Re: [obm-l] Re: Funcao Distancia
On Thu, Jan 22, 2004 at 06:12:09PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: f2(6,0) = 6^2 + 2^2 + 4^2 = 56 f2(8,0) = 8^2 + 0^2 + 2^2 = 68 mas f1(6,0) = 6 + 2 + 4 = 12 f1(8,0) = 8 + 0 + 2 = 10. Desculpem, cometi um erro tipográfico aqui. Deveria, é claro, ser f2(6,0) = 6^2 + 2^2 + 4^2 = 56 f2(8,0) = 8^2 + 0^2 + 2^2 = 68 mas f1(6,0) = 6 + 2 + 4 = 12 f1(8,0) = 8 + 0 + 2 = 10. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
On Thu, Jan 22, 2004 at 07:41:00PM -0200, André Martin Timpanaro wrote:
Se n é um número impar e a é um real qualquer, quando a equação abaixo pode
ser resolvida por radicais?
x^n + a(x+1)=0
Se for possível, quais são as raízes reais dessa equação?
Não entendi pq n ímpar; talvez para garantir que existe raiz real,
mas isto não tem muito a ver, tem?
Isto é um problema de teoria de Galois e não sei se entendi bem a pergunta.
Acho que você quer a resposta em função de n e não em função de n e a, certo?
Ou seja, você quer saber para quais valores de n existe uma fórmula com
radicais que dê a raiz em termos de a. É isso?
Se for isso você quer saber para que valores de n o grupo de Galois
de x^n + a*x + a é solúvel, onde os coeficientes estão no corpo Q(a),
sendo a um transcendente que pode igualmente bem ser tratado como
outra viariável desde que entendamos que o grupo é em relação à variável x.
Eu *acho* que este grupo de Galois é sempre o grupo simétrico S_n.
Eu sei que o grupo de Galois de x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0
é S_n (onde a_{n-1}, ..., a_0 são algebricamente independentes,
ou, se você preferir, são outras variáveis).
O grupo de Galois de um polinômio de grau n em geral é S_n
e acho que este polinômio é bem geral (as aspas marcam que isto
não é uma afirmação das mais precisas).
Eu verifiquei no maple para n = 9 e deu certo
(isto é, para n = 9 o grupo é mesmo S_n).
Se isto estiver certo a resposta é que a equação pode ser resolvida
por radicais apenas para n = 4.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] O JOGO DE PASSA DEZ!
On Thu, Jan 22, 2004 at 07:10:15PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Ok! Nicolau e demais colegas! outro fato curioso é que os sábios que criaram o cálculo de probabilidades, encontraram especialmente no jogo de dados, um material simples e bem preparado, que lhes facilitou de forma singular os primeiros passos. Uma primeira dificuldade, resolvida por Pascal na sua correspondência com o Cavaleiro de Méré, relaciona-se com a enumeração exata dos casos. Tratava-se do jogo de passa-dez, que se joga com três dados; um dos jogadores aposta que o total dos pontos será superior a 10 e o outro que será igual ou inferior a 10; vê-se que os dois jogadores dispõem de iguais possibilidades. Mas havia a seguinte dificuldade: uma paciente enumeração de grande quantidade de partidas mostrara ao Cavaleiro de Méré que o jogador do passa-dez ganha mais amiúde com 11 do que com 12 pontos. Qual a explicação para tal fato? Basta ver que é mais provável tirar 11 do que 12. Há 27 maneiras de tirar 11 e só 25 maneiras de tirar 12. Um problema *bem* mais difícil é a seguinte generalização bem natural. Tome uma coleção finita de dados. Os dados não precisam ter 6 faces, o número de faces é um inteiro positivo qq n, e as faces são numeradas de 1 a n. O valor de n (o número de faces) pode inclusive variar de um dado para outro, isto é, estamos misturando dados de vários tipos. A única restrição é que cada dado deve ser honesto, i.e., que em um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n. Os dados também são independentes uns dos outros, claro. Vamos jogar todos os dados da coleção e somar todos os números sorteados: chamemos esta soma de N. É bem fácil calcular os valores mínimo e máximo possível de N: Nmin é o número de dados e Nmax é o número total de faces de todos os dados. Seja Nm = (Nmin + Nmax)/2. Sejam N1 N2 = Nm. Prove que prob(N=N1) = prob(N=N2). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero esperado de movimentos?
On Fri, Jan 23, 2004 at 12:44:16PM +, Elon Correa wrote: Caros colegas, Uma sequencia (bloco) de 5 digitos binarios, por exemplo, (1 0 1 0 1), e gerada aleatoriamente com iqual probabilidade (50%) de se gerar 1 ou 0. ... (cortando fora um longo enunciado) sequencia maior com 5*N digitos. Ou seja qual o numero esperado de movimentos (trocas) para se obter o valor N para a sequencia maior? Se eu bem entendi o problema é o seguinte: começamos com uma seqüência de 5 bits, dos quais k = k0 são iguais a 1. Sorteamos um dos 5 bits e invertemos, assim alterando o valor de k para k1. Repetimos o processo. Seja n o menor inteiro para o qual kn = 1 ou 5: encontre f(k0), o valor esperado de n em função de k0. Trivialmente f(1) = f(5) = 0. Também é fácil ver que f(0) = 1 pois qualquer que seja o bit sorteado no próximo passo teremos uma seqüência com 1 bit igual a 1. Falta calcular x2 = f(2), x3 = f(3) e x4 = f(4). A cada passo sorteamos um bit e temos probabilidade k/5 de escolhermos um 1 e portanto diminuirmos em 1 o valor de k e probabilidade 1-(k/5) de escolhermos um 0 e portanto aumentarmos em 1 o valor de k. Assim x2 = (2/5) + (3/5)*(1 + x3) x3 = (3/5)*(1 + x2) + (2/5)*(1 + x4) x4 = (4/5)*(1 + x3) + (1/5) A primeira equação tem a seguinte justificativa: a partir de uma seq com 2 bits iguais a 1, temos 2/5 de probabilidade de irmos parar em uma seq com 1 bit e neste caso o processo acaba em tempo 1 e temos 3/5 de probabilidade de irmos parar em uma seq com 3 bits iguais a 1, neste caso o processo acaba, em média, em tempo (1 + x3). Assim x2 = (2/5) + (3/5)*(1 + x3), como queríamos. As outras duas equações são análogas. Resolvendo o sistema temos f(2) = 19/4, f(3) = 25/4, f(4) = 6. Mas talvez eu não tenha interpretado corretamente. Talvez a pergunta seja: começando com uma seqüência tomada ao acaso, qual o valor esperado de n? Neste caso a resposta seria (1/32)*f(0) + (5/32)*f(1) + (10/32)*f(2) + + (10/32)*f(3) + (5/32)*f(4) + (1/32)*f(5) = 141/32 ~= 4.4. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
On Fri, Jan 23, 2004 at 09:21:35PM -0200, André Martin Timpanaro wrote: Na verdade a era uma função de n, consegui fazer uma simplificação e percebi que basta que x^n - nx +1 - n seja solúvel por radicais (no caso do meu problema e não se a for um real qualquer) Ok, agora faz mais sentido separar o caso em que n é ímpar. Se n for ímpar -1 é raiz dupla e dividindo o seu polinômio por (x+1)^2 temos o polinômio x^(n-2) - 2 x^(n-3) + 3 x^(n-4) - 4 x^(n-5) + + (n-2) x - (n-1) Este polinômio *parece* ser sempre irredutível e ter grupo de Galois o grupo simétrico S(n-2) (digo que parece pq testei alguns casos no maple). É isto que você gostaria de demonstrar? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero esperado de movimentos?
On Sat, Jan 24, 2004 at 01:31:04AM +, Elon Correa wrote: Caro Nicolau, Obrigado pela sua resposta. A sua segunda interpretacao do problema eh a correta. Por favor, veja a mesma e tambem o email anterior abaixo. Ok. Não tinha entendido esta coisa dos blocos mas... 3) A cada inversao o valor da sequencia eh avaliado. Se o valor da sequencia apos a inversao for igual ou maior que o valor anterior, a inversao e aceita. Caso contrario a sequencia permanece inalterada. ...não entendi se sortear um bit e ver que não serviu deve ser contado como um passo ou não. Se *não* contar então estamos simplesmente fazendo o processo que eu descrevi para cada bloco e basta multiplicar o tempo esperado pelo número de blocos. É esta a pergunta? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Paradoxos (era: Impossibilidade do movimento)
On Sat, Jan 24, 2004 at 02:05:03PM -0200, Fabio Henrique wrote: Acho curioso que sempre que se toca no assunto Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga, de Zenon, sempre se recorre a somas infinitas como explicação do paradoxo. Mesmo quando o assunto foi questão da prova da UFRJ, o argumento usado foi o mesmo. Parece-me que a explicação do paradoxo é o fato de que este foi construído sobre condições idealizadas e não reais. Há um momento em que a distância entre Aquiles e a tartaruga seria tão pequena (segundo as parcelas da soma infinita) que chegaria a ser menor do que o pé da tartaruga. Nunca vi/ouvi/li ninguém argumentar que o paradoxo criado por Zenon considera tanto a tartaruga quanto Aquiles como objetos pontuais, sem dimensão. O que de fato contraria o nosso senso prático. Estaria eu pensando bobagem? Um paradoxo é um raciocínio que leva a um absurdo. Há sempre várias maneiras de explicar o pq do absurdo, ou seja, há quase sempre muitas falhas em um raciocínio errado. No caso dos paradoxos de Zenão, acho que as pessoas optam por apontar a relação com séries, ou limites, ou topologia da reta, por acharem esta a parte mais interessante e mais sutil do argumento. Outro paradoxo conhecido é o da prova surpresa. O professor chega na primeira aula de um curso de 20 aulas e diz que durante o curso haverá uma prova surpresa. Um aluno raciocina que a prova não pode ser no último dia senão não seria surpresa. Mas já que não pode ser no último dia, se fosse no penúltimo dia também não seria surpresa. Assim a prova não pode ser em nenhum dos dois últimos dias. Repetindo o raciocínio, a prova não pode ser um nunhum dos últimos três dias. E repetindo mais vezes, não pode ser em *nenhum* dia. Ora, no oitavo dia de aula o professor dá uma prova, e todos são tomados de surpresa. Há várias explicações diferentes para este paradoxo. Muitas vezes não se pode dizer que uma explicação está certa e outra errada, deve-se apenas dizer que uma explicação é mais interessante, ou mais esclarecedora. []s, N. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Funcao Distancia
On Sat, Jan 24, 2004 at 05:54:11PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau escreveu: Não é equivalente. Como você verificou abaixo o ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é o baricentro, que não tem muito a ver com o ponto pedido. Atentando, para as considerações físicas sobre o problema feitas por Nicolau em e-mail anterior (fazer vários furos em uma cartolina, amarrar os barbantes que passam pelos furo entre si em um nó sobre a cartolina, a um peso abaixo da cartolina e soltar o peso) começei a pensar em uma outra maneira de resolver. O nó fica em uma posição de equilíbrio estável que é um atrator, isto é, se mexermos no nó ele volta para o equilíbrio. Isto é verdade quando existe um único mínimo local (que também é global) e já mostrei na outra mensagem que isto ocorre *exceto* no caso de todos os furos estarem em uma linha reta. Intuitivamente, parece que no equilíbrio as trações no fio são todas iguais (não verifiquei ainda). Claro, todas são iguais ao peso (mg, não é massa) dos pesos pendurados. Isto supondo que o nó não está justo acima de um furo. Se for verdade então os ângulos devem ser todos iguais também (senão a soma das forças no ponto não dá zero). No caso de três furos isto está correto. Ou melhor, está certo no caso de três furos se os ângulos internos forem menores do que 120 graus. No caso de mais de de três furos não está certo. Ora! Isso acontece no triângulo equilátero (os ângulos são todos 120 graus) a menos que um dos ângulos seja 120 graus. Daí várias idéias novas surgem pra tentar a solução. Se tivermos quatro furos nos vértices de um retângulo (não quadrado), o ponto desejado é o centro do retângulo. É fácil ver que as forças somam zero mas os quatro ângulos não são iguais. Uma delas, meio geométrica, é procurar para cada segmento o lugar geométrico dos ângulos de 360/n que tem dois pontos no segmento (um círculo) e achar a intersecção de todos tais círculos para todos os segmentos. Tem que ser um ponto só! Senão tem falha no raciocínio e isso só iria funcionar para triângulos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento
On Sat, Jan 24, 2004 at 04:26:38PM -0200, Frederico Reis Marques de Brito wrote: (Isto é falso. Embora concorde em ter-se uma certa estranheza inicial, mas o fato é que qdo somamos termos que tendem a zero, talvez a soma ainda possa ser finita. Tal como ocorre com 1/10^n. Entretanto, é necessário dizer que apenas em algumas sequências a soma converge, precisamente, qdo as séries são convergentes. Imagine o seguinte: 2=1,99..., o que essa igualdade significa? Eu não tenho participado diretamente desta conversa, mas já que chegamos ao famigerado 0.99... = 1, recomendo que deem uma olhada nas *MUITAS* mensagens que já foram escritas nesta lista sobre este persistente tema. Você pode começar pela mensagem abaixo e seguir os links: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200310/msg00348.html Obrigado ao Duda = Eduardo Stabel por fazer esta lista de mensagens, mas conferindo, acho que alguns destes links estão trocados, não? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] (n!)^(1/n) - iinf
On Sun, Jan 25, 2004 at 03:55:08PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Um exercicio interessante eh demonstrar que (n!)^(1/n) - inf. Que tal assim? lim log((n!)^(1/n)) = lim (log n!)/n mas sabemos que lim n!/(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)) = 1 donde lim (log(n!) - log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n))) = 0 e com mais forte razão lim (log n!)/(log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n))) = 1 donde lim log((n!)^(1/n)) = lim log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)))/n = lim log(n) - lim e + lim log(sqrt(2 pi n))/n = +infinito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] (n!)^(1/n) - iinf
On Mon, Jan 26, 2004 at 02:53:55AM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
Esta demonstracao baseada na formula de Stirling eh de fato interessante. Eu
via a deducao desta formula a muito tempo. Eh baseada na integral de Ln(x),
nao eh isto?
A demonstração da fórmula de Stirling, você quer dizer?
Bem, há muitas demonstrações mas sim, uma das mais conhecidas
começa estimando
int_1^n log(t) dt = n log n - n + 1
pela regra dos trapézios: a estimativa dá
log(2) + log(3) + ... + log(n-1) + (log(n)/2) = log(n!) - (log(n)/2)
Como a função log tem concavidade para baixo temos
log(n!) n log n - n + (log(n)/2) + 1
Defina a_n = (int_n^{n+1} log t dt) - ((log(n) + log(n+1))/2):
ou seja, a_n é a área da bochechinha que o gráfico de log
faz acima da reta secante entre n e n+1.
Claramente a_n 0 para todo n = 1 e
log(n!) = n log n - n + (log(n)/2) + 1 - ( a1 + a2 + ... + a_{n-1} ).
Não é difícil provar que a série
a1 + a2 + ...
converge; seja C o seu limite; temos
log(n!) n log n - n + (log(n)/2) + 1 - C
para todo n e a diferença tende a zero.
Tomando a exponencial dos dois lados temos
n! n^n e^{-n} sqrt(n) e^{1-C}
e o quociente tende para 1 de forma monótona decrescente
quando n tende a infinito. Falta provar que e^{1-C} = sqrt(2 pi),
mas isto fica para outra vez.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] problemas
On Mon, Jan 26, 2004 at 12:14:16PM -0200, amurpe wrote: Pessoal gostaria de uma ajuda na resolucao desses problemas. Achei alguns destes problemas bem estranhos... 1) Digamos que a probabilidade de um tresloucado motorista faca uma roleta paulista em uma determinada esquina seja de 0,001.em um ano , qual a probabilidade de que hajam duas roletas paulistas nesta esquina? resposta: e^(-0,133/0,365)( Desculpe a ignorancia :achei estranha a resposta, porque e elevado a?) Eu não entendi nada, acho que este enunciado está incompleto. Duas roletas nesta esquina em que intervalo de tempo? Aliás, o que é uma roleta paulista? 2)Em um edificio de 10 andares, considere que a probabilidade de que o elevador pare em um determinado andar seja igual para todos os andares.Qual a probabilidade de que o elevador saindo do nono andar pare duas vezes antes de chegar ao primeiro andar? resposta:189/1000. Mas se o elevador *sempre* parar em todos os andares, a condição de que a probabilidade seja a mesma para todos os andares está satisfeita (é 1) mas a probabilidade de que ele pare exatamente duas vezes é 0, e a probabilidade de que ele para pelo menos duas vezes é 1. A resposta certa precisa depender da probabilidade de que o elevador pare em cada andar. Sobre os outros eu falo depois, preciso ir. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problemas
Continuando a outra mensagem...
On Mon, Jan 26, 2004 at 12:14:16PM -0200, amurpe wrote:
3) Suponha que em frente a janela do seu apartamento
exista um numero infinito de janelas de edificios de onde
as pessoas possam ver seu apartamento.se em cada instante
a media de pessoas olhando o seu apartamento e de duas
pessoas, qual e a probabilidade de que em um determinado
instante:
a) ninguem esteja olhando.
b)Ao menos duas pessoas estejam olhando.
Eu interpreto assim. Há um grande número N de pessoas
que podem olhar para a sua janela. Cada uma delas
decide olhar ou não independentemente das outras.
Sabemos que a cada instante dado, o valor esperado
para o número de pessoas olhando é 2 assim a probabilidade
de cada pessoa estar olhando é 2/N.
Seja pk(N) a probabilidade de termos exatamente k pessoas
olhando em um dado instante. Estamos interessados no limite
pk = lim_{N - infinito} pk(N)
Temos
pk(N) = binomial(k,N) (2/N)^k (1 - (2/N))^(N-k)
= (2^k/k!) * (N*(N-1)*...*(N-k+1)/N^k) * (1 - (2/N))^(N-k)
e não é difícil provar que
lim_{N - infinito} (N*(N-1)*...*(N-k+1)/N^k) = 1
lim_{N - infinito} (1 - (2/N))^(N-k) = e^(-2)
assim
pk = e^(-2) 2^k/k!
Isto é uma distribuição de Poisson.
Assim a probabilidade de ninguém estar olhando é
p0 = e^(-2) ~= 0.1353352832.
A probabilidade de pelo menos duas pessoas estarem olhando é
1 - p0 - p1 = 1 - e^(-2) - 2*e^(-2) ~= 0.5939941504.
resposta-a :10/74, resposta-b:44/74
10/74 ~= 0.1351351351 e 44/74 ~= 0.5945945946 estão bem próximos
das respostas que eu achei mas não tenho a menor idéia de onde
saíram.
4)Qual a probabilidade de entre 720 pessoas, exatamente
duas pessoas facam anos no dia de natal?
A probabilidade de uma dada pessoa fazer anos no dia de natal
é p = 1/365 se supusermos os 365 dias do ano equiprováveis (hipótese
aliás altamente duvidosa) ou p = 4/1461 se levarmos em conta
um ano bisexto de 4 em 4 anos.
De qualquer forma a resposta correta seria
binomial(720,2) * p^2 * (1-p)^(720-2).
Para p = 1/365 isto dá aproximadamente 0.2709957267.
Para p = 4/1461 isto dá aproximadamente 0.2709905036.
resposta: 10/37.
10/37 ~= 0.270270270270 está razoavelmente perto mas novamente
não sei de onde tiraram este valor.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de combinatória
On Mon, Jan 26, 2004 at 08:26:27PM +, Marcelo Souza wrote: Numa banda há 5 exemplares da revista A, 4 exemplares da revista B e 6 exemplares da revista C. Quantas coleções não vazias de revistas podemos formar? Acho que uma coleção é um terno ordenado (nA,nB,nC) onde 0 = nA = 5 é o número de revistas A, 0 = nB = 4 é o número de revistas B e 0 = nC = 6 é o número de revistas C. Assim temos 6*5*7 = 210 coleções e 209 coleções não vazias. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O período de uma função?
On Mon, Jan 26, 2004 at 11:30:14PM -0200, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +, Márcio Pinheiro wrote: Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o período de determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação explícita, que possui determinada propriedade? Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a propriedade: f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, sendo a um real não nulo. Acho que a única coisa que falta é exibir uma f satisfazendo esta condição e para a qual 4a seja período fundamental. O que não é muito difícil: tome b um número real e defina f(x) = b para todo x no intervalo [0,a), = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a), e assim por diante. Para quase todo b o período fundamental será 4a. Ou, se você estiver interessado em uma função mais bonitinha, tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A fórmula para f segue da fórmula para tan(u+v). Não entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de exibir uma função cujo período fundamental seja 4a realmente garante que toda função que satisfaz f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui período fundamental 4a??? Claro que não, isto é falso. O que eu estou afirmando é que: (a) Toda função satisfazendo a identidade f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x)) para todo x tem período 4a, i.e., f(x+4a) = f(x) para todo x. (b) Existe uma função nesta classe para a qual o período 4a é o período fundamental. Para complementar, dada a sua pergunta, eu diria ainda: (c) Para todo inteiro positivo ímpar k, existem funções nesta classe com período 4a/k. De fato, basta tomar f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi)) onde s = (-1)^((k-1)/2). (d) Nenhuma função nesta classe tem período fundamental 4a/k, k par. De fato, f(x+2a) = -1/f(x) nunca é igual a f(x). (e) Nenhuma função nesta classe é constante. Veja a demonstração de (d). Na verdade a minha dúvida (e provavelmente a do Márcio) é se é possível garantir que 4a é o período mínimo de todas as funções que satisfazem a equação funcional anterior ou se no máximo podemos afirmar que 4a é um período (comum a todas)? Além do mais, podemos afirmar que todas as funções que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo período fundamental??? Lembremos que a manipulação algébrica somente garante que 4a é UM período... Acho que eu respondi a sua dúvida para esta classe de funções? Acho que você pode resolver o mesmo problema para o outro exemplo que você deu, ou seja: Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1) para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine todos os valores possíveis para o período fundamental. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Simples dúvida!
On Tue, Jan 27, 2004 at 12:18:34PM -0300, Carlos Alberto wrote: Amigos da lista OBM-l Estou com um dúvida... No volume 2 da coleção do Iezzi tem a seguinte equação exponencial. 4^( x ) - 3^( x - 1/2 ) = 3^( x + 1/2) - 2^( 2x - 1) Escreva isto assim: 2^(2x) + 2^(2x-1) = 3^(x+1/2) + 3^(x-1/2) ou 2^(2x) (1 + 1/2) = 3^x (sqrt(3) + 1/sqrt(3)) ou (4/3)^x = 8 sqrt(3)/9 = (4/3)^(3/2) donde x = 3/2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
On Tue, Jan 27, 2004 at 04:07:45PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1) para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine todos os valores possíveis para o período fundamental. []s, N. Temos que f(x+1) = f(x+2) + f(x) = f(x+2) + f(x+1) + f(x-1). Logo, f(x+2) = -f(x-1) para todo real x. Decorre portanto que f(x+3) = -f(x) e que f(x+6) = -f(x+3) = f(x). Logo, f eh periodica e 6 e um periodo da mesma. Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n. Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos fundamentais 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ... O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0 se x é irracional, tem qualquer número racional como período. É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problemas
On Tue, Jan 27, 2004 at 01:50:26PM -0500, Qwert Smith wrote: 4)Qual a probabilidade de entre 720 pessoas, exatamente duas pessoas facam anos no dia de natal? A probabilidade de uma dada pessoa fazer anos no dia de natal é p = 1/365 se supusermos os 365 dias do ano equiprováveis (hipótese aliás altamente duvidosa) ou p = 4/1461 se levarmos em conta um ano bisexto de 4 em 4 anos. De qualquer forma a resposta correta seria binomial(720,2) * p^2 * (1-p)^(720-2). Da pra elaborar mais um pouquinho? Essa e provavelmente a parte em que minha curiosidade e mais agucada e meus conhecimentos mais limitados. A probabilidade de k pessoas fazerem anos no dia de natal seria f(k) = binomial(720,k) * p^k * (1-p)^(720-k): Há binomial(720,k) conjuntos possíveis de k pessoas. Para cada conjunto destes a probabilidade de que, de fato, todas as k pessoas do conjunto façam anos no dia de natal é p^k. A probabilidade de que as demais façam anos em outro dia é (1-p)^(720-k). Como ficaria a resposta se a pergunta fosse 'ao menos 2 pessoas' inves de 'exatamente 2 pessoas'? 1 - f(0) - f(1). Vou aproveitar e por um problema que 'parece' relacionado: De quantas maneiras posso dividir n balas por m criancas? ( nao vale partir as balas em pedacos, mas vale deixar crianca(s) sem balas na partilha. Não vejo o que os problemas tem a ver, mas tudo bem. Se as balas forem diferentes umas das outras basta olhar para cada bala e escolher a criança que vai ganhar aquela bala: m^n. Se as balas forem todas iguais (só interessa quantas balas cada criança ganha) então estamos querendo contar as soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + ... + xm = n onde xi é o número de balas que a criança i ganha. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida
On Tue, Jan 27, 2004 at 11:49:33PM -0200, Eduardo Henrique Leitner wrote: Um homem acha-se no centro de um circulo. A periferia desse circulo é delimitada por uma cerca, que separa um homem de um cachorro. Admitindo que o cachorro só pode correr ao longo da cerca: - Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo cao se as velocidades maximas possiveis de serem desenvolvidas pelo cachorro e pelo homem entiverem entre si na razao 4 : 1. - Determine as relacoes entre as velocidades maximas do cachorro e do homem para os quais o homem pode escapar. mas ele nao pode escapar... tipo, se o cara estah no centro, e move-se de maneira desprezivel para o lado para que o cachorro vah para a parte mais prohzima dele por fora do circulo entao ele corre em sua mahxima velocidade para o lado oposto do cachorro assim, o homem tera que correr R, enquanto o cachorro Rpi, essa eh a maneira em que o homem tera que correr o minimo em relação ao cachorro Mas não sei se esta é a melhor estratégia para o homem. Se o círculo é o unitário e o homem está inicialmente em (0,0) e o cachorro em (1,0) e ele corre inicialmente na direção (-1,0) o cachorro precisa escolher para que lado ir. No que o homem percebe que o cachorro resolveu correr por cima, ou seja, com trajetória (cos vt, sen vt) o homem deve alterar a sua própria trajetória agora correndo para baixo, talvez em uma direção diametralmente oposta ao cachorro, ou talvez em direção ao ponto do círculo que está diametralmente oposto ao cachorro. Assim ele obriga o cachorro a dar uma volta maior. Ele só não pode tornar interessante para o cachorro dar meia volta e correr pelo outro lado. Resumindo, não sei resolver mas também não fui convencido por este argumento. Acho que o problema é mais sutil do que isso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
On Wed, Jan 28, 2004 at 08:56:59AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Eh, de fato eu so resolvi a primeira parte do problema. A outra parece ser bem mais dificil. Eu nao conhecia este termo periodo fundamental. Eh o mesmo que periodo minimo? O período fundamental de uma função f é o menor inteiro positivo p tal que para todo x temos f(x+p) = f(x). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida
On Tue, Jan 27, 2004 at 05:24:55PM -0300, João Silva wrote: Alguem sabe como se resolve: Um homem acha-se no centro de um circulo. A periferia desse circulo é delimitada por uma cerca, que separa um homem de um cachorro. Admitindo que o cachorro só pode correr ao longo da cerca: - Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo cao se as velocidades maximas possiveis de serem desenvolvidas pelo cachorro e pelo homem entiverem entre si na razao 4 : 1. Se o círculo tem raio 1, o homem velocidade máxima 1 e o cachorro tem velocidade máxima c, uma estratégia que o homem pode seguir é a seguinte. Ele anda até uma distância (1/c) - e do centro, onde e é um número real positivo bem pequeno. Ele pode correr ao longo do círculo de raio (1/c) - e com velocidade angular maior do que c, maior portanto que a do cachorro. Ele corre ao longo deste círculo até estar em posição diametralmente oposta ao cachorro. Neste instante ele começa a correr em linha reta em direção ao ponto do círculo mais próximo de onde ele está. Mesmo sabendo da estratégia do homem, o melhor que o cachorro tem a fazer é contornar o círculo, gastando tempo pi/c. O homem por outro lado demora 1 - (1/c) + e para chagar até a cerca. Assim, se 1 - (1/c) pi/c o homem escapa. Isto ocorre para c pi + 1, em particular para c = 4. Não estou afirmando que esta seja a melhor estratégia para o homem e que a resposta para o segundo item seja pi + 1. Na verdade estou convencido de que a resposta para o segundo item é ainda maior. Vou pensar um pouco mais e depois mando o outro item. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida
On Wed, Jan 28, 2004 at 02:36:08PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: ... da = ( tan(b)/r - c sec(b) ) dr. O homem deve escolher b de tal forma que tan(b)/r - c sec(b) seja máximo. Com um pouco de cálculo podemos determinar que este valor mínimo é -sqrt(c^2r^2 - 1)/r. Assim a diminuição no valor ^^ Mínimo não, de módulo mínimo. Estamos maximizando um número negativo. Desculpem o texto confuso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problemas
On Wed, Jan 28, 2004 at 12:12:14PM -0500, Qwert Smith wrote: Não vejo o que os problemas tem a ver, mas tudo bem. Eu pensei no problema original assim P = numero de arranjos onde 2 pessoas anivesariam no 359o / numero total de arranjos de 720 pessoas em 365 dias numero de arranjos onde joazinho recebe 2 e somente 2 balas / numero de solucoes possiveis da divisao de 720 balas por 365 criancas. Eu não tenho certeza se a palavra arranjo é apropriada aqui. Nos livros de ensino médio brasileiros, um arranjo é, se eu bem me lembro, uma m-upla ordenada de elementos distintos de um conjunto dado com n elementos. Neste caso o número de arranjos é n(n-1)...(n-m+1). Pq exatamente este problema é considerado digno de ser decorado pelos jovens do Brasil é algo que eu não entendo. Mas acho que você não está interessado em discutir ensino de matemática no ensino médio no Brasil... O senhor pode me indicar links sobre o uso de binomiais nesses casos? Qual 'parte' da matematica e essa? A parte da matemática se chama combinatória. Eu não sei bem o que recomendar pq não sei em que nível de estudo você está. O livro Enumerative Combinatorics do Stanley é bom mas talvez seja avançado demais. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O período de uma função?
On Wed, Jan 28, 2004 at 04:18:39PM -0200, Luiz Ponce wrote: Caros amigos, Tenho acompanhado as belas explicações do Nicolau sobre funções períodicas ( como sempre fantásticas). Entretanto, acredito ter encontrado uma pequena falha de digitação, nos exemplos: - Ao invés de f(x) = tan((4*x)/(a*pi)) tem periodo 4a , acho que deveria ser f(x) = tan((pi*x)/(4*a)). Sim, você tem razão. - (c) Para todo inteiro positivo ímpar k, existem funções nesta classe com período 4a/k. Ao invés, De fato, basta tomar, (ao invés de f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi))) onde s = (-1)^((k-1)/2). (acho que deveria ser ; f(x) = tan((k*pi*s*x)/(4*a)) De novo sim, você tem razão. Eu tento ter cuidado mas faço muitos erros deste tipo. Obrigado, []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação de recorrência
On Wed, Jan 28, 2004 at 06:14:36PM -0200, Ogama wrote:
A equação de recorrência definida por x_{n+ 1}= a*(x_{n})^2 + b*(x_{n}) + c,
onde x_{0}, a e b são dados, possui alguma fórmula fechada? Agradeço
antecipadamente qualguer ajuda que possam oferecer.
Você quer dizer algo geral, para quaisquer a, b, c, x0?
Não há a menor chance. Você conhece o conjunto de Mandelbrot?
Se existisse uma fórmula para o seu problema, existiria uma
para o conjunto de Mandelbrot e, bem, ...
Se você não sabe do que eu estou falando dê uma olhada por exemplo em
http://www.ddewey.net/mandelbrot
[]s, N.
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Re: [obm-l] Duvida - Matriz
On Thu, Jan 29, 2004 at 12:34:40PM -0300, João Silva wrote: - Seja A uma matriz n X n qualquer e X uma matriz com todos os elementos iguais. Mostre que: det (A + X) . det (A - X) é menor que ou igual a det (A ^2) Isto vale pq det(A + tX) = at + b para todo t, onde a e b são números que só dependem de A e X e não de t. Isto vale não só para a matriz X que você sugeriu mas para qq matriz X de posto 1. Lembro que o posto de uma matriz é a dimensão do espaço gerado pelas linhas ou colunas. Você pode ver isso expandindo det(A + tX) e observando que todos os termos com t^k, k = 2, cancelam-se de forma mais ou menos óbvia. Ou você pode mudar a base do domínio e imagem para que a matriz X passe a ter uma única entrada não nula na posição (1,1). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um problema de probabilidade
On Thu, Jan 29, 2004 at 07:11:45PM -0200, Ogama wrote:
Considere um bilhão de números distintos escritos cada um em um de um
bilhão de papeizinhos (haja papel!) em um chapéu. Você deve retirar um
papel de cada vez. Você deve dizer que você encontrou o maior de todos
os números, logo após retirá-lo. Não vale dizer que um outro número que você
já tinha retirado antes é o maior! A probabilidade de você acertar sua
afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número
que for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima
de 1/e de acertar!
...
SOLUÇÃO: Sejam n= 10, s= maior inteiro menor ou igual a n/e, I_{n}=
{1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi corretamente o enunciado, estamos supondo
que dentre os s (aproximadamente n/e) elementos descartados não se
encontra o número n pois pelo problema devemos escolher o próximo número
que for maior que todos os anteriores.
Isto não é bem assim. Se entre os s primeiros papéis aparecer o número n
então com esta estratégia você perde. Você tem 1/e de probabilidade de
perder por este motivo.
Considere os eventos
A:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que não contêm n; B:= subconjuntos
de I_{n} com s elementos que contêm n-1. Para que a estratégia acima de um
resultado positivo é necessário que entre os s elementos descartados esteja
o elemento n-1.
Também não é bem assim. Se você tirar o n-1 entre os s primeiros e não tirar
o n, isto garante que você ganha. Mas mesmo sem tirar o n-1 entre os s
primeiros ainda é possível ganhar. Suponha que o maior número que você
tirou entre os s primeiros foi o n-3: você vai anunciar como o maior
o primeiro que aparecer dentre n-2, n-1 e n, ou seja, você ainda tem 1/3
de probabilidade de ganhar.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Parâmetros curriculares nacionais
On Thu, Jan 29, 2004 at 07:58:04PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: De minha parte, declaro achar uma bobagem achar frações ordinárias uma bobagem. Oi Morgado, você pode contar um pouco melhor para a gente que tem preguiça de ler o documento do MEC como é esta coisa das frações ordinárias serem ou não serem bobagem? Desculpe, eu sei que estou sendo bem folgado... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: your mail
On Fri, Jan 30, 2004 at 04:48:45AM +, Márcio Pinheiro wrote:
Huh? Você acha que fazer estes números virarem um subscrito faz isso
virar uma notação clássica? Para mim não. Para mim uma é tão pouco clássica
quanto a outra e eu mantenho o que eu falei na outra mensagem, estejam
o 300 e o 3 acima, abaixo, de um lado ou do outro.
Concordo com a posição adotada por vestibulares de intituições como o ITA,
em que todas as notações e simbologias adotadas são expostas de forma clara
no início da prova, de modo que não se tenha de adivinhar o que o elaborador
quer dizer com essa ou aquela notação.
Daí o fato de eu ter utilizado as aspas sobressaltando o termo clássica, uma
vez que é, sem dúvida, a mais utilizada em livros de ensino médio, os quais
são a principal (ou única) fonte de estudo da maioria dos alunos de tal
nível de ensino.
Desculpo-me se não deixei isso claro na mensagem.
Não ficou totalmente claro para mim na primeira mensagem o que você queria
dizer com aquilo de 'notação clássica'. Acho que o que você descreve
do vestibular do ITA corretíssimo. O vestibular deve medir se o aluno
sabe matemática e não se ele conhece a notação favorita da banca.
Eu tentei deixar claro na primeira mensagem que não conheço nem os livros
de matemática para o ensino médio nem o trabalho de Morgado+Elon+vários outros
e publicado pela SBM ou pelo Impa sobre os livros de ensino médio.
Eu conheço um pouco melhor a literatura para o público mais avançado
e já participei de elaborações de IMOs e nem num contexto nem no outro
a notação A(300,3) ou A_{300,3} seria usada sem explicação, como se fosse
tão evidente quanto (300!/(300-3)!). Se num vestibular ela *é* usada
como se fosse a obrigação do estudante saber o que ela significa eu
acho que há algo errado com o vestibular.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Iezzi dúvida
On Mon, Jan 31, 2000 at 10:51:47AM -0200, Rick wrote: Aproveitando a oportunidade, alguem pode me dizer o que significa o simbolo X_1, ou seja esse _ quer dizer exatamente o que? Não sei se você se refere a alguma mensagem minha, mas eu uso para indicar um subscript, um índice que aparece em letra menor um pouco abaixo da letra. A linguagem TeX, que muitos mas não todos aqui conhecem, usaria $X_1$ para denotar X maiúsculo, em itálico para indicar ao leitor que é um símbolo matemático, com um subscript 1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
On Fri, Jan 30, 2004 at 04:38:49AM +, Márcio Pinheiro wrote:
O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período
mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação
dele?
Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É
possível?
O problema o Claudio Buffara já resolveu.
Definindo um período de uma função f como um número real p
(positivo, negativo ou nulo) tal que f(x+p) = f(x) para todo x
é bem claro que o conjunto P dos períodos de uma função qq é
um subgrupo aditivo de R, i.e.:
0 pertence a P,
se p pertence a P então -p pertence a P,
se p1 e p2 pertencem a P então p1 + p2 pertence a P.
Por outro lado, se P é um subgrupo aditivo de R então f, a função
característica de P tem o próprio P por conjunto dos períodos:
f(x) = 1 se x pertence a P e 0 caso contrário.
Assim todo subgrupo aditivo de R é o conjunto dos períodos
de alguma função f: R - R.
Alguns exemplos de subgrupos aditivos de R são:
{0}, R, aZ = { an, n inteiro} (onde a 0), Q,
p^{-infinito}Z = Z U (1/p)Z U (1/p^2)Z U ... U (1/p^k)Z U
Por outro lado, se f é contínua é fácil demonstrar que P é fechado.
E também é fácel demonstrar que os únicos subgrupos aditivos fechados
de R são {0}, R e aZ que correspondem a uma função não periódica,
a uma função constante, e a uma função com período fundamental a.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Probabilidade
On Fri, Jan 30, 2004 at 11:10:42AM -0800, Artur Steiner wrote:
E a probabiliddae de que tenham o
mesmo deslocamento apos n segundos eh
Soma(k=1,n)[(C(n,k)]^2/(4^n)] =
(Soma(k=1,n)[(C(n,k)]^2)/(4^n). nao sei se existe uma
exressao fechada para Soma(k=1,n)[(C(n,k)]^2.
As somas deveriam começar em 0, não 1, mas fora isso está certo. E
Soma_{0 = k = n} (binomial(n,k))^2 = binomial(2n,n)
Outra solução, que aliás junto com a sua demonstração completa a prova,
tomar a seq de passos de Sonia (DEDEEDDDED) e concatenar com a dos
passos de Pedro, mas trocando na seq de Pedro cada D por E e vice versa.
Todas as 4^n seqs são equiprováveis. Os dois estarão juntos se e somente se
o número de Ds for n (e portanto igual ao número de Es). Há obviamente
binomial(2n,n) seqüências assim. Assim a probabilidade é
binomial(2n,n)/4^n.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Tex
On Sat, Jan 31, 2004 at 12:11:26AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Nicolau e Lista:
Existe alguma extensão de e-mail que permite escrever
fórmulas usando a notação Tex de modo que elas apareçam
bonitas e formatadas no e-mail de quem as recebe? Exemplo
Eu escrevo um e-mail para a lista com uma expressão
do tipo: $y_{i}=\Phi(x_{[i-m,i+m]})$ e a coisa aparece bonita
e formatada para quem estiver recebendo?
A resposta curta é não.
Uma resposta um pouco mais longa é que isto depende do cliente de e-mail
que a pessoa usa. Cliente é o programa que você usa para ler o e-mail:
algumas opções são outlook ou eudora para quem usa windows, mutt ou elm
para quem usa linux/unix em modo texto e muita gente lê e recebe o seu
e-mail a partir do browser. Esta lista deve funcionar para todos e é
por isso (entre outros motivos) que as mensagens devem ser em texto comum.
Algumas pessoas mandam mensagens em html mas isto é desencorajado e
attachments são proibidos (exceto por figuras em formatos compactados
quando for realmente necessário). Assim, o que você sugere, apesar de
ser teoricamente possível, apesar de que talvez existam clientes de e-mail
que façam o que você quer (eu não conheço) está fora das regras.
Não queremos obrigar as pessoas a usar este ou aquele programa
nem começar a discutir que plataforma as pessoas deveriam usar.
O que algumas pessoas fazem é escrever a fórmula como você escreveu mesmo.
O problema é que quem usa TeX entende mas quem não usa não entende nada.
Também não queremos exigir que as pessoas aprendam TeX.
A solução não totalmente satisfatória é se virar com texto mesmo,
tentando tornar o que escreve claro para qualquer um, mesmo que não
fique tão bonito. Nesta lista eu escreveria a fórmula que você usou
como exemplo assim: y_i= Phi(x_{[i-m,i+m]}). Acho que dá para entender.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Postulado
On Sun, Feb 01, 2004 at 03:15:06PM -0200, Rafael wrote: Caro Artur, Definamos o que é um dogma, o que é um postulado e o que é um axioma. Dogma: Ponto fundamental e indiscutível duma doutrina religiosa, e, por extensão, de qualquer doutrina ou sistema. Na Igreja Católica Apostólica Romana, ponto de doutrina já por ela definido como expressão legítima e necessária de sua fé. Postulado: Proposição não evidente nem demonstrável, que se admite como princípio de um sistema dedutível, de uma operação lógica ou de um sistema de normas práticas. Axioma: Premissa imediatamente evidente que se admite como universalmente verdadeira sem exigência de demonstração. Ou ainda, proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. (Todas as definições pertencem ao Novo Dicionário Aurélio.) ...que é uma péssima referência em se tratando de matemática. Procure a definição de número. Aliás, não só em se tratando de matemática: procure a definição de dinossauro. A definição de dogma é totalmente off-topic, eu não vou discutir. Mas as definições de axioma e postulado não correspondem au uso moderno em matemática. Um axioma é um ponto de partida para uma teoria. Ele pode ou não ser intuitivamente evidente. Na matemática não se considera que algo é axioma ou teorema segundo a coisa for mais ou menos evidente. Alguns teoremas são bem evidentes e muitos axiomas são obscuros para alguém que nunca pensou no assunto. O axioma da escolha é um axioma mais ou menos por definição, já que muitos matemáticos usam ZFC, que é um sistema de axiomas no qual ele aparece. Isto é independente de qq discussão filosófica. A palavra postulado é obsoleta e é usada apenas por motivos históricos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Postulado
On Sun, Feb 01, 2004 at 06:24:31PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Rafael, acho que vc exacerbou um tanto na defesa do Dicionário Aurélio. O fato eh que dicionarios, assim como enciclopedias, nao fornecem - e nem sao esses os seus objetivos - informacoes precisas sobre termos de areas especificas como Matematica, Fisica, Biologia, etc. Isto nao eh desmerecer o dicionario, mas apenas reconhecer a finalidade aa qual eles se prestam. Eu acho que mesmo dentro daquilo a que o Aurélio se propõe a ser, as definições de número e de dinossauro são absolutamente inaceitáveis (eu não tenho o dicionário aqui, mas me lembro que a definição de dinossauro dizia que ele era um animal marinho gigantesco). Mas estamos ficando claramente off-topic, e muito por culpa do próprio moderador. Vamos tentar parar, por favor. Se alguem desejar discutir a vido do Horácio Macedo escreva para o Gugu que pelo menos é do partido dele. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 04:51:03PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Imaginem 8 pessoas em uma tabela 4 X 5. Sendo que 4 mulheres estao na coluna A e 4 homens na coluna E. Como passar todas as mulheres para a coluna E e todos os homens para a coluna A. REGRA: Em nenhum momento das passagens pode haver mais do que 1 pessoa em cada DIAGONAL. Mas como as pessoas se movem? De um quadrado para um quadrado vizinho, talvez? Vale andar pela diagonal (como o rei do xadrez)? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 04:51:03PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Este eh um problema *extremamente dificil*: 1) Imaginem 8 pessoas em uma tabela 4 X 5. Sendo que 4 mulheres estao na coluna A e 4 homens na coluna E. Como passar todas as mulheres para a coluna E e todos os homens para a coluna A. REGRA: Em nenhum momento das passagens pode haver mais do que 1 pessoa em cada DIAGONAL. E continuando a minha mensagem anterior, o que se quer dizer com diagonal? Acho que não pode ser qq linha ao longo da qual se move um bispo pois há oito delas na direção SW-NE e uma pessoas em cada uma destas linhas; se duas pessoas nunca podem ocupar a mesma diagonal ninguém poderia nunca sair da diagonal em que começou. Ou será que duas pessoas podem pular ao mesmo tempo para trocar de posição simultaneamente? Vale virar a tabela? Vale operação de mudança de sexo? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 05:49:36PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Exatamente Nicolau, vc soh podera nadar na(s) direcao(s) SW-NE (como os bispos!!!) Se você só pode andar na direção SW-NE é completamente impossível ir da primeira para a última coluna! Talvez você queira dizer SW-NE ou SE-NW? Mas mesmo assim a minha outra objeção se aplica, ou não? [...se duas pessoas nunca podem ocupar a mesma diagonal ninguém poderia nunca sair da diagonal em que começou...] Nao isto nao eh verdade. Voce poderia comecar, por exemplo, com: A mulher da casa a(1,1) poderia ir tranquilamente para a casa a(2,2). Nao poderia ? Se você está falando de diagonais paralelas a (t,a+t) então ela não saiu da sua diagonal. Mas a diagonal (t,a-t) não conta? Ela com isso não ficaria na mesma diagonal que a mulher que está em (3,1)? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 06:21:00PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Para quem quiser ver a versao original deste problema, facam download do WINARC http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm Depois poderemos discutir... Ps: Eh um freeware de MATEMATICA RECREATIVA super leve, mas mesmo se fosse pesado valeria a pena !!! Desculpe, mas eu não uso Windows. Se você estiver interessado em discutir o problema nesta lista explique melhor o enunciado, a explicação que você deu é insatisfatória. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 09:28:50PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: On Sun, Feb 01, 2004 at 06:21:00PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Para quem quiser ver a versao original deste problema, facam download do WINARC Desculpe, mas eu não uso Windows. Se você estiver interessado em discutir o problema nesta lista explique melhor o enunciado, a explicação que você deu é insatisfatória. Por outro lado, google me indicou bem rapidamente o que deve ser o enunciado correto aqui: http://www.casact.org/pubs/actrev/aug99/puzzle.htm Temos bispos brancos (mulheres) do lado esquerdo e pretos (homens) do lado direito. Não há nada que proiba dois bispos brancos de ocuparem a mesma diagonal, nem dois bispos pretos: o que é proibido é que dois bispos de cores opostas se ataquem! Agora faz bem mais sentido... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL !!!!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 09:54:49PM -0200, Fábio Dias Moreira wrote: Como este problema está dando alguma discussão, eu vou postar o enunciado do problema que, creio eu, você queria propor: Oito bispos, quatro brancos e quatro pretos, estão em um tabuleiro 4x5: (Se os diagramas estiverem ilegíveis, visualize-os com uma fonte de largura fixa) Eles se movimentam como no xadrez, com uma restrição: em nenhum momento, um bispo de uma cor pode ameaçar um bispo da outra cor de captura. Legal, agora está certo, e dá para fazer. Eu fiz em 36 movimentos. Não achei extremamente difícil. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL!!!
On Sun, Feb 01, 2004 at 10:47:01PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau, dava pra você nos enviar os lances ? pois pode haver algum erro, eu tbm encontrei uma sequência, porém tinha dois erros. E agora eu estou achando que é impossivel que exista essa sequencia. Antes de mais nada observe que os bispos de casa preta nunca interferem com os bispos de casa branca. Basta portanto resolver o problema para uma das duas cores e repetir para a outra cor. Vou desenhar o tabuleiro assim: 5 X.X. 4 3 2 1 O.O. abcd A primeira jogada é c5b4, ou seja, depois desta jogada o tabuleiro fica: 5 X... 4 .X.. 3 2 1 O.O. abcd As jogadas são: c5b4, a1d4, c1b2, b4d2, b2a3, d4c5, a5c3, c3a1, d2c3, a3c1, c5a3, ... Só para conferir, o tabuleiro agora é 5 4 3 O.X. 2 1 X.O. abcd ..., c3d4, c1d2, a3b4, d4b2, b4a5, d2b4, b4c5, b2c1. Percebo agora que contei errado: esta solução tem 38 e não 36 lances. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EXTREMAMENTE DIFICIL!!!
On Mon, Feb 02, 2004 at 06:28:31PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Dessa forma fica fácil resolver o problema, eu pensei que ele se aplicava as regras do xadrez, ou seja as jogadas são por turnos um lance das brancas, depois um lance das negras. Como Rafael disse que na verdade era uma adaptação do xadrez pensei que esta regra valia. Mas você *pode* resolver fazendo brancas e pretas jogarem alternadamente! Como o que é feito nas casas brancas é independente do que é feito nas casas pretas, escreva a mesma solução para as duas, por exemplo a que eu dei. Agora alterne; fica assim: b1c2 c5b4 a1d4 d5a2 c1b2 b5c4 c2a4 b4d2 b2a3 c4d3 d4c5 a2b1 d1b3 a5c3 b3d5 c3a1 a4b3 d2c3 a3c1 d3b5 c5a3 b1d3 b3a2 c3d4 c1d2 b5a4 a3b4 d3c2 a2c4 d4b2 b4a5 c2d1 d2b4 a4c2 b4c5 c2b1 c4b5 b2c1 []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OT: Antispam do UOL
On Tue, Feb 03, 2004 at 01:32:20PM -0200, Domingos Jr. wrote: Olá! Toda vez que mando uma mensagem pra lista recebo pelo menos duas mensagens do sistema Antispam do UOL dizendo que tenho que confirmar o envio da mensagem, blá, blá, blá... Tem como configurar o software que controla a lista para não utilizar o e-mail do remetente original? O e-mail do remetente original precisa estar presente, é a forma que as pessoas têm de entrar em contato com o autor de uma mensagem por fora da lista. Quem está errado no meu entender é o membro da lista que assina e deixa ligado um anti-spam destes. Já reclamei com duas pessoas que fizeram isso e eles reconfiguraram o anti-spam deles. Não sei quem é o infrator desta vez. Se ele próprio ao ler isso se mancar e agir, melhor. Senão alguém por favor me mande o endereço dele *POR FORA DA LISTA*. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] irracionais
On Tue, Feb 03, 2004 at 02:19:44PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Nao entendi a parte em vermelho abaixo !!! Alguém já explicou a matemática, eu estou aqui para dizer outra coisa. Na minha tela a única coisa que aparece em vermelho (em todas as mensagens) é a linha do Subject. Não suponha que os outros estejam usando o mesmo programa que você, em geral não estão. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PEQUENA DÚVIDA!
On Tue, Feb 03, 2004 at 09:25:17PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Para Nicolau ou quem souber ! Por que A probabilidade de o total ser 10 é 3/36 ? Cada possibilidade dentro da lista abaixo tem prob 1/36: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) ... (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) Para que o total seja 10, há 3 possibilidades: (4,6), (5,5) e (6,4). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajude a verificar a conjectura de Goldbach
Acabo de descobrir que um português chamado Tomás Oliveira e Silva está fazendo uma grande verificação da conjectura de Goldbach pela internet. Verificar aqui significa aumentar o valor de N para o qual a frase todo número par n, 2 n N, pode ser escrito como uma soma de dois primos já foi verificada. O valor atual é N ~= 6*10^16. Se você tiver um computador rodando Linux você pode ajudar a aumentar o valor de N, veja http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach/help.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OT: Antispam do UOL
On Thu, Feb 05, 2004 at 05:05:51PM -0200, Bruno Souza wrote: Eu tenho o antispam do UOL, porém o endereço da [EMAIL PROTECTED] já está incluído na minha lista - para não receber aquelas mensagens chatas. Será que mesmo assim tem problema? Não está claro se autorizar o endereço da lista basta, tenho a impressão de que não. Acho que você entende qual é a preocupação: o fato de você querer usar um anti-spam não deve obrigar 100 pessoas a preencherem um formulário para mostrar que elas são humanas. Vou manter o seu endereço na lista em caráter experimental. Resolva o problema, por favor. E vamos manter esta discussão fora da lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] VELHO PROBLEMA SOB NOVA ROUPAGEM
Cinco pessoas suspeitas de crime estão mantendo encontro secreto no porão de um edifício. Do lado de fora, um policial, com ordens de seguir o chefe do bando, espera que eles se dispersem. O policial sabe que o homem em que está interessado é o mais alto do grupo, e tal é o único meio de que dispõe para distingui-lo dos demais. Por medida de cautela, os homens reunidos abandonam o edifício um de cada vez. O intervalo entre saídas sucessivas é tão grande que, se o policial esperar pelo próximo, antes de seguir qualquer deles, perderá a oportunidade de acompanhá-lo. Se os suspeitos deixam o encontro em ordem aleatória, qual a melhor estratégia a ser adotada pelo policial? Se adotar a melhor estratégia, qual a possibilidade de ser efetivamente o chefe a pessoa que ele vier a seguir? Minha interpretação deste primeiro item do problema é que ele é igual ao problemas dos números na urna. A estratégia do policial deve ser a de deixar fugir os primeiros i suspeitos e a partir daí pegar o primeiro que for mais alto do que os i que fugiram no início. Estamos com isso supondo que o policial não tem nenhuma noção da altura média dos suspeitos, o que como alguém observou é um pouco artificial. Este problema foi discutido recentissimamente, não vou repetir: o melhor valor de i é aproximadamente n/e (onde n é o número de bandidos) e a probabilidade de que o líder dos bandidos seja preso é aprox. 1/e. Agora, entretanto, o líder sabe da existência do policial. (Contudo, o líder não o diz a seus companheiros por ter tido culpa no atrair o policial.) Os membros da quadrilha saem aleatóriamente, tal como antes o fizeram, mas o líder escolhe o momento de sair. Quais as melhores estratégias que o policial e o líder podem escolher e, presumindo que as Minha interpretação aqui é a seguinte. O fato de que a polícia está esperando do lado de fora, e o fato de que eles vão seguir uma estratégia conforme a discutida acima é conhecimento comum entre polícia e líder dos bandidos (o líder sabe que a polícia está lá, a polícia sabe que ele sabe, ele sabe que a polícia sabe que ele sabe e assim por diante). O valor de i não é conhecido pelo líder dos bandidos, claro: a polícia selecionará, no último instante, para que o líder não descubra, o valor de i aleatoriamente entre 0 e n-1 (com uma certa distribuição de probabilidades que depois veremos qual é, e que não é a uniforme). O líder dos bandidos escolhe um número j, também entre 0 e n-1, deixa sairem j dos seus companheiros antes dele e então sai. Ele escolhe j sem saber quais serão os j companheiros que irão antes dele. O valor de j também é escolhido aleatoriamente no último instante. A pergunta é: quais as distribuições de probabilidade que polícia e líder dos bandidos devem usar para que: * Se a polícia sabe a distribuição de probabilidade que o líder dos bandidos vai usar (mas não j, o resultado do sorteio), ela percebe que a sua estratégia e a melhor possível, ou seja, a que torna máxima a probabilidade de captura. * Se o líder dos bandidos sabe a distribuição de probabilidade que a polícia vai usar (mas não i, o resultado do sorteio), ele percebe que a sua estratégia e a melhor possível, ou seja, a que torna mínima a probabilidade de captura. Podemos montar uma matriz nxn A cuja entrada (i,j) indica a probabilidade de captura se polícia toma i e bandido toma j. É fácil ver que A[i,j] = i/j se 0 i = j, A[0,0] = 1 e A[i,j] = 0 caso contrário. Para n = 5, [ 10000 ] [ 01 1/2 1/3 1/4 ] A = [ 001 2/3 2/4 ] [ 0001 3/4 ] [ 00001 ] Sejam u e v em R^5 vetores com coordenadas não negativas e soma das coordenadas igual a 1: u e v representam as distribuições de probabilidade para i e j, respectivamente. A probabilidade de captura é p = u^t A v. Queremos encontrar um ponto de sela para a função p. Um pouco de cálculo nos dá u = [12/37, 12/37, 6/37, 4/37, 3/37] v = [12/37, 6/37, 4/37, 3/37, 12/37] e p = 12/37. Segue abaixo um programinha em maple para calcular esta probabilidade para outros valores de n. As fórmulas são um pouco diferentes pq o maple prefere indexar a partir de 1. bandido := proc(N) local i, j, p, A, B, C, z, u1, v1: A := array(1..N,1..N,sparse): B := array(1..N,1..N,sparse): C := array(1..N,1..N,sparse): z := array(1..N): for i to N do z[i] := 1: od: A[1,1] := 1: B[1,1] := 1: C[1,1] := 1: for i from 2 to N do for j from i to N do A[i,j] := (i-1)/(j-1): B[i,j] := (i-1)/(j-1): C[i,j] := (i-1)/(j-1): od: od: for i from 2 to N do for j to N do B[j,i] := B[j,i] + 1: C[i,j] := C[i,j] + 1: od: od: u1 := linsolve(transpose(C),z): v1 := linsolve(B,z): p := multiply(transpose(u1),A,v1): end proc: []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Figuras em LaTex
On Fri, Feb 06, 2004 at 03:55:08PM -0200, niski wrote: Pessoal, já vi em varios arquivos figuras matematicas de alta precisao como por exemplo o artigo do prof. Nicolau Saldanha sobre icosaedros (http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/icosa.pdf) esta figura sobre Dandelin Spheres http://mathworld.wolfram.com/d1img278.gif ou até mesmo um arquivo de resolucao de provas de vestibulares (http://www.cursoanglo.com.br/angloResolve/2004/fuvest2/respostas/g/r6.gif e http://www.cursoanglo.com.br/angloResolve/2004/fuvest2/respostas/g/r10.gif) Pergunto, Como se produz essas figuras de alta qualidade? Os tres exemplos citados acima foram feitos utilizando a mesma tecnologia? Tenho livros sobre LaTex mas a informacao sobre producao de graficos desse tipo é muito limitada. Os outros eu não sei, mas o icosaedro no meu artigo foi feito da seguinte maneira. Primeiro um programinha em C que eu escrevi calculou a projeção dos vértices em um plano. Um segundo programinha transformou isso em um arquivo *.fig, no formato usado pelo programa xfig. Um arquivo *.fig é um arquivo texto bastante simples, você pode editá-lo manualmente com vi ou emacs. Usei o próprio xfig para retocar a figura (fazer umas linhas mais grossas que outras, umas sólidas e outras tracejadas, este tipo de coisa). O xfig exporta a figura no formato *.eps (encapsulated postscript) e usei o epsfig do latex para incluir a figura no texto. Você pode baixar a fonte latex do arquivo da minha home page para ver os comandos exatos. Os programinhas eu posso mandar para você se você tiver interesse, mas por fora da lista por favor pois este assunto é meio off-topic. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] VELHO PROBLEMA SOB NOVA ROUPAGEM
On Fri, Feb 06, 2004 at 06:04:25PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: Cinco pessoas suspeitas de crime estão mantendo encontro secreto... ... Segue abaixo um programinha em maple para calcular esta probabilidade para outros valores de n. As fórmulas são um pouco diferentes pq o maple prefere indexar a partir de 1. bandido := proc(N) local i, j, p, A, B, C, z, u1, v1: A := array(1..N,1..N,sparse): B := array(1..N,1..N,sparse): C := array(1..N,1..N,sparse): z := array(1..N): for i to N do z[i] := 1: od: A[1,1] := 1: B[1,1] := 1: C[1,1] := 1: for i from 2 to N do for j from i to N do A[i,j] := (i-1)/(j-1): B[i,j] := (i-1)/(j-1): C[i,j] := (i-1)/(j-1): od: od: for i from 2 to N do for j to N do B[j,i] := B[j,i] + 1: C[i,j] := C[i,j] + 1: od: od: u1 := linsolve(transpose(C),z): v1 := linsolve(B,z): p := multiply(transpose(u1),A,v1): end proc: O que eu descobri experimentalmente com este programa é que bandido(n) = 1/(1+harmonic(n-1)) ~= 1/log(n) onde harmonic(n) = 1 + 1/2 + ... + 1/n. Relembrando, bandido(n) é a probabilidade de que o líder seja capturado se tanto ele quanto a polícia adotarem as estratégias ótimas como eu descrevi na mensagem anterior. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] VELHO PROBLEMA SOB NOVA ROUPAGEM
On Fri, Feb 06, 2004 at 08:14:46PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: Cinco pessoas suspeitas de crime estão mantendo encontro secreto... Revendo, a solução do sistema é óbvia: o bandido escolhe a sua posição para sair com probabilidades proporcionais a 1, 1/2, 1/3, ..., 1/(n-1), 1 e a polícia escolhe quantos suspeitos deixa escapar no início com probabilidades proporcionais a 1, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/(n-1). A probabilidade de que o líder seja capturado é 1/(1+harmonic(n-1)). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Juros simples: isto existe?
On Sun, Feb 08, 2004 at 04:29:47PM -0300, Tarcio Santiago wrote: Prezados amigos : estou com umas dúvidas que estão abaixo: ... 1) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses ,à taxa de 6% ao ano, reduz-se a R$ 8.763,00? ... 2) Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em 7 anos? A dúvida que eu tenho é de outra natureza. Quando na vida você já viu alguma coisa funcionar com juros simples? Seja um investimento, um empréstimo, uma dívida, em qualquer situação os juros são compostos, é a única coisa que faz sentido. O único lugar onde o conceito de juros simples aparece é em questões como estas? Ou será que alguém pode me dar um único contraexemplo? Se não houver contraexemplo, para que ensinar um conceito tão inútil e artificial? A meu ver é pior do que não ensinar nada. Se o aluno nunca viu juros ele sabe que não sabe, se ele viu estas explicações ou fórmulas sobre juros simples ele fica com a sensação equivocada de que entende como calcular juros. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
On Sun, Feb 08, 2004 at 08:39:13PM -0200, Claudio Buffara wrote: Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Quase todo mundo fala e escreve inversível. Algumas pessoas, entre elas o Elon, falam e escrevem invertível, argumentando que a palavra vem do verbo inverter e portanto o 't' não tem pq virar um 's'. O argumento é discutível, pois dizemos conversível e reversível apesar dos verbos serem converter e reverter. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
On Mon, Feb 09, 2004 at 03:10:49PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Apenas invertível está nos dicionários. Eu devo confessar nunca pesquisei de forma sistemática esta questão. Mas os dicionários não são perfeitos, uma edição do Aurélio não tinha a palavra desatualizado, mas estamos chegando muito perto de um tópico off-topic que gerou briga recentemente. De qualquer maneira a língua evolui. Eu acho meio boba a discussão inversível x invertível e uso de forma mais ou menos indiferente, com leve preferência pela forma inversível, mais popular e que também me parece mais coerente com palavras parecidas (conversível, reversível, irreversível). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
On Mon, Feb 09, 2004 at 03:13:43PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Muito bem. Essa eh a unica situaçao em que juros simples sao usados. Neste outro caso, por outro lado, acho que o Morgado e eu concordamos. Este é o único exemplo de juros simples que eu já vi. Mesmo depois de ter visto este exemplo ainda acho muito estranha a idéia de ensinar juros simples e não ensinar juros compostos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
On Tue, Feb 10, 2004 at 01:12:39PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: numero de Napier é o mesmo que numero de Euler? Defina numero de Napier Sim, é o mesmo número irracional e ~ 2.71828... Que tal a fração contínua de e? Veja http://www.microsoft.com/research/~cohn/Papers/e.ps []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 01:50:10PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Você certamente está confundindo o enunciado. Se z^n = 1 então z é um inteiro algébrico, o conjugado z^(n-1) também é, e a parte real dele, (z + z^(n-1))/2 é a metade de um inteiro algébrico logo um número algébrico. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
On Tue, Feb 10, 2004 at 01:13:58PM -0300, niski wrote: Professor Nicolau. O sr. disse que acha inutil ensinar as criancas juros simples pq afinal as criancas nao vao usa-las já que as aplicacoes sao beem limitadas. Por outro lado as criancas que nao vao seguir o caminho das ciencas exatas nunca vao usar tb conceitos como binomio de newton (por exemplo). Nesse aspetco como vc pode justificar por que é a favor que tirem juros simples do curriculo e mantenham o binomio de newton? Eu não sou contra ensinar juros bem ensinado: sou totalmente a favor. O que eu sou contra é ensinar juros simples, que têm uma aplicação limitadíssima, e parar aí (dando ao aluna a impressão errada de que ele sabe calcular juros). Acho que isto responde sua pergunta: também sou a favor de ensinar as duas coisas. De qq maneira os dois assuntos têm personalidades muito diferentes um do outro, pode-se dizer que um é matemática pura e outro é uma aplicação, então acho difícil comparar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 09:42:38AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: Obrigado Claudio. Mas eu lembrei errado, o teorema que eu citei nao existeNa realidade, conforme o Nicolau afirmou, as partes reais de raizes inteiras da unidade sao sempre inteiros algebricos. Não tenho certeza se o erro foi meu, mas a parte real é um número algébrico, mas em geral não é um inteiro algébrico; por outro lado o dobro da parte real é um inteiro algébrico (tome z = 1/2 + i sqrt(3)/2). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 12:21:02PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi
a seguinte afirmacao: Com excecao de -1, 0 e 1, a
parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro
algebrico . Esta afirmacao eh falsa, certo?
Eu não conhecia, ou pelo menos não me lembro de conhecer, mas é verdadeira.
Segue abaixo o esboço da demonstração que me ocorreu.
Talvez exista outra mais simples.
A parte real é algo da forma cos(a*pi/b). Como sabemos
que (cos(a*pi/b) + i*sin(a*pi/b)) é um inteiro algébrico,
cos(...) é inteiro algébrico se e somente se sin(...) o é.
Vamos provar que estes números reais só são inteiros algébricos
casos triviais que você citou. Para ver isso vamos determinar
o polinômio de coeficientes inteiros irredutível com raiz
cos(a*pi/b) ou sin(a*pi/b).
Primeiro vou construir os polinômios de Chebyshev:
T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn(x) = 2*x*T{n-1}(x) - T{n-2}(x),
assim T2(x) = 2x^2 - 1, T3(x) = 4x^3 - 3x, T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1,
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x, T6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1.
É fácil provar que Tn(x) = 2^(n-1)x^n + (termos de grau mais baixo),
T{2n}(x) = (-1)^n + (termos de grau par mais alto),
T{2n+1}(x) = (-1)^n (2n+1) x + (termos de grau ímpar mais alto)
Também não é difícil provar que que as raízes de T{2n}(x) são
sin((2k+1)*pi/4n) e que as raízes de T{2n+1} são sin(k*pi/(2n+1)).
Em particular, Tn/Tm é um polinômio se e somente se n=lm, l inteiro ímpar.
A partir daí não é difícil provar que
Yn = Produto_{l divisor ímpar de n} (T{n/l})^(mobius(l))
é um polinômio e que
Tn = Produto_{m divisor de n, n/m ímpar} Ym.
Temos Y2 = T2, Y3(x) = 4x^2 - 3, Y4 = T4, Y5 = 16x^4 - 20x^2 + 5,
Y6(x) = 16x^4 - 16x^2 + 1, ...,
Y15(x) = 256 x^8 - 448 x^6 + 224 x^4 - 32 x^2 + 1.
Claramente, para n 1, Yn é um polinômio com coeficiente líder
uma potência de 2 e coeficiente do termo independente ímpar:
em particular, Yn nunca é múltiplo de um inteiro (em Z[x]).
É consideravelmente mais difícil provar que Yn é irredutível:
se você já viu a prova de que o grau de uma raiz primitiva de
ordem n é euler(n), segue daí, ou é análogo.
Os polinômios Yn são os nosso heróis:
é bem claro (se você acreditar nas coisas que eu afirmei)
que uma raiz de um Yn não é um inteiro algébrico.
Sejam a e b são primos entre si, b 0. Vamos dividir em casos.
Se b é ímpar então sin(a*pi/b) é raiz de Yb.
Se a é ímpar e b é múltiplo de 4 então sin(a*pi/b) é raiz de Y{b/2}.
Se a é ímpar e b é par mas não múltiplo de 4,
então ao invés de sin(a*pi/b) considere
cos(a*pi/b) = sin(pi/2 - a*pi/b) = sin((b/2 - a)*pi/b).
Mas b/2 - a é par. Faça a' = (b/2 - a)/2, b' = b/2 e temos
cos(a*pi/b) = sin(a'*pi/b') com b' ímpar, portanto raiz de Yn.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 08:21:45PM -0200, Claudio Buffara wrote: Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi a seguinte afirmacao: Com excecao de -1, 0 e 1, a parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro algebrico . Esta afirmacao eh falsa, certo? Artur Se for verdadeira, entao o problema do Marcio acabou. Se arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) = m/n, com m, n inteiros e n 0, entao (raiz(5)-1)/2 = cos(2*Pi*m/n) = parte real de uma raiz n-esima da unidade. Mas (raiz(5)-1)/2 eh um inteiro algebrico (raiz de p(x) = x^2 + x - 1) e eh claramente diferente de -1, 0 ou 1 == (raiz(5)-1)/2 nao pode ser a parte real de uma raiz da unidade == contradicao == arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) eh irracional É mesmo, eu resolvi o problema do Marcio sem notar. :-) Bem, certamente dá para simplificar consideravelmente o que eu fiz para este caso particular. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND!
On Tue, Feb 10, 2004 at 08:26:56PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma! Alguma idéia a respeito do problema dos dados? Eu, particularmente, continuo na mesma, apesar de achar o raciocínio muito parecido com o da Penélope x Olívia, elucidado recentemente pelo Ralph. Enquanto isso, vejam abaixo um famoso paradoxo em que incrivelmente um problema sobre probabilidades passa a ter diversas respostas. Você quer dizer aquele que eu propus e repito abaixo? É muito difícil, e a dificuldade é combinatória, nada a ver com estes problemas de probabilidade com um raciocínio certo e outro errado. []s, N. PS: O que é o paradoxo de Bertrand? Tome uma coleção finita de dados. Os dados não precisam ter 6 faces, o número de faces é um inteiro positivo qq n, e as faces são numeradas de 1 a n. O valor de n (o número de faces) pode inclusive variar de um dado para outro, isto é, estamos misturando dados de vários tipos. A única restrição é que cada dado deve ser honesto, i.e., que em um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n. Os dados também são independentes uns dos outros, claro. Vamos jogar todos os dados da coleção e somar todos os números sorteados: chamemos esta soma de N. É bem fácil calcular os valores mínimo e máximo possível de N: Nmin é o número de dados e Nmax é o número total de faces de todos os dados. Seja Nm = (Nmin + Nmax)/2. Sejam N1 N2 = Nm. Prove que prob(N=N1) = prob(N=N2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Inversíveis de Z/nZ
On Wed, Feb 11, 2004 at 02:27:32AM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Olá pessoal da lista. Muitas vezes já li sobre o grupo multiplicativa dos elementos inversíveis de Z/nZ para n inteiro positivo, contudo nunca me perguntei sobre a estrutura desse grupo. Ainda nem pensei na questão e estou propondo ela na lista para que outras pessoas também pensem sobre isto. Se alguém tiver algum comentário, ficarei grato. Este grupo é frequentemente denotado por (Z/(n))^*, aqui Zn*. Você pode escrever n = p1^e1 * ... * pk^ek onde p1, ..., pk são primos distintos. Claramente Zn* é a soma direta de Z(p1^e1)*, ..., Z(pk^ek)*. Se p 2 então Z(p^e)* é cíclico de ordem (p-1)p^(e-1) (isto não é difícil de provar e tenho quase certeza de que já saiu em alguma Eureka). Falta considerar p = 2: Z2* é trivial, Z4* é o grupo com dois elementos mas Z8* é a soma direta de Z2 com Z2. Mais geralmente, para e 2, Z(2^e)* é a soma direta de Z2 com Z(2^(e-2)). PS. Raramente, eu dou sinal de vida quando respondem a uma mensagem minha. Mas isto não quer dizer que eu não leia as respostas. Eu sempre leio. Acho que não cabe ficar enchendo a lista com mensagens de agradecimento. Eu assumo, também, que quando respondo a alguém este alguém lê. A maioria deve agir assim. Não entendo por que algumas pessoas ficam sentidas por não terem resposta... Eu acho que você tem razão em não querer encher a lista com mensagens que dizem simplesmente Obrigado! mas você sempre pode mandar o agradecimento por fora da lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Tue, Feb 10, 2004 at 10:56:27PM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote:
São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm
aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo.
Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos.
Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros
complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes
limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter
ideia do quao amplamente utilizados eles sao.
Eu não entendi bem o pensamento do Laurito, mas talvez ele estivesse
tentando dizer algo com que eu concordo. O fato de matrizes ou números
complexos serem importantes para um monte de gente está (espero!)
fora de discussão. Mas veja como o assunto matrizes é tipicamente
dado no ensino médio: o aluno aprende a definição de soma e produto
de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3,
aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende
a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim.
Este aluno fica sem a menor idéia de que matrizes têm aplicações
em computação gráfica ou engenharia elétrica, sem a menor idéia
de que uma matriz pode representar uma rotação em R^3, sem nenhuma
interpretação geométrica para o determinante, e, é claro, sem
a sombra da sombra de uma idéia de que o determinante pode ter
apicações em combinatória. Este aluno não é capaz de dar nenhuma
aplicação para o produto de matrizes, nem como composição de transformações
lineares, nem como composição de funções de Möbius. Mesmo os alunos
de *olimpíadas* quando aprendem a resolver recorrências como
a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2} dificilmente relacionam este tema com matrizes
(eu sei, eu fui um deles). E quanto a resolver sistemas, eliminação gaussiana
manual pode ser ensinada sem chagar perto de matrizes, e é muito melhor
do que Cramer.
Então eu tenho com relação ao ensino de matrizes uma posição até parecida
com a que eu tenho com relação ao ensino de juros: ou você ensina a coisa
direito ou é melhor nem tocar no assunto. Ensinar uma fórmula para calcular
juros que só é usada numa pequena minoria dos casos e parar aí,
sem ensinar a calcular juros compostas (e de preferência sem estas malditas
fórmulas que são decoradas sem ninguém entender nada) me parece uma idéia
muito estranha. Ensinar matrizes da forma como eu descrevi acima também
me parece uma idéia muito estranha.
Sobre números complexos eu não falei pq o exemplo é menos gritante:
o aluno de ensino médio sempre vê um pouquinho de contexto quando
aprende complexos. Deveria ser muito mais, claro.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
On Thu, Feb 12, 2004 at 12:11:30PM -0300, Carlos Alberto wrote: Resolva a inequação abaixo 9^x - 6^x - 4^x 0 Divida por 9^x para ficar com 1 - (2/3)^x - ((2/3)^x)^2 0 Mas temos 1 - z - z^2 0 se e somente se (-sqrt(5)-1)/2 z (sqrt(5)-1)/2. Mas obviamente (2/3)^x 0. Assim 9^x - 6^x - 4^x 0 se e somente se (2/3)^x (sqrt(5)-1)/2 qye acontece se e x log((sqrt(5)-1)/2)/log(2/3) ~= 1.186814393. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Produto de comutadores
On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: HelpOi, pessoal: Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores NÃO É necessariamnete um comutador? Um exemplo para o qual esta pergunta é útil: o recobrimento universal de SL(2,R). Todo elemento é um produto de um número suficientemente grande de comutadores mas nem todo elemento é um comutador. Um elemento deste grupo pode ser descrito por um caminho g: [0,1] - SL(2,R) com g(0) = I, onde identificamos dois caminhos quando eles têm o mesmo ponto final e são homotópicos fixando estes pontos. Tome ( cos(4 pi t) -sen(4 pi t) ) g(t) = ( ). ( sen(4 pi t) cos(4 pi t) ) O elemento g não é um produto de dois comutadores. Este fato é usado para provar que um bitoro não admite estrutura afim. Veja http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/workshop.ps.gz Eu sei que existe um grupo finito relativamente pequeno para o qual também vale o que você falou. Tente A5: todo elemento é um produto de comutadores mas eu *acho* que nem todo elemento é um comutador. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Thu, Feb 12, 2004 at 03:01:27PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ?
Uma matriz quadrada real define uma transformação linear T de R^n em R^n.
Tome um conjunto X contido em R^n para o qual faça sentido falar de volume.
Então volume(TX) = |det(T)| volume(X).
Outra menos conhecida, para matrizes inteiras: a matriz define uma
transformação de Z^n em Z^n. A densidade da imagem T(Z^n) em Z^n
é 0 se det(T) = 0 e 1/|det(T)| caso contrário. A definição de densidade
de um subconjunto X de Z^n é a seguinte: seja f(r) o número de elementos
de Z^n em uma bola de raio r centrada no origem e g(r) o número de elementos
de X na mesma bola. A densidade é lim_{r - infinito} g(n)/f(n).
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ?
Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1
é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido
demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:22:34PM +, Paulo Santa Rita wrote:
(respondendo a se existe um grupo onde o produto de dois comutadores
não é necessariamente um comutador)
1) NAO. Para ver isso claramente, considere o grupo simetrico S(E) onde
E={1,...,8,a,...,h} e seja A 0 subgrupo gerado pelas permutacoes (1 3)(2 4),
(5 7)(6 8), (a b)(8 c), (e g)(f h), (1 3)(5 7)(a c), (1 2)(3 4)(e h),
(5 6)(7 8)(e f)(g h), (a b)(c d).
O elemento (a c)(b d)(e g)(f h) esta em D(A) e nao e um comutador
Legal... Desculpe, mas como você obteve este exemplo? Ele é meio grande...
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:43:17PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Não. Seja K = Q, p = t^2 - 2 e q = t^2 - 3. F = K[t]/(p) = Q[sqrt(2)] e G = K[t]/(q) = Q[sqrt(3)] (eu mudei os nomes dos polinômios para minúsculas para que não haja confusão entre o corpo Q e o polinômio q). Os dois corpos são claramente não isomorfos pois qualquer isomorfismo obrigatoriamente leva 2 em 2 mas num corpo 2 admite raiz quadrada e no outro não. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Pitagóricos
On Fri, Feb 13, 2004 at 10:48:58AM -0300, Daniel Melo Wanzeller wrote: Voce sabe onde encontrar este livro??? Que tal você tentar a home page da SBM (www.sbm.org.br)? (Dica: clique em livros, depois em Coleção do Professor de Matemática.) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Produto de comutadores
On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores
NÃO É necessariamnete um comutador?
Outro exemplo é SL(2,R). Afirmo que -I não é um comutador.
Vou escrever A' em vez de A^{-1}.
Suponha ABA'B' = -I. Seja v um autovetor de B associado ao
autovalor l (real ou complexo). Então
ABA'B'v = (1/l) ABA'v = -v
donde
B(A'v) = -l (A'v)
e -l também é autovalor.
Como estamos supondo det B = 1 isto significa que os autovalores são +-i.
Uma conta parecida mostra que a mesma coisa vale para A.
Assim A' = -A e B' = -B e ABA'B' = ABAB = (AB)^2 = -I
e a matriz AB também tem autovalores +-i.
Podemos conjugar tudo por X e supor que
(0 -1)
A = ( )
(1 0)
Uma matrix 2x2 de det 1 tem estes autovals se e somente se seu traço é 0,
assim
(a b)
B = ()
(c -a)
com a^2 + bc = -1. Mas
(-c a)
AB = ( )
( a b)
e tr(AB) = 0 implica b = c. Assim a^2 + b^2 = -1, absurdo.
Por outro lado, tomando a = 2, c = sqrt(17)/3, s = sqrt(8)/3,
(a0)
A = ( )
(0 1/a)
e
(c s)
B = ( )
(s c)
temos (ABA'B')^2 = -I.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Integral
On Sat, Feb 14, 2004 at 03:01:35PM -0300, Andre Linhares wrote:
Alguém sabe resolver o problema abaixo usando integral (sólidos de
revolução)?
Os eixos de dois cilindros, cada um de raio a, interceptam-se formando
ângulos retos. Calcular o volume comum entre os dois cilindros.
Este problema é um clássico.
Chame os cilindros de x^2 + z^2 = a^2 e y^2 + z^2 = a^2.
A interseção é max{x^2, y^2} = a^2 - z^2.
Ou seja, para cada valor de z a seção do sólido é um quadrado
de lado 2sqrt(a^2-z^2) e portanto de área 4(a^2-z^2).
Assim o volume é V = int_{-a}^a 4(a^2-z^2) dz = 16/3 a^3
(para quem não entendeu: int_{-a}^a significa:
símbolo de integral com um -a em baixo e um a em cima).
[]s, N.
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Re: [obm-l] Problema sobre um Anel
On Sun, Feb 15, 2004 at 10:02:53AM -0300, Claudio Buffara wrote:
Oi, pessoal:
Esse aqui tah dando trabalho:
Seja (A,(+),(*)) um anel, onde:
A = conjunto dos racionais no intervalo [0,1);
a (+) b = a + b (mod 1), ou seja:
a + b 1 == a (+) b = a + bea + b = 1 == a (+) b = a + b - 1.
Prove que a (*) b = 0, para quaisquer a, b em A.
Vamos primeiro provar que se a e b são inteiros positivos primos
entre si então 1/a * 1/b = 0. Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*1/b = 0*b = 0
e analogamente b*(1/a * 1/b) = 0 (aqui a multiplicação por a e por b
não é a multiplicação do anel, é multiplicar um inteiro por um elemento
de um grupo aditivo). Mas existem inteiros c e d tais que ad - bc = 1.
Assim (1/a * 1/b) = (ad - bc)*(1/a * 1/b) = d*0 - c*0 = 0.
Vamos agora provar que 1/p^a * 1/p^b = 0, onde p é um primo e a e b
são inteiros positivos. Seja x = 1/p^a * 1/p^{b+a}. Claramente
p^a * x = (p^a * 1/p^a)*1/p^{b+a} = 0*1/p^{b+a} = 0.
Por outro lado p^a * x = 1/p^a * (p^a * 1/p^{b+a}) = 1/p^a * 1/p^b.
Mas todo racional pode ser escrito como soma de racionais de denominador
potência de primo. Isto mostra que o produto é zero sempre.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Um problema de logica muito confuso
On Tue, Feb 17, 2004 at 02:23:22PM -0300, Daniel Silva Braz wrote: desculpa..mas..até onde eu li o Prof. Nicolau não tem nada a ver com essa história toda..ele só é citado no email no momento em q lhe é solicitada ajuda..o referido prof não é ele..leiam o post originial.. Realmente, o prof. Nicolau só leu este thread agora. Eu concordo com o que o Claudio Buffara falou: a questão, pelo menos como nos foi transmitida, é completamente sem pé nem cabeça e a justificativa que o professor apresentou idem. Quero acreditar que isto seja algum tipo de piada, talvez um primeiro de abril um pouco fora de hora. agora..voltando ao problema..acho que eu não estou entendendo nada !!! Alguém me ajude...por favor !!! Em um teste há cinco opções, porém somente uma é correta, sendo elas : a)Q b)I c)Z d)R e)C Qual destas opções é correta ? É bem fácil inventar cinco perguntas diferentes que tem por resposta cada um dos itens. (1) Dentre os 5 conjuntos de números abaixo, apenas um é um corpo enumerável; assiná-le-o. (2) Dentre os 5 conjuntos de números abaixo, apenas um NÃO é um anel; assiná-le-o. (3) Dentre os 5 conjuntos de números abaixo, apenas um é um anel mas não é um corpo; assiná-le-o. (4) Dentre os 5 conjuntos de números abaixo, apenas um é um corpo real fechado; assiná-le-o. (5) Dentre os 5 conjuntos de números abaixo, apenas um é um corpo algebricamente fechado; assiná-le-o. Dá para inventar perguntas que tenham mais a ver com outros assuntos, ou perguntas mais engraçadas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema sobre um Anel
On Mon, Feb 16, 2004 at 07:50:06PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Vamos primeiro provar que se a e b são inteiros positivos primos entre si então 1/a * 1/b = 0. Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*1/b = 0*b = 0 Eu fiquei com duvida, porque podemos afirmar que (a* 1/a)*1= 0? Realmente, eu cometi um erro que não afeta a solução como um todo mas que obviamente gerou confusão. Deveria ter escrito Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*(1/b) = 0*(1/b) = 0 Temos a*(1/a) = 0 pela definição da operação de soma. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um problema de logica muito confuso
On Mon, Feb 16, 2004 at 05:26:42PM -0300, Claudio Buffara wrote: on 16.02.04 17:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que todos da lista tem discernimento necessário para entender que a mensagem do Cláudio foi de conteudo ofensivo, pelo menos assim eu espero. A pergunta postada decerto não apresenta as mesmas palvavras do problema orginal, porém eu acho que não alterei a questão, e como disse quando possivel postarei a questão exatamente como me foi apresentada. Infelizmente A minha intencao nao foi a de ofender ninguem, mas sim expressar a minha indignacao diante de um erro monumental de logica, cometido por alguem cuja funcao eh ensinar os outros. Se os fatos ocorreram em sua classe exatamente como voce descreveu, mantenho a opiniao de que esse professor prestou um enorme desservico a voce e a seus colegas, ainda que sem querer. O que eu tinha a dizer sobre a questão eu já disse em outra mensagem mas eu não tinha lido todas estas mensagens quando respondi pela primeira vez. Vejo que o meu nome entrou na briga por um engano de alguém, acho que este ponto já foi esclarecido. Como moderador da lista, peço que todos os membros da lista tentem manter um tom civilizado e se alguma briga se tornar inevitável que a conduzam fora da lista. Neste caso em particular espero e acredito que todos já tenham se acalmado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda programa de analise real.
On Tue, Feb 17, 2004 at 03:04:18PM -0800, Leandro Recova wrote: Niski, Voce pode ter certeza que nao o conteudo todo desse livro num semestre. O livro do Elon e Analise 1 tambem e muito bom e esse livro do Lang, se nao me engano, ja explora algo em R^n. (Eu tenho esse livro e a leitura dele tambem e boa). O Nicolau, melhor que eu, sabe te dizer uma opiniao melhor. Na verdade eu não conheço bem este livro do Lang, não. Conheço outros livros dele e, julgando pelos outros livros, acho que deve ser bom. O primeiro volume de análise do Elon do projeto Euclides eu conheço bem, estudei por ali, é muito bom. Eu gosto especialmente do meio do livro, perto do capítulo de Topologia da Reta, e especialmente dos problemas deste capítulo. O livro da Coleção Matemática Universitária (também do Elon) eu não conheço tão bem, acho que é uma versão facilitada do livro do projeto Euclides. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Orgia de livros
On Thu, Feb 19, 2004 at 01:06:37PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostei do link. Muito bom. Se a pessoa está ou não fora da lei eu não sei, mas não me importo hahaha... Mas o fato é que eu estou ávido de conhecimento como Tartaglia (que furtou livros para aprender álgebra). e já baixei tudo pra uma pasta no meu computador (fiz isso antes da página sair do ar). Se você for fazer alguma coisa ilegal o problema é seu. Mas anunciar isto nesta lista faz com que se torne potencialmente problema de outras pessoas também (eu inclusive). Sua mensagem é off-topic e inoportuna. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Plausibilidade
On Thu, Feb 19, 2004 at 10:49:39PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Bem Paulo, o Nicolau e os demais moderadores decidem se isso é aplicável: 1) Em funcao da lei que rege o meu trabalho, eu tenho o DEVER LEGAL de denunciar qualquer atitude QUE EU INTERPRETE como desrespeito a lei Eu entendo a posição do Paulo, entendo que o assunto é importante e delicado, entendo também que podem existir interpretações diferentes sobre as leis de direitos autorais, entendo que pode haver um longo debate quanto a se estas leis são as mais éticas, ou as mais interessantes. Mas tudo isso é completamente off-topic. Peço a todos um esforço para parar de prolongar este assunto. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais grupos
On Thu, Feb 19, 2004 at 01:43:51AM -0300, Claudio Buffara wrote:
2) Seja G um grupo tal que o centralizador de cada elemento distinto da
identidade eh um grupo ciclico infinito. Nesse caso, G eh necessariamente um
grupo livre?
Não, mas eu não sei dar nenhum exemplo realmente fácil.
O melhor que eu tenho a oferecer é o grupo fundamental do bitoro.
Ele pode ser descrito por geradores e relações como a,b,c,d|[a,b][c,d]=e.
Uma forma de provar isto é a seguinte. Dê uma estrutura hiperbólica para
o bitoro: seu recobrimento universal agora é o plano hiperbólico.
O grupo fundamental se encarna como um grupo de isometrias de plano
hiperbólico, ou, equivalentemente, como um subgrupo de PSL(2,R).
A coisa notável é que todos os elementos deste grupo são hiperbólicos,
i.e., todos têm autovalores reais quando interpretados como elementos
de PSL(2,R): isto vem do fato de nenhuma transformação de recobrimento
poder ter pontos fixos (f(x) = x) ou quase fixos (|f(x) - x| epsilon).
Mas duas matrizes hiperbólicas em SL(2,R) só comutam se seus autovetores
forem iguais, ou seja, só se ambas estiverem em um subgrupo de dimensão 1.
Como nosso grupo é discreto, isto dá a conclusão desejada (todo centralizador
é cíclico infinito).
Em tempo, PSL(2,R) é o quociente de SL(2,R) pelo subgrupo {+-I}.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Mais grupos
On Fri, Feb 20, 2004 at 01:44:59PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: On Thu, Feb 19, 2004 at 01:43:51AM -0300, Claudio Buffara wrote: 2) Seja G um grupo tal que o centralizador de cada elemento distinto da identidade eh um grupo ciclico infinito. Nesse caso, G eh necessariamente um grupo livre? Não, mas eu não sei dar nenhum exemplo realmente fácil. O melhor que eu tenho a oferecer é o grupo fundamental do bitoro. Ele pode ser descrito por geradores e relações como a,b,c,d|[a,b][c,d]=e. Acho que pouca gente entendeu a minha primeira mensagem, então vou descrever o grupo de que estou falando de forma mais explícita. Mas não tenho certeza se vai ajudar muito. Tome a = 1 + sqrt(2) + sqrt((1 + sqrt(2))^2 - 1), c = cos(Pi/8), s = sen(Pi/8). Tome ( a0 ) X = () ( 0 1/a) ( c -s ) R = () ( sc ) A = XRR, B = RXR, C = X'RR, D = RX'R (onde X' é a inversa de X). O subgrupo de PSL(2,R) gerado por A, B, C, D é um contraexemplo para a pergunta do Claudio. Dá para verificar braçalmente (haja braço!) que B'ABA'D'CDC' = -I (que é identificada com a identidade em PSL(2,R)), assim o grupo não é livre. Eu não sei demonstrar a outra condição (o centralizador de qq elemento diferente da identidade é cíclico infinito) sem usar geometria hiperbólica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
On Mon, Feb 23, 2004 at 12:02:48AM -0300, Rafael wrote: Cada um faz como preferir ou souber, recentemente o Nicolau escreveu uma aula sobre cúbicas em que ele usava trigonometria principalmente, e certamente isso está bem distante do que Tartaglia e Cardano pensavam na época, embora, hoje, seja o mais útil, prático. Só um pequeno comentário: a trigonometria aparece no que eu escrevi apenas para tirar a raiz cúbica de um número complexo. E o meu propósito não era tanto mostrar como resolver uma cúbica e sim mostrar um contexto elementar em que números complexos são úteis (serve para calcular as raízes *reais* de uma equação cúbica com coeficientes *reais*). Existem outros contextos elementares para motivar e justificar o ensino de complexos (por exemplo, geometria plana) mas infelizmente muitos alunos ficam só na promessa (Estude, meu filho, pq cai no vestibular e se você estudar engenharia elétrica você vai ver que isto é muito importante). A minha mensagem original está aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200402/msg00351.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!
On Mon, Feb 23, 2004 at 10:54:54PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Três pontos são selecionados aleatóriamente numa circunferência de raio unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma mesma semicircunferência. Minha interpretação do enunciado é que a medida de probabilidade é a uniforme e que os três pontos são escolhidos independentemente. Podemos supor que o círculo é o círculo unitário em C. Multiplicar os três pontos por um mesmo complexo de módulo 1 não altera a condição (de que os três estejam em uma semicircunferência) assim podemos supor sem perda de generalidade que o primeiro ponto é 1. Conjugar os três pontos também não altera a condição e podemos portanto supor que o segundo é e^(ti), 0 = t = pi; a distribuição de probabilidade de t neste intervalo é uniforme. O terceiro ponto é e^(si), -pi = s = pi: a condição vale desde que t - pi = s = pi. Assim, dado t, a probabilidade de que valha a condição é (2pi - t)/2pi = 1 - t/2pi. A probabilidade que queremos calcular é p = (1/pi) * int_0^pi (1 - t/2pi) dt = 3/4. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
On Tue, Feb 24, 2004 at 02:37:44AM -0300, Tarcio Santiago wrote: 1) Quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos meus bisavós (bisavós são os pais de seus avós): A) 16 B) 32 C) 64 D) 81 O único comentário que eu tenho a fazer é que a resposta óbvia (64) já tem boa probabilidade de estar errada com 6 gerações. Afinal, ninguém consideraria incesto casar e ter filhos com alguém que tem o mesmo avô-do-bisavô. Aliás, em geral nós não temos a menor idéia de quem são as pessoas que tem algum avô-do-bisavô em comum conosco. Eu marcaria 64, mas pode ser qualquer número menor do que isso e maior do que um mínimo razoável e difícil de precisar; o mínimo absoluto é 2. Note que ao aumentarmos o número de gerações (quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos bisavós dos bisavós dos bisavós ... dos meus bisavós?) chega um ponto em que a resposta 2^n fica claramente errada pois fica maior do que o número de seres humanos que viveram no período relevante da história. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RESSACA NEURÓBICA!
On Tue, Feb 24, 2004 at 09:01:41PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: 17 matemáticos de todo o mundo trocam correspondência sobre 3 temas. Cada dupla de matemáticos se corresponde sobre um e apenas um tema. Mostre que existem pelo menos 3 matemáticos que se correspondem sobre o mesmo tema. Este é um clássico. Eu sugiro que você comece com o caso mais fácil: 6 matemáticos de todo o mundo trocam correspondência sobre 2 temas. Cada dupla de matemáticos se corresponde sobre um e apenas um tema. Mostre que existem pelo menos 3 matemáticos que se correspondem sobre o mesmo tema. O problema que você propôs é parecido só que maior, se você entende o que eu quero dizer. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Número Primo
On Wed, Feb 25, 2004 at 01:34:19AM -0300, David wrote: David wrote: Mas tipo, serah q existe algum algoritmo q mude o passo da iteracao para pular alguns numeros durante os testes? Ou eu vo ter q testar 2,3,4,5,6,7,8,...,sqrt(7919) um-a-um mesmo? Bem, você não precisa testar todos os números... só os primos menores que sqrt(7919) já são suficientes ! Entendi... mas como eu sei que um numero menor que sqrt(7919) eh primo ou nao pra saber se eu devo testar ele ou nao? Desse jeito eu acabo tendo q testar todos os menores q sqrt(7919).. Exemplo: eu tenho q testar se ele eh divisivel por 16, pois eu nao vou saber se 16 eh primo ou nao antes de testar 16 dividindo 1,2,...,sqrt(16).. nesse caso seria melhor testar logo de cara se 7919 eh divisivel por 16.. Bem... em todo caso essa dica do sqrt(7919) ja ajuda *muito*.. Obrigado. ;) Depois de testar que 7919 não é múltiplo de 2 nem de 3 basta testar os números da forma 6n +- 1 (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, ...) pois os outros claramente não são primos. Note que na pequena lista acima o primeiro número *não* primo que aparece é 25: quanto mais você avançar, mais raros vão ficar os primos mas sendo 7919 relativamente pequeno o desperdício de tempo não será tão grande assim. Para um número pequeno como 7919 isto talvez seja a melhor coisa a fazer. Mas dê uma olhada também no meu livro com o Gugu (Primos de Mersenne e..., está na minha home page e você também pode encomendar do Impa; a minha home page aparece no rodapé de todas as mensagens) e no trabalho do Agrawal e os alunos indianos dele que provaram que existe um algoritmo surpreendentemente simples que verifica em tempo polinomial no número de algarismos se um inteiro é primo ou não: procure por Agrawal PRIMES no google para ver um monte de coisa. Alguns links: http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html http://www.cse.iitk.ac.uk/news/primality.html Um assunto importante e simples são os testes de primalidade baseados no pequeno teorema de Fermat. No seu caso você calcularia 2^7918 mod 7919 (esta conta é bem mais fácil de fazer do que pode parecer a primeira vista): se der qualquer coisa diferente de 1 o número é composto (sabemos disso mesmo *sem* sabermos fatorar o número!) e se der 1 o número é *quase* certamente primo. Se der 1 mas você ainda estiver desconfiado você pode tentar 3^7918 mod 7919. Se você precisar ter *certeza* de que o número é primo é que dá um pouco mais de trabalho. Alguém mencionou a função isprime() do matlab. Eu não estou familiarizado com o matlab, mas para números maiores do que 7919 eu recomendaria verificar as instruções com cuidado se você precisar ter certeza se o número é primo. No Maple 9 a função isprime() só diz que o número é quase-certamente-primo: Description - The function isprime is a probabilistic primality testing routine. - It returns false if n is shown to be composite within one strong pseudo-primality test and one Lucas test and returns true otherwise. If isprime returns true, n is ``very probably'' prime - see Knuth ``The art of computer programming'', Vol 2, 2nd edition, Section 4.5.4, Algorithm P for a reference and H. Riesel, ``Prime numbers and computer methods for factorization''. No counter example is known and it has been conjectured that such a counter example must be hundreds of digits long. Provavelmente dentro de pouco tempo estes programas implementarão o algoritmo de Agrawal (ou equivalente) mas parece que ainda não. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matriz inversa
On Wed, Feb 25, 2004 at 09:57:27AM -0300, Carlos Gomes wrote: Verifique que se I-AB é invertível ( I é a matriz identidade de ordem n e A e B são matrizes quadradas de ordem n) I-BA também é invertível e além disso (I-BA)^(-1) = I+B.(I-AB)^(-1) . A. Seja C = (I - AB)^(-1). Temos C(I-AB) = (I-AB)C = I ou C - CAB = C - ABC = I donde CAB = ABC = C - I. Escreva agora (I+BCA)(I-BA) = I+BCA-BA-B(CAB)A = I+BCA-BA-B(C-I)A = I+BCA-BA-BCA+BA = I (I-BA)(I+BCA) = I+BCA-BA-B(ABC)A = I+BCA-BA-B(C-I)A = I+BCA-BA-BCA+BA = I []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 04:34:22PM +, Paulo Santa Rita wrote: Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Eu não resisto à tentação de tumultuar um pouco... Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; você só pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto. E o fato da função F ser contínua e ter derivada zero qtp *não* é suficiente para garantir que F é constante! Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Isto só vale se f for sabidamente contínua em x e x+T (ou algo similar). Note que o enunciado não diz que f é contínua nem nada do gênero apesar de que talvez fosse esta a intenção. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 08:18:49PM +, Paulo Santa Rita wrote: A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Se f era contínua então você tem razão, o professor é que foi criador de caso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 06:21:18PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau escreveu: Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Neste caso então, a forma de responder a questão teria que embutir na solução a interpretação que o candidato deu à ela? Como examinador vc consideraria uma determinada solução para o problema como válida, devido à particuliaridade da interpretação dada pelo candidato? (sei que no seu caso vc não faria questões com ambiguidade, mas suponha que estivesse corrigindo a prova de outra pessoa). Parece que na questão original f era mesmo contínua, então está tudo certo. A diferença entre integral de Riemann e de Lebesgue é basicamente que a de Lebesgue é definida para mais funções então mudar de integral muda a classe de funções sendo discutida. Depende do contexto saber qual suposição é mais razoável e a minha opinião dependeria deste contexto. Num curso de cálculo seria natural supor f contínua mesmo que o enunciado não dissesse; num curso de medida seria uma clara distorção do enunciado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Forma canonica...
On Wed, Feb 25, 2004 at 01:33:48PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
--- Rick [EMAIL PROTECTED] wrote:
Claudio, se nao for pedir muito, voce pode me
esclarecer o que significa
essa expressao: ln(y) = x*ln(S) - x*ln(x)
esse inquer dizer o que?
Nao eh in, eh ln. Significa a funcao logaritmo
neperiano. Isto eh, ln(x) eh o log. neperiano de x.
Uma outra notacao comum eh L(x).
Outra notação comum para o logaritmo natural de x é log(x).
O logaritmo na base 10 é um fóssil, um remanescente da época
em que usavam tábuas de logaritmos para fazer contas.
Fora dos livros de ensino médio, se você encontrar a expressão log(x),
o mais provável é que isto signifique ln(x) e não log_{10}(x).
[]s, N.
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Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Este problema é um clássico e é bastante difícil. A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço da esfera de raio 1 limitaedo por três segmentos que são pedaços de círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C. A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos em radianos). On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: DESAFIO!! @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formem um tetraedro. O tetraedro corta um certo volume de cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r? Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo esférico contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3 disso (pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo A - Pi/3 ~= 0.1837618663. Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3. Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera (que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103. @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a ligação de seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as arestas iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4 esferas da base quadrática corta da pirâmide e o volume que a esfera do topo corta da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de r? Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base. Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0), (0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2) logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é (4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já dissemos, SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~= 0.4531158786. Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de encher o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao redor de cada vértice. @Se do volume da pirâmide quadrática acima for cortado todos os volumes formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará um volume central não cortado. O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~= 1.885618082. Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446. Se o volume central fosse necessariamente distribuído para as 5 esferas, como seria feito a distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte esférica de dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera corta da pirâmide? Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e áreas são trivialmente proporcionais, como já vimos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 08:03:48PM -0300, niski wrote: Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Sempre é util caro Paulo. Essa lista, na minha humilde opiniao, já deveria ter mudado seu escopo para MATEMATICA faz tempo. Tem muita gente boa reunida por aqui e acredito que perdemos muitas discussoes interessantes devido ao medo de muitos participantes não opinarem sobre certo assunto ou iniciarem alguma discussao por que o tema da lista é MATEMATICA OLIMPICA e temos um adiministrador bem observador (apesar de eu nao me lembrar de ele ter reprimido alguem por estar discutindo matematica sem ser olimpica). De qualquer forma, fica ai minha sugestão. De fato não vejo problema nenhum em discutirmos matemática não olímpica, a matemática olímpica é apenas uma referência para que a discussão não fique solta demais. Tem muitos problemas que são enviados para esta lista que, sem querer ser grosseiro, me parecem triviais demais para serem considerados matemática olímpica, mas eu não reclamo disso, não interpreto que isto seja um abuso a ser reprimido. Por outro lado alguns excelentes problemas já foram discutidos aqui que me parecem técnicos demais até para o nível U, e também não reclamo disso. Neste caso quem empurrou o Paulo fui eu mesmo, aliás: não resisti a fazer um comentário que não era propriamente de matemática olímpica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] geometria
On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote: Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C = 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz. O ângulo entre dois círculos máximos é o ângulo entre os planos que os contêm. No caso do tetraedro regular podemos tomar por vértices os pontos (+-1,+-1,+-1) com o produto das três coordenadas iguais a 1, Assim cada face é perpendicular ao vetor correspondente à face oposta e o ângulo A entre duas faces vizinhas é Pi menos o ângulo entre dois destes vetores. O ângulo entre dois vetores você deve saber calcular, é só usar o produto interno. Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R, determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes êxitos. Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária centrada no vértice do triedro. É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi. Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes. Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria). O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter, apenas acho que vai ser uma fórmula feia. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Iezzi - Diferença do módulo das raízes
On Thu, Feb 26, 2004 at 10:46:17AM -0300, Daniel Silva Braz wrote: Alguém pode me ajudar? Calcule a diferença do módulo das raízes da equação: x^2 + bx + 47 = 0 (as raízes são inteiras) resp. do livro é |x1 - x2| = 46 Se as raízes são dois números inteiros x1 e x2, sabemos que x1x2 = 47. Como 47 é primo, isto só nos deixa dois (ou serão quatro?) casos: x1 = 47, x2 = 1 (ou x1 = 1, x2 = 47) x1 = -47, x2 = -1 (ou x1 = -1, x2 = -47) Em qualquer um destes casos é fácil ver que a resposta do livro está certa. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] geometria
On Thu, Feb 26, 2004 at 12:54:30PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote:
Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
êxitos.
Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro
tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo
sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária
centrada no vértice do triedro.
É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos
entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo
esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi.
Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria
diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano
é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes.
Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os
ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa
de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria).
O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo
esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica
de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter,
apenas acho que vai ser uma fórmula feia.
Ok, vamos obter a fórmula que você quer. Suponha que os lados do triângulo
esférico sejam a, b, c e os ângulos sejam A, B, C. O primeiro passo
é usar a lei dos cossenos esférica:
cos a = cos b cos c + cos A sen b sen c
ou
cos A = (cos a - cos b cos c)/(sen b sen c)
Bem, provavelmente a maioria de vocês nunca viu a lei dos cossenos esférica,
então vamos provar. Podemos supor sem perda de generalidade que o vértice
A é (1,0,0) e que o vértice B é (cos c, sen c, 0). Não é difícil verificar
que o vértice C é (cos b, cos A sen b, +- sen A sen b), onde o sinal
tem a ver com a orientação do triângulo.
Note que a lei dos cossenos euclidiana é um caso limite da lei dos cossenos
esférica. De fato, vamos fazer o triângulo encolher, isto é, ter lados
at, bt, ct onde t tende a 0 por valores positivos. Queremos cos A(0),
o valor limite de cos A(t) quando t tende a zero:
cos A(t) = (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)
cos A(0) = lim_{t - 0} (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)
(l'Hopital)
- a sen at + b sen bt cos ct + c cos bt sen ct
= lim_{t - 0} -
b cos bt sen ct + c sen bt cos ct
(continua dando 0/0, vamos usar l'H de novo, mas agora não vai mais
dar 0/0, então vamos jogar fora os termos que ainda dão 0, trocar
os senos por 0 e os cossenos por 1)
- a^2 + b^2 + c^2
=
2bc
Ou a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A(0).
Note ainda que a lei dos cossenos esférica tem um dual.
O dual de um triângulo esférico de vértices A, B, C e lados a, b, c
tem vértices A', B', C' e lados a', b', c' onde A' e perpendicular a a,
B' é perpendicular a b, ..., c' é perpendicular a C.
Note ainda que A' = Pi - a, B' = Pi - b, ..., c' = Pi - C.
Assim
cos a' = cos b' cos c' + cos A' sen b' sen c'
vira
- cos A = cos B cos C - cos a sen B sen C
Mas voltando à sua pergunta, temos
A = arc cos((cos a - cos b cos c)/(sen b sen c))
B = arc cos((cos b - cos c cos a)/(sen c sen a))
C = arc cos((cos c - cos a cos b)/(sen a sen b))
e como
S = A + B + C - Pi
isso nos dá uma fórmula complicada para a área em função de a, b, c.
Talvez exista uma fórmula mais simples, não sei.
[]s, N.
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