc poderia dizer qual a fonte deste problema? De onde ele foi tirado? On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED]> wrote: Amigos da lista, me d uma idia resolver esta questo: Seeso nmeros complexos tais que,e , determine o valor de. -- Henrique
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Ronaldo, Será que a solução do problema seguiria por esse caminho? Não seria possível utilizar apenas produtos notáveis para resolver? Assim como o Nehab e o Salhab estavam tentando? On 6/20/07, ralonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Henrique. Você tem 3 equações e três incógnitas alfa, beta e gamma. Resolva o sistema, ache alfa, beta e gamma. Escreva alfa como: alfa = cos w + i sen w, alfa^21 = cos 21w + i sen 21w fazendo o mesmo para beta e gamma e some os três. []s Ronaldo. Henrique Rennó wrote: Olá Pedro, Você poderia dizer qual a fonte deste problema? De onde ele foi tirado? On 11/1/01, *Pedro Costa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: See são números complexos tais que ,e , determine o valor de . -- Henrique -- Henrique inline: clip_image004.gifinline: clip_image008.gifinline: clip_image012.gifinline: clip_image002.gifinline: clip_image010.gifinline: clip_image006.gif
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Pedro, Você poderia dizer qual a fonte deste problema? De onde ele foi tirado? On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se e são números complexos tais que , e , determine o valor de . -- Henrique inline: clip_image002.gifinline: clip_image012.gifinline: clip_image008.gifinline: clip_image004.gifinline: clip_image010.gifinline: clip_image006.gif
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Nehab, obrigado por continuar minha solucao.. e gostei dos produtos notaveis.. nao conhecia! mas já estao anotados! :) agora, Pedro, basta encontrar as raizes do polinomio e fazer: a^7 + b^7 + c^7.. hmm uma sugestao eh trabalhar na forma polar :) abraços, Salhab On 6/18/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Salhab, Não consegui enxergar o enunciado do problema em meu Eudora, mas... acompanhando sua proposta de solução... Desenvolvendo X = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) , conseguimos o valor de abc que você mencionou: X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(1-c) + bc(1-a) + ac(1-b) X = a^3 +b^3 + c^3 + (ab+bc+ac) - 3abc Logo, temos: 1.3 = 7 + (-1) - 3abc ou seja, abc = 1 Logo, seu polinomio é x3 - x2 -x -1 = 0. Fazendo z = x +1/3 elimina-se o termo em x^2 obtendo-se (se eu na errei nas contas) x^3 - 4/3 x - 38/27 =0 que é uma cubica padrão (modelito Cardano). Abraços, Nehab PS: Eu gosto de apresentar como produtos notáveis as relações que se seguem, muito uteis qdo rola cubo... (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) At 21:51 17/6/2007, you wrote: Ola, Vamos dizer que alfa = a, beta = b, gamma = c... entao: a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1^2 assim: 3 + 2(ab + bc + ac) = 1 ab + bc + ac = -1 (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1^3 7 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = -6 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 2abc = -2 bom, a ideia eh achar o valor de abc.. dai montamos um polinomio do 3o. grau... ja sabemos que ele eh a da forma: x^3 - x^2 - x - (abc)... assim, basta acharmos as raizes.. abraços, Salhab On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: See são números complexos tais que , e , determine o valor de . Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Nehab, opz.. ainda vi um erro meu! nao é 7, é 21.. ele apresenta aquelas 3 relações entre a, b e c : a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 e quer a^21 + b^21 + c^21... tentei por este caminho: a^21 + b^21 + c^21 = (a^7 + b^7 + c^7)(a^14 + b^14 + c^14 - (ab)^7 - (ac)^7 - (bc)^7) + 3(abc)^7 mas parei por aqui... abraços, Salhab On 6/18/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Salhab Você poderia me mandar o enunciado do problema, pois não consegui lê-lo. O que se pede é a^7+b^7+c^7 ? Não vai dar para fazer a forma polar nao, pois não é nada fácil encarar isto no Cardano. De qualquer forma se você puder me mandar o enunciado, tentarei alguma solução mais acessível. Abraços, Nehab At 13:53 18/6/2007, you wrote: Olá Nehab, obrigado por continuar minha solucao.. e gostei dos produtos notaveis.. nao conhecia! mas já estao anotados! :) agora, Pedro, basta encontrar as raizes do polinomio e fazer: a^7 + b^7 + c^7.. hmm uma sugestao eh trabalhar na forma polar :) abraços, Salhab On 6/18/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Salhab, Não consegui enxergar o enunciado do problema em meu Eudora, mas... acompanhando sua proposta de solução... Desenvolvendo X = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) , conseguimos o valor de abc que você mencionou: X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(1-c) + bc(1-a) + ac(1-b) X = a^3 +b^3 + c^3 + (ab+bc+ac) - 3abc Logo, temos: 1.3 = 7 + (-1) - 3abc ou seja, abc = 1 Logo, seu polinomio é x3 - x2 -x -1 = 0. Fazendo z = x +1/3 elimina-se o termo em x^2 obtendo-se (se eu na errei nas contas) x^3 - 4/3 x - 38/27 =0 que é uma cubica padrão (modelito Cardano). Abraços, Nehab PS: Eu gosto de apresentar como produtos notáveis as relações que se seguem, muito uteis qdo rola cubo... (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) 3abc (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) At 21:51 17/6/2007, you wrote: Ola, Vamos dizer que alfa = a, beta = b, gamma = c... entao: a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1^2 assim: 3 + 2(ab + bc + ac) = 1 ab + bc + ac = -1 (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1^3 7 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = -6 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 2abc = -2 bom, a ideia eh achar o valor de abc.. dai montamos um polinomio do 3o. grau... ja sabemos que ele eh a da forma: x^3 - x^2 - x - (abc)... assim, basta acharmos as raizes.. abraços, Salhab On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: See são números complexos tais que , e , determine o valor de . Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
O problema pede a^21 + b^21 + c^21 sabendo-se que a + b + c = 1 , a^2 + b^2 + c^2 = 3 , a^3 + b^3 + c^3 = 7 e que a, b, c são números complexos. On 6/18/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Salhab Você poderia me mandar o enunciado do problema, pois não consegui lê-lo. O que se pede é a^7+b^7+c^7 ? Não vai dar para fazer a forma polar nao, pois não é nada fácil encarar isto no Cardano. De qualquer forma se você puder me mandar o enunciado, tentarei alguma solução mais acessível. Abraços, Nehab At 13:53 18/6/2007, you wrote: Olá Nehab, obrigado por continuar minha solucao.. e gostei dos produtos notaveis.. nao conhecia! mas já estao anotados! :) agora, Pedro, basta encontrar as raizes do polinomio e fazer: a^7 + b^7 + c^7.. hmm uma sugestao eh trabalhar na forma polar :) abraços, Salhab On 6/18/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Salhab, Não consegui enxergar o enunciado do problema em meu Eudora, mas... acompanhando sua proposta de solução... Desenvolvendo X = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) , conseguimos o valor de abc que você mencionou: X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(1-c) + bc(1-a) + ac(1-b) X = a^3 +b^3 + c^3 + (ab+bc+ac) - 3abc Logo, temos: 1.3 = 7 + (-1) - 3abc ou seja, abc = 1 Logo, seu polinomio é x3 - x2 -x -1 = 0. Fazendo z = x +1/3 elimina-se o termo em x^2 obtendo-se (se eu na errei nas contas) x^3 - 4/3 x - 38/27 =0 que é uma cubica padrão (modelito Cardano). Abraços, Nehab PS: Eu gosto de apresentar como produtos notáveis as relações que se seguem, muito uteis qdo rola cubo... (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) 3abc (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) At 21:51 17/6/2007, you wrote: Ola, Vamos dizer que alfa = a, beta = b, gamma = c... entao: a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1^2 assim: 3 + 2(ab + bc + ac) = 1 ab + bc + ac = -1 (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1^3 7 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = -6 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 2abc = -2 bom, a ideia eh achar o valor de abc.. dai montamos um polinomio do 3o. grau... ja sabemos que ele eh a da forma: x^3 - x^2 - x - (abc)... assim, basta acharmos as raizes.. abraços, Salhab On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: See são números complexos tais que , e , determine o valor de . Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Dúvida
Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se e são números complexos tais que , e , determine o valor de . clip_image002.gifclip_image004.gifclip_image006.gifclip_image008.gifclip_image010.gifclip_image012.gifInternal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown
Re: [obm-l] Dúvida
Ola, Vamos dizer que alfa = a, beta = b, gamma = c... entao: a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1^2 assim: 3 + 2(ab + bc + ac) = 1 ab + bc + ac = -1 (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1^3 7 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = -6 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 2abc = -2 bom, a ideia eh achar o valor de abc.. dai montamos um polinomio do 3o. grau... ja sabemos que ele eh a da forma: x^3 - x^2 - x - (abc)... assim, basta acharmos as raizes.. abraços, Salhab On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se e são números complexos tais que , e , determine o valor de . Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida ( área m ínima )
Valeu Rafael Muito obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] dúvida ( cálculo)
Valeu Bruno Muito obrigado Vieira __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida ( área mínima )
Oi Se o triangulo é retangulo entao a area S = AB*AC/2. Seja D o ponto que a reta t corta a reta r e E o ponto que t corta s. Faça tambem F o ponto que AC intercepta r. Vou chamar teta de x pra facilitar. Se x é o angulo que AC forma com a reta s, (AFD) = x (porque r e s são paralelas). Veja que (ADF)=(BAF)=90°. Entao (ABD) + x + 90° = (ABD) + 90° + (BAD). Então (BAD) = x. Portanto podemos escrever: AE/AC = sen x = AC = AE/sen x e AD/AB = cos x = AB = AD/cos x. Assim S = AD * AE/2*sen x * cos x. Mas 2*sen x * cos x = sen 2x e se A é ponto fixo, AD e AE são constantes e independem de x. Assim, para minimizar a area devemos maximizar sen 2x. Como o maior seno possivel é 1 fazemos: sen 2x = 1 = 2x = 90° = x=45° ou pi/4. - Original Message - From: cleber vieira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 12:12 AM Subject: [obm-l] Dúvida ( área mínima ) Amigos gostaria da ajuda de vocês neste seguinte problema. Duas retas r e s são parelelas, os pontos B de r e C de s são móveis e o ponto A, entre as retas é fixo; dentre todos os triângulos ABC, retângulos em A, teremos o de área mínima quando? a) teta = pi/3 b) teta = pi/4 obs: teta é o angulo que AC forma com a reta s. c) teta = pi/5 d) teta = pi/6 e) n.d.a Obrigado Vieira __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] dúvida ( cálculo)
Olá amigos gostaria da ajuda de vocês neste problema. O mesmo faz parte dos testes do Iezzi nº8 página 262, teste 124. Seja f(x) uma função qualquer estritamente crescente no intervalo (a;b) e possuindo derivada segunda f (x) contínua em (a;b). Pode se afirmar que: a) a derivada f '(x) de f(x) é positiva em (a;b). b) f (x) é positiva em (a;b). c) se f '(x) se anula em algum ponto x0 de (a;b), então f (x) = 0. d) f (x) é negativa em (a;b). e) todas as afirmativas são falsas. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Dúvida ( área mínima )
Amigos gostaria da ajuda de vocês neste seguinte problema.
Duas retas r e s são parelelas, os pontos B de r e C de s são móveis e o
ponto A, entre as retas é fixo; dentre todos os triângulos ABC, retângulos em
A, teremos o de área mínima quando?
a) teta = pi/3
b) teta = pi/4 obs: teta é o angulo que AC forma com a reta s.
c) teta = pi/5
d) teta = pi/6
e) n.d.a
Obrigado
Vieira
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2 raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] dúvida ( cálculo)
Considere a função f(x) = (x-x0)^3, onde x0 pertence a (a;b). Temos: f'(x) = 3(x-x0)^2. Em x0 temos um ponto de inflexão (já que f''(x0) = 0), assim a função é estritamente crescente, com derivada segunda contínua, satisfazendo às hipoteses. a) nossa f é um contra-exemplo, já que f(x0) = 0 b) não: f''(x) = 6(x-x0), que é positiva à direita de x0 e negativa à esquerda de x0. c) não: f'(x0) = 0 e f''(x) = 6(x-x0) que não é 0 a menos de x0 d) não: idem a (b) Abraço Bruno 2007/5/15, cleber vieira [EMAIL PROTECTED]: Olá amigos gostaria da ajuda de vocês neste problema. O mesmo faz parte dos testes do Iezzi nº8 página 262, teste 124. Seja f(x) uma função qualquer estritamente crescente no intervalo (a;b) e possuindo derivada segunda f (x) contínua em (a;b). Pode se afirmar que: a) a derivada f '(x) de f(x) é positiva em (a;b). b) f (x) é positiva em (a;b). c) se f '(x) se anula em algum ponto x0 de (a;b), então f (x) = 0. d) f (x) é negativa em (a;b). e) todas as afirmativas são falsas. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Dúvida ( área mínima )
Amigos gostaria da ajuda de vocês neste seguinte problema. Duas retas r e s são parelelas, os pontos B de r e C de s são móveis e o ponto A, entre as retas é fixo; dentre todos os triângulos ABC, retângulos em A, teremos o de área mínima quando? a) teta = pi/3 b) teta = pi/4 obs: teta é o angulo que AC forma com a reta s. c) teta = pi/5 d) teta = pi/6 e) n.d.a Obrigado Vieira __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Dúvida Cálculo - Reta Tangente
Será que alguém poderia me ajudar com a seguinte questão: Encontre uma equação para uma reta tangente ao gráfico de y=e^x e que passa pela origem. Grato, Diego
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida Cálculo - Reta Tangente
Oi Derivando a equação voce tem y' = e^x. Se a reta passa pela origem o ponto (0,0) está na reta. Então precisamos de um ponto P pertencente à curva e que a reta que passa por P e por (0,0) tangencie e^x em P. Como P está na curva fazemos P = (a, e^a). Assim a inclinação da reta será (e^a - 0)/(a - 0) = e^a/a. Mas esse deve ser o valor da derivada em a logo: e^a = e^a/a == a=1. Então P = (1, e), y' em P será e^1 = e, e a reta será y - 0 = e(x - 0) == y = e*x. - Original Message - From: Diego Alex Silva To: obm-l Sent: Friday, May 04, 2007 2:56 PM Subject: [obm-l] Dúvida Cálculo - Reta Tangente Será que alguém poderia me ajudar com a seguinte questão: Encontre uma equação para uma reta tangente ao gráfico de y=e^x e que passa pela origem. Grato, Diego
Re: [obm-l] Dúvida Cálculo - Reta Tangente
eh so achar a derivada (D), se nao souber de cor procura tabela de derivacao ou qualquer coisa assim no google a equacao da reta sera y=Dx __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Dúvida-Mestrado
Prezado Tengus. Bem... esse assunto é um pouco off-topic, mas como a maioria dos que estão aqui pretendem seguir carreira na matemática, acho que não custa falar um pouco a respeito. Pediria a membros da lista que me corrigissem caso tenha escrito algo não conforme nas linhas abaixo. Cada Universidade adota um critério para admissão em cursos de pós-graduação (mestrado, doutorado, pós-doutorado) e para o acompanhamento do curso pelo candidato. Muitos desses critérios, às vezes, não tem dependência somente em aspectos burocráticos, mas também tem dependências em aspectos de merecimento que por sua vez, podem englobar tanto aspectos subjetivos quanto objetivos e são específicos para cada candidato que estiver concorrendo a vagas nelas e nos professores que estiverem fazendo avaliação do candidato. Não existe uma palavra final a respeito. Por isso, faz-se necessárias apresentações, para que professores, potenciais orientadores de teses e dissertações, conheçam do candidato e sobre ele deliberem. Esse conhecimento pode ser obtido através de aplicação de exames, de avaliação objetiva do trabalho já realizado como também do conhecimento pessoal da criatividade e capacitade analítica do candidato e pode ou não ser formal. Tudo o que foi exposto acima parece muito abstrato, em princípio, porém fica mais claro quando mostramos exemplos. 1) Uma universidade X de renome faz a sua admissão em seu programa de Mestrado/Doutorado através de um concurso de provas e publicações. A prova consiste em um exame nacional e os candidatos são cassificados através de uma pontuação que corresponde à pontuação da prova mais a pontuação das publicações, sendo que a *qualis* da publicação determina o valor de pontos atribuídas a ela. Após o ingresso, o candidato precisa cursar as disciplinas A,B,C,D,E,F e G mas pode optar por cursar somente F e G, caso já tenha conhecimento profundo das disciplinas A,B,C,D,E, o qual deve ser confirmado categoricamente através de uma prova de suficiência. As disciplinas F e G tem que ser obrigatóriamente cursadas porém o professor da disciplina F obriga que os alunos compareçam enquanto que os para os alunos da G o professor faculta o comparecimento, sendo este apenas requerido para a prova. 2) Uma universidade Y de renome, oferece 10 vagas e habilita 20 candidatos para pós, sendo a habilitação concedida a partir do desempenho em um curso de verão da disciplina X e a classificação para habilitação será dada pela ordem de maior nota neste curso. Se um aluno fizer duas vezes o curso e não ficar entre os habilitados, perde a chance de concorrer a uma nova vaga nesta universidade. Porém o aluno M, fez esse curso como ouvinte, por estar inseguro e não querer gastar uma das chances que possuia para fazer o curso lá. Esse aluno inseguro, porém, era muito inteligente e surpreendeu a si mesmo conseguindo primeira colocação no curso de verão. Mesmo assim ele continuou inseguro, achando que matemática era muito difícil e que não iria conseguir terminar a pós!!! (haja pessimismo) Ele então perguntou então aos professores, se ele poderia deixar de se matricular, assistir as aulas como ouvinte e depois de saber toda a matéria entrar para fazer o curso. Todos os professores, conhecendo bem o candidato e sabendo de suas peculiaridades e idiosincrasias, concordaram. Depois de assistir a todas as disciplinas e fazer com brilho todas as provas destas, o aluno já era praticamente doutor, tinha muitas publicações, mas não tinha o título. Então ele se matriculou regularmente (nem precisou fazer o curso de verão e também nem precisou de cartas de referência) e depois não precisou ir às aulas nem fazer provas, só teve que esperar 3 anos para que seu diploma fosse expedido. 3) Um aluno Z não estava ligado a nenhuma universidade, mas por ter capacidade analítica e criatividade incrível, além de ser extremamente autodidata, consegui 1 lugar em duas olimpíadas internacionais de matemática, além de publicar vários papers em revistas de renome e ser indicado para receber a medalha fields por merecimento. Uma Universidade W de renome, conhecendo bem o trabalho, convidou-o para fazer provas de suficiencia para seu programa de doutorado (triviais para o candidato) e após o candidato tê-las feito recebeu o título de doutor honoris-causa. Note que no caso 3 o aluno se matriculou e só fez provas, no caso 2 o aluno assistiu aulas para aprender e fez provas, mas conhecia os professores e no caso 1 o aluno teve que obrigatoriamente assistir a algumas aulas. PS: Todos os casos aqui apresentados são HIPOTÉTICOS. Podem ou não existir na realidade e podem ou não mudar de universidade para universidade e de tempos em tempos. Alguns deles podem parecer jocosos e irreais, mas em determinadas circunstâncias de extrema excepcionalidade podem ocorrer. Bem, basicamente é isso. Particularmente eu acho que aulas são importantes. Não diria que se deve dispensá-las, pois sempre há
[obm-l] Dúvida-Mestrado
Caros integrantes desta renomada lista, Gostaria de saber se é possível cursar um mestrado em Matemática, numa Universidade Pública, comparecendo somente aos exames e eventualmente aos diálogos - orientação ou acompanhamento pertinente à dissertação com o orientador nos períodos que antecedem a apresentação da dissertação, ou seja, cursar o mestrado de forma semi-presencial, entretanto somente se matriculando no período da dissertação. Particularmente, o meu foco é a UFPE ou a UFBA. Desde já agradeço! Abraços! Marco Antonio
[obm-l] dúvida em um teorema
opa galera, blz? escuta, eu procurei em um bocado de livro, mai não axei uq seria o teorema de rouché-capelli eu li um artigo q mencionou esse teorema, q cai até em provas de ita, ime, mas não axei a explicação alguém poderia me explicar? agradeço desde já abraços renato _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida em um teorema
http://www.rumoaoita.com/materiais/materiais_caio/rouche_capelli.pdf Esse material escrito pelo Caio é bem legal! Acho que o site tem muita coisa que pode te ajudar também! Abraço! On 2/17/07, Renato Parente [EMAIL PROTECTED] wrote: opa galera, blz? escuta, eu procurei em um bocado de livro, mai não axei uq seria o teorema de rouché-capelli eu li um artigo q mencionou esse teorema, q cai até em provas de ita, ime, mas não axei a explicação alguém poderia me explicar? agradeço desde já abraços renato _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] dúvida
Mário, Segue uma outra forma para a mesma solução: Sabendo que log de P na base 27 = a , como calculo log de P na base 81 e log de P na base 1/3 log de P na base 27 = a == 27^a =P== (3^3)^a=P == 3^3a=P ( 1 ) log de P na base 81 = x == 81^x =P== (3^4)^x=P == 3^4x=P ( 2 ) log de P na base 1/3 = y ==1/3^y =P== (3^(-1))^y=P== 3^ (-y)=P ( 3 ) ( 2 ) em ( 1 ): 3^4x=3^3a == 4x=3a -- *x=3a/4* ( 3 ) em ( 1 ): 3^ (-y)=3^3a == -y=3a -- *y=-3a*
[obm-l] dúvida
Olá!!! Gostaria de um auxílio para resolver a seguinte questão: Sabendo que log de P na base 27 = a , como calculo log de P na base 81 e log de P na base 1/3 Muito obrigado, Mário
[obm-l] 1 a 100 em tabuleiro 10x10 Era:[obm-l] Dúvida!!
Num tabuleiro 10×10, escrevemos todos os inteiros de 1 até 100. Em seguida, selecionamos o terceiro maior elemento de cada linha do tabuleiro. Mostre que existe uma linha do tabuleiro tal que a soma dos elementos nessa linha é menor ou igual a soma dos elementos selecionados. Desde já agradeço aos que se manifestarem!! Forte abraço a todos!! Seja A uma matriz (tabuleiro) 10x10 preenchida de acordo com o enunciado. S.p.d.g. (e pra facilitar a notacao) podemos supor que: i) os elementos de cada linha estao dispostos em ordem decrescente, pois isso nao altera a soma das linhas e faz com que a soma da 3a. coluna seja justamente a soma dos terceiros maiores elementos de cada linha; ii) as linhas estao dispostas de modo que a_1,3 a_2,3 ... a_10,3, pois isso nao altera a soma da 3a. coluna. Seja S = a_1,3+a_2,3+...+a_10,3 = soma dos elementos da 3a. coluna. A soma de todas as entradas da matriz eh 1+2+...+100 = 5050. Assim, pelo menos uma das linhas terah soma = 505. a_1,3 = m eh o menor elemento da 3a. coluna == o menor valor possivel para S eh m+(m+1)+...+(m+9) = 10m+45. Logo, se m = 46, entao S = 505. Eh facil ver que a_1,3 = 8 (pois a_1,3 a_1,4 ... a_1,10). Alem disso, a_2,3 = 16, pois (a_2,3 a_1,3 e a_2,3 a_2,4 ... a_2,10). Prosseguindo desta forma, concluimos que: a_3,3 = 24; a_4,3 = 32; ...; a_k,3 = 8k; ...; a_10,3 = 80. (***) Logo, o menor valor possivel para S eh 8+16+24+...+80 = 440. Dado a_1,3 = m, o maior valor possivel para a soma da 1a. linha eh: 100+99+m+(m-1)+...+(m-7) = 8m+171. Logo, se m = 33, entao 8m+171 = 435 440. Em suma, se a_1,3 = 46 ou a_1,3 = 33, entao acabou. Suponhamos, portanto, que 34 = a_1,3 = m = 45. Isso implica que a_2,3 = m+1, a_3,3 = m+2, ..., a_10,3 = m+9. Levando em conta (***) acima, podemos escrever: a_1,3 = max(m,8) = m; a_2,3 = max(m+1,16) = m+1; a_3,3 = max(m+2,24) = m+2; a_4,3 = max(m+3,32) = m+3; a_5,3 = max(m+4,40) = 40; a_6,3 = max(m+5,48) = 48; a_7,3 = max(m+6,56) = 56; a_8,3 = max(m+7,64) = 64; a_9,3 = max(m+8,72) = 72; a_10,3 = max(m+9,80) = 80. Somando tudo, obtemos S = 4m+366. Como o maior valor possivel para a soma da 1a. linha eh 8m+171, o problema estarah resolvido se tivermos: 8m+171 = 4m+366 == 4m = 195 == m = 48.75. Como estamos supondo m = 45, acabou. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida!!
Num tabuleiro 10×10, escrevemos todos os inteiros de 1 até 100. Em seguida, selecionamos o terceiro maior elemento de cada linha do tabuleiro. Mostre que existe uma linha do tabuleiro tal que a soma dos elementos nessa linha é menor ou igual a soma dos elementos selecionados. Desde já agradeço aos que se manifestarem!! Forte abraço a todos!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dúvida de tradução
olá colegas de lista como traduziria knots e do que este ramo da matemática trabalha? regis - O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] dúvida de tradução
Oi, knots são do ramo da teoria dos nós. Por exemplo, para distinguir qdo dois nós são os mesmos, na biologia qdo as moléculas de dna se enrolam (http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knot.html). Até existe uma algebra dos nós. Se tiver mais dúvidas, veja o seguinte link: http://www.math.ist.utl.pt/~cviva/Backup/Teoria%20dos%20N%F3s.htm Em 17/11/06, regis barros[EMAIL PROTECTED] escreveu: olá colegas de lista como traduziria knots e do que este ramo da matemática trabalha? regis O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Cruel!
Infelizmente, nao estah correto -- voce nao pode subtrair desigualdades Note: 20 21 e 1 3, entao 19 18 ?? ---///--- Sem calculo, acho que sei achar as raizes INTEIRAS, nao sei... Para as reais, tenho uma solucao *com* calculo: Seja f(y)=y^x (onde x eh constante!) onde y0. A equacao eh equivalente a f(5)-f(4)=f(3)-f(2). Note que f eh diferenciavel (f`(y)=(x).(y^(x-1))). Entao, pelo Teorema do Valor Medio: f(5)-f(4) = (5-4) f`(a) = f`(a) onde a estah em [4,5]; f(3)-f(2) = (3-2) f`(b) = f`(b) onde b estah em [2,3]; Se x0 ou x1, entao f``(y) = x(x-1)y^(x-2)0 mostra que f` eh crescente, isto eh, f`(a)f`(b), entao f(5)-f(4) f(3)-f(2). Se 0x1, entao f``(y)0, dai f` eh decrescente e entao f(5)-f(4)f(3)-f(2). Assim, para ter f(5)-f(4)=f(3)-f(2), devemos ter x=0 ou x=1. Testando, vemos que ambos estes valores servem, entao sao as unicas raizes reais. Abraco, Ralph -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of Iuri Sent: Wed 11/15/2006 10:36 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: Re: [obm-l] Dúvida Cruel! Essa questão tá no majorando.com, e eu já fiquei algum tempo pensando nela, mas parece que só agora deu alguma idéia boa. 5^x - 3^x = 4^x - 2^x (4+1)^x - (4-1)^x = (3+1)^x - (3-1)^x (y+1)^x é uma função crescente, para y0. Para x0: (4+1)^x (3+1)^x (4-1)^x (3-1)^x (4+1)^x - (4-1)^x (3+1)^x - (3-1)^x Para x=0, temos a resposta trivial. Para x0: (4+1)^x (3+1)^x (4-1)^x (3-1)^x (4-1)^x - (4+1)^x (3-1)^x - (3+1)^x Portanto a unica solução é x=0. Isso tá certo? On 11/15/06, Rodolfo Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal como faço pra resolver essa equação? Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! Abraços a todos! Rodolfo. _ Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/search/video/*http://br.search.yahoo.com/search/video?p=james+bluntei=UTF-8cv=gx=wrtvm=rfr=intl-mail-br-b winmail.dat
[obm-l] Dúvida Cruel!
Pessoal como faço pra resolver essa equação? Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! Abraços a todos! Rodolfo. - Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Dúvida Cruel!
Essa questão tá no majorando.com, e eu já fiquei algum tempo pensando nela, mas parece que só agora deu alguma idéia boa. 5^x - 3^x = 4^x - 2^x (4+1)^x - (4-1)^x = (3+1)^x - (3-1)^x (y+1)^x é uma função crescente, para y0. Para x0: (4+1)^x (3+1)^x (4-1)^x (3-1)^x (4+1)^x - (4-1)^x (3+1)^x - (3-1)^x Para x=0, temos a resposta trivial. Para x0: (4+1)^x (3+1)^x (4-1)^x (3-1)^x (4-1)^x - (4+1)^x (3-1)^x - (3+1)^x Portanto a unica solução é x=0. Isso tá certo? On 11/15/06, Rodolfo Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal como faço pra resolver essa equação? Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! Abraços a todos! Rodolfo. -- Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunthttp://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/search/video/*http://br.search.yahoo.com/search/video?p=james+bluntei=UTF-8cv=gx=wrtvm=rfr=intl-mail-br-b
[obm-l] Re:[obm-l] Dúvida Cruel!
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel! Pessoal como faço pra resolver essa equação? Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! Abraços a todos! Rodolfo. x = 0 e x = 1 sao claramente solucoes. Multiplicando a equacao por 2^x, obtemos: 4^x + 10^x = 6^x + 8^x == (7 - 3)^x + (7 + 3)^x = (7 - 1)^x + (7 + 1)^x Fixado x (suposto diferente de 0 e 1), seja f_x:(0,4) - R dada por: f_x(t) = (7 + t)^x + (7 - t)^x. Assim, x eh solucao da equacao se e somente se f_x(1) = f_x(3). f_x'(t) = x((7 + t)^(x-1) - (7 - t)^(x-1)) = funcao continua de t Dado o dominio de t (o intervalo aberto (0,4)), temos: 7 + t 7 - t 0 == se x 1, entao (7 + t)^(x-1) (7 - t)^(x-1) == f_x'(t) 0 se 0 x 1, entao (7 + t)^(x-1) (7 - t)^(x-1) == f_x'(t) 0 se x 0, entao (7 + t)^(x-1) (7 - t)^(x-1) == f_x'(t) 0 (pois a diferenca, que eh negativa, estah multiplicada por x 0) Assim: x 1 == f_x'(t) 0 == f_x eh crescente == f_x(1) f_x(3) 0 x 1 == f_x'(t) 0 == f_x eh decrescente == f_x(1) f_x(3) x 0 == f_x'(t) 0 == f_x eh crescente == f_x(1) f_x(3) Em suma, as unicas solucoes sao as obvias: x = 0 e x = 1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Dúvida Cruel!
A solução do Cláudio baseia-se em propriedades das exponenciais que podem ser verificadas por inspeção. Basicamente para resolver ele inicialmente checou que x=0 e x=1 eram soluções (alguém pode rapidamente fazer isso em uma olimpíada, embora é preciso ter alguma intuição anterior, ou reescrevendo a equação ou então desenhando o gráfico da função para saber mais ou menos a forma da solução e onde procurá-la). A dúvida consistia se essas eram as *únicas* soluções. Para constatar que isso é verdade basta argumentar da seguinte forma menos matemáticamente rigorosa: 1) Escreva a equação como: 3^x - 2^x = 5^x - 4^x 2) Observe que os termos exponenciais do lado direito crescem mais rápidamente quando x1 e mais lentamente quando x 1 (para ver isso claramente construa os gráficos sobrepostos de f(x) = 3^x - 2^x e g(x) = 5^x - 4^x ). 2') Verifique que 3^x - 2^x é sempre menor que 5^x - 4^x quando x 1 3) Devido 'a condição anterior os gráficos não vão mais se cruzar em nenhum lugar além de 0 e 1. (*) Claro que para provar a condição 2 rigorosamente temos que usar derivadas que é o que faz a solução abaixo. Mas e se estivéssemos procurando soluções complexas da equação? Ah... aí então gráficos não ajudariam mais... e devido à periodicidade da exponecial ( e^(x + 2*k *pi ) = e ^x ) teríamos infinitas soluções. On 11/15/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel! Pessoal como faço pra resolver essa equação? Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! Abraços a todos! Rodolfo. x = 0 e x = 1 sao claramente solucoes. Multiplicando a equacao por 2^x, obtemos: 4^x + 10^x = 6^x + 8^x == (7 - 3)^x + (7 + 3)^x = (7 - 1)^x + (7 + 1)^x Fixado x (suposto diferente de 0 e 1), seja f_x:(0,4) - R dada por: f_x(t) = (7 + t)^x + (7 - t)^x. Assim, x eh solucao da equacao se e somente se f_x(1) = f_x(3). f_x'(t) = x((7 + t)^(x-1) - (7 - t)^(x-1)) = funcao continua de t Dado o dominio de t (o intervalo aberto (0,4)), temos: 7 + t 7 - t 0 == se x 1, entao (7 + t)^(x-1) (7 - t)^(x-1) == f_x'(t) 0 se 0 x 1, entao (7 + t)^(x-1) (7 - t)^(x-1) == f_x'(t) 0 se x 0, entao (7 + t)^(x-1) (7 - t)^(x-1) == f_x'(t) 0 (pois a diferenca, que eh negativa, estah multiplicada por x 0) Assim: x 1 == f_x'(t) 0 == f_x eh crescente == f_x(1) f_x(3) 0 x 1 == f_x'(t) 0 == f_x eh decrescente == f_x(1) f_x(3) x 0 == f_x'(t) 0 == f_x eh crescente == f_x(1) f_x(3) Em suma, as unicas solucoes sao as obvias: x = 0 e x = 1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ronaldo Luiz Alonso -- Computer Engeener LSI-TEC/USP - Brazil.
[obm-l] Dúvida trigonometria
Como faço para calcular o valor de x na equação abaixo sem o uso de calculadora ? ( deixem os cálculos) tg x = 7/4 ( tangente de x igual a sete quartos )(a) 60º15' (b) 45º15' (c) 80º25' (d) 50º30' O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Dúvida trigonometria
Vc sabe por exemplo a tg(60) = raiz(3).raiz(3) é aproximadamente 1,74, e 7/4=1,75. Dai ficamos com a letra A. Se não souber a raiz(3), vc poderia elevar ao quadrado tanto a tg(60) quanto o 7/4, e ai veria que 3 é aproximadamente 49/16. 3 seria 48/16. Essas contas são facilmente feitas sem calculadora, IuriOn 10/28/06, Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço para calcular o valor de x na equação abaixo sem o uso de calculadora ? ( deixem os cálculos) tg x = 7/4 ( tangente de x igual a sete quartos )(a) 60º15' (b) 45º15' (c) 80º25' (d) 50º30' O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Dúvida trigonometria
OláEstou me aventurando por terrenos desconhecidos, mas eu acho que o método mais adequado para encontrar valores aproximados de equações transcendentes que contenham apenas funções trigonométricas e números é pela expansão da função utilizando as séries de Taylor. Sobre a expansão da tangente, você pode encontrar mais aqui: http://www.maths.mq.edu.au/~steffen/pdf/tam.pdf--Abraços,J. Renan 2006/10/28, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Vc sabe por exemplo a tg(60) = raiz(3).raiz(3) é aproximadamente 1,74, e 7/4=1,75. Dai ficamos com a letra A. Se não souber a raiz(3), vc poderia elevar ao quadrado tanto a tg(60) quanto o 7/4, e ai veria que 3 é aproximadamente 49/16. 3 seria 48/16. Essas contas são facilmente feitas sem calculadora, IuriOn 10/28/06, Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço para calcular o valor de x na equação abaixo sem o uso de calculadora ? ( deixem os cálculos) tg x = 7/4 ( tangente de x igual a sete quartos )(a) 60º15' (b) 45º15' (c) 80º25' (d) 50º30'
[obm-l] RE: [obm-l] dúvida reincidente
Sauda,c~oes, Oi Orlando, Este problema já foi resolvido. Mostre que n/2 = 16,1 = (2+n)/2 e conclua que n=31 e x (elemento suprimido) = 13. []'s Luís From: Orlando Onofre Filho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] dúvida reincidente Date: Sat, 21 Oct 2006 23:24:48 + saudaões pro pessoal da lista.. to precisando da ajuda em um problema que eu vi aqui e não consegui fazer uma solução satisfatória. eu entro só nos fins de semanas na net e eu não vejo as msg diariamente, por isso provavelmente essa questão jáfoi resolvida mas eu não a vi. A questão era: Suprimindo um fos elementos do conjunto (1,2,n) a média aritmética dos elemntos restantes eu equacinonei o prolblema chamando de x o número suprimido e após fatorei a média aritmética em tres PA e a´pós fatorar a expressão obtive: x=n^2 - 16n +16 - (n-1)(5n+1)/10 , daí como n e x são interios e como 5n=1 não pode ser múltiplo de 10 , logo somente (n-1) podeser mult. de 10.. dai jogando valores para n eu obtive n=31 e x=19. Mas eu achei a solução mto grande e penso que deve existir métods mais rápidos.. eu observei que a média diminui ao retirar um num. generica , esse resultado ocorre sempre? tentei demosntar mas não consegui. seria possivel algume demonstrar pra mim?era possível ver que o número de elemnto era 31 ao obeser que o somatório da média normal era (1+n)n/2? _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês )
Estava fazendo exercícios em um livro em inglês e me deparei com essa questâo:Prove that if a is a number relatively prime with respect to 6, then (a^2 - 1) : 24* : significa divisível por Então, o que vem a ser um número relativamente primo em relação a 6? Ou não quer dizer isso ? Desculpo-me desde já se a pergunta foi muito elementar
Re: [obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês )
Ramon Gondim wrote: Então, o que vem a ser um número relativamente primo em relação a 6? Ou não quer dizer isso ? A e B são relativamente primos quando não têm divisores comuns. Ou seja, mdc(A,B)=1. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês )
O significado é "Sendo "a" e 6 primos entre si..." Acho que está faltando alguma parte não? O * (divisível) não aparece no enunciado... [ ]'s Gabriel - Original Message - From: Ramon Gondim To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 17, 2006 1:48 PM Subject: [obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês ) Estava fazendo exercícios em um livro em inglês e me deparei com essa questâo:Prove that if "a" is a number relatively prime with respect to 6, then (a^2 - 1) : 24* : significa divisível porEntão, o que vem a ser um número "relativamente primo" em relação a 6? Ou não quer dizer isso ? Desculpo-me desde já se a pergunta foi muito elementar
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês )
Então O enunciado é provar que se a for relaticamente primo em relação a 6, (a^2-1) é divisivel por 24 ( análogo a ( a^2-1 ) : 24 ) A minha dúvida era conceitual mesmo e já foi explicado, Vlw ricardo Em 17/10/06, Gabriel Rovina [EMAIL PROTECTED] escreveu: O significado é Sendo a e 6 primos entre si... Acho que está faltando alguma parte não? O * (divisível) não aparece no enunciado... [ ]'s Gabriel - Original Message - From: Ramon Gondim To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 17, 2006 1:48 PM Subject: [obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês ) Estava fazendo exercícios em um livro em inglês e me deparei com essa questâo:Prove that if a is a number relatively prime with respect to 6, then (a^2 - 1) : 24* : significa divisível porEntão, o que vem a ser um número relativamente primo em relação a 6? Ou não quer dizer isso ? Desculpo-me desde já se a pergunta foi muito elementar
Re: [obm-l] Dúvida - probabilidades
Acho que voce entendeu errado o que eu disse, pois eu falei que para o jogador A a probabilidade é de 50%. Isso porque não pode ter o mesmo número de caras e de coroas, já que ele joga a moeda um numero ímpar de vezes. On 10/15/06, fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] wrote: Também achei isso. E para o A, 0,4673. Em (13:37:05), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: A moeda é perfeita, portanto tem 50% de chance de ser cara e 50% de chance de ser coroa, por isso, quando voce jogar a moeda n vezes, a probabilidade de sair mais caras que coroas eh a mesma de sair mais coroas que caras. Mas então qual a diferença entre lancar 11 e 12 vezes? A diferença eh que com 11 vezes as únicas possibilidades são: - Ocorrem mais caras que coroas - Ocorrem mais coroas que caras Não pode ocorrer empate no número de lançamentos! Entao a probabilidade para o jogador A eh 50%. Já para o jogador B, pode ocorrer empate (pode cair 6 caras e 6 coroas), entao a probabilidade de sair um numero diferente de caras e coroas é reduzida e como a probabilidade de ter mais caras que coroas é a mesma que ter mais coroas que caras, a probabilidade pro jogador B é menor que 50%. Portanto o jogador B tem menor probabilidade. Apesar de a questão não exigir, vou tentar calcular a probabilidade para o jogador B: Total de possibilidades: 2^12 Quantas possibilidades tem numeros iguais de caras e coroas: 12! / (6! 6!) Quantas possibilidades tem numeros diferentes de caras e coroas: 2^12 - 12! / (6! 6!) Probabilidade de numero diferente de caras e coroas: (2^12 - 12! / (6! 6!)) / 2^12 = 1 - 12! / (6! * 6! * 2^12) Probabilidade de mais caras que coroa: P = 1/2 do valor anterior = 1/2 - 12! / (6! * 6! * 2^13) Simplificando: P = 1/2 - (11 * 7 * 3) / (2^11) = 1/2 - 0,11279 = 0,3872 Espero nao ter errado as contas... On 10/15/06, Andrezinho wrote: Dois jogadores A e B, lançam uma moeda perfeita 11 e 12 vezes, respectivamente. Qual deles possui a menor chance de conseguir mais caras do que coroas? -- 142857 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- 142857 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida - probabilidades
Dois jogadores A e B, lançam uma moeda perfeita 11 e 12 vezes, respectivamente. Qual deles possui a menor chance de conseguir mais caras do que coroas?
Re: [obm-l] Dúvida - probabilidades
A moeda é perfeita, portanto tem 50% de chance de ser cara e 50% de chance de ser coroa, por isso, quando voce jogar a moeda n vezes, a probabilidade de sair mais caras que coroas eh a mesma de sair mais coroas que caras. Mas então qual a diferença entre lancar 11 e 12 vezes? A diferença eh que com 11 vezes as únicas possibilidades são: - Ocorrem mais caras que coroas - Ocorrem mais coroas que caras Não pode ocorrer empate no número de lançamentos! Entao a probabilidade para o jogador A eh 50%. Já para o jogador B, pode ocorrer empate (pode cair 6 caras e 6 coroas), entao a probabilidade de sair um numero diferente de caras e coroas é reduzida e como a probabilidade de ter mais caras que coroas é a mesma que ter mais coroas que caras, a probabilidade pro jogador B é menor que 50%. Portanto o jogador B tem menor probabilidade. Apesar de a questão não exigir, vou tentar calcular a probabilidade para o jogador B: Total de possibilidades: 2^12 Quantas possibilidades tem numeros iguais de caras e coroas: 12! / (6! 6!) Quantas possibilidades tem numeros diferentes de caras e coroas: 2^12 - 12! / (6! 6!) Probabilidade de numero diferente de caras e coroas: (2^12 - 12! / (6! 6!)) / 2^12 = 1 - 12! / (6! * 6! * 2^12) Probabilidade de mais caras que coroa: P = 1/2 do valor anterior = 1/2 - 12! / (6! * 6! * 2^13) Simplificando: P = 1/2 - (11 * 7 * 3) / (2^11) = 1/2 - 0,11279 = 0,3872 Espero nao ter errado as contas... On 10/15/06, Andrezinho [EMAIL PROTECTED] wrote: Dois jogadores A e B, lançam uma moeda perfeita 11 e 12 vezes, respectivamente. Qual deles possui a menor chance de conseguir mais caras do que coroas? -- 142857 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dúvida
12 (C.NAVAL)Um aluno ao multiplicar um número por 80 multiplicou por 8 e esqueceu-se de colocar um zero à direita do produto, obtendo, assim um resultado inferior de 333.504 que deveria obter. Qual o número? a)4630 b)4631 c)4632 d)4832 e)4382 ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida
Em 10/10/06, elton francisco ferreira[EMAIL PROTECTED] escreveu: 12 –(C.NAVAL)Um aluno ao multiplicar um número por 80 multiplicou por 8 e esqueceu-se de colocar um zero à direita do produto, obtendo, assim um resultado inferior de 333.504 que deveria obter. Qual o número? a)4630 b)4631 c)4632 d)4832 e)4382 vamos pensar assim,o número é x,então 80x = 8x + 333504 logo 72x = 333504,assim x = 4632 ou seja letra C,beleza ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Funç ão e Divisibilidade)
E muito. Valeu! - Mensagem original De: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Sábado, 7 de Outubro de 2006 15:24:44Assunto: RE: [obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade) Eu achei que eu ja tinha mostrado isso.Mas eu vou tentar fazer mais obvio.f(a+1) = f(a+2) + f(a)f(a+2) = f(a+3) + f(a+1)somando os dois ladosf(a+3) = - f(a)Ou seja, a cada 3 termos a funcao muda de sinalSe a quantidade de 3 termos (quantidade de mudancas de sinal) e impar a funcao acaba com sinal oposto, se nao acaba com o mesmo sinalse x = 3*n + a, entao f(x) = f(a) se n e par e f(x) = -f(a) se n e impar.Agora troca x por 2006 e a por 2.Melhorou?From: Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)Date: Sat, 7 Oct 2006 09:56:32 -0700 (PDT)Será que não daria pra provar sua conjectura ? Dizer que f(x) = f(2) se x for par e que f(x) = - f(2) se x for ímpar é insuficiente, vc não acha?- Mensagem original De: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Quinta-feira, 5 de Outubro de 2006 18:54:26Assunto: RE: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)Vou tentar a primeira:f(3) = f(4) + f(2)f(4) = f(5) + f(3)somando os dois ladosf(5) = -f(2)Masf(6) = f(7) + f(5)f(7) = f(8) + f(6)e somando temosf(8)=-f(5)=f(2)logo se x = 3n + 2,f(x) = f(2) pra n par e f(x) = -f(2) pra n impar2006 = 3*n + 2 com n par, logo f(2006) = f(2) = 1 From: André Smaira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade) Date: Thu, 5 Oct 2006 14:04:43 -0300 (ART) Apesar de acertar (foi meio na sorte), não consegui resolver estes dois exercícios da Olimpíada Mineira de Matemática. Se vcs souberem resolver me passem a resolucao: 5-) Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? a) -1 b) 0 c) 1 d) 28-) Sabendo que n é um número natural e que a divisão de n por 5 deixa resto 1; por 7 deixa resto 5 e por 9 também deixa resto 5, qual é o resto da divisão (n + 2)*(n + 1)^2 por 315? a) 2 b) 5 c) 11 d) 25 Agradeço antecipadamente, André Smaira - Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=___Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Res: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade )
Será que não daria pra provar sua conjectura ? Dizer que f(x) = f(2) se x for par e que f(x) = - f(2) se x for ímpar é insuficiente, vc não acha? - Mensagem original De: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Quinta-feira, 5 de Outubro de 2006 18:54:26Assunto: RE: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade) Vou tentar a primeira:f(3) = f(4) + f(2)f(4) = f(5) + f(3)somando os dois ladosf(5) = -f(2)Masf(6) = f(7) + f(5)f(7) = f(8) + f(6)e somando temosf(8)=-f(5)=f(2)logo se x = 3n + 2,f(x) = f(2) pra n par e f(x) = -f(2) pra n impar2006 = 3*n + 2 com n par, logo f(2006) = f(2) = 1From: André Smaira [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)Date: Thu, 5 Oct 2006 14:04:43 -0300 (ART)Apesar de acertar (foi meio na sorte), não consegui resolver estes dois exercícios da Olimpíada Mineira de Matemática. Se vcs souberem resolver me passem a resolucao: 5-) Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 8-) Sabendo que n é um número natural e que a divisão de n por 5 deixa resto 1; por 7 deixa resto 5 e por 9 também deixa resto 5, qual é o resto da divisão (n + 2)*(n + 1)^2 por 315? a) 2 b) 5 c) 11 d) 25 Agradeço antecipadamente, André Smaira-Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)
Olá André, Exercício 8 : Deve haver algum problema no enunciado, senão vejamos : observe que o número 446 satisfaz às condições do enunciado . O número 448*447^2 tem resto igual a 252 quando dividido por 315. Para encontrar tal resultado , observe que n+4 =45k e que que n = 7t +5 e a partir daí encontre n = 315m + 131 , ok ? confira as contas . []´s Carlos Victor At 14:04 5/10/2006, André Smaira wrote: Apesar de acertar (foi meio na sorte), não consegui resolver estes dois exercícios da Olimpíada Mineira de Matemática. Se vcs souberem resolver me passem a resolucao: 5-) Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 8-) Sabendo que n é um número natural e que a divisão de n por 5 deixa resto 1; por 7 deixa resto 5 e por 9 também deixa resto 5, qual é o resto da divisão (n + 2)*(n + 1)^2 por 315? a) 2 b) 5 c) 11 d) 25 Agradeço antecipadamente, André Smaira Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Dúvida (Função e Divisibilidade)
Apesar de acertar (foi meio na sorte), não consegui resolver estes dois exercícios da Olimpíada Mineira de Matemática. Se vcs souberem resolver me passem a resolucao:5-) Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)?a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 8-) Sabendo que n é um número natural e que a divisão de n por 5 deixa resto 1; por 7 deixa resto 5 e por 9 também deixa resto 5, qual é o resto da divisão (n + 2)*(n + 1)^2 por 315?a) 2 b) 5 c) 11 d) 25Agradeço antecipadamente, André Smaira Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Dúvida logaritmo
Caros colegas como mostro que para todo x 0 e todo h -x (h racional nao nulo ) tem - se:ln (x+h) - ln x/ h = ln (1 + h/x)^1/h Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida logaritmo
Olá.. ln (1+h/x)^1/h = [ ln(1+h/x) ] / h = [ ln(x+h) - ln(x) ] / h abracos Salhab - Original Message - From: Douglas Alexandre To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, September 23, 2006 4:31 PM Subject: [obm-l] Dúvida logaritmo Caros colegas como mostro que para todo x 0 e todo h -x (h racional nao nulo ) tem - se: ln (x+h) - ln x/ h = ln (1 + h/x)^1/h Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.6/453 - Release Date: 20/9/2006
[obm-l] dúvida (coordenadas polares)
cleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos, gostaria da opinião de vocês na seguinte questão pois não tenho muita intimidade com este assunto e estou sócomeçando a estudá-lo:O eixo polar de um sistema de coordenadas polares é paralelo ao eixo das abscissas de um sistema cartesiano ortogonal e tem o mesmo sentido deste, sendo o pólo o pontoÔ( 3,2 ). Determine as coordenadas polares dos pontos dados por suas coordenadas cartesianas A(5,2), B(2,1) e C( 3+2^1/2, 2-2^1/2):A) C( 2, 7pi / 4 ) B) C( 2, pi/4 )C) C( 3, -pi/4)D) C(3, pi/4) E) C(3, 7pi / 4 )A minha idéia é fazer cada ponto de coordenada cartesiana em relação ao novo pólo. logo para o ponto C teremos ...r = [( 3 + 2^1/2 - 3)^2 + ( 2 - 2^1/2 - 2)^2] ^1/2 =[ 2 + 2 ]^1/2 = 2 esse será o raio.tan x = ( 2 - 2^1/2 - 2 ) / ( 3 + 2^1/2 - 3) = -1 e como o ponto C em relação ao novo pólo Ô( 3,2 ) pertence ao 3º quadrante então x = 7pi / 4 .Portanto item A.Gostaria da opinião de vocês , e desde já muito obrigado.Cleber __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
[obm-l] dúvida (coordenadas polares)
Olá amigos, gostaria da opinião de vocês na seguinte questão:O eixo polar de um sistema de coordenadas polares é paralelo ao eixo das abscissas de um sistema cartesiano ortogonal e tem o mesmo sentido deste, sendo o pólo o pontoÔ( 3,2 ). Determine as coordenadas polares dos pontos dados por suas coordenadas cartesianas A(5,2), B(2,1) e C( 3+2^1/2, 2-2^1/2):A) C( 2, 7pi / 4 ) B) C( 2, pi/4 )C) C( 3, -pi/4)D) C(3, pi/4) E) C(3, 7pi / 4 )A minha idéia é fazer cada ponto de coordenada cartesiana em relação ao novo pólo. logo para o ponto C teremos ...r = [( 3 + 2^1/2 - 3)^2 + ( 2 - 2^1/2 - 2)^2] ^1/2 =[ 2 + 2 ]^1/2 = 2 esse será o raio.tan x = ( 2 - 2^1/2 - 2 ) / ( 3 + 2^1/2 - 3) = -1 e como o ponto C em relação ao novo pólo Ô( 3,2 ) pertence ao 3º quadrante então x = 7pi / 4 .Portanto item A.Gostaria da opinião de vocês , e desde já muito obrigado.Cleber __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Dúvida - limite
Caros colegas como calculo o limite da sequência:sqrt(n!) + e^2n/(5*sqrt(n!) - e^n) Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida - limite
Sendo a_n o termo geral da sequencia, temos para n=2 que a_n = sqrt(n!)(1 + 5*e^(2n)) - e^n (1 + 5*e^(2n)) - e^n, que claramente vai para oo quando n- oo Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Douglas AlexandreEnviada em: segunda-feira, 11 de setembro de 2006 10:19Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Dúvida - limite Caros colegas como calculo o limite da sequência:sqrt(n!) + e^2n/(5*sqrt(n!) - e^n) Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Dúvida - monóide
Sejam f, g pertencente a M(A), sendo M(A) o monóide das transformações de um conjunto não vazio A.Como mostro que se f é sobrejetora então existe um transformação k pertencente a M(A) que é inversa a direita de f. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] dúvida
ola,pow, esse eu fiz assim.. vi q 3 eh uma raiz.abaixei a ordem por briot aih onde deveria aparecer 0, pois eh divisivel por 3 apareceu 2mlna +24q deve ser igual a 0.mas num deu certo.. errei conta?abracosVinicius Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] dúvida
Olá amigos gostaria de saber da opinião de vocês sobre a seguinte questão.Seja a1eea base dos logaritmos neperianos, o valor de m para o qual a equação x^3 - 9x^2 + ( lna^m + 8)x - lna^m = 0 tenha raízes em progressão aritmética,é dado pora) m = lna - 8 b) lna - 9c) m = 15/lna d) m = - (9/8)*lnaResolvi da seguinte forma : Se as raízes estão em PA então ... b, b+r, b+2r são raízes. Usando Girard temos... b+b+r+b+2r = 9 3b+3r = 9 b+r = 3 que é uma raiz. Logo...27-27+ 3lna^m + 24 - lna^m = 0 lna^m = -12 então m = -12/(lna) . Mas no gabarito consta letra C Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
Re: [obm-l] dúvida
PA(b-r,b,b+r)3b=9b=327-81 + 3m*lna + 24 -m*lna=02m*lna=30m=15/lnaVc errou no 27-81 q no seu deu 27-27.IuriOn 8/20/06, cleber vieira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos gostaria de saber da opinião de vocês sobre a seguinte questão.Seja a1eea base dos logaritmos neperianos, o valor de m para o qual a equação x^3 - 9x^2 + ( lna^m + 8)x - lna^m = 0 tenha raízes em progressão aritmética,é dado por a) m = lna - 8 b) lna - 9c) m = 15/lna d) m = - (9/8)*lnaResolvi da seguinte forma : Se as raízes estão em PA então ... b, b+r, b+2r são raízes. Usando Girard temos... b+b+r+b+2r = 9 3b+3r = 9 b+r = 3 que é uma raiz. Logo...27-27+ 3lna^m + 24 - lna^m = 0 lna^m = -12 então m = -12/(lna) . Mas no gabarito consta letra C Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
Re: [obm-l] dúvida
Caro Cleber, a linha 27-27+ 3lna^m + 24 - lna^m = 0 possui um errinho de conta. O correto serial 27-81+ 3lna^m + 24 - lna^m = 0. Júnior.Em 20/08/06, cleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos gostaria de saber da opinião de vocês sobre a seguinte questão.Seja a1eea base dos logaritmos neperianos, o valor de m para o qual a equação x^3 - 9x^2 + ( lna^m + 8)x - lna^m = 0 tenha raízes em progressão aritmética,é dado pora) m = lna - 8 b) lna - 9c) m = 15/lna d) m = - (9/8)*lnaResolvi da seguinte forma : Se as raízes estão em PA então ... b, b+r, b+2r são raízes. Usando Girard temos... b+b+r+b+2r = 9 3b+3r = 9 b+r = 3 que é uma raiz. Logo...27-27+ 3lna^m + 24 - lna^m = 0 lna^m = -12 então m = -12/(lna) . Mas no gabarito consta letra C Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
