Re: [obm-l] Ajuda Sobre um site (estranho!!)
Ola Duda, Dirichlet e demais colegas desta lista ... OBM-L, A ideia de traduzir problemas olimpicos, sobretudo os de nivel universitario, e uma forma de contribuir para o incremento e consolidacao deste nivel de olimpiadas, aqui no Brasil, pois supomos que assim - em portugues - sera acessivel a um publico maior ... O que desejamos e que os estudantes que se preparam para este tipo de olimpiada tenham um material de referencia, que prof's possam usa-lo em cursos preparatorios para estas competicoes e mesmo como inspiracao para os prof que queiram elaborar questoes honestas e nao-burocraticas, nos primieors anos da faculdade. Toda ajuda e bem-vinda e se estamos felizes com o que estamos fazendo, ficaremos igualmente felizes se outros fizerem com antecedencia : o que importa e contribuir para um maior aperfeicoamento e consolidacao do movimento olimpico ! Um Abraco a Todos ! E aproveito a oportunidade para desejar um feliz natal e excelente ano novo a todos os membros ! Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,1256,201202 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] um pouco de combinatória
Ola Rafael e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1) A formula que voce apresentou fornece o NUMERO DE SOLUCOES INTEIRAS E
NAO NEGATIVAS, isto e, sao as solucoes nas quais uma
ou mais das variaveis pode(m) assumir o valor zero.
Isto significa, claramente, que se (X1,X2,...,Xn) for uma solucao nao
negativa, a solucao (Y1,Y2,...,Yn) tal que Yi=Xi+1 sera uma solucao
positiva, tal como voce busca ... De maneira geral, as solucoes INTEIRAS
NAO NEGATIVAS de :
Y1 + Y2 + Y3 + ... + Yn = K - N
mantem uma bijecao com as solucoes POSITIVAS de :
X1 + X2 + X3 + ... + Xn = K
Bom. Daqui voce prossegue ...
2) O seu erro foi usar os fatores primos ... Um produto tal como o que voce
deseja pode ser expresso como :
P = (5^A)*(6^B)*(7^C)*(9^D) onde A e B devem ser escolhidos em {0,1}, C em
{0,1,2} e D em {0,1,2,3}. Observando que a escolha de um nao impoe nenhum
condicao sobre a escolha de qualquer outro, isto e, que as escolhas sao
independentes, basta entao se lembrar do Principio Multiplicativo da Analise
Combinatoria.
Bom. Daqui voce prossegue ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,2223,211202
From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] um pouco de combinatória
Date: Sat, 21 Dec 2002 20:57:02 -0200
Pessoal:
- É sabido que o número de soluções inteiras positivas
de uma equação do tipo: x1+x2+x3+...+xn=K , é:
(n+K-1)!/(n-1)!.K!
Eu queria saber o número de soluções inteiras e positivas
sem que nenhuma das variáveis x1,x2...xn pudesse ser nula.
- quantos números diferentes podem ser formados
multiplicando alguns(ou todos) dos números
1,5,6,7,7,9,9,9,?
Eu tentei fazer colocando o produto deles em fatores
primos: 2.3^7.5.7^2, aí achei todos os produtos
possíveis: 2.8.2.3=96. Mas não é a resposta correta, pois
tem produtos que dão o mesmo número. Pergunta: como vou
saber quais produtos dão o mesmo número?
__
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Re: [obm-l] Re:
Oi Eder, Oi Paulo, Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, E verdade, alguem olhou na home page do John Scholes e traduziu literalmente, sem antes resolver o problema. Dai surgiu o enunciado errado : Se p(x)=ax^2 + bx + c e, alem disso, P(x)=x nao tem solucao real, entao p(p(x))=0 nao tem solucao real. O enunciado correto e : Se p(x)=ax^2 + bx + c e, alem disso, P(x)=x nao tem solucao real, entao p(p(x))=x nao tem solucao real. O Paulo Rodrigues e o Salvador ja apresentaram belas solucoes, baseadas na nocao de continuidade. Sobre a duvida de porque tem que ser p(x) x ou p(x) x para todo x real, basta imaginar os graficos : Se p(x)=x nao tem solucao real entao e porque os graficos destas funcoes nao se interceptam, certo ? E isto so pode ocorrer de duas maneiras : 1) a 0 e p(x) x para todo x ( grafico de p(x) acima de y=x ) 2) a 0 e p(x) x para todo x ( grafico de p(x) abaixo de y=x ) Eu me dou por satisfeito imaginando os graficos. Mas se voce quer uma demonstracao formal disso, um esboco de uma tal prova pode ser : p(x)=x nao tem solucao real = ax^2 + bx + c = x nao tem solucao ax^2 + (b-1)x + c =0 nao tem solucao real. (b-1)^2 -4ac 0. = (b-1)^2 4ac. Como (b-1)^2 = 0 segue que : 4ac 0 = a e c tem o mesmo sinal. Supondo a 0, se para algum x1, p(x1) x1 tome um x2 tal que p(x2) x2 ( x2 existe pois lim p(x)=+inf ). A continuidade de p(x) garante a intereseccao de y=p(x) com y=x, isto e, solucao para p(x)=x, um absurdo ! Procedimento semelhante para a 0. Aceita um conselho ? Se voce for rigoroso demais e perder muito tempo com provas simples assim, voce prende o seu pensamento e a sua imaginacao nao decola. Primeiro se concentre nas coisas fundamentais, depois voce prova as acessorias. Um abraco Paulo Santa Rita 1,1950,221202 From: Eder [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: Date: Sun, 22 Dec 2002 10:31:09 -0200 Oi Paulo, Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não comprometia muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes... - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM Subject: Re: [obm-l] Re: Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem agora o problema : Sejam a, b e c tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c e p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real. Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do enunciado de um idioma para outro ... Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias, me lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos proverbios deste Profeta : Nao respondas ao tolo segundo a sua estulticia, para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele Um abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 7,1812,211202 From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200 Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x) = x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu discriminante eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE que p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao. Assim como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem de Salvador Addas Zanata). Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens anteriores, pois ele estah errado. Morgado Eder wrote: Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é: Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0 has no real roots. - Original Message - From: A. C. Morgado mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM Subject: Re: [obm-l] Re: Wagner wrote: Oi pessoal ! 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente de zero. Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem. Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c = f ' (x) =2a(ax^2
[obm-l] Um livro Mararavilhoso !
Ola Pessoal, Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a conclusao que - pelo menos - e muito bom, para nao dizer excelente ... Ele trata de teoremas elementares nao encontrados nos livros didaticos tradicionais e apresenta, em geral, provas elementares destes teoremas. Qualquer bom aluno - serio e disciplinado - do fim do segundo grau ou do inicio da faculdade pode le-lo sem maiores dificuldades. Ele e centrado em resultados e provas obtidas pelo Paul Erdos. Tenho certeza que e uma excelente aquisicao para qualquer aluno e, mesmo, para professores. O Livro e : Proofs from the book Martin Aigner e Gunter Ziegler Springer-Verlag Agora fiquei sabendo que foi traduzido para o protugues: As provas estao n'O LIVRO Martin Aigner e Gunter Ziegler Editora Edgard Blucher A expressao n'O LIVRO e porque o Erdos acreditava que havia um LIVRO imaginario, escrito por Deus, que a intuicao matematica poderia acessar e no qual estariam as melhores e mais bonitas provas dos teoremas. Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER : Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam em uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles. OU SEJA : Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que que toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro. A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar n'O LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha beleza ! Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer algo melhor. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1651,251202 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Jose Francisco e demais colegas desta lista ... OBM-L, Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais atento. A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com notacao semelhante. E necessario corrigir apenas : 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N 2, pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio. 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa Q como pe da perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de Q. 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode haver mais de um ! A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas homogeneas. A generalizacao do Conway e a seguinte : Seja X um conjunto con N elementos (N2) e sejam A1, A2, ...,Am subconjuntos proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em precisamente um dos Ai. Entao M = N. Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0145,271202 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200 Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega a uma contradição: Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P , QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R pertencentes a C). Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de C pertencem a uma mesma reta. Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada. Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um terceiro ponto do conjunto C na reta QR então pelo menos dois destes pontos estarão de um mesmo lado de P1. Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1 (Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q em relação a P1. Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais colegas desta lista ... OBM-L, Curiosidade: Existe também o resultado dual: Se dispusermos de N (N2) retas em um plano tais que nem todas passam por um mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão exatamente duas retas. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM Subject: [obm-l] Teorema de Silvester Santa Rita, Não nos mate de curiosidade. Qual a demonstração de Conway? E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser necessariamente breve - também a de Kelly. JF PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N (N2) pontos... JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do destacado certamente seria considerada off topic pelo N) - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso ! Ola Pessoal, Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a (...) Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER : Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam em uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles. OU SEJA : Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que que toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro. A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar n'O LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha beleza ! Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer algo melhor. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1651,251202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED
Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Dudu e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
E ai Dudu ? Tudo Legal ?
Fico contente em ver voce participar da lista !
Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
...
A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :
Se a pertence a X, seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,m }, tal que a pertence a Ai. Claramente 2 = Ra m ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1425,281202
From: Eduardo Fischer [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
Fischer
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
mais
atento.
A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
notacao
semelhante. E necessario corrigir apenas :
1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N 2,
pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa Q como pe da
perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de Q.
3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
haver mais de um !
A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
homogeneas.
A generalizacao do Conway e a seguinte :
Seja X um conjunto con N elementos (N2) e sejam A1, A2, ...,Am
subconjuntos
proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
precisamente um dos Ai. Entao M = N.
Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem
mais
longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
chega
a uma contradição:
Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os
pares
(
P
, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
pertencentes a C).
Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de C pertencem a
uma
mesma reta.
Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a
menor
possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
terceiro ponto do conjunto C na reta QR então pelo menos dois destes
pontos estarão de um mesmo lado de P1.
Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo
de P1
(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado
que Q
em relação a P1.
Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será
menor
do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a
escolha
inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Curiosidade: Existe também o resultado dual:
Se dispusermos de N (N2) retas em um plano tais que nem todas passam
por
um
mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
exatamente duas retas.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
Santa Rita,
Não nos mate de curiosidade.
Qual a demonstração de Conway?
E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
necessariamente breve - também a de Kelly.
JF
PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde
está
Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N
(N2)
pontos...
JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
ória do
destacado certamente seria considerada off topic pelo N)
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
Ola Pessoal,
Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei
a
(...)
Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao
estejam
em
uma mesma reta, entao havera uma reta que
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Ola Prof Jose Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bem-Vindo a lista OBM-L Prof Jose Claudio ! É bom ve-lo participar ! São notaveis estes pontos de intersecção de cevianas, não ? Exemplos bem conhecidos sao o ortocentro ( alturas ), o incentro ( bissetrizes internas ) e o baricentro ( medianas ). Quais são as condições necessarias e suficientes para que tres cevianas, cada uma partindo de um vertice, tenham um ponto comum ? Seria o Teorema-Recíproco do Teorema de Ceva ? Um Abraço a Todos ! Paulo Santa Rita 7,2327,110103 From: Claudio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Mon, 6 Jan 2003 18:08:53 -0200 Sim, é verdade que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passa por esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Se fosse verdade, poderíamos usar seus argumentos para provar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o que logicamente nao é verdade. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função
Ola Olavo, Prof Morgado e demais membros desta lista ... OBM-L, Com respeito a mensagem do Prof Morgado e as Barbas Brancas do Prof Olavo talvez seja interessante perguntar qual a razao deste nome : transformação homográfica. Literamente seria homo=mesmo, grafica=grafico. Mesmo grafico ? Se Y=(Ax+B)/(Cx+D) entao Y=(A/C)*((ACx+BC)/(ACx+AD)) Y=(A/C)*((ACx+AD+BC-AD)/(ACx+AD))=(A/C)*(1 + (BC-AD)/(ACx+AD)) Y=A/C + (A/C)*((BC-AD)/(ACx+AD)) Se BC - AD e diferente de 0 entao : x - +INF ou x - -INF entao Y - A/C (Por valores maiores ou menores que A/C, dependendo de sinais ) x - -D/C entao Y - +INF ou Y - -INF (Para +INF ou -INF dependendo do sentido da aproximacao de x ) Ou seja, claramente que haverao duas assintotas, uma vertical e outra horizontal. Os graficos sao, portanto, muito parecidos. Seria esta a razao do nome homograficas ? Seria possivel fazer coisas interessantes com estas funcoes ? Seja Y = (2x+3)/(2-3x). Qual e a imagem de [1/3, 1] pela funcao Y, isto e, quem e Y([1/3, 1]) ? Qual e a imagem inversa de [-1, -1/3], isto e, quem e Y^-1([-1, -1/3]) ? Agora, considere que as assintotas sao espelhos e que os dois ramos da funcao acima se refletem em ambos os espelhos. Existe uma EQUACAO F(X,Y)=0 que tenha tal grafico ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1708,140103 From: Antonio Neto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função Date: Tue, 14 Jan 2003 17:52:08 + Do alto das minhas venerandas barbas branquinhas, endosso as homograficas. Abracos, olavo. From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função Date: Sun, 12 Jan 2003 22:08:53 -0200 Tirando uma palavra do ostracismo: essas funçoes que sao quocientes de polinomios de primeiro grau ( de raizes diferentes ) tem como graficos hiperboles equilateras com uma assintota horizontal e outra vertical sao (ou eram, ha muito tempo nao vejo ninguem uar esse termo) chamadas (pelo menos pelos franceses) de HOMOGRAFICAS. Morgado Alguem ha muito tempo escreveu: Como vocês classificariam a seguinte função: f(x) = x-a / bx+a. Nos livros de 2º grau temos a função afim ou do 1ºgrau com a expressão ax+b. Temos a função quadrática com a expressão ax^2+bx+c etc. E na expressão da função acima como poderiamos classificar ? Eu acho que é do 1º grau pois temos somente a variável x com expoente unitário, mas e quanto ao gráfico? _ MSN 8: advanced junk mail protection and 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/junkmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] ESTE PROBLEMA É INSOLÚVEL?
Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Este problema nao so tem solucao : voce passou por ela quando leu o livro sobre Geometria Euclidiana ... digo isso porque, em geral, estes livros falam do invariante topologico de Euler-Poincare, aplicavel a poliedros : V - A + F = 2. IMAGINE agora que o grafo que voce procura seja possivel, envolva ele em uma esfera e mostre que isso e contraditorio com o invariante topologico. E so. Nao e necessario nenhum conhecimento adicional. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1845,140103 From: J.C. PAREDE [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ESTE PROBLEMA É INSOLÚVEL? Date: Tue, 14 Jan 2003 16:07:21 -0300 (ART) Faz um tempo que venho quebrando a cabeça para resolver o seguinte problema. Em um bairro estão três casas, uma ao lado da outra e a distribuidora de água, de esgoto e de luz, sendo as distribuidoras também localizadas uma ao lado da outra em uma reta suporte paralela a reta suporte das casas. Deve-se por meio de tubulações levar água, esgoto e luz para todas as casas, sem que as tubulações se cruzem e tendo todas as tubulações a mesma profundidade. Como se deve fazer esta ligação? Tentei quebrar a cabeça sozinho, dei uma olhada em termos de Geometria Euclidiana Plana, ouvi dizer que pode ser resolvida por grafos (porém não sei nada de grafos); e esses dias ouvi que este problema não tem solução; porém o camarada que disse isto disse que não tinha como provar. Afinal, este problema tem ou não solução? Já foi citado na lista problemas sobre grafos. Há alguma literatura no nível grafos para iniciantes que alguém conheça? Obrigado JOÃO CARLOS PAREDE - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Livro Geometria
Ola Leonardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente dos outros ... Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que dificilmente imaginariamos que ocorrem. Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras didaticas da matematica ... As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os aspectos tipicos do ensino comum ... Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram com tanto brilho e eficiencia ! Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, aqui vai uma joia do Geometria II : 1)Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilatero ciclico. Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : S=Raiz_Quadrada(abcd) PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do triangulo. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,,170103 From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Livro Geometria Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM Caros amigos: Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro impressionante, que se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e Miguel. Pergunta: Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se existe o Geometria I? Valeu!! Leonardo Borges _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re : [obm-l] Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!
Ola Robson e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) Caro Robson. Se voce nao sabe, logo vai ficar sabendo ( quando comecar a estudar Analise ) que esta serie e um tipico representante do que se chama uma SERIE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE. Existe um Teorema ( de Riemann ) de Analise que afirma que um reordenamente dos termos destas series pode faze-la divergir OU convergir ( convergir para UM NUMERO REAL QUALQUER, dado ). Claramente que este Teorema fala pouco ... Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge. Converge pra onde ? Isso vai depender da PA. No seu caso : 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2) Outro caso bem conhecido e : S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4 E uma relacao bem conhecida e que : 1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2). A serie acima e o valor da funcao zeta em 2. Note que a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que : A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ... Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o Teorema de Leibniz a que me referi acima. Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2 fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que ( K e S dados ) : 1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i 2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S. A serie abaixo converge para que numero real ? : A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ... Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema resolvido apenas parcialmente pelo Euler. 2) Problema tipico de Introducao a Analise, que esta em todo livro desta categoria. Todo mundo mundo que estudou Analise fez este ou outro muito parecido. O enunciado esta um pouco confuso, mas sai assim : Suponha inf B sup A. Moste que isto conduz a um absurdo. Logo sup A = inf B Voce aqui estara usando o AXIOMA DO SUPREMO, tambem conhecido como AXIOMA DO COMPLETAMENTO : Todo conjunto de numeros reais limitado superiormente admite um supremo. Deste axioma voce DEDUZ a existencia do infimo, vale dizer, postular o axioma do supremo implica no TEOREMA DO INFIMO. Mas nao existe nenhum razao forte para esta preferencia ... Voce pode postular um AXIOMA DO INFIMO e deduzir o TEOREMA DO SUPREMO ( basta multiplicar por -1 e fazer um raciocinio bobo cheio de implicacoes obvias ). Um corpo ordenado no qual vale este axioma e um CORPO ORDENADO COMPLETO. Os numeros reais. Ha autores que POSTULAM a existencia de um corpo ordenado completo, tais como o Prof Elon Lima ( Curso de Analise, Vol. 1). Todavia, historicamente, foi a percepcao do AXIOMA DO SUPREMO pelo Dedekin que permitiu CONSTRUIR um tal corpo, que alias pode ser construido por diversos outros caminhos ... O fato de existir diversas construcoes de tais corpos ( ordenados e completos ) nao complica ... Dois de tais corpos sao necessariamente isomorfos, vale dizer, INDISTINGUIVEIS no que se refere aos axiomas que os definem. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1750,230103 - Original Message - From: Robson Monteiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 5:23 PM Subject: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!! Oi Pessoal estou com duas dúvidas(sobre quetões que encontrei no livro do Elon Lages-Análise Real) e gostaria de saber se alguém pode me ajudar: 1º) Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... 2º) Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x Pertence a A e y pertence a B, com (x=y). Prove que supA=infB. Prove que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon0 dado, podem-se obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
A ultima pergunta e simples, em determinado sentido ... Use o MAPLE e voce
vera a soma para qualquer 1/(an+b)^2. Mas o MAPLE faz as coisas ao modo
dele, insatisfatorio em certo sentido ...
Por muitas razoes, eu precisei investigar as series da forma :
NIC(a,r)= 1/a - 1/(a+r) + 1/(a+2r) - 1/(a+3r) + ...
Num certo sentido estas series sao primitivas, vale dizer, supomos que a
funcao NIC : R^2 - R ( NIC nao existe na literatura, eu fui obrigado a
reconhecer sua importancia ) esta bem definida e vemos o que se pode
produzir de interessante com elas. Claramente que a serie :
1/a + 1/(a+r) + 1/(a+2r) + 1/(a+3r) + ... smepre diverge !
Mas a serie :
1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... sempre converge !
Que relacao existe entre o valor para o qual esta serie converge e NIC ?
Existe X e Y tais que :
1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... = K*(NIC(X,Y))^2 ?
Para algum K real ?
Claramente que existe alguns reordenamentos evidentes ...
( 1/a - 1/(a+r) ) + ( 1/(a+2r) - 1/(a+3r) ) + ...
NIC serve para caracterizar uma classe de triangulos aritmeticos, conhecidos
como triangulos harmonicos. O exemplo mais simples serie :
1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
...
Cada termo e a diferenca entre o que esta acima a esquerda e o que esta a
esquerda. As colunas sao numeradas da esquerda para a direita a partir de
-1. O 1/2 da coluna -2 e tal que : 1/2 = 1 - 1/2. E assim para todos os
termos ... Se voce tomar uma coluna qualquer desde o infinito ate um
determinado termo, a soma e o termo da esquerda : e o teorema das colunas do
triangulo de pascal estendido a este tipo de triangulo ... Este triangulo e
conhecido tambem como triangulo de Leibniz.
Todo triangulo harmonico tem um numero que o caracteriza univocamente e que
e um valor de NIC. Em particular, no triangulo de Leibniz este valor de NIC
e Ln(2) ..., isto e, NIC(1,1) Um outro triangulo harmonico teria um outro
valor para NIC.
Pode-se dizer que os triangulos harmonicos sao extensoes dos triangulos
aritmeticos tipo triangulo de pascal. Eles sao como as colunas negativas
deste triangulo ...
Considere a relacao de recorrencia :
(n e a coluna, p a linha )
A00 = 1
An,p = An-1,p-1 + An,p-1 n em {0,1,2,...} e p em {0,1,...,n}
Fixado sucessivamente n, varie p. Voce vai obter o triangulo de pascal.
Para outros valores de A00 e outras relacoes de recorrencia da forma An,p=
K*An-1,p-1 + L*An,p-1 voce obetera outros triangulos aritmeticos tipo
pascal. Observe que no triangulo de pascal K=L=1.
Existe alguma relacao entre K e L e o trianngulo harmonico correspondente,
isto e, entre K, L que definem um triangulo tipo pascal e NIC(K,L), que
caracteriza um triangulo harmonico ?
Neste momento e imperioso que se perceba o seguinte :
No triangulo de Pascal quando nos olhamos para o N,P em Binom(N,P) nos quase
inadvertidamente imaginamos em combinacoes de N elementos tomados P a P.
Mas, isto, e ... UMA INTERPRETACAO : nao e A INTERPRETACAO. o Professor
NIColau deixa claro isso em seu livro sobre MATEMATICA QUANTICA. La ele diz
claramente que podemos, sem receios, dar outras interpretacoes aos numeros
binomias, que representariam outras formas de contagem ( as q-contagem ),
vale dizer, indices. A interpretacao que damos e, assim, uma contagem
particular, nao A CONTAGEM, A UNICA POSSIVEL !
Isto posto, a relacao de recorrencia implica claramente que estamos vemos os
N, P em BINOM(N,P) como LOCALIZACOES ou LUGARES em alguma estrutura mais
ampla, ou, o que da no mesmo, os valores de uma funcao definida em R^2.
Isto e muito bom, por diversas razoes ...
Seja r um real positivo. A funcao :
Z(r)=1/N^r, N={1,2,...} converge se r1. r=2 e um caso particular de
Z(r)=1/N^r. Uma compreenssao destas coisas por este caminho pode abrir uma
vertente nova na abordagem deste fato para r complexo, em particular, para
os zeros desta funcao ...
Observe que esta e uma abordagem por dentro, vale dizer, por fora,
partindo diretamente de r complexo, muita gente ja tentou e nao teve
sucesso. Isso pode ser mais uma abordagem que sera mal-sucedida. Mas ...
pode ser ! Ate esclarecer estas coisas nos nao podemos advinhar o que vai
acontecer !
Francamente eu acho tudo isso interessante independente de uma orientacao
pratica qualquer, independente de qualquer novo resultado. Isso e
interessante simplesmente porque eu tenho certeza que algo misterioso e
profundo esta no fim deste arco-iris ...
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1849,270103
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Somas de séries
Date: Mon, 27 Jan 2003 16:25:23 -0200
Caro Paulo Santa Rita:
Bem interessante essa questão da relação entre:
R = SOMA A(n)e S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n).
onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A 0.
Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação
[obm-l] Quadrados em um Quadriculado.
Ola Pessoal ! O problema abaixo e uma generalização de uma questão que foi proposta em outra lista, algum tempo atras. Não e de solução imediata, mas não e dificil. PROBLEMA : Divide-se cada lado de um quadrado em N partes iguais. Pelos pontos de divisão tracam-se paralelas aos lados do quadrado, originando assim um quadriculado. 1) Com vertices nos pontos deste quadriculado, quantos quadrados podem ser construidos ( em funcao de N ) ? 2) Seja Q(N) o numero de quadrados. Para todo P natural dado diga se existe um natural N tal que Q(N) = 10^P. OBS1 : Note que para responder 2 voce precisa responder 1 atraves de uma funcao que seja manipulavel. OBS2 : considerar neste calculo tambem os quadrados inclinados em relação ao quadrado original. UMA SUGESTAO : Supondo que o quadrado original tem lado medindo N, seja Q o conjunto de todos os quadrados construtiveis cujos lados sejam paralelos aos lados do quadrado original e cujos lados tem a mesma medida L, L = N. Em qualquer um destes quadrados a quantidade de quadrados inscritos e cujos lados nao paralelos aos lados do quadrado original e constante ... Manipule com habilidade as expressoes que vao surgir que elas se reduzirao a um polinomio bem simples. Isto responde ao item 1 e da condicoes de encarar o intem 2. Para responder 2 basta aplicar o que voce sabe sobre raizes racionais de equacoes polinomiais inteiras. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1652,290103 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] O armario e o corredor
Ola pessoal ! O problema abaixo deve ser do conhecimento de muitos de voces ... Ele e facil, mas tem uma resposta surpreendente : PROBLEMA : ( Descricao do Corredor ) Sobre uma mesa desenha-se um angulo reto AOB. Tomando um ponto O' no interior deste angulo, desenhamos o angulo reto A'O'B'. A distancia entre os segmentos paralelos OA e O'A' e a e a distancia entre os segmentos paralelos OB e O'B' e b. Qual e o comprimento maximo que uma vareta CD ( o Armario ) pode possuir de forma que ela possa, deslizando sobre a mesa, entrar em AA' e sair em BB' ? OBS : O comprimento maximo de CD deve ser dado em funcao de a e b SUGESTAO : Encoste a vareta em O'. Surgira um angulo entre a vareta e o segmento O'A' ( ou entre O'B'. Voce escolhe ). Expresse o comprimento da vareta em funcao do angulo, de a e de b. Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 5,0905,300103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] O armario e o corredor
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante simples, tinha uma solucao surpreendente ! Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, quando eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario atraves de um corredor em forma de L, quando entao os sucessivos fracassos os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, eu os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos anos vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido. Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia contida no fragmento abaixo esta correta e e o insight que mata a questao. Se eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem duvida apenas uma desatencao. Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de lados L1 e L2, se L1 + L2 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos um ponto em comum. Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista. A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance mao de intuicoes geometricas contestaveis. SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as coordenas (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : 0 = X = 1 0 = Y = 1 Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados L1 e L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD (EH) inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. 2) A (E) e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a mesma menor ordenada, A (E) sera o de menor abscissa 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice que representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas notacoes nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado que serao adotadas apos o desenho dos quadrados. por outro lado, e claro que : 0 = ALF,BET pi/2. Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os demais em funcao dele. Assim ( adotando A como origem ) : D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em funcao das coordenadas do vertice A e lembrando que estes vertices devem estar na regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes fornecera : L1*sen(ALF) = Xa = 1 - L1*cos(ALF) 0 = Ya = 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja L1 e qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice A devem satisfazer as condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q. Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e : L2*sen(BET) = Xe = 1 - L2*cos(BET) 0 = Ye = 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET)) Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao problema do Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 1 e contaditorio com as condicoes de confinamento. PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], [m,n] contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n] passa tambem no interior dos dois quadrados. SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer que os quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha que Xa e diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes e a demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa Xe. Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do ponto de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior abscissa], [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 1 os intervalos nao podem ser disjuntos. O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao de mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente subir a reta e ver o que acontece la em cima Um Abraco a todos ! Paulo Santa Rita 5,1802,300103 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200 Caro Paulo e demais colegas da lista: O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que contenha O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB. _ MSN Hotmail, o
Re: [obm-l] O armario e o corredor
Hi Salvador e demais colegas desta lista ... OBM-L, Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e publico aqui nesta lista. Desde agradeco. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1043,310103 From: Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT) Caros amigos, Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no seguinte: Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma curva de 90 graus e continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito. O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso. Abraco, Salvador On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante simples, tinha uma solucao surpreendente ! Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, quando eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario atraves de um corredor em forma de L, quando entao os sucessivos fracassos os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, eu os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos anos vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido. Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia contida no fragmento abaixo esta correta e e o insight que mata a questao. Se eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem duvida apenas uma desatencao. Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de lados L1 e L2, se L1 + L2 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos um ponto em comum. Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista. A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance mao de intuicoes geometricas contestaveis. SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as coordenas (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : 0 = X = 1 0 = Y = 1 Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados L1 e L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD (EH) inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. 2) A (E) e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a mesma menor ordenada, A (E) sera o de menor abscissa 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice que representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas notacoes nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado que serao adotadas apos o desenho dos quadrados. por outro lado, e claro que : 0 = ALF,BET pi/2. Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os demais em funcao dele. Assim ( adotando A como origem ) : D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em funcao das coordenadas do vertice A e lembrando que estes vertices devem estar na regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes fornecera : L1*sen(ALF) = Xa = 1 - L1*cos(ALF) 0 = Ya = 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja L1 e qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice A devem satisfazer as condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q. Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e : L2*sen(BET) = Xe = 1 - L2*cos(BET) 0 = Ye = 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET)) Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao problema do Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 1 e contaditorio com as condicoes de confinamento. PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], [m,n] contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n] passa tambem no interior dos dois quadrados. SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer que os quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha que Xa e diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes e a demonstracao esta conluida
[obm-l] Um problema de sistema !
Ola Pessoal ! Com certeza, voces nao terao dificuldades em resolver a seguinte questao : Considere que X,Y e Z sao positivos e que satisfazem o sistema abaixo, X^2 + XY + (Y^2)/3 = 25 (Y^2)/3 + Z^2 = 9 Z^2 + ZX + X^2 = 16 Encontre o valor de ( XY + 2YZ + 3ZX ). SUGESTAO : Voce nao precisa, necessariamente, resolver o sistema ... Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1133,310103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado.
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM, Resposta correta ! A percepcao que mata a questao e ver que num quadrado normal de lado i cabem exatamente (i-1) Quadrados inclinados. Assim, ser QN(i) for o toal de quadrados de lados i, entao (i-1)*QN(i) e o total de quadrados inclinados associados aos quadrados normais de lado i : T(i)= QN(i) + (i-1)*QN(i) = i*QN(i) Total de quadrados : somatorio de i*QN(i), i variando de 1 ate N. Como claramente QN(i)=(N-i+1)^2, segue que : Total de quadrados (T) : somatorio de i*(N-i+1)^2. Vou colocar este somatorio de forma que ele seja conveniente para voce responder o item 2. T= somatorio de (i*(N-i+1)^2), i variando de 1 ate N. T= 1*N^2 + 2*(N-1)^2 + 3*(N-2)^2 + ... + (N-1)*2^2 + N*(1^2) T= N^2 + (N-1)^2 + (N-2)^2 + (N-3)^2 + ... + 3^2 + 2^2 + 1^2 + (N-1)^2 + (N-2)^2 + (N-3)^2 + ... + 3^2 + 2^2 + 1^2 + (N-2)^2 + (N-3)^2 + ... + 3^2 + 2^2 + 1~2 + (N-3)^2 + ... + 3^2 + 2^2 + 1^2 ... ... ... + 3^3 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 A primeira linha e a soma dos N primeiros quadrados, que da : BI(N,1) + 3*BI(N,2) + 2*BI(N,3) A segunda linha e a soma dos N-1 primeiros qudrados, que da : BI(N-1,1) + 3*BI(N-1,2) + 2*BI(N-1,3) A terceira linha e a soma dos N-2 primeiros quadrados, que da : BI(N-2,1) + 3*BI(N-2,2) + 2*BI(N-2,3) e assim sucessivamente ... Vemos claramente que temos 3 colunas do triangulo de Pascal. Podemos, pois, aplicar o teorema das colunas. Portanto, o somatorio fica : T=BI(N+1,2) + 3*BI(N+1,3) + 2*BI(N+1,4) T=(BI(N+1,2) + BI(N+1,3)) + 2*(BI(N+1,3) + BI(N+1,4)) T=BI(N+2,3) + 2*BI(N+2,4) T=(BI(N+2,3) + BI(N+2,4)) + BI(N+2,4) T=BI(N+3,4) + BI(N+2,4) = BI(N+2,4) + BI(N+3,4) T = BI(N+2,4) + BI(N+3,4) Que grata surpresa ! Encontramos uma expressao ao mesmo tempo bela e simples ! Mais que isso : sao dois termos consecutivos da quinta coluna do triangulo de Pascal. Como diria Goeth - Sorvei, olhos meus, o que vos der a vida ... A copiosa beleza no Universo difundida ! -, a beleza e realmente irma da simplicidade ... Agora e facil, certo ? Existem dois termos consecutivos da quinta coluna do triangulo de Pascal cuja soma e uma potencia de 10 ? Oportunamente eu vou falar sobre combinacoes lineares de numeros binomias. E uma terra prenhe de tesouros poucos explorados ... Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1836,310103 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado. Date: Fri, 31 Jan 2003 12:02:05 -0200 Suponha que os lados do quadrado foram divididos em n partes iguais, cada uma com comprimento = 1. Sejam: D(k) = número de quadrados direitos (com lados paralelos ao quadrado maior) de lado com medida k contidos no quadrado maior (de lado n). T(k) = número de quadrados tortos (com lados não paralelos aos do quadrado maior) e que cabem num quadrado direito de lado k, mas não num quadrado de k-1. Não é difícil ver que: D(1) = n^2, D(2) = (n-1)^2, D(3) = (n-2)^2, ..., D(k) = (n-k+1)^2, ..., D(n) = 1^2 = 1 Além disso, temos: T(1) = 0, T(2) = 1, T(3) = 2, ..., T(k) = k-1, ..., T(n) = n-1 Justificativa: Suponha que os vértices do quadrado direito sejam os pontos (0,0), (k,0), (0,k) e (k,k) no plano cartesiano. Cada quadrado torto contado em T(k) terá que ter cada um de seus vértices contido numa aresta distinta do quadrado direito, caso contrário, ou ele teria dois vértices numa mesma aresta e seria direito ou então ele caberia num quadrado direito menor == ambas as situações contradiriam a definição de T(k). Além disso, como um vértice desse quadrado determina todos os outros, existe uma bijeção entre o conjunto de quadrados tortos contados em T(k) e o conjunto de vértices de tais quadrados contidos, por exemplo, na aresta que vai de (0,0) até (0,k). Estes últimos seriam (0,1), (0,2), ..., (0,k-1) - total de k-1 vértices == T(k) = k-1. Finalmente, temos a relação: Q(n) = [ D(1) + D(2) + ... + D(n) ] + [ D(1)*T(1) + D(2)*T(2) + ... + D(n)*T(n) ] Justificativa: Q(n) = no. total de quadrados direitos + no. total de quadrados tortos O primeiro termo entre colchetes é claramente o no. total de quadrados direitos. Cada quadrado direito de lado k contribui T(k) quadrados tortos que só cabem nele. Assim, a contribuição dos quadrados direitos de lado k para o total de quadrados tortos perfaz D(k)*T(k) quadrados. Quadrados tortos menores já terão sido contados como contribuição de quadrados direitos menores. Logo, o segundo termo entre colchetes é realmente o no. total de quadrados tortos. Usando D(k) = (n-k+1)^2 e T(k) = k-1, além de manipulações algébricas e de fórmulas manjadas para a soma dos primeiros n naturais, assim como de seus quadrados e cubos, chegamos a: Q(n) = n*(n+1)^2*(n+2)/12. ** Ainda estou pensando na
Re: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, A Resposta esta correta. Eu nao acompanhei todos os seus argumentos, tanto por falta de tempo quanto porque ha outras formas mais diretas de resolve-lo. Eu bolei esta questao especificamente para a OBM, nivel medio. Nao sei porque a banca nao aceitou propo-la. Nao e uma questao dificil, exige apenas um insight para o item 1 e, no item 2, exige conhecimentos bem divulgados. Segue abaixo uma questao questao que eu propus para o pessoal da OBM de nivel 2 ( setima/oitava series do 1 grau ) : Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor minimo que A pode ter ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1243,040203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2 Date: Tue, 4 Feb 2003 12:02:33 -0200 Caro Paulo: A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros p, para os quais existe um inteiro positivo n tal que: n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p == n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 == n = 1. Será que eu errei em algum lugar? E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4): CASO 1: n é ímpar n é ímpar == n+1 é par e n+2 é ímpar. Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y e n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == p+2 é par, x = 0 e y é par p+2 é par == p é par == p = 2q y é par == y = 2z == p-y = 2q-2z Assim: n+1 = 2^(q+1) * 5^ze n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z) Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1: Sub-caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == z = q == n+1 = 2^(q+1) * 5^q e n*(n+2) = 3 == n = 1 == q = 0 == p = 0 Sub-caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == (5,n+1) = 1 == z = 0 == n+1 = 2^(q+1) e n*(n+2) = 3 * 5^(2q) == n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1 == n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 * ^(2q) - 1 == 3 * 5^(2q) = 4 * 2^(2q) - 1 == 4 * 2^(2q) - 3 * 5^(2q) = 1 == q = 0 == n+1 = 2 e n*(n+2) = 3 == n = 1 == p = 0 CASO 2: n = 0 (mod 4) n = 0 (mod 4) == n+1 é ímpar e n+2 = 2 (mod 4) == (n+1)^2 = 3^x * 5^y en*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == x = 0 e y = 2z == n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n == (3,n+1) = (3,n+2) = 1 == n = 2^(p+1) * 3 e n+2 = 2 == XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n == 3 | n+1 == n = 2^(p+1) e n+2 = 2*3 = 6 == Q(n) = 196 10^p == XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == n+1 = 1 == XXX CASO 3: n = 2 (mod 4) n = 2 (mod 4) == n+1 é ímpar e n+2 = 0 (mod 4) == (n+1)^2 = 3^x * 5^y en*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y) com 0 = x = 1 e 0 = y = p (n+1)^2 é quadrado == x = 0 e y = 2z == n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z) Sub-Caso 1: 5 | n+1 5 | n+1 == (5,n) = (5,n+2) = 1 == n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n 3 | n == (3,n+1) = (3,n+2) = 1 == n = 2*3 = 6 == Q(n) = 196 10^p == XXX Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n 3 não | n == 3 | n+1 == n = 2 == Q(n) = 6 10^p == XXX Sub-Caso 2: 5 não | n+1 5 não | n+1 == n+1 = 1 == XXX ** Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O que importa e a ideia ... Como se pode observar abaixo, o unico
conhecimento realmente necessario e saber - como sabem todos os bons alunos
da 7 serie - que NUM TRIANGULO NAO OBTUSANGULO O QUADRADO DE QUALQUER LADO
E, NO MAXIMO, IGUAL A SOMA DOS QUADRADOS DOS OUTROS DOIS LADOS.
Alem disso, so e necessario ter a coragem de pensar e errar tantas vezes
quantas forem necessarias ate esclarecer o enigma. Nunca e vergonhoso errar,
quando estamos tentamos acertar. Claramente que so nao erram Deus e os
Imbecis. Como diria Schiller : Oh discipulo covarde ! Rompe a inercia e a
sonolencia e engolfa-te brioso no arrebol que anteves !
A questao seguinte foi proposta pelo *Conway em outra lista :
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1752,040203
*Ou foi pelo Conway ou foi pelo Katz. Nao me lembro ao certo.
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos
Date: Tue, 4 Feb 2003 17:10:04 -0200
Caro Paulo:
Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia
inicial
é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final...
Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se
que
quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo
nao
obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de
todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e
escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor
minimo que A pode ter ?
Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados:
a1 a2 ... a100.
O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo == todos os outros
triângulos são não-obtusângulos e, além disso:
a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) =
a1^2 + a1^2 ==
a100 = a1*raiz(2)
A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso
implica
que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N
tal
que N+99 = N*raiz(2) ==
(N+99)^2 = 2*N^2 ==
N^2 - 198*N - 9801 = 0 ==
N = 99 + 99*raiz(2) == N = 240
Assim, X = {240, 241, ..., 339 } ==
S = soma dos elementos de X = 28.950.
Sejam:
E = soma dos perímetros dos equiláteros
I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros
C = soma dos perímetros dos escalenos
Então:
E = 3*S = 86.850
I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150
C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450
Logo, A = E + I + C = 149.121.450
Um abraço,
Claudio.
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[obm-l] Re: [obm-l] Função Iterada
Ola Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Eu vou encontrar o problema e a minha solucao enviarei novamente para esta
lista. Talvez, por te-lo reconstituido de memoria, eu tenha colocado uma
composicao a mais - deve ser so f(n), f(f(N)) e
f(f(f(N)))- no enunciado abaixo. Peco desculpas a todos.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
4,1016,050203
OBS : Nao vi o problema. Mais tarde, quando estiver com mais tempo, eu vou
dar uma olhada e envio a solucao.
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Função Iterada
Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200
Caro Paulo:
Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um
contra-exemplo: N = 4
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os
numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.
N = 4 ==
f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==
f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==
f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833
Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que,
qualquer
que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção
de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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[obm-l] Loteria Matematica II
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse
enunciado e um problema ?
Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida :
{1,2,3,4,5,6}
{7,8,9,10,11,12}
{13,14,15,16,17,18}
{19,20,21,22,23,24}
{25,26,27,28,29,30}
{31,32,33,34,35,36}
{1,2,7,8,13,14}
{3,4,9,10,15,16}
{5,6,11,12,17,18}
Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de
{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com exatamente
7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar
nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
pessoa que acertar o maior numero de triplos.
1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar o
primeiro premio
2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1300,060203
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que,
qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } -a
interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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[obm-l] Re: [obm-l] Função Iterada
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, E verdade. Verifiquei a mensagem original do Conway. O enunciado correto e : Seja f(x)=x^2 + x + 1. Mostre que para todo natural N 1, os numeros N, f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), ... sao primos entre si. Um problema trivial. Basta analisar o MDC(N,f(N)). O problema abaixo nao e facil. Este problema me foi proposto a cerca de 8 anos atras e a pessoa me contou que o problema havia sido proposto ao Euler, que nao o resolveu. Mas nao sei se esta historia e verdadeira. PROBLEMA : Num poligono convexo de N lados e tal que duas diagonais quaisquer nao sao paralelas. Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccao de diagonais ? OBS : Considere que nenhum ponto ( interior ou exterior ao poligono ) e ponto de interseccao de mais de duas diagonais. SUJESTAO : Antes de fazer uma sugestao, gostaria de registrar que o nosso colega Alexandre Tessarolo resolveu esta questao aqui nesta lista. A solucao dele nao e essa que vou sugerir. De um vertice partem N-3 diagonais. Se N e par havera uma unica diagonai N-3 diagonais se encontram. Afora este caso, duas diagonais quaisquer se encontraram ou fora ou dentro do poligono. IMAGINE as diagonais que partem de um vertice. Considerando qualquer uma delas em particular, observe que ela cinde o poligono em dois outros sub-poligonos que tem um lado em comum ( que e a diagonal sob analise ). Qualquer par de diagonais, uma de cada um dos sub-poligonos representam um ponto de interseccao no exterior, a excecao daqueles pares que tem um vertice comum. Finalmente, para que nao surjam dificuldades devido a paridade de N, use [N], a funcao maximo inteiro : o maior inteiro que nao supera N. Lembre-se tambem que em somatorios complicados, o uso de numeros binomiais costuma facilitara as coisas. Um Grande Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1214,060203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Função Iterada Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200 Caro Paulo: Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um contra-exemplo: N = 4 Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os numeros f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre si. N = 4 == f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 == f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 == f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833 Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao )
Ola Pessoal !
No enunciado abaixo leiam : Numa loteria 7 (SETE) numeros escolhidos
aleatoriamente de {1,2,3, ...,48,49} ...
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Loteria Matematica II
Date: Thu, 06 Feb 2003 15:02:16 +
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse
enunciado e um problema ?
Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida :
{1,2,3,4,5,6}
{7,8,9,10,11,12}
{13,14,15,16,17,18}
{19,20,21,22,23,24}
{25,26,27,28,29,30}
{31,32,33,34,35,36}
{1,2,7,8,13,14}
{3,4,9,10,15,16}
{5,6,11,12,17,18}
Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de
{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar
sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
pessoa que acertar o maior numero de triplos.
1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
o primeiro premio
2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1300,060203
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que,
qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } -a
interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Loteria Matematica II
Ola Pessoal !
O enunciado diz que QUALQUER E verdade. O enunciado se refere a qualquer T
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II
Date: Thu, 6 Feb 2003 16:49:31 -0200
Caro Paulo:
Infelizmente, o problema é um pouco mais difícil do que isso.
Por exemplo, tome o subconjunto A = {1,12,15,19,25,31}
{1,2,3,4,5,6} == encontra A em 1
{7,8,9,10,11,12} == encontra A em 12
{13,14,15,16,17,18} == encontra A em 15
{19,20,21,22,23,24} == encontra A em 19
{25,26,27,28,29,30} == encontra A em 25
{31,32,33,34,35,36} == encontra A em 31
{1,2,7,8,13,14} == encontra A em 1
{3,4,9,10,15,16} == encontra A em 15
{5,6,11,12,17,18} == encontra A em 12
Após muitos e muitos desenhos de diagramas de Venn eu finalmente encontrei
uma solução...minha suspeita é que eu dei sorte!!!
Vou pensar no problema que você propôs.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 1:02 PM
Subject: [obm-l] Loteria Matematica II
Ola Claudio e demais
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Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse
enunciado e um problema ?
Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida :
{1,2,3,4,5,6}
{7,8,9,10,11,12}
{13,14,15,16,17,18}
{19,20,21,22,23,24}
{25,26,27,28,29,30}
{31,32,33,34,35,36}
{1,2,7,8,13,14}
{3,4,9,10,15,16}
{5,6,11,12,17,18}
Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de
{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
exatamente
7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar
nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
pessoa que acertar o maior numero de triplos.
1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
o
primeiro premio
2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1300,060203
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que,
qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } -a
interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Loteria Matematica II
Ola Pessoal !
Pelo que eu entendi, o enunciado diz que QUALQUER que seja T, deve ser
possivel encontrar AO MENOS UM tal que a intersecao seja vazia. A familia
que eu sugeri e :
{1,2,3,4,5,6} subconjunto 1
{7,8,9,10,11,12} subconjunto 2
{13,14,15,16,17,18} subconjunto 3
{19,20,21,22,23,24} subconjunto 4
{25,26,27,28,29,30} subconjunto 5
{31,32,33,34,35,36} subconjunto 6
{1,2,7,8,13,14} subconjunto 7
{3,4,9,10,15,16} subconjunto 8
{5,6,11,12,17,18} subconjunto 9
Qual um dos seis primeiros tem interseccao vazia com qualquer outros dos
seis primeiros. Qualquer um dos tres ultimos tem intersecao vazia com os
subconjuntos de 4 a 6. Isto e : Dado T, existe sempre AO MENOS UM tal que a
interseccao de T com ele e vazia.
Talvez voce queira dizer ( e eu nao entendi assim ) que T e a familia de
TODOS os subconjuntos de {1,2,...,35,36} e os nove que nos devemos formar
devem ser tais que qualquer elemento de T encontre algum dos nove que tenha
interseccao nula. E isso ?
Um Abraco
Paulo Santa Rita
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II
Date: Thu, 6 Feb 2003 16:49:31 -0200
Caro Paulo:
Infelizmente, o problema é um pouco mais difícil do que isso.
Por exemplo, tome o subconjunto A = {1,12,15,19,25,31}
{1,2,3,4,5,6} == encontra A em 1
{7,8,9,10,11,12} == encontra A em 12
{13,14,15,16,17,18} == encontra A em 15
{19,20,21,22,23,24} == encontra A em 19
{25,26,27,28,29,30} == encontra A em 25
{31,32,33,34,35,36} == encontra A em 31
{1,2,7,8,13,14} == encontra A em 1
{3,4,9,10,15,16} == encontra A em 15
{5,6,11,12,17,18} == encontra A em 12
Após muitos e muitos desenhos de diagramas de Venn eu finalmente encontrei
uma solução...minha suspeita é que eu dei sorte!!!
Vou pensar no problema que você propôs.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 1:02 PM
Subject: [obm-l] Loteria Matematica II
Ola Claudio e demais
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Voce tem certeza que o problema e esse ai embaixo ? Mais que isso : esse
enunciado e um problema ?
Os sub-conjuntos abaixo constituem uma escolha valida :
{1,2,3,4,5,6}
{7,8,9,10,11,12}
{13,14,15,16,17,18}
{19,20,21,22,23,24}
{25,26,27,28,29,30}
{31,32,33,34,35,36}
{1,2,7,8,13,14}
{3,4,9,10,15,16}
{5,6,11,12,17,18}
Numa loteria sao sorteados 1 numeros escolhidos aleatoriamente de
{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
exatamente
7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar
nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
pessoa que acertar o maior numero de triplos.
1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
o
primeiro premio
2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1300,060203
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que,
qualquer que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } -a
interseção de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Loteria Matematica II
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
1) A dificuldade do problema e precisamente exibir uma AGMP. E verdade que
uma AGMP tera exatamente 56 cartoes ( neste caso ). De maneira geral, se P e
primo e sao sorteados P numeros de {1,2,...,P^2} o total de cartoes de uma
AGMP sera de P*(P+1), desde que cada cartao tenha exatmente P dezenas ( eu
nao coloquei as coisas assim para que tudo ficasse mais facil ).
2) Eu conheco tres caminhos para se montar uma AGMP : usando numeros
binomiais, planos afins ou matrizes. Em verdade, se P e primo, toda potencia
de P (P^N) permite uma AGMP. A forma matricial e uma generalizacao do
processo de transposicao de matrizes. Penso que este e o caminho mais
acessivel pra voce.
Sugestao ( ; = fim de linha. Modelo : [linha 1 ; linha 2] )
[1,2 ; 3,4],[1,3 ; 2;4],[1,4 ; 2;3]
E uma AGMP para P = 2. Construa AGMP's para P=3,5,... e procure descobrir a
lei de formacao. E uma generalizacao do processo de transposicao de
matrizes.
3)Uma aposta pode ser um cartao ou varios. O total de triplos que uma
pessoa acerta e a soma dos acertos de cada um de seus cartoes. Ganha o
primeiro premio que acertar mais triplos e nao quem tenha o cartao
individual que acertou mais triplos.
Exemplo :
Joao, 1 cartao : acertou 3 triplos
jose, 2 cartoes : 2 triplos certos no primeiro cartao, 2 triplos certos no
segundo cartao. Total : 4 triplos.
Vencedor : Jose.
4) A quantidade de triplos apostados de uma AGMP e constante. Existem uma
quantidade enorme de AGMP's
5) Em verdade, as AGMP's sao estruturas de grande beleza ... considere que
UM DUPLO e um PEIXE PEQUENO. Uma AGMP seria, assim, uma rede que pega todos
os duplos, isto e, todos os peixes pequenos, qualquer que seja o sorteio que
algum *GMM bolar ... E possivel extender essas AGMP's de forma que um
conjunto de AGMP's se torna uma rede de outra categoria que apanha todos os
triplos. Um conjunto dessas ultimas pega todos as quadras e assim
sucessivamente ...
Se voce considerar que um DUPLO e UMA COMUNICACAO e um CARTAO DE APOSTAS e
uma equipe de pessoas, uma AGMP seria uma rede de comunicacao na qual cada
duas pessoas estariam juntas uma unica vez em determinada equipe e qualquer
duas pessoas estiveram ou estarao juntas, tudo isso acontecendo uma unica
vez ... Quer dizer, voce pode aplicar isso em treinamento, telecomunicacoes
etc.
Eu nunca li na literatura Matematica alguem falando sobre AGMP's. Eu
descobri estas coisas ha muito tempo atras, generalizando o conceito de
transposicao de matrizes, de forma a incluir nesta generalizacao o processo
de Linnus Pauling para determinacao dos niveis energeticos dos eletrons em
Mecanica Quantica.
Eu acho que isso e suficiente para voce perceber com que estrutura
maravilhosa voce esta lidando : basta ter olhos adeguadas pra ver ...
Bom, eu vou ficando por aqui. O meu chefe quer uma planilha simploria pra
controlar os bug's de hardware.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1712,070203
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao )
Date: Fri, 7 Feb 2003 16:26:27 -0200
Caro Paulo:
Fiz algumas coisas com relação a este seu problema. Gostaria de
comentários.
Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de
{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes
desejar
sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
pessoa que acertar o maior numero de triplos.
1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de
ganhar
o primeiro premio
2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
PARTE 1:
Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número
em comum.
Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar
contido em no máximo 1 cartão.
Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade
(agmp).
Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números.
Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M.
O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176.
Logo, vale a desigualdade: 21*M = 1.176 == M = 56.
Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões.
Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não
consegui construir uma.
PARTE 2:
Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é
C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores
também é igual a 35.
Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma
agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos.
Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o
cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior
soma
dos números de triplos vencedores em cada cartão apostado. Por
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
Ola Pessoal, Falando em Erdos, aqui esta um problema famoso e antigo resolvido pelo Erdos ( Cmado Teorema das 13 esferas ) - que Newton nao resolveu - de uma forma extremamente trabalhosa, mas que permite uma outra solucao, bem mais simples : PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a quantidade maxima de esferas que podemos colocar ? SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em O, o centro de C. IMAGINE todas as semi-retas que partem de O e que sao tangentes a C1. Isto define um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ? O valor de um angulo-solido e medido em esfero-radianos e, por definicao, e a divisao entre a area que ele intercepta na superficie esfera e o quadrado do raio. Assim, claramente, numa esfera ha 4pi esfero-radianos. Calcule a ara da calota esferica ( existem formulas prontas ) e divida pelo quadrado do raio que voce encontrara o valor o angulo solido. Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido de mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce percebera que : 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres calotas iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero radianos, do angulo solido correspondente a esta area ? Os planos que contem O e dois outros centros de duas das tres esferas C1, C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico equilatero. A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao ao angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. Subtrando esta area dos gomos em C1, C2 e C3 calculamos o valor da regiao central. 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma nova regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem ultrapassar 4*pi esfero-radianos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1230,100203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Date: Mon, 10 Feb 2003 11:42:15 -0300 Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Tres belos problemas
Ola Pessoal, Seguem abaixo tres problemas : 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo, a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior que 7/2 ? 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. 3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 3,1455,110203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Previdência
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, A minha intencao era ressaltar o fato de que o tempo normal de contribuicao ( 30 a 35 anos ) e MAIS QUE SUFICIENTE para que um trabalhador qualquer se aposente com um salario integral, sem dpender da contribuicao do pessoal da ativa. Se ha deficit e porque o governo nao geriu com responsabilidade e inteligencia as contribuicoes mensais que os aposentados, quando na ativa, compulsoriamente faziam. O que me revoltou foi ver um ancora de um programa jornalistico de grande audiencia, com garbo e aparente seriedade, iludindo as pessoas mais simples - que nao refletem sobre o que ouvem e leem - ao mascarar as reais causas do deficit da previdencia. Parece-me que e dever das autoridades de todos os niveis esclarer e proteger os menos afortunados, nao engana-los ... Perdao pelo desabafo ( off-topic ). Vou me redimir : Nao sei se voce percebeu, mas na resolucao abaixo voce usou o conceito de EQUIVALENCIA DE CAPITAIS. Dois conjuntos de capitais sao equivalentes EM DETERMINADA DATA se, transpostos para esta data, representam o mesmo valor. PROBLEMA : Basicamente existem dois regimes de juros : simples e composto. 1) Prove que no sistema de juros composto, dois conjuntos de capitais equivalentes em uma determinada data sao equivalente em qualquer outra. 2) Pode, no sistema de juros simples, dois conjuntos de capitais serem equivalentes em MAIS DE UMA DATA ? Um Grande abraco a todos ! Paulo Santa Rita 4,1826,120203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Previdência Date: Wed, 12 Feb 2003 17:31:40 -0300 Caro Paulo: A idéia aqui é igualar o valor futuro das contribuições e o valor presente do benefício, ambos calculados na data da aposentadoria. PROBLEMA : Suponha que todo mes e descontado compulsoriamente de um trabalhor 10% do seu salario e que o empregador contribua tambem com 10%( sistema bi-partide ). Suponha que esses 20% ( geridos pelo governo ) sao aplicados juros de 0.5% ao mes, que sao capitalizados ( A correcao monetaria e um direito. Pode ser desconsiderada para este calculo ). Qual a quantidade minima de anos que o trabalhador deve contribuir para que ao fim desse periodo ele possa receber durante 20 anos o valor integral de seu ultimo salario ? N = número de meses de contribuição S = salário mensal do trabalhador Valor Presente do Benefício, calculado em t = N: VP(Benef) = S/1,005 + S/1,005^2 + ... + S/1,005^(20*12) = = (S/1,005)*[(1/1,005)^240 - 1]/(1/1,005 - 1) = 139,58077*S (*) Valor Futuro (em t=N) das Contribuições Mensais de 0,20*S VF(Contrib) = 0,20*S*[ 1 + 1,005 + 1,005^2 + ... + 1,005^(N-1) ] = 0,20*S*(1,005^N - 1)/(1,005 - 1) = 40*S*(1,005^N - 1) (**) Igualando (*) e (**), teremos: 1,005^N - 1 = 139,58077/40 = 3,489519 == 1,005^N = 4,489519 == N = ln(4,489519)/ln(1,005) = 301,099 meses Ou seja, o trbalhador terá que contribuir durante 302 meses, ou 25 anos e 2 meses (se eu não errei nas contas) Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Dois belos problemas
Ola Pessoal,
Preservando e promovendo o CARATER OLIMPICO que esta nossa lista sempre
teve, seguem dois novos PROBLEMAS OLIMPICOS :
(1-ASIATICO PACIFICO) Seja S o conjunto de todos os triangulos ABC que teem
um mesma base fixa AB e altura relatica a AB (tracada de C) constante e
igual a H. Para quais destes triangulos o produto de suas alturas e maximo ?
(2-CHINA) 10 pessoas chegaram a uma livraria. Sabe-se que :
A) Todos as pessoas compraram livros de 3 disciplinas
B) Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a qual
ambas compraram livros.
Enumerando-se as disciplinas sobre as quais ha livros na livraria, seja M(i)
o numero de pessoas que compraram livros da disciplina i. Qual e o menor
valor positivo possivel para o MAXIMO de {M(1), M(2), ... } ?
Estes problemas nao precisam de sugestao.
Um Grande abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,1610,130203
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[obm-l] Negocio da China !
Ola Pessoal, Seguem abaixo as traduçoes ( do ingles ) de tres problemas de Olimpiadas da China. (1 - CHINA 1990 ) S e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e F e uma funcao real definida sobre S tal que F(A) 1990 para algum elemento A de S. Sabe-se tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos B e C de S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um sub-conjunto Y de X tal que : F(D) 1990 para todo D contido em Y F(D) = 1990 para todo D contido em X-Y (2 - CHINA 1992 ) As diagonais de um quadrilatero ciclico (inscritivel) encontram-se em X. O circulo circunscrito ao triangulo ABX encontra o circulo circunscrito ao triangulo CDX em X e Y. Se O e o centro do circulo circunscrito ao quadrilatero ABCD e O,X e Y sao distintos dois a dois, mostre que OY e perpendicular a OX. (3 - CHINA 1994 ) Seja p(z)= z^N + An-1*z^(N-1) + ... + A0 um polinomio com coeficientes complexos. Mostre que nos podemos encontrar um ponto (numero complexo) z com modulo(z') = 1 e tal que modulo(p(z')) = 1 + modulo(A0). Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1209,190203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] O numero fi
Ola Pessoal, O numero fi ( letra grega ) e um dos numeros mais notaveis da Matematica. Ele aparece no problema geometrico de dividir um segmento em Media e extrema razao ( expressao devida aos gregos ). Seja L o comprimento de um segmento AB. Encontrar um ponto C interior a AB tal que : AC/CB = AB/AC. Tomando A por origem (AC=x) , fica : x/(L-x)=L/x = x^2 + Lx - L2 = 0 Daqui : x=( (raiz_2(5) - 1)/2 )*L. Fazendo L=1 x = ( (raiz_2(5) - 1)/2 ). Essa solucao e o numero fi, isto e : fi = ( (raiz_2(5) - 1)/2 ) O numero fi mantem uma relacao muito proxima com a beleza e tem relacoes matematicas muito interessantes ... PROBLEMA 1) fi e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia de numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente uma PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe outra(s) ? PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de fibonaci. Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1130,200203 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] O numero fi
Oi Claudio, Nao ha erro. Claramente que se a-r,a,a+r (uma PA)e uma PG entao a^2=(a-r)(a+r) = r=0, isto e, uma PA so e PG se os termos forem constantes. No enunciado abaixo, onde se le PA, leia-se Propriedade Aritmetica : An+1=An + An-1. Procura-se uma sequencia A1, A2, ... que tenha apropriedade aritmetica e que tambem seja uma Progressao Geometrica. Com o numero fi existem duas sequencias assim. A serie : 1, fi, 1+fi, 1+2fi, 2+3fi, 3+5fi,5+8fi, ... e chamada SEQUENCIA AUREA. Aqui, fi=(1+raiz_2(5))/2. Considere agora 1, fi, fi^2, fi^3, ... Um Abraco Paulo Santa rita 6,1012,210203 Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1005,210203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O numero fi Date: Thu, 20 Feb 2003 17:31:13 -0300 Caro Paulo: Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do Problema 1. PROBLEMA 1) fi e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia de numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente uma PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe outra(s) ? Seja A(0) = A Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com: D 0 e Q 1 se A 0 ou 0 Q 1 se A 0 (de qualquer forma, Q 1). n = 1: A(1) = A + D = A*Q n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2 (1) == D = A*(Q - 1) (2) - (1) == D = A*Q*(Q-1) == A*(Q-1) = A*Q*(Q-1) A = 0 == PG é constante == contradição == A 0 == Q-1 = Q*(Q-1) Como Q 1 == Q = 1 == contradição Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes. * PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de fibonaci. Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ? O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem conhecida e dada por: A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n] onde U = (1+raiz(5))/2 (A(1) = A(2) = 1) Assim, A(n)/A(n-1) = [U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] = [U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)] Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2 Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Numeros figurados
Ola Pessoal, Os termos da sequencia 1, 3, 6, 10, ..., (n(n+1))/2, ... sao chamados NUMEROS TRIANGULARES, pois considerando cada termo uma quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um triangulo com esta quantidade de pontos. Ja os termos da sequencia : 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... Sao chamados NUMEROS QUADRANGULARES : considerando cada termo como uma quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um quadrado com qualquer deles. Esse conceito pode ser extendido... Podemos falar em NUMEROS PENTAGONAIS, NUMEROS HEXAGONAIS, ETC. Se P e o numero de lados do poligono sobre consideracao, os NUMEROS P-AGONAIS sao dados pela equacao : An = (N/2)*(2 + (N-1)(P-2)) Um problema interessante - e que nao e facil, alerto ! - e determinar quais os numeros que pertencem a duas ( ou mais ) categorias dadas. Por exemplo : PROBLEMA ) Quais sao os numeros naturais que sao simultaneamente triangulares e pentagonais ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1503,210203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Euler e Goldbach
Ola Pessoal ! Bom, como nosso colega Igor falou sobre a conjetura de Goldbach, sobre a Escola Publica e como eu so estudei em Escolas Publicas, me lembrei de um problema que li em uma biblioteca de Escola Publica e que foi proposto a Euler pelo Goldbach. PROBLEMA ) Considere um poligono convexo de N lados. Determine, em funcao de N, de quantas maneiras distintas e possivel dividir este poligono em areas triangulares usando-se tao somente as diagonais deste poligono. NOTA : Imagine que o poligono esta fixo, nao podendo girar ou transladar. SUGESTAO : IMAGINE uma divisao valida ! Entao e possivel imaginar o poligono como um quebra-cabeca no qual cada peca e um triangulo ... Dado que de cada vertice partem N-3 diagnais, considere sobre tal configurcao o efeito de se tracar outras diagonais. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 2,1533,240203 EM TEMPO : No fundo, conforme aprendi na Escola Publica, o que e valido sobre o ensino particular ou publico e a afirmacao do Fernando Pessoa : Tudo vale a pena quando a alma nao e pequena ! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] O Primeiro Problema Russo
Ola Pessoal ! Esta mensagem e uma resposta a todos aqueles que me escreveram em off perguntando sobre o Primeiro Problema Russo. Se, para alguns, a resposta foi demorada, e por absoluta falta de tempo. O Primeiro Problema Russo ( e 99 outros ) esta em : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Todas as perguntas podem ser resumidas nas 7 respostas abaixo. 1) Eu verifiquei o enunciado. Esta correto. 2) O Problema foi proposto na Olimpiada Nacional da Russia para alunos que estudam numa serie proxima ao nosso 3 ano do nivel medio. 3) Sim, voces podem resolve-lo usando a teoria dos grafos : considere cada regiao como um ponto e o caminho ligando duas regioes como uma aresta. Lembrem-se que que num grafo so ha um caminho euleriano se o grau de cada vertice e par 4) Sim, existe uma maneira de resolver sem usar a teoria dos grafos. Basta observar que se ha um poligono convexo de N lados em um plano e N e par, entao se eu partir de fora do poligono e cruzar todas as arestas uma unica vez vou terminar tambem do lado de fora do poligono. Se N for impar, ocorre o contrario : se eu partir de fora termino dentro e vice-versa. 5) Claramente Sim. Voces podem generalizar o raciocinio acima para uma regiao arbitaria. 6) Nao. Caminho euleriano e uma coisa, caminho hamiltoniano e outra. 7) Nao. ( em minha opiniao ! ) Nao e necessario usar o teorema de Ramsey. Em verdade, nao vejo em que esse teorema pode ser util naquele caso. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1733,240203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia
a explicacao dos fenomenos, isto e, avancamos ate as demonstracoes. Primeiro voce sente, depois voce pensa ... A emocao precede a razao e o raciocinio. Qualquer pessoa que for sincer consigo mesmo e com os outros vai admitir que nunca descobre as coisas tal como apresenta em sua demonstracoes. Existe algo que precede a demonstracao e que nao e o pensar e nao o raciocinar. E o sentir, a intuicao, a inspiracao, a a forma especial do intelecto ´perceber os fenomenos matematicos ! Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1734,250203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia Date: Tue, 25 Feb 2003 11:30:15 -0300 Tenho três dúvidas, vejam: 1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso? Para 4 ou mais dimensões, o mais simples é usar n-uplas ordenadas de números reais para representar pontos no espaço n-dimensional. Assim, um hiper-cubo de 4 dimensões e aresta = 2 teria por vértices os 16 pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1). Na natureza eu não conheço nenhum exemplo além do espaço-tempo de 4 dimensões (uma delas é o tempo) no qual nós vivemos - vide qualquer livro sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o universo tem na verdade 10 ou 26 dimensões, mas as 6 ou 22 restantes estão tão curled up (enroladinhas) que nós não conseguimos percebê-las. 2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) do número imaginário i. A única coisa que me lembro, foi que a demonstração foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação com o ponto P (-1,0). Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte histórica do número i e dos números complexos, mas vocês não falaram nada de demonstrações. A única coisa mais próxima disso foi quando disseram que o número i surgiu quando os matemáticos procuraram resolver a equação raiz (-1) = ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto histórico do nº imaginário e complexo e não uma explicação matemática e real(real no sentido não matemático). Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matemática do Elon Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da relação entre nos. complexos, logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas. A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos são os seguintes: 1) Além de se somarem como vetores, os complexos têm uma multiplicação com uma interpretação geométrica muito clara, que envolve dilatação/contração e rotação. 2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polinômio de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas raízes. No entanto, descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer polinômio de grau n = 1 e com coeficientes complexos tivesse n raízes. Esse resultado é o Teorema Fundamental da Álgebra. 3) A extensão dos métodos do cálculo para o domínio dos complexos revelou propriedades surpreendentes que não existem no domínio real. Isso tem a ver com o fato de que a existência da derivada de uma função complexa é uma condição muito mais forte do que a existência da derivada de uma função real. 3ª) Uma outra dúvida sobre demosntrações: Se algum leigo em matemática pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para provar a existência do número Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para medir o comprimento de qualquer circunferência com uma fita métrica e então dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele não soubesse o que era raio era só explicar). Agora pergunto: É possível fazer uma demonstração semelhante (em termos de relação com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? Medir uma circunferência com uma fita métrica não prova a existência de Pi. No máximo dá uma aproximação para o seu valor real. Pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante. A existência de Pi, e, ou de qualquer número real é uma consequência do do fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o único) corpo ordenado completo. Assim, por exemplo, e pode ser definido como o número real tal que: e INTEGRAL dx/x = 1. 1 Pode-se provar (com base no completamento dos reais) que essa integral converge para um número real, que se convencionou chamar de e (acho que foi Euler que deu este nome). Além disso, pode-se provar que e também é o limite das sequências: An = (1 + 1/n)^n ou Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Um abraço, Claudio
Re: [obm-l] Problemas em Aberto III
Ola Prof Nicolau e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Representando por (um ponto) N a nave, traçamos todas as tangentes à esfera
que passam por N. Isso define uma calota na esfera. Se o alienígena estiver
nesta calota entao entende-se que a Nave o
encontrou.
A solução deve prescindir da distancia da Nave à superficie do planeta e de
eventuais variações nos sentidos e modulos das velocidades envolvidas.
A ideia - do Claudio/Pratica/ - de publicar os problemas que foram
propostos nesta lista e que permanecem em aberto me parece muito boa
Um famoso problema pode se reformulado da seguinte maneira :
Seja S o conjunto de todas as sequencia FINITAS de INTEIROS POSITIVOS
tais que se {Xn}=X1, X2, ...,Xn pertence a S entao para todo P N,
X1+X2+...+Xp NAO E congruo a 1 modulo 3. Mostre que existe uma bijecao entre
S e o conjunto de todos os impares positivos.
Um Abraço
Paulo Santa Rita
3,1900,040303
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto III
Date: Sun, 2 Mar 2003 10:04:30 -0300
25) Um alienígena move-se na superfície de um planeta com velocidade
não superior a U. Uma espaçonave que procura pelo alienígena move-se com
velocidade V. Prove que a espaçonave sempre poderá encontrar o
alinígena se V 10U.
Não entendi nada. Quando é que a nave encontra o alienígena?
[]s, N.
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Re: [obm-l] ajuda...
Oi Celso e demais colegas desta lista , Voce deve estar querendo descobrir o MENOR VALOR INTEIRO E POSITIVO. Realco : E POSIVITO ! Para ver isso, tome r=-3. Haverao 4 solucoes e no entanto, r=-3 e inteiro, menor que qualquer das alternativas apresentadas. Supondo esta correcao : Claramente que deve ser X # 0 ( # significa DIFERENTE DE ). Substituindo Y na equacao do circulo ficara : X^2 + 1/(X^2) = R^2 X^4 - (R^2)X^2 + 1 = 0 Pelas relacoes de Girard ( relacoes entre coeficientes e raizes ) vemos que o produto ( c/a=1 ) e a soma das raizes (-b/a=R^2) sao positivos. Resta portanto impor que o discriminante seja positivo, isto e, que : R^4 - 4 0 Os zeros de R^4 - 4 sao RAIZ(2) e -RAIZ(2) e a inequacao sera satisfeita para R -RAIZ(2) ou R RAIZ(2). Portanto, omenor inteiro positivo e R RAIZ(2), isto e : R=2. Agora, considere a seguinte variante de seu problema : Dentre todos os valores de R para os quais o sistema : Y=1/X (X-A)^2 +(Y-B)^2 = R^2 tem exatamente 3 solucoes reais, caracterize aquele(s) que tem a soma A+B como Minimo. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,2013,030603 From: Celso Junior dos Santos Francisco [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ajuda... Date: Mon, 2 Jun 2003 13:55:27 -0300 (ART) (UERJ)-Observe o sistema: y=1/x x^2+y^2=r^2 O menor valor inteiro de r para que o sistema acima apresente quatro soluções reais é: a)1b)2c)3 d)4 Gabarito: b - Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Correcao !
Correcao : Perdao. Na mensagem abaixo : A e B devem ser inteiros e a soma um MINIMO POSITIVO. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ajuda... Date: Tue, 03 Jun 2003 23:15:06 + Oi Celso e demais colegas desta lista , Voce deve estar querendo descobrir o MENOR VALOR INTEIRO E POSITIVO. Realco : E POSIVITO ! Para ver isso, tome r=-3. Haverao 4 solucoes e no entanto, r=-3 e inteiro, menor que qualquer das alternativas apresentadas. Supondo esta correcao : Claramente que deve ser X # 0 ( # significa DIFERENTE DE ). Substituindo Y na equacao do circulo ficara : X^2 + 1/(X^2) = R^2 X^4 - (R^2)X^2 + 1 = 0 Pelas relacoes de Girard ( relacoes entre coeficientes e raizes ) vemos que o produto ( c/a=1 ) e a soma das raizes (-b/a=R^2) sao positivos. Resta portanto impor que o discriminante seja positivo, isto e, que : R^4 - 4 0 Os zeros de R^4 - 4 sao RAIZ(2) e -RAIZ(2) e a inequacao sera satisfeita para R -RAIZ(2) ou R RAIZ(2). Portanto, omenor inteiro positivo e R RAIZ(2), isto e : R=2. Agora, considere a seguinte variante de seu problema : Dentre todos os valores de R para os quais o sistema : Y=1/X (X-A)^2 +(Y-B)^2 = R^2 tem exatamente 3 solucoes reais, caracterize aquele(s) que tem a soma A+B como Minimo. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,2013,030603 From: Celso Junior dos Santos Francisco [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ajuda... Date: Mon, 2 Jun 2003 13:55:27 -0300 (ART) (UERJ)-Observe o sistema: y=1/x x^2+y^2=r^2 O menor valor inteiro de r para que o sistema acima apresente quatro soluções reais é: a)1b)2c)3 d)4 Gabarito: b - Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Vestibular ITA
Ola Tiago e demais colega desta lista ... OBM-L, Acredito que o Site : http://www.penbadu.hpg.com.br possa lhe ajudar. Da uma olhada. E boa sorte na sua empreitada ! Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1016,230603 From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Vestibular ITA Date: Mon, 23 Jun 2003 09:49:18 -0300 Olá, Meu nome é Tiago. Tenho 20 anos, atualmente estudo Física na USP à noite e durante o dia trabalho como consultor em análise e programação. Estou disposto a me sacrificar até o limite para entrar no ITA ou POLI. Na verdade meu sonho é entrar no ITA. Sei que o melhor seria eu sair do emprego, mas, sinceramente, meu emprego não é ruim no que diz respeito ao retorno financeiro. Realmente não é um emprego que se pode facilmente desperdiçar na atual situação em que estamos. Além disso, caso eu entre em uma dessas duas universidades vou precisar de dinheiro para me manter sem trabalhar. Estou guardando. Pretendo trancar a Fisica e estudar todos os dias à noite e mais o fim de semana. Estou me planejando. Preciso saber o que estudar, que exercicios fazer. Não pretendo assistir às aulas do cursinho pois assim praticamente não terei tempo de fazer exercícios. E eu pessoalmente acho que aprendo mais com exercícios do que com aulas. Sinceramente julgo que possuo facilidade de assimilação. Como terei apenas o período da noite e meio ano para estudar, preciso adotar um meio bem eficiente. Não sei se vale a pena sair fazendo exercícios das apostilas do cursinho, pois tem muitos fáceis e poucos do ITA... Queria ajuda no sentido de saber um meio eficiente de estudo, materiais eficientes. Estou disposto a seguir um método rigoroso, mas precisa ser algo eficiente. Estou disposto a me sacrificar. Preciso de ajuda para saber qual o melhor material, os melhores exercicios, foruns e onde achar provas dos 10 ultimos anos do ITA e fuvest... Podem, por favor, me ajudar? Muito Obrigado! Tiago. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] COMO PERDER AMIGOS E ENGANAR PESSOAS
Ola jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Se retirarmos uma ficha da Sacola Predominantemente Verde Sacola V a probabilidade dela ( da ficha ) ser verde e 7/10, de ser branca e 3/10. Esta retiradas sao repetidas 12 vezes, com reposicao da ficha. Portanto, as probabilidades acima se mantem em todas as retiradas, o que significa que estamos diante de um ENSAIO DE BERNOULLI. Segue que a probabilidade de surgirem 8 fichas verdes e 4 brancas ( evento C ) e : P(C/V) = BINOM(12,8)*((7/10)^8)*((3/10)^4) = 0.231139696095 Aplicando o mesmo raciocinio para a Sacola Predominantemente Branca Sacola B a probabilidade sera : P(C/B) = BINOM(12,8)*((3/10)^8)*((7/10)^4) = 0.007797715695 O que nos precisamos e encontrar as probabilidades condicionais P(B/C) e P(V/C) e ver qual e maior. Isso e claramente uma aplicacao do TEOREMA DE BAYES : P(B/C) = P(C/B)*P(B) / [ P(C/B)*P(B) + P(C/V)*P(V) ] P(V/C) = P(C/V)*P(V) / [ P(C/B)*P(B) + P(C/V)*P(V) ] Como, claramente : P(B)=P(V)=1/2, ficara : P(B/C) = (0.5 * 0.007797715695) /[ 0.5 * 0.007797715695 + 0.5*0.231139696095 ] P(B/C) = 0.007797715695 / ( 0.007797715695 + 0.231139696095 ) P(B/C) = 0.032634971317 = 3,26 % P(V/C) = 0.231139696095 / (0.007797715695 + 0.231139696095 ) P(V/C) = 1 P(B/C) = 96,74 % Portanto, dado que P(V/C) P(B/C), e mais provavel que as fichas tenham sido retiradas da sacola V, isto é, da Sacola Predominantemente Verde. Este problema e tipicamente uma questao de decisao centrada no TEOREMA DE BAYES, um dos teoremas basicos que todo livro de Introducao a Probabilidades trata. Agora, considere o problema : PROBLEMA : Em uma urna existem B bolas brancas e V bolas verdes, que se diferenciam apenas pela cor. Realiza-se o seguinte experimento : As bolas sao retiradas ao acaso, sem reposicao, ATE QUE A ULTIMA BOLA BRANCA APARECA, quando entao o experimento acaba. 1) O espaco amostral e equiprovavel ? Por que ? 2) Qual a probabilidade que a B-esima bola branca surja na K-esima retirada ? Claramente que B = K = B + V Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1242,010703 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] COMO PERDER AMIGOS E ENGANAR PESSOAS Date: Mon, 30 Jun 2003 20:34:33 -0300 Olá Pessoal, Boa Noite! Estou pegando carona no título cunhado pelo Nicolau. OK! Tenho duas sacolas com fichas de pôquer. A primeira sacola predominantemente verde contém 70 fichas verdes e 30 brancas. A segunda sacola predominantemente branca contém 70 fichas brancas e 30 verdes. As fichas são todas iguais, menos na cor. Agora, misturo as duas sacolas, de forma que você não possa distinguir uma da outra, e separo uma delas. Suponha agora que você escolha 12 fichas ao acaso, com reposição, da sacola que sobra, verificando-se que saem oito fichas verdes e 4 brancas, em alguma ordem particular. Que indicações, você acha, existem de que a sacola, da qual você retirou fichas, é predominantemente verde? (TEORIA DA DECISÃO - HOWARD RAIFFA) Fico aguardando as suas valiosas opiniões um abraço e até breve! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Ola Denisson e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Interessant, sehr interessant ! Oder ? Mas ... eu acho que nao entendi a sua
questao :
Segundo a exposicao abaixo segue que o ponto B - extremo do segmento de
comprimento minimo - fica univocamente determinado ANTES DA DESCOBERTA do
ponto C, mas me parerce que as coisas nao podem ser assim ...
Dado que a distancia entre quaisquer dois pontos e diferente da distancia
entre dois outros pontos quaisquer, entao, claramente, o conjunto das
distancias possiveis tem um valor minimo. Seja M esse valor minimo e { X,Y }
o par de pontos que lhe corresponde. Portanto, evidentemente, se tracarmos
um circulo de centro X e raio M nao podera haver nenhum ponto no interior
deste circulo, pois isto contrariaria a minimalidade de M. O mesmo se pode
dizer do circulo de mesmo raio e centro Y.
Agora, quem e A e quem e B ? ( X=A e Y=B ) ou ( X=B e Y=A ) ?
Me parece que nos so podemos responder a pergunta acima APOS ANALISAR OS
DEMAIS PONTOS ...
Suponhamos que P seja o conjunto de pontos e d(X,Y) a distancia entre os
pontos X e Y. Neste caso, se existe Z pertencente a P - {X,Y} tal que d(Z,X)
d(W,Y) qualquer que seja W pertencente a
P - {X,Y,Z}, entao X=B e Y=A. Mas, na explicacao PRESSUPOE-SE que B esta
univocamente determinado, fato que EU nao consigo perceber ...
Sera que o ponto A e previamente dado ? Isto e, existe um ponto de partida ?
Ou, de fato, conforme eu suspeito, o ponto B e determinado a posteriori,
tal como esbocei acima, e nao, a priori, conforme voce implicitamente
pressupoe em sua exposicao abaixo ? Bom, se voce seriamente quer uma
discussao, voce precisa se pronunciar.
Considere, finalmente, os pontos : (0,0), (0,1), (2,1) e (-3,0). O segmento
minimo e { (0,0),(0,1) }.
1)Supondo A=(0,0) segue que B=(0,1). Logo C=(2,1) e D=(-3,0). Portanto, CD
corta AB
2)Supondo A=(0,1) segue que B=(0,0). Logo C=(2,1) e D=(-3,0). Portanto, CD
corta AB
O contra-exemplo acima E UMA PROVA de que os segmentos podem se cruzar, se e
que eu entendi corretamente o seu enunciado ou se o seu enunciado encerra
algo com sentido ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1536,010703
From: Denisson [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Date: Sun, 29 Jun 2003 23:41:51 -0300 (ART)
Ok, vejamos. Imagine uma folha, cheia de pontos, feitos aleatoriamente. A
distância entre dois pontos distintos nunca será igual a distancia de dois
outros pontos. Entendido até aí? Se a distancia entre o ponto A e o ponto B
for 5 cm, então a do ponto An até o Bn deverá ser diferente de 5.
Bom, agora imagine todos os segmentos que nós podemos formar ligando dois
pontos dessa folha. Imagine que o menor possível é AB=1 cm e o maior é
CD=10 cm.Então nós devemos traçar o nosso primeiro segmento, a partir
do ponto A até o ponto B. Agora você está no ponto B, vc deve ligar o ponto
B ao próximo ponto que estiver mais perto, ou seja, se houver o ponto C a 2
cm, e o ponto D a 3cm entaõ vc deve ligar B com C. Agora a partir do ponto
C ligue-o até o outro ponto mais próximo de C e assim sucessivamente.
Vc para de ligar quando todos os pontos forem usados, mas a partir do
momento que vc chegou no ultimo ponto, acaba suas ligações. imagine que vc
tem uma folha com quatro pontos. Aí vc liga AB, depois BC, depois
CD,pronto, pare aí, não ligue o ultimo com o primeiro A. Entendeu agora?
Agora prove que nunca formará uma linha poligonal fechada nem haverá
cruzamento de segmentos. Se discordar prove também :P
Saudações,
Denisson
- Original Message -
From: Domingos Jr.
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, June 29, 2003 11:58 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Não entendi direito... especialmente essa parte:
e a partir desse segmento ligar outro ponto com a menor distancia
É pra ligar o ponto ao que com a menor distância?
É pra ligar dois pontos quaisquer cuja distância seja a segunda menor?
Quando você para de traçar segmentos?
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[obm-l] Re: [obm-l] Questão primária ?
Ola Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Fica dificil ajudar quando nao ha elementos suficientes para tanto, quando se torna necessario advinhar do que se esta falando. Acredito que voce esteja se referindo ao seguinte : Coloca-se numa bolsa 16 bolas numeradas, identicas. Realiza-se reiteradamente o seguinte experimento : uma bola e retirada ao acaso e anota-se o numero correspondente. Apos repetir o eperimento um numero muito grande de vezes, observei que a frequencia relativa de alguns numeros afasta-se significativamente da probabilidade teorica postulada (1/16). Por que isto ocorreu ? Se for isso, entao e necessario transpor o limite da teoria de probabilidades elementar e considerar outros aspectos desta teoria. Em particular, a desigualdade de Chebychef. Esta desigualdade, fazendo muito poucas hipoteses sobre a natureza da distruicao associada a variavel aleatoria, permite medir o grau de distanciamento em relacao a probabilidade teorica, que e o que me parece que voce esta observando em sua experiencia ... Desde ja te adianto que estes aspectos da teoria da probabilidades, nao obstante nao aparecerem em livros elementares de nivel medio, nao exigem conhecimento previo algum e sao, de fato, tambem elementares. A rigor, exige-se apenas saber o que e variancia e experanca de uma variavel aleatoria, coisas realmente triviais. Vale a pena estudar isso ! Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1105,020703 From: Carlos Sergio Carvalho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Questão primária ? Date: Wed, 2 Jul 2003 00:36:36 -0300 Prezados Jogando um dado, a probabilidade de ocorrência de qualquer face é 1/6.Se eu jogar este dado 60 vezes,o número de ocorrências de qualquer face,presume-se que seja 10.Entendo que quanto maior o número de operações,mais me aproximaria da NORMAL.Ocorre que em minha distribuição de 16 bolas numeradas,a disparidade está muito alta.Acredito que tenham o mesmo peso.Alguém poderia explicar-me porque isto ocorre ? _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dica de problema.
Ola Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu nao conhecia este problema, mas a sua mensagem - abaixo - e muito estimulante. Existe mais de uma maneira de abordar o problema, todas na dependencia de alguma investigacao mais profunda. Uma que ocorre imediatamente a cabeca e a seguinte : INVESTIGACAO 1 ) A primeira linha de um quadrado latino e qualquer das permutacoes que podemos fazer com os N elementos 1, 2, 3, ...,N. Podemos fazer isso de N! maneiras. De quantas maneiras podemos montar a segunda linha ? Claramente que a segunda linha sao todas as PERMUTACOES CAOTICAS de N elementos ! Nicolau Bernoulli e Euler ja calcularam essa quantidade e vale : N!( 1/(2!) - 1/(3!) + ... +- 1/(N!) Quem seria a terceira linha ? Claramente que deve ser uma PERMUTACAO CAOTICA em relacao as duas primeiras. Que nome daremos a esta permutacao ? Bom, uma ideia pode ser assim : A primeira linha seriam as permitacoes de 1 especie, na segunda estariam a de 2 especie, na terceira as de 3 especie e assim sucessivamente, ate a ultima linha, onde estaria uma permutacao caotica de N-esima especie. O numero de quadrados latinos, claramente, seria o produto dos numeros alencados acima. O problema, pelo que sei, e que nos so sabemos calcular as PERMUTACOES CAOTICAS de segunda especie. A solucao dos problema esta, portanto, na depemndencia desta investigacao. E importante notar que esta linha de investigacao tem o duplo sabor de resolver em definitivo o problema dos quadrados latinos e ser uma continuidade de um trabalho iniciado pelo Euler e Nicolai bernoulli. E portanto uma contribuicao nao desprezivel e uma continuidade historica interessante. Eu acredito que o numero de permutacoes caoticas de 2 especie ( e posteriores ) devem ser uma sub-serie interessante da seria (1/(2!) - 1/(31) + ... +- 1/(N!) ), dado que esta serie surge nas permutacoes caoticas de primeira especie. Enfim, e um caminho interessante ... INVESTIGACAO 2) Existe uma classe ampla de quadrados latinos faceis de construir e calcular. Para ver isso, considere o caso N=4 : 1234, jogue o 4 para a primeira posicao. Resulta : 4123, jogue o 3 para a primeira posicao. Resulta : 3412 jogue o 2 para a primeira posicao. Resulta : 2341 O quadrado acima e quadrado latino. O que fizemos ? Simplesmente dispomos os numeros 1,2,3,4 e percorremos em um sentido previamente fixado a partir dos diversos elementos. Isso e o que se chama uma PERMUTACAO CIRCULAR. Estamos, pois, identificando um quadrado latino com uma PERMUTACAO CIRCULAR ... Agora, permutamos, as linhas das diversas formas possiveis, mantendo os numeros nas mesmas colunas ( ou o inverso, permutamos as colunas e mantemos os elementos nas mesmas linhas ). Isso fornece 4! quadrados latinos, dois a dois distintos. Bom, aqui surge uma luz : Para N elementos, existem (N-1)! permutacoes circulares. Para cada permutacao circular associamos um quadrado latino. As linhas podem ser permutadas de N! modos. Assim, existem : (N-1)!*N! quadrados latinos derivados diretamente da associacao QUADRADO LATINO - PERMUTACAO CAOTICA. Seja portanto QL(N) o total de quadrados latinos de ordem N, entao : QL(N) = (N-1)!N! + F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos ... O que podemos dizer sobre F(N) - numa primeira observacao - que nos permite uma aproximacao com a sua forma definitiva ? O seguinte : Dado a associacao QUADRADO LATINO - PERMUTACAO CIRCULAR, no computo (N-1)!N! estao TODAS as permutacoes circulares de 1,2,...,N, isto e, associando os quadraodos latinos computados no calculo de (N-1)!N! pela PERMUTACAO CIRCULAR que o originou, teremos todas as permutacoes de 1,2,...,N. Isso significa, claramente, que qualquer outro quadrado latino e, em verdade, uma associacao de DUAS ou mais permutacoes circulares, isto e : F(N) = A1*G(N,2) + A2*G(N,3) + ... + An-1*G(N,N) onde A1, A2, ..., An sao inteiros nao todos nulos e G(N,P) e o total de quadrados latinos obtidos da associacao de P PERMUTACOES CIRCULARES. A questao e saber como associar, operar, estas permutacoes circulares de forma a gerar os quadrados latinos que serao computados em F(N). A meu ver, aqui trata-se, a principio, de um trabalho experimental. Pegamos os quadrados latinos de ordem N=3, N=4, retiramos aqueles oriundos das permutacoes circulares e vemos como estao montados os outros. Deve surgir algum padrao de somposicao de permutacoes circulares e, a partir dai, adivinhamos a lei geral. E tambem uma linha de pesquisa interessante ... INVESTIGACAO 3) Bom, esta ideia a baseada na q-contagem, na transformacao dos indices de um quadrado latino em polinomios, mas ela chegou na minha cabeca muito rapidamente, quando eu ainda estava escrevendo as coisas acima e nao consegui registra-la. Mas senti que era uma ideia legal e promissora. Havendo tendo eu me concentro e ela volta e entao eu comunico. Um Grande Abraco ! Paulo Santa Rita 5,1045,030703 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL
[obm-l] Re:
coloquei : QL(N) = (N-1)!N! + F(N), F(N)=somatorio Ai*G(N,i) Bom, conforme ja falei, respeito a sua sensibilidade, mas a bem da verdade e certo que tudo isso sao meras suposicoes. A intuicao nos guia num primeiro momento, mas depois e inevitavel enfrentar o caminho nem sempre florido da demonstracao. O certo e tratar diretamente a questao, fazer experiencias e observacoes e so entao levantar hipoteses de trabalho. Caro Faccast, a questao que voce trouxe e - como diria o Dr Tchurmann - Interessant, sehr interessant !. E seja bem-vindo a LISTA OBM-L ! Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,2115,040703 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Date: Fri, 4 Jul 2003 17:30:13 -0300 Paulo, sua 1a. investigação é o que geralmente se pensa quando nos deparamos com o problema e acho que este é um caminho complicado. A segunda, segue do fato que a Tábua de um Grupo finito é um Quadrado latino (QL). Eu diria que em vez de QL(N) = (N-1)!N! + F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos fosse QL(N) = (N-1)!N!.F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos pois considerando que, dois QL's estao relacionados quando diferem-se por permutaçoes de filas, temos uma relaçao de equivalencia onde cada classe possui exatamente n!(n-1)! e a funçao F(n) entraria com a contagem destas classes dando um total de (N-1)!N!.F(N) QL's de ordem N. Note que permutando as filas de um QL obtem-se novos QL's e com isto, fica fácil cheger ao cardinal n!(n-1)! das classes. Um abraço, faccast - This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sugestao para solucao
Oi Marcio ! Tudo Legal ? Como voce so fala Anel entao eu nao vou supor que ele tem uma unidade. Respondendo a sua pergunta : Voce nao errou, apenas nao continuou ... Dado que NESTE ANEL X^2 = X, entao, em particular, (-X)^2 = -X. Mas, conforme voce deve saber, EM QUALQUER ANEL, (-X)^2=X^2. Segue que, NESTE ANEL : X^2=-X. Portanto, NESTE ANEL, X^2=X e X^2 =-X. Logo X=-X. Conclusao : NESTE ANEL, qualquer elemento e igual ao seu simetrico ! Voce provou que XY = -(YX). Mas, pelo que vimos, NESTE ANEL, -(YX)=YX. Dai : XY=YX. E portanto este Anel e, de fato, comutativo. Nao entendi a outra questao... E claro que se tomarmos quaisquer outros dois inteiros e dividirmos por 5 ( que e o terceiro elemento do conjunto ! ) o respo pode ser diferente. Por exemplo 3*5= 15. 15 por 3 da resto zero. Um Abraco Paulo Santa rita 2,0948,070703 From: mmrocha1 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Sugestao para solucao Date: Sun, 6 Jul 2003 10:50:25 -0300 Saudacoes a todos! Faco Matematica na UERJ e gosto de me divertir resolvendo (na verdade, na maior parte das vezes, soh tentando) resolver problemas olimpicos. Nao sou aquilo que se poderia chamar de aluno talentoso, mas sou curioso, persistente e estudo Matematica porque realmente gosto. Alem disso, penso que estudar temas olimpicos pode ajudar a melhorar a minha formacao. Jah escrevi para a lista ajudando na solucao de problemas bem simples, jah fui corrigido pelo Prof Morgado, e tudo isso para mim eh muito bom! Bem vamos ao que interessa. Tem dois problemas que gostaria de uma ajuda para resolver. Nao eh necessario dar a solucao, mas uma sugestao jah serve. Um eh de Algebra, do livro do Adilson Goncalves, e o outro eh de uma apostila de treinamento olimpico. 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh comutativo. A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + y. Desenvolvendo, temos: x.x + x.y + y.x + y.y = x + y. x^2 + x.y + y.x + y^2 = x + y. Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a xy = -(yx) Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei? Aqui vai o outro problema. 2) Considere o conjunto formado pelos elementos 2, 3 e 5. Se multiplicamos quaisquer dois elementos e dividimos o resultado pelo terceiro elemento, o resto da divisao eh 1. Existem outros conjuntos de 3 elementos com esta mesma propriedade, ou este eh o unico? Nao creio que seja dificil, mas nao consigo enxergar um bom caminho. Gostaria de agradecer a atencao de todos, e me desculpem se os problemas nao sao um desafio intelectual para a maioria. Um abraco, Marcio Rocha. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Como os Matemáticos Complicam II
Ola Pessoal ! A NOSSA LISTA foi originalmente planejada para ser um PONTO DE ENCONTRO INFORMAL de Professores de Matematica e de estudantes que se preparam para as OLIMPIADAS DE MATEMATICA. Qualquer destes dois grupos e formado por pessoas que, minimamente, gostam de Matematica, quando, nao raro, fazem desta Ciencia a sua maior paixao. A LISTA vem atingindo seus objetivos e o seu sucesso e inegavel ... Muitos estudantes olimpicos participam, estudantes do Brasil e do Exterior. Muitas pessoas usam os resultados que surgem aqui como inspiracao e estimulos para trabalhos escolares e mesmo para dissertacoes e seminarios. Pesquisadores escrevem para estas lista e acompanham algumas de suas discussoes. Quando eu disponibilizei a traducao dos Problemas Russos, fiquei impressionado como varios estudantes de outros paises me escreveram pedindo que lhes remetessem copias. O mesmo ocorrei quando discutimos o Jogo Vida, varias pessoas queriam os fontes em C. Tudo isso e indicativo do alto nivel de nossa plateia e o quanto e importante imprimirmos qualidade em nossas manifestacoes. O Moderador, Prof Nicolau Saldanha, deixou claro em mensagens anteriores que poderiamos discutir Fisica, Teoria da Computacao, Xadrez e mesmo Filosofia e Historia da Matematica, desde que o objetivo principal seja evidenciar a importancia do raciocinio matematico em todos estes ramos. Nos podemos PROPOR PROBLEMAS, sobretudo olimpicos. Podemos apresentar solucoes, podemos dar uma dica de solucao, podemos mostrar que a solucao de um problema implica na solucao de outro e assim por sucessivamente. E verdade que a Matematica nao e so problemas, mas parece que toda questao matematica so fica bem formulada quando se corporifica num problema. Por isso, qualquer questao matematica deve implicar num problema e o problema e, em ultima analise, a essencia da comunicacao matematica. Eu francamente confesso que nao entendo nada de EDUCACAO MATEMATICA, nao obstante achar que esta ciencia, caso exista, deve ter questoes e ja ter atingido algum objetivo palpavel. Por esta razao, nao entraria numa lista de EDUCACAO e penso quem buscar aqui discutir EDUCACAO MATEAMATICA vai se frustar, pois estara desvirtuando esta nossa lista, tao bem sucedida em seus objetivos originais, conforme destacamos acima. Finalmente, nos, os Matematicos, nao complicamos as coisas : nos SIMPLIFICAMOS ! Nos captamos o que ha de essencial entre as coisas e exoressamos isso num simbolismo economico, pois a linguagem matematica, diferentemente da linguagem natural, possui poucos simbolos e de significado claro. A Matematica, e a masi simples de todas as ciencias. E acho no minimo deselegante que alguem entre aqui, na nossa casa, e nos ofendam gratuitamente. Quem nao entende como se pode gostar de Matematica, nao deve permanecer aqui ! Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,1946,100703 From: J.Paulo roxer ´til the end [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:Re: Re: RE: Re:Re: Como os Matemáticos Complicam II Date: Thu, 10 Jul 2003 16:45:00 -0300 Estou 'falando' muito na lista coisas q não têm muito a ver com mat. e espero q o listmaster não me retire... só vou complementar algumas coisas. Não sou convencido,mas preciso dizer q sou o único na lista que enfrenta o bicho papão.Garanto q só está nesta lista pessoas q estão diretamente envolvidas com matemática,o q não é meu caso.E estou enfrentando,por mais q seja um tanto difícil entender tantas coisas complexas sem poder aplicar. Matemática,pra mim não tem a ver com o lado emocional.Só não consigo entender bem uma coisa que não estou vendo um motivo lógico pra existir(Caso de raiz,x e y etc) É muito mais fácil eu entender um texto todo em japonês.Pelo menos posso ir atrás de um dicionário e traduzir. Já com matemática,não tem aonde ir. Tb não entendo muito bem porq vcs são tão pacientes pra entender as questões matemáticas,mas não são pra escrever,ler e explicar a origem dos problemas matemáticos e a base da existência. Acho q existe um certo exagero quanto aos assuntos colocados nas provas,mais especificamente em vestibulares. Não sei porq um aluno q não vai ser engenheiro precisa resolver problemas com trigonometria,por exemplo. Algo q não tem nada a ver :Um futuro estudante de letras resolvendo essas questões. João Paulo - Original Message - From: Diego Navarro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 10, 2003 1:33 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Como os Matemáticos Complicam II Na boa? Eu não vejo afronta. Vejo um pouco de ingenuidade, mas eu já estive errado antes, e ainda vou estar errado muitas vezes. E tenho a impressão que no fundo, ele levantou um ponto interessante - eu só não consigo ver o que é. Talvez porque a relação dele com a matemática seja uma mistura confusa e emocional de revolta e frustração. Eu me identifico um pouquinho com ele
[obm-l] Jornal Eletronico de Combinatoria
Ola Pessoal ! Em : http://www.combinatorics.org ha um bom jornal de combinatoria. Neste site ha tambem links para outros periodicos cientificos referentes a Matematica. Vale a pena dar uma olhada ! Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1038,110703 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Ola Carissimo Jose Francisco
e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Isso e realmente uma questao de definicao ... Intuitivamente sentimos que se
um conjunto e limitado superiormente, entao, evidentemente, ele tem que ter
um maximo. Isso e intuitivamente claro. Ocorre que na definicao de maximo,
EXIGE-SE que este maximo PERTENCA ao conjunto. Assim, um conjunto pode ser
limitado superiormente e nao ter maximo, EM VIRTUDE DA DEFINICAO QUE
COMUMENTE SE ADOTA.
Exemplo :
Seja Xn = 2^(-1) + 2^(-2) + ... + 2^(-n) , n =1, 2, ... . Se
definirmos A={Xn, n=1,2,...} Esse conjunto A, infinito enumeravel, e
limitado superiormente, mas, claramente, nao tem maximo, pois pode ser visto
como o conjunto dos termos de uma sequencia monotona crescente.
Assim, fala-se em MAXIMO como algo distinto de LIMITE SUPERIOR, ambos
distinto de SUPREMO ( E INFIMO ). De posse destres tres conceitos ( e de
outros tambem ) prova-se diversos fatos evidentes, tais como Se um conjunto
( de numeros reais ) e finito entao ele tem MAXIMO e MAX=SUP.
Um fato notavel e que a intuicao nos guia corretamente ate um certo ponto,
alem do qual e necessario definir com rigor os conceitos, so pena de nos
tornarmos demasiadamente vagos. Uma boa construcao conceitual ira confirmar
e tornar prreciso muitos dos sentimentos que previamente temos diante dos
fenomenos matematicos.
A percepcao do CONCEITO ADEGUADO, salvo melhor juizo, parece ser uma
qualidade de todo Grande Matematico e Cientista... Se olharmos as grandes
conquistas humanas no campo cientifico, em ultima analise o que e feito e
uma modificacao nos conceitos vigentes, de forma que as conquistas ja feitas
sao preservadas e novas possibilidades se tornam factiveis. Einstein se
pronunciou muitas vezes sobre esse tema :
1) Nao existe nenhum caminho logico que leva a compreensao das leis
elementares, o unico caminho e o da intuicao
2) Propor um problema e muito mais importante que resolve-lo. Resolver um
problema e uma questao de tecnica e de habilidade, propor um problema e uma
questao de intuicao.
As palavras talvez nao tenham sido estas, mas o sentido foi.
O Willes ( o nome e mesmo esse ?), aquele Matematico de Princeton que provou
a conjectura do Shimura ( a toda equacao eliptica esta associada uma forma
modular ) e, de tabela, provou o ultimo teorema de Fermat, fala sobre isso.
Ele explicitamente diz que diante de um problema deste porte, as referencias
a conhecimentos adquiridos ajudam muito pouco, tudo sucedendo como se voce
estivesse num imenso quarto escuro e tivesse que encontrar a porta de saida.
Voce nao sabe : O que vai usar pra resolver, onde procurar o que usar e se
pode ter esperanca de descobrir qualquer destas coisas !
Diante de um misterio assim, parece que so o sentimento vago, a intuicao,
pode delinear alguma forma de tratar a questao.
Esse ato de estar DIANTE DO MISTERIO, que sabemos que realmente existe e que
desafia a nossa percepcao, e emocionante e estimulante, e parece ser fonte
nao so das mais belas aventuras cientificas como tambem da experiencia
mistica em face de Deus e de sua presenca. O cara que realmente acredita na
existencia de Deus deve sentir algo diferente em face da vida, pois nao pode
se achar so e completo, em nenhum momento ...
Po, eu deixei a imaginacao me levar e terminei saindo do foco da questao.
Mas acho que nao escrevi tantas besteiras.
Um Abracao pra voce
Paulo Santa Rita
2,1045,140703
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Date: Sun, 13 Jul 2003 22:03:37 -0300
Comentário de um não-matemático que às vezes confunde definições com
postulados com teoremas, sobre a pergunta original do Leandro.
Ora, se o conjunto é limitado superiormente, nenhum de seus elementos
pode ser maior que o limite superior. Logo, ele certamente tem um máximo
(que é menor ou igual ao limite), e isto seria um corolário.
Falei bobagem?
JF
- Original Message -
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Caro Leandro.
Este é o chamado axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não
costuma-se demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser
demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os
que
você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível ajudá-lo.
Abração!
Duda.
From: Leandro Fernandes [EMAIL PROTECTED]
Pessoal, não consigo dar uma justificativa plausível para esta
afirmação:
Todo conjunto não vazio de números racionais limitado superiormente
tem
máximo
Alguém tem alguma sugestão?
Leandro
_
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[obm-l] Jornal Matematico
Ola Pessoal ! Existe um jornal eletronico dedicado a Matematica que nao trata especificamente de problemas ou artigos tecnicos, mas de temas ( educacionais, filosoficos, etc ) relacionados a este ciencia. Existem artigos muito interessantes. O endereco e : http://www.geocities.com/jcvmatem/ Vale a pena dar uma olhada ! Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1153,140703 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O Truque do Nicolau
a resolver tambem esse caso ?
O problema e uma modelagem valida para inumeras circunstancias. Por exemplo
:
PROBLEMA 1 ) Seja A = { 1, 2, ..., N }. Quantas funcoes F:A-A existem que
cumprem as duas seguintes condicoes :
a) F(X) nao tem ponto fixo
b) F(F(X)) nao tem ponto fixo
PROBLEMA 2 ) Uma matrix de 3 linhas e N colunas e dita ser latina se todos
os seus elementos pertencem ao conjunto A = {1, 2, ..., N } e nenhuma fila (
linha ou coluna ) tem elementos repetidos. Quantas Matrizes latinas 3xN
existem tais que
A1j = j, j = {1, 2, ..., N }. ( Aij e o elemento da linha i e coluna j )
PROBLEMA 3 ) Participam de uma mesa redonda N pessoas, cada uma das quais
tendo um lugar pre-determinado para sentar e uma pasta com o seu nome para
receber. Eremildo, que e um idiota, deve distribui as pessoas nos lugares
bem como as pastas. Qual a probabilidade de que nenhuma pessoa sente no seu
lugar correto e nao receba a pasta correta ?
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
2,1608,140703
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Re: [obm-l] Combinatoria (In off)
Ola Manuel e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) A sua mensagem, nao obstante nao tratar de algum problema especifico, e muito boa. Ela realmente enriquece a Lista e e o tipo de OFF que espera-se que ocorra. 2) A Matematica continua e continuara sendo o tema desta Lista. Ainda que algumas pessoas mal educadas e mal formadas estejam - acredito firmemente - deliberadamente atentando contra estes objetivos originais, ela se mantera com a alta qualidade que nos, Professores, Pesquisadores e estudantes serios, almejamos e que lutamos para que tenha, 3) E verdade que o AXIOMA DO SUPREMO pode surgir como uma propriedade em alguma construcao particular dos numeros reais ou pode ser adotado como mais um axioma em outras construcoes. No livro de Analise I, Projeto Euclides. O Prof Elon adota este ultima postura, mas explicitamente cita outros obras nas quais os reais sao construidos e diz que uma tal construcao e um processo instrutivo. Em sintese, nao existe nenhuma razao mais forte para se adotar uma vertente ou outra, alem de crencas subjetivas e individuais. 4) A imensa maioria das teorias matematicas surgem de forma altamente intuitivas, pouco formais, somente rrecebendo um tratamento axiomatico posteriormente. Foi assim com o Calculo, com a Topologia, com a teoria dos grupos e com muitas ( talvez todas ! ) outras teorias. A intuicao vai na frente, descobre e orienta a pesquisa; a formalizacao ou axiomatizacao vem depois e fundamenta com rigor as conquistas ja feitas. A primeira e a faculdade da descoberta, atributo do genio; a segunda, ferramente de prova e de resolucao de problemas, obra do talento. Voce nao gostaria de apresentar aqui uma construcao dos reais, via cortes ou sequencias de Cauchy, por exemplo, e desta construcao derivar o TEOREMA DO SUPREMO ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1154,150703 From: Manuel Valentim Pera [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Combinatoria (In off) Date: Mon, 14 Jul 2003 19:11:05 -0300 (EST) Boa noite, Sobre o trecho: O segundo caso (mais geral) que você colocou, realmente merece uma demonstração, eu acho. Mas na minha cabeça, esse Princípio de Dirichlet seria uma coisa tão intuitiva que não precisaria de provas. Aí eu me embolo... Quando uma proposição precisa ser provada e quando se admite que ela é intuitiva o suficiente para ser aceita sem demonstração? No sentido que as palavras tem em matematica (e matematica era, ate' algum tempo atras, o assunto desta lista) sua duvida nao tem uma resposta absoluta, exceto a trivial, DEPENDE do que foi admitido como axioma no contexto de seu estudo, isto inclui, entre outras coisas mais mundanas, quais os axiomas de teoria dos conjuntos que voce esta' admitindo. Tudo o que nao for axioma precisa ser demonstrado. Eu nunca vi o principio de Dirichlet (ou pigeonhole) ser colocado como axioma, entao precisa de uma demonstracao (se voce estiver admitindo os postulados de Peanno para o conjunto dos naturais e ZF, isso sai trivialmente, mas e' a demonstracao que e' trivial, nao a afirmacao. Alias essa afirmacao tao trivial caracteriza, em muitos contextos, conjuntos finitos), mas esta frase diz apenas isso: eu, na minha limitadissima experiencia, nunca vi... Poucas afirmacoes sao tao evidentes (maldita palavra) como a do Teorema da Curva de Jordan, se alguem conhecer alguma demonstracao trivial dela, por favor, mostre-ma! Apenas um adendo, COM O AVISO DE IN-OFF EM MAIUSCULAS. Axioma, em matematica, nada tem a ver com intuitivo, ou evidente. os axiomas das geometrias nao-euclideanas sao, do ponto de vista matematico (outros pontos de vista deveriam ser assunto de bate papo em mesa de botequim, coisas muito interessantes alias essas conversas, mas nao desta lista), tao intuitivas quanto as euclideanas. Num exemplo concreto, falou-se nesta lista ha' nao muito tempo em axioma do supremo para o conjunto dos Reais, isso ser um axioma so' faz sentido numa teoria em que o conjunto dos numeros Reais (R) e' apresentado axiomaticamente. Se voce quiser construir, por exemplo a partir dos numeros racionais, esse conjunto isso deixa de ser axioma e passa a ser uma PROPRIEDADE e precisa ser demonstrada. Hoje em dia pode parecer estranho falar-se em construcao de R, pois o metodo axiomatico e' a unica forma que i conjunto dos Reais e' apresentado (como dizia N. Rodrigues, toda unaminidade e' burra) e construcoes de R sao temas desconhecidos dos dois primeiros anos de cursos de graduacao em matematica, mas para pelo menos um grande Professor de Matematica que eu conheco isso esta' longe de ser uma virtude do atual modelo de ensino... Desculpem o carater in-off do adendo, ele foge completamente dos objetivos desta lista, mas em virtude de certas perolas recentes, que nem ao menos vem com o aviso de in-off no subject penso que o professor Nicolau perdoara' este deslize. Manuel Garcia
Re: [obm-l] IMO - Problema 2
Oi Prof Gugu !
Tudo Legal ?
Conforme voce diz, usualmente. Mas tenho certeza que voce sabe que muitos
bons livros tratam dos casos para j qualquer. Ai no IMPA, com certeza tem,
porque eu ja vi. Vou divulgar aqui na lista ao menos uma livro elementar
sobre equacoes diofantinas que trata deste casos.
Vou escrever a solucao e te envio.
Carissimo Prof, francamente acho que as solucoes da IMO nao deveriam ser
enviadas para a lista pelos Mestres que orientam nossos atletas, pois e
natural que os estudantes se sintam desestimulados em buscar uma solucao
propria quando sabemos que a solucao ja esta divulgada. Por outro lado, para
o Sr ou para os Profs Nicolau, Morgado, Wagner e os outros orientadores,
resolver as questoes da IMO nao significa ou indica nada, enquanto que para
um estudante, olimpico ou nao, uma solucao propria representa muito.
Essa e a minha impressao ! Mas, reconheco que o Prof e demais orientadores
sao muito mais experientes, teem muito mais conhecimentos, razao pela qual
modifico imediatamente esta minha ideia se o Prof achar que isso e bobeira.
Eu falei com o Prof Nicolau neste sentido.
Mudando de assunto. O Prof pensou na quetao 3 ?
Ontem, almocando no restaurante, eu pensei nela ( e a comida ficou fria e eu
nao almocei ! ), mas nao consegui resolver naquele tempo. Observei o
seguinte :
IMAGINADO o hexagono ABCDEF no primeiro quadrante, IMAGINANDO os vetores A,
B, C, D, E, F, e IMAGIANANDO o segmento MN que une os pontos medios de AB e
DE ( M em AB e N em DE ), segue que :
M = 1/2 * (A+B) e N = 1/2 * (D+E)
MN = 1/2 * modulo( (A+B) - (D+E) )
A propriedade diz que :
MN = sqrt(3)/2 * (AB+DE)
ou seja :
1/2 * modulo( (A+B) - (D+E) ) = sqrt(3)/2 * ( modulo(B-A) + modulo(D-E) )
modulo( (A+B) - (D+E) ) = sqrt(3)*( modulo(B-A) + modulo(D-E) )
Isto pode ser colocado assim :
modulo( (A - E) + (B - D) ) = sqrt(3)/2 * ( modulo( B - A) + modulo( D - E)
)
Evidentemente que para os demais pares de lados opostos valera uma relacao
semelhante.
Os vetores A-E e B-D e os outros derivados das outras duas relacoes dos
outros dois pares de lados opostos sao subtendidos pelos angulos internos do
hexagono, segue que seus modulos podem ser expressos em funcao de alguma
funcao trigonometrica aplicada a estes angulos internos.
E verdade que se todos os angulos internos valerem 120 graus entao os pares
de lados opostos sao paralelos e a relacao vale. Suponha agora que um dos
angulos nao e 120, entao, aplicando o principio da casa dos pombos aos
demais, segue que havera algum outro tambem diferente de 120.
Eu parei aqui. Havendo tempo ( Ah se eu tivesse tempo so pra estudar ! ) vou
prosseguir por este caminho.
Um Abracao pro Prof !
Paulo Santa Rita
6,1029,180703
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] IMO - Problema 2
Date: Thu, 17 Jul 2003 18:41:48 -0300
Caro Paulo,
Usualmente o termo equacao de Pell se refere ao caso j=1 (e o
coeficiente
de b^2 nao depende nem de a nem de b). Nao entendi como concluir uma
solucao na
linha que voce propos. Por outro lado eu consegui (depois de tropecar um
pouco)
achar uma solucao, que reproduzo abaixo, depois de algum espaco, para nao
atrapalhar quem queira pensar mais no problema.
...
...
...
...
...
...
Vamos la':
Se b=1 o problema e' achar todos os a tais que a^2/2a=a/2 e' inteiro.
Isso
nos da' as solucoes {(a,1),a par}. Vamos supor agora b=2.
Se 2ab^2-b^3+1 divide a^2 entao tambem divide
a^2.(2b^2)-a(2ab^2-b^3+1)=
=a(b^3-1) e (1-b^3)(2ab^2-b^3+1)+(2b^2)(a(b^3-1))=(1-b^3)^2. Sejam entao
d=mdc(a,1-b^3), a=kd, 1-b^3=ud. Temos que mdc(k,u)=1 e que 2ab^2-b^3+1
divide
mdc(a^2,(1-b^3)^2)=d^2, ou seja, d(2kb^2+u) divide d^2, e logo 2kb^2+u
divide
d. Portanto, tambem temos que 2kb^2+u divide b(2kb^2+u)+2kud=ub+2k. Temos
agora
dois casos:
i)d=kb^2. Entao |u|=|(1-b^3)/d| b^3/(kb^2)=b/k. Nesse caso,
|2kb^2+u|=2kb^2-|u| 2kb^2-b/k, enquanto |ub+2k| b^2/k+2k. Como b=2,
2kb^2-
b/k=kb^2+b(kb-1/k)=b^2/k+2(2k-1/k)=b^2/k+2k, donde |2kb^2+u| |ub+2k|, e
portanto devemos ter ub+2k=0, donde b(1-b^3)+2a=dub+2dk=0, e logo
a=b(b^3-1)/2.
Isso nos da' a^2/(2ab^2-b^3+1)=b^2/4, que e' inteiro quando b e' par. Isso
nos
da' (todas) as solucoes nesse caso i): {(b(b^3-1)/2,b), b par}.
ii)d kb^2. Aqui, como 2kb^2+u divide d, devemos ter
kb^2|d|=|2kb^2+u|=
=2kb^2-|u|, donde |u|kb^2. Assim, temos ab^2=kb^2d |ud|=b^3-1 b^3,
donde
a b, ou seja, b=a+1. Como 2ab^2-b^3+1 e' congruente a 1 modulo b^2, ou
2ab^2-b^3+1=1 ou |2ab^2-b^3+1|=|1-b^2|=b^2-1=(a+1)^2-1=a^2+2a a^2, mas,
nesse caso, 2ab^2-b^3+1 nao pode dividir a^2. Assim, devemos ter
2ab^2-b^3+1=1,
donde 2ab^2=b^3, e b=2a. Isso nos da' as solucoes do caso ii): {(a,2a)}.
Conclusao: as solucoes do problema sao dadas por: {(a,1), a inteiro
positivo
par}, {(b(b^3-1)/2,b), b inteiro positivo par} ou {(a,2a), a inteiro
positivo}.
Abracos,
Gugu
Quoting Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Cicero
[obm-l] IMO - Curiosidades.
Ola Pessoal, No endereco : http://vyasa.math.iisc.ernet.in/PEOPLE/halloffame.html Voces podem ver varios fatos curiosos relacionados a IMO. Por exemplo, la voces poderao ver os medalhistas imo que conseguiram tambem ter uma medalha fields ( O Yoccoz, amigo do Prof Gugu e um deles : IMO em 1974 e FIELDS em 1994 ), estudantes que competiram durante 3 anos consecutivos e conseguiram 3 medalhas de ouro, estudantes com 5 medalhas ( 3 ouros + duas outras entre bronze e prata ) e assim sucessivamente. O que me pareceu o desempenho mais notavel foi o de uma atleta mulher que saindo de um pais ainda altamente preconceituoso ( URSS ) contra as mulheres disputou 3 anos (1989 a 1991 ) consecutivos e conseguiu 3 medalhas de ouro : Evgenija Malinnikova. Essa notavel estudante venceu muito mais que tres IMO's. Venceu a enorme pobreza de suas origens e o forte preconceito contra as mulheres que ainda existe em seu pais. Muitos outros fatos existem. Vale a pena dar uma olhada ! Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 7,2127,190703 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração não encontrada
modulo(P(X0))=0 = P(X0)=0, ou seja : TODA EQUACAO POLINOMIAL p(x)=0 TEM AO MENOS UMA RAIZ ! E isto e o chamado TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA que voce estava querendo ver como se prova. Note que voce procurou em livros e nao encontrou uma prova, mas, escrevendo pra essa lista de discussao ( e eu senti sinceridade em sua busca ! ) voce teve uma resposta a altura ! Um Abraco e parabens pela sua busca pelo conhecimento ! Paulo Santa Rita 1,1438,200703 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of brunos.pompeo Sent: Saturday, July 19, 2003 7:22 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Demonstração não encontrada Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz. Por favor, identifique o e-mail. Obrigado Bruno Pompeo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma dificil de torneira !!!!!!!
Ola Faelccmm e demais colegas desta lista ... OBM-L, Este enunciado esta meio estranho ... 1/4 de hora a menos DO QUE ? Da operacao descrita ? Da torneira A agindo sozinha ? O Prof Morgado esta coberto de razao : O onus da clareza do enunciado cabe ao enunciador ! Bom, vou tentar. Seja T o tempo gasto na primeira operacao, vale dizer, o tempo transcorrido para a torneira A esvaziar 1/4 do reservatorio. Claramente que : 1) A torneira A, sozinha, gastara 4T para esvaziar o reservatorio. 2) O tempo da segunda operacao e T + 5/4 ( supondo T em horas ) Na segunda operacao, as duas juntas gastam T + 5/4 para esvaziar 3/4 do reservatorio, ou seja, o tempo para esvaziarem 1/4 do reservatorio e (T + 5/4)/3 e, portanto, as duas juntas, esvaziarao o reservatorio todo em 4(T+ 5/4)/3. Esse tempo e 1/4 de hora a menos que o tempo gasto antes, isto e : 4(T+5/4)/3 = T + (T + 5/4) - 1/4 (4T + 5)/3 = 2T + 1 ... T = 1 A torneira A sozinha gastara 4T=4 horas E ai, ficou legal ? Voce disputa as Olimpiadas da OBM - Nivel I, certo ? Um Abraco Paulo Santa Rita 1,1841,200307 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Uma dificil de torneira !!! Date: Sun, 20 Jul 2003 15:18:11 EDT Ola pessoal, Como resolver esta: Um reservatorio, que se acha cheio da agua, tem duas torneiras de descarga A e B, de capacidades diferentes:abre-se a torneira A e deixa-se correr a agua ate escoar-se 1/4; abre-se entao a torneira B e deixa-se a agua correr pelas duas ate esvaziar o reservatorio. O tempo gasto na segunda operacao excede o da primeira em 5/4 de hora. Abrindo-se as duas torneiras desde o comeco, o reservatorio seria esvaziado em 1/4 de hora menos. Calcular o tempo em que a torneira A, sozinha, esvaziarah o reservatorio. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada
Ola Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu nao havia lido esta mensagem do colega Artur - que tem participado construtivamente de nossas discussoes - quando enviei para esta lista a Prova do Teorema Fundamental da Algebra dada por Cauchy, que, de fato, conforme todos podem verificar diretamente, e simples e curta, SE COMPARADA COM AS DEMONSTRACOES QUE SOMOS OBRIGADOS A ESTUDAR ATUALMENTE. Estou dizendo isso porque a minha mensagem poderia passar a ideia de desconsideracao e desprezo para com o ponto de vista de um colega que so tem produzido mensagens que honram as nossas tradicoes e que nos induzem a ter por ele somente consideracao e respeito. Existem muitas demonstracoes deste Teorema que sao longas e complexas e que nao seria factivel reproduzi-las aqui. E a estas provas que o estimado colega muito provavelmente deve estar se referindo na mensagem abaixo. Eu poderia falar muito sobre esse tema, inclusive falar sobre suas implicacoes, como, por exemplo, o Teorema de Bolzano. Fica portanto esclarecida qualquer ma interpretacao futura. Um Abraco a Todos ! Um Abraco especial ao Artur ! Paulo Santa Rita 1,2203,200703 From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração não encontrada Date: Sat, 19 Jul 2003 23:34:35 -0300 De forma mais precisa, este teorema diz que todo polinomio nao constante, de coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa. Uma outra forma de enunciar este teorema eh dizer que o corpo dos complexos eh algebricamente fechado, pois dizemos que um corpo eh algebricamente fechado se todo polinomio nao constante, de coeficientes pertencentes ao corpo, apresentar ao menos uma raiz pertencente ao corpo. A demonstracao do TFA eh extensa e nao dah para reproduzir nesta lista. Eu conheco algumas apresentadas nos textos que citei em uma outra mensagem sobre este mesmo assunto. Um abraco Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of brunos.pompeo Sent: Saturday, July 19, 2003 7:22 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Demonstração não encontrada Gostaria q alguém me desse a demonstração do teorema fundamental da álgebra, ou seja, todo polinômio tem raíz. Por favor, identifique o e-mail. Obrigado Bruno Pompeo __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
dois lados : modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) - P(R^a)*Z1*F(Z1) ) ) A desigualdade modulo(a-b) = modulo(a) + modulo(b) aplica-se tambem aos numeros complexos. Aplicando-a : modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) ) + modulo( P(R^a)*Z1*F(Z1) ) modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a)*modulo(Z1)*modulo(F(Z1) ) mas modulo(Z1) = R. Assim : modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI. Nos tomamos um Z=Z0+Z1, isto e, escolhemos um Z0 de forma que Q+aS = pi. Ora, Z e um ponto da circunferencia do circulo de centro Z0 e raio R. Portanto, se diminuirmos R e mantivermos a direcao de Z estaremos, de fato, como que fazendo um corte no circulo original de raio R ... Isso ( a dimuicao de R ) vai diminuir P(R^a) e P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ), pois a e um numero natural fixo e R esta diminuindo. Claramente que INEVITAVELMENTE P(R^a) se tornara maior que P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) para algum R suficientemente pequeno. Quando isto ocorrer : modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) 1. Seguira que : modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )1= modulo( P(Z0+Z1) ) modulo( P(Z0)) ... ABSURDO ! Pois modulo(P(Z0)) e minimo ! Esse absurdo derivou do fato de postularmos que modulo(P(Z0)) 0. Assim, esta tese e insustentavel e temos que admitir que : modulo(P(Z0)) = 0 = P(Z0) = 0, isto e : TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA : Toda equacao polinomial de qualquer grau N e com quaisquer coeficientes complexos tem uma raiz. A PRIMEIRA IDEIA DE GAUSS : Em sua primeira demonstracao ( tese de doutorado ) Gauss substitui cada numero complexo pelo binomio a+bi e divide o polinomio em duas funcoes de duas variaveis : Real(a,b) e Complexo(a,b). A seguir, tecendo consideracoes geometricas ele mostra que o sistema : Real(a,b) = 0 e Complexo(a,b) = 0 Necessariamente tem uma solucao. Ele nao ficou satisfeito e tentou ffazer uma prova estritamente algebrica, mas nao conseguiu. Segundo Jean Dioudonne, Matematico frances do Grupo Boubarki, o TFA depende necessariamente de consideracoes topologicas e, portanto, a pretensao de Gauss era infundada. O TFA tem muitas implicacoes. Uma, conhecida como TEOREMA DE BOLZANO, e muito bonita. Alguem gostaria de mostrar esta implicacao ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1448,210703 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um Problema Interessante ...
Ola Pessoal ! Em muitas Linguagens de Programacao de Computadores e possivel criarmos funcoes recurssivas, vale dizer, e possivel criarmos funcoes que chamam a si mesmas um numero arbitrario de vezes. A recurssividade pode ser de mais de um tipo e, em geral, usa intensamente o recurso de variaveis locais para guardar o status das inumeras iteracoes. Matematicamente falando, a recurssividade pode ser modelada pelo processo de composicao de uma funcao com ela mesma. Se Y1=F(X), entao Y1=F(F(X)) seria uma rrecurssao. Em programacao, em geral, nos nao estamos preocupados com a recurssao em si. mas sim na potencialidade de tal possibilidade representa, pois muitos algoritmicos se tornam de solucao facil e elegante se o implementamos por recurssao. Mas e claro que toda solucao recurssiva exige um conhecimento interno da funcao. Por muitas razoes, eu estou precisando resolver o seguinte problema : Seja Y=H(X) uma funcao continua, conhecida, e A, B e C inteiros e N um natural maior que 2. Que condicoes Y=H(X) deve atender para que exista F(X) tal que : A*F^N(X) + B*F^(N-1)(X) + C*F(X) = H(X) Onde F^N(X) e a composicao de F(X) consigo mesma N vezes, isto e : F^N(X) = FoFoFoFo...oF(X)N vezes Pode ser que eu esteja querendo resolver um problema que ja foi resolvido. Neste caso, alguem sabe onde posso ver a solucao ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1609,210703 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ola Frederico e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O Teorema de Bolzano a que me referi e o seguinte :
TEOREMA DE BOLZANO : Se Y=P(X) e um polinomio real de coeficientes reais
definido no intervalo
]a,b[ entao :
1) Se o sinal de P(a) e igual ao sinal de P(b) ha um numero par de raizes no
intervalo ]a,b[
( podendo ser 0 raizes )
2) Se o sinal de P(a) e diferente do sinal de P(b) entao ha um numero impar
de raizes
Existem muitas coisas interessantes para serem vistas aqui, muitas das quais
dependentes de algum conhecimento mais aprofundado. Por exemplo. A equacao :
Z^7 + 5bar(Z)^4 + Z = 0
tem 17 solucoes... E verdade ! 17 solucoes ! E a abordagem disso segue as
pegadas do Gauss, ao abordar os sistemas R(a,b) e C(a,b) aos me referi. Mas
e dificil falar sobre isso sem pressupor algum conhecimento alem do nivel da
graduacao.
Nao sei ate onde voce estudou, mas talvez voce consiga ler o trabalho :
http://www.arxiv.org/abs/math.na/0209097
Muito provavelmente, dentre todos os Matematicos do Mundo, o Prof Nicolau
Saldanha, nosso moderador, e o cara que melhor entende destas coisas e de
suas implicacoes. Para nos Brasileiros e, em particular, nos aqui desta
lista, isso e motivo de muito orgulho.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1129,220703
From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Tue, 22 Jul 2003 10:14:37 -0300
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano
a que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou
em realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
Obrigado,
FRederico.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel
por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) = 0. Segue que M = 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta
concluida.
SEGUNDO CASO : M 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto
Z na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de n e do valor de Z0,
alguns destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
polinomio em Z1
resultante segundo
[obm-l] A Equacao de Pell e o Gugu
Ola Pessoal, _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] A MAE da Teoria
Ola Pessoal, Toda teoria tem um Pai. O Pai da teoria dos Grupos todos sabem quem e : Galois. Mas o muitos nao sabem e que a teoria dos grupos tem uma MAE tambem ... A Mae da teoria dos grupos e o Lagrange. Este notavel Matematico, trabalhando no que ele chamou de Um artigo despretencioso, generalizou todos os raciocinios fundamentais que ate aquela epoca existiam sobre a resolucaos de equacoes algebricas, mostrando como empregar uma mesma e unica linha de raciocinio para resolver todas as equacoes. A seguir, ele mostrou que esta linha de raciocinio nao podia se empregada para as equacoes do 5 grau. Esse trabalho do Lagrange, LIDO POR GALOIS, gerou a Teoria dos Grupos. Inclusive quem le a memoria original do lagrange comeca a advinhar o sentido de muitos conceitos e raciocinios abstratos ensinados em teoria dos grupos. E uma excelente atividade, que eu estimulo. Tudo que eu falei nao e raro acontecer ... Em muitos outros momentos um Matematico de gabarito aplica um raciocinio engenhoso na resolucao de um problema e um outro Matematico, bem preparado, ENCHERGA no raciocinio do colega possibilidades que o autor original nao enchergou ... Vamos portanto dizer que o autor em potencial das ideias e a MAE da teoria. O Pai e o cara que viu as coisas, que desenvolveu e aplicou. Neste lista, alguguem publicou uma ideia. Nesta lista existe uma Mae ... Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1432,230703 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Log-Integral e Numeros Primos
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu tambem achei a sua pergunta interessante, mas nao vi como responde-la rapidamente. Agora sei que uma resposta rapida seria muito dificil ... Aqui na lista existem diversas mensagem sobre a HR, algumas muito interessantes. Em particular, uma, que achei genial, mostra um tratamento probabilistico da HR. O autor demonstra que a probabilidade da HR esta certa e 1 !! Esta mensagem foi fruto de uma adaptacao que eu fiz de um artigo publicado no Scientif American, mas nao me lembro do numero. Mas ela esta nos arquivos desta nossa lista, sem duvida. Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1513,250703 From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Log-Integral e Numeros Primos Date: Fri, 25 Jul 2003 14:26:34 -0300 Oi, pessoal: Lendo mais sobre a Hipotese de Riemann, eu descobri que ela é equivalente à afirmativa: Pi(n) = Li(n) + O(raiz(n)*ln(n)). (um dos meus objetivos é entender o que isso tem a ver com os zeros da função zeta - aliás, uma curiosidade: o matemático que demonstrou esta relação for o Helmut von Koch - o mesmo da curva de Koch (floco de neve fractal)) Assim, se X(n) abaixo for limitada, então a HR (de fato, um resultado muito mais forte) estará demonstrada. Logo, é certo que ninguém (nem na lista nem fora dela) sabe a resposta da pergunta abaixo. A primeira vista, pode parecer estranho que mesmo que lim Pi(n)/Li(n) = 1 e que X(n) mude de sinal infinitas vezes, X(n) possa ser ilimitada, mas o seguinte exemplo ilustra este fenomeno: Considere: Y(n) = n^2 + n*sen(n) Z(n) = n^2 Temos lim Y(n)/Z(n) = 1 e Y(n) - Z(n) = n*sen(n) muda de sinal infinitas vezes. No entanto, Y(n) - Z(n) é claramente ilimitada. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 24, 2003 9:56 PM Subject: [obm-l] Log-Integral e Numeros Primos Caros colegas da lista: Alguem saberia dizer se a sequencia: X(n) = Pi(n) - Li(n) eh limitada e se sao conhecidos o lim inf e lim sup? onde: Pi(n) = no. de primos = n; Li(n) = log-integral de n = Integral(2 a n) dx/ln(x) OBS: Sabe-se que lim Pi(n)/Li(n) = 1 e que X(n) muda de sinal infinitas vezes. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] News from IMC!!!!!!!
Ola Prof Okakamo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Protesto ! Eu, em OFF, estava dizendo ao Gugu que aguardassemos mais um tempo antes de enviar solucoes das questoes IMO, para que os demais participantes, sobretudo os que se preparam para as olimpiadas, tivessem oportunidade de enviar as suas solucoes ou parte delas. Eu francamente acreditava e continuo acreditando, que muitos membros serios, estudantes, tem totais condicoes de resolver qualquer das questoes, alem da 4 ( que e trivial ). Como nao conhecia o ridiculo plagio do Dirichlet, disse : Olha ai Gugu, viu a solucao do Dirichlet ? Isso e uma prova de que devemos aguardar um pouco mais ! Agora o Prof Okakamo esclarece tudo ... Que feio ! O Plagiario e o ladrao da inteligencia ! Isso e um crime que consta na lei do direito autoral e cabe denuncia ao Ministerio Publico Federal : Eu sou do Ministerio Publico Federal e uma das minhas funcoes e justamente combater crimes ciberneticos ! Nao e muito mais facil mergulhar dentro de si mesmo e escutar o nosso Prof interno ? A solucao vem normalmente ! Em sintese, se o Prof Okakamo nao esta enganado, eu me associo a sua indignacao e repudio atitudes tao baixas quanto esta ! Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 1,1737,270703 From: okakamo kokobongo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] News from IMC!!! Date: Sun, 27 Jul 2003 13:56:23 -0300 (ART) Oi pessoal pessoal da lista, Finalmente consegui internet aqui na Romenia (estou com os alunos da IMC, junto com o Luciano), tirando duvidas das solucoes dos meus problemas propostos (eu e o Luciano estamos tentando explicar a ideia de alguns problemas para o pessoal da banca). Gostaria de fazer um pequeno protesto: O participante da lista Dirichlet estah plagiando ideias de meu caro e estimado pupilo Eduardo Tengan, que resolveu o problema 6 da IMO (de uma forma elegante) e o participante simplesmente copiou e colou sem a minima vergonha. Considero essa atitude desprezivel, ridicula. E ja nao eh a primeira vez que isso acontece. Ficar se gabando de que uma coisa que nao se fez eh simplesmente estupido. Seja honesto (inclusive no nome) O _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Plagio e Direito Autoral
Ola Pessoal ! Eu peco permissao a todos e, em particular, ao nosso moderador, pra indicar um Site que nao trata de Matematica, mas que esta diretamente ligada ao infeliz fato que recentemente presenciamos aqui. http://www.persocom.com.br/brasilia/plagio1.htm A lei pune para evitar danos a outrem ou a sociedade, mas a maior punicao para quem nao se corrige e o desprezo das pessoas de bem. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1923,270703 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Ola Prof Morgado, Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou tentaracrescentar mais detalhes a resposta do Prof Morgado. Conforme o Prof assinalou, o erro na sua demonstracao esta na passagem : fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE! Ao acrescentar a nova linha e a nova coluna, PRESSUPONDO QUE O DETERMINANTE DA MATRIZ A+I DE ORDEM N-1 E DIFERENTE DE ZERO, tudo que voce pode concluir e que A CARACTERISTICA DA NOVA MATRIZ A+I e pelo menos N-1, isto e, que se o determinante da nova matriz A+I for igual a zero entao, necessariamente, com base no teorema de Rouche-Capelli, ao atribuir um valor arbitrario ( digamos : ALFA ) a nova varialvel Xn e transformando a coluna N nos termos independentes, teremos um sistema de N-1 incognitas e N equacoes, possivel e determinado. E interessante perceber que se A e anti-simetrica de ordem maior que 2, entao, em A+I, se suprirmos a primeira linha e a primeira coluna, a matriz resultante e ainda da forma A+I, com A anti-simetrica; igualmente, se suprirmos a ultima linha e a ultima coluna, a matriz resultante e da forma A+I, com A anti-simetrica. O que estou tentanto lhe dizer e que o raciocinio do paragrafo anterior podera ser aplicado duas vezes ... Existe um teorema ( de Jacobi ou Cauchy, nao me lembro ao certo ) que os livros de ensino medio abordam, que e o seguinte : TEOREMA : Se acrescentarmos a uma fila de uma matriz quadrada uma combinacao linear das demais filas paralelas, o determinante desta matriz nao se altera COROLARIO : Se uma fila de uma matriz quadrada e uma combinacao linear das demais filas paralelas entao o determinante desta matriz e igual a zero OBS : Estou usando fila como sinonimo de linha ou de coluna. Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1110,280703 From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de matrizes Date: Mon, 28 Jul 2003 08:46:15 -0300 ASSINALEI O ERRO. Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z =1, x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a conclusao que este sistema eh impossivel. Alexandre Daibert wrote: Olha, eu fiz uma demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém achasse o erro na minha demonstração para mim. A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas olhe no fim deste e-mail q também está postado) resumindo a idéia principal da questão anterior: no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas) (A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na questão anterior) provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico: X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos iguais a zero provando para matriz 1x1: A (1x1) = matriz unidade [0] X = matriz unidade [x] AX = -X [0]*[x] = -[x] [0] = -[x] x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1 provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para matriz nxn o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) : x1 + ax2 + bx3 + ... = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0 .. -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0 por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0) para A nxn temos: x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0 ... -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0 -kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0 fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE! da última equação, constatamos q x(n)=0 x(n)=0 = X=(0) = det (A + I) diferente de zero = (A + I) é inversível para todo n segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois não é válida para a seguinte matriz A: || 0 1 || || 1 0 || cujo det (A + I) = 0 Aguardo ansiosamente respostas Alexandre Daibert Alexandre Daibert escreveu: Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe. Valeu aí! Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki: sendo BX=(0
Re: [obm-l] News from IMC!!!!!!! / Dirichlet
Ola Prof Gugu e demais colegas desta lista ... OBM-L, A mensagem a que o Prof Okakamo se refere e : INICIO DA MENSAGEM DO DIRICHLET LEGALLEGALLEGAL!Consegui fechar o problema 3 da IMO!!Confiram ai pra ver se nao tem nenhum erro. Agradeço ao Paulo Santa Rita pelas suas dicas de vetores e ao Marcio Afonso Assad Cohen pela ideia de usar desigualdades(e ao problema cinco da IMO da India pela fabulosa ideia) e ao Tengan por ter me ensinado a aplicar a tecnica leve tudo ate as ultimas consequencias!!!. O nosso hexagono tera o nome bastante original de ABCDEF cujos pontos medios sao o hexagono nao menos original MNPQRS,com M em AB,N em BC e assim por diante. O enunciado afirma que MQ=(raiz(2) 3)/2 *(AB+DE)= e assim por diante.Devemos mostrar que o hexagono e equiangulo. Seja t=sen 30°=COS 60º=(raiz(2) 3)/2. Começaremos demonstrando que os lados opostos são paralelos. Considere a origem em qualquer lugar.O ponto medio de AB e (A+B)/2 entao o vetor que liga os pontos medios de AB e DE e (A+B-D-E)/2.Assim |A+B-D-E|=2t*(|A-B|+|D-E|).Para melhorar a joça vamos tentar usar a desigualdade triangular para vetores.Sabemos que |A-B|+|D-E|=|A-B-D+E| com igualdade se e somente se AB//DE(entendeu o paralelismo ai?).Assim |AD+BE|=2t|AD-BE|. Quadrando e usando produto interno euclidiano: AD,AD+2DA,EB+EB,EB = 3*(AD,AD-2DA,EB+EB,EB) ou equivalentemente AD,AD+EB,EB =4*AD,EB.Analogamente EB,EB²+|FC,FC|²=4*EB,FC FC,FC²+AD,AD²=-4*FC,DA. Somando,obtemos 2*(DA-EB+FC)²=0.Logo DA-EB+FC=0,e os lados opostos são paralelos(verifique as igualdades!). 0=A-D-B+E+C-F=BA+DC+FE,logo os vetores AB,CD e EF podem fechar um triangulo.Isto ja e mais um ponto ao nosso favor! Se transladarmos EF na direção ED,obtemos CG no prolongamento do lado BC,devido ao paralelismo.Em miudos, desenhamos os paralelogramos ADCH,ABEI,CFEG.Devido aos paralelismos produzimos um triângulo GHI com o nosso ABCDEF dentro.Basta demonstrar que o triangulo GHI e equilatero.Para tal: DEVER DE CASA:cada mediana de um certo triangulo mede sen 60° vezes o lado correspondente.Calcule os angulos do triangulo.(DICA:umas SLCs podem ajudar,ou use Stewart) A PARTIR DAQUI FAÇA UM BOM DESENHO! Os triangulos HAB,FIE,CDG e HIG são semelhantes por paralelismo.E pelo mesmo motivo os tres primeiros triangulos sao congruentes e homoteticos ao quarto(se lembra dos vetores?).Assim IE=DG e EQ=DQ,logo IQ=QG e assim sendo Q e ponto medio de GI.Pela homotetia e visivel que H,M,Q se alinham. Vamos calcular a razao HQ/IG: HQ/IG=HM/AB=(HM-HQ)/(AB-GI)=MQ/(AB+DE)=cos 60°,e de acordo com o dever de casa(voce fez?),COMEMORE!! Sera que ressa vai pra Eureka! ?Vou enviar JA!!! UM ABRAÇAO!Ass.:Johann ** FIM DA MENSAGEM DO DIRICHLET From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] News from IMC!!! / Dirichlet Date: Mon, 28 Jul 2003 10:54:21 -0300 (EST) Caros Paulo e Okakamo, Nao sei a qual mensagem do Dirichlet voces se referem, mas a que eu vi (e da qual reproduzo abaixo uma parte) sobre o problema 6 menciona explicitamente que e' do Tengan a solucao que ele copia. Se for assim acho que voces estao exagerando um pouco... Abracos, Gugu Date: Mon, 21 Jul 2003 15:43:53 -0300 (ART) From: [** iso-8859-1 charset **] Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] E-mail do Tengan sobre o IMO 6 To: [EMAIL PROTECTED] ---Executing: shownonascii This message contains non-ASCII text, but the iso-8859-1 font has apparently not yet been installed on this machine. (There is no directory named /usr/local/lib/fonts.) What follows may be partially unreadable, but the English (ASCII) parts should still be readable. Legal,esta ideia e parecida com a minha.Mas uma coisa:alguem pode ser mais explicito nesta parte de olhar a raiz primitiva de q?E como e que a ordem e exatamente p? --- edmilson motta [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ei pessoal, voces notaram que o problema 6 da prova e' uma versao simplificada de um problema que eu e o Ed mandamos em uma das listas de treinamento do ano passado? O problema da lista era algo assim: Sejam a,r1 e p um primo. Prove que existe um primo q tal que (a mod q) tem ordem p^r. Ola Prof Okakamo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Protesto ! Eu, em OFF, estava dizendo ao Gugu que aguardassemos mais um tempo antes de enviar solucoes das questoes IMO, para que os demais participantes, sobretudo os que se preparam para as olimpiadas, tivessem oportunidade de enviar as suas solucoes ou parte delas. Eu francamente acreditava e continuo acreditando, que muitos membros serios, estudantes, tem totais condicoes de resolver qualquer das questoes, alem da 4 ( que e trivial ). Como nao conhecia o ridiculo plagio do Dirichlet, disse : Olha ai Gugu, viu a solucao do Dirichlet ? Isso e uma prova de que devemos aguardar um pouco mais ! Agora o Prof
Re: [obm-l] News from IMC!!!!!!! / Dirichlet
Ola Prof Gugu ! Em OFF estavamos conversando e eu lhe disse que deviamos segurar um pouco as solucoes porque muitas pessoas poderiam ainda enviar e se nos enviassemos, muito provavelmente elas se sentiriam desistimuladas. Inclusive, citando o Prof Okakamo, mencionei que o Dirichlet havia enviado uma solucao, o que provava que eu estava com a razao. Eu estava preparando uma mensagem na qual analisava a solucao do Dirichlet e, caso estivesse correta, iria lhe prestar os merecidos parabens e dizer que todos deveriam seguir o exemplo e pensar nas demais questoes, pois eu e voce, estavamos aguardando isso. Foi ai que o Prof Okakamo enviou a sua mensagem, denunciando o plagio. Eu me senti um idiota por ter acreditado na sinceridade do Dirichlet ( Anderson Torres ). Eu, inclusive, na minha mensagem, PARA NAO COMETER INJUSTICA, FALEI : SE O PROF OKAKAMO NAO ESTIVER ENGANADO, eu me associo a sua indignacao e repudio ... E so conferir a minha mensagem que voce vai ver a expressao acima. Mas, pelo que estou entendendo agora, o que realmente ocorreu foi um lamentavel engano do nosso estimado Prof Okakamo. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1303,280703 From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] News from IMC!!! / Dirichlet Date: Mon, 28 Jul 2003 12:40:15 -0300 (EST) Oi Paulo, O que o Okakamo disse no e-mail dele foi Problema 6: (...) e estimado pupilo Eduardo Tengan, que resolveu o problema 6 da IMO (de uma forma elegante) e o participante simplesmente copiou e (...) Como o Tengan mandou uma solucao do problema 6 para a lista, por intermedio do Edmilson (que o Dirichlet copiou e colou, citando a fonte), eu achei que era isso. Porque voce afirma que o Okakamo se referiu ao problema 3, e nao ao 6 ? Abracos, Gugu Ola Prof Gugu e demais colegas desta lista ... OBM-L, A mensagem a que o Prof Okakamo se refere e : INICIO DA MENSAGEM DO DIRICHLET LEGALLEGALLEGAL!Consegui fechar o problema 3 da IMO!!Confiram ai pra ver se nao tem nenhum erro. Agradeço ao Paulo Santa Rita pelas suas dicas de vetores e ao Marcio Afonso Assad Cohen pela ideia de usar desigualdades(e ao problema cinco da IMO da India pela fabulosa ideia) e ao Tengan por ter me ensinado a aplicar a tecnica leve tudo ate as ultimas consequencias!!!. O nosso hexagono tera o nome bastante original de ABCDEF cujos pontos medios sao o hexagono nao menos original MNPQRS,com M em AB,N em BC e assim por diante. O enunciado afirma que MQ=(raiz(2) 3)/2 *(AB+DE)= e assim por diante.Devemos mostrar que o hexagono e equiangulo. Seja t=sen 30°=COS 60º=(raiz(2) 3)/2. Começaremos demonstrando que os lados opostos são paralelos. Considere a origem em qualquer lugar.O ponto medio de AB e (A+B)/2 entao o vetor que liga os pontos medios de AB e DE e (A+B-D-E)/2.Assim |A+B-D-E|=2t*(|A-B|+|D-E|).Para melhorar a joça vamos tentar usar a desigualdade triangular para vetores.Sabemos que |A-B|+|D-E|=|A-B-D+E| com igualdade se e somente se AB//DE(entendeu o paralelismo ai?).Assim |AD+BE|=2t|AD-BE|. Quadrando e usando produto interno euclidiano: AD,AD+2DA,EB+EB,EB = 3*(AD,AD-2DA,EB+EB,EB) ou equivalentemente AD,AD+EB,EB =4*AD,EB.Analogamente EB,EB²+|FC,FC|²=4*EB,FC FC,FC²+AD,AD²=-4*FC,DA. Somando,obtemos 2*(DA-EB+FC)²=0.Logo DA-EB+FC=0,e os lados opostos são paralelos(verifique as igualdades!). 0=A-D-B+E+C-F=BA+DC+FE,logo os vetores AB,CD e EF podem fechar um triangulo.Isto ja e mais um ponto ao nosso favor! Se transladarmos EF na direção ED,obtemos CG no prolongamento do lado BC,devido ao paralelismo.Em miudos, desenhamos os paralelogramos ADCH,ABEI,CFEG.Devido aos paralelismos produzimos um triângulo GHI com o nosso ABCDEF dentro.Basta demonstrar que o triangulo GHI e equilatero.Para tal: DEVER DE CASA:cada mediana de um certo triangulo mede sen 60° vezes o lado correspondente.Calcule os angulos do triangulo.(DICA:umas SLCs podem ajudar,ou use Stewart) A PARTIR DAQUI FAÇA UM BOM DESENHO! Os triangulos HAB,FIE,CDG e HIG são semelhantes por paralelismo.E pelo mesmo motivo os tres primeiros triangulos sao congruentes e homoteticos ao quarto(se lembra dos vetores?).Assim IE=DG e EQ=DQ,logo IQ=QG e assim sendo Q e ponto medio de GI.Pela homotetia e visivel que H,M,Q se alinham. Vamos calcular a razao HQ/IG: HQ/IG=HM/AB=(HM-HQ)/(AB-GI)=MQ/(AB+DE)=cos 60°,e de acordo com o dever de casa(voce fez?),COMEMORE!! Sera que ressa vai pra Eureka! ?Vou enviar JA!!! UM ABRAÇAO!Ass.:Johann ** FIM DA MENSAGEM DO DIRICHLET From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] News from IMC!!! / Dirichlet Date: Mon, 28 Jul 2003 10:54:21 -0300 (EST) Caros Paulo e Okakamo, Nao sei a qual mensagem do Dirichlet voces se referem, mas a que eu vi (e da qual reproduzo abaixo uma parte) sobre o
[obm-l] Equacao ( Niv 2 )
Ola Pessoal ! Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) : Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a raiz quadrada de X. Regra : Nao vale usar calculo ! Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ... Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1508,010803 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] nunca vi
Ola Rafael e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu ja vi este simbolo algumas vezes, tanto no calculo da N-esima derivada de algumas funcoes quanto em problemas. Em todas as circunstancias ele era usado para simplificar a notacao e com o significado : X!! = X*(X-2)*(X-4)* ... ate o menor inteiro positivo. Exemplos : 3!! = 3*1 = 3 4!! = 4*2* = 8 No Problema : Seja dado um poligono convexo de N lados. De quantas maneiras distintas e possivel dividi-lo em triangulos usando-se apenas suas diagonais ? Esse tipo de fatorial surge naturalmente. Todavia, por uma questao de prudencia, acho que voce nao deveria usar esta notacao em alguma prova ou concurso oficial, pois a banca pode nao conhecer e considerar seu raciocinio invalido. Claramente que X!! pode ser expresso por um produtorio, que todos conhecem. Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1110,040803 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] nunca vi Date: Sun, 3 Aug 2003 23:12:08 EDT Ha tambem a possibilidade de ser apenas um ponto de exclamacao indicando a enfase no final de uma determinada resolucao, em que a solucao seria x!, tipicos dos problemas de permutacao. Em uma mensagem de 3/8/2003 23:49:19 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom, eu tambem nunca vi, mas - quem sabe? â talvez o autor quisesse apenas dizer fatorial do fatorial, ou seja x!! = (x!)! Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Alexandre Terezan Sent: Sunday, August 03, 2003 7:43 PM To: OBM Subject: [obm-l] nunca vi Alguém poderia me dizer o que significa o sinal de duas exlamações seguidas em matemática? x! = fatorial de x Mas o que é x!! ? Desde já agradeço, Alexandre Terezan _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] x^x = 2^(-raiz(x))
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-l, A sua solucao e bonita e usa recursos do nivel no qual ela foi proposta. Segundo a pessoa que me mostrou, a questao foi apresentada para alunos com grau de estudo equivalente ao nosso nivel 2 ( setima e oitava series ). Essa a razao de nao se poder usar calculo na resolucao. Nao sei de qual pais e. Na resposta considerava-se que zero tambem era raiz. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,2325,050803 From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] x^x = 2^(-raiz(x)) Date: Tue, 05 Aug 2003 19:05:51 -0300 on 01.08.03 15:10, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Pessoal ! Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) : Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a raiz quadrada de X. Regra : Nao vale usar calculo ! Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ... Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1508,010803 Oi, Paulo: O universo de x tem que ser o conjunto dos reais positivos. x^x = 2^(-raiz(x)) == (x^raiz(x))^raiz(x) = (1/2)^raiz(x) == x^raiz(x) = 1/2 Vamos supor que x = 1/2^n. Nesse caso: x^raiz(x) = (1/2^n)^(1/2^(n/2)) = (1/2)^(n/2^(n/2)) = 1/2 == n/2^(n/2) = 1 == n = 2^(n/2) == n^2 = 2^n == n = 2 ou n = 4 ou n = -a, onde a eh um numero real positivo menor do que 1 e tal que a^2 = 2^(-a) (repare que os graficos de y = x^2 e y = 2^x se intersectam num ponto de abscissa negativa igual a -a. Nao faco a menor ideia se a eh racional ou irracional ou mesmo transcendente, mas apostaria nessa ultima alternativa) n 4 == 2^n n^2 == n = 4 eh a maior solucao de n^2 = 2^n Portanto: n = 2 == x = 1/4 Testando: x^x = (1/4)^(1/4) = (1/2)^(1/2) = 1/raiz(2) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/4)) = 2^(-1/2) = 1/raiz(2) == x = 1/4 eh raiz n = 4 == x = 1/16 Testando: x^x = (1/16)^(1/16) = (1/2)^(4/16) = 1/2^(1/4) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/16)) = 1/2^(1/4) == x = 1/16 eh raiz n = -a == x = 2^a Testando: x^x = (2^a)^(2^a) = 2^(a*2^a) = 2^(a/a^2) = 2^(1/a) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(2^a)) = 2^(-raiz(1/a^2)) = 2^(-1/a) == x = 2^a nao eh raiz Assim, a equacao original tem 2 solucoes: x = 1/4 e x = 1/16. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções de sistemalinear
Ola Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Conforme outros membros desta lista ja observaram, a questao que voce propos nao tem solucao. Todavia, se voce aceitar que as solucoes sejam formadas por INTEIROS NAO NEGATIVOS, ela tem solucao. Alias, uma generalizacao natural PODE SER : (Generalizacao) Discutir as solucoes formadas por INTEIROS NAO-NEGATIVOS da equacao : A1*X1 + A2*X2 + ... + An*Xn = B onde os Ai e o B sao inteiros positivos. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1113,060803 on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
inverossimilhancas, nao a CAUSA UNICA delas ... E que cada um engula isso como puder ! Na Matematica, como em tudo, a Normalidade, quando nao e a expressao viva da mediocridade, e apenas uma face da patologia ... E sempre ha uma multidao de sacerdotes dispostos a defender os credos antigos e acusar os raciocinios estranhos e diferentes com as formas modernas da inquisicao, mesmo que a historia esteja diuturnamente demonstrando que o progresso jamais promana daquilo que e comum e batido, daquelas implicacoes logicas limpinhas e bonitinhas. Uma curva gaussiana das normalidades humanas, em qualquer ambiente, seja academico, social, desportivo e mesmo profissional, e sofrivel ... A pior desgraca que pode suceder a um ser humano, e ele ser normal ! Perdao por este OFF-DESABAFO final. Um Abraco Cordial a Todos ! Paulo Santa Rita 1,2107,100803 From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sun, 10 Aug 2003 19:00:05 -0300 Desculpe a ignorancia, poderia detalhar mais a segunda escolha? Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio ! Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados. PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli ) 1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli. Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema. SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos ) Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico. TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner ) Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto p = a*cosA + b*cosB + c*cosC Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803 EM TEMPO. Sobre a beleza matematica : A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB O autor mostra como o numero fi, ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado : A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia : 1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ... From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Carissimo Claudio : a ironia funciona quando o ironizado tem alguma nocao do que seja o ridiculo, o que nao parece ser o caso Acredito firmemente que as pessoas que frequentam esta nossa lista sao, em sua grande maioria, estudantes dedicados, que seriamente buscam aqui adquirir conhecimentos e esclarecer suas duvidas, seja porque irao participar de Olimpiadas, seja porque prestarao algum vestibular que exija algum treinamento maior em matematica. Enfim, sao pessoas serias que nao podem e nao devem estar dispostas a perder tempo com besteiras e maluquices. Perolas, como as destacadas pelo Claudio na mensagem abaixo, nao contribuem em nada para o aperfeicoamento desta nossa lista, servindo tao somente para desvaloriza-la, afastando algumas pessoas de real valor e formando uma imagem - que se propaga - negativa que nenhum de nos deseja ver associada aos lugares que prezamos e frequentamos. Toda mensagem deve ser responsavel, vale dizer, IDEALMENTE, deve carregar o que ha de melhor em nosso espirito. Deve ser a expressao de uma duvida sincera ou um esclarecimento consciente. E verdade que sempre ha uma distancia, grande ou pequena, entre aquilo que idealizamos e aquilo que realizamos, mas, as pessoas inteligentes percebem a diferenca entre uma digressao inocente ( um OFF) e uma atitude diuturna e malevola, fruto de uma paixao qualquer ... Como seres humanos podemos errar, mas nao podemos errar sempre, pois isso seria uma burrice ou maldade incompativel com a qualidade que almejamos para esta lista. Enfim. essa lista e a nossa casa. Devemos, portanto, ter cuidados com ela. Devemos trazer para o nosso convivio as melhores pessoas que conhecermos e laborar para que elas permanecam e possam testemunhar sobre a qualidade de nosso trabalho e de nossa educacao. A verdadeira mensagem subjacente a ironia do Claudio e um proteto silencioso, util, verdadeiro, que eu torno claro e que bem poderia ser tomado como ponto de partida para que as pessoas explicitamente mencionadas TIVESSEM VERGONHA NA CARA e deixassem de publicar asneiras e insanidades. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1937,110803 Os mafiosos tem comparsas; os criminosos, cumplices; os corruptos, associados : mas so os homens de bem tem amigos (Voltaire) Amigo e coisa pra se guardar do lado esquerdo do peito ! (Milton Nascimento - Gravado na camisa de alguem que me visitou ) From: Claudio Buffara To: Lista OBM Sent: Monday, August 11, 2003 1:16 AM Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Caros colegas: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! Pessoal, vamos olhar pra frente, prestigiar a modernidade e, mais importante, os talentos matematicos nacionais. Com isso em mente, elaborei uma lista que deixaria o David Hilbert morrendo de inveja. E o que eh melhor, com problemas propostos pelas mentes mais privilegiadas da nossa lista - aqueles que certamente vao cobrir o Brasil de gloria com medalhas Fields, premios Abel e ainda fazer os suecos criarem o premio Nobel de matematica. Sendo assim, aqui vao os problemas que pautarao o desenvolvimento da matematica nos seculos vindouros. As 7 primeiras perolas (perolas? brilhantes, isso sim!) sao de autoria do nobre sabio Jorge Luiz de Fortaleza. As 5 restantes - puro genio - do nosso querido e muitas vezes incompreendido mestre Dirichlet. Problemas e teoremas do Jorge Luiz: 1) A pegadinha no Pereira. 2) O caramujo. 3) A margem de erro real. 4) A compra, venda, recompra e revenda. 5) Apostar ou jogar uma moeda. 6) As páginas dos dicionários. 7) O método cuca legal de multiplicação. Problemas e teoremas do Dirichlet: 8) O da sequencia que sai facil por Kronecker - eh soh pegar os numeros das pontas e das extremidades e ir multiplicando de fora pra dentro; 9) O do triangulo que voce expressa o seno em funcao da tangente da metade do angulo externo do triangulo da pagina ao lado e cai num polinomio que os fatores se cancelam e se nao se cancelarem eh que voce errou alguma conta mas tudo bem que tambem tem a solucao cearense. 10) Aquele que voce aplica Schur 3 vezes e depois divide o intervalo em 4 sub-intervalos e aplica Schur mais umas 3 ou 4 vezes e ai fica trivial - basta usar Fermat, ou Cauchy, ou Euler, ou um cara desses ai. 11) Tem o outro que sai pelo teorema de Turan-Erdos-Von Neumann e mais outros dois ou tres hungaros que eu nao lembro o nome e ai com 4n^2+3 2n+1 7n^3+9 111 112 2m eh soh achar os dois grafos sem triangulos no meio do emaranhado de pontinhos. 12) Finalmente, tem aquele da soma dos senos que eh soh ver a Eureka e - ah! meu! Esse ai eh
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Ola Claudio ! Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados. PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli ) 1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli. Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema. SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos ) Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico. TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner ) Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto p = a*cosA + b*cosB + c*cosC Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803 EM TEMPO. Sobre a beleza matematica : A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB O autor mostra como o numero fi, ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado : A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia : 1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ... From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Mat. = ciência exata?
Ola Duda e demais colegas desta lista ... OBM-L, Se bem entendi a sua colocacao, o pessoal da Licenciatura tem uma concepcao da Matematica semelhante a do Leibniz. Esse Matematico - que descobriu o Calculo Diferencial, entre muitas outras contribuicoes - reiteradamente afirmava que Se nos percebermos internamente as necessidades externas do mundo, encontraremos caminhos validos para tratar dos grandes problemas matematicos Segundo este Matematico, uma obra Matematica valida e um produto de carater universal e intemporal, que se impoe alem de toda critica por se fundamentar em provas incontestaveis. Assim, um Matematico, por mais egoista e simplorio que seja, ao descobrir e/ou desenvolver novos ramos, estara dando uma contribuicao para toda a humanidade e, neste sentido, a sua mente necessariamente entrou em sintonia com as grandes necessidades estruturais que caracrterizam um determinado momento historico. Isto explicaria descobertas semelhantes por pessoas distintas que nao se conhecem : simplesmente e uma necessidade do momento, isto e, nao haveria uma outra forma de tratar e abordar as questoes. Entretanto, e importante que se diga que sentir qual a direcao do progresso humano em um ramo qualquer do conhecimento e uma qualidade rara, em cada seculo parecendo haver poucas pessoas com tal habilidade ( como, sem duvida, tinha o Leibniz ). Quais seriam, hoje, as necessidades do mundo ? Um cara que desenvolveu esta tese ate as ultimas consequencias foi o Hegel, segundo o qual a historia ( cultura ) explica todos os fenomenos com base na triade dialectica tese-antitese-sintese : alguem propoe uma tese ( por exemplo, a mecanica newtoniana ) que vai se desgastando e mostrando fissuras. Surge uma antitese que procura contornar os problemas ( por exemplo, a mecanica quantica ). Com o passar do tempo vem a uniao harmonioso das duas, isto e, a sintese. A sintese passa a ser a tese e todo o ciclo se repete, sucessivamente. Bom, fazer Matematica e sem duvida agradavel, mas, dado as implicacoes humanas que dela promanam, nao pode ser uma mera brincadeira ... Existe uma coisa seria aqui. Como Matematicos, qual a nossa responsabiolidade ? Buscar somente a propria gloria ? Evidentemente que nao e isso ... A verdade sempre foi, e, e sera um dos maiores valores de nossa cultura ... E parece certo que a Matematica nao e a Verdade, mas, hoje, ja e igualmente certo que nao chegaremos a Verdade, qualquer que ela seja, sem antes passar pela Matematica. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1004,300903 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mat. = ciência exata? Date: Tue, 30 Sep 2003 00:28:33 -0300 Olá! Estou cursando a cadeira de História da Matemática, junto com o pessoal da Licenciatura em Matemática. Um colega disse, em sala de aula, que a Matemática é uma ciência humana. Eu achei a idéia muito boba, mas, conversando com uma colega, constatei - para meu espanto - que há grupos de pesquisa que estudam (?!) a possibilidade de a matemática não ser uma ciência exata, querendo significar (pelo que eu entendi) que a matemática é cultural, dependendo do contexto histórico ou algo assim. Para ser franco, como muitas das coisas discutidas, eu não consegui compreender sobre o que se falava. Parece que o pessoal da Licenciatura tem uma visão de matemática muito identificada com educação matemática. Alguém tem alguma idéia de o que eu estou falando?! Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mat. = ciência exata?
Ola Bruno e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu li a obra do Kapra a que voce se refere, bem como as demais obras dele. Em A teia da vida, ele apresenta o que poderiamos chamar de suas alegacoes finais ... Em sintese, ele procura desenvolver conceitos que possam unificar diversos desenvolvimentos cientificos e culturais contemporaneos, delimitando assim um modelo conceitual que, segundo ele, nos permitirde compreender o porvir. Mas Kapra nao faz ciencia, ele anuncia possibilidades. Talvez ele esteja para a nossa epoca assim como Francis Bacon estava para o Renascimento. De fato, no Novo Organon, este filosofo antecipou em decadas e com notavel precisao quase todos os desenvolvimentos cientificos e possibilidades tecnologicas, descrevendo perfeitamente o metodo esperimental. Assim, num futuro proximo nao se surpresa se algum historiador comparar Kapra com Bacon. Mas Bacon nao era um Matematico, assim como Kapra nao e. Mas Leibniz, nao so foi um brilhante Matematico, mas Estadista de Escol tambem. Portanto, quando ele afirma que os problemas externos do mundo influenciam e sugerem caminhos validos para a solucao de Problemas especificos da Matematica, delineando assim um imbricamento de coisas que dificilmente suspeitariamos, trata-se da palavra de quem conhece muito bem ambas as coisas. E portanto, em algum sentido, um testemunho de maior peso. Eis a razao de eu ter citado este Matematico : Numa lista de discussao de Matematica, a palavra de um ( Grande ? ) Matematico ! A proposito, aqui no Brasil tem havido uma enorme discussao sobre o cultivo e comercializacao da soja transgenica. Os doutores afirmam que e fundamental um Estudo de Impacto Ambiental, para que possamos prever as implicacoes nocivas ou nao da introducao de especies geneticamente modificadas. Ate parece que isto e uma tecnica bem conhecida, facil de fazer ... Em Verdade, nos NAO SABEMOS avaliar com a necessaria precisao os efeitos da introducao de novas especies em ecosistemas especificos, nao obstante SER PREMENTE aprendermos a fazer estes calculos e avaliacoes, sob pena de reiteradamente apreciarmos os desequilibrios que estamos provocando em funcao de nossa ignorancia, que ameacam mesmo a nossa propria sobrevivencia. Todos estes problemas se referem, direta ou indiretamente, a nossa capacidade de avaliar o papel ou funcao que um objeto dotado de aparente intencionalidade vem a desempenhar quando introduzido num sistema dinamico que mantem uma delicada estabilidade ... Vai ocorrer uma catastrofe ? O sistema vai evoluir para uma nova e harmonica estabilidade ? Tai um verdadeiro problema atual, objetivo e tragico ... Nos nao temos a opcao de nao resolve-lo ou de remediar eternamente a sua solucao. Nao e uma brincadeira, nao e diletantismo, nao e prazer. E agora Jose ? Como equaciona-lo ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,2210,300903 From: Bruno Simões [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mat. = ciência exata? Date: Tue, 30 Sep 2003 11:53:24 -0300 (ART) Longe que querer parecer um especialista no assunto, e já tentando contribuir para a lista, recomendo a leitura de O Ponto de Mutação de Kapra. Lá há um bom texto sobre as influências culturais sobre o pensamento científico... Sobre os interesses dos matemáticos, ouvi falar de um sujeito nos EUA que parou de pesquisar sobre hiperespaços ao saber da possível utilidade prática de seus resultados na teoria de codificação de informações... O que pensam a respeito? --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Duda e demais colegas desta lista ... OBM-L, Se bem entendi a sua colocacao, o pessoal da Licenciatura tem uma concepcao da Matematica semelhante a do Leibniz. Esse Matematico - que descobriu o Calculo Diferencial, entre muitas outras contribuicoes - reiteradamente afirmava que Se nos percebermos internamente as necessidades externas do mundo, encontraremos caminhos validos para tratar dos grandes problemas matematicos Segundo este Matematico, uma obra Matematica valida e um produto de carater universal e intemporal, que se impoe alem de toda critica por se fundamentar em provas incontestaveis. Assim, um Matematico, por mais egoista e simplorio que seja, ao descobrir e/ou desenvolver novos ramos, estara dando uma contribuicao para toda a humanidade e, neste sentido, a sua mente necessariamente entrou em sintonia com as grandes necessidades estruturais que caracrterizam um determinado momento historico. Isto explicaria descobertas semelhantes por pessoas distintas que nao se conhecem : simplesmente e uma necessidade do momento, isto e, nao haveria uma outra forma de tratar e abordar as questoes. Entretanto, e importante que se diga que sentir qual a direcao do progresso humano em um ramo qualquer do conhecimento e uma qualidade rara, em cada seculo parecendo haver poucas pessoas com tal habilidade ( como, sem duvida, tinha o Leibniz
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Ola Carlos e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Vou contribuir um pouquinho ...
G) Sendo e a identidade, de Y^2= e para todo Y em G concluimos que Y^-1 =
Y ( Voce saberia dizer porque posso fazer esta afirmacao ? ). Sejam a e
b dois elementos quaisquer do Grupo. Entao ab e (ab)^-1 estao em G e, pelo
que vimos :
ab=(ab)-1 = ab=(b^-1)(a^-1) mas b^-1=b e a^-1 = a. Segue que :
ab=ba, para quaisquer a e b em G. O grupo e portanto abeliano.
Observe que este resultado tem uma consequencia imediata, qual seja : Todo
Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico. Prove isso !
Dois outros problemas elementares sobre Grupos :
1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente
G/G' e abeliano.
2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n =3. Mostre que se o centro de
G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1012,201003
From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 -0300 (ART)
MIME-Version: 1.0
Received: from mc5-f8.hotmail.com ([65.54.252.15]) by mc5-s21.hotmail.com
with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:02 -0700
Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f8.hotmail.com
with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:01 -0700
Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id VAA05070for obm-l-MTTP; Sun, 19 Oct 2003 21:00:41 -0300
Received: from web21109.mail.yahoo.com (web21109.mail.yahoo.com
[216.136.227.111])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id
UAA04957for [EMAIL PROTECTED]; Sun, 19 Oct 2003 20:59:41 -0300
Received: from [200.164.247.30] by web21109.mail.yahoo.com via HTTP; Sun,
19 Oct 2003 20:32:19 ART
X-Message-Info: NDMZeIBu+soqT/9tqALIbVX3Lxac9UkwSv5iQMq7xO4=
Message-ID: [EMAIL PROTECTED]
In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
Sender: [EMAIL PROTECTED]
Precedence: bulk
Return-Path: [EMAIL PROTECTED]
X-OriginalArrivalTime: 20 Oct 2003 11:15:01.0949 (UTC)
FILETIME=[67D536D0:01C396FB]
Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão:
Seja Z conjunto dos inteiros e x o subgrupo gerado
por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m
inteiros( m= 2):
a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b
entao, como subgrupos de Zm,
B esta contido em A.(Esse eu consegui provar o
resto nao)
b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao A =
Zm.
c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d
, entao A = D.
d) De posse das informacoes acima, determine todos os
subgrupos de (Z36 , +).
e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 2 entao G é ciclico.
f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
poderia ser o elemento ab)
g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y
em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x
implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b
em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...)
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http://mail.yahoo.com.br
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Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Oi Duda, Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Quando o Duda colocou a questao, a nossa lista estava sendo agredida por
maluco qualquer e pensei que ele, corretamente, desejando reafirmar a
inegavel qualidade de nossas discussoes e colocar o maluco onde deveria
ficar, isto e, no ostracismo, apresentava um daqueles exemplos em que e
impossivel concluir sobre a convergencia usando os testes convencionais
diretos mais conhecidos, tais como o teste da razao e da raiz.
Eu mesmo procedi assim, resolvendo algumas questoes elementares sobre grupos
que algum membro havia proposto. Sem pensar muito, vou dizer o que vejo. Os
colegas, por favor, corrijam os erros e completem as lacunas
Numa primeira analise, claramente que para qualquer N temos que 1/3 [( 2 +
sen(N) )/3] 1 e dai segue que [ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N 1= (1/N)*[ (
2 + sen(N) )/3 ]^N 1/N, isto e, para todo natural N positivo existe um
real r(N) 1 tal que :
(1/N)*[ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N = 1 / ( N^r(N) )
Agora :
S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) 1, converge ? Para mim,
e evidente que sim, e eu ficaria satisfeito em chegar aqui, pois, para N
suficientemente grande, tomando r=MIN{ r(1), ...,r(N) }, teriamos r 1 e a
serie de termo geral 1/N^r converge, alem de que 1/N^r = 1/[ N^r(N) ]. Mas
claramente e possivel colocar mais rigor aqui ...
Finalmente, observo aqui uma semelhanca com as series de Fourier, na qual
para tratarmos de continuidade e diferenciabilidade de serie de funcoes,
precisamos considerar o conceito de convergencia uniforme para dar maior
rigor as nossas conclusoes ...
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1040,231003
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n Date: Thu, 23 Oct 2003
08:13:02 -0200
MIME-Version: 1.0
Received: from mc3-f29.hotmail.com ([64.4.50.165]) by mc3-s14.hotmail.com
with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Thu, 23 Oct 2003 03:13:54 -0700
Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc3-f29.hotmail.com
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Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id HAA07413for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 07:10:44 -0300
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sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA07408for
[EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 07:10:43 -0300
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[EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 08:10:12 -0200 (BRST)
Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br
[200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by
bertioga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 3B0743F80CBfor
[EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 08:10:12 -0200 (BRST)
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sucuri.mat.puc-rio.br id HAA07410
Sender: [EMAIL PROTECTED]
Precedence: bulk
Return-Path: [EMAIL PROTECTED]
X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 10:11:53.0677 (UTC)
FILETIME=[151607D0:01C3994E]
Bom, por um lado eh verdade que 1/3 (2+sen(n))/3 1, para todo n natural
e que, portanto, o termo geral tende a zero.
Alem disso, a primeira vista, o n-esimo termo seria majorado por algo da
forma a^n/n, com 1/3 a 1, o que implicaria em convergencia. Soh que
isso
nao eh verdade. Aquela nossa discussao sobre densidade e equidistribuicao
mostrou que a sequencia cujo termo geral eh (2+sen(n))/3 tem uma
subsequencia convergindo pra 1 (apesar de (2+sen(n))/3 nao ser UD em
[1/2,1]
- acho que o Gugu mandou uma mensagem mostrando isso ou algo muito
similar).
Isso significa que nao existe a em (1/3,1) tal que a majoracao mencionada
acima ocorre para todo n.
Claro, o problema estah no expoente n (sem ele, cada termo teria 1/(3n)
como
cota inferior e a serie seria divergente por comparacao com a serie
harmonica).
A serie SOMA(n=1) ((2+sen(n))/3)^n tambem me parece problematica, pois nao
pode ser majorada por nenhuma serie geometrica com razao 1. Nesse caso,
nao tenho nem certeza sobre se o termo geral tende a zero.
Talvez seja interessante considerar a serie SOMA(n=1) x(n)^n, onde x(n) eh
uma sequencia UD em [0,1]. Uma duvida que eu tenho eh se o expoente n puxa
os termos da serie pra baixo o suficiente pra que ele convirja. Serah que,
pelo menos, lim x(n)^n = 0 ?
Espero que alguem com mais conhecimentos entre na discussao e tire essas
duvidas.
Um abraco,
Claudio.
on 23.10.03 00:57, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz
a
pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor
copiou
mal de um livro e propôs
Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Oi Claudio, Infelizmente, sua observacao nao e consistente. Voce se ateve a uma frase ( que destacou pra refutar ) e nao ao corpo da mensagem. Esta claro, devido a tudo que escrevi, que eu me refiri aos r(N) que resultam da equacao ( perdao se nao fui suficientemente claro ! ) : (1/N)*[ (2+sen(N) / 3)]^N = 1/[ N^r(N) ] , r(N) 1 para qualquer N = 1. A sequencia Xn=sen(N) varia entre -1 e 1, isto e, -1 sen(N) 1. NESTE CASO, volto a afirmar : a serie converge DEVIDO A PARTICULARIDADE DO sen(N) que estou destacando nesta mensagem. E necessario desenvolver mais este ponto ... Um abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1609,231003 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n Date: Thu, 23 Oct 2003 15:29:02 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc6-f7.hotmail.com ([65.54.252.143]) by mc6-s20.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 10:35:30 -0700 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc6-f7.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 10:29:01 -0700 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA19598for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 15:22:50 -0200 Received: from ns3bind.bindtech.com.br ([200.230.34.5])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA19594for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 14:22:49 -0300 Received: from servico2 ([200.230.34.229])by ns3bind.bindtech.com.br (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id h9NHLfI10536for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 15:21:42 -0200 X-Message-Info: vGzX0e+ktu7ypwUeYQqq1iuL4jIELQokqOpMWY8YQ5o= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] References: [EMAIL PROTECTED] X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600. X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600. Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 17:29:03.0500 (UTC) FILETIME=[274764C0:01C3998B] S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) 1, converge ? Para mim, e evidente que sim. Oi, Paulo: Infelizmente isso não é verdade. Por exemplo, para cada n = 3, tome r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) 1. Isso resulta em n^r(n) = n*ln(n) == SOMA(n=3) n^(-r(n)) = SOMA(n =3) 1/(n*ln(n)), que diverge, pelo teste da integral. * O problema do Duda parece ser bem mais complicado. Por exemplo, um bom começo seria determinar se a sequência x(n) = sen(n)^n é convergente ou não. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Oi Claudio,
Gostaria de poder participar com mais tranquilidade, como fazia antes, mas
podes crer que o meu dia precisaria ter cerca 48 horas para que eu pudesse
atender bem tantas coisas ...
Eu continuo achando que e evidente que a serie converge devido as
particularidades Xn = sen(N) e considero que o que eu vejo e muito
semelhante a convergencia uniforme que se usa, dentre outros lugares, na
Analise de Fourier. Vou tentar falar um pouco mais sobre isso.
Nos sabemos que os r(N) sao definidos pela equacao :
(1/N)*{ [ (2 + sen(N) / 3 ]^N } = 1/( N^r(N) )=r(N) 1 para todo N
A serie : 1 + 1/( 2^r(2) ) + ... + 1/( N^r(N) ) + ... evidentemente que
converge pois r(N) 1 e tomando r=MIN { r(1), r(2), ... } claramente que
1/N^r converge e 1/N^r = 1/N^r(N). Tudo isso parace com a convergencia
uniforme ( devido a particularidade de Xn = sen(N) )
Eu deveria ter detalhado mais aqui para que meu raciocinio ficasse mais
claro ...
Seja r um real em (-1,1). Tome um E (epsilon) suficientemente pequeno. Entao
(r-E,r+E) sera suficientemente pequeno e claramente ainda teremos
I=(r-E,r+E) contido em (-1,1). Pois bem :
Se o natural N1 e tal que sen(N1) esta em I entao o proximo natural N2 ( da
sequencia Xn=sen(N) ) que cair em I sera tal que :
1 r(N1) r(N2)
reiterando, teriamos : r(N1) r(N2) ... r(Ni) ou seja, a subsequencia
que cai dentro de I e linitada superiomente por 1/( N1 ^r(N1) ). Como
claramente somatorio de 1/N^r(N1) converge entao
evidentemente a serie correspondente converge.
O QUE ME PARECE EVIDENTE e que e possivel decompor (-1,1) numa quantidade
finita de intervalos suficientemente pequenos de forma que todos os termos
da serie que caem dentro de um intervalo especifico da decomposicao vao
atender o detalhe que expliquei acima. Como todas as series vao convergir e
sao em numero finito ( pois os intervalos sao em numero finito ) entao toda
a serie vai convergir...
Assim, a convergencia me pareceu evidente por causa desta evidente
particularidade de Xn = sen(N)
Observe que poderemos usar UM MESMO E( epsilon ) suficientemente pequeno
para todos os intervalos e, por esta razao, eu achei uma certa semelhanca
com a convergencia uniforme. Por isso eu disse : vejo uma semelhanca com a
convergencia uniforme usada em analise de fourier.
Se a minha sensibilidade estiver errada, e no pressuposto expresso neste
ultimo paragrafo. Mas eu nao sinto isso ...
Esta a ideia que me ocorreu numa analise rapida. E claramente necessario
provar alguns passos elementares para transformar a ideia numa demonstracao,
mas voce vai concordar comigo que visualizar estas coisas e muito facil.
Um Abraco a Todos
Um abraco especial ao Duda e ao Claudio
Paulo Santa Rita
6,1040,241003
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Date: Thu, 23 Oct 2003 20:02:02 -0200
MIME-Version: 1.0
Received: from mc5-f27.hotmail.com ([65.54.252.34]) by mc5-s2.hotmail.com
with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:42:03 -0700
Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f27.hotmail.com
with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:03:16 -0700
Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id TAA32527for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 19:59:47 -0200
Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18])by
sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32523for
[EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 18:59:46 -0300
Received: from araci.terra.com.br (araci.terra.com.br [200.176.3.44])by
paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 677C08480A9for
[EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 19:59:16 -0200 (BRST)
Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br
[200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by araci.terra.com.br
(Postfix) with ESMTP id 22E4921EF4Dfor [EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct
2003 19:59:12 -0200 (BRST)
X-Message-Info: vGzX0e+ktu4erC0zmrqvkg59w/93sa7bES3uBHMVtSI=
User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
Message-ID: [EMAIL PROTECTED]
In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by
sucuri.mat.puc-rio.br id SAA32524
Sender: [EMAIL PROTECTED]
Precedence: bulk
Return-Path: [EMAIL PROTECTED]
X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 22:03:17.0991 (UTC)
FILETIME=[76EB7770:01C399B1]
Oi, Paulo:
Mesmo assim eu nao estou convencido. O que esse r(n) (relativo a equacao do
Duda) tem de especial que faz a serie convergir? O meu exemplo anterior
mostra que o simples fato de termos r(n) 1 para todo n nao eh suficiente.
Tudo bem. Concordo que -1 sen(n) 1 implica 1/3 (2+sen(n))/3 1 e
que,
portanto, o n-esimo termo da serie eh menor do que 1/n, mas dai a concluir
que ela eh convergente...
Mas talvez eu tenha entendido mal: a que particularidade de sen(n) voce se
refere?
Uma duvida mais basica: A sequencia x(n) = ((2+sen(n))/3)^n converge?
Um abraco
[obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n - correcao
Ola Pessoal ! Na mensagem anterior, escrevi errado. O correto e : r(N1) r(N2) r(N3) ... r(Ni) ... O que da (na sub-serie do intervalo I ) : 1/( N^r(N1) ) convergindo e 1/( Ni^r(N1) )1/(Ni^r(Ni)) Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1128,241003 From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n Date: Thu, 23 Oct 2003 20:02:02 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc5-f27.hotmail.com ([65.54.252.34]) by mc5-s2.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:42:03 -0700 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f27.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:03:16 -0700 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA32527for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 19:59:47 -0200 Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32523for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 18:59:46 -0300 Received: from araci.terra.com.br (araci.terra.com.br [200.176.3.44])by paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 677C08480A9for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 19:59:16 -0200 (BRST) Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br [200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by araci.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 22E4921EF4Dfor [EMAIL PROTECTED]; Thu, 23 Oct 2003 19:59:12 -0200 (BRST) X-Message-Info: vGzX0e+ktu4erC0zmrqvkg59w/93sa7bES3uBHMVtSI= User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022 Message-ID: [EMAIL PROTECTED] In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED] X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id SAA32524 Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 22:03:17.0991 (UTC) FILETIME=[76EB7770:01C399B1] Oi, Paulo: Mesmo assim eu nao estou convencido. O que esse r(n) (relativo a equacao do Duda) tem de especial que faz a serie convergir? O meu exemplo anterior mostra que o simples fato de termos r(n) 1 para todo n nao eh suficiente. Tudo bem. Concordo que -1 sen(n) 1 implica 1/3 (2+sen(n))/3 1 e que, portanto, o n-esimo termo da serie eh menor do que 1/n, mas dai a concluir que ela eh convergente... Mas talvez eu tenha entendido mal: a que particularidade de sen(n) voce se refere? Uma duvida mais basica: A sequencia x(n) = ((2+sen(n))/3)^n converge? Um abraco, Claudio. on 23.10.03 16:08, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Claudio, Infelizmente, sua observacao nao e consistente. Voce se ateve a uma frase ( que destacou pra refutar ) e nao ao corpo da mensagem. Esta claro, devido a tudo que escrevi, que eu me refiri aos r(N) que resultam da equacao ( perdao se nao fui suficientemente claro ! ) : (1/N)*[ (2+sen(N) / 3)]^N = 1/[ N^r(N) ] , r(N) 1 para qualquer N = 1. A sequencia Xn=sen(N) varia entre -1 e 1, isto e, -1 sen(N) 1. NESTE CASO, volto a afirmar : a serie converge DEVIDO A PARTICULARIDADE DO sen(N) que estou destacando nesta mensagem. E necessario desenvolver mais este ponto ... Um abraco a todos Paulo Santa Rita 5,1609,231003 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n Date: Thu, 23 Oct 2003 15:29:02 -0200 S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) 1, converge ? Para mim, e evidente que sim. Oi, Paulo: Infelizmente isso não é verdade. Por exemplo, para cada n = 3, tome r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) 1. Isso resulta em n^r(n) = n*ln(n) == SOMA(n=3) n^(-r(n)) = SOMA(n =3) 1/(n*ln(n)), que diverge, pelo teste da integral. * O problema do Duda parece ser bem mais complicado. Por exemplo, um bom começo seria determinar se a sequência x(n) = sen(n)^n é convergente ou não. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Peco desculpas a todos por demorara a responder.
O correto seria eu parar e pensar na questao com seriedade, para entao
apresentar uma demonstracao formal ou me convencer que estou enganado, mas
no momento nao da pra mim fazer isso. O que fundamenta a minha intuicao e o
seguinte :
Como An = (1/N)*[ ( 2+sen(N) )/3]^N = 1/( N^r(N) ) e sendo claro que An
1/N e igualmente claro que R(N) 1. Mas e igualmente claro que tomando um
intervalo BEM PEQUENO em (-1,1) os sucessivos sen(N) que caem nele, por
estarem muito proximo, AFETAM MUITO POUCO a parcela sen(N) de :
[ ( 2+sen(N) )/3]^N
Assim, para um intervalo de (-1,1) BEM PEQUENO, se N1 e N2 sao dois indices
consecutivos de
Xn=sen(N) que cai no intervalo :
(1/N1)*[ ( 2+sen(N1) )/3]^N1 (1/N2)*[ ( 2+sen(N2) )/3]^N2 = 1/[N1^r(N1)]
1/[N2^r(N2)]
Evidentemente que isso vale para quaisquer dois termos consecutivos da
subsequencia que cai no intervalo, isto :
1/[N1^r(N1)] 1/[N2^r(N2)] 1/[N3^r(N3)] ...
Ou seja, a sub-sequencia e monotona decrescente. Observe que os r(N i) nao
sao so MAIORES QUE UM eles podem ser MUITO MAIORES QUE UM ... se Ni 3
entao 1/Ni ( 2+sen(N1) )/3 dai :
1/[ N1^( r(N1)+1 ) ] (1/N1)*[ ( 2+sen(N1) )/3 ]=1/( N1^r(N1) ) = r(N1)
N1 + 1
como N2 N1 entao 1/[ N2^( r(N1)+1 ) ] 1/[ N1^( r(N1)+1 ) ], podendo
r(N2) N2 + 1
Evidentemente que os r(Ni) crescem na medida que o pequeno subintervalo se
aproxima do extremo
-1 do intervalo (-1,1). Ocorre que o subintervalo e bem pequeno, isto e,
Ni+1 Ni, isto e, os fatores a mais que N1 ( N2 - N1 ) em :
(1/N2)*[ ( 2+sen(N2) )/3]^N2 =(1/N2)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^N1 }*{ [ (
2+sen(N2) )/3]^(N2-N1) }=
(1/N1)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^N1 }*(N1/N2)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^(N2-N1) }
isto e : fatores excedentes ... (N1/N2)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^(N2-N1) } sao
tais que :
1/[ N2^r(N2) ] 1/[ N2^( r(N1)+1 ) ] 1/[ N1^( r(N1)+1 ) ] 1/( N1^r(N1)
)
r(N2) r(N1) + 1r(N1) = r(N1) r(N2)
O que acho intuitivo ( mas que precisa ser provado ) e que sendo o intervalo
bem pequeno e devidamente ajustado, o proximo Ni+1 apos o Ni e muito
maior que o Ni, o excesso obrigando
r(Ni) r(Ni+1)
Evidentemente que isto nao e uma prova, apenas o fruto de uma analise rapida
derivada da intuicao e que reforca a minha crenca na convergencia. Eu
deveria aqui prova algo assim ...
se N2 N1 e modulo(N1-N2) E, E positivo e suficientemente pequeno, entao
N2 N1 + i, para algum i natural. Dai mostra que o excesso que falei
(N2-N1i) cumpre de fato o que a minha intuicao esta me dizendo, isto e, que
r(N1) r(N2).
Se for assim, entao para cada intervalo teremos uma serie :
1/[N1^r(N1)] 1/[N2^r(N2)] 1/[N3^r(N3)] ...
com r(N1) r(N2) r(N3) ... e
e a serie evidentemente converge. E portanto a serie toda converge.
Bom, eu acho que detalhei bem o que vi numa primeira olhada. Mas estou sem
tempo para pensar seriamente na questao. Todavia, considero praticamente
certo que outro membro que pense seriamente sobre a questao vai achar um
caminho sem maiores dificuldades ( engracado, neste exato momento que estou
escrevendo estas linhas me ocorreu outra ideia. )
O problema e legal e de qualidade, como tudo que vem do Duda. Ele nao se
dobrou diante de nenhuma investida trivial, tais como os teste de banais de
convergencia e os teoremas que se aprende num bom curso de analise. Esta
assim em consonancia com a proposta original desta desta nossa lista, que e
discutir problemas olimpicos e praticar a verdadeira Matematica, alta e
bela.
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
1,2126,261003
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] SOMA(n=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Date: Fri, 24 Oct 2003 13:45:18 -0200
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Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc
Ola Daniel e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito legal a prova por determinante. Vou tentar produzir uma prova diferente : a + b + c= 0 = a + b = -c = (a+b)^3 = (-c)^3 a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 = -c^3 a^3 + b^3 + c^3 = -3(a^2)b - 3a(b^2) a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a + b) como a + b = -c : a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(-c) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 um outro legal, bem simples, na mesma linha de raciocinio : Se A + B CeD + E F entao ( A,B,C,D,E,F sao reais positivos ) : raiz_quad(A^2 + E^2) + raiz_quad(B^2 + D^2) raiz_quad(C^2 + F^2) From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc Date: Wed, 05 Nov 2003 03:06:56 -0200 MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.173.170.47] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc2-f38.hotmail.com ([65.54.237.45]) by mc2-s6.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Tue, 4 Nov 2003 21:10:26 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f38.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Tue, 4 Nov 2003 21:09:12 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id DAA29324for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 03:07:29 -0200 Received: from hotmail.com (bay8-f8.bay8.hotmail.com [64.4.27.8])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id CAA29320for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 02:07:28 -0300 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 4 Nov 2003 21:06:56 -0800 Received: from 200.173.170.47 by by8fd.bay8.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 05:06:56 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceSItGGrcCSeWiDHpA256mgG71rW/dGB/hs= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 05:06:56.0697 (UTC) FILETIME=[A29B3290:01C3A35A] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso: Dado a+b+c=0, quero chegar em a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Partindo de: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Farei a linha acima por determinante: a b c c a b b c a A soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero. logo o determinante acima eh igual a zero. Assim temos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 e a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Por favor me corrijam se eu estiver errado. Obrigado. -- Mensagem original -- Ola pessoal, Depois de alguns meses afastado da lista e sem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperar ansioso pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la: 1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Prova do IME
Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1120,051103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um site interessante
Ola Pessoal ! No Site : http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/ Click em : MacTutor history of Mathematics Archive La existem muitas informaçoes interessantes, tais como um aruivo de curvas notaveis e os Principais Matematicos ( com omissoes ! ) por paises. Vale a pena dar uma olhada. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1139,051103 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.142.58.18] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc2-f20.hotmail.com ([65.54.237.27]) by mc2-s16.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 05:28:10 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f20.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 05:24:06 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id LAA04832for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 11:20:57 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f50.sea2.hotmail.com [207.68.165.50])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id LAA04828for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 11:20:52 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Nov 2003 05:20:17 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceT6VeKGoNWA63UYML5cWlLPc1N/atNLXfQ= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 13:20:17.0135 (UTC) FILETIME=[8DD797F0:01C3A39F] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1120,051103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, Deu uma olhada no site do GPI. A prova esta la, questao por questao. Mas ... FEITA ! Que pena, nao vamos ter a alegria de descobrir as solucoes. Mas eu proponho o seguinte : Vamos encontrar, pra cada questao, uma maneira diferente de fazer ( mesmo que seja mais feia ou longa ) ? Eu começo : 1 QUESTAO ) Existe uma regra, chamada regra de Chio, que permite abaixar a ordem de uma matriz. Basta que A11=1 ( se nao me falha a memoria ). Entao, aplicando a regra de Chio duas vezes vamos cair numa matriz 2x2, cujo determinante e facil calcular. Calculando o determinante em funcao de N, igualamos a 5 e resolvemos a equacao. Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( nao duas ou mais ) ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1403,051103 From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 14:22:54 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc2-f14.hotmail.com ([65.54.237.21]) by mc2-s17.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:25:29 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f14.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:24:22 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA07638for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 13:23:26 -0200 Received: from gorgo.centroin.com.br (gorgo.centroin.com.br [200.225.63.128])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA07634for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 13:23:25 -0200 Received: from centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134])by gorgo.centroin.com.br (8.12.10/8.12.9) with ESMTP id hA5FMtad007873for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 13:22:55 -0200 (EDT) X-Message-Info: HQbIehuYceSUWy5LlRlpF6fIONaJJTv2iApCFDJ/N8U= Message-Id: [EMAIL PROTECTED] In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED] References: [EMAIL PROTECTED] X-Mailer: CIP WebMail 2.10 experimantal 20030731a X-OriginatingIP: 200.141.90.78 (morgado) Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 15:24:23.0275 (UTC) FILETIME=[E41663B0:01C3A3B0] www.gpi.g12.br -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + Subject: [obm-l] Prova do IME Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1120,051103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola Pessoal e demais colegas desta lista ... OBM-L, Alguem encontrou uma forma de resolver a questao 2 diferente da forma apresentada so Site do GPI ? Eu nao vou fazer por fidelidade a regra que propus, segundo a qual uma pessoa so pode fazer uma questao ( diferente da solucao GPI ). Mas vou ajudar falando sobre algo que, muito provavelmente, nem todos os estudantes sabem : Numa equacao da forma : x^3 + ax + b=0 , a expressao : (b/2)^2 + (a/3)^3 e chamada DISCRIMINANTE. Prova-se que a equacao so tem tres raizes reais nao nulas se o DISCRIMINANTE e negativo ... Dai ... Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1509,051103 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 05 Nov 2003 16:04:30 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.142.58.18] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc3-f23.hotmail.com ([64.4.50.159]) by mc3-s2.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 08:06:32 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc3-f23.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 08:06:28 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id OAA08497for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 14:05:13 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f19.sea2.hotmail.com [207.68.165.19])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id OAA08493for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 14:05:10 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Wed, 5 Nov 2003 08:04:34 -0800 Received: from 200.142.58.18 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed, 05 Nov 2003 16:04:30 GMT X-Message-Info: HQbIehuYceQPI18leHWRVRTadU7O9EmVASR5S6iv19Q= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 16:04:34.0594 (UTC) FILETIME=[81587820:01C3A3B6] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L, Deu uma olhada no site do GPI. A prova esta la, questao por questao. Mas ... FEITA ! Que pena, nao vamos ter a alegria de descobrir as solucoes. Mas eu proponho o seguinte : Vamos encontrar, pra cada questao, uma maneira diferente de fazer ( mesmo que seja mais feia ou longa ) ? Eu começo : 1 QUESTAO ) Existe uma regra, chamada regra de Chio, que permite abaixar a ordem de uma matriz. Basta que A11=1 ( se nao me falha a memoria ). Entao, aplicando a regra de Chio duas vezes vamos cair numa matriz 2x2, cujo determinante e facil calcular. Calculando o determinante em funcao de N, igualamos a 5 e resolvemos a equacao. Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( nao duas ou mais ) ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1403,051103 From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 14:22:54 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc2-f14.hotmail.com ([65.54.237.21]) by mc2-s17.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:25:29 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f14.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 07:24:22 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id NAA07638for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 13:23:26 -0200 Received: from gorgo.centroin.com.br (gorgo.centroin.com.br [200.225.63.128])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id NAA07634for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 13:23:25 -0200 Received: from centroin.com.br (trex.centroin.com.br [200.225.63.134])by gorgo.centroin.com.br (8.12.10/8.12.9) with ESMTP id hA5FMtad007873for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 13:22:55 -0200 (EDT) X-Message-Info: HQbIehuYceSUWy5LlRlpF6fIONaJJTv2iApCFDJ/N8U= Message-Id: [EMAIL PROTECTED] In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED] References: [EMAIL PROTECTED] X-Mailer: CIP WebMail 2.10 experimantal 20030731a X-OriginatingIP: 200.141.90.78 (morgado) Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 15:24:23.0275 (UTC) FILETIME=[E41663B0:01C3A3B0] www.gpi.g12.br -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 05 Nov 2003 13:20:15 + Subject: [obm-l] Prova do IME Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe
Re: [obm-l] Prova do IME
Ola Pessoal ! Vejam que agora ja temos tres solucoes para a questao 2. Quem faz a 3, de uma forma diferente da do GPI ? Nao pode ser eu ou o Claudio. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1531,051103 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 15:08:53 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc1-f9.hotmail.com ([64.4.50.16]) by mc1-s3.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:04:07 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc1-f9.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:03:13 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id PAA09707for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:02:04 -0200 Received: from ns3bind.bindtech.com.br ([200.230.34.5])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09702for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 15:02:03 -0200 Received: from servico2 ([200.230.34.224])by ns3bind.bindtech.com.br (8.11.6/X.XX.X) with SMTP id hA5H0Xl06494for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 15:00:33 -0200 X-Message-Info: HQbIehuYceTqLXMEyHBvn7Pw6Fl0HXM8zdhH8t2Jk4M= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] References: [EMAIL PROTECTED] X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600. X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600. Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 17:03:14.0593 (UTC) FILETIME=[B36DB110:01C3A3BE] - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao ( nao duas ou mais ) ? Questão: P(x) = x^3 + ax + b (b 0) tem 3 raízes reais. Prove que a 0. A solução do GPI usou as relações de Girard. Aqui vai uma solução alternativa: Se a = 0, então P(x) tem uma única raiz real, igual a (-b)^(1/3). Se a 0, então P'(x) = 3x^2 + a 0, para todo x == P(x) é estritamente crescente == Como lim(x--inf) P(x) = -inf e lim(x - +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma única raiz real. Logo, só pode ser a 0. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova do IME
Oi Marcio, Tudo legal comigo. E voce, como vai ? Obrigado. É, a prova foi mesmo ontem. O Prof morgado ja havia dito que o GPI disponibilizara a prova e as solucoes ( alias, as que vi estavam muito boas ! ). Vou dar uma olhada nas do PONTO DE ENSINO. Como toda questao tem varias maneiras de solucao, tai um problema legal : olhar a solucao GPI, olhar a solucao PONTO DE ENSINO e entao apresentar, se possivel, uma maneira de resolver, diferente das dos dois cursos, mesmo que mais longa e/ou mais feia e/ou usando conhecimentos pouco divulgados e/ou usando tecnicas um pouquinho mais avancadas. Para muitos de nos aqui desta lista, apresentar diversas solucoes para as questoes do IME e apenas uma ginastica mental. Nao representa merito ou valor algum. Mas para um aluno que se prepara para um tal concurso, e meritoso e saudavel buscar isso e todos devem ser estimulados neste sentido. Os proprios cursos, para darem mais qualidade ao seu trabalho deveriam fazer isso, isto e, para cada questao, mostrar diversos caminhos validos de solucao, isto e, procederem a uma verdadeira analise do problema. fazendo assim acredito que eles provariam duas coisas : 1) a verdadeira qualidade da sua equipe de professores, 2) Que estao mais preocupados com o aluno. O primeiro curso que fizer isso ( nao conheco algum que faca ) e registrar este trabalho num paper, vai verdadeiramente demonstrar sua qualidade e conquistar a confianca dos bons alunos. A corrida para ser o primeiro a apresentar o gabarito e muito mais para atender ou a uma disputa entre-cursos que satisfaz interesses comercias de divulgacao, nao estando prioritariamente centrada aluno; ou o reflexo do preconceito infantil segundo o qual quem faz primeiro e o melhor; ou uma combinacao destas coisas. Nos podemos fazer isso aqui nesta nossa lista. Como trata-se de trabalho pesado, cada um aborda uma questao e faz uma analise exaustiva dela, mostrando diversos caminhos ( comum sao muitos caminhos, alguns serao necessariamente omitidos. importa aqueles que os vestibulandos IME conhecem bem ) de solucao. Poderiamos fazer isso todo ano com as provas do IME, por exemplo. Seria uma contribuicao valiosa para a nossa lista e muito importante para os vestibulandos IME que nos assistem. Se as pessoas gostarem da ideia e um bom numero se propor a colaborar, eu participo e inicio o trabalho. Podem me escrever em off neste sentido. Um Grande Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1050,061103 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Prova do IME Date: Wed, 5 Nov 2003 19:17:13 -0200 MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.179.240.74] Received: from mc2-f28.hotmail.com ([65.54.237.35]) by mc2-s18.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 13:21:51 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f28.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 13:20:11 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA15246for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 19:17:48 -0200 Received: from smtp-37.ig.com.br (smtp-37.ig.com.br [200.226.132.188])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA15241for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 5 Nov 2003 19:17:47 -0200 Received: (qmail 32158 invoked from network); 5 Nov 2003 21:17:18 - Received: from indesk-1.ig.com.br (HELO localhost) ([200.226.127.141]) (envelope-sender [EMAIL PROTECTED]) by smtp-37.ig.com.br (qmail-ldap-1.03) with SMTP for [EMAIL PROTECTED]; 5 Nov 2003 21:17:18 - X-Message-Info: HQbIehuYceShQnGMYKHIqZ22XJlIdrR7iw+2/Xc2Hkw= Message-Id: [EMAIL PROTECTED] X-Mailer: InMail by Insite - www.insite.com.br X-user: [EMAIL PROTECTED] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 21:20:13.0077 (UTC) FILETIME=[998FA450:01C3A3E2] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ---BeginMessage--- Oi Paulo, tudo bem? Ontem foi mesmo a prova de matematica do IME. Achei a prova bem legal por sinal. Voce pode ve-la em www.pensi.com.br . La tem inclusive o gabarito da prova. Uma opcao menos parcial eh o proprio site do ime: www.ime.eb.br . Eles costumam deixar a prova no site, mas nao sei se ja atualizaram. Abracos, Marcio Em 05 Nov 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal ! Todos devem ter notado que novamente estamos sendo agredidos por um imbecil qualquer. Nao se responde a este tipo de gente. Vamos ignorar as mensagens ofensivas e trata-las como sao : lixo produzido por lixo. Se nao me engano, ontem foi a prova de Matematica do IME. Alguem tem a prova ou sabe onde encontra-la na Internet ? Seria interessante disponibiliza-la aqui na nossa lista, para que pudessemos discutir algumas questoes. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1120,051103
Re: [obm-l] off-topic (fisica)
Ola Leonardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, O nosso moderador, Prof Nicolau, autorizou discutirmos Fisica aqui. Assim, voce pode propor problemas de Fsica nesta lista. Talvez os Sites abaixo sejam do seu interesse : http://www.sbfisica.org.br/olimpiada http://www.fisica.ufc.br Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1618,101103 From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] off-topic (fisica) Date: Mon, 10 Nov 2003 03:26:35 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.141.99.2] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc5-f11.hotmail.com ([65.54.252.18]) by mc5-s21.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Sun, 9 Nov 2003 19:28:49 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f11.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Sun, 9 Nov 2003 19:28:48 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA05517for obm-l-MTTP; Mon, 10 Nov 2003 01:27:09 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f37.sea2.hotmail.com [207.68.165.37])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA05513for [EMAIL PROTECTED]; Mon, 10 Nov 2003 01:27:07 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sun, 9 Nov 2003 19:26:35 -0800 Received: from 200.141.99.2 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Mon, 10 Nov 2003 03:26:35 GMT X-Message-Info: TiNwL5K19MGoMoYs5DfU1JBOixdGunHWNNGvi0uEWHo= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 10 Nov 2003 03:26:35.0954 (UTC) FILETIME=[72077920:01C3A73A] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola a todos, Sera q algum de vcs conhece alguma lista de fisica q se asemelhe a nossa??? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] off-topic (fisica)
Ola Leonardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Uma Lista de discussão de Problemas de Fisica como esta nossa Lista de discussão de problemas de Matematica eu não conheco, no Brasil. Mas o nosso moderador, Prof Nicolau, autorizou discutirmos aqui problemas de Fisica. Portanto, voce pode propor aqui problemas de desta disciplina. Algo que acredito que sera do seu interesse e que TENHO CERTEZA pode te ajudar no estudo da fisica para o tipo de vestibular que voce voce encontra ( em portugues ) em : From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] off-topic (fisica) Date: Mon, 10 Nov 2003 03:26:35 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.141.99.2] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc5-f11.hotmail.com ([65.54.252.18]) by mc5-s21.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Sun, 9 Nov 2003 19:28:49 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f11.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Sun, 9 Nov 2003 19:28:48 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id BAA05517for obm-l-MTTP; Mon, 10 Nov 2003 01:27:09 -0200 Received: from hotmail.com (sea2-f37.sea2.hotmail.com [207.68.165.37])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id BAA05513for [EMAIL PROTECTED]; Mon, 10 Nov 2003 01:27:07 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sun, 9 Nov 2003 19:26:35 -0800 Received: from 200.141.99.2 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Mon, 10 Nov 2003 03:26:35 GMT X-Message-Info: TiNwL5K19MGoMoYs5DfU1JBOixdGunHWNNGvi0uEWHo= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 10 Nov 2003 03:26:35.0954 (UTC) FILETIME=[72077920:01C3A73A] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Ola a todos, Sera q algum de vcs conhece alguma lista de fisica q se asemelhe a nossa??? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mecanica Quantica
Ola a Todos, Quem quiser ver uma excelente introducao ao formalismo da Mecanica Quantica, inclusive com uma breve ( porem clara ) exposicao dos seus fundamentos matematicos ( espacos de Hilbert ) e as discussões associadas a estes fundamentos, olhe em : http://www.ifi.unicamp.br/tesesonline/teses/IF671.pdf De maneira geral, ha teses muito boas ali. Talvez seja necessário fazer um cadastramento previo. No trabalho especifico que estou indicando, há uma obordagem bastante lucida do Teorema de Bell. Ali voce tambem vai poder verificar que a base Matematica para se entender a Mecanica Quantica de forma alguma e dificil, resumindo-se, em ultima analise, as Espacos de Hilbert ( Espacos Vetorias com produto interno completo em relacao a norma ) Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1132,141103 OBS : O Teorema de Bell e uma das maiores conquistas humanas do seculo passado e a sua compreensao basicamente não exige conhecimento previo algum. Qualquer pessoa pode entende-lo. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mecanica Quantica
Ola a Todos ! Use o endereco abaixo : www.ifi.unicamp.br/ccjdr/teses/apresentacao.php3?filename=IF671 A seguir, faca o download do arquivo. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1927,151103 From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Mecanica Quantica Date: Fri, 14 Nov 2003 16:19:59 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc5-f7.hotmail.com ([65.54.252.14]) by mc5-s19.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Fri, 14 Nov 2003 10:23:56 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f7.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Fri, 14 Nov 2003 10:22:54 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id QAA01542for obm-l-MTTP; Fri, 14 Nov 2003 16:20:10 -0200 Received: from smtp.uol.com.br (smtp.uol.com.br [200.221.11.52])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id QAA01538for [EMAIL PROTECTED]; Fri, 14 Nov 2003 16:20:09 -0200 Received: from gauss (200-158-97-231.dsl.telesp.net.br [200.158.97.231])by scorpion4.uol.com.br (Postfix) with SMTP id 0CBD1D8FEfor [EMAIL PROTECTED]; Fri, 14 Nov 2003 16:19:37 -0200 (BRST) X-Message-Info: TiNwL5K19MEFK830b0Uf3HNnmYM2ed92sfTRoUCss+k= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] References: [EMAIL PROTECTED] X-Priority: 3 X-MSMail-Priority: Normal X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2800.1158 X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2800.1165 Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 14 Nov 2003 18:22:55.0710 (UTC) FILETIME=[52E9FFE0:01C3AADC] Não consegui baixar! onde tem que se cadastrar? - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 14, 2003 11:34 AM Subject: [obm-l] Mecanica Quantica = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade
Ola a todos ! Para uma boa compreensao de como o PRINCIPIO DA ANTECEDENCIA DAS CAUSAS esta implicitamente pressuposto ( gratuitamente ) na Teoria da Relatividade, uma exposicao lucida pode ser vista em : http://ghtc.ifi.unicamp.br/pdf/ram-29.pdf Um abraco aTodos Paulo Santa Rita 7,2018,151103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade
isso ? Significa que se eu formular uma lei fisica tal que fazendo uma mudanca de referencial, essa lei mude ou perca a validade, entao eu nao formulei uma lei fisica ou a minha lei fisica esta errada. Ora, um Fisico, crente neste fato, vai buscar na Matematica algo que corresponda e exprima RIGOROSAMENTE esta percepcao. Na Matematica, isso ocorre com toda formulacao COVARIANTE. Assim, o Fisico fala : TODA LEI FISICA TEM QUE TER UMA FORMULACAO COVARIANTE, caso contrario, nao e a formulacao de uma lei fisica. Assim : ( Fisica ) Mesma Lei em todos os referenciais = ( Matematica ) Formulacao Covariante Isto e : Ao percebemos ( com a intuicao ) uma qualidade do mundo buscamos na Matematica uma a forma adeguada e rigorosa de falarmos aquilo que percebemos. E neste contexto que se insere a sua pergunta. De fato, e conveniente representarmos o tempo por um complexo. Einstein mostrou que o tempo nao e absoluto, isto e, que existe o tempo proprio de cada referencial. Assim, quando OCORRE ALGUMA COISA, um evento, ele ocorre num determinado instante PARA UM REFERENCIAL ESPECIFICO, quero dizer, ele ocorre em UM LUGAR ( TRES COORDENADAS ) e num determinado INSTANTE ( QUARTA COORDENADA ). Em Newton, a quarta coordenada, o tempo, era igual para todos, nao havendo o problema de especifica-lo quando quisessemos falar de um determinado fato. Em Einstein ha esse problema e portanto precisamos dizer EM QUE INSTANTE o fato ocorre. Essas quatro coordenadas sao, evidentemente, um espaco quadri-dimensional e precisamos passar esses quatro numeros ao falarmos sobre algo. Um ponto neste espaco e chamado PONTO DE UNIVERSO e a cada particula em consideracao corresponde uma LINHA DE UNIVERSO. Para simplificar, vou imaginar que as tres coordenadas espaciais estao sintetizadas em um unico eixo ( o eixo das abscissas ). O eixo das ordenadas sera o eixo dos tempos. Exemplo : Qual a linha de Universo de um corpo em repouso ? Claramente uma reta da forma X = r ... O tempo vai passando mais ela nao sai do lugar. Em geral, a linha de universo de um corpo comum e uma funcao continua, pois ele muda continuamente de posicao e o tempo passa continuamente por ele E conveniente representarmos o tempo por um numero complexo porque isso nos permite tratar com maior clareza problemas de singularidades temporais e paradoxos, mas nao ha uma exigencia quanto a isso. Para ver isso, considere um sinal a velocidade da luz que parte de X1,Y1,Z1 no instante T1 e se dirige para o local X2,Y2,Z2 que ocorrera no instante T2. Como a velocidade e C ( velocidade da luz ), entao, a distancia percorrida e : C (T2 - T1 ) Mas, esta mesma distancia, usando a metrica euclidiana, e : raiz( X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1-Z2)^2 ) . Isto e : C(T2 - T1 ) = raiz( X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1-Z2)^2 ) (X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1 -Z2)^2 - (C^2)(T2 - T1)^2 = 0 Se estivermos tratando de quaiquer dos eventos, o numero ( em Relatividade Geral ) : S12 = raiz ( (X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1 -Z2)^2 - (C^2)(T2 - T1)^2 ) e chamado INTERVALO entre os dois eventos. Se adotarmos a convencao de chamarmos de Ta (tau) o valor iCT, isto e : Ta=iCt, entao a formulacao diferencial do arco da linha de universo ficara como : ds^2 = - (dx^2 + dy^2 + dz^2 + dTa^2 ) E a essa grandeza Ta = iCt que NOS PERMITE DAR UM TRATAMENTO TRANQUILO ao comprimento de arco na linha do universo que leva muitos fisicos a dizerem que o tempo pode ser representado como um numero complexo. Observe, entretando, que isto e apenas uma forma inteligente de obtermos, para dois pontos de universos, uma formulacao do comprimento de arco equivalente ao valor bem conhecido da analise matematica : ds^2 = dx^2 + dy^2 Assim, respondendo a sua pergunta : realmente, o tempo ( ou a grandeza Ta relacionada com o tempo tal como expliquei ) e convenientemente expresso por um numero imaginario porque isso facilita enormemente a expressao diferencial das leis relativisticas ( da relatividade geral ). Em particular, o comprimento de arco numa linha de universo, o que da origem a um tratamento facilitado de outrso aspectos. Gostaria de ver voce abordando um assunto que sempre me empolgou. Alguem ( Nao me lembro o nome agora ) definiu os Espacos Metricos e a consequente definicao de Metrica, com aquelas tres propriedades que todo mundo sabe. Por que aquelas tres propriedades ? Por que nao 4 ? Por que exatamente aquelas tres ? Em que sentido aqueles leis atendem de forma satisfatoria as nossas necessidades ? Por que nao e, por exemplo : D(X,Y) 0 D(X,Y) = D(Y,X) D(X,Y) = 2D(X,Z) + 3D(Z,Y) ? Um Grande Abraco a Todos Um Abraco especial ao Artur Paulo Santa Rita 1,2300,161103 From: Artur Coste Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade Date: Sat, 15 Nov 2003 21:06:08 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc1-f40.hotmail.com ([64.4.50.47]) by mc1-s10.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC
Re: [obm-l] O problema do camelo
Ola Rogerio de demais colegas desta lista ... OBM-L, O que eu deve entender por ele deve beber ( continuamente ) um litro de agua por quilometro ? Vou supor que o Oasis e o marco zero ( zero quilometro ). IMAGINE que o camelo esta no Oasis. Ele e entao carregado com 100 litros agua. Ao atingir o marco 1, ele andou 1 quilometro e, portanto, vai beber 1 litro de agua. Ao atingir o marco 2, bebe mais um litro. Sobram entao 98 litros dos 100 litros com que ele partiu. Ele deixa 97 no marco 2 e volta. Ao atingir o marco 1, bebe o ultimo litro de que dispoe. Andando mais um kilometro ele chega ao Oasis, onde ha agua em abundancia e, portanto, bebe um litro desta agua. Assim, saindo com N litros do Oasis, N = 100, ele pode deixar 100 - 2K + 1 litros no marco K ( K = 50 ) e o Oasis ficou reduzido em 101 litros de agua. Como ha agua em abundancia no Oasis, repetindo esta operacao um grande numero de vezes ele pode colocar ate um Oceano de Agua no marco K, isto e, a partir de um certo momento ele nao precisa mais voltar ao oasis original ... Ele vai poder partir sempre do marco K. Mas nos queremos o minimo de agua que deve ter no oasis original. Seja M esse minimo. Posso portanto supor, com base na observacao acima, que apos um numero finito de vezes, R, o oasis foi deslocado para o marco K, isto e, no marco K ha M - 101R ( para algum R natural e supondo que ele sempre parte com 100 litros ) o oasis original estara vazio e, portanto, o camelo nao deve e nao precisa voltar ao oasis original. E possivel usar esta estrategia ? Ou o camelo sempre precisa voltar ate o Oasis original ? Nao esta claro isto no texto ! Existe um outro problema. O que e beber continuamente ? Suponha que o camelo parte com 100 litros de agua e vai ate o ponto raiz_quadrada(2). Devo supor que ele bebeu raiz_quadrada(2) litros de agua ? Neste caso ao atingir o marco K ( K inteiro ) e voltar ele dixa 100 - 2K, consumindo 2k litros de agua, isto e, quando, na volta, ele atingir o oasis, ele ja consumiu 2K litros de agua e nao, como parece, 2K-1. Note que, neste caso, precisamos supor alguma coisa sobre a forma do caminho que liga o oasis ao sindicato, pois, bebendo continuamente, ele vai beber menos se a ligacao oasis-sindicato for um segmento de reta ... Existe um outro problema. O que e ele pode deixar depositos de agua em qualquer lugar do caminho ? O camelo so pode deixar agua em marcos quilometricos inteiros ? ou, por exemplo, ele pode se dirigir uma posicao R, R real, depositar 100 - 2R de agua ali. Neste caso absolutamente continuo, isto e, onde o camelo bebe continuamente e pode depositar agua em qualquer posicao real, me parece que e melhor substituir o camelo ... SALVO UM MELHOR JUIZO, que eu apreciaria ver, me parece que o problema quer usar um detalhe matematico que nao se coaduna convenientemente com o contexo usado ou foram admitidos pressupostos que nao ficaram suficientemente claro no enunciado. O problema e bonito e engenhoso e imaginar uma forma de levar 1000 litros ate a posicao 1000 e bastante facil, mesmo trivial. Mas determinar uma estrategia otima no sentido de consumir uma quantidade minima de agua nao me parece um problema simples, sobretudo porque nao esta claro quais pressupostos podemos admitir ... From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] O problema do camelo Date: Sun, 16 Nov 2003 21:18:44 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.214.109.236] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc2-f16.hotmail.com ([65.54.237.23]) by mc2-s1.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Sun, 16 Nov 2003 13:20:12 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc2-f16.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Sun, 16 Nov 2003 13:20:11 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA16393for obm-l-MTTP; Sun, 16 Nov 2003 19:19:17 -0200 Received: from hotmail.com (bay9-f38.bay9.hotmail.com [64.4.47.38])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id TAA16388for [EMAIL PROTECTED]; Sun, 16 Nov 2003 19:19:15 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Sun, 16 Nov 2003 13:18:44 -0800 Received: from 200.214.109.236 by by9fd.bay9.hotmail.msn.com with HTTP;Sun, 16 Nov 2003 21:18:44 GMT X-Message-Info: TiNwL5K19MHsk4VxzSki9pnCOmcwpv/nq0oFfSMx1Cw= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 16 Nov 2003 21:18:44.0576 (UTC) FILETIME=[375AB600:01C3AC87] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Repassando o problema do camelo... Um camelo deve fazer uma entrega de 1000 litros de água ao Sindicato dos Beduínos, que fica a 1000 km de distância de seu oásis de partida. O camelo pode carregar até 100 litros de água e deve beber (continuamente) 1 litro de água por quilômetro. Ele pode deixar depósitos de água em qualquer ponto do caminho. De quanta água (no
Re: [obm-l] O problema do camelo
Ola Pessoal ! Leia a minha mensagem que voce vai ver que em nenhum momento eu falei em andar 3 Km. Mas, tudo bem. Entendi o que voce quer. Obrigado. Um abraco Paulo Santa Rita 3,1450,181103 From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O problema do camelo Date: Tue, 18 Nov 2003 14:50:57 + MIME-Version: 1.0 X-Originating-IP: [200.244.74.46] X-Originating-Email: [EMAIL PROTECTED] Received: from mc7-f4.hotmail.com ([65.54.253.11]) by mc7-s15.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Tue, 18 Nov 2003 06:55:09 -0800 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc7-f4.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Tue, 18 Nov 2003 06:54:34 -0800 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id MAA21367for obm-l-MTTP; Tue, 18 Nov 2003 12:51:36 -0200 Received: from hotmail.com (bay9-f7.bay9.hotmail.com [64.4.47.7])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA21363for [EMAIL PROTECTED]; Tue, 18 Nov 2003 12:51:32 -0200 Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC; Tue, 18 Nov 2003 06:50:57 -0800 Received: from 200.244.74.46 by by9fd.bay9.hotmail.msn.com with HTTP;Tue, 18 Nov 2003 14:50:57 GMT X-Message-Info: TiNwL5K19MHf1feKAmjG+8cQq2J4R9ZCeusC9BX42Hk= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 18 Nov 2003 14:50:57.0416 (UTC) FILETIME=[5FDF5880:01C3ADE3] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] Olá Paulo, a estratégia de andar 3 km e deixar 97 litros não funciona, pois o camelo precisa de água para voltar. Talvez fique mais fácil pensar no problema da forma como eu o repassei para alguns amigos : Uma base militar precisa levar 1000 litros de gasolina para um posto avançado no deserto, situado a 1000 km de distância da base. Será usado um jipe , cujo tanque tem a capacidade de 100 litros, e que consome 1 litro por quilômetro. Ele pode deixar depósitos de gasolina em qualquer ponto do caminho. De quantos litros, no mínimo, ele precisará para cumprir sua missão?o jipe leva no máximo 100 litros , porra ! E mais : ele não precisa voltar. A missão é entregar somente. Para isso , ele terá que sucessivas vezes ir e voltar , deixando depósitos ao longo do caminho, até conseguir, na última ida, completar a missão. -- Observações que fiz na outra lista após repassar o problema : O jipe leva no máximo 100 litros ! E mais : ele não precisa voltar. A missão é entregar somente. Para isso , ele terá que sucessivas vezes ir e voltar , deixando depósitos ao longo do caminho, até conseguir, na última ida, completar a missão. A gasolina que o jipe deixa é a sobra tirada do seu próprio tanque. Assim, ele poderia partir da base com tanque cheio, deixar 98 litros a 1 km da mesma , e voltar , por exemplo. []´s Rogério. PS: O número é astronômico, com certeza. Li esse problema ontem, e não sei ainda qual a solução. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
