[obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas
Em seg., 17 de fev. de 2020 às 12:43, Vanderlei Nemitz escreveu: > > Boa tarde! > Existe uma fórmula fechada para a soma das raízes quadradas dos n primeiros > números naturais? > 1 - Duvido. 2 - Qual a necessidade prática disso? > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma surpreendentemente inteira
Sauda,c~oes, oi Pedro, Colocando "sum 3/(cos((24pi n)/180)-1) n=1 to 7" no WolframAlpha o resultado é -56. Mas não sei como fazer. Eu tentaria fazer 1=cos0 e cos(24n)-cos0=-2sin^2(12n) Colocando no WA sum 3/(-2sin^2((12pi n)/180)) n=1 to 7; sum 3/(-2sin^2((pi n)/15)) n=1 to 7 ele retorna alguns cálculos e volta a encontrar -56. Agora a soma fica -3/2 sum_(n=1)^7 1/(sin^2((π n)/15)) Usando a álgebra dos números complexos pode ser que saia. Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Atenciosamente, Maikel Andril Marcelino Assistente de Aluno Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP Instituto Federal do Rio Grande do Norte Campus São Paulo do Potengi (84) 9-9149-8991 (Contato) (84) 8851-3451 (WhatsApp) De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de Hermann Enviado: terça-feira, 18 de fevereiro de 2020 11:07 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas Escreve para esse email nicolau[AT]mat.puc-rio.br ou nicolau.saldanha[AT]gmail.com dizendo que quer sair da lista Enviado do Email<https://go.microsoft.com/fwlink/?LinkId=550986> para Windows 10 De: Lorena Luna<mailto:lorilori20102...@hotmail.com> Enviado:terça-feira, 18 de fevereiro de 2020 03:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas CANCELAR LISTA DE E-MAIL (Cancelar recebimento) Em seg, 17 de fev de 2020 às 13:25, Vanderlei Nemitz mailto:vanderma...@gmail.com>> escreveu: Boa tarde! Existe uma fórmula fechada para a soma das raízes quadradas dos n primeiros números naturais? Muito obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas
Escreve para esse email nicolaumat.puc-rio.br ou nicolau.saldanhagmail.com dizendo que quer sair da lista Enviado do Email para Windows 10 De: Lorena Luna Enviado:terça-feira, 18 de fevereiro de 2020 03:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas CANCELAR LISTA DE E-MAIL (Cancelar recebimento) Em seg, 17 de fev de 2020 às 13:25, Vanderlei Nemitz escreveu: Boa tarde! Existe uma fórmula fechada para a soma das raízes quadradas dos n primeiros números naturais? Muito obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes quadradas
CANCELAR LISTA DE E-MAIL (Cancelar recebimento) Em seg, 17 de fev de 2020 às 13:25, Vanderlei Nemitz escreveu: > Boa tarde! > Existe uma fórmula fechada para a soma das raízes quadradas dos n > primeiros números naturais? > > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes cúbicas de cossenos
NAO PRECISAVA ENCONTRAR COS5, COS 30=COS3*10, DAÍ ENCONTRA O COS10, DEPOIS É SÓ SUBSTITUIR. On Fri, Jan 24, 2020 at 10:23 AM Vanderlei Nemitz wrote: > Como? > > Não entendi a ideia... > > > Em sex, 24 de jan de 2020 02:37, saulo nilson > escreveu: > >> COS 15=COS 30/2 >> COS 15=COS(3*5) >> DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS5 =COS10/2 >> DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS 10 >> >> S= F(COS 10) QUE ENCONTRA O VALOR >> >> On Sun, Jan 19, 2020 at 8:41 AM Vanderlei Nemitz >> wrote: >> >>> Bom dia, pessoal! >>> >>> Pensei em resolver a seguinte questão associando cos 40°, cos 80° e cos >>> 160° às raízes da equação cos(3x) = -1/2 e utilizando o arco triplo, >>> recaindo em uma equação de grau 3. Porém, fica difícil determinar o produto >>> de 2 em 2 das raízes cúbicas. Alguém conhece uma solução melhor? >>> Muito obrigado! >>> >>> S = (cos 40°)^(1/3) + (cos 80°)^(1/3) + (cos 160°)^(1/3) >>> >>> (Soma das raízes cúbicas de cos 40°, cos 80° e cos 160°) >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes cúbicas de cossenos
Como? Não entendi a ideia... Em sex, 24 de jan de 2020 02:37, saulo nilson escreveu: > COS 15=COS 30/2 > COS 15=COS(3*5) > DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS5 =COS10/2 > DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS 10 > > S= F(COS 10) QUE ENCONTRA O VALOR > > On Sun, Jan 19, 2020 at 8:41 AM Vanderlei Nemitz > wrote: > >> Bom dia, pessoal! >> >> Pensei em resolver a seguinte questão associando cos 40°, cos 80° e cos >> 160° às raízes da equação cos(3x) = -1/2 e utilizando o arco triplo, >> recaindo em uma equação de grau 3. Porém, fica difícil determinar o produto >> de 2 em 2 das raízes cúbicas. Alguém conhece uma solução melhor? >> Muito obrigado! >> >> S = (cos 40°)^(1/3) + (cos 80°)^(1/3) + (cos 160°)^(1/3) >> >> (Soma das raízes cúbicas de cos 40°, cos 80° e cos 160°) >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de raízes cúbicas de cossenos
COS 15=COS 30/2 COS 15=COS(3*5) DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS5 =COS10/2 DAÍ ENCONTRA O VALOR DE COS 10 S= F(COS 10) QUE ENCONTRA O VALOR On Sun, Jan 19, 2020 at 8:41 AM Vanderlei Nemitz wrote: > Bom dia, pessoal! > > Pensei em resolver a seguinte questão associando cos 40°, cos 80° e cos > 160° às raízes da equação cos(3x) = -1/2 e utilizando o arco triplo, > recaindo em uma equação de grau 3. Porém, fica difícil determinar o produto > de 2 em 2 das raízes cúbicas. Alguém conhece uma solução melhor? > Muito obrigado! > > S = (cos 40°)^(1/3) + (cos 80°)^(1/3) + (cos 160°)^(1/3) > > (Soma das raízes cúbicas de cos 40°, cos 80° e cos 160°) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro
Sauda,c~oes, Essa fórmula não vale para todos os triângulos obtusângulos. Daria para caracterizar os triângulos obtusângulos para os quais ela é verdadeira ? Abraços, Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Bernardo! Boa tarde! Vou acessar os links que você indicou. Muito obrigado! Luiz Em qua, 15 de jan de 2020 1:25 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > On Tue, Jan 14, 2020 at 9:45 PM Claudio Buffara > wrote: > > O artigo é esse aqui: > > > https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html > > É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá. > > Há algumas tentativas de mudança. Uma delas, o recém-criado curso de > Engenharia Matemática da UFRJ. Inspirado, em parte, da experiência de > intercâmbio com a Polytechnique e a ENSTA (tanto de professores como > de alunos), e buscando integrar a sólida formação em matemática e > ciências básicas com o maior centro de pesquisa em engenharia da > América Latina, a COPPE. > > Para mais detalhes sobre o curso, confiram > > https://sites.google.com/matematica.ufrj.br/aplicada/engenharia-matem%C3%A1tica > > http://www.im.ufrj.br/index.php/pt/noticias-e-eventos/noticias/247-saiba-mais-sobre-o-novo-curso-engenharia-matematica > > E, para quem quiser ler a proposta integral: > http://www.im.ufrj.br/images/documentos/projeto_engenhariamatematica.pdf > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
On Tue, Jan 14, 2020 at 9:45 PM Claudio Buffara wrote: > O artigo é esse aqui: > https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html > É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá. Há algumas tentativas de mudança. Uma delas, o recém-criado curso de Engenharia Matemática da UFRJ. Inspirado, em parte, da experiência de intercâmbio com a Polytechnique e a ENSTA (tanto de professores como de alunos), e buscando integrar a sólida formação em matemática e ciências básicas com o maior centro de pesquisa em engenharia da América Latina, a COPPE. Para mais detalhes sobre o curso, confiram https://sites.google.com/matematica.ufrj.br/aplicada/engenharia-matem%C3%A1tica http://www.im.ufrj.br/index.php/pt/noticias-e-eventos/noticias/247-saiba-mais-sobre-o-novo-curso-engenharia-matematica E, para quem quiser ler a proposta integral: http://www.im.ufrj.br/images/documentos/projeto_engenhariamatematica.pdf Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Os livros são estes mesmo. O artigo é esse aqui: https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá. []s, Claudio. On Tue, Jan 14, 2020 at 7:09 PM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, Claudio! > Tudo bem? > Muito obrigado pelas sugestões. > Eu vi na Amazon os títulos: > > A Problem Book in Algebra - Krechmar > > Problems in Higher Algebra - Faddeev & Sominskii > > São esses? > O que você disse é verdade, muitas vezes eu recorro aos softwares para > verificar minhas respostas. > Eu gostaria bastante de ler o artigo que você citou. > Muito obrigado! > Abs. > > Em ter, 14 de jan de 2020 5:01 PM, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes >> dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos. >> >> O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos >> clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de >> problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros. >> >> Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, >> usando complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) >> tem se desvalorizado recentemente devido à existência e ampla >> disponibilidade de softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que >> calculam qualquer soma dessas. >> >> Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de >> modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui. >> >> Abs >> >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >> >> Olá, Artur! >> Tudo bem? >> Agradeço sua resposta. >> O problema diz: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a >> infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. >> Depois eu calculei o limite solicitado. >> Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. >> Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que >> considero bastante interessante. >> Muito obrigado! >> Luiz >> >> >> Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >>> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse >>> >>> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). >>> >>> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. >>> >>> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à >>> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? >>> >>> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > >>> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas >>> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. >>> >>> Me corrija se eu tiver cometido algum erro. >>> >>> Abraços >>> >>> Artur >>> >>> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> Olá, Claudio! Tudo bem? Sim, foi esse resultado que eu achei! Muito obrigado pela ajuda! Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura > sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral > definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. > > A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). > > Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. > > Enviado do meu iPhone > > Em 13 de jan de 2020, à (s) 07:04, Esdras Muniz < > esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > >  > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃÂ, > como Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo >> descobrir onde está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n >> tende a infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >> acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Claudio! Tudo bem? Muito obrigado pelas sugestões. Eu vi na Amazon os títulos: A Problem Book in Algebra - Krechmar Problems in Higher Algebra - Faddeev & Sominskii São esses? O que você disse é verdade, muitas vezes eu recorro aos softwares para verificar minhas respostas. Eu gostaria bastante de ler o artigo que você citou. Muito obrigado! Abs. Em ter, 14 de jan de 2020 5:01 PM, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes > dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos. > > O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos > clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de > problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros. > > Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, usando > complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) tem se > desvalorizado recentemente devido à existência e ampla disponibilidade de > softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que calculam qualquer soma > dessas. > > Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de > modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui. > > Abs > > > Enviado do meu iPhone > > Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > > > Olá, Artur! > Tudo bem? > Agradeço sua resposta. > O problema diz: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a > infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. > Depois eu calculei o limite solicitado. > Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. > Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que > considero bastante interessante. > Muito obrigado! > Luiz > > > Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > >> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse >> >> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). >> >> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. >> >> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à >> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? >> >> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > >> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas >> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. >> >> Me corrija se eu tiver cometido algum erro. >> >> Abraços >> >> Artur >> >> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, Claudio! >>> Tudo bem? >>> Sim, foi esse resultado que eu achei! >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> >>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. Enviado do meu iPhone Em 13 de jan de 2020, à (s) 07:04, Esdras Muniz < esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:  Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃÂ, como Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo > descobrir onde está meu erro. > Alguém pode me ajudar? > > O problema é o seguinte: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n > tende a infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Eu cheguei no valor zero, que está errado. > O problema parece simples... > Agradeço desde já! > Luiz > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem fo
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos. O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros. Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, usando complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) tem se desvalorizado recentemente devido à existência e ampla disponibilidade de softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que calculam qualquer soma dessas. Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui. Abs Enviado do meu iPhone > Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: > > Olá, Artur! > Tudo bem? > Agradeço sua resposta. > O problema diz: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. > Depois eu calculei o limite solicitado. > Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. > Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que > considero bastante interessante. > Muito obrigado! > Luiz > > > Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner > escreveu: >> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse >> >> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). >> >> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. >> >> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à >> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? >> >> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > >> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas >> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. >> >> Me corrija se eu tiver cometido algum erro. >> >> Abraços >> >> Artur >> >> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues >> escreveu: >>> Olá, Claudio! >>> Tudo bem? >>> Sim, foi esse resultado que eu achei! >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> >>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara >>> escreveu: É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. Enviado do meu iPhone > Em 13 de jan de 2020, à (s) 07:04, Esdras Muniz > escreveu: >  > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃÂ, como > Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo >> descobrir onde está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n >> tende a infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Artur! Tudo bem? Agradeço sua resposta. O problema diz: É dado o somatório de: sen(k*b/n) Onde k varia de 1 até n. Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito. O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. Depois eu calculei o limite solicitado. Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que considero bastante interessante. Muito obrigado! Luiz Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse > > S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). > > Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. > > Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à > expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? > > Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > > sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas > entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. > > Me corrija se eu tiver cometido algum erro. > > Abraços > > Artur > > Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Claudio! >> Tudo bem? >> Sim, foi esse resultado que eu achei! >> Muito obrigado pela ajuda! >> >> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura >>> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral >>> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. >>> >>> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). >>> >>> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz < >>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >>> >>> >>> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃ, como >>> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). >>> >>> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> Olá, pessoal! Tudo bem? Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde está meu erro. Alguém pode me ajudar? O problema é o seguinte: É dado o somatório de: sen(k*b/n) Onde k varia de 1 até n. Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito. O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. Eu cheguei no valor zero, que está errado. O problema parece simples... Agradeço desde já! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. Me corrija se eu tiver cometido algum erro. Abraços Artur Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, Claudio! > Tudo bem? > Sim, foi esse resultado que eu achei! > Muito obrigado pela ajuda! > > Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura >> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral >> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. >> >> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). >> >> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz >> escreveu: >> >> >> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃ, como >> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). >> >> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, pessoal! >>> Tudo bem? >>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir >>> onde está meu erro. >>> Alguém pode me ajudar? >>> >>> O problema é o seguinte: >>> >>> É dado o somatório de: >>> >>> sen(k*b/n) >>> >>> Onde k varia de 1 até n. >>> >>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n >>> tende a infinito. >>> >>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >>> >>> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >>> O problema parece simples... >>> Agradeço desde já! >>> Luiz >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Claudio! Tudo bem? Sim, foi esse resultado que eu achei! Muito obrigado pela ajuda! Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura > sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral > definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. > > A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). > > Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. > > Enviado do meu iPhone > > Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz > escreveu: > > > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃ, como Sen > é integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir >> onde está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende >> a infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. Enviado do meu iPhone > Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz > escreveu: > > > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃ, como Sen é > integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde >> está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a >> infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Claudio! Olá, Esdras! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Eu segui a dica do Claudio e calculei o somatório dos senos em P.A. Depois eu calculei o limite desse somatório dividido por n. Mas eu cheguei em (1/b)*(1-cos(b)) O que será que houve? Esdras, você considerou o somatório dividido por n? Em seg, 13 de jan de 2020 9:04 AM, Esdras Muniz escreveu: > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen > é integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde >> está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende >> a infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro
Olá, boa tarde. Uma outra possibilidade: Se r_a, r_b e r_c são as distâncias de O aos lados e h_a, h_b e h_c são as alturas, temos R/AO_a = (h_a-r_a)/h_a = 1 - [BOC]/[ABC]. Somando as três equações equivalentes, obtemos R/AO_a+R/BO_b+R/CO_c = 3 - ([BOC]+[AOC]+[AOB])/[ABC] = 2. Abraços Samuel Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:06, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em qua., 18 de dez. de 2019 às 20:47, Luís Lopes > escreveu: > > > > Sauda,c~oes, > > > > Sejam AO_a, BO_B e CO_c as cevianas que passam pelo circuncentro. > > O_a na reta do lado etc. > > > > Como provar que 1/AO_a + 1/BO_b + 1/CO_c = 2/R ? > > > > Uma forma mais ou menos fácil é usando trigonometria. Calcula cada > segmento como funçao dos ângulos e do raio do círculo, depois faz as > contas! > > > Luís > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde > está meu erro. > Alguém pode me ajudar? > > O problema é o seguinte: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a > infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Eu cheguei no valor zero, que está errado. > O problema parece simples... > Agradeço desde já! > Luiz > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Você sabe como somar os senos de arcos cujas medidas formam uma PA? Use e^(ix) = cos(x) = i*sen(x). On Sun, Jan 12, 2020 at 7:19 PM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde > está meu erro. > Alguém pode me ajudar? > > O problema é o seguinte: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a > infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Eu cheguei no valor zero, que está errado. > O problema parece simples... > Agradeço desde já! > Luiz > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro
Em qua., 18 de dez. de 2019 às 20:47, Luís Lopes escreveu: > > Sauda,c~oes, > > Sejam AO_a, BO_B e CO_c as cevianas que passam pelo circuncentro. > O_a na reta do lado etc. > > Como provar que 1/AO_a + 1/BO_b + 1/CO_c = 2/R ? > Uma forma mais ou menos fácil é usando trigonometria. Calcula cada segmento como funçao dos ângulos e do raio do círculo, depois faz as contas! > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma com cevianas que passam pelo circuncentro
Eu tinha feito algo parecido com essa prova 2. Usando o método k. Em qui, 19 de dez de 2019 14:43, Luís Lopes escreveu: > Sauda,c~oes, > > Encontrei um link com a prova: > > https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/CeviansThroughCircumcenter.shtml > > Esse site é muito bom. > > Eu conhecia a prova 3 mas não sabia que o triângulo tinha que ser > acutângulo. > Para triângulo retângulo vale também, por verificação direta. > > Aí comecei a rever a prova para triângulos obtusângulos e vi que > havia um problema com (B-C)=90º. Acho que para triângulos obtusângulos > a igualdade pode valer mas tem que ver para quais casos ela > não serve. Talvez (B-C) > 90º como (115º,15º,50º) e (B-C) < 90º > como (105º,45º,30º) satisfazem mas (B-C) = 90º como (120º,30º,30º) > não satisfaz. Isso precisaria de outra investigação. > > Abraços, > Luís > > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de frações próprias
Em sex, 21 de dez de 2018 às 21:09, Daniel Quevedo escreveu: > > Colocando-se a fração 19/94 sob a forma 1/m + 1/n , onde m e n são inteiros > positivos o valor de m + n é igual a: > Hum... 1/m+1/n=19/94 (m+n)/(mn)=19/94 94m+94n = 19mn 19mn - 94m = 94n m(19n-94) = 94n 19m(19n-94) = 94 * 19n 19m(19n-94) = 94 * (19n-94) + 94*94 (19m-94)(19n-94) = 94*94 Daqui já dá para prosseguir com fatorações marotas... (19(m-5)+1)(19(n-5)+1) = 2*2*47*47 Divisores de 2*2*47*47: 1, 2, 4, 47, 94, 188, 2209, 4418, 8836 Resto 1 módulo 19: 1, 8836 Logo, m=5 e n=470 E m+n= 475, ueba! > R: 475 > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de frações próprias
Oi Daniel, Faça (94-19m).(94-19n)=94^2 e Abraços Pacini Em 21/12/2018 21:00, Daniel Quevedo escreveu: > Colocando-se a fração 19/94 sob a forma 1/m + 1/n , onde m e n são inteiros > positivos o valor de m + n é igual a: > > R: 475 -- > > Fiscal: Daniel Quevedo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Muito obrigado, Anderson! Vou estudar o artigo. Em dom, 18 de nov de 2018 09:50, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com escreveu: > Em qua, 7 de nov de 2018 às 14:38, Vanderlei Nemitz > escreveu: > > > > Boa tarde! > > Na seguinte questão, tentei pensar no desenvolvimento de algum binômio, > em que a parte real fosse a soma S(k), mas não consegui imaginar um. > Fazendo alguns casos, para k de 1 a 4, conjecturei que S(k) = 2^(2k - > 1).[2^(2k - 1) + (-1)^k]. > > Mas como posso provar que é verdadeira (se realmente for), a partir do > zero, de preferência sem usar indução? > > > > Outra coisa, depois de obtida a fórmula, como obter o menor k que > satisfaz o problema sem muitas contas? Eu testei até k igual a 14, usando > uma calculadora. > > > > Obrigado! > > > > Seja S(k) = C(4k, 0) + C(4k, 4) + C(4k, 8) + ... + C(4k, 4k), para k = > 1, 2, 3, > > O menor valor de k tal que S(k) é múltiplo de 81, é: > > a) 7 > > b) 9 > > c) 10 > > d) 12 > > e) 14 > > > > Cê pode aprender sobre o Método de Multi-Secção no Problema 4 do > artigo "Raízes da Unidade", na Eureka! 33: > > https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/Eureka33.pdf > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Em qua, 7 de nov de 2018 às 14:38, Vanderlei Nemitz escreveu: > > Boa tarde! > Na seguinte questão, tentei pensar no desenvolvimento de algum binômio, em > que a parte real fosse a soma S(k), mas não consegui imaginar um. Fazendo > alguns casos, para k de 1 a 4, conjecturei que S(k) = 2^(2k - 1).[2^(2k - 1) > + (-1)^k]. > Mas como posso provar que é verdadeira (se realmente for), a partir do zero, > de preferência sem usar indução? > > Outra coisa, depois de obtida a fórmula, como obter o menor k que satisfaz o > problema sem muitas contas? Eu testei até k igual a 14, usando uma > calculadora. > > Obrigado! > > Seja S(k) = C(4k, 0) + C(4k, 4) + C(4k, 8) + ... + C(4k, 4k), para k = 1, 2, > 3, > O menor valor de k tal que S(k) é múltiplo de 81, é: > a) 7 > b) 9 > c) 10 > d) 12 > e) 14 > Cê pode aprender sobre o Método de Multi-Secção no Problema 4 do artigo "Raízes da Unidade", na Eureka! 33: https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/Eureka33.pdf > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Inicialmente, sabemos que:
A = 1 + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... = 2^n
e
B = 1 + C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ...
(basta expandir (1 + 1)^n e (1 - 1)^n).
Além disso:
A - B = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = B ==> B = A/2 = 2^(n-1)
Também temos:
(1 + i)^n = 1 + C(n,1)*i - C(n,2) - C(n,3)*i + C(n,4) + ...
(1 - i)^n = 1 - C(n,1)*i - C(n,2) + C(n,3)*i + C(n,4) + ...
De modo que:
C = ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/2 = 1 - C(n,2) + C(n,4) - C(n,6) + ...
Logo (usando a versão "par" de B):
(B + C)/2 = 1 + C(n,4) + C(n,8) + ... = ( 2^(n-1) + ((1 + i)^n + (1 -
i)^n)/2 )/2
Ou seja,
1 + C(n,4) + C(n,8) + ... = 2^(n-2) + ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/4(*)
Agora...
(1 + i)^n + (1 - i)^n = 2^(n/2)*(cis(n*pi/4) + cis(-n*pi/4)) = 2^(1 +
n/2)*cos(n*pi/4) ==>
((1 + i)^n + (1 - i)^n)/4 = 2^(n/2 - 1)*cos(n*pi/4)
Se n = 4k, então o lado direito é igual a 2^(2k-1)*cos(k*pi) =
(-1)^k*2^(2k-1) (**)
Substituindo (**) em (*) e usando que n = 4k, teremos:
1 + C(4k,4) + C(4k,8 ) + ... + C(4k,4k) = 2^(4k-2) + (-1)^k*2^(2k-1) =
2^(2k-1) * (2^(2k-1) + (-1)^k) (***)
***
Pra (***) ser múltiplo de 81, 2^(2k-1) + (-1)^k terá que ser múltiplo de 81.
Em particular, terá que ser múltiplo de 3.
k = 1 ==> 2^1 - 1 = 1
k = 2 ==> 2^3 + 1 = 9
k = 3 ==> 2^5 - 1 = 31
k = 4 ==> 2^7 + 1 = 129
..
Assim, parece que k = 2m + 2 (m >=0) é condição necessária.
E, de fato, k = 2m+2 ==> 2^(2k-1) + (-1)^k = 2^(4m+3) + 1 = 8*16^m + 1 ==
-1*1 + 1 == 0 (mod 3) ("==" quer dizer "é congruente a")
Olhando mod 9, teremos 8*16^m + 1 == (-1)*(-2)^m + 1 == 0 (mod 9) sss
(-2)^m == 1 (mod 9).
Isso é verdade pra m = 0, 3, 6 e 9.
Assim, conjecturo que para m = 3p (p>=0) e, portanto, k = 6p + 2 (p >= 0),
2^(2k-1) + (-1)^k = 2^(12p+3) + 1 é múltiplo de 9.
E, de fato, olhando mod 9: 2^(12p+3) +1 == 8*4096^p + 1 == (-1)*1 + 1 == 0
(mod 9)
Testando a divisibilidade por 81:
p = 0 ==> k = 2 ==> 2^3 + 1 ==> não
p = 1 ==> k = 8 ==> 2^15 + 1 = 1024*32 + 1 == 52*32 + 1 = 1665 == 45 ==> não
p = 2 ==> k = 14 ==> 2^27 + 1 = 1024*1024*128 + 1 == 52*52*47 + 1 ==
(-29)*(-29)*(-34) + 1 == 31*(-34) + 1 = -1053 == 0 (mod 81).
Logo, o menor k é 14.
Agora, como é uma múltipla escolha, daria pra ir testando as alternativas
na expressão (***).
Acho que levaria menos tempo.
[]s,
Claudio.
On Wed, Nov 7, 2018 at 2:38 PM Vanderlei Nemitz
wrote:
> Boa tarde!
> Na seguinte questão, tentei pensar no desenvolvimento de algum binômio, em
> que a parte real fosse a soma S(k), mas não consegui imaginar um. Fazendo
> alguns casos, para k de 1 a 4, conjecturei que S(k) = 2^(2k - 1).[2^(2k -
> 1) + (-1)^k].
> Mas como posso provar que é verdadeira (se realmente for), a partir do
> zero, de preferência sem usar indução?
>
> Outra coisa, depois de obtida a fórmula, como obter o menor k que satisfaz
> o problema sem muitas contas? Eu testei até k igual a 14, usando uma
> calculadora.
>
> Obrigado!
>
> Seja S(k) = C(4k, 0) + C(4k, 4) + C(4k, 8) + ... + C(4k, 4k), para k = 1,
> 2, 3,
> O menor valor de k tal que S(k) é múltiplo de 81, é:
> a) 7
> b) 9
> c) 10
> d) 12
> e) 14
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Suponhamos que a sequência (a1, a2, ..., an) com n >= 3 cumpra a condição
mas não seja PA.
Seja p o menor índice tal que:
(a1, ..., a(p-1)) é PA (digamos, de razão r) mas (a1, ..., a(p-1), ap) não
é PA.
Isso significa que ap - a(p-1) <> r (&&&)
Como (a1, ..., a(p-1)) é PA, vale:
1/(a1*a2) + ... + 1/(a(p-2)*a(p-1)) = (p-2)/(a1*a(p-1))(*)
Além disso, por hipótese:
1/(a1*a2) + ... + 1/(a(p-1)*ap) = (p-1)/(a1*ap)(**)
Subtraindo (*) de (**), obtemos:
1/(a(p-1)*ap) = (1/a1)*((p-1)/ap - (p-2)/a(p-1)) ==>
a1/(a(p-1)*ap) = ((p-1)*a(p-1) - (p-2)*ap)/(ap*a(p-1)) ==>
a1 = a(p-1) + (p-2)*a(p-1) - (p-2)*ap ==>
a(p-1) = a1 + (p-2)*(ap - a(p-1))(***)
Mas, como (a1, ..., a(p-1)) é uma PA, vale a(p-1) = a1 + (p-2)*r (),
onde r = razão da PA.
Comparando (***) e (), obtemos que ap - a(p-1) = r ==> contradição a
(&&&).
Logo, se uma sequência cumpre a condição, ela é PA.
[]s,
Claudio.
On Thu, Aug 30, 2018 at 3:21 PM Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes, oi Claudio,
>
> Seja S_{k-1} = (n-1)/(a1*an) = \frac{n-1}{a_1a_n}.
>
> Para provar a recíproca escrevi
>
> S_k = S_{k-1} + \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{n}{a_1a_{n+1}}
>
> e cheguei a
>
> n(a_{n+1} - a_n)=a_{n+1} - a_1 (*).
>
> Fazendo a) n=2 e b) n=3 em (*) tem-se
>
> a) a_3 + a_1 = 2a_2
>
> b) a_4 + a_2 = 2a_3
>
> Mas não consegui provar que a_{k+1} + a_{k-1} = 2a_k .
>
> Usando (*) ou de outra maneira, como provar a recíproca ?
>
> []s
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Obrigado a todos! Eu vou verificar se houve um erro de escrita. Provavelmente existe uma inconsistência mesmo. Legal essa propriedade da soma dos inversos dos produtos. Um abraço Kevin Kühl On 29 Aug 2018 11:50 -0300, Claudio Buffara , wrote: > A soma que você quer talvez seja a dos inversos dos produtos de termos > consecutivos. > Numa PA a1, a2, ..., an, vale: > 1/(a1*a2) + 1/(a2*a3) + ... + 1/(a(n-1)*an) = (n-1)/(a1*an). > > E vale também a recíproca: se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é tal que para > todo n>=3 vale a igualdade acima, então a sequência é uma PA. > > []s, > Claudio. > > > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira > > wrote: > > > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > > > > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, > > > nessa ordem. Mostre que > > > > > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > > > > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > > > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > > > > > Um abraço > > > > > > Kevin Kühl > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
A soma que você quer talvez seja a dos inversos dos produtos de termos consecutivos. Numa PA a1, a2, ..., an, vale: 1/(a1*a2) + 1/(a2*a3) + ... + 1/(a(n-1)*an) = (n-1)/(a1*an). E vale também a recíproca: se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é tal que para todo n>=3 vale a igualdade acima, então a sequência é uma PA. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> wrote: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Isso não é verdade. Se n 3, a1 = 1, a2= 2, a3 = 3 então a1 a2 + a2 a3 = 8 (n - 1) a1 an = 6 Não seria 2/(a1 a2) ... + 1/(a(n -1) an) = (n -1)/(a1 an)? Isso é verdade. Artur Costa Steiner Em qua, 29 de ago de 2018 09:28, Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> escreveu: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
Tá certo isso? Tome a PA (1,2,3,4) a1 = 1, an = n = 4 soma = 1*2 + 2*3 + 3*4 = 2 + 6 + 12 = 20. Mas (n-1)*a1*an = 3*1*4 = 12. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:38 AM Claudio Buffara wrote: > an = a1 + (n-1)r ==> r = (an - a1)/(n-1) ==> r^2 = (an - a1)^2/(n-1)^2. > Use esta expressão pra r^2. Com alguma álgebra você deve chegar lá. > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < > kevin_k...@usp.br> wrote: > >> Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? >> >> Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, >> nessa ordem. Mostre que >> >> (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) >> >> Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo >> provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. >> >> Um abraço >> >> Kevin Kühl >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Produtos de Termos em PA
an = a1 + (n-1)r ==> r = (an - a1)/(n-1) ==> r^2 = (an - a1)^2/(n-1)^2. Use esta expressão pra r^2. Com alguma álgebra você deve chegar lá. On Wed, Aug 29, 2018 at 9:28 AM Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> wrote: > Bom dia, vocês já viram o seguinte problema? > > Sejam a1, a2, a3, ..., an termos consecutivos, não nulos, de uma PA, nessa > ordem. Mostre que > > (a1*a2) + (a2*a3) + ... + (a(n-1)*an) = (n-1)(a1*an) > > Na minha resposta aparece um termo com r^2 ao final, então não consigo > provar. Se alguém puder ajudar, agradeço. > > Um abraço > > Kevin Kühl > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Dá para fazer com interpolação de Lagrange: o único polinômio de grau <=n-1 que vale 1 em r_i para 1<=i<=n (que obviamente é o polinômio constante igual a 1) é dado por soma_(1<=i<=n)Produto_(j<>i)((x-r_j)/(r_i-r_j)). Aí é só olhar para o coeficiente de x^[n-1} (que é 0). Abraços, Gugu Quoting Claudio Buffara : Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso. Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica da expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais e distintas. Grau 2 é meio evidente: as retas tangentes à parábola nas raízes têm inclinações de mesma magnitude e sinais opostos. Grau 3 é mais interessante... De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes (ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem raízes são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes ao gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n, respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte de contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é -mn/(m+n). []s, Claudio. 2018-04-16 14:10 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para casos elementares. Douglas Oliveira Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima : > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo. Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1 (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1). E é, de fato, falso para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1). Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para mostrar que a soma não dá mais zero. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
2018-04-16 20:54 GMT-03:00 Claudio Buffara : > Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso. > > Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica da > expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais e > distintas. > > Grau 2 é meio evidente: as retas tangentes à parábola nas raízes têm > inclinações de mesma magnitude e sinais opostos. A média harmônica das inclinações é zero, o que mesmo algébrico, não deixa de ser interessante. E talvez "baste" achar uma visão geométrica da média harmônica neste contexto. Outra forma de dar a mesma equação é que "a última inclinação" é (o oposto) da média harmônica das outras. Como interpretar isso, tenho menos ideia ainda... > Grau 3 é mais interessante... > De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes > (ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem raízes > são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes ao > gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n, > respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto > (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte de > contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é -mn/(m+n). Também é verdade (graças ao Douglas e o Polinômio Interpolador de Lagrange) que a/m + b/n - c(m+n)/mn = 0, ou seja, an + bm = c(m+n), o que dá uma relação entre m e n em função das raízes. Observe que isso está "certo" (de novo do ponto de vista algébrico), pois o polinômio tem 4 coeficientes, e além das 3 raízes, precisamos de um fator multiplicativo, que pode ser dado de várias formas: tipicamente, é o coeficiente de mais alto grau ou o valor em um ponto particular que não seja zero, mas agora acabamos de ver que poderia até ser a inclinação de uma tangente a uma raiz simples! (a, b, c, m determinam tudo!) Aliás, isso sugere que talvez haja uma demonstração puramente algébrica para tudo isso, contando dimensões. O número de coeficientes do polinômio é (n+1). Por outro lado, dados n valores x_i (para as raízes), e n valores m_i (para as derivadas nestes pontos), sabemos que há n-1 equações G(X_i, M_i) = 0 para "acertar a dimensão". Claro que as equações devem ser simétricas nos X_i e M_i... mas isso ainda não basta para mostrar a forma especial \sum X_i^k / M_i = 0... Alguém tem uma ideia? Por exemplo, já pode ser um bom passo mostrar que as equações são homogêneas em X e M. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso. Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica da expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais e distintas. Grau 2 é meio evidente: as retas tangentes à parábola nas raízes têm inclinações de mesma magnitude e sinais opostos. Grau 3 é mais interessante... De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes (ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem raízes são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes ao gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n, respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte de contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é -mn/(m+n). []s, Claudio. 2018-04-16 14:10 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para > casos elementares. > > Douglas Oliveira > > Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima >> : >> > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo. >> >> Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1 >> (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1). E é, de fato, falso >> para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1). >> >> Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se >> aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para >> mostrar que a soma não dá mais zero. >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
É verdadeira para todo polinômio de grau n >= 2 que tenha n raízes simples. Artur Costa Steiner Em Seg, 16 de abr de 2018 14:18, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para > casos elementares. > > Douglas Oliveira > > Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima >> : >> > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo. >> >> Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1 >> (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1). E é, de fato, falso >> para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1). >> >> Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se >> aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para >> mostrar que a soma não dá mais zero. >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para casos elementares. Douglas Oliveira Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima > : > > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo. > > Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1 > (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1). E é, de fato, falso > para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1). > > Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se > aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para > mostrar que a soma não dá mais zero. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Sauda,c~oes,
Mandei a mensagem abaixo dessa na 6a.feira mas acho que não chegou.
Terminei a dita mensagem com a pergunta
Como concluir (seria possível ?) a partir de (*)
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ?
Na verdade o Gugu provara (*) para o caso real, ou seja, Q(x) e não
Q(z). Talvez seja possível provar (*) para Q(z) com alguma
adaptação.
Aqui vou provar a soma pedida para os polinômios com os coeficientes
reais.
Seja
1/Q(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k} (*)
obtida a partir de
\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k}
Igualando o denominador de todas as parcelas do somatório (*)
obtém-se
um polinômio no numerador cujo termo líder é x^{n-1} e seu
coeficiente
vale \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}. Então para n>=2 esta soma tem
que
ser igual a zero pois por (*) o polinômio obtido só possui o termo
independente
1.
Abs,
Luís
mensagem enviada na última 6a.feira
Sauda,c~oes,
Há algum (bastante) tempo atrás o Gugu (se me permitem)
mandou para a lista a prova do seguinte resultado:
Sejam P(z) e Q(z) dois polinômios, de graus m e n, respectivamente,
e m
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima : > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo. Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1 (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1). E é, de fato, falso para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1). Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para mostrar que a soma não dá mais zero. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo. Douglas Oliveira. Em sex, 13 de abr de 2018 13:41, Claudio Buffara escreveu: > Essa identidade: > x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) > não me parece nada óbvia. > > []s, > Claudio. > > > 2018-04-13 5:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > >> Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só >> igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais >> genérica >> >> Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0 >> >> Obs: x_i sao raizes. >> >> Abraco >> >> Douglas Oliveira. >> >> >> >> >> Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" >> escreveu: >> >> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples >> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. >> >> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um >> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Essa identidade: x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) não me parece nada óbvia. []s, Claudio. 2018-04-13 5:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só > igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais > genérica > > Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0 > > Obs: x_i sao raizes. > > Abraco > > Douglas Oliveira. > > > > > Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" > escreveu: > > Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples > r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. > > Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um > resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
A prova por análise complexa baseia-se no fato de que, se P e Q são polinômios com grau(P) >= grau(Q) + 2 e f =Q/P, definida para P(z) <> 0, então, Soma (z em Z) Res(f, z) = 0 (*) onde Z é o conjunto dos zeros de P e Res(f, z) é o resíduo de f em z, que é pólo de f. A prova disso baseia-se no teorema dos resíduos e no fato de que lim r --> oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0, sendo Cr a periferia do disco de centro na origem e raio r. Particularizando-se para o caso em que Q(z) = 1 para todo z, f = 1/P e (*) se reduz a Soma (z em Z) Res(1/P, z) = 0 (**) Se z é zero simples de P, então Res(1/P, z) = 1/P'(z), pois z é pólo simples de 1/P (observe que, neste caso, P'(z) <> 0). Supondo-se agora que P tem grau n >= 2 e tem n zeros simples r_1, r_n, (**) implica que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0 conforme afirmado. A chave da prova é que lim r --> oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0, a qual não é difícil. Baseia-se nas propriedades da integral e nas dos polinômios. Artur Costa Steiner Em 13 de abr de 2018 00:57, "Mórmon Santos" escreveu: Como é por análise complexa? Em qui, 12 de abr de 2018 15:22, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece > muito bonita. > > Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio. > > Artur Costa Steiner > > Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este? >> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner : >> >>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples >>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. >>> >>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um >>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais genérica Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0 Obs: x_i sao raizes. Abraco Douglas Oliveira. Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" escreveu: Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Como é por análise complexa? Em qui, 12 de abr de 2018 15:22, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece > muito bonita. > > Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio. > > Artur Costa Steiner > > Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este? >> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner : >> >>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples >>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. >>> >>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um >>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece muito bonita. Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio. Artur Costa Steiner Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara escreveu: > Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este? > Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada. > > []s, > Claudio. > > > 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner : > >> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples >> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. >> >> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um >> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0
Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este? Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada. []s, Claudio. 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner : > Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples > r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. > > Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um > resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma de quadrados
3^2 + 4^2 = 5^2 5^2 + 12^2 = 13^2 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 13^2 + 84^2 = 85^2 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2 Em geral, dado a^2 ímpar, você quer x tal que a^2 + x^2 = (x+1)^2 ==> x = (a^2 -1)/2 a^2 = 85^2 ==> x = (85^2-1)/2 = 3612 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 3612^2 = 3613^2 Determinar a sequência que cresce mais devagar é outro problema... 2018-02-28 22:23 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > 2018-02-28 22:01 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges > : > > Seja a sequência > > > > 3^2 + 4^2 = 5^2 > > 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 > > 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2 > >. > >. > >. > > A soma de n quadrados é um quadrado > > Existe uma ´´lei de formação´´ ou uma recorrência para determinar > > uma soma dessas para, digamos, n = 10 ou n = 30 ou n = 100, ... > > Vou dar (um) próximo termo. Não é, necessariamente, o menor, nem o > melhor, mas ele tem uma "lei de formação" fácil. > > 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 204^2 = 221^2 > > > A sequência que eu obtive tem crescimento "exponencial", ou seja, o > n-ésimo termo é maior do que 2^n. Seria interessante saber se existe > uma sequência de crescimento polinomial... > > Abraços, > -- > Bernardo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma de quadrados
2018-02-28 22:01 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges : > Seja a sequência > > 3^2 + 4^2 = 5^2 > 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 > 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2 >. >. >. > A soma de n quadrados é um quadrado > Existe uma ´´lei de formação´´ ou uma recorrência para determinar > uma soma dessas para, digamos, n = 10 ou n = 30 ou n = 100, ... Vou dar (um) próximo termo. Não é, necessariamente, o menor, nem o melhor, mas ele tem uma "lei de formação" fácil. 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 204^2 = 221^2 A sequência que eu obtive tem crescimento "exponencial", ou seja, o n-ésimo termo é maior do que 2^n. Seria interessante saber se existe uma sequência de crescimento polinomial... Abraços, -- Bernardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de tan^2
Eu resolvi esse problema em 2014 aqui na lista olhe https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg52281.html Abraços. Em 16 de set de 2017 13:23, "Carlos Gomes" escreveu: Olá Luis...lembro desse problema ...ele foi publicado na Mathematical excalibur ha alguns anos https://www.math.ust.hk/excalibur/ A resposta é C(90,2)= 4005, se não me falha a memória...usa relações de Girard num "polinômio esperto"...vou tenter ver se lembro a solução...se lembrar ponha aqui! Abraço, Cgomes. Em 16 de setembro de 2017 10:48, Luís Lopes escreveu: > Sauda,c~oes, > > > Bom dia. > > > Me mandaram a seguinte questão: > > > (1) Seja S = tan²(1º) + tan²(3º) + tan²(5º) + ... + tan²(89º), calcule o > valor de S. > > Como resolver ? Obrigado. > > > Abs, > > Luís > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma de tan^2
Olá Luis...lembro desse problema ...ele foi publicado na Mathematical excalibur ha alguns anos https://www.math.ust.hk/excalibur/ A resposta é C(90,2)= 4005, se não me falha a memória...usa relações de Girard num "polinômio esperto"...vou tenter ver se lembro a solução...se lembrar ponha aqui! Abraço, Cgomes. Em 16 de setembro de 2017 10:48, Luís Lopes escreveu: > Sauda,c~oes, > > > Bom dia. > > > Me mandaram a seguinte questão: > > > (1) Seja S = tan²(1º) + tan²(3º) + tan²(5º) + ... + tan²(89º), calcule o > valor de S. > > Como resolver ? Obrigado. > > > Abs, > > Luís > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma de tan^2
acho que vc poderia trabalhar na expressão cis(nx) encontrar um polinômio e usar a relação de girard Em 16 de setembro de 2017 10:48, Luís Lopes escreveu: > Sauda,c~oes, > > > Bom dia. > > > Me mandaram a seguinte questão: > > > (1) Seja S = tan²(1º) + tan²(3º) + tan²(5º) + ... + tan²(89º), calcule o > valor de S. > > Como resolver ? Obrigado. > > > Abs, > > Luís > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de duas frações irredutíveis
Boa tarde! a/b + c/d e (a,b)=1 e (c,d)=1 a/b + c/d = (ad+bc)/bd Se a/b + c/d é inteiro ==> bd | (ad + bc) ==> b|d e d|b b| d <=. |b| <= |d| d | b ==> |d| <= |b| Então temos que |b| = |d|. Portanto, creio que deva ser inserida mais uma restrição no problema. soma de duas frações irredutíveis," ..de denominadores *com módulos * diferentes" 1/2 + 1/-2 = 0 e 2 <> -2 Saudações, PJMS Em 25 de novembro de 2016 10:01, Pedro Chaves escreveu: > Caros Colegas, > > Como provar que a soma de duas frações irredutíveis, de denominadores > diferentes, nunca é um número inteiro? > > Abraços! > Pedro Chaves > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma binomial
Uma ideia que pode funcionar, mas tem que ter alguma base para tentar:
séries formais.
Tente ver se existe uma série formal que descreva f(k), e basta
multiplicá-la por 1/(1-x).
Em 7 de julho de 2016 09:45, Luís Lopes escreveu:
> Sauda,c~oes, oi Anderson,
>
>
> > Deve ter alguma forma de passar isso para uma função hipergeométrica
>
> Deve ter. Tentei isso e só complicou.
>
>
> > e ver se de fato tem solução fácil.
>
> Ou melhor, uma solução esperta.
>
> Pelo que sei do problema, deve ter. Vem do
>
> Mathematical Reflections.
>
>
> > Dei uma trapaceada, mas parece que o Wolfram Alpha não reconhece.
>
> Ok. Nem pensei nisso. Mas acho que há programas capazes de
>
> fornecer a forma fechada.
>
>
> > Eu jogo diversos valores e isso tende a 1/3
>
> Verdade. Fica S_n = 1/3 - ??
>
>
> > - e o desejo de usar indução aumenta!
>
> Verdade. A solução apresentada usa indução.
>
> Mas acho nesse caso um pouco bastante artificial
>
> pois o - ?? - acima veio do nada. A indução em si é fácil.
>
>
> Na verdade comecei tentando S_n = \sum_{k=1}^n f(k)
>
> com
>
> f(k) = \frac{ k - 1 } { \binom{2k}{k} }
>
> pois achei que era mais fácil com este f(k) do que com este aqui:
>
> f(k) = \frac{ 3k + 1 } { ( 2k + 1 ) \binom{2k}{k} } .
>
>
> Neste deu pra calcular F(k) tal que F(k+1) - F(k) = \Delta F(k) = f(k)
>
> e assim S_n = F(n+1) - F(1) = 1 - ?? .
>
>
> Pro f(k) = \frac{ k - 1 } { \binom{2k}{k} } deve ter uma manipulação
>
> binomial esperta pra obter o F(k) que não consigo ver.
>
>
> Abs,
>
> Luís
>
>
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de
> Anderson Torres
> *Enviado:* quinta-feira, 7 de julho de 2016 02:17:43
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* Re: [obm-l] soma binomial
>
> Deve ter alguma forma de passar isso para uma função hipergeométrica e
> ver se de fato tem solução fácil.
>
> Dei uma trapaceada, mas parece que o Wolfram Alpha não reconhece. Eu
> jogo diversos valores e isso tende a 1/3 - e o desejo de usar indução
> aumenta!
>
> Em 6 de julho de 2016 15:19, Luís Lopes escreveu:
> > Sauda,c~oes,
> >
> >
> > Alguém saberia como resolver (sem computador e indução) ?
> >
> > S_n = \sum_{k=1}^n f(k)
> > com
> > f(k) = \frac{ k-1 } { \binom{2k}{k} }.
> >
> > Abs,
> > Luís
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> Lista obm-l - Departamento de Matemática - PUC-Rio
> <http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
> www.mat.puc-rio.br
> Lista obm-l. Existem pelo menos dois arquivos da lista obm-l. Um deles
> fica bem aqui, em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.arquivo.html
>
>
> =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma binomial
Sauda,c~oes, oi Anderson,
> Deve ter alguma forma de passar isso para uma função hipergeométrica
Deve ter. Tentei isso e só complicou.
> e ver se de fato tem solução fácil.
Ou melhor, uma solução esperta.
Pelo que sei do problema, deve ter. Vem do
Mathematical Reflections.
> Dei uma trapaceada, mas parece que o Wolfram Alpha não reconhece.
Ok. Nem pensei nisso. Mas acho que há programas capazes de
fornecer a forma fechada.
> Eu jogo diversos valores e isso tende a 1/3
Verdade. Fica S_n = 1/3 - ??
> - e o desejo de usar indução aumenta!
Verdade. A solução apresentada usa indução.
Mas acho nesse caso um pouco bastante artificial
pois o - ?? - acima veio do nada. A indução em si é fácil.
Na verdade comecei tentando S_n = \sum_{k=1}^n f(k)
com
f(k) = \frac{ k - 1 } { \binom{2k}{k} }
pois achei que era mais fácil com este f(k) do que com este aqui:
f(k) = \frac{ 3k + 1 } { ( 2k + 1 ) \binom{2k}{k} } .
Neste deu pra calcular F(k) tal que F(k+1) - F(k) = \Delta F(k) = f(k)
e assim S_n = F(n+1) - F(1) = 1 - ?? .
Pro f(k) = \frac{ k - 1 } { \binom{2k}{k} } deve ter uma manipulação
binomial esperta pra obter o F(k) que não consigo ver.
Abs,
Luís
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de Anderson
Torres
Enviado: quinta-feira, 7 de julho de 2016 02:17:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] soma binomial
Deve ter alguma forma de passar isso para uma função hipergeométrica e
ver se de fato tem solução fácil.
Dei uma trapaceada, mas parece que o Wolfram Alpha não reconhece. Eu
jogo diversos valores e isso tende a 1/3 - e o desejo de usar indução
aumenta!
Em 6 de julho de 2016 15:19, Luís Lopes escreveu:
> Sauda,c~oes,
>
>
> Alguém saberia como resolver (sem computador e indução) ?
>
> S_n = \sum_{k=1}^n f(k)
> com
> f(k) = \frac{ k-1 } { \binom{2k}{k} }.
>
> Abs,
> Luís
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Lista obm-l - Departamento de Matemática -
PUC-Rio<http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
www.mat.puc-rio.br
Lista obm-l. Existem pelo menos dois arquivos da lista obm-l. Um deles fica bem
aqui, em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.arquivo.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma binomial
Deve ter alguma forma de passar isso para uma função hipergeométrica e
ver se de fato tem solução fácil.
Dei uma trapaceada, mas parece que o Wolfram Alpha não reconhece. Eu
jogo diversos valores e isso tende a 1/3 - e o desejo de usar indução
aumenta!
Em 6 de julho de 2016 15:19, Luís Lopes escreveu:
> Sauda,c~oes,
>
>
> Alguém saberia como resolver (sem computador e indução) ?
>
> S_n = \sum_{k=1}^n f(k)
> com
> f(k) = \frac{ k-1 } { \binom{2k}{k} }.
>
> Abs,
> Luís
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma dos números naturais
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF 2016-03-03 14:24 GMT-03:00 Sávio Ribas : > Vi uma palestra sobre isso (entre outras coisas) na última semana. O fato > é que a Zeta(-1) = -1/12, onde Zeta(s) é a continuação analítica de 1 + > 1/2^s + 1/3^s + ... para o plano complexo. Essa série só converge se a > parte real de s é maior que 1, então não faz sentido fazer s = -1 e obter 1 > + 2 + 3 + ... = -1/12. Porém é verdade que alguns experimentos da física > isso "se torna verdade", no sentido de que algum valor teórico era para dar > algo que se comporta como 1 + 2 + 3 + ... mas na prática é medido -1/12. O > exemplo dado na palestra foi de sobreposições de ondas com comprimentos 1, > 1/2, 1/3, ..., mas a partir daqui não sei mais nada (física, né...). > > Em 3 de março de 2016 14:13, Pedro Henrique > escreveu: > >> Também achei isso mas existem diversos vídeos no YouTube q provam tal >> afirmação. >> Em 3 de mar de 2016 2:11 PM, "Alexandre Antunes" < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> Essa afirmação parece estranha, pois a intuição parece indicar que essa >>> soma tende para o infinito! >>> Em 03/03/2016 13:54, "Pedro Henrique" escreveu: >>> Boa tarde! A um bom tempo atrás vi diversas explicações e também aplicações práticas na física sobre a soma dos números naturais ser igual a -1/12 mas não dei muita importância até que um aluno veio me questionar hj sobre a veracidade deste problema, portanto gostaria de saber de vcs se essa resposta está realmente correta e se n estiver quais contra-argumentos podem ser usados. Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma dos números naturais
Vi uma palestra sobre isso (entre outras coisas) na última semana. O fato é que a Zeta(-1) = -1/12, onde Zeta(s) é a continuação analítica de 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... para o plano complexo. Essa série só converge se a parte real de s é maior que 1, então não faz sentido fazer s = -1 e obter 1 + 2 + 3 + ... = -1/12. Porém é verdade que alguns experimentos da física isso "se torna verdade", no sentido de que algum valor teórico era para dar algo que se comporta como 1 + 2 + 3 + ... mas na prática é medido -1/12. O exemplo dado na palestra foi de sobreposições de ondas com comprimentos 1, 1/2, 1/3, ..., mas a partir daqui não sei mais nada (física, né...). Em 3 de março de 2016 14:13, Pedro Henrique escreveu: > Também achei isso mas existem diversos vídeos no YouTube q provam tal > afirmação. > Em 3 de mar de 2016 2:11 PM, "Alexandre Antunes" < > prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > >> >> Essa afirmação parece estranha, pois a intuição parece indicar que essa >> soma tende para o infinito! >> Em 03/03/2016 13:54, "Pedro Henrique" escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> A um bom tempo atrás vi diversas explicações e também aplicações >>> práticas na física sobre a soma dos números naturais ser igual a -1/12 mas >>> não dei muita importância até que um aluno veio me questionar hj sobre a >>> veracidade deste problema, portanto gostaria de saber de vcs se essa >>> resposta está realmente correta e se n estiver quais contra-argumentos >>> podem ser usados. >>> >>> Obrigado! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma dos números naturais
Também achei isso mas existem diversos vídeos no YouTube q provam tal afirmação. Em 3 de mar de 2016 2:11 PM, "Alexandre Antunes" < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Essa afirmação parece estranha, pois a intuição parece indicar que essa > soma tende para o infinito! > Em 03/03/2016 13:54, "Pedro Henrique" escreveu: > >> Boa tarde! >> >> A um bom tempo atrás vi diversas explicações e também aplicações práticas >> na física sobre a soma dos números naturais ser igual a -1/12 mas não dei >> muita importância até que um aluno veio me questionar hj sobre a veracidade >> deste problema, portanto gostaria de saber de vcs se essa resposta está >> realmente correta e se n estiver quais contra-argumentos podem ser usados. >> >> Obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma dos números naturais
Essa afirmação parece estranha, pois a intuição parece indicar que essa soma tende para o infinito! Em 03/03/2016 13:54, "Pedro Henrique" escreveu: > Boa tarde! > > A um bom tempo atrás vi diversas explicações e também aplicações práticas > na física sobre a soma dos números naturais ser igual a -1/12 mas não dei > muita importância até que um aluno veio me questionar hj sobre a veracidade > deste problema, portanto gostaria de saber de vcs se essa resposta está > realmente correta e se n estiver quais contra-argumentos podem ser usados. > > Obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de números compostos
Oi Marcone, Para n maior do que ou igual a 1, temos: i)11+3n = 8+3(n+1) ii)11+3n+1 = 9+3(n+1) iii) 11+3n+2 = 10+3(n+1) Faltando : 12 =8+4 e 13 = 9+4. Abraços Carlos Victor Em 11/12/2015 23:36, marcone augusto araújo borges escreveu: > Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de números > compostos positivos > > para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)] > mas... > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Soma de números compostos
Olá!
Todos os naturais (n) obedecem à seguinte lei de formação:
n = soma [i=0, p] [k(i)x2^i]; k(i)={0, 1}
I.e., todos os naturais podem ser escritos como a soma de potências de 2.
Nesta soma, cada potência de 2 aparece uma, e somente uma, vez. Esta é uma
correspondência biunívoca entre o natural "n" e a respectiva soma das
potências de 2.
E.g., 23 = (1x2^0) + (1x2^1) + (1x2^2 ) + (0x2^3 ) + (1x2^4)
Sds.,
Albert.
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Eduardo Henrique
Enviada em: sábado, 12 de dezembro de 2015 15:13
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Soma de números compostos
Cara, acho que todo natural ímpar maior que 11 se escreve como 9+2*n, n
natural.
Att.,
Eduardo
From: mailto:marconeborge...@hotmail.com
To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Soma de números compostos
Date: Sat, 12 Dec 2015 01:36:39 +
Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de números
compostos positivos
para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)]
mas...
--
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] Soma de números compostos
Cara, acho que todo natural ímpar maior que 11 se escreve como 9+2*n, n natural. Att., Eduardo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Soma de números compostos Date: Sat, 12 Dec 2015 01:36:39 + Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de númeroscompostos positivos para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)]mas... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de números compostos
Para n ímpar deve seguir que n=11+2t=9+2(t+1) Em 11 de dezembro de 2015 23:36, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de números > compostos positivos > > para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)] > mas... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de números compostos
6K+L, em que L composto percorra as classes de resíduos módulo 6, já deve servir. Em 11 de dezembro de 2015 23:36, marcone augusto araújo borges escreveu: > Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de números > compostos positivos > > para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)] > mas... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma
Deixo um vídeo com a dedução da fórmula da soma de k=1 até infinito de k
a^k (que dá 1/ (1-a) ).
Daí parece tranquilo obter a que deseja tomando a=e^{-0,08} .
https://www.youtube.com/watch?v=yBRAIuUyM1I&index=5&list=PLmT_L9MZaC2mX4fmZwFRuz6RwM8GGNPcS
Em 29 de setembro de 2015 15:38, João Sousa
escreveu:
> Alguém poderia me passar a fórmula geral para
>
> sum_{k=1}^{\infty} k*exp(-0,08*k)
>
> Abs
> João
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
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Re: [obm-l] soma finita???
Rapaz ...que sacada ... Muito obrigado, Ralph Seja 1S = 1.1+2.2+4.3+8.4+...+2^(n-1).n Entao, botando um 0 na frente para alinhar do jeito que eu quero: 2S = 0.0+2.1+4.2+8.3+...+2^(n-1).(n-1)+2^n.n Subtraindo e vendo a PG negativa: S = -1 -2 -4 -8... -2^(n-1) + 2^n.n = 2^n.n - 2^n + 1= 2^n.(n-1) + 1 Divida por n, e acabou! Abraco, Ralph. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Quadrados
Legal. Achei bom o problema. Principalmente o resultado sobre a densidade dos interessantes. Em 19 de dezembro de 2014 13:36, Ralph Teixeira escreveu: > > Consigo arrumar o problema, mas vai ficar faltando um pedaco no final. > > Note que dah para escrever m de forma mais explicita. > > m=[n^2-(n-1)^2]+[(n-2)^2-(n-3)^2]+...+[(n-(k-1))^2-(n-k)^2] > onde tem (k+1)/2 pares de termos ali em cima > m=[2n-1]+[2n-5]+[2n-9]+...+[2n-(2k-1)] > m=n(k+1)-[1+5+9+...+(2k-1)] > m=n(k+1)-(2k).(k+1)/2 2 = (2n-k).(k+1)/2 > > Ou seja, m eh perfeito se for possivel fatora-lo do jeito que estah aa > direita, com n>k>0 e k impar. > > Entao voce TEM que fatorar m=I.J onde I=2n-k eh impar (talvez haja varias > escolhas para I e J -- veremos aa frente); e entao TEM que tomar 2n-k=I e > (k+1)/2=J, isto eh, k=2J+1 e n=(k+I)/2. > > Isto dito, SE voce fatorar m=I.J com I impar, voce (quase) sempre PODE > tomar k=2J+1 e n=(k+I)/2! Note que k eh automaticamente positivo e impar! > Ha apenas um problema: precisamos que n>k, isto eh, que > > (k+I)/2 > k > I > k > I > 2J+1 > > Resumindo: se for possivel escrever m=I.J com I impar e I>2J+1, entao m eh > interessante. Senao, m NAO eh interessante! > > Bom, entao nao perdemos nada se supusermos que I eh o maior fator impar > possivel de m... Ou seja: > > i) Escreva m=2^s.I onde I eh impar (s>=0, I>=1). > ii) Entao m eh interessante se, e somente se, I>2^(s+1)+1 > > Ou seja, os numeros interessantes sao: > a) s=0 implica I>=3: 3,5,7,9,11,13,15,17,... (todos os impares exceto 1) > b) s=1 implica I>=7: 14,18,22,26,30,34,38,... > c) s=2 implica I>=11: 44,52,60,68,76,84,92,... > d) s=3 implica I>=19: 136,152,168,184,... > e) s=4 implica I>=35... > ... > > Bom, isso explicita QUEM sao os interessantes, mas ainda fica faltando a > probabilidade... :) > > Abraco, Ralph. > > > 2014-12-19 3:43 GMT-02:00 Marcos Martinelli : > >> Um número natural m é chamado interessante se existirem n e k naturais >> tais que n > k > 0, k é ímpar e ainda: >> >> m = n^2 - (n - 1)^2 + (n - 2)^2 - ... - (n - k)^2 . >> >> Seja P_N a probabilidade de escolhermos um número interessante dentre os >> primeiros N naturais. >> >> Calcular lim (P_N / N) quando N -> + infty. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Quadrados
Ah, achei um errinho de sinal... :( Deixa eu tentar de novo: Note que dah para escrever m de forma mais explicita. m=[n^2-(n-1)^2]+[(n-2)^2-(n-3)^2]+...+[(n-(k-1))^2-(n-k)^2] onde tem (k+1)/2 pares de termos ali em cima m=[2n-1]+[2n-5]+[2n-9]+...+[2n-(2k-1)] m=n(k+1)-[1+5+9+...+(2k-1)] m=n(k+1)-(2k).(k+1)/2 2 = (2n-k).(k+1)/2 Ou seja, m eh perfeito se for possivel fatora-lo do jeito que estah aa direita, com n>k>0 e k impar. Entao voce TEM que fatorar m=I.J onde I=2n-k eh impar (talvez haja varias escolhas para I e J -- veremos aa frente); e entao TEM que tomar 2n-k=I e (k+1)/2=J, isto eh, k=2J-1 e n=(k+I)/2. Isto dito, SE voce fatorar m=I.J com I impar, voce (quase) sempre PODE tomar k=2J-1 e n=(k+I)/2! Note que k eh automaticamente positivo e impar! Ha apenas um problema: precisamos que n>k, isto eh, que (k+I)/2 > k I > k I > 2J-1 Resumindo: se for possivel escrever m=I.J com I impar e I>2J-1, entao m eh interessante. Senao, m NAO eh interessante! Bom, entao nao perdemos nada se supusermos que I eh o maior fator impar possivel de m... Ou seja: i) Escreva m=2^s.I onde I eh impar (s>=0, I>=1). ii) Entao m eh interessante se, e somente se, I>2^(s+1)-1 Ou seja, os numeros interessantes sao: a) s=0 implica I>=3: 3,5,7,9,11,13,15,17,... (todos os impares exceto 1) b) s=1 implica I>=5: 10,14,18,22,26,30,34,38,... c) s=2 implica I>=9: 36,44,52,60,68,76,84,92,... d) s=3 implica I>=17: 136,152,168,184,... e) s=4 implica I>=33... ... n) s=n implica I>=2^(n+1)+1... ... Bom, isso explicita QUEM sao os interessantes, mas ainda fica faltando a probabilidade... :) Abraco, Ralph. > > > 2014-12-19 3:43 GMT-02:00 Marcos Martinelli : > > Um número natural m é chamado interessante se existirem n e k naturais >> tais que n > k > 0, k é ímpar e ainda: >> >> m = n^2 - (n - 1)^2 + (n - 2)^2 - ... - (n - k)^2 . >> >> Seja P_N a probabilidade de escolhermos um número interessante dentre os >> primeiros N naturais. >> >> Calcular lim (P_N / N) quando N -> + infty. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Quadrados
Consigo arrumar o problema, mas vai ficar faltando um pedaco no final. Note que dah para escrever m de forma mais explicita. m=[n^2-(n-1)^2]+[(n-2)^2-(n-3)^2]+...+[(n-(k-1))^2-(n-k)^2] onde tem (k+1)/2 pares de termos ali em cima m=[2n-1]+[2n-5]+[2n-9]+...+[2n-(2k-1)] m=n(k+1)-[1+5+9+...+(2k-1)] m=n(k+1)-(2k).(k+1)/2 2 = (2n-k).(k+1)/2 Ou seja, m eh perfeito se for possivel fatora-lo do jeito que estah aa direita, com n>k>0 e k impar. Entao voce TEM que fatorar m=I.J onde I=2n-k eh impar (talvez haja varias escolhas para I e J -- veremos aa frente); e entao TEM que tomar 2n-k=I e (k+1)/2=J, isto eh, k=2J+1 e n=(k+I)/2. Isto dito, SE voce fatorar m=I.J com I impar, voce (quase) sempre PODE tomar k=2J+1 e n=(k+I)/2! Note que k eh automaticamente positivo e impar! Ha apenas um problema: precisamos que n>k, isto eh, que (k+I)/2 > k I > k I > 2J+1 Resumindo: se for possivel escrever m=I.J com I impar e I>2J+1, entao m eh interessante. Senao, m NAO eh interessante! Bom, entao nao perdemos nada se supusermos que I eh o maior fator impar possivel de m... Ou seja: i) Escreva m=2^s.I onde I eh impar (s>=0, I>=1). ii) Entao m eh interessante se, e somente se, I>2^(s+1)+1 Ou seja, os numeros interessantes sao: a) s=0 implica I>=3: 3,5,7,9,11,13,15,17,... (todos os impares exceto 1) b) s=1 implica I>=7: 14,18,22,26,30,34,38,... c) s=2 implica I>=11: 44,52,60,68,76,84,92,... d) s=3 implica I>=19: 136,152,168,184,... e) s=4 implica I>=35... ... Bom, isso explicita QUEM sao os interessantes, mas ainda fica faltando a probabilidade... :) Abraco, Ralph. 2014-12-19 3:43 GMT-02:00 Marcos Martinelli : > Um número natural m é chamado interessante se existirem n e k naturais > tais que n > k > 0, k é ímpar e ainda: > > m = n^2 - (n - 1)^2 + (n - 2)^2 - ... - (n - k)^2 . > > Seja P_N a probabilidade de escolhermos um número interessante dentre os > primeiros N naturais. > > Calcular lim (P_N / N) quando N -> + infty. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Eu andei quebrando a cabeça também e nada conclusivo, mas tem alguns detalhes que observei: tg(x) = sen(x)/cos(x) = cos(90-x)/sen(90-x) = cotg(90-x) Ou seja, tg 1º = 1/tg 89º, não é? Simetria. Não dá prá fazer tg (1+89) (tg 90º = +oo, talvez algum limite com L'Hôpital) , ou algo com tg(45-1) = tg(47-3) = tg(49-5)... ? tg(45-1) ^ 2 = (tg 45 - tg 1)^2/(1 - tg45 tg 1)^2 O numerador se aproxima do problema. Em Wed, 4 Jun 2014 21:42:32 -0300 Douglas Oliveira de Lima escreveu: > Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar > um polinômio de grau 45 com essas raízes, > Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui > http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf > Eu fiz assim, pensei que > (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n, > dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos > i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n, > agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem > raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes > reais com n igual a 90 ficaria > 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as > raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação > ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são > (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será > C(90,2)=4005. > > Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso > daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar > fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me > corrigir em alguma parte que não vi agradeço. > > Um abraço!! > > > > Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > > > 2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce : > > > Ola' pessoal, > > > tem um probleminha que se esqueceram de fazer: > > > > Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes > > da unidade e polinômios de Chebyshev. > > > > > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz > > > : > > >> > > >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente > > >> do arco duplo, mas ficou complicado. > > >> > > >> Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um > > >> número inteiro. > > >> > > > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > = > > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > = > > > -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar um polinômio de grau 45 com essas raízes, Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf Eu fiz assim, pensei que (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n, dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n, agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes reais com n igual a 90 ficaria 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será C(90,2)=4005. Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me corrigir em alguma parte que não vi agradeço. Um abraço!! Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce : > > Ola' pessoal, > > tem um probleminha que se esqueceram de fazer: > > Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes da > unidade e polinômios de Chebyshev. > > > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > >> > >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco > >> duplo, mas ficou complicado. > >> > >> Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um número > >> inteiro. > >> > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce : > Ola' pessoal, > tem um probleminha que se esqueceram de fazer: Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes da unidade e polinômios de Chebyshev. > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco >> duplo, mas ficou complicado. >> >> Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um número >> inteiro. >> -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Ola' pessoal, tem um probleminha que se esqueceram de fazer: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg52124.html> http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg52124.html []'s Rogerio Ponce 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco > duplo, mas ficou complicado. > > > Mostre que *tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)* é um número > inteiro. > > > Obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
O que você fez? Não entendi. Pode detalhar? Em 7 de maio de 2014 14:49, saulo nilson escreveu: > =46+d/dxtg(2x+88)(45-somatgxtg(90-x)=46 > > > > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco >> duplo, mas ficou complicado. >> >> >> Mostre que *tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)* é um número >> inteiro. >> >> >> Obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
=46+d/dxtg(2x+88)(45-somatgxtg(90-x)=46 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco > duplo, mas ficou complicado. > > > Mostre que *tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)* é um número > inteiro. > > > Obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Muito bom, Marcos. Obrigado.
Pra terminar esta série de msgs, gostaria de tratar do problema 6 na p. 38,
S(1921) = f(1) + .. + f(1921) para f(k) = 1/(sqr(k) + sqr(k^2 - 1))
Encontrei S(1921) = (sqr(2)/2)(sqr(1922) + sqr(1921) - 1).
Esta certo?
Luis
Date: Mon, 30 Dec 2013 20:34:20 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na linha seguinte:
* "{1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2 + k
+ 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)] .
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) = [1/2
. sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 . sum{k =
1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k +
1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]} = 1/2 . f(100)
+ 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Na linha seguinte:
* "{1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
>
> * "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
>
> Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
>
>> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>>
>> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
>> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
>> - k +1)] .
>>
>> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1)
>> = [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2
>> . sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
>> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
>> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>>
>> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
>> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>>
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>
> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
> - k +1)] .
>
> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
> [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
> sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>
> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>
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acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2
+ k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)]
.
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
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RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Obrigado Marcos.
No problema 8, f(k) = 1/(k^4 + k^2 + 1).
Conheço uma forma fechada para g(k) = k/(k^4 + k^2 + 1).
Como f(k) <= g(k) e \sum g(k) < 1/2, então \sum f(k) < 1/2.
Alguém tem outra solução ?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 22:26:08 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)] =
a^x/(a^x + sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
Deve ter uma solução usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] soma da Eureka
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)]
= a^x/(a^x
+ sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
> Oi, oi Marcos,
>
> Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida:
> f(x) + f(1/x) = 1.
>
> E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
> Deve ter uma solução usando os argumentos vistos
> nestas duas últimas soluções.
>
> Alguma dica?
>
> Luis
>
>
> --
> Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
> Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
> From: mffmartine...@gmail.com 'mffmartine...@gmail.com');>
> To: obm-l@mat.puc-rio.br 'obm-l@mat.puc-rio.br');>
>
> Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
> 2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
>
> Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
>
> Sauda,c~oes,
>
> Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
> existiria ?? uma forma fechada para a soma
>
> S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
>
> Ou também, como fazer o problema proposto ?
>
> Bom ano para todos.
>
> Luis
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] soma da Eureka
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)). Deve ter uma solução
usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
> Sauda,c~oes,
>
> Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
> existiria ?? uma forma fechada para a soma
>
> S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
>
> Ou também, como fazer o problema proposto ?
>
> Bom ano para todos.
>
> Luis
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de radicais irracionais é irracional
Então a ideia é provar que o número está num corpo fora de Q? É, parece bem mais ousada... Em 9 de setembro de 2013 05:21, Willy George Amaral Petrenko < wgapetre...@gmail.com> escreveu: > O caso geral é meio complicado. Mas vou dar uma ideia de como se prova que > √2 + 3√3 é irracional. > > Primeiro introduzimos o conjunto Q[√2], que é o menor corpo que contem > tanto Q quanto √2. Ele é formado pelos caras da forma a + b√2, onde a,b ∈ > Q. Suponha que √2 + 3√3 ∈ Q[√2]. Então existem a,b tal que √2 + 3√3 = a + > b√2. Mas então temos que 3√3 ∈ Q[√2] também. Daí temos a,b ∈ Q com 3 = (a > + b√2)3⇒ 3 = a3. Prossiga de maneira similar a prova tradicional de que 3√ > 3 é irracional. Mas nesse caso vc prova √2 +3√3 não pertence a Q[√2]. Mas > como Q ⊂ Q[√2], temos a resposta. > > Bem, alguns passos são não triviais, mas essa é a ideia. > > > > > 2013/9/7 terence thirteen > >> Complicadinho... >> >> Primeiro, dá para supor que a1/m e b1/n estão reduzidos. >> >> Acho que a forma seria obter um polinômio que tenha esta soma como raiz, >> e provar que nenhum racional pode ser raiz deste polinômio. >> >> Por exemplo, >> >> 21/2+31/3=x >> 81/6+91/6=x >> >> Assim, podemos de alguma forma supor que x é raiz de um polinômio de grau >> 6(acho que alguma coisa relacionada a Álgebra Linear pode provar isto). >> >> De qualquer forma, calculamos xn, com n de 1 até 6, e tentamos obter >> alguma combinação linear entre as alternativas, para daí obter o polinômio >> de grau 6. MAS como demonstrar que nenhum racional pode ser raiz deste >> polinômio? >> >> >> >> >> >> >> Em 26 de agosto de 2013 19:19, Ennius Lima escreveu: >> >>> Caros Colegas, >>> >>> Sendo a, b, m e n inteiros positivos tais que a1/m e b1/n são >>> irracionais, como podemos provar que a soma a1/m + b1/n também é >>> irracional? >>> >>> Abraços do Ennius! >>> __ >>>  >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> >> >> -- >> /**/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de radicais irracionais é irracional
O caso geral é meio complicado. Mas vou dar uma ideia de como se prova que √ 2 + 3√3 é irracional. Primeiro introduzimos o conjunto Q[√2], que é o menor corpo que contem tanto Q quanto √2. Ele é formado pelos caras da forma a + b√2, onde a,b ∈ Q. Suponha que √2 + 3√3 ∈ Q[√2]. Então existem a,b tal que √2 + 3√3 = a + b√ 2. Mas então temos que 3√3 ∈ Q[√2] também. Daí temos a,b ∈ Q com 3 = (a + b√ 2)3⇒ 3 = a3. Prossiga de maneira similar a prova tradicional de que 3√3 é irracional. Mas nesse caso vc prova √2 +3√3 não pertence a Q[√2]. Mas como Q ⊂ Q[√2], temos a resposta. Bem, alguns passos são não triviais, mas essa é a ideia. 2013/9/7 terence thirteen > Complicadinho... > > Primeiro, dá para supor que a1/m e b1/n estão reduzidos. > > Acho que a forma seria obter um polinômio que tenha esta soma como raiz, e > provar que nenhum racional pode ser raiz deste polinômio. > > Por exemplo, > > 21/2+31/3=x > 81/6+91/6=x > > Assim, podemos de alguma forma supor que x é raiz de um polinômio de grau > 6(acho que alguma coisa relacionada a Álgebra Linear pode provar isto). > > De qualquer forma, calculamos xn, com n de 1 até 6, e tentamos obter > alguma combinação linear entre as alternativas, para daí obter o polinômio > de grau 6. MAS como demonstrar que nenhum racional pode ser raiz deste > polinômio? > > > > > > > Em 26 de agosto de 2013 19:19, Ennius Lima escreveu: > >> Caros Colegas, >> >> Sendo a, b, m e n inteiros positivos tais que a1/m e b1/n são >> irracionais, como podemos provar que a soma a1/m + b1/n também é >> irracional? >> >> Abraços do Ennius! >> __ >>  >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de radicais irracionais é irracional
Complicadinho... Primeiro, dá para supor que a^(1/m) e b^(1/n) estão reduzidos. Acho que a forma seria obter um polinômio que tenha esta soma como raiz, e provar que nenhum racional pode ser raiz deste polinômio. Por exemplo, 2^(1/2)+3^(1/3)=x 8^(1/6)+9^(1/6)=x Assim, podemos de alguma forma supor que x é raiz de um polinômio de grau 6(acho que alguma coisa relacionada a Álgebra Linear pode provar isto). De qualquer forma, calculamos x^n, com n de 1 até 6, e tentamos obter alguma combinação linear entre as alternativas, para daí obter o polinômio de grau 6. MAS como demonstrar que nenhum racional pode ser raiz deste polinômio? Em 26 de agosto de 2013 19:19, Ennius Lima escreveu: > Caros Colegas, > > Sendo a, b, m e n inteiros positivos tais que a^(1/m) e b^(1/n) são > irracionais, como podemos provar que a soma a^(1/m) + b^(1/n) também é > irracional? > > Abraços do Ennius! > __ >  > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Soma de dois quadrados
Eu confundi a com a^2 e b com b^2Para a^2 e b^2 as formas sao (1) e (2)Para e a
e b faltam casos que nao considereiestou sem conclusaodesculpe.
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Soma de dois quadrados
Date: Mon, 22 Jul 2013 14:04:50 +
Olá,Saulo
Eu fiz assim
Os quadrados sao da forma 8k (1) , 8k+1 (2), ou 8k+4 (3).Veja que 1081 é da
forma 8k+1Para a e b as formas possiveis sao (1) e (2) ou (2) e (3)(caso
contrario a^2+b^2 nao seria um 8k+1)Vou fazer (1) e (2) e a outra é
parecidonote que 1081 tambem é da forma 16k+9 *(8p)^2 + (8q+1)^2 = 16.(4p^2 +
4q^2 + q) + 1 = 16k+1,uma contradição com *
Date: Sun, 21 Jul 2013 23:12:43 -0300
Subject: Re: [obm-l] Soma de dois quadrados
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
24^2**2=1152 23^2*2=1058
24^2+23^2=1105logo 1081 nao pode ser eescrito como soma de
2a^2+b^2+2ab(a+b)^2-=1081+2ab(a+b)^2-2ab
pegando so os 2 uiltimos digitosso a e b so podem ser par e
impar(2x+1+2y)^2-2(2x+1)2y==provar que nao da um nunca==1x e y inteiros
pertence{0,9}4x^2+1+4y^2+2(2x+4xy+2y)-4xy-4y==1
4x^2+4y^2++4x+4xy==0x^2^y^2+x+xy=0impossivel porque x,y=!0 simultaneamente
2013/7/21 marcone augusto araújo borges
Eu testei módulo 8 e já vi que não dá pra escrever 1081 como soma de dois
quadrados.Pensando em não ver apenas assim caso a caso,se não me engano quando
um número é primoele só é soma de 2 quadrados se for da forma 4k+1
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Soma de dois quadrados
Date: Sat, 20 Jul 2013 02:09:39 +
Gostaria de saber como demonstrar que 1081 não pode ser escrito como soma
de dois quadrados. Eu tentei (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad
+ bc)^2,mas1081 = 23.47 e 23 e 47 não são soma de dois
quadrados.Lembreiinclusive que números da forma 4k+3 não são soma de dois
quadrados.
--
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RE: [obm-l] Soma de dois quadrados
Olá,Saulo
Eu fiz assim
Os quadrados sao da forma 8k (1) , 8k+1 (2), ou 8k+4 (3).Veja que 1081 é da
forma 8k+1Para a e b as formas possiveis sao (1) e (2) ou (2) e (3)(caso
contrario a^2+b^2 nao seria um 8k+1)Vou fazer (1) e (2) e a outra é
parecidonote que 1081 tambem é da forma 16k+9 *(8p)^2 + (8q+1)^2 = 16.(4p^2 +
4q^2 + q) + 1 = 16k+1,uma contradição com *
Date: Sun, 21 Jul 2013 23:12:43 -0300
Subject: Re: [obm-l] Soma de dois quadrados
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
24^2**2=1152 23^2*2=1058
24^2+23^2=1105logo 1081 nao pode ser eescrito como soma de
2a^2+b^2+2ab(a+b)^2-=1081+2ab(a+b)^2-2ab
pegando so os 2 uiltimos digitosso a e b so podem ser par e
impar(2x+1+2y)^2-2(2x+1)2y==provar que nao da um nunca==1x e y inteiros
pertence{0,9}4x^2+1+4y^2+2(2x+4xy+2y)-4xy-4y==1
4x^2+4y^2++4x+4xy==0x^2^y^2+x+xy=0impossivel porque x,y=!0 simultaneamente
2013/7/21 marcone augusto araújo borges
Eu testei módulo 8 e já vi que não dá pra escrever 1081 como soma de dois
quadrados.Pensando em não ver apenas assim caso a caso,se não me engano quando
um número é primoele só é soma de 2 quadrados se for da forma 4k+1
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Soma de dois quadrados
Date: Sat, 20 Jul 2013 02:09:39 +
Gostaria de saber como demonstrar que 1081 não pode ser escrito como soma
de dois quadrados. Eu tentei (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad
+ bc)^2,mas1081 = 23.47 e 23 e 47 não são soma de dois
quadrados.Lembreiinclusive que números da forma 4k+3 não são soma de dois
quadrados.
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Re: [obm-l] Soma de dois quadrados
24^2**2=1152
23^2*2=1058
24^2+23^2=1105
logo 1081 nao pode ser eescrito como soma de 2
a^2+b^2+2ab
(a+b)^2-=1081+2ab
(a+b)^2-2ab
pegando so os 2 uiltimos digitos
so a e b so podem ser par e impar
(2x+1+2y)^2-2(2x+1)2y==provar que nao da um nunca==1
x e y inteiros pertence{0,9}
4x^2+1+4y^2+2(2x+4xy+2y)-4xy-4y==1
4x^2+4y^2++4x+4xy==0
x^2^y^2+x+xy=0
impossivel porque x,y=!0 simultaneamente
2013/7/21 marcone augusto araújo borges
> Eu testei módulo 8 e já vi que não dá pra escrever 1081 como soma de dois
> quadrados.
> Pensando em não ver apenas assim caso a caso,se não me engano quando um
> número é primo
> ele só é soma de 2 quadrados se for da forma 4k+1
>
> --
> From: marconeborge...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Soma de dois quadrados
> Date: Sat, 20 Jul 2013 02:09:39 +
>
>
> Gostaria de saber como demonstrar que 1081 não pode ser escrito como soma
> de dois quadrados.
> Eu tentei (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2,mas
> 1081 = 23.47 e 23 e 47 não são soma de dois quadrados.Lembrei
> inclusive que números da forma 4k+3 não são soma de dois quadrados.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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RE: [obm-l] Soma de dois quadrados
Eu testei módulo 8 e já vi que não dá pra escrever 1081 como soma de dois quadrados.Pensando em não ver apenas assim caso a caso,se não me engano quando um número é primoele só é soma de 2 quadrados se for da forma 4k+1 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Soma de dois quadrados Date: Sat, 20 Jul 2013 02:09:39 + Gostaria de saber como demonstrar que 1081 não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Eu tentei (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2,mas1081 = 23.47 e 23 e 47 não são soma de dois quadrados.Lembreiinclusive que números da forma 4k+3 não são soma de dois quadrados. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de quadrados
Parece meio hard, mas lembrei que 1 - Todo inteiro é soma de 4 quadrados 2 - Muitos inteiros são soma de três quadrados 3 - Alguns tantos são soma de dois quadrados. Acho que a descrição dos soma-de-três-quadrados é algo como testar módulo 8. Mas, de fato, eu queria tal demonstração em especial. Em 18 de julho de 2013 21:00, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Poderia ser tambem 20^2 + 40^2 +1^2 > Para 2 quadrados eu tinha pensado modulo 4,modulo 3 ficou melhor > Valeu,obrigado! > > -- > Date: Thu, 18 Jul 2013 18:26:40 -0300 > Subject: Re: [obm-l] Soma de quadrados > From: nilson...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Provavelmente não é a melhor solução, mas... > > 44^2+8^2+1^2 = 2001 > > Vou tentar provar então que 2001 não pode ser escrito como a^2+b^2 > > Se 2001 = a^2+b^2 => 2001 mod 3 = a^2+b^2 mod 3 => 0 = a^2 + b^2 mod 3. (I) > > Como todo quadrado é 0 ou 1 mod 3, a equação (I) só tem solução se a^2 > mod 3 = b^2 mod 3 = 0 > a^2 mod 3 = b^2 mod 3 = 0 => a mod 3 = b mod 3 = 0 => a^2 mod 9 = b^2 mod > 9 = (a^2+b^2) mod 9 = 0, mas isso não acontece pois 2001 mod 9 <> 0 > > Att, > > Nilson > > > Em 18 de julho de 2013 17:52, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Achar o menor natural n tal que 2001 é a soma dos quadrados de n > inteiros(corrigindo) > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Soma de quadrados > Date: Thu, 18 Jul 2013 19:43:30 + > > > Achar o menor numero natural n tal que 2001 é a soma de n quadrados > Ideias,por favor. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Soma de quadrados
Poderia ser tambem 20^2 + 40^2 +1^2Para 2 quadrados eu tinha pensado modulo 4,modulo 3 ficou melhorValeu,obrigado! Date: Thu, 18 Jul 2013 18:26:40 -0300 Subject: Re: [obm-l] Soma de quadrados From: nilson...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Provavelmente não é a melhor solução, mas... 44^2+8^2+1^2 = 2001 Vou tentar provar então que 2001 não pode ser escrito como a^2+b^2 Se 2001 = a^2+b^2 => 2001 mod 3 = a^2+b^2 mod 3 => 0 = a^2 + b^2 mod 3. (I) Como todo quadrado é 0 ou 1 mod 3, a equação (I) só tem solução se a^2 mod 3 = b^2 mod 3 = 0a^2 mod 3 = b^2 mod 3 = 0 => a mod 3 = b mod 3 = 0 => a^2 mod 9 = b^2 mod 9 = (a^2+b^2) mod 9 = 0, mas isso não acontece pois 2001 mod 9 <> 0 Att, Nilson Em 18 de julho de 2013 17:52, marcone augusto araújo borges escreveu: Achar o menor natural n tal que 2001 é a soma dos quadrados de n inteiros(corrigindo) From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Soma de quadrados Date: Thu, 18 Jul 2013 19:43:30 + Achar o menor numero natural n tal que 2001 é a soma de n quadrados Ideias,por favor. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de quadrados
Provavelmente não é a melhor solução, mas... 44^2+8^2+1^2 = 2001 Vou tentar provar então que 2001 não pode ser escrito como a^2+b^2 Se 2001 = a^2+b^2 => 2001 mod 3 = a^2+b^2 mod 3 => 0 = a^2 + b^2 mod 3. (I) Como todo quadrado é 0 ou 1 mod 3, a equação (I) só tem solução se a^2 mod 3 = b^2 mod 3 = 0 a^2 mod 3 = b^2 mod 3 = 0 => a mod 3 = b mod 3 = 0 => a^2 mod 9 = b^2 mod 9 = (a^2+b^2) mod 9 = 0, mas isso não acontece pois 2001 mod 9 <> 0 Att, Nilson Em 18 de julho de 2013 17:52, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Achar o menor natural n tal que 2001 é a soma dos quadrados de n > inteiros(corrigindo) > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Soma de quadrados > Date: Thu, 18 Jul 2013 19:43:30 + > > > Achar o menor numero natural n tal que 2001 é a soma de n quadrados > Ideias,por favor. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Soma de quadrados
Achar o menor natural n tal que 2001 é a soma dos quadrados de n inteiros(corrigindo) From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Soma de quadrados Date: Thu, 18 Jul 2013 19:43:30 + Achar o menor numero natural n tal que 2001 é a soma de n quadrados Ideias,por favor. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma igual ao produto
x+y=xy x=ky+a ky+y+a=ky^2+ay ky^2+y(a-k-1)-a=0 y=(-(a-k-1)+-rq((a--k-1)^2+4ka))/2a a=1 encontra que nao 2013/5/11 Paulo Argolo > Caros Colegas, > > > Sabemos que 2 + 2 = 2.2 e 1+ 2 + 3 = 1.2.3 > > Minha dúvida: Existem outros números reais positivos (dois ou mais, > distintos ou não) cuja soma seja igual ao produto? > > > Abraços do Paulo Argolo > > __ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Soma igual ao produto
Caro Ralph,
Convém observar que a afirmação
"Afinal, 1+1+1+...+1+x_1+x_2+...+x_n = 1.1.1.1.1.1.1.x_1.x_2.x_3x_n
se voce botar o numero certo de 1's ali..."
só é válida quando a soma x_1 + x_2 + ... + x_n for menor do que o produto
x_1. x_2 . x_3 ... x_n
Bem, uma inevitável perguntinha:
Além dos casos mencionados: 2 + 2 = 2 . 2 e 1 + 2 + 3 = 1. 2. 3 , são
conhecidos outros exemplos de números naturais, cuja soma é igual ao produto?
Abraços para todos!
Paulo Argolo
_
Date: Sat, 11 May 2013 22:48:00 -0300
Subject: Re: [obm-l] Soma igual ao produto
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pois eh, {1,2,3} eh bacana porque tem a propriedade e nao eh apelativo que nem
o meu montao de 1's...
Outro "problema" eh que, NOS REAIS, voce sempre pode tomar
x305=(x1+x2+...+x304)/(x1x2x304 - 1). Se o produto x1x304 for maior que
1, o conjunto {x1,,x305} vai ter a propriedade pedida. Entao o problema nao
eh tao bacana nos reais, tem respostas demais que nao sao tao especiais...
Entao me parece que a pergunta BACANA eh:
"Quais sao as n-uplas (x1,...,xn) (com x1<=x2<=...<=xn) de numeros NATURAIS
cuja soma eh igual ao produto e que tem NO MAXIMO um numero 1?"
(Versao 2, mais facil: SEM nenhum 1?)
Estas eu jah vi em algum lugar -- dah para atacar o problema, e nao tem muitas
respostas nao. Basicamente, o produto vai ser MUITO maior que a soma, exceto em
uns "poucos" casos.
Abraco,
Ralph
2013/5/11 Bernardo Freitas Paulo da Costa
2013/5/11 Ralph Teixeira :
> Bom, se voce deixar a pergunta assim, a resposta eh sim, montes deltes.
>
> Afinal, 1+1+1+...+1+x_1+x_2+...+x_n=1.1.1.1.1.1.1.x_1.x_2.x_3x_n se
> voce botar o numero certo de 1's ali...
>
> Entao a pergunta bacana eh...?
Poxa, eu achei 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 tão bacana!
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Soma igual ao produto
Pois eh, {1,2,3} eh bacana porque tem a propriedade e nao eh apelativo que
nem o meu montao de 1's...
Outro "problema" eh que, NOS REAIS, voce sempre pode tomar
x305=(x1+x2+...+x304)/(x1x2x304 - 1). Se o produto x1x304 for maior
que 1, o conjunto {x1,,x305} vai ter a propriedade pedida. Entao o
problema nao eh tao bacana nos reais, tem respostas demais que nao sao tao
especiais...
Entao me parece que a pergunta BACANA eh:
"Quais sao as n-uplas (x1,...,xn) (com x1<=x2<=...<=xn) de numeros NATURAIS
cuja soma eh igual ao produto e que tem NO MAXIMO um numero 1?"
(Versao 2, mais facil: SEM nenhum 1?)
Estas eu jah vi em algum lugar -- dah para atacar o problema, e nao tem
muitas respostas nao. Basicamente, o produto vai ser MUITO maior que a
soma, exceto em uns "poucos" casos.
Abraco,
Ralph
2013/5/11 Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 2013/5/11 Ralph Teixeira :
> > Bom, se voce deixar a pergunta assim, a resposta eh sim, montes deltes.
> >
> > Afinal, 1+1+1+...+1+x_1+x_2+...+x_n=1.1.1.1.1.1.1.x_1.x_2.x_3x_n
> se
> > voce botar o numero certo de 1's ali...
> >
> > Entao a pergunta bacana eh...?
>
> Poxa, eu achei 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 tão bacana!
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
