Re: [obm-l] Probabilidade - muito interessante...

[Henrique Rennó]

Se a primeira pessoa sentar justamente no seu assento, todas as outras
também sentarão corretamente porque já tem os cartões de embarque e
encontrarão seus assentos disponíveis e a última pessoa encontrará seu
assento disponível. Se a primeira pessoa sentar no assento que a última
sentaria, todas as outras irão sentar corretamente e a última encontrará
seu assento ocupado pela primeira sobrando apenas o assento da primeira. Se
a primeira sentar em um assento que não seja o dela nem o da última pessoa,
uma das outras pessoas irá encontrar seu assento ocupado pela primeira e
sentará ou no assento da primeira (e a última encontrará seu assento
disponível), ou da última (e a última encontrará seu assento ocupado) ou em
outro assento e as possibilidades para a próxima que iria sentar neste
assento seriam as mesmas da anterior. O número de possibilidades é sempre
par onde metade deixa o último assento disponível e metade deixa ocupado.

A solução está correta? Será que existe uma solução mais simples?

2013/7/11 Mauricio de Araujo 

> "*Recentemente, eu peguei um avião que tinha 137 assentos. Eu gosto
> sempre de ser o primeiro a embarcar e não foi diferente nesta ocasião.
> Infelizmente, assim que eu entrei no avião, percebi que havia perdido o meu
> cartão de embarque e não conseguia me lembrar de qual era o meu assento.
> Sem saber o que fazer, eu escolhi aleatoriamente um assento qualquer e me
> sentei. Claro que havia a probabilidade de 1/137 de eu ter escolhido o
> assento correto, ou seja, aquele que estava marcado no meu cartão de
> embarque. À medida que os demais passageiros embarcavam, cada um se dirigia
> ao seu assento e sentava-se, a menos que o mesmo estivesse ocupado. Neste
> caso, o passageiro abria mão de sentar-se no assento que estava
> originalmente atribuído a ele (conforme o cartão de embarque) e escolhia um
> outro assento qualquer para se sentar. Percebi que fui o único passageiro
> que perdeu o cartão de embarque.*
> *
> *
> *A questão que se coloca é a seguinte: qual a probabilidade de o último
> passageiro a embarcar encontrar o seu assento desocupado, ou seja,
> encontrar o assento que está no seu cartão de embarque disponível para ele
> se sentar?*"
>
> Este problema está explicado no livro "Introduction to counting and
> probability" do David Patrick e tem uma resposta surpreendente: a
> probabilidade é de 50%...
>
> Para "sentir" a solução, vale a pena pensar no problema para os casos em
> que o avião tem 2, 3, 4 e 5 assentos...
>
> --
> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
> *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Henrique

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probabilidade - II

[Rogerio Ponce]

Ola' pessoal,
no primeiro problema, existe apenas uma distribuição com a bola preta em
primeiro, segundo terceiro, ou quarto. Assim, todos tem a mesma chance
(1/4) de ganhar.

No segundo problema - 2 bolas pretas num total de 8 casas - existem
8*7/2=28 formas de distribuir as bolas pretas, das quais, na primeira
rodada, 7 correspondem ao ganho de Andre, 6 ao ganho de Bianca, 5 ao ganho
de Carlos e 4 ao ganho de Dalva.
E, na segunda rodada, 3 correspondem ao ganho de Andre (1 bola preta na 5a
posicao, e outra em 6,7, ou 8), 2 correspondem ao ganho de Bianca, 1
corresponde ao ganho de Carlos, e 0 para Dalva.

Assim, as probabilidades de ganho sao:
Andre = (7+3)/28 = 10/28
Bianca=(6+2)/28 = 8/28
Carlos=(5+1)/28 = 6/28
Dalva=(4+0)/28 = 4/28

[]'s
Rogerio Ponce

2013/7/9 Pedro Júnior 

> 2. André, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre si. Para
> isto, colocaram 3 bolas brancas e 1 preta em uma caixa e combinaram que, em
> ordem alfabética de seus nomes, cada um tirará uma bola, sem devolvê-la à
> caixa. Aquele que tirar a bola preta ganhará o livro.
>
> a)  Qual é a probabilidade de que André ganhe o livro?
>
> b)  Qual é a probabilidade de que Dalva ganhe o livro?
>
>
>
> Para sortear outro livro entre eles, André sugeriu usar 2 bolas pretas e 6
> brancas. Como antes, o primeiro que tirar uma bola preta ganhará o livro;
> se as primeiras quatro bolas saírem brancas, eles continuarão a retirar
> bolas, na mesma ordem. Nesse novo sorteio:
>
> a)  Qual é a probabilidade de que André ganhe o livro?
>
> b)  Qual é a probabilidade de que Dalva ganhe o livro?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Probabilidade

[João Maldonado]

A probabilidade de pelo menos uma carta coincidir com a retirada é 100% menos a 
probabilidade  de que nenhuma carta concida com a retirada

A probabilidade de nenhuma carta concidir com a retirada é o cofatorial de n 
dividido pelo fatorial de n (veja permutação caótica)

P = 1-!n/n! = 1-[n!/e]/n!, onde e é o número de euler e [k] significa piso de k

Para n muito grande isso tende a 1-1/e = (e-1)/e ~ 63%

Date: Wed, 30 Jan 2013 18:42:57 -0200
Subject: [obm-l] Probabilidade
From: heitor.iyp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Suponha que n cartas numeradas de 1 até n sejam embaralhadas e retiradas uma 
por uma, sem reposição, até todas as cartas serem retiradas. Qual é a 
probabilidade de que para pelo menos uma carta, o número da carta coincida com 
o número da retirada?
  

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Do jeito que eu vejo o problema faltam dados. Voce precisaria ter uma
ideia do seguinte:

i) Supondo que os filhos sao (h,h), quao frequentemente o casal
responderia deste jeito "sim, o mais velho eh homem"? Quao
frequentemente responderia "sim, o mais NOVO eh homem", ou
simplesmente "sim" ou qualquer outra coisa?
ii) E se fossem (h,m)? Quao frequentemente eles diriam "sim, o mais
velho eh homem" versus outras coisas?

E, convenhamos, estas probabilidades nao sao obvias, dependem mais de
psicologia do que de matematica Por isso que, nos problemas
originais, a gente limitava as respostas a "sim" ou "nao", e imaginava
que os casais nunca mentiam -- ai nao precisava de nada disso, porque
o que o casal respondia era o que voce sabia, e nada mais.

(Alias, note-se: nos problemas originais, se o casal mente de vez em
quando, voce teria que (i) ter uma ideia de quao frequentemente os
casais mentem e (ii) fatorar essa informacao no problema, o que pode
modificar a resposta!)

Abraco,
Ralph

2013/1/13 Bruno Rodrigues :
> Oi Ralph,não sei se está certo,mas vou escrever aqui meu raciocínio sobre
> seu desafio.
> Pelo meu raciocínio,o espaço amostral seria parecido com o do último
> exemplo,sendo dessa vez (x,y,z),onde (x,y) são os filhos,e z o filho mais
> velho.O espaço amostral então
> seria:{(h,m,h),(m,h,h),(m,h,m),(h,m,m),(m,m,m),(m,m,m),(h,h,h),(h,h,h)},onde
> a probabilidade de cada subconjunto acotencer é de 1/8.
> Seria assim que eu responderia a sua pergunta?
>
> Abraços,
> Bruno
> Por probablidade condicional: P(ter 2 filhos h | filho + velho é h),que é
> equivalente a perguntar: qual a probabilidade de ter 2 filhos homens sabendo
> que o filho mais velho é homem.
> Resolvendo: P(ter 2 filhos h | filho + velho é h)=P(ter 2 filhos h ∩ filho +
> velho é h) /P(filho + velho é h)=0,25/0,50=1/2.
>
> Em 11 de janeiro de 2013 21:45, Ralph Teixeira  escreveu:
>>
>> Oi, Heitor e Bruno.
>>
>> Pois eh, este problema eh famoso... vejam aqui:
>>
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox
>>
>> O espaco amostral razoavel eh aquele mesmo omega que o Bruno pos. Do
>> jeito que eu interpreto probabilidade (sou Bayesiano) nao precisa
>> supor infinitos casais -- mas eh necessario fazer as hipoteses usuais
>> de que filhos e filhas sejam igualmente provaveis e de que o sexo dos
>> filhos sao independentes um do outro. Neste caso, a distribuicao de
>> probabilidade em omega eh 1/4 para cada um dos 4 eventos elementares.
>> Entao:
>>
>> A) Pr( (h,h) | {(h,m),(m,h),(h,h)})=(1/4)/(3/4)=1/3. (interpretei como
>> "pelo menos um filho homem")
>> B) Pr( (h,h) | {(h,m),(h,h)} )=(1/4)/(2/4)=1/2.
>>
>> Eh isso mesmo: em linguagem coloquial imprecisa, 1/3 dos (casais que
>> tem pelo menos um filho homem) tem dois filhos homens; mas 1/2 dos
>> casais (cujo filho mais velho eh homem) tem dois filhos homens.
>>
>> Agora, cuidado -- a probabilidade depende um bocado de COMO voce
>> descobriu que pelo menos um filho eh homem.
>>
>> -- Se voce perguntou explicitamente ao casal "pelo menos um dos seus
>> filhos eh homem" e soh deixou eles responderem "sim" ou "nao", neste
>> caso, a probabilidade eh 1/3. Em linguagem imprecisa, 1/3 dos casais
>> que responderem "sim" terao dois filhos homens.
>>
>> -- Agora, se voce perguntar ao casal "pense aleatoriamente em uma de
>> suas 2 criancas. Pensou? Eh um homem?" e eles responderem "sim", agora
>> a resposta eh 1/2, mesmo que voce nao saiba nada da crianca pensada
>> alem de ela ser homem! Sim, isto eh BEM DIFERENTE da situacao
>> anterior, onde voce faz o casal pensar em AMBOS os filhos antes de
>> responder -- aqui eles soh pensaram em um deles! Para fazer este aqui,
>> voce teria que aumentar o espaco amostral para incluir em que filho
>> eles pensaram. Ficaria algo assim: (x,y,z) onde (x,y) sao os filhos e
>> z eh o filho que eles escolheram, supostamente com probabilidade 1/2.
>> O espaco amostral seria:
>> {(h,h,h),(h,h,h),(h,m,h),(h,m,m),(m,h,m),(m,h,h),(m,m,m),(m,m,m)} onde
>> cada elemento tem 1/8 de probabilidade (ou junte aqueles (h,h,h) e
>> aqueles (m,m,m) cada um com 1/4). Entao
>>
>> Pr( (h,h,?) | (?,?,h) ) = 2/4=1/2.
>>
>> Isto eh equivalente a perguntar "o mais velho eh homem?" e receber um
>> "sim" de resposta!
>>
>> ---///---
>>
>> Para complicar, aqui vai o terceiro problema: voce pergunta ao casal
>> "pelo menos um de seus filhos eh homem?" e o casal responde "sim, o
>> mais velho eh homem". Qual eh a probabilidade de ambos serem homens?
>> Que outros dados voce precisaria, ou que hipoteses voce faria para
>> calcular isso? :) :) :) :)
>>
>> Abraco,
>>Ralph
>>
>> 2013/1/10 Bruno Rodrigues :
>> > Você é da turma de probabilidade do leonardo?
>> > Ele passou esse exercício lá,mas disse que ia alterar pq da pra ser
>> > subentendido que existem infinitos casais com 2 filhos e vc teria que
>> > escolher 1 entre os infinitos,com probabilidade 1/infinito de cada casal
>> > ser
>> > escolhido.Lá ele me explicou (o que eu entendi de sua explicação) que o
>> >

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Oi, Heitor e Bruno.

Pois eh, este problema eh famoso... vejam aqui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

O espaco amostral razoavel eh aquele mesmo omega que o Bruno pos. Do
jeito que eu interpreto probabilidade (sou Bayesiano) nao precisa
supor infinitos casais -- mas eh necessario fazer as hipoteses usuais
de que filhos e filhas sejam igualmente provaveis e de que o sexo dos
filhos sao independentes um do outro. Neste caso, a distribuicao de
probabilidade em omega eh 1/4 para cada um dos 4 eventos elementares.
Entao:

A) Pr( (h,h) | {(h,m),(m,h),(h,h)})=(1/4)/(3/4)=1/3. (interpretei como
"pelo menos um filho homem")
B) Pr( (h,h) | {(h,m),(h,h)} )=(1/4)/(2/4)=1/2.

Eh isso mesmo: em linguagem coloquial imprecisa, 1/3 dos (casais que
tem pelo menos um filho homem) tem dois filhos homens; mas 1/2 dos
casais (cujo filho mais velho eh homem) tem dois filhos homens.

Agora, cuidado -- a probabilidade depende um bocado de COMO voce
descobriu que pelo menos um filho eh homem.

-- Se voce perguntou explicitamente ao casal "pelo menos um dos seus
filhos eh homem" e soh deixou eles responderem "sim" ou "nao", neste
caso, a probabilidade eh 1/3. Em linguagem imprecisa, 1/3 dos casais
que responderem "sim" terao dois filhos homens.

-- Agora, se voce perguntar ao casal "pense aleatoriamente em uma de
suas 2 criancas. Pensou? Eh um homem?" e eles responderem "sim", agora
a resposta eh 1/2, mesmo que voce nao saiba nada da crianca pensada
alem de ela ser homem! Sim, isto eh BEM DIFERENTE da situacao
anterior, onde voce faz o casal pensar em AMBOS os filhos antes de
responder -- aqui eles soh pensaram em um deles! Para fazer este aqui,
voce teria que aumentar o espaco amostral para incluir em que filho
eles pensaram. Ficaria algo assim: (x,y,z) onde (x,y) sao os filhos e
z eh o filho que eles escolheram, supostamente com probabilidade 1/2.
O espaco amostral seria:
{(h,h,h),(h,h,h),(h,m,h),(h,m,m),(m,h,m),(m,h,h),(m,m,m),(m,m,m)} onde
cada elemento tem 1/8 de probabilidade (ou junte aqueles (h,h,h) e
aqueles (m,m,m) cada um com 1/4). Entao

Pr( (h,h,?) | (?,?,h) ) = 2/4=1/2.

Isto eh equivalente a perguntar "o mais velho eh homem?" e receber um
"sim" de resposta!

---///---

Para complicar, aqui vai o terceiro problema: voce pergunta ao casal
"pelo menos um de seus filhos eh homem?" e o casal responde "sim, o
mais velho eh homem". Qual eh a probabilidade de ambos serem homens?
Que outros dados voce precisaria, ou que hipoteses voce faria para
calcular isso? :) :) :) :)

Abraco,
   Ralph

2013/1/10 Bruno Rodrigues :
> Você é da turma de probabilidade do leonardo?
> Ele passou esse exercício lá,mas disse que ia alterar pq da pra ser
> subentendido que existem infinitos casais com 2 filhos e vc teria que
> escolher 1 entre os infinitos,com probabilidade 1/infinito de cada casal ser
> escolhido.Lá ele me explicou (o que eu entendi de sua explicação) que o
> espaço amostral omega seria omega={(h,m),(m,h),(h,h),(m,m)} , onde x=irmão
> mais velho e y=irmão mais novo,e a partir daí vc calcula A e B,mas a próxima
> parte ele não explicou pra começar um assunto novo,e seria legal ouvir a
> opinião de outras pessoas também a respeito desse exercício.
> Bom,esse foi o jeito que o professor disse na sala,também tive dúvidas
> absurdas nela =) , espero ter ajudado.
> Saudações
> Bruno
>
> Em 10 de janeiro de 2013 19:47, Heitor Bueno Ponchio Xavier
>  escreveu:
>
>> Numa cidade são catalogados todos casais que tenham 2 filhos e que não
>> sejam gêmeos. Um casal é escolhido ao acaso dessa lista. Calcule a
>> probabilidade condicional de esse casal ter dois filhos homens, sabendo-se
>> que:
>> A) O casal tem um filho homem.
>> B)O filho mais velho do casal é homem.
>
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probabilidade

[Rogerio Ponce]

Ola' Bernardo,
nada como "colocar mais lenha na fogueira" de uma forma saudavel...
E cade o Ralph???
:)

Bem, nao resisto a acrescentar que exatamente a NASA jogou fora, em
1999, 4 anos de trabalho e 650 milhoes de dolares por nao especificar
adequadamente...
...as unidades de medida ( !!! ) a serem usadas na comunicacao entre
os programas de controle da sonda "Mars Climate Orbiter".

No caso da sonda, alguma coisa fundamental precisava, e podia ser
perguntada. Mas nao foi. Deu no que deu.

Em outras situacoes, voce vai ter que fazer nao uma aproximacao, mas
uma suposicao sobre os dados de que voce dispoe. Ou sobre a falta
deles. Sem direito a perguntas.
( todo homem casado tem varios exemplos sobre isto... )

Bem, numa prova discursiva, certamente voce poderia abordar todos os
pontos de vista.
Mas suponha que a prova seja de multipla escolha. Voce tera' que
considerar que, talvez (e muito provavelmente) o examinador
"pretendeu" dizer que a "marcacao ao acaso" era "uniformemente
distribuida".
E' uma "especificacao" deficiente, mas seria a interpretacao que eu
daria para questao original.

E, apos a prova, o examinador deveria ser abordado, principalmente
para que ele pensasse um pouco mais sobre o que anda propondo aos
alunos...

Grande abraco,
Rogerio Ponce


Em 20/09/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:
> 2012/9/20 Rogerio Ponce 
>> Ola' pessoal,
> Oi Ponce, e demais colegas da lista!
>
>> acho otimo que se discuta o "como deveria ser", pois serve para melhorar
>> a
>> visao critica e a capacidade de comunicacao de todos.
> Certíssimo.
>
>> Mas, paralelamente, cito uma velha maxima, valida em todos os exames e,
>> muito frequentemente, em situacoes do dia a dia:
>>  "A interpretacao faz parte do problema."
> Eu acho muito diferente você pedir uma interpretação de um problema
> concreto, numa situação real, onde você vai TER QUE fazer alguma
> aproximação (por exemplo, ignorar o atrito com o ar), e uma
> interpretação errada de um conceito matemático. Dizer que os alunos
> escolheram uma resposta ao acaso tem um sentido matemático bem
> definido (se você interpretar isso como probabilidade uniforme, o que
> faz parte sim do problema - bom, talvez o Ralph diga que seria melhor
> estar escrito também, e eu talvez concorde com ele, mas se no
> enunicado estiver "chutaram" talvez volte a fazer parte de uma
> interpretação razoável) e que é diferente, insisto, diferente, do
> sentido de "cada resposta foi marcada o mesmo número de vezes pelos
> alunos que chutaram". Talvez o jeito certo de tratar esse problema
> seja justamente dizer:
>
> "Bom, o que está no enunciado é uma coisa. E é um problema bem
> difícil. Muito difícil mesmo. Vejam só (passar um tempo explicando que
> vai ter que fazer uma disjunção de casos, que para piorar não são
> equiprováveis, etc, etc, etc). Mas a gente pode ter uma idéia razoável
> de quanto vai ser se a gente supuser que de tudo o que pode acontecer,
> o evento "médio" deve dar um resultado suficientemente próximo do
> resultado real. E daí fica bem mais fácil, né?"
>
> Aliás, eu concordaria ainda mais com você sobre interpretação se os
> exames também fossem mais inteligentes do que o que temos visto por
> aí. Com questões discursivas (e apenas discursivas) onde o aluno pode
> pegar um problema e tratar do início ao fim, formulando hipóteses,
> escolhendo um modelo, ajustando as constantes para que faça parte do
> sentido real, e daí você pode se permitir:
> - deixar o aluno interpretar e aceitar diferentes raciocínios
> - ignorar os erros de contas (mas não a preguiça de verificar que
> algumas etapas fazem sentido físico).
>
> Mas uma prova dessa leva mais tempo para elaborar, pro aluno fazer, e
> principalmente pro professor corrigir. Mas com uma visão destas,
> talvez finalmente os alunos achem que matemática é mais do que um
> bando de regrinhas estranhas para fazer contas e brincar com
> triângulos. (nada contra essas duas, muito menos o aspecto lúdico, mas
> sejamos honestos, compreender o que o Galileu disse sobre "a natureza
> está escrita na linguagem da matemática", eu acho muito mais
> estimulante)
>
>> Se tudo o que voce fizer sempre depender de uma especificacao
>> absolutamente completa e consistente, ninguem (seus pais, esposa, filhos,
>> amigos, vizinhos, chefes, empregados, etc) vai lhe pedir coisa alguma...
> Talvez. Mas veja bem que isso é uma questão de mentalidade. O pessoal
> de programação da NASA (eu vi uma reportagem há pouco tempo) faz
> exatamente isso. Especificações completas do que cada parte tem que
> fazer. Tratando de tdas as possibilidades. Porque veja bem,
> quando um bicho desses vai pro espaço, não pode haver espaço para
> erros. E por incrível que pareça, eles conseguem fazer muitas coisas.
> Claro que eles não aparecem muito (porque eles não fazem nada
> espetacular como Google/Microsoft) mas por outro lado o que eles fazem
> não tem erro nenhum. Zero bugs. Imagine se o seu computador (Windows,
> Linux, Mac, ...) fosse as

Re: [obm-l] probabilidade

[Fabio Bernardo]

Oi Pessoal,

Achei a discussão interessante e gostaria de opinar, mesmo ela não sendo 
própria desta lista.

Acho que o problema não está na questão, mas sim na maneira como abordamos o 
assunto probabilidade no E.M.

Tudo que foi falado é bastante pertinente se pensarmos no rigor matemático, mas 
os livros didáticos estão recheados dessas questões "contextualizadas" que não 
aparecem em nenhum contexto do no nosso dia a dia.

Trabalha-se fórmulas de movimentos uniforme, uniformemente variado, circular, 
pendular e vários outros e essas fórmulas são apenas modelos bem simples que 
muitas vezes passam longe do real. Mas acho que é uma introdução apenas.  Assim 
como acontece com a probabilidade no E.M.

Acho que o exemplo do dado foi perfeito. Dificilmente conseguiríamos alcançar 
valores condizentes com a teoria que trabalhamos em sala se pensarmos em um 
experimento com 20 lançamentos apenas. Mas isso não nos impede de trabalharmos 
essa teoria.

O que acham?









--- Em qui, 20/9/12, Bob Roy  escreveu:

De: Bob Roy 
Assunto: Re: [obm-l] probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 20 de Setembro de 2012, 20:47

Olá ,Um fato que todos tem que concordar , é que dificilmente alguém iria 
pensar em uma turma com infinitos alunos ; por isto avalio a questão imprópria 
para um exame de qualificação da Uerj !! .

AbraçosBob

Em 19 de setembro de 2012 20:37, Athos Couto  escreveu:





Pelo contexto que a questão foi aplicada e também por ser a única maneira de se 
resolver a questão, a análise que deve ser feita é a que se aprende no ensino 
médio:Probabilidade é igual ao número de vezes que o evento esperado ocorre, 
sobre o número de elementos do conjunto universo.
Resumindo, nesse problema é como se considerássemos o número de pessoas que 
fizeram a prova infinitos.

Date: Wed, 19 Sep 2012 06:49:23 -0300
Subject: Re: [obm-l] probabilidade
From: bob...@globo.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br



Em 18 de setembro de 2012 23:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:


2012/9/18 Athos Couto :

> Provinha da UERJ?

> Hehe...

>

> 20% acertaram porque sabiam.

Ok



> 80% chutaram. Eram 4 alternativas e uma certa. 25% de chance de acertar.

Certo.



> Portanto, 0,8*0,25 = 0,2 = 20% acertaram chutando.

Hum, não sei não... marcar uma opção ao acaso não quer dizer que vai

ser isso. Veja bem, se você lançar um dado 6 vezes, não vai sair

necessariamente uma vez cada número. Claro que quanto mais vezes você

jogar, mais as proporções de cada número vão ficar próximas de 1/6

(lei dos grandes números) mas haverá também uma pequena oscilação

(proporcional à raiz quadrada do número de vezes que você jogar o

dado; Teorema central do limite). O que você fez vale, portanto, para

uma turma infinita (coitado do professor que corrigir as provas!). A

quantidade de alunos que acertou já é ela mesma uma variável aleatória

(Binomial, se eu não confundo os nomes), e a resposta depende (óbvio)

de cada valor possível.



Enfim, tudo depende do contexto do problema. Se você espera que o

sujeito seja um mínimo crítico quanto à contextualização, esse tipo de

enunciado "mundo real" é uma bela desgraça porque tá querendo dizer

uma coisa ("os outros se dividem em 4 grupos de mesmo número e cada

grupo marcou uma das respostas") por uma via errada ("marcar uma opção

ao acaso entre as 4") e esperando que o sujeito "deduza" o que era

para ser compreendido a partir de uma formulação que tem um sentido

completamente diferente. Matemáticamente falando, inclusive. E isso é

imperdoável. Contexto e "mundo real" é bom, mas adivinhação por "ah,

isso é um problema de vestibular, então não pode estar querendo nada

muito complicado, então na verdade o que ele quer dizer é tal coisa" é

apenas um entrave na educação.

--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



Olá ,

É  justamente este problema que  surgiu com os  meus colegas . Pois  fazendo 
com uma turma de 5 alunos e  estudando os casos  possíveis e favoráveis  , a 
resposta  não batia . Com uma  turma de  10  alunos  , analisando os casos 
possíveis e favoráveis  também bate diferente a resposta   E agora ? como 
devemos analisar esta questão  ?



Agradeço desde já

Bob

=

Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=


  

Re: [obm-l] probabilidade

[Bob Roy]

Olá ,
Um fato que todos tem que concordar , é que dificilmente alguém iria pensar
em uma turma com infinitos alunos ; por isto avalio a questão imprópria
para um exame de qualificação da Uerj !! .

Abraços
Bob

Em 19 de setembro de 2012 20:37, Athos Couto escreveu:

>  Pelo contexto que a questão foi aplicada e também por ser a única maneira
> de se resolver a questão, a análise que deve ser feita é a que se aprende
> no ensino médio:
> Probabilidade é igual ao número de vezes que o evento esperado ocorre,
> sobre o número de elementos do conjunto universo.
> Resumindo, nesse problema é como se considerássemos o número de pessoas
> que fizeram a prova infinitos.
>
> --
> Date: Wed, 19 Sep 2012 06:49:23 -0300
> Subject: Re: [obm-l] probabilidade
> From: bob...@globo.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
>
> Em 18 de setembro de 2012 23:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
> 2012/9/18 Athos Couto :
> > Provinha da UERJ?
> > Hehe...
> >
> > 20% acertaram porque sabiam.
> Ok
>
> > 80% chutaram. Eram 4 alternativas e uma certa. 25% de chance de acertar.
> Certo.
>
> > Portanto, 0,8*0,25 = 0,2 = 20% acertaram chutando.
> Hum, não sei não... marcar uma opção ao acaso não quer dizer que vai
> ser isso. Veja bem, se você lançar um dado 6 vezes, não vai sair
> necessariamente uma vez cada número. Claro que quanto mais vezes você
> jogar, mais as proporções de cada número vão ficar próximas de 1/6
> (lei dos grandes números) mas haverá também uma pequena oscilação
> (proporcional à raiz quadrada do número de vezes que você jogar o
> dado; Teorema central do limite). O que você fez vale, portanto, para
> uma turma infinita (coitado do professor que corrigir as provas!). A
> quantidade de alunos que acertou já é ela mesma uma variável aleatória
> (Binomial, se eu não confundo os nomes), e a resposta depende (óbvio)
> de cada valor possível.
>
> Enfim, tudo depende do contexto do problema. Se você espera que o
> sujeito seja um mínimo crítico quanto à contextualização, esse tipo de
> enunciado "mundo real" é uma bela desgraça porque tá querendo dizer
> uma coisa ("os outros se dividem em 4 grupos de mesmo número e cada
> grupo marcou uma das respostas") por uma via errada ("marcar uma opção
> ao acaso entre as 4") e esperando que o sujeito "deduza" o que era
> para ser compreendido a partir de uma formulação que tem um sentido
> completamente diferente. Matemáticamente falando, inclusive. E isso é
> imperdoável. Contexto e "mundo real" é bom, mas adivinhação por "ah,
> isso é um problema de vestibular, então não pode estar querendo nada
> muito complicado, então na verdade o que ele quer dizer é tal coisa" é
> apenas um entrave na educação.
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> Olá ,
>
> É  justamente este problema que  surgiu com os  meus colegas . Pois
> fazendo com uma turma de 5 alunos e  estudando os casos  possíveis e
> favoráveis  , a resposta  não batia . Com uma  turma de  10  alunos  ,
> analisando os casos possíveis e favoráveis  também bate diferente a
> resposta   E agora ? como devemos analisar esta questão  ?
>
> Agradeço desde já
>
> Bob
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>

RE: [obm-l] probabilidade

[Athos Couto]

Pelo contexto que a questão foi aplicada e também por ser a única maneira de se 
resolver a questão, a análise que deve ser feita é a que se aprende no ensino 
médio:Probabilidade é igual ao número de vezes que o evento esperado ocorre, 
sobre o número de elementos do conjunto universo.Resumindo, nesse problema é 
como se considerássemos o número de pessoas que fizeram a prova infinitos.

Date: Wed, 19 Sep 2012 06:49:23 -0300
Subject: Re: [obm-l] probabilidade
From: bob...@globo.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Em 18 de setembro de 2012 23:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:

2012/9/18 Athos Couto :

> Provinha da UERJ?

> Hehe...

>

> 20% acertaram porque sabiam.

Ok



> 80% chutaram. Eram 4 alternativas e uma certa. 25% de chance de acertar.

Certo.



> Portanto, 0,8*0,25 = 0,2 = 20% acertaram chutando.

Hum, não sei não... marcar uma opção ao acaso não quer dizer que vai

ser isso. Veja bem, se você lançar um dado 6 vezes, não vai sair

necessariamente uma vez cada número. Claro que quanto mais vezes você

jogar, mais as proporções de cada número vão ficar próximas de 1/6

(lei dos grandes números) mas haverá também uma pequena oscilação

(proporcional à raiz quadrada do número de vezes que você jogar o

dado; Teorema central do limite). O que você fez vale, portanto, para

uma turma infinita (coitado do professor que corrigir as provas!). A

quantidade de alunos que acertou já é ela mesma uma variável aleatória

(Binomial, se eu não confundo os nomes), e a resposta depende (óbvio)

de cada valor possível.



Enfim, tudo depende do contexto do problema. Se você espera que o

sujeito seja um mínimo crítico quanto à contextualização, esse tipo de

enunciado "mundo real" é uma bela desgraça porque tá querendo dizer

uma coisa ("os outros se dividem em 4 grupos de mesmo número e cada

grupo marcou uma das respostas") por uma via errada ("marcar uma opção

ao acaso entre as 4") e esperando que o sujeito "deduza" o que era

para ser compreendido a partir de uma formulação que tem um sentido

completamente diferente. Matemáticamente falando, inclusive. E isso é

imperdoável. Contexto e "mundo real" é bom, mas adivinhação por "ah,

isso é um problema de vestibular, então não pode estar querendo nada

muito complicado, então na verdade o que ele quer dizer é tal coisa" é

apenas um entrave na educação.

--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



Olá ,

É  justamente este problema que  surgiu com os  meus colegas . Pois  fazendo 
com uma turma de 5 alunos e  estudando os casos  possíveis e favoráveis  , a 
resposta  não batia . Com uma  turma de  10  alunos  , analisando os casos 
possíveis e favoráveis  também bate diferente a resposta   E agora ? como 
devemos analisar esta questão  ?


Agradeço desde já

Bob

=

Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=


  

Re: [obm-l] probabilidade

[Bob Roy]

Em 18 de setembro de 2012 23:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2012/9/18 Athos Couto :
> > Provinha da UERJ?
> > Hehe...
> >
> > 20% acertaram porque sabiam.
> Ok
>
> > 80% chutaram. Eram 4 alternativas e uma certa. 25% de chance de acertar.
> Certo.
>
> > Portanto, 0,8*0,25 = 0,2 = 20% acertaram chutando.
> Hum, não sei não... marcar uma opção ao acaso não quer dizer que vai
> ser isso. Veja bem, se você lançar um dado 6 vezes, não vai sair
> necessariamente uma vez cada número. Claro que quanto mais vezes você
> jogar, mais as proporções de cada número vão ficar próximas de 1/6
> (lei dos grandes números) mas haverá também uma pequena oscilação
> (proporcional à raiz quadrada do número de vezes que você jogar o
> dado; Teorema central do limite). O que você fez vale, portanto, para
> uma turma infinita (coitado do professor que corrigir as provas!). A
> quantidade de alunos que acertou já é ela mesma uma variável aleatória
> (Binomial, se eu não confundo os nomes), e a resposta depende (óbvio)
> de cada valor possível.
>
> Enfim, tudo depende do contexto do problema. Se você espera que o
> sujeito seja um mínimo crítico quanto à contextualização, esse tipo de
> enunciado "mundo real" é uma bela desgraça porque tá querendo dizer
> uma coisa ("os outros se dividem em 4 grupos de mesmo número e cada
> grupo marcou uma das respostas") por uma via errada ("marcar uma opção
> ao acaso entre as 4") e esperando que o sujeito "deduza" o que era
> para ser compreendido a partir de uma formulação que tem um sentido
> completamente diferente. Matemáticamente falando, inclusive. E isso é
> imperdoável. Contexto e "mundo real" é bom, mas adivinhação por "ah,
> isso é um problema de vestibular, então não pode estar querendo nada
> muito complicado, então na verdade o que ele quer dizer é tal coisa" é
> apenas um entrave na educação.
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
Olá ,

É  justamente este problema que  surgiu com os  meus colegas . Pois
fazendo com uma turma de 5 alunos e  estudando os casos  possíveis e
favoráveis  , a resposta  não batia . Com uma  turma de  10  alunos  ,
analisando os casos possíveis e favoráveis  também bate diferente a
resposta   E agora ? como devemos analisar esta questão  ?

Agradeço desde já

Bob

> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] probabilidade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/9/18 Athos Couto :
> Provinha da UERJ?
> Hehe...
>
> 20% acertaram porque sabiam.
Ok

> 80% chutaram. Eram 4 alternativas e uma certa. 25% de chance de acertar.
Certo.

> Portanto, 0,8*0,25 = 0,2 = 20% acertaram chutando.
Hum, não sei não... marcar uma opção ao acaso não quer dizer que vai
ser isso. Veja bem, se você lançar um dado 6 vezes, não vai sair
necessariamente uma vez cada número. Claro que quanto mais vezes você
jogar, mais as proporções de cada número vão ficar próximas de 1/6
(lei dos grandes números) mas haverá também uma pequena oscilação
(proporcional à raiz quadrada do número de vezes que você jogar o
dado; Teorema central do limite). O que você fez vale, portanto, para
uma turma infinita (coitado do professor que corrigir as provas!). A
quantidade de alunos que acertou já é ela mesma uma variável aleatória
(Binomial, se eu não confundo os nomes), e a resposta depende (óbvio)
de cada valor possível.

Enfim, tudo depende do contexto do problema. Se você espera que o
sujeito seja um mínimo crítico quanto à contextualização, esse tipo de
enunciado "mundo real" é uma bela desgraça porque tá querendo dizer
uma coisa ("os outros se dividem em 4 grupos de mesmo número e cada
grupo marcou uma das respostas") por uma via errada ("marcar uma opção
ao acaso entre as 4") e esperando que o sujeito "deduza" o que era
para ser compreendido a partir de uma formulação que tem um sentido
completamente diferente. Matemáticamente falando, inclusive. E isso é
imperdoável. Contexto e "mundo real" é bom, mas adivinhação por "ah,
isso é um problema de vestibular, então não pode estar querendo nada
muito complicado, então na verdade o que ele quer dizer é tal coisa" é
apenas um entrave na educação.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] probabilidade

[Athos Couto]

Provinha da UERJ?Hehe...
20% acertaram porque sabiam.80% chutaram. Eram 4 alternativas e uma certa. 25% 
de chance de acertar.Portanto, 0,8*0,25 = 0,2 = 20% acertaram chutando.
Daí temos que: 
40% acertaram60% erraram
Queremos 1 que acertou e 1 que errou.Podemos pegar isso de duas maneiras, o que 
errou e depois o que acertou e vice versa:Portanto temos 2*0,6*0,4=0,48 = 48%

Date: Tue, 18 Sep 2012 16:07:44 -0300
Subject: [obm-l] probabilidade
From: bob...@globo.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá ,

Poderiam me ajudar na questão :

Em uma escola , 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma 
questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta . Os 
demais marcaram uma das quatro opções ao acaso . Verificando-se as respostas de 
dois alunos quaisquer dessa turma , determine a probabilidade de que exatamente 
um tenha marcado a opção correta .


agradeço 

Bob
  

Re: [obm-l] Probabilidade Moeda Viciada

[Jaare Oregim]

PS. claro que eu acho que funciona, mas nao sei se entendi a pergunta.

2012/8/15 Jaare Oregim :
> jogue a moeda 2 vezes
>
> cara-coroa = sim
>
> coroa-cara = não
>
> qualquer outro resultado, descarte e jogue de novo. funciona?
>
>
>
> 2012/7/1 Jeferson Almir 
>
> Dada uma Moeda viciada e uma pessoa  deseja fazer uma escolha
> utilizando tal moeda,(por exemplo se caso ela nao fosse viciada ele
> atribuiria cara para sim e coroa para nao). Como ele deve proceder
> para realizar tal escolha com a moeda de maneira a realizar sua
> escolha de maneira que o vicio da moeda nao interfira???

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade Moeda Viciada

[Jeferson Almir]

eu pensei da seguinte maneira Tarsis acredito ser analogo ao seu:
Atribuo jogando a moeda: se for cara eu adoto escolha sim e coroa nao,
entao se eu jogar e der cara para aceita-la eu jogo se for coroa entao eu
aceito a primeira escolha, caso contrario eu descarto e o mesmo vale se for
coroa, que para aceita-la eu jogo a moeda e so aceito ser aparecer cara.
Isso me parece ser equivalente ao seu.

Em 2 de julho de 2012 20:06, tarsis Esau  escreveu:

> Creio que uma maneira do vício não interferir pode ser de jogar a moeda
> mais de uma vez conforme o vício dela.
>
> Por exemplo. Se ela tem 1/3 para cara e 2/3 para coroa, deve jogar a moeda
> pelo menos 3 vezes, e dize que uma vai ocorrer uma vez e a outra duas
> Para 2/5 e 3/5, 5 vezes e uma duas e a outra 3, e assim seguem. Alguém me
> corrige se estiver errado.
>
>
> 2012/7/1 Jeferson Almir 
>
>> Dada uma Moeda viciada e uma pessoa  deseja fazer uma escolha utilizando
>> tal moeda,(por exemplo se caso ela nao fosse viciada ele atribuiria cara
>> para sim e coroa para nao). Como ele deve proceder para realizar tal
>> escolha com a moeda de maneira a realizar sua escolha de maneira que o
>> vicio da moeda nao interfira???
>>
>
>

Re: [obm-l] Probabilidade Moeda Viciada

[tarsis Esau]

Creio que uma maneira do vício não interferir pode ser de jogar a moeda
mais de uma vez conforme o vício dela.

Por exemplo. Se ela tem 1/3 para cara e 2/3 para coroa, deve jogar a moeda
pelo menos 3 vezes, e dize que uma vai ocorrer uma vez e a outra duas
Para 2/5 e 3/5, 5 vezes e uma duas e a outra 3, e assim seguem. Alguém me
corrige se estiver errado.

2012/7/1 Jeferson Almir 

> Dada uma Moeda viciada e uma pessoa  deseja fazer uma escolha utilizando
> tal moeda,(por exemplo se caso ela nao fosse viciada ele atribuiria cara
> para sim e coroa para nao). Como ele deve proceder para realizar tal
> escolha com a moeda de maneira a realizar sua escolha de maneira que o
> vicio da moeda nao interfira???
>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Ha uma ordem especifica para a diferenca, tipo "vermelho - branco", ou
eh sempre "maior - menor"? Vou supor este ultimo.

De um jeito ou de outro, eu faria uma tabelinha com as 36
possibilidades equiprovaveis:

\ 1 2 3 4 5 6 <-(primeiro dado aqui)
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2   <---diferencas dentro da tabela
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
^ (segundo dado aqui)

Entao, sendo D a diferenca, vem:
Pr(D=0)=6/36
Pr(D=1)=10/36
Pr(D=2)=8/36
...

Ou seja, diferenca de 1 eh o mais provavel, com probabilidade 10/36.

(Se fosse sempre vermelho - branco, seria Pr(D=0)=6/36, jah que D=1,
D=2, etc, se dividiriam em duas probabilidades menores.)

Abraco, Ralph

P.S.: Tecnicamente, frequencia e probabilidade nao sao exatamente a
mesma coisa Entao, nao dah para dizer que D=1 SERAH o mais
frequente Eh verdade que se voce jogar os dados MUITAS vezes, eu
aposto MUITO dinheiro que D=1 serah a mais frequente -- mas certeza
mesmo nao ha. O que dah para dizer COM CERTEZA eh que 1 eh o valor de
D com maior PROBABILIDADE, que foi o que fiz acima, e acho que era
isso que a questao queria.

2012/5/7 Pedro Júnior :
> Se lançarmos diversas vezes dois dados, um vermelho e um branco,
> e cacularmos a diferença entre os pontos obtidos, quais as diferenças
> mais frequêntes?
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Oi, galera.

Dah para resumir a simetria do raciocinio do Ponce... Basta considerar os
eventos:

X = "A obtem mais caras do que B"
Y = "A obtem mais coroas do que B"

Note que X e Y nao podem ocorrer ao mesmo tempo (A tem apenas UMA moeda a
mais) mas pelo menos um deve ocorrer (A tem mais MOEDAS que B). Como, por
simetria, P(X)=P(Y), eh 50% para cada.

Abraco,
   Ralph
2012/1/30 Rogerio Ponce 

> Ola' Joao,
> chamemos de X(k) o numero de caras obtidas pelo jogador X em k lancamentos,
> e chamemos de P[z] a probabilidade do evento z ocorrer.
> Assim, nosso problema é calcular o valor de P[A(n+1) > B(n)]
>
> Agora, imagine que "B" tenha feito n lances, e que em seguida, "A" tambem
> tenha feito n lances.
> Ainda falta "A" fazer um lance, e as seguintes situacoes podem acontecer:
> 1) "A" ja' obteve mais caras que "B" com os n primeiros lances, e sua
> chance de ultrapassar B vale 100%.
> 2) "A" esta' empatado com "B", e tem 50% de chance de obter uma cara.
> 3) "A" tem menos caras que "B", e tem 0% de chance de ultrapassar B.
>
> Portanto, somando-se as probabilidades das 2 primeiras situacoes, obtemos
> P[A(n+1)>B(n)]  =  100% * P[A(n)>B(n)] + 50% * P[A(n)=B(n)]
>
> Sabemos que
>   P[A(n)B(n)] = 1
> Por simetria,
>   P[A(n)>B(n)]  =  P[B(n)>A(n)]
> de forma que
> 2*P[A(n)>B(n)]  + P[A(n)=B(n)] = 1
> ou seja,
> P[A(n)=B(n)]  =  1 -  2* P[A(n)>B(n)]
>
> Aplicando essa relacao 'a expressao anterior, obtemos
>  P[A(n+1)>B(n)] = 50%
>
> Ou seja, a probabilidade de "A" obter mais caras que "B" e' de 50%.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> 2012/1/18 João Maldonado 
>
>>
>>  Se A e B lançam respectivamente n + 1 e n moedas não-viciadas, qual é a
>> probabilidade Pn de que A obtenha mais “caras” do que B?
>>
>> []`s
>> Joao
>>
>
>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Rogerio Ponce]

Ola' Joao,
chamemos de X(k) o numero de caras obtidas pelo jogador X em k lancamentos,
e chamemos de P[z] a probabilidade do evento z ocorrer.
Assim, nosso problema é calcular o valor de P[A(n+1) > B(n)]

Agora, imagine que "B" tenha feito n lances, e que em seguida, "A" tambem
tenha feito n lances.
Ainda falta "A" fazer um lance, e as seguintes situacoes podem acontecer:
1) "A" ja' obteve mais caras que "B" com os n primeiros lances, e sua
chance de ultrapassar B vale 100%.
2) "A" esta' empatado com "B", e tem 50% de chance de obter uma cara.
3) "A" tem menos caras que "B", e tem 0% de chance de ultrapassar B.

Portanto, somando-se as probabilidades das 2 primeiras situacoes, obtemos
P[A(n+1)>B(n)]  =  100% * P[A(n)>B(n)] + 50% * P[A(n)=B(n)]

Sabemos que
  P[A(n)B(n)] = 1
Por simetria,
  P[A(n)>B(n)]  =  P[B(n)>A(n)]
de forma que
2*P[A(n)>B(n)]  + P[A(n)=B(n)] = 1
ou seja,
P[A(n)=B(n)]  =  1 -  2* P[A(n)>B(n)]

Aplicando essa relacao 'a expressao anterior, obtemos
 P[A(n+1)>B(n)] = 50%

Ou seja, a probabilidade de "A" obter mais caras que "B" e' de 50%.

[]'s
Rogerio Ponce



2012/1/18 João Maldonado 

>
>  Se A e B lançam respectivamente n + 1 e n moedas não-viciadas, qual é a
> probabilidade Pn de que A obtenha mais “caras” do que B?
>
> []`s
> Joao
>

Re: [obm-l] probabilidade

[terence thirteen]

Exitem diversas maneiras de se pegar o cartão errado. Enquanto, para
cada pessoa, há só um cartão certo, para cada pessoa há 3 cartões
errados - e no seu certo-e-errado você não está distinguindo os
cartões.

É a velha falácia do 50%: se são duas possibilidades são 50% de
chances. Isto é obviamente falso - se fosse assim a Mega Sena não
seria tão difícil :P

Em 15/11/11, J. R. Smolka escreveu:
> Quando li tive a seguinte intuição: para cada emparelhamento aleatório
> cartão-endereço, no final cada destinatário pode receber seu cartão
> certo ou errado (C ou E).
>
> Então cada situação desta corresponde a um número binário de 4 dígitos,
> desde  até . Sabemos que isto dá 2^4 = 16 possibilidades. Como
> só uma delas interessa (), então a probabilidade seria de 1/16.
>
> Como todo mundo está achando 3/8 eu devo estar errado. Mas onde é a
> fonte do erro?
>
> [ ]
>
> J. R. Smolka
>
> /Em 14/11/2011 22:54, marcone augusto araújo borges escreveu:/
>> tenho 4 cartoes ,cada um para ser destinado a uma determinada
>> pessoa.tenho os 4 endereços,mas não sei qual é o endereço de
>> ninguem.qual é a probabilidade de que todos os cartoes  sejam enviados
>> para as pessoas erradas
>>
>> eu fiz e encontrei 3/8
>> calculei quantas maneiras poderia enviar exatamente 1 certo,exatamente
>> 2,exatamente 4
>> deu 15=8+6+1,respectivamente
>> dai,total 24(4x3x2),menos 15,deu 9
>> 9/24 = 3/8
>> agradeço por uma solução diferente
>


-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probabilidade

[J. R. Smolka]

Quando li tive a seguinte intuição: para cada emparelhamento aleatório 
cartão-endereço, no final cada destinatário pode receber seu cartão 
certo ou errado (C ou E).


Então cada situação desta corresponde a um número binário de 4 dígitos, 
desde  até . Sabemos que isto dá 2^4 = 16 possibilidades. Como 
só uma delas interessa (), então a probabilidade seria de 1/16.


Como todo mundo está achando 3/8 eu devo estar errado. Mas onde é a 
fonte do erro?


[ ]

J. R. Smolka

/Em 14/11/2011 22:54, marcone augusto araújo borges escreveu:/
tenho 4 cartoes ,cada um para ser destinado a uma determinada 
pessoa.tenho os 4 endereços,mas não sei qual é o endereço de 
ninguem.qual é a probabilidade de que todos os cartoes  sejam enviados 
para as pessoas erradas


eu fiz e encontrei 3/8
calculei quantas maneiras poderia enviar exatamente 1 certo,exatamente 
2,exatamente 4

deu 15=8+6+1,respectivamente
dai,total 24(4x3x2),menos 15,deu 9
9/24 = 3/8
agradeço por uma solução diferente

Re: [obm-l] probabilidade

[Rogerio Ponce]

Ola' Marcone,
esse problema e' equivalente ao calculo da probabilidade P(n) de ocorrer um
sorteio valido numa reuniao de n amigos ocultos.
(sorteio valido de n amigos ocultos e' aquele em que ninguem sorteia a si
mesmo).

Segue uma solucao antiga na lista:


Primeiramente, em um sorteio qualquer, existem sub-grupos do tipo "A
sorteia B, que sorteia C, que sorteia...que sorteia A" , formando um
"loop". Chamemos de "cadeia" essa sequencia de pessoas.

Entao, seja V(n) o numero de sorteios validos com "n" pessoas.

Quando acrescentamos a enesima-primeira pessoa a um grupo com "n" pessoas,
um sorteio valido qualquer correspondera'  as seguintes situacoes:

a) essa pessoa forma uma cadeia com mais de 2 elementos.
b) essa pessoa forma uma cadeia com apenas 2 elementos (ela e uma 2a.
pessoa fazem uma troca mutua de presentes).

No caso "a", podemos considerar que essa pessoa e' inserida em alguma das
cadeias existentes num sorteio valido com apenas "n" pessoas.
No caso "b" , cada sorteio pode ser obtido a partir da escolha do 2o.
elemento, e entao formando-se todos os sorteios validos possiveis com (n-1)
elementos.

Dessa forma, o numero de sorteios validos do tipo "a" vale n*V(n) .
Repare que essa nova pessoa pode ser inserida logo após uma pessoa qualquer
dentre as "n" existentes.

E o numero de sorteios validos do tipo "b" vale n*V(n-1) .
Repare que essa nova pessoa pode fazer par com qualquer uma dentre as "n"
existentes, enquanto as outras (n-1) se organizam como um sorteio valido de
(n-1) elementos.


Assim, V(n+1) = n*V(n) + n*V(n-1)
Fazendo V(n) = n! * W(n) , obtemos a equacao de diferencas, linear e
homogenea, do 1o grau:
[W(n+1) - W(n)] + 1/(n+1) * [W(n) - W(n-1)] = 0

Portanto, a solucao geral e'
W(n+1) - W(n) = C * (-1)^(n+1)/(n+1)!


Como V(1)=0 e V(2)=1 , entao C=1 , pois W(1)=0 e W(2)=1/2 , que nos leva a
W(n+1) = W(n) + (-1)^(n+1)/(n+1)!


Como o numero de sorteios possiveis e' n! , a probabilidade de sorteios
validos com "n" pessoas e' P(n)= V(n)/n! .
Logo, P(n) = W(n) , ou seja,

P(n) = P(n-1) + (-1)^n/n! , onde P(1)=0
de modo que
P(n) = 0 + 1/2! - 1/3! +...+ (-1)^n/n!


Alem disso, e' facil verificar que quando "n" cresce, P(n) converge para
P = 0 + 1/2! - 1/3! + 1/4! ... = 1/e

___

No nosso caso, como n=4, a resposta e'
 P(4)= 1/2! - 1/3! + 1/4! = 3/8

[]'s
Rogerio Ponce




Em 14 de novembro de 2011 22:54, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

>  tenho 4 cartoes ,cada um para ser destinado a uma determinada
> pessoa.tenho os 4 endereços,mas não sei qual é o endereço de ninguem.qual é
> a probabilidade de que todos os cartoes  sejam enviados para as pessoas
> erradas
>
> eu fiz e encontrei 3/8
> calculei quantas maneiras poderia enviar exatamente 1 certo,exatamente
> 2,exatamente 4
> deu 15=8+6+1,respectivamente
> dai,total 24(4x3x2),menos 15,deu 9
> 9/24 = 3/8
> agradeço por uma solução diferente
>
>

RE: [obm-l] probabilidade

[João Maldonado]

 Chamando  abcd  da ordem correta,  temos que achar todas as possibilidades  de 
mudar a ordem sem que nenhuma letra ocupe  o mesmo lugar. Isso e denominado  
permutacao caotica  ou desarranjo e a formula e  [n!/e]  em que [x] e o inteiro 
mais proximo de x.   [4!/e] = 9  e 9/24 = 3/8,   daonde veio a resposta.
[]`sJoao

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] probabilidade
Date: Tue, 15 Nov 2011 00:54:31 +








tenho 4 cartoes ,cada um para ser destinado a uma determinada pessoa.tenho os 4 
endereços,mas não sei qual é o endereço de ninguem.qual é a probabilidade de 
que todos os cartoes  sejam enviados para as pessoas erradas

 

eu fiz e encontrei 3/8

calculei quantas maneiras poderia enviar exatamente 1 certo,exatamente 
2,exatamente 4 

deu 15=8+6+1,respectivamente

dai,total 24(4x3x2),menos 15,deu 9

9/24 = 3/8

agradeço por uma solução diferente

 

  

Re: [obm-l] Probabilidade

[Antônio Luiz Santos]

Enviado via iPad

Em 31/08/2011, às 19:23, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu:

> Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão: 
> 
> 1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um 
> burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas, 
> sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a 
> probabilidade de que na outra ele encontre o carro?
> 
>  
> 
> 2) Num concurso de música, eistem 3 jurados, e um publico geral, e esses 
> jurados aprovam ou não um candidato conforme a opinião do público e a tabela 
> abaixo
> 
>  
> 
> público geraljurado 1 /   jurado 2/  jurado 3
> 
> aprova   50% 75%   80%
> 
> não aprova 50% 40%25%
> 
>  
> 
> qual a diferença entre as probabilidades de um candidato ser aprovado caso o 
> público geral o aprove e caso o público geral não o aprove??
> 
>  
> Instruções
>  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
> =

Re: [obm-l] Probabilidade

[douglas . oliveira]

  

Obrigado, vou ver o problema original , que me passou, monty hall..
mas já entendi valeu mesmo !! 

On Wed, 31 Aug 2011 21:04:00 -0300,
Ralph Teixeira wrote: 

> Oi, Douglas. Vamos lah. 
> 2011/8/31 
> 
>>
Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão: 
>> 
>> 1)
Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as
portas, sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a
probabilidade de que na outra ele encontre o carro?
> 
> Olha, do jeito
que voce enunciou o problema, nao faz sentido. Como assim "na outra" --
ainda ha 2 portas fechadas, neh? Do jeito que voce enunciou, a resposta
eh 50% para cada uma das duas portas restantes (pressupondo que o carro
tinha a mesma chance de estar em qualquer porta no comeco). 
> 
> Agora,
talvez voce queira o problema classico de Monty Hall, cujo enunciado
preciso eh assim: 
> i) 100 portas numeradas de 1 a 100, o carro tem
inicialmente a mesma chance de estar em qualquer uma delas; 
> ii) Um
"participante" A (que nao sabe onde estah o carro) escolhe uma porta,
mas nao a abre; 
> iii) Um "rapaz" B abre 98 portas seguindo as regras:

> -- B NUNCA abre a porta que A escolhera; 
> -- B NUNCA abre a porta
do carro. 
> -- Se B ainda assim tiver alguma escolha (o que eh raro --
soh acontece se A escolheu o carro de primeira!), ele escolhe 98 portas
com burros, aleatoriamente, para abrir. 
> (Note que, para estas regras
serem seguidas, B tem que SABER onde estah o carro!) 
> iv) Neste
momento, qual a chance da porta que A escolheu ter o carro? Qual a
chance da outra porta fechada ter o carro? 
> 
> Com este enunciado, as
respostas sao 1/100 e 99/100 respectivamente. Era este o problema que
voce tinha em mente? 
> 
> ---///--- 
> 
>> 2) Num concurso de música,
eistem 3 jurados, e um publico geral, e esses jurados aprovam ou não um
candidato conforme a opinião do público e a tabela abaixo 
>> 
>>
público geral jurado 1 / jurado 2/ jurado 3 
>> 
>> aprova 50% 75% 80%

>> 
>> não aprova 50% 40% 25% 
>> 
>> qual a diferença entre as
probabilidades de um candidato ser aprovado caso o público geral o
aprove e caso o público geral não o aprove??
> 
> Esta tabela nao esta
muito clara para mim... Vou supor que estes numeros significam o
seguinte: 
> 
> -- Dado um candidato aprovado pelo publico; ele tem 50%
de chance de ser aprovado pelo jurado 1, 75% de chance de ser aprovado
pelo jurado 2, e 80% de chance de ser aprovado pelo jurado 3. 
> -- Dado
um candidato nao aprovado pelo publico, ele tem 50% de chance de ser
aprovado pelo jurado 1, 40% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e
25% de chance de ser aprovado pelo jurado 3. 
> 
> A outra coisa que nao
estah clara: o que eh necessario para um candidato ser "aprovado"?
Unanimidade, ou maioria? 
> 
> Entao, vou fazer as seguintes hipoteses
adicionais: 
> i) O candidato eh aprovado se pelo menos 2 dos jurados o
aprovam, e eh soh. O voto do publico nao conta diretamente (mesmo que,
indiretamente, o publico afete a decisao dos jurados) 
> ii) Outra
hipotese que se faz necessaria: vou supor que, apos o publico ter
votado, as decisoes dos jurados sao independentes entre si. Note que
esta hipotese eh sutil, e usualmente nao verdadeira! Usualmente, se o
candidato eh bom, ele tem uma maior chance de ser aprovado; entao, o
fato de que o jurado 2 aprovou eh uma indicacao de que o candidato eh
bom, o que afeta a probabilidade do jurado 3 aprova-lo! Entao a gente
precisaria de varias outras probabilidades condicionais para terminar o
problema... A hipotese de independencia eh como se os jurados NAO
olhassem para o candidato, nem uns para os outros; por assim dizer, eles
veem a reacao do publico, e jogam uma moeda (enviesada) para decidir se
aprovam ou nao o candidato. 
> 
> Bom, entao, vou usar J1 para indicar o
evento "Jurado 1 APROVA" (idem para J2 e J3): 
> 
> -- Se o publico
aprova, a probabilidade de pelo menos 2 jurados aprovarem o candidato
eh: 
> p(J1 e J2) + p(J2 e J3) + p(J1 e J3) - 2 p(J1 e J2 e J3) =
(0.5)(0.75)+(0.75)(0.80)+(0.5)(0.8)-2(0.5)(0.75)(0.8)=77.5% 
> (O "-2"
eh necessario pois, nos 3 primeiros termos, contamos 3 vezes o candidato
que eh aprovado por todos os 3 jurados - descontamos 2 para conta-lo uma
vez) 
> (Note como eu usei fortemente a independencia de J1, J2 e J3 ao
trocar "e" por produtos de probabilidades) 
> 
> -- Se o publico nao
aprova... 
> Idem =
(0.5)(0.4)+(0.4)(0.25)+(0.5)(0.25)-2(0.5)(0.4)(0.25)=32.5% 
> 
> Abraco,

> Ralph

  

Links:
--
[1]
mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.br

Re: [obm-l] Probabilidade

[Francisco Barreto]

Ajudou* muito.* Obrigado.



Em 31 de agosto de 2011 23:18, Ralph Teixeira  escreveu:

> Eh isso mesmo. Talvez o papo a seguinte ajude com o 2o caso.
>
> Primeiro note que, se B nao sabe onde estah o carro, ele nao pode GARANTIR
> que nunca abrirah a porta do carro -- uma das regras do problema
> classico foi quebrada. Mas vamos lah (nao estou AFIRMANDO que o seguinte
> acontece exatamente assim, mas afirmo que as PROPORCOES estao corretas e
> correspondem aas probabilidades certas), supondo que as outras regras sao
> mantidas, e usando N=100:
>
> De cada 100 shows:
> -- Em UM show, A acerta no inicio (que sorte!?); entao B, evitando a porta
> de A, acaba abrindo 98 burros. Isto eh UM show daqueles 100.
> -- Nos outros 99, A erra desde o inicio. Entao B vai escolher 98 portas
> aleatoriamente para abrir... Como B nao sabe onde o carro estah, ele tem
> 98/99 de probabilidade de abrir a porta do carro. Isto eh:
>  --- Em 98 destes, B acaba abrindo a porta do carro. Que pena, o show
> acaba e fica sem graca.
>  --- Em UM destes, B abre 98 portas com burros, e, por muita sorte,
> acaba por deixar o carro na ultima porta.
>
> Em suma, nestas condicoes, se B abre 98 portas com burros, algo excepcional
> (2% de chance) acaba de acontecer -- ou eh o primeiro show, ou eh o ultimo!
> O problema eh que tudo que a gente sabe eh que o show eh um daqueles 2 -- em
> 1 A acertou no comeco, no outro A errou. Entao, DADO que B abriu 98 burros,
> fica 50% de chance para cada porta restante.
>
> Repito: se B nao sabe onde estah o carro e abre 98 portas com burros, a
> primeira sensacao eh "puxa! que coisa incomum acaba de acontecer! em quase
> todos os shows que eu assisto, B abre a porta do carro!"; em seguida, "50%
> para cada uma das portas restantes".
>
> Abraco,
>Ralph
> 2011/8/31 Francisco Barreto 
>
>> Se o sujeito B agir conforme o caso clássico, para n portas, as chances do
>> sujeito A aumentam de 1/n para 1 - 1/n (as chances de A errar na primeira
>> escolha de porta). Nas vezes em que A errar na primeira, trocar de porta
>> levará A ao carro. Se acertar de primeira, bem, é claro que trocar não
>> ganha.
>> Agora, se B não souber onde está o carro e começar a abrir portas que não
>> sejam a escolhida por A até restarem 2 portas fechadas, para A tanto faz
>> trocar, pela mesma razão: cometer um erro e trocar de porta não lhe
>> garantirá um carro. Esta última parte ainda não é muito clara pra mim.
>>
>> Em 31 de agosto de 2011 21:04, Ralph Teixeira escreveu:
>>
>> Oi, Douglas. Vamos lah.
>>> 2011/8/31 
>>>
 **

 Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão:

 1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
 burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas,
 sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a
 probabilidade de que na outra ele encontre o carro?

>>>
>>> Olha, do jeito que voce enunciou o problema, nao faz sentido. Como assim
>>> "na outra" -- ainda ha 2 portas fechadas, neh? Do jeito que voce enunciou, a
>>> resposta eh 50% para cada uma das duas portas restantes (pressupondo que o
>>> carro tinha a mesma chance de estar em qualquer porta no comeco).
>>>
>>> Agora, talvez voce queira o problema classico de Monty Hall, cujo
>>> enunciado preciso eh assim:
>>> i) 100 portas numeradas de 1 a 100, o carro tem inicialmente a mesma
>>> chance de estar em qualquer uma delas;
>>> ii) Um "participante" A (que nao sabe onde estah o carro) escolhe uma
>>> porta, mas nao a abre;
>>> iii) Um "rapaz" B abre 98 portas seguindo as regras:
>>>  -- B NUNCA abre a porta que A escolhera;
>>>  -- B NUNCA abre a porta do carro.
>>>  -- Se B ainda assim tiver alguma escolha (o que eh raro -- soh acontece
>>> se A escolheu o carro de primeira!), ele escolhe 98 portas com burros,
>>> aleatoriamente, para abrir.
>>> (Note que, para estas regras serem seguidas, B tem que SABER onde estah o
>>> carro!)
>>> iv) Neste momento, qual a chance da porta que A escolheu ter o carro?
>>> Qual a chance da outra porta fechada ter o carro?
>>>
>>> Com este enunciado, as respostas sao 1/100 e 99/100 respectivamente. Era
>>> este o problema que voce tinha em mente?
>>>
>>> ---///---
>>>
>>>
  2) Num concurso de música, eistem 3 jurados, e um publico geral, e
 esses jurados aprovam ou não um candidato conforme a opinião do público e a
 tabela abaixo



 público geraljurado 1 /   jurado 2/  jurado 3

 aprova   50% 75%   80%

 não aprova 50% 40%25%



 qual a diferença entre as probabilidades de um candidato ser aprovado
 caso o público geral o aprove e caso o público geral não o aprove??



>>> Esta tabela nao esta muito clara para mim... Vou supor que estes
>>> numeros significam o seguinte:
>>>
>>> -- Dado um candidato aprovado pelo publico; ele tem 50% de chance de ser
>>> aprova

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Eh isso mesmo. Talvez o papo a seguinte ajude com o 2o caso.

Primeiro note que, se B nao sabe onde estah o carro, ele nao pode GARANTIR
que nunca abrirah a porta do carro -- uma das regras do problema
classico foi quebrada. Mas vamos lah (nao estou AFIRMANDO que o seguinte
acontece exatamente assim, mas afirmo que as PROPORCOES estao corretas e
correspondem aas probabilidades certas), supondo que as outras regras sao
mantidas, e usando N=100:

De cada 100 shows:
-- Em UM show, A acerta no inicio (que sorte!?); entao B, evitando a porta
de A, acaba abrindo 98 burros. Isto eh UM show daqueles 100.
-- Nos outros 99, A erra desde o inicio. Entao B vai escolher 98 portas
aleatoriamente para abrir... Como B nao sabe onde o carro estah, ele tem
98/99 de probabilidade de abrir a porta do carro. Isto eh:
 --- Em 98 destes, B acaba abrindo a porta do carro. Que pena, o show
acaba e fica sem graca.
 --- Em UM destes, B abre 98 portas com burros, e, por muita sorte,
acaba por deixar o carro na ultima porta.

Em suma, nestas condicoes, se B abre 98 portas com burros, algo excepcional
(2% de chance) acaba de acontecer -- ou eh o primeiro show, ou eh o ultimo!
O problema eh que tudo que a gente sabe eh que o show eh um daqueles 2 -- em
1 A acertou no comeco, no outro A errou. Entao, DADO que B abriu 98 burros,
fica 50% de chance para cada porta restante.

Repito: se B nao sabe onde estah o carro e abre 98 portas com burros, a
primeira sensacao eh "puxa! que coisa incomum acaba de acontecer! em quase
todos os shows que eu assisto, B abre a porta do carro!"; em seguida, "50%
para cada uma das portas restantes".

Abraco,
   Ralph
2011/8/31 Francisco Barreto 

> Se o sujeito B agir conforme o caso clássico, para n portas, as chances do
> sujeito A aumentam de 1/n para 1 - 1/n (as chances de A errar na primeira
> escolha de porta). Nas vezes em que A errar na primeira, trocar de porta
> levará A ao carro. Se acertar de primeira, bem, é claro que trocar não
> ganha.
> Agora, se B não souber onde está o carro e começar a abrir portas que não
> sejam a escolhida por A até restarem 2 portas fechadas, para A tanto faz
> trocar, pela mesma razão: cometer um erro e trocar de porta não lhe
> garantirá um carro. Esta última parte ainda não é muito clara pra mim.
>
> Em 31 de agosto de 2011 21:04, Ralph Teixeira escreveu:
>
> Oi, Douglas. Vamos lah.
>> 2011/8/31 
>>
>>> **
>>>
>>> Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão:
>>>
>>> 1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
>>> burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas,
>>> sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a
>>> probabilidade de que na outra ele encontre o carro?
>>>
>>
>> Olha, do jeito que voce enunciou o problema, nao faz sentido. Como assim
>> "na outra" -- ainda ha 2 portas fechadas, neh? Do jeito que voce enunciou, a
>> resposta eh 50% para cada uma das duas portas restantes (pressupondo que o
>> carro tinha a mesma chance de estar em qualquer porta no comeco).
>>
>> Agora, talvez voce queira o problema classico de Monty Hall, cujo
>> enunciado preciso eh assim:
>> i) 100 portas numeradas de 1 a 100, o carro tem inicialmente a mesma
>> chance de estar em qualquer uma delas;
>> ii) Um "participante" A (que nao sabe onde estah o carro) escolhe uma
>> porta, mas nao a abre;
>> iii) Um "rapaz" B abre 98 portas seguindo as regras:
>>  -- B NUNCA abre a porta que A escolhera;
>>  -- B NUNCA abre a porta do carro.
>>  -- Se B ainda assim tiver alguma escolha (o que eh raro -- soh acontece
>> se A escolheu o carro de primeira!), ele escolhe 98 portas com burros,
>> aleatoriamente, para abrir.
>> (Note que, para estas regras serem seguidas, B tem que SABER onde estah o
>> carro!)
>> iv) Neste momento, qual a chance da porta que A escolheu ter o carro? Qual
>> a chance da outra porta fechada ter o carro?
>>
>> Com este enunciado, as respostas sao 1/100 e 99/100 respectivamente. Era
>> este o problema que voce tinha em mente?
>>
>> ---///---
>>
>>
>>>  2) Num concurso de música, eistem 3 jurados, e um publico geral, e
>>> esses jurados aprovam ou não um candidato conforme a opinião do público e a
>>> tabela abaixo
>>>
>>>
>>>
>>> público geraljurado 1 /   jurado 2/  jurado 3
>>>
>>> aprova   50% 75%   80%
>>>
>>> não aprova 50% 40%25%
>>>
>>>
>>>
>>> qual a diferença entre as probabilidades de um candidato ser aprovado
>>> caso o público geral o aprove e caso o público geral não o aprove??
>>>
>>>
>>>
>> Esta tabela nao esta muito clara para mim... Vou supor que estes
>> numeros significam o seguinte:
>>
>> -- Dado um candidato aprovado pelo publico; ele tem 50% de chance de ser
>> aprovado pelo jurado 1, 75% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e 80%
>> de chance de ser aprovado pelo jurado 3.
>> -- Dado um candidato nao aprovado pelo publico, ele tem 50% de chance de
>> ser aprovado pelo jurado 1, 40% de c

Re: [obm-l] Probabilidade

[Francisco Barreto]

não faz sentido o que eu escrevi ao final, quando B não sabe onde o carro
está.

Em 31 de agosto de 2011 21:59, Francisco Barreto
escreveu:

> Se o sujeito B agir conforme o caso clássico, para n portas, as chances do
> sujeito A aumentam de 1/n para 1 - 1/n (as chances de A errar na primeira
> escolha de porta). Nas vezes em que A errar na primeira, trocar de porta
> levará A ao carro. Se acertar de primeira, bem, é claro que trocar não
> ganha.
> Agora, se B não souber onde está o carro e começar a abrir portas que não
> sejam a escolhida por A até restarem 2 portas fechadas, para A tanto faz
> trocar, pela mesma razão: cometer um erro e trocar de porta não lhe
> garantirá um carro. Esta última parte ainda não é muito clara pra mim.
>
> Em 31 de agosto de 2011 21:04, Ralph Teixeira escreveu:
>
>> Oi, Douglas. Vamos lah.
>> 2011/8/31 
>>
>>> **
>>>
>>> Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão:
>>>
>>> 1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
>>> burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas,
>>> sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a
>>> probabilidade de que na outra ele encontre o carro?
>>>
>>
>> Olha, do jeito que voce enunciou o problema, nao faz sentido. Como assim
>> "na outra" -- ainda ha 2 portas fechadas, neh? Do jeito que voce enunciou, a
>> resposta eh 50% para cada uma das duas portas restantes (pressupondo que o
>> carro tinha a mesma chance de estar em qualquer porta no comeco).
>>
>> Agora, talvez voce queira o problema classico de Monty Hall, cujo
>> enunciado preciso eh assim:
>> i) 100 portas numeradas de 1 a 100, o carro tem inicialmente a mesma
>> chance de estar em qualquer uma delas;
>> ii) Um "participante" A (que nao sabe onde estah o carro) escolhe uma
>> porta, mas nao a abre;
>> iii) Um "rapaz" B abre 98 portas seguindo as regras:
>>  -- B NUNCA abre a porta que A escolhera;
>>  -- B NUNCA abre a porta do carro.
>>  -- Se B ainda assim tiver alguma escolha (o que eh raro -- soh acontece
>> se A escolheu o carro de primeira!), ele escolhe 98 portas com burros,
>> aleatoriamente, para abrir.
>> (Note que, para estas regras serem seguidas, B tem que SABER onde estah o
>> carro!)
>> iv) Neste momento, qual a chance da porta que A escolheu ter o carro? Qual
>> a chance da outra porta fechada ter o carro?
>>
>> Com este enunciado, as respostas sao 1/100 e 99/100 respectivamente. Era
>> este o problema que voce tinha em mente?
>>
>> ---///---
>>
>>
>>>  2) Num concurso de música, eistem 3 jurados, e um publico geral, e
>>> esses jurados aprovam ou não um candidato conforme a opinião do público e a
>>> tabela abaixo
>>>
>>>
>>>
>>> público geraljurado 1 /   jurado 2/  jurado 3
>>>
>>> aprova   50% 75%   80%
>>>
>>> não aprova 50% 40%25%
>>>
>>>
>>>
>>> qual a diferença entre as probabilidades de um candidato ser aprovado
>>> caso o público geral o aprove e caso o público geral não o aprove??
>>>
>>>
>>>
>> Esta tabela nao esta muito clara para mim... Vou supor que estes
>> numeros significam o seguinte:
>>
>> -- Dado um candidato aprovado pelo publico; ele tem 50% de chance de ser
>> aprovado pelo jurado 1, 75% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e 80%
>> de chance de ser aprovado pelo jurado 3.
>> -- Dado um candidato nao aprovado pelo publico, ele tem 50% de chance de
>> ser aprovado pelo jurado 1, 40% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e
>> 25% de chance de ser aprovado pelo jurado 3.
>>
>> A outra coisa que nao estah clara: o que eh necessario para um candidato
>> ser "aprovado"? Unanimidade, ou maioria?
>>
>> Entao, vou fazer as seguintes hipoteses adicionais:
>>  i) O candidato eh aprovado se pelo menos 2 dos jurados o aprovam, e eh
>> soh. O voto do publico nao conta diretamente (mesmo que, indiretamente, o
>> publico afete a decisao dos jurados)
>> ii) Outra hipotese que se faz necessaria: vou supor que, apos o publico
>> ter votado, as decisoes dos jurados sao independentes entre si. Note que
>> esta hipotese eh sutil, e usualmente nao verdadeira! Usualmente, se o
>> candidato eh bom, ele tem uma maior chance de ser aprovado; entao, o fato de
>> que o jurado 2 aprovou eh uma indicacao de que o candidato eh bom, o que
>> afeta a probabilidade do jurado 3 aprova-lo! Entao a gente precisaria de
>> varias outras probabilidades condicionais para terminar o problema... A
>> hipotese de independencia eh como se os jurados NAO olhassem para o
>> candidato, nem uns para os outros; por assim dizer, eles veem a reacao do
>> publico, e jogam uma moeda (enviesada) para decidir se aprovam ou nao o
>> candidato.
>>
>> Bom, entao, vou usar J1 para indicar o evento "Jurado 1 APROVA" (idem para
>> J2 e J3):
>>
>> -- Se o publico aprova, a probabilidade de pelo menos 2 jurados aprovarem
>> o candidato eh:
>> p(J1 e J2) + p(J2 e J3) + p(J1 e J3) - 2 p(J1 e J2 e J3) =
>> (0.5)(0.75)+(0.75)(0.80)+(0.5)(0.8)-2(0.5)(0.75)(0.8)=7

Re: [obm-l] Probabilidade

[Francisco Barreto]

Se o sujeito B agir conforme o caso clássico, para n portas, as chances do
sujeito A aumentam de 1/n para 1 - 1/n (as chances de A errar na primeira
escolha de porta). Nas vezes em que A errar na primeira, trocar de porta
levará A ao carro. Se acertar de primeira, bem, é claro que trocar não
ganha.
Agora, se B não souber onde está o carro e começar a abrir portas que não
sejam a escolhida por A até restarem 2 portas fechadas, para A tanto faz
trocar, pela mesma razão: cometer um erro e trocar de porta não lhe
garantirá um carro. Esta última parte ainda não é muito clara pra mim.

Em 31 de agosto de 2011 21:04, Ralph Teixeira  escreveu:

> Oi, Douglas. Vamos lah.
> 2011/8/31 
>
>> **
>>
>> Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão:
>>
>> 1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
>> burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas,
>> sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a
>> probabilidade de que na outra ele encontre o carro?
>>
>
> Olha, do jeito que voce enunciou o problema, nao faz sentido. Como assim
> "na outra" -- ainda ha 2 portas fechadas, neh? Do jeito que voce enunciou, a
> resposta eh 50% para cada uma das duas portas restantes (pressupondo que o
> carro tinha a mesma chance de estar em qualquer porta no comeco).
>
> Agora, talvez voce queira o problema classico de Monty Hall, cujo
> enunciado preciso eh assim:
> i) 100 portas numeradas de 1 a 100, o carro tem inicialmente a mesma chance
> de estar em qualquer uma delas;
> ii) Um "participante" A (que nao sabe onde estah o carro) escolhe uma
> porta, mas nao a abre;
> iii) Um "rapaz" B abre 98 portas seguindo as regras:
>  -- B NUNCA abre a porta que A escolhera;
>  -- B NUNCA abre a porta do carro.
>  -- Se B ainda assim tiver alguma escolha (o que eh raro -- soh acontece se
> A escolheu o carro de primeira!), ele escolhe 98 portas com burros,
> aleatoriamente, para abrir.
> (Note que, para estas regras serem seguidas, B tem que SABER onde estah o
> carro!)
> iv) Neste momento, qual a chance da porta que A escolheu ter o carro? Qual
> a chance da outra porta fechada ter o carro?
>
> Com este enunciado, as respostas sao 1/100 e 99/100 respectivamente. Era
> este o problema que voce tinha em mente?
>
> ---///---
>
>
>>  2) Num concurso de música, eistem 3 jurados, e um publico geral, e esses
>> jurados aprovam ou não um candidato conforme a opinião do público e a tabela
>> abaixo
>>
>>
>>
>> público geraljurado 1 /   jurado 2/  jurado 3
>>
>> aprova   50% 75%   80%
>>
>> não aprova 50% 40%25%
>>
>>
>>
>> qual a diferença entre as probabilidades de um candidato ser aprovado caso
>> o público geral o aprove e caso o público geral não o aprove??
>>
>>
>>
> Esta tabela nao esta muito clara para mim... Vou supor que estes
> numeros significam o seguinte:
>
> -- Dado um candidato aprovado pelo publico; ele tem 50% de chance de ser
> aprovado pelo jurado 1, 75% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e 80%
> de chance de ser aprovado pelo jurado 3.
> -- Dado um candidato nao aprovado pelo publico, ele tem 50% de chance de
> ser aprovado pelo jurado 1, 40% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e
> 25% de chance de ser aprovado pelo jurado 3.
>
> A outra coisa que nao estah clara: o que eh necessario para um candidato
> ser "aprovado"? Unanimidade, ou maioria?
>
> Entao, vou fazer as seguintes hipoteses adicionais:
>  i) O candidato eh aprovado se pelo menos 2 dos jurados o aprovam, e eh
> soh. O voto do publico nao conta diretamente (mesmo que, indiretamente, o
> publico afete a decisao dos jurados)
> ii) Outra hipotese que se faz necessaria: vou supor que, apos o publico ter
> votado, as decisoes dos jurados sao independentes entre si. Note que esta
> hipotese eh sutil, e usualmente nao verdadeira! Usualmente, se o candidato
> eh bom, ele tem uma maior chance de ser aprovado; entao, o fato de que o
> jurado 2 aprovou eh uma indicacao de que o candidato eh bom, o que afeta a
> probabilidade do jurado 3 aprova-lo! Entao a gente precisaria de varias
> outras probabilidades condicionais para terminar o problema... A hipotese de
> independencia eh como se os jurados NAO olhassem para o candidato, nem uns
> para os outros; por assim dizer, eles veem a reacao do publico, e jogam uma
> moeda (enviesada) para decidir se aprovam ou nao o candidato.
>
> Bom, entao, vou usar J1 para indicar o evento "Jurado 1 APROVA" (idem para
> J2 e J3):
>
> -- Se o publico aprova, a probabilidade de pelo menos 2 jurados aprovarem o
> candidato eh:
> p(J1 e J2) + p(J2 e J3) + p(J1 e J3) - 2 p(J1 e J2 e J3) =
> (0.5)(0.75)+(0.75)(0.80)+(0.5)(0.8)-2(0.5)(0.75)(0.8)=77.5%
> (O "-2" eh necessario pois, nos 3 primeiros termos, contamos 3 vezes o
> candidato que eh aprovado por todos os 3 jurados - descontamos 2 para
> conta-lo uma vez)
> (Note como eu usei fortemente a independencia de J1, J2 e J3 ao trocar "e"
> por produto

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Oi, Douglas. Vamos lah.
2011/8/31 

> **
>
> Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão:
>
> 1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
> burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas,
> sabendo que ele abriu 98 delas e em todas havia um burro, qual a
> probabilidade de que na outra ele encontre o carro?
>

Olha, do jeito que voce enunciou o problema, nao faz sentido. Como assim "na
outra" -- ainda ha 2 portas fechadas, neh? Do jeito que voce enunciou, a
resposta eh 50% para cada uma das duas portas restantes (pressupondo que o
carro tinha a mesma chance de estar em qualquer porta no comeco).

Agora, talvez voce queira o problema classico de Monty Hall, cujo
enunciado preciso eh assim:
i) 100 portas numeradas de 1 a 100, o carro tem inicialmente a mesma chance
de estar em qualquer uma delas;
ii) Um "participante" A (que nao sabe onde estah o carro) escolhe uma porta,
mas nao a abre;
iii) Um "rapaz" B abre 98 portas seguindo as regras:
 -- B NUNCA abre a porta que A escolhera;
 -- B NUNCA abre a porta do carro.
 -- Se B ainda assim tiver alguma escolha (o que eh raro -- soh acontece se
A escolheu o carro de primeira!), ele escolhe 98 portas com burros,
aleatoriamente, para abrir.
(Note que, para estas regras serem seguidas, B tem que SABER onde estah o
carro!)
iv) Neste momento, qual a chance da porta que A escolheu ter o carro? Qual a
chance da outra porta fechada ter o carro?

Com este enunciado, as respostas sao 1/100 e 99/100 respectivamente. Era
este o problema que voce tinha em mente?

---///---


> 2) Num concurso de música, eistem 3 jurados, e um publico geral, e esses
> jurados aprovam ou não um candidato conforme a opinião do público e a tabela
> abaixo
>
>
>
> público geraljurado 1 /   jurado 2/  jurado 3
>
> aprova   50% 75%   80%
>
> não aprova 50% 40%25%
>
>
>
> qual a diferença entre as probabilidades de um candidato ser aprovado caso
> o público geral o aprove e caso o público geral não o aprove??
>
>
>
Esta tabela nao esta muito clara para mim... Vou supor que estes
numeros significam o seguinte:

-- Dado um candidato aprovado pelo publico; ele tem 50% de chance de ser
aprovado pelo jurado 1, 75% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e 80%
de chance de ser aprovado pelo jurado 3.
-- Dado um candidato nao aprovado pelo publico, ele tem 50% de chance de ser
aprovado pelo jurado 1, 40% de chance de ser aprovado pelo jurado 2, e 25%
de chance de ser aprovado pelo jurado 3.

A outra coisa que nao estah clara: o que eh necessario para um candidato ser
"aprovado"? Unanimidade, ou maioria?

Entao, vou fazer as seguintes hipoteses adicionais:
i) O candidato eh aprovado se pelo menos 2 dos jurados o aprovam, e eh soh.
O voto do publico nao conta diretamente (mesmo que, indiretamente, o publico
afete a decisao dos jurados)
ii) Outra hipotese que se faz necessaria: vou supor que, apos o publico ter
votado, as decisoes dos jurados sao independentes entre si. Note que esta
hipotese eh sutil, e usualmente nao verdadeira! Usualmente, se o candidato
eh bom, ele tem uma maior chance de ser aprovado; entao, o fato de que o
jurado 2 aprovou eh uma indicacao de que o candidato eh bom, o que afeta a
probabilidade do jurado 3 aprova-lo! Entao a gente precisaria de varias
outras probabilidades condicionais para terminar o problema... A hipotese de
independencia eh como se os jurados NAO olhassem para o candidato, nem uns
para os outros; por assim dizer, eles veem a reacao do publico, e jogam uma
moeda (enviesada) para decidir se aprovam ou nao o candidato.

Bom, entao, vou usar J1 para indicar o evento "Jurado 1 APROVA" (idem para
J2 e J3):

-- Se o publico aprova, a probabilidade de pelo menos 2 jurados aprovarem o
candidato eh:
p(J1 e J2) + p(J2 e J3) + p(J1 e J3) - 2 p(J1 e J2 e J3) =
(0.5)(0.75)+(0.75)(0.80)+(0.5)(0.8)-2(0.5)(0.75)(0.8)=77.5%
(O "-2" eh necessario pois, nos 3 primeiros termos, contamos 3 vezes o
candidato que eh aprovado por todos os 3 jurados - descontamos 2 para
conta-lo uma vez)
(Note como eu usei fortemente a independencia de J1, J2 e J3 ao trocar "e"
por produtos de probabilidades)

-- Se o publico nao aprova...
Idem  = (0.5)(0.4)+(0.4)(0.25)+(0.5)(0.25)-2(0.5)(0.4)(0.25)=32.5%

Abraco,
 Ralph

Re: [obm-l] Probabilidade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi João.

2011/3/21 João Maldonado :
> Um certo coomputador realiza somente 2 operações. Somar 1 e Subtrair 1. O
> valor iniciaal é 0. Qual a probabilidade de após n operações o resultado
> voltar a ser 0
O que você quer dizer com isso? Eu vejo duas interpretações:

1) qual a probabilidade de, após n operações, estarmos em 0.
2) qual a probabilidade de, após n operações, o computador já ter
passado de volta em 0. (mas não estar necessariamente em 0!)

> , para:
>
> n = 10
Contas :) Deve dar um treco parecido com binomial, não muito
complicado de calcular. Obviamente, depende de qual interpretação você
usar.

> n -> infinito (será 100%?)
Contas também. Mas aqui eu sei qual é a resposta sem fazê-las. Somar
ou subtrair um a cada vez é um modela clássico de movimento Browniano
(mas você não precisa saber disso). Chame de X_n a operação feita na
etapa n, e S_n = soma X_i de 1 até n. O Teorema do Limite Central diz
que S_n / raiz(n) converge para a distribuição normal padrão. Assim,
P_n(Interpretação 1) -> 0 quando n tende a infinito. (Aliás, repare
que P_n(Interpretação 1) = 0 para n ímpar.

Por outro lado, P_n(Interpretação 2) -> 1, "porque" eu sei que "os
passeios aleatórios são recorrentes em dimensão 1 e 2". A idéia é
provar que P_n(nunca mais voltar ao 0) -> 0. Em dimensão 1, que é o
nosso caso, você usa a independência das operações mais o fato que a
"dispersão" do movimento é em raiz(n).

> Obrigado
> João

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

1) 6/10*3/10+4/10*2/10 = 26/100 = 26%
2) 21733/51745 = 0,42 = 42%

[]'s

Hugo.

Em 25 de novembro de 2010 23:31, elyson gabriel escreveu:

>  1) Dois tipos de vacinas foram aplicadas em uma população de tal forma que
> 60% das pessoas receberam vacina do tipo A e as 40% restantes receberam
> vacina do tipo B. Sabe-se que a vacina do tipo A fornece 70% de imunizaçao e
> a B fornece 80%. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso
> não esteja imunizada.
>
>
> 2) Muitos sistemas escolares fornecem acesso à internet para seus
> estudantes hoje em dia. Desde 1996, o acesso a internet foi facilitado a
> 21.733 escolas elementares, 7.286 escolas de nível médio e 10.682 escolas de
> nível superior. Existe nos EUA um total de 51.745 escolas elementares,
> 14.012 escolas de nível médio e 17.229 escolas de nível superior. Se voce
> escolher aleatoriamente uma escola elementar para visitar, qual é a
> probabilidade de que ela tenha acesso a internet?
>

Re: [obm-l] probabilidade

[Pedro Júnior]

Ralph, você um fenômeno (não por esta!), olha se quiser vir para a BIENAL
aqui em Joãoo Pessoa - PB ficarás aqui em casa...
Abraços
aguardo resposta!

Em 7 de outubro de 2010 19:54, Adalberto Dornelles
escreveu:

> alternativa e: 2/3
>
> Em 7 de outubro de 2010 12:59, Pedro Júnior
>  escreveu:
> > Uma cx contém duas moedas honestas e uma com duas caras. uma moeda é
> > selecionada ao acaso e lançada duas vezes. Se ocorrem duas caras, a
> > probabilidade de a moeda ter duas caras é:
> > a) 1/2
> > b) 1/3
> > c) 1/6
> > d) 1/4
> > e) 2/3
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] probabilidade

[Adalberto Dornelles]

alternativa e: 2/3

Em 7 de outubro de 2010 12:59, Pedro Júnior
 escreveu:
> Uma cx contém duas moedas honestas e uma com duas caras. uma moeda é
> selecionada ao acaso e lançada duas vezes. Se ocorrem duas caras, a
> probabilidade de a moeda ter duas caras é:
> a) 1/2
> b) 1/3
> c) 1/6
> d) 1/4
> e) 2/3

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probabilidade

[Ralph Teixeira]

Notação:

H = evento "escolheu-se a moeda honesta"
nH = evento "escolheu-se a moeda com 2 caras"
KK = evento "lançamos 2 caras"
nKK = evento "não lançamos 2 caras"

O que eu vou fazer é aplicar a fórmula de Bayes; só que, ao invés de aplicar
diretamente a fórmula e chegar rapidamente na resposta, vou fazer aos
pouquinhos. É prolixo, mas acho que dá uma ideia melhor do que está
acontecendo...

Então temos a seguinte árvore (perdoem-me meu ASCII capenga):

  Pr(H)=2/3  -- Pr(KK | H) = 1/4
/ \  Pr(nKK | H) = 3/4
\
  Pr(nH)=1/3 -- Pr(KK | nH) = 1

Em suma, há 3 hipóteses:
i) Escolher moeda honesta e obter 2 caras; probabilidade Pr(H e KK) =
2/3.1/4=1/6
ii) Escolher moeda honesta e não obter 2 caras: Pr(H e nKK) = 2/3.3/4 = 1/2
iii) Escolher moeda fajuta e obter 2 caras: Pr(nH e KK) = 1/3

Agora, sabemos que foi KK, então ocorreu (i) ou (iii), e pergunta-se a
probabilidade de ter sido (iii). A resposta é

Pr(nH | KK) = Pr(nH e KK)/Pr(KK)=(1/3)/(1/6+1/3)=2/3. (em suma,
(iii)/((i)+(iii)))

--//--

A fórmula de Bayes é um resumo de tudo isto em uma única fórmula:

Pr(nH | KK) = Pr(KK | nH).Pr(nH) / (Pr(KK | nH).Pr(nH) + Pr(KK | H).Pr(H)) =
= (1.1/3)/((1.1/3)+1/4.2/3) = 2/3.

Abraço,
   Ralph

2010/10/7 Pedro Júnior 

> Uma cx contém duas moedas honestas e uma com duas caras. uma moeda é
> selecionada ao acaso e lançada duas vezes. Se ocorrem duas caras, a
> probabilidade de a moeda ter duas caras é:
> a) 1/2
> b) 1/3
> c) 1/6
> d) 1/4
> e) 2/3
>

[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de construir o triângulo

[Adalberto Dornelles]

Olá

Esse é um problema clássico em Probabilidade, e a resposta depende
muito de como o "aleatoriamente" é definido. Em uma variação do
problema isso significa

"escolher 3 valores x, y e z aleatórios e uniformemente distribuidos
no intervalo [0,1] e verificar se os segmentos de tamanhos x, y, e z
formam um triangulo"

em outra versão isso significa

"escolher 2 valores x e y uniformemente distribuidos no intervalo
[0,1] e verificar se os segmentos de tamanhos L1 = min(x,y), L2 =
max(x,y) - min(x,y) e L3 = 1 - max(x,y) formam um triangulo"

As respostas não são iguais!

Na Revista do Professor de Matemática saiu um artigo de Nelson Tunala
sobre o problema.

TUNALA, N. Determinação de probabilidades por métodos geométricos. Revista
do Professor de Matemática, São Paulo, v. 20, p. 16.22, 1995.

WAGNER, E. Probabilidade geométrica - o problema do macarrão e um paradoxo
famoso. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v. 34, p. 28.35, 1997.

Também há alguma informação aqui:
http://www.ds.unifi.it/VL/VL_EN/buffon/buffon4.html
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml


Abraço,
Adalberto


Em 10 de setembro de 2010 19:42, Paulo  Argolo
 escreveu:
> Prezados Colegas,
>
> Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo.
>
> QUESTÃO
>
> Determinar a probabilidade de construção de um triângulo, escolhendo-se
> aleatoriamente três segmentos de reta.
>
>
> Desde já, agradeço-lhes.
> Paulo Argolo
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Probabilidade - V OBB

[João Maldonado]

Valeu Willy, 

 

Prestei OBB hoje de manhã e acho que consegui passar para a 2a fase (apesar de 
alguns errinhos toscos).

O que ainda não entendi no problema é por que os genes R e r não são achados em 
igual na natureza, seria o processo de seleção natural defendido por Darwin (em 
que os doentes têm menos chance de sobreviver), ou por que a doença pode ter 
surgido por mutação (em que por exemplo, um indivíduo que adquiriu a doença por 
mutação, passou para uma porcentagem relativamente pequena da população 
restante)?

 

FUI!
 


Date: Sat, 1 May 2010 23:47:20 -0300
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade - V OBB
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Vamos lá:
característica recessiva -- necessita de 2 genes portadores para aparecer
característica dominante -- necessita de apenas 1 gene portador para aparecer


OK, ao que interessa. O seu erro foi em considerar as probabilidades do 
genótipo do pai como 25% rr, 25% RR 50% Rr. Essas probabilidades só se 
manifestariam se os genes R e r fossem achados em igual proporção na natureza. 
Presta atenção ao que vc afirmou: que 25% da população sofre de Huntington (se 
for recessivo) ou 75% da população (se for dominante). A menos que vc esteja 
vendo House M.D., essa doença é raríssima, de modo que podemos considerar a 
proporção de doentes próxima a 0 _ aí tem que usar o bom senso mesmo. Ficamos 
então com:


Se for recessivo (a mãe é a doente sem perda de generalidade):


mãe - rr
pai - RR com p de chance, ou Rr com chance (1-p) (pois se fosse rr seria 
doente, o que estamos desprezando)
filho - Rr em p + (1-p)/2 = (1+p)/2;
 rr em (1-p)/2.


O dado do enunciado diz que rr = 1/2, concluímos que p=0. Porém se p = 0, isso 
significa que praticamente toda a população é Rr, o que faria a geração 
seguinte ser 25% rr, 50% Rr, 25% RR, o que é um absurdo, pois estamos em 
equilíbrio.


Se for dominante (a mãe é a doente sem perda de generalidade):


mãe - RR com chance p ou Rr com chance (1-p)
pai - rr (pois estamos desprezando a proporção de doentes )
filho - rr com chance (1-p)/2;
 Rr com chance p + (1-p)/2 = (1+p)/2.


Novamente o enunciado diz que Rr =1/2, o que nos dá p=0, o que nos diz que as 
pessoas que têm Huntington são praticamente todas Rr, o que não é nenhum 
absurdo (ainda bem né!)


Bom, resumindo: cuidado ao atribuir probabilidades aos eventos. E boa prova.



2010/5/1 João Maldonado 


Sei que não é o lugar certo para perguntar, me desculpe, e acho que muitas 
pessoas vão me criticar também. Mas esse problema tem um pouco haver com 
matemática, e estou DESESPERADO !
 

Vou fazer olimpíada brasileira de biologia amanhã. Pode parecer ridículo este 
tipo de problema, mas caiu na 1a fase da olimpíada o ano passado e eu nao estou 
conseguindo resolver.

Sabe-se que a doença de Huntington é autossômica dominante.
Se pede para provar isso a partir da seguinte afirmação:
É uma doença hereditária, causada por uma mutação genética,tendo o filho(a) da 
pessoa afetada 50% de probabilidades de a desenvolver. Se um descendente não 
herdar o gene da doença, não a desenvolverá nem a transmitirá à geração 
seguinte.

Acompanhem o meu raciocínio e me diagam o que está errado.
Ok, se a probabilidade é a mesma para cada sexo, ela é autossômica.
Agora vem o problema:

Ele fala que o filho da pessoa afetada tem 50% de chances de desenvolver. Vamos 
dizer que seja a mãe a afetada. O problema não disse se o pai é afetado ou não, 
teríamos de calcular todas as probabilidades.

Se a doença for recessiva:
Mãe: rr
Pai:
25% - rr
25% - RR
50% Rr
No primeiro caso temos 100% de chance de herdar a doença
No segundo temos 0%
No terceiro temos 50%
P(total) = 100%.(1/4) + 0%.(1/4) + 50%.(1/2) = 50%

Se a doença for dominante:
Mãe:
1-) (1/3) - RR
2-) (2/3) - Rr
Pai:
a-) 25% - rr
b-) 25% - RR
c-) 50% - R
No caso
1a) 100%
1b) 100%
1c) 100%
P(1) = 100%
2a) 50%
2b) 100%
2c) 75%
P(2) = 50%.(1/4) + 100%.(1/4) + 75%.(1/2) = 75%
P(total) = 250/3 = 83,3%

Olha o tamanho da conta !
Tenho certeza que não seria a resolução do problema, devo ter errado em algum 
conceito no início do problema. Quem puder me ajudar eu agradeço muitíssimo. A 
olimpíada é amanhã e o único problema que eu estou em dúvida é esse. Obrigado
 
João Victor


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Web.
  
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Re: [obm-l] Probabilidade - V OBB

[Willy George do Amaral Petrenko]

Vamos lá:
característica recessiva -- necessita de 2 genes portadores para aparecer
característica dominante -- necessita de apenas 1 gene portador para
aparecer

OK, ao que interessa. O seu erro foi em considerar as probabilidades do
genótipo do pai como 25% rr, 25% RR 50% Rr. Essas probabilidades só se
manifestariam se os genes R e r fossem achados em igual proporção na
natureza. Presta atenção ao que vc afirmou: que 25% da população sofre
de Huntington (se for recessivo) ou 75% da população (se for dominante). A
menos que vc esteja vendo House M.D., essa doença é raríssima, de modo que
podemos considerar a proporção de doentes próxima a 0 _ aí tem que usar o
bom senso mesmo. Ficamos então com:

Se for recessivo (a mãe é a doente sem perda de generalidade):

mãe - rr
pai - RR com p de chance, ou Rr com chance (1-p) (pois se fosse rr seria
doente, o que estamos desprezando)
filho - Rr em p + (1-p)/2 = (1+p)/2;
 rr em (1-p)/2.

O dado do enunciado diz que rr = 1/2, concluímos que p=0. Porém se p = 0,
isso significa que praticamente toda a população é Rr, o que faria a geração
seguinte ser 25% rr, 50% Rr, 25% RR, o que é um absurdo, pois estamos em
equilíbrio.

Se for dominante (a mãe é a doente sem perda de generalidade):

mãe - RR com chance p ou Rr com chance (1-p)
pai - rr (pois estamos desprezando a proporção de doentes )
filho - rr com chance (1-p)/2;
 Rr com chance p + (1-p)/2 = (1+p)/2.

Novamente o enunciado diz que Rr =1/2, o que nos dá p=0, o que nos diz que
as pessoas que têm Huntington são praticamente todas Rr, o que não é nenhum
absurdo (ainda bem né!)

Bom, resumindo: cuidado ao atribuir probabilidades aos eventos. E boa prova.


2010/5/1 João Maldonado 

>  Sei que não é o lugar certo para perguntar, me desculpe, e acho que muitas
> pessoas vão me criticar também. Mas esse problema tem um pouco haver com
> matemática, e estou DESESPERADO !
>
> Vou fazer olimpíada brasileira de biologia amanhã. Pode parecer ridículo
> este tipo de problema, mas caiu na 1a fase da olimpíada o ano passado e eu
> nao estou conseguindo resolver.
>
> Sabe-se que a doença de Huntington é autossômica dominante.
> Se pede para provar isso a partir da seguinte afirmação:
> É uma doença hereditária, causada por uma mutação genética,tendo o filho(a)
> da pessoa afetada 50% de probabilidades de a desenvolver. Se um descendente
> não herdar o gene da doença, não a desenvolverá nem a transmitirá à geração
> seguinte.
>
> Acompanhem o meu raciocínio e me diagam o que está errado.
> Ok, se a probabilidade é a mesma para cada sexo, ela é autossômica.
> Agora vem o problema:
>
> Ele fala que o filho da pessoa afetada tem 50% de chances de desenvolver.
> Vamos dizer que seja a mãe a afetada. O problema não disse se o pai é
> afetado ou não, teríamos de calcular todas as probabilidades.
>
> Se a doença for recessiva:
> Mãe: rr
> Pai:
> 25% - rr
> 25% - RR
> 50% Rr
> No primeiro caso temos 100% de chance de herdar a doença
> No segundo temos 0%
> No terceiro temos 50%
> P(total) = 100%.(1/4) + 0%.(1/4) + 50%.(1/2) = 50%
>
> Se a doença for dominante:
> Mãe:
> 1-) (1/3) - RR
> 2-) (2/3) - Rr
> Pai:
> a-) 25% - rr
> b-) 25% - RR
> c-) 50% - R
> No caso
> 1a) 100%
> 1b) 100%
> 1c) 100%
> P(1) = 100%
> 2a) 50%
> 2b) 100%
> 2c) 75%
> P(2) = 50%.(1/4) + 100%.(1/4) + 75%.(1/2) = 75%
> P(total) = 250/3 = 83,3%
>
> Olha o tamanho da conta !
> Tenho certeza que não seria a resolução do problema, devo ter errado em
> algum conceito no início do problema. Quem puder me ajudar eu agradeço
> muitíssimo. A olimpíada é amanhã e o único problema que eu estou em dúvida é
> esse. Obrigado
>
> João Victor
>
> --
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>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Concordo Bruno

Uma observação. O argumento NÃO É MEU. Apenas o citei em resposta ao Arthur
que indagou o porquê o gabarito seria 10/36. Eu discordei e mantive minha
resposta com os alunos de 5/32. Mas, as provas mal feitas estão aí e, pior,
são oficiais!

Abraços!

2009/10/8 Bruno França dos Reis 

> Walter, não entendi esse "possível argumento" que vc apresentou. O que quer
> dizer "então tem 5/36 no dado de A" ? "Ter no dado"?
>
>
> De qualquer forma, a questão é extremamente clara, e eu concordo com sua
> resolução, 5/32.
>
> O espaço amostral é claramente {1, ..., 6}^2 = {(1,1), (1,2), ..., (2, 1),
> (2, 2), ..., (6, 6)}, que tem 36 elementos. Todos são equiprováveis,
> admitindo-se os dados não viciados.
>
> Eliminando-se os casos que fariam A ganhar, que são no número de 4, sobram
> 32 casos, dos quais 5 fazem B ganhar. Logo, 5/32.
>
>
>
> Pois bem, além do erro na resposta, o enunciado apresenta um erro
> gramatical horroroso no uso da forma irregular do particípio passado do
> verbo ganhar.
>
> O correto seria "Qual a probabilidade de B ter *GANHADO*?"
>
> e não "qual a probabilidade de B ter ganho" conforme apresentado.
>
>
>
>
> Como eu sempre digo, acho impressionante a incapacidade de se fazer uma
> prova bem feita.
>
>
> Bruno
>
>
>
> --
> Bruno FRANÇA DOS REIS
>
> msn: brunoreis...@hotmail.com
> skype: brunoreis666
> tel: +33 (0)6 28 43 42 16
>
> http://brunoreis.com
> http://blog.brunoreis.com
>
> GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
>
> e^(pi*i)+1=0
>
>
> 2009/10/9 Walter Tadeu Nogueira da Silveira 
>
>  Um possível argumento foi esse:
>>
>>  "A jogou e não ganhou então tem 5/36 no dado de A e 5/36 no dado de
>> B=5/36+5/36=10/36"
>> Isso seria uma interseção entre os eventos? Não consigo ver isso no
>> enunciado. Vou postá-lo como está na prova:
>>
>> (Vunesp)Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam
>> que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B
>> é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a
>> probabilidade de B ter ganho?
>> a)10/36
>> b)5/32
>> c)5/36
>> d)5/35
>> e)Não se pode calcular sem saber os números sorteados
>>
>>
>> 2009/10/8 Arthur Hess 
>>
>> Ok, é consenso que essa é a resposta mais simples... Mas por que no
>>> gabarito estaria 10/36?
>>>
>>> 10/36 ou 5/32 ... um é quase o dobro do outro
>>>
>>> ps. também cheguei na resposta 5/32, mas definitivamente não sou uma
>>> fonte confiável... espero alguém mais habilitado (e disposto) p/ responder
>>> essa questão simples
>>>
>>> Arthur
>>>
>>> 2009/10/8 kaira cristina macedo 
>>>
>>>  Ola a todos!
 Eu concordo com a resposta 5/32 também assim como o Walter. Se antes
 existia 36 casos possíveis, como ñ ocorre o evevto A, cai p/ 32 a quantia 
 de
 casos possíveis, e logo a probabilidade passa a ser 5/32!

 --
 Date: Thu, 8 Oct 2009 18:30:01 -0300
 Subject: [obm-l] Probabilidade
 From: wtade...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Colegas,

 Uma questão da Vunesp sobre dois jogadores que lançam dois dados. Se der
 soma 5 A ganha, se der soma 8, B ganha. Se sabe-se que A não ganhou, qual a
 probabilidade de B ganhar?

 Bom...vi em um gabarito que a resposta seria 10/36. Discordei e
 encontrei outro gabarito com 5/32. Concordei com esse e fiz assim:

 i) evento A = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}

 São 4 casos em 36 possíveis. Logo, há 32 casos em que ele não ganha.

 ii) evento B = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)} Há 5 casos.

 Como já sei que A não ganhou, então é P(B) com espaço reduzido a 32,
 não?

 Ou seja vou olhar os casos em que B pode ganhar. 5/32

 Gostaria de opinião dos amigos.


 --
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira



 --
 Novo Internet Explorer 8: traduza com apenas um clique. Baixe agora, é
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>>>
>>>
>>
>>
>> --
>> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>> http://www.professorwaltertadeu.mat.br
>>
>>
>


-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

Re: [obm-l] Probabilidade

[Bruno França dos Reis]

Walter, não entendi esse "possível argumento" que vc apresentou. O que quer
dizer "então tem 5/36 no dado de A" ? "Ter no dado"?


De qualquer forma, a questão é extremamente clara, e eu concordo com sua
resolução, 5/32.

O espaço amostral é claramente {1, ..., 6}^2 = {(1,1), (1,2), ..., (2, 1),
(2, 2), ..., (6, 6)}, que tem 36 elementos. Todos são equiprováveis,
admitindo-se os dados não viciados.

Eliminando-se os casos que fariam A ganhar, que são no número de 4, sobram
32 casos, dos quais 5 fazem B ganhar. Logo, 5/32.



Pois bem, além do erro na resposta, o enunciado apresenta um erro gramatical
horroroso no uso da forma irregular do particípio passado do verbo ganhar.

O correto seria "Qual a probabilidade de B ter *GANHADO*?"

e não "qual a probabilidade de B ter ganho" conforme apresentado.




Como eu sempre digo, acho impressionante a incapacidade de se fazer uma
prova bem feita.


Bruno



--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

e^(pi*i)+1=0


2009/10/9 Walter Tadeu Nogueira da Silveira 

> Um possível argumento foi esse:
>
>  "A jogou e não ganhou então tem 5/36 no dado de A e 5/36 no dado de
> B=5/36+5/36=10/36"
> Isso seria uma interseção entre os eventos? Não consigo ver isso no
> enunciado. Vou postá-lo como está na prova:
>
> (Vunesp)Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que,
> se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é
> quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a
> probabilidade de B ter ganho?
> a)10/36
> b)5/32
> c)5/36
> d)5/35
> e)Não se pode calcular sem saber os números sorteados
>
>
> 2009/10/8 Arthur Hess 
>
> Ok, é consenso que essa é a resposta mais simples... Mas por que no
>> gabarito estaria 10/36?
>>
>> 10/36 ou 5/32 ... um é quase o dobro do outro
>>
>> ps. também cheguei na resposta 5/32, mas definitivamente não sou uma fonte
>> confiável... espero alguém mais habilitado (e disposto) p/ responder essa
>> questão simples
>>
>> Arthur
>>
>> 2009/10/8 kaira cristina macedo 
>>
>>  Ola a todos!
>>> Eu concordo com a resposta 5/32 também assim como o Walter. Se antes
>>> existia 36 casos possíveis, como ñ ocorre o evevto A, cai p/ 32 a quantia de
>>> casos possíveis, e logo a probabilidade passa a ser 5/32!
>>>
>>> --
>>> Date: Thu, 8 Oct 2009 18:30:01 -0300
>>> Subject: [obm-l] Probabilidade
>>> From: wtade...@gmail.com
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>
>>>
>>> Colegas,
>>>
>>> Uma questão da Vunesp sobre dois jogadores que lançam dois dados. Se der
>>> soma 5 A ganha, se der soma 8, B ganha. Se sabe-se que A não ganhou, qual a
>>> probabilidade de B ganhar?
>>>
>>> Bom...vi em um gabarito que a resposta seria 10/36. Discordei e encontrei
>>> outro gabarito com 5/32. Concordei com esse e fiz assim:
>>>
>>> i) evento A = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}
>>>
>>> São 4 casos em 36 possíveis. Logo, há 32 casos em que ele não ganha.
>>>
>>> ii) evento B = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)} Há 5 casos.
>>>
>>> Como já sei que A não ganhou, então é P(B) com espaço reduzido a 32, não?
>>>
>>> Ou seja vou olhar os casos em que B pode ganhar. 5/32
>>>
>>> Gostaria de opinião dos amigos.
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>>> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
> http://www.professorwaltertadeu.mat.br
>
>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Um possível argumento foi esse:

 "A jogou e não ganhou então tem 5/36 no dado de A e 5/36 no dado de
B=5/36+5/36=10/36"
Isso seria uma interseção entre os eventos? Não consigo ver isso no
enunciado. Vou postá-lo como está na prova:

(Vunesp)Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que,
se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é
quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a
probabilidade de B ter ganho?
a)10/36
b)5/32
c)5/36
d)5/35
e)Não se pode calcular sem saber os números sorteados


2009/10/8 Arthur Hess 

> Ok, é consenso que essa é a resposta mais simples... Mas por que no
> gabarito estaria 10/36?
>
> 10/36 ou 5/32 ... um é quase o dobro do outro
>
> ps. também cheguei na resposta 5/32, mas definitivamente não sou uma fonte
> confiável... espero alguém mais habilitado (e disposto) p/ responder essa
> questão simples
>
> Arthur
>
> 2009/10/8 kaira cristina macedo 
>
>  Ola a todos!
>> Eu concordo com a resposta 5/32 também assim como o Walter. Se antes
>> existia 36 casos possíveis, como ñ ocorre o evevto A, cai p/ 32 a quantia de
>> casos possíveis, e logo a probabilidade passa a ser 5/32!
>>
>> --
>> Date: Thu, 8 Oct 2009 18:30:01 -0300
>> Subject: [obm-l] Probabilidade
>> From: wtade...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>>
>> Colegas,
>>
>> Uma questão da Vunesp sobre dois jogadores que lançam dois dados. Se der
>> soma 5 A ganha, se der soma 8, B ganha. Se sabe-se que A não ganhou, qual a
>> probabilidade de B ganhar?
>>
>> Bom...vi em um gabarito que a resposta seria 10/36. Discordei e encontrei
>> outro gabarito com 5/32. Concordei com esse e fiz assim:
>>
>> i) evento A = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}
>>
>> São 4 casos em 36 possíveis. Logo, há 32 casos em que ele não ganha.
>>
>> ii) evento B = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)} Há 5 casos.
>>
>> Como já sei que A não ganhou, então é P(B) com espaço reduzido a 32, não?
>>
>> Ou seja vou olhar os casos em que B pode ganhar. 5/32
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>> Gostaria de opinião dos amigos.
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>> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

Re: [obm-l] Probabilidade

[Arthur Hess]

Ok, é consenso que essa é a resposta mais simples... Mas por que no gabarito
estaria 10/36?

10/36 ou 5/32 ... um é quase o dobro do outro

ps. também cheguei na resposta 5/32, mas definitivamente não sou uma fonte
confiável... espero alguém mais habilitado (e disposto) p/ responder essa
questão simples

Arthur

2009/10/8 kaira cristina macedo 

>  Ola a todos!
> Eu concordo com a resposta 5/32 também assim como o Walter. Se antes
> existia 36 casos possíveis, como ñ ocorre o evevto A, cai p/ 32 a quantia de
> casos possíveis, e logo a probabilidade passa a ser 5/32!
>
> --
> Date: Thu, 8 Oct 2009 18:30:01 -0300
> Subject: [obm-l] Probabilidade
> From: wtade...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Colegas,
>
> Uma questão da Vunesp sobre dois jogadores que lançam dois dados. Se der
> soma 5 A ganha, se der soma 8, B ganha. Se sabe-se que A não ganhou, qual a
> probabilidade de B ganhar?
>
> Bom...vi em um gabarito que a resposta seria 10/36. Discordei e encontrei
> outro gabarito com 5/32. Concordei com esse e fiz assim:
>
> i) evento A = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}
>
> São 4 casos em 36 possíveis. Logo, há 32 casos em que ele não ganha.
>
> ii) evento B = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)} Há 5 casos.
>
> Como já sei que A não ganhou, então é P(B) com espaço reduzido a 32, não?
>
> Ou seja vou olhar os casos em que B pode ganhar. 5/32
>
> Gostaria de opinião dos amigos.
>
>
> --
> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>
>
>
> --
> Novo Internet Explorer 8: traduza com apenas um clique. Baixe agora, é
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RE: [obm-l] Probabilidade

[kaira cristina macedo]

Ola a todos!
Eu concordo com a resposta 5/32 também assim como o Walter. Se antes existia 36 
casos possíveis, como ñ ocorre o evevto A, cai p/ 32 a quantia de casos 
possíveis, e logo a probabilidade passa a ser 5/32!

Date: Thu, 8 Oct 2009 18:30:01 -0300
Subject: [obm-l] Probabilidade
From: wtade...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Colegas,
 
Uma questão da Vunesp sobre dois jogadores que lançam dois dados. Se der soma 5 
A ganha, se der soma 8, B ganha. Se sabe-se que A não ganhou, qual a 
probabilidade de B ganhar?

Bom...vi em um gabarito que a resposta seria 10/36. Discordei e encontrei outro 
gabarito com 5/32. Concordei com esse e fiz assim:


i) evento A = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}

São 4 casos em 36 possíveis. Logo, há 32 casos em que ele não ganha.

ii) evento B = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)} Há 5 casos.

Como já sei que A não ganhou, então é P(B) com espaço reduzido a 32, não?


Ou seja vou olhar os casos em que B pode ganhar. 5/32

Gostaria de opinião dos amigos. 

-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira


  
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Re: [obm-l] Probabilidade

[luiz silva]

Ola Ralph,
 
Valeu pela resposta.estava loge da soluçãomuito longe ::))
 
Abs
Felipe

--- Em ter, 11/8/09, Ralph Teixeira  escreveu:


De: Ralph Teixeira 
Assunto: Re: [obm-l] Probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 11 de Agosto de 2009, 17:31


Estamos supondo que a cada movimento todos os possiveis destinos sao
igualmente provaveis, e que os movimentos sao independentes entre si,
apesar de isto nao ter sido dito explicitamente no problema.

Vou coletar as possiveis posicoes assim:

POSICAO 1: A, F, C ou D
POSICAO 2: B ou E.

Entao:

1) Se o movel estah em qualquer ponto da posicao 1, ele tem 50% de
chance de continuar na posicao 1 e 50% de chance de ir para a posicao
2 (por exemplo, de A ele tem 50% de chance de it para B e 50% de
chance de ir para F; este raciocinio vale para qualquer um dos pontos
A, F, C ou D).
2) Se o movel estah na posicao 2, ele tem 2/3 de chance de ir para a
posicao 1 e 1/3 de chance de ficar na posicao 2 (por exemplo, de B ele
pode ir para A, C ou E),

Seja p(n) a probabilidade de o movel estar na posicao 1 apos n
movimentos, Entao:

p(n+1)=p(n).1/2+(1-p(n)).2/3=2/3-p(n)/6

pois, apos n+1 movimentos, o movel chega na posicao 1 vindo de outro
ponto da posicao 1 (com 50% de chance), ou vindo de um ponto na
posicao 2 (com 2/3 de chance).

Assim, p(0)=1 (pois o movel comeca em A, na posicao 1);
p(1)=2/3-1/6=1/2; p(2)=2/3-1/12=7/12; e assim por diante. Note que
p(n) se aproxima da unica raiz de x=2/3-x/6, isto eh, de 4/7.

Assim, tomemos r(n)=p(n)-4/7 para todo n. Note que:
r(n+1)=p(n+1)-4/7=(2/3-p(n)/6)-4/7=2/3-r(n)/6-2/21-4/7=-r(n)/6

Entao os r(n) formam uma P.G. de razao -1/6; como r(0)=p(0)-3/7=4/7,
temos r(n)=(4/7).(-1/6)^n e portanto p(n)=(4/7)(1+(-1/6)^n). Enfim,
p(23)=(4/7)(1-1/6^23) que eh virtualmente 4/7.

Agora, para terminar, note que apos um numero par de movimntos seu
movel estaria em A, E ou C, e apos um numero impar de movimentos ele
tem de estar em B, D ou F. Assim, apos 23 movimentos ele tem 4/7 de
chance de estar em B ou E, mas nao pode estar em E. Entao, a
probabilidade de estar em B eh 4/7 (bom, virtualmente -- a resposta
correta eh (4/7)(1-1/6^23), se eu nao errei contas bobas.

Abraco, Ralph.

2009/8/11 luiz silva :
> Ola Pessoal,
>
> Dado dois quadrados, ABEF e BCDE. Um móvel movimenta-se somente através dos
> lados dos quadrados, do ponto em que está para os pontos vizinhos (o
> movimento é ponto a ponto). Sabendo que ele parte do ponto A, qual a
> probabilidade deste móvel parar no ponto B em seu 23o. movimento ?
>
> O que fiz até agora foi o seguinte :
>
> Considerei HD - Movimento Horizntal p/ Direita; HE - "
> "/Esquerda; VC - Movimento Vertical p/CIMA; VB - "  "/Baixo;
>
> HD + HE + VC + VB = 23
>
> Como o móvel mantém a sua "altura", então VC=VB e, como o móvel desloca-se
> uma unidade para a direita, temos que HD-HE=1. Substituindo na equação
> anterior, teremos :
>
> 2HE+1 + 2VC=23
>
> HE + VC = 11
>
> 11 - 0
> 10 - 1
> 9 -
> 8
> 7
> 6
> 5
> 4
> 2
> 1
> 0 - 11
>
> Porém, não estou conseguindo desenvolver daqui
>
> Abs
> Felipe
>
> 
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
> Celebridades - Música - Esportes

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Estamos supondo que a cada movimento todos os possiveis destinos sao
igualmente provaveis, e que os movimentos sao independentes entre si,
apesar de isto nao ter sido dito explicitamente no problema.

Vou coletar as possiveis posicoes assim:

POSICAO 1: A, F, C ou D
POSICAO 2: B ou E.

Entao:

1) Se o movel estah em qualquer ponto da posicao 1, ele tem 50% de
chance de continuar na posicao 1 e 50% de chance de ir para a posicao
2 (por exemplo, de A ele tem 50% de chance de it para B e 50% de
chance de ir para F; este raciocinio vale para qualquer um dos pontos
A, F, C ou D).
2) Se o movel estah na posicao 2, ele tem 2/3 de chance de ir para a
posicao 1 e 1/3 de chance de ficar na posicao 2 (por exemplo, de B ele
pode ir para A, C ou E),

Seja p(n) a probabilidade de o movel estar na posicao 1 apos n
movimentos, Entao:

p(n+1)=p(n).1/2+(1-p(n)).2/3=2/3-p(n)/6

pois, apos n+1 movimentos, o movel chega na posicao 1 vindo de outro
ponto da posicao 1 (com 50% de chance), ou vindo de um ponto na
posicao 2 (com 2/3 de chance).

Assim, p(0)=1 (pois o movel comeca em A, na posicao 1);
p(1)=2/3-1/6=1/2; p(2)=2/3-1/12=7/12; e assim por diante. Note que
p(n) se aproxima da unica raiz de x=2/3-x/6, isto eh, de 4/7.

Assim, tomemos r(n)=p(n)-4/7 para todo n. Note que:
r(n+1)=p(n+1)-4/7=(2/3-p(n)/6)-4/7=2/3-r(n)/6-2/21-4/7=-r(n)/6

Entao os r(n) formam uma P.G. de razao -1/6; como r(0)=p(0)-3/7=4/7,
temos r(n)=(4/7).(-1/6)^n e portanto p(n)=(4/7)(1+(-1/6)^n). Enfim,
p(23)=(4/7)(1-1/6^23) que eh virtualmente 4/7.

Agora, para terminar, note que apos um numero par de movimntos seu
movel estaria em A, E ou C, e apos um numero impar de movimentos ele
tem de estar em B, D ou F. Assim, apos 23 movimentos ele tem 4/7 de
chance de estar em B ou E, mas nao pode estar em E. Entao, a
probabilidade de estar em B eh 4/7 (bom, virtualmente -- a resposta
correta eh (4/7)(1-1/6^23), se eu nao errei contas bobas.

Abraco, Ralph.

2009/8/11 luiz silva :
> Ola Pessoal,
>
> Dado dois quadrados, ABEF e BCDE. Um móvel movimenta-se somente através dos
> lados dos quadrados, do ponto em que está para os pontos vizinhos (o
> movimento é ponto a ponto). Sabendo que ele parte do ponto A, qual a
> probabilidade deste móvel parar no ponto B em seu 23o. movimento ?
>
> O que fiz até agora foi o seguinte :
>
> Considerei HD - Movimento Horizntal p/ Direita; HE - "
> "/Esquerda; VC - Movimento Vertical p/CIMA; VB - "  "/Baixo;
>
> HD + HE + VC + VB = 23
>
> Como o móvel mantém a sua "altura", então VC=VB e, como o móvel desloca-se
> uma unidade para a direita, temos que HD-HE=1. Substituindo na equação
> anterior, teremos :
>
> 2HE+1 + 2VC=23
>
> HE + VC = 11
>
> 11 - 0
> 10 - 1
> 9 -
> 8
> 7
> 6
> 5
> 4
> 2
> 1
> 0 - 11
>
> Porém, não estou conseguindo desenvolver daqui
>
> Abs
> Felipe
>
> 
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
> Celebridades - Música - Esportes

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Probabilidade

[Vitor Paschoal]

1) Um polinômio do primeiro grau tem a forma P(x)=ax+b, pelas informações do 
enunciado temo que se x=-1 P(x)=2 e se x=2 P(x)=5 desta forma temos um sistema 
de equações:

 

 

| a(-1)+b=2

|

-

| a(2)+b=5  

|

 

Resolvendo o sistema temos que a=1  b=3

temos então que P(x)=x+3

Respostas

a)P(x)=x+3

b) Subsituindo P(x) por 3 temos que x=0

c) a ráiz de P(x) é obtida quando este tem valor igua a zero, portanto, 0=x+3 
==> x=-3

2)Um polinomio identicamente nulo, ou polinomio nulo é aquele onde para 
qualquer valor de x, resulta valor igual a zero,

temos então o seguinte sistema de equações

 

|ab - 2=0 

|

|a² - b² -3=0

-

|a + b - 3 =0

|

|2a - 5b + 1=0

 

Resolvendo o sistema temos que para que o polinomio seja identicamente nulo, 
"a" deve assumir o valor de 2 e "b" o valor de 1

 

3)A mesma situação de 2

 

| 2m - 1=0

|

- 5n - 2=0

|

| 3-2p=0

 

Resolvendo as esquações temos que m=1/2, n=2/5 e p=3/2

 

4) No problema 4 é só substituir os valores :

 

a)P(2) = 2(2)³ - 3(2)² + 2 - 1 ==> P(2)=7

 

b)Lembrando que i é a unidade imaginária, equivale a (-1)^1/2. P(i) = 
2(i)³ - 3(i)² + i - 1==> P(i)= -2i+3+i-1==> P(i)= -i+2

 

c)Para x=0 o valor resultante é aquele que não esta acompanhado do x, portanto 
-1.

P(0) = 2(0)³ - 3(0)² + (0) - 1==> P(0)=-1

 

 

Espero ter ajudado, até mais.

 

 

 

Vitor.
 

 


 


From: pelito_g...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Probabilidade
Date: Tue, 11 Aug 2009 13:12:56 +



PESSOAL RECEBI ESTÁ FOLHA PARA QUE MEO FILHO RESOLVESSE NO PERIODO DE AULAS 
SUSPENSAS DEVIDO A GRIPE SUÍNA POREM ELE ESTÁ TENDO DIFICULDADES ALGUÈM PODE ME 
AJUDAR.?
 
 
1) Um polinômio P(x), do primeiro grau, é tal que P(-1) = 2 e P(2) = 5
a)Obtenha P(x)
b)Calcule o valor numérico que P(x) assume para x = 3
c)O btenha a raiz de P(x)
 
2)Calcular a e b de modo que o polinômio P(x) = (ab - 2)x³ + (a² - b² -3)x² + 
(a + b - 3)x +(2a - 5b + 1) seja identicamente nulo.
 
3)Calcule os valores de m, n e p para os quais o polinômio P(x) = (2m - 1)x³ - 
(5n - 2)x² + (3-2p) seja identicamente nulo.
 
4)Dado o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² + x - 1, obter o valor numérico de P(x), 
para:
a)X = 2
b)x = i
c)x = 0



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RE: [obm-l] Probabilidade

[Ariel Chacão]

PESSOAL RECEBI ESTÁ FOLHA PARA QUE MEO FILHO RESOLVESSE NO PERIODO DE AULAS 
SUSPENSAS DEVIDO A GRIPE SUÍNA POREM ELE ESTÁ TENDO DIFICULDADES ALGUÈM PODE ME 
AJUDAR.?

 

 

1) Um polinômio P(x), do primeiro grau, é tal que P(-1) = 2 e P(2) = 5

a)Obtenha P(x)

b)Calcule o valor numérico que P(x) assume para x = 3

c)O btenha a raiz de P(x)

 

2)Calcular a e b de modo que o polinômio P(x) = (ab - 2)x³ + (a² - b² -3)x² + 
(a + b - 3)x +(2a - 5b + 1) seja identicamente nulo.

 

3)Calcule os valores de m, n e p para os quais o polinômio P(x) = (2m - 1)x³ - 
(5n - 2)x² + (3-2p) seja identicamente nulo.

 

4)Dado o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² + x - 1, obter o valor numérico de P(x), 
para:

a)X = 2

b)x = i

c)x = 0




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Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

1. Sim, a configuracao eh esta mesma.
2. Uso "chance" no sentido de probabilidade mesmo, direto. Se a peca
estah na casa B, a probabilidade de ela ir dali para a casa C eh 1/3,
e a probabilidade de ir para A eh 2/3.
3. Entendi do enunciado que movimentos diagonais nao valiam (entendi
"lateral" como "movimento para uma casa com um LADO em comum com esta"
entao "lateral acima" significaria apenas "para cima", de fato).

Abraco, Ralph.

2009/8/3 Bluesman :
> Olá Ralph,
>
> Muito bom, a resposta está correta. Continuo apenas com as seguintes
> dúvidas:
>
> 1) Não entendi a configuração das casas. Seria a seguinte?
>
> ABA
> BCB
> ABA
> 2) Você está usando a palavra chance em que sentido?
> Chance de ocorrência de um evento é a razão entre a probabilidade de sua
> ocorrência e a probabilidade de sua não ocorrência.
>
> 3) Os movimentos possíveis são apenas os laterais e diagonais (acima ou
> abaixo), quando possíveis? Neste caso, os cantos teriam cada um dois
> movimentos possíveis; as duas casas acima e abaixo do centro, 4 movimentos
> possíveis; o centro seis movimentos possíveis e as duas casas restantes 3
> movimentos cada?
>
> Grato de antemão e parabéns pela brilhante solução.
>
>
> - Original Message - From: "Ralph Teixeira" 
> To: 
> Sent: Monday, August 03, 2009 4:49 PM
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade
>
>
> Ha apenas 3 tipos de casas: canto (A), centro do lado (B) e o centro em si
> (C).
>
> Se a peca estah em C, ela tem 100% de chance de ir para B.
> Se a peca estah em A, ela tem 100% de chance de ir para B.
> Enfim, se a peca estah em B, ela tem 1/3 de chance de ir para C e 2/3
> de ir para A.
>
> SOLUCAO 1:
> A matriz de transicao eh portanto P=[0 1 0; 2/3 0 1/3; 0 1 0].
> Queremos calcular P^10. Voce pode diagonalizar, ou entao fazer no
> braco... Um truque eh notar que P^3=P, portanto
> P^10=P^8=P^4=...=P^2=[2/3 0 1/3; 0 1 0; 2/3 0 1/3]. Assim, a chance de
> voltar ao centro em 10 movimentos eh o numero inferior aa direita,
> 1/3.
>
> SOLUCAO 2:
> Usando a notacao acima, um trajeto serah do tipo CBABABCBABC, digamos,
> com 11 caracteres. Note que todos os caracteres de posicao impar tem
> de ser B! Afinal, de B voce TEM QUE IR para A ou C; e de A ou C voce
> TEM QUE IR para B.
>
> Entao esqueca os 9 primeiros movimentos; com certeza apos o nono
> movimento, temos que estar numa casa do tipo B, e os 9 primeiros
> movimentos nao interessam! Agora, a partir dali de B, a probabilidade
> de a proxima casa (apos o 10o movimento) ser C eh 1/3. Entao acabou,
> esta eh a resposta!
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2009/8/3 Bluesman :
>>
>> Olá,
>>
>> Alguma idéia sobre a solução do problema abaixo?
>>
>> Um tabuleiro quadrado tem nove casas. Uma peça sobre o tabuleiro pode
>> mover-se para as casas lateral esquerda, lateral direita, lateral acima ou
>> lateral abaixo, se não for obstruída em um ou dois destes movimentos
>> estando
>> sobre a borda do tabuleiro. Considere que a peça inicialmente está no
>> centro
>> do tabuleiro e é movida aleatoriamente na superfície deste. Determine a
>> probabilidade de que, após 10 movimentos, a peça esteja de volta ao
>> centro.
>>
>> Obrigado e um abraço.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade

[Bluesman]

Olá Ralph,

Muito bom, a resposta está correta. Continuo apenas com as seguintes 
dúvidas:


1) Não entendi a configuração das casas. Seria a seguinte?

ABA
BCB
ABA

2) Você está usando a palavra chance em que sentido?
Chance de ocorrência de um evento é a razão entre a probabilidade de sua 
ocorrência e a probabilidade de sua não ocorrência.


3) Os movimentos possíveis são apenas os laterais e diagonais (acima ou 
abaixo), quando possíveis? Neste caso, os cantos teriam cada um dois 
movimentos possíveis; as duas casas acima e abaixo do centro, 4 movimentos 
possíveis; o centro seis movimentos possíveis e as duas casas restantes 3 
movimentos cada?


Grato de antemão e parabéns pela brilhante solução.


- Original Message - 
From: "Ralph Teixeira" 

To: 
Sent: Monday, August 03, 2009 4:49 PM
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade


Ha apenas 3 tipos de casas: canto (A), centro do lado (B) e o centro em si 
(C).


Se a peca estah em C, ela tem 100% de chance de ir para B.
Se a peca estah em A, ela tem 100% de chance de ir para B.
Enfim, se a peca estah em B, ela tem 1/3 de chance de ir para C e 2/3
de ir para A.

SOLUCAO 1:
A matriz de transicao eh portanto P=[0 1 0; 2/3 0 1/3; 0 1 0].
Queremos calcular P^10. Voce pode diagonalizar, ou entao fazer no
braco... Um truque eh notar que P^3=P, portanto
P^10=P^8=P^4=...=P^2=[2/3 0 1/3; 0 1 0; 2/3 0 1/3]. Assim, a chance de
voltar ao centro em 10 movimentos eh o numero inferior aa direita,
1/3.

SOLUCAO 2:
Usando a notacao acima, um trajeto serah do tipo CBABABCBABC, digamos,
com 11 caracteres. Note que todos os caracteres de posicao impar tem
de ser B! Afinal, de B voce TEM QUE IR para A ou C; e de A ou C voce
TEM QUE IR para B.

Entao esqueca os 9 primeiros movimentos; com certeza apos o nono
movimento, temos que estar numa casa do tipo B, e os 9 primeiros
movimentos nao interessam! Agora, a partir dali de B, a probabilidade
de a proxima casa (apos o 10o movimento) ser C eh 1/3. Entao acabou,
esta eh a resposta!

Abraco, Ralph.

2009/8/3 Bluesman :

Olá,

Alguma idéia sobre a solução do problema abaixo?

Um tabuleiro quadrado tem nove casas. Uma peça sobre o tabuleiro pode
mover-se para as casas lateral esquerda, lateral direita, lateral acima ou
lateral abaixo, se não for obstruída em um ou dois destes movimentos 
estando
sobre a borda do tabuleiro. Considere que a peça inicialmente está no 
centro

do tabuleiro e é movida aleatoriamente na superfície deste. Determine a
probabilidade de que, após 10 movimentos, a peça esteja de volta ao 
centro.


Obrigado e um abraço.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Ha apenas 3 tipos de casas: canto (A), centro do lado (B) e o centro em si (C).

Se a peca estah em C, ela tem 100% de chance de ir para B.
Se a peca estah em A, ela tem 100% de chance de ir para B.
Enfim, se a peca estah em B, ela tem 1/3 de chance de ir para C e 2/3
de ir para A.

SOLUCAO 1:
A matriz de transicao eh portanto P=[0 1 0; 2/3 0 1/3; 0 1 0].
Queremos calcular P^10. Voce pode diagonalizar, ou entao fazer no
braco... Um truque eh notar que P^3=P, portanto
P^10=P^8=P^4=...=P^2=[2/3 0 1/3; 0 1 0; 2/3 0 1/3]. Assim, a chance de
voltar ao centro em 10 movimentos eh o numero inferior aa direita,
1/3.

SOLUCAO 2:
Usando a notacao acima, um trajeto serah do tipo CBABABCBABC, digamos,
com 11 caracteres. Note que todos os caracteres de posicao impar tem
de ser B! Afinal, de B voce TEM QUE IR para A ou C; e de A ou C voce
TEM QUE IR para B.

Entao esqueca os 9 primeiros movimentos; com certeza apos o nono
movimento, temos que estar numa casa do tipo B, e os 9 primeiros
movimentos nao interessam! Agora, a partir dali de B, a probabilidade
de a proxima casa (apos o 10o movimento) ser C eh 1/3. Entao acabou,
esta eh a resposta!

Abraco, Ralph.

2009/8/3 Bluesman :
> Olá,
>
> Alguma idéia sobre a solução do problema abaixo?
>
> Um tabuleiro quadrado tem nove casas. Uma peça sobre o tabuleiro pode
> mover-se para as casas lateral esquerda, lateral direita, lateral acima ou
> lateral abaixo, se não for obstruída em um ou dois destes movimentos estando
> sobre a borda do tabuleiro. Considere que a peça inicialmente está no centro
> do tabuleiro e é movida aleatoriamente na superfície deste. Determine a
> probabilidade de que, após 10 movimentos, a peça esteja de volta ao centro.
>
> Obrigado e um abraço.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Ralph Teixeira]

Oi, Pedro.

Sua solucao me parece clara, limpa e correta. Eu passei um tempo aqui
procurando o erro da minha, jah que eu tinha feito do jeito complicado
e nao natural (tipo "esvazie o balde e recaia no caso anterior", para
quem conhece a piada).  Levei varios minutos ateh perceber que as
nossas respostas NAO sao diferentes... :P :P :P :P

(E obrigado, eh sempre bom saber que alguem le minhas... prolixidades...)

Abraco,
   Ralph (de Bremen, onde ontem vimos o Tao, o Yoccoz, o
Bollobas, o Gowers, o
Lovasz, o Smirnov, e o Reiher, todos no palco ao mesmo tempo)

P.S.: Acho que vou colocar no meu sig "Talvez *alguem* leia isso." :)

2009/7/20 Pedro Cardoso :
>
> Sobre o problema C do Ralph, em que eu tentei por todas as informações
> necessáias,
> pra quem pegar a conversa no meio não ter que ficar adivinhando algumas
> coisas.
>
> PROBLEMA C
>
> Temos inicialmente 3 caixas,
> caixa 1 com 2 moedas de ouro (O1O2),
> caixa com 2 moedas de prata (P1P2),
> e caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
>
> Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
> que eh reposta na sua caixa (ou não, pois não faz diferença). Novamente,
> escolhe-se uma caixa ao acaso, DIFERENTE da primeira caixa, e retira-se uma
> SEGUNDA moeda. Sabendo que a primeira moeda eh de ouro, qual a chance de a
> segunda ser de ouro tambem?
>
> -
>
> Bom, no caso as possibilidades de se tirar duas moedas de ouro são:
>
> o1o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (escolho caixa 1, escolho o1; escolho caixa 2,
> escolho o3)
> o3o1 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
> o2o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
> o3o2 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
>
> Somando tudo, dá 1/3 * 1/8 * 4 = 1/6
> Daí, ainda usando as nomenclaturas do Ralph,
>
> P(OO|OX) = 1/6 / 1/2 = 1/3.
>
> Vejam aí se não errei alguma coisa.
>
> Enfim, Ralph, com a sua explicação sobre o PROBLEMA B, acho que ficou
> bem mais fácil.
>
> Aliás, só para te encorajar a continuar: eu aposto que bastante
> gente lê os e-mails que você escreve, inclusive aqueles em que você diz algo
> como
> "Talvez ninguém leia isso". Aprendi bastante coisa de combinatória com
> você. Obrigado mesmo!
>
>
>> Date: Wed, 15 Jul 2009 04:19:40 -0300
>> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
>> (adaptado)
>> From: ralp...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Oi, Claudio.
>>
>> Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo Digo
>> isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo
>> RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro,
>> qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?".
>> Ela nem retirada eh
>>
>> Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda
>> retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1
>> com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa com 2 moedas de prata (P1P2), e
>> caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
>>
>> PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
>> que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso,
>> independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda.
>> Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de
>> ouro tambem?
>> RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira
>> moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2.
>>
>> PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta.
>> RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos...
>> Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3,
>> O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas
>> vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2,
>> moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo,
>> Pr(OO)=2/9.
>> Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a
>> probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9.
>> Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3
>> de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2
>> (na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a
>> caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh se voce
>> escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo:
>> Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9
>>
>> PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste
>> caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao Deixo
>> esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>&

RE: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Pedro Cardoso]

Sobre o problema C do Ralph, em que eu tentei por todas as informações 
necessáias,
pra quem pegar a conversa no meio não ter que ficar adivinhando algumas
coisas.

PROBLEMA C 

Temos inicialmente 3 caixas, 
caixa 1 com 2 moedas de ouro (O1O2), 
caixa  com 2 moedas de prata (P1P2), 
e caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).

Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
que eh reposta na sua caixa (ou não, pois não faz diferença). Novamente, 
escolhe-se uma caixa ao acaso, DIFERENTE da primeira caixa, e retira-se uma 
SEGUNDA moeda. Sabendo que a primeira moeda eh de ouro, qual a chance de a 
segunda ser de ouro tambem?

-

Bom, no caso as possibilidades de se tirar duas moedas de ouro são:

o1o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (escolho caixa 1, escolho o1; escolho caixa 2, escolho 
o3)
o3o1 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
o2o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
o3o2 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)

Somando tudo, dá 1/3 * 1/8 * 4 = 1/6
Daí, ainda usando as nomenclaturas do Ralph,

P(OO|OX) = 1/6 / 1/2 = 1/3.

Vejam aí se não errei alguma coisa.

Enfim, Ralph, com a sua explicação sobre o PROBLEMA B, acho que ficou 
bem mais fácil. 

Aliás, só para te encorajar a continuar: eu aposto que bastante 
gente lê os e-mails que você escreve, inclusive aqueles em que você diz algo 
como
"Talvez ninguém leia isso". Aprendi bastante coisa de combinatória com
você. Obrigado mesmo!


> Date: Wed, 15 Jul 2009 04:19:40 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Oi, Claudio.
> 
> Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo Digo
> isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo
> RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro,
> qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?".
> Ela nem retirada eh
> 
> Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda
> retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1
> com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa  com 2 moedas de prata (P1P2), e
> caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
> 
> PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
> que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso,
> independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda.
> Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de
> ouro tambem?
> RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira
> moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2.
> 
> PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta.
> RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos...
> Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3,
> O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas
> vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2,
> moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo,
> Pr(OO)=2/9.
> Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a
> probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9.
> Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3
> de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2
> (na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a
> caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh  se voce
> escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo:
> Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9
> 
> PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste
> caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao Deixo
> esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3.
> 
> Abraco, Ralph.
> 
> 2009/7/14 Claudio Dias :
> > Oi, Walter.
> >
> > O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a
> > mesma caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a primeira
> > retirada era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira retirada
> > é da caixa 1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento.
> >
> > 
> > Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300
> > Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
> > (adaptado)
> > From: wtade...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Oi, Claudio
> >
> > A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual  a
> > probilidade de ser da caixa 1?".
> > Tentei fazer a árvore e saiu assim:
> >
> > Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai ouro)
> > Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro com)
> > R

Re: [obm-l] Probabilidade em dez faces

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

OI, Rogério

Pois é...vi esse problema num livro muito velhinho...mas vou tentar esboçar
meus cálculos e mando para o pessoal opinar, corrigir, sugerir, etc...

Abraços

2009/7/16 Rogerio Ponce 

> Ola'  Walter,
> conforme o enunciado, seria possivel obter-se qualquer numero de sucessos.
> Assim, sugiro deixar mais claro se seriam "pelo menos 10 sucessos" ou
> "exatamente 10 sucessos".
> De qualquer forma, me parece que a solucao dependera' de um enorme
> trabalho bracal...
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Em 16/07/09, Walter Tadeu Nogueira da Silveira
> escreveu:
>  > Colegas, estou tentando por distribuição, mas deve haver um jeito mais
> > didático...
> >
> > Abs
> >
> > Temos a seguinte situação:
> >
> > 10 dados, de 10 faces cada, serão lançados simultâneamente, afim de obter
> 10
> > sucessos. Um sucesso é determinado por um número maior ou igual a 7. Um
> > número 1, se sorteado num desses dados, anula um sucesso e, um número 10,
> > permite um novo lançamento do dado. Nos novos lançamentos, se um número 1
> > aparecer, ele não anula um sucesso mas, se um número 10 aparecer, ele
> > permite um novo lançamento.
> >
> > Ex. 1:
> >
> > ###Primeiro Lançamento:
> >
> > d10a= 3; d10b= 7; d10c= 5; d10d= 10; d10e= 10; d10f= 1; d10g= 2; d10h= 4;
> > d10i= 6; d10j= 10;
> >
> > #Análise dos resultados do primeiro lançamento:
> >
> > d10b,d,e,j= sucessos;
> >
> > d10d,e,j= sucessos que permitem novo lançamento;
> >
> > d10f = insucesso que anula 1 sucesso;
> >
> > ##Assim, no primeiro lançamento de dados temos 3 sucessos como resultado.
> >
> > ###Segundo lançamento:
> >
> > d10d> 1; d10e> 6; d10j> 10
> >
> > #Análise dos resultados do segundo lançamento:
> >
> > d10d = insucesso que não anula nenhum sucesso, pois não é mais a primeira
> > parada de dados.
> > d10j = sucesso que permite novo lançamento;
> >
> > ##Assim, com o segundo lançamento temos 4 sucessos somados.
> >
> > ###Terceiro lançamento:
> >
> > d10j> 3
> >
> > #Análise do resultado do terceiro lançamento:
> >
> > d10j = insucesso.
> >
> > ##Com o fim das jogadas, no terceiro lançamento, temos 4 sucessos
> somados.
> >
> >
> > REPETINDO A PERGUNTA:
> >
> > Com tudo isso, qual a chance de se obter 10 sucessos jogando-se,
> > inicialmente, 10 dados de 10 faces?
> >
> >
> >
> > --
> > Walter Tadeu Nogueira da Silveira
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

Re: [obm-l] Probabilidade em dez faces

[Rogerio Ponce]

Ola'  Walter,
conforme o enunciado, seria possivel obter-se qualquer numero de sucessos.
Assim, sugiro deixar mais claro se seriam "pelo menos 10 sucessos" ou
"exatamente 10 sucessos".
De qualquer forma, me parece que a solucao dependera' de um enorme
trabalho bracal...
[]'s
Rogerio Ponce


Em 16/07/09, Walter Tadeu Nogueira da Silveira escreveu:
> Colegas, estou tentando por distribuição, mas deve haver um jeito mais
> didático...
>
> Abs
>
> Temos a seguinte situação:
>
> 10 dados, de 10 faces cada, serão lançados simultâneamente, afim de obter 10
> sucessos. Um sucesso é determinado por um número maior ou igual a 7. Um
> número 1, se sorteado num desses dados, anula um sucesso e, um número 10,
> permite um novo lançamento do dado. Nos novos lançamentos, se um número 1
> aparecer, ele não anula um sucesso mas, se um número 10 aparecer, ele
> permite um novo lançamento.
>
> Ex. 1:
>
> ###Primeiro Lançamento:
>
> d10a= 3; d10b= 7; d10c= 5; d10d= 10; d10e= 10; d10f= 1; d10g= 2; d10h= 4;
> d10i= 6; d10j= 10;
>
> #Análise dos resultados do primeiro lançamento:
>
> d10b,d,e,j= sucessos;
>
> d10d,e,j= sucessos que permitem novo lançamento;
>
> d10f = insucesso que anula 1 sucesso;
>
> ##Assim, no primeiro lançamento de dados temos 3 sucessos como resultado.
>
> ###Segundo lançamento:
>
> d10d> 1; d10e> 6; d10j> 10
>
> #Análise dos resultados do segundo lançamento:
>
> d10d = insucesso que não anula nenhum sucesso, pois não é mais a primeira
> parada de dados.
> d10j = sucesso que permite novo lançamento;
>
> ##Assim, com o segundo lançamento temos 4 sucessos somados.
>
> ###Terceiro lançamento:
>
> d10j> 3
>
> #Análise do resultado do terceiro lançamento:
>
> d10j = insucesso.
>
> ##Com o fim das jogadas, no terceiro lançamento, temos 4 sucessos somados.
>
>
> REPETINDO A PERGUNTA:
>
> Com tudo isso, qual a chance de se obter 10 sucessos jogando-se,
> inicialmente, 10 dados de 10 faces?
>
>
>
> --
> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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RE: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Claudio Dias]

Caro, Ralph.



Obrigado por exaurir todos os possíveis questionamentos sobre essa questão. A
solução da minha indagação se encontra no problema B.



Como diriam no jogo do bicho. Você cercou por todos os lados. 

Gostaria de agradecer, também, a atenção prestada pelo mestre Walter. 



Um grande abraço.



Claudio Dias







> Date: Wed, 15 Jul 2009 04:19:40 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Oi, Claudio.
> 
> Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo Digo
> isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo
> RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro,
> qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?".
> Ela nem retirada eh
> 
> Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda
> retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1
> com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa  com 2 moedas de prata (P1P2), e
> caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
> 
> PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
> que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso,
> independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda.
> Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de
> ouro tambem?
> RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira
> moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2.
> 
> PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta.
> RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos...
> Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3,
> O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas
> vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2,
> moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo,
> Pr(OO)=2/9.
> Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a
> probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9.
> Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3
> de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2
> (na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a
> caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh  se voce
> escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo:
> Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9
> 
> PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste
> caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao Deixo
> esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3.
> 
> Abraco, Ralph.
> 
> 2009/7/14 Claudio Dias :
> > Oi, Walter.
> >
> > O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a
> > mesma caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a primeira
> > retirada era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira retirada
> > é da caixa 1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento.
> >
> > 
> > Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300
> > Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
> > (adaptado)
> > From: wtade...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Oi, Claudio
> >
> > A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual  a
> > probilidade de ser da caixa 1?".
> > Tentei fazer a árvore e saiu assim:
> >
> > Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai ouro)
> > Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro com)
> > Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro)
> >
> > P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
> > P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3
> >
> > Fiz besteira?
> >
> > Abraços
> >
> > 2009/7/14 Fabio Bernardo 
> >
> > Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...
> >
> > - Original Message -
> > From: Claudio Dias
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
> > Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)
> > Caros colegas da lista.
> >
> > Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas de
> > Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a possibilidade
> > da segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em
> > trabalhar a probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2 U
> > C

Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Ralph Teixeira]

Oi, Claudio.

Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo Digo
isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo
RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro,
qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?".
Ela nem retirada eh

Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda
retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1
com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa  com 2 moedas de prata (P1P2), e
caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).

PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso,
independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda.
Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de
ouro tambem?
RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira
moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2.

PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta.
RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos...
Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3,
O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas
vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2,
moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo,
Pr(OO)=2/9.
Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a
probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9.
Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3
de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2
(na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a
caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh  se voce
escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo:
Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9

PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste
caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao Deixo
esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3.

Abraco, Ralph.

2009/7/14 Claudio Dias :
> Oi, Walter.
>
> O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a
> mesma caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a primeira
> retirada era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira retirada
> é da caixa 1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento.
>
> 
> Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
> (adaptado)
> From: wtade...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Oi, Claudio
>
> A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual  a
> probilidade de ser da caixa 1?".
> Tentei fazer a árvore e saiu assim:
>
> Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai ouro)
> Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro com)
> Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro)
>
> P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
> P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3
>
> Fiz besteira?
>
> Abraços
>
> 2009/7/14 Fabio Bernardo 
>
> Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...
>
> - Original Message -
> From: Claudio Dias
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
> Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)
> Caros colegas da lista.
>
> Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas de
> Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a possibilidade
> da segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em
> trabalhar a probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2 U
> C3 ), ou seja, P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível?
> Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado.
>
> Desde já, agradeço a oportunidade de discussão.
>
> Claudio Dias
>
>
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RE: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Claudio Dias]

Oi, Walter.

O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a mesma 
caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a primeira retirada 
era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira retirada é da caixa 
1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento. 

Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)
From: wtade...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Oi, Claudio
 
A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual  a 
probilidade de ser da caixa 1?".
Tentei fazer a árvore e saiu assim:
 
Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai ouro)
Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro com)
Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro)
 
P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3
 
Fiz besteira?
 
Abraços


2009/7/14 Fabio Bernardo 



Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...


- Original Message - 
From: Claudio Dias 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 



Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)


Caros colegas da lista. 

Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas de 
Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a possibilidade da 
segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em trabalhar a 
probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2 U C3 ), ou seja, 
P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível?

Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado. 

Desde já, agradeço a oportunidade de discussão. 

Claudio Dias






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Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Oi, Claudio

A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual  a
probilidade de ser da caixa 1?".
Tentei fazer a árvore e saiu assim:

Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai ouro)
Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro com)
Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro)

P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3

Fiz besteira?

Abraços

2009/7/14 Fabio Bernardo 

>  Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...
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> *From:* Claudio Dias 
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
>   *Sent:* Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
> *Subject:* [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
> (adaptado)
>
> Caros colegas da lista.
>
> Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas de
> Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a possibilidade
> da segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em
> trabalhar a probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2 U
> C3 ), ou seja, P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível?
> Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado.
>
> Desde já, agradeço a oportunidade de discussão.
>
> Claudio Dias
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Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)

[Fabio Bernardo]

Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...
  - Original Message - 
  From: Claudio Dias 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
  Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado)


  Caros colegas da lista. 

  Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas de 
Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a possibilidade da 
segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em trabalhar a 
probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2 U C3 ), ou seja, 
P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível?
  Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado. 

  Desde já, agradeço a oportunidade de discussão. 

  Claudio Dias






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Re: [obm-l] Probabilidade

[Rafael Assato Ando]

Assumindo que a probabilidade de fazer aniversário em um dado mês é 1/12
qualquer que seja o mês, pra mim deu cerca de 1.9%, ou, mais exatamente,
33/12³...

2009/7/7 Pedro Cardoso 

>
> Oi, Pedro.Seria legal se você explicasse como fez.
>
> Abraços,
>
> Pedro Cardoso.
>
> --
> From: npc1...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Probabilidade
> Date: Mon, 6 Jul 2009 10:00:25 -0300
>
>  Amigos da lista, a resposta será  P=7,64% ?
>
>
>
> 1)Considere um grupo de quatro estudante do IFRN. Qual a probabilidade de
> dois deles fazerem aniversário no mesmo mês e de os outros dois
> aniversariarem em outro mesmo mês?
>
>
>
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-- 
Rafael

RE: [obm-l] Probabilidade

[Pedro Cardoso]

Oi, Pedro.Seria legal se você explicasse como fez.
Abraços,
Pedro Cardoso.

From: npc1...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Probabilidade
Date: Mon, 6 Jul 2009 10:00:25 -0300
















Amigos da lista, a resposta será
 P=7,64% ?

 

1)Considere um grupo de quatro estudante do
IFRN. Qual a probabilidade de dois deles fazerem aniversário no mesmo mês e de
os outros dois aniversariarem em outro mesmo mês?

 


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Re: [obm-l] Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 21:19, Marcus < marcusaureli...@globo.com > escreveu:














Alguém poderia me ajudar nessa
questão caiu numa prova que fiz recentemente.

 

Uma certa pesquisa feita com
mulheres brasileira constatou que 75% das brasileiras consideram as refeições
muito importante para reunir a família, 89% consideram as refeições muito
importante para falar com os maridos e 93%  para falar com os filhos.  Admita
que todas as brasileiras que consideram as refeições muito importantes para
reunir a família também as considerem o melhor momento para falar com o marido.
Sendo assim, se uma brasileira que considera as refeições o melhor momento para
falar com o marido for escolhida ao acaso, a probabilidade de que ela também as
considere muito importantes para reunir a família será de, aproximadamente,








=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria

[Ralph Teixeira]

Eh verdade, acho que a sua interpretacao de "rodada" eh mais razoavel
do que a minha... Com a sua interpretacao:

Pr(J2)=5^3/6^4
Pr(J)=5/11 (esta nao muda)

Entao Pr(J2|J)=11.5^2/6^4=275/1296, que nem voce disse.

Abraco,
Ralph

2009/3/19 Pedro Cardoso :
> Oi, Ralph.
>
> Eu acho que uma rodada consiste em Maria e João jogarem.
> Logo, Pr(J2) = Pr({xx x6}) = 5/6^4.
>
> No resto, nossas respostas estão iguais.
>
> Abraços,
>
> Pedro.
>
>> Date: Thu, 19 Mar 2009 19:36:41 -0300
>> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria
>> From: ralp...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Olá a todos.
>>
>> Notação: "x" significa um número diferente de 6; "6" significa 6
>> mesmo. Vou denotar a seqüências de lances de Maria e João, na ordem.
>> Assim, se eu escrevo xx xx xx x6, isto significa que Maria e João se
>> alternaram 3 vezes lançando números que não são 6, então Maria lançou
>> outro número diferente de 6 e, finalmente, João ganhou tirando 6.
>>
>> Uma maneira de descrever o espaço amostral deste jogo é:
>>
>> U={6,x6,xx6,xxx6,6,...}
>>
>> cujas probabilidades são, respectivamente, 1/6, 5/6.1/6=5/36,
>> 5/6.5/6.1/6=25/216, e assim por diante (estou supondo dado justo e
>> lançamentos independentes, que é a hipótese mais razoável já que
>> ninguém disse nada a este respeito; note que estes números formam uma
>> PG de razão 5/6 e soma 1 -- a soma ser 1 é um bom sinal!).
>>
>> Seja J o evento "João ganhou" e J2 o evento "João ganhou na 2a rodada"
>> (de fato, note que J2={x6}). A pergunta é uma probabilidade
>> condicional: quanto vale Pr(J2|J)?
>>
>> Bom, Pr(J2|J)=Pr(J2 e J)/Pr(J)=Pr(J2)/Pr(J) (pois J2 está contido em
>> J, então "J2 e J" é o mesmo que "J2").
>>
>> Agora Pr(J2)=Pr({x6})=5/36,
>> enquanto Pr(J)=Pr(x2)+Pr(xxx2)+Pr(x2)+...=
>> =5/36+5/36.25/36+5/36.25/36.25/36+...=5/36.1/(1-25/36) =5/11 (usei que
>> isto é a soma dos termos de uma PG infinita, de razão 25/36).
>>
>> Assim, Pr(J2|J)=(5/36)/(5/11)=11/36. Esta é a resposta. Bom, eu acho
>> -- vou deixar a galera ver se eu errei alguma bobagem no meio do
>> caminho.
>>
>> Abraço,
>> Ralph
>>
>> 2009/3/18 Filipe Junqueira :
>> > Eis o aqui o jogo.
>> >
>> >
>> >
>> > Joao e Maria jogam um jogo de dados. Ganha quem tirar um “6” primeiro.
>> >
>> > Exemplo:
>> >
>> >
>> >
>> > Maria joga: tira 4
>> >
>> > Joao joga: tira 3
>> >
>> > Conclusao ninguém ganha
>> >
>> > Maria joga: tira 6
>> >
>> > Conclusao: Ganhou
>> >
>> >
>> >
>> > Com um dado apenas. Sabendo que Maria comeca jogando o dado na primeira
>> > rodada e que João ganha o jogo.
>> >
>> > Qual a probabilidade de João ter tirado um 6 na segunda rodada!?
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Obrigado pessoal!
>> >
>> >
>> >
>> > Obs: Eu só sei que a resposta não é 5/36 !
>> >
>> >
>> >
>> >
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>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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RE: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria

[Pedro Cardoso]

Oi, Ralph.

 

Eu acho que uma rodada consiste em Maria e João jogarem.

Logo, Pr(J2) = Pr({xx x6}) = 5/6^4.

 

No resto, nossas respostas estão iguais.

 

Abraços,

 

Pedro.
 
> Date: Thu, 19 Mar 2009 19:36:41 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Olá a todos.
> 
> Notação: "x" significa um número diferente de 6; "6" significa 6
> mesmo. Vou denotar a seqüências de lances de Maria e João, na ordem.
> Assim, se eu escrevo xx xx xx x6, isto significa que Maria e João se
> alternaram 3 vezes lançando números que não são 6, então Maria lançou
> outro número diferente de 6 e, finalmente, João ganhou tirando 6.
> 
> Uma maneira de descrever o espaço amostral deste jogo é:
> 
> U={6,x6,xx6,xxx6,6,...}
> 
> cujas probabilidades são, respectivamente, 1/6, 5/6.1/6=5/36,
> 5/6.5/6.1/6=25/216, e assim por diante (estou supondo dado justo e
> lançamentos independentes, que é a hipótese mais razoável já que
> ninguém disse nada a este respeito; note que estes números formam uma
> PG de razão 5/6 e soma 1 -- a soma ser 1 é um bom sinal!).
> 
> Seja J o evento "João ganhou" e J2 o evento "João ganhou na 2a rodada"
> (de fato, note que J2={x6}). A pergunta é uma probabilidade
> condicional: quanto vale Pr(J2|J)?
> 
> Bom, Pr(J2|J)=Pr(J2 e J)/Pr(J)=Pr(J2)/Pr(J) (pois J2 está contido em
> J, então "J2 e J" é o mesmo que "J2").
> 
> Agora Pr(J2)=Pr({x6})=5/36,
> enquanto Pr(J)=Pr(x2)+Pr(xxx2)+Pr(x2)+...=
> =5/36+5/36.25/36+5/36.25/36.25/36+...=5/36.1/(1-25/36) =5/11 (usei que
> isto é a soma dos termos de uma PG infinita, de razão 25/36).
> 
> Assim, Pr(J2|J)=(5/36)/(5/11)=11/36. Esta é a resposta. Bom, eu acho
> -- vou deixar a galera ver se eu errei alguma bobagem no meio do
> caminho.
> 
> Abraço,
> Ralph
> 
> 2009/3/18 Filipe Junqueira :
> > Eis o aqui o jogo.
> >
> >
> >
> > Joao e Maria jogam um jogo de dados. Ganha quem tirar um “6” primeiro.
> >
> > Exemplo:
> >
> >
> >
> > Maria joga: tira 4
> >
> > Joao joga: tira 3
> >
> > Conclusao ninguém ganha
> >
> > Maria joga: tira 6
> >
> > Conclusao: Ganhou
> >
> >
> >
> > Com um dado apenas. Sabendo que Maria comeca jogando o dado na primeira
> > rodada e que João ganha o jogo.
> >
> > Qual a probabilidade de João ter tirado um 6 na segunda rodada!?
> >
> >
> >
> >
> >
> > Obrigado pessoal!
> >
> >
> >
> > Obs: Eu só sei que a resposta não é 5/36 !
> >
> >
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Re: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria

[Ralph Teixeira]

Olá a todos.

Notação: "x" significa um número diferente de 6; "6" significa 6
mesmo. Vou denotar a seqüências de lances de Maria e João, na ordem.
Assim, se eu escrevo xx xx xx x6, isto significa que Maria e João se
alternaram 3 vezes lançando números que não são 6, então Maria lançou
outro número diferente de 6 e, finalmente, João ganhou tirando 6.

Uma maneira de descrever o espaço amostral deste jogo é:

U={6,x6,xx6,xxx6,6,...}

cujas probabilidades são, respectivamente, 1/6, 5/6.1/6=5/36,
5/6.5/6.1/6=25/216, e assim por diante (estou supondo dado justo e
lançamentos independentes, que é a hipótese mais razoável já que
ninguém disse nada a este respeito; note que estes números formam uma
PG de razão 5/6 e soma 1 -- a soma ser 1 é um bom sinal!).

Seja J o evento "João ganhou" e J2 o evento "João ganhou na 2a rodada"
(de fato, note que J2={x6}). A pergunta é uma probabilidade
condicional: quanto vale Pr(J2|J)?

Bom, Pr(J2|J)=Pr(J2 e J)/Pr(J)=Pr(J2)/Pr(J) (pois J2 está contido em
J, então "J2 e J" é o mesmo que "J2").

Agora Pr(J2)=Pr({x6})=5/36,
enquanto Pr(J)=Pr(x2)+Pr(xxx2)+Pr(x2)+...=
=5/36+5/36.25/36+5/36.25/36.25/36+...=5/36.1/(1-25/36) =5/11 (usei que
isto é a soma dos termos de uma PG infinita, de razão 25/36).

Assim, Pr(J2|J)=(5/36)/(5/11)=11/36. Esta é a resposta. Bom, eu acho
-- vou deixar a galera ver se eu errei alguma bobagem no meio do
caminho.

Abraço,
   Ralph

2009/3/18 Filipe Junqueira :
> Eis o aqui o jogo.
>
>
>
> Joao e Maria jogam um jogo de dados. Ganha quem tirar um “6” primeiro.
>
> Exemplo:
>
>
>
> Maria joga: tira 4
>
> Joao joga: tira 3
>
> Conclusao ninguém ganha
>
> Maria joga: tira 6
>
> Conclusao: Ganhou
>
>
>
> Com um dado apenas. Sabendo que Maria comeca jogando o dado na primeira
> rodada e que João ganha o jogo.
>
> Qual a probabilidade de João ter tirado um 6 na segunda rodada!?
>
>
>
>
>
> Obrigado pessoal!
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> Obs: Eu só sei que a resposta não é 5/36 !
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RE: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria

[Vitor Paschoal]

 Cara, eu posso estar redondamente enganado e se eu estiver me corrija, mas 
tipo, se o cara ganhou o jogo não seria a probabilidade de ele ter tirado um 6 
em qualquer rodada, que dá 1/6? eu não tenho certeza e deve estar errado.


From: filipejunque...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria
Date: Wed, 18 Mar 2009 21:54:16 -0300





Eis o aqui o jogo.
 
Joao e Maria jogam um jogo de dados. Ganha quem tirar um “6” primeiro.
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Maria joga: tira 4
Joao joga: tira 3
Conclusao ninguém ganha
Maria joga: tira 6 
Conclusao: Ganhou
 
Com um dado apenas. Sabendo que Maria comeca jogando o dado na primeira rodada 
e que João ganha o jogo. 
Qual a probabilidade de João ter tirado um 6 na segunda rodada!?
 
 
Obrigado pessoal!
 
Obs: Eu só sei que a resposta não é 5/36 !
 
 
 
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RE: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria

[Pedro Cardoso]

Oi, Filipe. Eu saí fazendo coisas que nunca fiz, então talvez esteja errado.

 

Vamos torcer pra que não esteja e combinar umas notações:

 

A é o evento "João vence"

B é o evento "João tira 6 na segunda rodada"

P(evento) é "a chance de 'evento' acontecer"

(A inter B) é "a intersecção dos eventos 'A' e 'B' "
 

Esse é um problema de probabilidade condicional - devemos calcular a chance de 
B acontecer, dado que A aconteceu.

Queromos, em notação matemática, P(B|A).

 

Por definição, P(B|A) = P(A inter B) / P(A)[i]

 

Dá um nó na cabeça ficar pensando na chance de João ter tirado 6 na segunda 
rodada, dado que ele venceu. O contrário, a chance de João ter vencido dado que 
ele tirou 6 na segunda rodada, é bem mais fácil (nesse caso, é banal, porque 
tirar 6 na segunda rodada é simplesmente vencer). Assim, 

 

P(A|B) = 1.

Mas P(A|B) = P(A inter B)/P(B)[ii]

 

Fazendo [i]/[ii], e rearrumando as coisas, 

 

P(B|A) = P(A|B)*P(A) / P(B)

 

P(A|B) = 1 (afinal, se o João tira 6 na segunda rodada, então ele vence o jogo)

P(B) = P(maria não tira 6)*P(João não tira 6)*P(Maria não tira 6)*P(João tira 
6) = 5^3/6^4

 

Agora vem P(A).

Bem, seja C a chance que a Maria tem de vencer.

Se ela não vence na primeira rodada, agora é o João que tem chance C de vencer.

 

P(joão vence)  = 5/6 * C

P(joão vence) + P(Maria vence) = C*5/6 + C = 1 .:. C = 6/11.

P(A) = 6/11

 

Assim, finalmente,  P(B|A) = P(A|B) P(A) / P(B) = (1)*(5^3/6^4) / (5/11) = 
25*11/6^4.

 

Isso dá aproximadamente 21,2%. Achei meio alto, Filipe!

 

Abraços,

 

Pedro Lazéra Cardoso

 

 

 


From: filipejunque...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Probabilidade - Joao e Maria
Date: Wed, 18 Mar 2009 21:54:16 -0300





Eis o aqui o jogo.
 
Joao e Maria jogam um jogo de dados. Ganha quem tirar um “6” primeiro.
Exemplo:
 
Maria joga: tira 4
Joao joga: tira 3
Conclusao ninguém ganha
Maria joga: tira 6 
Conclusao: Ganhou
 
Com um dado apenas. Sabendo que Maria comeca jogando o dado na primeira rodada 
e que João ganha o jogo. 
Qual a probabilidade de João ter tirado um 6 na segunda rodada!?
 
 
Obrigado pessoal!
 
Obs: Eu só sei que a resposta não é 5/36 !
 
 
 
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Re: [obm-l] probabilidade

[João Luís]

Muito interessante esse problema, mas, pensando mais detidamente, percebi o 
seguinte:

Se a amostra escolhida pelo instituto tem tamanho 4, sua probabilidade de 
acerto é C (15, 2)xC (15, 2)/C (30, 4) = 0,4023, aproximadamente.

Fiz então o cálculo para o caso em que o instituto escolha uma amostra de 
tamanho 6: C (15, 3)xC (15, 3)/C (30, 6) = 0,3487, aproximadamente; ou seja, se 
ele escolhe uma amostra de tamanho 6 ele tem menos probabilidade de acerto do 
que se ele escolher uma amostra de tamanho 4!!! Não é estranho?

Isso salta mais aos olhos se fizermos a conta para uma amostra de tamnho 26: a 
probabilidade de acerto seria C (15, 13)xC (15, 13)/C (30, 26) = C (15, 2)xC 
(15, 2)/C (30, 4) = 0,4023, já que so binomiais (combinações) do segundo membro 
são todos complementares aos seus correspondentes no primeiro.

Então, a probabilidade de acerto é a mesma, quer o tamanho da amostra seja 4 ou 
26

Algum comentário?

Um abraço a todos,

João Luís.
  - Original Message - 
  From: Márcio Pinheiro 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, December 16, 2008 6:42 PM
  Subject: Re: [obm-l] probabilidade


Principalmente quando a questão for de probabilidade ou simplesmente de 
contagem, é altamente recomendado que se tenha acesso à literalidade da questão 
(sabes disso). Esta questão é da UFPA-2005, e o texto dela é:
As últimas eleições têm surpreendido os institutos de pesquisa, 
principalmente  quando dois candidatos se encontram empatados tecnicamente. 
Tentando entender essa questão, um estudante investigou a opção de votos de 
seus colegas de classe e verificou que, dos trinta investigados, 15 votaram no 
candidato A e 15 votaram no candidato B.  Fez-se, então, a seguinte 
consideração: se um instituto de pesquisa fizesse uma sondagem, consultando 
apenas quatro alunos escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de o instituto 
acertar o resultado da eleição na sala, por meio dessa amostra, seria, de, 
aproximadamente, 

(A)  27 %  (B)  40 %  (C)  50 %  (D)  78 %  (E)  92

Agora sim: o número de modos (igualmente prováveis) de o instituto 
escolher quatro alunos é C (30, 4) - número de combinações simples de 30, 4 a 
4. O instituto acerta o resultado se, e somente se, seleciona 2 dentre os 15 
que votaram em A e 2 dentre os que votaram em B, o que pode ser feito de C (15, 
2)xC (15, 2). Assim, probabilidade pedida é de C (15, 2)xC (15, 2)/C (30, 4), o 
que dá em torno de 40%, alternativa B, portanto.

--- Em seg, 15/12/08, Jefferson Franca  
escreveu:

  De: Jefferson Franca 
  Assunto: [obm-l] probabilidade
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Segunda-feira, 15 de Dezembro de 2008, 20:12


Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que 
alguém pode me ajudar?
Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de 
votos numa pesquisa para representante dela e notou que houve um empate 
técnico, metade da turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade 
votaria no candidato B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 
alunos dessa turma, qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma 
conclusão que o aluno?
Obrigado

--- Em sex, 31/10/08, Ralph Teixeira  
escreveu:

  De: Ralph Teixeira 
  Assunto: Re: [obm-l] exercicio simples de probabilidade
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 23:58


  Para mim, estao faltando dados... Agora, se voce me disser 
que:

  i) Em cada partida, a chance de A vencer eh p;
  ii) As partidas sao independentes entre si;

  Entao (ainda nao estah claro qual eh a pergunta, entao 
apresento duas respostas):

  Pr(A vencer exatamente 4 partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2
  Pr(A vencer 4 ou mais partidas) = 
C(6,4).p^4.(1-p)^2+C(6,5).p^5.(1-p)+p^6

  Em particular, se p=50%, entao:

  Pr(A vencer exatamente 4) = 15/64 = 23.4375%
  Pr(A vencer pelo menos 4) = 11/32 = 34.375%

  Abraco,
  Ralph


  2008/10/31 Graciliano Antonio Damazo 


  Caros amigos da lista, tenho uma questao simples de 
probabilidade que resultou numa discussao na resolução da mesma numa aula de 
reforço que eu estava estagiando la vai...mas não vale 
rirrsrs(brincadeira):

  1) Dois times A e B jogam 6 partidas entre si. Qual a 
probabilidade do time A vencer 4 dessas partidas?

  Gostaria de saber como vocês interpretam essa 
questão. Muito obrigado pela atenção desde já. 




Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
novo com a sua cara

Re: [obm-l] probabilidade

[Márcio Pinheiro]

Principalmente quando a questão for de probabilidade ou simplesmente de 
contagem, é altamente recomendado que se tenha acesso à literalidade da questão 
(sabes disso). Esta questão é da UFPA-2005, e o texto dela é:
As últimas eleições têm surpreendido os institutos de pesquisa, principalmente  
quando dois candidatos se encontram empatados tecnicamente. Tentando entender 
essa questão, um estudante investigou a opção de votos de seus colegas de 
classe e verificou que, dos trinta investigados, 15 votaram no candidato A e 15 
votaram no candidato B.  Fez-se, então, a seguinte consideração: se um 
instituto de pesquisa fizesse uma sondagem, consultando apenas quatro alunos 
escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de o instituto acertar o resultado 
da eleição na sala, por meio dessa amostra, seria, de, aproximadamente, 
(A)  27 %  (B)  40 %  (C)  50 %  (D)  78 %  (E)  92
Agora sim: o número de modos (igualmente prováveis) de o instituto escolher 
quatro alunos é C (30, 4) - número de combinações simples de 30, 4 a 4. O 
instituto acerta o resultado se, e somente se, seleciona 2 dentre os 15 que 
votaram em A e 2 dentre os que votaram em B, o que pode ser feito de C (15, 
2)xC (15, 2). Assim, probabilidade pedida é de C (15, 2)xC (15, 2)/C (30, 4), o 
que dá em torno de 40%, alternativa B, portanto.

--- Em seg, 15/12/08, Jefferson Franca  escreveu:

De: Jefferson Franca 
Assunto: [obm-l] probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 15 de Dezembro de 2008, 20:12







Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me ajudar?
Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa 
pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade da 
turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no candidato 
B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos dessa turma, 
qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma conclusão que o aluno?
Obrigado

--- Em sex, 31/10/08, Ralph Teixeira  escreveu:

De: Ralph Teixeira 
Assunto: Re: [obm-l] exercicio simples de probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 23:58



Para mim, estao faltando dados... Agora, se voce me disser que:
 
i) Em cada partida, a chance de A vencer eh p;
ii) As partidas sao independentes entre si;
 
Entao (ainda nao estah claro qual eh a pergunta, entao apresento duas 
respostas):
 
Pr(A vencer exatamente 4 partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2
Pr(A vencer 4 ou mais partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2+C(6,5).p^5.(1-p)+p^6
 
Em particular, se p=50%, entao:
 
Pr(A vencer exatamente 4) = 15/64 = 23.4375%
Pr(A vencer pelo menos 4) = 11/32 = 34.375%
 
Abraco,
    Ralph


2008/10/31 Graciliano Antonio Damazo 






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numa discussao na resolução da mesma numa aula de reforço que eu estava 
estagiando la vai...mas não vale rirrsrs(brincadeira):
 
1) Dois times A e B jogam 6 partidas entre si. Qual a probabilidade do time A 
vencer 4 dessas partidas?
 
Gostaria de saber como vocês interpretam essa questão. Muito obrigado pela 
atenção desde já.



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RE: [obm-l] probabilidade

[Pedro Cardoso]

Corrigindo: o IBGE não! O Ibope, o Datafolha etc...

From: pedrolaz...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: RE: [obm-l] 
probabilidadeDate: Tue, 16 Dec 2008 13:57:35 -0200

 Oi, jeffmaths. Eu fiz assim... São n alunos votando em A, n votando em B.Foram 
escolhidos aleatoriamente 4 deles, que chamaremos de a1,a2,a3,a4. Vamos ver a 
chance de a1,a2 votarem em A; a3,a4 votarem em B.Lembrando que a chance de 
alguém votar em Fulano é ''todo mundo que vota em Fulano'' / ''todo mundo''. 
Ordem: a1, a2, a3, a4. p = n/(2n) * (n-1)/(2n-1) * n/(2n-2) * (n-1)/(2n-3)Mas 
também serve, por exemplo, (a2,a3) votando em A, (a1,a4) votando em B.É fácil 
verificar que são 6 possibilidades no total (pode até fazer no braço!). A 
resposta no final fica: 6*p = 6 * n/(2n) * (n-1)/(2n-1) * n/(2n-2) * 
(n-1)/(2n-3). Para n=2 (quatro alunos), 6p = 1, o que faz sentido. Também faz 
sentido depender de n, porque, bem, imagina o IBGE entrevistando 4 pessoasna 
campanha para presidente...

Date: Mon, 15 Dec 2008 14:12:04 -0800From: jeffma...@yahoo.com.brsubject: 
[obm-l] probabilidadeTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me ajudar?
Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa 
pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade da 
turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no candidato 
B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos dessa turma, 
qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma conclusão que o aluno?
Obrigado

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RE: [obm-l] probabilidade

[Pedro Cardoso]

 
Oi,
 
jeffmaths. Eu fiz assim...
 
São n alunos votando em A, n votando em B.
Foram escolhidos aleatoriamente 4 deles, que chamaremos de a1,a2,a3,a4.
 
Vamos ver a chance de a1,a2 votarem em A; a3,a4 votarem em B.
Lembrando que a chance de alguém votar em Fulano é ''todo mundo que vota em 
Fulano'' / ''todo mundo''.
 
Ordem: a1, a2, a3, a4.
 
p = n/(2n) * (n-1)/(2n-1) * n/(2n-2) * (n-1)/(2n-3)
Mas também serve, por exemplo, (a2,a3) votando em A, (a1,a4) votando em B.
É fácil verificar que são 6 possibilidades no total (pode até fazer no braço!).
 
A resposta no final fica: 6*p = 6 * n/(2n) * (n-1)/(2n-1) * n/(2n-2) * 
(n-1)/(2n-3).
 
Para n=2 (quatro alunos), 6p = 1, o que faz sentido. 
Também faz sentido depender de n, porque, bem, imagina o IBGE entrevistando 4 
pessoas
na campanha para presidente...



Date: Mon, 15 Dec 2008 14:12:04 -0800From: jeffma...@yahoo.com.brsubject: 
[obm-l] probabilidadeTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me ajudar?
Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa 
pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade da 
turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no candidato 
B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos dessa turma, 
qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma conclusão que o aluno?
Obrigado

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Re: [obm-l] probabilidade

[Fellipe Rossi]

Dependerá da quantidade de alunos da turma

2008/12/15 Jefferson Franca 

> Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me
> ajudar?
> Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa
> pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade
> da turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no
> candidato B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos
> dessa turma, qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma
> conclusão que o aluno?
> Obrigado
>
> --- Em *sex, 31/10/08, Ralph Teixeira * escreveu:
>
> De: Ralph Teixeira 
> Assunto: Re: [obm-l] exercicio simples de probabilidade
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 23:58
>
>  Para mim, estao faltando dados... Agora, se voce me disser que:
>
> i) Em cada partida, a chance de A vencer eh p;
> ii) As partidas sao independentes entre si;
>
> Entao (ainda nao estah claro qual eh a pergunta, entao apresento duas
> respostas):
>
> Pr(A vencer exatamente 4 partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2
> Pr(A vencer 4 ou mais partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2+C(6,5).p^5.(1-p)+p^6
>
> Em particular, se p=50%, entao:
>
> Pr(A vencer exatamente 4) = 15/64 = 23.4375%
> Pr(A vencer pelo menos 4) = 11/32 = 34.375%
>
> Abraco,
> Ralph
>
> 2008/10/31 Graciliano Antonio Damazo 
>
>>   Caros amigos da lista, tenho uma questao simples de probabilidade que
>> resultou numa discussao na resolução da mesma numa aula de reforço que eu
>> estava estagiando la vai...mas não vale rirrsrs(brincadeira):
>>
>> 1) Dois times A e B jogam 6 partidas entre si. Qual a probabilidade do
>> time A vencer 4 dessas partidas?
>>
>> Gostaria de saber como vocês interpretam essa questão. Muito obrigado pela
>> atenção desde já.
>>
>>  --
>> Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
>> novocom
>>  a sua cara @
>> ymail.com ou @rocketmail.com.
>>
>
>
> --
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> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Flavio Marques]

 Bom dia, Marcelo !
 
  Em primeiro lugar, muito obrigado pela sua atenção !
 
  Eu resolvi o problema da mesma maneira que vc fez, mas sinceramente não 
estava seguro da solução pq o fato de ele dizer que ocorreu um evento no 
instante zero me confundiu.  Agora que vc me deu a segurança que precisava.
 
  Obrigado e abraços.
 
  Flávio.

--- Em qua, 19/11/08, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Probabilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 19 de Novembro de 2008, 6:21


Olá Flávio,

P(t > 2) = P(nenhum evento ocorrer nas proximas 2 horas) = (lambda*2)^0 * 
exp(-lambda*2) / 0! = exp(-lambda*2)
como lambda = 1, temos: exp(-2)

abraços,
Salhab



2008/11/18 Flavio Marques <[EMAIL PROTECTED]>






  Boa noite, amigos.  Alguém poderia me ajudar na solução deste problema ?  
Achei a resposta, mas não estou seguro da minha solução.
 
  Suponha que acontecimentos ocorram no tempo de acordo com um processo de 
Poisson com uma taxa média de uma ocorrência por hora.  Se um acontecimento 
ocorre nesse exato instante, a probabilidade de que o próximo acontecimento só 
ocorra daqui a duas ou mais horas é igual a:
 
 a) 1 - exp (-1)
 b) 2 exp (-2)
 c) 1 - exp ( -2 )
 d) exp ( -1) - 1 
 e) exp ( -2 )
 
  O gabarito oficial é letra E.
 
  Obrigado.
 
  Flávio.



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Re: [obm-l] Probabilidade

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Flávio,

P(t > 2) = P(nenhum evento ocorrer nas proximas 2 horas) = (lambda*2)^0 *
exp(-lambda*2) / 0! = exp(-lambda*2)
como lambda = 1, temos: exp(-2)

abraços,
Salhab


2008/11/18 Flavio Marques <[EMAIL PROTECTED]>

>   Boa noite, amigos.  Alguém poderia me ajudar na solução deste problema ?
> Achei a resposta, mas não estou seguro da minha solução.
>
>   Suponha que acontecimentos ocorram no tempo de acordo com um processo de
> Poisson com uma taxa média de uma ocorrência por hora.  Se um acontecimento
> ocorre nesse exato instante, a probabilidade de que o próximo acontecimento
> só ocorra daqui a duas ou mais horas é igual a:
>
>  a) 1 - exp (-1)
>  b) 2 exp (-2)
>  c) 1 - exp ( -2 )
>  d) exp ( -1) - 1
>  e) exp ( -2 )
>
>   O gabarito oficial é letra E.
>
>   Obrigado.
>
>   Flávio.
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>

Re: [obm-l] Probabilidade - Caixa sem Troco

[luiz silva]

Ralph,
 
Valeu pela resposta.
 
abs
Felipe

--- Em ter, 21/10/08, Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

De: Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Probabilidade - Caixa sem Troco
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 21 de Outubro de 2008, 15:43



Oi, Luiz e Tarso.
 
Dêem uma olhada em:
 
http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg17532.html
 
Abraço,
 Ralph


2008/10/21 luiz silva <[EMAIL PROTECTED]>








Uma determinada atração custa R$ 5. Temos 2n pessoas em fila, sendo que n 
possuem uma nota de R$ 5 e as outras n possuem uma nota de R$ 10. Qual a 
probabilidade desta fila dar problema ? (ou seja, o caixa ficar sem troco em um 
dado momento)
 
 
Abs
Felipe.



Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara 
@ymail.com ou @rocketmail.com.



  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] Probabilidade - Caixa sem Troco

[Ralph Teixeira]

Oi, Luiz e Tarso.

Dêem uma olhada em:

http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg17532.html

Abraço,
 Ralph

2008/10/21 luiz silva <[EMAIL PROTECTED]>

>Uma determinada atração custa R$ 5. Temos 2n pessoas em fila, sendo que
> n possuem uma nota de R$ 5 e as outras n possuem uma nota de R$ 10. Qual a
> probabilidade desta fila dar problema ? (ou seja, o caixa ficar sem troco em
> um dado momento)
>
>
> Abs
> Felipe.
>
>
>  --
> Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
> novocom
>  a sua cara @
> ymail.com ou @rocketmail.com.
>

RE: [obm-l] Probabilidade!

[jose silva]

E isso aí! Gostei da explicaçao!
Valeu! Mais uma vez muito obrigado!
jccardosos



Date: Wed, 8 Oct 2008 17:30:14 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!

Argh, escrevi uma besteira! Tem um erro no meu raciocínio, no denominador 
daquela probabilidade!
 
Explico: do jeito que eu estava pensando no problema, **não interessa** de 
quantos jeitos a CEF pode sortear as bolinhas -- eu estava fingindo que eles 
**já sortearam** as r bolinhas, e a gente tem que descobrir de quantas maneiras 
EU posso fazer a minha cartelinha de maneira que EU acerte s palpites. Bom, EU 
tenho C(N,p) maneiras de fazer minha cartelinha, então o denominador é C(N,p); 
como EU tenho que escolher s das r sorteadas, e p-s das N-r não sorteadas, 
temos:
 
Prob(N,r,p,s) = C(N-r,p-s).C(r,s)/C(N,p) (agora com denominador correto!)
 
Antes que alguém reclame, existe sim uma segunda maneira de pensar, que é 
assim: eu JÁ FIZ a minha cartelinha com p palpites, e agora a CEF é que vai 
sortear r bolinhas. ELES é que tem que acertar exatamente s das MINHAS 
bolinhas. Bom, se você pensar assim, então, agora sim, eles têm, C(N,r) 
possibilidades de sorteio e este é o denominador... mas, para ELES acertarem 
exatamente s bolinhas das minhas, ELES tem que sortear s das p da minha 
cartelinha, e ELES têm que sortear as outras r-s das N-p que eu não escolhi. 
Então a probabilidade é:
 
Prob = C(p,s).C(N-p,r-s)/C(N,r)
 
É "divertido" escrever tudo em forma de fatoriais e notar que ambas as fórmulas 
são, de fato, a mesma coisa. Ler ambos os raciocínios é legal, pois eles 
mostram que os papéis de p e s são "intercambiáveis" -- há N=100 bolinhas no 
total, e você quer acertar s=7; então tanto faz você fazer uma cartelinha com 
15 e eles sortearem 10 ou você fazer uma cartelinha com 10 e eles sortearem 15, 
a chance de você acertar 7 é a mesma!
 

Para ajudar a lembrar tais fórmulas, note que a soma dos dois "primeiros 
índices" das combinações do numerador dá o "primeiro índice" da combinação do 
denominador, e o mesmo para os "segundos índices". Em suma, (N-r)+r=N e 
(p-s)+s=p na primeira fórmula, ou p+(N-p)=N e s+(r-s)=r na segunda fórmula. 
Quando eu fiz seu problema, eu conferi isso na resposta numérica (que está 
correta por acidente, pois p=r no seu problema), mas esqueci de conferir na 
minha resposta com letrinhas!
 
Abraço,
 Ralph
2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>

 Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu 
imaginava!Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil.Muito 
obrigado!jccardosos

Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!

A palavra chave para procurar no Google eh "distribuicao hipergeometrica" 
(hypergometric distribution). Funciona assim:
 
Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas 
(digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de acertar 
exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s)
 
Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar 
EXATAMENTE s, voce "tem" que escolher s das r sorteadas E "TEM" QUE ESCOLHER 
p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes). 
Entao a resposta eh:
 
Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r)  (ARGH! NÃO É r AQUI 
EMBAIXO NÃO!)
 
Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah:
 
Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ...
 
Abraco,
Ralph
 
2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>




Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta 
batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme esta 
disponivel no endereço: 
www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .  jccardosos 

Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!Jose Airton e Leandro,Foi mal.  Eu, equivocadamente, 
imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de "ALGUM dos alunos" e 
não "de UM qualquer" dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: 

José vou te quebrar o galho.
Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 
2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>: 

Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas cont

Re: [obm-l] Probabilidade!

[Ralph Teixeira]

Argh, escrevi uma besteira! Tem um erro no meu raciocínio, no denominador
daquela probabilidade!

Explico: do jeito que eu estava pensando no problema, **não interessa** de
quantos jeitos a CEF pode sortear as bolinhas -- eu estava fingindo que eles
**já sortearam** as r bolinhas, e a gente tem que descobrir de quantas
maneiras EU posso fazer a minha cartelinha de maneira que EU acerte s
palpites. Bom, EU tenho C(N,p) maneiras de fazer minha cartelinha, então o
denominador é C(N,p); como EU tenho que escolher s das r sorteadas, e p-s
das N-r não sorteadas, temos:

Prob(N,r,p,s) = C(N-r,p-s).C(r,s)/C(N,p) (agora com denominador correto!)

Antes que alguém reclame, existe sim uma segunda maneira de pensar, que é
assim: eu JÁ FIZ a minha cartelinha com p palpites, e agora a CEF é que vai
sortear r bolinhas. ELES é que tem que acertar exatamente s das MINHAS
bolinhas. Bom, se você pensar assim, então, agora sim, eles têm, C(N,r)
possibilidades de sorteio e este é o denominador... mas, para ELES
acertarem exatamente s bolinhas das minhas, ELES tem que sortear s das p da
minha cartelinha, e ELES têm que sortear as outras r-s das N-p que eu não
escolhi. Então a probabilidade é:

Prob = C(p,s).C(N-p,r-s)/C(N,r)

É "divertido" escrever tudo em forma de fatoriais e notar que ambas as
fórmulas são, de fato, a mesma coisa. Ler ambos os raciocínios é legal, pois
eles mostram que os papéis de p e s são "intercambiáveis" -- há N=100
bolinhas no total, e você quer acertar s=7; então tanto faz você fazer uma
cartelinha com 15 e eles sortearem 10 ou você fazer uma cartelinha com 10 e
eles sortearem 15, a chance de você acertar 7 é a mesma!

 Para ajudar a lembrar tais fórmulas, note que a soma dos dois "primeiros
índices" das combinações do numerador dá o "primeiro índice" da combinação
do denominador, e o mesmo para os "segundos índices". Em suma, (N-r)+r=N e
(p-s)+s=p na primeira fórmula, ou p+(N-p)=N e s+(r-s)=r na segunda fórmula.
Quando eu fiz seu problema, eu conferi isso na resposta numérica (que está
correta por acidente, pois p=r no seu problema), mas esqueci de conferir na
minha resposta com letrinhas!

Abraço,
 Ralph
2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>

>  Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu
> imaginava!
> Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil.
> Muito obrigado!
> jccardosos
>
>
> --
>
> Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade!
>
>
>  A palavra chave para procurar no Google eh "distribuicao hipergeometrica"
> (hypergometric distribution). Funciona assim:
>
> Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas
> (digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de
> acertar exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s)
>
> Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar
> EXATAMENTE s, voce "tem" que escolher s das r sorteadas E "TEM" QUE ESCOLHER
> p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes).
> Entao a resposta eh:
>
> Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r)  (ARGH! NÃO É r
> AQUI EMBAIXO NÃO!)
>
> Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah:
>
> Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ...
>
> Abraco,
> Ralph
>
> 2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>
>
>   Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao
> esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme
> esta disponivel no endereço:
> www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .
> jccardosos
>
> --
>
> Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade!
>
> Jose Airton e Leandro,
>
> Foi mal.  Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a
> probabilidade de "ALGUM dos alunos" e não "de UM qualquer" dos alunos...
> Bobeira,
> Nehab
>
> JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu:
>
> José vou te quebrar o galho.
> Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
> Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
> Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante ..
>
>
> 2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Oi, Leandro.
> Quantos alunos?
> Nehab
>
> LEANDRO L RECOVA escreveu:
>
> Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial.
>
> From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> <[EMAIL PROTECTED]>
> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> To:  
> Subject: [obm-l] Probabilidade!
> Date: Thu, 2 O

RE: [obm-l] Probabilidade!

[jose silva]

 Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu imaginava!
Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil.
Muito obrigado!
jccardosos




Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!

A palavra chave para procurar no Google eh "distribuicao hipergeometrica" 
(hypergometric distribution). Funciona assim:
 
Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas 
(digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de acertar 
exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s)
 
Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar 
EXATAMENTE s, voce "tem" que escolher s das r sorteadas E "TEM" QUE ESCOLHER 
p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes). 
Entao a resposta eh:
 
Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r)
 
Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah:
 
Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ...
 
Abraco,
Ralph
 
2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>




Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta 
batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme esta 
disponivel no endereço: 
www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .  jccardosos 


Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!Jose Airton e Leandro,Foi mal.  Eu, equivocadamente, 
imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de "ALGUM dos alunos" e 
não "de UM qualquer" dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: 

José vou te quebrar o galho.
Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 
2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>: 

Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 

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RE: [obm-l] Probabilidade!

[jose silva]

 Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu imaginava!
Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil.
Muito obrigado!
jccardosos



Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!

A palavra chave para procurar no Google eh "distribuicao hipergeometrica" 
(hypergometric distribution). Funciona assim:
 
Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas 
(digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de acertar 
exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s)
 
Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar 
EXATAMENTE s, voce "tem" que escolher s das r sorteadas E "TEM" QUE ESCOLHER 
p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes). 
Entao a resposta eh:
 
Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r)
 
Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah:
 
Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ...
 
Abraco,
Ralph
 
2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>




Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta 
batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme esta 
disponivel no endereço: 
www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .  jccardosos 


Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!Jose Airton e Leandro,Foi mal.  Eu, equivocadamente, 
imagnei que as perguntas fossem qual a probabilidade de "ALGUM dos alunos" e 
não "de UM qualquer" dos alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: 

José vou te quebrar o galho.
Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 
2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>: 

Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 

Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie 
já o seu! 


_
Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger!
http://www.amigosdomessenger.com.br/

Re: [obm-l] Probabilidade!

[Ralph Teixeira]

A palavra chave para procurar no Google eh "distribuicao hipergeometrica"
(hypergometric distribution). Funciona assim:

Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas
(digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de
acertar exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s)

Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar
EXATAMENTE s, voce "tem" que escolher s das r sorteadas E "TEM" QUE ESCOLHER
p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes).
Entao a resposta eh:

Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r)

Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah:

Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ...

Abraco,
Ralph

2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>

>   Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao
> esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme
> esta disponivel no endereço:
> www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .
> jccardosos
>
> --
>
>
> Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade!
>
> Jose Airton e Leandro,
>
> Foi mal.  Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a
> probabilidade de "ALGUM dos alunos" e não "de UM qualquer" dos alunos...
> Bobeira,
> Nehab
>
> JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu:
>
> José vou te quebrar o galho.
> Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
> Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
> Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante ..
>
>
> 2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Oi, Leandro.
> Quantos alunos?
> Nehab
>
> LEANDRO L RECOVA escreveu:
>
> Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial.
>
> From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> <[EMAIL PROTECTED]>
> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> To:  
> Subject: [obm-l] Probabilidade!
> Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 +
>
> Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de
> probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas
> marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os
> alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do
> número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números
> aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a
> retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de
> um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13
> ou 12 ou  11 números?
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
> --
> Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie
> já o seu! <http://www.amigosdomessenger.com.br/>
>
>

RE: [obm-l] Probabilidade!

[jose silva]

Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta 
batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme esta 
disponivel no endereço: 
www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .  
jccardosos 




Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!
Jose Airton e Leandro,Foi mal.  Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas 
fossem qual a probabilidade de "ALGUM dos alunos" e não "de UM qualquer" dos 
alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: 

José vou te quebrar o galho.
Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 
2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>: 

Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
_
Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger!
http://www.amigosdomessenger.com.br/

RE: [obm-l] Probabilidade!

[jose silva]

Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao esta 
batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11,  conforme esta 
disponivel no endereço: 
www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .  
jccardosos 



Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!
Jose Airton e Leandro,Foi mal.  Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas 
fossem qual a probabilidade de "ALGUM dos alunos" e não "de UM qualquer" dos 
alunos... Bobeira,Nehab JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu: 

José vou te quebrar o galho.
Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante .. 
2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>: 

Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
_
Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger!
http://www.amigosdomessenger.com.br/

Re: [obm-l] Probabilidade!

[Carlos Nehab]

Jose Airton e Leandro,

Foi mal.  Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a
probabilidade de "ALGUM dos alunos" e não "de UM qualquer" dos
alunos... Bobeira,
Nehab 

JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu:

  José vou te quebrar o galho.
  Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 =
1/3268760.
  Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
  Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante ..
  
 
  2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>:
  
Oi,
Leandro.
Quantos alunos?
Nehab

LEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a
distribuicao binomial. 
  
  From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]>

Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br

To: 

Subject: [obm-l] Probabilidade! 
Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 + 

    Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação
de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos
entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou
seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem
15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a
probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas
consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De
um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou  11 números? 
  



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
  
  
  



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade! Interessante!

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Acertar 15 : P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760
Para acertar 14: P(A) = C15,14 / C25,15
Para 13 P(A) = C15,13 / C25,15 e assim por diante até quantas você quiser
que o aluno acerte.


Em 01/10/08, jose silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>
>
>
> Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de
> probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas
> marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os
> alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do
> número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números
> aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a
> retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de
> um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13
> ou 12 ou  11 números?
>
>
>
>
>
>
>
> --
>
>
> Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos
> outros vídeos no MSN Videos! Confira já! 
>
> --
> Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
> offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o 
> seu!
>
>

Re: [obm-l] Probabilidade!

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

José vou te quebrar o galho.
Para acertar as 15:  P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante ..


2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Oi, Leandro.
> Quantos alunos?
> Nehab
>
> LEANDRO L RECOVA escreveu:
>
> Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial.
>
> From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> <[EMAIL PROTECTED]>
> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> To:  
> Subject: [obm-l] Probabilidade!
> Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 +
>
> Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de
> probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas
> marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os
> alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do
> número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números
> aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a
> retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de
> um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13
> ou 12 ou  11 números?
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade! Parece difícil, mas não e facil.

[jose silva]

Na realidade, esta questão e uma contextualização do loto facil. Confiram 
as probabilidades no endereço: 
http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp.
 




Date: Thu, 2 Oct 2008 22:18:03 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!
Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
_
Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o 
Messenger! É GRÁTIS!
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[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade! Parece difícil, mas não e facil.

[jose silva]

Na realidade, esta questão e uma contextualização do loto facil. Confiram 
as probabilidades no endereço: 
http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp.
 



Date: Thu, 2 Oct 2008 22:18:03 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!
Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
 Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
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Re: [obm-l] Probabilidade!

[Carlos Nehab]

Oi, Leandro.
Quantos alunos?
Nehab

LEANDRO L RECOVA escreveu:
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial.
  
  
  From: jose silva
<[EMAIL PROTECTED]>

Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br

To: 

Subject: [obm-l] Probabilidade!

Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 +


    Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação
de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos
entre os alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou
seja, do número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem
15 números aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a
probabilidade de após a retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas
consecutivas desta urna, de um dos estudantes acertar os 15 números? De
um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 ou  11 números?

  




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Probabilidade!

[LEANDRO L RECOVA]

Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial.





From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: 
Subject: [obm-l] Probabilidade!
Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 +





Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de 
probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas 
marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do 
número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de 
um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 
ou 12 ou  11 números?




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relacionamentos com até 6,000 fotos!

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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Ok. Ajudou muito.

Em 21/09/08, Lucas Tiago Castro Jesus <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Imagine se fosse 5 '-' e e 5 '+'. Fixando os '-' temos:
>
> _-_-_-_-_-_
>
> Note que temos 6 lugares para podermos colocar o +.
>
> Espero ter ajudado
>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Lucas Tiago Castro Jesus]

Imagine se fosse 5 '-' e e 5 '+'. Fixando os '-' temos:

_-_-_-_-_-_

Note que temos 6 lugares para podermos colocar o +.

Espero ter ajudado

Re: [obm-l] Probabilidade

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Lucas, não consegui entender como tenho que escolher 6 dentre 55 - .
se são 6+ e 54-. Você poderia dar mais essa dica?


Em 20/09/08, Lucas Tiago Castro Jesus <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Bem, creio que este exercício pode ser resolvido pelo primeiro Lema de
> Kaplansky, dado 60 números temos C(60,6) jeito de escolher os números.
> Vamos tentar calcular o número de combinações tais que não haja dois
> elementos consecutivos
> colocando sinal de  + e - nos números, + quando for escolhido, - caso
> contrário, teremos a seguitne configuração
> ++--+-+-..- (Há 60 sinais 6 deles são + e 54 são -)
> Nenhum um mais pode ficar junto, portanto um jeito de contar é ficando os -
> deixando espaço entre eles:
> _-_-_-_-_-_-_-_-_
>
> bem agora temos que escolher 6 dentre os 55 _ que é calculado como C(55,6)
>
> Logo a probabilidade é 1- C(55,6)/C(60,6)=1-(55!.54!)/(49!.60!) Alternativa
> e.
> Creio que seja isso.
>
>

Re: [obm-l] Probabilidade

[Lucas Tiago Castro Jesus]

Bem, creio que este exercício pode ser resolvido pelo primeiro Lema de
Kaplansky, dado 60 números temos C(60,6) jeito de escolher os números.
Vamos tentar calcular o número de combinações tais que não haja dois
elementos consecutivos
colocando sinal de  + e - nos números, + quando for escolhido, - caso
contrário, teremos a seguitne configuração
++--+-+-..- (Há 60 sinais 6 deles são + e 54 são -)
Nenhum um mais pode ficar junto, portanto um jeito de contar é ficando os -
deixando espaço entre eles:
_-_-_-_-_-_-_-_-_

bem agora temos que escolher 6 dentre os 55 _ que é calculado como C(55,6)

Logo a probabilidade é 1- C(55,6)/C(60,6)=1-(55!.54!)/(49!.60!) Alternativa
e.
Creio que seja isso.

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Oi, Anna, e galera.

Vou ser pedante e prolixo, ateh mais do que costumo ser, entao jah peco
desculpas adiantado...

Um problema bem enunciado de probabilidade tem que dizer (i) o que e como
algo serah escolhido, (ii) se ha alguma informacao adicional do resultado
desta escolha, (iii) de que evento deseja-se calcular a probabilidade. A
informacao (ii) ateh pode ser omitida, mas, ainda assim, o minimo devia ser:

i) A gente escolhe blah blah blah assim assim assim PONTO. iii) Qual a
probabilidade de "ESTE EVENTO BACANA ACONTECER"?

Se voces prestarem bastante atencao a esta estrutura, vao perceber o defeito
do enunciado do jeito que estah: como eles botaram toda a pergunta depois de
"qual a probabilidade de...", estah tudo no pedaco (iii), sem dar a minima
indicacao de se e como (i) vai acontecer (e o "sendo", gerundio meio solto,
tambem nao ajuda -- ele se refere a "escolher-se" ou eh um complemento de
"duas pessoas de sexos diferentes"? Eh algo que se sabe, ou que se quer?).

Entao minha resposta pedante e totalmente tecnica eh:
Eh impossivel determinar esta probabilidade, porque eu nao sei como nem o
que voce vai escolher, o que voce tah afim de escolher Nao eh **soh** um
problema de "equiprobabilidade", que naturalmente a gente pressupoe nesses
problemas, eh pior -- por exemplo, se voce for escolher 40 pessoas deste
grupo, "a probabilidade de escolher-se duas pessoas de sexos diferentes,
sendo apenas uma delas de oculos", eh altissima; se voce for escolher soh
uma pessoa do grupo, a mesma probabilidade eh 0; se voce escolher o Ralph,
que nao usa mais oculos, e a Anna Luisa, que usa, porque eles sao muito
legais e voce vai pagar cinema para eles, a probabilidade eh 1. Alias, se
voce resolver nao escolher ninguem, a probabilidade eh 0.

Bom, por outro lado, sendo um pouco menos chato, a *impressao* que fica do
enunciado eh que serao escolhidas 2 pessoas do grupo, aleatoriamente. Ainda
assim, como (i) nao estah claro, vejo 3 interpretacoes possiveis; vou
escreve-las aqui do jeito que eu as enunciaria (vou colocar onde comeca cada
pedaco (i), (ii) e (iii) daquela estruturinha):

 A) (i) Escolha aleatoriamente duas pessoas (distintas) deste grupo. (iii)
Qual a probabilidade de elas terem sexos diferentes **e** apenas uma delas
usar oculos? (Acho que eh isso que eles queriam...)
B) (i) Escolha aleatoriamente duas pessoas (distintas) deste grupo. (ii)
"Sendo" que apenas uma usa oculos (eu de fato escreveria "sabendo" para nao
deixar duvida), (iii) qual a probabilidade de elas serem de sexos
diferentes? (Acho que eles nao queriam isso, mas, literalmente, esta
interpretacao faz um melhor uso da palavra "sendo"!)
C) (i) Escolha aleatoriamente duas pessoas deste grupo (ii) de sexos
diferentes. (iii) Qual a probabilidade de apenas uma delas usar oculos?
(Acho esta interpretacao meio forcada, mas ateh valida.)

Vamos responder logo as 3 questoes (como eu disse, se isso caisse numa
prova, eu responderia (A), mas acho que (B) eh tecnicamente melhor)

PARTE COMUM a A, B e C:
Farei M=mulher, H=homem, O=oculos, S=sem oculos. Entao ha:
16 MO (mulheres, mocas com oculos; afinal, todas as mulheres sao
sempre mocas... :) ;) )
20 HO (homens com oculos)
30 HS (homens sem oculos)
24 MS (mulheres sem oculos)

Interpretacao A) Seriam:
C(90,2)=90x89/2 maneiras **equiprovaveis** de escolher um par de pessoas;
MOxHS+MSxHO=16x30+24x20 maneiras "favoraveis";
A probabilidade seria entao (16x30+24x20)x2/(90x89)=64/267

Interpretacao B) Seriam:
OxS=36x54 maneiras **equiprovaveis** de escolher um par de pessoas,
sabendo-se com certeza que uma usa oculos e a outra nao;
16x30+24x20 maneiras "favoraveis";
A probabilidade seria entao (16x30+24x20)/(36x54)=40/81

Interpretacao C) Seriam:
MxH=40x50 maneiras **equiprovaveis** de escolher duas pessoas de sexos
diferentes;
16x30+24x20 maneiras "favoraveis";
A probabilidade seria entao (16x30+24x20)/(40x50)=12/25

Argh, aposto que atrapalhei mais do que ajudei. Notem que essa discussao eh
chata mais importante -- muita gente se aproveita destas ambiguidades para
enganar as pessoas com estatisticas...

Serah que alguem leu esta coisa toda? :)

Abraco,
Ralph

P.S.: Note como "sendo" eh ambiguo. Imagine as duas seguintes situacoes:
A) Eu chego na sorveteria e digo: "Eu quero um sorvete de duas bolas, sendo
uma bola de chocolate". Voce ouve: "eu quero 2 bolas *e* eu quero
chocolate". O "sendo" aqui eh algo que se deseja, eh praticamente um
complemento de "sorvete". Esta interpretacao eh analoga a (A) acima.
B) Eu chego na sorveteria e eles me dao um sorvete de uma bola, de
chocolate. Entao eu digo: "Sendo uma bola de chocolate, eu quero um sorvete
de duas bolas"... Voce ouve: "**Como** uma bola eh de chocolate, eu quero
outra". Agora o "sendo" indica uma informacao que se sabe e ao mesmo
tempo uma hipotese, o "Se" de um "Se...entao". Isto dah interpretacao (B).

2008/7/9 Anna Luisa <[EMAIL PROTECTED]>:

>  Por favor alguém pode me dar uma ajuda.
>
> 1) Em uma reunião há 90 pessoas, 36 das quais

Re: [obm-l] Probabilidade

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Muitíssimo grato, Rafael

Abraços

Re: [obm-l] Probabilidade

[Rafael Ando]

a) Ao todo temos 30 positivos referentes às pessoas sadias (falso positivos)
e 90 referente às pessoas portadoras da doença, ou seja, 120 laudos
positivos. Então a probabilidade de um deles ser positivo é 120/300 = 40%.

b) Dos 120 positivos, 90 realmente tem a doença, então a probabilidade da
pessoa realmente ter a doença sabendo que foi escolhido um dos 120 laudos
positivos é 90/120 = 75%.

2008/5/23 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>:

> Amigos,
>
> Foi uma questão da UFRJ. Uma ajuda por favor..
>
>
> *  *Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas
> pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença.
>
>  Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias,
> cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas
> portadoras da doença, noventa resultaram positivos.
>
>
>
>
>
>
> *a)  *Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a
> probabilidade de que ele seja positivo.
>
>
>
>
>
>
>
> *b)  *Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que ele era
> positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo
> sorteado tenha realmente a doença.
>
>
>
>
>


-- 
Rafael

Re: [obm-l] Probabilidade Surreal

[Paulo Santa Rita]

Ola Eric,

Esta lista não é o local adeguado para você fazer este tipo de
denuncia. Eu sou membro do Ministério Publico Federal. Vamos
conversar. Escreve pra mim em particular.

Com os melhores votos
de Paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
3,1329,120308


Em 18/03/08, Eric Campos Bastos Guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Sou matematico membro da SBM e tenho denuncias graves a fazer...
>
>  Sei que este estah longe de ser o lugar certo para fazer estas
>  denuncias, mas ja fui a todas as policias (federal, civil, militar)
>  ja mandei a denuncia ao ministerio publico (com todos os meus
>  dados - eu existo, nao sou uma ficcao), liguei pro disque denuncia,
>  liguei para a corregedoria da policia (127)... ate agora nada...
>  lhufas...
>  se eu que sou um matematico com trabalhos publicados, premiacoes,
>  etc nao consigo fazer uma denuncia da mais alta gravidade,
>  que dira o resto da populacao.
>
>  Por favor, gostaria de dicas onde eu possa postar minha denuncia.
>
>  A situacao estah feia.
>
>  Sei que vou morrer...
>
>  mas antes vou mostrar que eles mexeram com o cara errado...
>
>  falow...
>
>  meus dados para contato:
>
>  ==
>  Eric Campos Bastos Guedes - matematico, poeta e filosofo
>  http://br.geocities.com/mathfire2001/
>  e-mail: [EMAIL PROTECTED]   /  [EMAIL PROTECTED]
>  MSN: [EMAIL PROTECTED]  /  Y!M: mathfire2001
>  Cel. 0xx-21-8131-7542   /   Skype: eric.campos.bastos.guedes
>  RUA DOMINGUES DE SÁ, 422 - CASA
>  ICARAI - NITEROI - RJ - BRASIL
>  CEP: 24220-091
>  ==
>
>  Os dados da vitima:
>
>  NOME: ROBERTO
>  PROFISSAO: ANALISTA DE SISTEMAS
>  COR DA PELE: BRANCA
>  ALTURA: ENTRE 1,74m E 1,84m
>  PESO: EM TORNO DE 80Kg
>  NOME DA FILHA: ALINE
>  ANO DE NASCIMENTO DA FILHA: 1998
>  ONDE FOI MORTO: NUMA CLINICA PSIQUIATRICA EM SÃO GONÇALO
>  QUANDO MORREU: EM ABRIL DE 2007
>  QUANDO ROBERTO FOI INTERNADO NA CLÍNICA: EM MARÇO DE 2007
>  ELE FOI MORTO AO COMPLETAR 30 DIAS DE INTERNADO, JUSTAMENTE O PRAZO COBERTO 
> PELO PLANO DE SAUDE.
>
>  poderia ter sido eu ou voce...
>  ===
>
>  - Mensagem original 
>  De: Eric Campos Bastos Guedes <[EMAIL PROTECTED]>
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Enviadas: Quinta-feira, 6 de Março de 2008 23:09:22
>  Assunto: [obm-l] Probabilidade Surreal
>
>  QUESTAO DESCONCERTANTE:
>  Qual a probabilidade de  um analista de sistemas ter sido morto numa
>  clinica psiquiatrica em Sao Goncalo / RJ no ano de 2007 e alguem,
>  de nome "Eric Campos Bastos Guedes" estar tentando a meses
>  denunciar o fato as autoridades e a midia, sem exito?
>
>  MINHA RESPOSTA:
>  Essa probabilidade estah bastante proxima de 1.
>
>  Por favor, ENTREM EM CONTATO.
>  Como matematico e membro da SBM
>  PECO A AJUDA DE VOCES.
>
>  A midia SABE e IGNORA.
>
>  =
>  Eric Campos Bastos Guedes
>  Formulas para primos
>  http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001
>  http://br.geocities.com/mathfire2001/
>  Projeto Matematica para Todos
>  [EMAIL PROTECTED]
>  MSN: [EMAIL PROTECTED]
>  Celular: 0xx-21-8131-7542
>  =
>
>
>
>   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
> armazenamento!
>  http://br.mail.yahoo.com/
>
>  =
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =
>
>
>
>
>
>   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
> armazenamento!
>  http://br.mail.yahoo.com/
>
>  =
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probabilidade I

[saulo nilson]

2=
considerando que obter pontos distintos seja nenhum numero em um dado
coincidir com o numero nos outros 2, temos:
6*5*4=120

On 2/24/08, Alexandre Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  1. Num grupo de 10 pessoas, seja o evento "escolher 3 pessoas sendo que
> uma delas sempre será
> escolhida". Qual o número de elementos desse evento?
>
> 2. Lançando 3 dados, considere o evento "obter pontos distintos". Qual o
> número de elementos desse evento?
>
> 3. Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas e 2 azuis. De quantas
> maneiras podemos retirar 4 bolas dessa urna, não importando a ordem em que
> são retiradas, sem recolocá-las?
>
> Valeu, Turma!!!
>
> Alexandre Bastos
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Probabilidade I

[Alan Pellejero]

Olá Alexandre, 
   
  Pensei da seguinte forma:
   
  01. Se no grupo de 10 pessoas vou escolher 3 de modo que 1 seja sempre 
escolhido, na verdade escolherei 2 pessoas num grupo de 9.
  Daí, Comb{9;2} = Bin{9;2} = 36
   
  02. Não entendi o problema.Qual a definição de "obter pontos distintos" 
   
  A pergunta então se torna: Quantas "diagonais menores secundárias" podemos 
ter?
  A resposta para essa pergunta é 41 [por quê?]
   
   
  03. Princípio Fundamental da Contagem: 14x13x12x11 = 24024
   
   
  Abraço, 
   
  A.U.P.

   
  Alexandre Bastos <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  1. Num grupo de 10 pessoas, seja o evento "escolher 3 pessoas sendo 
que uma delas sempre será 
  escolhida". Qual o número de elementos desse evento?
   
  2. Lançando 3 dados, considere o evento "obter pontos distintos". Qual o 
número de elementos desse evento?
   
  3. Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas e 2 azuis. De quantas 
maneiras podemos retirar 4 bolas dessa urna, não importando a ordem em que são 
retiradas, sem recolocá-las?
   
  Valeu, Turma!!!
   
  Alexandre Bastos


  
-
  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

   
-
Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 

Re: [obm-l] probabilidade (OFF)

[JoaoCarlos_Junior]

É isso aí. Ralph, obrigado! 
Matemática é vida, sem emoção, ela não existe, é morta, e ficamos também amortalhados. 
Põe tua luz para fora, Ralph, auxilinado-nos no despertar da nossa.
Fraternalmente, João. 
Desculpa, Pedro, mas os eventos que você escolheu contar não são igualmente prováveis! É tão provável ter 0,0,0,10 bolinhas de cada cor quanto 3,3,3,1? Não, o segundo evento é bem mais provável! Isso dito, sua contagem combinatória está muito bacana -- a gente tem que **inventar** agora um problema cuja solução seja a sua, de tão bonita que ela é Será que tem alguma maneira natural de sortear soluções da equação x+y+z+t=10 de maneira que todas sejam igualmente prováveis?    Por outro lado, este erro é o mais comum (e sutil!) que há em probabilidade (basta ver os últimos 100 problemas de probabilidade aqui mesmo na lista -- 85.34% deles tem esse erro ;p ;p ;p). A culpa é de nós professores e nossos livros-texto, que marretam na cabeça a fórmula:  PROBABILIDADE = # DE CASOS FAVORÁVEIS / # DE CASOS POSSÍVEIS assim, com letras garrafais, e aí colocam em letras pequeninas no cantinho do rodapé do apêndice que isto só vale se os eventos forem igualmente prováveis. Aí a gente acostuma a contar # de casos para lá e para cá (hábito reforçado por centenas de problemas de contagem combinatória) e erra um monte de problemas de probabilidade apesar de fazer um monte de contas complicadas... Eu estou numa cruzada contra esta apresentação da fórmula acima por este motivo. :) :) :)  Então fica assim: todo mundo, junto comigo: Probabilidade = casos possíveis/casos favoráveis (em fonte pequenininina)APENAS QUANDO OS CASOS CONTADOS FOREM ABSOLUTAMENTE IRREFUTAVELMENTE SEM DÚVIDA TOTALMENTE IGUALMENTE PROVÁVEIS (EM FONTE COLOSSÁÁL)(quando der aula disso, repita a última frase com o entusiasmo com que o cara do Rock Gol diz CLÉÉRSON!!! -- ou sei lá que nome ele diz :) :) :) :) )   Abraço,   Ralph On 12/4/07, Pedro Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Cmoraes, eu recomendo que você escreve no google "soluções inteiras não-negativas". I) Depende do número de bolinhas. Se houver mais de 9 bolinhas de cada cor, tudo bem. Caso contrário, fica mais complicado, eu acho. Supondo que sejam mais de 9 de cada cor...  Sejam x1 o número de bolinhas verdes, x2  o número de amarelas, x3 o de azuis, x4 o de brancas. P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A. Além disso, o sinal '>=" significa 'maior ou igual'.  x1+x2+x3+x4 = 10  O número de soluções inteiras não-negativas dessa equação corresponde ao número de casos possíveis para os grupos de 10 bolinhas (desde que a ordem das bolinhas não importe). Casos possíveis = 13!/(3!10!) = 260.  P(não haver quatro cores) = 1 - P(haver quatro cores) Para que hajam quatro cores, devemos ter x1,x2,x3,x4>0. Considere y um inteiro maior ou igual a 0.Assim, satisfazendo as condições do problema, x1 = y1+1; x2 = y2+1; x3 = y3+1; x4 = y4+1  Como x1+x2+x3+x4 = 10, (y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1) = 10 .:. y1+y2+y3+y4 = 6 (y>=0) Os casos favoráveis são as soluções dessa última equação.Número de casos favoráveis = 9!/(3!6!) = 84. P(haver quatro cores) = 84/260 = 21/65 P(não haver quatro cores) = 1 - 21/65 = 44/65. O II é parecido, então, entendendo o I, acho que você consegue resolvê-lo. *Eu considerei x>=10 porque, caso contrário, na equação x1+x2+x3+x4 =10, eu teria que trabalhar com vários casos. A solução x1 =10, x2,x3,x4 = 0 não valeria, por exemplo.  Até. Espero ter ajudado.



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